Trillingen en golven

Enkelvoudige harmonische
trillingen
Hoofdstuk 2
Harmonische Trillingen




TRILLING : heen – en weergaande
beweging rond evenwichtsstand.
ELONGATIE : Stand ten opzichte van de
evenwichtsstand.
AMPLITUDE : Maximale elongatie.
HARMONISCHE TRILLING : Elongatie =
sinusfunctie
Bewegingsvergelijking
y(t )  A  sin(  t  0 )






A : Amplitude
(t + 0) : Fasehoek (fase)
 : Fasesnelheid of pulsatie
0 : Beginfase
Periode T :
T  2  T 
Frequentie f :
f T
1


2
2

Elongatie
Elongatie (2)
Elongatie : fasorvoorstelling



Fasor : vector met
lengte gelijk aan
amplitude die
ronddraait met
hoeksnelheid
gelijk aan pulsatie.
Elongatie =
projectie op de Yas.
Zie ook applet.
Snelheid bij EHT - berekening
dy (t )
dt
v y  A cos(t  0 )
vy 

v y  A sin(t  0  )
2



Snelheid is opnieuw een trilling met
amplitude A.
Snelheid is /2 uit fase ten opzichte van
elongatie.
Snelheid ‘loopt /2 voor op’ elongatie
Snelheid bij EHT - grafisch
Snelheid bij EHT - grafiek


Snelheid is maximaal bij doorgang door
evenwichtstand.
Snelheid is nul bij maximale uitwijking
Versnelling bij EHT - berekening
d2y
ay 
 2
dt
dt
a y   A 2 sin(t  0 )
dv y
a y   2 y (t )


Versnelling is opnieuw een trilling met amplitude
A².
Versnelling is  uit fase ten opzichte van elongatie
en /2 uit fase ten opzichte van snelheid.
Versnelling bij EHT - grafisch
Versnelling bij EHT - grafiek


Versnelling is maximaal als uitwijking maximaal
is.
Versnelling is nul bij doorgang door
evenwichtspositie.
Snelheid en versnelling bij EHT
Fasorvoorstelling (2)



Snelheid en
versnelling kunnen
ook met fasoren
voorgesteld
worden.
Fasor snelheid
staat loodrecht op
fasor elongatie.
Fasor versnelling
maakt hoek van
180° met fasor
elongatie.
Krachtwerking bij EHT
Uit eerste wet van
Newton en afleiding
versnelling volgt :


Kracht is recht
evenredig met
elongatie.
Kracht is
tegengesteld gericht
aan de elongatie.
F  ma
Fy  ma y
Fy   m 2 y
Fy   ky
(k  m 2 )
Nodig en voldoende voorwaarde om een massa
m een EHT met pulsatie  te laten beschrijven
Energie bij EHT – Kinetische energie

Kinetische energie – definitie
1 2
Ek  mv
2

Kinetische energie op tijdstip t
1
Ek  mA2 2 cos 2 (t  0 )
2

Kinetische energie bij elongatie y

1
Ek  m 2 A2  y 2
2
)
Energie bij EHT – potentiële energie


Ep bij elongatie y
is arbeid verricht
door resultante bij
verplaatsing van y
naar evenwichtstand.
Arbeid is
oppervlak onder
Fy, y diagram.
E
p
1
1 2
 F  y ) y  ky
2
2
Totale energie
E  E p  Ek
1 2 1
E  ky  k ( A2  y 2 )
2
2
1
1
2 2
2
E  m A cos (t  0 )  m 2 A2 sin 2 (t  0 )
2
2
1 2
E  kA
2
Totale energie is recht evenredig met kwadraat
van amplitude
Totale energie (2)
E
E
Ep
Ek
t (s)
Waar passeert op bovenstaande grafiek de massa de evenwichtstand ?
Massa aan veer
Evenwichtstand
Fv  Fz  0
kv y  mg  0 N
Elongatie y
FR  Fv  Fz
FR  kv ( y0  y )  mg
FR  kv y
Massa aan veer - conclusies


Massa aan veer voert harmonische
trilling uit.
Trilconstante = veerconstante

kv
m
kv
f  2
m
1
T
2
m
kv
Wiskundige slinger

Idealisatie :




Onuitrekbaar en
massaloos touw
Puntmassa
Puntmassa
beweegt op
cirkelboog.
Elongatie : afstand
Ds langs de
cirkelboog.
Wiskundige slinger - krachtwerking




Te bewijzen : kracht die heen – en
weergaan veroorzaakt voldoet aan nodige
en voldoende voorwaarde.
Welke kracht is dat ?
 Tangentiële component van resultante.
Spankracht : alléén maar normaalcomponent.
Kracht die we zoeken
 Tangentiële component van
zwaartekracht.
Wiskundige slinger – krachtwerking (2)

Tangentiële
component
zwaartekracht :
Fz ,t  mg sin 

Voor kleine hoeken
:
Fz ,t  mg
Ds
Fz ,t  mg
l
Wiskundige slinger - conclusies

Fz ,t  k  Ds
mg
k  m 
l
2
g
l
1
f 
2
g
l
l
T  2
g
Gedempte trillingen
Y


Realiteit : energie
gaat verloren door
niet conservatieve
krachten zoals
wrijving => Amplitude
gaat afnemen : trilling
wordt gedempt.
Amplitude gaat
exponentieel afnemen
t (s)
y (t )  Ae

b
t
2m
sin(t  0 )
Resonantie




Oscillerend systeem kan
energie overdragen naar
andere oscillator door
koppeling.
Energie-verdracht is
maximaal, als frequentie
van bron (emittor) gelijk
is aan eigenfrequentie
van ontvanger
(resonator).
Resonantievoorwaarde :
femittor = fresonator
Zie ook applets website.
Resonantie-catastrofe



Bij continue energietoevoer bij
resonantie-voorwaarde, kan
amplitude zéér groot worden.
Amplitude kan zo groot worden, dat
elasticiteitsgebied overschreden
wordt, en systeem kan permanent
vervormd worden =>
RESONANTIE-CATASTROFE.
Berucht voorbeeld : Tacoma
Narrows Bridge
Resonantie – catastrofe (2)