Inleiding Astrofysica

Inleiding Astrofysica - Werkcollege 3
Maarten van Hoven, OG 441
7 december 2007
De volgende opgave is er om te oefenen in een krachtige wiskundige techniek die veel in de
natuur- en sterrenkunde gebruikt worden om inzicht te krijgen in ingewikkelde formules.
Taylorreeks benaderingen
Bij het college analyse 1 zijn Taylorreeksen behandeld. Taylorreeksen zijn nuttig om bepaalde
functies te benaderen doormiddel van polynomen. Je kunt zo een functie f(x) schrijven als een
oneindige somreeks van machten van x. In veel gevallen convergeert zo'n reeks voor kleine
waarden van x al vrij snel naar de originele functie f(x). Dat wil zeggen dat je in zo'n geval
slechts een klein aantal termen (machten van x) nodig hebt om de functie zeer nauwkeurig te
beschrijven, de hogere orde termen zijn dan verwaarloosbaar klein.
a) Maak een Taylorreeks van de functie f(θ) = sin(θ) rond het punt θ = 0 (tot en met orde θ5).
In de natuurkunde komt het vaak voor dat we te maken hebben met een functie zoals sin(θ) (of
andere functies) waarbij we in het bijzonder geïnteresseerd zijn in het geval dat het argument (θ
in dit geval) zeer klein is (d.w.z. θ << 1 in dit geval).
b) Neem aan dat θ = 1/10 (radialen uiteraard), en bereken voor de Taylorreeks uit opgave (1)
van iedere term de grootte uit. Welk resultaat geeft je rekenmachine voor sin(θ)? Hebben de
termen van orde 3 en hoger een grote bijdrage aan het geheel?
c) Idem voor θ = 1/100.
De conclusie is dat de functie f(θ) = sin(θ) voor kleine waarden van θ, dus zeer goed benaderd
kan worden door de kleinste term(en) in de Taylorreeks, namelijk sin(θ) ≈ θ voor θ << 1.
Soortgelijke argumenten gaan op voor functies als tan(θ), cos(θ), ex, en vele vele andere…
d) Laat doormiddel van een Taylorreeks zien dat cos(θ) ≈ 1 voor θ << 1. Laat dit ook zien in
een plotje, door cos(θ) en zijn (eerste orde) Taylorreeks benadering te schetsen op het interval 0
< θ < π/2.
e) Idem voor tan(θ) ≈ θ voor θ << 1.
De toepasbaarheid van Taylorreeks benaderingen kent bijna geen grenzen. Zo kunnen we
bijvoorbeeld uit de wet van Planck (formule 1), de wet van Rayleigh-Jeans afleiden.


2hν 3  1 
I (ν ) = 2  hν

c  − kT
 e − 1
(1)
De wet van Rayleigh-Jeans beschrijft het blackbody spectrum voor laag energetische fotonen.
Met andere woorden, de formule van Rayleigh-Jeans benadert dus de formule van Planck voor
het geval dat hν << kT (dus voor kleine frequentie ν, bij een temperatuur T).
f) Leid de wet van Rayleigh-Jeans af doormiddel van een Taylorreeks benadering van de Planck
formule. (Hint: Merk op dat de term hν/kT << 1. De factor ehν/kT kan dus goed benaderd worden
door een Taylorreeks met argument hν/kT, waarbij hogere machten van hν/kT verwaarloosd
kunnen worden.)
g) De wet van Wien (niet te verwarren met de bekende verschuivingswet van Wien) is een
benadering van de Planckformule voor hoog energetische fotonen ( hν >> kT ).
hν
2 hν 3 −
IWien (ν ) = 2 e kT
c
Laat zien dat dit klopt.
Vrije weglengte
In deze opgave zullen we ons verdiepen in het begrip vrije weglengte, en er een aantal
toepassingen van bekijken. (Voor deze opgave is het handig om voor jezelf schetsen te maken
van de situatie).
Een deeltje (1) met straal R1 beweegt door een ‘zee’ (of gas) van deeltjes (2) met straal R2 (we
benaderen alle deeltjes in deze opgave als bolvormige objecten).
a) Hoever kunnen de kernen van een deeltje (1) en een deeltje (2) maximaal van elkaar
gescheiden zijn in het geval van een botsing?
b) De afstand die bij a) gevonden is definieert een botsingsoppervlak σ. Wanneer deeltje (1) op
zijn weg door het gas van deeltjes (2) beweegt, botst het met een deeltje (2) wanneer deze
binnen dit oppervlak van deeltje (1) komt. Zodoende kun je deeltje (1) opvatten als een soort
schietschijf met oppervlakte σ, waarop je deeltjes (2) schiet. Hoe groot is dus σ?
c) Neem aan dat deeltje (1) t.o.v. deeltjes (2) een snelheid v heeft. Het oppervlak σ (de
‘schietschijf’) beweegt zo met een snelheid v door het gas, en bestrijkt in een tijdsinterval Δt een
bepaald (cilindervormig) volume V . Geef een simpele uitdrukking voor V.
d) De dichtheid van het gas van deeltjes (2) heeft een dichtheid van n deeltjes per volume
eenheid. Geef een uitdrukking voor het totaal aantal deeltjes N in het in c) berekende volume V.
(N is dus het (gemiddeld) aantal deeltjes waarmee deeltje (1) in botsing komt in een periode
Δt.)
e) De vrije weglengte λ is gedefinieerd als de afstand die een deeltje (gemiddeld) aflegt voordat
het in botsing komt met een ander deeltje. In ons geval zijn we dus geïnteresseerd in de lengte
van onze cilinder in het geval dat er zich 1 deeltje (2) in bevindt. We moeten dus N gelijkstellen
aan 1, en dan een uitdrukking vinden voor Δt (zeg maar de tijdsduur tussen 2 botsingen). Doe
dit.
f) Het deeltje beweegt dus met snelheid v, en de tijdsduur tussen twee botsingen is Δt. Welke
afstand legt deeltje (1) in die tijd af? Dit is de vrije weglengte λ.
Toepassing van de vrije weglengte
De Melkweg:
De Melkweg kan opgevat worden als een cirkelvormige schijf met straal van 12 kpc, en een
dikte van 150 pc dik. Neem aan dat de Melkweg zo’n 300 miljard sterren bevat, en neem verder
aan dat deze allemaal hetzelfde zijn als de Zon (dit is in werkelijkheid een aardig gemiddelde).
De sterren in de Melkweg bewegen t.o.v. elkaar met een snelheden van gemiddeld ~20 km/s.
a) Wat is de gemiddelde sterdichtheid in de Melkweg (aantal per pc3)?
b) Wat is daarmee de gemiddelde afstand tussen meest nabije sterren (zeg maar buren)?
c) Stel zo’n ster voor als een voetbal (doorsnede ~22 cm). Waar (in km) bevindt zich dan de
meest nabije buur van een ster?
d) Bereken met behulp van de opgave over de vrije weglengte, de vrije weglengte λ en de
tijdsduur tussen twee sterbotsingen Δt. (Je kunt voor het botsingsoppervlak σ nemen πR2 (het
‘schietschijfoppervlak’ van een ster). In werkelijkheid moet σ wegens de onderlinge gravitatieen getijdenkrachten behoorlijk bijgesteld worden. Kortom, er moet in werkelijkheid
gecorrigeerd worden voor het feit dat sterren elkaar aantrekken door de zwaartekracht. Dit
zullen we hier niet doen.)
e) Hoe lang duurt het dus gemiddeld voordat een ster in de Melkweg botst met een andere ster?
Het heelal is ongeveer 14 miljard jaar oud. Is de kans groot dat dat ooit al gebeurd is?
Een andere toepassing van de vrije weglengte is bij het bepalen van de absorptie coëfficiënt in
de stralingstransportvergelijking. Hierover zal bij een volgende opgaven set een vraag komen.