PowerPoint-presentatie

INTEGRALEN VAN VEELTERMFUNCTIES
Overzicht van de leerstof
 oppervlaktefuncties
 primitieve functies bepalen
 onbepaalde integraal
 bepaalde integraal
 oppervlakte bepalen
OPPERVLAKTEFUNCTIES
stelling:
als we de afgeleide bepalen van de oppervlaktefunctie,
bekomen we de functie zelf.
D A(x) = f(x)
A(x)= oppervlaktefunctie van f(x)
f(x)= functie
DUS: als we de oppervlakte onder een veeltermfunctie willen
berekenen, moeten we ‘het omgekeerde van afleiden’ toepassen op
de functie
Het omgekeerde van afleiden is: INTEGREREN
PRIMITIEVE FUNCTIES BEPALEN
INTEGREREN = primitieve functie F(x) bepalen
1 functie heeft oneindig veel primitieve functies
VOORBEELD: f(x)=2x+1 heeft als primitieve functies:
F(x) = x²+x
want D(x²+x)= 2x+1
F(x) = x²+x +3
want D(x²+x +3) = 2x+1
F(x) = x²+x – 7
….
want D(x²+x – 7) = 2x+1
….
PRIMITIEVE FUNCTIES BEPALEN
f(x) =
a.xn

f(x)=
f(x) =
(bx+c)n

F(x) = a.

0,5x7
F(x) =
b

f(x)= 3x²+(2x-5)3
F(x) = 0,5.
x8
8
1 (bx+c)n+1
f(x)= (3x+2)5
f(x) = g(x)+h(x)
xn+1
n+1
n+1

F(x) =
1
(3x+2)6
3
6
F(x) = G(x)+H(x)

F(x) = 3.
x3
+
3
1
(2x-5)4
2
4
ONBEPAALDE INTEGRAAL
als F(x) een primitieve functie is van f(x), dan vormen
ALLE primitieve functies de onbepaalde integraal van f(x).
f(x).dx = F(x) + c
c = integratieconstante
BEPAALDE INTEGRAAL
SOMMEREN=optellen van een EINDIG aantal oppervlakten.
INTEGREREN=optellen van een ONEINDIG aantal oppervlakten
n
A =  f(xi).x
i=1
we noteren:
b
A = f(x).dx
a
met x  0
BEPAALDE INTEGRAAL
Hoe berekenen we de bepaalde integraal van f(x)?
b
b
A = f(x).dx = [F(x)] = F(b) – F(a)
a
a
= hoofdstelling van de integraalrekening
DUS: we zoeken een primitieve functie F(x) van f(x) en
berekenen het verschil van de waarden F(b)-F(a)
BEPAALDE INTEGRAAL
SOM- & VEELVOUDREGEL:
b
b
b
a
a
f(x).dx + g(x).dx = [f(x)+g(x)].dx
a

1
1
1
0
0
(x³-x²).dx + (2-x²).dx = (x³-x²+2-x²).dx
0
b
b
r.f(x).dx = r.f(x).dx
a
a
1
1
 5(x³-1).dx = 5.(x³-1).dx
0
0
OPPERVLAKTE BEREKENEN
we kunnen de oppervlakte tussen
de veeltermfunctie en de x-as
bepalen door de bepaalde
integraal te berekenen,
14,9
MAAR:
wanneer de functiewaarden
NEGATIEF zijn, is de bepaalde
integraal ook NEGATIEF.
-14,9
OPPERVLAKTE BEREKENEN
er bestaan 2 manieren om de oppervlakte tussen de
veeltermfunctie en de x-as te bepalen:
1.
we bepalen de nulpunten van de functie en berekenen
de bepaalde integraal voor elk interval:
4
A = f(x).dx
1
2,41
= -f(x).dx
1
4
+ f(x).dx
2,41
4,89
-1,89
OPPERVLAKTE BEREKENEN
OF:
2.
we gebruiken de a
bsolute waarde van de functie:
4
A=  f(x).dx
1
1,89
4,89
OPPERVLAKTE BEREKENEN
oppervlakte tussen grafieken berekenen:
b
A=  f(x) - g(x).dx
a