VECTOREN en MATRICES

Jan van de Craats
VECTOREN en MATRICES
Een inleiding in de lineaire algebra
Epsilon Uitgaven
Utrecht
2003
Inhoudsopgave
Voorwoord
xi
1 Vectorrekening
1.1 Vectorbewerkingen
1.2 Punten, lijnen en vlakken
1.2.1 Parametervoorstellingen
1.2.2 Opgaven
1.3 Bases en coördinaten
1.3.1 De vectorruimten M2 en R3
1.3.2 De vergelijking van een lijn in R2
1.3.3 De vergelijking van een vlak in R3
1.3.4 Opgaven
1.4 Hoeken, afstanden en inproduct
1.4.1 Het inproduct
1.4.2 Orthogonaliteit
1.4.3 Het standaardinproduct in M3 en R2
1.4.4 Cosinusregel en driehoeksongelijkheid
.--1.4.5 Afstandsformules in R2 en in R3
1.4.6 Opgaven
1.5 Het uitproduct
1.5.1 Definitie en eigenschappen van het uitproduct
1.5.2 Oriëntatie van bases
1.5.3 De inhoud van een parallelepipedum
1.5.4 Opgaven
1
2
6
6
8
10
11
12
15
17
18
18
20
20
21
23
26
27
28
30
32
33
2 Vectorruimten
2.1 Vectorruimte als abstracte structuur
2.1.1 De axioma's van een vectorruimte
2.1.2 Voorbeelden van vectorruimten
2.1.3 Lineaire deelruimten
2.1.4 Opgaven
2.2 Dimensie, bases en coördinaten
35
35
36
38
41
43
44
vin
2.2.1
2.2.2
2.2.3-2.2.4
Lineaire afhankelijkheid
Bases en dimensie
Coördinaten ten opzichte van een basis
Opgaven
44
45
46
48
Stelsels lineaire vergelijkingen
3.1 Elementaire bewerkingen op stelsels
3.2 Gauss-eliminatie
3.2.1 Opgaven
51
52
54
58
Matrixrekening
4.1 Matrices als lineaire afbeeldingen
4.1.1 Meetkundige voorbeelden
4.1.2 Het algemene geval
4.2 Rekenregels voor matrices
4.2.1 Opgaven
4.3 De inverse matrix
4.3.1 Opgaven
61
61
63
65
68
72
74
77
Determinanten
5.1 De determinant van een (p x p)-matrix
5.1.1 Een formele definitie
5.1.2 Berekening via Gauss-eliminatie
5.2 Verdere eigenschappen van determinanten
5.2.1 Het ontwikkelen naar een rij of een kolom
5.2.2 Opgaven
5.3 Toepassing: polynoominterpolatie
79
79
80
81
83
85
87
88
Lineaire afbeeldingen
6.1 "Definitie en elementaire eigenschappen
6.1.1 Voorbeelden
6.2 Lineaire afbeeldingen en matrices
6.2.1 Lineaire transformaties van het vlak
6.2.2 De overgang op een andere basis
6.3 Parallelprojecties
6.3.1 Scheve parallelprojectie
6.3.2 Orthogonale parallelprojectie
6.4 Opgaven
93
94
95
97
98
102
105
106
107
111
Beeldruimte, nulruimtè en rang
7.1 Oplossingsverzamelingen
7.1.1 Voorbeelden
7.2 De dimensiestelling
7.3 De rang van een lineaire afbeelding
115
117
118
121
123
7.4 Opgaven
8 Eigenwaarden en diagonaliseerbaarheid
8.1 Eigenwaarden en eigenruimten
8.1.1 Voorbeelden
8.2 De karakteristieke vergelijking
8.2.1 Voorbeelden
8.3 Diagonaliseerbaarheid
8.4 Opgaven
125
127
128
128
133
135
137
139
9 Inproductruimten
141
9.1 Definitie en voorbeelden
141
9.1.1 Eigenschappen van het inproduct
144
9.1.2 Opgaven
147
9.2 Orthogonale transformaties •
148
9.2.1 Orthogonale transformaties van het vlak en van de
ruimte
150
9.2.2 Opgaven
152
9.3 Symmetrische transformaties
153
9.3.1 Kwadratische vormen
154
9.3.2 Opgaven
158
10 Kwadratische krommen en oppervlakken
10.1 Kegelsneden
10.2 Algemene kwadratische vergelijkingen
10.3 Kwadrieken in R3
10.4 Opgaven
159
159
164
166
173
Epiloog
177
A Voorkennis en notatieafspraken
185
B Hoe hangt een ketting?
191
C Nog enige bewijzen
195
Antwoorden
201
Register
217
Lijst van figuren
221