Muonen uit de hemel - CMA

Muonen uit de hemel
Toelichting
NATUURKUNDE
Kernfysica en
relativiteitstheorie
Muon
Het muon is een elementair deeltje met een lading van -e een spin ½ en wordt aangeduid
met het symbool μ-. Het lijkt hiermee sterk op het elektron, maar het is met 105,7 MeV/c2
207 keer zo zwaar. Ook is het muon erg instabiel: waar het elektron een gemiddelde
levensduur heeft van 6,6·1028 jaar, is de gemiddelde levensduur van een muon 2,2 µs.
Een muon vervalt in een muonneutrino, een elektron en een elektron antineutrino:
Figuur 1 Vervalsdiagram van een negatieve muon (bron: wikimedia)
Dit wil niet zeggen dat het deeltje hiermee irrelevant is. Er vallen per minuut wel 10.000
muonen per vierkante meter op de aarde. Deze muonen ontstaan wanneer hoog
energetische straling en deeltjes uit het heelal in de hogere lagen van de atmosfeer (15
km) botsen op de moleculen die daar aanwezig zijn. Bij deze botsingen ontstaan eerst
pionen. Deze pionen vervallen binnen enkele meters in een regen van muonen en andere
deeltjes (zie figuur 2). Deze muonen stormen vervolgens met snelheden van bijna de
lichtsnelheid op de aarde af. Doordat ze zoveel energie hebben, zijn ze in staat door
tientallen meters gesteente door te dringen.
Muonen uit de hemel – Toelichting 1
Figuur 2 Deeltjesregen na botsing proton in bovenste atmosfeer. Bron: wikimedia.
Muonen kunnen gemeten worden met muondetectoren.
De kans op het verval van een deeltje binnen een bepaald tijdsinterval wordt met de
volgende formule beschreven.
)𝒕
1)
𝑷(𝒕) = 𝟏 − 𝒆𝜸∙𝝉
2)
𝝉 = 𝒍𝒏𝟐 ∙ 𝒕𝟏
𝟐
3)
𝜸 =
𝟏
𝒗𝟐
𝟏1 𝟐
𝒄
Hierbij is τ (kleine letter tau) de gemiddelde levensduur van het deeltje. De gemiddelde
levensduur is de tijd waarna van een bepaalde beginhoeveelheid deeltjes gemiddeld
(≈37%) deel nog niet is vervallen. τ is ln(2) maal de halfwaarde tijd.
4
5
Het tijdsinterval wordt hier gemeten in het waarnemersstelsel(eigentijd) van het
bewegende deeltje. Doordat het deeltje met bijna de lichtsnelheid beweegt gaat de tijd
voor het deeltje (t’) veel langzamer dan in het waarnemersstelsel van de waarnemer op
aarde wordt gemeten (t). Volgens de formule: ∆𝑡 8 = 𝛾∆𝑡. Ook de door het deeltje gemeten
4
afstand is anders, namelijk korter: ∆𝑥 8 = ×∆𝑥.
;
2
Coach Lesmateriaal
Wanneer deze relativistische tijdsdilatatie en lengtecontractie niet zouden optreden, dan
zouden alle muonen al vervallen zijn voordat ze de kans hadden de detector te bereiken.
Het kunnen meten van muonen is dus een mooi bewijs voor de relativiteitstheorie.
Omdat het bij het meten van elementaire deeltjes vaak om relativistische snelheden
handelt, is de Lorentzfactor verwerkt in de vervalvergelijking. Zo wordt het verval in het
waarnemersstelsel van de stilstaande waarnemer berekend, met als ‘klok’ de eigentijd van
het deeltje.
Het verhaal over creatie en verval van muonen wordt op een vermakelijke manier verteld
in het volgende filmpje.
Het verval van bewegende muonen modelleren
Bij het model wordt het volgende aangenomen:
•
•
•
Er wordt steeds eenmaal een grote hoeveelheid muonen (10000) gecreëerd.
De muonen vervallen in stappen van 1 microseconde tot de vervalproducten. De
muonen zitten gedurende de gehele reis naar de aarde in de toestandsvariabele
‘muonen’, waarna ze allemaal in een stap uitstromen naar de toestandsvariabele
‘Aantal gemeten muonen’.
De hoeveelheid vervallen deeltjes wordt berekend met de volgende formule:
)𝒕
•
•
𝑨𝒂𝒏𝒕𝒂𝒍𝒗𝒆𝒓𝒗𝒂𝒍𝒍𝒆𝒏𝒅𝒆𝒆𝒍𝒕𝒋𝒆𝒔 𝒕 = 𝒎𝒖𝒐𝒏𝒆𝒏 ∙ (𝟏 − 𝒆𝜸∙𝝉 ). Dit gaat in stappen van
een microseconde.
Alle deeltjes ontstaan tegelijk op een bepaalde hoogte: in het model de constante
Hoogte ontstaan muonen.
Alle muonen hebben dezelfde snelheid: in het model de constante v-muon.
In de modelomgeving van Coach worden de gegevens vertaald naar het volgende
grafische model:
Muonen uit de hemel– Toelichting 3
Na het runnen van het model geeft de analytische oplossing weer hoeveel deeltjes er met
de detector gemeten zijn, en hoeveel er in de tijd al vervallen zijn. Ook is uitgerekend
hoeveel eigentijd er verstreken is en wat de afgelegde weg volgens het muon is.
Dit ziet er na een run zo uit:
4
Coach Lesmateriaal