y Sin x

Voorbereiding toelatingsexamen
arts/tandarts
Wiskunde: oppervlakteberekening
1/3/2017
dr. Brenda Casteleyn
Met dank aan:
Atheneum van Veurne, Leen Goyens
(http://users.telenet.be/toelating)
1. Inleiding
Dit oefeningenoverzicht is opgebouwd vanuit de vragen van de vorige examens,
gerangschikt per thema.
De vragen komen van diverse sites. Vooral de site van Leen Goyens was handig en het
atheneum van Veurne had een prachtige website maar deze is helaas niet meer online.
2. Oefeningen uit vorige examens
1997 – Juli Vraag 14
Hoeveel bedraagt de oppervlakte van de vlakke figuur die begrensd wordt door de
parabool y2=4-x en de y-as.
<A>
<B>
<C>
<D>
16
16/3
32/3
Geen van de bovenstaande antwoorden
1997 – Augustus Vraag 14
De oppervlakte van de kleinste vlakke figuur die begrensd wordt door de parabool y2=4x en y=2x-4
en de x-as bedraagt
<A>
<B>
<C>
<D>
3
5/2
7/3
4√2 /3
2000 – Juli Vraag 9
De oppervlakte van de figuur die begrensd wordt door de parabool y2 = x/3 + 3, de rechyte y = 1, de
x-as en de y-as bedraagt
<A>
<B>
<C>
<D>
7,5
15
8
16
2002 – Juli Vraag 5
dr. Brenda Casteleyn
www.keu6.be
Page 2
We beschouwen twee functies: y2 = 4x en y = 2x-4. Hoeveel oppervlakte die begrensd wordt door
deze twee functies?
<A>
<B>
<C>
<D>
1
8
7/3
9
2007 – Augustus Vraag 8
De oppervlakte van de figuur begrensd door:
1) De X-as
2) De grafiek van de functie f: x
3) De grafiek van de functie g: x
y(x) = (x-1)/2
y(x) = 2(x-4)
Is gelijk aan:
<A>
<B>
<C>
<D>
2,5
3
3,5
4
2008 – Juli Vraag 2
Beschouw twee rechten:
y = x-1
y = -2x + 14
Wat is de oppervlakte van de driehoek die begrensd wordt door deze twee rechten en de x-as.
<A>
<B>
<C>
<D>
14
12
11
10
2008 Augustus Vraag 6
We beschouwen twee parabolische functies:
y1 = x2 – 4x + 4
y 2 = 4 – x2
Hoeveel bedraagt de oppervlakte die begrensd wordt door deze twee functies?
<A>
<B>
3
8/3
dr. Brenda Casteleyn
www.keu6.be
Page 3
<C>
<D>
7/3
2
2009 – Juli Vraag 4
Beschouw de grafieken van een rechte, y = x + 2, en een parabool y = x2.
y
4
2
x
Bepaal de oppervlakte die begrensd wordt door de functie y = x2 en y = x + 2
<A>
<B>
<C>
<D>
11/2
31/6
13/6
9/2
dr. Brenda Casteleyn
www.keu6.be
Page 4
2010 – Augustus Vraag 9
Gegeven is de volgende grafiek van een cosinusfunctie en twee rechten.
y
1
π
2π
x
-1
Wat is de oppervlakte van het gearceerde deel?
<A>
<B>
<C>
<D>
5/2π
5/2π -2
3/2π + 2
3/2π
2011 – Juni Vraag 2
Hieronder zijn de functies
y = 3. Sin2 ( x)
en
y = Sin 2 ( x) weergegeven.
y
3
π
dr. Brenda Casteleyn
2π
www.keu6.be
x
Page 5
π
Gegeven is de volgende integraal:
2
Sin 2 ( x ). dx =
∫
π
0
4
Hoeveel bedraagt de gearceerde oppervlakte in de grafiek.
<A>
<B>
<C>
<D>
1/2π
2/3π
3/4π
π
2011 - Augustus Vraag 5
Hieronder zijn de functies
y = Sin 2 ( x)
en
y = Cos 2 ( x) weergegeven.
y
1
π
3π
Gegeven is de volgende integraal:
∫
π
4
2π
Sin 2 ( x). dx =
π
4
+
x
1
2
4
Hoeveel bedraagt de gearceerde oppervlakte in de grafiek.
<A>
<B>
<C>
<D>
π
1 – π/4
1
π/2
dr. Brenda Casteleyn
www.keu6.be
Page 6
2012 – Juni Vraag 10
In de figuur hieronder worden de volgende drie functies weergegeven:
y=
1
1
1
x , y = − x en y =
2
2
1 + x2
y
1
1
-1
1
π
dx
=
.
∫0 1 + x²
4
1
Gegeven is de volgende integraal:
Hoeveel bedraagt de gearceerde oppervlakte in de figuur?
<A>
<B>
<C>
<D>
π/4 – ¼
π/2 – ½
π–1
π/4 – 1/2
2012 – Augustus Vraag 3
Gegeven is een grafiek van de functies
dr. Brenda Casteleyn
Ln x en Ln x³.
www.keu6.be
Page 7
Gegeven zijn de volgende bepaalde integralen:
1
∫
1
1
1
Ln x . dx = Ln 2 −
2
2
2
3
∫ Ln x
3
. dx = 9 Ln 3 − 6
1
Hoeveel bedraagt de gearceerde oppervlakte tussen deze functies in het interval [0,5; 3] ?
<A>
<B>
<C>
<D>
6Ln3 – Ln2 – 3
9Ln3 + 2 Ln2 – 6
6Ln3 + Ln2 – 5
9Ln3 + 3Ln2 – 3
2013 - Juli Vraag 4
De grafiek hieronder geeft de cosinusfunctie weer. Het eerste gedeelte van deze functie boven de xas is gearceerd. De gearceerde lijn x=a verdeelt deze gearceerde oppervlakte in twee delen van
gelijke oppervlakte.
Hoeveel bedraagt de waarde van a?
dr. Brenda Casteleyn
www.keu6.be
Page 8
<A>
<B>
<C>
<D>
π /6
π /5
π /4
π /3
2013 - Augustus Vraag 5
Hieronder is de grafiek gegeven van functie y=x2. De oppervlakte onder de curve van x=0 tot x=1 is
gearceerd. De rechte x=a verdeelt deze oppervlakte in twee gelijke delen.
Welke waarde heeft a?
<A>
a=
√
<B>
a=
<C>
a=
√
√
<D>
a = 2/3
2015 - Juli Vraag 5
We beschouwen de functie y = x3 - 3x + 6
Hoeveel bedraagt de oppervlakte begrensd door:
•
•
•
de verticale door het minimum van de functie
de verticale door het maximum van de functie
de x-as
<A>
<B>
<C>
<D>
12
10
12,5
9
2015 – Augustus Vraag 9
dr. Brenda Casteleyn
www.keu6.be
Page 9
Gegeven is de functie f bepaald door het voorschrift f(x) = -x3 + 3x2. Bepaal de oppervlakte van het
gebied begrensd door de grafiek van f en de raaklijn aan de grafiek, van f in het lokaal maximum van f
<A>
<B>
<C>
<D>
25/4
6
8
27/4
2016 – Juli Geel Vraag 7
Hoeveel bedraagt de oppervlakte van het gebied gelegen boven de grafiek van de functie f
met voorschrift f(x) = |4 | en onder de horizontale rechte met vergelijking y = 4?
<A>
<B>
<C>
<D>
28/3
10
32/3
34/3
2016 – Augustus Geel Vraag 9
G is het gebied in het vlak dat bestaat uit de punten met coördinaat (x,y) waarvoor geldt dat
0 ≤ x ≤ en 1 – cos x ≤ y ≤ cos x
Bepaal de oppervlakte van G
<A>
2–
<B>
√3 −
<C>
1-
<D>
√
−
dr. Brenda Casteleyn
www.keu6.be
Page 10
3. Oplossingen oefeningen
1997 – Juli Vraag 14
Gegeven: parabool y2=4-x en de y-as.
Gevraagd: Hoeveel bedraagt de oppervlakte van de vlakke figuur die begrensd wordt door
y2=4-x en de y-as.
Oplossing:
Herschrijf de vergelijking: y = ± √4 −
en bereken de nulpunten
De grafiek loopt dus van x=0 tot x=4. De oppervlakte boven de x-as is de positieve
vierkantswortel en die onder de x-as de negatieve en beide oppervlakten zijn elkaars
spiegelbeeld. We kunnen dus de oppervlakte boven de x-as berekenen en vermenigvuldigen
met twee om de volledige oppervlakte te verkrijgen.
√4 −
A = 2.
= 2 (0 – (-2/3(4)3/2) = 2 . 16/3 = 32/3
Andere methode: assen omkeren en integraal over grenzen -2 tot 2 berekenen:
x = 4 – y2
A=
4−
= (8-8/3) – (-8 +8/3) = 16 – 16/3 = 32/3
Antwoord C
1997 – Augustus Vraag 14
Gegeven: parabool y2=4x en y=2x-4 en de x-as
Gevraagd: oppervlakte van de kleinste vlakke figuur die begrensd wordt door de parabool y2=4x en
y=2x-4 en de x-as
dr. Brenda Casteleyn
www.keu6.be
Page 11
Oplossing:
Herschrijf de vergelijking: y = ± √4 = ± 2√ en teken de grafieken.
Bereken oppervlakte gearceerde deel (dat kan worden opgesplitst in linkse deel en rechtse driehoek)
Bereken de snijpunten: √4 = 2 x – 4
4x2 – 20x + 16 = 0
x = 1 en x = 4
De totale oppervlakte bestaat uit de som van het links gearceerde gedeelte voor x = 0 tot x =1 en de
rechtse driehoek, van x = 1 tot x = 2. Vermits de integraal georiënteerd is (onder de x-as, negatieve
wortel) moeten we de absolute waarde hebben, dus een –teken voor de integraal zetten
S=−
−2√ dx -
2 −4
S = 7/3
Antwoord C
2000 – Juli Vraag 9
Gegeven: de parabool y2 = x/3 + 3 , de rechte y = 1, de x-as en de y-as
Gevraagd: De oppervlakte van de figuur die begrensd wordt door de parabool y2 = x/3 + 3, de rechte
y = 1, de x-as en de y-as
Oplossing: Herschrijf de vergelijking: y =±
Bepaal de snijpunten:
+3 =1
+3 =0
dr. Brenda Casteleyn
+3
voor x = -6
voor x = -9
www.keu6.be
Page 12
De oppervlakte bestaat uit het gedeelte onder de parabool en de rechthoek, met oppervlate 6 x 1 = 6
Op de oppervlakte onder de parabool te berekenen, rekenen we volgende integraal uit:
+ 3 dx = 2 (gebruik substitutie x/3 = u)
Dus het totale oppervlakte is 6 + 2 = 8
Antwoord C
2002 – Juli Vraag 5
Gegeven: twee functies: y2 = 4x en y = 2x-4.
Gevraagd: oppervlakte die begrensd wordt door deze twee functies?
Oplossing:
Herschrijf de vergelijking: y = ± √4 = ± 2√2 en teken de grafieken.
dr. Brenda Casteleyn
www.keu6.be
Page 13
Bereken de snijpunten: √4 = 2 x – 4
4x2 – 20x + 16 = 0
x = 1 en x = 4
De oppervlakte kan nu worden berekend met vier integralen:
het grootste oppervlak boven de x-as:
= 2x-4 en de x-as worden afgetrokken:
2√ dx maar daarvan moet het gedeelte onder de grafiek y
2 −4
Daarbij tellen we de twee oppervlaktes onder de x-as op met volgende integralen:
-
−2√ dx en -
2 −4
(de – tekens voor de integralen zijn om de absolute waarden te
verkrijgen)
We krijgen dus volgende oppervlakte:
2√
-
2 −4
-
−2√ dx -
2 −4
=9
Antwoord D
2007 – Augustus Vraag 8
Gegeven:
1) De X-as
2) De grafiek van de functie f: x
3) De grafiek van de functie g: x
y(x) = (x-1)/2
y(x) = 2(x-4)
Gevraagd: oppervlakte tussen 1, 2 en 3
Oplossing: Herschrijf de functies: y = 1/2x – ½ en y = 2x-8
Teken de grafiek
dr. Brenda Casteleyn
www.keu6.be
Page 14
Bepaal de snijpunten
Snijpunt grafiek 2 met x-as: 1/2x – ½ = 0 voor x = 1
Snijpunt grafiek 3 met x-as: 2x – 8 = 0 voor x = 4
Snijpunt grafiek 2 en 3: 1/2x -1/2 = 2x – 8 voor x = 5 Bereken bijhorende waarde voor y = 2.5-8 = 2
(dit is ook de hoogte van de driehoek)
Berekening oppervlakte driehoek: ½ (basis x hoogte) = ½ (3 . 2) = 3
Antwoord B
2008 – Juli Vraag 2
Gegeven: twee rechten:
y = x-1
y = -2x + 14
Gevraagd: Wat is de oppervlakte van de driehoek die begrensd wordt door deze twee rechten en de
x-as.
Oplossing: Teken de grafiek:
Bepaal de snijpunten:
Snijpunt grafiek 1 met x-as voor x = 1
Snijpunt grafiek 2 met x-as: voor x = 7
Snijpunt 2 rechten: -2x + 14 = x-1
-3x -15 = 0
x = 5. Bijhorende waarde voor y is 4
Gemakkelijkse manier om oppervlakte te berekenen is oppervlakte driehoek:
dr. Brenda Casteleyn
www.keu6.be
Page 15
1/2(basis x hoogte) = ½(6.4) = 12
Antwoord B
2008 Augustus Vraag 6
Gegeven: twee parabolische functies:
y1 = x2 – 4x + 4
y 2 = 4 – x2
Gevraagd: Hoeveel bedraagt de oppervlakte die begrensd wordt door deze twee functies?
Oplossing: teken de grafieken en bepaal de nulpunten en de snijpunten
Snijpunt twee grafieken: x2 – 4x + 4 = 4 – x2
voor x = 0 en x = 2
Nulpunten: voor beide grafieken: x = 2
Berekening oppervlakte: integraal bovenste grafiek – integraal onderste grafiek:
4−
−
−4 +4
=
4−
−
−4 +4
= 8/3
Antwoord B
dr. Brenda Casteleyn
www.keu6.be
Page 16
2009 – Juli Vraag 4
Gegeven: de grafieken van een rechte, y = x + 2, en een parabool y = x2.
y
4
2
x
Gevraagd: Bepaal de oppervlakte die begrensd wordt door de functie y = x2 en y = x + 2
Oplossing:
Bepaal de snijpunten van de twee grafieken:
x + 2= x2
voor x = 2 en x = -1
De oppervlakte wordt dan bepaald door volgende integraal:
+2
−
= 9/2
Antwoord D
dr. Brenda Casteleyn
www.keu6.be
Page 17
2010 – Augustus Vraag 9
Gegeven: de volgende grafiek van een cosinusfunctie en twee rechten.
y
1
π
2π
x
-1
Gevraagd: oppervlakte van het gearceerde deel?
Oplossing:
Boven de x-as kun je 4 rechthoeken zien met afmetingen 1 .π/2. Wanneer we van het oppervlak van
deze vier rechthoeken (4.π/2 = 2π) het gedeelte onder de cosinusgrafiek aftrekken, hebben we de
oppervlakte van het gedeelte boven de x-as.
Het gedeelte dat moet worden afgetrokken is twee keer: (omdat er een stuk links en een stuk rechts
moet worden afgetrokken):
cos
= sin (π) – sin (0°) = 1
dus vermenigvuldigen met 2 wordt 2
Het oppervlakte boven de x-as is dus: 2 π - 2
Het gedeelte onder de x-as is de driehoek met afmeting ½(π.1)
Het totale oppervlak is dus 2 π + 2 =½(π) = 5/2 π – 2
Antwoord B
dr. Brenda Casteleyn
www.keu6.be
Page 18
2011 – Juni Vraag 2
Gegeven: de functies
y = 3. Sin2 ( x)
en
y = Sin 2 ( x) weergegeven.
y
3
π
π
Gegeven is de volgende integraal:
2
∫
2π
Sin 2 ( x ). dx =
0
x
π
4
Gevraagd: de gearceerde oppervlakte in de grafiek.
Oplossing:
De gegeven integraal geeft het gedeelte onder het gearceerde deel van 0 tot π/2 weer. Wanneer we
dit vermenigvuldigen met 2 vinden we het volledige deel onder het gearceerde.
Voor het gedeelte onder de bovenste grafiek van 0 tot π/2 vinden we:
/
3 !"
=3
/
!"
= 3. π/4 (gegeven integraal)
Wanneer we dit met twee vermenigvuldigen vinden we de volledige oppervlakte onder de grafiek
van 0 tot π
De totale oppervlakte van het gearceerde deel is dus: 2.( 3. π/4 ) - 2 (π/4) = π
Antwoord D
dr. Brenda Casteleyn
www.keu6.be
Page 19
2011 - Augustus Vraag 5
Gegeven: de functies
y = Sin 2 ( x)
en
y = Cos 2 ( x) weergegeven.
y
1
π
3π
Gegeven is de volgende integraal:
∫
π
4
2π
Sin 2 ( x). dx =
π
+
4
x
1
2
4
Gevraagd: de gearceerde oppervlakte in de grafiek.
Oplossing:
/
/
!"
−
/
/
#$
=
+ -
/
/
1 − !"
= ( + )+ ( +
=2( + )–(
−
/
/
1
-
=1
Antwoord C
dr. Brenda Casteleyn
www.keu6.be
Page 20
2012 – Juni Vraag 10
Gegeven: volgende drie functies weergegeven:
y=
1
1
1
x , y = − x en y =
2
2
1 + x2
y
1
1
-1
1
π
dx
=
.
∫0 1 + x²
4
1
Gegeven is de volgende integraal:
Gevraagd: de gearceerde oppervlakte in de figuur?
Oplossing:
Voor het gearceerde deel rechts van de y-as: opp = − $&& '!(ℎ$(* = −
Linkerdeel is spiegel van rechterdeel. Dus totale oppervlak = 2.( −
=
1.
= −
−
Antwoord B
2012 – Augustus Vraag 3
Gegeven: een grafiek van de functies Ln x en Ln x3 .
dr. Brenda Casteleyn
www.keu6.be
Page 21
Gegeven: zijn de volgende bepaalde integralen:
1
∫
1
3
1
1
Ln x . dx = Ln 2 −
2
2
∫ Ln x
3
. dx = 9 Ln 3 − 6
1
2
Gevraagd: gearceerde oppervlakte tussen deze functies in het interval [0,5; 3] ?
Oplossing:
Oppervlakte rechts van 1
=
-"
−
ln
=
-"
− 1/3
ln
(regel logaritmen: ln x3 = 3lnx)
-"
= 2/3
= 2/3 (9ln3 -6) = 6ln3 – 4
Oppervlakte links van 1:
=-(
/
-"
/
-"
−
ln
/
(onder x-as, dus –teken
ervoor om positief opp te krijgen)
= (3
=2
/
−
/
ln
-"
= -2(1/2ln2 – ½) = 1 – ln2
Opp rechts + opp links = 6 ln3 -4 +1 – ln2 = 6ln3 – ln2 -3
Antwoord A
2013 - Juli Vraag 4
dr. Brenda Casteleyn
www.keu6.be
Page 22
Gegeven: De grafiek hieronder geeft de cosinusfunctie weer. Het eerste gedeelte van deze functie
boven de x-as is gearceerd. De gearceerde lijn x=a verdeelt deze gearceerde oppervlakte in twee
delen van gelijke oppervlakte.
Gevraagd: Hoeveel bedraagt de waarde van a?
Oplossing
Bij een cosinusfunctie is y = o voor x = π/2. We moeten dus het oppervlakte berekenen van 0 tot μ/2.
/
A=
#$
= sin (π/2) - sin 0 = 1 - 0 = 1
De oppervlakte van o tot a is dan de helft, dus 1/2.
A=
0
#$
= 1/2; dus sin(a) - sin(0) = 1/2
sin (a) = 1/2. Hieruit kun je a afleiden: a = 30° = π/6
Antwoord A
2013 - Augustus Vraag 5
Gegeven: Hieronder is de grafiek gegeven van functie y=x2. De oppervlakte onder de curve van x=0
tot x=1 is gearceerd. De rechte x=a verdeelt deze oppervlakte in twee gelijke delen.
dr. Brenda Casteleyn
www.keu6.be
Page 23
Gevraagd: Welke waarde heeft a?
Oplossing:
Bereken de oppervlakte van 0 tot 1:
A=
=
-
= 1/3
De oppervlakte van o tot a is de helft van 1/3, dus 1/6
0
=
0
= 1/6
Hieruit kun je a berekenen: a =
√
Antwoord B
2015 - Juli Vraag 5
We beschouwen de functie y = x3 - 3x + 6
Hoeveel bedraagt de oppervlakte begrensd door:
•
•
•
de verticale door het minimum van de functie
de verticale door het maximum van de functie
de x-as
Oplossing:
Bepaal de afgeleide om het minimum en maximum te bepalen
y' = 3x2 -3 = 0 --> x = -1 en x = 1
Teken de grafiek: punten: (-2, 4) (-1, 8), (0,6), (1, 4), (2, 8)
Oppervlakte =
−3 +6
= 2
3
− 3
4
+ 6 5
= 1/4-3/2+6 - (1/4 - 3/2 -6) = 12
Antwoord A
dr. Brenda Casteleyn
www.keu6.be
Page 24
2015 – Augustus Vraag 9
Gegeven is de functie f bepaald door het voorschrift f(x) = -x3 + 3x2.
Gevraagd: Bepaal de oppervlakte van het gebied begrensd door de grafiek van f en de raaklijn aan de
grafiek, van f in het lokaal maximum van f
Oplossing:
Bepaal f’(x) = -3x2 + 6x = 3x(2-x)
Tekenverloop
X
0
2
Y’
+++
0
++++
Y
-1
0
1
3
0 -----------------------2
3
Max
Raakllijn in maximum is horizontaal.
Y(2) = -8 + 3.4 = 4
(2,4) is het maximum
y
4,5
4
3,5
3
2,5
2
1,5
1
0,5
0
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
Ondergrens:
-x3 + 3x2 = 4 voor x = 2 en voor x = ?
-x3 + 3x2 – 4 = 0
delen door (x-2) met Horner:
dr. Brenda Casteleyn
www.keu6.be
Page 25
-1
2
3
0
-4
-2
2
4
_____________________
-1
1
2
0
(-x2 + X -2) (x-2) = 0
-(x2-x-2)(x-2) = 0
-(x-2)(x+1)(x-2) = 0
x = -1
De ondergrens is dus -1 en de bovengrens 2
Bepaal nu de oppervlakte:
6 4
=24
3
5
3.
,6 4
3
= 8 + 16/4 – 8 – (-4+1/4+1) = 8 – 1 – ¼ = 27/4
Antwoord D
2016 – Juli Geel Vraag 7
Gevraagd: Hoeveel bedraagt de oppervlakte van het gebied gelegen boven de grafiek van de
functie f met voorschrift f(x) = |4 | en onder de horizontale rechte met vergelijking y = 4?
Oplossing
dr. Brenda Casteleyn
www.keu6.be
Page 26
We zoeken de oppervlakte begrensd door de twee grafieken. We berekenen dus de
rechthoek begrensd door de y-as: 4.8 = 32 en daarvan trekken we de oppervlakte onder de
blauwe grafieken af.
Oppervlakten onder blauwe grafiek:
|4 | dx
= 2.
= 2.
2 √ dx
=4.
√ dx
= 24.
/4
/
5
= 78/3.
/
9
:
= 2 . x. √ 5
= 8/3.4.2 – 8.3.0 = 64/3
Totale oppervlakte is dus 32 – 64/3 = (96 – 64)/3 = 32/3
Antwoord C
2016 – Augustus Vraag 9
Gegeven: G is het gebied in het vlak dat bestaat uit de punten met coördinaat (x,y) waarvoor
geldt dat
0 ≤ x ≤ en 1 – cos x ≤ y ≤ cos x
Gevraagd: Bepaal de oppervlakte van G
Oplossing:
Bepaal waarden voor x en y
X
0
Cos x
1
1-cos x 0
dr. Brenda Casteleyn
√
1−
√
√
1-
√
½
½
0
www.keu6.be
1
Page 27
1,2
1
0,8
1-cos x
0,6
cos x
0,4
0,2
0
0
0,5
1
1,5
2
We berekenen de oppervlakte onder de blauwe grafiek van (0,0) tot aan het snijpunt
( , 1/2
=
1
cos )dx =( 0
-(sin − sin0) =- –(
√
– 0) = - –
√
We berekenen de oppervlakte onder de rode grafiek van (0,0) tot het snijpunt ( , 1/2
/
cos
= sin @/3 – sin(0) =
Tel nu de twee oppervlaktes op:
√
√
- –
√
= √3 −
Antwoord B
dr. Brenda Casteleyn
www.keu6.be
Page 28