Manjul Bhargava jaagt op mooie snijpunten

Fieldsmedailles Deze week kregen vier wiskundigen de ‘Nobelprijs’ voor de wiskunde
Manjul Bhargava jaagt op mooie snijpunten
Analyse
Elliptische kromme
Fields-winnaar Manjul
Bhargava heeft al ‘t weederde
bewijs’ voor een van de
millenniumproblemen.
Door Alex van den Brandhof
AM ST E RD AM . Manjul Bhargava (40) –
die de Canadese en de Amerikaanse
nationaliteit heeft – was als peuter al
dol op getallen. Op driejarige leeftijd
kon zijn moeder, die wiskundeprofessor was aan Hofstra University (New
York), hem alleen stil krijgen door
hem grote getallen bij elkaar op te laten tellen. In een interview met NRC
Handelsblad vertelde hij in 2006 een
vroege herinnering: „Mijn moeder
had sinaasappels gekocht. Ik ging spelen met de sinaasappels en vroeg me
af hoeveel je er nodig hebt om ze in
een piramidevorm van een willekeurig aantal etages te stapelen. Daar heb
ik toen een formule voor afgeleid.”
Bhargava leerde Sanskriet van zijn
opa, de Indiase historicus Purushottam La Bhargava. Hij is ook geoefend
tabla-drummer.
Op 28-jarige leeftijd werd Bhargava
professor aan Princeton University.
Het was net geen leeftijdsrecord.
„Als wiskundigen aan hun problemen denken, denken we niet onmiddellijk aan hun toepassingen, maar
aan het nastreven van schoonheid”,
zei Bhargava eens in een interview.
Dat neemt niet weg dat zuivere wiskunde vaak onverwacht kan worden
toegepast. Een van Bhargava’s onderzoeksgebieden betreft elliptische
krommen. Die worden bijvoorbeeld
gebruikt in mobiele telefoons om het
versturen van de ingebouwde identificatiecode veilig te stellen.
Een elliptische kromme is een vergelijking van de vorm y2 = x3 + ax + b,
waarbij a en b vastgekozen gehele getallen zijn. Voor a = –43 en b = 166 krijg
je de kromme die hier rechts is is afgebeeld. Het punt (3, 8) op deze kromme
is ‘mooi’, omdat x en y allebei gehele
getallen zijn. Teken je de raaklijn in dit
punt, dan snijdt deze lijn de kromme
in nog een ander punt: (–5, 16), alweer
gehele getallen. Ook in dit punt kun je
weer een raaklijn tekenen, en wie dit
principe voortzet, komt na zes stappen weer uit bij het uitgangspunt
(3, 8). De vraag is of er een ander mooi
punt op de kromme bestaat, waarbij je
níet terugkomt in je beginpunt. Als dat
zo is, bevat de kromme oneindig veel
mooie punten.
Wiskundigen proberen al lang uit te
dokteren wanneer een elliptische
kromme slechts een handvol mooie
punten bevat, of oneindig veel. Het
woord ‘mooi’ moet dan wat ruimer
worden opgevat dan zo-even: de getal-
LE ID S HOOG LE RAAR
Analytische algebra
M anjul Bhargava (1974) is hoogleraar aan Princeton University.
Sinds 2010 is hij ook hoogleraar
Analytische algebraïsche getaltheorie aan de Universiteit Leiden.
Eerder was hij daar ook gasthoogleraar. Hij won al vele andere wiskundeprijzen.
len moeten rationaal zijn (een getal is
rationaal als het geschreven kan worden als een breuk), niet perse geheel.
In de jaren zestig van de vorige
eeuw voerden de Britse wiskundigen
Bryan Birch en Peter Swinnerton-Dyer
een omvangrijk, door de computer
ondersteund onderzoek uit, om grip
te krijgen op het gedrag van elliptische
krommen. Zij vonden een criterium
om uit te maken of een elliptische
kromme eindig danwel oneindig veel
mooie punten bevat. Maar de juistheid van hun criterium konden ze niet
bewijzen en staat sindsdien bekend
als het vermoeden van Birch en Swinnerton-Dyer (kortweg BSD-vermoeden).
In 2000 kwam dit probleem op de
lijst van zeven millenniumproblemen,
waarvoor het Clay Mathematics Institute in Cambridge zeven miljoen dollar reserveerde: een miljoen voor eenieder die als eerste zo’n probleem
weet op te lossen.
Bhargava heeft bewezen dat het
BSD-vermoeden voor ten minste 66
procent van alle elliptische krommen
juist is. Als hij nu ook de overige 34
procent gaat bewijzen, maakt hij zijn
nieuwe prijs waar: de Fields-medaille
is een aanmoedigingsprijs.
y2 = x3 -43ax + 166
(–5, 16)
(3, 8)
5
raaklijn
5
5
5
elliptische kromme
NRC 140814 / EvG / Bron: Alex vd Brandhof