OPGAVEN en UITWERKINGEN

VAK: WISKUNDE - HWTK
WISKUNDE- HWTK PROEFTOETS- AT3 - OPGAVEN en UITWERKINGEN - EX 03 1.doc
Set Proeftoets – AT3
1/11
DIT EERST LEZEN EN VOORZIEN VAN NAAM EN LEERLINGNUMMER!
Beschikbare tijd: 100 minuten
Uw naam: ........................................... Klas: ........ Leerlingnummer: …………
Instructies voor het invullen van het antwoordblad.
1.
Dit open boek tentamen bestaat uit 10 opgaven.
2.
De antwoorden schrijft u op de door de school te verstrekken antwoordformulieren.
3.
Noteer op alle antwoordformulieren uw Naam, de Klas, het Vak, de Periode en de Set.
4.
Beantwoord de vragen zo volledig mogelijk. Vermeld bij rekenopgaven de berekening op de
antwoordformulieren.
5.
U mag tijdens het tentamen gebruik maken van:
- Een tabellenboek, zonder aantekeningen;
Toegestane boeken:
-
Een wiskundeboek naar keuze
-
Rekenmachine
6.
Direct na afloop van het tentamen levert u alle formulieren (vragenformulier,
antwoordbladen en kladpapier) in bij de docent(e).
7.
Puntenverdeling
1
10
Cijfer =
2
10
3
15
4
20
5
10
6
10
7
5
8
5
9
10
10
5
Aantal punten
10
Veel succes!
Vastgesteld dd.
WISKUNDE- HWTK PROEFTOETS- AT3 - OPGAVEN en UITWERKINGEN - EX 03 1.doc
2/11
VAK: WISKUNDE - HWTK
Set Proeftoets AT - 3
Vraag 1
10 punten
Gegeven is een 550 MW - productie-eenheid .Via metingen is het verband vastgesteld tussen het
vermogen P [MW] en het warmteverbruik [kJ/(kWh)] en dit kan nu worden weergegeven door
middel van een tweedegraads polynoom met formule:
WV = 0,0123 ⋅ P 2 − 12,317 ⋅ P + 11822 [kJ /(kWh )]
Gevraagd wordt door deze functie te differentiëren vast te stellen bij welk vermogen het
warmteverbruik het laagst is.
Uitwerking:
(
)
d WV d 0,0123 ⋅ P 2 − 12,317 ⋅ P + 11822
=
= 2 ⋅ 0,0123 ⋅ P − 12,317
dP
dP
De afgeleide is de richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de grafiek van de functie. Deze raaklijn
loopt evenwijdig met de x - as in het extreme punt, dus daar waar de functie zijn minimale waarde
d WV
bereikt. Zo geldt
= 2 ⋅ 0,0123 ⋅ P − 12,317 = 0
dP
Het vermogen waarbij het warmteverbruik van de eenheid minimaal is bedraagt dan
12,317
2 ⋅ 0,0123 ⋅ P = 12,317 , zodat P =
= 500,69 MW
0,0246
Beschouw nu ook onderstaande afbeelding waarop het verloop van het warmteverbruik als functie
van het door de eenheid geleverde vermogen is voorgesteld. De horizontale, gestippelde lijn, is
hierbij de bedoelde raaklijn.
Bepalen van de afgeleide levert
WISKUNDE- HWTK PROEFTOETS- AT3 - OPGAVEN en UITWERKINGEN - EX 03 1.doc
3/11
Vraag 2.
10 punten
Voor een veer geldt dat de benodigde kracht om de veer in te drukken gelijk is aan het product van
de indrukking en de stijfheidconstante van de veer.
Voor de benodigde kracht geldt dan F (u ) = k ⋅ u . Hierin is u de grootte van de indrukking. Zie nu
ook onderstaande afbeelding.
Gegeven is dat voor de indrukking over een afstand van 2 cm van een bepaalde veer een kracht
nodig is van 50 [N].
Bereken door integratie hoeveel arbeid er verricht moet worden om de veer over nog eens een
(extra) afstand van 0,02 in te drukken. (Voor alle duidelijkheid, de totale indrukking is daarna 4 cm.)
Uitwerking
Gegeven is de algemene vergelijking voor de benodigde kracht als functie van de mate van
indrukking van de veer.
F (u ) = k ⋅ u
Door de gegevens in te vullen voor de indrukking over de afstand van 2 cm kan de veerconstante
worden bepaald.
F (u ) = k ⋅ u levert na algebraïsche herschikking k =
50 [N ]
F (u )
N 
=
= 2500  
u
0,02 [m]
m
De hoeveelheid arbeid, gemoeid met het (iets) verder indrukken van de veer, bijvoorbeeld over een
afstand(je) du , bedraagt dan
dW = F (u ) ⋅ du = k ⋅ u ⋅ du
WISKUNDE- HWTK PROEFTOETS- AT3 - OPGAVEN en UITWERKINGEN - EX 03 1.doc
4/11
De volledige hoeveelheid arbeid wordt gevonden door bovenstaande vergelijking te integreren
tussen de begin- en eindindrukking van de veer. Zo volgt:
0 , 04
W =
{
0 , 02
}
 u 2  0,04 2500
u
⋅
du
=
k
⋅
=
⋅ 0,04 2 − 0,02 2 = 1,5 [Nm ]
 
∫0,02
2
 2  0,02
0 , 04
∫ dW = k ⋅
Vraag 3
15 punten
Van de meeste stoffen, zoals metalen, is de soortelijke warmte afhankelijk van de temperatuur. Zo
is bijvoorbeeld de soortelijke warmte [c] van roestvast staal:
 J 
c(t ) = u + v ⋅ t + w ⋅ t 2 
 , met u = 550 , v = 0,16 en w = 0,0009
 kg .K 
Bepaal nu door middel van integreren die hoeveelheid warmte, welke nodig is om 15 kilogram
roestvast staal van 20 °C omgevingstemperatuur op te warmten tot 530 °C.
Bepaal nu ook de gemiddelde soortelijke warmte van dit staal over het beschouwde opwarmtraject.
Uitwerking
Om het voorwerp slechts een kleine temperatuurverhoging te geven, is slechts een geringe
hoeveelheid warmte, dQ , nodig. Hiervoor geldt:
dQ = m ⋅ c ⋅ dt .
Merk op dat het hierbij van belang is te weten in welk temperatuurgebied deze kleine opwarming
dient te worden gerealiseerd. Dit omdat voor elke waarde van de temperatuur de waarde van de
soortelijke warmte verschillend is; deze is immers afhankelijk van de temperatuur.
Er kan nu achtereenvolgens genoteerd worden
530
Q1→2 = m ⋅ ∫ c(t ) ⋅ dt
20
∫ {u + v ⋅ t + w ⋅ t }⋅ dt
530
Q1→2 = m ⋅
2
20
v
w 

Q1→2 = m ⋅ u ⋅ t + ⋅ t 2 + ⋅ t 3 
2
3


530
20

0,16
0,0009
0,16
0,0009
 

Q1→2 = 15 ⋅ 550 ⋅ 530 +
⋅ 530 2 +
⋅ 530 3  − 550 ⋅ 20 +
⋅ 530 2 +
⋅ 20 3 
2
3
2
3
 


(
)
(
)
0,16
0,0009


Q1→2 = 15 ⋅ 550 ⋅ (530 − 20 ) +
⋅ 530 2 − 20 2 +
⋅ 530 3 − 20 3  = 5214000 [J ] = 5,214 [MJ ]
2
3


WISKUNDE- HWTK PROEFTOETS- AT3 - OPGAVEN en UITWERKINGEN - EX 03 1.doc
5/11
De gemiddelde soortelijke warmte volgt uit de vergelijking Q = m ⋅ c gem ⋅ ∆t
Na algebraïsche herschikking vinden we c gem =
 J 
Q
5214000
=
= 681,5  0 
m ⋅ ∆t 15 ⋅ (530 − 20)
 kg. C 
Vraag 4
15 punten
Bepaal de afgeleide van de volgende functies
a.
f ( x) =
b.
f ( x) =
c.
d.
1
7
x4
1
5
x3
f ( x) = cos 3 x ⋅ sin x
sin x
f ( x) =
cos x
Uitwerking
a.
Allereerst is het “handig” over te gaan op een andere schrijfwijze. Zo geldt ook f ( x) = x
De afgeleide kan eenvoudig worden bepaald met de standaardregel:
n −1
−
4
7
−
4
d f ( x) d x
Zo volgt x → n =⋅ x
dx
dx
n
4
11
4
11
−
4
7
−
3
5
4 − −1
4 −
4
4
= − ⋅x 7 = − ⋅x 7 = −
=−
7
11
7
7
7⋅ x
7 ⋅ x ⋅ 7 x4
d f ( x) d x 7
4 − −1
4 −
4
4
Zo volgt
=
= − ⋅x 7 = − ⋅x 7 = −
=−
dx
dx
7
7
7 ⋅ 7 x 11
7 ⋅ x ⋅ 7 x4
b.
Allereerst is het “handig” over te gaan op een andere schrijfwijze. Zo geldt ook f ( x) = x
De afgeleide kan eenvoudig worden bepaald met de standaardregel
x n → n ⋅ x n −1
−
d f ( x) d x
Zo volgt
=
dx
dx
c.
3
5
3
8
3 − −1
3 −
3
3
=− ⋅x 5 =− ⋅x 5 =−
=−
5
8
5
5
5⋅ x
5 ⋅ x ⋅ 5 x3
Voor de uitwerking van deze opdracht wordt gebruik gemaakt van de productregel en de
kettingregel.
(
)
(
)
d f ( x) d cos 3 x ⋅ sin x
d cos 3 x
d (sin x )
=
=
⋅ sin x + cos 3 x ⋅
dx
dx
dx
dx
WISKUNDE- HWTK PROEFTOETS- AT3 - OPGAVEN en UITWERKINGEN - EX 03 1.doc
6/11
(
)
(
)
d f ( x) d cos 3 x ⋅ sin x
d cos 3 x d cos x
d (sin x )
=
=
⋅
⋅ sin x + cos 3 x ⋅
dx
dx
d cos x
dx
dx
d f ( x)
= 3 ⋅ cos 2 x ⋅ − sin x ⋅ sin x + cos 3 x ⋅ cos x = cos 4 x − 3 ⋅ cos 2 x ⋅ sin 2 x
dx
d.
Voor de uitwerking van deze vraag bedenken we ons dat de functie ook geschreven kan
worden als
f ( x) =
sin x
1
= tan x . Dit nu is een standaardafgeleide, welke oplossing
heeft.
cos x
cos 2 x
Voor de volledigheid wordt deze hieronder uiteraard volledig uitgewerkt.
 sin x  d sin x
d cos x
d

⋅ cos x − sin x ⋅
2
2
d f ( x)
cos
x
 = dx
dx = cos x + sin x = 1 + tan 2 x = 1
= 
dx
dx
cos 2 x
cos 2 x
cos 2 x
Vraag 5
10 punten
Gegeven is de functie f ( x) = x 3 + 2 ⋅ x 2 − 1
Bereken de uiterste waarden van deze functie en onderzoek of het maxima of minima zijn.
Uitwerking
Allereerst wordt de afgeleide van de gegeven functie bepaald. Hieruit volgen dan de plaatsen van
de (lokale) extremen.
(
)
d f ( x) d x 3 + 2 ⋅ x 2 − 1
=
= 3⋅ x2 + 4 ⋅ x
dx
dx
Deze afgeleide is te beschouwen als de richtingscoëfficiënt van de raaklijn in elk van de punten (x,y)
op de grafiek.
Daar waar de richtingscoëfficiënt gelijk is aan nul (0), bereikt de functie een lokaal maximum of
minimum.
We stellen
3⋅ x2 + 4 ⋅ x = 0
1
x ⋅ (3 ⋅ x + 4) = 0 waaruit volgt dat moet gelden x = 0 of 3 ⋅ x + 4 = 0 , dus in dat geval geldt x = −1 .
3
WISKUNDE- HWTK PROEFTOETS- AT3 - OPGAVEN en UITWERKINGEN - EX 03 1.doc
7/11
Resumé:
-
De functie snijdt de y – as in het punt (0,−1)
Er is een extreem in (0,−1)
Er is een extreem in (− 1 13 , 275 )
De functie betreft een derde graadsfunctie en waarvan de tweede afgeleide gelijk is aan
d 2 f ( x)
= 6⋅ x + 4
dx 2
Daar waar deze tweede afgeleide gelijk is aan nul (0), bevindt zich het buigpunt in de grafiek van de
functie. Dit is de plaats waar de functie over gaat van convex naar concaaf.
Voor dit punt geldt: 6 ⋅ x + 4 = 0 , waaruit volgt dat x = − 23 .
)
De functiewaarde in dit punt bedraagt (− 23 ,− 11
27
Beschouw nu ook onderstaande afbeelding waarop de grafiek van de functie is weergegeven.
Hierop is duidelijk zichtbaar dat het punt
(− 1 13 , 275 ) een lokaal maximum en het punt (0,−1) en
lokaal minimum betreft. Voor de volledigheid wordt nog verwezen naar onderstaande afbeelding
waarop naast het verloop van de functie nu ook het verloop van de eerste en tweede afgeleide van
de functie zijn weergegeven.
WISKUNDE- HWTK PROEFTOETS- AT3 - OPGAVEN en UITWERKINGEN - EX 03 1.doc
8/11
Hierin is de rode lijn de grafiek van de functie, de groene lijn de grafiek van de eerste afgeleiden en
de gele lijn tenslotte de grafiek van de tweede afgeleide van de functie.
Vraag 6.
10 punten
Bereken de oppervlakte van het gebied wat beschreven wordt door de functie f ( x) =
1
, de x - as
x
en de lijnen x = 4 en x = 1
Uitwerking
Allereerst wordt met hulp van de gegevens een schets van de situatie bepaald. Die is weergegeven
op onderstaande afbeelding.
4
Zo berekenen we
1
∫ x dx
→ ln 4 − ln1 = 1, 39 − 0 = 1, 39
1
Vraag 7.
5 punten
x − 5⋅ x + 6
x 2 + 7 ⋅ x − 30
2
Bereken de volgende limiet, lim
x →3
Uitwerking
0
.We kunnen nu
0
zowel gebruik maken van de methode van het uitvoeren van een staartdeling (we weten immers
dat beide termen, de teller en de noemer, deelbaar zijn door de term (x - 3), als de methode van de
a – b – c – formule.
Door de waarde x = 3 in de teller en de noemer in te vullen, ontstaat de term
In beide gevallen kan geschreven worden
lim
x →3
x2 − 5 ⋅ x + 6
(x − 3) ⋅ (x − 2) = lim (x − 2) = 1
= lim
2
x + 7 ⋅ x − 30 x→3 ( x − 3) ⋅ ( x + 10) x →3 (x + 10) 13
WISKUNDE- HWTK PROEFTOETS- AT3 - OPGAVEN en UITWERKINGEN - EX 03 1.doc
9/11
Vraag 8
5 punten
Bereken de volgende integralen
a.
b.
∫ sin x ⋅ cos xdx
∫ x dx
0 ,1
Uitwerking
a.
Voor de uitwerking van deze integraal gaan we over op een andere integratieconstante.
Beschouw hiertoe apart:
d sin x
= cos x
dx
Hieruit blijkt dat geldt
dx =
d sin x
cos x
Dit resultaat wordt nu in de oorspronkelijke vorm ingevuld
∫ sin x ⋅ cos x dx = ∫ sin x ⋅ cos x ⋅
b.
d sin x
1
= ∫ sin x ⋅ d sin x = ⋅ sin 2 x + C
cos x
2
Voor de uitwerking van deze integraal maken we gebruik van de standaard rekenregel:
n
∫ x dx =
1
⋅x
n +1
n +1
+C
11
1
10
0 ,1+1
∫ x dx = 1 + 0,1 ⋅ x + C = 11 ⋅ x 10 + C
0 ,1
Vraag 9.
10 punten
Bereken de oppervlakte van het gebied wat beschreven wordt door de functie f ( x) = cos x , de
lijnen x = 0 en x = π.
Uitwerking
Bij het bepalen van de oplossing van dit soort vraagstukken verdient het aanbeveling allereerst een
(eenvoudige) schets te maken van het te integreren oppervlak. Beschouw daartoe nu eerst
onderstaande afbeelding.
Hierop is te zien dat het gevraagde oppervlak voor de helft boven en voor de helft onder de x – as
ligt. Zou nu de functie, zonder hierbij na te denken, geïntegreerd worden tussen de gegeven
grenswaarden, zal het antwoord nul (0) bedragen.
WISKUNDE- HWTK PROEFTOETS- AT3 - OPGAVEN en UITWERKINGEN - EX 03 1.doc
10/11
Daarom wordt berekend:
π
π
2
2
0
π
Oppervlak totaal = ∫ cos xdx + ∫ cos xdx ,
maar ook kan natuurlijk
π
2
Oppervlak totaal = 2 ⋅ ∫ cos xdx
0
Wij zullen hier kiezen voor de laatste vorm.
π
π
2
 π 

Oppervlak totaal = 2 ⋅ ∫ cos xdx = 2 ⋅ [sin x ] = 2 ⋅ sin  − sin (0) = 2 ⋅ [1 − 0] = 2
0
 2

0
2
Vraag 10
5 punten.
Bepaal de afgeleide van de functie f ( x) = ln( x)
Uitwerking
Bij de uitwerking van dergelijke vraagstukken dient men best eerst de te differentiëren vorm, zo
mogelijk, te vereenvoudigen.
Zo is f ( x) = ln( x) = (ln( x) ) 2
1
We maken gebruik van de kettingregel, welke zegt
1 1
d f ( x) d (ln( x) ) 2 d (ln( x) ) 2 d ln( x) 1
1
−
=
=
⋅
= ⋅ (ln( x) ) 2 ⋅ =
dx
dx
d ln( x)
dx
2
x 2 ⋅ x ⋅ ln( x)
1
1
WISKUNDE- HWTK PROEFTOETS- AT3 - OPGAVEN en UITWERKINGEN - EX 03 1.doc
11/11