Samenvattingen havo B deel 1 die niet in B deel 2 voorkomen

JOBNAME: 9001.60717.9.MW9.hav PAGE: 15 SESS: 22 OUTPUT: Fri Jan 11 11:12:01 2008
/een/wolters/301/882/103⫺4⫺
Hoofdstuk 3
Samenvatting
Negatieve en gebroken exponenten
Bij exponentiële functies N共t兲 ⫽ b ⭈ g t is N共t兲 de hoeveelheid
op tijdstip t , b de beginhoeveelheid op tijdstip t ⫽ 0 en g de
groeifactor per tijdseenheid.
In deze functievoorschriften kun je ook rekenen met
negatieve en gebroken waarden voor de exponent t.
Rekenregels voor machten
1
g –2 = √g
g p · g q = g p+q
g p : g q = g p–q
(g p)q = g p·q
g0 = 1
g1 = g
Er zijn rekenregels voor het rekenen met machten.
Bij deze regels is g een positief getal.
1
g –n = g––
n
Je kunt rekenen met negatieve en gebroken exponenten.
Voor de variabele in exponentiële functies kan je ook negatieve en
gebroken getallen invullen.
Voorbeeld
Bij een exponentieel groeiproces hoort de functie
N(t) = 20 · 1,3t. Hierin is N de hoeveelheid, t in jaren
en t = 0 komt overeen met 1 januari 2000.
Bereken het aantal op 1 januari 1988 en 1 maart 2000.
Oplossing
1 januari 1988 komt overeen met t = –2
N(–2) = 20 · 1,3–2 ≈ 11,83
2
= –1
1 maart 2000 komt overeen met t = ––
12
6
1
1
N(–)
= 20 · 1,3–6 ≈ 20,89
6
Je kunt rekenregels voor machten toepassen
Voorbeeld
Voor het rekenen met machten kun je de rekenregels gebruiken.
50 = 1
71 = 7
1
––
= a–4
a4
1
1
1
10–3 = –––
3 = ––––
10
1
3–2 = √3
32 · 33 = 35
6
5
2
––
4 =5
5
(62)5 = 610
88
1000
a–2 = √a
a3 · a = a4
a5 · ax = a5+x
7
a
5
––
2 =a
a
(a3)2 = a6
(at)4 = a4t
JOBNAME: 9001.60717.9.MW9.hav PAGE: 16 SESS: 22 OUTPUT: Fri Jan 11 11:12:01 2008
/een/wolters/301/882/103⫺4⫺
Hoofdstuk 3
Je kunt een exponentiële functie herschrijven
Voorbeeld
Soms is het nodig om een exponentiële functie te
herschrijven zodat je de beginhoeveelheid en de groeifactor
per tijdseenheid af kunt lezen.
Schrijf f(t) = 4 · 3–2t+5 in de vorm f(t) = b · gt
Oplossing
f(t) = 4 · 3 –2t+5
f(t) = 4 · 3 –2t · 3 5
f(t) = 4 · 3 5 . (3 –2 ) t
1 t
f(t) = 972 · (–)
9
Je kunt voor elke tijdseenheid de bijbehorende groeifactor en
groeipercentage berekenen
Bij een groeifactor hoort een tijdseenheid. Verandert de tijdseenheid, dan
moet je ook de groeifactor aanpassen.
Voorbeeld
De groeifactor per 3 uur is 1,2.
Bereken de groeifactor en groeipercentage per uur, per dag en per vier uur.
Oplossing
1
per uur (–1 deel van 3 uur)
groeifactor = 1,2 3 ≈ 1,063; het groeipercentage is 6,3%
per dag (8 keer 3 uur)
groeifactor = 1,28 ≈ 4,300; het groeipercentage is 330%
per 4 uur (4 keer 1 uur)
groeifactor = (1,2–3)4 ≈ 1,275; het groeipercentage is 27,5%
3
–
1
Je kunt exponentiële vergelijkingen en ongelijkheden oplossen
Een exponentiële vergelijking kun je altijd met de rekenmachine oplossen.
Soms is het mogelijk de oplossing exact te berekenen.
Voorbeeld
Los exact op: –1 · 32t = 81
Los op: 24 · 23t = 72
Los op: 80 · 1,061t > 100 · 1,05t
Oplossing
Oplossing
24 · 2 3t = 72, dus 23t = 3
Invoer: Y1 = 2 ^ (3X) en Y2 = 3
Venster: X min = 0, X max = 1
Ymin = 0, Ymax = 6
G-Solve, ISCT geeft X = 0.52832083
De oplossing is dus t ≈ 0,528
Oplossing
Voer in:
Y1 = 100 · 1,05 ^ X
Y2 = 80 · 1,061 ^ X
9
–1 · 32t = 81
9
1
2t
4
––
2 ·3 =3
3
3–2 · 32t = 34
32t–2 = 34
2t – 2 = 4
2t = 6
t=3
Intersect geeft snijpunt (21,41; 284,25)
De oplossing is dus t > 21,41
89
JOBNAME: 9001.60717.9.MW9.hav PAGE: 17 SESS: 22 OUTPUT: Fri Jan 11 11:12:01 2008
/een/wolters/301/882/103⫺4⫺
Hoofdstuk 3
Test jezelf
Op de computer vind je ook een Test jezelf met andere opdrachten.
T-1
a
b
c
T-2a
b
c
In een laboratorium wordt de groei van een bacteriesoort bestudeerd.
Het blijkt dat de hoeveelheid bacteriën 共in milligram兲 elk kwartier
verdubbelt. Bij de eerste meting, om 9.30 uur ’s morgens, werd 32
milligram bacteriën gevonden. Vervolgens werd elk kwartier gemeten.
Hoeveel milligram bacteriën werd om 10.30 uur gemeten?
Geef een functievoorschrift van H in de vorm H共t兲 ⫽ b ⭈ g t
Hierbij is H de hoeveelheid bacteriën in milligram en t is de tijd in
kwartieren met t ⫽ 0 om 9.30 uur.
Hoeveel milligram bacteriën zal er om 9.00 uur geweest zijn?
Deze opdracht hoort bij paragraaf 3-1.
Schrijf als een breuk: 4 ⫺1, 3 ⫺3, 共 52 兲 ⫺4
Schrijf als een macht van 2 of als een macht van 5.
1
1
0,125;
0,25
64 ;
25 ;
Schrijf als één macht van 7.
7 3 ⭈ 7 5; 7 ⫺1 ⭈ 7; 7 ⫺2 ⭈ 7 5
Deze opdracht hoort bij paragraaf 3-1.
T-3
a
b
c
Bij een groeiproces is de groeifactor per dag gelijk aan 1,78.
Hoe groot is de groeifactor en het groeipercentage per week?
Hoe groot is de groeifactor en het groeipercentage per 12 uur?
Geef ook de groeifactor en het groeipercentage per uur en per kwartier.
Deze opdracht hoort bij paragraaf 3-2.
T-4
a
b
Een groeiproces wordt beschreven door N共t兲 ⫽ 4,32 ⭈ 1,44 0,5t ⫺ 1 met t in uren.
Bereken de groeifactor per uur en de beginhoeveelheid.
Schrijf het voorschrift voor N in de vormN共t兲 ⫽ b ⭈ g t
Deze opdracht hoort bij paragraaf 3-3.
T-5
a
b
c
d
Los de volgende vergelijkingen exact op:
1
25 ⭈ 5 t ⫽ 25
t
7 ⭈ 3 ⫽ 63
0,25 x ⫺ 3 ⫽ 16 2 ⫹ 2x
3 t ⭈ 9 t ⫹ 4 ⫽ 27
1000 x ⫽ 1
100
Deze opdracht hoort bij paragraaf 3-4.
e
90
T-6
a
b
c
d
e
Los de volgende ongelijkheden op.
Rond af op één decimaal.
24 ⭈ 2,3 t ⬍ 100
0,03 ⭈ 1,78 x ⬎ 1
5 ⭈ 2 n ⬍ 0,1
3 ⭈ 5 x ⫹ 3 ⬍ 20
0,8 2x ⬎ 10
Deze opdracht hoort bij paragraaf 3-4.
JOBNAME: 9001.60717.9.MW9.hav PAGE: 18 SESS: 22 OUTPUT: Fri Jan 11 11:12:01 2008
/een/wolters/301/882/103⫺4⫺
Hoofdstuk 3
T-7
a
b
c
d
T-8
a
b
c
d
T-9
a
b
c
d
e
? T-10a
b
c
Het percentage huishoudens dat een dvd-speler bezit, is de laatste jaren
exponentieel gegroeid. Op 1 januari 1998 was er in 6% van de huishoudens
een dvd-speler aanwezig, op 1 januari 2002 was dat 48%.
Bereken de groeifactor per jaar. Rond af op twee decimalen.
Bereken de groeifactor per kwartaal.
Hoe groot is het percentage huishoudens met een dvd-speler op 1 april
2001?
Men neemt aan dat het percentage huishoudens met een dvd-speler
exponentieel zal blijven stijgen tot 90%.
Ga na wanneer dat het geval zal zijn. Noem het juiste kwartaal en jaar.
Autobanden van merk A verliezen per maand 3% van hun spanning. Deze
banden zijn bij 2,2 bar volledig op spanning. Als de spanning minder is
dan 1,8 bar, moet de band weer worden opgepompt.
Stel een formule op voor de spanning S in bar, m maanden na het
oppompen.
Geef de ongelijkheid die hoort bij: de band is nog voldoende op spanning.
Los die ongelijkheid op.
Met welke tussenpozen, gerekend in dagen, moet de band worden
opgepompt? Neem voor een maand 30 dagen.
De bepaling van de ouderdom van allerlei opgegraven
voorwerpen en beenderen is een belangrijk onderdeel van de
archeologie. Een bekende methode daarvoor is de
C 14-methode. Deze werkt als volgt.
Ieder levend organisme bevat koolstof-14, en wel
0,000 001 mg C 14 per kg organisch materiaal. De hoeveelheid
C 14 daalt na afsterving door radioactief verval. Na 5730 jaar
is de helft van de oorspronkelijke hoeveelheid over.
Hoeveel C 14 bevat een boom van 1000 kg, 5730 jaar nadat
deze is doodgegaan? En na 11 460 jaar?
Na hoeveel jaar is er nog 81 deel van de C 14 over?
31
Na hoeveel jaar is 32
deel van de C 14 verdwenen?
In een archeologische vondst blijkt nog 4% van de
oorspronkelijke hoeveelheid C 14 aanwezig te zijn.
Hoe oud is die vondst ongeveer?
Er is een oude lijkwade die volgens de overlevering van Karel de Stoute is
geweest. Het C 14 gehalte van deze lijkwade bleek in 1997 86,19% te zijn.
Karel de Stoute leefde van 415 tot 463.
Kan dit de lijkwade van Karel de Stoute geweest zijn?
Je moeder doet je een voorstel: ze verhoogt elk jaar je zakgeld met 1 euro
of met 5%. Welke keus maak je? Waar hangt deze keus vanaf?
Bedenk een voorbeeld van een exponentiële vergelijking die je exact kunt
oplossen.
Waarom hoort bij een groeipercentage van 30% per jaar niet een
groeipercentage van 15% per halfjaar?
91
JOBNAME: 9001.60717.9.MW9.hav PAGE: 19 SESS: 18 OUTPUT: Fri Jan 11 11:12:01 2008
/een/wolters/301/882/105⫺4⫺
Hoofdstuk 5
Samenvatting
T
Parallelprojectie
E
Als je een tekening van een ruimtelijke figuur maakt in
parallelprojectie, dan moet je alle lijnen die in werkelijkheid
evenwijdig zijn ook evenwijdig tekenen.
Dat wil niet zeggen dat je alle vlakken in de tekening dan op
ware grootte ziet. Alleen de vlakken die evenwijdig aan het
tekenvlak zijn, zie je op ware grootte.
In de parallelprojectie van de piramide hiernaast zie je
daarom geen enkel vlak op ware grootte.
V
F
C
D
A
B
T
Uitslag
Een uitslag van een ruimtelijke figuur is een bouwplaat van
de figuur zonder plakranden. In zo’n uitslag zijn alle vlakken
op ware grootte te zien.
In de uitslag hiernaast kun je zien dat de piramide T.ABCD is
opgebouwd uit een vierkant en vier gelijkzijdige driehoeken.
D
C
T
T
A
B
T
Aanzicht
In een aanzicht van een ruimtelijke figuur zie je alleen de
lijnstukken die evenwijdig aan het tekenvlak zijn, op ware
grootte.
Daarom worden van ruimtelijke figuren vaak drie aanzichten
getekend: een vooraanzicht, een bovenaanzicht en een
zijaanzicht.
D
T
C
T
T
A
B
A
B
B
C
Doorsnede
Een doorsnede van een vlak V met een ruimtelijke figuur is
de figuur van het snijvlak die ontstaat als je de ruimtelijke
figuur langs vlak V doorsnijdt.
Hiernaast is op ware grootte de doorsnede BCEF getekend
van een vlak V met de piramide T.ABCD.
Je kunt een ruimtelijke figuur tekenen in parallelprojectie en er aanzichten
of een uitslag van maken
154
> Bij een ruimtelijke tekening 共in parallelprojectie兲 van een lichaam teken
je alleen de vlakken die evenwijdig aan het tekenvlak zijn op ware
grootte.
De ribben die in werkelijkheid loodrecht op het tekenvlak staan teken je
verkort en onder een hoek van ongeveer 60° met een verticale lijn.
Je kunt daarbij ook gebruik maken van roosterpapier.
> Bij een uitslag van een lichaam teken je alle ribben op ware grootte.
> Bij een aanzicht van een lichaam teken je alleen de ribben die
evenwijdig aan het tekenvlak zijn op ware grootte.
C
E
V
F
B
JOBNAME: 9001.60717.9.MW9.hav PAGE: 20 SESS: 18 OUTPUT: Fri Jan 11 11:12:01 2008
/een/wolters/301/882/105⫺4⫺
Hoofdstuk 5
Voorbeeld
De piramide T.ABCD heeft een rechthoekig grondvlak. De top T ligt recht
boven D. AB = 3, BC = 2 en TD = 2. Teken deze piramide in
parallelprojectie.
Teken het boven- en het vooraanzicht van bovengenoemde piramide
T.ABCD.
T
D
Oplossing
Vlak CDT is evenwijdig aan het tekenvlak; in 䉭CDT zijn alle zijden en alle
hoeken op ware grootte getekend.
De ribben AD en BC worden verkort getekend. Deze lijnen maken een
hoek van ongeveer 60° met een verticale lijn.
In het bovenaanzicht zie je het grondvlak ABCD op ware grootte. Omdat
T recht boven D ligt, vallen T en D in het bovenaanzicht samen.
D,T
C
zijaanzicht
A
B
vooraanzicht
In het vooraanzicht zie je DCT op ware grootte. De volgende
punten vallen samen: A en D, B en C.
T
C
boven
voor
A
B
A,D
B,C
Je kunt een doorsnede van een vlak met een ruimtelijke figuur maken en die
doorsnede op ware grootte tekenen
Bij het tekenen van een doorsnede maak je vaak gebruik van de eigenschap
dat het snijvlak met twee evenwijdige vlakken van het lichaam evenwijdige
snijlijnen heeft.
Voorbeeld
Bij de piramide T.ABCD van de vorige bladzijde is M het midden van DT.
Teken de doorsnede van vlak ABM met de piramide op ware grootte.
Oplossing
1 Het vlak ABM snijdt zijvlak CDT in de lijn door M evenwijdig aan AB.
De doorsnede is vierhoek ABNM. MN is half zo lang als AB.
2 ABNM is een trapezium met rechte hoeken bij A en bij M. Voor de tekening op ware
grootte heb je alleen nog de ware lengte van AM nodig. Die vind je in het zijaanzicht.
3 Hieronder is eerst het zijaanzicht en vervolgens de doorsnede op ware grootte getekend.
T
T
M
M
1,5
N
N
M
D
A
C
B
A
D
A
3
B
155
JOBNAME: 9001.60717.9.MW9.hav PAGE: 21 SESS: 18 OUTPUT: Fri Jan 11 11:12:01 2008
/een/wolters/301/882/105⫺4⫺
Hoofdstuk 5
Test jezelf
Op de computer vind je ook een Test jezelf met andere opdrachten.
T-1
Van een piramide T.ABCD is het grondvlak een vierkant met zijden van 8 cm.
De top T ligt op een hoogte van 6 cm loodrecht boven het midden van ABCD.
Maak een tekening van deze piramide in parallelprojectie.
Deze opdracht hoort bij paragraaf 5-1.
T-2
Hiernaast zie je een deel van de uitslag van een piramide
T.ABCD. Het grondvlak is een trapezium met
AB ⫽ BC ⫽ 2 cm en CD ⫽ 4 cm.
De hoogte AT van de piramide is 3 cm.
Hoe kun je uit deze tekening afleiden dat de top T recht
boven punt A ligt?
Om de uitslag af te maken, moet je nog de zijvlakken van de
piramide aan de zijden AD en DC tekenen.
Je kunt zien hoe met een passer de lengte van ribbe BT uit
driehoek ABT is overgebracht naar driehoek BCT.
Gebruik passer en geodriehoek om de uitslag op deze manier
af te maken. Geef alle rechte hoeken duidelijk aan.
Teken zij-, boven- en vooraanzicht van deze piramide.
Deze opdracht hoort bij paragraaf 5-2.
a
b
c
T-3
a
b
c
T-4
a
b
c
d
156
C
4
D
2
2
A
B
3
T
Een glazen kubus is gedeeltelijk met water gevuld. De kubus
wordt zo gehouden dat het wateroppervlak de vorm van een
vijfhoek heeft.
Leg uit waarom de vijfhoek twee paar evenwijdige zijden heeft.
Er wordt water bijgegoten totdat het wateroppervlak punt F
bereikt. De stand van de kubus verandert niet. Teken het
nieuwe wateroppervlak.
In dezelfde stand van de kubus wordt er nog meer water
bijgegoten. De vorm van de doorsnede verandert daardoor.
Vanaf welk moment heeft de doorsnede de vorm van een
driehoek?
Deze opdracht hoort bij paragraaf 5-3.
Hiernaast zie je een regelmatig achtvlak 共octaëder兲. Alle
ribben hebben lengte 4.
Teken een bovenaanzicht van de octaëder.
Teken een vooraanzicht van de octaëder. Bereken daarvoor
eerst hoe hoog punt T boven vlak ABCD ligt.
M is het midden van ribbe DT. Teken de doorsnede van de
octaëder met het vlak door A, M en C. Bedenk eerst waar dit
vlak de ribbe BU snijdt.
Welke vorm heeft die doorsnede volgens jou?
Deze opdracht hoort bij paragraaf 5-4.
T
F
T
M
D
C
A
B
U
JOBNAME: 9001.60717.9.MW9.hav PAGE: 22 SESS: 18 OUTPUT: Fri Jan 11 11:12:01 2008
/een/wolters/301/882/105⫺4⫺
Hoofdstuk 5
T-5
a
b
c
d
T-6
a
b
c
d
?
T-7
a
b
c
d
Het vakantiehuis hiernaast heeft een dragende
constructie van balken. Er zijn balken die
driehoekige muren begrenzen 共soort I兲, er zijn
nokbalken 共soort II兲 en er zijn balken die van
de hoekpunten op de grond naar het snijpunt
van de nokbalken lopen 共soort III兲. De
afmetingen van het huis staan in de tekening.
Hoe groot is de totale lengte van alle balken die
zijn gebruikt?
Teken in het plaatje een doorsnede die alleen
balken van soort III bevat.
Teken de ware vorm van de doorsnede van
opdracht b op schaal 1 ⬊ 100.
Op 3 meter hoogte is een vloer in het huisje
gemaakt. Teken de vorm van deze vloer op
schaal 1 ⬊ 100.
Deze opdracht hoort bij paragraaf 5-5.
In de noordelijke provincies vind je op enkele plaatsen
kerktorens met een spits van de afgebeelde vorm.
Neem aan dat de toren een vierkant grondvlak heeft met
zijden van 6 meter lengte en dat de spits 共dat is het gedeelte
met de vier ruitvormige dakvlakken兲 10 meter hoog is.
Maak je tekeningen op schaal 1 ⬊ 100.
Teken een boven- en een vooraanzicht van de spits.
Bereken de lengte van de korte diagonaal van een ruitvormig
dakvlak.
Maak een tekening van de spits in parallelprojectie.
In de spits bevindt zich op 7,5 meter vanaf de top een
共horizontale兲 vloer. Teken deze vloer ‘op ware grootte’.
Hiernaast is een kubus getekend in parallelprojectie. Je kunt
deze kubus ook weergeven in een uitslag of met aanzichten.
Wat zijn de voor- en nadelen van een uitslag bij de
beschrijving van een lichaam?
Wat zijn de voor- en nadelen van aanzichten?
In de kubus hiernaast zijn de punten P, Q en R getekend.
Waarom kun je de doorsnede van vlak PQR met de kubus
niet tekenen als je alleen gebruik maakt van de regels uit dit
hoofdstuk?
Als je weet dat P en Q op dezelfde hoogte liggen, kun je die
doorsnede dan wel tekenen? Hoe dan?
H
E
R
G
F
P
D
Q
A
C
B
157
JOBNAME: 9001.60717.9.MW9.hav PAGE: 17 SESS: 21 OUTPUT: Fri Jan 11 11:12:01 2008
/een/wolters/301/882/106⫺4⫺
Hoofdstuk 6
Samenvatting
Inhoud en oppervlakte
Voor het berekenen van de inhoud en oppervlakte van een
lichaam kun je formules gebruiken.
Inhoud balk, prisma of cilinder:
I=G·h
Hierin is G de oppervlakte van het
grondvlak en h de afstand van
grond- en bovenvlak.
Inhoud piramide of kegel:
Inhoud bol: I = –4 · π · r3
I = –1 · G · h
3
4 3
Oppervlakte bol: A = –πr
Hierin is G de oppervlakte van het
grondvlak en h de afstand van de
top tot het grondvlak.
Hierin is r de straal van de bol.
3
3
Uitslag van een cilinder- en kegelmantel
Een cilindermantel kun je uitvouwen tot een rechthoek.
Bij een kegelmantel krijg je een deel van een cirkel.
a
a
h
h
h
r
r
2πr
Je kunt de oppervlakte en inhoud na vergroten of verkleinen berekenen.
Als alle afmetingen van een ruimtelijke figuur k keer zo groot
worden, dan wordt de oppervlakte k 2 keer zo groot en wordt
de inhoud k 3 keer zo groot.
Voorbeeld
Van een model van een schip in schaal 1 : 80 geldt:
De oppervlakte van het dek is 0,075 m2 en de inhoud van het vrachtruim is 2,5 liter.
Bereken de oppervlakte van het dek en de inhoud van het vrachtruim van het echte schip.
Oplossing
De oppervlakte van het dek is 802 × 0,075 = 480 m2.
De inhoud van het vrachtruim is 803 × 2,5 = 1 280 000 liter, dat is 1280 m3.
174
2πr
JOBNAME: 9001.60717.9.MW9.hav PAGE: 18 SESS: 19 OUTPUT: Fri Jan 11 11:12:01 2008
/een/wolters/301/882/106⫺4⫺
Hoofdstuk 6
Je kunt de inhoud van een lichaam berekenen
Soms moet je het lichaam opdelen in bekende vormen
waarvan je de inhoud met een formule kunt berekenen.
De hoogte meet je altijd loodrecht het grondvlak.
Voorbeeld
Van het lichaam hiernaast staan de afmetingen in de tekening.
Bereken de inhoud van het lichaam ABCD.EF.
E
Oplossing
Je kunt ABCD.EF verdelen in het prisma ADE.BPF en in de
piramide F.BPC.
De inhoud van het prisma is 10 · 3 = 30.
F
4
D
De oppervlakte van het grondvlak BPC is –1 · 5 · 4 = 10.
2
3
P
4
C
5
1
Dus is de inhoud van de piramide –1 · 10 · 4 = 13–.
3
1
1
Inhoud ABCD.EF is 30 + 13– = 43–.
3
3
3
3
A
3
B
Je kunt de oppervlakte van een kegelmantel berekenen
Als je een kegelmantel openknipt en openvouwt, krijg je een
deel van een cirkel waarvan je de oppervlakte kunt
berekenen.
Voorbeeld
Gegeven is een kegel met hoogte 4.
De straal van de grondcirkel is 3.
Bereken de oppervlakte van de kegelmantel.
Oplossing
De omtrek van de grondcirkel is 2 · π · 6 = 6π.
De straal van de cirkelsector die ontstaat als je de kegel openknipt is
a = √32 + 42 = 5 en dus is de omtrek van de hele cirkel 2 · π · 5 = 10π.
6
De uitslag is dus ––
-de deel van een cirkel met straal 5.
10
T
a
4
5
3
grondcirkel
opengeknipte
en opengevouwen
kegelmantel
De oppervlakte van de kegelmantel is 0,6 · π · 52 = 15π ≈ 47,1.
175
JOBNAME: 9001.60717.9.MW9.hav PAGE: 19 SESS: 21 OUTPUT: Fri Jan 11 11:12:01 2008
/een/wolters/301/882/106⫺4⫺
Hoofdstuk 6
Test jezelf
Op de computer vind je ook een Test jezelf met andere opdrachten.
T-1
a
b
c
H
Balk ABCD.EFGH heeft ribben AB ⫽ AD ⫽ 4 cm en
AE ⫽ 10 cm.
Een cilinder met hoogte 10 cm past precies in deze balk.
Bereken de inhoud van deze cilinder.
Punt P ligt op ribbe AE met AP ⫽ 7cm.
Punt Q ligt op ribbe BF met BQ ⫽ 7cm.
Bereken de inhoud van APHD.BQGC
Punt R ligt op ribbe DH zó dat DR ⫽ 3cm.
Punt S ligt op ribbe CG zó dat CS ⫽ 3cm.
Bereken de inhoud van APQB.RHGS.
Deze opdracht hoort bij paragraaf 6-1.
E
F
3
P
a
b
c
d
T-3
a
b
T-4
a
b
c
R
S
7
3
D
C
B
Melk werd vroeger altijd bij de boeren opgehaald in
melkbussen met de vorm die hiernaast is getekend.
In de tekening zijn de inwendige maten aangegeven.
Hoeveel liter gaat er in de melkbus als deze tot de bovenrand
van de brede cilinder wordt gevuld?
Het middelste deel is een kegel waar de top afgehaald is.
Teken een zijaanzicht van dit middelste deel op schaal 1 ⬊ 5.
Bereken de inhoud van het middelste deel door eerst de
inhoud te berekenen van de hele kegel en daar de inhoud van
de afgesneden top van af te trekken.
Bereken de totale inhoud van deze melkbus.
Deze opdracht hoort bij paragraaf 6-2.
Een betonnen paal heeft de vorm van een cilinder met daarop
een halve bol. De diameter van de paal is 20 cm en de totale
lengte is 240 cm. Beton weegt ongeveer 2200 kg per m 3.
Bereken het gewicht van deze paal.
Na plaatsing steekt de paal nog 140 cm uit de grond.
Het boven de grond stekende deel van de paal wordt
geschilderd met betonverf. Eén liter van de verf is voldoende
voor 8 m 2.
Hoeveel liter verf is nodig om 25 van deze palen te schilderen?
Deze opdracht hoort bij paragraaf 6-3.
In het lichaam ABC.DEF staan de opstaande ribben loodrecht
op het grondvlak. Het grondvlak ABC is een rechthoekige
driehoek met ⬔C ⫽ 90⬚.
Bereken de inhoud van ABC.DEF.
Een kegel heeft punt F als top, terwijl de grondcirkel door
punt A gaat. Bereken de inhoud van deze kegel.
Bereken de oppervlakte van de kegelmantel.
Deze opdracht hoort bij paragraaf 6-4.
F
6
C
D
2
A
176
7
Q
A
T-2
G
12
E
5
2
B
JOBNAME: 9001.60717.9.MW9.hav PAGE: 20 SESS: 19 OUTPUT: Fri Jan 11 11:12:01 2008
/een/wolters/301/882/106⫺4⫺
Hoofdstuk 6
T-5
a
b
c
T-6
a
b
c
d
T-7
a
b
c
d
e
? T-8a
b
Een kubus met ribbe 12 is door vijf
evenwijdige vlakken in zes stukken verdeeld.
Elk van de vlakken gaat door hoekpunten of
door de middens van een aantal ribben.
Deel I is de piramide met top E, deel VI is de
piramide met top C.
Bereken de inhoud van de delen I en VI.
Deel I en II samen vormen ook een piramide
met top C. Leg uit waarom deze grote piramide
een inhoud heeft die acht keer zo groot is als de
inhoud van piamide 1.
Bereken de inhoud van delen II, V, III en IV.
Deze opdracht hoort bij paragraaf 6-5.
H
E
G
F
D
A
C
B
De figuur hiernaast is een kubo-octaëder, dat is
een figuur die ontstaat door in elk zijvlak van
een kubus de middens van de ribben met elkaar
te verbinden. Vervolgens wordt bij elk hoekpunt
een piramide van de kubus afgesneden.
Neem aan dat deze kubo-octaëder is ontstaan
uit een kubus met ribben van 12 cm.
Bereken de oppervlakte van één vierkant
grensvlak van de kubo-octaëder.
Bereken de oppervlakte van één driehoekig
grensvlak van de kubo-octaëder.
Bereken de totale oppervlakte van de
kubo-octaëder.
Bereken de inhoud van de kubo-octaëder.
Hiernaast staat een balk van 6 bij 4 bij 5 cm.
Punt K ligt op ribbe AE met AK ⫽ 0,5 cm en
punt L ligt op ribbe CG met GL ⫽ 0,5cm.
Toon aan dat vierhoek BKHL vier gelijke zijden
heeft.
Bereken de lengte van KL en van BH
Wat voor soort vierhoek is BKHL?
Bereken de oppervlakte van BKHL.
Rechthoek ABCD past precies in een cirkel.
Bereken de oppervlakte en de omtrek van deze
cirkel.
H
G
L
E
F
5
D
C
K
A
4
6
B
Een bol en een kubus hebben dezelfde inhoud.
Welke oppervlakte is groter, die van de kubus of die van de bol?
Van een kegel wordt de hoogte verdubbeld terwijl de straal van de
grondcirkel gelijk blijft.
Welk effect heeft dit op de oppervlakte van de kegelmantel?
177
JOBNAME: 9001.60717.9.MW9.hav PAGE: 19 SESS: 18 OUTPUT: Fri Jan 11 11:12:01 2008
/een/wolters/301/882/107⫺4⫺
Hoofdstuk 7
Samenvatting
Verdubbelingstijd en halveringstijd
De verdubbelingstijd bij een exponentieel groeiproces is de
tijd die nodig is om een hoeveelheid te verdubbelen. De
halveringstijd is de tijd die nodig is om een hoeveelheid te
halveren.
40
×2
30
20
Logaritme en grondtal
Met een logaritme kun je de exacte oplossing van een
exponentiële vergelijking noteren.
Zo is 3log 5 de exacte oplossing van de vergelijking 3 x ⫽ 5.
Ook is 3log 5 de tijd die nodig is bij groeifactor 3 om een
hoeveelheid 5 keer zo groot te laten worden. Het getal 3 in
3
log 5 heet het grondtal van de logaritme. Het grondtal 10
wordt meestal weggelaten. Met log 7 wordt 10log 7 bedoeld.
verdubbelingstijd
×2
10
verdubbelingstijd
0
2
0
6
4
8
10
y
Logaritmische functies
4
Functies van de vorm f共x兲 ⫽ log x noem je logaritmische
functies. Je kunt elke logaritmische functie f共x兲 ⫽ glog x
schrijven als f共x兲 ⫽ log x
log g
De grafiek van f共x兲 ⫽ glog x is stijgend als g ⬎ 1 en dalend als
0 ⬍ g ⬍ 1. De grafiek heeft een verticale asymptoot x ⫽ 0.
g
3
f(x) = 2log x
2
1
Rekenregels voor logaritmen
Voor het rekenen met logaritmen gelden de volgende rekenregels:
g
log a ⫹ glog b ⫽ glog ab met g ⬎ 0, g ⫽ 1, a ⬎ 0 en b ⬎ 0
g
log a ⫺ glog b ⫽ glog a met g ⬎ 0, g ⫽ 1, a ⬎ 0 en b ⬎ 0
b
g
log a p ⫽ p ⭈ glog a
met g ⬎ 0, g ⫽ 1 en a ⬎ 0
–1
O
Voor de verdubbelingstijd geldt g t ⫽ 2, voor de halveringstijd g t ⫽ 21
.
Voorbeeld
Een groeiproces verloopt volgens de functie: f(t) = 1240 . 1,07t met t in jaren.
Hoe groot is de verdubbelingstijd?
Oplossing
Er moet dan gelden 1,07t = 2
Dan is t = 1,07log 2 ≈ 10,24 jaar.
212
2
3
–1
–2
–3
Je kunt een verdubbelingstijd of een halveringstijd berekenen bij
een exponentieel groeiproces
1
–4
–1
g(x) = 2log x
4
5
x
JOBNAME: 9001.60717.9.MW9.hav PAGE: 20 SESS: 18 OUTPUT: Fri Jan 11 11:12:01 2008
/een/wolters/301/882/107⫺4⫺
Hoofdstuk 7
Je kunt exponentiële vergelijkingen en logaritmische vergelijkingen exact
oplossen en de oplossing benaderen
De vergelijking g t ⫽ a heeft als oplossing: t ⫽ glog a ⫽ log a
log g
De vergelijking glog x ⫽ c heeft als oplossing x ⫽ g c
Bij het exact oplossen van logaritmische vergelijkingen maak je gebruik
van de rekenregels voor logaritmen.
Voorbeelden
Los exact op: 3 · 7 2x = 12
Oplossing
7 2x = 4 (delen door 3)
2x = 7log 4
x = –1 · 7log 4 (exact)
2
log 4
x = –1 · ––––
≈ 0,3562 (benadering)
2 log 7
Los exact op: –1 · 4log (2t – 8) = 1–1
2
2
Los exact op: –1 · 2log 5 + 2log x = 4
Oplossing
1
– 8) = 3 (delen door –)
2
Oplossing
2log 5–1 + 2log x = 4 (rekenregel)
4log (2t
2log 1
–x
2t – 8 = 43 = 64
2t = 72
t = 36
= 4 (rekenregel)
5
1– x = 24 = 16
5
x = 80
Je kunt een logaritmische functie onderzoeken
Bij zo’n onderzoek gaat het bijvoorbeeld om het domein en bereik en om
de asymptoten.
Voorbeeld
1
Geef het domein en bereik van de functie f(x) = –2log (3x – 9)
Welke asymptoot heeft de grafiek van f?
y
8
6
Oplossing
Voor het domein moet gelden: 3x – 9 > 0 dus x > 3
Het domein van f is ⟨3, →⟩ en het bereik is
De grafiek van f heeft als verticale asymptoot de lijn x = 3
4
2
O
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x
–2
–4
Je kunt een logaritmische ongelijkheid oplossen
Bij de oplossing speelt vaak het domein van de logaritmische functie een rol.
Voorbeeld
Los op: 3log (5 – x) ≤ 2
Oplossing
Je lost eerst de vergelijking 3log (5 – x) = 2 op.
Met de rekenregel vind je: (5 – x) = 32. Hieruit volgt x = –4
Hiernaast zijn de grafieken getekend van f(x) = 3log (5 – x) en y = 2
Het domein van f is ⟨←, 5⟩
De oplossing van de ongelijkheid is [–4, 5⟩
y
4
3
2
1
–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1
–1
–2
–3
–4
–5
–6
–7
–8
–9
1 2 3 4 5 6
x
213
JOBNAME: 9001.60717.9.MW9.hav PAGE: 21 SESS: 18 OUTPUT: Fri Jan 11 11:12:01 2008
/een/wolters/301/882/107⫺4⫺
Hoofdstuk 7
Test jezelf
Op de computer vind je ook een Test jezelf met andere opdrachten.
T-1
a
b
c
T-2a
b
c
T-3
a
b
c
d
T-4
Paulien opent een spaarrekening. De rente bedraagt 7% op jaarbasis.
Hoe groot is de groeifactor per jaar?
Hoe groot is de groeifactor per maand?
Geef het antwoord in vier decimalen nauwkeurig.
Hoe groot is de verdubbelingstijd?
Deze opdracht hoort bij paragraaf 7-1.
Geef de exacte oplossing van de vergelijking 1,7 t ⫽ 8,3
Benader in drie decimalen nauwkeurig: log 645.
Hieronder staat een rij van 7 logaritmen.
Welke zijn gelijk aan een negatief geheel getal?
2
log 4, 2log 3, 2log 2, 2log 1, 2log 21 , 2log 31 , 2log 41
Deze opdracht hoort bij paragraaf 7-2.
Een patiënt krijgt 100 mg geneesmiddel toegediend door
inspuiting in het bloed. Per dag wordt door het lichaam 40%
van de nog aanwezige hoeveelheid afgebroken.
Geef een functievoorschrift waarmee de na t dagen nog
aanwezige hoeveelheid medicijn y共t兲 berekend kan worden.
Bereken na hoeveel tijd er nog 15 mg geneesmiddel in het
bloed zit. Geef je antwoord in uren nauwkeurig.
Schrijf de halveringstijd van dit afbraakproces op als een
logaritme.
Benader deze halveringstijd in uren nauwkeurig.
Deze opdracht hoort bij paragraaf 7-3.
Gegeven zijn de functies f共x兲 ⫽ 3log 共2x ⫺ 1兲,
g共x兲 ⫽ 3log 共1 ⫺ 2x兲 en h共x兲 ⫽ log 共1 ⫺ 2x兲
De grafieken zijn hiernaast getekend.
Waarom hebben alle drie grafieken dezelfde
verticale asymptoot?
Volgens de tekening hebben twee van de
functies hetzelfde domein. Welke twee functies
zijn dat?
Geef aan welke grafiek bij welke functie hoort.
Benader de helling van grafiek C in de
oorsprong.
Deze opdracht hoort bij paragraaf 7-4.
y
3
1
3
a
b
c
d
2
A
B
1
–3
–2
–1
O
–1
–2
–3
214
C
1
2
3
x
JOBNAME: 9001.60717.9.MW9.hav PAGE: 22 SESS: 18 OUTPUT: Fri Jan 11 11:12:01 2008
/een/wolters/301/882/107⫺4⫺
Hoofdstuk 7
T-5
a
b
c
Gegeven is de functie f共x兲 ⫽ 3log 27x 2
Plot en schets de grafiek van f.
Geef het domein van f.
Voor x ⬎ 0 is het functievoorschrift van f te
schrijven als f共x兲 ⫽ 3 ⫹ 2 ⭈ 3log x
Toon dat aan door gebruik te maken van de
rekenregels voor logaritmen.
Deze opdracht hoort bij paragraaf 7-5.
T-7
Iemand wil € 7000,- op een bank zetten tegen een zodanige rente dat zijn
kapitaal in 20 jaar is verdubbeld.
Welke rentepercentage hoort hier bij?
Hij beweert dat als dit rentepercentage vanaf het begin wordt verdubbeld,
het kapitaal dan in 10 jaar € 14.000,- zal bedragen.
Toon aan dat zijn bewering niet juist is.
Na hoeveel jaar bereikt hij met het rentepercentage uit b een verdubbeling
van zijn kapitaal?
a
b
c
T-8
a
b
c
d
e
? T-9a
b
c
d
T-6
De functies f en h zijn dezelfde functies als
in opdracht T-4:
f共x兲 ⫽ 3log 共2x ⫺ 1兲 en h共x兲 ⫽ log 共1 ⫺ 2x兲
Los exact op: f共x兲 ⫽ ⫺1
Los op f共x兲 ⬎ 2
Los op h共x兲 ⱖ ⫺ 2
Deze opdracht hoort bij paragraaf 7-6.
1
3
a
b
c
Levend materiaal, zoals plantaardig of dierlijk weefsel, bevat
een geringe hoeveelheid van de radioactieve stof C-14. Vanaf
het sterftetijdstip van het organisme neemt deze radioactiviteit
langzaam af. Bij de zogeheten C-14 methode wordt nagegaan
hoeveel radioactieve stof nog aanwezig is, waarna de
ouderdom kan worden berekend. De formule hiervoor is
t ⫽ 5730 ⭈ 0,5log 共10 6 ⭈ C兲 met C de concentratie radioactieve
stof in mg per kg gewicht, en t de ouderdom in jaren.
Hoeveel mg radioactieve stof per kg bevat een levend
organisme?
Bij een opgraving wordt een scheepswrak gevonden. Het
wrak bevat 8·10 -7 mg C-14 per kg.
Kan dit scheepswrak uit de Romeinse tijd zijn?
In hoeveel jaar wordt de hoeveelheid C-14 gehalveerd?
Het verband tussen t en C kan ook geschreven worden in de
vorm t ⫽ a ⫹ b ⭈ 0,5log C
Toon dat aan en geef de waarden van a en b in gehele
getallen.
Het verband tussen t en C kan ook geschreven worden in de
vorm C ⫽ p ⭈ 0,5 qt, waarin C geschreven is als functie van t.
Laat dat zien en geef de exacte waarden van p en q.
Waarom is de verdubbelingstijd bij groeifactor 3 kleiner dan 1?
Voor welke waarden van a is 2log a een geheel getal?
Voor welke waarden van a is glog a een geheel getal?
Waarom heeft de grafiek van de functie f共x兲 ⫽ log 共x 2 ⫹ 1兲 geen asymptoot?
215