29 augustus 2013 Hoofdstuk 2: Functies en grafieken. V

24 juli 2017
Hoofdstuk 2: Functies
V-1.
a.
b.
c.
d.
V-2.
a.
b.
c.
V-3.
a.
b.
c.
d.
e.
f.
V-4.
a.
b.
c.
V-5.
a.
b.
en grafieken.
De richtingscoëfficiënt is -3.
Voor a  3 zijn ze evenwijdig.
Als de grafieken evenwijdig zijn: a  4 .
4  3 x  1 21 x  13
4 21 x  9
Het snijpunt is (-2, 10)
x  2
Voor x  2 is 2x  5  0 . De wortel uit een negatief getal bestaat niet.
2x  5  0
2x  5
x  2 21
3 2x  5  0 . Er wordt bij -4 altijd een positief getal opgeteld.
Df : ,2  2, 
Voor geen enkele waarde van x.
Als x steeds groter wordt, wordt x 52 bijna 0. De functiewaarden komen steeds
dichter bij 4.
Dit geldt ook als x steeds kleiner (groot negatief) wordt.
y  4.
Bf : ,4  4, 
2(2 x  5)(1  2 x )  0
2x  5  0  1  2x  0
2x  5  2x  1
x  2 21  x  21
De snijpunten zijn: ( 21 , 0) en (2 21 , 0) .
De top van de parabool is bij x  1 21 .
f (1 21 )  2  2  2  8
De top is (1 21 ,  8) .
Bf :  8, 
Grafiek A is de wortelfunctie: h( x )  x  4 ; grafiek B is een exponentiële functie:
g ( x )  5  1,5 x ; grafiek C is een lineaire functie (rechte lijn): f ( x )  0,5 x  2 en grafiek
1
 1.
D is een gebroken functie (hyperbool): k ( x ) 
6  4x
P(0, 4)
Q(0, 5)
S(0, 2) en R(-4, 0)
T(0, 1 61 ) en U( 1 34 , 0)
1
Uitwerkingen 4 vwo wiskunde B, hoofdstuk 2
24 juli 2017
V-6.
a.
b.
c.
Df : ,3  3, 
6
4
4
1 0
3x
3x  4
Snijpunt met de x-as: (-1, 0)
x  1
Verticale asymptoot: x  3 en horizontale
asymptoot: y  1
2
x
-6
-4
-2
2
b.
c.
4
6
8
10
-4
-6
10
Voor alle waarden van t is t  1  0 en
2t  16  0 . De functiewaarden van g(t) zijn
dus groter of gelijk aan 4 en die van h(t) groter of
gelijk aan -2. De grafiek van h snijdt de x-as dus
wel en die van g niet.
Er is één snijpunt.
y
g
8
6
4
h
2
t
2
4
6
8
10
12
14
16
-2
-4
V-8.
a.
b.
V-9.
12
-2
d.
V-7.
a.
y
f ( x )  4  2x  22  2x  22 x
x
f(x)
g(x)
-2
1
1
Martine heeft gelijk.
f ( x )  31  ( 3 x )4  31  ( 3)4  x 4  31  81 x 4  27 x 4
2
Uitwerkingen 4 vwo wiskunde B, hoofdstuk 2
-1
2
2
0
4
4
1
8
8
2
16
16
18
24 juli 2017
1.
a.
b.
c.
2.
a.
4x  7  0
4x  7
x  1 34
Df : 1 34 ,
Dg : ,1 34  1 34 , 
4  7x  0
7 x  4
x  74
Df : , 74 
b.
en Bf : ,5
d.
c.
27  x 3  0
 x 3  27
x3
Dg :  ,3 
en Bg : ,2
en Bh : ,0  0, 
2x  5  0
2x  5
x  2 21
Dk : ,2 21  2 21 , 
en Bk : , 21 
3.
x3  8  0
x 3  8
x  2
Dh : , 2  2, 
1
2
,
h: verticale asymptoot: x  2 en horizontale asymptoot: y  0
k: verticale asymptoot: x  2 21 en horizontale asymptoot: y  21
4.
a.
Verticale asymptoot: x  4 21 en horizontale asymptoot: y  3 21 .
b.
Df : ,4 21  4 21 ,  en Bf : ,3 21  3 21 , 
5.
a.
Df : Ў
b.
c.
d.
x 2  x  12  ( x  4)( x  3)  0
x  4  x  3
( 4, 0) en (3, 0)
De top ligt bij x   21 : f (  21 )  3 21  3 21  12 41
T (  21 ,  12 41 )
De grafiek is een dalparabool, dus Bf :  12 41 ,  .
6.
a.
Grafiek A heeft twee verticale asymptoten: h( x ) 
1
x 4
2
Grafiek B heeft twee randpunten: f ( x )  x 2  4
Grafiek C is een hyperbool; een lineair gebroken functie: j ( x ) 
b.
-
3
Uitwerkingen 4 vwo wiskunde B, hoofdstuk 2
1
4
x
24 juli 2017
7.
a.
b.
12a  4  0
12a  4
Omdat het domein ,12 is moet a  31 .
a   31
2b  3  7
y
2b  4
b  2
8
6
4
15
8.
Voer in: y1  x  4 x
y
2
2
10
t
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
5
t
-2
9.
-4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
-5
10.
a.
-6
-10
b.
In de derde plot is de grafiek het beste in beeld.
Om de grafiek goed in beeld te krijgen stel je in het
window de x-waarden in en dan met zoom en zoomfit
past de GRM de y-waarden in.
kleinere y-waarden.
11.
a.
b.
c.
De verticale asymptoot is x  100 . Daar verandert de grafiek dus flink.
TblStart  80 en VTbl  5
De horizontale asymptoot is y  3 .
-15
-20
16
y
14
12
12.
a.
10
2x  100  0
2 x  100
x  50
Df :  50, 
B.v.: X min  55, X max  50, Xscl  10, Y min  5, Y max  20 en Yscl  5
8
6
4
2
-60
-50
-40
-30
-20
-10
x
10
20
30
40
50
-2
b.
c.
12
13.
a.
b.
11
Tijd en hoogte moeten positief zijn.
Voer in: y1  15 x  4,9 x 2
Stel in het window de x-waarden in:
X min  0, X max  5 en vervolgens zoom zoomFit.
Pas eventueel het window aan.
De t-waarden van 0 tot 3 en de h-waarden van 0
tot 11,5
h
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
-1
t
1
2
3
-2
c.
14.
a.
b.
c.
Om een grafiek helemaal op het beeldscherm te krijgen kun je in het window de x-waarden instellen
en vervolgens zoom optie 0 (zoomfit) te gebruiken. Daarna kun je in het window kijken wat de ywaarden zijn.
X min  15, X max  15, Xscl  5, Y min  150, Y max  150 en Yscl  10
X min  5, X max  5, Xscl  1, Y min  45, Y max  65 en Yscl  10
X min  8, X max  5, Xscl  1, Y min  10, Y max  10 en Yscl  1
4
Uitwerkingen 4 vwo wiskunde B, hoofdstuk 2
24 juli 2017
15.
16.
a.
b.
Op tijdstip t  0 is de hoeveelheid water 1000 liter.
1000  50t  0
50t  1000
t  20
X min  0, X max  25, Xscl  1, Y min  0, Y max  1100 en Yscl  50
9
8
De grafiek moet een verticale asymptoot hebben bij
x  4 en een horizontale asymptoot bij y  2 .
Chris heeft geen haakjes gezet om x  4 .
1
1
fChris ( x )  2   4  2 
x
x
c.
y
7
6
5
4
3
2
1
0
-1
x
1
2
3
4
5
6
7
8
-2
-3
-4
-5
17.
18.
a.
b.
f(x): X min  3, X max  10, Y min  1, Y max  5
g(x): X min  5, X max  5, Y min  2, Y max  10
h(x): X min  10, X max  20, Y min  0, Y max  10
Y min  500, Y max  300
Nee! De toppen laten we uitrekenen met 2nd trace optie 3 (minimum) en optie 4
(maximum). De nulpunten met 2nd trace optie 2 (zero).
maximum: (-0.08, -4.96) minimum: (4.08, -41.04) nulpunt: (6.29, 0)
c.
19.
a.
b.
c.
De grafiek snijdt de x-as drie keer.
2nd trace optie 2 (zero): x  1,42, x  0,51 en x  1,14
2nd trace optie 4 (maximum): (-0.88, 3.61) en optie 3 (minimum): (0.88, -0.61)
20.
a.
b.
Voer in: y1   21 x 4  5 x  1
maximum: (1.36, 4.09)
21.
a.
b.
c.
Karlijn heeft het goed ingevoerd.
y  (2x )2  20  22 x  20
Je mag voor x alle waarden invullen; Df : Ў
zero: x  0,20 en x  2,08
De kleinste waarde dat x 2 kan aannemen is 0. Het bereik van f is  19,  .
d.
2
2x  20  0
2
Voer in: y1  2x  20
22.
a.
b.
zero: x  2,08 en x  2,08
Bijvoorbeeld: Xmin  10, Xmax  10, Ymin  10 en Y max  20
Voer in: y1  x 2  6 x en y 2  3 x  7
2nd trace optie 5 (intersect): x  7,52 en x  1,04
5
Uitwerkingen 4 vwo wiskunde B, hoofdstuk 2
9
24 juli 2017
23.
Om een grafiek helemaal op het beeldscherm te krijgen kun je in het window de x-waarden instellen en
vervolgens zoom optie 0 (zoomfit) te gebruiken. Daarna kun je in het window kijken wat de y-waarden
zijn.
a.
b.
c.
d.
Nulpunten: x  5,32  x  1,32
Top: (-2, -11)
Nulpunten: t  0,5  t  0  t  0,5
Toppen: (-0.29, 9.62) en (0.29, -9.62)
Nulpunt: q  12,61 . Een exponentiële functie heeft geen toppen.
Nulpunten: p  14,76  p  20,06
Top: (2.65, 13.42)
24.
a.
b.
c.
Voer in: y1  13  1,08 x en y 2  25
2nd trace (calc) optie 5 (intersect): x  8,50
x  8,50
25.
a.
b.
c.
d.
x  3,46
n  0,41
moet zijn: 3 x  0,5 x  1 x  0,13 en x  31,87
t  233,21
26.
a.
b.
Het antwoord van Annet is exact. Yvonne heeft haar antwoorden afgerond.
Die van Annet zijn de exacte antwoorden.
27.
a.
d.
28.
a.
3
4 x
b.
x
3  4 x  x 2
x 2  4x  3  0
( x  3)( x  1)  0
x  3  x 1
2
 1  x2
2
x
2  x2  x4
x4  x2  2  0
( x 2  2)( x 2  1)  0
x 2  2  x 2  1

x  1  x  1
5  2x 2  0
2 x 2   5
x 2  2 21
 2 21  x  2 21
b.
2x( x 2  3 x )  2x 3  4 x
2x 3  6 x 2  2x 3  4 x
6x 2  4x  0
2 x(3 x  2)  0
x  0  x  32
x2  x  1 0
x2  x  1  0
x   21  21 5
x 1 x 1
x 2  2x  1  x  1
x 2  3x  2  0
( x  2)( x  1)  0
x  2  x 1
c.
 ,  21  21 5     21  21 5 , 
 
6
Uitwerkingen 4 vwo wiskunde B, hoofdstuk 2
c.
2x 2  x  3  0
(2x  3)( x  1)  0
x  1 21 en x  1
24 juli 2017
29.
a.
b.
c.
30.
a.
Omtrek  2  1 21  3 en Opp    (1 21 )2  2 41 
r  6.400 km
Omtrek  2  6400  40.212 km.
Dat zegt niet zo veel hoe groot dat nu eigenlijk is.
b.
Omdat de coëfficiënt voor x 2 positief is, is de grafiek een dalparabool. De grafiek
heeft dus nog een nulpunt.
x  1,3
31.
a.
b.
c.
Voer in: y1  2 x 2  x  4
Dat doen we dus niet!
x  41  41 33
32.
a.
b.
c.
zero: x  1,19 en x  1,69
intersect: x  15.500
y1  0,02x  35 en y 2  500  0,01x
0,02x  35  500  0,01x
0,03 x  465
x  15.500
De vergelijkingen 3 en 4 kun je ook algebraïsch oplossen.
3. 23  3  1,5x  50
8  4,5 x  50
4,5 x  42
x  9 31
4.
x 2  3x  4
x 2  3 x  16
x 2  3 x  16  0
x  1 21  21 73
intersect: x  1,95
d.
Voer in: y1  x 3  2 x 2 en y 2  15
33.
a.
b.
c.
De vergelijking heeft drie oplossingen.
x  1 en x  1: f (1)  0  (4)2  0  4  0  g(1) en f (1)  2  (2)2  8  4  2  g(1)
( x  1)( x  3)2  4  ( x  1)
x  1  0  ( x  3)2  4
x  1  x  3  2  x  3  2
x 1  x  5
34.
a.
( x  2)2 (2x  1)  ( x  2)2 ( x  2)
b.
( x  2)2 (2x  1)  ( x  2)3
d.
( x  2)2  0  2 x  1  x  2
x  2  x  3
4x  1
 16 x  4  4(4 x  1)
x2
1
4x  1  0  2  4
x
( x  2)2  0  2 x  1  x  2
x  2  x 1
c.
( x  3)  2x  2x  6  2  ( x  3)
x  3  0  2x  2
x  3  x 1
x   41  x 2  41
x   21  x 
7
Uitwerkingen 4 vwo wiskunde B, hoofdstuk 2
1
2
24 juli 2017
35.
a.
De grafieken zijn niet goed getekend. Moeten nog 1 naar rechts verschoven worden.
b.
c.
d.
Het randpunt van fb ( x ) is (3, b). Dus de middelste grafiek hoort bij b  0 .
Bij de bovenste grafiek hoort b  2 en bij de onderste b  2 21 .
3x 0
x 3
Ik ga er vanuit dat de bovenste grafiek A is en de onderste C.
BC :  2 21 , 
e.
De grafiek C moet 4 21 omhoog verschoven worden.
f.
Dan moet je de grafiek 2 21  3 omhoog verschuiven.
36.
a.
b.
16
14
De grafiek van f moet verticaal vermenigvuldigd
worden.
ga (0)  a 0  4  2a  4
a  2
12
a  2 21
10
8
6
4
2
-5
37.
a5
y
-4
-3
-2
-1
x
1
-2
2
3
4
5
-4
g(x): 4 omlaag verschuiven.
h(x): vermenigvuldigen t.o.v. de x-as met
factor 4
1
1
1
i(x) 
 2  91  2 : vermenigvuldigen t.o.v. de x-as met factor
2
(3 x )
9x
x
a  3
-6
-8
-10
-12
1
9
.
2
1,96
1
 1,4 
j(x)  
 2  1,96  2 : vermenigvuldigen t.o.v. de x-as met factor 1,96.

x
x
 x 
38.
a.
1 omhoog
x  as ,  3
f ( x )  2x 
 y  2x  1
 y  3(2x  1)  3  3  2x
b.
1 omhoog
x  as ,  3
f ( x )  2x 
 y  3  2x 
 y  1  3  2x
39.
a.
4 omlaag
x  as , 2
f ( x )  2x  1
y  2  (2x  1)  4x  2 
 y  4x  6
b.
2 omlaag
x  as , 2
f ( x )  2x  1
 y  2x  3 
y  2  (2x  3)  4x  6
40.
2
g ( x )  4 x  2 
 21  ( 4 x  2) 
V
V
V
V
V
x  as , 1
1
2
1 omhoog
4 x  1  x  1 
y  x
V
x  as , 1
1 omhoog
2
g ( x )  4 x  2 
 4 x  1 
 y  21  ( 4 x  1) 
41.
a.
b.
c.
d.
1
2
4 x  21  x  21
9
Kijk voor verticale asymptoten waar de noemer 0
wordt: 2 x  0 voor alle waarden van x, dus de noemer
is altijd groter dan 1.
8
y
7
6
5
4
3
2
Voor grote positieve waarden van x is 2x heel erg
8  2x 2x
 x  1. En voor grote negatieve
groot: y 
1  2x
2
8  2x 8
 8
waarden van x is 2x bijna 0: y 
1  2x 1
Bb : 1,8
8
Uitwerkingen 4 vwo wiskunde B, hoofdstuk 2
1
-8
-6
-4
-2
-1
-2
-3
x
2
4
6
8
24 juli 2017
42.
a.
b.
c.
d.
e.
f.
x 20
x  2
en R(-2, -2)
Voer in: y1   x 2  2  7 x  2
maximum: (1.01, 13.12)
Bf : ,13.12
4  b  0
b4
g ( 4)  16  a  0  0
a  16
Het randpunt is bij x  3 , dus b  3 .
Door (12, 0): g (12)  144  a  7 12  3  123  a  0 , dus a  123 .
43.
a.
b.
4
3
2 
1
0
x4
c.
1
2
x4
x  4  21
x  4 21
d.
fa ( 3)  2 
a
3 4
fa (0)  2 
a
0
4
y
2
1
-4
-2
a
2
4
a  8
-1
x
2
4
d.
e.
10
14
-4
-5
-6
a
3 4
-7
 3
-8
 3 2
7
y
5
4
3
Df : , 1  1,  en Bf : ,2  2, 
2
1
3
2
 3 x  1
-8
-6
-4
-2
2
x 1
-1
-2
3
 3  3x
-3
x 1
-4
3  ( x  1)(3  3 x )  3 x 2  6 x  3
-5
3 x 2  6 x  3 x ( x  2)  0
x  0  x  2
(0,  1) en ( 2, 5)
3
Voer in: y1  2 
en y 2  x 2  x  12
x 1
intersect: ( 4.39, 2.88), ( 0.79,  12.17) en (3.18, 1.28)
3
9
9
Vx  as ,  3
12 omlaag
f ( x ) 
 y  3  (2 
)  6 

 y  18 
x 1
x 1
x 1
x
4
45.
a.
12
-3
6
c.
8
-2
a  ( 3  4)( 3  2)  5  2 3
44.
a.
b.
6
Voer in: y1  3  x 
1
2x
minimum: y  3,91
9
Uitwerkingen 4 vwo wiskunde B, hoofdstuk 2
Bf : 3.91,
6
8
24 juli 2017
1
 x  3 41
x
2
b.
3x
c.
1 1

2x 4
2 x  4  22
x2
Voer in: y 2  2x
46.
a.
b.
c.
d.
47.
a.
b.
intersect: x  3,12
x2
2
 1
x
x
2
1   1 21
A(4, 6)
x
2 1
tan AOB  1 21
2
x
AOB  tan1(1 21 )  56o
x4
Voor grote waarden van x nadert t naar 1.
AOB nadert dan naar 45o.
t
Grafiek C is een bergparabool. Daar hoort de functie f bij.
Grafiek A is een hyperbool. Daar hoort een lineair gebroken functie bij: g.
Grafiek B hoort bij een wortelfunctie vanwege het randpunt. Dus h.
Grafiek D hoort bij een exponentiële functie: m.
f: D : Ў en B : ,10
g: D : ,4  4,  en B : ,2 21  2 21 , 
h: D : ,5 en B : 0,
m: D : Ў en B : 0,
48.
a.
b.
c.
d.
e.
De lengte is x en de breedte van het kruis is de totale lengte van het vierkant min 2
keer de lengte van de arm van het kruis: 10  2x .
R( x )  4  x  (10  2x )  40 x  8 x 2
Elk geel vierkant heeft een oppervlakte van x 2 . Het middelste vierkantje heeft een
oppervlakte van (10  2x )2 . Dus G( x )  4x 2  (10  2x )2 .
R( x )  G( x )  40x  8x 2  4x 2  (10  2x )2  40x  8x 2  4x 2  100  40x  4x 2  100
G( x )  R( x )  50
40 x  8 x 2  50
8 x 2  40 x  50  0
ABC  formule
x  2 21
f.
4 x 2  (10  2x )2  4  (40 x  8 x 2 )
Voer in: y1  4 x 2  (10  2 x )2 en y 2  4  (40 x  8 x 2 ) intersect: x  0,56  x  4,44
10
Uitwerkingen 4 vwo wiskunde B, hoofdstuk 2
24 juli 2017
T-1.
a.
b.
T-2.
a.
b.
Df : Ў en Bf : ,5
Dg : ,8 en Bg :  2, 
c.
Dh : Ў en Bh : 3,
d.
Dk : ,3  3,  en Bk : , 2  2, 
horizontale asymptoot (grote waarden voor x invullen): y  2
verticale asymptoot (kijk waar de noemer 0 is): x  3
x 2  3  0 voor alle waarden van x. De grafiek heeft geen verticale asymptoten.
T-3.
a.
b.
c.
d.
Xmin  10, Xmax  30, Ymin  30 en Y max  100
Xmin  40, Xmax  30, Ymin  10 en Y max  40
Xmin  5, Xmax  2, Ymin  40 en Y max  100
Xmin  10, Xmax  15, Ymin  60 en Y max  100
T-4.
a.
b.
c.
d.
Voer in: y1  21 x 3  3 x  8
zero: x  3,29
maximum: (-1.41, -5.17) en minimum: (1.41, -10.83)
Voer in: y 2  4
intersect: x  3,57
Voer in: y 2  3 x  7
intersect: x  3,38  x  0,17  x  3,54
T-5.
a.
3 4x  1  5
16 x 2  9  24 x
8  4  x  10
x4
x
x 3
9(4 x  1)  25
36 x  34
x  17
18
16 x 2  24 x  9  0
(4 x  3)2  0
x  34
4x 2
4x  4
x 0
x  4  x( x  3)
x 2  4x  4  0
( x  2)2  0
x2
b.
intersect: x  11,13
B: Voer in: y1  8( x  2) en y 2  x  1
2
C: Voer in: y1  6  0,8  3
x
3
zero: x  3,11
T-6.
V
x  as , 1
a.
3 omlaag
2
f ( x )  2  4 x 3 
y  21 (2  4 x 3 )  1  2 x 3 
 y  2  2 x 3
b.
1 omhoog
2
f ( x )  2  4 x 3 
 y   21 (2  4 x 3 )  1  2 x 3 
 y  2x 3
V
x  as ,  1
V
x  as ,  1
2 omlaag
2
 y  4 x 3 
 y   21  4 x 3  2 x 3
of: f ( x )  2  4 x 3 
T_7.
a.
Grafiek 1 is een rechte lijn. Daar past een lineaire functie bij: k(x).
Grafiek 2 past bij een exponentiële functie: f(x).
Grafiek 3 is een hyperbool. Daar past een lineair gebroken functie bij: h(x).
En grafiek 4 heeft een randpunt en past dus bij een wortelfunctie: g(x).
11
Uitwerkingen 4 vwo wiskunde B, hoofdstuk 2
24 juli 2017
A: k(0)  3
B: 3  21 x  0
A(0, 3)
c.
C: f (0)  3
C(0, 3)
D: 9  2x  0
1
2x  9
x 3
2
B(6, 0)
D (4 21 , 0)
x  4 21
x6
grafiek 2 heeft een horizontale asymptoot: y  0 en grafiek 3: y  1 .
d.
f: domein: Ў
bereik: 0,
b.
g: domein: ,4 21  bereik: 0,
e.
T-8.
a.
h: domein: ,2  2, 
k: domein: Ў
bereik: Ў
x
3  1,5  10
Voer in: y1  3  1,5 x en y 2  10
Dus: x  2,97
bereik: , 1  1, 
intersect: x  2,97
AS  AD  SD  6  a
OppAPS  21  a  (6  a )  3a  21 a 2
b.
O(a )  36  4  (3a  21 a 2 )  36  12a  2a 2
c.
Voer in: y1  2 x 2  12 x  36
minimum: y  18
De oppervlakte is minimaal als x  3 .
domein: 0  a  6 en bereik: 18  O  36
Voer in: y 2  30
intersect: x  0,55 en x  5,45
De oppervlakte is groter dan 30 voor: 0  a  0,55 en 5,45  a  6 .
d.
e.
12
Uitwerkingen 4 vwo wiskunde B, hoofdstuk 2