Bewerkingen met getallen
advertisement
Memoriseren Automatiseren Met het hoofd rekenen Hoofdbewerkingen met gehele getallen en decimale getallen Rekenen met breuken Berekeningen uitvoeren om problemen op te lossen Rekenmachine op verstandige wijze inzetten Berekeningen met gehele getallen, breuken en decimale getallen Elke bijeenkomst starten met basisvaardigheden en tafeldictee Optellen / aftrekken tot 20 behoort volledig geautomatiseerd te zijn. Optellen / aftrekken in het rekengebied tot 100 moet uit het hoofd met behulp van rijg- en splitsstrategieën. De eerste keren is het verstandig om de strategieën nog even door te nemen. Week 1: Het rekensysteem met de eigenschappen (commutatieve, associatieve) + voorrangsregels. Week 2: Schattend rekenen en cijferen Week 3: Breuken rekenen Week 4: Formulegebruik en rekenmachine inzetten Week 5: Breuken omzetten in decimale getallen en rekenen met decimale getallen Week 6: Herhaling. Week 1: Rekenvaardigheid ontwikkelen begint bij het automatiseren van de basisvaardigheden en verdieping van het inzicht in de verschillende rekenstrategieën. Basisvaardigheden Onder basisvaardigheden verstaan we het rekenen tot 10, tot 20, tot 100 en de tafels tot 10 (beter nog tot 12). Ook de kwadraten tot 20 behoren tot de standaarduitrusting. Het rekenen tot 20 en de tafels moeten zodanig geautomatiseerd zijn, dat men meteen de antwoorden weet op sommen uit die categorieën. Het rekenen tot 100 moet snel en uit het hoofd gedaan worden met een strategie. Begin elke les met een automatiseeroefening, zoals een auditief tafeldictee of een blad met automatiseeroefeningen. Start: Auditief tafeldictee op tijd 1. 4x7 2. 7x6 3. 6x8 4. 9x6 5. 8x9 (1 - 10: 3 sec. per som en 11 - 15: 5 sec per som) 6. 7x5 11. 12 x 7 7. 8x7 12. 9 x 19 8. 3x8 13. 4 x 28 9. 7x9 14 21 x 16 10. 9x8 15. 39 x 11 Bespreking: 1 – 10 behoort standaard te zijn. (Te oefenen met Canadees vermenigvuldigen; zie www.rekenweb.nl Nationale Rekendagen – practicum 2005 – Canadees vermenigvuldigen). 11 – 15; bespreken aan de hand van eigenschappen: splitsen, verwisselen, 1 keer meer/minder en verdubbelen / halveren Automatiseringsoefening: ( 1 – 5: 10 sec.; 6 – 10: 15 sec.; 11 – 15: 20 sec.) 1. 17 – 8 6. 23 + 16 11. 59 - 24 2. 12 + 6 7. 32 + 27 12. 87 - 64 3. 19 - 12 8. 56 + 42 13. 54 - 28 4. 13 + 5 9. 36 + 47 14 62 - 46 5. 14 - 9 10. 68 + 23 15. 73 - 37 Bespreking: 1 – 5 : erop wijzen dat het tweede getal gesplitst kan worden, maar deze opgaven moeten uiteindelijk geheel geautomatiseerd zijn. 6 – 15: over ronde getallen of met ronde getallen rekenen. Of tweede splitsen in tienen en enen. Als model kan hierbij gebruikt worden de lege getallenlijn, waarop de opgaven geïllustreerd worden door te springen. Zie voorbeeld (uit Wikirekenwiskundeonderwijs) de opgave 65 – 38 op twee niveaus uitgewerkt: Bewerkingen met getallen Optellen en aftrekken. Optellen: 5 + 3 =……; 37 + 22 = ……; 163 + 0 = ……: Aftrekken is aanvullend optellen: 5 + …. = 8. Aftrekken noteer je zo: 8 – 5 = … Elke aftrekking is te controleren met een optelling: 16 – 9 = 7, want 7 + 9 = 16 Optellen en aftrekken zijn omgekeerde bewerkingen, dat wil zeggen de ene is te controleren met de andere bewerking. Vermenigvuldigen en delen. Vermenigvuldigen is een verkorte schrijfwijze van een herhaalde optelling: 7 + 7 + 7 = 3 x 7 en 15 + 15 + 15 + 15 + 15 + 15 = 6 x 15 Vermenigvuldigen: 3 x 7 = …. Delen begint met invullen van het juiste getal: 3 x ….. = 24. Delen noteer je zo: 24 : 3 = … Elke deling is te controleren met een vermenigvuldiging: 36 : 4 = 9 want 9 x 4 = 36 Vermenigvuldigen en delen zijn omgekeerde bewerkingen. Machtsverheffen: Machtsverheffen is een verkorte schrijfwijze van een herhaalde vermenigvuldiging: 3 x 3 x 3 x 3 = 34 = 81; 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 = 106 is 1 miljoen Machtsverheffen: 34 = 81; 7³ = 343 . Je rekent dit uit via de bijbehorende vermenigvuldiging, dus 7³ = 7 x 7 x 7 = 49 x 7 = 343 (via 50 x 7 – 7; zie strategieën). Apart noemen we een getal maal zichzelf, bijvoorbeeld 13 x 13 = 13² = 169. Dit is het kwadraat van 13. Dus de tweede macht van een getal wordt meestal kwadraat genoemd. Rekenstrategieën bij de verschillende bewerkingen Optelstrategieën: 68 + 16 = 68 + 10+ 6 = 78 + 6 = 84 (door eerst een gemakkelijk getal erbij op te tellen, dus een splitsing van 16 in 10 en 6) 68 + 16 = 68 + 2 + 14 = 70 + 14 = 84 (door splitsing van 16 in 2 en 14 om zo een mooi rond getal te krijgen en daarbij 14 op te tellen) 68 + 16 = 68 + 12 + 4 = 80 + 4 = 84 (door splitsing van 16 in 12 en 4 het tiental volmaken tot 80 plus de rest) 12 + 39 = 39 + 12 = 39 + 10 + 2 = 49 + 2 = 51 (wisselen, zodat het grootste getal vooraan staat dan 12 splitsen in een rond getal plus de rest) Of na wisseling een van de andere strategieën gebruiken 72 + 19 = 72 + 20 – 1 = 92 – 1 = 91 (het dichtstbijzijnde mooie getal nemen en kijken hoe je een teveel of tekort moet herstellen; hier één teveel erbij opgeteld, dus min één) Aftrekstrategieën: 78 – 19 = 78 – 10 –9 = 68 –9 = 68 – 8 – 1 = 60 – 1 = 59 (eerst 10 aftrekken, dan 9 splitsen in een handig getal en de rest.) 78 – 19 = 78 – 18 –1 = 60 – 1 = 59 (een handig getal nemen om af te trekken en aanvullen wat er nog gedaan moet worden; hier nog één aftrekken) 78 – 19 = 78 – 20 + 1 = 58 + 1 = 59 (een mooi rond getal nemen en kijken hoe je een teveel of tekort moet herstellen; hier één teveel afgetrokken, dus weer één erbij opgeteld) 47 – 28 = 47 – 27 – 1 = 20 – 1 = 19 (handig om hier 27 af te trekken, dan nog: –1 ) 52 – 15 = 52 – 12 – 3 = 40 – 3 = 37 (net zo als de vorige); of 52 – 15 = 52 – 10 – 5 = 42 – 5 = 37 Let op: ga niet teveel veranderen aan de som, dat vraagt teveel van je werkgeheugen! Vermenigvuldigstrategieën: 12 x 6 = 6 x 12 = 5 x 12 + 1 x 12 = 60 + 12 = 72 (splitsen van 6 en beide vermenigvuldigen met 12). Of 12 x 6 = 10 x 6 + 2 x 6 (splitsen van 12 in 10 en 2 en beide vermenigvuldigen met 6) Bij 11 x 18 is het handig om te rekenen via 10 x 18 plus 1 x 18. Dus hier 180 + 18 = 198 Net zoiets bij 9 x 23. Die reken je via 10 x 23 – 1 x 23 = 230 –23 = 217. (Dit is de éénmaal meer / minder strategie) Hier kan dat ook: 39 x 7 = 40 x 7 – 1 x 7 = 280 – 7 = 273 27 x 11 = 11 x 27 = net als boven: 10 x 27 + 1 x 27 = 297 (omkeerstrategie; bedenk dat 27 groepjes van 11 hetzelfde totaal geeft als 11 groepjes van 27. Denk maar aan een badkamermuur met 11 rijtjes van elk 27 tegels ) De volgende: 5 x 27 kan je eenvoudig uitrekenen via 10 x 27 en dan het antwoord delen door 2 . Iets dergelijks kan ook met het uitrekenen van 4 x 36; dat kan via 2 x 36 en dan verdubbelen. ( Verdubbelings- / halveringsstrategie) Handig rekenen: Kijk goed: 16 x 8 = 32 x 4 = 64 x 2 = 128 (een verdubbelen; ander halveren) 16 groepjes van 8 komt overeen met 32 groepjes van 4 enz. Vandaar dat dit kan bij vermenigvuldigen. Deelstrategieën: En onthoud: een deling is altijd te controleren met een vermenigvuldiging. 98 : 2 = bijna 100 : 2 dus 98 : 2 = 50 – 1 = 49. Anders: 98 : 2 = (100 – 2) : 2 = de helft van (100 – 2) = 50 – 1 = 49 En de controle: 49 x 2 = 98. Dus ’t klopt. 56 : 14 = 28 : 7 = 4 . Allebei de getallen delen door 2 geeft hetzelfde antwoord. Dat geldt altijd bij delingen, als je telkens maar hetzelfde getal neemt om te delen of te vermenigvuldigen. Stel dat je 18 appels verdeelt over 6 kinderen ( 18 : 6 ), dan kan je ook twee groepjes van 9 appels verdelen over twee groepjes van 3 kinderen; 9 : 3. Conclusie: 18 : 6 = 9 : 3 Beide getallen delen door 2. 65 : 13 = ?? “Speel eens wat met 65: verdubbeling geeft 130 en dat is 10 keer 13; dus 65 : 13 = 5. Misschien zie je wel dat 13 het dubbele is van 6,5, dan zie je het ook snel. 65 : 6,5 = 10, maar je deelt door een getal dat tweemaal zo groot is, dus het antwoord is tweemaal zo klein. Controleren via de vermenigvuldiging: 5 x 13 = 65 want dat is de helft van 10 x 13 Ook bij kommagetallen en breuken is het handig om eerst te kijken: 1 24 : 0,8 = 240 : 8 = 30 (beide getallen x 10); 42 : 3 84 : 7 = 12 (beide getallen x 2) 2 De volgorden van bewerkingen Als er in een opgave meerdere bewerkingen voorkomen is de volgorde van berekenen als volgt: eerst machtsverheffen, dan vermenigvuldigen en delen, dan optellen en aftrekken in de volgorde zoals het staat. Deze volgorde kan alleen gewijzigd worden door het gebruik van haakjes. Tussen haakjes eerst uitrekenen volgens de eerder genoemde volgorde. Dus: 23 + 7 x 8 = 23 + 56 = 79 en niet: 30 x 8 = 240 15 – 7 + 21 = 8 + 21 = 29 en niet: 15 – 28 = -13 Voorbeelden: 1. 36 + 4 x 12 = 36 + 48 = 84 2. 6 x ( 3 + 5² ) = 6 x ( 3 + 25) = 6 x 28 = 168 3. 5 + 3( 2 x 5³ - 36) = 5 + 3( 2 x 125 – 36) = 5 + 3( 250 – 36) = 5 + 3 x 214 = 5 + 642 = 647 Eigenschappen Commutatieve eigenschap ( wisseleigenschap): Bij optellen:15 + 28 = 28 + 15 ; de volgorde mag verwisseld worden. Algemeen in letters: a + b = b + a (eerste getal plus tweede getal = tweede getal plus eerste getal) Bij vermenigvuldigen: 12 x 7 = 7 x 12 ; hier ook verwisseling van de volgorde. Algemeen in letters a x b = b x a De wisseleigenschap geldt voor optellen en vermenigvuldigen. Let op: niet voor aftrekken en delen. Kijk maar: Bij aftrekken 16 – 9 = 7 en 9 – 16 = -7 antwoorden zijn elkaars tegengestelde Bij delen 24 : 6 = 4 en 6 : 24 = ¼ antwoorden zijn elkaars omgekeerde Associatieve eigenschap (schakeleigenschap) : Bij optellen: 37 + 75 + 25 = 37 + 100 = 137; je “parkeert” even 37 en telt de volgende twee eerst op; dan tel je dat bij 37 op. Algemeen in letters:( a + b ) + c = a + ( b + c) Voorbeeld: ( 73 + 98) + 2 = 73 + (98 + 2) = 73 + 100 = 173 Bij vermenigvuldigen iets soortgelijks 8 x 4 x 25 = 18 x 100 = 1800. Algemeen in letters: ( a x b) x c = a x (b x c ) Voorbeeld: (17 x 8) x 12,5 = 17 x (8 x 12,5 ) = 17 x 100 = 1700 Gebruik de opgedane kennis bij de volgende vraagstukken. Kijk eerst welke aanpak handig is. Automatiseren: reken (niet cijferend, maar handig rekenend) uit: 1. 6798 + 1002 = 2. 3425 – 998 = 3. 88 x 36 + 36 x 12 = 1 4. 29 x 33 x 3 = 3 5. 6837 + 585 + 2163 = 6. (10 + 15 x 6 ) : 4 = 7. 7 x 3² + 1284 + 37 = 8. 27 : 0,09 = 9. 11 3 = 2 1 10. 2 5 5 2 Contextsommen 1. De buurtsuper krijgt een aantal pallets met wasmiddel om de voorraad aan te vullen. Men had nog 67 pakken en er worden 24 pallets afgeleverd met elk 36 pakken. Hoe groot is de voorraad van de buurtsuper na aflevering van de pallets? 2. Bij darten is de start 501 punten en wordt elke score afgetrokken tot je precies op 0 uitkomt. Bram staat op 378 en gooit in de volgende beurt met zijn drie pijltjes 17, 20 en 15. Wat is zijn stand aan het begin van de volgende beurt? 3. Aan het eind van de maand krijg ik mijn loon als vakkenvuller bij de buurtsuper. Ik heb deze maand 28 uur en een kwartier gewerkt. Mijn uurloon is € 4,30. verder krijg ik als bonus een eenmalige uitkering van € 17,50. Wat krijg ik aan het eind van die maand? 4. Mijn scooter rijdt 1 op 28. Ik heb deze week 425 km gereden. De benzineprijs was € 1, 79 per liter. Wat was ik deze week kwijt aan de brandstof? 5. Telefoonaanbieder Adios heeft een starttarief van € 0, 36 en rekent per minuut (of gedeelte ervan) € 0,16 ; voor telefoonaanbieder Bellenmaar gelden de volgende bedragen: starttarief € 0,24 en per minuut of gedeelte ervan € 0,18. Ik bel gemiddeld 840 minuten over 124 gesprekken. Bij welke aanbieder ben ik het goedkoopste uit? 6. Sandra gaat op haar fiets naar de stad. Ze heeft wind mee en rijdt met een gemiddelde snelheid van 24 km/uur. Op de terugweg heeft ze wind tegen en rijdt zodoende slechts gemiddeld 16 km/uur. Wat is de gemiddelde snelheid over de heen- en terugweg gezamenlijk? (Denk er niet te gemakkelijk over!) 7. In een rol pepermunt zitten 15 pepermuntjes. Er gaan 320 rollen in een doos en er staan 60 dozen op een pallet. In een vrachtwagen staan 48 pallets. Hoeveel pepermuntjes zitten er eigenlijk in zo’n vrachtwagen? 8. Tijdens het tennistoernooi op Wimbledon doen 256 deelnemers mee. Er spelen telkens 2 spelers tegen elkaar; de verliezer valt af en de winnaar gaat naar de volgende ronde. Het laatste tweetal speelt de finale, waaruit de winnaar tevoorschijn komt. Hoeveel wedstrijden zijn er tijdens dat toernooi? 9. Week 2: Schattend rekenen Start met automatiseeroefening 8 rijtjes in 2 minuten 7+5 4+3 2+6 3+9 4+4 12 + 7 14 + 3 5 + 12 3 + 17 6 + 15 7–4 8–6 9–8 11 – 7 12 – 2 18 – 9 17 – 12 14 – 8 16 – 7 15 – 13 4x9 8x3 3x7 9x2 7x5 8x6 6x9 7x8 9x5 6x7 24 : 4 32 : 8 36 : 6 18 : 2 42 : 7 63 : 7 54 : 9 56 : 8 48 : 6 72 : 9 In sommige gevallen is het niet zo belangrijk om een uitkomst precies te weten. Je weet dan voldoende als je ongeveer het antwoord weet. Heb ik voldoende geld om dit te kopen, heb ik voldoende behang voor deze kamer, heb ik genoeg nummers voor een avondje muziek. Bij deze berekeningen gebruik je het teken (is ongeveer gelijk aan). Voorbeeld Je bent in een winkel en hebt zojuist 2 DVD’s uitgezocht van €12,95 per stuk. Daarnaast heb je ook een leuke CD gevonden voor €4,99. Bij de kassa zie je nog een single liggen die je bij aankopen boven de €25,- mee kunt nemen voor €3,-. Je hebt €35 euro bij je. Is dat genoeg om ook deze single nog te kunnen kopen? Bij dit voorbeeld is het niet nodig om exact het totaalbedrag te weten. Je kunt net doen alsof de DVD’s €13,- kosten en de CD €5,-. Je bent dan ongeveer €34,- kwijt als je de single erbij neemt. Berekening: 2 12,95 4,99 3 2 13 5 3 34 . Zelfs als je dus een beetje te ruim rekent, heb je nog genoeg voor de single. Het komt dus niet aan op die laatste paar centen. Schattend rekenen kun je op diverse manieren doen en komt meestal neer op het groter of kleiner maken van de getallen, bijvoorbeeld door handig af te ronden, of door een mooi getal te kiezen wat in de buurt ligt. Een derde manier is het handig groeperen van getallen. Manier 1: Afronden Wanneer het niet nodig is om een precies antwoord te geven, bespaar je jezelf een hoop rekenwerk wanneer je getallen afrondt. Je hebt dat gezien in het voorbeeld. Afronden hoeft niet alleen op helen, maar kan bijvoorbeeld ook op honderdtallen of tientallen. Hieronder staat nog een aantal opgaven om te oefenen. Opgave 1: Bereken schattend. Geef ook aan hoe je hebt gerekend. 2,95 4,92 a. f. g. 3,05 5,98 b. h. 21,89 63,08 c. i. 22,91 19,03 d. j. e. 71 19 302 894 3021 89 232 169 6,02 6,91 1,95 4,92 Manier 2: Getal in de buurt Soms zijn de getallen waar je mee moet rekenen onhandige getallen. Zoals in het product 79 81. Voor schattend rekenen kun je ook prima uit de voeten met het product 80 80 6400 . Je gaat dus zoeken naar mooie getallen die in de buurt liggen van de getallen van jouw berekening. Zo is bij 0,49 14 een redelijke schatting te maken door 0,5 14 7 uit te rekenen. Let op! Wanneer je twee getallen bij elkaar optelt of van elkaar aftrekt, heb je meestal wel door wat er gebeurt als je een getal groter of kleiner maakt. Bij vermenigvuldigen en delen is dat vaak lastiger en wijkt je schatting meestal meer af van het werkelijke antwoord. Opgave 2: Bereken schattend. Als een opgave meer keer voorkomt, moet je hem telkens op een andere manier uitrekenen. Geef ook aan hoe je hebt gerekend. 103 2,9 a. e. 149 18 f. 149 18 103 2,9 b. g. 149 18 103 2,9 c. h. Welke aanpak komt het d. Welke aanpak komt het dichtst dichtst bij het echte antwoord van 2682? bij het echte antwoord van 298,7? i. j. k. 8,1 21,4 231,5 268,8 147,25 19,88 8,34 2,64 l. 18,3 3,1 m. n. o. 160 17 345 11 340 10 34 673 81 640 80 8 Manier 3: Groeperen Door op een handige manier groepjes getallen samen te nemen, kun je ook veel rekenwerk uitsparen. Opgave 2k kan bijvoorbeeld ook op de volgende manier: 147,25 2,64 147 3 150 ; 150 19,88 150 20 130 ; 130 8,34 130 8,50 121,50 Vb: Schat de uitkomst van de volgende som: 38 24 78 61 . Je kunt dat op de volgende manier schattend uitrekenen: 24 78 100 en 38 61 100 , dus 38 24 78 61 200 Opgave 3: 1. 2. 7,9 8,2 7,8 3,4 2,7 6,3 5,8 3. Cijferen Je kunt natuurlijk niet altijd volstaan met een schatting van het antwoord. Om tot een precies antwoord te komen, kun je de methode van het cijferen gebruiken. Die methode heeft voor optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen telkens een andere techniek. In tegenstelling tot schatten reken je nu met cijfers in plaats van getallen. Weet je het verschil? Optellen. Wanneer je twee (of meer) getallen bij elkaar op wilt tellen maak je gebruik van het positiestelsel. Zie hierover de eerste module. Je zorgt ervoor dat de cijfers met gelijke waarde boven elkaar staan. 123+45 gaat als volgt. Zet de getallen boven elkaar zoals in afbeelding 1a. Tel eerst de eenheden op. De 3 en de 5 stellen beiden de eenheden voor. Samen zijn dat 8 eenheden. Zie afbeelding 1b. Tel vervolgens de tientallen op. De 2 en de 4 zijn beide tientallen. Samen zijn dat 6 tientallen. Zie afbeelding 1c. Dit doe je ook met de honderdtallen en het antwoord is nu onder de streep gevormd. 123+45=168. Zie afbeelding 1d. 1 2 4 3 5 1 + Afbeelding 1a 2 4 3 5 8 1 + Afbeelding 1b 2 4 6 3 5 8 1 + Afbeelding 1c 1 2 4 6 3 5 8 + Afbeelding 1d Zo kun je ook moeilijker optellingen uitvoeren. 8939+1285 gaat als volgt. Zet de getallen boven elkaar zoals in afbeelding 2a.Tel de eenheden op. De 9 en de 5 stellen beiden de eenheden voor. Samen zijn dat 14 eenheden. Dat is 1 tiental en 4 eenheden. Het ene tiental schrijf je boven de kolom met tientallen (1 onthouden) Zie afbeelding 2b. Tel vervolgens de tientallen, honderdtallen en duizendtallen op (zie figuur 2b tm 2d) en je hebt onder de streep opnieuw het antwoord. 8949+1285=10234. Zie figuur 2e. 8 9 4 9 1 2 8 5 + 1 8 9 4 9 1 2 8 5 + 4 1 1 8 9 4 9 1 2 8 5 + 3 4 1 1 1 8 9 4 9 1 2 8 5 + 2 3 4 Afbeelding 2a Afbeelding 2b Afbeelding 2c Afbeelding 2d 1 8 1 1 0 1 9 2 2 1 4 9 8 5 + 3 4 Afbeelding 2e Aftrekken. Ook bij cijferend aftrekken maak je gebruik van het positiestelsel. Je trekt eerste de eenheden van elkaar af, daarna de tientallen enzovoort. 1842 – 861 gaat als volgt. Zet de getallen onder elkaar zoals in figuur 3a. Trek vervolgens de eenheden van elkaar af. Wanneer je daarna de tientallen van elkaar aftrekt, moet je ‘lenen’. Je hebt immer maar 4 tientallen en je moet er 6 van aftrekken. Je leent dan 1 honderdtal (dat zijn 10 tientallen) en hebt dus 14 tientallen, waar je er wel 6 van kunt aftrekken. Zie figuur 3b. Je hebt dus nog 7 honderdtallen over. Je moet opnieuw ‘lenen’. In figuur 3c en d zie je het vervolg en onder de streep ontstaat het antwoord: 1842 – 861= 1 8 4 2 8 6 1 - 1 8 4 2 8 6 1 1 7 1 8 4 2 8 6 1 8 1 Afbeelding 3a Afbeelding 3b Afbeelding 3c 7 1 8 4 2 8 6 1 9 8 1 Afbeelding 3d Vermenigvuldigen. Bij het cijferend vermenigvuldigen gebruik je de strategie van het opdelen. Wanneer je 234 met 118 wilt vermenigvuldigen, doe je eerst 4118 , vervolgens 30118 en tenslotte 200118 . Als laatste tel je de drie uitkomsten bij elkaar op. Voor het vermenigvuldigen van 4118 , vermenigvuldig je eerst 4 8 . Dat is 32. Je schrijft de 2 eenheden op en onthoudt de 3 tientallen. Zie figuur 4a. Vervolgens vermenigvuldig je 410 . Dat is 40, dus 4 tientallen. Dat maakt samen met de 3 onthouden tientallen: 7 tientallen. Zie figuur 4b. Daarna vermenigvuldig je 4100 . Dat is 400 en je schrijft de 4 honderdtallen op. Je vervolgt met de 30118 en de 200118 . Bij 30118 bereken je 3118 op de zelfde manier als hiervoor, maar je schrijft eerst een nul op, omdat 30 een tiental is. 30118 is dus 10 keer zo veel als 3118 . Zo schrijf je bij 200118 eerst twee nullen op en vervolgens bereken je 2118 . Zie figuren 4c en 4d. Tenslotte tel je het eindgetal op. 234 118 27612 3 1 1 8 2 3 4 × 2 3 1 1 8 2 3 4 × 4 7 2 Afbeelding 4a Afbeelding 4b 1 2 4 3 5 8 4 × 2 0 Afbeelding 4c De volgende onderdelen komen nog: Delen. Hapmethode Staartdeling Rijtjesopgaven Contextsommen 2 1 3 7 4 1 2 4 3 5 2 3 6 2 7 6 1 1 3 7 4 0 1 8 4 × 2 0 0 + 2 Afbeelding 4d Uitwerkingen Week 2 Opgave 1 Bereken schattend. Geef ook aan hoe je hebt gerekend. a. 2,95 4,92 3 5 8 f. 302 894 300 900 1200 g. 3021 89 3020 90 2930 b. 3,05 5,98 3 6 9 h. 232 169 230 170 400 c. 21,89 63,08 22 63 85 i. 6,02 6,91 6 * 7 42 d. 22,91 19,03 23 19 4 j. 1,95 4,92 2 * 5 10 e. 71 19 70 20 50 Opgave 2 Uitwerkingen a. 103 2,9 103 3 309 b. 103 2,9 100 2,9 290 c. 103 2,9 100 3 300 d. Aanpak c: het ene getal iets ophogen en het andere iets verlagen. e. f. g. h. 149 18 149 20 2980 149 18 150 18 2700 149 18 150 20 3000 Aanpak f: je hebt nu één keer 18 teveel, bij aanpak e heb je twee keer 149 teveel en bij g verhoog je zelfs beide getallen. Aanpak g is wel het meest eenvoudig. i. j. k. l. m. n. o. 8,1 21,4 8 21 168 231,5 268,8 230 270 500 147,25 19,88 8,34 2,64 147 20 8 3 122 18,3 3,1 18 3 6 162 16,4 160 16 10 345 11 340 10 34 673 81 640 80 8 Opgave 3 Uitwerkingen: 1. 7,9 8,2 7,8 3 8 24 2. 3 2 6 5 16 ; 0,4 0,8 1 ; 0,7 0,3 1 ; dus 3,4 2,7 6,3 5,8 18 Week 3: Breuken Start met automatiseeroefening op papier (1,5 minuten). 16 + 56 49 – 26 41 x 4 57 – 18 53 + 38 96 : 8 16 + 35 44 – 39 19 x 3 89 – 76 17 + 67 85 : 5 38 + 38 77 – 66 28 x 5 36 : 9 45 x 8 93 : 3 6 x 16 440 : 20 Breuken Een van de lastigste rekenonderdelen binnen de rekenvaardigheid. Het lijken vaak alleen “kale” sommen, maar in de realistische rekenwereld worden deze sommen ook “opgediend” met realistische voorbeelden. Dat gebeurt dan zowel met cirkelmodellen, pizza’s / taarten/ pannenkoeken, als met lijnmodellen, zoals de reep chocolade. Wat is een breuk? 1 Breuken zijn getallen waarvan de waarde zit tussen twee hele getallen (*), neem 1 , 2 3 dit getal zit tussen 1 en 2, ja zelfs er midden tussen. En 15 is een getal tussen 15 8 17 17 en 16. Maar nu . Tussen welke twee hele getallen ligt ? Je moet hier eerst de 4 4 17 1 4 en dat ligt tussen 4 en 5. “helen uithalen”. In dit voorbeeld zijn dat er 4. Dus 4 4 Als je dit lastig vindt, dan moet je 17 euro maar eens verdelen over 4 personen. (*)Formeel heten die getallen “gebroken” getallen, want hele getallen zijn ook als breuken te schrijven. 14 28 èn Neem 14 ; dat is ook te lezen als enz. Ook dat zijn breuken, maar die zijn toch vertrouwder 1 2 als het hele getal 14 Teller en noemer 1 de teller 1 en de 6 noemer 6. Om dat nooit meer te vergeten, moet je maar eens tellen met “zesden” 1 2 3 4 (bijv. de stukjes van een taart die in zes gelijke delen is verdeeld): , , , , ...... ; 6 6 6 6 zie je waarmee je telt? (het bovenste getal) en ook hoe je ze allemaal noemt (“zesde” teller = de onderste). Dus samengevat: breuk = ; zo gaat het met elke breuk, kijk noemer 1 2 3 4 maar: , , , , ….. . . Nooit meer vergeten / vergissen. 7 7 7 7 Een breuk bestaat altijd uit een teller en een noemer. Zo is bij Verschillende verschijningsvormen, vereenvoudigen. Als je een pizza in 6 gelijke stukken verdeeld en jij krijgt van die 6 stukken er 2, dan heb je evenveel wanneer de pizza in 3 gelijke stukken verdeeld is en je krijgt daar 2 1 2 1 één stuk van. Dat betekent dat de breuken en gelijk zijn, dus . We 6 3 6 3 noemen dit ook wel 2 verschijningsvormen van deze breuk. En in dit voorbeeld 2 hebben we de breuk vereenvoudigd, dat wil zeggen teller en noemer gedeeld 6 door 2, waardoor de breuk zo eenvoudig mogelijk is geworden. Elke breuk heeft ontelbaar veel verschijningsvormen. Schrijf eens 5 vormen op van de volgende breuken: 3 1. 5 7 2. 14 11 3. 9 2 3 4. 3 1 72 5. 6 Nu is het bij breuken ook zo dat je deze zo eenvoudig mogelijk moet schrijven, dus kijk altijd of je teller en noemer kunt delen door hetzelfde getal en als dat kan: doen! Dat gaan we ook even oefenen; schrijf de volgende breuken zo eenvoudig mogelijk, anders gezegd, vereenvoudig de volgende breuken (voor) zovèr mogelijk. Let op, dat kan niet altijd! 8 1. 14 27 2. 36 25 3. 10 64 7 4. 72 25 15 5. 49 Is het je opgevallen dat je tafelkennis hierbij onmisbaar is; je zoekt de tafel waar teller en noemer in voorkomen. Is dat bijvoorbeeld de tafel van 8 (zoals in opgave 4), dan kun je teller en noemer delen door 8. Rekenen met breuken (alle 4 de bewerkingen) Breuken optellen en aftrekken Breuken met dezelfde noemer heten gelijknamig. Alleen gelijknamige breuken kun je optellen en aftrekken. Als ze verschillende noemers hebben, dan komen ze van een andere verdeling, het is nogal verschillend als je een pannenkoek in zes gelijke stukken verdeelt of in 4 gelijke stukken en je neemt een stuk van elk. Welk deel van de pannenkoek heb je dan? Als ze van eenzelfde verdeling komen is het eenvoudig: je hebt 1 stuk van een pannenkoek die in 8 gelijke stukken is verdeeld en je krijgt er nog 2 van die stukken 1 2 3 bij; dan heb je 3 van die stukken. De bijbehorende som: ; alleen de tellers 8 8 8 worden opgeteld en het blijft een breuk met noemer 8. En wat nu als ze niet dezelfde noemer hebben, dus niet gelijknamig zijn? Dan gebruik je de eerder opgedane kennis van de verschijningsvormen. Ook daar is tafelkennis onmisbaar bij. Kijk maar eens goed naar de volgende voorbeelden. Voorbeelden: 3 1 21 5 26 Let op: vereenvoudigen moet: dat is 5 7 35 35 35 5 5 20 15 5 teller en noemer delen door hetzelfde 6 8 24 24 24 13 2 26 2 24 6 getal. Hiernaast is het gedeeld door 4 50 100 100 100 100 25 7 7 28 21 49 13 1 “Helen uithalen” moet, als het kan. 9 12 36 36 36 36 3 3 12 21 33 5 2 2 2 2 4 5 7 4 28 28 28 28 24 1 11 3 22 27 22 5 5 2 5 2 4 2 2 (hier is gebruikt: 1 hele = ) 8 12 24 24 24 24 24 24 De nieuwe noemer vind je door de tafel van het kleinste getal “op te zeggen” en het eerste antwoord dat ook in de tafel van de andere zit, dat is de nieuwe noemer. Nu zelf: 1. 3 1 5 4 2 5 b. 3 6 1 5 c. 1 2 7 a. 1 3 2. a. 5 3 6 4 1 3 b. 4 2 2 10 4 2 c. 3 2 5 3 7 1 3 8 2 4 3 b. 5 5 5 8 1 3 c. 2 4 3 4 3. a. 7 4. 2 3 a. 4 7 5 2 3 b. 7 1 3 5 1 2 c. 5 2 4 3 Breuken vermenigvuldigen. Vermenigvuldigen is, zoals je weet, herhaald optellen, dat geldt ook bij breuken. 1 Alleen is dat wat lastiger voor te stellen. Zo is 7 voor te stellen als “een half 2 groepje van 7”. Dus let op: hier hoef je niet gelijknamig te maken. Je telt immers geen 1 1 twee hoeveelheden bij elkaar op: 7 3 . Je kan deze vermenigvuldiging ook 2 2 1 gewoon lezen als: de helft van 7 of als je de vermenigvuldiging omkeert ( 7 ) 7 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 groepjes van , dus en dat geeft samen 3 . 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2 is dus 6 is het dubbele van 6 en dat is 2 ; uitleg: e deel van 6 3 3 3 3 3 2 is 2 (ook wel 6 : 3). Nu moest je uitrekenen e deel van 6, dus is het antwoord 3 tweemaal zoveel, oftewel 2 2 4 Omdat Nu wat lastiger. Je hebt drievierde deel van een strook: 1 2 3 4 Neem daar eens tweederde deel van, dus twee van de drie delen: dat zijn er 2 van de 4 dus precies de helft van de strook. Als rekensom opgeschreven: 2 3 1 1 6 2 3 1 6 23 maar . Zo zie je dat . 3 4 2 2 12 3 4 2 12 3 4 Breuken vermenigvuldigen doe je door de tellers met elkaar te vermenigvuldigen en ook de noemers met elkaar te vermenigvuldigen. teller teller teller teller Om te onthouden: breuk breuk = . Dus zo zit noemer noemer noemer noemer dat! Kijk nauwkeurig naar de uitgewerkte voorbeelden. Als er behalve een breuk ook een heel getal voor de breuk staat, dan moet je die 2 17 eerst in de breuk verwerken, zo is 3 , want 3 helen is gelijk aan 15 vijfden ( 5 5 15 1 17 3 ). Tel de 2 vijfden ( 2 ) die erachter staan, geeft samen 17 vijfden . Dan 5 5 5 kun je eerder genoemde regel gebruiken. Voorbeelden: 4 3 12 7 5 35 6 2 12 4 want vereenvoudigen moet, hier gedeeld door 3. 11 3 33 11 1 2 5 2 10 5 2 Of je deelt eerst de teller en noemer door 2. 2 7 2 7 14 7 4 9 25 225 1 1 8 2 3 = (Als laatste de “helen” eruit halen.) 4 7 4 7 28 28 Breuken delen. 3 12 : …. Daar kun je wat bij voorstellen. Stel: je hebt 12 liter wijn en dat ga je 4 3 verdelen over flessen met inhoud van liter; hoeveel van die flessen heb je nodig? 4 1 Je ziet het voor je: de eerste fles wordt volgegoten, je hebt nog 11 e liter over. Dan 4 1 3 1 nog een: 11 - = 10 . Enzovoort, enzovoort. In totaal heb je 16 flessen nodig, dat 4 4 2 4 48 16 . zie je al snel. Maar ook: 12 3 3 Zo zie je weer een “regeltje”: “Delen door een breuk is eigenlijk niets anders dan vermenigvuldigen met het omgekeerde van die breuk”. Dat is geen trucje, want je kunt het ook goed zien in een verhoudingstabel. Daar mag je beide getallen met hetzelfde getal vermenigvuldigen, dat doe je in feite ook hierbij. 3 Zie onderstaande verhoudingstabel waar de deling 12 : staat: 4 12 Nu eerst: maal 4 48 Nu: gedeeld door 3 16 3 Deze ook: maal 4 3 Deze ook: gedeeld door 3 1 4 Voorbeelden: 3 2 3 7 21 1 : 2 5 7 5 2 10 10 1 4 60 60 15 : 15 4 1 1 2 3 8 8 8 5 40 5 2 2 :1 : 1 3 5 3 5 3 8 24 3 3 1 3 2 24 8 Beter is om een rekenregel van handig 12 : 1 12 : 12 2 2 3 3 rekenen te gebruiken: beide getallen verdubbelen: dan krijg je 24 : 3 = 8. Dus 1 12 : 1 = 8 2 Let erop, dit kan vaker dan je denkt. Automatiseren (let op wat je moet doen): 1. 2. 3 1 ... ….. 4 6 1 1 5 2 3 2 1 ...... 3 5 1 2 11 5 3 4 3 ........ 7 4 1 5 ........ 3 4 1 ........ 4 1 1 5 4 3 1 1 7 2 5 1 1 7 3 5 1 2 11 10 3 1 1 8 7 6 1 1 8 2 6 3. 8 1 : 10 2 9 1 : 100 3 8 1 : 100 4 1 1 2 : 3 6 1 2 3 : 3 3 4. Is het antwoord van 5. Bereken de uitkomst van 15 : 6. Vul de juiste getallen in bij de stippen. De drie stukken zijn even lang. Licht je antwoord duidelijk toe. 1 1 1 1 1 1 meer of minder dan 1? 2 4 8 16 32 64 3 Bedenk een reële situatie waaruit deze 4 opgave voorkomt. Licht je antwoord duidelijk toe. ────┼─────┼─────┼─────┼── 1 3 ….. ….. 2 4 10. 3 1 Bereken de uitkomst van 2 5 2 Bedenk een reële situatie waaruit bovenstaande opgave voorkomt. Licht je antwoord toe. 11. Reken uit: 3 1 I. 5 3 2 7 2 II. 5 10 3 1 2 1 III. 4 3 3 1 : IV. 4 8 Context sommen Schrijf telkens de breuksommen erbij. 1. Havo 4 bestaat uit 80 leerlingen, hiervan had 5 e deel daarvan had een 8 of hoger. 6 a. Hoeveel leerlingen hadden een voldoende? b. Hoeveel leerlingen hadden minstens een 8 en hoe kan je deze som zonder het antwoord van a. uitrekenen? 3 1 Van deze school komt e deel op de fiets; e deel komt met de scooter; 4 8 de rest komt met het openbaar vervoer. Welk deel van de leerlingen is dat? 1 Sanquin bloedbank heeft op een dag 350 donoren, die elk liter bloed 2 geven. a. Hoeveel liter bloed is er die dag in totaal gegeven? 11 b. Bloed bestaat voor e deel uit plasma. Hoeveel liter plasma is er die 20 dag binnengekomen? 1 e liter gedaan. Hoeveel c. Het bloed wordt in buisjes met inhoud 20 buisjes worden er op die manier gevuld? het proefwerk rekenen; ja zelfs 2. 3. 3 e deel een voldoende voor 4 4. Week 4: Start met automatiseeroefening: (4 rijtjes in 1,5 minuten) 11 x 5 18 + 31 33 – 25 52 – 25 16 x 3 55 : 11 64 : 8 49 – 12 18 + 44 83 + 14 48 : 12 3 x 28 82 : 41 63 – 56 6 + 87 75 : 5 62 + 17 26 x 3 41 – 22 4 x 12 Gebruik van de rekenmachine Waarom zou je nog veel met al die rekensommen moeten oefenen als je toch een rekenmachine bij de hand hebt? De rekenmachine is een prachtige uitvinding, maar om daar nou 2 x 7 mee uit te rekenen….? Je gaat toch ook niet met een kanon een mug uitroeien; daar gebruik je gewoon een vliegenmepper voor. Een andere reden is, dat je niet altijd een rekenmachine bij de hand hebt en het kost doorgaans meer tijd om 2 x 7 met je (misschien wel grafische?) rekenmachine te berekenen. Dus parate kennis van het rekenen blijft noodzakelijk. Maar heb je dan niets aan de rekenmachine? Zeker wel, maar je moet eerst verstand van rekenen hebben om het deskundig te gebruiken. Eerst maar eens een voorbeeld: Stel je krijgt 19% korting op een artikel dat oorspronkelijk € 85,-- kostte. Wat moet je nu betalen? Eerst bedenken we dat je 81% moet betalen. Dat zetten we in een verhoudingstabel: € % 85 100 8,50 10 17 20 0,85 1 85-17+0,85 = € 68,85 81 Dus € 68,85 te betalen. Maar als je nu dezelfde soort vraag met “vervelende”bedragen te doen hebt, dan is de rekenmachine een uitkomst. Maar dan moet je wel weten wat je moet intoetsen. Daarvoor heb je wel voor nodig hoe het rekenen gaat. Dus, daar gaat íe: Stel je hebt een artikel gekocht met 22% korting; je betaalde € 98,75. Wat was het oorspronkelijke bedrag? Oorspronkelijk dus € 126,60 € 98,75 1.266… € 126,60 % 78 1 100 Eerst delen door 78, dan vermenigvuldigen met 100. Laat het onafgeronde getal bij de tussenberekeningen staan. Alleen aan het einde afronden op centen. Een ander voorbeeld: Stel je hebt een jongerenrekening, waar je aan het einde van elk jaar 4% rente krijgt bijgeschreven. Je legt het eerste jaar € 250,-- in. Hoeveel geld kun je na 5 jaar van die rekening afhalen als je er tussentijds niets bijstort of afhaalt? 250 euro + 4% geeft 260 euro na een jaar. 260 euro + 4% geeft 270,40 euro na twee jaar. Het wordt al lastiger en de berekening 104 blijft gelijk. Wat doe je eigenlijk? Na één jaar heb je 104% van de inleg. 104% = 100 = 1,04. De berekening is dus: 250 x 1,04 = 260. Dan weer x 1,04 enz. enz. Typisch een berekening voor de rekenmachine: 250 x 1,04 x 1,04 x 1,04 x 1,04 x 1,04 = (herhaald vermenigvuldigen dus tot de macht 5) 250 x 1,045 = 2 5 0 x 1 . 0 4 ^ 5 = 304,16 (afgerond op twee decimalen). Zo zie je maar, dat een rekenmachine best handig is, maar gebruik deze wel als het echt nodig is. Vraagstukken: bij gebruik van de rekenmachine wel de stappen erbij zetten. 1. Op een horloge van € 289,70 krijg ik 15% korting; wat moet ik betalen? 2. Op een computer spaarde ik € 67,80 uit, omdat ik 12% korting kreeg. Wat was de oorspronkelijke prijs van die computer? 3. Op een spaarrekening stort ik € 285,--. Ik krijg jaarlijks 4,5% rente en na elk jaar stort in € 150,-- op die rekening. Na 5 jaar haal ik het hele saldo eraf. Hoeveel is dat? 4. Bij een groothandel koop in een scooter van € 1645,-- ex BTW; ik krijg 30% korting, maar moet wel de BTW van 19% betalen. Wat kan ik beter doen: eerst de korting eraf, dan de BTW erbij of andersom of maakt het niet uit? 1 5. Ik rij ergens 50% harder dan de toegestane snelheid. Als ik nou 33 % 3 zachter ga rijden, dan rijd ik de toegestane snelheid. Hoe hard reed ik eerst? 6. “Koop je er 3, krijg je de 4e er gratis bij!” Hoeveel procent korting krijg je dan eigenlijk? Er zijn nog meer situaties waar de rekenmachine wel heel handig is. Bij het formulerekenen. Formulerekenen Ook bij het rekenen met formules is het handig om je rekenmachine te gebruiken. In deze paragraaf gaan we daarmee oefenen. Je komt daarbij de volgende afkortingen en symbolen tegen. (Zie de figuren): = 3,14… , r = straal, h = hoogte De Formules: r cirkel Oppervlakte van een cirkel = r² Omtrek van een cirkel = 2 r of diameter x Inhoud van een cilinder = r² h Inhoud van een kegel = 1 r² h 3 cilinder kegel Inhoud van een bol = 4 r³ 3 Tip: Maak bij de vraagstukken een tekening en zet de afmetingen erin en bedenk welke formule je moet gebruiken en hoe je dat doet! Bij verschillende formules staat een “raar” teken, namelijk = pi. Dat is een vast getal ( ongeveer 3,14) dat de verhouding tussen de omtrek en de diameter van een cirkel aangeeft. Als je de diameter van de cirkel weet, dan vind je de omtrek door de diameter te vermenigvuldigen met . Hoe reken je eigenlijk met formules? Je hebt in elk geval een rekenmachine nodig. Ik laat het zien met de oppervlakteformule van de cirkel: Oppervlakte van een cirkel = r² Stel dat de diameter van een cirkel is 15 cm; dan is de straal ( = r) = 7,5 cm. De oppervlakte vind je door op de rekenmachine achtereenvolgens in te tikken: x 7,5 x 7,5 = 176, 71458.. Op de meeste rekenmachines staat het teken , zodat je er direct mee kunt rekenen. Anders neem je = 3,14 om mee te rekenen. Voorbeelden 1. De straal van een bal is 14 cm. Bereken hoeveel liter lucht er in de bal gaat. Oplossing: De benodigde formule is: Inhoud van een bol = 4 r³ 3 Op de rekenmachine toetsen we in 4 3 x x 14^3 = (4 gedeeld door 3 maal pi maal 14^3 ) = 11494,040… cm³ = 11,494.. dm³ 11,5 liter 2. Bereken het aantal m³ van de loods van de vorm die je hiernaast ziet. De afmetingen zijn in meters. Oplossing: De inhoud is in twee delen te splitsen: (1) de onderkant = balk met inhoud = lengte x breedte x hoogte (2) het dak = een halve cilinder = 0,5 x x r x r x h . inhoud (1) = 6 x 4 x 30 = 720 inhoud (2) = 0,5 x x 3 x 3 x 30 = 424,1… (1) + (2) = 1144,1.. m³ 1144 m³. Opmerking: Hier ligt de cilinder, zodat de hoogte horizontaal ligt; hier 30 m. 3. Hoeveel liter water past er in een “ronde” dakgoot van 18 meter lengte en een hoogte ( eigenlijk diepte) van 11 cm? Oplossing: Een halve liggende cilinder. Het antwoord wordt in liters gevraagd, dus is het handig om de afmetingen om te rekenen in dm, want zoals je weet is1 dm³ = 1 liter. 18 meter = 180 dm en 11 cm = 1,1 dm. De inhoud = 0,5 x x 1,1 ^ 2 x 180 = 342,1194.. dm³ 342 liter Vraagstukken: 1. In een glazen cilindervormige vaas van 45 cm hoog en met een doorsnede van 24 cm. staat het waterpeil op 35 cm. Hoeveel liter water zit er in de vaas? Rond af op een heel aantal liters. 2. De aarde heeft als omtrek 40.000 km. Bereken de inhoud van de aarde in km³. 3. Mijn fietswiel heeft een diameter van 45 cm en gaat 135 keer per minuut rond. Wat is de snelheid in km / h op dat moment? 4. Het ronde zwembad dat de hobbyzaak in de aanbieding heeft, heeft een diameter van 305 cm en een hoogte van 76 cm. Hoeveel liter water past daarin? Rond je antwoord af in liters. 5. Een ander zwembad heeft als vorm een balk met afmetingen 525 x 188 x 80 cm. Wat is de inhoud hiervan in liters? 6. De regenton bij dezelfde firma heeft een inhoud van 227 liter; wat kunnen redelijkerwijs de afmetingen zijn? 7. Er zijn twee maten die gewoonlijk voor de temperatuur gebruikt worden, namelijk Celcius (=C) en Fahrenheit (=F). De formules die de ene maat in de andere uitdrukken zijn: F 32 9 C= en F = C 32 5 1,8 met C de temperatuur in graden Celcius en F de temperatuur in graden Fahrenheit. Mijn tante uit Canada belde en zei dat het koud weer was. Het was slechts 54 graden (ze gebruiken daar Fahrenheit). Ik antwoordde haar dat het bij ons mar liefst 27 graden was. Daar vond het nogal koud. Ik had verzuimd om het even om te rekenen naar Fahrenheit. Hoe koud was het in Canada en hoe maak ik mijn tante duidelijk dat het heerlijk weer is bij ons? Bereken je antwoorden met de formules. 8. Ik rij met een snelheid van 26 km/h. Mijn fietswiel heeft als diameter 70 cm. Hoeveel keer per minuut draait mijn wiel rond? 9. Iemand gooit een steen recht naar boven. De steen vertraagt door de zwaartekracht en is op gegeven moment op z’n hoogst. Dan valt hij terug naar de aarde. (Kijk wel even uit, anders krijg je de steen op je hoofd!) De formule voor deze worp is: H = 2 + 18t – 3,8 t² waarbij H de hoogte is in meter na t seconden. a. Vanaf welke hoogte wordt er gegooid? b. Ga met je rekenmachine na wat het hoogste punt is van de steen en ook na hoeveel seconden hij terug is op de grond. 10. In Amerika wordt aan de benzinepomp gemeten in gallons. Op gegeven dag tankte Bruce 20 gallons; dat bleek 75,7 liter te zijn. Na een week tankte hij 15,7 gallons. Reken dit eens om in liters? Hoeveel gallons is 1 liter en hoeveel liter is één gallon? Week 5: Start met automatiseeroefening, 1. 12 x 4 6. 2. 6 x 15 7. 3. 9 x 27 8. 4. 18 x 11 9. 5. 6x8 10. auditief tafeldictee per som 3 - 5 sec.: 21 x 14 11. 11 x 23 8x7 12. 7 x 604 12 x 12 13. 31 x 29 4 x 28 14. 17 x 17 18 x 9 15. 8 x 15 Breuken met noemer een macht van 10 zijn direct te schrijven als decimale getallen. Anders: breuken worden decimale getallen door een deling uit te voeren Procenten Relatie tussen breuken, procenten, kommagetallen en verhoudingen. Contextsommen: 1. Het schoolexamencijfer hangt af van 4 toetsen en 2 spreekbeurten. De toetsen tellen dubbel. Gilberd staat gemiddeld een 5,8; hij krijgt nog 1 toets. Wat moet hij voor deze laatste toets halen om op een gemiddelde van 6,0 te komen? 2. Week 6: Herhaling van de verschillende soorten door elkaar. Start met automatiseeroefening schriftelijk 2 minuten: 9 x 13 22 + 19 58 : 2 82 – 28 14 +17 48 : 8 31 x 6 34 – 21 31 + 27 4x8 38 – 21 7x8 36 + 43 84 : 4 29 – 13 56 : 7 16 + 38 7x9 61 – 32 54 : 2
