Uittreksel boek Calculus 5e editie hoofdstuk 1 t/m 4

Uittreksel Meetkunde A
Inhoudsopgave
Voorwoord ..................................................................................................................... 2
1. Lijnen, lijnstukken en driehoeken............................................................................... 3
1.1 Elementaire begrippen ..................................................................................... 3
1.2 Bewijzen met congruentie................................................................................. 4
1.3 Doe meer met congruentie ............................................................................... 4
1.4 Evenwijdige lijnen ............................................................................................. 4
1.5 Gelijkvormige driehoeken ................................................................................. 5
2. Cirkeleigenschappen ................................................................................................. 6
2.1 De cirkel ........................................................................................................... 6
2.2 Hoeken en boegen ........................................................................................... 6
2.3 Hoeken binnen en buiten een cirkel .................................................................. 7
2.4 Lijnstukken in een cirkel ................................................................................... 7
3. Driehoeken, vierhoeken en cirkels ............................................................................. 8
M1 Definities en eigenschappen ................................................................................ 8
1. Instaptoets.......................................................................................................... 8
1-1 Driehoeken construeren ................................................................................... 8
1.2 Stellingen ......................................................................................................... 9
1.3 Een bewijs aanpakken...................................................................................... 9
1.4 Vierhoeken ....................................................................................................... 9
1.5 Met de computer .............................................................................................. 9
M2 Meetkundige plaatsen ........................................................................................ 10
2.1 (On)afhankelijke punten ................................................................................. 10
2.2 Middelloodlijnen.............................................................................................. 10
2.3 Deellijnen .................................................................................................... 10
2.4 Redeneren .................................................................................................. 11
2.5 Constueren ................................................................................................. 11
M3 Cirkeleigenschappen ......................................................................................... 12
3.1 Bogen, koorden en hoeken ............................................................................ 12
3.2 De constante hoek ...................................................................................... 12
3.3 Koordenvierhoeken ..................................................................................... 12
4. Afstanden, conflictlijnen en toepassingen ................................................................ 13
M4 Afstanden en gebieden ...................................................................................... 13
4.1 Afstand tot een gebied.................................................................................... 13
4.2 Iso-afstandslijnen ........................................................................................... 13
4.3. Op grotere afstand ........................................................................................ 14
4.4 Het binnenste punt ......................................................................................... 14
4.5 Verdelingsproblemen ..................................................................................... 14
M5 Conflictlijnen ...................................................................................................... 15
M5.1 Voronoi-diagrammen ................................................................................... 15
M5.2 Redeneren met Voronoi .............................................................................. 15
M5.3 Parabool ...................................................................................................... 15
M5.4 Ellips en hyperbool ...................................................................................... 15
M5.5 Van onbekend naar bekend......................................................................... 16
M6 Kegelsneden met toepassingen ......................................................................... 17
M6.1 Kegelsneden ............................................................................................... 17
M6.2 Raaklijneigenschappen kegelsneden .......................................................... 17
M6.3 Parabolische spiegels.................................................................................. 17
M6.4 Spiegels en golffronten ................................................................................ 18
H6.5 Raaklijnen en raakpunten ............................................................................ 18
Uittreksel Meetkunde A
5. Bewijzen blijft lastig! ................................................................................................ 20
M7 Ontdekken en bewijzen ...................................................................................... 20
Instap: de stelling van Pythagoras ........................................................................ 20
M7.1 Gelijke hoeken............................................................................................. 20
M7.2 Gelijke lengten............................................................................................. 20
M7.3 Drie tegelijk ................................................................................................. 21
M7.4 Cirkelbanen ................................................................................................. 21
M7.5 Bewijzen voor cirkels ................................................................................... 21
Toets .................................................................................................................... 21
M8 Meetkundige hoogtepunten................................................................................ 22
M8.1 Het punt van Torricelli.................................................................................. 22
M8.2 Stelling van Steiner-Lehmus ........................................................................ 22
H8.3 Vermoeden en bewijzen .............................................................................. 22
H8.4 De lijn van Wallace ...................................................................................... 23
H8.5 De negenpuntscirkel .................................................................................... 23
Voorwoord
Dit is een uittreksel van de module Meetkunde A. Het bevat alle begrippen en formules in de
volgorde zoals die in het boek aan bod komen.
Succes met de module Meetkunde A!
Bert Kraai
Versie 2.0
Blz. 2 van 23
Uittreksel Meetkunde A
1. Lijnen, lijnstukken en driehoeken
1.1 Elementaire begrippen
lijn = rechte lijn zonder eindpunten
halve lijn = lijn met één eindpunt
lijnstuk = lijn met twee eindpunten.
namen van lijnstukken met kleine letter, eindpunten met hoofdletters.
verlengde = rechte lijn die door het laatst genoemde eindpunt loopt.
som lijnstukken = lijn waarvan de lengte gelijk is aan de lengte van beide lijnstukken.
verschil lijnstukken = lijn waarvan de lengte gelijk is aan het eerst genoemde lijnstuk met
aftrek van het tweede. NB. het verschil kan niet negatief zijn!
hoek wordt gevormd door twee halve lijnen (de benen) die het eindpunt gemeenschappelijk
hebben. Aangeduid met een letter of door drie letters met het symbool  . Als er meerdere
hoeken hetzelfde eindpunt hebben: hoeken nummeren.
gestrekte hoek = 2 halve lijnen die in elkaars verlengde liggen = 180o.
rechte hoek = 2 halve lijnen die haaks op elkaar staan = helft van gestrekte hoek = 90o.
scherpe hoek= hoek die kleiner is dan 90o.
stompe hoek= hoek die groter is dan 90o.
1 graad = 60 minuten ('), 1 minuut = 60 seconden (").
Notatie: graden, minuten, seconden: 12o23'15".
nevenhoek = ze hebben 1 been gemeenschappelijk en de andere benen liggen in elkaars
verlengde.
overstaande hoek = X-hoek = beide benen liggen in elkaars verlengde.
hoeken zijn elkaars complement als ze samen 90o zijn.
hoeken zijn elkaars supplement als ze samen 180o zijn.
stelling = ware bewering van een eigenschap.
definitie = begripsomschrijving.
driehoek = figuur gevormd door drie lijnstukken die drie punten verbinden, die niet op een
rechte lijn liggen.
Elke driehoek heeft 6 elementen: de 3 zijden en de 3 hoeken.
Driehoek ABC kunnen we ook schrijven als ∆ABC.
Twee driehoeken heten congruent (  ) als de zijden en de hoeken van de ene driehoek gelijk
zijn aan de zijden en hoeken van de andere driehoek, waarbij tegenover gelijke zijden gelijke
hoeken staan. Ze zijn "kopieën van elkaar".
Met Z wordt Zijde bedoeld, H = hoek en R = rechte hoek.
De volgende driehoeken zijn congruent: ZZZ, ZHZ, HZH, ZHH, ZZR.
De volgende driehoeken hoeven NIET congruent te zijn: HZZ, HHH en ZZH.
De lengte van een lijnstuk wordt aangegeven met |AB|. De afstand van punt A tot punt B wordt
aangegeven met d(A,B). Er geldt dat |AB| = d(A,B).
Versie 2.0
Blz. 3 van 23
Uittreksel Meetkunde A
1.2 Bewijzen met congruentie
Structuur voor het opstellen van bewijzen
Gegeven:…
Te bewijzen:…
Bewijs:…
Enkele stellingen
 Driehoeksongelijkheid: elk tweetal zijden is samen groter dan de derde zijde.
 In gelijkbenige driehoeken staat de lijn van de top naar het midden van de basis loodrecht op
de basis.
 In gelijkbenige driehoeken zijn de basishoeken gelijk.
 Als in een driehoek 2 hoeken gelijk zijn, zijn ook de overstaande zijden gelijk (dus is de
driehoek een gelijkbenige driehoek).
 Als in een driehoek 2 hoogtelijnen gelijk zijn, is het een gelijkbenige driehoek.
1.3 Doe meer met congruentie
Deellijn = bissectrice = lijn die de hoek tussen 2 halve lijnen middendoor deelt.
Een zwaartelijn is het lijnstuk dat een hoekpunt van een driehoek verbindt met het midden van
de overstaande zijde.
Een hoogtelijn is het lijnstuk dat een hoekpunt loodrecht verbindt met een punt van de
overstaande zijde. Dit punt op de overstaande zijde noemen we het voetpunt.
De middelloodlijn van een lijnstuk AB is de lijn die loodrecht staat op AB en door het midden
van AB gaat.
Stelling
 De verzameling punten die gelijke afstand hebben tot punt A en punt B van lijnstuk AB
vormen samen de middelloodlijn van AB.
De zijde in een driehoek tegenover hoekpunt A wordt aangegeven met kleine letter a .
Deze zijde heet de overstaande zijde. Met ha , z a , d a worden respectievelijk de hoogtelijn, de
zwaartelijn en de deellijn van hoek A naar de overstaande zijde bedoeld.
1.4 Evenwijdige lijnen
Twee in één vlak gelegen lijnen l1 en l2 heten evenwijdig (symbool ll) als ze geen punt
gemeenschappelijk hebben.
Als twee evenwijdige lijnen worden gesneden door een derde lijn s in de punten A en B,
ontstaan er verscheidene hoeken. Overeenkomstige hoeken worden F-hoeken genoemd.
Verwisselde binnenhoeken worden Z-hoeken genoemd.
F-hoeken en Z-hoeken zijn gelijk.
Stellingen
 De som van de hoeken in een driehoek is 180o.
 Een buitenhoek van een driehoek is gelijk aan de som van de niet-aanliggende
binnenhoeken.
 Als twee lijnen door een derde lijn worden gesneden zodat twee overeenkomstige hoeken
(F-hoeken) gelijk zijn, zijn die lijnen evenwijdig.
 Als twee lijnen door een derde lijn worden gesneden zodat de verwisselde binnenhoeken (Zhoeken) gelijk zijn, zijn die lijnen evenwijdig.
Versie 2.0
Blz. 4 van 23
Uittreksel Meetkunde A
Bewijs uit het ongerijmde is een bewijs dat aantoont dat iets NIET anders KAN bestaan,
omdat het anders met zichzelf in tegenspraak is.
1.5 Gelijkvormige driehoeken
Twee driehoeken zijn gelijkvormig als  A =  A',  B =  B' (en  C=  C').
Let op: ze zijn al gelijkvormig als 2 hoeken aan elkaar gelijk zijn.
Het symbool voor gelijkvormigheid is ~. Verder geldt dat
| AB | | AC | | BC |
, zodat we


| A' B' | | A' C ' | | B' C ' |
kunnen zeggen dat de ene driehoek een vergroting of verkleining is van de andere.
Let op de volgorde van de hoeken bij het aanduiden van de driehoeken!
Stellingen
 Een binnenbissectrice verdeelt de overstaande zijde in twee stukken die zich verhouden als
de aangrenzende zijden (Deellijnstelling).
 Een punt op de bissectrice van een hoek heeft gelijke afstanden tot de benen van die hoek
en omgekeerd.
Versie 2.0
Blz. 5 van 23
Uittreksel Meetkunde A
2. Cirkeleigenschappen
2.1 De cirkel
Een cirkel is de verzameling punten die gelijke afstand hebben tot eenzelfde punt, het
middelpunt van de cirkel. De afstand van het middelpunt tot een punt van de cirkel heet de
straal. Met cirkel (M,r) wordt de cirkel aangegeven met middelpunt M en straal r. Als cirkels
hetzelfde middelpunt hebben, noemen we ze concentrisch.
Een koorde is een lijnstuk waarvan de eindpunten op de cirkel liggen.
Een middellijn is koorde waarop het middelpunt van de cirkel ligt.
Een raaklijn heeft één punt met de cirkel gemeenschappelijk. Dit punt wordt het raakpunt
genoemd. Het lijnstuk van middelpunt naar raakpunt heet voerstraal.
Stellingen
 Het middelpunt van een cirkel, die door de punten A en B gaat, ligt op de middelloodlijn van
AB.
 De loodlijn vanuit het middelpunt op een koorde deelt de koorde middendoor.
 Een raaklijn aan een cirkel staat loodrecht op de voerstraal en omgekeerd.
Twee cirkels raken elkaar als ze precies 1 punt gemeenschappelijk hebben. Dit raken kan zowel
uitwendig als inwendig zijn.
De cirkel binnen een driehoek die alle zijden raakt, heet de ingeschreven cirkel van driehoek
ABC.
De cirkel die alle hoekpunten raakt, heet de omgeschreven cirkel van driehoek ABC.
2.2 Hoeken en boegen
Een middelpuntshoek is een hoek waarvan het hoekpunt samenvalt met het middelpunt van
een cirkel. In de figuur op blz. 36 is  AMB een middelpuntshoek die staat op boog AB (afgekort
tot: bg AB).
Koorde AB onderspant bg AB. De grootte van een boog is gelijk aan de grootte van de
bijbehorende middelpuntshoek. (NB. dit is iets anders dan de booglengte: het gaat hier om de
mate van draaiing die bij zo'n boog hoort.)
Een omtrekshoek is een hoek waarvan het hoekpunt op de cirkel ligt en het ene been de cirkel
snijdt en het andere been de cirkel snijdt of raakt.
Stellingen
 Een omtrekshoek is gelijk aan de helft van de boog die binnen de hoek ligt.
 Een omtrekshoek op een middellijn is een rechte hoek.
Versie 2.0
Blz. 6 van 23
Uittreksel Meetkunde A
2.3 Hoeken binnen en buiten een cirkel
Een hoek waarvan het hoekpunt binnen een cirkel ligt, heet een binnenomtrekshoek.
Ligt het hoekpunt buiten een cirkel en snijden of raken de benen de cirkel, dan heet de hoek een
buitenomtrekshoek.
Stellingen
 Een binnenomtrekshoek is gelijk aan de halve som van de bogen die binnen de hoek en zijn
overstaande hoek liggen.
 Een buitenomtrekshoek is gelijk aan het halve verschil van de bogen die binnen de hoek
liggen.
Als van een vierhoek de hoekpunten op een cirkel liggen, heet de vierhoek een
koordenvierhoek. De som van de overstaande hoeken is dan steeds 180o.
Het omgekeerde geldt ook: als de som van de overstaande hoeken van een vierhoek 180o. is,
liggen de hoekpunten op een cirkel.
2.4 Lijnstukken in een cirkel
Als twee koorden elkaar snijden, ontstaan er vier lijnstukken. Met twee hulplijnen ontstaan er
gelijkvormige driehoeken. Dankzij deze gelijkvormigheid kunnen we de volgende stelling
bewijzen:
Stelling
 Als twee koorden elkaar snijden, is het product van de lijnstukken op de ene koorde gelijk
aan het product van de lijnstukken op de andere koorde.
Versie 2.0
Blz. 7 van 23
Uittreksel Meetkunde A
3. Driehoeken, vierhoeken en cirkels
M1 Definities en eigenschappen
1. Instaptoets
Definities en eigenschappen uit de instaptoets. Zie ook overzicht op blz. 270-274.
Vierhoek
 de som van de hoeken is 360o.
Trapezium
 1 paar evenwijdige zijden.
Symmetrisch trapezium
 trapezium met 1 symmetrieas.
 de diagonalen zijn even lang.
Vlieger
 2 paren gelijke aangrenzende zijden.
 de diagonalen staan loodrecht op elkaar.
Parallellogram: vierhoek waarvan de overstaande zijden evenwijzig zijn.
Alternatief: vierhoek waarvan de diagonalen elkaar middendoor delen.
 twee paren evenwijdige zijden
 twee paren gelijke overstaande zijden
 één paar evenwijdige èn gelijke overstaande zijden.
Ruit: vierhoek waarvan alle zijden even lang zijn.
Alternatief: vierhoek waarvan de diagonalen de hoeken middendoor delen 
de diagonalen zijn tevens de bissectrices.
 parallellogram waarin de diagonalen elkaar loodrecht snijden.
Rechthoek vierhoek met vier rechte hoeken.
 parallellogram met een rechte hoek.
 parallellogram met gelijke diagonalen.
1-1 Driehoeken construeren
Driehoeksongelijkheid: Als drie punten A, B en C niet op één lijn liggen dan geldt
| AB |  | BC || AC | .
Twee driehoeken zijn congruent als geldt dat overeenkomstige zijden en hoeken gelijk zijn. Er
zijn 5 congruentiegevallen:
 de drie zijden (ZZZ)
 twee zijden en de ingesloten hoek (ZHZ)
 een zijde en de twee aanliggende hoeken (HZH)
 een zijde, een aanliggende hoek en de overstaande hoek (ZHH)
 twee zijden en de rechte hoek tegenover een van de zijden (ZZR).
Versie 2.0
Blz. 8 van 23
Uittreksel Meetkunde A
1.2 Stellingen
Bewijsschema:
1. Gegeven: ……
2. Te bewijzen: ……
3. Bewijs: …… waarbij de bekende gegevens links onder elkaar komen te staan en rechts van
de accolade de conclusie.
(Nadere motivaties tussen haakjes erbij vermelden.)
De slotconclusie moet overeenkomen met hetgeen te bewijzen was.
Stelling van de buitenhoek
Voor elke driehoek geldt dat een buitenhoek gelijk is aan de som van de niet-aanliggende
binnenhoeken.
1.3 Een bewijs aanpakken
Een bewijs aanpakken
Stap 1 Probleem verkennen. Teken een analysefiguur.
Stap 2 Analyseer het probleem door
 vooruitdenken vanuit de verstrekte gegevens / figuur
 terugdenken vanuit het gevraagde bewijs
 opstellen van een stappenplan voor het bewijs.
Stap 3 Noteer het bewijs volgens het bewijsschema.
1.4 Vierhoeken
Bewijzen dat 2 lijnstukken gelijk zijn kan via het bewijzen van congruentie van driehoeken.
Bewijzen dat twee hoeken gelijk zijn kan m.b.v. F-hoeken, Z-hoeken, overstaande hoeken en
soms met behulp van de hoekensom.
Hoekensom driehoek: de som van de hoeken is 180o.
Hoekensom vierhoek: de som van de hoeken is 360o.
Sommige eigenschappen zijn equivalent of gelijkwaardig. Dit wordt genoteerd met  .
Voorbeeld:
 Een parallellogram is een vierhoek waarvan de overstaande zijden evenwijzig zijn.
 Een parallellogram is een vierhoek waarvan de overstaande zijden even lang zijn.
1.5 Met de computer
Versie 2.0
Blz. 9 van 23
Uittreksel Meetkunde A
M2 Meetkundige plaatsen
2.1 (On)afhankelijke punten
Stellingen
 De drie middelloodlijnen in een driehoek gaan door één punt.
 De drie bissectrices in een driehoek gaan door één punt.
 Het snijpunt van de drie middelloodlijnen van een driehoek is het middelpunt van een cirkel
die door de drie hoekpunten gaat = omgeschreven cirkel.
 Het snijpunt van de drie bissectrices van een driehoek is het middelpunt van een cirkel die
de drie zijden van de driehoek raakt = ingeschreven cirkel.
2.2 Middelloodlijnen
De middelloodlijn van een lijnstuk AB is de lijn die door het midden van AB gaat en daar
loodrecht op staat.
Stelling
 De verzameling punten die dezelfde afstand hebben tot twee gegeven punten A en B is de
middelloodlijn van lijnstuk AB.
Een verzameling van alle punten met eenzelfde eigenschap wordt meetkundige plaats of
puntverzameling genoemd.
Bij meetkundige plaatsen horen stellingen van de vorm:
P ligt op figuur F  P heeft eigenschap X.
Je moet zo'n stelling in twee richtingen bewijzen:
1. Als P op figuur F ligt, dan heeft P de eigenschap X, èn
2. Als P eigenschap X heeft, dan ligt P op figuur F.
Voorbeeld:
P ligt op cirkel c met middelpunt M en straal r  |PM|=r.
De omgeschreven cirkel van een driehoek ABC is de cirkel die door de punten A, B en C gaat.
Het middelpunt van de omgeschreven cirkel is het snijpunt van de middelloodlijnen van driehoek
ABC.
2.3 Deellijnen
Een deellijn of bissectrice is een halve lijn die een hoek middendoor deelt.
De afstand van een punt P tot een lijn l of AB wordt aangegeven met de notatie d(P,l) of
d(P,AB). De afstand tussen twee punten P en Q kan ook genoteerd worden als d(P,Q), maar
wordt meestal geschreven als |PQ|.
Stelling
De verzameling van alle punten binnen een hoek die dezelfde afstand hebben tot de benen van
die hoek, is de deellijn (bissectrice) van die hoek.
De ingeschreven cirkel van een driehoek heeft als middelpunt het snijpunt van de deellijnen
van de driehoek.
Als een lijn een cirkel in twee punten A en B snijdt, dan heet het verbindingslijnstuk AB een
koorde van de cirkel.
Versie 2.0
Blz. 10 van 23
Uittreksel Meetkunde A
Stelling
Een loodlijn vanuit het middelpunt op een koorde deelt die koorde middendoor.
2.4 Redeneren
Sommige stellingen kun je formuleren met de woorden "Als…, dan …".
Zo'n stelling is niet altijd omkeerbaar!
Een stelling van het type "Als X , dan Y" oftewel "X  Y" heet een implicatie.
Het omgekeerde van zo'n stelling ("als Y , dan X") is niet altijd waar.
Als het omgekeerde wel altijd waar is kan het symbool  gebruikt worden: "X  Y".
Een stelling die in twee richtingen waar is, heet een equivalentie.
De middenparallel is de lijn die evenwijdig loop aan de lijnen l en m en precies midden tussen
deze 2 lijnen in ligt.
De meetkundige plaats van punten met:
 een vaste afstand tot een punt
 gelijke afstand tot twee punten
 een vaste afstand tot een lijnstuk
 gelijke afstand tot 2 snijdende lijnen
 een vaste afstand tot een cirkel
 gelijke afstanden tot zijden van driehoek
cirkel met straal van vaste afstand
middelloodlijn
2 evenwijdige lijnen op de vaste afstand met 2
halve cirkels met straal van vaste afstand en
middelpunt de eindpunten.
2 bissectrices (staan haaks op elkaar)
uitwendige concentrische cirkel en eventueel ook
een inwendige.
3 evenwijdige lijnen op de vaste afstand met 3
cirkelbogen met straal van vaste afstand en
middelpunt de eindhoeken. Eventueel ook een
inwendige driehoek.
2.5 Constueren
Stelling
Een raaklijn aan een cirkel staat loodrecht op de verbindingslijn van middelpunt en raaklijn (=
voerstraal).
Punten construeren die aan meerdere voorwaarden voldoen
Stap 1 Splits de gegevens (voorwaarden).
Stap 2 Bepaal bij elk afzonderlijk gegeven de bijbehorende meetkundige plaats.
Stap 3 Teken deze meetkundige plaatsen.
Stap 4 De snijpunten van de meetkundige plaatsen zijn de gevraagde punten.
Versie 2.0
Blz. 11 van 23
Uittreksel Meetkunde A
M3 Cirkeleigenschappen
3.1 Bogen, koorden en hoeken
Een hoek waarvan het hoekpunt het middelpunt van een cirkel is, heet een middelpuntshoek
van die cirkel.
Een hoek C waarvan het hoekpunt C op de cirkel ligt en de benen de cirkel snijden, heet een
omtrekshoek.
Omdat een cirkelboog ook een draaiing om het middelpunt aangeeft, kun je een boog ook in
graden uitdrukken. Boog AB kun je afkorten tot bg AB.
Stellingen
 Elke omtrekshoek is half zo groot als de middelpuntshoek die op dezelfde boog staat.
 Gelijke bogen  gelijke koorden (koordenbogen).
 2 evenwijdige lijnen die een cirkel snijden  2 gelijke bogen tussen de 2 lijnen.
 de hoek tussen een raaklijn en een koorde is gelijk aan de bij die koorde behorende
omtrekshoek.
Vaak moet je eerst een hulplijn tekenen (door het middelpunt) om de eigenschappen van
middelpuntshoeken en omtrekshoeken te kunnen gebruiken.
3.2 De constante hoek
Stelling van Thales:
Hoek C in  ABC is recht  C ligt op de cirkel met middellijn AB.
Stellingen
 Het middelpunt van de omgeschreven cirkel is het midden van de schuine zijde van een
rechthoekige driehoek.
 De lengte van de zwaartelijn naar de schuine zijde van een rechthoekige driehoek is gelijk
aan de straal van de omgeschreven cirkel = de helft van de shuine zijde.
Stelling meetkundige plaats
De meetkunde plaats van de constante hoek van alle punten P die aan dezelfde kant van lijn
AB liggen als punt C met  APC =  ACB is de cirkelboog AB door C.
3.3 Koordenvierhoeken
Een koordenvierhoek is een vierhoek waarvan de hoekpunten op een cirkel liggen.
De zijden zijn koorden van de omgeschreven cirkel.
Koordenvierhoekstelling
ABCD een koordenvierhoek  de som van een paar overstaande hoeken is 180o.
Het middelpunt van de omgeschreven cirkel van een koordenvierhoek is het snijpunt van de
middelloodlijnen.
Opgave 21: 2 gelijke hoeken op een koorde leveren ook een koordenvierkant op. Beide hoeken
leveren namelijk een cirkelboog op (stelling meetkundige plaats constante hoek) en omdat deze
hoeken gelijk zijn is dit dezelfde cirkelboog.
Versie 2.0
Blz. 12 van 23
Uittreksel Meetkunde A
Opgave 29: een middelloodlijn AB en een bissectrice in hoek C gaan door punt S op de
omgeschreven cirkel. Ze snijden namelijk beide gelijke cirkelbogen af. Let op: omgekeerd
bewijzen: Eerst punt T bepalen op basis van gegeven en daarna aantonen dat de ligging van dit
punt gelijk moet zijn aan de ligging van punt S.
4. Afstanden, conflictlijnen en toepassingen
M4 Afstanden en gebieden
4.1 Afstand tot een gebied
De afstand van een punt P tot een gebied G is gelijk aan de straal van de kleinste cirkel om P
die met de rand van G tenminste één gemeenschappelijk punt heeft. Dit punt heet het voetpunt
van P op G.
Het voetpunt van een punt P op een gebied met een rechtlijnige rand is het eindpunt Q van het
loodlijnstuk uit P op de rand.
Het voetpunt van een punt P op een cirkelvormig gebied met middelpunt M is het snijpunt van
PM met de cirkel.
Een punt P buiten een gebied G dat begrensd is door lijnstukken en cirkelbogen heeft altijd
minstens één voetpunt op de rand van G. Het is echter niet zo dat elk punt op de rand van G als
voetpunt optreedt.
4.2 Iso-afstandslijnen
De iso-afstandslijn op afstand a van een gebied G is de verzameling van alle punten P
waarvoor geldt dat d(P,G) = a.
De iso-afstandslijn op afstand a wordt kortweg de iso-a-lijn genoemd.
Om de iso-afstandslijnen te tekenen, verdeel je eerst het buitengebied in sectoren. Elke sector
hoort bij een hoekpunt of bij een deel van de rand van het gebied. De sectorgrenzen zijn
meestal loodlijnen, middelloodlijnen, deellijnen en lijnen door het middelpunt van een cirkel en
een hoekpunt van het gebied. Vervolgens ga je bij elke sector na, welke vorm de isoafstandslijnen hebben.
Ervaringen:
Vorm grens gebied
lijnstuk
bolle cirkelboog met
middelpunt M
holle cirkelboog met
middelpunt N
hoek naar buiten
hoek naar binnen
(inham)
Versie 2.0
Sectorgrenzen bij deze vorm
haakse lijnen in eindpunten
haakse lijnen in eindpunten
cirkelboog
haakse lijnen in eindpunten
cirkelboog. Als holte is opgevuld de
middelloodlijn op de eindpunten.
haakse lijnen in eindpunten.
bissectrice in hoek, tot waar de
bissectrice snijdt met de
"middelloodlijn op het lijnstuk
tussen de hoekpunten".
vorm iso-afstandslijn
lijn
grotere cirkel met
middelpunt M
kleinere cirkel met
middelpunt N, totdat holte is
opgevuld.
cirkel met het hoekpunt als
middelpunt
eerst lijnstukken tot de
bissectrice de middelloodlijn
snijdt. Daarna verder met
de middelloodlijn.
Blz. 13 van 23
Uittreksel Meetkunde A
4.3. Op grotere afstand
Iso-afstandslijnen bestaan veelal uit cirkelbogen en rechte lijnstukken. In veel gevallen sluiten de
cirkelbogen soepel aan op de rechte lijnstukken zonder een knik te maken. Als een gebied een
inham heeft, dan hebben de iso-afstandslijenen vanaf een bepaalde afstand een knik omdat er
dan twee verschillende cirkelbogen bij elkaar komen.
Naarmate de afstand groter wordt, gaat de iso-afstandslijn als geheel meer op één cirkel lijken.
De totale lengte van de rechte lijnstukken blijft namelijk even groot of wordt kleiner (door
opvullen van holtes en inhammen), terwijl de totale lengte van de cirkelbogen toeneemt.
4.4 Het binnenste punt
Sommige gebieden hebben een 'gat'. In zo'n geval kun je iso-afstandslijnen in het gat tekenen.
Naarmate de afstand tot de rand van het gebied groter wordt, worden deze iso-afstandslijnen
juist korter.
In sommige gevallen krimpt de iso-afstandslijn zelfs in tot een punt.
Dit is het geval als de vierhoek een ingeschreven cirkel heeft, dus als:
 de bissectrices door 1 punt gaan
 de som van de lengtes van de overstaande zijden gelijk is.
In sommige veelhoeken is een punt M aan te wijzen dat even ver van elk van de zijden af ligt.
Dat punt is het middelpunt van de ingeschreven cirkel van de veelhoek en dus tevens het
snijpunt van de bissectrices.
Een vierhoek met deze eigenschap noemen we een raaklijnenvierhoek.
Als de twee raaklijnen vanuit een punt P buiten een cirkel die cirkel raken in de punten Q en R,
dan geldt |PQ|=|PR|. Hieruit volgt dat de som van de lengtes van de overstaande zijden gelijk is
voor een raaklijnenvierhoek.
Een vierhoek is koordenvierhoek EN raaklijnenvierhoek als het zowel een omgeschreven als
een ingeschreven cirkel heeft. Als het middelpunt van de omgeschreven en de ingeschreven
cirkel samenvallen, is de vierhoek een vierkant.
4.5 Verdelingsproblemen
De conflictlijn van twee gebieden G en H is de verzameling punten P waarvoor geldt dat
d(P,G)=d(P,H). Bij het zoeken naar de conflictlijn van twee gebieden G en H moet je goed letten
op de vorm van de randen van die gebieden.
Vorm van de grens
Rechte lijn (bv. kustlijn)
Twee evenwijdige rechte lijnen (bv. kanaal)
Hoek
Cirkel
Versie 2.0
Conflictlijn
Loodlijn op deze rechte lijn
Middenparallel
Bissectrice
(verlengde) straal van de cirkel
Blz. 14 van 23
Uittreksel Meetkunde A
M5 Conflictlijnen
M5.1 Voronoi-diagrammen
Een Voronoi-cel bij een centrum A is de verzameling punten die dichter bij A liggen dan bij
andere centra. De grenzen van een Voronoi-cel zijn (delen van) middellloodlijnen.
De figuur van alle grenzen bij gegeven centra heet Voronoi-diagram bij die centra. In plaats
van de term Voronoi-cel wordt in sommige vakgebieden ook de term Thiessen-polygoon
gebruikt.
Een drielandenpunt S is een punt van een Voronoi-diagram waarin drie Voronoi-cellen bij
elkaar komen. De drie centra liggen op één cirkel om S.
M5.2 Redeneren met Voronoi
Bij het redeneren met Voronoi-diagrammen spelen grootste lege cirkels een rol. Een grootste
lege cirkel is een cirkel waarbinnen geen centra van het Voronoi-diagram liggen, terwijl op deze
cirkel zelf minstens één centrum ligt.
M5.3 Parabool
De verzameling van alle punten P waarvoor geldt dat d(P,F) = d(P,r) is een parabool. Punt F is
het brandpunt (of focus) en de lijn r is de richtlijn van de parabool.
De conflictlijn van een punt F en een lijn r is dus een parabool.
Hoe constueer je een punt op de parabool met brandpunt F en richtlijn l?
1. Teken een punt V op l.
2. Teken de loodlijn op l in V.
3. Teken de middelloodlijn van VF.
4. Het snijpunt van deze tweelijnen is een punt P van de parabool.
M5.4 Ellips en hyperbool
1
Een ellips is de verzameling punten P bij een tweetal punten F1 en F2 waarvoor geldt: d(P, F1) +
d(P, F2) = k.
F1 en F2 heten de brandpunten van de ellips. De afstand tussen F1 en F2 heet de
brandpuntsafstand. De toppen van de ellips zijn de snijpunten van de ellips met de twee
symmetrieassen. De delen van deze assen die binnen de ellips vallen, heten de korte en lange
as.
2
Een ellips is de verzameling punten P bij een gegeven cirkel c(M,r) en een punt F binnen die
cirkel waarvoor geldt: d(P,F) = d(P,c). Een ellips is dus de conflictlijn van een cirkel c en een
punt F binnen die cirkel. M en F zijn de brandpunten van deze ellips. Cirkel c wordt een
richtcirkel van de ellips genoemd. De ellips heeft ook een tweede richtcirkel, namelijk cirkel
(F,r).
Deze twee definities zijn equivalent. De constante k uit definitie 1 is gelijk aan de straal r van de
richtcirkel uit definitie 2, en ook gelijk aan de lengte van de lange as.
F1 en F2 uit definitie 1 zijn M en F uit definitie 2.
Versie 2.0
Blz. 15 van 23
Uittreksel Meetkunde A
1
Een hyperbool is de verzameling punten P bij een tweetal punten F1 en F2 waarvoor geldt:
|d(P,F1) - d(P,F2)| = k.
F1 en F2 heten de brandpunten van de hyperbool. De snijpunten van lijn F1F2 met de hyperbool
heten de toppen van de hyperbool. De hyperbool bestaat uit twee takken.
2
Een hyperbooltak is de verzameling punten P bij een gegeven cirkel c(M,r) en een punt F
buiten de cirkel waarvoor geldt: d(P,F) = d(P,c). Het is de conflictlijn van een cirkel en een punt
erbuiten.
Cirkel c heet de richtcirkel van de hyperbooltak. Cirkel (F,r) is de richtcirkel van de andere tak.
F en M zijn de brandpunten van de hyperbool.
Straal r uit definitie 2 is gelijk aan de constante k uit definitie 1.
M5.5 Van onbekend naar bekend
conflictlijn van:
punt
lijn
cirkel
punt
middelloodlijn
lijn
parabool
bissectrices
cirkel
ellips of hyperbool
parabool
Bij twee gelijke cirkels: middelloodlijn op
beide middelpunten.
Twee cirkels buiten elkaar: hyperbool.
Twee cirkels in elkaar: ellips.
Als je de conflictlijn zoekt van twee gebieden, kun je vaak gebuik maken van gevallen die je
eerder bent tegengekomen.
Voorbeeld: conflictlijn cirkel met een lijn lijkt op conflictlijn tussen middelpunt van deze cirkel met
een evenwijdige lijn op de afstand "lijn + straal cirkel" vanaf het middelpunt.
Versie 2.0
Blz. 16 van 23
Uittreksel Meetkunde A
M6 Kegelsneden met toepassingen
M6.1 Kegelsneden
Door een punt S buiten een bol gaan oneindig veel raaklijnen aan de bol. Deze raaklijnen
vormen een kegel met top S. De raaklijnen liggen op een cirkel. S heeft gelijke afstanden tot
deze raakpunten.
(Analoog bij 2 dimensies:
Door een punt S buiten de cirkel gaan twee raaklijnen aan de cirkel. Deze raaklijnen vormen een
driehoek met top S. S heeft gelijke afstanden tot de raakpunten.)
De 'snijlijn' van een vlak V met een dubbele kegel kan een cirkel, ellips, hyperbool of een tweetal
snijdende lijnen zijn. Ellipsen, hyperbolen en parabolen worden daarom ook wel kegelsneden
genoemd.
Elke hyperbool heeft 2 asymptoten. Dit zijn de middelloodlijnen op de lijnstukken tussen
brandpunt en raakpunten aan de richtcirkel.
M6.2 Raaklijneigenschappen kegelsneden
Kegelsneden hebben grote overeenkomsten. Dat geldt ook wat betreft de eigenschappen van
hun raaklijnen.
De raaklijn in R aan de parabool maakt gelijke hoeken met de lijnen RF en RV, de lijn van R
naar het brandpunt F en de loodlijn in R op de richtlijn in voetpunt V.
De raaklijn in R aan de ellips respectievelijk hyperbool maakt gelijke hoeken met de lijnen RF1
en RF2, de lijnen van R naar de twee brandpunten F1 en F2.
Een cirkel is op te vatten als een ellips waarvan de beide brandpunten samenvallen.
De raaklijn in R aan een cirkel maakt gelijke hoeken het middelpunt M van deze cirkel, dus
180o/2 = 90o. De raaklijn aan een cirkel staat dus loodrecht op de voerstraal.
M6.3 Parabolische spiegels
De spiegelwet voor vlakke spiegels luidt: hoek van inval = hoek van terugkaatsing.
Een bundel lichtstralen die evenwijdig aan de symmetrieas op een parabolische spiegel valt,
wordt na terugkaatsing in het brandpunt geconcentreerd.
Omgekeerd wordt een bundel lichtstalen, uitgezonden vanuit het brandpunt van een
parabolische spiegel, gereflecteerd als lijnenbundel evenwijdig aan de as van de parabool.
Door een parabool te wentelen om de symmetrieas, ontstaat een ruimtelijke vorm: een
paraboloïde. Denk maar eens aan de koplamp van een fiets.
Een ellipsoïde en een hyperboloïde ontstaan door een elips respectievelijk hyperbool te
wentelen om de lijn door beide brandpunten.
Bij spiegelopdrachten gebruik je meestal een vlakke doorsnede door de as in plaats van de
ruimtelijke vorm.
Versie 2.0
Blz. 17 van 23
Uittreksel Meetkunde A
M6.4 Spiegels en golffronten
Bij spiegeling binnen een elipsoïde gaat de straal vanuit het ene brandpunt na terugkaatsing
door het andere brandpunt.
Bij spiegeling buiten op een elipsoïde gaat een straal richting het ene brandpunt na
terugkaatsing terug als kwam hij uit het andere brandpunt.
Bij spiegeling op een hyperboloïde gaat een straal vanuit het ene brandpunt na terugkaatsing
altijd terug als kwam hij uit het andere brandpunt.
Parabolische spiegels:
 stalen evenwijdig aan de as gaan na terugkaatsing door het brandpunt of lijken uit het
brandpunt te komen.
Elliptische en hyperbolische spiegels:
 stralen die door een brandpunt gaan of lijken te gaan, zullen na terugkaatsing door het
andere brandpunt gaan of lijken te gaan.
Bij alle spiegels geldt dat de teruggekaatste straal gevonden kan worden door het construeren
van de raaklijn in het trefpunt en vervolgens met hoek van inval = hoek van uitval de
teruggekaatste straal te tekenen.
Straling vanuit een energiebron breidt zich naar alle kanten steeds verder uit. Vergelijk
lichtstralen, geluidsgolven, watergolven. Op die manier onstaat een golffront dat zich
voortdurend verplaatst.
Bij een puntvormige energiebron is er sprake van een cirkel- of bolvormig golffront. De stralen
vanuit de bron staan op ieder moment loodrecht op het bijbehorende golffront en vormen samen
een bundel snijdende lijnen (snijpunt is de energiebron).
Als de bron op grote afstand ligt, is het golfront inmiddels bijna een rechte lijn of een vlak
geworden en zijn de stralen onderling min of meer evenwijdig.
Het is voor de ontvangstkwaliteit belangrijk dat stralen het ontvangstpunt gelijktijdig bereiken.
H6.5 Raaklijnen en raakpunten
Constueren van een raaklijn aan een parabool:
 Teken lijn PR || as van parabool
 Teken de richtlijn l
 Teken RF
 Teken de loodlijn vanuit P op l in V
 Teken de deellijn van  PRF.
 Teken de middelloodlijn VF
 Construeer de raaklijn door R  deze
deellijn.
Construeren van een raaklijn aan een ellips:
 Construeer de deellijn van  F1RF2

 Construeer de raaklijn door R  de

deellijn.

Construeer de richtcirkel
Verleng lijnstuk F1R in V op de cirkel
Teken de middelloodlijn VF2
Constueren van een raaklijn aan een hyperbool:
 Deellijn van  F1RF2 is de raaklijn.
 Construeer de richtcirkel
 Teken lijnstuk RF1 door V op de cirkel
 Teken de middelloodlijn VF2
Versie 2.0
Blz. 18 van 23
Uittreksel Meetkunde A
Topraaklijn is de raaklijn die een kegelsnede raakt in een top.
Als je de het brandpunt F en top T van een parabool weet, kun je de hele parabool als volgt
constueren:
 Kies een punt Q op de topraaklijn
 Teken een lijn met  FQR = 90o
 Teken een lijn evenwijdig aan de as van de parabool op afstand 2 * |QT|.
 Het snijpunt van deze 2 lijnen is punt R van de parabool.
Als de raakpunten van een punt P aan een parabool wilt bepalen, gaat dit als volgt:
 Teken een cirkel met straal ½ PF. Noem de snijpunten van de cirkel met de topraaklijn Q1 en
Q2.
 Bepaal de raakpunten volgens de werkwijze hierboven.
Als P op de richtlijn ligt, geldt dat de 2 raaklijnen elkaar loodrecht snijden.
Als je de brandpunten van een ellips kent en een top, kun je de hele ellips als volgt construeren.
 Teken de hoofdcirkel = cirkel die beide toppen van de lange as raakt (middelpunt van deze
cirkel is het midden van de beide brandpunten).
 Teken een richtcirkel in F1 met een straal gelijk aan de lange as.
 Kies een punt Q op de hoofdcirkel
 Teken een lijn met  F2QR = 90o
 Verleng de lijn F2Q en bepaal het snijpunt V met de richtcirkel en teken een lijn VF1.
 Het snijpunt van QR en VF1 is een punt R van de ellips.
Versie 2.0
Blz. 19 van 23
Uittreksel Meetkunde A
5. Bewijzen blijft lastig!
Wat mij opvalt in de bewijzen:
 Als een loodlijn is gegeven, kun je vaak iets doen met ZZR.
 Als een bissectrice is gegeven, kun je vaak iets doen met de hoekensom.
 Als evenwijdige lijnen gegeven zijn, kun je vaak iets doen met F- en Z-hoeken in combinatie
met de hoekensom.
 Als gelijke zijden gegeven zijn, kun je vaak iets doen met gelijke basishoeken.
 Als een middelpunt van de cirkel is gegeven, kun je vaak iets doen met gelijkbenige
driehoeken via dit middelpunt.
Als deze aanknopingspunten ontbreken, is vaak één van deze hulplijnen te tekenen om te
helpen bij de bewijsvoering.
M7 Ontdekken en bewijzen
Instap: de stelling van Pythagoras
Oppervlakte van een driehoek = ½ * hoogte * basis.
Oppervlakte trapezium = hoogte * gemiddelde van de evenwijdige zijden.
M7.1 Gelijke hoeken
Gelijke hoeken vind je in de volgende situaties;
1. in gelijkbenige driehoeken
(stelling gelijkbenige driehoek)
2. bij snijdende lijnen
(stelling overstaande hoeken)
3. in parallellogrammen
(stelling F-hoeken en Z-hoeken)
4. in cirkels bij gelijke koorden en bogen (stelling omtrekshoek)
5. in congruente driehoeken
(stelling congruente driehoeken)
6. in koordenvierhoeken
7. bij bissectrices.
Als je wilt bewijzen dat twee hoeken gelijk zijn, dan ga je eerst zoeken of er gelijke hoeken in de
figuur te vinden zijn. Soms kun je dit doel bereiken via een omweg, bv. hoek C als
tussenschakel in de volgende redenering:
 A =  C en  B =  C   A =  C.
M7.2 Gelijke lengten
Gelijke lengten komen voor in de volgende situaties:
1. in gelijkbenige driehoeken
(overstaande zijden van de basishoeken)
2. in parallellogrammen
(2 paar gelijke overstaande zijden)
3. bij rechthoeken, vliegers en ruiten
(overstaande resp. aanliggende resp. alle zijden),
bij diagonalen van vliegers
(horizontale diagonaal wordt middendoor gedeeld),
bij diagonalen van parallellogram, ruit en rechthoek
(delen elkaar middendoor) en bij
diagonalen van rechthoeken
(zijn even lang)
4. in congruente driehoeken
5. bij gelijke bogen of omtrekshoeken
(stelling boog en koorde)
6. bij meerdere stralen van dezelfde cirkel
7. bij zwaartelijnen
(op midden van overstaande zijde) en
bij middelloodlijnen
(delen lijnstuk middendoor)
Versie 2.0
Blz. 20 van 23
Uittreksel Meetkunde A
Een belangrijke stap bij het bewijzen van de gelijkheid van twee lengten is vaak:
 het bewijs van de congruentie van twee driehoeken, of:
 het bewijs van de gelijkheid van twee hoeken in een driehoek.
Probeer daarom eerst bekende situaties te ontdekken waarin gelijke hoeken optreden.
M7.3 Drie tegelijk
Bij opgave 13: De 3 loodlijnen van een driehoek gaan door 1 punt
De drie middelloodlijnen van een driehoek gaan door 1 punt. Door de middelpunten van ieder
lijnstuk met elkaar te verbinden, ontstaat opnieuw een inwendige driehoek, die gelijkvormig is
aan de eerste (alleen 4 keer zo klein). De loodlijnen van deze inwendige driehoek gaan door
hetzelfde punt als van de uitwendige driehoek. Dit geldt ook voor stomphoekige driehoeken,
alleen ligt dit snijpunt dan buiten beide driehoeken.
Ook de zwaartelijnen van een driehoek gaan door 1 punt. Om dat te bewijzen, hebben we
de volgende stelling nodig:
Als in driehoek ABC punt P het midden is van AC en punt Q het midden van BC, dan is PQ || AB
en |PQ| = ½|AB|.
Drie punten liggen op een rechte lijn als de hoek tussen de twee halve lijnen vanuit het
middelste punt een gestrekte hoek is (180o).
M7.4 Cirkelbanen
Het hoogtepunt H van een driehoek ABC doorloopt een evengrote cirkel als C de omgeschreven
cirkel ABC doorloopt. Het middelpunt van deze cirkel is het spiegelbeeld van punt M in de lijn
AB.
M7.5 Bewijzen voor cirkels
Als je wilt bewijzen dat een punt P een (deel van een) cirkel doorloopt, gebruik je vaak de
stelling van de constante hoek. Je bewijst dat de hoek waaronder een lijnstuk vanuit P gezien
wordt niet verandert. Dat lijnstuk is dan een koorde van de cirkel.
Toets
Uit opgave 4 blijkt dat deellijnen en hoogtelijnen met elkaar samenhangen.
De deellijnen van een omgeschreven driehoek vormen tevens de hoogtelijnen van de driehoek,
die gevormd wordt door de snijpunten van de deellijnen met de cirkel.
Versie 2.0
Blz. 21 van 23
Uittreksel Meetkunde A
M8 Meetkundige hoogtepunten
M8.1 Het punt van Torricelli
Bij bewijzen kun je analoge situaties tegenkomen. Geef een bewijs voor de eerste situatie. Als
je dat bewijs naar de analoge situatie kunt vertalen, dan heb je ook daarvoor het bewijs
geleverd.
Opgave 5: Bij een gelijkbenig trapezium vormen de hoekpunten een koordenvierhoek, want de
overstaande hoeken zijn 180o.
M8.2 Stelling van Steiner-Lehmus
In een indirect bewijs is altijd sprake van het elimineren van bepaalde situaties, zodat er maar
één mogelijkheid overblijft. Je bewijst die mogelijkheid dus niet rechtstreeks, maar via een
omweg.
1. Gevalsonderscheiding. Hierbij laat je zien dat twee van de drie (of drie van de vier)
mogelijke situaties tot een tegenspraak leiden.
Bij het voorbeeld in het boek:
de aannames |BC|=|BA| en |BC|<|BA leiden tot tegenspraak, dus moet |BC|>|BA|.
2. Bewijs uit het ongerijmde. In zo'n bewijs neem je aan dat de bewering niet juist is. Je toont
dan aan dat er in dat geval een tegenstrijdigheid optreedt met de gegevens.
Voor een implicatie betekent dit schematisch:
In plaats van:
A geldt
 B geldt
bewijs je
B geldt niet
 A geldt niet.
Eigenlijk gaat het dus om verschillend uitziende versies van dezelfde bewering.
3. Met een tegenvoorbeeld kun je een bewering weerleggen. Slechts één tegenvoorbeeld is
nodig om aan te tonen dat een bewering niet algemeen geldig is.
Voorbeeld:
Alle driehoeken zijn gelijkbenige driehoeken. Zodra je één driehoek vindt die niet gelijkbenig
is, wordt deze stelling verworpen.
Stellingen
 Als |AC| > |AB| dan is  B >  C (Lehmus).
 Als twee hoeken van een driehoek ongelijk zijn, heeft de grotere hoek een kortere deellijn
(Steiner).
H8.3 Vermoeden en bewijzen
Invalshoeken voor de bewijsaanpak
 vooruitdenken: tekenen van een analysefiguur en analyseren van de gegevens
 verkennen met behulp van Cabri
 terugdenken: analyseren van het gevraagde bewijs.
Versie 2.0
Blz. 22 van 23
Uittreksel Meetkunde A
H8.4 De lijn van Wallace
Stelling
Als punt S op de omgeschreven cirkel van driehoek ABC ligt, dan liggen de drie voetpunten van
S op één lijn (Wallace).
Hoe bewijs je dat drie punten A,B, C op één lijn liggen?
Neem aan dat B tussen A en C ligt. Dan zijn er twee manieren:
1. Bewijs dat de hoek tussen de halve lijnen BA en BC gestrekt is.
2. Bewijs dat de twee halve lijnen BA en BC een andere lijn door B onder dezelfde hoek
snijden.
H8.5 De negenpuntscirkel
Euler heeft bewezen dat de drie zwaartepunten en de drie voetpunten van hoogtepunt H van
een driehoek op een cirkel liggen.
Poncelet ontdekte bovendien dat deze cirkel ook door de middens van lijnstukken HA, HB en
HC gaat.
Hoe bewijs je dat drie lijnen (of cirkels) elkaar in één punt snijden?
Er zijn twee manieren:
1. Bewijs dat het snijpunt van twee lijnen (cirkels) ook op de derde lijn (cirkel) ligt.
2. Bewijs dat twee van de lijnen (cirkels) de derde in hetzelfde punt snijden.
Versie 2.0
Blz. 23 van 23