Deel 1. Basiskennis wiskunde

IJkingstoets Basiskennis wiskunde juni 2016
Deel 1. Basiskennis wiskunde
Vraag 1
Een reservoir bevat x liter water. Men verbruikt 60 % van dat water waarna men 120 liter water toevoegt
aan het reservoir. Het reservoir bevat nu 10 % meer water dan oorspronkelijk. Uit welke van de volgende
vergelijkingen kan men x berekenen?
(A) 0, 6x + 120 = 1, 1x
(B) 0, 4x + 120 = 0, 9x
(C) 0, 4x + 120 = 1, 1x
(D) 0, 6(x + 120) = 0, 9x
Vraag 2
Waaraan is
(A)
x4
2
R
2x2 − 1 (x + 3) dx gelijk?
+ 2x3 −
x2
2
− 3x + C
(B) 2x4 + 6x3 − x2 − 3x + C
(C)
x5
3
+ 2x4 −
x3
2
− 3x2 + C
(D) 6x2 + 12x − 1 + C
Vraag 3
1
2
De uitdrukking
(A)
1
3 3 2− 2 90 3 3
1
22
3−1
is gelijk aan
81
2 .
(B) 1.
(C) 0.
(D)
9
2.
1
IJkingstoets Basiskennis wiskunde juni 2016
Vraag 4
Als
1
1
1
+ = en b = −0, 5 , dan is a gelijk aan
15 a
b
(A) − 31
2 .
(B) − 15
31 .
(C) − 30
17 .
(D)
15
29 .
Vraag 5
A en B zijn constanten verschillend van 0. Voor alle x verschillend van −1 en verschillend van 1 is
A
B
1
4(x+1) − 4(x−1) + 2(x−1)2 gelijk aan
(A)
A(x−1)2 −B(x+1)(x−1)+2(x+1)
.
4(x+1)(x−1)2
(B)
A(x−1)2 −B(x+1)(x−1)+2(x+1)
.
4(x+1)(x−1)3
(C)
A(x−1)2 −B(x+1)(x−1)2 +2(x+1)(x−1)
.
4(x+1)(x−1)3
(D)
A(x−1)3 −B(x+1)(x−1)2 +2(x+1)(x−1)
.
4(x+1)(x−1)2
Vraag 6
De uitdrukking |3 − 2x| < 1 is gelijkwaardig met
(A) x < 1.
(B) x > 1.
(C) 1 < x < 2.
(D) 2 < x < 1.
Vraag 7
Welke van onderstaande vergelijkingen is de vergelijking van de cirkel met straal
(A) x2 + 4x + y 2 − 14y + 51 = 0
(B) x2 − 4x + y 2 + 14y + 51 = 0
(C) x2 + 2x + y 2 − 7y + 51 = 0
(D) x2 − 4x + y 2 − 14y + 51 = 0
2
√
2 en middelpunt M (−2, 7)?
IJkingstoets Basiskennis wiskunde juni 2016
Vraag 8
Volgens positieve x-zin noemen we “naar rechts” en volgens positieve y-zin noemen we “naar boven”.
y
1
0
x
1
Jan vertrekt op een punt A en gaat 4 meter naar rechts. Vervolgens gaat Jan 6 meter naar boven. Ten
slotte gaat Jan onder een hoek van 45 graden met de x-as links naar beneden over een afstand van 2 meter.
Hoe ver bevindt Jan zich op het einde van het vertrekpunt A?
(A)
(B)
√
√
48 meter
20 meter
(C) 12 meter
p
√
(D) 56 − 20 2 meter
Vraag 9
Onderstaande tekening is de grafiek van een functie f .
y
1
0
1
x
Welke van de volgende resultaten kan als enige juist zijn?
(A)
R1
(B)
R3
(C)
R5
(D)
R4
−1 f (x)dx
0
1
2
=4
f (x)dx = −1, 5
f (x)dx = 1
f (x)dx = 2
3
IJkingstoets Basiskennis wiskunde juni 2016
Vraag 10
Het lijnstuk [AB] draait (in het xy-vlak) met een constante hoeksnelheid van 45◦ /sec rond het punt S op
de x-as. De beweging wordt op de tekening aangegeven met pijltjes.
y
B
2l
S
x
l
A
De tekening komt overeen met de stand op tijdstip t = 0. Na t sec is y(t) de y-coördinaat van het hoogste
punt van de staaf. Welke figuur is de grafiek van y als functie van de tijd t in seconden?
y
y
(A)
2l
2l
l
l
1
y
1
t (s)
y
(C)
2l
2l
l
l
1
(B)
(D)
1
t (s)
4
t (s)
t (s)
IJkingstoets Basiskennis wiskunde juni 2016
Vraag 11
Waaraan is log5
(A)
25
√
5
125
gelijk?
7
5
(B) −1
(C)
1
3
(D) 0
Vraag 12
Gegeven is de functie met voorschrift f (x) = 5 sin
x
5
− 2 + 3. Welke van de volgende uitspraken is juist?
(A) −2 ≤ f (x) ≤ 8 voor alle x ∈ R
(B) 2 ≤ f (x) ≤ 4 voor alle x ∈ R
(C) −4 ≤ f (x) ≤ 6 voor alle x ∈ R
(D) −8 ≤ f (x) ≤ 2 voor alle x ∈ R
Vraag 13
Als f (x) =
(A)
1
3
p
√
3
x + x, dan is f 0 (1) =
2−2/3 .
(B) 2−5/3 .
(C)
1
3
2−5/3 .
(D) 2−2/3 .
Vraag 14
Gegeven zijn de punten P (2, 1) en Q(5, 0). Welk punt R ligt op de rechte P Q?
(A) R(800, −260)
(B) R(299, −98)
(C) R(1004, −335)
(D) R(−12535, 4280)
5
IJkingstoets Basiskennis wiskunde juni 2016
Vraag 15
Beschouw de veelterm p(x) = (x2 + 3x + 2)(x − 3). Welke van onderstaande uitspraken is geldig?
(A) De veelterm p(x) heeft geen negatieve reële nulpunten.
(B) De veelterm p(x) heeft juist 1 negatief reëel nulpunt.
(C) De veelterm p(x) heeft juist 2 negatieve reële nulpunten.
(D) De veelterm p(x) heeft juist 3 negatieve reële nulpunten.
Vraag 16
Als een warm voorwerp in een koudere omgeving geplaatst wordt, dan koelt het af volgens de koelwet van
Newton. Voor een kopje koffie dat bij aanvang 80◦ C is en in een omgeving van 20◦ C geplaatst wordt, zegt
de wet T (t) = 20 + 60 e−k t , waarbij T de temperatuur is in functie van de tijd t (in minuten) en k een
positieve constante. Na 10 minuten is de koffie nog 60◦ C warm. Hoe warm is hij nog na 20 minuten?
(A) 36, 7◦ C
(B) 41, 7◦ C
(C) 46, 7◦ C
(D) 51, 7◦ C
Vraag 17
De lengte h van de hoogtelijn in de volgende willekeurige driehoek is
h
β
α
d
(A)
d
.
cotan α − cotan β
(B)
d
.
cotan α + cotan β
(C)
d
.
tan α − tan β
(D)
d
.
tan α + tan β
6
IJkingstoets Basiskennis wiskunde juni 2016
Vraag 18
Als je een voorwerp met massa m vanop grote hoogte laat vallen bereikt het na enige tijd zijn limietsnelheid,
i.e. de maximale valsnelheid v. De limietsnelheid voldoet aan volgende vergelijking:
mg = λv 2 .
Hierin is g de valversnelling (g = 9, 81 m/s2 ) en λ een evenredigheidsconstante die afhankelijk is van de vorm
van het voorwerp.
Beschouw een bolvormige afgesloten capsule met massa M met daarin plaats voor één persoon. Een persoon
met massa m1 neemt plaats in de capsule, waarop de capsule door een helikopter naar 5000 m hoogte gebracht
wordt en losgelaten wordt. Na enige tijd bereikt de capsule de limietsnelheid v1 . Nadien neemt een tweede
persoon met onbekende massa m2 plaats in de capsule, waarna die - na op dezelfde hoogte te zijn losgelaten
- limietsnelheid v2 bereikt.
Waaraan is m2 gelijk?
(A) m2 =
v2
v1 m1
(B) m2 =
v1
v2 m1
v2
(C) m2 = (M + m1 ) v12 − M
2
v2
(D) m2 = (M + m1 ) v22 − M
1
Vraag 19
Onderstaande figuur geeft de grafiek van de functie f : R → R weer met een volle lijn en de grafiek van de
functie g : R → R met een streepjeslijn. Welk van onderstaande uitspraken is geldig?
3a
(A) f (x) = g(x + 2a)
2a
f (x)
(B) f (x) = g(x) + 2a
(C) f (x) = 2g(x + a)
a
(D) f (x) = 2g(x) + a
g(x)
x
0
Vraag 20
Gegeven is de functie f : R → R : x 7→ f (x) =
Welke van volgende uitspraken is geldig?
√
x2 + 5 − x.
(A) De functie f is overal stijgend.
(B) De functie f is overal dalend.
(C) De functie f heeft een maximum.
(D) De functie f heeft een minimum.
7
Formularium Ijkingstoets
Formuleverzameling
√
√
2 ≈ 1, 41; 3 ≈ 1, 73
Logaritmische en exponentiële functie
e = lim (1 + 1/x)x ≈ 2, 72
x→∞
loga x =a log x = y ↔ x = ay (a ∈ R+
0 \ {1})
ln x = loge x; exp(x) = ex
loga (xy) = loga x + loga y
loga xy = loga x − loga y
loga (xn ) = n loga x
loga b logb c = loga c
ax+y = ax ay ; axy = (ax )y
Trigonometrische functies
sin α
cos α
1
tg α = tan α = cos
α ; cotg α = cot α = sin α = tan α
1
1
sec α = cos α ; cosec α = sin α
Bgsin x = arcsin x, (|x| ≤ 1)
Bgcos x = arccos x, (|x| ≤ 1)
Bgtan x = arctg x = arctan x; Bgcot x = arccot x
Bgsec x = arcsec x, (|x| ≥ 1)
Bgcosec x = arccosec x (|x| ≥ 1)
sin2 α + cos2 α = 1; tan2 α + 1 = sec2 α; 1 + cot2 α = cosec 2 α
cos(α ± β) = cos α cos β ∓ sin α sin β
sin(α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β
tan(α ± β) = (tan α ± tan β)/(1 ∓ tan α tan β)
2 tan α
sin 2α = 2 sin α cos α = 1+tan
2α
cos 2α = cos2 α − sin2 α = 1 − 2 sin2 α = 2 cos2 α − 1 =
2 tan α
tan 2α = 1−tan
2α
tgα
cotgα
1
sin α
α
0
1−tan2 α
1+tan2 α
α−β
α−β
α+β
sin α + sin β = 2 sin α+β
2 cos 2 ; sin α − sin β = 2 sin 2 cos 2
α−β
α+β
α−β
cos α + cos β = 2 cos α+β
2 cos 2 ; cos α − cos β = −2 sin 2 sin 2
2 sin α cos β = sin(α + β) + sin(α − β)
2 cos α cos β = cos(α + β) + cos(α − β)
−2 sin α sin β = cos(α + β) − cos(α − β)
Sinus-en cosinusregel in een driehoek
a
b
c
=
=
sin α
sin β
sin γ
c2 = a2 + b2 − 2ab cos γ
α
c
b
γ
β
a
Verzamelingenleer
AT
∪ B is de verzameling van alle elementen die tot A of tot B behoren.
A B is de verzameling van alle elementen die tot A en tot B behoren.
A \ B is de verzameling van alle elementen die tot A maar niet tot B behoren.
A ⊂ B als alle elementen van A ook tot B behoren.
cos α
1
Formularium Ijkingstoets
Afstanden en hoeken in het vlak en in de ruimte
(cartesiaans assenstelsel)
p
Afstand tussen twee punten p1 (x1 , y1 ) en p2 (x2 , y2 ) in het vlak: |p1 p2 | = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2
|ax0 + by0 + c|
√
Afstand van het punt p(x0 , y0 ) tot de rechte L ↔ ax + by + c = 0 in het vlak: d(p, L) =
a2 + b2
x 1 x 2 + y1 y2
~u · ~v
p
=p 2
Hoek α tussen twee vectoren ~u(x1 , y1 ) en ~v (x2 , y2 ) in het vlak: cos α =
k~uk k~v k
x1 + y12 x22 + y22
Afstand p
tussen twee punten p1 (x1 , y1 , z1 ) en p2 (x2 , y2 , z2 ) in de ruimte:
|p1 p2 | = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 + (z2 − z1 )2
Afstand van het punt p(x0 , y0 , z0 ) tot het vlak γ ↔ ax + by + cz + d = 0 in de ruimte:
|ax0 + by0 + cz0 + d|
√
d(p, γ) =
a2 + b2 + c2
Hoek α tussen twee vectoren ~u(x1 , y1 , z1 ) en ~v (x2 , y2 , z2 ) in de ruimte:
~u · ~v
x1 x2 + y1 y2 + z1 z2
p
cos α =
=p 2
k~uk k~v k
x1 + y12 + z12 x22 + y22 + z22
Inhoud van enkele objecten
Kegel met hoogte h en cirkelvormig grondvlak met straal r: I = πr2 h/3.
Piramide met hoogte h en oppervlakte grondvlak G: I = Gh/3.
Bol met straal r: I = 4πr3 /3.
Afgeleiden
f (x)
f 0 (x)
f (x)
f 0 (x)
g(x) ± h(x)
g 0 (x) ± h0 (x)
g(h(x))
g(x)h(x)
g(x)
h(x)
g 0 (x)h(x) + g(x)h0 (x)
g 0 (x)h(x) − g(x)h0 (x)
(h(x))2
g −1 (x)(inverse)
xq , q ∈ Q
qxq−1
g 0 (h(x))h0 (x)
1
0
−1
g (g (x))
1
x
1
x ln a
1
√
(|x| < 1)
1 − x2
1
−√
(|x| < 1)
1 − x2
1
1 + x2
1
−
1 + x2
1
√
, (|x| > 1)
|x| x2 − 1
1
− √
, (|x| > 1)
|x| x2 − 1
x
e
a
x
ln x
a
log x
x
e
Bgsin x
x
a ln a
Bgcos x
sin x
cos x
cos x
− sin x
Bgtan x
tan x
sec2 x
Bgcot x
cot x
−cosec 2 x
sec x
tan x sec x
cosec x
− cot x cosec x
Bgsec x
Bgcosec x
Formularium Ijkingstoets
Primitieven
Z
Z
f (x)
f (x)dx
g 0 (x)
g(x) + C
√ 1
k2 −x2
ln |x| + C
√ 1
k2 +x2
1
x,
x 6= 0
ln x
f (x)
x ln x − x + C
1
,a
x2 −a2
f (x)dx
6= 0
Bgsin xk + C
√
ln |x + k 2 + x2 | + C
x−a 1
2a ln x+a + C
R
R
0 (x) dx =
Substitutie: f (g(x))g
f (u) du
R
R
Partiële integratie: u(x)v 0 (x) dx = u(x)v(x) − v(x)u0 (x) dx
Complexe getallen
Een complex getal is een getal van de vorm a + ib, waarbij a en b reële getallen zijn en i2 = −1
De goniometrische vorm van een complex getal is r cos θ + ir sin θ, waarbij r de modulus van het complex
getal genoemd wordt en θ het argument.
Als a + ib = r cos θ + ir sin θ dan geldt
√
a2 + b2
b
θ = arctan
a b
=
arctan
+π
a
r =
als a > 0
als a < 0
= π/2
als a = 0 en b > 0
= −π/2
als a = 0 en b < 0
Product
Het product van z1 = r1 (cos θ1 + i sin θ1 ) en z2 = r2 (cos θ2 + i sin θ2 ) is gegeven door
z1 z2 = r1 r2 [cos(θ1 + θ2 ) + i sin(θ1 + θ2 )]
Inverse
De inverse van een complex getal z = r(cos θ + i sin θ) is gegeven door
z −1 =
1
cos(−θ) + i sin(−θ)
r
De formule van De Moivre
Voor alle n ∈ Z geldt
[r(cos θ + i sin θ)]n = rn [cos(nθ) + i sin(nθ)]
Tweedegraadsvergelijkingen met reële coëfficiënten ax2 + bx + c = 0, a 6= 0
ax2 + bx + c = a(x − x1 )(x − x2 ) = ax2 − a(x1 + x2 )x + ax1 x2
D = b2 − 4ac
√
D
Als D > 0; x1,2 = −b±
.
2a
−b
Als D = 0, x1 = x2 = 2a .
Als D < 0, x1,2 =
√
−b± −Di
.
2a
Sleutel IJkingstoets Industrieel ingenieur - Basiskennis wiskunde juni 2016
Verbetersleutel Industrieel ingenieur
1 C
2 A
3 D
4 B
5 A
6 C
7 A
8 D
9 B
10 A
11 A
12 A
13 B
14 B
15 C
16 C
17 B
18 D
19 D
20 B