PowerPoint-presentatie

Toepassingen met
integralen
Met behulp van integralen kunnen we oppervlaktes berekenen, maar hoe
ging dat ook alweer… ?
Beschouw een functie f: IR -> IR : x -> f(x)
die beschrijft hoe f(x) varieert als x verandert.
We nemen bijvoorbeeld de functie f met het
functievoorschrift f(x)= - 0,125x³ + 0,75x².
Met integralen kunnen we oppervlaktes berekenen, maar hoe ging dat ook
alweer… ?
Op de figuur zie je dat f(x) > 0 is in het interval
[a, b].
Dan is de oppervlakte tussen de grafiek en
de x-as in het interval [a,b] gelijk aan:
b
A   f( x).dx
a
Een uitgewerkt voorbeeld.
Bereken de oppervlakte van een stuk grond met een maximale breedte aan de straatkant
van 15 m. De grens achteraan wordt beschreven met de functie f(x) = -0,05x²+20.
b
A   f( x).dx
a
15
A   (0,05x²  20).dx
0
15
x³


A   0,05  20x
3

0
15³
0³

 

A   0,05
 20.15   0,05  20.0
3
3

 

A  243,75 m
Voorbeeld…
Bepaal nu ook de oppervlaktefunctie:
A( x)   f( x).dx
A( x)   (0,05x²  20).dx
A( x)  0,05.
x³
 20.x  c
3
Met deze oppervlaktefunctie kan je de oppervlakte van de grond berekenen voor
verschillende x-waarden (=breedtes).
De integratieconstante kan je als volgt bepalen: als de breedte van het perceel nul is, is de
oppervlakte ook gelijk aan nul,
0³
dus:
c0
A(0)  0
 0,05.
3
 20.0  c  0
Nu kunnen we integralen ook gebruiken in een aantal toepassingen…
1.
Zwaartepunt van een figuur bepalen
2.
Volume van omwentelingslichamen berekenen
3.
Tijdsafhankelijke processen
4.
Arbeid bij variabele krachten berekenen
1. Zwaartepunt van een figuur bepalen…
Voor een figuur die begrensd wordt door 2 grafieken van functies f
en g in een interval [a,b], berekenen we het zwaartepunt:
b
 xf( x)  g( x).dx
Zx  ab
 f( x)  g( x).dx
a
b
 f ²( x)  g²( x).dx
Zy  a b
2. f( x)  g( x).dx
a
2. Volume van omwentelingslichamen berekenen…
Als we het gebied tussen de grafiek van een functie f en de x-as
over een interval [a,b] wentelen om de x-as,
z
y
y  f (x)
a
b
x
2. Volume van omwentelingslichamen berekenen…
Als we het gebied tussen de grafiek van een functie f en de x-as
over een interval [a,b] wentelen om de x-as,
z
y
y  f (x)
a
b
x
2. Volume van omwentelingslichamen berekenen…
Als we het gebied tussen de grafiek van een functie f en de x-as
over een interval [a,b] wentelen om de x-as,
z
y
y  f (x)
a
b
x
2. Volume van omwentelingslichamen berekenen…
Als we het gebied tussen de grafiek van een functie f en de x-as
over een interval [a,b] wentelen om de x-as,
z
y
y  f (x)
a
b
x
2. Volume van omwentelingslichamen berekenen…
Als we het gebied tussen de grafiek van een functie f en de x-as
over een interval [a,b] wentelen om de x-as,
z
y
y  f (x)
a
b
x
2. Volume van omwentelingslichamen berekenen…
Dan kunnen we het volume van dit omwentelingslichaam
berekenen met de formule:
b
V   .f ²( x).dx
a
z
y
y  f (x)
a
b
x
2. Volume van omwentelingslichamen berekenen…
VOORBEELD:
Bereken het volume dat ontstaat door de ingekleurde gebieden te wentelen
Om de x-as:
4
2
2
V   π( x ³) .dx   π(10  x ) .dx
2
2
0
7
7
  π(10  x ) .dx   π( x  4 )2 .dx
4
2
4
V  57 ,45  309 ,97  169 ,65
V  537 ,07
3. Tijdsafhankelijke processen…
Tijdsafhankelijke processen zijn bijvoorbeeld:
de snelheid van een wagen in functie van de tijd,
de versnelling van een vliegtuig in functie van de tijd,
het debiet van een rivier in functie van de tijd,
…
Als we deze processen beschrijven met een functie f(t), dan merken we op
dat de oppervlakte onder de grafiek een betekenis heeft:
voor een snelheidsfunctie is de oppervlakte onder de grafiek een maat
voor de afgelegde weg,
voor een versnellingsfunctie is de oppervlakte onder de grafiek een maat
voor de snelheidsverandering.
3. Tijdsafhankelijke processen…
VOORBEELD:
als we de snelheid van een wandelaar uitdrukken in
functie van de tijd, bijvoorbeeld v(t)= -4t³+12t,
dan is
de afgelegde weg
ofwel
En dus
s(t)   v(t).dt
s(t)    4t³  12t .dt
t4
t²
s(t )  4.  12.  c
4
2
s(t )   t 4  6.t ²  c
( met c=0, want s(0)=0)
3. Tijdsafhankelijke processen…
VOORBEELD:
als we de versnelling van een vallend voorwerp
uitdrukken in functie van de tijd, bijv.: a(t)= 9,81
(een constante versnelling uitgedrukt in m/s²),
dan is
de snelheidsverandering
en dus
v(t)   a(t).dt
v(t)   9,81.dt
v(t)  9,81.t  c
( met c=0, want v(0)=0)
4. Arbeid bij variabele krachten berekenen…
Voor constante krachten geldt:
W = F.s
W = arbeid in J
F = kracht in N
s = verplaatsing in m
Wanneer de geleverde krachten echter variabel zijn in functie van de
verplaatsing, dan geldt:
W(s)   F(s).ds
Om de geleverde arbeid te kunnen berekenen, moeten we dus de functie
van de kracht integreren. We moeten dus bepalen hoe de kracht verandert
als de verplaatsing varieert.
4. Arbeid bij variabele krachten berekenen…
VOORBEELD:
Een kabel met een gewicht van 40 N per meter wordt afgerold van een
cilinder. De kracht die hiervoor nodig is, is gelijk aan het gewicht van het
reeds afgerolde stuk.
Bereken de arbeid die nodig is om 10 m af te rollen.
1. We bepalen eerst hoe de kracht verandert als de verplaatsing verandert:
0 m afgerold: F= 40 N/m . 0 m = 0 N
1 m afgerold: F= 40 N/m . 1 m = 40 N
2 m afgerold: F= 40 N/m . 2 m = 80 N
s m afgerold: F= 40 . s
2.De geleverde arbeid berekenen we dan via
W(s)   F(s).ds   40.s.ds
3. De arbeid om 10 m af te rollen, is dan:
10
0² 
 s² 
 10²  
W   40.s.ds  40.    40.
   40.   2000 J
2 0 
2  
2

0
10