We beschouwen de eenheidscirkel

1. Invoering van de goniometrische cirkel
 We beschouwen de eenheidscirkel. Beschouwen we eveneens twee loodrechte assen
door O. We duiden (Eo, E) aan : een orthonormale basis van het vlak.
 We kunnen een representant van elke hoek zo kiezen dat haar beginbeen samenvalt met
de positieve x-as. Elke hoek zal dan volledig bepaald worden door het tweede been
van de verplaatste hoek. Dat tweede been heeft precies één snijpunt met de
eenheidscirkel. Elke hoek bepaalt dus precies één punt op die cirkel. We noemen
dat punt het beeldpunt van de hoek (bijectie tussen de verzameling van alle hoeken
en de punten op de cirkel).
 Als we op deze manier elke hoek laten overeenkomen met een beeldpunt op de
eenheidscirkel, spreken we van de goniometrische cirkel.
y
E
I I
b
'
I
E
a
'
x
E
O
I I I
I V
 De twee assen verdelen de goniometrische cirkel in vier cirkelbogen : de vier
kwadranten.
2. Het meten van hoeken
(Zestigdelige) graden :
180° = gestrekte hoek
1° = 60’
1’ = 60”
DEG
Radialen :
 rad = gestrekte hoek
1 rad is decimaal onderverdeeld
RAD
Omzetten radialen  graden :
x rad = y°

y.π
=x
180

x.180
=y
π
1 rad  57°
Formularium wiskunde KAM
goniometrie 1
3. Goniometrische getallen
Definitie :
Beschouw   A met E beeldpunt van  op de goniometrische cirkel.
1) cos = de abscis van E
2) sin  = de ordinaat van E
sin 
3)    A \ {-,}: tan  =
cos 
cos 
4)    A \ {o,}: cot  =
sin 
1
5)    A \ {-,}: sec =
cos α
1
6)  ²  A \ {o,}: csc =
sin 
Weergave op de goniometrische cirkel :
R
T
E
Q
E
O
P
t
Grondformule :
cos 2   sin 2   1
Afgeleide formules :
Formularium wiskunde KAM
1  tan ² 
1
cos ²
1  cot ² 
1
sin ²
goniometrie 2
Bijzondere waarden
=
0°
30°
45°
60°
90°
0 rad

rad
6

rad
4

rad
3

rad
2
sin 
0
1
2
2
2
3
2
1
cos
1
3
2
2
2
1
2
0
tan 
0
3
3
1
3
/
cot 
/
3
1
3
3
0
Tekens :
cos
Iste kwadrant
+
IIde kwadrant
IIIde kwadrant
IVde kwadrant
+
sin 
+
+
-
tan  cot 
+
+
+
+
-
4. Verwante hoeken
Gelijke hoeken : k Z :
sin(  k .360)  sin 
sin(  k .2 )  sin 
cos(  k .360)  cos 
cos(  k .2 )  cos 
tan(  k .360)  tan 
tan(  k .2 )  tan 
cot(  k .360)  cot 
cot(  k .2 )  cot 
Formularium wiskunde KAM
goniometrie 3
Complementaire hoeken :
 en  zijn complementaire hoeken   +  = 

sin(90 -  )  cos 
sin( -  )  cos 
2
cos(90 -  )  sin 
cos( -  )  sin 
2
tan(90 -  )  cot 
tan( -  )  cot 
2
cot(90 -  )  tan 
cot( -  )  tan 
2



Supplementaire hoeken :
 en  zijn supplementaire hoeken   +  = 
sin(180 -  )  sin 
sin( -  )  sin 
cos(180 -  )  - cos 
cos( -  )  - cos 
tan(180 -  )  - tan 
tan( -  )  - tan 
cot(180 -  )  - cot 
cot( -  )  - cot 
Antisupplementaire hoeken :
 en  zijn anti-supplementaire hoeken   -  = 
sin(180   )  -sin 
sin(   )  -sin 
cos(180   )  - cos 
cos(   )  - cos 
tan(180   )  tan 
tan(   )  tan 
cot(180   )  cot 
cot(   )  cot 
Tegengestelde hoeken :
 en  zijn tegengestelde hoeken   +  = o
sin(- )  -sin 
cos(- )  cos 
tan(- )  - tan 
cot(- )  - cot 
Formularium wiskunde KAM
goniometrie 4
5. Optellingsformules
cos(   )  cos  .cos   sin  .sin 
cos(   )  cos  .cos   sin  .sin 
sin(   )  sin  .cos   cos  .sin 
sin(   )  sin  .cos   cos  .sin 
tan   tan 
1  tan  .tan 
tan   tan 
tan(   ) 
1  tan  .tan 
tan(   ) 
6. Verdubbelingsformules
sin 2  2.sin  .cos 
cos 2  2 cos 2   1
 1  2sin 2 
 cos 2   sin 2 
tan 2 
2 tan 
1  tan 2 
We kunnen ook de goniometrische getallen uitdrukken in functie van tan  .
2 tan 
1  tan 2 
1  tan 2 
cos 2 
1  tan 2 
sin 2 
Deze laatste formules zijn ook onder een andere vorm bekend, we spreken in dat geval
van de t-formules.
2t
tan x 
1 t2
2t
x
sin x 
met t  tan
2
1 t
2
2
1 t
cos x 
1 t2
Uitbreiding : sin3  3sin   4sin ³
cos3  4cos ³  3cos
Formularium wiskunde KAM
goniometrie 5
7. Halveringsformules
cos   
1  cos 2
2
sin   
1  cos 2
2
1  cos 2
1  cos 2
Het teken wordt bepaald door het kwadrant waarin de beschouwde hoek  zich bevindt.
tan   
De formules zijn ook gekend onder de naam : formules van Carnot en zien er dan licht gewijzigd
als volgt uit :

1  cos 
cos  
2
2
sin
tan

2

2

1  cos 
2

1  cos 
1  cos 
8. Formules van Simpson
Eerste vorm : PRODUCT  SOM
2sin  cos   sin      sin    
2 cos  cos   cos      cos    
2sin  sin   cos      cos    
Tweede vorm : SOM  PRODUCT
 x y
 x y
sin x  sin y  2sin 
 cos 

 2 
 2 
 x y  x y
sin x  sin y  2 cos 
 sin 

 2   2 
 x y
 x y
cos x  cos y  2 cos 
 cos 

 2 
 2 
 x y  x y
cos x  cos y  2sin 
 sin 

 2   2 
Formularium wiskunde KAM
goniometrie 6
9. Rechthoekige driehoeken
We beschouwen een ABC met zijden a,b en c waarbij we gelijknamige zijde en hoek
tegenoverstaand beschouwen. Hierbij staat a eigenlijk voor het maatgetal van de lengte van een
zijde van de driehoek en A voor het maatgetal van de hoek ingesloten door de twee zijden die A
als grenspunt hebben.
We beschouwen een rechthoekige driehoek met rechte hoek in A.
Verband tussen de hoeken
A = 90° en B + C = 90°
Verband tussen de zijden – stelling van Pythagoras :
a² = b² + c²
Formules a.h.v. goniometrische getallen :
b
a
c
cos B 
a
b
tan B 
c
c
a
b
cos C 
a
c
tan C 
b
sin B 
sin C 
Deze formules worden het best gememoriseerd als volgt :
(maatgetal van de lengte van de) overstaande rechthoekszijde
(maatgetal van de lengte van de) schuine zijde
(maatgetal van de lengte van de) aanliggende rechthoekszijde
cos( scherpehoek ) 
(maatgetal van de lengte van de) schuine zijde
(maatgetal van de lengte van de) overstaande rechthoekszijde
tan( scherpehoek ) 
(maatgetal van de lengte van de) aanliggende rechthoekszijde
sin( scherpehoek ) 
A
C
Formularium wiskunde KAM
B
goniometrie 7
10. Willekeurige driehoeken
Verband tussen de hoeken :
A + B + C = 180°
Verband tussen de zijden – driehoeksongelijkheid :
a<b+c
b<c+a
c<a+b
Cosinusregel :
a ²  b²  c ²  2b.c.cos A
b²  c ²  a ²  2c.a.cos B
c ²  a ²  b²  2.a.b.cos C
Sinusregel :
a
b
c


 2r ,
sin A sin B sin C
met r = de straal van de omcirkel
Projectieregel :
a  b.cos C  c.cos B
b  c.cos A  a.cos C
c  a.cos B  b.cos A
Hoogte van een driehoek :
hA  b.sin C  c.sin B
hB  c.sin A  a.sin C
hC  a.sin B  b.sin A
Oppervlakte van een driehoek :
1
1
1
S  .hA .a  .hB .b  .hC .c
2
2
2
1
1
1
 a.b.sin C  b.c.sin A  c.a.sin B
2
2
2

p.( p  a ).( p  b).( p  c)
Formularium wiskunde KAM
1
waarbij p  ( a  b  c)
2
goniometrie 8
Halve-hoek-formules of formules van Gauss :
cos
B
p.( p  b)
=
2
ca
cos
C

2
A
( p  b).( p  c)

2
bc
sin
B
( p  c).( p  a)
=
2
ca
sin
C
( p  a).( p  b)

2
ab
A
( p  b).( p  c)

2
p.( p  a)
tan
B
( p  c).( p  a)
=
2
p.( p  b)
tan
C
( p  a ).( p  b)

2
p.( p  c)
cos
A

2
sin
tan
p.( p  a )
bc
p.( p  c)
ab
Tangens-regel :
ab
tan
A B
2

A  B tan a  b
2
bc
tan
BC
2

B  C tan b  c
2
ca
tan
CA
2

C  A tan c  a
2
Straal van de ingeschreven cirkel :
ri  ( p  a ).tan
A
B
C
 ( p  b).tan  ( p  c).tan
2
2
2
Straal van de omgeschreven cirkel :
abc
abc
r

4 p( p  a)( p  b)( p  c) 4S
Bissectrice of deellijn :
2bc
A
dA 
cos
bc
2
2ca
B
dB 
cos
ca
2
2ab
C
dC 
cos
ab
2
Zwaartelijnen :
1
zA 
b ²  c ²  2bc cos A
2
1
zB 
c ²  b ²  2ca cos B
2
1
zC 
a ²  b ²  2ab cos C
2
Formularium wiskunde KAM
goniometrie 9
11. Goniometrische vergelijkingen
Inleidende opm : de parameter k mag overal in de oplossingenverzamelingen enkel gehele
waarden aannemen.
Basisvergelijkingen :
sin x  a
 sin x  sin 
(indien a  1,1  V   )
met  zodat sin   a
 V    k .2   (   )  k.2 
cos x  a
 cos x  cos 
(indien a  1,1  V   )
met  zodat cos  a
 V    k .2 
tan x  a
 tan x  tan 
met  zodat tan  a
 V    k . 
Bijzonder gevallen :
sin x  0  V  k 
tan x  0  V  k. 


sin x  1  V    k .2 
2

 

sin x  1  V    k .2 
 2



cos x  0  V    k . 
2

cos x  1  V  k.2 


tan x  1  V    k . 
4

 

tan x  1  V    k . 
 4

cos x  1  V    k.2 
Formularium wiskunde KAM
goniometrie 10
Algemene vergelijkingen
Het is de bedoeling de meer ingewikkelde vergelijkingen te herleiden naar basisvergelijkingen.
Vooreerst herleiden we de vergelijking naar nul. Daarna zijn o.a. volgende methodes mogelijk :




een som om zetten in een product (Simpson)
 vgl valt uiteen in verscheidene basisvergelijkingen.
de vergelijking d.m.v. goniometrische formules omvormen tot er nog slechts één
goniometrisch getal optreedt en deze dan vervangen door een hulponbekende
 we bekomen een algebraïsche vergelijking, waarvan de oplossingen aanleiding geven
tot basisvergelijkingen.
x
de vergelijking d.m.v. de t-formules ( t  tan ) omvormen tot een algebraïsche
2
vergelijking in t bv. vergelijkingen van de vorm a cos x  b sin x  c
.
homogene vergelijkingen (elke term heeft dezelfde graad in sin x en cos x samen), na
afzondering van gemeenschappelijke factoren, delen door de hoogste macht van cos x , en
daarna tan x gelijkstellen aan een hulponbekende.
Formularium wiskunde KAM
goniometrie 11