University of Groningen Arithmetic and moduli of elliptic surfaces

University of Groningen
Arithmetic and moduli of elliptic surfaces
Kloosterman, Remke
IMPORTANT NOTE: You are advised to consult the publisher's version (publisher's PDF) if you wish to
cite from it. Please check the document version below.
Document Version
Publisher's PDF, also known as Version of record
Publication date:
2005
Link to publication in University of Groningen/UMCG research database
Citation for published version (APA):
Kloosterman, R. (2005). Arithmetic and moduli of elliptic surfaces Groningen: s.n.
Copyright
Other than for strictly personal use, it is not permitted to download or to forward/distribute the text or part of it without the consent of the
author(s) and/or copyright holder(s), unless the work is under an open content license (like Creative Commons).
Take-down policy
If you believe that this document breaches copyright please contact us providing details, and we will remove access to the work immediately
and investigate your claim.
Downloaded from the University of Groningen/UMCG research database (Pure): http://www.rug.nl/research/portal. For technical reasons the
number of authors shown on this cover page is limited to 10 maximum.
Download date: 18-07-2017
Samenvatting
In dit proefschrift worden elliptische krommen en elliptische oppervlakken bestudeerd.
Een elliptische kromme E over de complexe getallen C wordt beschreven door een vergelijking
y 2 = x3 + Ax + B
met A, B ∈ C, zodat de bovenstaande vergelijking een gladde kromme definieert. Deze
laatste eis is equivalent met 4A3 + 27B 2 6= 0. Er zijn verschillende manieren om elliptische
krommen te visualiseren: Een elliptische kromme (over C) is continu te vervormen in een
torus, of in alledaags Nederlands, een fietsband.
De punten van E met coördinaten in C, dat wil zeggen alle (x, y) ∈ C2 , waarvoor
2
y = x3 + Ax + B geldt, tezamen met een ‘punt O op oneindig’, vormen een abelse groep.
Dit laatste betekent dat men punten van E kan optellen: kies als basispunt O ∈ E. De
som van twee punten P, Q kan als volgt worden uitgerekend: laat ℓ1 de lijn zijn die door
P en Q gaat, als P 6= Q, en de raaklijn aan E bij P , als P = Q. De lijn ℓ1 snijdt E in
een derde punt R. Als R verschillend is van O, laat dan ℓ2 de verticale lijn zijn door R.
Als ℓ2 geen raaklijn aan E is, dan is P + Q het snijpunt van ℓ2 ongelijk aan R en O, als
ℓ2 een raaklijn aan E is, dan is P + Q = R. Als R = O, dan is P + Q = O.
R
Q
Q
l1
P
P
l2
P+Q
Figuur 1. Optellen op een elliptische kromme
Hoofdstuk 6 van het proefschrift gaat over een speciale klasse van elliptische krommen.
Stel K is een getallenlichaam (bijvoorbeeld K = Q, de rationale getallen). Neem een
elliptische kromme E/K, dat wil zeggen er is een vergelijking voor E van de vorm y 2 =
x3 + Ax + B, met A, B ∈ K. De punten op E met coördinaten in K tezamen met het
punt op oneindig vormen een ondergroep E(K) van de groep van punten op E. Het is
93
94
SAMENVATTING
bekend (Mordell, 1922 en Weil, 1928) dat E(K) het product van een eindige groep en Zr
is. Het getal r wordt de rang van E genoemd.
Om r te bepalen, probeert men vaak een zogenoemde p-Selmer groep S p (E/K) te
berekenen, waarbij p een willekeurig priemgetal is. Deze eindige groep is relatief gemakkelijk uit te rekenen en er geldt pr ≤ #S p (E/K). In hoofdstuk 6 wordt voor ieder priemgetal
p een rij getallenlichamen Kn en elliptische krommen En /Kn geconstrueerd, met rang van
En (Kn ) gelijk aan rn , waarvoor het quotient
#S p (En /Kn )
prn
onbegrensd is. Dit zijn dus voorbeelden van elliptische krommen waarvoor de bovengrens
op de r gegeven door de p-Selmer groep slecht is. Voor de priemgetallen p = 2 en p = 3
is dit een klassiek resultaat ([11] (p = 2) en [13] (p = 3)) . Het geval p = 5 is recent
bewezen door Fisher ([23]).
De auteur heeft samen met Schaefer ([38]) in 2003 bewezen dat voor ieder priemgetal
p er een rij zoals boven bestaat, waarvoor #S p (En /Kn ) naar oneindig gaat. Het bovenstaande resultaat is hier een verdieping va. Recent heeft Clark een analoog resultaat
bewezen, gebruikmakend van een andere methode en na een eerdere versie van Hoofdstuk 6 te hebben gezien.
De overige vijf hoofdstukken gaan over elliptische oppervlakken. Een elliptisch oppervlak is een 1-dimensionale familie van elliptische krommen. Iets preciezer: een elliptisch
oppervlak is een oppervlak X waarvoor er een kromme C en een afbeelding π : X → C
bestaan, zodat voor bijna alle punten p ∈ C geldt dat π −1 (p) een elliptische kromme is.
Een elliptisch oppervlak kan worden beschreven door een vergelijking
y 2 = x3 + Ax + B,
waarbij A en B nu functies op C zijn. Een voorbeeld is
y 2 = x3 + t5 x + 7t2 + 3,
waarbij π wordt gegeven door (x, y, t) naar t te sturen. Een elliptisch oppervlak kan tegelijkertijd worden beschouwd als oppervlak en als elliptische kromme over het functielichaam
K(C) van C.
Aan een gegeven elliptisch oppervlak π : X → C wordt een groep N S(X) geassocieerd,
de Néron-Severi groep. Deze groep bevat veel informatie over X. De elementen van
N S(X) zijn formele sommen van irreducibele krommen in X, waarbij twee krommen
gelijk worden gesteld als zij bijna alle andere krommen even vaak snijden. Men kan
aantonen dat N S(X) ∼
= Zρ(X) , voor een zeker geheel getal ρ(X). Het getal ρ(X) wordt
het Picard getal van X genoemd. De secties (of sneden) van π zijn alle afbeeldingen
σ : C → X, zodat πσ de identiteit op C is.
In de eerste twee hoofdstukken van dit proefschrift bestuderen wij ρ(X) als functie in
X.
Er geldt ρ(X) ≤ h1,1 (X), waarbij h1,1 (X) de dimensie (over C) van de vectorruimte
van de zogeheten (1, 1) differentiaalvormen op X is. In hoofdstuk 1 worden elliptische
oppervlakken bestudeerd waarvoor deze bovengrens wordt aangenomen, dat wil zeggen
ρ(X) = h1,1 , met de extra eis dat er slechts eindig veel secties zijn. Een van de resultaten (Stelling 1.6.3 van het proefschrift) van dat hoofdstuk is dat bijna alle voorbeelden
SAMENVATTING
95
geı̈soleerde voorbeelden zijn, maar er zijn ook een aantal families van dit soort oppervlakken (zie Paragraaf 1.3 van het proefschrift). In de literatuur is al een gedeelte van
onze classificatie te vinden (zie [51]). De complete classificatie is evenwel nieuw. Een
onmiddellijk gevolg van onze classificatie (Stelling 1.4.8 van het proefschrift) is al wel in
de literatuur te vinden, maar slechts in een zwakkere ([31], [58]), danwel foutieve ([15],
[10]) vorm.
In hoofdstuk 2 wordt voor ieder geheel getal r de collectie van elliptische oppervlakken
bestudeerd met de eigenschap ρ(X) ≥ r. In het bijzonder geven we aan (Stelling 2.1.1
van het proefschrift) hoe ‘groot’ deze collectie is, voor kleine waarden van r. Dit is een
uitbreiding van het werk van David Cox ([18]) die deze ‘grootte’ kon bepalen in het
speciale geval r = 3.
De secties van een elliptisch oppervlak π : X → C vormen een abelse groep, die de
Mordell-Weil groep wordt genoemd en wordt genoteerd als M W (π). Als we het elliptische
oppervlak beschouwen als elliptische krommen E over K(C), dan is M W (π) hetzelfde als
de punten in E(K(C)). In de hoofdstukken 3 en 4 wordt deze groep M W (π) bestudeerd.
De rang van M W (π) wordt begrensd door ρ(X) − 2. Het bepalen van de rang van
M W (π) is echter even moeilijk als het bepalen van ρ(X). Daarentegen is het eenvoudig
in te zien dat er collecties elliptische oppervlakken bestaan (met C = P1 , de projectieve
lijn) waarvoor de rang van N S(X) onbegrensd is. Het is echter onbekend of er soortgelijke
voorbeelden bestaan waarvoor de rang van M W (π) onbegrensd is.
In hoofdstuk 3 worden voortbrengers gevonden voor M W (π) voor een klasse van elliptische oppervlakken, geı̈ntroduceerd door Kuwata. Kuwata bepaalde voor alle elliptische
oppervlakken in deze klasse de rang van M W (π), maar hij kon geen expliciete voortbrengers vinden.
In hoofdstuk 4 wordt een voorbeeld van een elliptisch oppervlak π : X → C met
rang M W (π) = 15 gegeven. Dit is een oppervlak van een type waarvoor Kuwata ([41])
al voorbeelden had gegeven met rang M W (π) ∈ {0, 1, . . . , 14, 16, 17, 18}. Een voorbeeld
met rang 15 ontbrak nog in dit rijtje.
In het algemeen heeft een elliptisch oppervlak X een unieke structuur π : X → C.
Uitzondering hierop vormen de zogeheten elliptische K3 oppervlakken. In hoofdstuk 5
worden op een familie van elliptische K3 oppervlakken alle mogelijke structuren π : X →
C gegeven.