Analyse deel II

Analyse deel II
Liliane Van Maldeghem
Hendrik Van Maldeghem
Cursus voor
Latijn-Wiskunde, Economie-Wiskunde
en Wetenschappen-Wiskunde
2
Hoofdstuk 1
Exponentiële en logaritmische
functies
1.1
Exponentiële functies
1.1.1
Rationale exponenten
1.1.1.1
Natuurlijke exponenten
De meetkundige rij met algemene term un = k.an , k, a ∈ R is een afbeelding van de
verzameling van de natuurlijke getallen N0 in de verzameling van de reële getallen R. Het
getal a is de reden van de meetkundige rij. Nemen we bijvoorbeeld de meetkundige rijen
• 1, 2, 4, 8, . . . , 2n−1 , . . . is een meetkundige rij met reden 2;
1
1
, . . . , 5n−1
, . . . is een meetkundige rij met reden 15 ;
• 1, 51 , 25
• 1, 10, 100, . . . , 10n−1 , . . . is een meetkundige rij met reden 10;
• 1, −3, 9, −27, 81, . . . , (−3)n−1 , . . . is een meetkundige rij met reden −3, deze rij is
een alternerende rij.
Als we deze rijen in grafiek brengen zien we dat het zal mogelijk zijn ze uit te breiden van
N naar R met behoud van het voorschrift voor de eerste drie voorbeelden. De alternerende
meetkundige rij kunnen we wel uitbreiden maar niet met behoud van het voorschrift. Om
dit in te zien herhalen we de definities van natuurlijke, gehele en rationale exponenten.
Om de termen van een meetkundige rij te bepalen moeten we natuurlijke machten van
3
4
HOOFDSTUK 1. EXPONENTIËLE EN LOGARITMISCHE FUNCTIES
een reëel getal kunnen berekenen. Dit is steeds mogelijk volgens de definitie van een
natuurlijke macht:
(∀n ∈ N0 , ∀a ∈ R : an = a.a
. . . a}) ∧ ∀a 6= 0 : a0 = 1.
| {z
n×
Voorbeelden:
25 = 32, (−2)2 = (−2)(−2) = 4, ( 15 )0 = 1, (−3)3 = −27, 00 is onbepaald, (−π)0 = 1.
1.1.1.2
Gehele en rationale exponenten
Willen we een meetkundige rij uitbreiden dan zullen we elke reële macht van een reëel
getal moeten kunnen bepalen. We herhalen de definitie van gehele machten en rationale
machten:
1
∀n ∈ N, ∀a ∈ R0 : a−n = n .
a
√
z
n
n =
∀z ∈ Z, n ∈ N, ∀a ∈ R+
:
a
az .
0
1
1
Voorbeelden: 2−5 = 32
, (−3)−3 = − 27
, ( 73 )−1 = 73 , 0−5 ∈
/ R.
√
√
3
1
2
4
3
1
− 13
4
3
6
5 = 125, 8 = 2 , 375 = 25 9, (−5) ∈
/ R.
Opmerking: Een rationale macht van een negatief getal zal niet altijd mogelijk zijn
omdat een evenmachtswortel uit een negatief getal niet bestaat in R.
1.1.1.3
Rekenregels met rationale machten
p q
p+q
∀a ∈ R+
0 , ∀p, q ∈ Q : a .a = a
ap
= ap−q
aq
p p
p
∀a, b ∈ R+
0 , ∀p ∈ Q : a .b = (a.b)
∀a ∈ R+
0 , ∀p, q ∈ Q :
ap
a
= ( )p
p
b
b
+
p q
∀a ∈ R0 , ∀p, q ∈ Q : (a ) = apq
∀a, b ∈ R+
0 , ∀p ∈ Q :
Opmerking: De eerste eigenschap betekent voor een meetkundige rij met eerste term
a dat de (p + q)de term bekomen wordt door de pde term en de qde term met elkaar
te vermenigvuldigen. Vermits een meetkundige rij een functie is, kunnen we zeggen dat
het beeld van de som gelijk is aan het product van de beelden. Dit laatste kunnen we
gemakkelijk op grafiek zien.
1.1. EXPONENTIËLE FUNCTIES
5
Figuur 1.1: beeld van de som is het product van de beelden: bvb. 1, 52 · 1, 53 = 1, 55
1.1.2
Groeiprocessen – groeifactor
1. Het is bekend dat de eerste week na de geboorte een baby aan gewicht verliest. Volgens de normen van het kinderwelzijn moet de baby na deze week, als het voldoende
vitamine C,D en A inneemt in gewicht toenemen. Elke week neemt het gewicht met
5 percent toe. Suna is een schattige baby die bij de leeftijd van één week 2,75 kg
weegt.
(a) Wat zal het gewicht zijn van baby Suna bij een leeftijd van 13 weken?
We schrijven het gewicht g (in kg) op in functie van het aantal weken t:
gewicht na 1 week: g(1) = 2, 75
5
2, 75 = 2, 75(1+0, 05) = 2, 75·1, 05 = 2, 88
gewicht na 2 weken: g(2) = 2, 75+ 100
5
gewicht na 3 weken: g(3) = 2, 88 + 100
2, 88 = 2, 88(1 + 0, 05) = 2, 88 · 1, 05 =
2
2, 75 · 1, 05 = 3, 03
..
.
gewicht na 13 weken: 2, 75 · 1, 0512 = 4, 94
We kunnen nu algemeen het voorschrift opstellen van het gewicht van Suna in
functie van de tijd.
g(t) = 2, 75 · 1, 05t−1
Deze functie g(t) is een meetkundige rij met reden 1, 05.
6
HOOFDSTUK 1. EXPONENTIËLE EN LOGARITMISCHE FUNCTIES
Elke week wordt de hoeveelheid met een factor 1,05 vermenigvuldigd. Daarom
noemen we 1,05 de groeifactor over de periode van 1 week en de gegeven
p = 5% noemen we de procentuele groei per week.
(b) Reken nu eens uit hoeveel Suna volgens deze regel vandaag zou moeten wegen!
(c) Hoeveel is de groeifactor over een periode van twee weken en wat is dan de
procentuele groei?
Over een periode van twee weken moeten we het gewicht twee maal vermenigvuldigen met 1,05, d.w.z. dat we de hoeveelheid moeten vermenigvuldigen met
1, 052 . De groeifactor over de periode van 2 weken is dus 1, 052 = 1.1025
en de procentuele groei per twee weken is p = (1, 1025 − 1) · 100% = 10.25%.
(d) Hoeveel is de groeifactor over een periode van één maand en wat is dan de
procentuele groei?
De groeifactor over de periode van een maand ≈ 4, 5 weken is gelijk
aan 1, 054,5 = 1, 246. De procentuele groei per maand is p = (1, 246 − 1) ·
100% = 24, 6%.
(e) Hoeveel is de groeifactor over een periode van één dag en wat is dan de procentuele groei?
1
De groeifactor over de periode van één dag is gelijk aan 1, 05 7 = 1, 007.
De procentuele groei per dag is p = (1, 007 − 1) · 100% = 0, 7%.
(f) Na hoeveel dagen is het gewicht van Suna verdrievoudgd of m.a.w. is het gewicht 8.25 kg.
We maken de grafiek van de meetkundige rij a.d.h.v. een tabel met enkele
waarden.
We breiden de meetkundige rij uit naar R.
Zo verkrijgen we de zogenaamde exponentiële functie
y = 2, 75 · 1, 05x−1 .
Voor de grafiek van deze exponentiële functie moeten alle punten door een
vloeiende lijn verbonden worden. De functiewaarde is nu bepaald voor elke
reële waarde. Op de grafiek lezen we af dat Suna ongeveer 23,5 weken jong
is op moment dat het gewicht verdrievoudgd is. We hebben de exponentiële
vergelijking
2, 75 · 1, 05x−1 = 8, 25
grafisch opgelost.
Bij zo een groeiproces is de groei evenredig met de bestaande hoeveelheid. We
noemen deze groei een exponentiële groei (meetkundige rij). Deze groei is anders
1.1. EXPONENTIËLE FUNCTIES
7
Figuur 1.2: groei van Suna met de tijd in weken uitgedrukt
dan de lineaire groei waar er steeds een constante bedrag bijkomt onafhankelijk van
wat er reeds aanwezig is (rekenkundige rij).
2. De groei van een bevolkingsgroep is ook een exponentiële groei.
Deze bevolkingsgroep verdubbelt om de 21 jaar. Op een bepaald moment zijn er
10000 mensen. Hoeveel mensen zijn er na 10 jaar?
We willen de functie bepalen van het aantal mensen in functie van de tijd uitgedrukt
in jaren. Het aantal mensen N (t) drukken we best uit per duizend.
t
N (t) = 10 · 2 21
1
De groeifactor per jaar is 2 21 = 1, 0336. Hieruit volgt dat de procentuele groei per
jaar gelijk is aan 3, 36%. Per 21 jaar is het een groei van 100%.
10
Voor t = 10 verkrijgen we 10 · 2 21 = 13, 911. Na 10 jaar zijn er 13911 mensen in
deze bevolkingsgroep.
Opmerking: Bij een lineaire groei met dezelfde voorwaarden zouden er na 10 jaar
· t.
reeds bijna 15000 mensen zijn. De functie voor lineaire groei is N (t) = 10 + 10
21
Eens de 25 jaar overschreden zal de exponentiële groei groter zijn dan de lineaire
groei. Bijvoorbeeld, na 25 jaar zijn er met de exponentiële groei 22823 inwoners en
met de lineaire groei 21905. En na 40 jaar resp. 37445 en 29048 inwoners. Vergelijk
deze twee soorten groeiprocessen op grafiek.
3. Andere voorbeelden van gelijkaardige groeiprocessen zijn de groei van een bacteriënpopulatie en de groei van het aantal cellen.
In een laboratorium is er op 12 oktober een cultuur van 3 150 000 000 bacteriën.
Op 28 oktober zijn er reeds 4 238 000 000.
(a) Hoeveel bacteriën zullen er zijn op 14 november?
8
HOOFDSTUK 1. EXPONENTIËLE EN LOGARITMISCHE FUNCTIES
We drukken bij voorkeur de tijd uit in dagen en het aantal bacteriën in miljard.
N (t) = 3, 15 ·
Op 14 november zullen er 3, 15 ·
teriën zijn.
4,238
3,15
16t
4, 238
3, 15
16t
= 5, 808506783 bijna 6 miljard bac-
(b) Teken de grafiek van de functie met de computer. Leid hieruit af hoeveel tijd
er nodig is om het aantal bacteriën te verdubbelen, te verdrievoudigen en te
verzesvoudigen. Wat kan je hieruit besluiten?
We beschouwen een tabel met enkele aantallen:
t 12.9 34.7 50.3 72.3 87.6 109.5
N (t)
4
6
8
12
16
24
We merken eerst op dat de tijd nodig om het aantal te verdubbelen van 4 naar
8 dezelfde is als de tijd nodig om het aantal te verdubbelen van van 6 naar 12
en ook van 8 tot 16. Deze tijd is ongeveer 37.4 dagen. Om de hoeveelheid te
verdrievoudigen is er ongeveer 59.4 dagen nodig en om te verzesvoudigen is er
96.6 dagen nodig.
We merken op dat de tijd nodig voor het verdubbelen van de hoeveelheid plus
de tijd nodig voor het verdrievoudigen gelijk is aan de tijd nodig voor het
verzesvoudigen van de hoeveelheid. Dit is als volgt te verklaren:
t
NO at1 = 2N0
a1 =2
⇔
⇒ at1 at2 = 6 ⇔ at1 +t2 = 6 ⇔ N0 at1 +t2 = 6N0
t2
NO a = 3N0
at2 = 3
4. Stephanie houdt van ballonvaren. Stephanie heeft een ballon gehuurd. De ballon
heeft een volume van 15 liter en verliest een vierde van zijn draaggas in 3 dagen tijd.
Na 30% volumevermindering kan de ballon niet meer omhoog vliegen. Na hoeveel
dagen kan Stephanie niet meer vliegen?
Oplossing:
De verliesfactor over 3 dagen is 1 − 0, 25 = 0, 75. De verliesfactor over één dag is
1
0, 75 3 . Het procentueel verlies per dag is
1
p = (1 − (0, 75) 3 · 100% = 9, 14%.
De meetkundige rij heeft als algemene term
n
15 · 0, 75 3
Hierin is n uitgedrukt in dagen en het volume gas in liter.
1.1. EXPONENTIËLE FUNCTIES
9
Figuur 1.3: verlies van het volume van een ballon in dagen uitgedrukt
De uitbreiding van deze rij naar R is de exponentiële functie
n
y = 15 · 0, 75 3 .
We tekenen de grafiek van deze functie met de computer. Nu kunnen we de exponentiële vergelijking
x
15 · 0, 75 3 = 0, 7 · 15 = 10, 5
grafisch oplossen. Nu kunnen we bij benadering de waarde aflezen waarvoor het
volume nog 10,5 liter is. Deze waarde is 3, 6. Na ongeveer 3,6 dagen kan Stephanie
niet meer vliegen.
* Nog een voorbeeld van negatieve groei is de radioactieve desintegratie. De radioactiviteit van een stof neemt af met de tijd. Na een aantal jaren is de radioactiviteit tot
de helft herleid. Dit aantal jaren noemt men de halveringstijd T van de radioactieve
stof. Voor uranium 238 is T = 4, 5.109 j, voor koolstof 14 is T = 5745 j, voor radium
226 is T = 1620j, voor polonium 214 is T = 1, 6.10−4 j en voor cesium is T = 30j.
Is het aantal radioactieve stof op het tijdstip t = 0 gelijk aan A0 , dan wordt het
aantal radioactieve stof op het tijdstip t gegeven door
t
A = A0 .2− T
waarbij t uitgedrukt is in jaren.
5. Suna beschikt over 2500 EUR en zet het geld uit op de bank. Na anderhalf jaar is
dat bedrag toegenomen met 250 EUR. Hoeveel is de jaarlijkse rente van de bank
van Suna?
Oplossing: De groeifactor over anderhalf jaar is 1 + 0, 1 = 1, 1. Het voorschrift
van de functie waarin de tijd uitgedrukt wordt in jaar is
x
2x
2
y = 1, 1 1,5 = 1, 1 3 = (1, 1 3 )x
10
HOOFDSTUK 1. EXPONENTIËLE EN LOGARITMISCHE FUNCTIES
De groeifactor over één jaar is
2
1, 1 3 = 1, 0656
waaruit volgt dat de jaarlijkse rente gelijk is aan
(1, 0656 − 1) · 100 = 6, 56%.
Om je even te helpen realizeren dat een groeiprocess op korte tijd enorme afmetingen kan aannemen,
ziehier een kleine anekdote, gebaseerd op een waar verhaal.
Er was eens een land met een enorm leger. De koning had het gemunt op alle buurlanden, de buurlanden
daarvan, enz. Eén voor één veroverde hij ze allemaal tot wanneer het land van de koning zich uitstrekte
van zee tot oceaan. Al dat vechten was een zeer prettig en aangenaam tijdverdrijf geweest voor de koning,
en nu er geen land meer was om te veroveren verveelde de koning zich. Hij liet een bericht verspreiden
dat wie hem kon vermaken een fikse beloning kreeg. . .
Op een dag meldde zich een oud vrouwtje Stephanie aan het hof aan en vroeg om de koning te spreken.
Zij werd in audiëntie ontvangen en zei dat ze de koning kon vermaken. “Hoe wil je dat doen?” vroeg
de koning. “We gaan vechten, sire”, antwoordde Stephanie vastberaden. “Wat????!!!!, Vechten?” lachte
de koning, “maar vrouwtje, daar ben jij veel te oud voor, en bovendien sla ik geen vrouwen!”. “Meneer
de edelachtbare koning, ik bedoel natuurlijk dat we gaan vechten met MIJN spelregels. Kijk, hier is een
bord, en daar zijn pionnen, een koning, een dame, een toren, een loper,. . . ” en Stephanie legde uit hoe
een schaakspel in elkaar zat, want dat had ze bedacht. De koning verloor eerst wel een paar keren, maar
na een tijdje vond hij het zo plezant dat hij al zijn ex-buurlanden vergat en schaken de nationale sport
werd.
Toen sprak de koning tot Stephanie: “Ik denk wel dat jij erin geslaagd bent mij te vermaken. Wel, kies
zelf je beloning!”. Stephanie antwoordde: “Ach, edele heer de koning, ik vraag niet veel, al wat ik wil
is een schaakbord, met op het eerste vierkantje één graantje; op het tweede twee graantjes; op het derde
vier; op het vierde acht, en zo verder steeds het aantal graantjes verdubbelend.” De koning lachte even
en zei: “Kom binnen tien minuten eens terug, mij dienaren zijn al bezig.” Na tien minuten waren er
echter nog niet eens tien vakjes gevuld en de koning zei: “Ja, ’t is nogal veel telwerk, maar we hebben
alles onder controle. Kom misschien morgen eens weer, dan krijg je wat je vroeg.” Maar ook de volgende
morgen was het nog niet klaar. Na enkele dagen werd het duidelijk dat het land niet genoeg graan bezat
om het schaakbord te vullen. Gelukkig had de koning al die buurlanden veroverd. Alle landen moesten al
hun graan inleveren om het schaakbord te helpen vullen, maar nog was er geen genoeg. Ontgoocheld liet
de koning Stephanie roepen en sprak: “Tot mijn grote spijt kan ik U niet geven wat U vroeg!”. Stephanie
antwoordde: “Is dit niet contradictorisch en vooral zielig? Ik schenk U een boeiend spel, ontsproten
uit een geniaal brein, een spel dat de eeuwen zal trotseren, en als beloning vraag ik iets heel eenvoudig,
maar onze machtige de koning kan niet eens zijn belofte houden! Zie hoe relatief alles is: wat ben je met
landen veroveren, als je niet eens een simpele wens van een oud vrouwtje kunt vervullen? Nog een geluk
dat ik het damspel niet heb uitgevonden, want daar zijn er 100 in plaats van 64 vakjes!” De koning had
het begrepen. In plaats van wilde veroveringen ging hij zich nu toeleggen op edele wetenschappen met
Wiskunde op kop. Een gevecht met de denkwereld schonk hem na een overwinning ook meer voldoening
dan vroeger met zijn buurlanden. . .
OPGAVEN — 1 Als je weet dat 10 gr. graan 500 korrels telt bereken dan hoeveel ton graan er theoretisch nodig is om het schaakbord van de koning volledig te vullen.
1.1. EXPONENTIËLE FUNCTIES
11
2 * Kristof leent een bebrag K aan een intrest van 12% per jaar. Elk jaar betaalt Kristof een vast bedrag
X terug. Dit bedrag vertegenwoordigt de verschuldigde intrest en een gedeeltelijke kapitaalaflossing.
a. Wat is het nog verschuldigde kapitaal na 1 jaar, 2 jaar, 3 jaar, 20 jaar?
b. Veronderstel dat de lening over 20 jaar loopt, welk is dan het verband tussen het kapitaal K en
de vaste aflossing X?
c. Kristof wil een lening aangaan over 20 jaar en kan jaarlijks 5000 EUR aflossen. Hoeveel kan Kristof
lenen?
Oplossingen:
2 a. K.1, 12 − X, K.1, 122 − X.1, 12 − X, K.1, 123 − X.1, 122 − X.1, 12 − X, K.1, 1220 − X.1, 1219 −
X.1, 1218 − · · · − X;
20
−1
b. K.1, 1220 − X.( 1,12
1,12−1 ) = 0;
c. K = 37 347, 72 EU R.
TAAK ♣ 3 Tom zet een kapitaal van 20000 EUR uit tegen 4.6% intrest per jaar. Wat
is het kapitaal van Tom na 7 jaar?
Oplossing: 3 27400,08 EUR.
1.1.3
Reële exponenten
Beschouwen we alle rationale machten van 2, dan kunnen we de functie
f : R −→ R, x 7−→ 2x
met domein Q beschouwen.
De irrationale getallen zijn plakpunten van het domein Q van de functie y = 2x . We
kunnen dus de limiet beschouwen in deze plakpunten. We aanvaarden dat die limieten
bestaan
lim 2x = 2d
x→d
d
waarbij√ 2 de notatie is voor deze limiet.
√
B.v. 2 2 is de limietwaarde voor x naderend √naar 2 van y = 2x . Deze limietwaarde
vinden we op (afgerond) de rekenmachine: 2 2 = 2, 665144143. Op die manier is een
reëel exponent van 2 gedefinieerd.
We veralgemenen deze definitie voor alle positieve grondtallen verschillend van 0 en verschillend van 1. We aanvaarden de volgende stellingen zonder bewijs:
STELLING 1.1 Elke functie y = ax met a ∈ R+
0 is continu in elk rationaal getal, dus
in elk punt van haar domein.
STELLING 1.2 De limiet in elk irrationaal getal van de functie y = ax met domein Q
bestaat en is gelijk aan een reëel getal (a ∈ R+
0 ).
12
1.1.4
HOOFDSTUK 1. EXPONENTIËLE EN LOGARITMISCHE FUNCTIES
Definitie van exponentiële functie
De functie y = ax met domein Q is continu in elk punt van haar domein, dus voor elk
rationaal getal. Deze functie bezit een eigenlijke limiet in elk irrationaal getal. In elk
irrationaal getal geeft deze limietwaarde een continue uitbreiding van de functie.
We breiden de functie y = ax met domein Q uit tot een functie y = ax met domein R
door met elk irrationaal getal d de limietwaarde ad te laten corresponderen.
De functie y = ax met domein R, die elk reëel getal x afbeeldt op de macht x van a ∈ R+
0
wordt de exponentiële functie met grondtal a genoemd.
x
expa : R −→ R+
0 : x 7−→ a
Veelgebruikte exponentiële functies: y = 10x en y = ex met e = 2, 7182818 . . ..
De exponentiële functie y = ( 32 )x is een stijgende functie want
3
3
∀x1 , x2 ∈ R : x1 < x2 =⇒ ( )x1 < ( )x2 .
2
2
We merken op dat ( 32 )x nadert naar +∞ van zodra x nadert naar +∞ en nadert naar nul
als x nadert naar −∞.
3
lim ( )x = +∞
x→+∞ 2
3
lim ( )x = 0.
x→−∞ 2
Uit de laatste limiet volgt dat y = 0 een horizontale asymptoot is voor de grafiek van de
exponentiële functie.
De exponentiële functie y = ( 23 )x is een dalende functie want
2
2
∀x1 , x2 ∈ R : x1 < x2 =⇒ ( )x1 > ( )x2 .
3
3
De functies y = ( 23 )x en y = ( 23 )x liggen symmetrisch t.o.v. de y-as want
3
2
∀x ∈ R : ( )−x = ( )x .
2
3
Dit betekent dat beide functies voor tegengestelde x-waarden gelijke functiewaarden hebben.
1.1. EXPONENTIËLE FUNCTIES
13
Hieruit leiden we af:
2
lim ( )x = 0
3
2
lim ( )x = +∞.
x→−∞ 3
Hieruit volgt ook dat de x-as een horizontale asymtoot is voor de grafiek van de exponentiële functie.
x→+∞
Om de grafieken te tekenen, maken we een tabel met speciale punten en enkele andere
punten.
Figuur 1.4: grafiek van y = ( 32 )x
y = ( 32 )x
14
HOOFDSTUK 1. EXPONENTIËLE EN LOGARITMISCHE FUNCTIES
1.1.5
Eigenschappen van exponentiële functies
STELLING 1.3
a. De grafiek van elke exponentiële functie met grondtal a gaat door
de punten (0, 1), (1, a) en (−1, a1 ), ligt boven de X-as en heeft de X-as als horizontale
asymptoot.
b. Elke exponentiële functie is continu in elke reële x-waarde.
c. De exponentiële functie y = ax is stijgend als a groter is dan 1 en dalend als a ligt
tussen 0 en 1 (met 0 en 1 niet inbegrepen).
Bewijs:
a.
0
∀a ∈ R+
0 : a = 1
x
∀a ∈ R+
0 , ∀x ∈ R : a > 0
∀a ∈]0, 1[: lim ax = 0 ∧ ∀a ∈]1, +∞[: lim ax = 0
+∞
−∞
Hieruit volgt dat elke exponentiele functie de y = 0 dit is de x-as als horizontale
asymptoot heeft.
b. De limietwaarde in elk reëel getal is de functiewaarde (geen bewijs).
c.
∀a ∈]1, +∞[, ∀x1 , x2 ∈ R : x1 < x2 =⇒ ax1 < ax2 .
∀a ∈]0, 1[, ∀x1 , x2 ∈ R : x1 < x2 =⇒ ax1 > ax2 .
STELLING 1.4 Elke exponentiële functie is een isomorfisme van de groep R, + voor de
optelling in de groep R+
0 , . voor de vermenigvuldiging.
Bewijs:
1. Elke exponentiële functie is een bijectie.
Inderdaad, elke exponentiële functie is continu en strikt monotoon over een interval
nl. ] − ∞, +∞[. Dit volgens een stelling over continue functies.
2. We bewijzen dat
r+s
= ar .as .
∀a ∈ R+
0 , ∀r, s ∈ R : a
1.1. EXPONENTIËLE FUNCTIES
15
a. Zijn beide getallen r en s rationaal dan is de stelling bewezen.
b. Eén van de getallen r en s is rationaal, de andere is irrationaal.
∀r ∈ Q, s ∈ R \ Q : ar .as = ar . lims ax = lims ar .ax
0
= lims ar+x = limr+s ax
= ar+s
Hier in het bewijs zijn r en x rationale getallen en geldt ar .ax = ar+x volgens
de rekenregels met rationale exponenten.
0
limr+s ax = ar+s is geldig omdat de exponentiële functie een continue functie
is.
c. Beide getallen r en s zijn irrationaal.
∀r, s ∈ R \ Q : ar .as = ar . lims ax = lims ar .ax
0
= lims ar+x = limr+s ax
= ar+s
Hier in het bewijs is r irrationaal en x rationaal en geldt ar .ax = ar+x volgens
het voorgaande deel van het bewijs.
limr+s ax = ar+s is geldig omdat de exponentiële functie een continue functie
is.
OPMERKING: Door het feit dat elke exponentiële functie een bijectie is, is elk strikt
positief reëel getal op juist één manier te schrijven als een reële macht van elk strikt
positief getal a verschillend van 1.
Voorbeeld: Willen we 10 schrijven als een macht van 5 dan moeten we de volgende vergelijking beschouwen.
5x = 10
Om x op te lossen uit deze vergelijking moeten we beschikken over de inverse functie van
de functie y = 5x . Deze inverse functie zullen we in één van de volgende paragrafen de
logaritmische functie met grondtal 5 noemen.
1.1.6
Rekenregels met reële exponenten
r s
r+s
∀a ∈ R+
0 , ∀r, s ∈ R : a .a = a
ar
= ar−s
as
r r
r
∀a, b ∈ R+
0 , ∀r ∈ R : a .b = (a.b)
∀a ∈ R+
0 , ∀r, s ∈ R :
16
HOOFDSTUK 1. EXPONENTIËLE EN LOGARITMISCHE FUNCTIES
ar
a
= ( )r
r
b
b
r s
+
∀a ∈ R0 , ∀r, s ∈ R : (a ) = ars
∀a, b ∈ R+
0 , ∀r ∈ R :
De eerste rekenregel werd bewezen in de vorige stelling. De andere rekenregels worden op
analoge wijze bewezen. We geven nog het bewijs van de derde rekenregel.
r r
r
∀a, b ∈ R+
0 , ∀r ∈ R : a .b = (a.b)
Voor r rationaal geldt de rekenregel. We onderstellen r irrationaal.
r r
∀a, b ∈ R+
= limr ax . limr bx = limr ax .bx
0 , ∀r ∈ R : a .b
= limr (a.b)x = (a.b)r
Hier in het bewijs is x rationaal en geldt ax .bx = (a.b)x volgens de rekenregels met rationale
machten r en s.
limr (a.b)x = (a.b)r is geldig omdat de exponentiële functie y = (a.b)x een continue functie
is.
1.2
Grafieken
Om de grafiek te tekenen van een samengestelde functie met een exponentiële functie,
bepalen we eerst speciale punten, vervolgens maken we een tabel en tenslotte gaan we
opzoek naar asymptoten. We illustreren met voorbeelden.
• Gegeven de functies f : y = x en g : y = −2( 23 )x .
Teken de grafieken (zonder computer) van f en g en de asymptoot voor de grafiek
van g. Zet vooraf beide functies in een tabel met enkele speciale punten voor de
grafieken. Los dan de volgende ongelijkheid grafisch op. Controleer je resultaten
met de computer.
3
−2( )x < x
2
Oplossing: Speciale x-waarden voor de grafiek van de functie g zijn de waarden 1,
−1 en 0. Speciale punten zijn ook altijd de eventuele snijpunten met de x-as en de
y-as. We kunnen de tabel nog aanvullen met nog enkele extra punten naar keuze.
Tabel.
x
−2
−1
0
1
2
y=x
−2
−1
0
1
2
3 x
8
4
y = −2( 2 ) − − 9 − − 3 − −2 − −3 − − 29 −
1.2. GRAFIEKEN
17
De functie is negatief over R en de x-as is horizontale asymptoot omdat
x
3
= −2 · 0 = 0
lim −2
−∞
2
. De grafiek zit bijgevolg volledig onder de x-as.
Om de ongelijkheid op te lossen, kijken we op grafiek en schatten we voor welke
x-waarde de grafieken y = x en y = −2( 32 )x elkaar snijden. In de tabel zien we dat
het nulpunt zich bevindt tussen −2 en −1.
3
−2( )x = x ⇐⇒ x = −1, 22
2
De x-waarden waarvoor de grafiek van de functie onder de grafiek van y = x zit:
3
−2( )x < x ⇐⇒ x > −1, 22
2
Figuur 1.5: grafiek van y = x en y = −2( 23 )x
18
HOOFDSTUK 1. EXPONENTIËLE EN LOGARITMISCHE FUNCTIES
• Gegeven is de functies f : y = 12x en g : y = 3 · 4x−2 . Teken de grafieken van f
en g en de asymptoten van de grafieken van deze functies. Bepaal vervolgens de
oplossing(en) van de volgende vergelijking grafisch en door berekening.
12x = 3 · 4x−2
Oplossing:
Figuur 1.6: grafiek van y = 12x en y = 3 · 4x−2
1. De x-as is horizontale asymptoot voor de grafieken van beide functies want
lim−∞ 12x = 0 en lim−∞ 4x−2 = 0;
2. We brengen de vergelijking in de vorm van een standaardvergelijking (zie pagina 32).
12x = 3.4x−2 ⇔ 12x = 3.4x .4−2 ⇔
3
12x
3
3
=
⇔ 3x =
⇒ x = log3
= −1, 524
x
4
16
16
16
(de inverse functie van y = 3x en dat is y = log3 x).
• Teken de grafiek van de functie f : y = ( 34 )2x+8 − 5.
De grafiek van f is de verschuiving over de vector (−4, −5) van de grafiek van de
functie y = ( 34 )2x vermits
3
3
( )2x+8 − 5 = ( )2(x+4) − 5.
4
4
1.2. GRAFIEKEN
19
Bijgevolg is de vergelijking van de horizontale asymptoot y = −5 (enkel aan de kant
van +∞). We kunnen de asymptoot ook rechtstreeks bepalen.
3
3
lim( )2x+8 − 5 = ( )−∞ − 5 = +∞ − 5 = +∞
−∞ 4
4
en
3
3
lim( )2x+8 − 5 = ( )+∞ − 5 = 0 − 5 = −5
+∞ 4
4
Speciale x-waarden voor de grafiek van de functie zijn x-waarden waarvoor de functie
y = 2x + 8 de waarden 1, −1 en 0 aanneemt. Speciale punten zijn ook altijd de
eventuele snijpunten met de x-as en de y-as.
Tabel.
x
−6, 8
−4, 5
−4
−3.5
0
2x + 8
− −5, 6 − −1 −
0
+
1
+
8
+
4
3
3 2x+8
3 8
(4)
−5 +
0
− 3 − 5 − 1 − 5 − 4 − 5 − (4) − 5 −
Uit de grafiek kunnen we afleiden dat het nulpunt van de functie ligt tussen −7 en
−6 en ongeveer −6, 8 bedraagt.
Figuur 1.7: grafiek van y = 2x + 8 en y = ( 43 )2x+8 − 5
20
HOOFDSTUK 1. EXPONENTIËLE EN LOGARITMISCHE FUNCTIES
2
• * Teken de grafiek van de functie y = 32−x .
De grafiek van deze functie is niet de verschuiving van een exponentiële functie.
Om deze functie te tekenen, maken we gebruik van het feit dat deze functie de
samenstelling is van twee functies, nl. een kwadratische functie gevolgd door een
exponentiële functie.
We tekenen eerst de parabool y = 2 − x2 en duiden op de grafiek de punten aan die
speciaal zijn voor de exponentiële functie y = 3x .
2
lim 32−x = 3−∞ = 0
∞
Hieruit volgt dat y = 0 horizontale asymptoot is voor de grafiek van de gegeven
functie aan de kant van zowel −∞ als +∞.
Tabel.
√
√
√
√
x
− 3
− 2
−1
0
1
2
3
2
2 − x − −1 −
0
+ 1 + 2 + 1 + 0 − −1 −
1
2−x2
3
+
+
1
+ 3 + 9 + 3 + 1 + 13 +
3
Figuur 1.8: * grafiek van y = 2 − x2 en y = 32−x
2
1.2. GRAFIEKEN
21
3−2x
• * Teken de grafiek van de functie y = 2 x+1 .
en duiden op de grafiek de
We tekenen eerst de homografische functie y = 3−2x
x+1
punten aan die speciaal zijn voor de exponentiële functie y = 2x . Om asymptoten
op te sporen kijken we naar de plakpunten van het domein. De plakpunten zijn
−∞, +∞ en −1.
3−2x
1
lim 2 x+1 = 2−2 =
∞
4
Hieruit volgt dat y = 14 horizontale asymptoot is voor de grafiek van de gegeven
functie aan de kant van zowel −∞ als +∞.
3−2x
3−2x
lim− 2 x+1 = 2−∞ = 0 en lim+ 2 x+1 = 2+∞ = +∞.
−1
−1
Hieruit volgt dat de rechte x = −1 verticale asymptoot is voor de grafiek van de
gegeven functie echter enkel aan de rechterkant.
Tabel.
2
3
x
−1
0
4
3
2
3−2x
− −∞| + ∞ + 3 + 1 + 0 − −1 −
x+1
3−2x
2 x+1 + 0| + ∞ + 8 + 2 + 1 + 12 +
Figuur 1.9: grafiek van y =
3−2x
x+1
3−2x
en y = 2 x+1
22
HOOFDSTUK 1. EXPONENTIËLE EN LOGARITMISCHE FUNCTIES
OPGAVEN — 4 Voor welke exponentiële functie geldt dat f (x + 2) = 94 f (x).
5 Maak een tabel met enkele bijzondere punten en teken de grafiek van de volgende functie (gebruik de
computer enkel ter controle):
2
1. y = 3x+3
3. y = 2x + 2−x
5. y = 1 − 10 3 x
−x+2
2. y = 2|3x−8|
4. y = −6( 34 )x
6. y = 12 ( 13
−3
4 )
6 Los grafisch op, maak hierbij gebruik van de grafieken uit opgave 5:
2
5. 1 − 10 3 x > −9
1. 3x+3 < 9
3. 2x + 2−x < 17
4
−x+2
2. 2|3x−8| < x2 − 1
4. −6( 34 )x > 12 (x + 4)(2x − 1)
6. 12 ( 13
− 3 < 2x − 10
4 )
7 Bereken met behulp van een rekenmachine:
1.
π3
3.
2.
(0, 8)−π
4.
√
e300
5.
20010 + 1
8 * Gegeven de functies f : y =
Gevraagd:
6.
3x
1−4x2
√
5
2
7.
98−57
8.
7
7,776·10142 ·tan 0,0200 ·7173
e300
2
e120 cotg 200 1740
(10!)10 1245
en g : y = ( 43 )f (x) .
1. Teken met Derive de grafieken van f en g. Geef het domein van f en g;
2. Bereken zonder computer de asymptoten voor de grafiek van g.
3. Bepaal de beeldverzameling van g. Neemt de functie g de waarde 0 aan?
Oplossingen:
7 1. 31, 006; 2. 2, 0158; 3. 1, 9424264 · 10130 ; 4. 1, 024.1023 ; 7. 3, 0086 · 1037 ; 5. 15, 673; 6. 3, 163.10−114 ;
8. 0, 001582.
AN II HUISTAAK 1
1 −x+2
4
.
2
1. Gegeven zijn de functies f : y = −6x + 18 en g : y =
(a) Maak voor de functies een tabel met enkele speciale punten voor de grafiek van
g;
(b) Teken de grafiek (zonder computer) van f en g;
(c) Los de volgende ongelijkheid grafisch op (oplossingen op 2 cijfers na de komma
nauwk).
1 −x+2
4
> −6x + 18
2
Duid de oplossingenverzameling aan op de tekening.
2. Bereken op 6 cijfers nauwkeurig met behulp van een rekenmachine:
(esin 12
rad )4 .(sin(20, 320 + 450 120 1500 ))3
0 310 +sin 0,52
1.3. LOGARITMISCHE FUNCTIES
1.3
23
Logaritmische functies
1.3.1
Inleiding
De exponentiële vergelijking
2, 75 · 1, 05x = 8, 25
die we grafisch opgelost hebben, kunnen we algebraı̈sch oplossen als we zouden beschikken
over de inverse relatie van de exponentiële functie y = 1, 05x . Deze functie is een injectie
en de restrictie tot R+ is een bijectie. Bijgevolg is de inverse relatie een bijectie.
1.3.2
Definitie van een logaritmische functie
De logaritmische functie met grondtal a ∈ R+
0 \ {1} is de inverse functie van de
exponentiële functie met grondtal a.
We noteren loga : R+
0 −→ R, x 7−→ loga x
y = loga x ⇐⇒ x = ay .
We lezen “logaritme a van x”.
Definitie van logaritmische functie met grandtal a met woorden:
De logaritmische functie met grondtal a beeldt elk strikt positief reëel getal af op de
exponent van zijn schrijfwijze als een macht van a.
Voorbeeld: log3 27 = log3 33 = 3
Veelgebruikte logaritmische functies:
1. De Briggse logaritme is de logaritme met grondtal 10.
We noteren log10 = log.
De Briggse logaritme beeldt elk positief getal af op de exponent voor zijn schrijfwijze
als een macht van 10.
Getallen tussen 10 en 100 worden afgebeeld op getallen tussen 1 en 2.
Voorbeeld: log 50 = 1, 698970004 ⇐⇒ 50 = 101,698970004 .
Getallen tussen 100 en 1000 worden afgebeeld op getallen tussen 2 en 3.
Voorbeelden: log 500 = 2, 698970004 ⇐⇒ 500 = 102,698970004 ;
log 942, 6 = 2, 974327435 ⇐⇒ 942, 6 = 102,974327435 ;
Getallen tussen 0,001 en 0,01 worden afgebeeld op getallen tussen -3 en -2.
Voorbeeld: log 0, 00125 = −2, 903089987 ⇐⇒ 0, 00125 = 10−2,903089987 ;
24
HOOFDSTUK 1. EXPONENTIËLE EN LOGARITMISCHE FUNCTIES
De Briggse logaritme geeft ons een middel om op eenvoudige wijze het aantal cijfers
van grote natuurlijke getallen te bepalen.
∀n ∈ N : aantal cijfers van n = dlog ne
Voorbeeld: aantal cijfers van 52009 = dlog 52009 e = d1404, 23e = 1405.
Inderdaad, 52009 = 1, 7 · 101404 .
2. De Neperiaanse logaritme of de natuurlijke logaritme is de logaritme met
grondtal e = 2, 7182818285 . . . We noteren: loge = ln.
Aangezien de logaritmische functie met grondtal a en de exponentiële functie met grondtal
a inverse functies zijn gelden de volgende gelijkheden:
*
∀x ∈ R+
0 : expa (loga x) = x
of
loga x
=x
∀x ∈ R+
0 : a
Bijzonder geval:
ln x
∀x ∈ R+
=x
0 : e
*
∀x ∈ R : loga (expa x) = x
of
∀x ∈ R : loga (ax ) = x
Bijzonder geval:
∀x ∈ R : ln(ex ) = x
De grafieken van de logaritmische en exponentiële functies met eenzelfde grondtal liggen
symmetrisch t.o.v. de rechte y = x.
1.3. LOGARITMISCHE FUNCTIES
Figuur 1.10: y = 2x en y = log2 x — y = ex en y = ln x
25
26
HOOFDSTUK 1. EXPONENTIËLE EN LOGARITMISCHE FUNCTIES
1.3.3
Eigenschappen van logaritmische functies
Volgende stellingen volgen uit de eigenschappen van de exponentiële functies.
STELLING 1.5
a. De grafiek van elke logaritmische functie met grondtal a gaat door
de punten (1, 0), (a, 1) en ( a1 , −1) want
loga 1 = 0
loga a = 1
loga
1
= loga a−1 = −1
a
en heeft de y-as als vertikale asymptoot.
lim(loga x) = (loga 0) =
0
−∞ als a > 1
+∞ als 0 < a < 1
b. Elke logaritmische functie is continu in elke strikt positieve reële x-waarde.
c. De logaritmische functie met grondtal a is stijgend als a groter is dan 1 en dalend
als a ligt tussen 0 en 1 (met 0 en 1 niet inbegrepen).
Opmerking: Zoals een vierkantswortel werkt elke logaritmische functie alleen in op positieve reële getallen.
Voorbeeld: Het domein van de functie y = log3 (2x − 1) is ] 12 , +∞[ want de bestaansvoorwaarde is 2x − 1 > 0.
OPGAVEN — 9 Bepaal het domein, de asymptoten, een tabel met bijzondere punten, het tekenverloop en teken de grafiek van de volgende functie:
1. y = ln(−x)
3. y = ln |x|
2. y = 2 ln(x − 1)
4. y = log(3x + 2) + 23
10 Bepaal van volgende functies het domein, de asymptoten, een tabel met bijzondere punten, het
tekenverloop, het voorschrift van de inverse functie en teken de grafieken:
1. y = 3x+2
3. y = log3 2x
2. y = −2( 23 )x
4. y = 12 4−x+2 − 3
Oplossingen:
10 1. y = log3 x − 2; 2. y = log 32 (− x2 ); 3. y = 0, 5.3x ; 4. y =
3
2
− log4 (x + 3).
TAAK ♣ 11 Bepaal van volgende functie het domein, de asymptoten, een tabel met bijzondere punten,
het tekenverloop, de inverse functie en teken de twee grafieken t.o.v. eenzelfde assenstelsel. Bepaal ook
de beeldverzameling van de functie en haar inverse. :
2
1
1. y = 51 (2 − 4 3 x )
2. y = log( x2 − 1) − 21
3. y = ( 31 ) 3 x
1.3. LOGARITMISCHE FUNCTIES
27
♣ 12 Bepaal het voorschrift van de logaritmische functies waarvan het voorschrift van de gedaante
y = loga (x − b) + c is en waarvan hieronder de grafieken getekend staan.
STELLING 1.6 Elke logaritmische functie is een isomorfisme van de groep R+
0 , . voor
de vermenigvuldiging in de groep R, + voor de optelling.
1.3.4
Rekenregels met logaritmen
+
∀a ∈ R+
0 \ {1}, ∀x, y ∈ R0 : loga x.y = loga x + loga y
x
+
∀a ∈ R+
= loga x − loga y
0 \ {1}, ∀x, y ∈ R0 : loga
y
−
∀a ∈ R+
0 \ {1}, ∀x, y ∈ R0 : loga x.y = loga (−x) + loga (−y)
x
−
∀a ∈ R+
= loga (−x) − loga (−y)
0 \ {1}, ∀x, y ∈ R0 : loga
y
+
r
∀a ∈ R+
0 \ {1}, ∀x ∈ R0 , ∀r ∈ R : loga x = r loga x
−
r
∀a ∈ R+
0 \ {1}, ∀x ∈ R0 , ∀r ∈ R : loga x = r loga (−x)
28
HOOFDSTUK 1. EXPONENTIËLE EN LOGARITMISCHE FUNCTIES
(De laatste regel geldt voor alle x-waarde waarvoor xr bestaat.)
We kunnen bovenstaande regels nog als volgt samenvatten. Zij zijn analoog met de
rekenregels voor evenmachtswortels.
∀a ∈ R+
0 \ {1}, ∀x, y ∈ R0 : loga x.y = loga |x| + loga |y|
∀a ∈ R+
0 \ {1}, ∀x, y ∈ R0 : loga
x
= loga |x| − loga |y|
y
r
∀a ∈ R+
0 \ {1}, ∀x ∈ R0 , ∀r ∈ R : loga x = r loga |x|
Deze rekenregels volgen onmiddellijk uit de rekenregels met reële exponenten. We geven
een bewijs van bvb. de rekenregel:
+
r
∀a ∈ R+
0 \ {1}, ∀x ∈ R0 , ∀r ∈ R : loga x = r loga x
Bewijs: Stel s = loga x, hieruit volgt x = as . Uit de rekenregel
(as )r = ars
volgt dat
loga xr = loga (as )r = loga ars = rs = r. loga x.
Bewijs zelf op analoge wijze de andere rekenregels.
OPGAVEN — 13 Bepaal zonder gebruik te maken van een rekenmachine:
1. log5 125
3. log0,5 4
5. log8 64
6. log2√3 12
2. log16 8
4. log√2 2
14 Bepaal het grondtal a als gegeven is:
1. loga 125 = 3
3. loga √
0, 5 = 5
2. loga 8 = −1, 5
4. loga 5 = 2
15 Bewijs dat de volgende uitdrukkingen onafhankelijk zijn van het grondtal a. Bereken daartoe de
waarde van elk van de volgende uitdrukkingen.
loga 9
a 25+2 loga 8
1. 5log
3. 3 log
3
log 5+log 2
a
2.
loga
a
35
36
− loga
21
25
− 3 loga
5
6
− loga 2
16 Bepaal in functie van log a, log
b, log c:
√
a2 b
2
1. log(ab c)
3. log c
p √
√
2 5 2 3
2. log(a b c )
4. log 3 a4 b c
4.
5.
6.
a
loga 27+loga 275 +3 loga 0,125
2 loga 3−loga 2
√
3
5 b3 c
aq
2
log( ab 3 ab )
log
1.3. LOGARITMISCHE FUNCTIES
17
a. Gegeven: log 2 = 0, 30103
Bepaal:
1. log 5
2. log 1250
3. log 13, 5
29
en log 3 = 0, 47712
4.
5.
6.
log 8
log 2,
√ 88
log 3 2
7.
8.
log 0, 8
log 0, 75
b. Gegeven: log 3, 5 = 0, 54407; log 3, 25 = 0, 51188 en log 2, 45 = 0, 38917
Bepaal: (i) log 7; (ii) log 5; (iii) log 13.
18 Verifieer zonder rekenmachine log
133
65
+ 2 log
13
7
− log
143
90
+ log
77
171
= log 2
2
19 Bereken met behulp van een rekenmachine: ln(20100 174 ).
Oplossingen:
13 1. 3; 2. 0, 75; 3. −2; 4. 2; 5. 2; 6. 2;
√
4
1
5;
14 1. 5; 2. 0, 25; 3. √
5 ; 4.
2
15 1. 10; 2. 0; 3. 6; 4. 9.
16 1. log a + 2 log b + log c; 2. 2 log a + 15 (2 log b + 3 log c); 3. 2 log a + 0, 5 log b − log c; 4.
1
1
2 log c); 5. 3 (5 log a + 3 log b + log c);
1
6. 3 (5 log a − 4 log b).
1
3 (4 log a + log b +
17 a. 1. log 5 = log 10 − log 2; 2. log 1250 = 4 log 10 − 3 log 2; 3. log 13, 5 = log 27
2 = 3 log 3 − log 2;
5
.9
4. log 8 = 3 log 2; 5. log 2, 88 = log 2100
= 5 log 2 + 2 log 3 − 2;
√
6. log 3 2 = 13 log 2. 7. log 0, 8 = 3 log 2 − 1; 8. log 0, 75 = log 3 − 2 log 2.
35
325
b. (i) log 7 = log 245
35 = log 245 − log 35; (ii) log 5 = log 7 = log 35 − log 7; (iii) log 25 = log 325 − 2 log 5.
19 100 ln 20 + 16 ln 17 = 344, 90464.
1.3.5
Verband tussen verschillende logaritmische functies
We beschouwen twee logaritmen met grondtal a en met grondtal b.
loga x = r ⇐⇒ x = ar
en
logb x = s ⇐⇒ x = bs
We combineren deze twee betrekkingen:
loga x = loga bs = s. loga b = logb x.loga b
Is gegeven de logaritme met grondtal a dan vinden we de logaritme met grondtal b met
de volgende formule:
ax
logb x = log
(1.1)
loga b
Gevolgen:
30
HOOFDSTUK 1. EXPONENTIËLE EN LOGARITMISCHE FUNCTIES
•
∀a, b ∈ R+
0 : logb a =
loga a
1
=
loga b
loga b
Als we een getal met het grondtal verwisselen dan gaat de logaritme over in zijn
omgekeerde.
• Willen we de logaritme met een grondtal a berekenen met de rekenmachine dan
moeten we overgaan op de Briggse logaritme of op de Neperiaanse logaritme.
loga x =
Voorbeeld: log5 10 =
log 10
log 5
=
ln 10
ln 5
ln x
log x
=
log a
ln a
= 1, 430676558.
OPGAVEN — 20 Bewijs de volgende betrekkingen:
a. loga b. logb c. logc a = 1;
b.
1
loga x
+
1
logb x
=
1
logab x .
21 Bereken met behulp van een rekenmachine:
(i) log7 13;
(ii) log0,5 372;
(iii) log13 0, 78;
a+b
(iv) * log4 | a−b
| met log5 a − log5 b = −2, 71;
(v) log5 ((7, 239 − 5, 1919 )15 · (e20 · ln 0, 4)5 );
(vi)
cos(0,25rad+120 5200 ).(1,43)−7,32 .e−2,17 . cot(250 420 1200 +25,1230 )
1
(1,32)− 5 . log4 (tan 120o ·cos 1050 )·ln(tan4 1200 ·cos6 1050 )
.
22 Tom zet een bedrag van 2500 EUR uit aan een jaarlijkse intrest van 12%. Na hoeveel tijd is het
spaargeld van Tom verdubbeld? Beantwoord dezelfde vraag als de jaarlijkse intrest 6% is
23 Suna wil een motor kopen. Suna heeft 4500 EUR gespaard, maar heeft haar oog laten vallen op
een motor die nu 5OOO EUR. kost. Door de inflatie echter wordt de motor jaarlijks 1% duurder. Suna
besluit haar spaargeld op de bank vast te zetten tot het vereiste bedrag zal zijn bereikt. De rente per
jaar is 4,6% en haar spaargeld staat uit bij samengestelde intrest.
a. Hoe lang moet Suna nog wachten?
b. Na een jaar is zo een ding minder waard. ’Afschrijving‘ heet zoiets. Kenners hebben Suna verteld
dat haar motor per jaar één derde van zijn waarde verliest. Zij wil uiteindelijk de motor wegdoen
voor ongeveer 500 EUR. Hoeveel jaar kan zij op haar motor rijden?
1.3. LOGARITMISCHE FUNCTIES
31
Oplossingen:
21 (i) 1, 3181232; (ii) −8, 539; (iii) −0, 096868; (iv) 0, 01840727; (v) 353, 4662447; (vi) 0, 001878577.
22 6j 1m 12d; 11j 10m 22d.
23 a. 3 jaar; b. ongeveer 6 jaar
AN II HUISTAAK 2
1. log1,5 27
8
4. log0,5 4
1. Bepaal zonder gebruik te maken van een rekenmachine:
2. log0,25 16
3. log0,2 625
5. log9 27
2. Bepaal het grondtal a als gegeven is:
√
1. loga 2 = −2
2. loga 3 = 3
3.
loga 0, 1 = 1
3. Bewijs dat de volgende uitdrukking onafhankelijk is van het grondtal a.
s
4 loga 3 + loga 128 − loga 0, 5
loga 2 + loga 6
4. Bepaal in functie van log a, log b, log c: log
q
5
ab2
.
c3
5. Bepaal het aantal cijfers van 2963 zonder het getal zelf uit te rekenen.
6. Bewijs de volgende betrekking: logb a. loga
1
b2
= −2.
7. Bereken met de rekenmachine:
log6 (cos6 1050 ). sin(150 520 300 + (0, 2 + π)rad)
e−0,02 .cotg(150 230 1200 + 220 1500 ). ln(− cos 1050 .e−0,75 )
8. Thomas zet een kapitaal van 2100 EUR uit. Na 5 jaar heeft Thomas 2700 EUR,
hoeveel bedraagt dan de intrest per jaar? Na hoeveel tijd (in jaren maanden en
dagen) is het geld van Thomas verdubbeld?
9. Bij een kernramp is een hoeveelheid jodium 131 vrijgekomen. De radioactieve neerslag heeft een in de buurt gelegen weide besmet. Metingen wijzen uit dat de toegestane hoeveelheid becquerel 10 maal overschreden is. Hoeveel dagen moet men het
vee uit de weide houden, als je weet dat de halveringstijd van jodium 131 8 dagen
is.
32
HOOFDSTUK 1. EXPONENTIËLE EN LOGARITMISCHE FUNCTIES
1.4
Eenvoudige logaritmische en exponentiële vergelijkingen
1.4.1
Standaardvergelijkingen
loga f (x) = r
loga f (x) = loga g(x)
af (x) = r
af (x) = ag(x)
Deze standaardvergelijkingen worden opgelost door gebruik te maken van de corresponderende inverse functie.
loga f (x) = r ⇐⇒ f (x) = ar
loga f (x) = loga g(x) ⇐⇒ f (x) = g(x) met f (x) > 0 ∧ g(x) > 0
f (x)
∀a ∈ R+
= r ⇐⇒ f (x) = loga r met r > 0
0 \ {1} : a
af (x) = ag(x) ⇐⇒ f (x) = g(x) ∨ a = 1
Alle andere logaritmische en exponentiële vergelijkingen zijn tot deze twee standaardvormen terug te brengen.
1.4.2
Vergelijkingen die na toepassing van de eigenschappen onmiddellijk te herleiden zijn tot één van de standaardvormen
Voorbeelden:
* log(7x − 9)2 + 2 log(3x − 4) = 2.
We beginnen met de bestaansvoorwaarden van de vergelijking te bepalen.
4
7x − 9 6= 0
⇐⇒ x >
3x − 4 > 0
3
We lossen de vergelijking als volgt op:
2 log |7x − 9| + 2 log(3x − 4) = 2 =⇒ log(|7x − 9|(3x − 4)) = 1
⇐⇒ |7x − 9|(3x − 4) = 10 ⇐⇒ 21x2 − 55x + 26 = 0 ∨ 21x2 − 55x + 46 = 0
13
⇐⇒ x = 2 ∨ x =
21
13
De oplossing x = 21 moet uitgesloten worden gezien de bestaansvoorwaarden.
1.4. EENVOUDIGE LOGARITMISCHE EN EXPONENTIËLE VERGELIJKINGEN33
* log2 x = log8 (7x − 6)
De bestaansvoorwaarden van de vergelijking zijn:
6
x>0
⇐⇒ x >
7x − 6 > 0
7
We lossen de vergelijking als volgt op:
log2 x = log8 (7x − 6) ⇐⇒ log2 x =
⇐⇒ log2 x =
log2 (7x − 6)
log2 8
log2 (7x − 6)
⇐⇒ 3 log2 x = log2 (7x − 6)
3
⇐⇒ log2 x3 = log2 (7x − 6) =⇒ x3 = 7x − 6 ⇐⇒ x = 1 ∨ x = 2 ∨ x = −3
De oplossing x = −3 moet uitgesloten worden gezien de bestaansvoorwaarden.
1.4.3
Vergelijkingen die aanleiding geven tot een algebraı̈sche
vergelijking in loga f (x) of ef (x)
Voorbeelden:
* logx 2 + log2x 16 = 11
6
De bestaansvoorwaarden zijn x > 0, x 6= 1 en x 6= 21 .
We lossen de vergelijking als volgt op:
logx 2 + log2x 16 =
=⇒ logx 2 + 4
11
11
⇐⇒ logx 2 + 4 log2x 2 =
6
6
logx 2
11
logx 2
11
=
⇐⇒ logx 2 + 4
=
logx 2x
6
logx 2 + 1
6
=⇒ (logx 2 + 1) logx 2 + 4 logx 2 =
11
(logx 2 + 1)
6
⇐⇒ 6 log2x 2 + 6 logx 2 + 24 logx 2 = 11 logx 2 + 11
⇐⇒ 6 log2x 2 + 19 logx 22 − 11 = 0 ⇐⇒ logx 2 =
r
⇐⇒ x = 4 ∨ x =
11
1
11
∨ logx 2 = −
2
3
1
= 0, 82775328.
8
34
HOOFDSTUK 1. EXPONENTIËLE EN LOGARITMISCHE FUNCTIES
* 3x+1 + 18.3−x = 29
3x+1 + 18.3−x = 29 ⇐⇒ 3.3x + 18.
⇐⇒ 3x = 9 ∨ 3x =
2
2
⇐⇒ x = 2 ∨ x = log3 = −0, 369070246
3
3
OPGAVEN — 24 Los de volgende vergelijkingen
a. log64 (logx 16)2 = 1
c. 2 log x + 2 log 30 = 4 log 3 + 2 log 5 + log 100
f. 5 log x = log 288 + 4 log x2
h. log(x2 − 1) − log(x2 − 7x + 12) = log 4
j. 4 log x2 + 3 log x3 = 5 log x − log 12
l. 2 log x3 + 3 log x2 = 3 log x5 + log 15, 625
n. log3 x = logx+1 x
25 Los de volgende vergelijkingen op:
a. log2 x + 12 = log x7
c. log3 x − 4 log2 x + log x = 0
26 √
Los de volgende vergelijkingen op:
a. 27x = 19
c. 23+x .57+4x = 35+2x .46+3x
2x−1
e. a7x−3 = aa5x
1
1
g. 16 3x−1 = 4 x+1
1
= 29 ⇐⇒ 3.32x − 29.3x + 18 = 0
3x
op
b. log x = 2 log 10 + log 28 − log 9 − log 35
d. 21 log(x − 3) = 3 log 2
25
g. 2 log x − 1 = log(x − 10
)
3
log(35−x )
i. log(5−x) = 3
√
√
k. log √
7x + 5 + log 2x + 3 = 1 + log 4, 5
m. log3 3 x + 2 = log27 (x − 2) + 13
o. logx 3 = logx (x + 1)
b. log x2 + log3 x = 4 log2 x
d. log3 x2 = 2, 83.
b. (5x+4 )3x−2 = 1√
d. 4x−2 .83x−1 = 2
f. 3x + 3x+1 = 4
27 Los de volgende vergelijkingen op
a. 22x − 9.2x + 8 = 0
b. 9.32x − 3x+2 = 54
c. 3.9x − 26.3x = 3
28 Los de volgende vergelijkingen op:
(i) ln(2x
+ 3) + ln(x − 1) = ln(x2 + 9)
√
x+1
(iii) 3
= 3x−5
(v) log2 x · log4 x · log8 x = 43
(vii) log2 (2x − 1) + x = log4 144
(ix) log5 (5x − 7) − log25 324 = 2 − x
(xi) (logx+6 x)−1 + logx (x − 1) = 2 + (log2 x)−1
(ii) 2 log x + 1 = log(19x + 2)
(iv) 4x − 5 · 2x − 24 = 0
(vi) x6+log x = (0, 24)9(3 log 2+log 3)
(viii) 2x + 2x−1 + 2x−2 + 2x−3 + 2x−4 = 3
(x) logx+3 (2x − 1) = 1
(xii) (0, 79)x = (2, 6)3−x
1.4. EENVOUDIGE LOGARITMISCHE EN EXPONENTIËLE VERGELIJKINGEN35
29 Los de volgende stelsels op:
logx+2 y = 2
1.
logy x = 0, 25
x + y = 70
2.
log y = 3
logx x + y+1
2 =8
3. [
y
x−9
 9x = 32x
 z =y
2z = 2.4x
4.

x+y+z =0
2 log x − log y = 2
5.
x2 − 19y 2 = 25
y
x = yx
6.
100x = 10y
log tan x + log tan y = 0
2 tan x = cos3 y
x
7 = 2y
8.
x
= 7y
2√
x
x+y =2
9.
(x + y).3x = 279936
√
x
y + 10 = 2
10.
2 log2 2y
3 =x
√
(y + 1)x = 3 3
11.
+ 1)3x = y 2 − 1
 (yy−1
= 16x−1
 2
1
1
3x = 9z √
12.
 √
x
2x
2y−3 =
8z−2
7.
los later op in volgend hfdst.
Oplossingen:
√
√
24 a. x = 2 ∨ x = 22 ; b. x = 80
= 15; d. x = 67; e. x = 2; f. x = 18; g. x = 5; h. x = 7 ∨ x = 37 ;
9 ; c. x
√
i. x = 2 ∨ x = 3; j. x = 6; k. x = −31+ 28113521 ; l. x = 3; m. x = 4; n. x = 2 ∨ x = 1; o. x = 2 .
√
√
25 a. x = 1000 ∨ x = 10000; b. x = 1 ∨ x = 102± 2 ; c. x = 1 ∨ x = 102± 3 ; d. x = ±5, 1.
1
26 a. x = −1, 33; b. x = −4 ∨ x = 23 ; c. x = 0, 6005756; d. x = 15
22 ; e. x = 5 ; f. x = 0; g. x = 3.
27 a. x = 0 ∨ x = 3; b. x = 1; c. x = 1, 98
√
28 (i) x = 3; (ii) x = 2; (iii) x = 9; (iv) x = 3; (v) x = 4; (vi) x = 10−3±3 1+log 24·log 0,24 ; (vii) x = 2;
3 log 2,6
(viii) x = log2 48
31 ; (ix) x = 2; (x) x = 4; (xi) x = 2 ∨ x = 3; (xii) x = log 0,79+log 2,6 .
q
√
5
5
29 1. (2, 16); 2. (20, 50) en (50, 20); 3. (21, 6); 4. (− 49 , 13 , 19 ) en (0, −1, 1); 5. (10 5, 5) en (10 19
, 19
);
π
1
1
π
0
7
6. (2, 4); 7. ( 3 + kπ, 6 + k π); 8. (−1, 14 ); 9. (7, 2 − 7); 10. (4, 6); 11. ( 3 , 2); 12. (3, 9, 6).
AN II HUISTAAK 3
1. Welke betrekking bestaat er tussen x en y, als
log(x + y) = log x + log y
Bepaal de grenzen van x en van y en stel het verband tussen x en y grafisch voor.
2. Los de volgende vergelijkingen op:
(i) (x + 3)x
2 −9
= 1;
(ii) 4x − 3.2x+1 − 16 = 0;
(iii) log2 (log2 x) = log2 (log2 x2 − 1) + 1.
36
HOOFDSTUK 1. EXPONENTIËLE EN LOGARITMISCHE FUNCTIES
1.5
Grafieken
1. Gegeven is de functie y = log(x + 43 )2 + 2 log(3x − 4).
(a) Teken de grafiek van deze functie met DERIVE;
(b) Bepaal het domein van de functie, eerst grafisch en dan door een kleine berekening;
(c) Bepaal tevens de verticale asympto(o)t(en) voor de grafiek van de functie;
(d) Bepaal de oplossing(en) van de vergelijking log(x + 43 )2 + 2 log(3x − 4) = 2 eerst
grafisch en dan door berekening. Wat merk je op?
Oplossing:
(a) De grafiek (zie hierboven)
(b) De bestaansvoorwaarden zijn
(c) Enkel x =
domein.
4
3
x 6= − 43
}x >
3x − 4 > 0
4
3
het domein is dus ] 43 , +∞[.
is kandidaat verticale asymptoot omdat
4
3
een plakpunt is van het
4
3 2
lim
log(x
+
)
+
2
log(3x
−
4)
=
−∞
−→
x
=
is verticale asymtoot
4
4
3
3
1.5. GRAFIEKEN
37
(d)
3
3
log(x + )2 + 2 log(3x − 4) = 2 ⇐⇒ 2 log |x + | + 2 log(3x − 4) = 2
4
4
3
3
⇐⇒ log |x + | + log(3x − 4) = 1 ⇐⇒ (∗) log(|x + |(3x − 4)) = 1
4
4
3
7
7
⇐⇒ |x + |(3x − 4) = 10 ⇐⇒ 3x2 − x − 13 = 0 ∨ 3x2 − x + 7 = 0
4
4
4
⇐⇒ x = 2, 39 ∨ x = −1, 81
De oplossing x = −1, 81 moet verworpen worden wegens de bestaansvoorwaarden. Deze oplossing is binnen geslopen bij de overgang (*).
2. Gegeven is de functie y = 5x
2 −1
.
(a) Teken de grafiek van y = 5x
2 −1
;
(b) Bepaal de oplossingen van de vergelijking 5x
kening.
2 −1
= 3 grafisch en met een bere-
Oplossing:
Figuur 1.11: oplossingen van de vergelijking 5x
2 −1
=3
(a)
(b) De vergelijking is een standaardvorm (zie pagina 1.4.1)
p
2
5x −1 = 3 ⇐⇒ x2 − 1 = log5 3 ⇐⇒ x = ± 1 + 0, 682606194 = ±1, 297153111
38
HOOFDSTUK 1. EXPONENTIËLE EN LOGARITMISCHE FUNCTIES
1.6
1.6.1
Logaritmische schaal *
Logaritmische schaalverdeling
Bij een lineaire schaalverdeling vormen de getallen op de as een rekenkundige rij.
Bij een logaritmische schaalverdeling met grondtal 10 vormen de getallen op de as een
meetkundige rij met reden 10. Als we van de getallen x op een logaritmische schaalverdeling de logaritme met grontal 10 nemen dan verkrijgen we op deze as een lineaire
schaalverdeling met absissen x0 . Er geldt:
0
10x = x ⇐⇒ x0 = log x
Voorbeelden:
• Bij het vergelijken van grootheden die zeer ver uit elkaar liggen, is de gewone lineaire
schaal onbruikbaar. Nemen we de volgende afstanden:
afstand x in km x0 = log x
straal van de aarde
6, 73 · 103
3,83
straal van de zon
6, 95 · 105
5,84
8
afstand aarde - zon
1, 50 · 10
8,18
afstand tot de dichtsbijzijnde ster 4, 05 · 1013
13,61
16
diameter van de melkweg
9, 45 · 10
16,98
18
afstand tot de Andromedanevel
1, 90 · 10
18,28
1. Plaats deze afstanden op een logaritmische schaal met grondtal 10;
2. Waar ligt x = 0 op deze schaal?
3. Stel het interval x ∈ [100 , 102 ] voor door een lijnstuk van 20 cm. Duid nu bij
benadering de punten x = 2, x = 3, x = 4 enz. x = 9 aan op de schaal 1.12
bvb. log 2 = 0, 3
4. Hoe kunnen we uit deze merkpunten die afleiden voor x = 20, x = 30, x = 40
enz. x = 90? Duid deze punten ook aan op de schaal 1.12: bvb. log 20 =
log(2 · 10) = log 2 + 1.
Elke twee getallen waarvan de verhouding 10 is liggen op de logaritmische
schaal op de afstand 1 van elkaar.
5. Met welk getal x ∈ [100 , 102 ] op de logaritmische schaal komt x0 = 0, 5 en
x0 = 1, 75 overeen? Duid deze getallen eveneens aan op de schaal 1.12: bvb.
100,5 = 3, 16
1.6. LOGARITMISCHE SCHAAL *
39
Figuur 1.12: Logaritmische schaal
• Thomas studeert wiskunde krijgt een cursus astrofysica. Thomas leert het volgende.
De Griekse sterrenkundige Hipparchos deelde de sterren op in zes klassen volgens
hun schijnbare helderheid vanop aarde: de helderste ster kreeg magnitude 1, de
zwakste sterren die nog net met het blote oog waarneembaar zijn hadden magnitude
6. Uit deze indeling ontstond de huidige, meer uitgebreide en verfijnde magnitudeschaal. Bovendien zijn de huidige metingen nauwkeuriger. De magnitudeschaal is
‘omgekeerd’ in die zin dat hoe kleiner de magnitude m van een ster, hoe helderder de
ster voor ons lijkt. De schaal is zo ontwikkeld dat een verschil van 5 op de magnitudeschaal overeenkomt met een factor 100 in de schijnbare helderheid: heeft een ster
bijvoorbeeld magnitude 10, dan betekent dit dat deze ster 100 keer helderder lijkt
voor ons dan een ster met magnitude
√ 15. Een verschil van 1 in de magnitudeschaal
komt dus overeen met een factor 5 100 = 2, 512 in helderheid. Beschouwen we twee
sterren met magnitudes m1 en m2 , en schijnbare helderheden vanop aarde b1 en b2 ,
dan geeft dit in een formule:
m2 −m1
m1 −m2
b1
= 100 5 = 10−2 5 .
b2
5
⇐⇒ x = − log y
2
waarbij x het verschil is in magnitude van twee sterren S1 en S2 en y de verhouding
van de lichtsterkte van S1 en S2 .
De zon heeft een magnitude van −26, 8 en de zwakste zichtbare ster een magnitude
van +24. De verhouding van de lichtsterkte van de zon t.o.v. de zwakste ster is:
y = 10
y = 10
−2x
5
−2(−26,8−24)
5
= 2 · 1020 = 1020,32
De zon is schijnbaar 1020 maal zo lichtsterk dan de zwakste ster.
De magnitude van de ster die een miljoen keer minder helder is dan de zon:
5
x = − log 10−6 ⇐⇒ x = 15
2
De magnitude van de ster is −26, 8 + 15 = −11, 6.
40
HOOFDSTUK 1. EXPONENTIËLE EN LOGARITMISCHE FUNCTIES
1.6.2
Grafieken met logaritmische schaal
Grafieken werden tot nu toe steeds getekend t.o.v. een assenstelsel met lineaire schaalverdeling zowel op de x-as als op de y-as. Soms is het interessant grafieken te tekenen t.o.v.
een assenstelsel waarvan één van de assen of beide assen een logaritmische schaalverdeling bezitten. Zo verkrijgen we grafieken die getekend zijn t.o.v. een enkellogaritmische
schaal of t.o.v. een dubbellogaritmische schaal.
De bedoeling van logaritmische schaalverdeling voor het tekenen van grafieken is de grafieken te herleiden tot rechten.
Voorbeeld: enkellogaritmische schaal
Teken de grafiek van de functie y = 5 · 3x t.o.v. een enkellogaritmische schaal waarbij de
x-as een lineaire schaal heeft en de y-as een logaritmische schaal heeft met grondtal 10.
Omdat de y-as logaritmisch is, is y 0 = log y. De grafiek van de functie t.o.v. de enkelvoudige logaritmische schaal is de grafiek van de functie y 0 = log(5·3x ) ⇔ y 0 = log 5+log 3·x.
Dit is een eerstegraadsfunctie.
Voorbeeld: dubbellogaritmische schaal
Teken de grafiek van de functie y = 5 · x3 t.o.v. een dubbellogaritmische schaal waarbij
de x-as en de y-as een logaritmische schaal hebben met grondtal 10.
Omdat de x-as en y-as logaritmisch zijn, is y 0 = log y en x0 = log x.
De grafiek van de functie t.o.v. een dubbellogaritmische schaal is de grafiek van de functie
0
y 0 = log(5 · (10x )3 ) ⇔ y 0 = log 5 + 3x0 . Dit is een eerstegraadsfunctie.
OPGAVEN — 30 Welk soort logaritmische schaal moeten we gebruiken opdat de grafieken van de
volgende functies rechten zouden voorstellen? Teken deze rechten t.o.v. het enkellogaritmisch of het
dubbellogaritmisch papier.
2
1. y = 2x
3. y = 42x
5. y = x
7. y = 3ex
√
8. y = 2x3
6. y = x
2. y = log x
4. y = log 14 x
31 We beschouwen de vleugelbelasting in gram per vierkante centimeter in functie van de lichaamsmassa
van enerzijds een vlinder en anderzijds een boeing. De grafieken van deze twee functies zijn twee rechten
in dubbellogaritmische schaal met grondtal 10. De rechte van de boeing gaat door de punten (3, 0) en
(−3, −2). De rechte van de vlinder gaat door het punt (1; −1, 5). .
1. Bereken de vleugelbelasting van een vlinder met massa 0,1 gram.
2. De massa van de boeing is gelijk aan 3, 2 · 108 g. Bepaal de vleugelbelasting van de boeing.
Oplossing:
30: enkelvoudig logaritmisch: 1-2-3-4-7 31: 1) 0,0068 g/cm2 ; 2) 68,40 g/cm2 .
1.6. LOGARITMISCHE SCHAAL *
41
42
HOOFDSTUK 1. EXPONENTIËLE EN LOGARITMISCHE FUNCTIES
1.6. LOGARITMISCHE SCHAAL *
32 Welke transformaties zijn er nodig om de functie f : y = log 12
g : y = 2x+2 ?
43
x
4
om te vormen tot de functie
33 De sterkte van het geluid dat we horen, noemen we het geluidsniveau N . Dit wordt uitgedrukt
in decibel (dB). Om het geluidsniveau te bepalen wordt de geluidsintensiteit I gematen in Watt per
vierkante meter (W/m2 ).
Van het geluid op een rustige dag buiten is de intensiteit ongeveer 10−7 W/m2 .
Het geluidsniveau kan je berekenen met de formule N = 120 + 10 log I.
1. Bereken het geluidsniveau op een rustige dag;
2. Op een rustige dag rijd een bromfiets voorbij. Het geluidniveau neemt op dat moment toe met
30 dB. Hoe groot is de geluidsintensiteit op dat moment?
3. Met hoeveel decibel neemt het geluidsniveau toe als de geluidsintensiteit verdubbelt?
4. Hoe verandert de geluidsintensiteit als het geluidsniveau verdubbeld?
5. T.o.v. welk logaritmische schaal stelt deze functie een rechte voor?
34 Een zwart lichaam is een lichaam dat alle straling die erop valt absorbeert. Het oppervlak ervan
zendt een hoeveelheid stralingsenergie uit die de emissiesterkte E (in W/m2 ) wordt genoemd. Deze
emissiesterkte hangt alleen af van de temperatuur T (in graden Kelvin) van het lichaam. Er geldt dat
E = σ · T 4 . Hierbij stelt σ een constante voor.
1. Druk log E uit in functie van log T ;
2. Welke rechte stelt de functie voor t.o.v. een dubbellogaritmische schaal.
3. Bereken σ op een miljardsten nauwkeurig als log σ = −7, 25;
35 De kracht van een aardbeving wordt gemeten met behulp van seismografen. Deze toestellen meten
de zogenaamde magnitude M op de schaal van Richter. Uit de waarde van M kan men de vrijgekomen
E
energie E berekenen met behulp van de formule 1, 5M = log 25000
met E uitgedrukt in Joule.
1. Druk E uit in functie van M ;
2. Op 24 februari 2003 deed zich een zware aardbevibg voor in het westen van China. De beving had
een kracht van 6,8 op de schaal van Richter. Bereken E;
3. Als de magnitude op de schaal van Richter met 1 toeneemt, hoeveel keer groter is dan de vrijgekomen energie?
4. In de tweede wereldoorlog werd op 6 augustus 1945 de eerste atoombom gegooid op Hiroshima.
Door deze ontploffing kwam ongeveer 7 · 1013 Joule energie vrij. Veronderstel dat deze ontploffing
ondergronds gebeurde, hoeveel zou de magnitude op de schaal van Richter dan bedragen?
36 De populatiedichtheid van dieren (in aantal per vierkante kilometer) in functie hun lichaamslengte
(in meter) stelt t.o.v. een dubbellogaritmisch.schaal een rechte voor bepaald door de punten (1; 1, 1) en
(2, 0) en de populatiedichtheid in functie van hun lichaamsmassa (in kg) stelt t.o.v. een dubbellogaritmisch
schaal een rechte voor door de punten (−6; 15, 5) en (− 38 , 8).
44
HOOFDSTUK 1. EXPONENTIËLE EN LOGARITMISCHE FUNCTIES
1. Stel de vergelijking op van elk van de rechten;
2. Leid daaruit de relatie tussen de massa en de lichaamslengte van dieren af.
3. Bepaal de functie die uitdrukt hoe snel het aantal dieren per vierkante kilometer afneemt bij
toenemende lichaamslengte.
4. Bepaal de functie die uitdrukt hoe snel het aantal dieren per vierkante kilometer afneemt bij
toenemende massa van de dieren.
1.7
De afgeleide functie van een logaritmische functie
STELLING 1.7 De afgeleide functie van de logaritmische functie y = loga x is de rationale functie y = k. x1 met x > 0 en k = loga e = ln1a .
1
d loga x
1
= (loga x)0 = loga e. =
dx
x
x. ln a
Bewijs: We bepalen de afgeleide van de logaritmen met grondtal a in een punt x van zijn
domein R+
0.
(loga x)0 = limh→0
loga (x+h)−loga x
h
= limh→0
loga x+h
x
h
1
= limh→0 h1 loga (1 + hx ) = limh→0 loga (1 + hx ) h
We gaan nu over naar een nieuwe veranderlijke n door de substitutie h = nx.
1
1
(loga x)0 = limn→0 loga (1 + n) nx = limn→0 x1 loga (1 + n) n
1
=
1
x
limn→0 (loga (1 + n) n ) =
=
1
x
loga e
1
x
1
loga (limn→0 (1 + n) n )
In dit laatste is x een constante voor de limiet en komt n1 als exponent na de logaritme
volgens een eigenschap van logaritme.
Omdat de logaritmische functie continu is in elk punt van haar domein en volgens de
rekenregel lima g(f (x)) = g(lima f (x)) geldt
1
1
lim (loga (1 + n) n = loga (lim (1 + n) n
n→0
n→0
Bovendien geldt:
lim(1 +
+∞
1
n= m
1
1 m
) = e =⇒
lim(1 + n) n = e.
0
m
1.7. DE AFGELEIDE FUNCTIE VAN EEN LOGARITMISCHE FUNCTIE
45
Figuur 1.13: de logaritmische functie y = log0,5 x en haar afgeleide functie
GEVOLG 1.1 De afgeleide functie van de Neperiaanse logaritmische functie is de rationale functie y = x1 met x > 0.
Inderdaad,
d ln x
1
1
= (ln x)0 =
=
dx
x ln e
x
want ln e = 1.
46
HOOFDSTUK 1. EXPONENTIËLE EN LOGARITMISCHE FUNCTIES
Opmerking: De richtingscoëfficiënt van de raaklijn in (1, 0) aan de grafiek van y = loga x
is gelijk aan
1
loga e =
ln a
In de volgende tabel zie je het verloop van de richtingscoëfficiënt in functie van de waarden
van het grondtal.
a
0
1
e
+∞
ln a
| −∞ %
0
% 1 % +∞
1
ln a
1
| ln a|
|0
&
−∞ | +∞
& 1
&
0
|0
%
+∞ | +∞
&
&
0
1
Figuur 1.14: de richtingscoëfficiënt van de raaklijn in (1, 0) aan de grafiek van een logaritmische functie
1.8. AFGELEIDE FUNCTIE VAN EEN EXPONENTIËLE FUNCTIE
1.8
47
Afgeleide functie van een exponentiële functie
De afgeleide functie van de exponentiële functie zal ons leren hoe snel de functie verandert.
Dit is belangrijk bij de exponentiële groei van bepaalde processen. We hebben reeds gezien
dat zo een groei afhankelijk is van wat er reeds aanwezig is. We zullen nu zien dat de
groeisnelheid verloopt zoals de functie zelf.
STELLING 1.8 De afgeleide functie van de exponentiële functie met grondtal a is gelijk
aan een veelvoud van de functie zelf. Dit veelvoud is ln a.
dax
= (ln a) · ax
dx
Bewijs: De afgeleide functies van inverse functies voor de samenstelling zijn elkaars omgekeerden.
dax =
1
met y = ax
dx
d loga y
dy
1
=
met y = ax
1
y ln a
= ln a.ax
GEVOLG 1.2 De afgeleide functie van de exponentiële functie met grondtal e is de
exponentiële functie zelf.
OPGAVEN — 37 Bepaal de afgeleide functie van de
√
1. y = ln(4x − 3)
9. y = ln 3 − x2
2. y = ln2 x
10. y = lnx|x|
3. y = x. ln x
11. y = ln x2
1
12. y = ln1x
4. y = ln x
x+1
5. y = ln x−1
13. y = ln x − ln(x − 1)
√
√
6. y = ln(x + x2 + 4) 14. y = ln 3 1 + x2
7. y = ln |x|
15. y = 2 ln x − 1 + x1
8.
y = ln | ln x|
y = ln(x2 + 1)
16.
volgende functies:
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
2
= lnxx2
= 15 x5 (ln x − 15 )
√
= √x ln x
= ln
√x
= ln x
x
= log( x−1
)
ln x
= 1+x2
q
3x+2
y = ln 3x−2
y
y
y
y
y
y
y
38 Bepaal de algeleide functie van elk van de volgende functies:
1.
2.
y = e5x
2
y = ex
5.
6.
3.
4.
y = (ax2 + bx + c).ex
y = ex + e−x
7.
8.
y = e1x
1−3x
y = 53 ln 5
√
√
√
3
3
y = (3x − 180) x2 − 15(x − 24) 3 x + 60x − 360 .e x
y = axx
48
HOOFDSTUK 1. EXPONENTIËLE EN LOGARITMISCHE FUNCTIES
Figuur 1.15: de exponentiële functie y = 2x en haar afgeleide functie
39 Bepaal de afgeleide functie van elk van de volgende functies:
1.
2*.
2
y = 3−x
√
y = (ln x − 1) 1 + x2 −
1
2
√
2
ln √xx2 +1−1
+1+1
3.
4*.
y = log3 (log2 x)
√
y = ln(e2x + e4x + 1)
40 Gegeven de functies f : y = 3x en g : y = x3 .
Gevraagd:
1. Teken de grafieken van de functies f en g.
2. De exponentiële functie gaat sneller omhoog dan de veeltermfunctie g. Echter voor kleine xwaarden zit de grafiek van de exponentiële functie eerst boven de grafiek van g en voor x = 3
snijden ze elkaar. Hoe is het verloop dan verder? Gaat de exponentiële functie dan weer onder de
veeltermfunctie of raken ze elkaar voor x = 3? In het eerste geval moet er nog een tweede snijpunt
zijn. Hoe kan je dat nagaan? Indien er een tweede snijpunt is, bepaal dit dan met de methode van
Newton op 4 decimalen nauwkeurig.
3. Los de ongelijkheid x3 > 3x op.
41 Bepaal de vergelijking van de raaklijn in het punt P (1, 10) aan de grafiek van y = 10x .
42 Bepaal de vergelijking van de raaklijn aan de grafiek van y = e−x loodrecht op de rechte 2x − y = 8.
1.8. AFGELEIDE FUNCTIE VAN EEN EXPONENTIËLE FUNCTIE
49
Figuur 1.16: de richtingscoëfficiënt van de raaklijn in (0, 1) aan de grafiek van een exponentiële functie
Oplossingen:
37
4
1. y 0 = 4x−3
ln x
0
2. y = 2 x
3. y 0 = 1 + ln x
4. y 0 = − x1
5. y 0 = − x22−1
6. y 0 = √x12 +4
7.
8.
38
1.
2.
y0 =
y0 =
1
x
1
x ln x
9.
10.
11.
12.
13.
14.
y0
y0
y0
y0
y0
y0
15.
16.
y0 =
y0 =
x
= − 3−x
2
ln |x|−1
= ln2 |x|
= x2
= − x ln12 x
1
= x(1−x)
2x
= 3(1+x2 )
2x−1
x2
2x
x2 +1
17.
18.
19.
20.
21.
22.
y0
y0
y0
y0
y0
y0
23.
24.
−2x ln x
y 0 = 1+x
x(1+x2 )2
6
y 0 = − (3x−2)(3x+2)
= 2−4x3ln x
= x4 ln x
√ x
= 2+ln
2 x
= 2x√1ln x
1
= 2x
1
= − x(x−1)
ln 10
2
2
5.
6.
y 0 = − e1x
y 0 = −51−3x
3.
y 0 = 5e5x
2
y0 = 2xex
y 0 = ax2 + (2a + b)x + b + c .ex
7.
y 0 = x.e
4.
y 0 = ex − e−x
8.
y0 =
1−x ln a
ax
39
1.
2*.
y 0 = −2 ln 3.x.3−x
y 0 = x4 ln x
2
3.
y0 =
4*.
y0 =
41: y − 10 = 10 ln 10(x − 1); 42: y −
1
2
√
3 x
1
ln(3)x ln x
2x
2 √ee4x +1
= − 12 (x − ln 2)
50
1.9
HOOFDSTUK 1. EXPONENTIËLE EN LOGARITMISCHE FUNCTIES
Logaritmisch afleiden*
Als een functie f het product is van verschillende factoren, kan het afleiden vereenvoudigd
worden als we alvorens af te leiden de natuurlijke logaritmen nemen van de functie:
1 df
df
d ln(f )
d ln(f )
= .
⇐⇒
= f.
.
dx
f dx
dx
dx
Voorbeeld:
dxx
dx ln x
d ln xx
= xx .
= xx
= xx (1 + ln x).
dx
dx
dx
OPGAVEN — 43 Bepaal de afgeleide functie van elk van de volgende functies
1
1. y = (ln x)x .
2. y = x ln x
44 Bepaal de vergelijking van de raaklijn in het punt P van de grafiek van
1. y = xln x in P (e, e)
2. y = (x + 1)x in P (1, 2)
Oplossingen:
43
1. y = (ln x)x−1 (ln(ln x) +
44
1. y − e = 2(x − e)
1
ln x ).
2.
y=0
2.
y − 2 = (2 ln 2 + 1)(x − 1)
1.10
Limieten en continuı̈teit van de exponentiële en
logaritmische functies
1.10.1
De standaardlimieten
De exponentiële en logaritmische functies zijn continu in alle punten van hun domein.
Het domein van een exponentiële functie is R en het domein van een logaritmische functie
is ]0, +∞[. Plakpunten van het domein van een exponentiële functie zijn −∞ en +∞,
voor een logaritmische functie is dat 0 en +∞. De limiet in −∞ is dus zinledig voor een
logaritmische functie.
Onthoud heel goed de volgende limieten aan de hand van de grafieken van de verschillende
soorten exponentiële en logaritmische functies afhankelijk van de waarde van het grondtal
a.
∀a ∈]0, 1[:
lim−∞ ax = +∞ lim+∞ ax = 0
lim0 loga x = +∞ lim+∞ loga x = −∞
∀a ∈]1, +∞[: lim−∞ ax = 0
lim+∞ ax = +∞ lim0 loga x = −∞ lim+∞ loga x = +∞
1.10. LIMIETEN EN CONTINUÏTEIT VAN DE EXPONENTIËLE EN LOGARITMISCHE FUNCTIES5
1.10.2
Limieten waarin een exponentiële en logaritmische functie voorkomt
Voorbeelden:
•
lim
+∞
+∞
ex
ex
=(
) = lim
= +∞
+∞ 1
x
+∞
•
2
lim(x.e1−x ) = (+∞.0)
+∞
We hebben hier twee mogelijkheden, ofwel brengen we de onbepaaldheid in de vorm
0
ofwel in de gedaante ∞
. Hier kiezen we voor de tweede mogelijkheid.
0
∞
x
2
lim(x.e1−x ) = lim
+∞
+∞
= lim
+∞
• *
e
x2 −1
=(
∞
)
∞
1
=0
2xex2 −1
1
lim(e x+3 − 1).x = 0 · ∞
±∞
We brengen de onbepaaldheid in de vorm 00 .
1
lim(e
±∞
1
x+3
− 1).x = lim
e x+3 − 1
1
x
±∞
=
0
0
Met de regel van de l’Hospital zullen we de onbepaaldheid niet wegkrijgen omwille
van het feit dat we de afgeleide van een quotiënt weer een quotiënt oplevert. Om
dat te verhelpen kunnen we een substitutie uitvoeren.
∀x 6= 0 : u =
1
1 − 3u
1
u
⇐⇒ x =
⇐⇒ =
x+3
u
x
1 − 3u
1
lim(e x+3 − 1).x = lim
±∞
0
eu − 1
u
1−3u
= lim
OPGAVEN — 45 Bepaal de volgende limieten:
x
1
1. lim0 (x. ln x)
4. lim0 a x−1
7. lim0 3 x
x
2. lim0 loga (1+x)
5. lim∞ log2 (x2 − 2x) 8. lim∞ 1010
x +1
x
3.
lim1 ln | ln x |
6.
lim∞
x
ln|x|
9.
lim∞
ex
e2x +e−x
0
eu
1
(1−3u)2
=1
52
HOOFDSTUK 1. EXPONENTIËLE EN LOGARITMISCHE FUNCTIES
Oplossingen: 45 1. 0; 2. 1/ ln a; 3. −∞; 4. ln a;
8. in +∞: 1, in −∞: 0; 9. 0.
5. +∞; 6. ∞; 7. RL:+∞, LL:0;
AN II HUISTAAK 4
1. Bereken√de afgeleide functie√van de
√ volgende functies:
x
a. y = logx 5
d. y = 2
g. y = ln( x − x − 1)
1−ln x
x
e.
y
=
e
ln
x
h.
y = (1, 6x + x1,6 )
b. y = 1+ln
x
x
c.* y = ln |x3 − x2 | f.* y = xe
i.* y = (xx )x
2. Bereken de volgende limieten:
2
a. lim0 (x · ln x)
c. lim0 ln(1−x)
x
x −2−x
b. lim∞ 52x+5
d. lim∞ 22x +3·2
−x
3. Bepaal de vergelijking van de raaklijn in het punt P (0, ln 2) aan de grafiek van
y = ln(1 + ex ).
4. Maak gebruik van de afgeleiden om het verloop van de functie y =
en teken de grafiek zonder computer;
x
ln |x|
te bestuderen
5. Maak gebruik van de afgeleiden om het verloop van de functie f : y = 14 (32x − 8 · 3x )
te bestuderen en teken de grafiek zonder computer;
6. Los de volgende vergelijking op: y 4 − 585y + 584 = 0. Leid hieruit de oplossingen
af van x1,2 − 585x0,3 + 584 = 0.
1.11. HYPERBOLISCHE FUNCTIES*
53
1.11
Hyperbolische functies*
1.11.1
Definities
x
−x
sinushyperbolicusfunctie: sinh x = e −e
;
2
ex +e−x
cosinushyperbolicusfunctie: cosh x = 2 ;
x
−x
sinh x
tangenshyperbolicusfunctie: tanh x = cosh
= eex −e
;
x
+e−x
ex +e−x
1
cotangenshyperbolicusfunctie: coth x = tanh x = ex −e−x ;
1
2
secanshyperbolicusfunctie: sechx = cosh
= ex +e
−x ;
x
2
1
cosecanshyperbolicusfunctie: cosechx = sinh x = ex −e
−x ;
1.11.2
Hyperbolische identiteiten
cosh2 x − sinh2 x = 1
sinh 2x = 2 sinh x. cosh x
cosh 2x = cosh2 x + sinh2 x = 2 cosh2 x − 1 = 1 + 2 sinh2 x
sinh2 x =
cosh 2x − 1
2
cosh2 x =
cosh 2x + 1
2
1 − tanh2 x = sech2 x
coth2 x − 1 = cosech2 x
54
HOOFDSTUK 1. EXPONENTIËLE EN LOGARITMISCHE FUNCTIES
Figuur 1.17: de kettinglijn: y = 2 cosh x2 −
1.12
5
6
en y =
17 2
x
54
+
7
6
De inverse hyperbolische functies
Om het voorschrift van de inverse functie van een gegeven functie te vinden vervangen we
in het voorschrift van de gegeven functie x door y en y door x en lossen we de bekomen
1.12. DE INVERSE HYPERBOLISCHE FUNCTIES
55
vergelijking op naar y.
De sinushyperbolicus
ex − e−x
2
is een stijgende bijectie. De inverse functie van de sinushyperbolicusfunctie is tevens een
stijgende bijectie.
ey − e−y
x=
⇐⇒ e2y − 2x.ey − 1 = 0
2
De laatste vergelijking is een kwadratische vergelijking in ey . Hieruit kunnen we ey oplossen.
√
√
ey = x + x2 + 1 ⇐⇒ y = ln(x + x2 + 1)
y=
De inverse functie van de sinushyperbolicus is de functie
√
y = arg sinh = ln(x + x2 + 1),
de argumentsinushyperbolicus.
De cosinushyperbolicus is geen bijectie. We nemen de restrictie van de cosinushyperbolicus
tot R+ .
ex + e−x
∧x≥0
y=
2
Deze restrictie is een stijgende bijectie. De inverse functie is tevens een stijgende bijectie.
x=
ey + e−y
∧ y ≥ 0 ⇐⇒ e2y − 2x.ey + 1 = 0 ∧ y ≥ 0
2
Hieruit kunnen we ey oplossen.
√
√
ey = x + x2 − 1 ∧ y ≥ 0 ⇐⇒ y = ln(x + x2 − 1) ∧ y ≥ 0
De functiewaarden van deze laatste functie zijn positief als x groter is dan 1. De inverse
functie van de cosinushyperbolicus is de functie
√
y = arg cosh = ln(x + x2 − 1) ∧ x ≥ 1,
de argumentcosinushyperbolicus.
Op analoge wijze kunnen we de inverse functies bepalen van de overige hyperbolische
functies.
De inverse functie van de tangenshyperbolicus is de argumenttangenshyperbolicus
y = arg tanh =
1 1+x
ln
met x2 < 1
2 1−x
56
HOOFDSTUK 1. EXPONENTIËLE EN LOGARITMISCHE FUNCTIES
De inverse functie van de cotangenshyperbolicus is de argumentcotangenshyperbolicus
1 x+1
met x2 > 1
y = arg coth = ln
2 x−1
De inverse functie van de secanshyperbolicus is de argumentsecanshyperbolicus
√
1 + 1 − x2
y = arg sech = ln
met 0 ≤ x ≤ 1
x
De inverse functie van de cosecanshyperbolicus is de argumentcosecanshyperbolicus
√
1
1 + x2
) met x 6= 0
y = arg cosech = ln( +
x
|x|
1.13
Afgeleide functies
1.13.1
Afgeleide functies van de hyperbolische functies
d sinh x
= cosh x
dx
d cosh x
= sinh x
dx
d tanh x
= sech2 x
dx
d coth x
= −cosech2 x
dx
dsechx
= −sechx. tanh x
dx
dcosechx
= −cosechx. coth x
dx
1.13.2
De afgeleide functies van de inverse functies van de hyperbolische functies
√
d ln(x + x2 + 1)
1
=√
2
dx
x +1
√
d ln(x + x2 − 1)
1
=√
met x > 1
dx
x2 − 1
1.14. WISKUNDE-CULTUUR
57
1+x
1 d ln 1−x
1
=
met x2 < 1
2 dx
1 − x2
x+1
1
1 d ln x−1
=
met x2 > 1
2 dx
1 − x2
√
2
d ln 1+ x1−x
1
met 0 < x ≤ 1
=− √
dx
x 1 − x2
d ln( x1 +
√
dx
1.14
1+x2
)
|x|
=−
1
√
met x 6= 0
|x| 1 + x2
Wiskunde-Cultuur
Simon STEVIN (1585), een boekhouder uit Brugge, zette in zijn boekje ‘De Thiende’ het
gehele toenmaals verwarde stelsel van maten en gewichten om in een decimaal stelsel.
Daarbij liet Stevin zien hoe men met decimale breuken even gemakkelijk kan rekenen als
met gehele getallen. Stevins manier om decimale breuken te schrijven is nogal omslachtig.
Onze tegenwoordige notatie is ontstaan als een gevolg van een andere grote verbetering in
de rekentechniek, de uitvinding van de logaritmen. Gedurende de zestiende eeuw hadden
wiskundigen met de mogelijkheid gespeeld, een rekenkundige met een meetkundige reeks
in correspondentie te plaatsen (bv. STIFEL), vaak met de bedoeling het werk met de
ingewikkelde trigonometrische tafels te vergemakkelijken. Dit was het doel van de Schotse
burchtheer John NEPIER (of NEPER), die in 1614 een boek uitgaf over logaritmen.
Met de logaritmen kon Neper een vermenigvuldiging terugvoeren tot een optelling. Dit
vereenvoudigde het rekenen met trigometrische waarden. Nepers eerste poging was nogal
onbeholpen, aangezien zijn corresponderende reeksen in moderne schrijfwijze waren
y = a · e−x/a en x = ln y
zodat x1 +x2 correspondeert met y1a·y2 . Zijn bewonderaar Henry BRIGGS, een professor
aan het nieuwe Gresham College in Londen, besloot een decimaal systeem op te bouwen,
berustende op wat wij als y = 10x zouden schrijven, zodat x1 +x2 correspondeert met y1 ·y2 .
Neper heeft de decimale breuken van Stevin overgenomen, doch de schrijfwijze gewijzigd:
gehelen en breukdeel werden door een punt gescheiden. Met Stevins decimale breuken en
Briggs’ decimale logaritmen was zodoende het Hindoe-Arabisch stelsel tot dezelfde graad
van vervolmaking gebracht als het nu bezit. De nieuwe uitvinding werd onmiddellijk door
astronomen en wiskundigen met vreugde begroet, vooral door KEPLER, die een lange en
pijnlijke ervaring met gecompliceerde berekeningen achter de rug had. De exponentiële
functies die we hier gebruikt hebben voor dde notatie werden eerste in het laatste deel
van de zeventiende eeuw ingevoerd. De fundamentele betekenis van de Neperiaanse en
Briggse logaritmen werd eerst begrepen toen de differentiaal- en integraalrekening reeds
ontwikkeld was.
58
HOOFDSTUK 1. EXPONENTIËLE EN LOGARITMISCHE FUNCTIES
Hoofdstuk 2
Goniometrische functies
De goniometrische functies zijn belangrijke functies die op diverse terreinen hun toepassing vinden.
In de fysica worden goniometrische functies gebruikt om periodieke verschijnselen te beschrijven zoals voortplanting van geluidsgolven, slingerbewegingen, cirkelbewegingen en
wisselstromen.
In de geneeskunde wordt de hartslag beschreven door het cardiogram, de luchtstroomsnelheid bij het ademhalen is eveneens een periodiek verschijsel. In de weersvoorspelling
is de temperatuur benaderend een periodieke functie van de tijd.
2.1
2.1.1
De sinusfunctie
Definitie
De sinusfunctie is de reële functie die elk reëel getal x afbeeldt op sin(x rad).
Met symbolen:
sin : R −→ R, x 7−→ sin x = sin(x rad).
Het voorschrift van de functie is
y = sin x.
2.1.2
De grafiek
De grafiek van de sinusfunctie noemen we de sinusoı̈de. Enkele punten van de sinusoı̈de
zijn de punten (0, 0), (π/2, 1), (π, 0), (3π/2, −1) en (2π, 0) (teken in figuur 2.1).
59
60
HOOFDSTUK 2. GONIOMETRISCHE FUNCTIES
Figuur 2.1: de sinusoı̈de en de cosinusoı̈de
2.1.3
Kenmerken van de sinusfunctie
• Het domein van de sinusfunctie is R. De beeldverzameling is [−1, 1], d.w.z. dat de
waarden van de sinusfunctie variëren tussen −1 en 1.
* De sinusfunctie is een periodieke functie met periode 2π want 2π is het
kleinste positief getal waarvoor
∀x ∈ R : sin(x ± 2π) = sin x.
−
De sinusoı̈de gaat dus over in zichzelf onder een verschuiving met vector →
v (−2π, 0)
→
−
of met vector v (2π, 0)
• Punten van symmetrie
De sinusoı̈de heeft oneindig veel punten van symmetrie, nl. de punten met coördinaat
(kπ, 0) met k ∈ Z.
Bewijs: Twee punten (x, y) en (x0 , y 0 ) liggen symmetrisch t.o.v. het punt (kπ, 0) en
dit voor elke k ∈ Z als
x+x0
= kπ
x + x0 = 2kπ
x = 2kπ − x0
2 0
⇐⇒
⇐⇒
y+y
y + y0 = 0
y = −y 0
=0
2
We moeten aantonen dat als (x, y) een punt is van de sinusoı̈de het punt (x0 , y 0 )
eveneens een punt is van de sinusoı̈de.
y = sin x ⇐⇒ −y 0 = sin(2kπ − x0 ) ⇐⇒ y 0 = − sin(−x0 ) ⇐⇒ y 0 = sin x0
Dit laatste geldt omdat de sinussen van tegengestelde hoeken tegengesteld zijn.
2.2. DE COSINUSFUNCTIE
61
In het bijzonder is de oorsprong een punt van symmetrie (voor k = 0). Bijgevolg is
de sinusfunctie een oneven functie.
∀x ∈ R : sin(−x) = − sin x.
• Assen van symmetrie
De sinusoı̈de heeft oneindig veel assen van symmetrie, nl. de rechten met vergelijking
x=
π
+ kπ met k ∈ Z
2
Bewijs: Twee punten (x, y) en (x0 , y 0 ) liggen symmetrisch t.o.v. de rechte x =
en dit voor elke k ∈ Z als
x+x0
π
0
x
+
x
=
π
+
2kπ
x = π + 2kπ − x0
=
+
kπ
2
2
⇐⇒
⇐⇒
y = y0
y = y0
y = y0
π
2
+kπ
We moeten aantonen dat als (x, y) een punt is van de sinusoı̈de het punt (x0 , y 0 )
eveneens een punt is van de sinusoı̈de.
y = sin x ⇐⇒ y 0 = sin(π + 2kπ − x0 ) ⇐⇒ y 0 = sin(π − x0 ) ⇐⇒ y 0 = sin x0
Dit laatste geldt omdat de sinussen van supplementaire hoeken gelijk zijn.
2.2
2.2.1
De cosinusfunctie
Definitie
De cosinusfunctie is de reële functie die elk reëel getal x afbeeldt op cos(x rad).
Met symbolen: cos : R −→ R, x 7−→ cos x = cos(x rad).
Het voorschrift van de cosinusfunctie is
y = cos x.
2.2.2
De grafiek
De grafiek van de cosinusfunctie noemen we de cosinusoı̈de. We kunnen de cosinusoı̈de
afleiden uit de sinusoı̈de en dat op twee manieren.
62
HOOFDSTUK 2. GONIOMETRISCHE FUNCTIES
1. Uit
π
− x)
(2.1)
2
leiden we af dat de cosinusoı̈de het beeld is van de sinusoı̈de onder een spiegeling
om de rechte x = π4 . Bewijs dit met de transformatieformules van de spiegeling.
cos x = sin(
2. Uit
π
)
(2.2)
2
leiden we af dat de cosinusoı̈de het beeld is van de sinusoı̈de onder een verschuiving
met vector ~v ( π2 , 0)
cos x = sin(x +
TAAK ♣ 46
1. Teken de grafiek van de cosinusfunctie op figuur 2.1;
2. Bepaal de elementen van symmetrie voor de cosinusoı̈de;
3. Waarom is de cosinusfunctie een even functie? Wat is dan het kenmerk op grafiek?
2.3
De functie y = a sin(bx + c) + d
We beschouwen de beweging van een propellertip van een vliegtuig (uiteinde van een
schroef). Bij een stilstaand vliegtuig beschrijft de propellertip een cirkelbeweging, bij een
bewegend vliegtuig met constante snelheid wordt een schroeflijn beschreven. Kijken we
frontaal naar de schroef dan zien we de propellertip een cirkel beschrijven, kijken we van
opzij dan zien we de propellertip een kromme beschrijven die gelijkt op de sinusoı̈de.
Figuur 2.2: De beweging van een propellertip
We onderstellen dat L de afstand is afgelegd door het vliegtuig gedurende één omwenteling van de schroef. We zetten de uitwijking |P Q| van de propellertip t.o.v. de horizontale
stand uit in functie van de afstand x afgelegd door het vliegtuig (zie figuur 2.2).
2.3. DE FUNCTIE Y = A SIN(BX + C) + D
63
Figuur 2.3: y = sin 2x, y = sin(x/3), y = 2 sin(x/3)
a. We onderstellen dat de lengte van de propeller gelijk is aan 1.
De uitwijking van de propellertip is |P Q| = sin ϕ waarbij ϕ de hoek is die de
propeller insluit met zijn horizontale stand (zie figuur 2.2). We drukken ϕ uit in
functie van x:
Na een afstand L is ϕ = 2π.
x
Na een afstand x is ϕ = 2π
L
Het voorschrift van de uitwijking van de propellertip in functie van x is
y = sin(
2π
x)
L
waarbij L de periode is van de functie want
sin(
2π
2π
2π
(x + L)) = sin( x + 2π) = sin( x)
L
L
L
Voor de functie y = sin(bx) kunnen we het volgende zeggen.
1. De functie is een periodieke functie met periode L =
2π
b
vermits b =
2π
.
L
2. De grafiek is een uitrekking langs de x-as van de sinusoı̈de met factor
b < 1 en een inkrimping met factor b als b > 1.
1
b
als
3. Om de grafiek van de functie te tekenen, tekenen we eerst de grafiek van de
functie over één periode. Dit deel van de grafiek zit in de rechthoek met hoekpunten (0, 1), (0, −1), (L, −1) en (L, 1).
Voorbeeld: De periode van y = sin 2x en y = sin(x/3) zijn resp. π en 6π (zie figuur
2.3).
b. We onderstellen dat de lengte van de propeller gelijk is aan a.
De bewegingsvergelijking is
y = a sin(bx).
We verkrijgen een uitrekking van de grafiek van y = sin(bx) langs de y-as met een
factor a als a > 1 en een inkrimping met factor a1 als a < 1.
64
HOOFDSTUK 2. GONIOMETRISCHE FUNCTIES
De maximale uitwijking van de propellertip is gelijk aan a, die de amplitude wordt
genoemd.
De grafiek van de functie y = a sin(bx) over over één periode zit in de rechthoek met
hoekpunten (0, a), (0, −a), (L, −a) en (L, a).
Voorbeeld: De amplitude van y = 2 sin( x3 ) is gelijk aan 2 (zie figuur 2.3). De periode
is 6π.
c. We onderstellen dat bij de start van het vliegtuig de propeller niet horizontaal staat
maar een hoek c maakt met de horizontale stand. De uitwijking voor x = 0 is dan
a sin c.
De bewegingsvergelijking is:
c
y = a sin(bx + c) = a sin(b(x + )).
b
Dit laatste betekent dat de grafiek van de functie y = a sin(bx) verschoven wordt
over de vector (− cb , 0) = (e, 0).
De grafiek van de functie y = a sin(bx + c) over één periode zit in de rechthoek met
hoekpunten (e, a), (e, −a), (e + L, −a) en (e + L, a).
Voorbeeld: De grafiek van y = 21 sin(3x − 6) is de verschuiving met vector (2, 0) van
de grafiek van y = 12 sin(3x) (zie figuur 2.4).
Figuur 2.4: y = 21 sin(3x − 6)
2.3. DE FUNCTIE Y = A SIN(BX + C) + D
65
d. Meten we de uitwijking van de propellertip niet t.o.v. het middelpunt van de schroef
maar bijvoorbeeld vanaf de grond en is d de afstand van het middelpunt tot de grond
dan ziet de bewegingsvergelijking er als volgt uit
y = a sin(bx + c) + d
.
Besluit: Voor de functie y = a sin(bx + c) + d bepalen we
1. de periode: L =
2π
b
2. de amplitude: a
3. de vector van verschuiving: (− cb , d) = (e, d)
4. de grafiek van de functie over één periode en die zit in de rechthoek met hoekpunten (e, a + d), (e, −a + d), (L + e, −a + d) en (L + e, a + d).
Voorbeeld: y = 3 sin( x2 + π8 ) + 1 Om de grafiek van de functie te tekenen (in figuur
2.5, bepalen we:
1. de periode: L =
2π
1/2
= 4π
2. de amplitude: a = 3
3. de vector van verschuiving: (− π8 / 12 , 1) = (− π4 , 1)
We tekenen
1. De rechte y = 1 (middenparallel van de rechthoek);
2. De vector van verschuiving (− π4 , 1);
3. De hoekpunten van de rechthoek nl. (− π4 , 4), (− π4 , −2), (− π4 + 4π, −2) en ( π4 +
4π, 4);
4. We verdelen deze rechthoek in 4 gelijke delen. De drie verdelingspunten zijn
(− π4 + π, 1), (− π4 + 2π, 1) en (− π4 + 3π, 1) (dit zijn punten van symmetrie).
De rechten x = − π4 + π en x = − π4 + 3π zijn assen van symmetrie.
66
HOOFDSTUK 2. GONIOMETRISCHE FUNCTIES
Figuur 2.5: y = 3 sin( x2 + π8 ) + 1
OPGAVEN — 47 Teken de grafiek van de volgende functies. Bepaal vervolgens de punten van symmetrie en de symmetrieassen van de grafiek.
1.
2.
y = sin 2x
y = sin x3
3.
y = −0, 75 sin( 23 x − 23 π)
3.
4.
y = 2 sin x − 2
y = 12 sin(3x + 1)
48 Elk van de grafieken van de volgende goniometrische functies is de grafiek van een sinusfuncties
y = a sin(bx + c) + d. Bepaal dat voorschrift en breng dit in verband met het gegeven voorschrift.
1.
2.
y = sin x + cos x
1
y = tan x+cot
x
y = sin2 ( π8 + x2 ) − sin2 ( π8 − x2 )
2 tan x
y = 1+tan
2x
3.
4.
49 Elk van de grafieken van de volgende goniometrische functies is de grafiek van een sinusfuncties
y = a sin(bx + c) + d. Bepaal dat voorschrift en breng dit in verband met het gegeven voorschrift.
1.
2.
cos 2x
y = 1−tan
2x
y = cos4 x − sin4 x
3.
y = sin2 2x
2.4. DE FUNCTIE Y = A SIN(ωT + ϕ0 )
67
AN II HUISTAAK 5
1. Teken de grafiek van de volgende functie. Bepaal vervolgens de punten van symmetrie en de symmetrieassen van de grafiek.
y = 20 sin(
πx 3
− π) + 30
40
4
2. Teken met de computer de grafieken van de volgende functies. Leid daaruit een
ander voorschrift af voor elk van de functie. Toon het verband aan tussen beide
voorschriften.
1. y = 3 sin 2x −
2.4
4 sin 2x
1+cot2 2x
2. y =
sin 3x
sin x
−
cos 3x
cos x
De functie y = a sin(ωt + ϕ0)
We kunnen de uitwijking van de propellertip in functie van de tijd beschouwen. We onderstellen dat T de tijd is nodig voor één omwenteling van de propeller. De uitwijking van
de propellertip is a sin ϕ waarbij ϕ de hoek is die de propeller insluit met zijn horizontale
stand.
We drukken ϕ uit in functie van de tijd t:
Na een tijd T is ϕ = 2π.
t = ωt
Na een tijd t is ϕ = 2π
T
Is voor t = 0 de hoekuitwijking gelijk aan ϕ0 dan is de bewegingsvergelijking
y = a sin(ωt + ϕ0 ).
De begrippen bij deze functie van de tijd:
1. de amplitude: a d.i. de maximale uitwijking van de propellertip.
2. de periode: T =
2π
ω
d.i de tijd nodig voor 1 omwenteling.
3. de hoeksnelheid: ω d.i. een constante snelheid.
4. de beginfase: ϕ0
5. de frequentie: f = T1 d.i. het aantal omwentelingen per tijdseenheid (eenheid van
frequentie is 1 Hertz=1/sec).
68
HOOFDSTUK 2. GONIOMETRISCHE FUNCTIES
Opmerking: Men kan nu ook uitgaande van de grafiek van een algemene sinusfunctie het
voorschrift bepalen. Dat is bijvoorbeeld interessant als we gemiddelde dagtemperatuur
van een bepaalde streek willen weten op een bepaalde dag van het jaar. In de loop
van de jaren zien we dat de gemiddelde dagtemperatuur verloopt volgens een algemene
sinusfunctie. Als we het voorschrift van deze functie bepalen kunnen we voor de toekomst
voorspellingen doen i.v.m. de gemiddelde dagtemperatuur.
Praktisch voorbeeld voor de muziekliefhebbers:
Eén van de langste pijpen van een kerkorgel is gestemd op de la vier octaven
onder de stemvork-la. Indien de geluidsgolf voortgebracht door deze pijp,
afgebeeld wordt op een oscilloscoop, zien we de grafiek van de functie
y = sin(56πt).
Hierbij stelt t de tijd voor in seconden. Bij zo’n zuivere sinusgrafiek spreekt
men van een harmonische trilling. Bepaal zelf de periode en de frequentie
van deze trilling.
In een ander register van het kerkorgel zit een pijp die dezelfde noot aanblaast.
Deze pijp is onzuiver gestemd en de toon klinkt iets te laag en veroorzaakt de
harmonische trilling
y = sin(54πt).
Bepaal zelf de frequentie van deze toon.
Wanneer beide pijpen van het orgel samen aangeblazen worden dan brengt
dit een trilling voort die niet meer harmonisch is. Deze samenklank wordt
dissonant genoemd en wordt beschreven door de functie
y = sin(56πt) + sin(54πt).
Als we de grafiek van deze functie bekijken dan zien we dat de amplitude van
deze trilling veranderlijk is. Bij het luisteren klinkt deze afwisselend sterke en
zwakke toon vals in de oren. Men noemt dit ook een zweving.
Om de wisselende amplitude en de frequentie van de resulterende trillingsfunctie te berekenen, passen we de formules van Simpson toe en we verkrijgen
y = 2 cos(πt) sin(55πt).
De factor 2 cos(πt) stelt de wisselende amplitude voor. Bij een amplitude 0
is het geluid niet hoorbaar en bij een maximale amplitude 2 is het geluid het
best hoorbaar. Hoeveel zwevingen hoor je per seconde?
De frequentie van de trilling is gelijk aan de frequentie van de harmonische
trilling y = sin(55πt). Hoe is deze frequentie af te leiden uit de frequenties
van de tonen van de twee afzonderlijke pijpen?
2.5. DE STANDAARDLIMIET LIM0
SIN X
X
=1
Figuur 2.6: de grafiek van y =
2.5
69
sin x
x
in de omgeving van 0
De standaardlimiet lim0 sinx x = 1
We proberen de functie y = sinx x te begrenzen door twee andere functies waarvan we de
limiet in 0 gemakkelijk kunnen bepalen.
sin x
π π
, [\{0} : cos x <
<1
2 2
x
Vul de figuur 2.6 aan met de grafieken van de functies y = cos x en y = 1.
∀x ∈] −
lim cos x = 1 en lim 1 = 1
0
0
Uit de Sandwich Regel volgt dat
lim
0
sin x
= 1.
x
Betekenis van lim0 sinx x = 1: Voor hoeken waarvan het maatgetal uitgedrukt in radialen
dicht bij nul ligt kan de sinus benaderd worden door het maatgetal zelf.
Voorbeeld: sin 0, 05 ≈ 0, 05 of sin(−0, 075) ≈ −0, 075
OPGAVEN — 50 Bepaal de volgende limieten:
2x
a. lim1 sin(x−1)
b. lim0 sinx3x c. lim0 2 sin x−sin
x−1
2x3
70
HOOFDSTUK 2. GONIOMETRISCHE FUNCTIES
Figuur 2.7: de grafiek van y = x sin x1
Oplossingen:50 a. 1 b. 3 c.
1
2
De limiet lim0 x sin x1 .
De lim0 x betaat maar de lim0 sin x1 bestaat niet. De limiet van het product kan echter wel bestaan.
We proberen deze functie te begrenzen door twee andere functies waarvan we de limiet in 0 gemakkelijk
kunnen zien. De sinus is steeds begrensd tussen −1 en 1.
∀x ∈ R0 : −1 ≤ sin
1
≤1
x
m
∀x ∈ R0 : −|x| ≤ x sin
1
≤ |x|
x
We weten dat
lim(−|x|) = 0 en lim |x| = 0.
0
0
Uit de Sandwich Regel volgt dat
lim x sin
0
1
= 0.
x
2.6. DE AFGELEIDE FUNCTIE VAN DE SINUSFUNCTIE EN DE COSINUSFUNCTIE71
Figuur 2.8: de sinusfunctie en haar afgeleide functie
2.6
De afgeleide functie van de sinusfunctie en de
cosinusfunctie
STELLING 2.1 De afgeleide functie van de sinusfunctie is de cosinusfunctie.
D sin x =
d sin x
= cos x
dx
Bewijs: We beschouwen de sinusfunctie y = sin x.
d sin x
sin(x + h) − sin x
= lim
h→0
dx
h
m
2 sin x+h−x
. cos x+h+x
2
2
h→0
h
m
D sin x = lim
2 sin h2 . cos(x + h2 )
D sin x = lim
h→0
h
m
D sin x = lim
h→0
sin h2
h
2
h
. cos(x + )
2
m
D sin x = cos x.
72
HOOFDSTUK 2. GONIOMETRISCHE FUNCTIES
Figuur 2.9: de cosinus functie en har afgeleide functie
GEVOLG 2.1 De afgeleide functie van de cosinusfunctie is de tegengestelde functie van
de sinusfunctie.
Bewijs:
D cos x = D sin(
π
π
π
− x) = cos( − x) · D( − x) = sin x · (−1) = − sin x.
2
2
2
Voorbeelden:
• D cos(x2 − 1) = −2x sin(x2 − 1);
• D cos2 x = 2 cos x(− sin x);
cos(1−x)
8
• D cos(1−x)
= − 8D
=
cos2 (1−x)
8 sin(1−x)
cos2 (1−x)
OPGAVEN — 51 Bepaal door gebruik te maken van de afgeleide functies de extrema en de buigpunten
van de sinusfunctie en van de cosinusfunctie (Maak een tabel met tekenverloop over 1 periode).
2.6. DE AFGELEIDE FUNCTIE VAN DE SINUSFUNCTIE EN DE COSINUSFUNCTIE73
52 Bereken de afgeleide van volgende functies:
y = sin 3x
2.
10.
y = 6 cos2 x + 6 cos x
11.
y = cos2 x − sin x cos x
4.
y = cos2 2x
√
y = sin x
√
3
y = cos2 x
12.
y = cos x(sin2 x + 2)
5.
y = cos3 (2x3 + 3x)2
13.
6.
14.
7.
y = sin x(sin x − cos x)
q
1+sin x
y = 1−sin
x
cos x
y = 1+cos
2x
√
3
sin x2
15.
y=√
8.
y = esin x
16.
y = ax . cos x
3.
9.
y=
√
1.
sin 5x
sin x
2 cos2 x−sin2 x
53 * Bereken de afgeleide functies van de volgende functies:
1.
y = x − sin x cos x
2.
y=
sin x−x cos x
cos x+x sin x
3.
4.
y=q
2x sin x − (x2 − 2) cos x
x sin x
y = 1−cos
x
Oplossingen:
52
1. y 0 = 3 cos 3x
2. y 0 = −2 sin 4x
9.
10.
5x
y 0 = 25√cos
sin 5x
0
y = −6 sin x(1 + 2 cos x)
3.
y0 =
cos x
√
2 sin x
11.
y 0 = −(sin 2x + cos 2x)
4.
y0 =
−2
√ sin x
3 3 cos x
12.
y 0 = −3 sin3 x
5.
y 0 = −18(2x3 + 3x)(2x2 + 1)cos2 (2x3 + 3x)2 sin(2x3 + 3x)2
13.
y0 =
− sin3 x
(1+cos2 x)2
6.
y 0 = sin 2x − cos 2x
14.
y0 =
√
3
2 cos√ x2
3 x
3
7.
y0 =
15.
y0 = √
8.
y 0 = cos xesin x
16.
y = ax · (ln a · cos x − sin x)
53
1.
2.
cos x
(1−sin x)k cos x|
y 0 = 2 sin2 x
x2
y 0 = (cos x+x
sin x)2
3.
4.
y 0 = x2 sin x
y 0 = √ sin x−x
2
x sin x(1−cos x)
2 cos x
(2 cos2 x−sin2 x)3
74
HOOFDSTUK 2. GONIOMETRISCHE FUNCTIES
2.7
Limietberekening
1.
1 − cos x
0
0
= lim
=
2
0
0
3x
0
sin x
1
= lim
=
0
6x
6
x − sin x
lim
=
0
x3
2.
0
sin2 3x
= ( )
lim
0 3 sin2 x
0
6 sin 3x cos 3x
sin 6x
0
= lim
=( )
0
0 sin 2x
6 sin x cos x
0
6 cos 6x
= lim
=3
0 2 cos 2x
= lim
OPGAVEN — 54 Bewijs de volgende limieten met de regel van de l’Hospital indien mogelijk:
x
2x
=0
3. lim0 1−cos
1. lim0 2 sin x−sin
x2
x+sin x = 0
2
lim+∞ ( cos xx−x
) = −1
2
2.
2.8
4.
lim0 ( sin1 x − x1 ) = 0
De tangensfunctie en cotangensfunctie
AN II groepswerk 1 Gegeven zijn de tangensfunctie y = tan(x) =
x
gensfunctie y = cot x = cos
sin x
sin x
cos x
en de cotan-
1. Bepaal het domein en de periode van tan en cot;
2. Ga het even - en oneven zijn na van tan en cot;
3. Stel de vergelijkingen op van de verticale asymptoten voor de grafieken van tan en
cot. Schrijf de limieten op;
4. Bewijs dat de afgeleide functie van de tangensfunctie gelijk is aan het kwadraat van
1
de secansfunctie y = sec x = cosx
.
D tan x = sec2 x = 1 + tan2 x.
5. Bewijs dat de afgeleide functie van de cotangensfunctie gelijk is aan de tegengestelde
1
functie van het kwadraat van de cosecansfunctie y = csc x = sinx
.
D cot x = − csc2 x = −1 − cot2 x.
2.8. DE TANGENSFUNCTIE EN COTANGENSFUNCTIE
75
6. Maak voor elk van de twee functies tan en cot een tabel met de tekenverlopen van
de functie en haar afgeleide functie over één periode;
7. Schets de grafieken van tan en cot;
8. Bepaal de beeldverzameling van tan en cot;
9. Zoek de punten van symmetrie van tan en geef het bewijs;
10. Zoek de punten van symmetrie van cot en geef het bewijs;
11. Welke transformatie beeldt de grafiek van tan af op de grafiek van cot? Bewijs dat.
OPGAVEN — 55 Gegeven zijn de zogenaamde secansfunctie y = sec x =
functie y = cosec x = sin1 x .
1
cos x
en de cosecans-
1. Bepaal het domein en de periode van sec en csc;
2. Ga het even - en oneven zijn na van sec en csc;
3. Stel de vergelijkingen op van de verticale asymptoten voor de grafieken van sec en csc;
4. Bewijs dat de afgeleide functie van de secansfunctie het product is van de secansfunctie en de
tangensfunctie.
D sec x = sec x. tan x.
76
HOOFDSTUK 2. GONIOMETRISCHE FUNCTIES
5. Bewijs dat de afgeleide functie van de cosecansfunctie de tegengestelde functie is van het product
van de cosecansfunctie en de cotangensfunctie.
D csc x = − csc x. cot x.
6. Maak voor elk van de twee functies sec en csc een tabel met de tekenverlopen van de functie en
haar afgeleide functie over één periode;
7. Schets de grafieken van de functies;
8. Bepaal de beeldverzameling van sec en csc;
9. Zoek de punten van symmetrie van sec en geef het bewijs;
10. Zoek de assen van symmetrie van csc en geef het bewijs;
11. Welke transformatie beeldt de grafiek sec af op de grafiek van csc? Bewijs dat.
56 Bepaal de algeleide functie van elk van de volgende functies:
1.
2.
3.
4.
y
y
y
y
= 2 tan 2x.
2
2x
= cos
tan x
tan 2x
= tan x
sin x
= 1+tan
2x
5.
6.
7.
8.
y
y
y
y
= tan2 2x
ax
cos bx)
= e (a sina2bx−b
+b2
3
= cos x csc x + 2 cot x
= 2 cos x + ln(tan x2 )
57 Onderzoek het verloop van de functie y = tan x − cot x en teken de grafiek.
58 Onderzoek het verloop van de volgende functies en teken de grafiek.
2.9. LIMIETBEREKENING
77
Oplossingen: 56
1. y 0 = cos42 2x
4x−cos2 2x
2. y 0 = − sin 2x sin
sin2 x
sin 2x
3. y 0 = 2cos
2 2x
0
4. y = cos3 x + sin3 −1
2.9
5.
6.
7.
8.
sin 2x
y 0 = 4cos
3 2x
ax
e sin bx
y 0 = −3 cosec4 x
cos 2x
sin x
Limietberekening
1. lim0
tan x
x
=
0
0
lim
0
tan x
= lim
0
x
1
cos2 x
1
= lim
0
1
=1
cos2 x
2. lim+∞ ( x2 cot x1 ) = 0.∞
Hier kunnen we best eerst overgaan op een nieuwe veranderlijke door de substitutie
u = x1 .
2
1
2u
2
lim( cot ) = lim(2u. cot u) = lim
= lim tan u = 2
+∞ x
0
0
0
x
tan u
u
OPGAVEN — 59 Bewijs de volgende limieten:
tan x
1. limπ/4 ( cot
2x ) = ∞
5.
lim0
tan x
−cos
√e
√ x
1+x− 1−x
=1
2.
lim0 ( tan1 x − x1 ) = 0
6.
limπ/2 ((x − π2 ). tan x) = −1
3.
lim1/3 (9x2 − 1) cot(3x − 1) = 2
7.
lim+∞ ( x1 . csc x1 ) = 1
4.
limπ/4
8.
lima (sin a − sin x) tan xπ
2a =
tan x
tan 2x
=0
AN II HUISTAAK 6
x)
1. lim0 log4 (1+sin
tan x
1. Bepaal de volgende limieten:
(= ln14 )
2. limπ/4 (1 − tan x). sec 2x
2. Bereken de afgeleide functies van
x
1. y = 1+tan
1−tan x
4. y =
2. y = 2 cos x + ln(tan x2 )
3. y = sin π4 ln(ex + e−x )
Oplossingen:
2
1. y 0 = 1−sin(2x)
2.
y 0 = −2 sin x +
3.
y0 =
π ex −e−x
4 ex +e−x
2a cos a
π
1
sin x
cos
π
4
ln(ex + e−x )
5.
sin 2x
cos x
1+cos 2x 1+cos x
y = log4 (sin x)
6. y =
sin2 x
a−cos x
met a ∈ R
4.
y0 =
1
1+cos x
5.
y0 =
4
ln 10
6.
y0 =
(− cos2 x+2a cos x−1) sin x
(a−cos x)2
cot x log3 (sin x)
(=1)
78
HOOFDSTUK 2. GONIOMETRISCHE FUNCTIES
2.10
Extremumvraagstukken
2.10.1
Uitgewerkte oefeningen
• Iemand leest een boek, dat op de rand ligt van een ronde tafel met een middellijn
van 2m. Hoe hoog boven het middelpunt van de tafel moet men de lamp ophangen,
om de sterkste belichting te krijgen? De lichtsterkte is omgekeerd evenredig met
het kwadraat van de afstand r tot de lichtbron, en recht evenredig met de cosinus
van de invalshoek θ van de lichtstralen.
I=k
cos θ
r2
met k een reële konstante.
Oplossing: We noemen A een punt van de rand van de tafel, M het middelpunt
van de tafel en P het punt waar de lamp zich bevindt.
In de gegeven formule voor de lichtsterkte zijn θ en r veranderlijk. We drukken nu
I uit in functie van één veranderlijke, we kiezen θ.
In de rechthoekige driehoek M AP is |M A| = 1 en proberen we r uit te drukken in
functie van θ.
We passen daartoe de sinusregel toe in deze rechthoekige driehoek:
sin θ =
1
1
⇐⇒ r =
.
r
sin θ
We substitueren deze waarde van r in de formule van de lichtsterkte:
I = k cos θ sin2 θ.
We bepalen de waarde van θ waarvoor I een maximum bereikt:
dI
= k sin θ(3 cos2 θ − 1).
dθ
De lichtsterkte is maximaal voor een invalshoek θ = arccos
De lamp hangt dan op een hoogte van 70 cm.
√
3
rad
3
= 54o 440 0800 , 2.
2.10. EXTREMUMVRAAGSTUKKEN
79
• Het systeem van de bloedsomloop moet zodanig werken dat de energie opgebracht
door het hart minimaal is. Eén van de wetten van Poiseuille geeft de weerstand van
het bloed in de volgende formule:
R=C
L
r4
waarin L de lengte is van de ader, r is de straal van de ader en C is een positieve
constante bepaald door de viscositeit van het bloed. De figuur toont een ader met
straal r1 die vertakt met een hoek θ in een smallere ader met straal r2 .
1. Gebruik de wet van Poiseuille om aan te tonen dat de weerstand van het bloed
langs de baan ABC is
R = C(
a − b cot θ b csc θ
+
)
r14
r24
waarin a en b de afstanden zijn aangeduid in de figuur.
2. Bewijs dat de weerstand minimaal is als
cos θ =
r24
.
r14
3. Zoek de optimale vertakkingshoek (nauwkeurig op de graad) als de straal van
de smalste ader twee derden is van de straal van de grotere ader.
Figuur 2.10: adervertakking
OPGAVEN — 60 Bepaal de tophoek van een gelijkbenige driehoek met een gegeven oppervlakte K 2
waarvan de straal van de ingeschreven cirkel extremaal is.
80
2.11
HOOFDSTUK 2. GONIOMETRISCHE FUNCTIES
Wiskunde-Cultuur
De gonio- en trigonometrie was een gebied waarin de wis- en sterrekundigen van de Arabische wereld bijzonder waren geı̈nteresseerd. Zo vinden we heel wat tabellen van wat we
nu de goniometrische functies noemen. Met de Indiërs voerden ze de sinus in als halve
koorde van de dubbele hoek. Dit Latijnse woord “sinus”, dat “bocht” of “boezem” betekent, is een letterlijke vertaling van het Arabische woord “gaib”, dat uit “gib” ontstond,
een woord dat de Arabische manier was om het Indische woord “jyä”, koorde, te spellen.
Men vindt heel wat gonio- en trigonometrie in de geschriften van de astronoom ALBATTÄNI (858-929), als ALBATEGNIUS beroemd om zijn planetentheorie. Hij beschouwde niet alleen sinussen, doch beschouwde ook als hoekmaat de schaduw van een
gegeven staaf voor invalshoeken van de zon die van graad tot graad opklommen. Deze
“umbra extensa” was dus een cotangens. Het werk van Al-Battäni toont dat de geleerden in de cultuurwereld van de Islam niet alleen kopieerde, doch ook kwamen tot nieuwe
resultaten door hun kennis van Griekse, Indische, inheemse en misschien ook Chinese
methoden. Dit geldt ook voor ABOE-I-WAFA (940-998), die zijn kennis van de trigonometrie gebruikte om sinustabellen voor intervallen van 15 samen te stellen, met waarden
tot in acht decimalen nauwkeurig. Hij werkte ook met tangensen en voerde in studies
over zonnewijzers de secans en de cosecans in.
Hoofdstuk 3
Cyclometrische functies
3.1
De inverse relatie van de sinusfunctie
De sinusfunctie is een afbeelding die geen injectie is, want elke waarde tussen −1 en 1
wordt door de functie oneindig veel keer aangenomen. De inverse relatie is bijgevolg geen
functie.
Beschouwen we een y-waarde van het interval [−1, 1], dan zien we gemakkelijk op de
sinusoı̈de dat er oneindig veel x-waarden zijn die als beeld de waarde y hebben. M.a.w.
de vergelijking
sin x = b met b ∈ [−1, 1]
heeft oneindig veel oplossingen. Met de rekenmachine of computer vinden we voor x
slechts één waarde met een functie waarvoor verschillende notaties bestaan zoals:
sin−1 b = invsinb = arcsin b = Bgsinb = asinb
De laatste notatie wordt gebruikt door DERIVE.
1. Is b ∈ [0, 1] dan krijgen we voor x één waarde behorende tot [0, π2 ] (eerste kwadrant);
2. Is b ∈ [−1, 0] dan krijgen we voor x één waarde behorende tot [− π2 , 0] (vierde
kwadrant);
De inverse relatie van y = sin x is
x = sin y ⇔ y = arcsin x + 2kπ ∨ y = π − arcsin x + 2kπ
De grafische voorstelling van de inverse relatie van de sinusfunctie is het spiegelbeeld van
de sinusoı̈de om de rechte y = x volgens de richting van de rechte y = −x. Teken de
grafische voorstelling van de inverse relatie in de figuur.
81
82
HOOFDSTUK 3. CYCLOMETRISCHE FUNCTIES
Voorbeelden:
1. Is sin x = 31 dan vinden we met de rekenmachine x = 0, 339836909. De oneindig
veel oplossingen zijn dan alle maatgetallen van de hoek (uitgedrukt in radialen) en
ook alle maatgetallen van de supplementaire hoek.
sin x =
1
⇐⇒ x = 0, 34 + 2kπ ∨ x = π − 0, 34 + 2kπ = 2, 80 + 2kπ
3
3.1. DE INVERSE RELATIE VAN DE SINUSFUNCTIE
83
2.
√
sin 2x =
3
π
2π
π
π
⇔ 2x = + 2kπ∨ ⇔ 2x =
+ 2kπ ⇔ x = + kπ ∨ x = + kπ
2
3
3
6
3
De vergelijking heeft 4 reeksen oplossingen, de oneindig veel maatgetallen uitgedrukt
in radialen van vier hoeken.
3. De ongelijkheid sin x > 12 heeft ook oneindig veel oplossingen. De verzameling van
de oplossingen is de unie van oneindig veel intervallen.
sin x >
1
π
5π
⇐⇒ x ∈] + 2kπ,
+ 2kπ[.
2
6
6
84
3.2
3.2.1
HOOFDSTUK 3. CYCLOMETRISCHE FUNCTIES
De arcussinusfunctie
Definitie
We beschouwen de restrictie van de sinusfunctie tot het gesloten interval [− π2 , π2 ] (komt
overeen met I en IV). Deze restrictie is een injectie omdat elke waarde tussen -1 en 1 juist
één keer door de sinus wordt aangenomen in het interval [− π2 , π2 ]. Beperken we het doel
tot [−1, 1], dan is die restrictie een bijectie.
π π
restr(sin) : [− , ] −→ [−1, 1], x 7−→ sin x.
(3.1)
2 2
De inverse functie van deze restrictie noemen we de arcussinusfunctie (gedef. in ZRM).
π π
arcsin : [−1, 1] −→ [− , ], x 7−→ arcsin x
2 2
waarvoor geldt
π π
y = arcsin x ⇐⇒ x = sin y ∧ y ∈ [− , ].
2 2
We zeggen dat y de boog (of hoek) is waarvoor de sinus x is. In y = arcsin x
is x een sinuswaarde en is y het maatgetal van een hoek (in radialen) ( die
in een eenheidscirkel gelijk is aan de lengte van de corresponderende boog).
3.2. DE ARCUSSINUSFUNCTIE
85
Gevolgen van de definitie:
• Omdat deze restrictie van de sinus en de arcsinus inverse functies zijn, levert de
samenstelling van beide functies de identieke functie op:
π π
∀x ∈ [− , ] : arcsin(sin x) = x
2 2
∀x ∈ [−1, 1] : sin(arcsin x) = x
• De arcussinusfunctie is als inverse functie van een stijgende bijectie, een stijgende
bijectie van [−1, 1] in [− π2 , π2 ].
OPGAVEN — 61 Werk uit met de rekenmachine en stel voor op de goniometrische cirkel:
a. arcsin 34 ; b. arcsin(−0, 752); c. arcsin(0, 2).
62 Werk uit zonder rekenmachine en stel voor op de goniometrische cirkel:
1.
arcsin(sin 1)
4.
arcsin(sin 7π
6 )
2.
sin(arcsin(−2))
5.
arcsin(sin 2)
3.
arcsin(sin 3π
4 )
6.
sin(arcsin(− 13 ))
63 * Toon aan op de goniometrische cirkel dat
1. ∀x ∈ [ π2 , 3π
2 ] : arcsin(sin x) = π − x;
5π
2. ∀x ∈ [ 3π
2 , 2 ] : arcsin(sin x) = x − 2π;
3.2.2
De grafiek van de arcussinusfunctie
• De grafiek van de arcussinusfunctie is het spiegelbeeld van de grafiek van de restrictie
3.1 van de sinusfunctie om de rechte y = x volgens de richting van de rechte y = −x
(de loodrechte spiegeling in geval van een orthonormale basis).
• De grafiek van de arcussinusfunctie ligt symmetrisch t.o.v. de oorsprong, de arcussinusfunctie is dus een oneven functie:
∀x ∈ [−1, 1] : arcsin(−x) = − arcsin x.
86
HOOFDSTUK 3. CYCLOMETRISCHE FUNCTIES
• Tabel met de speciale waarden voor de arcussinusfunctie:
√
√
x
−1
− 23
− 22
− 12
0
π
π
π
π
arcsin x ||| − 2 − − 3 − − 4 − 6 − 0 +
1
2
π
6
√
+
2
2
π
4
√
+
3
2
π
3
1
+
π
2
|||
Figuur 3.1: Duid de speciale punten aan op de grafiek van de arcussinusfunctie
OPGAVEN — 64 * Bepaal de inverse functie van een gepaste restrictie van de functie en teken de
grafieken van de functie en haar inverse
1.
2.
y = sin 2x
y = sin x + 1
3.
4.
y = sin(x + π4 )
y = sin x2
65 * Bepaal het domein van de volgende functie, bepaal de inverse functie en teken de grafieken indien
mogelijk:
1.
y=
1
2
arcsin(x − 1)
2.
y = arcsin 3x − π
3.3. DE INVERSE RELATIE VAN DE COSINUSFUNCTIE
3.3
87
De inverse relatie van de cosinusfunctie
AN II groepswerk 2
1. Maak analoge redeneringen voor de inverse relatie van de
cosinusfunctie zoals we gedaan hebben voor de sinusfunctie.
2. Bekijk op de rekenmachine welke waarden worden aangenomen door cos−1 .
3. Los de volgende vergelijking op: cos x = − 43 . Bekijk de oplossingen op grafiek en
op de goniometrische cirkel.
4. Los de volgende vergelijking op: cos x3 = 0, 4. Bekijk de oplossingen op grafiek en
op de goniometrische cirkel.
3.4
3.4.1
De arcuscosinusfunctie
Definitie van de arcuscosinusfunctie
We beschouwen de restrictie van de cosinusfunctie tot het gesloten interval [0, π]. Deze
restrictie is een injectie omdat elke waarde tussen -1 en 1 juist één keer door de cosinus
wordt aangenomen in het interval [0, π]. Beperken we het doel tot [−1, 1], dan is die
restrictie een bijectie.
restr(cos) : [0, π] −→ [−1, 1], x 7−→ cos x.
De inverse functie van deze restrictie noemen we de arcuscosinusfunctie
arccos : [−1, 1] −→ [0, π], x 7−→ arccos x
(3.2)
88
HOOFDSTUK 3. CYCLOMETRISCHE FUNCTIES
waarvoor geldt
y = arccos x ⇐⇒ x = cos y ∧ y ∈ [0, π].
We zeggen dat y de boog (of hoek) is waarvoor de cosinus x is. In y =
arccos x is x een cosinuswaarde en is y het maatgetal van een hoek (in radialen), die in een eenheidscirkel gelijk is aan de lengte van de corresponderende boog.
Gevolgen van de definitie
• Omdat deze restrictie van de cosinus en de arccosinus inverse functies zijn levert de
samenstelling van beide functies de identieke functie op:
∀x ∈ [0, π] : arccos(cos x) = x
∀x ∈ [−1, 1] : cos(arccos x) = x
• De arcuscosinusfunctie is als inverse functie van een dalende bijectie, een dalende
bijectie van [−1, 1] in [0, π].
OPGAVEN — 66 Werk uit met de rekenmachine en stel voor op de goniometrische cirkel:
a. arccos 43 ; b. arccos(−0, 824); c. arccos(0, 31).
67 Werk uit zonder rekenmachine en stel voor op de goniometrische cirkel:
1.
arccos(cos 1)
3.
arccos(cos 7π
6 )
2.
cos(arccos(−0, 2))
4.
arccos(cos 2)
68 * Toon aan op de goniometrische cirkel dat
1. ∀x ∈ [−π, 0] : arccos(cos x) = −x;
2. ∀x ∈ [−2π, −π] : arccos(cos x) = x + 2π;
• Uit de grondformule van de goniometrie
sin2 x + cos2 x = 1
leiden we op de goniometrische cirkel af dat
√
∀x ∈ [0, 1] : arcsin x = arccos 1 − x2
Hieruit leiden we af dat
∀x ∈ [0, 1] : cos(arcsin x) =
√
1 − x2
3.4. DE ARCUSCOSINUSFUNCTIE
89
Om redenen van symmetrie t.o.v. sinus en cosinus geldt
√
∀x ∈ [0, 1] : arccos x = arcsin 1 − x2
en
∀x ∈ [0, 1] : sin(arccos x) =
√
1 − x2
Voor negatieve x-waarden geldt:
√
∀x ∈ [−1, 0] : arcsin x = − arccos 1 − x2
Hieruit leiden we af dat
∀x ∈ [−1, 0] : cos(arcsin x) =
√
1 − x2
√
∀x ∈ [−1, 0] : arccos x = π − arcsin 1 − x2
en
∀x ∈ [−1, 0] : sin(arccos x) =
We besluiten:
∀x ∈ [−1, 1] : cos(arcsin x) =
∀x ∈ [−1, 1] : sin(arccos x) =
√
√
√
1 − x2
1 − x2
1 − x2
De samenstelling van de arcussinusfunctie gevolgd door de cosinusfunctie is gelijk
aan de samenstelling van de arcuscosinusfunctie gevolgd door de sinusfunctie en is
gelijk aan een irrationale functie.
OPGAVEN — 69 Werk uit zonder rekentoestel. Stel alles voor op de goniometrische cirkel.
1. sin(arccos 34 )
3. cos(arcsin(− 31 ))
2. arcsin(cos 0, 75)
4. arccos(sin(−1, 75))
90
HOOFDSTUK 3. CYCLOMETRISCHE FUNCTIES
3.4.2
De grafiek van de arcuscosinusfunctie
• De grafiek van de arcuscosinusfunctie is het spiegelbeeld van de grafiek van de restrictie tot [0, π] van de cosinusfunctie, met spiegelingsas de rechte met vergelijking
y = x en spiegelingsrichting de richting van de rechte met vergelijking y = −x.
• De grafiek van de arcuscosinusfunctie verkrijgen we ook door de grafiek van de
arcussinus te spiegelen t.o.v. de rechte y = π4 . Schrijf de tranformatieformules
hierbij.
arccos x =
π
− arcsin x
2
We verkrijgen aldus de formule die het verband uitdrukt tussen de arcussinus- en
de arcuscosinusfunctie:
arccos x + arcsin x = π2
(3.3)
Inderdaad, hebben sinus en cosinus dezelfde waarde x dan zijn de hoeken complementair of de cosinus van een hoek is gelijk aan de sinus van de complementaire
hoek.
• Tabel met de speciale waarden voor de arcuscosinusfunctie:
√
√
−1
− 23
− 22
− 21
0
x
5π
3π
2π
arcsin x ||| π +
+
+ 3 + π2 +
6
4
1
2
π
3
√
+
2
2
π
4
√
+
3
2
π
6
1
+ 0 |||
Opmerking: De arcuscosinusfunctie neemt enkel positieve waarden aan.
OPGAVEN — 70 * Bepaal de inverse functie van een gepaste restrictie van de functie en teken de
grafieken van de functie en haar inverse
1.
y = cos 3x
2.
y = cos x −
1
2
3.
y = cos(x − π3 )
4.
y = cos 2x
3
71 * Bepaal het domein van de volgende functie, bepaal de inverse functie en teken de grafieken:
1.
2.
1
2
arccos(x − 1)
√
y = arccos x
y=
3.
y = arccos 13 x +
4.
y = arccos x1
π
3
3.4. DE ARCUSCOSINUSFUNCTIE
Figuur 3.2: Duid de speciale waarden aan op de grafiek van de arcuscosinusfunctie
91
92
HOOFDSTUK 3. CYCLOMETRISCHE FUNCTIES
AN II HUISTAAK 7
1. Werk uit met de rekenmachine en stel voor op de goniometrische cirkel:
√
a. arcsin 56 ; b. arccos(−0, 1); c. arccos(− 33 ).
2. Werk uit zonder rekenmachine, stel voor op de goniometrische cirkel en controleer
met de rekenmachine:
1. sin(arcsin 0.6)
3. arcsin(sin 2, 5)
2.
arccos(cos( −π
))
4
4.
cos(arccos(− 13 ))
5.
arccos(sin 17π
)
6
6.
arccos 16 + arccos(0, 2)
7.
arcsin(cos 7, 5)
8.
π
))
arccos(sin(− 15
9.
sin(arccos 43 )
10.
cos(arcsin(− 23 ))
3. * Bepaal de inverse functie van een gepaste restrictie van de functie en teken de
grafieken van de functie en haar inverse:
1. y = −2 cos x
2. y = 43 cos 2x + 3
3. y = 3 sin( π4 − x)
4.
y = − 12 sin 4x − 2
4. * Bepaal het domein van de volgende functie, bepaal de inverse functie en teken de
grafieken:
1−x
1. y = arccos(x2 − 4)
2. y = arccos 1+x
√
3. y = arcsin x
4. y = arcsin 1−x
1+x
5. * Schrijf de volgende reële getallen in termen van arcussinus en arcuscosinus:
−4, 27
−2, 533131
−10, 03
5, 6
6. * Teken met de computer de grafieken van volgende functies en zeg waarom het
domein begrensd is:
1. y = 2 arccos |x(x − 1)|
2. y = arcsin 2x−3
x+1
3.5. DE INVERSE RELATIE VAN DE TANGENSFUNCTIE EN DE COTANGENSFUNCTIE93
3.5
De inverse relatie van de tangensfunctie en de
cotangensfunctie
AN II groepswerk 3
1. Welke waarde geeft de rekenmachine als oplossing voor
tan x = 3 en voor tan x = −5?
2. Toon aan dat alle oplossingen van de vergelijking
tan x = −3
gegeven worden door x = −1, 25 + kπ met k ∈ Z. Stel de oplossingen voor op de
goniometrische cirkel;
3. Bepaal de inverse relatie van y = tan x en gebruik daartoe de notatie arctan. Welke
notatie gebruikt jouw rekentoestel en welke notatie gebruikt DERIVE?
4. Teken de grafische voorstelling van de inverse relatie van de tangensfunctie;
5. Teken de grafische voorstelling van de inverse relatie van de cotangensfunctie.
94
HOOFDSTUK 3. CYCLOMETRISCHE FUNCTIES
3.5. DE INVERSE RELATIE VAN DE TANGENSFUNCTIE EN DE COTANGENSFUNCTIE95
96
HOOFDSTUK 3. CYCLOMETRISCHE FUNCTIES
3.6
De arcustangensfunctie en de arccotangensfunctie
AN II groepswerk 4
1. Welke restrictie van de tangensfunctie moeten we nemen
om om een bijectie te verkrijgen?
2. Definieer de zogenaamde arcustangensfunctie;
3. Vervolledig de zin: We zeggen dat y · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
4. Als y = arctan x welke waarden kan y aannemen als x > 0 en welke als x < 0. Duid
de juist kwadranten aan op de goniometrische cirkel;
5. Hieronder zie je de grafiek van arctan. Waarom heeft de grafiek twee horizontale
asymptoten?
lim arctan x = · · · · · · · · · · · ·
+∞
lim arctan x = · · · · · · · · · · · ·
−∞
Teken de asymptoten op de figuur;
6. Maak de samenstelling van de arctan en de tan in de twee volgorden met de nodige
beperkingen voor x;
7. Bepaal het punt van symmetrie voor de grafiek van arctan;
8. Stel een tabel op met alle speciale waarden van arctan;
3.6. DE ARCUSTANGENSFUNCTIE EN DE ARCCOTANGENSFUNCTIE
97
OPGAVEN — 72 Bereken met de rekenmachine en stel voor op de goniometrische cirkel:
1.
arctan 3
3.
arctan(−0, 589)
2.
arctan 79
4.
arctan(−10)
73 Bereken zonder rekenmachine en stel voor op de goniometrische cirkel:
1.
π
arctan(tan 12
)
6.
tan(arctan(−0, 589))
2.
arctan(tan(−1))
7.
arctan(tan(− 3π
4 ))
3.
arctan(tan 4)
8.
arctan(tan 5π
4 )
4.
arctan(cos π)
√
sin(arctan 3)
9.
arccos(tan 5π
4 )
5.
√
10.
3
3 )
cot(arctan
74 * Toon aan op de goniometrische cirkel dat
a. ∀x ∈] −
3π
5π
2 , − 2 [:
arctan(tan x) = x + 2π;
b. ∀x ∈] − π2 , 3π
2 [: arctan(tan x) = x − π;
75 * Bepaal de inverse functie van de gepaste restrictie van de functie en teken van beide functies de
grafiek
1.
y = tan 2x
3.
y = 3 tan x + 2
2.
y = tan( 2π
3 − x)
4.
y = −0, 75 tan 2x
3
76 * Bepaal de inverse functie van de functie en teken van beide functies de grafiek
1.
y = arctan 2x
2.
y = arctan x +
2π
3
77 * Bepaal het domein van de functie
√
1. y = arctan x
√
2. y = arctan 1 − x2
3.
y = 3 arctan x − 2
4.
y = −0, 75 arctan 2x
3
3.
y = − arctan x1 − 2
4.
x
y = arctan x2 −3x+2
98
HOOFDSTUK 3. CYCLOMETRISCHE FUNCTIES
AN II groepswerk 5
arccot;
1. Beantwoord al de vragen van groepswerk 4 maar voor
2. Los de vergelijking cot x = −3 op en stel voor op de goniometrische cirkel;
3. Welke transformatie moet je toepassen om de grafiek van y = arctan x af te beelden
op de grafiek van y = arccot x. Met welk verband tussen goniometrische getallen
komt dat overeen?
4. Teken in de figuur de grafiek van arccot als beeld van arctan onder deze transformatie.
OPGAVEN — 78 Bereken met de rekenmachine en stel voor op de goniometrische cirkel:
1.
arccot5
3.
arccot(−2, 589)
2.
arccot22, 8
4.
arccot(−4)
79 Bereken zonder rekenmachine en stel voor op de goniometrische cirkel:
3.6. DE ARCUSTANGENSFUNCTIE EN DE ARCCOTANGENSFUNCTIE
1.
arccot(cot 7π
12 )
7.
cot(arccot(−2, 589))
2.
arccot(cot(−1))
8.
arccot(cot(− 3π
4 ))
3.
arccot(cot 5)
8.
arccot(cot 7π
6 )
4.
arccot(cos π)
9.
arccos(cot 5π
4 )
5.
sin(arccot(−7))
10.
tan(arccot
6.
arccot(tan π3 )
11.
arccot(tan(−1))
99
√
3
3 )
80 * Toon aan op de goniometrische cirkel dat
a. ∀x ∈]π, 2π[: arccot(cot x) = x − π;
b. ∀x ∈] − 4π, −3π[: arccot(cot x) = x + 4π;
81 * Bepaal de inverse functie van de gepaste restrictie van de functie en teken van beide functies de
grafiek
1.
y = cot 2x
3.
y = 3 cot x + 2
2.
y = cot( 2π
3 − x)
4.
y = −0, 75 cot 2x
3
82 * Bepaal de inverse functie van de functie en teken van beide functies de grafiek
1.
y = arccot2x
2.
y = arccotx +
2π
3
3.
y = 3arccotx − 2
4.
y = −0, 75arccot 2x
3
83 * Bepaal het domein van de functie
√
2x
1. y = arccot x − 1
3. y = 2arccot 3x+1
−2
q
2
x2 −3x+2
2. y = arccot 1−x
4. y = arccot 5x
2 −x−4
x
100
HOOFDSTUK 3. CYCLOMETRISCHE FUNCTIES
AN II groepswerk 6
1. Stel het verband op tussen arctan en arccot. Redeneer op
de goniometrische cirkel. Beschouw ook de formule geldig tussen goniometrische
getallen die daarmee overeenstemt.
2. Beschouw ook de samenstellingen cot(arctan) en anderzijds tan(arccot).
OPGAVEN — 84 Werk uit en stel de verschillende stappen voor op de goniometrische cirkel:
1.
tan(arccot(− 34 ))
3.
cot(arctan 0, 33)
2.
arctan(cot 7, 5)
4.
π
arccot(tan(− 12
))
85 * Bestudeer de arcussecansfunctie en de arcuscosecansfunctie op analoge wijze als de hiervoor behandelde cyclometrische functies.
3.6. DE ARCUSTANGENSFUNCTIE EN DE ARCCOTANGENSFUNCTIE
101
Herhalingsoefeningen:
86 * Bepaal met behulp van de rekenmachine x en k zodat
1
arccot + arccot2 = arctan x + kπ.
3
Stel alles voor op de goniometrische cirkel.
87 * Schrijf de volgende reële getallen in termen van elk van de cyclometrische functies.
1
7, 3
3, 75
−0, 68
88 Bepaal zonder rekenmachine en stel alle stappen voor op de goniometrische cirkel.
tan(arccos(− 65 ))
1.
tan(arcsin 31 )
2.
cot(arctan(−3, 1))
10.
cot(arcsin(−0, 15))
3.
sin (arccot 65 )
11.
tan(arccot(−9, 4))
4.
cot(arccos(−0, 95))
12.
sin(arctan 11)
5.
cos(arcsin(−0, 43))
13.
cot(arctan(0, 9))
6.
arctan(cot 31 )
14.
arctan(tan(− 5π
6 ))
7.
arccot(tan(−3, 1))
15.
arccos(sin(−0, 15))
8.
arccot(tan 6π
5 )
16.
arcsin(cos(−9, 4))
9.
89 * In welk van de volgende intervallen bezit y = 2 cos( x2 − π) een inverse functie: [0, π], [0, 2π], [0, π2 ]
en [0, 4π] ?
90 * Bepaal het domein van de volgende functies
1.
y = 2 arccos x3
2.
y = 4(arcsin(3x − 4) + π2 )
91 * Bepaal de inverse functie van y = arctan x1 . Teken de functie en haar inverse functie.
102
HOOFDSTUK 3. CYCLOMETRISCHE FUNCTIES
AN II HUISTAAK 8
)
1. arccot(sin 11π
8
2.
1. Bereken met de rekenmachine
3. arccot 13 + arccot2
arcsin(cot 7, 5)
4.
π
arccos(tan(− 12
))
2. Bepaal zonder rekenmachine en stel alle stappen voor op de goniometrische cirkel.
1.
sin(arccos 34 )
4.
cos(arctan(− 23 ))
2.
cot(arccos 0, 71)
5.
tan(arccos(−0, 95))
3.
arctan(cot 7, 5)
6.
π
arccot(tan(− 12
))
3. * Bepaal zonder rekenmachine x en k zodat
arcsin
3
+ arctan(−4) = arccotx + kπ.
4
Stel alles voor op de goniometrische cirkel.
4. * Schrijf de volgende reële getallen in termen van van de arcustangens en de arcuscotangens.
−4, 27
−2, 533131
10, 03
5, 6
3.7. DE AFGELEIDE FUNCTIE VAN EEN CYCLOMETRISCHE FUNCTIE
3.7
103
De afgeleide functie van een cyclometrische functie
STELLING 3.1 De afgeleide functie van een cyclometrische functie is een algebraı̈sche
functie.
1. De afgeleide functie van de arcussinusfunctie
1
D sin y
met y = arcsin x
=
1
cos y
met y = arcsin x
=
1
cos(arcsin x)
=
√ 1
1−x2
D arcsin x =
2. De afgeleide functie van de arcuscosinusfunctie
D arccos x =
=
1
D cos y
met y = arccos x
1
(− sin y)
met y = arccos x
1
= − sin(arccos
x)
1
= − √1−x
2
3. De afgeleide functie van de arcustangensfunctie
1
D tan y
met y = arctan x
= cos2 y
met y = arctan x
D arctan x =
= cos2 (arctan x)
=
1
1+x2
4. De afgeleide functie van de arcuscotangensfunctie
Darccot x =
1
D cot y
= − sin2 y
= − sin2 (arccot x)
1
= − 1+x
2
met y = arccot x
met y = arccot x
104
HOOFDSTUK 3. CYCLOMETRISCHE FUNCTIES
3.8
Limietberekening
1. lim1
√
1−x
arccos x
= ( 00 )
√
1−x
lim
= lim
1 arccos x
1
√−1
2 1−x
√ −1
1−x2
√
√
√
1 − x2
1+x
2
0
= lim √
=
= = lim
−
1 2 1−x
1
0
2
2
2. lim−∞ x( π2 + arctan x) = (−∞.0)
π/2 + arctan x
0
1/(1 + x2 )
π
−x2
= ( ) = lim
lim x( +arctan x) = lim
=
lim
= −1
−∞
−∞
−∞
−∞ 1 + x2
2
1/x
0
−1/x2
OPGAVEN — 92 Bereken de afgeleide functies van de volgende functies:
1.
2.
3.
4.
y
y
y
y
= arctan(2x2 + 1)
= (arccos x)3
= arccos x2
= arcsin ex
5.
6.
7.
8.
y
y
y
y
= arcsin 2x
= arccos(sin
√ x)
= arctan x √
x 3
= √13 arctan 1−x
2
1
1
93 Bereken de volgende limieten: a*. lim0 ( arcsin
x − x );
b. lim0
2 arctan x−x
2x−arcsin x
Oplossingen:
92
1.
y0 =
2.
3.
x)
√
y 0 = − 3 arccos
1−x2
2x
y 0 = − √1−x4
2x
2x4 +2x2 +1
2
5.
y0 =
6.
7.
y 0 = 1 als cos x < 0 en y 0 = −1 als cos x > 0
1 √
y 0 = 2(1+x)
x
√ 2
1−4x2
AN II HUISTAAK 9 Bereken de afgeleide functies van de functies:
1. y =
2. y =
√
√1 arctan x 32
1−x
3
arctan x
x
x
3. y = 1+x
2 − arctan x
2 −6x+4
4. y = arcsin(− xx2 −4x+4
)
3.9. VERGELIJKINGEN EN ONGELIJKHEDEN
3.9
105
Vergelijkingen en ongelijkheden
3.9.1
Standaardvergelijkingen
1. Voor goniometrische vergelijkingen
sin f (x) = r en sin f (x) = sin g(x)
cos f (x) = r en cos f (x) = cos g(x)
tan f (x) = r en tan f (x) = tan g(x)
cot f (x) = r en cot f (x) = cot g(x)
Hierbij zijn y = f (x) en y = g(x) meestal algebraı̈sche functies van x. Door op
beide leden de inverse functie te laten inwerken, zijn we meestal herleid tot een
algebraı̈sche vergelijking in x.
sin f (x) = r ⇐⇒ f (x) = arcsin r + 2kπ ∨ f (x) = π − arcsin r + 2kπ met k ∈ Z
sin f (x) = sin g(x) ⇐⇒ f (x) = g(x) + 2kπ ∨ f (x) = π − g(x) + 2kπ met k ∈ Z.
en
cos f (x) = r ⇐⇒ f (x) = arccos r + 2kπ ∨ f (x) = − arccos r + 2kπ met k ∈ Z
cos f (x) = cos g(x) ⇐⇒ f (x) = g(x) + 2kπ ∨ f (x) = −g(x) + 2kπ met k ∈ Z
tan f (x) = r ⇐⇒ f (x) = arctan r + kπ met k ∈ Z
tan f (x) = tan g(x) ⇐⇒ f (x) = g(x) + kπ met k ∈ Z
en
cot f (x) = r ⇐⇒ f (x) = arccot r + kπ met k ∈ Z
cot f (x) = cot g(x) ⇐⇒ f (x) = g(x) + kπ met k ∈ Z
2. Voor cyclometrische vergelijkingen
arcsin f (x) = r en arcsin f (x) + arcsin g(x) = r
arccos f (x) = r en arccos f (x) + arccos g(x) = r
arctan f (x) = r en arctan f (x) + arctan g(x) = r
arccot f (x) = r en arccot f (x) + arccot g(x) = r
106
HOOFDSTUK 3. CYCLOMETRISCHE FUNCTIES
Hierbij zijn y = f (x) en y = g(x) meestal algebraı̈sche functie van x. Door op beide
leden de inverse functie zijn we meestal herleid tot een algebraı̈sche vergelijking in
x.
π π
arcsin f (x) = r ⇐⇒ f (x) = sin r ∧ r ∈ [− , ]
2 2
arccos f (x) = r ⇐⇒ f (x) = cos r ∧ r ∈ [0, π].
π π
arctan f (x) = r ⇐⇒ f (x) = tan r ∧ r ∈] − , [
2 2
arccot f (x) = r ⇐⇒ f (x) = cot r ∧ r ∈]0, π[.
Opmerking: Let op het feit dat de sinus- en cosinusfunctie geen bijecties zijn.
Zo kunnen oplossingen ingevoerd worden als we op beide leden de inverse functie
laten inwerken. Dit wordt geı̈llustreerd aan de hand van de volgende uitgewerkte
voorbeelden.
3.9.2
Uitgewerkte oefeningen
1. sin x = − 32 ⇐⇒ x = −0, 72972766 + 2kπ ∨ x = 3, 8713203 + 2kπ.
De vergelijking heeft 2 reeksen oplossingen, de oneindig veel maatgetallen uitgedrukt
in radialen van twee hoeken.
2. sin(3x − 1) = sin 2x.
sin(3x − 1) = sin 2x
m
3x − 1 = 2x + 2kπ ∨ 3x − 1 = π − 2x + 2kπ
m
x = 1 + 2kπ ∨ 5x = π + 1 + 2kπ
m
x = 1 + 2kπ ∨ x =
π + 1 2kπ
+
5
5
3.9. VERGELIJKINGEN EN ONGELIJKHEDEN
3. arcsin x + arcsin 45 = π2 .
arcsin x + arcsin
107
4
π
=
5
2
m
π
4
arcsin x = − arcsin
2
5
⇓
4
π
x = sin( − arcsin )
2
5
m
r
4
16
3
x = cos(arcsin ) = 1 −
= .
5
25
5
√
4. arcsin 3x + arcsin x = π2 .
Het is gunstiger om van beide leden de cosinus te nemen. De algebraı̈sche vergelijking is dan een meer eenvoudige irrationale vergelijking dan als we van beide leden
de sinus nemen. Ook de aanwezigheid van π2 in het tweede lid is interessant om de
cosinus te nemen.
√
cos(arcsin 3x + arcsin x) = 0
m
√
√
cos(arcsin 3x). cos(arcsin x) − sin(arcsin 3x). sin(arcsin x) = 0
√
√
√
m
1 − 3x2 1 − x2 −
√
m
1 − 3x2 1 − x2 −
√ 2
3x = 0
√ 2
3x = 0
⇓
(1 − 3x2 )(1 − x2 ) = 3x4
m
108
HOOFDSTUK 3. CYCLOMETRISCHE FUNCTIES
1 − 4x2 = 0
m
1
2
De oplossing x = − 12 moet verworpen worden.
x=±
5. 6 sin2 x − 5 sin x + 1 = 0.
We beschouwen deze vergelijking als een kwadratische vergelijking in sin x. De twee
wortels zijn 13 en 12 .
1
1
sin x = ∨ sin x =
3
2
De vergelijking is herleid tot twee standaardvergelijkingen. De oplossingen zijn
π
5π
x = 0, 33983691 + 2kπ ∨ x = 2, 8017557 + 2kπ ∨ x = + 2kπ ∨ x =
+ 2kπ.
6
6
6. 4 sin4 x − 5 sin2 x + 1 = 0.
We beschouwen deze
q vergelijking als een bikwadratische vergelijking in sin x. De
vier wortels zijn ±
5±3
.
8
1
1
sin x = −1 ∨ sin x = − ∨ sin x = ∨ sin x = 1
2
2
De vergelijking is herleid tot vier standaardvergelijkingen. Ze geven acht oplossingenreeksen van zes hoeken, die op de goniometrische cirkel een regelmatige zeshoek
bepalen. De oplossingen zijn
π 2kπ
π kπ
x= +
⇐⇒ x = +
6
6
6
3
3.9. VERGELIJKINGEN EN ONGELIJKHEDEN
109
7. cos 4x − 2 sin2 2x + 3 sin 2x = 0.
Deze vergelijking wordt een kwadratische vergelijking in sin 2x als we cos 2x uitdrukken in functie van de sinus van de halve hoek..
1 − 2 sin2 2x − 2 sin2 2x + 3 sin 2x = 0
m
−4 sin2 2x + 3 sin 2x + 1 = 0
m
sin 2x = 1 ∨ sin 2x = −
1
4
m
2x =
π
+ 2kπ ∨ 2x = −0, 25268026 + 2kπ ∨ 2x = 3, 3942729 + 2kπ
2
m
x=
π
+ kπ ∨ x = −0, 12634013 + kπ ∨ x = 1, 6971365 + kπ
4
8. sin x ≤ − 12 ⇐⇒ − 5π
+ 2kπ ≤ x ≤ − π6 + 2kπ met k ∈ Z.
6
110
9.
HOOFDSTUK 3. CYCLOMETRISCHE FUNCTIES
1+sin x
< 1−4
.
sin2 x
Bestaansvoorwaarden: sin x 6= ± 21 .
We brengen alle termen van de ongelijkheid naar het eerste lid.
1−sin x
1−2 sin x
1 − sin x
1 + sin x
−
<0
1 − 2 sin x 1 − 4 sin2 x
m
(1 − sin x)(1 + 2 sin x) − (1 + sin x)
<0
1 − 4 sin2 x
m
−2 sin2 x
<0
1 − 4 sin2 x
m
1 − 4 sin2 x > 0 met sin x 6= 0
m
1
1
− < sin x < met sin x 6= 0
2
2
m
π
π
− + kπ < x < 0 ∨ 0 < x < + kπ
6
6
10. cos 2x = − 12 .
cos 2x = −
1
2
m
2π
2π
+ 2kπ ∨ 2x = −
+ 2kπ
3
3
m
π
π
x = + kπ ∨ x = − + kπ
3
3
De vergelijking heeft 4 reeksen oplossingen, de oneindig veel maatgetallen uitgedrukt
in radialen van vier hoeken.
2x =
3.9. VERGELIJKINGEN EN ONGELIJKHEDEN
11. cos 2x = sin 4x tan x.
De bestaansvoorwaarden zijn: x 6=
π
2
111
+ kπ.
cos 2x = sin 4x tan x
m
cos 2x = 2 sin 2x cos 2x tan x
m
cos 2x(1 − 2 sin 2x tan x) = 0
m
cos 2x(1 − 4 sin x cos x
sin x
)=0
cos x
m
cos 2x(1 − 4 sin2 x) = 0
m
cos 2x = 0 ∨ sin2 x =
1
4
m
cos 2x = 0 ∨ sin x = ±
1
2
m
2x =
π
π
+ kπ ∨ x = ± + kπ.
2
6
m
π kπ
π
+
∨ x = ± + kπ.
4
2
6
Alle oplossingen mogen aanvaard worden.
x=
112
HOOFDSTUK 3. CYCLOMETRISCHE FUNCTIES
12. cos x + cos 2x + cos 3x + cos 4x = 0.
We herschikken de termen om de formules van Simpson toe te passen.
(cos x + cos 3x) + (cos 2x + cos 4x) = 0
m
2 cos 2x cos x + 2 cos 3x cos x = 0
m
2 cos x(cos 2x + cos 3x) = 0
m
cos x = 0 ∨ cos 2x + cos 3x = 0
m
cos x = 0 ∨ cos 2x = − cos 3x
m
cos x = 0 ∨ cos 2x = cos(π − 3x)
m
x=
π
+ kπ ∨ 2x = π − 3x + 2kπ ∨ 2x = 3x − π + 2kπ
2
m
x=
π
+ kπ ∨ 5x = π + 2kπ ∨ x = π + 2kπ
2
m
x=
π
π 2kπ
+ kπ ∨ x = +
∨ x = π + 2kπ.
2
5
5
3.9. VERGELIJKINGEN EN ONGELIJKHEDEN
2 tan x
13. cos x = 1+tan
2 x.
De x-waarden waarvoor cos x = 0 ⇐⇒ x =
cos x =
π
2
113
+ kπ is moeten uitgesloten worden.
2 tan x
1 + tan2 x
⇓
cos x = sin 2x
m
cos x = cos(
π
− 2x)
2
m
x=
π
π
− 2x + 2kπ ∨ x = − + 2x + 2kπ
2
2
m
π
π
3x = + 2kπ ∨ x = + 2kπ
2
2
m
π
π 2kπ
+
∨ x = + 2kπ
6
3
2
In beide reeksen oplossingen komen maatgetallen voor van de twee hoeken van π2
radialen en − π2 radialen. Die moeten uitgesloten worden. De werkelijke oplossingen
van de gegeven vergelijking zijn:
x=
x=
5π
π
+ 2kπ ∨ x =
+ 2kπ.
6
6
14. sec x = 2(sin x + cos x).
Bestaansvoorwaarden: cos x 6= 0 ⇐⇒ x 6=
π
2
+ kπ.
1
= 2(sin x + cos x)
cos x
⇓
2 sin x cos x + 2 cos2 x = 1
m
sin 2x + cos 2x + 1 = 1
m
sin 2x + cos 2x = 0
114
HOOFDSTUK 3. CYCLOMETRISCHE FUNCTIES
m
sin 2x = − cos 2x
m
π
2x = − + kπ
4
m
π
π
x=− +k .
8
2
Alle oplossingen mogen aanvaard worden.
15. cos 3x > 13 .
cos 3x >
1
3
m
− arccos
1
1
+ 2kπ < 3x < arccos + 2kπ
3
3
m
1
1 2kπ
1
1 2kπ
− arccos +
< x < arccos +
3
3
3
3
3
3
De ongelijkheid heeft 3 reeksen intervallen die oplossing zijn.
16.
√
2 cos x − 2 cos2 x > 0.
√
√
2 cos x − 2 cos2 x > 0
m
√
2 cos x(1 − 2 cos x) > 0
Het eerste lid is een kwadratische vorm in cos x. We maken hiervan een tekenverloop.
√
cos x
0
√
2
2 cos x − 2 cos x − 0 +
2
2
0
−
3.9. VERGELIJKINGEN EN ONGELIJKHEDEN
115
De kwadratische vorm in cos x is positief als en slechts als
√
2
0 < cos x <
2
m
π
π
π
π
− + 2kπ < x < − + 2kπ ∨
+ 2kπ < x < + 2kπ
2
4
4
2
17.
sin x+cos x
1−cos x
> 0.
De noemer van het eerste lid van deze ongelijkheid is steeds groter dan nul. De
breuk is strikt groter dan nul als de teller tevens strikt groter is dan nul.
sin x + cos x > 0 met cos x 6= 1
m
sin x + sin(
π
− x) > 0 met cos x 6= 1
2
m
2 sin
π
π
cos(x − ) > 0 met cos x 6= 1
4
4
m
cos(x −
π
) > 0 met cos x 6= 1
4
m
π
π
π
− + 2kπ < x − < + 2kπ en cos x 6= 1
2
4
2
m
−
π
3π
+ 2kπ < x <
+ 2kπ en x 6= 2kπ
4
4
116
HOOFDSTUK 3. CYCLOMETRISCHE FUNCTIES
18. tan x3 = 2.
tan
x
=2
3
m
x
= 1, 1071487 + kπ
3
m
x = 3, 3214462 + 3kπ.
De vergelijking heeft 2 reeksen oplossingen, oneindig veel maatgetallen uitgedrukt
in radialen van twee hoeken maar niet alle maatgetallen van die hoeken.
19. arctan x = arctan 2 − arccot3.
arctan x = arctan 2 − arccot3
m
arctan x = arctan 2 − arctan
1
3
m
1
x = tan(arctan 2 − arctan )
3
m
3.9. VERGELIJKINGEN EN ONGELIJKHEDEN
tan(arctan 2) − tan(arctan 13 )
x=
1 + tan(arctan 2). tan(arctan 31 )
m
2−
x=
1+
1
3
2
3
= 1.
20. arctan x = arcsin 53 + arccos 12
.
13
arctan x = arcsin
12
3
+ arccos
5
13
m
x = tan(arcsin
3
12
+ arccos )
5
13
m
tan(arcsin 53 ) + tan(arccos 12
)
13
x=
3
12
1 − tan(arcsin 5 ). tan(arccos 13 )
m
3
4
5
+ 12
56
x=
.
3 5 =
33
1 − 4 . 12
117
118
HOOFDSTUK 3. CYCLOMETRISCHE FUNCTIES
21. tan 3x = − cot(x − π3 ).
tan 3x = − cot(x −
π
)
3
m
tan 3x = − tan(
π
π
−x+ )
2
3
m
tan 3x = − tan(
5π
− x)
6
m
tan 3x = tan(x −
5π
)
6
m
3x = x −
5π
+ kπ
6
m
2x = −
5π
+ kπ
6
m
x=−
π
5π
+k
12
2
22. arctan(x + 1) = 3 arctan(x − 1).
We nemen van beide leden de tangens.
x + 1 = tan(3 arctan(x − 1))
m
x+1=
3(x − 1) − (x − 1)3
1 − 3(x − 1)2
m
√
x=0∨x=± 2
√
De oplossing x = − 2 moet verworpen worden.
3.9. VERGELIJKINGEN EN ONGELIJKHEDEN
119
23. sin4 x + cos4 x = sin x cos x.
sin4 x + cos4 x = sin x cos x
Deze vergelijking is niet homogeen in sinus en cosinus. We kunnen ze echter homogeen maken door te vermenigvuldigen met de factor sin2 x + cos2 x daar waar de
graad 2 lager is dan de graad van de andere termen.
sin4 x + cos4 x = sin x cos x(sin2 x + cos2 x)
m
sin4 x − sin3 x cos x − sin x cos3 x + cos4 x = 0
m
tan4 x − tan3 x − tan x + 1 = 0
m
tan3 x(tan x − 1) − (tan x − 1) = 0
m
(tan3 x − 1)(tan x − 1) = 0
m
(tan x − 1)2 (tan2 x + tan x + 1) = 0
m
tan x = 1
m
x=
π
+ kπ
4
120
HOOFDSTUK 3. CYCLOMETRISCHE FUNCTIES
24. Lossen we een vergelijking op door over te gaan naar de tangens van de halve hoek
dan kunnen we oplossingen verliezen omdat de formules die de sinus en de cosinus
uitdrukken in de tangens van de halve hoek niet geldig zijn voor de maatgetallen
van de hoeken waarvoor de cosinus van de halve hoek gelijk is aan nul.
∀x 6=
2 tan x
π
+ kπ : sin 2x =
2
1 + tan2 x
∀x 6=
π
1 − tan2 x
+ kπ : cos 2x =
2
1 + tan2 x
Om dit te illustreren lossen we op deze manier de vorige vergelijking op.
cos 2x − sin 2x + 1 = 0
⇓
1 − tan2 x
2 tan x
−
+1=0
2
1 + tan x 1 + tan2 x
m
2 tan x − 1 + tan2 x − 1 − tan2 x = 0
m
tan x = 1
m
π
+ kπ
4
We zijn hier inderdaad de oplossingen van cos x = 0 ⇐⇒ x =
x=
π
2
+ kπ verloren.
Dus controleer steeds of geen oplossingen verloren gegaan zijn na gebruik van de
t-formules.
3.9. VERGELIJKINGEN EN ONGELIJKHEDEN
121
25. Als een tangens voorkomt in de vergelijking gaan we niet slaafs overgaan naar sinus
en cosinus. Dit kan de berekeningen overbodig ingewikkeld maken.
cot2 x − tan2 x =
2
sin x cos x
De bestaansvoorwaarden zijn
π
x 6= k .
2
Het is korter als we alle termen uitdrukken in tangens i.p.v. in sinus en cosinus.
4
1
− tan2 x =
2
tan x
sin 2x
m
1 − tan4 x
1 + tan2 x
=
4
tan2 x
2 tan x
m
1 − tan2 x = 2 tan x
m
tan x = −1 ±
√
2
m
x = arctan(−1 ±
√
2) + kπ.
122
HOOFDSTUK 3. CYCLOMETRISCHE FUNCTIES
26. 0 < | tan x4 | < 0, 25.
Bestaansvoorwaarden: x 6= 2π + 4kπ.
x
0 < | tan | < 0, 25
4
m
x
x
arctan(−0, 25) + kπ < < 0 ∨ 0 < < arctan(0, 25) + kπ
4
4
m
(4 arctan(−0, 25) + 4kπ < x < 0) ∨ (0 < x < 4 arctan(0, 25) + 4kπ)
27.
√
3 cos x−3 sin x
cosx
≥ 0.
Bestaansvoorwaarden: cos x 6= 0.
√
3 cos x − 3 sin x
≥0
cosx
m
√
3 − 3 tan x ≥ 0
m
tan x ≤
√
3
3
m
−
π
π
+ kπ ≤ x ≤ + kπ.
2
6
3.9. VERGELIJKINGEN EN ONGELIJKHEDEN
28. cot(x + π4 ) = −0, 2.
cot(x +
123
π
) = −0, 2
4
m
x+
π
= 1, 7681919 + kπ
4
m
x=−
π
+ 1, 7681919 + kπ = 0, 98279372 + kπ
4
De vergelijking heeft 2 reeksen oplossingen, de oneindig veel maatgetallen uitgedrukt
in radialen van twee hoeken.
29. 8 cos3 x − 14 cos2 x sin x + 5 cos x sin2 x = 0.
8 cos3 x − 14 cos2 x sin x + 5 cos x sin2 x = 0
m
cos x(8 cos2 x − 14 cos x sin x + 5 sin2 x) = 0
m
cos x = 0 ∨ 8 cot2 x − 14 cot x + 5 = 0
m
cos x = 0 ∨ cot x =
5
1
∨ cot x =
4
2
m
x=
π
+ kπ ∨ x = 0, 67474094 + kπ ∨ x = 1, 1071487 + kπ
2
124
HOOFDSTUK 3. CYCLOMETRISCHE FUNCTIES
30. 2 cos x + sin x = 1.
2 cos x + sin x = 1
m
x
x
x
x
− sin2 ) + 2 sin cos = 1
2
2
2
2
m
x
x
x
x
x
x
2(cos2 − sin2 ) + 2 sin cos = cos2 + sin2
2
2
2
2
2
2
m
x
x
x
x
cos2 − 3 sin2 + 2 sin cos = 0
2
2
2
2
m
x
x
cot2 + 2 cot − 3 = 0
2
2
m
x
x
cot = 1 ∨ cot = −3
2
2
m
x
π
x
= + kπ ∨ = arccot(−3) + kπ
2
4
2
m
π
x = + 2kπ ∨ x = 5, 6396842 + 2kπ.
2
2(cos2
AN II HUISTAAK 10
1. Los op
1. sin x + sin 3x = sin 2x
2. sin2 (x + π8 ) − sin2 (x − π8 ) =
3. sincosx−1
≤ cos x
x
4.
5.
1
2
sin6 x + cos6 x = 85
arcsin x2 + arcsin(2x) =
π
6
2. Los op:
x
1. 1−tan
= 2 cos 2x
1+tan x
2. tan(4 cos x) = cot(3 sin x)
5. arctan 2x
+ arctan x = π4
3
3.
4.
tan x √
cot 2x = 2 sin x(1 + tan x tan x2 )
tan x− 3
<0
tan2 2x−1
Hoofdstuk 4
Verloop van functies
4.1
4.1.1
Verloop van functies met exponentiële of logaritmische functie
Uitgewerkte oefeningen
1. * Het verloop van y = ln | x+1
|.
x−1
a. Domein.
De logaritmische functies werken alle in op strikt positieve reële getallen. De
bestaansvoorwaarde voor de functie is
x 6= 1 ∧ |
x+1
| > 0 ⇐⇒ x 6= 1 ∧ x 6= −1 −→ domf = R \ {−1, 1}.
x−1
b. Asymptoten.
Voor de vertikale asymptoten zoeken we naar reële x-waarden waarvoor de
gegeven functie nadert naar ∞.
De functie y = ln x nadert naar −∞ als x nadert naar 0 en nadert naar +∞
als x nadert naar +∞.
De functie y = | x+1
| nadert naar 0 als x nadert naar −1 en nadert naar +∞
x−1
als nadert x naar 1. Hieruit volgt:
lim(ln |
x+1
x+1
|) = ln(lim |
|) = ln(0) = −∞ −→ x = −1 is verticale asymptoot
−1 x − 1
x−1
lim(ln |
x+1
x+1
|) = ln(lim |
|) = ln(+∞) = +∞ −→ x = 1 is verticale asymptoot
1
x−1
x−1
−1
1
125
126
HOOFDSTUK 4. VERLOOP VAN FUNCTIES
lim |
±∞
x+1
x+1
| = 1 =⇒ lim ln |
| = ln 1 = 0 −→ y = 0 is horizontale asymptoot
±∞
x−1
x−1
c. Eerste en tweede afgeleide functie. y 0 =
−2
(x+1)(x−1)
en y 00 =
4x
.
(x2 −1)2
d. Tabel.
x
−1
0
y − −∞| + ∞
y 00 −
|
y − −∞| − ∞
&
T
0
1
+ 2 + +∞| − ∞
− 0 +
|
− 0 + +∞| + ∞
%
%
T
S
x+1
Figuur 4.1: y = ln | x−1
|
−
+
+
&
S
4.1. VERLOOP VAN FUNCTIES MET EXPONENTIËLE OF LOGARITMISCHE FUNCTIE127
1
2. * Het verloop van de functie y = x · e x+3
a. Domein.
De exponentiële functie y = ex werkt in op alle reële x-waarden. De functie
1
1
y = x+3
bestaat niet voor x = −3. De gegeven functie y = x.e x+3 bestaat dus
voor alle reële x-waarden uitgezonderd voor x = −3.
domf = R \ {−3}
b. Asymptoten.
Voor de vertikale asymtoten zoeken we naar reële x-waarden waarvoor de gegeven functie nadert naar ±∞. De functie y = ex nadert naar +∞ als x nadert
1
nadert naar +∞ als x nadert naar −3 van langs
naar +∞. De functie y = x+3
de rechterkant.
1
lim+
= +∞
−3 x + 3
Hieruit volgt:
1
lim+ e x+3 = +∞
−3
m
1
lim+ x.e x+3 = (−3)(+∞) = −∞
−3
1
x+3
De functie y = x.e
heeft dus een vertikale asymptoot aan de kant van −∞,
nl. x = −3.
1
Ga nu zelf na dat lim−3− x.e x+3 = 0.
De grafiek van de functie heeft geen horizontale asymptoten, want
1
lim x.e x+3 = ±∞.e0 = ±∞.
±∞
De grafiek van de functie kan wel nog schuine asymptoten hebben.
1
1
x.e x+3
a = lim
= lim e x+3 = e0 = 1;
±∞
±∞
x
1
b = lim±∞ (x.e x+3 − x)
1
= lim±∞ x.(e x+3 − 1) = ±∞.0
1
= lim±∞
= lim±∞
= lim±∞
e x+3 −1
1
x
1
e x+3 −1
.
(−1)
− x12
(x+3)2
1
x2
.e x+3
(x+3)2
= 1.e0 = 1
De functie heeft een schuine asymptoot, nl. y = x + 1.
128
HOOFDSTUK 4. VERLOOP VAN FUNCTIES
c. Eerste en tweede afgeleide functie.
y0 =
1
x2 +5x+9 x+3
.e
(x+3)2
1
5x+18
x+3 .
en y 00 = − (x+3)
4 .e
d. Tabel.
x
−18/5
y 0 + 2, 08
y 00 +
0
y − −0, 68
%
S
−3
0
√
+ 0| + ∞ + 3 e
−
|
−
− 0| − ∞ − 0
%
%
T
T
1
Figuur 4.2: y = x · e x+3
+
−
+
%
T
4.1. VERLOOP VAN FUNCTIES MET EXPONENTIËLE OF LOGARITMISCHE FUNCTIE129
OPGAVEN — 94 Bestudeer het verloop van elk van de volgende functies:
1. y = x.ex
5. y = ln x2
9. y = ln2 x
2
2. y = x. ln x
6. y = ln | ln x|
10. y = e−x +1
3.
y=
ex
|x−1|
−x2 +10x−21
7.
y = x + ex
y=
x
ln |x|
95 Gegeven de functie g : y = log5
1−x
x−5 .
4.
y=e
8.
11.
y = ln(5x + 1)
12.
y=
ex −e−x
ex +e−x
1. Bepaal van de functie f : y = 1−x
x−5 het domein, een tabel met bijzondere punten, de asymptoten,
de eerste afgeleide functie en de grafiek;
2. Vul de tabel van (a) aan met bijzondere punten van f , bepaal de asymptoten van f en teken
hiermee de grafiek van g = log5 f ;
3. Toon aan dat de restrictie van g tot ]1, 5[ een bijectie is en bepaal het voorschrift en de grafiek van
de inverse functie g −1 = h;
4. Bepaal h(1) en h0 (1) steunend op de bijzondere punten van de grafiek van g uit (b) (zonder h0 te
moeten berekenen). Controleer je resultaten door h(1) en h0 (1) effectief te berekenen.
5. Bepaal de buigpunten van g met de computer.
Oplossingen: 94
1. y = x.ex , domf = R, H.A. y = 0 (−∞), y 0 = (x + 1).ex , y 00 = (x + 2).ex
x
y0
y 00
y
−2
− −1/e2
−
0
− −2/e2
&
T
−1
−
0
+
− −1/e
&
S
0
+ 1
+
− 0
%
S
0
3. y = ln | ln x|, domf = R+
0 \ {0, 1}, V.A.: x = 0 en x = 1, y =
x
y0
y 00
y
x
0
||| −∞
|||
||| +∞
−
+
+
&
S
1/e
−e
0
0
+
+
+
%
S
1
x ln x ,
y 00 =
1+ln x
,
x2 ln2 x
1
e
− −∞| + ∞ + 1/e +
−
|
−
−
− −∞| − ∞ −
0
+
&
%
%
T
T
T
2
e
x−2
−4x+5 x
x
00
4. y = |x−1|
, domf = R \ {1}, V.A.: x = 1, H.A.: y = 0, y 0 = (x−1)
= x(x−1)
2e , y
3 e ,
1
5
25
1
0
00
5. y = ln(5x + 1), domf =] − 5 , +∞[, V.A.: x = − 5 (−∞), y = 5x+1 , y = − (5x+1)
2,
x
0
1
2
x
−1/5
0
y 0 + 2 + +∞| − ∞ − 0 +
y 0 ||| | + ∞ + 5 +
y 00 +
+
|
+
+
y 00 ||| | − ∞ −
−
2
y
+ 1 + +∞| + ∞ + e
+
y
||| | − ∞ − 0 +
%
%
&
%
%
%
S
S
S
S
T
T
130
HOOFDSTUK 4. VERLOOP VAN FUNCTIES
6. y =
x
ln |x| ,
x
y0
y 00
y
domf = R\{0, −1, 1}, V.A. x = −1 en x = 1, de functie is oneven, y 0 =
+
+
−
%
S
−e2
1/4
0
−e2 /2
−e
0
−1
−∞| − ∞
+
−
−
−
− −e −
%
&
T
T
−
+
−∞| + ∞ +
&
S
0
0|0
|
0|0
1
−∞| − ∞
−
−
−
+
− −∞| + ∞ +
&
&
T
S
e
0
e
ln |x|−1
,
ln2 |x|
+
+
+
%
S
y 00 =
e2
1/4
0
e2 /2
2−ln |x|
,
x ln3 |x|
+
−
+
%
T
7. y = ln x2 , domf = R0 , V.A.: x = 0, de functie is even, y 0 = x2 , y 00 = − x22 .
x
y0
y 00
y
−
−
+
&
T
−1
−2
0
−
−
−
&
T
0
−∞| + ∞
−∞| − ∞
−∞| − ∞
1
2
+
−
−
%
T
e
+ 2/e
−
+
2
%
T
0
+
−
+
%
T
1
0
00
8. y = x. ln x, domf = R+
0 , geen asymptoten, y = 1 + ln x, y = x .
x
y0
y 00
y
2
9. y = e−x
+1
0
||| | − ∞
||| | + ∞
|||
|0
1/e
−
0
+
− −1/e
&
S
1
+ 1
+
− 0
%
S
+
+
+
%
S
2
, domf = R, H.A.: y = 0, de functie is even, y 0 = −2x.e−x
x
y0
y 00
y
+
+
+
%
S
−1
2
1
+
+
+
%
S
√
− 2/2
2, 3
0
1, 6
+
−
+
%
T
0
0
e
√
−
−
+
&
T
2/2
−2, 3
0
1, 6
+1
, y 00 = (4x2 − 2).e−x
1
− −2
+
+
1
&
S
2
+1
,
−
+
+
&
S
10. y = x + ex , domf = R, S.A.: y = x voor −∞, y 0 = 1 + ex , y 00 = ex ,
x
y0
y 00
y
11. y = e−x
2
+10x−21
+
+
−
%
S
−0, 55
1, 55
0
+
+
+
%
S
0
2
1
+
+
+
%
S
, domf = R, H.A.: y = 0, x = 5 is een as van symmetrie, y 0 = (−2x+10)e−x
2
+10x−21
,
4.1. VERLOOP VAN FUNCTIES MET EXPONENTIËLE OF LOGARITMISCHE FUNCTIE131
2
y 00 = (4x2 − 40x + 98)e−x
x
y0
y 00
y
+10x−21
0
8.10−9
+
+
+ 7, 5.10−10
%
S
+
+
+
%
S
,
√
5 − 2/2
46, 8
0
33, 1
5
0
+
−
+ 54, 6
%
T
−
−
+
&
T
√
5 + 2/2
−46, 8
0
33, 1
−
+
+
&
S
10
−8.10−9
7, 5.10−10
−
+
+
&
S
132
4.2
4.2.1
HOOFDSTUK 4. VERLOOP VAN FUNCTIES
Verloop van functies met goniometrische of cyclometrische functie
Uitgewerkte oefening
Voorbeeld: y = sin 2x − 2 cos x
1. Domf = R; periode 2π; we werken in het interval [−π, π];
2. y 0 = 2 cos 2x + 2 sin x; nulpunten: − 5π
, − π6 en
6
π
2
3. y 00 = −4 sin 2x + 2 cos x; nulpunten: − π2 , π2 , arcsin 14 en π − arcsin 14 .
4. Tabel:
x
−π
−5π/6
0
y + 2 +
0
y 00 −
− √
y + 2 + 3 3/2
%
%
T
T
−π/2
−π/6
− −4 −
0
−
0
+
√
+
0
− −3 3/2
&
&
T
S
+
+
−
%
S
0
2
0, 25
π/2
2, 88
+
9/4
+ 0 +
9/4
+
0
−
0
+
√
√0
−2 − −3 15/8 − 0 + 3 15/8
%
%
%
S
T
S
5. Extrema:
√
minima: − π6 + 2kπ, − 3 2√3 ;
maxima: (− 5π
+ 2kπ, 3 2 3 ).
6
6. Buigpunten:
(− π2 +2kπ, 0) met
richtingscoëfficiënt van de buigraaklijn −4 en (0, 25+
√
√
2kπ; − 3 815 ), (2, 88 + 2kπ; 3 815 ) met richtingcoëfficiënt van de buigraaklijn 94 .
4.2. VERLOOP VAN FUNCTIES MET GONIOMETRISCHE OF CYCLOMETRISCHE FUNCTIE133
OPGAVEN — 96 Bepaal het verloop en de grafiek
q van de volgende functies:
1+sin x
1+2 cos x
1. y = 1−2 cos x
5. y = 1−sin
x
2.
y = 2 cos x + sin2 x
6.
y = x tan x
3.
y = sin x − tan x
7.
y=
cos x
2+sin x
4.
y = sin x +
8.
y=
3
3 sin x+sin 3x
1
3
sin 3x +
1
5
sin 5x
97 Bepaal het verloop en de grafiek van de volgende functies:
2
1. y = x − 2 arctan x
4. y = arccos(x
p − 1)
2. y = arcsin 1−x
5. y = sin2 x 3 − 4 sin2 x
1+x
x
3. y = 2 cos x + ln(tan 2 )
Oplossingen:
96
1. Domf = R \ { π3 + 2kπ, − π3 + 2lπ} ; periode is 2π; We werken in [−π, π]; y 0 =
4 sin x
(1−2 cos x)2 ;
y 00 =
−4(2 cos2 x+cos x−4)
;
(1−cos x)3
Tabel:
x
y0
y 00
y
−π
−
0
+
− −1/3
&
S
+
+
−
%
S
−2π/3
√
3/2
0
+
+
+
%
S
−π/2
4
1
−π/3
+ +∞| + ∞ +
+
−
+ +∞| − ∞ −
%
%
S
T
0
0
−3
−
−
−
&
T
π/3
−∞| − ∞
−∞| + ∞
−∞| + ∞
−
+
+
&
S
π/2
−4
1
−
+
+
&
S
2π/3
√
− 3/2
0
−
+
−
&
S
Extrema: maxima: (2kπ, −3); minima: (π + 2kπ, − 31 ).
Buigpunten: geen
2. Domf = R \ { π2 + 2kπ} ; periode is 2π; We werken in [−π, π]; V.A.: x =
y 00 =
π
2
+ 2kπ y 0 =
cos x
(1−sin x).| cos x| ;
| cos x|
(1−sin x)2 ;
x
y0
y 00
y
−
+
+
&
S
−π
−1
1
−π/2
− −1/2|1/2
+
|
+
0
&
S
0
+ 1
+
+ 1
%
S
π/2
+ +∞| − ∞
+
|
+ +∞| + ∞
%
S
π
− −1
+
+ 1
&
S
−
+
+
&
S
97
1. Domf = R; de functie is een oneven functie; S.A.: y = x − π voor +∞ en y = x + π voor −∞;
2
4x
00
y 0 = xx2 −1
+1 ; y = (x2 +1)2 ; De nulpunten van de functie worden grafisch bepaald. De nulpunten zijn de
absissen van de snijpunten van de rechte y = x2 en de grafiek van de arcustangensfunctie. We vinden
x ≈ 2, 25, x ≈ −2, 25 en x = 0.
π
0
−1/3
+
+
−
134
HOOFDSTUK 4. VERLOOP VAN FUNCTIES
Tabel:
x
y0
y 00
y
+
−
−
%
T
−2, 25
0, 67
0
+
−
+
%
T
−1
0
π/2 − 1
−
−
+
&
T
0
−1
0
0
1
0
−
+
− 1 − π/2
&
S
2, 25
0, 67
+
+
−
%
S
+
+
+
%
S
0
Extrema: maximum: (−1, π2 − 1); minimum: (1, 1 − π2 ). Buigpunt: (0, 0) met richtingscoëfficiënt van de
buigraaklijn −1.
S
3 sin 4x
;
5. Domf = k∈Z [− π3 +kπ, π3 +kπ]; periode is π; We werken in [− π2 , π2 ]; de functie is even; y 0 = 2√1+2
cos 2x
3
2
2x+2 cos 2x−cos 2x−1)
√
; De teller, beschouwd als een derde graad in cos 2x heeft 1 nulpunt nl.
y 00 = 6(3 cos
(1+2 cos 2x) 1+2 cos 2x
cos 2x = 0, 65.
Tabel:
x
y0
y 00
y
|||
|||
|||
−π/2
|
|
|3
−π/3
||| | + ∞
|||
|
|||
0
+
−
+
%
T
−π/4
0
1/2
−0, 43
− −0, 98
−
0
+
0, 27
&
T
0
− 0
+
+ 0
&
S
0, 43
+ 0, 98
+
0
+ 0, 27
%
S
+
−
+
%
T
π/4
0
1/2
π/3
π/2
− −∞ |||
|
−
|||
|
+
0
|||
|
&
T
Extrema: minima: (kπ, 0); maxima: (− π4 + kπ, 21 ) en ( π4 + kπ, 12 )
Buigpunten: (−0, 43 + kπ; 0, 27) en (0, 43 + kπ; 0, 27). met r.c. van de buigraaklijn resp. −0, 98 en 0, 98.
S
3. y = 2 cos x + ln(tan x2 ), domf = k∈Z ]2kπ, π + 2kπ[, periode 2π, we werken in ]0, π[, V.A.: x = 0 en
x = π, punt van symmetrie ( π2 , 0), y 0 =
x
y0
y 00
y
0
||| +∞
|||
||| −∞
+
−
−
%
T
π/11
2, 9
0
+
−
+
%
T
1−2 sin2 x
,
sin x
π/4
0
0, 5
−
−
+
&
T
2
x+1) cos x
,
y 00 = − (2 sin sin
2x
π/2
−1
0
0
3π/4
−
0
+
− −0, 5
&
S
+
+
−
%
S
10π/11
2, 9
0
π
+ +∞ |||
+
|||
+ +∞ |||
%
S
|||
|||
|||
Hoofdstuk 5
Differentialen
5.1
5.1.1
Differentialen en foutberekening
De differentiaal
De notatie van Leibniz dy/dx voor afgeleide stelt in eerste instantie geen quotiënt voor.
We zullen nu aan dy en dx een betekenis geven zodat we deze notatie wel als een quotiënt
kunnen opvatten, m.a.w. dat het quotiënt dy/dx gelijk is aan de afgeleide .
We beschouwen een afleidbare functie y = f (x).
De grootheid dx is een onafhankelijke variabele grootheid, die dus alle reële waarden kan
aannemen zoals ∆x. We kunnen daarom dx = ∆x nemen. Deze grootheid dx = ∆x
noemen we de differentiaal van x. De grootheid dy = f 0 (x).dx noemen we de differentiaal van de functie f . De differentiaal is een afhankelijk veranderlijke grootheid, ze
hangt af van de waarde van dx alsook van het punt van het domein van de functie waar
de afgeleide functie beschouwd wordt.
Voorbeeld: We beschouwen de functie y = x2 − 1. De differentiaal van de functie is
dy = 2xdx
Nemen we het punt 2 van het domein en dx = 0, 5 dan is de waarde van de differentiaal
dy gelijk aan 2 × 2 × 0, 5 = 2.
5.1.2
Rekenregels met differentialen
STELLING 5.1 Zijn voor de functies f en g de voorwaarden voor continuı̈teit en afleidbaarheid vervuld dan gelden de volgende regels:
∀r, s ∈ R : d(rf + sg) = rdf + sdg
135
136
HOOFDSTUK 5. DIFFERENTIALEN
d(f.g) = f.dg + g.df
f
g · df − f · dg
d
=
g
g2
d(g ◦ f ) = g 0 (f ).df
Bewijs: De rekenregels voor het differentiëren volgen onmiddellijk uit de rekenregels voor
afgeleiden waarbij we rekening houden met de definitie f 0 dx = df en g 0 dx = dg.
5.1.3
Differentialen van de voornaamste functies
∀q ∈ Q : dxq = qxq−1 dx ∀q ∈ Q : df q = qf q−1 df
In het bijzonder is
√
√
d x = 2d√xx d f = 2d√ff
d sin x = cos x.dx
d sin f = cos f.df
d cos x = − sin x.dx d cos f = − sin f.df
dx
= sec2 x.dx = (1 + tan2 x).dx
2
cos x
df
d tan f =
= sec2 f.df = (1 + tan2 f ).df
cos2 f
d tan x =
dx
= − csc2 x.dx = −(1 + cot2 x)dx
sin2 x
df
d cot f = − 2 = − csc2 f.df = −(1 + cot2 f )df
sin f
d cot x = −
d sec x = sec x. tan x.dx
d sec f = sec f. tan f.df
d csc x = − csc x. cot x.dx d csc f = − csc f. cot f.df
d arcsin x =
√ dx
1−x2
d arcsin f = √df
dx
d arccos f = −
d arccos x = − √1−x
2
dx
d arctan x = 1+x
2
d arccot x = − dx
1+x2
1−f 2
√df
1−f 2
df
d arctan f = 1+f
2
d
d arccot f = − f
1+f 2
5.1. DIFFERENTIALEN EN FOUTBEREKENING
Figuur 5.1: y = ln x en y 0 =
137
y = ln |x| en y 0 =
1
x
1
x
d(loga x) = xdlnxa (x > 0) d(loga f ) = fdlnfa (f > 0)
d ln x = dxx (x > 0)
d ln f = dff (f > 0)
d(log |f |) = df
d(log |x|) = dx
a
a
x ln a
d ln |x| = dxx
f ln a
d ln |f | = dff
Opmerking: De functie y = loga x met a ∈ R \ {0} zijn restricties tot R+ van de functie
y = loga |x|. De afgeleide functie van y = loga |x| is y = x ln1 a en de afgeleide functie van
y = loga x is de restrictie daarvan tot R+ .
dax = ax . ln a.dx daf = af . ln a.df
dex = ex .dx
def = ef .df
d sinh x = cosh x.dx
d cosh x = sinh x.dx
d tanh x = sech2 x.dx
d cot x = −cosech2 x.dx
dsechx = −sechx. tanh x.dx
dcosechx = −cosechx.cotanhx.dx
d sinh f = cosh f.df
d cosh f = sinh f.df
d tanh f = sech2 f.df
d cot f = −cosech2 f.df
dsechf = −sechf. tan hf.df
dcosechf = −cosechf.cotanhf.df
p
dx
x2 + 1) = √
x2 + 1
p
df
d sinh−1 f = d ln(x + f 2 + 1) = p
f2 + 1
d sinh−1 x = d ln(x +
d cosh−1 x = d ln(x +
p
x2 − 1) = √
dx
x2 − 1
138
HOOFDSTUK 5. DIFFERENTIALEN
d cosh−1 f = d ln(f +
p
f 2 − 1) = p
df
f2 − 1
1 1+x
dx
(x2 < 1)
d tanh−1 x = d( ln
)=
2 1−x
1 − x2
1 1+f
df
d tanh−1 f = d( ln
(f 2 < 1)
)=
2 1−f
1 − f2
dx
1 x+1
(x2 > 1)
)=
d coth−1 x = d( ln
2 x−1
1 − x2
1 f +1
df
d coth−1 f = d( ln
(f 2 > 1)
)=
2 f −1
1 − f2
dsech−1 x = d(ln
dsech
−1
f = d(ln
dcosech
dcosech
−1
−1
1+
1+
√
−dx
1 − x2
)= √
(0 < x ≤ 1)
x
x 1 − x2
√
−df
1 − x2
)= p
(0 < f ≤ 1)
f
f 1 − f2
1
x = d ln( +
x
1
f = d ln( +
f
√
p
1 + x2
−dx
√
)=
(x 6= 0)
|x|
|x| 1 + x2
1 + f2
−df
p
)=
(f 6= 0)
|f |
|f | 1 + f 2
Berekenen we de volgende differentialen zonder de beperkingen voor x dan verkrijgen we
de volgende formules:
d ln(x +
d ln(x +
√
√
x2 + 1) =
√ dx
x2 +1
x2 − 1) =
√ dx
x2 −1
dx
ln | 1+x
|) = 1−x
2
1−x
√
2
dx
d( 1+ x1−x ) = x√−1−x
2
√
2
dx
d( 1+ x1+x ) = x√−1+x
2
d( 21
p
f 2 + 1) = √d2f
f +1
p
d
d ln(f + f 2 − 1) = √ 2f
d ln(f +
f −1
1+f
df
d( 12 ln | 1−f
|) = 1−f
2
√
1+ 1−f 2
−df
d(
)= √
f
f 1−f 2
√
d(
1+
1+f 2
)
f
−df
= √
f
1+f 2
5.1. DIFFERENTIALEN EN FOUTBEREKENING
139
OPGAVEN
— 98 Bepaal de differentiaal van de volgende functies:
√
1. y = x−3
10. y = x. sin x
x
2. y = xx
11. y = x2 e2x cos 3x
12.
1+x
y = arccot 1−x
4.
y = arctan 3x2
√
y = x a2 − x2 + a2 . arcsin xa
13.
y=
5.
y = ln2 (x + 3)
14.
y = ln((x3 + 2)(x2 + 3))
6.
y = ln(sin 3x)
15.
y = a3x
7.
16.
8.
y = e− 2 x
√
y = sec3 x
9.
y=
y = e−x .lnx
√
y = csc 2x
p
√
y = x + 2x − 1
3.
1
17.
cos x
x
18.
1
ab
arctan( ab tan x)
2
Oplossingen: 98
1.
2.
3.
4.
√
dx
dy = 2x26−x
x−3
x
dy = x (1 + ln x)dx
6x
dy = 1+9x
4 dx
√
dy = 2 a2 − x2 dx a > 0; dy =
5.
6.
7.
8.
dy
dy
dy
dy
9.
dy =
13.
dy = (x. cos x + sin x)dx
dy = x2 e2x cos 3x( x2 + 2 − 3 tan 3x)dx
−dx
dy = 1+x
2
dx
dy =
2 ln(x+3)
x+3 dx
14.
15.
16.
17.
dy
dy
dy
dy
−x sin x−cos x
dx
x2
18.
=
= 3 cot 3xdx
1
= − 21 e− 2 x dx
√
√
3
= 2√
sec3 x. tan xdx
x
10.
11.
12.
2
√−2x
dx a
a2 −x2
<0
a2 cos2 x+b2 sin2 x
2
2x
= ( x3x
3 +2 + x2 +3 )dx
2
= 6 ln a.x.a3x dx
−x
−x
ln x)dx
= ( e√
x −e
= − csc 2x. cot 2x.dx
√
2x−1+1
dy = √
dx
√
2
(2x−1)(x+ 2x−1)
140
5.1.4
HOOFDSTUK 5. DIFFERENTIALEN
Meetkundige betekenis van de differentiaal
De meetkundige betekenis van de differentiaal wordt getoond in figuur 5.2.
Figuur 5.2: De meetkundige betekenis van de differentiaal
De afgeleide f 0 (x) is de richtingscoëfficiënt van de raaklijn in het punt (x, f (x)) aan de
grafiek van de functie. Bij een toename ∆x = dx van x hebben we op de raaklijn een
toename van dy vermits f 0 (x) = dy/dx. We zien dat voor een toename dx = ∆x van x
de toename ∆y van de functie f meestal niet dezelfde is als de toename op de raaklijn.
We zien ook dat voor heel kleine toenamen van x de waarde van dy een benadering kan
zijn voor ∆y.
We kunnen dus zeggen dat als dx = ∆x en dx nadert naar nul geldt
dy ≈ ∆y
We kunnen de differentiaal van een functie dus gebruiken om een benadering te geven van
een functietoename.
∆f = f (x + ∆x) − f (x)
en
dy ≈ f (x + ∆x) − f (x)
Voorbeelden:
• We vergelijken de toename van de functiewaarde en de differentiaal van de functie
y = x2 − 1 in het punt 2 bij een toename van de x-waarde met 0,1.
∆y = (2, 12 − 1) − (22 − 1) = 0, 41
5.1. DIFFERENTIALEN EN FOUTBEREKENING
141
en
dy = 2xdx = 2 × 2 × 0, 1 = 0, 4.
De benadering is reeds goed maar zal nog beter zijn als ∆x nog kleiner genomen
wordt. Beschouwen we in het punt 2 nu een toename 0,01.
∆y = (2, 012 − 1) − (22 − 1) = 0, 0401
en
dy = 2xdx = 2 × 2 × 0, 01 = 0, 04.
• We spannen een koord rond de aarde langs de evenaar, vervolgens maken we deze
koord met 1m groter. Hoeveel mm zal men de koord overal op aarde kunnen optillen?
Oplossing: De omtrek y van cirkel is functie van de straal R.
y = 2πR
dy = 2πdR
Hier wordt de toename van de functie gegeven.
dy = 2πdR = 1
Waaruit volgt dat de toename van de straal gelijk is aan
dR =
1
= 0, 16m = 16cm
2π
Deze toename van de straal is onafhankelijk van de straal van de cirkel. Voor een
kleine cirkel vergroot de straal ook met 16cm als we de omtrek met 1m groter maken.
Werken we met de exacte toenamen dan is
∆y = 2π(R + ∆R) − 2πR = 2π∆R = 1
Hier zijn de benaderde waarden gelijk aan de exacte waarden. Dit is omdat de
functie een eerstegraadsfunctie is en daar is de toename op de raaklijn dezelfde als
voor de functie.
142
HOOFDSTUK 5. DIFFERENTIALEN
5.1.5
Benaderen van functiewaarden
Is een functie y = f (x) een afleidbare functie en kennen we van deze functie de functiewaarde in een bepaalde x-waarde, dan kunnen we een benadering geven van een naburige
functiewaarde d.m.v. de differentiaalrekening.
f (x + ∆x) ' f (x) + df
Met deze benadering vervangen we in feite de grafiek van de functie in de omgeving van
het beschouwde punt door de raaklijn in dat punt aan de grafiek. De benadering van een
naburige functiewaarde is de corresponderende waarde y-waarde op de raaklijn.
Voorbeelden:
• Bereken de volgende uitdrukking tot op drie beduidende cijfers nauwkeurig
√
1 + 10−12 − 1.
Oplossing: Op de rekenmachine
√ krijgen we voor deze uitdrukking de waarde nul.
We beschouwen de functie y = 1 + x. Voor x = 0 kennen we de functiewaarde,
nl. f (0) = 1. De gevraagde waarde is de toename van de functiewaarde voor een
toename van x gelijk aan dx = 10−12 .
f (0 + 10−12 ) − f (0) ' df
waarbij de differentiaal van de functie moet genomen worden in 0.
√
√
1 + 10−12 − 1 ' d 1 + x
waarbij de differentiaal van de functie moet genomen worden in 0.
√
De differentiaal van de functie y = 1 + x is
1
dy = √
dx
2 1+x
We nemen de raaklijn voor x = 0.
10−12
= 5.10−13
2
√
• Bereken een benaderde waarde voor 3 1001.
√
Oplossing: We beschouwen de functie y = 3 x. De functiewaarde voor x = 1000
is gekend en gelijk aan 10. We moeten de functiewaarde kennen in 1001. Dit is voor
een toename van de x-waarde dx = 1.
dy =
f (1000 + 1) ' f (1000) + df
5.1. DIFFERENTIALEN EN FOUTBEREKENING
143
waarbij de differentiaal van de functie moet genomen worden in 1000.
√
√
√
3
3
1001 ' 1000 + d 3 x
waarbij de differentiaal van de functie moet genomen worden in 1000.
Een benadering voor de toename van de functiewaarde wordt gegeven door
1
1
= 0, 0033333...
dy = √
dx =
3
300
3 x2
√
3
1001 = 10, 0033333...
De waarde op de rekenmachine geeft 10,00333222.
OPGAVEN — 99 Gebruik differentialen om een benadering te vinden voor de verandering of de toename
a. van 3x als x verandert van 2 tot 2,5;
b. van x3 als x verandert van 5 tot 5,01.
100 Een cirkelvormige metalen plaat zet uit onder invloed van de warmte zodat de straal toeneemt van
5 cm tot 5,06 cm. Bereken een benadering voor de toename van de oppervlakte van de plaat.
Oplossingen:
99 a. 1,5; b. 0,75
100 0,6π cm2 = 1,88 cm2 .
144
5.1.6
HOOFDSTUK 5. DIFFERENTIALEN
Absolute, relatieve fout en procentuele fout bij metingen
Voeren we een berekening uit met grootheden die met een zekere nauwkeurigheid ±∆x
gemeten worden dan zit op het resultaat N van deze berekening een maximale fout die we
de absolute fout op N noemen. De absolute fout is een positieve grootheid die berekend
kan worden door middel van de differentiaal.
De relatieve fout op N is de fout gezien t.o.v. de grootte van het resultaat N , de relatieve
fout is het quotiënt van de absolute fout op N en |N |.
RF =
AF
.
|N |
De procentuele fout is het produkt van de relatieve fout met 100.
PF = 100 × RF.
Voor absolute en relatieve fouten zijn volgende rekenregels geldig:
AF(x ± y) = AF(x) + AF(y)
RF(x.y) = RF(x) + RF(y)
x
RF( ) = RF(x) + RF(y).
y
Om de absolute fout van een som, een verschil, een produkt en een quotiënt te berekenen
kunnen we de rekenregels voor differentialen als volgt aanwenden: De rekenregel
d(x ± y) = dx ± dy
wordt voor absolute fouten
AF(x ± y) = AF(x) + AF(y).
De rekenregel
d(x.y) = x.dy + ydx
wordt voor absolute fouten
AF(x.y) = |x|AF(y) + |y|AF(x).
De rekenregel
x
y.dx − xdy
d( ) =
y
y2
wordt voor absolute fouten
x
|y|AF(x) + |x|AF(y)
AF( ) =
.
y
y2
5.1. DIFFERENTIALEN EN FOUTBEREKENING
145
Voorbeelden:
• De zijde van een kubus is 28 cm, gemeten met een nauwkeurigheid van 1mm. Bereken de absolute fout op de het volume van de kubus en de oppervlakte van de
kubus.
Oplossing: Het volume V van de kubus is
V = z 3 = 283 cm3 = 21952 cm3 = 21, 952 l
De absolute fout op het volume is
AF(z 3 ) = 3z 2 · AF(z) = 3 × 282 × 0, 1 cm3 = 235, 2 cm3 = 0, 2352 l.
V = 21, 9 l ± 0, 3 l
De relatieve fout is
RF(V ) =
0, 3
= 0, 013.
21, 9
De procentuele fout is
PF(V ) = 1, 3%.
• Beschouwen we nu in het vorig voorbeeld een kleinere kubus met een zijde van 5cm
dan zal de absolute fout kleiner zijn maar de relatieve fout en de procentuele fout
zal veel groter zijn. We verkrijgen
AF(V ) = 3 × 52 × 0, 1 cm3 = 7, 5 cm3
V = 53 cm3 = 125 cm3 ± 8 cm3 .
RF(V ) = 0, 064
PF(V ) = 6, 4%.
Bereken zelf de AF, RF en PF op de oppervlakte van de kubus.
• Een bol ijs met een omtrek van 31cm is gemeten met een nauwkeurigheid van 5mm.
Bereken de absolute fout op het volume van de bol ijs.
Oplossing: Het volume V van de bol is
T3
V = 34 πR3
=⇒ V = 2
T = 2πR
6π
De absolute fout op het volume is
AF(
T3
3T 2
312
)
=
·
AF(T
)
=
× 0, 5 cm3 = 24, 3 cm3
6π 2
6π 2
2π 2
146
HOOFDSTUK 5. DIFFERENTIALEN
Het volume van de bol ijs is
V = 503 cm3 ± 25 cm3
De relatieve fout is
RF(V ) =
25
= 0, 05.
503
De procentuele fout is
PF(V ) = 5%.
• Van een holle cilinder is gegeven:
a. de binnendiameter Di : 25 cm ± 0,01 cm;
b. de buitendiameter Du : 30 cm ± 0,02 cm;
c. de hoogte h: 1 m ± 1 mm;
d. de massadichtheid ρ: (7,80 ± 0,02) kg/dm3 .
Bereken de absolute fout, de relatieve fout en de procentuele fout op de massa van
de holle cilinder.
Oplossing: De massa M van de holle cilinder is:
π
M = (Du2 − Di2 ) · h · ρ
4
De massa van de holle cilinder is gelijk aan 168,467906 kg.
De absolute fout op de massa is:
π
AF(M ) =
(AF(Du2 ) + AF(Di2 )) · h · ρ + (Du2 − Di2 )AF(h) · ρ + (Du2 − Di2 ) · h · AF(ρ)
4
π
(2Du · AF(Du ) + 2Di · AF(Di )) · h · ρ + (Du2 − Di2 )AF(h) · ρ
=
4
+(Du2 − Di2 ) · h · AF(ρ)
π
(2.30 · 0, 02 + 2 · 25 · 0, 01) · 100 · 0, 0078
=
4
+(900 − 625) · 0, 1 · 0, 0078 + (900 − 625) · 100 · 0, 00002 kg
= 1, 641874861 kg
De massa van de holle cilinder is
168 kg ± 2 kg
De relatieve fout:
RF(M ) =
2
= 0, 01
168
De procentuele fout is
PF(V ) = 1%.
5.1. DIFFERENTIALEN EN FOUTBEREKENING
147
OPGAVEN — 101 De straal van een cirkel is te meten en de oppervlakte te berekenen. Als de straal
kan gemeten worden op 0,001 m nauwkeurig en de oppervlakte moet nauwkeurig zijn op 0,1 m2 , welke is
dan de maximale straal waarvoor deze nauwkeurigheid voor de oppervlakte nog kan voldaan zijn.
102√De snelheid (m/sec) bereikt door een vallend lichaam op een hoogte van h m wordt gegeven door
v = 64, 4h. Bereken de fout op de snelheid bij een hoogte van 100 m als de fout op de hoogtemeting
0,5 m bedraagt.
103 Een bol ijs met straal 10 cm smelt tot een bol met straal 9,8 cm. Geef een benadering voor de
vermindering in volume en oppervlakte.
104 Als P V = 20 en P = 5, 00 ± 0.02, zoek dan V en de fout op V .
105 Als F =
1
r2
en F = 4, 00 ± 0, 05, zoek dan r en de fout op r.
Oplossingen:
101 16m (15,915 m)
102 0,2 m/sec, v = 80, 2 ± 0, 2
103 80π cm3 en 16πcm2
104 V = 4, 00 ± 0, 02
105 r = 0, 500 ∓ 0, 003
AN II HUISTAAK 11
1. Gegeven: x = 5, 321 ± 0, 001 en y = 0, 1523 ± 0, 0001.
Bereken: logx y en bepaal bij benadering de absolute en relatieve nauwkeurigheid van
het resultaat.
2. Van een balk zijn de afmetingen a, b en c: a = 7, 14m, b = 1, 12m en c = 2, 17m.
Elke afmeting vergroten we met 1cm. Bereken de totale oppervlakte van de balk en
geef de maximale absolute, relatieve en procentuele toename van deze oppervlakte
d.m.v. de differentiaalrekening.
148
HOOFDSTUK 5. DIFFERENTIALEN
Hoofdstuk 6
Integralen
6.1
Inleidende voorbeelden
Het begrip afgeleide werd ingeleid met de snelheid van een beweging. Op een tijdstip t is
de snelheid de richtingscoëfficiënt van de raaklijn in het punt (t, x) aan de grafiek van de
plaatsfunctie x(t). De snelheidsfunctie v(t) is de afgeleide functie is van de plaatsfunctie
x(t) naar de tijd.
Met de notatie van Leibniz kunnen we schrijven:
dx
dt
waarbij het tweede lid werkelijk een quotiënt voorstelt.
De afgeleide functie van een functie is een hellingsfunctie of snelheidsfunctie.
vx =
We zullen aantonen met de volgende voorbeelden dat omgekeerd geldt:
Een primitieve functie van een functie is een oppervlaktefunctie.
1. Twee fietsers Stephanie en Kristof fietsen met een snelheid van resp. 20 km per uur
en 28 km per uur langs de ’Vlaanderen fietsroute’ van Gent naar Brugge. In Aalter
op tijdstip t = 0 rijdt Stephanie daar voorbij. Na 20 min rijdt Kristof op dezelfde
plaats voorbij. Waar en na hoeveel tijd zal Kristof Stephanie ingehaald hebben?
Oplossing: De snelheidsfunctie vx (t) is gegeven en we willen daaruit de plaatsfunctie x(t) bepalen.
dx = vx dt.
(6.1)
In het voorbeeld zijn de snelheden van de fietsers constant. Drukken we de snelheid
uit in km/min dan hebben de snelheidsfuncties als voorschrift resp.
vx (t) =
1
28
7
20
= en vx (t) =
= .
60
3
60
15
149
150
HOOFDSTUK 6. INTEGRALEN
T.o.v. een (t, x)-coördinatenstelsel is de grafiek van elk van deze snelheidsfuncties
een rechte parallel met de t-as. Het verband (6.1) wordt
7
1
dx = dt voor Stephanie en dx = dt voor Kristof.
3
15
Deze betrekkingen tonen aan op grafiek dat de afgelegde weg voor een toename van
de tijd gelijk is aan de oppervlakte tussen de grafiek van de snelheidsfunctie en de
t-as in het beschouwde tijdsinterval.
Voor Stephanie is de positie gelijk aan 0 op tijdstip t = 0.
De afgelegde weg tussen t = 0 en bvb. t = 5 is gelijk aan 31 · 5.
Dit is de oppervlakte onder de grafiek van de snelheidsfunctie v(t) = 13 in het interval
[0, 5].
De afgelegde weg tussen t = 0 en bvb. t = 15 is gelijk aan 31 · 15 = 5.
Dit is de oppervlakte onder de grafiek van de snelheidsfunctie v(t) = 13 in het interval
[0, 15].
Voor Kristof is de positie gelijk aan 0 op tijdstip t = 20. De afgelegde weg tussen
7
t = 20 en bvb. t = 25 is gelijk aan 15
· (25 − 20) = 73 . Dit is de oppervlakte onder
7
de grafiek van de snelheidsfunctie v = 15
in het interval [20, 25]. De afgelegde weg
7
· (35 − 20) = 7. Dit is de oppervlakte
tussen t = 20 en bvb. t = 35 is gelijk aan 15
7
onder de grafiek van de snelheidsfunctie v(t) = 15
in het interval [20, 35].
In wiskunde hebben we voor deze oppervlakte een speciale notatie.
Voor Stephanie is de positie x op tijdstip t1 gelijk aan
Z t1
1
1
· dt = t1
3
3
0
Voor Kristof is de positie op tijdstip t1 gelijk aan
Z t1
7
7
· dt = (t1 − 20)
15
20 15
6.1. INLEIDENDE VOORBEELDEN
151
De grafieken van de plaatsfuncties zijn twee rechten die elkaar snijden op het tijdstip
dat
1
7
t = (t − 20) ⇐⇒ t = 70
3
15
Dit is
70
3
≈ 23, 3 · · · km verwijderd van Aalter.
2. Een ballon bevindt zich op 800 m hoogte. Een pakje wordt gedropt uit de ballon.
Wat is de afstand afgelegd na 2 seconden? Hoelang duurt het voor het pakje op de
grond valt?
Oplossing: De valbeweging is een eenparig versnelde rechtlijnige beweging, dit
betekent dat de snelheid eenparig toeneemt met de tijd volgens de wet (we houden
geen rekening met de wrijving):
vx (t) = 9, 81 · t
De snelheid wordt uitgedrukt in meter per seconde. De waarde v = 9, 81 · t groeit
lineair met de tijd. De grafiek van de snelheid is een rechte door de oorsprong met
een richtingscoëfficiënt gelijk aan 9, 81. De positie van het pakje is 0 op tijdstip
t = 0. De positie op t = 2 is gelijk aan de oppervlakte tussen de grafiek van vx en
de t-as in het interval [0, 2]. Dit vlakdeel is een driehoek waarvan de oppervlakte
gelijk is aan
1
2 · 9, 81 · 2 = 19, 62
2
De positie op t = 2 is gelijk aan 19,62.
Algemeen is de positie op t seconde:
Z
0
t
1
(9, 81 · t)dt = 9, 81 · t2 .
2
De oppervlakte groeit echter niet gelijkmatig met de tijd maar evenredig met het
kwadraat van de tijd.
Het pakje valt op de grond als zijn positie gelijk is aan 800.
1
9, 81 · t2 = 800 ⇐⇒ t2 = 163, 09
2
Na 13 seconden is het pakje reeds op de grond gevallen.
152
HOOFDSTUK 6. INTEGRALEN
3. Water stroomt met een debiet van 20 liter per minuut in een recipiënt. Na 5 minuten
is het vol. Gedurende 1 minuut draai je de kraan zacht dicht. Na 10 minuten laat
je het water weg met een debiet van 10 liter per minuut.
Gevraagd: Hoeveel water is er in het recipiënt na 1, 5, 6, 15, 20 minuten? Teken de
grafiek van het watervolume.
4. Een lichaam verplaatst zich rechtlijnig over een afstand ∆x onder invloed van een
constante kracht in de richting van de beweging. De arbeid verricht door het lichaam
bij deze verplaatsing is gelijk aan het produkt van de krachtcomponent F en de
getalcomponent ∆x van de verplaatsing.
W = Fx .∆x
Zetten we de kracht uit in functie van de positie dan is de kracht als functie van de
verplaatsing een constante functie. De arbeid geleverd om een lichaam te verplaatsen
van een positie xA naar een positie xB is gelijk aan de oppervlakte van het vlakdeel
tussen de grafiek van de constante functie Fx en de x-as in het interval [xA , xB ] met
xB − xA = ∆x.
Beschouwingen bij de voorbeelden
Voor een willekeurige rechtlijnige beweging geldt
dx = vx .dt
(6.2)
We weten dat voor zeer kleine toenamen van de x-waarde de differentiaal van de functie
een goede benadering is van de toename van de functie. Dus
dx ≈ ∆x en dt = ∆t.
Zoals de differentiaal is de integraal een operator die de inverse is van de differentiaal.
Nemen we van beide leden van 6.2 de integraal en houden we rekening met het feit dat
6.1. INLEIDENDE VOORBEELDEN
153
de integraal de differentiaal opheft dan kunnen we de notatie gebruikt in de voorbeelden
verklaren. Als op tijdstip t0 de positie gelijk is aan 0 dan is de positie op tijdstip t gelijk
aan
Z x
Z t
vx · dt
dx =
0
t0
m
Z
t
vx · dt.
x=
t0
Hier is x de primitieve functie van vx die nul is voor t = t0 .
Bij Stephanie hebben we de primitieve functie gebruikt die 0 wordt voor t = 0. De
ondergrens van de integraal is dan gelijk aan 0.
Bij Kristof hebben we de primitieve gebruikt die 0 wordt voor t = 20. De ondergrens van
de integraal is dan gelijk aan 20.
Om de aandacht te vestigen zullen we deze intuı̈tieve benadering nog eens toepassen op
een vraagstukje uit de fysica in verband met arbeid.
De getalcomponent Fx van een kracht verandert als functie van de plaats volgens de
betrekking: Fx = 3x2 − 5. Bereken de ontwikkelde arbeid op een voorwerp als het
beweegt van x = 4 tot x = 7 (x wordt uitgedrukt in meter).
Oplossing: De geleverde arbeid is
Z
W =
7
(3x2 − 5)dx
4
Een primitieve functie van f : y = 3x2 − 5 is de functie y = x3 − 5x. We berekenen de
functiewaarden van deze primitieve functie in de grenswaarden 4 en 7.
Voor x = 7 is de waarde van de primitieve functie gelijk aan 73 − 35 = 308.
Voor x = 4 is de waarde van de primitieve functie gelijk aan 43 − 20 = 44. De arbeid is
dan gelijk aan het verschil van die functiewaarden.
W = 308 − 44 = 264
De geleverde arbeid is 264 Joule.
154
6.2
HOOFDSTUK 6. INTEGRALEN
Primitieve functies
We zullen een primitieve functie F van f moeten kunnen bepalen om de oppervlakte
te bepalen onder de grafiek van de functie f . Zoals we bij het differentieëren van een
functie, de afgeleide functie bepalen, zullen we bij het integreren van een functie, een
primitieve functie bepalen.
Bij het differentiëren bepalen we een snelheidsfunctie en bij het integreren bepalen we een
oppervlaktefunctie.
Het differentiëren is een operatie op een functie en de operator stellen we voor door
R “d”.
Het integreren is een operatie op een functie en de operator stellen we voor door “ ”.
Deze twee operatoren zullen elkaar opheffen.
Het is onmiddellijk duidelijk dat, als twee functies slechts verschillen door een constante
functie, ze dezelfde afgeleide functie hebben.
We hebben de volgende stelling gezien:
STELLING 6.1 Als een functie f continu is in een interval [a, b] en de afgeleide van f
is gelijk aan 0 in [a, b] dan is de functie f constant in [a, b].
STELLING 6.2 Zijn twee functies continu in een interval [a, b] dan hebben ze dezelfde
afgeleide functie in dat interval [a, b] als en slechts als ze verschillen door een constante
functie.
Voorbeeld: De functie y = x2 is de afgeleide functie van alle functies y =
x3
3
+ k met k ∈ R.
Figuur 6.1: primitieve functies van y = x2
Een functie F is een primitieve functie van de functie f als en slechts als F 0 = f of
dF = f dx.
6.3. ONBEPAALDE INTEGRAAL
6.3
6.3.1
155
Onbepaalde integraal
Definitie
Is F een primitieve functie van de functie f , dan is de verzameling van alle primitieve
functies van f de onbepaalde integraal van f .
Met symbolen:
Z
f dx = {F + k : dF = f dx}
We schrijven in ’t vervolg kort:
Z
f dx = F + k
Het zoeken naar een primitieve functie noemen we de functie integreren. Kennen
we een primitieve functie dan kennen we alle primitieve functies. De functie na het
integraalteken wordt de integrant genoemd. De reden waarom we eerder een differentiaal
dan een functie zelf integreren is tweeërlei. Ten eerste is het handig voor de berekening
van een integraal om over de dx te beschikken (zie later); ten tweede is het historisch
gegroeid: geschiedkundig volgt de onbepaalde integraal uit de bepaalde integraal en we
zullen zien in het volgend hoofdstuk dat “dx” een overblijfsel is van een limietovergang
bij verandering van notatie (zie later).
6.3.2
Eigenschappen van de onbepaalde integraal
R
STELLING 6.3 d( f dx) = f dx.
Bewijs: F is een primitieve functie van f . Hieruit volgt dat
dF = f dx
en
Z
f dx = F + k
Nemen we van beide leden de differentiaal dan krijgen we
Z
d f dx = d(F + k) = f dx.
STELLING 6.4
R
dF = F + k.
156
HOOFDSTUK 6. INTEGRALEN
Bewijs: Volgt onmiddellijk uit de definitie:
STELLING 6.5
R
(r · f + s · g)dx = r ·
Bewijs:
1ste lid:
2de lid:
r·
R
R
f dx = F + k en dF = f dx.
f dx + s ·
R
gdx.
R
R
(r · f + s · g)dx = R (r · dF + s · dG)
=
d(r · F + s · G)
= r·F +s·G+k
R
f dx + s ·
R
R
R
gdx = r · dF + s · dG
= r · F + k 0 + s · G + k 00
= r·F +s·G+k
of op een andere manier vertrekkende van de regel van de differentiaal van een lineaire
combinatie:
d(r · F + s · G) = r · dF + s · dG
We nemen van beide leden de integraal.
Z
Z
d(r · F + s · G) = (r · dF + s · dG)
m
Z
r · F + s · G + k = (r · dF + s · dG)
m
Z
r·
Z
f dx + s ·
Z
g.dx = r ·
Z
f dx + s ·
gdx
STELLING 6.6
Z
Z
f · dg = f · g −
g · df
Bewijs: We vertrekken terug van de regel van de differentiaal van een produkt van twee
functies:
d(f · g) = f · dg + g · df
We nemen van beide leden de integraal
Z
Z
Z
d(f · g) = f · dg + g · df
6.3. ONBEPAALDE INTEGRAAL
157
m
Z
f ·g+k =
Z
f · dg +
g · df
m
Z
Z
f · dg = f · g −
g · df
De konstante k wordt opgeslorpt in
R
g · df .
(g ◦ f ) · f 0 dx =
R
g(f ) · df = G(f ) + k met G0 = g
STELLING 6.7
R
Bewijs:
d(G ◦ f ) = G0 (f ) · df = g(f ) · df = (g ◦ f ) · f 0 dx
Hierbij zijn f en g ◦ f functies van x, terwijl g een functie is van y = f (x).
Opmerkingen:
* Uit stelling 6.3 een 6.4 volgt dat differentiëren en integreren inverse bewerkingen zijn.
De differentiaal en de integraal van een functie heffen elkaar op als het integraalteken
na het differentiaalteken komt en heffen elkaar op, op een reële constante term na
als het differentiaalteken na het integraalteken komt.
* Kunnen we twee functies integreren, dan kunnen we tevens elke lineaire combinatie van deze functies integreren, d.w.z. dat het interessant is van een functie te
splitsen in een lineaire combinatie van functies die gemakkelijker te integreren zijn.
De integratie door toepassen van stelling 6.5 wordt de integratie door splitsing
genoemd.
R
R
* Is de integraal g · df gekend, dan kunnen we daaruit de integraal
f · dg bepaR
len met stelling 6.6. We kunnen dus een onbekende integraal f · dg gedeeltelijk
integreren
R door de functies f en g te verwisselen volgens stelling 6.6. De nieuwe integraal
g · df mag niet moeilijker te bepalen zijn dan de oorspronkelijke integraal
R
f · dg. De integratie door toepassen van stelling 6.6 wordt de partiële integratie
genoemd.
* Is de integrant een produkt van twee functies, waarbij de ene functie de samenstelling
g ◦ f is van twee functies en de andere functie is de afgeleide functie van de functie
f , dan kunnen we de integratie vereenvoudigen door de tweede factor gedeeltelijk te
integreren, nl. f 0 dx wordt df (we zeggen dat we f 0 na de ”d“ brengen). y = f (x) na
158
HOOFDSTUK 6. INTEGRALEN
het differentiaalteken is dan de nieuwe veranderlijke bij het integreren. We moeten
nu nog enkel de functie g, die functie is van y, integreren.
Z
Z
Z
0
(g ◦ f ) · f dx = g(f )df = g(y)dy = G(y) + k met G0 = g
In het resultaat gaan we over naar de veranderlijke x, we vervangen y door f (x) en
we verkrijgen:
Z
(g ◦ f ) · f 0 dx = G(f ) + k met G0 = g
De integratie door toepassing van stelling 6.7 wordt de integratie door substitutie
genoemd.
6.3.3
Basisintegralen
Uit de differentialen van de voornaamste functies leiden we alle basisintegralen af. We
groeperen deze basisintegralen volgens het soort functie.
6.3.3.1
Basisintegralen om rationale functies te integreren
Z
Z
f z+1
xz+1
z
+k
∀z ∈ Z \ {−1} : f z dx =
+k
∀z ∈ Z \ {−1} : x dx =
z+1
z+1
Z
Z
dx
df
=
arctan
x
+
k
= arctan f + k
1 + x2
1 + f2
Z
Z
dx
df
= ln |x| + k
= ln |f | + k
x
f
In deze formules stelt f een rationale functie voor.
6.3.3.2
Basisintegralen om irrationale functies te integreren
Z
Z
xq+1
f q+1
q
∀q ∈ Q \ {−1} : x dx =
+k
∀q ∈ Q \ {−1} : f q dx =
+k
q+1
q+1
In het bijzonder is
Z
Z
p
√
dx
df
√ =2 x+k
√ =2 f +k
x
f
Z
Z
dx
df
√
p
= arcsin x + k
= arcsin f + k
1 − x2
1 − f2
In deze formules stelt f een algebraı̈sche functie voor.
6.3. ONBEPAALDE INTEGRAAL
6.3.3.3
159
Basisintegralen om goniometrische functies te integreren
R
R
sin
xdx
=
−
cos
x
+
k
R
R sin f df = − cos f + k
cos xdx = sin x + k
cos f df = sin f + k
Z
Z
Z
Z
dx
=
cos2 x
Z
df
=
cos2 f
Z
Z
2
sec xdx =
dx
=
sin2 x
Z
df
=
sin2 f
Z
2
Z
sec f df =
2
Z
csc xdx =
2
Z
csc f df =
(1 + tan2 x).dx = tan x + k
(1 + tan2 f ).df = tan f + k
(1 + cot2 x).dx = − cot x + k
(1 + cot2 f ).df = − cot f + k
R
R
sec
x.
tan
x.dx
=
sec
x
+
k
R
R sec f. tan f.df = sec f + k
csc x. cot x.dx = − csc x + k
csc f. cot f.df = − csc f + k
6.3.3.4
Basisintegralen om exponentiële functies te integreren
Z
6.3.3.5
ax
a dx =
+k
ln a
Z
ex dx = ex + k
Z
x
Z
af df =
af
+k
ln a
ef dx = ef + k
Basisintegralen om hyperbolische functies te integreren
R
R
R
R
R
R
sinh xdx = cosh x + k
cosh xdx = sinh x + k
sech2 x.dx = tanh x + k
csch2 x.dx = − coth x + k
sechx. tanh x.dx = −sechx + k
cschx.cotanhx.dx = −cschx + k
R
R
R
R
R
R
sinh f df = cosh f + k
cosh f df = sinh f + k
sech2 f.df = tanh f + k
csch2 f.df = − coth f + k
sechf. tanh f.df = −sechf + k
cschf.cotanhf.df = −cschf + k
160
HOOFDSTUK 6. INTEGRALEN
6.3.4
Integratiemethodes
6.3.4.1
Integratie door substitutie
Voorbeelden:
R
sin 2xdx = 21 sin 2xd2x = − 21 cos 2x + k;
R
R
2. lnxx dx = ln xd ln x = 21 ln2 x + k, hier is x1 de afgeleide van ln x;
1.
R
3.
R
tan xdx =
sin x
dx
cos x
R
=−
R d cos x
= − ln | cos x| + k = ln| sec x| + k;
cos x
51−3x d(1 − 3x) = − 3 ln1 5 51−3x + k;
R
R
R
5. cos2 x. sin 2xdx = 2 cos3 x sin xdx = −2 cos3 xd cos x = − 12 cos4 x + k;
R
R
6. x. cos x2 dx = 21 cos x2 dx2 = 12 sin x2 + k;
R
R
7. ex cos(ex )dx = cos ex dex = sin(ex ) + k;
4.
R
51−3x dx = − 31
8.
R
sec x tan x
dx
a+b sec x
=
R
1
b
R d(a+b sec x)
= 1b ln |a + b sec x| + k;
a+b sec x
OPGAVEN — 106 Bereken de volgende integralen:
6.3.4.2
1)
R
5)
R
2−sin x
2x+cos x dx
√ dx
x 1−ln2 x
2)
R
6)
R
2
xex dx
3)
R
√ x
dx
1−x2
x
6 x
√
R
sin(2x) 1 + cos2 xdx 7) (e + 5) e dx
4)
R
x√
arcsin x2
dx
1−x4
Integratie door splitsing
Voorbeelden:
R
2
xdx − dxx = x2 − ln |x| + k;
R√
R√
R 5
√
√
2.
x(1 − x2 )dx =
xdx − x 2 dx = 32 x x − 72 x3 x + k;
R
R
1
3. sin 3x cos 2xdx = 21 (sin 5x + sin x)dx = − 10
cos 5x − 12 cos x + k;
R
R
6x
1
4. cos2 3xdx = 1+cos
dx = 12 x + 12
sin 6x + k;
2
1.
R
(x − x1 )dx =
R
OPGAVEN — 107 Bereken de volgende integralen:
R
1) (ex + e3x )2 dx
2)
R
√
x3 x2 − a2 dx
6.3. ONBEPAALDE INTEGRAAL
6.3.4.3
161
Partiële integratie
Voorbeelden:
1.
2.
3.
4.
5.
R
R
R
x sin xdx = − xd cos x = −x cos x + cos xdx = −x cos x + sin x + k;
R x
R
R
xe dx = xdex = xex − ex dx = xex − ex + k;
R
R
R 2
x ln xdx = 31R ln xdx3 = 13 x3 ln x − 31 x3 d ln x
= 31 x3 ln x − 13 x2 dx = 13 x3 ln x − 19 x3 + k;
R
R
sin(ln x)dx =Rx sin(ln x) − xd(sin(ln x))
R
= x Rsin(ln x) − cos(ln x)dx = x sin(ln x) − x Rcos(ln x) + xd cos(ln x)
RUit sin(ln x)dx1 = x sin(ln x) − x cos(ln x) − sin(ln x)dx volgt dat
sin(ln x)dx = 2 (x sin(ln x) − x cos(ln x)) + k;
R ax
R
R
e sin bxdx = a1R sin bxdeax = a1 eax sin bx − a1 eax
R d sin bx ax
1 ax
b
1 ax
b
ax
= a e sin bx − a e cos(bx)dx =R a e sin bx − a2 cos(bx)de
= a1 eax sin bx − ab2 eax cos(bx) + ab2 eax d cos(bx)
2 R
= a1 eax sin bx − ab2 eax cos(bx) − ab 2 eax sin(bx)dx
R
2 R
Uit eax sin bxdx = a1 eax sin bx − ab2 eax cos bx − ab 2 eax sin bxdx volgt dat
2 R
(1 + ab 2 ) eax sin bxdx = a1 eax sin bx − ab2 eax cos bx + k of
R ax
ax
cos bx)
e sin bxdx = e (a sina2bx−b
+ k;
+b2
6.3.5
Integratie van veeltermfuncties
Om veeltermfuncties te integreren maken we gebruik van de integratie door splitsing en
de integratie door substitutie om zodoende de integraal te herleiden tot de basisintegraal:
Z
∀n ∈ N \ {−1} :
xn dx =
xn+1
+k
n+1
Voorbeelden:
R
2
1) (4x3 + 5x2 − x + 5)dx = x4 + 35 x3 − x2 + 5x + k
R
5
3
3) R (x2 − 1)2 dx = x5 − 2x3 + x + k
5) (x3 + 3)x2 dx = 16 (x3 + 3)2 + k
R
7) R (1 − x3 )2 x2 dx = − 19 (1 − x3 )3 + k
1
9) (3x2 − 6x + 5)3 (x − 1)dx = 24
(3x2 − 6x + 5)4 + k
R
2) (a + x)3 dx = 41 (a + x)4 + k
R
4) R (4 − x2 )2 x2 dx = 16
x3 − 58 x5 + 17 x7 + k
3
6) (x2 − x)4 (2x − 1)dx = 51 (x2 − x)5 + k
R
8
7
8) (x − 1)6 xdx = (x−1)
+ (x−1)
+k
8
7
162
HOOFDSTUK 6. INTEGRALEN
6.3.6
Integratie van een rationale breuk
1. De noemer is een eenterm of is door substitutie te herleiden tot een eenterm. Door
splitsing kan men dan de volgende basisintegralen toepassen:
Z
xz+1
+k
∀z ∈ Z \ {−1} : xz dx =
z+1
of
Z
dx
= ln |x| + k
x
In het geval dat de graad van de teller 1 minder is dan de graad van de noemer
en de teller de afgeleide functie is van de noemer (op een constante factor na), dan
geeft de integraal ook aanleiding tot een natuurlijke logaritme mits het toepassen
van een substitutie.
Voorbeelden:
R 5 3 −1
dx = − x1 − x13 + 6x16 + k;
(a) x +3x
x7
R xdx
1
(b) (1−6x
2 )3 = 24(1−6x2 )2 + k;
R
2
(c) (3x+4)
dx
x2
R (3x+4)2
(d)
dx
(x−3)2
R dx
(e) 2x−1 = 21 ln |2x − 1| + k;
R x2 dx
1
3
(f) 1−2x
3 = − 6 ln |1 − 2x | + k.
R dx
1
(g) (2−x)
5 = 4(2−x)4 + k;
R u2 −4u+6
R 2 −2x+3
du
(h) x(x+1)
4 dx =
u4
1
2
2
= − x+1 + (x+1)2 − (x+1)3 + k.
R dx
1
(i) (1−3x)
2 = 3(1−3x) + k.
Merk op dat in dit voorbeeld de noemer een volkomen kwadraat is.
2. Is de teller een constante en de noemer een kwadratische functie, waarvan de discriminant kleiner is dan nul, dan is de integraal te herleiden tot de volgende basisintegraal mits het toepassen van een substitutie.
Z
dx
= arctan x + k
1 + x2
Voorbeelden:
6.3. ONBEPAALDE INTEGRAAL
dx
a2 +b2 x2
1
ab
163
arctan bx
+ k;
a
(a)
R
(b)
= 31 arctan 2x+1
+ k;
3
Hier gebruiken we de substututie u = 2x + 1
R
=
dx
2x2 +2x+5
Het kan gebeuren dat door een substitutie de integraal te herleiden is tot het vorige.
Voorbeeld:
R xdx
= 12 arctan x2 + k.
1+x4
3. Zijn de voorwaarden van de vorige gevallen niet voldaan, dan kunnen we sommige
integralen wel terug brengen tot deze gevallen door de breuk te schrijven als een
som van breuken die dan wel voldoen aan de voorwaarden van de vorige gevallen.
We zeggen dat we de breuk splitsen in partiële breuken.
Methode voor het splitsen in partiële breuken.
Elk rationale breuk waarvan de graad van de teller kleiner is dan de graad van de
noemer kan theoretisch geschreven worden als de som van meer eenvoudige breuken
waarvan de noemers van de gedaante zijn (ax + b)n en (ax2 + bx + c)n met n ∈ N.
Volgens de aard van de factoren van de noemer kunnen we de volgende gevallen
onderscheiden:
* Met elke factor die één keer voorkomt in de noemer correspondeert één partiële
A
waarbij A een te bepalen reëel getal is.
breuk van de vorm ax+b
* Met elke lineaire factor die n keer voorkomt in de noemer correspondeert de
som van n partiële breuken van de vorm:
A1
A2
An
+
+
·
·
·
+
ax + b (ax + b)2
(ax + b)n
waarbij de Ai te bepalen reële getallen zijn.
Met elke onontbindbare factor ax2 + bx + c die één keer voorkomt in de noemer
correspondeert een partiële breuk van de vorm:
Ax + B
ax2 + bx + c
waarbij A en B twee te bepalen reële getallen zijn.
* Met elke onontbindbare kwadratische factor die n keer voorkomt in de noemer
correspondeert de som van n partiële breuken van de vorm:
A1 x + B1
A2 x + B2
An x + Bn
+
+ ··· +
2
2
2
ax + bx + c (ax + bx + c)
(ax2 + bx + c)n
waarbij de Ai en de Bi te bepalen reële getallen zijn.
164
HOOFDSTUK 6. INTEGRALEN
Voorbeelden:
dx
4x−x2
x
= 41 ln | 4−x
| + k;
(a)
R
(b)
R dx
= 21 ln | 1+x
|+k
1−x2
1−x
R
R dx
R dx
R x−3
dx = 23 dxx − 43 x+1
− 16 x−2
x3 −x2 −2x
9
= 16 ln | (x+1)x8 (x−2) | + k;
R dx
1
= 2ab
ln | a+bx
| + k;
a2 −b2 x2
a−bx
R 4x3 −7x2 +4x−3
R dx
R dx
R xdx
dx = 2 x−1
− (x−1)
2 + 2
x4 −2x3 +2x2 −2x+1
x2 +1
1
2 2
= ln |(x − 1) (x + 1)| + x−1 + k;
R dx
R x/√2+1
R −x/√2+1
1
1
√
√
dx
+
dx. We voeren voor de twee integralen
=
x4 +1
2
x2 + 2x+1
√ 2 x2 − 2x+1 √
resp. de substituties
u = 2x + 1 en u = 2x − 1 door;
√
√
√
R dx
x2 +√2x+1
1
1
1
√
√
√
=
ln
+
arctan(
arctan(
2x
+
1)
+
2x − 1) + k;
4
2
x +1
4 2
x − 2x+1
2 2
2 2
R x−1
R
R x5 −x4 +4x3 −4x2 +8x−4
x
dx = x2 +2 dx + 4 (x2 +2)
3 dx
(x2 +2)3
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
= 12 ln(x2 + 2) −
√
2
2
arctan √x2 −
1
(x+2)2
+ k;
4. * Integralen van de volgende gedaante:
•
Z
x+a
dx
(x2 + px + q)n
Als de teller niet de afgeleide is van x2 + px + q, dan voeren we de substitutie
door u = x + p2 . De integraal krijgt de volgende gedaante:
Z
u+s
du =
(u2 + r)n
Z
u
du +
(u2 + r)n
Z
s
du
(u2 + r)n
De eerste integraal is onmiddellijk herleid tot één van de twee eerste basisintegralen, de tweede integraal is ingewikkelder en kan opgelost worden door
splitsing, splitsen in partiële breuken of partiële integratie. Is n groter dan
2, dan is het tijdbesparend gebruik te maken van een reductieformule door
opeenvolgend de partiële integratie toe te passen (zie volgend item).
Voorbeeld:
R x+1
dx = 21 ln(x2 − 4x + 8) + 32 arctan x−2
+ k, de substitutie: u = x − 2
x2 −4x+8
2
x−2
of u = 2 .
6.3. ONBEPAALDE INTEGRAAL
165
• Reductieformule voor de integralen van de gedaante:
Z
dx
In =
2
(x + a2 )n
Voorbeeld:
R 2 2 )−x2
R dx
= a12 (x(x+a
2 +a2 )n dx
(x2 +a2 )n
R
R d(x2 +a2 )
= a12 (x2 +a12 )n−1 dx − 2a12 x(x
2 +a2 )n
R
1
1
1
= a2 In−1 − 2a2 (1−n) xd( (x2 +a2 )n−1 )
R
1
= a12 In−1 + 2a2 (n−1)(xx 2 +a2 )n−1 − 2a2 (n−1)
1
= a12 (1 − 2(n−1)
)In−1 + 2a2 (n−1)(xx 2 +a2 )n−1 .
De reductieformule is:
In =
dx
(x2 +a2 )n−1
x
2n − 3
In−1 + 2
2
2a (n − 1)
2a (n − 1)(x2 + a2 )n−1
Vervangen we a2 door −a2 dan verkrijgen we voor de integraal
Z
dx
2
(x − a2 )n
een analoge reductieformule
In = −
x
2n − 3
In−1 − 2
.
2
2a (n − 1)
2a (n − 1)(x2 − a2 )n−1
Voorbeeld:
R dx
R x
= 8(x2x+4) + 18 xd2 +4
(x2 +4)2
1
= 8(x2x+4) + 16
arctan x2 + k
5. Is in een rationale breuk de graad van de teller groter dan de graad van de noemer,
dan voeren we eerst de euclidische deling door. De integrant is herleid tot de som van
een veeltermfunctie en een rationale breuk waarvan de graad van de teller kleiner is
dan de graad van de noemer (geval 1.).
Voorbeelden:
R
(a) x−1
dx = x − 2 ln |x + 1| + k;
x+1
R 5x3 −6x+3
x−1
(b)
dx = 52 x2 + ln | (x+1)
2 | + k;
x2 −1
R x4
2
(c) (1−x)3 dx = − x2 − 3x − 6 ln |1 − x| −
4
x−1
+
1
2(1−x)2
+ k.
166
HOOFDSTUK 6. INTEGRALEN
6.3.7
Integratie van goniometrische functies
1. Substitutiemethode bij het integreren van goniometrische functies
Voorbeeld:
R sin 8x
dx = 14 ln(9 + sin2 4x) + k, de substitutie: u = 9 + sin2 4x =⇒ du = 4 sin 8x
9+sin2 4x
2. De goniometrische identiteiten spelen een belangrijke rol bij het integreren van goniometrische integralen. De omgekeerde formules van Simpson laten ons toe een
produkt van twee goniometrische getallen om te zetten in een som van twee goniometrische getallen, de verdubbelingsformules zetten het kwadraat van een goniometrisch getal om in een som waarbij het goniometrisch getal in de eerste graad
optreedt, hierbij verdubbelt de hoek.
We herhalen de formules die we hier het meest zullen gebruiken:
sin2 x + cos2 x = 1
1 + tan2 x = sec2 x
1 + cot2 x = csc2 x
sin2 x = 21 (1 − cos 2x)
sin x. cos x = 12 sin 2x
sin x. cos y = 21 (sin(x + y) + sin(x − y))
sin x. sin y = − 12 (cos(x + y) − cos(x − y))
cos x. cos y = 21 (cos(x + y) + cos(x − y))
cos2 x = 21 (1 + cos 2x)
Voorbeelden:
R
(a) cot xdx = ln | sin x| + k;
R
(b) sec xdx = ln | sec x + tan x| + k = ln | tan( π4 + x2 )| + k;
R
(c) csc xdx = ln | csc x − cot x| + k = ln | tan x2 | + k;
R
(d) sin2 xdx = 21 x − 14 sin 2x + k;
R
(e) cos5 xdx = sin x − 32 sin3 x + 51 sin5 x + k;
R
1
(f) sin4 xdx = 83 x − 14 sin 2x + 32
sin 4x + k;
R
1
1
1
(g) sin4 x. cos2 x.dx = 16
x − 64
sin 4x − 48
sin3 2x + k;
R
1
(h) sin 3x. cos 5x.dx = 41 cos 2x − 16
cos 8x + k;
R
1
(i) cos 4x. cos 2x.dx = 41 sin 2x + 12
sin 6x + k;
R
R
dx
dx
= | sin x−cos
, we onderscheiden twee gevallen:
(j) √1−sin
x|
2x
a. sin x > cos x ⇐⇒ π4 + 2kπ < x < 5π
+ 2kπ.
4
√
R
√ dx
= − 22 ln | csc( π4 − x) − cot( π4 − x)| + k
1−sin 2x
√
=−
2
2
ln | tan( π8 − x2 )| + k.
6.3. ONBEPAALDE INTEGRAAL
167
+ 2kπ < x < π4 + 2kπ.
b. sin x < cos x ⇐⇒ − 3π
4
√
R
√ dx
= 22 ln | csc( π4 − x) − cot( π4 − x)| + k
1−sin 2x
√
=
2
2
ln | tan( π8 − x2 )| + k
3. * Reductieformule voor de integraal van de gedaante:
Z
In = tann xdx
We bepalen
de integraal eerst voor n = 1 en n = 2.
R
I1 = R tan xdx = lnR | sec x| + k en
R
R
I2 = tan2 xdx = (sec2 x − 1)dx = sec2 xdx − dx = tan x − x + k.
R
R
n
tan
xdx
=
tann−2 tan2 xdx
R
n−2
= R tan
x(sec2 x − 1)dx
R
= tann−2 xd tan x − tann−2 xdx
1
tann−1 x − In−2 .
= n−1
In =
1
n−1
tann−1 x − In−2 .
4. Overgang op een nieuwe veranderlijke d.m.v. de t-formules, de goniometrische functie wordt hierbij omgezet in een rationale functie.
De substitutie is
x
t = tan ⇐⇒ x = 2 arctan t
2
⇓
2dt
dx =
1 + t2
2t
1 + t2
1 − t2
cos x =
1 + t2
sin x =
Voorbeelden:
R cos x
(a) 1+cos
dx = − tan x2 + x + k;
x
R
dx
(b) tan x+sin
= 21 ln | tan x2 | − 14 tan2
x
x
2
+ k.
Is de integrant volledig uitgedrukt in tan x dan kunnen we ook deze substitutie
uitvoeren.
tan x = t ⇐⇒ x = arctan t + kπ
⇓
168
HOOFDSTUK 6. INTEGRALEN
dx =
dt
1 + t2
Voorbeeld:
R tan3 x+5 tan x
R (t3 +5t)dt
dx = (t+1)(1+t
2)
R
R dt R 2t+2
= dt − 3 t+1 + t2 +1 dt
= t − 3 ln |t + 1| + ln(t2 + 1) + 2 arctan t + k
= tan x − 3 ln | tan x + 1| + ln(tan2 x + 1) + 2x + k
2 x+1
= x + tan x + ln | tan
+ k.
tan x+1|3
tan x+1
6.3.8
Integratie van irrationale functies
1. De integraal is door substitutie terug te brengen tot de gedaante van de eerste
basisintegraal.
Z
f q+1
+k
∀q ∈ Q \ {−1} : f q df =
q+1
In bijzonder:
Z
√
dx
√ =2 x+k
x
Z
p
df
√ =2 f +k
f
Voorbeelden:
R 2 dx
√
√
√
(a) √x x+1
= 25 (1 + x)2 x + 1 − 43 (x + 1) x + 1 + 2 x + 1 + k;
R
R dt √
1
√ =
(b) √x2x+3
dx
=
x2 + 6x + 5 + k.
2
t
+6x+5
2. De integraal is terug te brengen tot één van de volgende basisintegralen:
Z
Z
dx
df
√
p
= arcsin x + k
= arcsin f + k
2
1−x
1 − f2
Voorbeelden:
R dx
1
2
(a) √x1−x
4 = 2 arcsin x + k;
√
R
√ dx 2 = 13 arcsin ln x3 + k.
(b)
x
4−9 ln x
3. Bevat de integrant één van de vormen
√
n
r
ax + b,
n
ax + b
cx + d
6.3. ONBEPAALDE INTEGRAAL
169
dan kan de integrant herleid worden tot een rationale functie door een gepaste
substitutie:
ax + b = un
of
dun − b
ax + b
= un ⇐⇒ x =
cx + d
a − cun
Merk op dat we hier onder het wortelteken het tweede lid hebben van het voorschrift
van een eerstegraadsfunctie of een homografische functie.
Voorbeelden:
R
R
R du
R du
u−2
(a) x−2
dx = 2 du + 2 u−2
− 2 u+2
= 2u + ln | u+2
|+k
x−6
√
√
|+k
= 2 x − 2 + ln | √x−2−2
x−2+2
√
√
R x+ 3 x
√
√
√
√
6
2 √
√
(b)
x − 67 x 6 x + 12
x5 − 4 x + 12 6 x − 12 arctan 6 x + k;
6 x+√x dx = 3 x
5
R
R
R
Rq
3 −1)
3
3 x+1
dx = −12 (u3u−1)2 = −4 u d(u(u3 −1)
ud( u31−1 )
(c)
2 = 4
x−3
R du
R
R u
= u34u−1 − 4 ud3 −1
= u34u−1 − 43 u−1
+ 34 u2u+2
du
q
q
q+u+1
q
x+1 2
4
2
3 x+1
3
3 x+1
(
= (x − 3) 3 x+1
−
ln
|
−
1|
+
ln
|
)
+
+ 1|
x−3
3
x−3
3
x−3
x−3
q
√
√
+ 12 ) + k
+ 4 3 3 arctan 2 3 3 ( 3 x+1
x−3
d. Bevat de integrant één van de vormen
√
√
√
a2 − b 2 x 2 , a2 + b 2 x 2 , b 2 x 2 − a2
dan is de integraal een basisintegraal ofwel kan de integrant herleid worden tot een
goniometrische functie door een gepaste goniometrische substitutie.
gebruik
Voor
√
a2 − b 2 x 2
√
a2 + b 2 x 2
√
b 2 x 2 − a2
om te verkrijgen
p
bx = a sin u a 1 − sin2 u = a cos u
√
bx = a tan u a 1 + tan2 u = a sec u
√
bx = a sec u a sec2 −1 = a tan u
Opmerking:
√
q
* In het domein van de functie y =
−
= a2 (1 − ( bx
)2 ) ligt
a
−1 en 1, zoals ook sin u moet gelegen zijn tussen −1 en 1.
−1 ≤
a2
b2 x 2
bx
≤ 1 ⇐⇒ −1 ≤ sin u ≤ 1
a
bx
a
tussen
170
HOOFDSTUK 6. INTEGRALEN
√
alle reële waarden aan* In het domein van de functie y = a2 + b2 x2 mag bx
a
nemen, zoals ook tan u alle reële waarden kan aannemen.
q
√
2
2
2
* In het domein van de functie y = b x − a = a2 ( bx
− 1)2 is bx
kleiner
a
a
dan −1 en groter dan 1, zoals ook sec u zijn waarden heeft buiten het interval
] − 1, 1[.
bx
| | ≥ 1 ⇐⇒ | sec u| ≥ 1
a
Voorbeelden:
R
R
R√
1 − x2 dx = − sin2 udu = 21 (cos 2u − 1)du
(a)
√
= 41 sin 2u − 12 u + k = 12 sin u. cos u − 12 u + k = 12 x. 1 − x2 − 12 arccos x + k;
R
R
(b) x√dx2x−1 = du = u + k = arccos x1 + k (x > 1);
R
R
(c) x√dx2x−1 = − du = −u + k = − arccos x1 + k (x < −1), de substitutie:
x = sec u ⇐⇒ u = arccos x1 .
p
dx
√
= ln(x + x2 + 1) + k
x2 + 1
Z
p
dx
√
= ln(x + x2 − 1) + k
x2 − 1
√
Z
dx
1 + 1 − x2
√
+k
= − ln
x
x 1 − x2
√
Z
dx
1 + 1 + x2
√
+k
= − ln
x
x 1 + x2
Z
Z
Z
p
df
p
= ln(x + f 2 + 1) + k
f2 + 1
p
df
p
= ln(f + f 2 − 1) + k
f2 − 1
√
Z
df
1 + 1 − x2
p
+k
= − ln
f
f 1 − f2
p
Z
df
1 + 1 + f2
p
+k
= − ln
f
f 1 + f2
Voorbeelden:
√
R
dx
i. √x2 −4x+13
= ln(x − 2 + x2 − 4x + 13) + k;
√
R
2
√ dx
ii.
= − 1 ln | 3+ 9−25x | + k.
x 9−25x2
3
5x
* Hyperbolische substituties zijn in sommige gevallen meer interessant.
Voorbeelden:
R
R√
R
(a)
x2 + 1dx = cosh2 udu = 21 (cosh 2u + 1)du = 14 sinh 2u + 12 u + k
√
√
= 12 sinh u. cosh u + 12 u + k = 12 x. 1 + x2 + 12 ln(x + x2 + 1) + k
R√
R
R
(b)
x2 − 1dx = sinh2 udu = 12 (cosh 2u − 1)du = 41 sinh 2u − 12 u + k
√
√
= 12 sinh u. cosh u − 12 u + k = 12 x. x2 − 1 − 12 ln(x + x2 − 1) + k
√
e. Bevat de integrant de vorm ax2 + bx + c dan splitsen we de kwadratische vorm
ax2 + bx + c in onafhankelijke kwadraten.
ax2 + bx + c = a(x +
b 2 D
) −
2a
4a
6.3. ONBEPAALDE INTEGRAAL
171
We voeren de gepaste substitutie door (verschuiving)
u=x+
b
2a
De integrant komt in één van de volgende gedaanten:
(i) Is D > 0 en a > 0: B 2 u2 − A2 ;
(ii) Is D > 0 en a < 0: A2 − B 2 u2 ;
(iii) Is D < 0 en a > 0: A2 + B 2 u2 .
Het geval D < 0 en a < 0 kan zich niet√voordoen. In dit geval is de kwadratische
vorm steeds negatief. Bijgevolg bestaat ax2 + bx + c voor geen enkele waarde van
x. De integraal kan nu verder berekend worden met de goniometrische of hyperbolische substitutie.
Voorbeelden:
R√
4x2 − 4x + 3dx
(a)
1
1
1
4x2 − 4x + 3 = 4(x2 − x + ) + 3 − 1 = 4(x − )2 + 2 = 2(( √ (2x − 1)2 + 1).
4
2
2
Stel
2x−1
√
2
dt . We verkrijgen de volgende integraal:
= t dan is dx = √
2
Z √
(b)
t2 + 1dt.
We hebben deze integraal reeds berekend met de hyperbolische substitutie. We
verkrijgen het resultaat:
√
√
√
1
1
2 + 1 + 1 ln(t +
2 + 1) + k
t
t
=
4x2 − 4x + 3
t
(2x
−
1)
2
2
4
√
+ 12 ln(2x − 1 + 4x2 − 4x + 3) + k
R
dx
√
4x2 +4x−8
1
1
2
1
4x2 + 4x − 8 = 4(x2 + x + ) − 8 − 1 = 4(x + )2 − 9 = 9(( (x + )2 − 1).
4
2
3
2
Stel 2x+1 = t dan is dx = 3dt . We verkrijgen de volgende integraal:
3
2
1
2
Z
√
dt
.
−1
t2
We beschikken over het resultaat van deze integraal. We verkrijgen:
√
√
1
2 − 1) + k = 1 ln |2x + 1 +
ln(t
+
t
4x2 + 4x − 8| + k.
2
2
172
HOOFDSTUK 6. INTEGRALEN
(c)
R √
x x2 + 4xdx
Om de integratie eenvoudiger te maken passen we eerst partiële integratie toe.
√
R √
R
x x2 + 4xdx = 12 (2x + 4 − 4) x2 + 4xdx
√
R
R√
= 12 (2x + 4) x2 + 4xdx − 2 q x2 + 4xdx
R√
R
= 12
x2 + 4xd(x2 + 4) − 8
( x+2
)2 − 1d( x+2
)
2
2
√
√
= 13 (x2 + 4x) x2√+ 4x − (x + 2) x2 + 4x
+4 ln |x + 2 + x2 + 4x| + k
√
√
2
= x +x−6
x2 + 4x + 4 ln |x + 2 + x2 + 4x| + k
3
AN II HUISTAAK 12 Bereken
R
1.
cos x cos 2x cos 3xdx
4.
R (ex −2)ex
dx
5.
2.
ex +1
R
x2
dx
6.
3.
(x2 +4)3/2
de volgende onbepaalde integralen:
R dx
√
3+ x+2
R
eax sin(bx)dx
R
sin(x−a)
dx
sin(x+a)
OPGAVEN — 108 Bereken de volgende onbepaalde integralen:
R
R 2
1.
sin2 x cos3 xdx
28.
x arctan xdx
R sin x−cos x
R √
√
3
x(1 − x)dx
2.
29.
sin x+cos x dx
R
R dx
√ x
3.
dx
30.
ex −e−x
1−x2
R 3
R 2x+5
4.
x ln xdx
31.
x−3 dx
R √x−2
R 1
√ dx
5.
32.
x+2 dx
x+ 3 x
R x
R
33.
sin2 x cos4 dx
6.
(x+2)2 dx
R
R
1
√
7.
ln(1 + x2 )dx
34.
dx
5−4x−x2
R √1+ln x
R
x√
8.
35.
dx
x ln x dx
1−x2 + 1−x2
√
x)8 dx
9.
R
(1 +
10.
R
tan3 x sec4 xdx
55.
R
cot3 2x csc3 2xdx
56.
R
(x + sin x)2 dx
57.
R
earctan x
1+x2 dx
58.
R
dx
x(x4 +1)
59.
R
t3 e−2t dt
60.
R
√
t
√
dt
1+ 3 t
61.
R
sin x sin 2x sin 3xdx
62.
R
36.
R
1+cos x
sin x dx
63.
37.
R
ex
e2x −1 dx
64.
| ln x2 |dx
R q 1+x
1−x dx
R x ln x
√
dx
x2 −1
6.3. ONBEPAALDE INTEGRAAL
173
11.
R
x
x2 −2x+2 dx
38.
R
1
x3 −8 dx
65.
R
x+a
x2 +a2 dx
12.
R
x arcsin xdx
39.
R
x5 cosh xdx
66.
R
csc4 4xdx
13.
R
√
9−x2
dx
x
40.
R
ln(tan x)
sin x cos x dx
67.
R
x4
x1 0+16 dx
14.
R
x
x2 +3x+2 dx
41.
R
|x3 + x2 − 2x|dx
68.
R√
15.
R
x2 cosh dx
42.
R
cos5 θdθ
69.
R
sin x
1+sin x dx
16.
R
x3 +x+1
x4 +2x2 +4x dx
43.
R
cot x ln sin xdx
70.
R
x+2
x2 +x+2 dx
17.
R
cos x
dx
1+sin2 x
44.
R
1+ex
1−ex dx
71.
R
x sec x tan xdx
18.
R
cos
xdx
45.
R
x
(x2 +1)(x2 +4) dx
72.
R
x
x4 −a4 dx
19.
R
cos πx tan πxdx
46.
R
dx
4−5 sin x dx
73.
R
√
20.
R
e2x
1+ex dx
47.
74.
R
21.
R
e3x cos 5xdx
48.
75.
R
1
1+2ex −e−x dx
√
x
arctan
√
dx
x
22.
R
cos 3x cos 5xdx
49.
R √
x 3 x + cdx
R √
3
e x dx
R
1
√
dx
x+4+4 x+1
76.
R
ln(x+1)
dx
x2
23.
R
dx
x3 +x2 +x+1
50.
R
x3 +1
x3 −x2 dx
77.
R
√
24.
R
x2 ln(1 + x)dx
51.
R
(x2 + 4x − 3) sin 2xdx
78.
R
ex sinh xdx
25.
R
x5 e−x dx
52.
R
sin x cos(cos x)dx
79.
R
1
e3x −ex dx
26.
R
tan2 4xdx
53.
R
√ x
dx
16−x4
80.
R
1+cos2 x
1−cos2 x dx
27.
R
1
√
dx
9x2 +12x−5
54.
R
x3
(x+1)10 dx
81.
R
arcsin2 xdx
√
3
1 + x − x2 dx
1 √
dx
x+1+ x
1
dx
x2 +4x+5
174
HOOFDSTUK 6. INTEGRALEN
109 Bereken de volgende onbepaalde integralen:
R
1.
sec2 xetan x dx
17.
R 1−ln x
2.
18.
x dx
R 1
3.
19.
x ln x dx
R
4.
(3x2 + 2x)e−x dx
20.
R
dx
cos x−1
33.
R√
R
sin x
2 cos x+5 dx
34.
R
R
sin x+1
sin x(2+sin x) dx
35.
R
R
cos x
1+cos x dx
36.
R
dx
cos x+sin x dx
37.
2 − 2x − x2 dx
dx
(4x2 −25)3/2
√
x2 +9
dx
x
10.
R
cos3 x
dx
sin2 x
26.
R
11.
R
dx
cos2 x sin2 x
27.
R
x2 +cos2 x
dx
x2 sin2 x+sin2 x
43.
12.
R
cos2 x
dx
4 cos2 x−sin2 x
28.
R
x
(x4 −6x2 +9)2 dx
44.
R √
1
)dx
( x+2+ √
3
x+2
q
R 3 x+1
x−3 dx
R
x2
8+2x−x2 dx
R sin 8x
dx
9+sin4 x
√
R 9x2 −4
dx
x
R√
2 + x − x2 dx
R t√
e 9 − e2t dt
Rp
√
x + xdx
R
dx
13.
R
(cos2 x + cos x sin x − sin2 x)dx
29.
R
45.
R
14.
R
cos3 3x cos xdx
30.
46.
15.
R
cos2 3x sin2 3xdx
31.
16.
R
sin 2x sin xdx
32.
xe x dx
R 5√
x 1 − x3 dx
R x ln x
√
dx
1+x2
x4
x3 −3x2 +2x dx
5.
R
6.
R
x
x6 −9 dx
22.
7.
R
x4 −2x2 −2x−5
x3 −x2 −x−2 dx
23.
R √
x 5 x + 1dx
R
dx
8.
R
dx
cos3 x
24.
9.
R dx
sin4 x
2
21.
38.
4x2 −12x+9
39.
R
3x3 +5x2 +2x+8
dx
x2 +1
40.
25.
R
cot4 xdx
41.
√
1−x2
1−x2 dx
√
arctan xdx
q
R x+1
x−1 dx
R
√ dx
dx
7x2 +x+1
R
dx
√
4x2 +x−8
42.
47.
48.
a2 cos2 x+b2 sin2 x
R
ln x
x3 dx
√
3
6.3. ONBEPAALDE INTEGRAAL
175
Oplossingen:
108
1.
1
3
sin3 x −
1
5
sin5 x + k
41.
2.
3.
42.
arcsin x + k
43.
4.
5.
√
2 x − 2 − 4 arctan
x−2
2
+k
45.
x ln(1 + x2 ) − 2x + 2 arctan x + k
47.
48.
9.
49.
10.
50.
1
2
ln(x2 − 2x + 2) + arctan(x − 1) + k
12.
13.
3 ln | 3−
√
9−x2
|
x
+
√
51.
3
7 (x
+ c)7/3 −
3c
4 (x
+ c)4/3 + k
√
√
3 ln( x + 1 + 3) − ln( x + 1 + 1) + k
1
2 (x
+ 2) sin 2x − 41 (2x2 + 8x − 7) cos 2x + k
9 − x2 + k
53.
1
2
arcsin(x2 /4) + k
1
6
csc3 2x −
54.
(x2 + 2) sinh x − 2x cosh x + k
16.
17.
2
ln xx2 +1
+4 + k
52.
14.
15.
1
6
46.
8.
11.
+k
44.
q
6.
7.
1
2
2 (ln sin x)
55.
1
10
csc5 2x + k
56.
arctan(sin x) + k
57.
18.
58.
19.
59.
20.
60.
earctan x + k
−e−2t 4t
3
+6t2 +6t+3
8
+k
176
21.
HOOFDSTUK 6. INTEGRALEN
1 3x
34 e (5 sin 5x
+ 3 cos 5x) + k
61.
22.
23.
1
2
ln |x + 1| −
1
4
ln(x2 + 1) +
1
2
arctan x + k
63.
3
− 13 e−x (x3 + 1) + k
65.
66.
27.
67.
28.
68.
6 11/6
11 x
29.
3 4/3
4x
30.
31.
2x + 11 ln |x − 3| + k
−
+k
32.
1
16 (x
−
1
4
sin 4x +
1
8
cos 2x + k
arcsin x −
√
1 − x2 + k
1
2
ln(x2 + a2 ) + arctan xa + k
1
20
5
arctan x4 + k
2
1+tan(x/2)
69.
x+
+k
70.
71.
x sec x − ln | sec x + tan x| + k
1
3
sin3 2x) + k
73.
2
3 ((x
+ 1)3/2 − x3/2 ) + k
74.
− ln(1 +
√
1 − x2 ) + k
36.
37.
cos 4x −
72.
34.
35.
1
16
64.
26.
33.
cos 6x −
62.
24.
25.
1
24
75.
√
√
2 x arctan x − ln(1 + x) + k
76.
1
2
x
ln | eex −1
+1 | + k
77.
ln(x + 2 +
√
x2 + 4x + 5) + k
38.
78.
39.
79.
e−x +
40.
80.
x arcsin2 x + k
1
2
x
ln | eex −1
+1 | + k
6.3. ONBEPAALDE INTEGRAAL
177
109
25.
− 13 cot3 x + cot x + x + k
26.
arcsin x + k
ln(ln x) + k
27.
− arctan x − cot x + k
4.
(−3x2 − 8x − 8)e−x + k
28.
− 6(x21−3)3 + k
5.
x2
2
+ 3x + ln (x−2)
|x−1| + k
6.
1
18
ln | xx3 −3
+3 | + k
7.
x+
1.
etan x + k
2.
ln x −
3.
ln2 x
2
+k
8
3
32.
1
2
33.
1
2 − 2x − x2
2 (x + 1) √
3
+ 2 arcsin 33 (x + 1) +
30.
x2
1
x2 +x+1
2 + 14 ln√(x−2)2
√ arctan 2 3 (x + 1 )
+ 719
3
2
3
1
4
+k
8.
1+sin x
1
ln | 1−sin
x | + 2 tan x sec x + k
1
= 2 ln | sec x + tan x| + 12 tan x sec x + k
9.
− cot x −
1
3
31.
√
√
(1 + x) arctan x − x + k
q
q
x+1
x+1
(x − 1) x−1
+ 2 ln | x−1
+ 1|
+ ln |x − 1| + k
√
√ √
7
2
7 ln(14x + 1 + 2 7 7x + x + 1) + k
29.
cot3 x + k
√
ln |8x + 1 + 4 4x2 + x − 8| + k
√
10.
− sin1 x − sin x + k
34.
− 25√4xx2 −25 + k
11.
−2 cot 2x + k
35.
3
2
12.
1
20
2+tan x
ln | 2−tan
x| +
x
5
+k
36.
√
2
k
ln | √xx2 +9−3
|+k
+9+3
p
√
2
3 3
(x + 2)2 + k
3 (x + 2) x + 2 + 2
178
HOOFDSTUK 6. INTEGRALEN
sin2 x
37.
sin 2x + k
38.
q
√
√
x+1
(x − 3) 3 x−3
− 2 ln | 3 x + 1 − 3 x − 3|
q
√
x+1
+ 1) + k
+ 4 3 3 arctan √13 (2 3 x−1
R
x2
8+2x−x2 dx
39.
1
12
13.
1
2
14.
1
80
15.
1
8x
16.
− 16 sin 3x + 12 sin x + k
= 23 sin3 x + k
40.
17.
cot x2 + k
41.
18.
− 12 ln |2 cos x + 5| + k
42.
19.
1
| tan x2 | √
2 ln
√
+ 33 arctan( 2 3 3
20.
sin 2x −
1
4
sin 10x +
−
1
96
cos 2x + k = sin x cos x +
1
64
sin 8x +
3
32
sin 4x +
3
16
1
2
sin 12x + k
tan
x
2
43.
√
+
3
3 )
+k
x + cot x − csc x + k
= x − tan x2 + k
2
9 − x2 − 2 arccos 3x
+k
9
8
arcsin 2x−1
3√
+ 14 (2x − 1) −x2 + x + 2 + k
√
t
1 t
9 − e2t + 9 arcsin e3 + k
2e
p
√
√
1
2 2 − 3) x + x
12 (8x +p
√
√
+ 18 ln |2 x + x + 2 x + 1| + k
44.
1
ab
45.
− 12 lnx2x − 4x1 2 + k
√
√
√
3
3
(3x x2 − 15x 3 x√+ 60x − 180 x2
√
3 x
+360 3 x − 360)e + k
√
√
2
− 92 (1 − x3 ) 1 − x3 + 15
(1 − x3 )2 1 − x2 + k
√
√
2
1 + x2 ln x − 21 ln | √xx2 +1−1
+1+1
√
− 1 + x2 + k
arctan( ab tan x) + k
√
√
22.
tan x/2−1+ 2
√ |+k
ln | tan
x/2−1− 2
√
√
5
2 5
x + 1 − 56 (x + 1) 5 x + 1 + k
11 (x + 1)
46.
23.
1
− 2(2x−3)
+k
47.
24.
1
6 (3x
21.
√
2
arctan sin3 4x + k
2
2
+ 5)2 + 3 arctan x −
1
2
ln(x2 + 1) + k
48.
Hoofdstuk 7
Bepaalde integraal
In het voorgaande hoofdstuk hebben we op intuı̈tieve wijze aangetoond dat er een verband
bestaat tussen het bepalen van een primitieve functie van een functie f en het bepalen van
de oppervlakte onder de grafiek van f . In dit hoofdstuk gaan we dat verband wiskundig
bewijzen.
7.1
Integraal van een trapfunctie in een gesloten en
begrensd interval
7.1.1
Verdelingen van een interval en trapfuncties
* Een verdeling van een gesloten en begrensd interval [a, b] is een eindige strikt
stijgende rij van elementen van [a, b], waarbij het eerste element van de rij a is en
het laatste element b.
We noteren: σ = (a = x0 , x1 , x2 , . . . , xn = b), waarbij σ(i) = xi .
De waarden x0 , x1 , x2 , . . . en xn worden de verdelingspunten van σ genoemd.
* De som van twee verdelingen σ en σ 0 is de verdeling σ ⊕ σ 0 waarvan de verdelingspunten deze zijn van σ en σ 0 .
* Een functie τ van [a, b] in R is een trapfunctie op [a, b] als en slechts als er een
verdeling σ bestaat van [a, b] zodanig dat de restrictie van τ op elk interval van de
gedaante ]xi−1 , xi [ een constante functie is en waarbij de functiewaarde in elke xi
eender welke waarde is. We noemen σ de verdeling van [a, b] geassocieerd aan
de trapfunctie τ .
179
180
HOOFDSTUK 7. BEPAALDE INTEGRAAL
Als we bij een verdeling geassocieerd aan een trapfunctie een eindig aantal verdelingspunten toevoegen dan verkrijgen we een fijnere verdeling geassocieerd aan
die trapfunctie.
7.1.2
Integraal van een trapfunctie
7.1.2.1
Definitie
Zij [a, b] een gesloten en begrensd interval met a < b.
De integraal van een trapfunctie τ op het interval [a, b] geassocieerd aan een verdeling σ = (a = x0 , x1 , x2 , . . . , xn = b) van [a, b] is het reëel getal:
Iab (τ )
=
n
X
(xi − xi−1 )τ (ξi ) met ξi ∈]xi−1 , xi [
i=1
De waarde van Iab (τ ) hangt niet af van de keuze van ξi ∈]xi−1 , xi [ en ook niet van de keuze
van de verdeling van [a, b] geassocieerd aan τ .
7.1.2.2
Eigenschappen
a. Zijn τ en τ 0 twee trapfuncties op [a, b] en
τ a τ 0 ⇐⇒ ∀x ∈ [a, b] : τ (x) ≤ τ 0 (x)
dan geldt
Iab (τ ) ≤ Iab (τ 0 )
Inderdaad, zijn σ en σ 0 twee verdelingen geassocieerd aan resp. τ en τ 0 dan is σ ⊕ σ 0
weer een verdeling van zowel τ als τ 0 . We bepalen Iab (τ ) en Iab (τ 0 ) met de verdeling
σ ⊕ σ 0 . Beide integralen bevatten even veel termen, zo kunnen we ze met elkaar
vergelijken. Aangezien in elk deelinterval van σ ⊕ σ 0 geldt dat τ a τ 0 , is elke term
in Iab (τ ) kleiner dan elke term in Iab (τ 0 ). Hieruit volgt
Iab (τ ) ≤ Iab (τ 0 )
b. Zijn τ en τ 0 twee trapfuncties op [a, b] geassocieerd aan resp. de verdelingen σ en σ 0
van [a, b] dan geldt voor elke twee reële getallen r en s dat:
Iab (r.τ + s.τ 0 ) = r.Iab (τ ) + s.Iab (τ 0 ).
Een verdeling geassocieerd aan r.τ + s.τ 0 is σ ⊕ σ 0 .
In elk deelinterval van σ ⊕ σ 0 geeft de lineaire combinatie van een term in Iab (τ ) en
een term in Iab (τ 0 ) een term van Iab (r.τ + s.τ 0 ).
7.1. INTEGRAAL VAN EEN TRAPFUNCTIE
7.1.2.3
181
Meetkundige interpretatie
a. Zij τ een positieve trapfunctie op [a, b] met a < b, dan stelt Iab (τ ) t.o.v. een orthonormale basis de oppervlakte voor begrensd door de grafiek van de trapfunctie, de
X-as en de rechten x = a en x = b.
b. Zij τ een trapfunctie die zowel positief als negatief is in [a, b], dan is Iab (τ ) gelijk aan
het verschil van de oppervlakte begrensd door het deel van de grafiek van τ boven
de X-as en de X-as en de oppervlakte begrensd door het deel van de grafiek onder
de X-as en de X-as.
182
7.2
HOOFDSTUK 7. BEPAALDE INTEGRAAL
Bepaalde integraal van een functie
Definitie van bepaalde integraal van een continue functie
Aan elke continue functie f gedefinieerd op een gesloten en begrensd interval [a, b] zijn
twee rijen gedefinieerd. De eerste rij (un ) is een rij waarvan de nde term de integraal is
van de trapfunctie behorende bij de verdeling van het interval [a, b] in n gelijke delen en
opgebouwd met de ‘Rectangles Below’ (terminologie van Graphmatica).
un =
n
X
f (ξi )(xi − xi−1 ) met f (ξi ) = min{f (xi−1 ), f (xi )}
i=1
De tweede rij (vn ) is een rij waarvan de nde term de integraal is van de trapfunctie
behorende bij dezelfde verdeling van het interval [a, b] en opgebouwd met de ‘Rectangles
Above’ (terminologie van Graphmatica). Teken zelf deze trapfuncties.
vn =
n
X
i=1
f (ξi )(xi − xi−1 ) met f (ξi ) = max{f (xi−1 ), f (xi )}
7.2. BEPAALDE INTEGRAAL VAN EEN FUNCTIE
183
184
HOOFDSTUK 7. BEPAALDE INTEGRAAL
Voorbeeld: We beschouwen de continue functie f : y = 14 x4 − 2x3 + 5x2 − 4x + 2 in het
interval [1; 4, 5]. Zoals we zien is de eerste rij een stijgende rij die naar boven begrensd is
door elke term van de tweede rij en de tweede rij is een dalende rij die naar onder begrensd
is door elke term van de eerste rij (in het algemeen geldig vanaf een zeker rangnummer).
In het voorbeeld zitten alle termen van de rij in het interval [4, 7] en alle termen van de
tweede rij in het interval [6, 20]. Vorig jaar hebben we gezien dat een monotone begrensde
rij steeds convergent is. In het geval van de stijgende rij is de limiet het supremum van
de verzameling van de termen van de rij
sup{un : n ∈ N} = lim
n
X
n→+∞
f (ξi )(xi − xi−1 ) met f (ξi ) = min{f (xi−1 ), f (xi )}
i=1
en in het geval van de dalende rij is dat het infimum van de verzameling van de termen
van de rij.
inf{vn : n ∈ N} = lim
n→+∞
n
X
f (ξi )(xi − xi−1 ) met f (ξi ) = max{f (xi−1 ), f (xi )}
i=1
Is dat supremum gelijk aan dat infimum dan zeggen we dat de functie integreerbaar is in
het interval [a, b].
Z b
n
X
f (x)dx = lim
f (ξi )(xi − xi−1 )
a
n→+∞
i=1
De functie van het voorbeeld is integreerbaar in [1; 4, 5] en we kunnen schrijven:
Z 4,5
1
( x4 − 2x3 + 5x2 − 4x + 2)dx = 6, 391 · · ·
4
1
7.2. BEPAALDE INTEGRAAL VAN EEN FUNCTIE
185
186
7.2.1
HOOFDSTUK 7. BEPAALDE INTEGRAAL
Uitbreiding van het begrip van bepaalde integraal
Definitie van de integraal van b naar a van een functie f die integreerbaar is over [a, b]:
De integraal van b naar a van een functie f is tegengesteld aan de integraal van a naar b
van de functie f .
Met symbolen:
Z
b
Z
f (t)dt = −
a
Voorbeeld:
7.3
7.3.1
Rb
a
kdt = −
Ra
b
a
f (t)dt
b
kdt = −k(a − b) = k(b − a).
Eigenschappen van de bepaalde integraal
Eigenschappen met betrekking tot het integratie-interval
STELLING 7.1 Is een functie f gedefinieerd in een punt a, dan is
Z a
f (t)dt = 0
a
Bewijs: De integralen van alle trapfuncties op [a, a] zijn nul.
Iaa (τ ) = (a − a)τ (a)
STELLING 7.2 Is f continu in een gesloten en begrensd interval [p, q] en zijn a, b, c
drie punten van [p, q] dan geldt:
Z
b
Z
f (t)dt =
a
c
Z
a
b
f (t)dt
f (t)dt +
c
Bewijs:
a. a < c < b
Is φ een trapfunctie op [a, b] en φ a f over [a, b] en zijn φ0 en φ00 de restricties van φ
tot resp. [a, c] en [c, b] dan is φ0 a f over [a, c] en φ00 a f over [c, b]. Er geldt:
Iab (φ) = Iac (φ0 ) + Icb (φ00 )
7.3. EIGENSCHAPPEN VAN DE BEPAALDE INTEGRAAL
187
Beschouwen we alle functies φ dan geldt:
sup{Iab (φ)} = sup{Iac (φ0 ) + Icb (φ00 )} = sup{Iac (φ0 )} + sup{Icb (φ00 )}
Hierin is φ ∈ Tf [a,b] , φ0 ∈ Tf [a,c] en φ00 ∈ Tf [c,b] . Omdat f integreerbaar is, is
Z
b
c
Z
f (t)dt =
b
Z
f (t)dt +
a
f (t)dt
a
c
b. a < b < c
Volgens het eerste deel van het bewijs geldt:
c
Z
Z
b
f (t)dt =
c
Z
f (t)dt +
a
a
f (t)dt
b
m
b
Z
c
Z
c
f (t)dt −
f (t)dt =
a
Z
f (t)dt
a
b
m
Z
b
Z
f (t)dt =
a
c
Z
f (t)dt +
a
b
f (t)dt
c
Dit laatste geldt volgens de uitbreiding van het begrip van integraal. Het bewijs
verloopt op dezelfde manier voor elke volgorde waarin a, b en c voorkomen.
Deze eigenschap laat toe steeds een punt tussen te voegen, als maar aan de voorwaarden
voor integreerbaarheid voldaan is, en op die manier de integraal te splitsen in de som van
twee integralen van eenzelfde functie.
Deze eigenschap is te vergelijken met de formule van Chasles-Möbius voor vectoren, nl.
~ = ac
~
ab
~ + cb
met a, b, c drie willekeurige punten van het vlak of de ruimte. In de goniometrie beschikken
we over een gelijkaardige formule voor het optellen van georiënteerde hoeken. En in deze
cursus hebben we een analoge formule gezien met logaritmen
loga b. logb c = loga c.
188
7.3.2
HOOFDSTUK 7. BEPAALDE INTEGRAAL
Eigenschappen met betrekking tot de functie zelf
STELLING 7.3 Is een functie f continu in een gesloten en begrensd interval [a, b] met
a < b en is de functie positief (negatief ) in [a, b] dan is de integraal van f op [a, b] positief
(negatief ).
Z
b
f (t)dt ≥ 0
f ` 0 over [a, b] =⇒
a
Z
b
f (t)dt ≤ 0
f a 0 over [a, b] =⇒
a
Het omgekeerde van deze eigenschap is niet geldig. Het is mogelijk, als de integraal van
een functie op een interval [a, b] positief is, dat de functie negatieve waarden aanneemt in
het interval [a, b].
Bewijs: De 0-functie op [a, b] is een trapfunctie van Tf [a,b]
∀ψ ∈ T f [a,b] : ψ ` 0 =⇒ Iab (ψ) ≥ Iab 0
⇓ Iab 0 = 0
inf({Iab (ψ)}) ≥ 0
Aangezien de functie f integreerbaar is, is
Z b
f (t)dt ≥ 0.
a
STELLING 7.4 Zijn f en g twee continue functies in het gesloten en begrensd interval
[a, b] en zijn r en s twee willekeurige reële getallen, dan is:
Z b
Z b
Z b
g(t)dt
(r · f + s · g)(t)dt = r ·
f (t)dt + s ·
a
a
Bewijs: Is φ een trapfunctie op [a, b] en
φaf
en φ0 een trapfunctie op [a, b] en
φ0 a g
dan is r · φ + s · φ0 een trapfunctie op [a, b] en
r · φ + s · φ0 a r · f + s · g
a
7.3. EIGENSCHAPPEN VAN DE BEPAALDE INTEGRAAL
189
en er geldt
Iab (r · φ + s · φ0 ) = r · Iab (φ) + s · Iab (φ0 ).
Aangezien f en g continu zijn in [a, b] is r · f + s · g ook continu in [a, b]. De functie
r · f + s · g is bijgevolg integreerbaar.
sup{Iab (r · φ + s · φ0 )} = sup{r · Iab (φ) + s · Iab (φ0 )}
= sup{r · Iab (φ)} + sup{s · Iab (φ0 )}
= r · sup{Iab (φ)} + s · sup{Iab (φ0 )}
Dit laatste geldt volgens de eigenschappen van supremum. Hiermee hebben we aangetoond dat
Z b
Z b
Z b
g(t)dt
f (t)dt + s ·
(r · f + s · g)(t)dt = r ·
a
a
a
STELLING 7.5 Zijn f en g twee continue functies in [a, b] en is f kleiner dan g dan is
de integraal van f ook kleiner dan de integraal van g op [a, b].
Met symbolen: f a g =⇒
Rb
a
f (t)dt ≤
Rb
a
g(t)dt.
Bewijs:
f a g =⇒ (f − g) a 0
⇓ (stel 7.3)
b
Z
(f − g)(t)dt ≤ 0
a
m (stel 7.4)
Z b
b
f (t)dt −
g(t)dt ≤ 0
Z
a
a
m
b
Z
b
Z
f (t)dt ≤
a
g(t)dt
a
STELLING 7.6 Is f continu in het gesloten en begrensd interval [a, b], dan geldt:
Z
|
b
Z
f (t)dt| ≤
a
b
|f (t)|dt
a
190
HOOFDSTUK 7. BEPAALDE INTEGRAAL
Bewijs: f is continu in [a, b] =⇒ |f | is continu in [a, b]. Er geldt
−|f | a f a |f |
Volgens stelling 7.5 is
b
Z
Z
b
b
|f (t)|dt
f (t)dt ≤
|f (t)|dt ≤
−
Z
a
a
a
Hieruit volgt dat
b
Z
Z
f (t)dt| ≤
|
a
b
|f (t)|dt
a
7.4
Middelwaardestelling van de integraalrekening
STELLING 7.7 Is een functie f continu in een gesloten en begrensd interval [a, b], dan
bestaat er minstens één x-waarde c in het interval [a, b] waarvoor geldt:
Z
b
f (t)dt = f (c)(b − a)
a
Met symbolen: f is continu in [a, b]
Z
=⇒ ∃c ∈ [a, b] :
b
f (t)dt = f (c)(b − a)
a
Bewijs: De functie f is continu in het gesloten en begrensd interval [a, b] en bereikt volgens
Weierstrass een grootste waarde M en een kleinste waarde m in dat interval.
∀x ∈ [a, b] : m ≤ f (x) ≤ M
Volgens stelling 7.5 geldt:
Z
b
Z
b
mdt ≤
a
Z
f (t)dt ≤
a
b
M dt
a
m
Z
m(b − a) ≤
b
f (t)dt ≤ M (b − a)
a
7.5. BEPAALDE EN ONBEPAALDE INTEGRAAL
191
Delen we elk lid door b − a dan is in geval a < b
Rb
f (t)dt
≤ M.
m≤ a
b−a
Omdat de functie continu is in [a, b] bereikt ze dan ook elke waarde begrepen tussen m
en M in het interval [a, b].
Rb
f (t)dt
∃c ∈ [a, b] : f (c) = a
b−a
m
Z
b
f (t)dt = f (c)(b − a)
∃c ∈ [a, b] :
a
7.5
Verband tussen bepaalde en onbepaalde integraal
STELLING 7.8 Is f een continue functie in een gesloten en begrensd interval
R x I en is a
een element van I dan is de functie die met elke x-waarde van I de waarde a f (t)dt laat
corresponderen één van de primitieve functies van de functie f . Deze primitieve functie
wordt nul voor x = a.
Rx
Bewijs: We bewijzen dat de afgeleide functie van de functie y = a f (t)dt de functie
y = f (x) is. We berekenen daartoe de afgeleide van deze functie in een punt x0 van I.
We gebruiken de definitie van afgeleide in een punt.
Rx
Rx
Rx
0
d
a f (t)dt− a f (t)dt
Dx0 =
( a f (t)dt) = limx0
x−x0
dx0
Rx
Ra
a f (t)dt+ x0 f (t)dt
= limx0
x−x0
Rx
x0 f (t)dt
= limx0 x−x0
Volgens de middelwaardestelling van de integraalrekening bestaat er voor elke x een c in
het interval [x0 , x] zodat
Rx
f (t)dt
f (c) = x0
x − x0
Omdat c mede variëert met x in het interval I is f (c) = f (x). Aangezien de functie
continu is in I en x0 een element is van I is f continu in x0 . De limiet van de functie in
x0 is bijgevolg gelijk aan de functiewaarde in x0 :
lim f (x) = f (x0 )
x0
192
HOOFDSTUK 7. BEPAALDE INTEGRAAL
Dx0
De functie y =
Rx
a
Z x
d
f (t)dt) = f (x0 )
(
=
dx0 a
f (t)dt is dus een primitieve functie van y = f (x).
Deze primitieve functie is de primitieve functie van f die nul wordt voor x = a omdat:
Z a
f (t)dt = 0
a
Voorbeelden:
* We beschouwen de functie f : y = 2x − 3. Teken de grafiek van f en van de
primitieve functie F van f die nul wordt voor x = −1 zonder berekeningen.
Oplossing: De primitieve functie F die nul wordt voor x = −1 is:
Z x
(2x − 3)dx
−1
Op de tekening zien we het verloop van F , de grafiek is een parabool. De functie
F is een oppervlaktefunctie van de functie f , terwijl f de snelheidsfunctie is van F .
Controleer dit nog even.
* We beschouwen de functie f : y = − 12 x2 + 2. Teken de grafiek van f en van de
primitieve functie F van f die nul wordt voor x = 1 zonder berekeningen.
Oplossing: De primitieve functie F die nul wordt voor x = 1 is:
Z x
1
(− x2 + 2)dx
2
1
Op de tekening zien we het verloop van F , de grafiek van een derdegraadsfunctie.
De functie F is een oppervlaktefunctie van de functie f , terwijl f de snelheidsfunctie
is van F . Controleer dit nog even.
7.6. BEREKENEN VAN EEN BEPAALDE INTEGRAAL
7.6
193
Berekenen van een bepaalde integraal
Is f continu in [a, b] en is F een primitieve functie dan geldt volgens de voorgaande stelling:
Z x
F (x) =
f (t)dt + k
(7.1)
a
Hieruit volgt dat
F (a) = 0 + k ⇐⇒ k = F (a)
Substitueren we deze waarde van k in 7.1
Z x
f (t)dt + F (a)
F (x) =
a
m
x
Z
f (t)dt = F (x) − F (a)
a
Om de primitieve functie te bepalen die nul wordt voor x = a bekomen we door van
een willekeurige primitieve functie F de functiewaarde F (a) af te trekken. Zijn grafiek
bekomen we dus door de grafiek van F te verschuiven langs de Y -as over F (a).e~2 .
De functiewaarde in b van deze primitieve functie is:
Z b
f (t)dt = F (b) − F (a)
a
Deze formule laat ons toe een bepaalde integraal van een functie in een interval te berekenen.
Om een bepaalde integraal van een functie te berekenen, berekenen we eerst een willekeurige primitieve functie door onbepaald te integreren en dan de functiewaarden van deze
primitieve functie in de grenspunten van het integratie-interval te nemen.
Daarom schrijven we:
Z
b
f (t)dt = [F (x)]ba
a
Voorbeeld:
We keren terug naar het voorbeeld van de arbeid van een niet constante kracht en we
beschouwen daarvoor de gravitatiekracht. De gravitatiekracht f op een massa m, op een
afstand x van het middelpunt van de aarde met massa M wordt gegeven door wet van
Newton:
M.m
f =k 2
x
194
HOOFDSTUK 7. BEPAALDE INTEGRAAL
k = 6, 67.10−11 m3 kg.sec2 ; M = 6, 6.1024 kg is de massa van de aarde. Aan het aardoppervlak is F = mg =⇒ g = k. RM2 = 9, 81m/sec2 .
Hieruit volgt dat de kracht op een massa m op een afstand x van het middelpunt van de
aarde gelijk is aan:
m
f = g.R2 . 2
x
De arbeid die moet verricht worden om een massa m van het aardoppervlak naar een
hoogte h boven het aardoppervlak te brengen is gelijk aan:
Z R+h
m
g.R2 . 2 dx
W =
x
R
Anderzijds weten we dat de arbeid nodig om een massa m van rusttoestand op een snelheid
v te brengen in vertikale richting gelijk is aan de kinetische energie:
1
W = mv 2
2
Nu kunnen we de snelheid berekenen die een lichaam moet hebben om een hoogte h te
bereiken.
Z R+h
m
1
W =
g.R2 . 2 dx = mv 2
x
2
R
m
1
1
−g.R2 .m[ ]R+h
= m.v 2
R
x
2
m
1
1
1
−g.R2 .m(
− ) = m.v 2
R+h R
2
Uit deze betrekking volgt dat
r
2gRh
v=
R+h
Om een voorwerp bv. 20m hoog te brengen moet een snelheid van 19, 8m/sec of 71, 3km/u.
Om een voorwerp naar het oneindige te brengen h = +∞:
1
1
−g.R2 .m(− ) = m.v 2
R
2
m
p
v = 2gR = 11, 18 km/sec
Dit wordt de ontsnappingssnelheid genoemd. Het voorwerp verlaat de aarde en wordt
de ruimte ingestuurd via een parabolische baan. Om het voorwerp een cirkelvormige,
ellipsvormige baan te laten beschrijven om de aarde is een snelheid nodig tussen 7, 9km/sec
en 11, 18km/sec.
7.6. BEREKENEN VAN EEN BEPAALDE INTEGRAAL
195
√1
x x2 −1
OPGAVEN — 110 Gegeven: de functie f : y =
Gevraagd:
(i) Bepaal het domein van f ;
R −√2
(ii) Bereken −2 f (x)dx;
Rb
(iii) Bereken a f (x)dx met 0 < a < b;
Rb
f (x)dx;
(iv) Bepaal lima→1
>
a
Rb
(v) Bepaal limb→+∞ a f (x)dx.
Rπ
cos x
dx
0 (x+2)2
R π/2 sin x cos x
B= 0
dx
x+1
111 Gegeven: de integraal A =
Gevraagd: Bereken de integraal
in functie van A.
R x ln t
112 Gegeven: de functie f : x 7→ 1 t+1
dt, ∀x > 0
1
Gevraagd: Bereken f (x) + f ( x ) zonder de integraal te berekenen. Bij wijze van controle zult u vinden
dat f (2) + f ( 12 ) = 12 ln2 2.
Rπ
113 Gegeven: de integraal A =
Gevraagd:
(i) Bewijs dat de functie y =
0
1−cos x
3
sin x
2
1−cos x
3
sin x
2
dx
, x ∈]0, π] continu uitbreidbaar is in [0, π].
(ii) Bereken A.
114
1−t
1+t
(i) Toon aan dat door de substitutie x =
Z
1
A=
0
de integraal
ln(1 + x)
dx
1 + x2
omgevormd wordt tot een uitdrukking waarin A opnieuw optreedt. Gebruik dit resultaat om de
waarde van A te vinden.
R1
x
(ii) Bereken B = 0 arctan
1+x dx door gebruik te maken van de integraal A.
115 Gegeven: de integraal In =
Gevraagd:
R1
0
√
xn 1 − xdx, n ∈ N
(i) Bereken I0 ;
(ii) Vind d.m.v. partiële integratie, een recurrente betrekking tussen In en In−1 , n ≥ 1;
(iii) Bewijs enkel met hetgeen voorafgaat, dat I2 =
116
(i) Bereken A =
Rπ
sin x
dx;
0 1+cos2 x
16
105 .
196
HOOFDSTUK 7. BEPAALDE INTEGRAAL
(ii) Bewijs dat voor elke f , continu ondersteld in [0, a]:
Z a
Z a
f (a − x)dx
f (x)dx =
0
0
(iii) Gebruik (i) en (ii) om de integraal J =
117 Bereken A =
R2
1/2
(1 +
1
x2 ) arctan xdx
Rπ
x sin x
dx
0 1+cos2 x
op twee manieren:
a. door partiële integratie;
b. door gebruik te maken van de substitutie x = 1t .
118 Bereken A =
R2
1
te berekenen.
ln2 xdx op twee manieren:
a. door partiële integratie;
b. door gebruik te maken van de substitutie ln x = t.
Hoofdstuk 8
Oppervlakte- inhouds- en
lengteberekening
8.1
Oppervlakteberekening
In voorgaand hoofdstuk hebben we gezien dat we oppervlakten zullen kunnen berekenen
met de bepaalde integraal. We gaan hier oppervlakten berekenen van vlakdelen ingesloten
door de grafiek van een functie, de x-as en twee evenwijdigen met de y-as. Ook oppervlakten van vlakdelen ingesloten door de grafieken van twee functies en van vlakdelen
bepaald door gesloten krommen zullen we behandelen.
8.1.1
Oppervlakte van een vlakdeel ingesloten door de grafiek
van een functie, de x-as en twee evenwijdigen met de y-as
1. De functie heeft een constant teken.
a. De functie f is positief en continu in het gesloten en begrensd interval [a, b].
Kiezen we in het euclidisch vlak een orthonormale basis, dan is de integraal
van a naar b van f
Z b
f (t)dt
a
de oppervlakte van het vlakdeel begrensd door de grafiek van de functie de
x-as en de rechten parallel met de y-as door de punten (a, 0) en (b, 0).
197
198
HOOFDSTUK 8. OPPERVLAKTE- INHOUDS- EN LENGTEBEREKENING
Figuur 8.1: oppervlakteberekening onder de grafiek van een functie
Voorbeeld: De oppervlakte van het vlakdeel begrensd door de grafiek van de
functie y = 1 + sin x, de rechten x = 0, x = π en de x-as is:
π
Z
(1 + sin x)dx = [x − cos x]π0 = π + 2
0
b. De functie f is negatief en continu in het gesloten en begrensd interval [a, b].
Kiezen we in het euclidisch vlak een orthonormale basis, dan is de integraal
van a naar b van f
Z b
f (t)dt
−
a
de oppervlakte van het vlakdeel begrensd door de grafiek van de functie de
x-as en de rechten parallel met de y-as door de punten (a, 0) en (b, 0).
Voorbeeld: De oppervlakte van het vlakdeel begrensd door de grafiek van de
functie y = ln x1 , de rechte x = e en de x-as is:
Z
−
1
e
1
ln dx =
x
Z
e
ln xdx = [x ln x − x]e1 = 1
1
2. De functie heeft een wisselend teken.
De functie f is continu en wisselt van teken in het gesloten en begrensd interval [a, b].
We verdelen het interval [a, b] in deelintervallen waar de functie f een constant teken
heeft. In elk van deze intervallen berekenen we de oppervlakte volgens het eerste
geval en tellen we de bekomen waarden bij elkaar op.
8.1. OPPERVLAKTEBEREKENING
199
Voorbeeld: De oppervlakte van het vlakdeel begrensd door de grafiek van de functie
y = x2 − 1, de rechten x = −2, x = 2 en de x-as.
Z 2
Z 1
x3
x3
2
2
(x − 1)dx −
(x2 − 1)dx = 2[ − x]21 + [ − x]−1
1 = 4
3
3
1
−1
8.1.2
De oppervlakte van een vlakdeel ingesloten door de grafieken van twee functies
1. De ene functie is kleiner dan de andere over een interval.
a. De functies f en g zijn positief en continu in een gesloten en begrensd interval
[a, b] en f ` g over [a, b].
We zoeken eerst de gemeenschappelijke punten van de grafieken van beide
functies. We tekenen de grafieken en kijken in welk interval de grafieken een
vlakdeel insluiten. We noemen dit interval [a, b]. De functies f en g zijn daar
continu en positief.
De oppervlakte van het vlakdeel ingesloten door de grafieken van beide functies
is gelijk aan het verschil van de oppervlakte van het vlakdeel ingesloten door
de grafiek van de functie f en de x-as in [a, b] en de grafiek van de functie g en
de x-as in [a, b].
Z b
Z b
g(t)dt
f (t)dt −
a
a
Na toepassen van de lineariteit van de bepaalde integraal verkrijgen we:
Z b
Z b
(f (t) − g(t))dt =
(f − g)(t)dt
a
a
Voorbeeld: De oppervlakte van het vlakdeel ingesloten door de grafieken van de
functies y = x4 − x2 + 1 en y = − 12 x4 + 2. Het vlakdeel ingesloten door beide
q √
q √
1+ 7
1+ 7
grafieken ligt tussen x1 = −
en x2 =
Tussen deze x-waarden
3
3
zijn beide functies positief en is de eerste functie kleiner dan de tweede.
Rekening houdend met de symmetrie van de grafieken t.o.v. de y-as is de oppervlakte van het vlakdeel ingesloten door de grafieken van beide functies gelijk
aan:
s
√
Z x2
√
1 4
1+ 7
4
4
2
2
2(− x + 2 − (x − x + 1))dx = (19 + 7)
≈ 2, 12106
4
45
3
0
200
HOOFDSTUK 8. OPPERVLAKTE- INHOUDS- EN LENGTEBEREKENING
Figuur 8.2: oppervlakteberekening tussen de grafieken van twee functies
b. De functies f en g hebben een wisselend teken en zijn continu in het gesloten
en begrensd interval [a, b] en f ` g over [a, b].
We verschuiven de grafieken van de functies langs de y-as over een constante
waarde k zodanig dat beide grafieken boven de x-as komen te liggen. De
functies behorende bij deze grafieken zijn dan:
f + k en g + k.
Voor de berekening van de oppervlakte ingesloten door de grafieken van de
functies f + k en g + k zijn we herleid tot het eerste geval.
Z b
Z b
((f + k) − (g + k))(t)dt =
(f − g)(t)dt
a
a
Besluit: Zijn twee functies f en g continu in een gesloten en begrensd interval
[a, b] en is g kleiner dan f over [a, b] dan wordt de oppervlakte ingesloten door
de grafieken van beide functies gegeven door
Z b
(f − g)(t)dt
a
d.i. de integraal van a naar b van het verschil van de functies f en g.
Voorbeeld: De oppervlakte van het vlakdeel ingesloten door de grafieken van
de functies y = 2x2 − 1 en y = x.
De gemeenschappelijke punten zijn (− 21 , − 21 ) en (1, 1).
1
∀x ∈] − , 1[: x > 2x2 − 1.
2
8.1. OPPERVLAKTEBEREKENING
201
Figuur 8.3: oppervlakteberekening tussen de grafieken van twee functies
De oppervlakte van het gemeenschappelijk deel is:
Z 1
9
2x3 x2
+
+ x]1−1/2 =
(x − (2x2 − 1))dx = [−
3
2
8
−1/2
2. De ene functie is zowel groter als kleiner dan de andere functie over een interval.
De functies f en g zijn continu en het verschil f − g wisselt van teken in het gesloten
en begrensd interval [a, b]. We verdelen het interval [a, b] in deelintervallen waar de
functie f − g een constant teken heeft. In elk van deze intervallen berekenen we de
oppervlakte tussen de grafieken van beide functies volgens het eerste geval en tellen
we de bekomen waarden bij elkaar op. Hierbij kijken we in elk deelinterval welke
functie de kleinste is.
Voorbeeld: De oppervlakte van het vlakdeel ingesloten door de grafieken van de
functies y = cosx en y = 2x
+ 1. De gemeenschappelijke punten van de cosinusoı̈de
π
en de rechte zijn (−π, −1), (− π2 , 0) en (0, 1). Rekening houdend met het feit dat
de grafieken van beide functies symmetrisch liggen t.o.v. het punt (− π2 , 0) is de
oppervlakte van het vlakdeel begrensd door de grafieken van beide functies gelijk
aan
Z 0
2x
x2
π
2
(cosx − ( + 1))dx = 2[sin x −
− x]0−π/2 = 2 − = 0, 43
π
π
2
−π/2
Opmerking: Het kan gebeuren dat voor de berekening van de oppervlakte van het
vlakdeel begrensd door de grafieken van twee functies een vertikale integratie veel
eenvoudiger is dan een horizontale integratie.
Voorbeeld: De oppervlakte van het vlakdeel begrensd door de parabool y 2 = 4x en
202
HOOFDSTUK 8. OPPERVLAKTE- INHOUDS- EN LENGTEBEREKENING
de rechte y = 2x − 4 is gemakkelijker te berekenen als we x opvatten als een functie
2
van y. De parabool is dan de grafiek van de functie met voorschrift x = y4 en de
rechte van x = y+4
. De gemeenschappelijke punten van beide grafieken zijn (4, 4)
2
en (1, −2). In het interval [−2, 4] langs de y-as is de eerste functie kleiner dan de
tweede en zijn ze bovendien beide positief. De oppervlakte is:
Z
4
(
−2
8.1.3
y + 4 y2
y2 y3 4
− )dy = [2y +
− ]−2 = 9.
2
4
4
12
De oppervlakte van een vlakdeel ingesloten door een kromme
In dit geval is ofwel de vergelijking van de kromme gegeven, ofwel kiezen we het orthogonaal coördinatenstelsel zodanig dat de vergelijking van de gegeven kromme zo eenvoudig
mogelijk is. Bvb. voor het berekenen van de oppervlakte van een cirkel, een cirkelsector
of een ellips.
Beschikken we over de vergelijking van de kromme (gegeven of zelf opgesteld), dan maken
we eerst een schets van de kromme t.o.v. een orthogonaal coördinatenstelsel. Hierbij houden we rekening met symmetrieassen en punten van symmetrie van de kromme, snijpunten
met de x-as en de y-as. We moeten de kromme beschouwen als de unie van grafieken van
functies zodat we door middel van integratie de oppervlakte kunnen bepalen. We illustreren dit met voorbeelden.
* De oppervlakte van een cirkel.
We kiezen de oorsprong van het euclidisch vlak in de oorsprong zodat de vergelijking
van de cirkel zo eenvoudig mogelijk is.
x2 + y 2 = R 2
Wegens de symmetrie t.o.v. de oorsprong (x en y komen allebei in het kwadraat voor)
is het voldoende enkel de oppervlakte van het deel van de cirkelschijf te berekenen
gelegen in het eerste kwadrant. De bovenste helft van de cirkel is de grafiek van de
functie:
√
y = R 2 − x2 .
De oppervlakte van de cirkelschijf is:
Z
4
0
R
√
R2 − x2 dx = 4R
2
Z
0
π/2
cos2 αdα = [
R2
R2 π/2
sin 2α +
α] = πR2
4
2 0
8.1. OPPERVLAKTEBEREKENING
203
We kunnen bij de oppervlakteberekening werken met een parametervoorstelling van
de cirkel:
x = R cos α
y = R sin α
De oppervlakte van de cirkelschijf is:
Z R
Z 0
Z
2
ydx = 2
R sin αd(R cos α) = −2
−R
π
0
R2 sin2 αdα = πR2 .
π
Als x varieert van −R naar R dan variëert α van π naar 0.
* De oppervlakte van een cirkelsegment.
Is de openingshoek van het cirkelsegment met straal R gelijk aan θ dan is de oppervlakte van het cirkelsegment gelijk aan
Z R
Z 0
Z 0
R2
(θ − sin θ)
2
ydx = 2
R sin αd(R cos α) = −2
R2 sin2 αdα =
2
a
θ/2
θ/2
* De oppervlakte van een cirkelsector.
De oppervlakte van een cirkelsector met openingshoek θ is
a. In geval 0 < θ < π gelijk aan de som van de oppervlakte van het corresponderend cirkelsegment en de oppervlakte van een gelijkbenige driehoek met
tophoek θ.
De oppervlakte van de driehoek is:
S=
R2 sin θ
.
2
De oppervlakte van de cirkelsector is:
opp.sect. =
R2
R2 sin θ
R2 θ
(θ − sin θ) +
=
.
2
2
2
b. In geval π < θ < 2π gelijk is aan het verschil van de oppervlakte van het
corresponderend cirkelsegment en de oppervlakte van een gelijkbenige driehoek
met tophoek 2π − θ.
S=
R2 sin(2π − θ)
R2 sin θ
=−
2
2
R2
R2 sin θ
R2 θ
opp.sect. =
(θ − sin θ) − (−
)=
.
2
2
2
204
HOOFDSTUK 8. OPPERVLAKTE- INHOUDS- EN LENGTEBEREKENING
Figuur 8.4: oppervlakte van een cirkelsector
8.1. OPPERVLAKTEBEREKENING
205
Figuur 8.5: y 2 = x2 − x4
y = x4 (4 + x)
* De oppervlakte ingesloten door de kromme met vergelijking
y 2 = x2 − x4 .
De kromme ligt symmetrisch t.o.v. x-as en y-as. De gevraagde oppervlakte is dus
gelijk aan vier keer de oppervlakte van het deel gelegen in het eerste kwadrant.
Z
4
1
Z
√
x 1 − x2 dx = −2
0
(substitutie:
√
1
0
4
4
2u2 du = [− u3 ]01 = .
3
3
1 − x2 = u)
* De oppervlakte ingesloten door de kromme met vergelijking
y 2 = x4 (4 + x).
De kromme ligt symmetrisch t.o.v. de x-as omdat y in het kwadraat optreedt (res.:
4096
)
105
* De cycloı̈de is de kromme beschreven door een punt van een cirkel die rolt zonder
glijden over een rechte.
De oppervlakte ingesloten door een boog van een cycloı̈de met parametervoorstelling:
x = R(θ − sin θ)
y = R(1 − cos θ)
Een boog wordt beschreven tussen θ = 0 en θ = 2π. (res.: 3πR2 )
206
HOOFDSTUK 8. OPPERVLAKTE- INHOUDS- EN LENGTEBEREKENING
Figuur 8.6: de cycloı̈de
* De oppervlakte ingesloten door de ellips met parametervoorstelling:
x = 3 + cos θ
y = 4 sin θ
(res. 4π)
* Een epicycloı̈de is de kromme beschreven door een punt van een cirkel met straal r
die in zijn eigen vlak rolt zonder glijden op de buitenkant van een cirkel met straal
R.
θ
x = (R + r) cos θ − r cos R+r
r
R+r
y = (R + r) sin θ − r sin r θ
In geval R = r wordt de epicycloı̈de een cardioı̈de genoemd (hartlijn). In geval
R = 2r wordt de epicycloı̈de een nefroı̈de genoemd (nierlijn).
* Een hypocycloı̈de is de kromme beschreven door een punt van een cirkel met straal
r die rolt zonder glijden op de binnenkant van een cirkel met straal R.
x = (R − r) cos θ + r cos R−r
θ
r
y = (R − r) sin θ − r sin R−r
θ
r
In geval R = 4r wordt de hypocycloı̈de een astroı̈de genoemd. In geval R = 3r
wordt de hypocycloı̈de de hypocycloı̈de van Steiner genoemd of ook nog de deltoı̈de.
Parametervoorstelling van een astroı̈de:
x = R cos3 θ
y = R sin3 θ
8.1. OPPERVLAKTEBEREKENING
207
Figuur 8.7: de ellips
Figuur 8.8: de epicycloı̈de
de hypocycloı̈de
208
HOOFDSTUK 8. OPPERVLAKTE- INHOUDS- EN LENGTEBEREKENING
De oppervlakte van het vlakdeel ingesloten door een astroı̈de is
Z
R
Z
ydx = 4
4
0
0
3
3
R sin θ(.R cos θ) = 12R
π/2
Na integratie vinden we voor de oppervlakte
3R2 π
8
2
Z
π/2
sin4 θ cos2 θdθ.
0
= 38 πR2 .
OPGAVEN — 119 Bereken de oppervlakte van het vlakdeel ingesloten door:
a. y = 4x − x2 , y = 0, x = 1, x = 3;
b. x = 1 + y 2 , x = 10;
c. x = 3y 2 − 9, x = 0, y = 0, y = 1;
d. y = 9 − x2 , y = x + 3;
e. y = tan x, x = 0, x =
π
4,
y = 0;
f. y 2 = x2 (a2 − x2 );
g. 9ay 2 = x(3a − x)2 ;
h. y = ex , y = e−x , x = 0, x = 2;
i. xy = 12, y = 0, x = 1, x = e2 ;
j. y = 1/(1 + x2 ), y = 0, x = 1, x = −1;
k. Eerste boog van y = e−ax sin ax;
2
l. y = xe−x , y = 0, en de maximale ordinaat.
120 De assen van een ellips omgeschreven aan een gegeven rechthoek met zijden 2m en 2n, zijn parallel
met de zijden van die rechthoek. Voor welke omgeschreven ellips is de oppervlakte extremaal?
121 T.o.v. een orthonormale basis beschouwen we een cirkel C(o; R) en een parabolenbundel met de
x-as als as en o als top. We noemen s en s0 de twee reële snijpunten van de cirkel en de parabolen van
de bundel. Voor welke parabolen is de oppervlakte van het paraboolsegment oss0 extremaal?
122 Schets het vlakdeel ingesloten door de punten waarvan de coördinaten (x, y) voldoen aan
0 < x < π en 1 − sin x < y < sin x.
Bereken de oppervlakte van dit gebied.
123 Bereken de oppervlakte tussen de kromme y =
1
5−3 cos x
en de rechten x = 0, x = 2π en y = 0.
8.2. INHOUDSBEREKENING
209
124 Gegeven: De krommen met resp. vergelijkingen
y = 1 + cos x met x ∈ [0, π]
en
y = 1 + cos(x − α) met x ∈ [0, π],
α is een parameter met 0 < α < π2 .
Gevraagd: Bepaal α zodat de oppervlakte tussen y = 1 + cos x, y = 1 + cos(x − α) en x = 0 gelijk is aan
de oppervlakte tussen y = 1 + cos(x − α), y = 1 en x = π.
125 Gegeven:
Z
π/2
In =
xn sin xdx met n ∈ N.
0
Gevraagd:
(i) Stel een recurrente betrekking op tussen In en In−2 geldig voor alle n ≥ 2;
(ii) Bepaal de oppervlakte ingesloten door de krommen met vergelijking
y = π 2 x2 sin x en y = 4x4 sin x
in het interval [0, π/2]. Maak een ruwe schets van het integratiegebied.
Oplossingen:
119
a. 22/3;
b. 36;
c. 8;
d. 125/6;
e. ln 2/2;
f. 4a3 /3;
√
g. 8 3a2 /5;
h. (e2 + 1/e2 − 2);
i. 24;
j. π/2;
k. (1 + 1/eπ )/2a;
√
√
l. ( e − 1)/2 e.
√
√
120 Lengte van de assen 2 2m en 2 2n;
121 Parabolen met vergelijking y 2 = ± √R2 x;
125 −π 3 − 2π 2 + 48π − 96.
210
HOOFDSTUK 8. OPPERVLAKTE- INHOUDS- EN LENGTEBEREKENING
Figuur 8.9: inhoudsberekening
8.2
Inhoudsberekening
In deze paragraaf zullen we inhouden berekenen van lichamen begrensd door twee parallelle vlakke doorsneden en omwentelingslichamen. Deze berekening gebeurt uiteraard in
een euclidische driedimensionale ruimte.
Is een lichaam begrensd door twee parallelle vlakken α en α0 , dan moeten we de oppervlakte kunnen bepalen van elke doorsnede van het lichaam met een vlak parallel met en
gelegen tussen α en α0 . Elke vlakke doorsnede van het lichaam met een vlak parallel met
α moet dan ook een begrensd vlakdeel zijn of de unie van begrensde vlakdelen.
Dit kunnen we vergelijken met de oppervlakteberekening waar we de oppervlakte berekenen van een vlakdeel begrensd door de grafiek van een functie, de x-as en twee parallelle
rechten A en A0 (en ook parallel met de y-as). We moeten dan de lengte kennen van elk
lijnstukje afgesneden door een rechte parallel met A en het vlakdeel. Deze lengte wordt
ons bij de oppervlakteberekening gegeven door de y-waarde bij een bepaalde x-waarde
door het voorschrift van de functie. We kennen de verandering van de lengte van deze
lijnstukjes in functie van x.
Bij de inhoudsberekening krijgen we enkel de definitie van het lichaam. Is het lichaam
dan begrensd door twee parallelle vlakken α en α0 , dan kiezen we het orthonormaal
coördinatenstelsel zodanig, dat de x-as orthogonaal is met α. De keuze van de oorsprong
hangt af van de aard van het lichaam. Bij zo een keuze van de x-as is het (Y, Z)-vlak steeds
parallel met α en α0 . De parallelle vlakken hebben dan in de ruimte de vergelijkingen
x = a en x = b. Het lichaam wordt gesneden met vlakken parallel met het (Y, Z)-vlak.
Zij hebben in de ruimte een vergelijking van de gedaante x = k met a < k < b. Van zodra
we de verandering van de oppervlakte van zo een vlakke doorsnede kennen in functie
8.2. INHOUDSBEREKENING
211
van x kunnen we de inhoud berekenen d.m.v. integratie. We noteren die veranderlijke
oppervlakte door S(x).
De inhoud van het lichaam wordt dan gegeven door de volgende integraal:
Z b
I=
S(x)dx.
a
Voorbeelden:
* Inhoud van een prisma met hoogte h en oppervlakte grondvlak G.
G.h.
* Inhoud van een piramide met hoogte h en oppervlakte grondvlak G.
1
G.h.
3
* Inhoud van een afgeknotte piramide met hoogte h en oppervlakte grondvlak G en
oppervlakte bovenvlak B.
√
1
(G + G.B + B).h.
3
Figuur 8.10: inhoud van een piramide
inhoud van een afgeknotte piramide
212
HOOFDSTUK 8. OPPERVLAKTE- INHOUDS- EN LENGTEBEREKENING
* Inhoud van een lichaam met een cirkel (met straal R) als grondvlak en waarvan de
doorsnede van een loodvlak op een vaste middellijn van de cirkel met het lichaam
een gelijkzijdige driehoek is.
4√ 3
3R .
3
Figuur 8.11: inhoud
* Inhoud van een lichaam met als grondvlak een ellips met a als halve grote as en b
als halve kleine as en waarvan de doorsnede van een loodvlak op de hoofdas van de
ellips met het lichaam een gelijkbenige driehoek is met hoogte h.
h
π.ab. .
2
* Inhoud van het gemeenschappelijk deel van twee cilinders met zelfde straal en waarvan de assen elkaar loodrecht snijden.
4
.4.R3 .
3
* Inhoud van een kegel met een ellipsvormige basis (geen omwentelingskegel) (de ellips
heeft grote as 2a en kleine as 2b).
1
π.ab.h.
3
8.2. INHOUDSBEREKENING
213
* We beschouwen twee vlakke doorsneden van een cilinder met een vlak loodrecht op
de as van de cilinder en een vlak die een hoek van 600 maakt met het eerste vlak.
De snijlijn van beide vlakken snijdt de as van de cilinder. Bereken de inhoud van
het lichaam ingesloten door deze twee vlakke doorsneden en de cilinder.
√
2 3 3
.R .
3
Figuur 8.12: inhoud
OPGAVEN — 126 De basis van een lichaam is een paraboolsegment y 2 = 12x afgesneden door zijn
lactus rectum. Een vlakke doorsnede loodrecht op de as van de parabool is een vierkant. Bereken het
volume van het lichaam.
127 De basis van een lichaam een het vlakdeel in het eerste kwadrant begrensd door de rechte 4x + 5y =
20 en de coördinaatassen. De vlakke doorsneden loodrecht op de x-as zijn halve cirkels. Bereken de inhoud
van het lichaam.
128 De basis van een lichaam is een cirkel x2 + y 2 = 16x, en elke vlakke doorsnede loodrecht op de
x-as is een rechthoek waarvan de hoogte gelijk is aan twee keer de afstand van de vlakke doorsnede tot
de oorsprong. Bereken de inhoud van het lichaam.
214
HOOFDSTUK 8. OPPERVLAKTE- INHOUDS- EN LENGTEBEREKENING
129 De top van een kegel bevindt zich in het punt (a, 0, 0) en het grondvlak is een cirkel van het
(Y.Z)-vlak en heeft vergelijking y 2 + z 2 − 2by = 0. Bereken de inhoud van het lichaam.
130 Langs een middellijn van een bol met een straal van 3 wordt een hol met een straal van 1 geboord.
Bereken de inhoud van hetgeen van de bol overblijft.
Oplossingen:
126 216;
127 10π/3;
128 1024π;
129 31 πab2 ;
√
130 64π 2/3.
8.3
Omwentelingslichamen
1. Inhoud ontstaan door één kromme.
Een omwentelingslichaam ontstaat door het wentelen van een vlakke kromme om
een rechte die met de kromme in eenzelfde vlak gelegen is. De rechte wordt de as
van het lichaam genoemd. Een omwentelingslichaam wordt eveneens begrensd door
twee parallelle vlakken loodrecht op de as van het lichaam.
Voor de inhoudsberekening is het aangewezen de x-as als as te nemen. De kromme
die het omwentelingslichaam beschrijft kunnen we in het (x, y)-vlak leggen. Is de
kromme in dat vlak de grafiek van een functie, dan is de vergelijking van de kromme
van de gedaante y = f (x).
Elke vlakke doorsnede van het lichaam loodrecht op de x-as is een cirkelschijf met
straal f (x). De oppervlakte van een vlakke doorsnede in functie van x is gelijk aan
π(f (x))2 .
De inhoud van het omwentelingslichaam ontstaan door het wentelen van de kromme
met vergelijking y = f (x) om de x-as is en begrensd door de vlakken x = a en x = b
is:
Z b
I=π
(f (x))2 dx.
a
8.3. OMWENTELINGSLICHAMEN
Voorbeelden:
215
216
HOOFDSTUK 8. OPPERVLAKTE- INHOUDS- EN LENGTEBEREKENING
Figuur 8.13: wenteling om de x-as
Figuur 8.14: wenteling om de y-as
* Inhoud van een cilinder met hoogte h en straal R.
De cilinder ontstaat door het wentelen van de rechte met vergelijking y = R
om de x-as in het interval [0, h].
Z h
π
R2 dx = πR2 [x]h0 = πR2 .h.
0
* Inhoud van een kegel met hoogte h en straal R.
De kegel ontstaat door het wentelen van de rechte met vergelijking y =
de x-as in het interval [0, h].
Z h 2
R 2
πR2 x3 h 1 2
π
x
dx
=
[ ] = πR .h.
2
h2 3 0
3
0 h
R
x
h
om
8.3. OMWENTELINGSLICHAMEN
217
* Inhoud van een afgeknotte kegel met hoogte h en stralen R1 en R2 .
De afgeknotte kegel ontstaat door het wentelen van de rechte met vergelijking
y = Rx22 x om de x-as in het interval [x1 , x2 ].
x2 − x1 = h
Z
x2
π
x1
R22 x3 x2
R22 2
π R22 3
x
dx
=
π
[
]
(x − x31 ).
=
x22
x22 3 x1
3 x22 2
We drukken de inhoud liefst uit door middel van grootheden die onafhankelijk
zijn van de ligging van het lichaam t.o.v. het gekozen coördinatenstelsel. Hier
drukken we de inhoud van de afgeknotte kegel uit in functie van de hoogte h
en stralen R1 en R2 .
Omdat h = x2 − x1 schrijven we de inhoud als volgt:
π R22
(x2 − x1 )(x22 + x2 x1 + x21 ).
3 x22
Houden we rekening met de betrekking in gelijkvormige driehoeken:
R2
x2
R2 x1
=
=⇒ R1 =
,
R1
x1
x2
dan is de inhoud van de afgeknotte kegel gelijk aan
1
π(R12 + R1 .R2 + R22 ).h.
3
* Inhoud van een paraboloı̈de met hoogte h en hoofdparameter p: πh2 .p.
218
HOOFDSTUK 8. OPPERVLAKTE- INHOUDS- EN LENGTEBEREKENING
* Inhoud van een ellipsoı̈de met grote as 2a en kleine as 2b:
4
π.ab.b.
3
* Inhoud van een bol
Een sfeer is het oppervlak
dat ontstaat door het wentelen van de halve cirkel
√
met vergelijking y = R2 − x2 om de x-as.
Een bol is het lichaam begrensd door een sfeer.
Z R
Z R
x3
4 3
2
2
(R2 − x2 )dx = 2π[R2 x − ]R
(R − x )dx = 2π
2π
0 = πR .
3
3
0
0
* Inhoud van een bolschijf
Een bolzone of bolgordel is het oppervlak dat ontstaat door
√ het wentelen van
een cirkelboog van een halve cirkel met vergelijking y = R2 − x2 om de x-as.
Een bolschijf met straal R is het lichaam begrensd door een sfeer met straal
R en twee parallelle vlakken die de sfeer in cirkels met strikt positieve straal
snijden. De grootste cirkel is het grondvlak en de kleinste is het bovenvlak van
de bolschijf.
Het zijdelings oppervlak van de bolschijf is een bolzone.
8.3. OMWENTELINGSLICHAMEN
219
De afstand tussen grond- en bovenvlak is de hoogte h van de bolschijf en ook
de hoogte van de bolzone.
De bolschijf
ontstaat door het wentelen van de halve cirkel met vergelijking
√
y = R2 − x2 om de x-as in het interval [x1 , x2 ].
x2 − x1 = h
De stralen van grondvlak en bovenvlak van de bolschijf zijn resp. r1 en r2 .
Rx
3
π x12 (R2 − x2 )dx = π[R2 x − x3 ]xx21
= π(R2 (x2 − x1 ) − 13 (x32 − x31 ))
= π.h(R2 − 31 (x22 + x2 .x1 + x21 ))
Tussen de stralen r1 , r2 van grondvlak en bovenvlak van de bolschijf en de
straal R van de bol bestaan de betrekkingen R2 = r12 + x21 en R2 = r22 + x22 . We
schrijven
1
1
R2 = (R2 + R2 ) = (r12 + x21 + r22 + x22 ).
2
2
2
We vervangen R op die manier in de uitdrukking van de inhoud. De inhoud
van de bolschijf kan nu als volgt geschreven worden:
I =
=
=
=
=
π.h(R2 − 31 (x22 + x2 .x1 + x21 ))
π.h( 21 (r12 + x21 + r22 + x22 ) − 31 π.h(x22 + x2 .x1 + x21 ))
π.r12 . h2 + π.r22 . h2 + 16 π.h.x22 + 61 π.h.x21 − 31 π.h.x2 x1
π.r12 . h2 + π.r22 . h2 + 16 π.h(x2 − x1 )2
π.r12 . h2 + π.r22 . h2 + 16 π.h3
h
h 4 h
I = π.r12 . + π.r22 . + π.( )3 .
2
2 3 2
220
HOOFDSTUK 8. OPPERVLAKTE- INHOUDS- EN LENGTEBEREKENING
Met woorden:
De inhoud van een bolschijf met hoogte h en stralen r1 en r2 is gelijk aan de
som van de inhouden van twee cilinders met hoogte h2 en stralen resp. de stralen
r1 en r2 en de inhoud van de bol met straal h2 .
Figuur 8.15: bolschijf — bolsegment
* Inhoud van een bolsegment
Een snijvlak van een bol verdeelt de bol in twee delen. Elk van deze delen
wordt een bolsegment genoemd. We kunnen dit lichaam ook beschouwen
als een limietgeval van een bolschijf waarbij één van de parallelle vlakken een
raakvlak is aan de bol. De andere vlakke doorsnede wordt het grondvlak van
het bolsegment genoemd. Het zijdelings oppervlak van het bolsegment wordt
een bolkap genoemd.
De inhoud van een bolsegment leiden we af uit de inhoud van de corresponderende bolschijf door r2 = 0 en r1 = r te stellen.
h 4 h
I = π.r2 . + π.( )3 .
2 3 2
8.3. OMWENTELINGSLICHAMEN
221
Met woorden:
De inhoud van een bolsegment met hoogte h en straal r is gelijk aan de som
van de inhoud van een cilinder met hoogte h2 en straal r en de inhoud van de
bol met straal h2 .
* Inhoud van een bolsector
Figuur 8.16: bolsector — bolschil
Een bolsector is het lichaam dat ontstaat door het wentelen van een cirkelsector
om één van zijn stralen. Een bolsector is de unie van een kegel met hoogte r − h en
een bolsegment met hoogte h.
Bereken zelf de inhoud.
222
HOOFDSTUK 8. OPPERVLAKTE- INHOUDS- EN LENGTEBEREKENING
* Inhoud van een bolschil
Een bolschil is het lichaam dat ontstaat door het wentelen van een cirkelsegment
om een middellijn van de cirkel waartoe het cirkelsegment behoort en het segment
niet snijdt.
We beschouwen de bolschijf beschreven door de cirkelboog van het cirkelsegment en
de afgeknotte kegel beschreven door de koorde van het cirkelsegment.
De inhoud van een bolschil is het verschil van de inhoud van de bolschijf en de
inhoud van de afgeknotte kegel.
h
h 1
1
I = π.r12 . + π.r22 . + π.h3 − πh(r12 + r22 + r1 r2 )
2
2 6
3
h 2 h 2 1
1
πr1 + πr2 + π.h3 − πhr1 r2
6
6
6
3
h
1
= π(r12 + r22 − 2r1 r2 ) + π.h3
6
6
h
h
= π((r1 − r2 )2 + h2 ) = πk 2
6
6
I = πhk 2 met k de lengte van de koorde.
=
Met woorden:
De inhoud van een bolschil is gelijk aan die van een cilinder, waarvan de hoogte een
zesde deel is van de hoogte van de bolschil en de straal van het grondvlak gelijk is
aan de koorde van het cirkelsegment.
8.3. OMWENTELINGSLICHAMEN
223
2. Inhoud ontstaan door twee krommen.
Het deel tussen twee krommen, gelegen in hetzelfde vlak met een rechte, wentelt om
die rechte. Zo ontstaat een omwentelingslichaam zie figuur 8.17.
Figuur 8.17: wenteling van 2 krommen
Voorbeelden:
* Inhoud van een ring of torus.
De ring of torus ontstaat door wenteling van een cirkel met straal R om een
rechte op een afstand a > R van het middelpunt van de cirkel:
I = π · R2 .2π · a.
224
HOOFDSTUK 8. OPPERVLAKTE- INHOUDS- EN LENGTEBEREKENING
OPGAVEN — 131 Bereken de inhoud van het lichaam dat ontstaat door het wentelen om de gegeven
rechte:
a. y 2 = x4 (1 − x2 ); x-as;
8.4. LENGTEBEREKENING VAN KROMMEN
225
b. 4x2 + 9y 2 = 36; x-as;
c. Deel begrensd door x = 9 − y 2 , x − y − 7 = 0, x = 0; y-as;
d. y = x2 − 5x + 6, y = 0; y-as;
2
e. y = e−x , y = 0, x = 0, x = 1; y-as;
f. De hartlijn: x = 2 cos θ − cos 2θ − 1, y = 2 sin θ − sin 2θ; x-as;
g. y = 2x2 , 2x − y + 4 = 0; x = 2;
Oplossingen:
131 a. 4π/35; b. 16π; c. 963π/5; d. 5π/6; e. π(1 − 1/e); f. 64π/3; g. 27π.
8.4
Lengteberekening van krommen
In deze paragraaf zullen we de lengte berekenen van krommen die een deel zijn van de
grafiek van een functie. We veronderstellen de functie f continu in het interval [a, b]. We
nemen een eindige verdeling van [a, b] in n intervallen.
In elk deelinterval [xi−1 , xi ] beschouwen we het lijnstukje dat we bekomen door de corresponderende punten pi−1 en pi van de grafiek met elkaar te verbinden. Op die manier
krijgen we bij deze eindige verdeling van het interval een gebroken lijn, waarvan we de
lengte gemakkelijk kunnen berekenen.
n
X
p
(xi − xi−1 )2 + (f (xi ) − f (xi−1 ))2 .
i=1
De functie f is continu in het interval [a, b] en is de functie bovendien afleidbaar in [a, b]
dan is ze dit ook in elk deelinterval van [a, b].
Volgens de middelwaardestelling van de differentiaalrekening geldt:
∀i ∈ {1, 2, . . . , n} : ∃ci ∈]xi−1 , xi [: f (xi−1 ) − f (xi ) = f 0 (ci )(xi − xi−1 )
n
X
p
(xi − xi−1 )2 + (f 0 )2 (ci )(xi − xi−1 )2
i=1
=
n
X
p
(xi − xi−1 ) 1 + (f 0 )2 (ci ).
i=1
Beschouwen we nu alle mogelijke eindige verdelingen van [a, b] en de daarbij behorende
gebroken lijnen. De verzameling van de lengtes is een niet-ledige deelverzameling van
226
HOOFDSTUK 8. OPPERVLAKTE- INHOUDS- EN LENGTEBEREKENING
reële getallen die naar boven begrensd is. Deze verzameling heeft een supremum. Dit
supremum noemen we de lengte van de kromme.
Z bp
L=
1 + (f 0 )2 (x)dx.
a
Voorbeelden:
* De lengte van een deel van de cosinushyperbolicus y = 12 (ex + e−x );
* De lengte van een boog van de cycloı̈de; (8)
* De lengte van de kromme x = 3y 3/2 − 1 van y = 0 tot y = 4; (24,4)
* De lengte van een deel van de parabool y 2 = 12x tussen de oorsprong en het brandpunt.
* De lengte van de kromme y = x3/2 tussen x = 0 en x = 5.
* De lengte van de kromme 24xy = x4 + 48 tussen x = 2 en x = 4.
OPGAVEN — 132 Bereken de lengte van de kromme tussen de aangegeven grenzen:
a. 6xy = x4 + 3 van x = 1 tot x = 2;
√
b. 27y 2 = 4(x − 2)3 van (2, 0) tot (11, 6 3);
x
c. y = ln eex −1
+1 van x = 2 tot x = 4;
d. y = ln(1 − x2 ) van x = 1/4 tot x = 3/4;
e. x = et cos t, y = et sin t van t = 0 tot t = 1.
Oplossingen:
√
a. 17/12 b. 14 c. ln(e4 + 1) − 2 d. ln 21/5 − 1/2 e. 2(e4 − 1).
8.5. MANTELOPPERVLAKTE VAN OMWENTELINGSLICHAMEN
8.5
227
Manteloppervlakte van omwentelingslichamen
In deze paragraaf berekenen we alleen de manteloppervlakte van omwentelingslichamen.
Om de formule voor de manteloppervlakte op te stellen leggen we de x-as langs de as van
het omwentelingslichaam en de kromme die het lichaam beschrijft is de grafiek van een
functie y = f (x) in het (x, y)-vlak.
We veronderstellen de functie f continu in het interval [a, b] en afleidbaar in ]a, b[. We
nemen een eindige verdeling van [a, b] in n intervallen.
In elk deelinterval ]xi−1 , xi [ beschouwen we het lijnstukje dat we bekomen door de corresponderende punten pi−1 en pi van de grafiek met elkaar te verbinden. Op die manier
krijgen we bij deze eindige verdeling van het interval een gebroken lijn. Bij wenteling om
de x-as beschrijft elk lijnstukje een afgeknotte kegel. We zullen de zijdelingse oppervlakte
berekenen van elk van de afgeknotte kegels in elk van de deelintervallen.
Vooraleer we de manteloppervlakte van een afgeknotte kegel te berekenen, berekenen we
eerst de manteloppervlakte van een kegel.
De manteloppervlakte van een kegel is gelijk aan de oppervlakte van de cirkelsector die
we bekomen door de kegel te ontwikkelen. De omtrek van het grondvlak van de kegel is
gelijk aan de boog van de cirkelsector. Is R de straal van de kegel, a het apothema en h
de hoogte, dan is
2πR = aα
waarbij α de openingshoek is van de cirkelsector.
De oppervlakte van de cirkelsector met straal a en openingshoek α is
a2
α
2
Uit de laatste twee betrekkingen volgt dat de oppervlakte van de kegel met straal R en
apothema a gelijk is aan
πRa
De manteloppervlakte van een afgeknotte kegel met stralen r1 en r2 en apothema a is gelijk
aan het verschil van de manteloppervlakten van twee kegels met straal r1 en apothema
a1 en straal r2 en apothema a2 , waarbij
a1 − a2 = a
De manteloppervlakte van de afgeknotte kegel is:
πr1 a1 − πr2 a2 = π(r1 a1 − r2 a2 )
228
HOOFDSTUK 8. OPPERVLAKTE- INHOUDS- EN LENGTEBEREKENING
Uit gelijkvormige driehoeken besluiten we dat:
r1
a1
=
a2
r2
Volgens de eigenschappen van de breuken geldt:
a1 − a2
r1 − r2
a
r1 − r2
=
⇐⇒
=
a2
r2
a2
r2
⇐⇒ a2 =
r2 a
r1 − r2
Wegens de symmetrie van index 1 t.o.v. index 2 geldt:
r2 − r1
a
r1 − r2
r1 a
a2 − a1
=
⇐⇒
=
⇐⇒ a1 =
a1
r1
a1
r1
r1 − r2
De manteloppervlakte van de afgeknotte kegel met apothema a en stralen r1 en r2 .
πa(r1 + r2 )
We onderstellen dat de functie positief is in het interval [a, b]. De afgeknotte kegel die
ontstaat door het wentelen om de x-as van het lijnstuk [Pi−1 , Pi ] heeft als apothema
|pi−1 pi | en als stralen f (xi−1 ) en f (xi ).
De manteloppervlakte van zo een afgeknotte kegel is gelijk aan:
p
π|Pi−1 Pi |.(f (xi−1 ) + f (xi )) = π(xi − xi−1 ). 1 + (f 0 )2 (ci ).(f (xi ) + f (xi−1 ))
met ci ∈]xi−1 , xi [ (volgens de middelwaardestelling).
De manteloppervlakte van het lichaam dat ontstaat door het wentelen om de x-as van de
gebroken lijn is gelijk aan:
n
X
p
π(xi − xi−1 ). 1 + (f 0 )2 (ci ).(f (xi ) + f (xi−1 ))
i=1
Is het aantal deelintervallen zeer groot dan kunnen we f (xi−1 ) + f (xi ) benaderen door
2f (ci ) (ook wegens de continuı̈teit van f in [a, b]).
Voor een verdeling van het interval [a, b] met een voldoende groot aantal verdelingspunten is de manteloppervlakte van het corresponderend omwentelingslichaam (unie van
afgeknotte kegels) met goede benadering gelijk aan:
n
X
i=1
p
π2f (ci )(xi − xi−1 ). 1 + (f 0 )2 (ci )
8.5. MANTELOPPERVLAKTE VAN OMWENTELINGSLICHAMEN
229
Beschouwen we alle mogelijke eindige verdelingen van het interval [a, b]. De verzameling
van de manteloppervlakten van de corresponderende omwentelingslichamen naar boven
begrensd en bezit een kleinste bovengrens die de manteloppervlakte van het lichaam is
dat ontstaat door het wentelen om de x-as van de grafiek van de functie f is in het interval
[a, b].
Z b
p
f (x) 1 + (f 0 )2 (x)dx.
M = 2π
a
OPGAVEN — 133 Bereken de manteloppervlakte van het omwentelingslichaam dat ontstaat door
wentelen om de aangegeven as:
a. y 2 = 12x van x = 0 tot x = 3; x-as;
b. y 2 + 4x = 2 ln y van y = 1 tot y = 3; x-as;
c. 8a2 y 2 = a2 x2 − x4 ; x-as;
d. x = a cos2 θ, y = a sin2 θ; x-as;
e. y = ln x van x = 1 tot x = 7; y-as;
f. y = a cosh xa van x = −a tot x = a; x-as.
134 Bereken de oppervlakte van een bolzone met straal r en hoogte h.
135 Bereken de oppervlakte van een bolkap met straal r en hoogte h.
Oplossingen:
√
√
√
133 a. 24π(2 2 − 1)π; b. 32π/3; c. πa3 /2; d. 12a2 π/5; e. π(34 2 + ln(3 + 2 2)); f. πa2 (e2 − e−2 + 4)/2.
134 2πrh.
De oppervlakte van de bolzone is gelijk aan het product van de omtrek van de beschrijvende cirkel
van de bol en de hoogte van de bolzone.
135 2πrh
De oppervlakte van een bolkap is gelijk aan het product van de omtrek van de beschrijvende cirkel
van de bol en de hoogte van de bolkap.
opp.bolkap = 2πrh
230
HOOFDSTUK 8. OPPERVLAKTE- INHOUDS- EN LENGTEBEREKENING
AN II HUISTAAK 13
1. Bereken de oppervlakte van het vlakdeel ingesloten door
2
de kromme y = x.e−x , de x-as en de rechte x = a met a de waarde waarin de
functie een maximum bereikt.
2. De basis van een lichaam is een driehoek in het (x, y)-vlak begrensd door de rechte
4x + 5y = 20 en de x-as en y-as. Elke vlakke doorsnede met het lichaam loodrecht
op de x-as is een halve cirkel. Bereken het volume van het lichaam.
3. Bereken de lengte van de kromme y = ln cos x tussen x =
π
6
en x = π4 .
4. Bereken de oppervlakte van het lichaam ontstaan door wentelen om de grote as van
een ellips met grote as 2a en kleine as 2b (ellipsoı̈de).
√
√
√
2
arcsin ac + 2πb2 .
Oplossingen: 1. ( e − 1)/2 e; 2. 10π/3; 3. 21 ln(1 + 2 3 2 ); 4. 2πba
c
Hoofdstuk 9
Reeksontwikkeling van een reële
functie
9.1
Reële reeksen
We hebben reeds de definitie van een reeks ontmoet verleden jaar bij de theorie van de
rijen. Een reële reeks is niets anders dan de rij van de partieelsommen van een bepaalde
rij. Dus een reeks is altijd gehecht aan een rij. Bijvoorbeeld een meetkundige reeks is
gehecht aan een meetkundige rij. Is de reden van die rij gelijk aan q en de eerste term
gelijk aan a, dan is de nde term van de reeks
(sn ) : a, a + aq, a + aq + aq 2 , . . .
gelijk aan
sn = a + aq + aq 2 + . . . aq n−1 .
We zullen dit nu niet langer een term noemen, maar overdrachtelijk een partieelsom van
de reeks.
De reeks die behoort bij de rij (an )n∈R zullen we in het vervolg noteren als
X
an .
X
an = (sn ) : s1 , s2 , s3 , . . . , sn , . . .
Deze notatie is geı̈nspireerd op de notatie voor een som: de som van de eerste n termen
van de rij (an ) is namelijk
n
X
ai .
i=1
231
232
HOOFDSTUK 9. REEKSONTWIKKELINGEN
De rij die hoort bij een reeks zullen we soms de rij van termen noemen en zijn elementen
de termen van de reeks. Ook dit is in overdrachtelijke zin want het zijn in feite de termen
van zijn rij van termen. Toch is deze naamgeving logischer dan de vroegere omdat we nu
werkelijk termen van een som hebben. Historisch is de naamgeving dan ook via reeksen
geschied.
Het verband tussen de termen van een reeks
(sn ) : s1 , s2 , s3 , . . . , sn , . . .
behorende bij de rij
(an ) : a1 , a2 , a3 , . . . , an , . . .
is
an = sn − sn−1 .
P
De reekssom van de reeks
an is de limiet van de rij der partieelsommen, als deze
bestaat. Wij zullen daarvoor de notatie
lim sn =
+∞
+∞
X
an
n=1
gebruiken.
Als de reekssom bestaat zegt men ook wel dat de reeks convergent is, zoals voor gewone
rijen. Men gebruikt ook de termen divergent en onbeslist in dezelfde zin als voor rijen
vroeger.
Voorbeeld: Nemen we een meetkundige reeks met reden 1/2. Zo ’n meetkundige reeks is
convergent:
+∞ n
X
1
n=1
2
= 1.
Is een reeks convergent dan is de reeks eigenlijk een som van oneindig veel reële getallen.
Voor de meetkundige reeks met reden 1/2:
1
1
1 1 1
+ + +
+
+ · · · = 1.
2 4 8 16 32
Een belangrijk kenmerk van convergente reeksen wordt gegeven door de volgende stelling.
STELLING 9.1 Is een reeks convergent dan convergeert de termenrij naarP0. Is dus
lim an 6= 0, voor een bepaalde rij (an ), dan convergeert de geassocieerde reeks
an niet.
+∞
9.1. REËLE REEKSEN
233
Figuur 9.1: de alternerende harmonische reeks
P
Bewijs: We stellen de nde patiëelsom van de reeks an voor door sn . We zien gemakkelijk
in dat an = sn − sn−1 . Onderstellen we dat de reeks convergent is, dan kunnen we van
beide leden de limiet nemen naar +∞. We bekomen:
lim an =
n→+∞
=
=
lim sn − lim sn−1
n→+∞
lim sn −
n→+∞
n→+∞
lim
n−1→+∞
sn−1
lim sn − lim sm
n→+∞
m→+∞
= 0
De tweede bewering is de contrapositie van de eerste.
De tweede bewering van voorgaande stelling wordt vaak gebruikt om te bwijzen dat een
bepaalde reeks niet convergeert. Toch lukt dit niet altijd. Er bestaan namelijk reeksen die
niet convergeren en waarvoor de geassocieerde rij toch naar 0 convergeert. Het prototype
X1
van zo’n reeks is de harmonische reeks
, die gehecht is aan de harmonische rij.
n
Voor een reeks gehecht aan een alternerende rij, kortweg een alternerende reeks genoemd, is het wel
voldoende dat de rij der termen convergeert naar nul opdat de reeks convergent zou zijn. Bijvoorbeeld
de alternerende harmonische reeks convergeert en we zullen later de limiet berekenen.
Het bewijs van die bewering is niet zó ingewikkeld. Men beschouwt de rijen van respectievelijk de oneven
partieelsommen en de even partieelsommen. Deze zijn respectievelijk stijgend en dalend (of omgekeerd,
maar laat ons de gedachten nu zo vestigen) en respectievelijk naar boven en naar onder begrensd door elke
term van de andere rij. Wegens Stelling 5.3 van Analyse I convergeren beide rijen naar respectievelijk hun
supremum S1 en infimum S2 . Maar S2 − S1 is de limiet van het verschil van de even partieelsommenrij
en de oneven partieelsommenrij, wat ook nog gelijk is aan de limiet van de termenrij (zoals in het bewijs
van Stelling 9.1), en dus gelijk aan 0. Dus S1 = S2 en de reeks convergeert naar S1 .
234
9.2
HOOFDSTUK 9. REEKSONTWIKKELINGEN
Machtreeksen
Beschouwen we nog eens de meetkundige reeks met reden q en eerste term gelijk aan
a = 1. We hebben gezien dat deze reeks convergent is zodra −1 < q < 1 en de limiet is
1
.
gelijk aan 1−q
Beschouwen we nu de functie y =
1
, dan kunnen we schrijven
1−x
+∞
X
1
=
xn−1
1−x
n=1
= 1 + x + x2 + x3 + x 4 + · · ·
Wat we dus bereikt hebben is het volgende. We hebben de functiewaarden begrepen tussen
1
geschreven als een limiet van een reeks machten van x. Hoe
−1 en 1 van de functie y = 1−x
kleiner |x|, hoe minder termen we moeten beschouwen om reeds een goede benadering te
hebben voor y. Natuurlijk, het is op het eerste gezicht een beetje idioot om deze functie
op zo een manier te berekenen, zelfs als we over geen rekentoestel beschikken, omdat
het functievoorschrift ook rechtstreeks te berekenen is door een eenvoudige deling uit te
voeren. Toch is de formule belangrijk omdat in sommige fysische problemen termen uit de
noemer moeten worden verdreven (om bijvoorbeeld gemakkelijker te kunnen integreren)
en 1 + x + x2 geeft reeds een goede benadering als |x| zeer klein is.
Bijvoorbeeld
Z
1/2
−1/2
dx
≈
1 − x3
Z
1/2
(1 + x3 + x6 )dx
−1/2
x4 x7 1/2
+ ]−1/2
4
7
1
≈ 1+
448
≈ [x +
OPGAVEN — 136 Bereken benaderend de volgende integralen:
Z √e
Z 2/5
dx
dx
1.
3.
1
−
ln
x
1
−
x5
Z0 π/6
Z1 √3/3
dx
dx
4.
2.
1 − arctan x
1 − sin x
0
0
De vraag is nu of we zo een formule ook voor andere functies kunnen vinden. Eerste punt:
wat bedoelen we met zo een formule? Wel, het is handig gebleken dat we over machten
9.3. REEKSONTWIKKELING VAN EEN FUNCTIE
235
van x beschikten en niets meer. Eventueel zouden er nog coëficiënten mogen optreden
(die constanten zijn!). Dus reeksen van de vorm
X
an xn .
Bijvoorbeeld, vervangen we x door −x in de formule voor
1
,
1−x
dan bekomen we
1
= 1 − x + x2 − x3 + x4 − · · · ,
1+x
voor −1 < x < 1. Hier hebben we dus an = 1 voor oneven n en an = −1 voor even n.
Wat we ook nog kunnen aanvaarden, gezien de toepassing op bepaalde integralen hierboven, is dat er machten van x − a voorkomen in plaats van machten van louter x, waarbij
a natuurlijk een constante is. Bijvoorbeeld kunnen we schrijven
1
1
=
= 1 + (x − 1) + (x − 1)2 + (x − 1)3 + · · · ,
2−x
1 − (x − 1)
voor 0 < x < 2. Merk op dat we dit ook nog anders kunnen vervormen:
1/2
1
2
3
=
= 1/2 1 + x/2 + (x/2) + (x/2) + · · ·
2−x
1 − x/2
voor −2 < x < 2. Het voordeel van de eerste schrijfwijze is dat ze een betere benadering
geeft rond x = 1 (we zeggen dat de reeks sneller convergeert daar), terwijl het voordeel
van de tweede schrijfwijze is dat ze, benevens sneller convergeren rond x = 0, convergeert
in een groter interval. Het hangt dus af van het probleem welke vorm we kiezen.
P
Welnu, een reeks van de vorm
an (x − a)n noemen we een machtreeks. Is an = 0 vanaf
een zekere n = N , dan hebben we een veelterm van de graad N − 1. Een veelterm is dus
een bijzonder geval van een machtreeks.
Wat
is dus een gegeven functie schrijven als de limiet van een machtreeks
P we nu willen
an (x − a)n . We zeggen dat we de functie ontwikkelen in een reeks rond a.
9.3
Reeksontwikkeling van een functie
We hebben reeds gezien dat de raaklijn in een punt een goede benadering is voor de
functiewaarden rond dat punt. Dit is in feite reeds een reeksontwikkeling met 1 term.
Inderdaad, uit de stelling van Lagrange hebben we afgeleid dat, als een functie f (x)
236
HOOFDSTUK 9. REEKSONTWIKKELINGEN
afleidbaar is rond x = a, dan is f (b) te benaderen door f (a) + (b − a)f 0 (a). Stellen we
b = x, dan komt er:
f (x) ≈ f (a) + f 0 (a) · (x − a),
voor x “in de omgeving van” a. We noemen dit de eerste orde benadering van de
functie f (x). We vragen ons nu af of we geen betere benadering kunnen vinden door een
term a2 (x − a)2 bij te voegen, waarbij a2 een te bepalen constante is.
We onderstellen dat al onze functies onbeperkt afleidbaar zijn en dus kunnen we afleiden
zoveel we willen, dat het een lieve lust is. We zoeken dus a2 zó dat
f (x) ≈ f (a) + f 0 (a)(x − a) + a2 (x − a)2 ,
en de benadering moet zo goed mogelijk zijn. Daartoe leiden we beide leden af:
f 0 (x) ≈ f 0 (a) + 2a2 (x − a)
en we passen de eerste orde benadering toe op f 0 (x). Dit geeft ons
f 0 (x) ≈ f 0 (a) + f 00 (a)(x − a),
waaruit we besluiten dat de beste algemene keuze
a2 =
f 00 (a)
2
is. We voegen nu een term van derde macht in (x − a) toe, namelijk a3 (x − a)3 , en leiden
tweemaal af om te bekomen dat
f 000 (a)
a3 =
.
6
Zo voortgaande zien we gemakkelijk in dat de beste keuze voor an zal zijn:
f (n) (a)
an =
.
n!
We kunnen dus voor willekeurige n ∈ N schrijven:
f (x) ≈ f (a) + f 0 (a)(x − a) +
f 00 (a)
f (n) (a)
(x − a)2 + · · · +
(x − a)n ,
2
n!
voor x in de omgeving van a. Voor elke functie afzonderlijk moet exact bepaald worden
wat die omgeving precies is. We bekomen aldus de reeks
9.3. REEKSONTWIKKELING VAN EEN FUNCTIE
X f (n) (a)
n!
237
(x − a)n .
Deze reeks wordt de reeksontwikkeling van Taylor voor de functie f rond het
punt a genoemd.
In de formule van Lagrange kunnen we ≈ vervangen door = op voorwaarde dat we f 0 (a)
vervangen door f 0 (c0 ), voor een zekere c0 gelegen tussen x en a. Door deze formule toe te
passen op de nde afgeleide vinden we dat
f (x) = f (a) + f 0 (a)(x − a) +
f 00 (a)
f (n) (a)
f (n+1) (cn )
(x − a)2 + · · · +
(x − a)n +
(x − a)n+1 ,
2
n!
(n + 1)!
voor een zekere waarde cn gelegen tussen x en a en afhankelijk van x. De laatste term
van deze gelijkheid wordt de sluitterm van de orde n genoemd.
Het is nu meteen duidelijk dat, als voor gegeven x de rij der sluittermen
(n+1)
f
(cn )
n+1
(x − a)
(n + 1)!
n∈N
naar 0 convergeert, dat dan de reeksontwikkeling van f rond a in x naar f (x) convergeert.
Voor elke functie afzonderlijk moet dit gecontroleerd worden. Er bestaan functies die
geen reeksontwikkeling bezitten (niet voldoende afleidbaar), maar er bestaan ook functies
waarvoor de reeksontwikkeling niet convergeert (bijvoorbeeld de meetkundige reeks met
reden > 1), en, straffer nog, er bestaan zelfs functies waarvoor de reeksontwikkeling rond
een punt a wel convergeert, zelfs voor alle x ∈ R, maar voor geen enkele waarde van x
naar f (x) (uitgezonderd voor x = a zelf). Een voorbeeld van zo een functie wordt gegeven
1
door het voorschrift y = e− x2 , voor x 6= 0 en y = 0 voor x = 0. Ontwikkelen rond x = 0
geeft ons de nulreeks, want alle afgeleiden in x = 0 zijn 0. Deze reeks convergeert voor
alle x, maar nooit naar f (x) voor x 6= 0.
Al de functies die wij zullen beschouwen zullen in een bepaald niet-triviaal symmetrisch
interval rond a convergeren naar f (x). We zullen dit niet bewijzen, doch slechts hier en
daar een aanwijzing geven hoe dit gebeurt.
Vooralleer in het volgende deeltje de reeksontwikkeling van enkele belangrijke functies
neer te schrijven, geven we eerst een tweede gedaante van de reeksontwikkeling van Taylor.
Daartoe vervangen we x door a + h en we bekomen:
f (a + h) ≈ f (a) + f 0 (a)h +
f (n) (a) n
f 00 (a) 2
h + ··· +
h ,
2
n!
238
HOOFDSTUK 9. REEKSONTWIKKELINGEN
en
f (a + h) = f (a) + f 0 (a)h +
f (n) (a) n f (n+1) (cn ) n+1
f 00 (a) 2
h + ··· +
h +
h .
2
n!
(n + 1)!
Deze vorm drukt uit dat, als we de functiewaarde kennen in een punt a van een functie
f , dan kunnen we de functiewaarden benaderend berekenen in elk punt a + h door een
veelterm in h uit te rekenen (op voorwaarde dat de reeks van Taylor naar de functie
convergeert in a + h). Deze formule geeft dus de toename van de functiewaarde in termen
van een veelterm in de toename van de x-waarde.
We merken tenslotte nog op dat voor a = 0 deze reeksontwikkeling ook nog de reeksontwikkeling van McLaurin genoemd wordt.
f (x) = f (0) + f 0 (0)x +
9.4
f (n) (0) n f (n+1) (θx) n+1
f 00 (0) 2
x + ··· +
x +
x met0 < θ < 1.
2
n!
(n + 1)!
Reeksontwikkeling van enkele belangrijke functies
We geven nu de reeksontwikkeling van McLaurin van enkele belangrijke functies (zoals de
titel zegt). We geven onmiddellijk de algemene vorm van de nde afgeleide. De berekening
wordt aan jou overgelaten of wordt in de klas gedaan. Het bewijs kan door middel van
inductie geschieden.
1. De functie y = (1 + x)q .
f (n) (x) = q(q − 1)(q − 2) . . . (q − n + 1)(1 + q)q−n , waaruit f (n) (0) = q(q − 1)(q −
2) . . . (q − n + 1), dus
(1 + x)q = 1 + qx +
q(q − 1) 2 q(q − 1)(q − 2) 3
x +
x + ··· ,
2!
3!
voor −1 < x < 1.
Voor q ∈ N verkrijgen we het binomium van Newton terug. Voor q = −1 vinden
we onze formule van een meetkundige reeks weer. Vervangen we x door −x, dan
krijgen we de reeksontwikkeling rond 0 van de functie y = (1 − x)q .
2. De functie y = ln(1 + x).
(n−1)!
(n)
f (n) (x) = (−1)n−1 (1+x)
(0) = (−1)n−1 (n − 1)!, dus
n , waaruit f
9.4. BELANGRIJKE FUNCTIES ONTWIKKELD
ln(1 + x) = x −
239
x2 x3 x4
+
−
+ ··· ,
2
3
4
voor −1 < x ≤ 1. Dit kan ook bekomen worden door de reeksontwikkeling van
1/(1 + x) termsgewijs te integreren. Merk op dat voor x = 1 we de alternerende
harmonische reeks terugvinden die dus convergeert naar ln 2.
3. De functie y = ex .
f (n) (x) = ex , waaruit f (n) (0) = 1, dus
x2 x3 x4
+
+
+ ··· ,
2!
3!
4!
en dat voor alle x ∈ R. Voor x = 1 bekomen we een snelle benadering voor het
getal e.
ex = 1 + x +
4. De functie y = sin x.
f (n) (x) is gelijk aan sin x voor n een viervoud; aan − sin x voor n een viervoud plus
twee; een cos x voor n een viervoud plus één en aan − cos x voor n een viervoud
plus drie. Dus f (n) (0) is gelijk aan 0 voor n even, aan 1 voor een viervoud plus één
en gelijk aan −1 voor n een viervoud plus drie. Aldus is
sin x = x −
x3 x5 x7
+
−
+ ··· ,
3!
5!
7!
en dit geldt voor alle x ∈ R.
(n+1)
x
De restterm van de nde orde is hier in absolute waarde gelijk aan (n+1)!
vermenigvuldigd met de absolute waarde van de sinus of cosinus van een constante cn . Deze
laatste
altijd kleiner dan 1 en dus komt het er op neer om de limiet van de rij
(n+1)is x
te vinden. Deze limiet is 0 omdat faculteit veel sneller naar +∞
(n + 1)! n∈N
gaat dan om het even welke macht.
5. De functie y = cos x.
Analoog aan sin x bekomen we hier:
cos x = 1 −
geldig voor alle x ∈ R.
x2 x4 x6
+
−
+ ··· ,
2!
4!
6!
240
HOOFDSTUK 9. REEKSONTWIKKELINGEN
Vervangen we in de reeksontwikkeling van ex de onbepaalde x door ix, waarbij i het complex
getal de wortel uit −1 voorstelt, dan zien we onmiddellijk dat we de reeksontwikkeling kunnen
uiteentrekken in de oneven en de even machten en we bekomen:
eix = cos x + i sin x.
Stellen we x gelijk aan π dan bekomen we de formule van Euler die de belangrijkste eenheden uit
Z, C, de goniometrie en de analyse verenigt:
eiπ = −1
Een formule om op te hangen in je living! Algemeen gebruikt men reeksontwikkelingen om reële
functies te verruimen tot complexe.
6. De functie y = arctan x.
1
te integreren. Integreren
1 + x2
we de reeksontwikkeling term voor term (wat we mogen doen, maar dat zullen we
niet bewijzen (bedenk dat we hier oneindig veel termen integreren en het is niet
evident dat dit mag; neem als voorbeeld de reeksontwikkeling van ln(1 + x) in
1
x = 1: deze convergeert, maar de reeksontwikkeling van de primitieve functie 1+x
1
2
4
6
convergeert niet voor x = 1)), dan bekomen we (daar 1+x
2 = 1−x +x −x +···)
Deze functie kan bekomen worden door de functie
arctan x = x −
x3 x5 x7
+
−
+ ··· ,
3
5
7
voor −1 ≤ x ≤ 1.
In het bijzonder verkrijgen we een benadering van π door x gelijk aan 1 te nemen
en met 4 te vermenigvuldigen. De convergentie is wel zeer traag.
OPGAVEN — 137 Ontwikkel de volgende functies in een reeks van McLaurin (geef telkens enkele
termen of, als je kunt, de algemene term):
3.
1
(1 + x)2
1
y=√
1 − x2
y = arcsin x
4.
y = ln(1 − x)
1.
2.
y=
1−x
1+x
5.
y = ln
6.
y = sin2 x
7.
y = tan x
1
y=
5 − 2x
8.
9.5. BENADEREN VAN FUNCTIEWAARDEN
9.5
241
Benaderen van functiewaarden
De formule van Taylor geeft ons een geschikt middel om functiewaarden te benaderen door
andere te gebruiken. Natuurlijk is dit vrij nutteloos als we over een rekentoestel beschikken
en alleen geı̈nteresseerd zijn in het resultaat. Maar ook dit rekentoestel moet gemaakt
zijn door iemand die op zo een manier dit toestel programmeert. Het kan dus geen
kwaad om eens te kijken hoe dit gebeurt. Je zult ook zien dat deze werkwijze van groot
theoretisch belang en praktisch nut kan zijn. Een ingenieur is bijvoorbeeld geı̈nteresseerd
in het schatten van grootheden, maar hij wil weten hoe groot de nauwkeurigheid is, anders
kunnen er ongelukken gebeuren. De nu volgende theorie geeft daar een gepaste oplossing
voor.
We hebben gezien dat voor de functies uit de voorgaande paragraaf we een benadering
kunnen doorvoeren met veeltermen. De fout die we maken is gelijk aan de sluitterm. Als
we deze kunnen afschatten, waarbij we liever denken een grotere fout te maken dan een
kleinere (dat is logisch, denk aan de veiligheidsfactor: als ongeveer twee ton over een brug
kan rijden is het beter te denken dat dit op ±100 kg nauwkeurig is — en dus maximaal 1, 9
ton toelaten — dan slechts op 1 kg nauwkeurig — en 1, 999 ton toelaten!), dan kennen we
een bovengrens voor onze fout. Voor sommige functies is dit niet zo moeilijk. We geven
een voorbeeld.
We bereken cos 1 door de eerste twee niet-nul termen in de reeksontwikkeling van McLaurin te beschouwen. We bekomen cos 1 = 1 − 1/2 = 1/2. De fout die we maken is gelijk
aan de sluitterm van de orde 3, namelijk cos4!c3 · 14 . Daar | cos c3 | ≤ 1, is onze fout kleiner
dan of gelijk aan 1/24 = 0, 04166 . . ..
We kunnen ons afvragen hoever we moeten gaan in de reeksontwikkeling om een fout van
cos cn
· 1n+1 .
maximaal een miljoenste te hebben. De sluitterm van de orde n is gelijk aan (n+1)!
Dit is zeker kleiner dan een miljoenste als 1/(n + 1)! dit is. Dus zodra n = 9. We moeten
dus tot en met de term in x8 in acht nemen, dit betekent de eerste 5 niet-nul termen.
OPGAVEN —
p benaderde waarde op minstens 0, 001 nauwkeurig voor
√ 138 Zoek een
de functie y = 100 + x = 10 1 + x/100 in reeks te ontwikkelen.
√
101,
√
98 door
139 Schrijf de veelterm −x4 + 5x3 − 4x2 + 5x − 2 in machten van x − 1 door te ontwikkelen in een reeks
van Taylor rond x = 1. Doe hetzelfde voor de veelterm x5 + 10x4 + 40x3 + 60x2 − 25x + 5 in machten
van x + 2.
140 Voor welke x mogen we sin x vervangen door x als we maximaal een fout toelaten van 0, 000036?
141 Bepaal het getal e op 10 cijfers na de komma nauwkeurig.
142 Hoever moeten we gaan in de reeksontwikkeling van arctan x om π te bekomen (voor x = 1 en dan
alles met 4 vermenigvuldigen) op drie cijfers na de komma nauwkeurig?
143 Bereken ln 3, e3 en cos 3 op twee cijfers na de komma nauwkeurig.
242
9.6
HOOFDSTUK 9. REEKSONTWIKKELINGEN
Toepassing op extrema en buigpunten
We onderstellen terug dat een functie f onbeperkt afleidbaar is over zijn domein en we
stellen ons de vraag of we relatieve extrema en buigpunten ook kunnen herkennen zonder
tekenonderzoek door te voeren, maar door alleen naar afgeleiden en hun tekens te kijken.
Door middel van reeksontwikkeling kan men de volgende stelling bewijzen.
STELLING 9.2 Onderstel dat de eerste n − 1 afgeleiden van f in een punt a nul zijn
en de n-de afgeleide f (n) (a) verschillend van nul. Dan geldt:
(i) Is n even, dan bereikt f een relatief extremum in a. Is f (n) (a) < 0, dan is dit een
maximum; is f (n) (a) > 0, dan is dit een minimum.
(ii) Is n oneven, dan heeft f een buigpunt in a.
We hebben ook het volgende:
STELLING 9.3 Onderstel dat de tweede tot en met de (n − 1)de afgeleide van f in een
punt a nul zijn en dat de n-de afgeleide f (n) (a) verschillend is van nul. Dan heeft f een
buigpunt voor x = a als en slechts als n oneven is.
Het bewijs van deze stellingen gebruikt de sluitterm van de (n − 1)de orde. We bewijzen
bijvoorbeeld (i) van Stelling 9.2. We kunnen schrijven
f (x) = f (a) +
f (n) (cn−1 )
(x − a)n .
n!
(9.1)
Daar f (n) (x) continu is (het is afleidbaar!), en niet nul in a, bestaat er een omgeving van
a waarbinnen f (n) (x) hetzelfde teken als f (n) (a) houdt. In deze omgeving heeft de laatste
term van 9.1 ook dit zelfde teken, tenminste als n even is. Is dit teken negatief, dan is
dus binnen die omgeving f (x) altijd kleiner dan f (a) en de functie bereikt een relatief
maximum. Is dit teken positief, dan is f (x) altijd groter dan f (a) in die omgeving en de
functie bereikt een relatief minimum.
De andere beweringen worden analoog bewezen.
OPGAVEN — 144 Bepaal de eventuele relatieve extrema en eventuele buigpunten van de volgende
functies:
9.6. EXTREMA EN BUIGPUNTEN
x5
− x4
56
x
5x4
=
−
+ 10x2
6
4
= x5 + x4 − 5x3 − x2 + 8x − 4
= x4 − 6x3 + 12x2 −!x
x5
− x4
=
5
= sin2 x
243
1.
y=
8.
2.
y
9.
3.
4.
y
y
5.
y
6.
y
7.
y = tan 2x
10.
11.
12.
13.
14.
y = x(6 − x)2
x2 − 1
x−2
p
y = 6 − x2
y = (x − 4)4 (x + 3)3
y=
y = x − sin2 x
p
y = 3 (x − 1)(x2 + 4x + 4)
48
y = x3 +
x
244
HOOFDSTUK 9. REEKSONTWIKKELINGEN
Inhoudsopgave
1 Exponentiële en logaritmische functies
1.1
3
Exponentiële functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.1.1
Rationale exponenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.1.1.1
Natuurlijke exponenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.1.1.2
Gehele en rationale exponenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.1.1.3
Rekenregels met rationale machten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.1.2
Groeiprocessen – groeifactor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.1.3
Reële exponenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
1.1.4
Definitie van exponentiële functie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
1.1.5
Eigenschappen van exponentiële functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
1.1.6
Rekenregels met reële exponenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
1.2
Grafieken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
1.3
Logaritmische functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
1.3.1
Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
1.3.2
Definitie van een logaritmische functie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
1.3.3
Eigenschappen van logaritmische functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
1.3.4
Rekenregels met logaritmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
1.3.5
Verband tussen verschillende logaritmische functies . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
Eenvoudige logaritmische en exponentiële vergelijkingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
1.4.1
Standaardvergelijkingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
1.4.2
Vergelijkingen die na toepassing van de eigenschappen onmiddellijk te herleiden
zijn tot één van de standaardvormen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
Vergelijkingen die aanleiding geven tot een algebraı̈sche vergelijking in loga f (x) of
ef (x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
Grafieken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
1.4
1.4.3
1.5
245
246
1.6
INHOUDSOPGAVE
Logaritmische schaal * . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
1.6.1
Logaritmische schaalverdeling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
1.6.2
Grafieken met logaritmische schaal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
1.7
De afgeleide functie van een logaritmische functie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
1.8
Afgeleide functie van een exponentiële functie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
1.9
Logaritmisch afleiden* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
1.10 Limieten en continuı̈teit van de exponentiële en logaritmische functies . . . . . . . . . . .
50
1.10.1 De standaardlimieten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
1.10.2 Limieten waarin een exponentiële en logaritmische functie voorkomt . . . . . . . .
51
1.11 Hyperbolische functies* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
1.11.1 Definities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
1.11.2 Hyperbolische identiteiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
1.12 De inverse hyperbolische functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
1.13 Afgeleide functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
1.13.1 Afgeleide functies van de hyperbolische functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
1.13.2 De afgeleide functies van de inverse functies van de hyperbolische functies . . . . .
56
1.14 Wiskunde-Cultuur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
2 Goniometrische functies
2.1
59
De sinusfunctie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
2.1.1
Definitie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
2.1.2
De grafiek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
2.1.3
Kenmerken van de sinusfunctie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
De cosinusfunctie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
2.2.1
Definitie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
2.2.2
De grafiek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
2.3
De functie y = a sin(bx + c) + d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
2.4
De functie y = a sin(ωt + ϕ0 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
2.2
lim0 sinx x
2.5
De standaardlimiet
=1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
2.6
De afgeleide functie van de sinusfunctie en de cosinusfunctie . . . . . . . . . . . . . . . . .
71
2.7
Limietberekening . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74
2.8
De tangensfunctie en cotangensfunctie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74
2.9
Limietberekening . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
77
2.10 Extremumvraagstukken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
78
2.10.1 Uitgewerkte oefeningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
78
2.11 Wiskunde-Cultuur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
80
INHOUDSOPGAVE
247
3 Cyclometrische functies
81
3.1
De inverse relatie van de sinusfunctie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
81
3.2
De arcussinusfunctie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
84
3.2.1
Definitie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
84
3.2.2
De grafiek van de arcussinusfunctie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
85
3.3
De inverse relatie van de cosinusfunctie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
87
3.4
De arcuscosinusfunctie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
87
3.4.1
Definitie van de arcuscosinusfunctie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
87
3.4.2
De grafiek van de arcuscosinusfunctie
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
90
3.5
De inverse relatie van de tangensfunctie en de cotangensfunctie . . . . . . . . . . . . . . .
93
3.6
De arcustangensfunctie en de arccotangensfunctie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
96
3.7
De afgeleide functie van een cyclometrische functie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
3.8
Limietberekening . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
3.9
Vergelijkingen en ongelijkheden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
3.9.1
Standaardvergelijkingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
3.9.2
Uitgewerkte oefeningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
4 Verloop van functies
4.1
Verloop van functies met exponentiële of logaritmische functie . . . . . . . . . . . . . . . . 125
4.1.1
4.2
Uitgewerkte oefeningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
Verloop van functies met goniometrische of cyclometrische functie . . . . . . . . . . . . . . 132
4.2.1
Uitgewerkte oefening . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
5 Differentialen
5.1
125
135
Differentialen en foutberekening . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
5.1.1
De differentiaal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
5.1.2
Rekenregels met differentialen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
5.1.3
Differentialen van de voornaamste functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
5.1.4
Meetkundige betekenis van de differentiaal
5.1.5
Benaderen van functiewaarden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
5.1.6
Absolute, relatieve fout en procentuele fout bij metingen . . . . . . . . . . . . . . . 144
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
248
INHOUDSOPGAVE
6 Integralen
149
6.1
Inleidende voorbeelden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
6.2
Primitieve functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
6.3
Onbepaalde integraal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
6.3.1
Definitie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
6.3.2
Eigenschappen van de onbepaalde integraal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
6.3.3
Basisintegralen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
6.3.4
6.3.3.1
Basisintegralen om rationale functies te integreren . . . . . . . . . . . . . 158
6.3.3.2
Basisintegralen om irrationale functies te integreren . . . . . . . . . . . . 158
6.3.3.3
Basisintegralen om goniometrische functies te integreren . . . . . . . . . . 159
6.3.3.4
Basisintegralen om exponentiële functies te integreren . . . . . . . . . . . 159
6.3.3.5
Basisintegralen om hyperbolische functies te integreren . . . . . . . . . . 159
Integratiemethodes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
6.3.4.1
Integratie door substitutie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
6.3.4.2
Integratie door splitsing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
6.3.4.3
Partiële integratie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
6.3.5
Integratie van veeltermfuncties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
6.3.6
Integratie van een rationale breuk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
6.3.7
Integratie van goniometrische functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
6.3.8
Integratie van irrationale functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
7 Bepaalde integraal
7.1
7.2
Integraal van een trapfunctie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
7.1.1
Verdelingen van een interval en trapfuncties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
7.1.2
Integraal van een trapfunctie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
7.1.2.1
Definitie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
7.1.2.2
Eigenschappen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
7.1.2.3
Meetkundige interpretatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
Bepaalde integraal van een functie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
7.2.1
7.3
179
Uitbreiding van het begrip van bepaalde integraal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
Eigenschappen van de bepaalde integraal
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
7.3.1
Eigenschappen met betrekking tot het integratie-interval . . . . . . . . . . . . . . . 186
7.3.2
Eigenschappen met betrekking tot de functie zelf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
7.4
Middelwaardestelling van de integraalrekening . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
7.5
Bepaalde en onbepaalde integraal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
7.6
Berekenen van een bepaalde integraal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
INHOUDSOPGAVE
249
8 Oppervlakte- inhouds- en lengteberekening
197
8.1
Oppervlakteberekening . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
8.1.1
Oppervlakte van een vlakdeel ingesloten door de grafiek van een functie, de x-as
en twee evenwijdigen met de y-as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
8.1.2
De oppervlakte van een vlakdeel ingesloten door de grafieken van twee functies . . 199
8.1.3
De oppervlakte van een vlakdeel ingesloten door een kromme . . . . . . . . . . . . 202
8.2
Inhoudsberekening . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
8.3
Omwentelingslichamen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
8.4
Lengteberekening van krommen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
8.5
Manteloppervlakte van omwentelingslichamen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
9 Reeksontwikkelingen
231
9.1
Reële reeksen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
9.2
Machtreeksen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
9.3
Reeksontwikkeling van een functie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
9.4
Belangrijke functies ontwikkeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
9.5
Benaderen van functiewaarden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
9.6
Extrema en buigpunten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

Analyse deel II

Related documents

Products

Support

Analyse deel II

Related documents

Add this document to collection(s)

Add this document to saved

Suggest us how to improve StudyLib