Newton

Newton 5 havo
Natuurkunde
voor de
2e



fase
Hoofdstuk 9  Beweging in de sport
Hoofdstukvragen:
Wat is een versnelde beweging? Hoe bepaal je de versnelling?
 Hoe kun je bij berekeningen gebruik maken van grafieken?
 Wat is een vrije val? Ben je dan gewichtloos?
 Welke rol speelt de energie bij bewegingen? Hoe kun je bij berekeningen
gebruik maken van energie-omzettingen?

les dag
klassikaal/docent
groepje/huiswerk
1
Inleiding Bewegingen bekijken
Probleem 1 - Optrekkende auto
theorie blz 255 t/m 264
opg 1 t/m 3
2
Vragen over theorie
Overzicht bewegingen
opg. 4 t/m 7
3
Probleem 2 Testrapport auto
theorie blz. 263 t/m 268
opg 8 en 9
4
Probleem 3 (v,t)- naar (s,t)-diagram
Probleem 4 Remproef
opg 10 t/m 12
probleem 5
Experiment: Versnelde beweging
afronding § 2
5
Kracht, versnelling en massa
Probleem 6 Vlo verliest wereldrecord
theorie blz. 269 t/m 273
opg 14, vervolgopdracht
6
Toren van Pisa
Probleem 7 Vrije val
opg 15 t/m 17
7
Probleem 8 Horizontaal wegschieten
Theorie blz. 274 t/m 279
opg 18, 19
8
Probleem 9 Energie omzetten
theorie blz. 280 t/m 285
opg 20 t/m 23
9
Probleem 10 Welke formules gebruiken theorie blz. 286 t/m 291
we?
opg 24 t/m 28
10
Hoofdstuk afronden
opg. 29 t/m 33
11
Oefenen met toetsopgaven
opg. 34 t/m 39
Toetsstof:
Natuurkunde 1 - 3e periode - hfst. 7, 8, 9
Natuurkunde 2 - 2e periode - hfst 2, 4, 9, 10, 13
1
Project Probleemgericht Leren
6e editie, februari 2006
St. Bonifatiuscollege, burg. F. Andreaelaan 7, 3582 KA Utrecht
tel 030-2512315, website: www.boni.nl
Uitvoerders:
Aartjan van Pelt
Ad Migchielsen
Antoon Boks
Kees Hooyman
Marjolein Vollebregt
Ron Vonk
Technische ondersteuning:
Marti van IJzendoorn
1
Newton - 9 Beweging in de sport
§2 Snelheid en versnelling
Dit hoofdstuk gaat over allerlei bewegingen, en als eerste kijken we naar de
versnelde (of vertraagde) beweging. De snelheid van het voorwerp is dan niet
constant, maar wordt groter of kleiner. De versnelling zegt iets over hoe snel
de snelheid toeneemt, maar hoe kun je de versnelling bepalen?
Kernvraag 1
Wat wordt bedoeld met de versnelling van een voorwerp?
Kernvraag 2
Hoe bereken je de snelheid en de afstand bij een versnelde beweging?
Inleiding
Bewegingen bekijken
Hiernaast zie je de stroboscoopfoto van een stuiterende bal. De bal beweegt
van rechts naar links.
 Op welke plek is de snelheid van de bal het grootst? Leg uit hoe je dat kunt
beredeneren.
 Tijdens welke gedeelten van de beweging versnelt de bal? Wanneer
vertraagt de bal? Hoe zie je dat?
 Welke kracht zorgt voor het versnellen en vertragen?
 Hoe kun je aan de foto zien dat de bal bij de stuit veel snelheid verliest?
De luchtweerstand op de bal is niet erg groot. Tussen de twee stuiten verliest
de bal dus weinig energie.
 Hoe kun je dat aan de foto zien?
2
Probleem 1
Optrekkende auto
Deel I (klassikaal) – Wat bedoelen we met versnelling?
Een auto trekt op vanuit stilstand. De chauffeur zorgt ervoor dat de snelheid
regelmatig toeneemt: na 1 seconde is de snelheid 6,5 km/h, na 2 seconde 13
km/h, na 3 seconde 19,5 km/h enzovoort.
 Hoe lang duurt het voordat de auto 100 km/h rijdt?
Dit noemen we de versnelling: de snelheid groeit met 6,5 km/h per seconde.
Omgerekend naar een andere eenheid: de versnelling is 1,8 m/s per
seconde.
 Controleer dat de omrekening klopt.
 Hoe groot is de snelheid (in m/s) na 10 seconde?
Deel II (in groepjes) - afstand en gemiddelde snelheid
Na 10 seconde is de snelheid dus 18 m/s geworden. Maar de auto heeft in die
tijd natuurlijk nog geen 180 m afgelegd.
 Waarom niet?
 Hoe hard reed de auto gemiddeld in de eerste 10 seconde?
 Welke afstand heeft de auto afgelegd in de eerste 10 seconde?
De auto rijdt met dezelfde versnelling verder. Na 20 seconde is de snelheid
opgelopen tot 36 m/s (of 130 km/h).
 Hoe groot is nu de afstand die de auto heeft afgelegd? (Bereken eerst
opnieuw de gemiddelde snelheid)
tijd
(s)
snelheid
(m/s)
afstand
(m)
0
0
0
5
10
22,5
18
15
20
 Teken in de onderstaande diagrammen een grafiek van de snelheid van de
auto en een grafiek van de afstand die de auto aflegt gedurende 20 seconde.
202,5
36
Afstand en snelheid bij een
versnelde beweging met een
versnelling van 1,8 m/s²
3
Vervolgopdracht
Formule’s voor snelheid en versnelling
v
.
t
Voor de snelheid tijdens een versnelde beweging geldt: v(t )  a  t
Om de versnelling te berekenen geldt de formule:
a
 Leg beide formules uit aan de hand van het voorbeeld van de optrekkende
auto.
Bij een versnelde beweging vanuit stilstand geldt:
s  12  a  t 2
 Controleer of de formule klopt voor de afstand na 10 seconde en na 20
seconde.
Theorie
Lees de theorie op blz. 255 t/m 264 in Newton. Om de kern van de theorie
goed samen te vatten maken we gebruik van begrippen- en formuleschema’s.
Versnelling
Eenparig versnelde beweging
Gemiddelde snelheid
(s,t)-diagram van een
versnelde beweging
(v,t)-diagram van een
versnelde beweging
Formulelijst
Noteer bij de onderstaande formules: - Wat betekent elk symbool? - Welke
eenheid hoort bij elk symbool? - Wanneer kun je de formule toepassen?
a
v
t
v(t )  a  t
s  12  a  t 2
v gem 
1
v gem 
s
t
2
 (v e  v b )
4
Vragen bij de theorie:
 Hoe bepaal je in een (v,t)-diagram de versnelling?
 Hoe bepaal je in een (s,t)-diagram de snelheid?
 Hoe bepaal je in een (v,t)-diagram de afstand?
1
Opgaven
In figuur 7 zie je het (s,t)-diagram van drie verschillende bewegingen.
a Bij welk van de bewegingen is de snelheid het grootst? Hoe zie je dat aan
de grafiek?
b Bepaal bij elk van de bewegingen de snelheid.
2
Een schaatser legt de 500 m af in 40,13 s. Hoe groot is de gemiddelde
snelheid van de schaatser in m/s en in km/h?
3
In figuur 8 zie je het (v,t)-diagram van drie verschillende bewegingen.
a. Bepaal bij elk van de bewegingen de versnelling.
b. Bepaal bij elk van de bewegingen de afstand op t = 25 s
5
Newton - 9 Beweging in de sport
§2 Snelheid en versnelling
In de voorgaande les hebben we gezien wat een versnelde beweging is.
Daarnaast hebben we ook nog de vertraagde beweging en de beweging met
constante snelheid.
Kernvraag 3
Welke formules gelden bij een versnelde of vertraagde beweging?
Kernvraag 4
Welke formules gelden bij een beweging met constante snelheid?
Overzicht bewegingen
Geef een overzicht van de formules voor de verplaatsing, snelheid en
versnelling bij een eenparige beweging, bij een eenparig versnelde beweging
zonder beginsnelheid en bij een eenparig vertraagde beweging zonder
eindsnelheid.
versnelde
beweging
(vb=0)
eenparige
beweging
vertraagde
beweging (ve=0)
Verplaatsing s
ve  a  t
Snelheid v
a
Versnelling a
4
vb  v e
t
Sprinten
Een zeer goede sprinter is in staat om bij de start van de 100 m sprint zijn
snelheid op 12 m/s te brengen in een tijdsduur van 3,0 s. Neem aan dat hij
daarna met die snelheid de wedstrijd uit loopt.
a Bereken zijn versnelling tijdens de eerste 3,0 s.
b Bereken de afstand die hij tijdens die eerste 3,0 s aflegt.
c Bereken zijn eindtijd op de 100 m sprint.
6
5
Een skiër glijdt van een helling af. De tabel van figuur 14 geeft de
verplaatsing s(t) van de skiër langs de helling als functie van de tijd t. Toon
aan dat de skiër een eenparig versnelde beweging uitvoert.
6
In figuur 12 zie je het (s,t)-diagram van een beweging langs een rechte lijn.
a Beschrijf de beweging die het voorwerp uitvoert.
b Bepaal de verplaatsing s(t) op het tijdstip t = 7 s en bepaal de afgelegde
weg tijdens de beweging (dus tussen de tijdstippen t = 0 s en t = 7 s).
7
In figuur 13 zie je het (v,t)-diagram van een beweging.
a Beschrijf de beweging die het voorwerp uitvoert. Bedenk daarbij wat de
betekenis is van een positieve en van een negatieve snelheid in het
(v,t)-diagram.
b Bepaal de vertraging tussen de tijdstippen t = 2 s en t = 4 s en bepaal de
versnelling tussen de tijdstippen t = 4 s en t = 6 s.
c Bepaal de verplaatsing s(t) op het tijdstip t = 4 s en op het tijdstip t = 7 s.
Bepaal de afgelegde weg tijdens de beweging (dus tussen de tijdstippen
t = 0 s en t = 7 s).
7
Newton - 9 Beweging in de sport
§3 Plaats en verplaatsing
Bij bewegingen horen grafieken. Meestal maken we van een beweging een
grafiek van de afstand of van de snelheid: een (s,t)-diagram of een (v,t)diagram. Wat hebben die grafieken met elkaar te maken?
Kernvraag 5
Hoe bepaal je uit een (v,t)- diagram de versnelling?
Kernvraag 6
Hoe bepaal je uit een (v,t)- diagram de afstand?
Probleem 2
Testrapport auto
Bij de technische gegevens van een auto staat vaak een grafiekje over het
optrekken van een auto uit stilstand. In de grafiek hieronder is dit
vereenvoudigd weergegeven.
25
snelheid
(m/s)
100
afstand
(m)
20
2e versnelling
15
80
60
10
40
1e versnelling
5
20
2
4
6
8
10
2
4
6
tijd (s)
8
tijd (s)
In de eerste versnelling kan de auto vlot optrekken: van 0 tot 15 m/s (dat is
36 km/u) in 4,0 seconde. In de tweede versnelling gaat het iets minder rap:
van 15 m/s tot 20 m/s in 4,0 s.
 Hoe groot is de versnelling tijdens het eerste deel? En tijdens het tweede
deel?
 Hoe groot is de gemiddelde snelheid tijdens het eerste deel? En tijdens het
tweede deel?
 Leg uit dat de auto in de eerste versnelling een afstand van 30 m aflegt.
 Laat zien dat je de afstand ook kunt uitrekenen met
8
s  12  a  t 2
10
 Teken het (s,t)-diagram voor de eerste 4 seconde.
Volgens de theorie (zie blz. 214 in het boek) is de afstand die de auto aflegt
gelijk aan het oppervlak onder het (v,t)-diagram.
 Arceer de oppervlakte onder het (v,t)-diagram tussen t=0 en t=4 s. Hoe
groot is die oppervlakte?
De afstand die de auto in het tweede deel aflegt kun je niet uitrekenen met
s  1 2  a  t 2 omdat de beginsnelheid niet nul is. Kun je wel gebruik maken
van de gemiddelde snelheid en de oppervlakte onder de grafiek?
 Welke afstand legt de auto in het tweede deel af? Is de afstand nu ook uit te
rekenen met de oppervlakte onder de grafiek? Of met de gemiddelde
snelheid?
 Teken ook voor dit deel van de beweging een (s,t)-diagram.
Vervolgopdracht
Testrapport
Het (v,t)-diagram hiernaast komt uit een testrapport. Na 65 s bereikt de auto
een topsnelheid van 180 km/h.
 Op welk tijdstip is de versnelling van de auto het grootst? Hoe kun je dat
aan de grafiek zien?
 Maak een schatting van de maximale versnelling van de auto met behulp
van de grafiek. (reken eerst km/h om in m/s)
Het duurt 65 s voordat de maximale snelheid van 180 km/h (dat is 50 m/s)
bereikt is.
 Welke afstand legde de auto af tijdens het optrekken tot 180 km/h? Hoe kun
je met behulp van de grafiek een schatting maken? Waarom is het lastig om
hier de gemiddelde snelheid te gebruiken?
Theorie
Lees de theorie op blz. 263 t/m 268 in Newton. Om de kern van de theorie
goed samen te vatten maken we gebruik van begrippen- en formuleschema’s.
Oppervlaktemethode
Raaklijnmethode
9
Formulelijst
Noteer bij de onderstaande formules: - Wat betekent elk symbool? - Welke
eenheid hoort bij elk symbool? - Wanneer kun je de formule toepassen?
s (t )  v gem  t
v(t ) 
s
(van raaklijn)
t
a(t ) 
v
(van raaklijn)
t
8
9
Opgaven
Een fietser rijdt met een constante snelheid van 20 km/h over een rechte
weg. Teken het (v,t)-diagram en het (s,t)-diagram van de beweging.
Een fietser trekt vanuit stilstand 4,5 s lang op met een versnelling van 1,2
m/s². Teken het (v,t)-diagram en het (s,t)-diagram van de beweging.
10
Newton - 9 Beweging in de sport
§3 Plaats en verplaatsing
Bij het analyseren van versnelde of vertraagde bewegingen kun je gebruik
maken van grafieken en formules.
Kernvraag 7
Hoe kun je grafieken gebruiken bij opgaven over versnelde beweging?
Kernvraag 8
Hoe kun je formules gebruiken bij opgaven over versnelde beweging?
Probleem 3
van (v,t)- naar (s,t)-diagram
Een auto met een beginsnelheid vb van 20 m/s voert tijdens het remmen een
eenparig vertraagde beweging uit met een vertraging a van 4,0 m/s². Links
zie je het (v,t)-diagram bij deze beweging. Rechts zijn vier verschillende
(s,t)-diagrammen getekend.
s (m)
v (m/s)
s (m)
25
20
15
t (s)
s (m)
t (s)
s (m)
10
5
1
2
3
4
5
t (s)
t (s)
t (s)
 Welk (s,t)-diagram hoort bij deze beweging? Leg uit.
Om de afstand bij een versnelde of vertraagde beweging uit te rekenen kun je
gebruik maken van de formule s  1 2  a  t , de gemiddelde snelheid en de
oppervlakte onder de grafiek
 Welke afstand legt de auto af tussen t=0,0 en t=3,0 s?
2
De totale remweg bedraagt 50 m, maar na 42 m rijdt hij rakelings langs een
overstekende kat.
 Hoe groot is de snelheid na 42 m remmen?
11
Probleem 4
Remproef
Bij een remproef staat de auto in 5,0 seconde stil. De remweg is 37,5 m (zie
figuur). De onderzoekers zijn echter vergeten de beginsnelheid te meten.
 Hoe groot was de remvertraging?
 Hoe groot was de beginsnelheid?
Opgaven
10 In figuur 9 zie je het (s,t)-diagram van een eenparig versnelde beweging.
a Schets het (v,t)-diagram van deze beweging.
b Bereken de versnelling
11
In figuur 11 zie je het (v,t)-diagram van een beweging.
a Is de beweging eenparig of eenparig versneld? Leg uit waarom.
b Bepaal de verplaatsing s(t) op het tijdstip t = 25 s.
12
12
Probleem 5
Een fietser met een snelheid van 20 km/h remt af tot stilstand met een
vertraging van 1,6 m/s². Teken het (a,t)-diagram, het (v,t)-diagram en het
(s,t)-diagram van de beweging.
Gemiddelde snelheid
Een parkopzichtster rijdt elke dag dezelfde ronde door een natuurpark.
Normaal doet zij daar anderhalf uur over. Maar als het waait doet zij er
langer over. Het maakt niet uit in welke richting zij dan zijn rondje fietst, of
uit welke hoek de wind waait. Steevast doet zij er langer over. De
parkopzichtster vindt dit erg vreemd. Zij heeft toch evenveel wind mee als
wind tegen?
Het wordt nog vreemder als zij gaat meten. Bij windstil weer fietst zij met
een constante snelheid van 20 km/u. Bij harde wind tegen is haar snelheid
12 km/u en met dezelfde wind in de rug gaat zij 32 km/u. Toch doet zij
langer over haar ronde.
 Hoe kan dat?
13
Newton - 9 Beweging in de sport
Experiment: Eenparig versnelde beweging
In de klas staat een lange horizontale rail. Het linkeruiteinde van de rail is
omhoog gebogen en de andere (rechte) kant staat licht hellend omhoog (zie
figuur hieronder). De kogel wordt op het linkeruiteinde gelegd en losgelaten.
De kogel rolt eerst naar rechts, en daarna weer terug naar links. Je
onderzoekt de beweging van de kogel op het rechte stuk.
loslaten
t=0
Onderzoeksvraag:
Hoe hangen afstand en snelheid van de kogel af van de tijd?
Werkwijze:
Een aantal leerlingen krijgt een stopwatch. De afstands-markeringen op de
rail worden onder deze leerlingen verdeeld (2 leerlingen per markering).
Start de stopwatch als de kogel langs de nul-markering rolt en stop hem als
de kogel langs de jou toegewezen markering rolt. Op deze manier worden de
meetresultaten van de hele beweging (heen en terug) verzameld. Noteer deze
in de onderstaande tabel:
25
50
75
100
125
150
175
200
225
250
275
omkeerpunt
s (cm)
0
heen: t(s)
0
s=.....
terug: t(s)
0
t=.....
Uitwerking
A Teken in één diagram de plaats s van de kogel als functie van de tijd t
14
B Bepaal uit het (s,t)-diagram met de raaklijnmethode de snelheid op t =
0,0 s; t = 1,0 s; t = 2,0 s en zo verder op elke hele seconde.
Verdeel het werk en noteer de resultaten in de tabel!
t (s)
0
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
6,0
7,0
8,0
9,0
10,0 11,0
v (m/s)
12,0
teind
0,0
C Teken een (v,t)-diagram, gebruik voor de t-as dezelfde schaal als bij het
(s,t)-diagram. Wanneer moet je v negatief laten zijn?!
D Is de versnelling op de heenweg gelijk aan de versnelling op de terugweg?
Benader zowel op de heenweg als op de terugweg de metingen met de
beste rechte lijn.
Bepaal uit het (v,t)-diagram de versnelling van de beweging.
heenweg: steilheid van de lijn = ………. / …………. = ……………….. = a
terugweg: steilheid van de lijn = ……… / ………… = ……………….. = a
E Bepaal uit het (v,t)-diagram met behulp van de oppervlakte-methode de
verplaatsing van de kogel tijdens de heengaande beweging en controleer of
dat klopt met de gemeten waarde.
Oppervlakte tussen lijn en X-as = ……………………
Afwijking met gemeten waarde = …………………… %
Afronding §2
Bestudeer §2 (blz. 209 t/m 218) en vul het overzicht op de volgende bladzijde
in.
15
Newton - 9 Beweging in de sport
§4 Kracht en beweging
Dit hoofdstuk gaat over allerlei bewegingen, en met name versnelde of
vertraagde bewegingen. Voor het versnellen is ook een oorzaak: een
nettokracht in de richting van de versnelling. Bij het versnellen speelt ook de
massa van het voorwerp een rol.
Kernvraag 9
Welke invloed hebben massa en kracht op de versnelling?
Kernvraag 10
Met welke formule kun je de versnelling berekenen?
Herhaling
Nettokracht en beweging
In figuur 1 zijn zes situaties getekend. Met pijlen zijn de snelheid en de
krachten op het voorwerp aangegeven.
[Let op: zowel F als v zijn aangegeven met een pijl, maar die pijlen
hebben dus een verschillende betekenis!]
Voorspel in elk van die situaties hoe het voorwerp zal gaan bewegen.
 Langs welke baan zal het voorwerp bewegen (horizontaal, vertikaal,
schuin)?
 Welke vorm heeft die baan (recht of krom)?
 Hoe verandert de snelheid v van het voorwerp daarbij (versneld,
vertraagd of constant)?
Situatie
Beweging van het voorwerp
A
B
C
D
E
F
16
Inleiding
Kracht, versnelling en massa
Bij versnellen en vertragen spelen de kracht en de massa een belangrijke rol.
 Geef een voorbeeld waarbij je goed kunt merken dat massa een belangrijke
rol speelt bij versnellen of vertragen.
 Geef een voorbeeld waarbij je goed kunt merken dat kracht een belangrijke
rol speelt bij versnellen of vertragen.
De remweg van een auto hangt af van de snelheid, de massa en de
remkracht. Vul aan:
 Bij een grotere massa is de versnelling . . . . . . . . en de remweg . . . . . . .
 Bij een grotere snelheid is de versnelling . . . . . . . . en de remweg . . . . . . .
 Bij een grotere kracht wordt de versnelling . . . . . . . . en de remweg . . . . . . .
Wat vertelt de cartoon over
kracht, massa en
versnelling?
Kracht, versnelling en massa hebben alles met elkaar te maken. Een
voorwerp krijgt pas een versnelling als er een (resultante) kracht op werkt.
De kracht die nodig is om een voorwerp met massa m een versnelling a te
geven is: Fr  m  a (de 2e wet van Newton).
In deze formule zitten ook de eenheden ‘verstopt’: er is precies 1 newton
nodig om 1 kg een versnelling te geven van 1 m/s². Kennelijk is 1 newton
gelijk aan 1 kg∙m/s².
Probleem 6
Ruimteveer Discovery
Op 26 juli 2005 werd, na jaren uitstel, het ruimteveer Discovery gelanceerd.
Op de videobeelden lijkt het ruimteveer vrij langzaam op te stijgen, maar 1
minuut na de lancering was de snelheid al 900 miles/hour (1 mile = 1609 m).
De motoren van het ruimteveer moeten een enorme stuwkracht leveren om
het gevaarte, totale massa 400 ton, met een zo grote versnelling de ruimte in
te schieten.
 Hoe groot was de gemiddelde kracht tijdens de lancering? Neem in je
berekeningen ook de zwaartekracht mee.
17
Theorie
Lees de theorie op blz. 269 t/m 273 in Newton. Om de kern van de theorie
goed samen te vatten maken we gebruik van begrippen- en formuleschema’s.
Nettokracht bij een eenparige
beweging
Nettokracht bij een eenparig
versnelde beweging
Traagheid
Valversnelling
Formulelijst
Noteer bij de onderstaande formules: - Wat betekent elk symbool? - Welke
eenheid hoort bij elk symbool? - Wanneer kun je de formule toepassen?
Fr  m  a
FZ  m  g
v(t )  g  t
s(t )  12 g  t 2
14
Opgaven
Bereken de nettokracht op een fiets met fietser (massa 80 kg) in elk van de
volgende situaties.
A De fietser rijdt met een constante snelheid van 20 km/h, met een
tegenwerkende wrijvingskracht (rol- en luchtwrijving) van 12 N.
B De fietser trekt vanuit stilstand 4,5 s lang op met een versnelling van 1,2
m/s².
C De fietser remt bij een snelheid van 20 km/h af tot stilstand in 3,5 s.
18
Vervolgopdracht
Remmen met een aanhangwagen
Hieronder zie je het (v,t)-diagram van een remproef met een auto die
maximaal remt. De auto heeft, inclusief bestuurder, een massa van 800 kg.
24 m
Op het tijdstip t = 0 ziet de bestuurder dat er geremd moet gaan worden voor
het stoplicht. Hij bevindt zich dan op 60 m afstand. Zijn reactietijd is 1,2 s.
 Laat zien dat de auto nog net op tijd kan stoppen.
 Bereken de remkracht van de auto.
De remproef wordt herhaald met een aanhangwagen zonder eigen rem
achter de auto. De aanhangwagen heeft een massa van 400 kg.
 Teken hoe de grafiek er nu zal uitzien.
 Hoe groot zal de totale remweg van de auto met aanhangwagen zijn?
 Hoeveel meter rijdt de auto voorbij het stoplicht?
19
A.
B.
naam beweging→
Begrippen:
symbool
eenheid
verplaatsing
.........
..........
snelheid
.........
..........
versnelling
.........
..........
kracht
.........
..........
betekenis(in woorden)
Grafieken en formules bij bewegingen:
rust
eenparig, dus met
constante snelheid
↓grootheid
eenparig versneld, dus
met constante
versnelling
s(t)-formule
s(t)-diagram (schets)
v(t)-formule
v(t)-diagram (schets)
a(t)-formule
a(t)-diagram (schets)
C.
(v,t)- en (s,t)-grafieken
Hoe bepaal je in een (s,t)-diagram van een eenparige beweging de snelheid?
Hoe bepaal je in een (s,t)-diagram van een versnelde beweging de snelheid?
Hoe bepaal je in een (v,t)-diagram de verplaatsing?
Hoe bepaal je in een (v,t)-diagram de versnelling?
D. Kracht en beweging:
Als er op een voorwerp géén nettokracht werkt dan:
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . óf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Als er op een voorwerp wél een nettokracht werkt dan :
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . óf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Formule:
20
Newton - 9 Beweging in de sport
§4 Kracht en beweging
Een bijzondere versnelde beweging is de valbeweging. Is de versnelling
daarbij constant? Wat zou er gebeuren als er geen luchtweerstand is? Blijft je
snelheid dan steeds toenemen of is er een maximum?
Kernvraag 11
Is een vrije val ook een eenparig versnelde beweging? Hoe groot is dan de
valversnelling?
Kernvraag 12
Welke formules gelden bij een vrije val?
Probleem 7
Vrije val
Het eerste deel van een parachutesprong, als de parachute nog niet open is
en de springers allerlei figuren maken, noemen we ook wel eens een vrije val.
In de natuurkunde heeft het begrip vrije val een iets andere betekenis: een
beweging waarbij de zwaartekracht de enige kracht op het voorwerp is.
Op de stroboscoopfoto hiernaast zie je een stalen kogel van 60 gram die naar
beneden valt in een vrije val. De wrijving is te verwaarlozen. De
schaalverdeling op de meetlat is in dm. De stroboscoop gaf 30 lichtflitsen per
seconde. Metingen aan de foto geven resultaten zoals in de tabel.
tijd t
(s)
0.053
plaats s
(m)
0.014
0.086
0.040
0.120
0.072
0.153
0.120
0.186
0.175
0.22
0.245
0.253
0.325
0.286
0.414
0.320
0.515
0.353
0.630
 Onderzoek of de valbeweging op de foto eenparig versneld is. Maak bij je
onderzoek gebruik van een tabel en/of een grafiek.
 Hoe groot is de valversnelling? Kun je dat uitrekenen met F = m·a?
21
Toren van Pisa
De toren van Pisa is niet alleen beroemd omdat de toren scheef staat. Er is
door Galilei (een in zijn tijd moderne Italiaan) ook een belangrijk
natuurkundig experiment uitgevoerd: Men liet twee verschillende kogels
tegelijk naar beneden vallen. De ene kogel was tienmaal zo zwaar als de
andere.
De hypothese van Aristoteles (een oude Griek) bij dit experiment was: de
zware kogel is tienmaal zo snel beneden als de lichte kogel. Galilei was het
niet met Aristoteles eens: volgens hem zouden beide kogels precies tegelijk
op de grond komen.
 Wie kreeg bij dit experiment gelijk: Aristoteles, Galilei of geen van beiden?
Waarom?
 Was het resultaat van het experiment hetzelfde als er geen luchtweerstand
zou zijn?
15
Opgaven
Een voorwerp voert een vrije val uit vanaf een hoogte van 100 m boven het
aardoppervlak. De massa van het voorwerp is 2,5 kg.
a Teken het (a,t)-diagram, het (v,t)-diagram en het (s,t)-diagram van de
beweging tot het tijdstip waarop het de grond raakt.
b Bereken de nettokracht op het voorwerp.
16
In de figuur zie je het (v,t)-diagram van het eerste deel van een
parachutesprong. De massa van de parachutespringer is 80 kg.
a Vanaf t=25 s is de beweging eenparig. Hoe zie je dat aan de grafiek?
b Is de beweging van de parachutespringer voor dat tijdstip eenparig
versneld? Leg uit waarom.
22
Onderdelen c en d zijn moeilijk! Niet teveel tijd aan besteden!
c Bepaal de versnelling op de tijdstippen t = 0 s, t = 10 s en t = 30 s.
Hoe groot is dan de luchtwrijvingskracht op de parachutespringer op elk
van die drie tijdstippen?
d Bepaal de verplaatsing op het tijdstip t = 30 s (dus de afstand die de
parachutespringer heeft afgelegd in 30 s na het begin van de sprong).
17
Druppelaar
Uit de druppelaar (zie figuur) komen waterdruppels. De kraan wordt zo
afgesteld dat de volgende druppel precies begint te vallen op het moment dat
de vorige druppel de grond bereikt. Er vallen dan 10 druppels per 5,0 s.
a. Hoe lang doet elke druppel over de val van 1,22 m?
b. Bepaal de waarde van de valversnelling g.
23
Newton - 9 Beweging in de sport
§5 Horizontale worp
Een andere bijzondere beweging ontstaat als een voorwerp horizontaal wordt
weggeschoten. Er is dat eigenlijk sprake van twee bewegingen: horizontaal
met een constante snelheid en verticaal is de beweging versneld.
Kernvraag 13
Welke baan volgt een voorwerp bij een horizontale worp?
Kernvraag 14
Welke formules gelden bij een horizontale worp?
Probleem 8
Horizontaal wegschieten
Een auto rijdt met grote snelheid op een steile afgrond af. De bestuurder is er
gelukkig net op tijd uitgesprongen, maar de auto gaat hopeloos verloren.
Op het moment dat de auto over de rand van het ravijn rijdt komt er een
groot rotsblok los, dat recht naar beneden valt.
 Wie is het eerst beneden, de auto of het rotsblok? Neem aan dat de
luchtweerstand geen rol van betekenis speelt.
Op de foto zie je een stroboscoopopname van een experiment waarbij twee
kogeltjes op hetzelfde moment worden losgelaten van dezelfde hoogte. Het
rechterkogeltje wordt daarbij horizontaal weggeschoten, het linkerkogeltje
krijgt (vrijwel) geen snelheid.
sx
 Hoe kun je aan de baan van het rechterkogeltje op de foto zien dat de
luchtweerstand verwaarloosbaar klein is?
24
De kogeltjes blijken tegelijk op de grond te komen.
 Verklaar waarom de kogeltjes tegelijk op de grond te komen.
Vervolgopdracht
Snelheidstoename
Bij beide kogeltjes is sprake van een toename van de snelheid. Deze toename
wordt veroorzaakt door de versnelling van de zwaartekracht. Het
linkerkogeltje heeft beginsnelheid nul, het rechterkogeltje heeft een
horizontale beginsnelheid vx.
vx
sx
vx
vy
vy
v
De eindsnelheid van het rechterkogeltje kan ontbonden worden in een
verticale component vy en een horizontale component vx.
 Wat kun je zeggen over de verticale component vy, in vergelijking met het
linkerkogeltje?
 Welke formule geldt er voor vy?
 Leg uit dat voor de horizontale beweging geldt: sx=vx·t.
 Welke formule geldt er voor de verticale afstand sy?
Oefening
Een kogel wordt van een hoogte van 10 m afgeschoten met een horizontale
snelheid van 10 m/s. De luchtwrijving is te verwaarlozen.
 Hoe lang duurt de val?
 Hoe groot is de verticale eindsnelheid vy?
 Met welke eindsnelheid v komt het kogeltje op de grond?
 Welke horizontale afstand heeft de kogel afgelegd?
25
Theorie
Lees de theorie op blz. 274 t/m 279 in Newton. Om de kern van de theorie
goed samen te vatten maken we gebruik van begrippen- en formuleschema’s.
Horizontale worp
Formulelijst
Noteer bij de onderstaande formules: - Wat betekent elk symbool? - Welke
eenheid hoort bij elk symbool? - Wanneer kun je de formule toepassen?
s x (t )  v x  t
vx = constant
v y (t )  g  t
s y (t )  12  g  t 2
Opgaven
18 Een tennisser slaat met het racket tegen de bal op 1,5 m hoogte boven de
baan. De bal krijgt daarbij een horizontale snelheid en komt 10 m verder op
de baan terecht. Met welke horizontale snelheid wordt de bal weggeslagen?
19
Bij het boogschieten wordt een pijl vanaf een hoogte van 1,70 m horizontaal
weggeschoten met een snelheid van 103 m/s. De schietschijf staat op een
afstand van 30,0 m. De roos (het midden) van de schietschijf ligt op een
hoogte van 1,50 m boven de grond.
Op welke afstand van de roos komt de pijl in de schietschijf terecht als de
schutter precies op de roos richt?
26
Newton - 9 Beweging in de sport
§6 Bewegingsenergie en zwaarte-energie
Bij bewegen speelt ook de energie een rol. Een vallend voorwerp krijgt steeds
meer snelheid, waar komt de energie vandaan? Een voorwerp dat omhoog
gegooid wordt gaat steeds langzamer, waar blijft de energie?
Kernvraag 15
Welke soorten energie spelen bij bewegen een rol?
Kernvraag 16
Hoe kun je bij opgaven gebruik maken van energie?
Probleem 11
Energie omzetten
Op de stroboscoopfoto zie je een stuiterende bal. De bal beweegt van rechts
naar links.
 Hoe kun je aan de foto zien dat er vrij veel energie verloren gaat?
 Op welk moment verliest de bal veel energie?
De snelheid van de bal verandert steeds. Kennelijk is er naast
bewegingsenergie nog een andere soort energie
 Welke tweede soort energie speelt bij deze beweging een rol?
 Beschrijf hoe die twee soorten energie tijdens de beweging in elkaar
omgezet worden.
27
Energie bij valbewegingen
Bij deze beweging spelen twee soorten energie een rol: bewegingenergie en
zwaarte-energie (ook wel hoogte-energie genoemd).
Voor de bewegingsenergie geldt:
E kin  12  m  v 2
Voor de zwaarte-energie geldt:
EZ  m  g  h
Jolanda wil onderzoeken hoeveel % van de energie verloren gaat tijdens de
stuit van de bal. Zij gebruikt de bovenstaande foto als uitgangspunt voor haar
onderzoek. Op basis van de foto wil zij een voorspelling doen. Daarbij kan ze
kijken naar de bewegingsenergie (de snelheid) of naar de zwaarte-energie (de
hoogte)
 Maak met behulp van de hoogte van de bal een schatting van het
energieverlies tijdens de stuit.
 Maak met behulp van de snelheid een schatting van het energieverlies
tijdens de stuit van de bal.
Vervolgopdracht
Kracht, arbeid en energieomzettingen
Als een kracht een voorwerp verplaatst dan wordt er ook arbeid verricht, en
dat betekent dat er energie wordt omgezet. Zolang er geen wrijving werkt
moet ook de totale hoeveelheid energie constant blijven.
Op de stroboscoopfoto valt een kogeltje van 100 gram naar beneden. De
wrijvingskracht is verwaarloosbaar. Uit de stroboscoopfoto is de afstand en
de snelheid van de kogel op een aantal plaatsen gemeten.
hoogte
(m)
snelheid
(m/s)
1,00
0
0,928
1,2
0,755
2,2
0,485
3,2
EZ
(J)
Ekin
(J)
Etotaal
(J)
Onderzoek of bereken met de metingen de volgende twee vragen:
 Is de totale energie tijdens de beweging constant?
 Hoe groot is de snelheid van het kogeltje als het beneden is (hoogte = 0)?
28
Theorie
Lees de theorie op blz. 280 t/m 285 in Newton. Om de kern van de theorie
goed samen te vatten maken we gebruik van begrippen- en formuleschema’s.
Arbeid
Bewegingsenergie
Zwaarte-energie
Energiebehoud
Formulelijst
Noteer bij de onderstaande formules: - Wat betekent elk symbool? - Welke
eenheid hoort bij elk symbool? - Wanneer kun je de formule toepassen?
W  F s
E k  12  m  v 2
EZ  m  g  h
EZ  Ek  const.
20 Een steen van 2,5 kg wordt vanaf een hoogte van 1,8 m omhoog gegooid met
een snelheid van 5,0 m/s. De wrijvingskracht kunnen we hierbij
verwaarlozen.
a Hoeveel bewegingsenergie heeft de steen op het moment van weggooien?
b Met welke snelheid valt de steen op de grond?
29
21
Een voorwerp met een massa m van 1,5 kg voert vanuit stilstand een
eenparig versnelde beweging uit onder invloed van een horizontale
voorwaartse kracht Fv van 40 N en een gemiddelde wrijvingskracht Fw van 10
N. Het voorwerp verplaatst zich over een afstand s van 20 m.
a Hoe groot is de arbeid die de voorwaartse kracht op het voorwerp
verricht?
b Hoe groot is de kinetische energie van het voorwerp na die verplaatsing
over 20 m?
c Hoe groot is de snelheid van het voorwerp na die verplaatsing over 20 m?
22 Stuiterbal
Een bal met een massa van 0,80 kg wordt boven de grond losgelaten. De bal
komt met een snelheid van 8,1 m/s op de grond terecht en stuitert weer terug
met een snelheid van 7,5 m/s.
a Op welke hoogte is de bal losgelaten?
b Hoe groot is het verlies aan kinetische energie tijdens de botsing met de
grond? Van welke
energieomzetting is er tijdens de botsing sprake?
c Welke hoogte bereikt de bal na het stuiteren?
23 Een voorwerp met een massa m van 1,5 kg valt zonder beginsnelheid van een
hoogte h van 10 m verticaal omlaag. Tijdens deze beweging is de gemiddelde
luchtwrijvingskracht op het voorwerp 4,2 N.
a Bereken met behulp van kracht en versnelling de snelheid waarmee het
voorwerp op de grond terechtkomt.
b Bereken de snelheid waarmee het voorwerp op de grond terechtkomt met
behulp van de bewegingsenergie.
30
Newton - 9 Beweging in de sport
§7 Energie en beweging
Aan het eind van dit hoofdstuk over allerlei soorten bewegingen kijken we
naar twee manieren om opgaven over dit onderwerp aan te pakken. De
eerste methode gaat om kracht, versnelling en tijd. De tweede methode
maakt gebruik van de wet van behoud van energie.
Kernvraag 17
Wanneer maak je bij opgaven gebruik van kracht, versnelling en tijd?
Kernvraag 18
Wanneer maak je bij opgaven gebruik van behoud van energie?
Probleem 10
Welke formules gebruiken we?
Bij versnelde bewegingen, zoals bij het vallende kogeltje, maken we bij het
maken van berekeningen vaak gebruik van het begrip energie. Dat werkt
vaak sneller dan de formules van kracht, versnelling, snelheid en plaats.
Een kogeltje van 100 gram valt over een afstand van 1,0 m naar beneden.
Hoe groot is de eindsnelheid? Met energie gaat dat als volgt:
Invullen:
EZ  m  g  h  0,1 9,811,0  0,981 J
Deze energie wordt helemaal omgezet in kinetische energie:
Invullen:
E k  12  m  v 2
0,981  12  0,10  v 2 geeft v  4,4 m / s
De andere manier van berekenen is met behulp van kracht, versnelling en
tijd. Daarvoor gelden de volgende formules:
F  m a
v(t )  a  t
s (t )  12  a  t 2
 Gebruik deze formules voor dezelfde berekening: welke snelheid heeft de
kogel na een val van 1,0 m?
 Welke manier van berekenen is het makkelijkst, via energie/arbeid of via
kracht/versnelling?
Niet bij elke berekening kun je gebruik maken van energie, maar vaak is het
wel makkelijker.
 Noem minstens één situatie waarbij je geen gebruik kunt maken van
energie.
31
Theorie
Lees de theorie op blz. 286 t/m 291 in Newton. Om de kern van de theorie
goed samen te vatten maken we gebruik van begrippen- en formuleschema’s.
Warmte en wrijving
Energiebehoud bij
bewegingen
Opgaven
24 Bij berekeningen met de formule voor de wet van behoud van energie
(kinetische energie en zwaarte-energie) is het niet nodig dat de massa van
het voorwerp gegeven is. Leg dit uit.
26 In figuur 33 is de slingerbeweging van een voorwerp aan een koord
weergegeven. In de uiterste stand bevindt het voorwerp zich 4,5 cm hoger
dan in de evenwichtsstand. Bij deze slingerbeweging is de
luchtwrijvingskracht verwaarloosbaar klein.
Bereken de snelheid van het voorwerp in de evenwichtsstand (gebruik
energie in je berekening).
27 Een wielrenner vertrekt vanuit stilstand en heeft na een verplaatsing van 20
m een snelheid van 35 km/h. Tijdens deze beweging is de gemiddelde
wrijvingskracht 100 N. De massa van de wielrenner met fiets is 75 kg.
Hoe groot is de gemiddelde voorwaartse kracht op de wielrenner met fiets
tijdens deze beweging? (Deze vraag is zowel met energie als met kracht en
versnelling te berekenen).
28 Op een skatebaan staat een kwart cirkelbaan met een straal van 2,4 m. Met
welke snelheid moet je minstens aan de cirkel beginnen om de bovenkant
(hoogte 2,4 m) van de baan te halen?
32
Oefenopgaven Hoofdstuk 9
29 Inhalen (alleen voor Natuurkunde 2)
Twee fietsers rijden op een tweebaansweg. Van beide kanten nadert een
auto. De snelheden zijn constant (zie figuur). Kan de auto die de beide
fietsers van achteren nadert nog veilig inhalen? We noemen de
inhaalmanoeuvre van auto A veilig voor de fietsers als deze begint op een
afstand van 30 m áchter de fietsers en eindigt op een afstand van 40 m vóór
de fietsers.
30 Sprinten
Een zeer goede sprinter is in staat om bij de start van de 100 m sprint zijn
snelheid op 12 m/s te brengen in een tijdsduur van 3,0 s. Neem aan dat hij
daarna met die snelheid de wedstrijd uit loopt.
Bereken zijn eindtijd op de 100 m sprint en op de 200 m sprint.
31
Schaatsen
Twee schaatsers A en B staan klaar voor de start van de 500 m.
Schaatser A start op het tijdstip t = 0 met een constante versnelling en rijdt
daarmee de eerste 20 m in 3,2 s. Daarna rijdt schaatser A de 500 m met een
constante snelheid uit.
Schaatser B start op het tijdstip t = 0 met een versnelling van 4,5 m/s² en
rijdt daarmee tot de snelheid 12,6 m/s is. Daarna rijdt schaatser B de 500 m
met die snelheid uit.
Bereken de eindtijd van de beide schaatsers. Wie wint de wedstrijd?
33
32 Tramnoodstop
Als een tram een noodstop maakt, worden naast de gewone rem (remmen op
de motor) ook nog trommelremmen op de assen en railremmen (grote
magneten) ingeschakeld. Een gevaar bij zo'n noodstop is dat vooral bij nat
weer de tram in een slip raakt en uit de rails vliegt. Dit gevaar kan bestreden
worden met een veiligheidssysteem dat de remstroom in de motor even
onderbreekt als er een slip geconstateerd wordt. De rem wordt weer
ingeschakeld als de tram uit de slip komt. In figuur 21 zie je het (v,t)-diagram
van zo'n remmende en slippende tram.
Als de tram niet in een slip raakt, is de remvertraging 5,0 m/s²
Bepaal met het (v,t)-diagram de extra remweg van de tram als gevolg van het
slippen, vergeleken met de remweg bij een `normale' noodstop.
33 Vallen en botsen
In figuur 28 worden de gevolgen van het niet dragen van de autogordel bij
een botsing vergeleken met het vallen van een bepaalde hoogte. Ga door
berekening na of de informatie in de tekening juist is.
34
34 Parachutespringen
Een parachutist met een massa van 67 kg springt op een hoogte van 1,8 km
uit een vliegtuig.
a Met welke snelheid zou de parachutist de grond raken als er sprake zou
zijn van een vrije val?
Ook zonder parachute is er bij deze beweging geen sprake van een vrije val.
De luchtwrijvingskracht zorgt ervoor dat na enige tijd de valsnelheid
constant is, zoals weergegeven in het (v,t)-diagram van de figuur.
De luchtwrijvingskracht Fw,l (in N) op de parachutist wordt gegeven door de
formule:
Fw,l  k  A  v 2 .
In deze formule is A het frontaal oppervlak (in m²) en v de snelheid (in m/s)
van de parachutist. Het frontaal oppervlak van de parachutist is 0,62 m².
b Toon met een berekening aan dat de evenredigheidsconstante k een
waarde van 0,35 heeft.
c Bepaal de versnelling van de parachutist op het tijdstip t = 6,0 s op de
volgende twee manieren:
• met de raaklijnmethode in het (v,t)-diagram van figuur 29
• met de tweede wet van Newton.
d Zonder parachute zou de parachutist de grond raken met een snelheid
van 55 m/s. Daarom trekt de parachutist op het tijdstip t = 24 s de
parachute open. Bepaal op welke hoogte boven de grond de parachutist
zich op dat moment bevindt.
e Met een geopende parachute komt de parachutist met een veel kleinere
snelheid op de grond terecht. Leg uit waarom.
f
Ook de luchtwrijvingskracht Fw,l op de geopende parachute hangt af van
het frontaal oppervlak A en de valsnelheid v:
Fw,l  0,45  A  v 2
Het frontaal oppervlak van de parachute is 69 m². Met welke snelheid
raakt de parachutist dan uiteindelijk de grond?
35
35 Duiken
Kan dit? Het lijkt ongelooflijk...
a Met welke snelheid raakt de springer het wateroppervlak? Neem aan dat
de luchtwrijvingskracht verwaarloosbaar klein is. Klopt die snelheid van
96 km/h uit de tekst bij de foto?
b Het zwembadje is maar 3,0 m diep. Hoe groot moet de remvertraging
onder water dan minstens zijn? Hoe groot moet de gemiddelde remkracht
onder water dan minstens zijn, als de massa van de springer 60 kg is?
c Als de springer onder water is, oefent het water op de springer een
omhoog gerichte opwaartse kracht uit. Deze opwaartse kracht is gelijk
aan de zwaartekracht op het water dat door het lichaam van de springer
wordt verplaatst. Laat zien dat deze opwaartse kracht lang niet groot
genoeg is om de springer voldoende af te remmen.
d Er moet dus nog een andere, veel grotere remkracht zijn, en dat is de
wrijvingskracht van het water op de springer. Deze wrijvingskracht Fw (in
N) hangt af van de snelheid v (in m/s) en wordt gegeven door de
volgende formule:
Fw,l  500  A  v 2
In deze formule is A (in m²) het 'frontaal oppervlak' van het lichaam van
de springer bij een verticale duik in het water. Maak een schatting van
het 'frontaal oppervlak' van de springer en laat zien dat de
wrijvingskracht groot genoeg is om de springer af te remmen.
36
36 Experimenteerfiets
Met de experimenteerfiets van figuur 35 is te bepalen welk mechanisch
vermogen iemand kan leveren. Het achterwiel van de fiets heeft een straal
van 35 cm. Als de pedalen éénmaal ronddraaien; draait het achterwiel 2,4
maal rond. Een test levert de volgende meetresultaten op. Bij het fietsen
draait de proefpersoon in één minuut de pedalen in een constant tempo 57
maal rond. De beide krachtmeters wijzen daarbij gemiddeld 64 en 19 N aan.
Dat betekent een wrijvingskracht van 45 N op het achterwiel.
a Bereken de 'afstand' die in één minuut is afgelegd en de arbeid die de
proefpersoon heeft geleverd.
b Hoe groot is dan het mechanisch vermogen dat de proefpersoon heeft
geleverd?
37 Hoogspringen
Een hoogspringer met een massa m van 60 kg komt met een snelheid v van
4,0 m/s los van de grond. Deze snelheid is verticaal omhoog gericht. Tijdens
de beweging is de luchtwrijvingskracht verwaarloosbaar klein. Om erachter
te komen of de hoogspringer in de situatie van figuur 37 over de lat heen
komt, moet je bepalen welke hoogte haar zwaartepunt maximaal bereikt.
Daarbij houden we geen rekening met de beweging van de hoogspringer in
horizontale richting.
Laat met een berekening zien of de hoogspringer wel of niet over de lat heen
komt.
37
38 Polstokhoogspringen
Een polsstokhoogspringer met een massa van 70 kg komt aanlopen met een
snelheid van 10 m/s. In figuur 39 is een deel van de sprong weergegeven. Op
het moment dat de polsstok maximaal gebogen is (het eerste plaatje in figuur
39) is van de oorspronkelijke kinetische energie van de springer nog 20%
over. De rest is omgezet in veerenergie, opgeslagen in de stok. Deze stok kan
bij het strekken 50% van de opgeslagen energie terugleveren.
a Bereken de hoogte die het zwaartepunt van de springer tijdens deze
sprong kan bereiken. Is dat voldoende om over de lat heen te komen? Leg
uit waar om wel of niet.
b Tijdens de sprong brengt de springer met zijn of haar spierkracht het
zwaarte punt van het lichaam verder omhoog door zich `tegen de stok af
te zetten'. Hoeveel energie moeten de spieren bij dit 'opsteken' minstens
leveren om over de lat heen te komen?
38
39 Verspringen
Bij het polsstokverspringen is het de kunst om zo hoog mogelijk, en daardoor
ook zo ver mogelijk te komen. De springer op de foto is 1,8 m lang en heeft
een massa van 80 kg.
a Met welk soort energie begint de springer zijn sprong?
b Maak een schatting van het hoogste punt dat de springer tijdens zijn
sprong heeft bereikt. Hoe groot was dan zijn zwaarte-energie op dat
moment?
c Hoe groot zou dan zijn aanloopsnelheid geweest moeten zijn? Is dat een
haalbare snelheid? Leg uit waarom wel of niet.
d De springer moet dus op een andere manier hoger, en dus verder zien te
komen. Op welke manier maakt hij tijdens de sprong zijn zwaarte-energie
groter?
39
Newton - 9 Beweging in de sport
Voorbeeldopgaven Toets
Opgave 1 Parachute
In het diagram zijn twee (hoogte, tijd)-grafieken te zien van twee parachutespringers. Eén sprong is vanaf 5000 m hoogte en één sprong vanaf 800 m.
Bij beide sprongen ging de parachute open op een hoogte van 700 m.
Een parachutist bedoelt met een ‘vrije val’ het gedeelte van een val waarbij de
parachute nog niet is geopend. Dat is niet hetzelfde als wat natuurkundigen
daaronder verstaan.
3p 1 
2p 2 
3p 3 
Met welke snelheid zou een voorwerp op de grond komen bij een echte
‘vrije val’ vanaf 5000 m?
Uit het diagram blijkt dat beide parachutespringers met dezelfde snelheid op
de grond neerkomen.
Hoe blijkt dat uit de grafieken?
De twee parachutespringers gebruiken dezelfde parachute, en tijdens hun
sprong zijn de omstandigheden identiek. Toch is het niet vanzelfsprekend
dat ze dezelfde eindsnelheid bereiken.
Welke grootheid moet bij beiden hetzelfde zijn geweest? Leg uit waarom.
40
Opgave 2 Keitje ketsen
Jan gooit een steentje dat ketst op het water. In de tekening is de baan van
het steentje met een streepjeslijn aangegeven; de figuur is niet op schaal. K l,
K2, en K3 zijn de plaatsen waar het steentje in contact is met het water.
Het steentje dat Jan gooit, heeft een massa van 32 gram. Het verlaat zijn
hand in horizontale richting met een snelheid van 8,2 m/s. Tijdens het
weggooien oefent de hand van Jan gedurende 0,36 s een kracht op het
steentje uit.
3p 5 
Bereken de gemiddelde kracht in horizontale richting die het steentje tijdens
het weggooien van de hand heeft ondervonden.
Nadat het steentje het water voor het eerst raakte, stuiterde het een paar keer
op het water.
3p 6 
In de grafiek zijn de kinetische energie Uk en de zwaarte-energie Uz van het
steentje uitgezet als functie van de plaats in horizontale richting.
De grafiek heeft alleen betrekking op het deel van de baan dat boven het
water ligt; het eerste deel van de beweging is er niet in weergegeven.
Bepaal de snelheid waarmee het steentje bij K1 het water treft.
41
2p 7 
4p 8 
De luchtwrijving heeft geen merkbare invloed op de beweging van het
steentje.
Leg uit hoe dat uit de grafiek blijkt.
Omdat er geen energie verloren gaat door luchtwrijving is met behulp van de
grafiek te bepalen vanaf welke hoogte het steentje werd weggeschoten.
Bepaal vanaf welke hoogte boven het wateroppervlak het steentje werd
weggeschoten. Bereken daarvoor eerst de bewegingsenergie van het steentje
direct nadat het de hand van Jan verlaten had.
Opgave 3 Videometing aan kogelbaan
Tijdens een onderzoek laat men een metalen kogel met een bepaalde
beginsnelheid langs een licht oplopende helling omhoog rollen. De kogel
remt langzaam af, en rolt daarna versneld weer terug. Van het experiment is
een video-opname gemaakt, waarbij de positie van de kogel op elk beeldje is
vastgelegd. Op de foto zie je het spoor van meetpunten, als in een
stroboscoop-opname.
Aan de hand van de metingen is ook een snelheid-tijd-diagram gemaakt. Op
tijdstip t1 passeert de kogel de startstreep met een snelheid van 1,03 m/s, op
tijdstip t2 is de kogel op het verste punt, en op tijdstip t3 passeert de kogel de
startstreep opnieuw, nu met een snelheid van 0,97 m/s. De massa van de
kogel bedraagt 65 gram.
snelheid (m/s)
t1=0,3
3s
t2=5,6
0s
42
tijd
(s)
t3=11,2
0s
3p 9 
Controleer aan de hand van het diagram dat de kogel op de heenweg in twee
significante cijfers nauwkeurig dezelfde afstand aflegt als op de terugweg.
Het (v,t)-diagram is goed te benaderen door een rechte lijn (alleen heeft de
lijn op de heenweg een iets andere helling dan op de terugweg).
3p 10  Leg uit dat uit deze benadering volgt dat de luchtweerstand vrijwel te
verwaarlozen is.
Op de heenweg is de vertraging van de kogel 0,195 m/s², op de terugweg is
de versnelling 0,175 m/s². Dit verschil wordt veroorzaakt door de richting
van de rolwrijvingskracht. De massa van de kogel bedraagt 65 gram.
3p 11  Bereken uit deze gegevens de grootte van de rolwrijvingskracht op de kogel.
Omdat de luchtweerstand te verwaarlozen is, kan de rolwrijvingskracht ook
bepaald worden door te onderzoeken hoeveel de bewegingsenergie tijdens de
totale beweging is afgenomen. De afstand voor heen- en terugweg samen is
5,4 m.
4p 12  Bepaal door gebruik te maken van energie en arbeid de rolwrijvingskracht
op de kogel.
43
Uitwerking voorbeeldopgaven
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Opgave 1
m∙g∙h = 0,5∙m∙v² geeft v² = 2∙g∙h =2∙9,81∙5000 en v = 313 m/s
De lijnen lopen evenwijdig, en de helling = de snelheid.
De massa, want bij constante snelheid geldt Fz = Fparachute
Ekin = 0,5∙m∙v² neemt af van 2,11∙105 J naar 485 J, afname van 2,2∙105 J
Hoogte-energie neemt af: m∙g∙h = 75∙9,81∙85 = 6,4∙104 J
Arbeid = omgezette energie = 2,8∙105 J
[een alternatief: a=Δv/Δt=73,2/4,0=18,3 m/s² geeft Fres=m∙a=1373 N
en Fw = Fres + Fz = 2108 N tenslotte W=F∙s=1,8∙105 J. Deze methode is
hier eigenlijk ongeschikt omdat het bij een constante vertraging hoort, en
dat is hier zeker niet het geval. Daarom geeft het ook een ander antwoord]
Opgave 2
a = Δv/Δt = 8,2/0,36 = 22,8 m/s²
F = m∙a = 0,032∙22,8 = 0,73 N
Ekin = 1,42 J = 0,5∙m∙v² geeft v = 9,4 m/s
Tussen K1 en K2 zijn de grafieken symmetrisch: in K2 is Uk even groot als in
K1
Ekin = 0,5∙0,032∙8,2² = 1,08 J. Blijft over voor hoogte-energie 0,34 J
m∙g∙h = 0,34 geeft h = 0,21/(0,032∙9,81) = 1,1 m
Opgave 3
Afstand = oppervlak. Heenweg : 0,5∙1,03∙5,27 = 2,71 m.
Terugweg: 0,5∙0,97∙5,60 = 2,72 m. In twee significante cijfers gelijk.
Een rechte lijn betekent een constante versnelling. De luchtweerstand hangt
van de snelheid af, en dan is de kracht en dus de versnelling niet constant.
Heenweg: Fres = m∙a = 0,065∙0,195 = 12,7 mN en Fres = F + Frol
Terugweg: Fres = 0,065∙0,175 = 11,4 mN
en Fres = F - Frol
De gemiddelde kracht F is 12 mN, de rolweerstand Frol= 0,65 mN
Begin: Ekin = 0,5∙0,065∙1,03² = 0,0345 J, na afloop 0,0306 J.
Verschil 0,0039 J = W = F∙s geeft F = 0,0039/5,4 = 0,7 mN
Opgave 4
Energie is evenredig met de hoogte, h1 = 2,26-0,08 = 2,18, h2 = 1,72-0,08 =
1,64
Verhouding E2/E1 = 1,64/2,18 = 0,75
De versnelling is constant, dus rechte lijnen met een helling van 9,81. Alle
lijnen evenwijdig aan de getekende lijn.
De lijn gaat door 0 bij t=1,21 s. Na t1 wordt de snelheid positief.
44
Antwoorden
§2 Bewegingen
1 a. De laatste: steilheid van de lijn is het grootst.
b. v = 0, v = 10 / 15 = 0,67 m/s;
v = (30 - 10) / 20 = 1,0 m/s.
2 <v> = 500 / 40,13 = 12,5 m/s = 44,9 km/h.
3 Links: a = 0 midden: a = Δv / Δt = 5 / 15 = 0,33 m/s2.
Rechts: a = (15 - 5) / 20 = 0,50 m/s2.
4 a. a = v : t = 12 : 3,0 = 4,0 m/s2
b. x =  . a . t2 =  . 4,0 . 3,02 = 18 m
c. nog over 100 – 18 = 82 m, dat duurt 82 : 12 = 6,8 s, geeft een eindtijd van 3,0 + 6,8 = 9,8 s.
5 a = 2.s/t2 = 2.14 /52 = 2.62/102 = 2.132/152 = 2.240/202 = 1,1 = 1,2 = 1,2 = 1,2 is constant.
6 a. Van t=0 tot t=4 gaat hij vooruit met een constante snelheid, vanaf t=4 gaat hij achteruit met een
lagere constante snelheid achteruit.
b. verplaatsing = (ongeveer) 60 m , afgelegde weg = (ongeveer) 82 + 18 = 100 m.
7 a. Van t=0 tot t=2 vooruit met een constante snelheid, van t=2 tot t=4 steeds langzamer vooruit tot
hij op t=4 even een snelheid van 0 heeft, van t=4 tot t=6 steeds sneller achteruit en vanaf t=6
met een constante snelheid achteruit.
b. a2-4 = 7,5 : 2 = 3,8 m/s2 en a4-6 = -4 : 2 = -2,0 m/s2.
c. oppervlakte onder de grafiek:
s4 = 2 . 7,5 +  . 2 . 7,5 = 15 + 7,5 = 113 m
s7 = s4 +  . 2 . –4 = 113 – 4 = 109 m
afgelegde weg = 113 + 4 = 117 m.
8 Zie de figuren hiernaast: v = 20 / 3,6 = 5,6 m/s,
9 Zie de figuren hieronder:
na 4,5 s: v = 1,2 . 4,5 = 5,4 m/s;
x = ½at2 = 0,50 . 1,2 . 4,52 = 12 m.
45
10 Zie de figuren hiernaast.
De snelheid is de r.c. van de raaklijn.
Op t = 0 is v(0) = s / t = 3,6 / 30 = 0,12 m/s;
Op t = 13 s is v(13) = 10 / 20 = 0,50 m/s;
Op t = 25 s is v(25) = 12 / 13 = 0,92 m/s.
Door deze drie punten gaat een rechte lijn.
De r.c van de lijn in het (v,t)-diagram is de versnelling.
a = Δv / Δt = (0,92 - 0,12 / 25 = 0,032 m/s2.
11 a. Versneld omdat de r.c. van de raaklijn positief is. Maar niet eenparig versneld omdat de r.c. van
de raaklijn niet constant is.
b. s(25) = oppervlakte = <v> . t = 6 . 25 = 1,5.102 m. (Je mag 10 m afwijken.)
Probeer via een lijn een zodanige figuur te krijgen dat hetgeen je er aan de ene kant afknipt, je
er aan de andere kant bij plakt.
12 Zie de figuur hiernaast.
20 km/h = 5,6 m/s; a = -1,6 m/s2;
v = -1,6.t : v = 0 op t = 5,6 / 1,6 = 3,5 s.
t = 1,0 s: v = 5,6-1,6 = 4,0;
s =<v>.t = 4,8.1 = 4,8 m.
t = 2,0 s: v = 5,6-3,2 =2,4;
s = 4,0 . 2 = 8,0 m.
t = 3,0 s: v = 5,6-4,8 = 0,8;
s = 3,2.3 = 9,6 m.
t = 3,5 s: v = 5,6-5,6 = 0.
s = 2,8.3,5 = 9,8 m.
§3 Zwaartekracht en valversnelling
14 a. Fnetto = 0
b. Fnetto = m . a = 80 . 1,2 = 96 N
c. v = 20 : 3,6 = 5,6 m/s, geeft a = -5,6 : 3,5 = -1,54 m/s2,
geeft Fnetto = m . a = 80 . -1,54 = -1,2 . 102 N.
15 a. Zie de figuren hiernaast.
a = 9,81 v = 9,8.t
s = 4,9.t2
2
100 = 4,9.t
t = 4,5 s
v = 9,8 . 4,5 = 44 m/s.
b. F = m . g = 2,5 . 9,8 = 25 N.
16 a. v = constant vanaf t = 25 s;
dan is v = 55 m/s.
b. Versneld: de snelheid neemt toe.
c. a is de rc van de raaklijn.
a(0)=50 / 5=10m/s2 a(10) = 20 / 16 = 1,3 m/s2;
a(30) = 0 m/s2.
Flucht = m.(g-a) F(0) = 80 . (10 - 10) = 0 N ;
F(10) = 80.(9,8 - 1,3) = 6,8.102 N ;
F(30) = 80.(9,8 - 0) = 7,8.102 N.
d. s = oppervlakte onder de grafiek = ½ . 55 . 10 + 55 . 20 = 1,4.103 m.
17 Per druppel: t = 0,50 s; h = 1,22 m;
g = 2.h / t2 = 2.1,22 / 0,502 = 9,8 m/s2.
18 h = ½. g . t2 ; t2 = 2 . 1,5 / 9,8; t = 0,55 s; vx = 10 / 0,55 = 18 m/s.
19 t = sx / v = 30,0 / 103 = 0,29 s; sy = ½. 9,8 . t2 = 4,9 . 0,292 = 0,42 m
De pijl komt 1,50 - 1,28 = 0,22 m onder de roos.
§4 Energie en beweging
46
20 a. E = mv2 = 2,55,02 = 31 J
b. 5,0 m/s
21 a. W = (40-10) . 20 = 600 J
b. Ek = W = 600 J
c. ½.1,5.v2 = 600 v = 28 m/s
22 a. Ez,b = Ek,e = ½. m . v2 = ½ . 0,80 . 8,12 = 26,2 J
Ez = m . g . h  h = 26,2 : (0,80 . 9,81) = 3,3 m
b. De verloren kinetische energie wordt omgezet in warmte en geluid.
ΔE = Ek,v – Ek,n = 26,2 - ½. m . v2 = 26,2 - ½ . 0,80 . 7,52 = 3,7 J
c. Ez,e = Ek,n = 22,5
Ez = m . g . h  h = 22,5 : (0,80 . 9,81) = 2,9 m
23 a. Fnetto = 9,8 . 1,5 – 4,2 = 10,5 N
a = F : m = 10,5 : 1,5 = 7,0 m/s2
s = ½. a . t2  10 = ½ . 7,0 . t2  t = 1,69 s
v = a . t = 7,0 . 1,69 = 12 m/s
b. m . g . h = ½. m . v2 + Fw . s  1,5.9,8.10 = ½ . 1,5 . v2  v = 12 m/s
24 In een vergelijking met alleen termen m.g.h en ½.m.v2 kun je alle termen door m delen.
25 schrap m, dan: 9,8110 + 100 = 0 + v2 geeft v = 17 m/s
26 Ez <=> Ek m.g.h = ½.m.v2
v2 = 2.g.Δh = 2 . 9,8 . 0,045 = 0,882 v = 0,94 m/s.
27 35 km/h = 9,7 m/s F . s = ½. m . v2
28 ½.m.v2 = m.g.h
(F - 100). 20 = ½. 75 . 9,72
F = 2,8 .102 N
v2 = 2.g.h = 2 . 9,8 . 2,4 => v = 6,9
m/s
29 Inhalen
a. Zie de figuur hiernaast. A: s(t) = 20t.
b. F: s(t) = 200 + 5t.
c. Snijpunt t1 = 13 s, snijpunt t2 = 11 s,
snijpunt t3 = 16 s.
d. De inhaaltijd is 16 s, s(16) = 320 m.
e. s = v.t = 15.16 = 240 m.
De beginafstand moet 320 + 240 = 560 m zijn, deze is
m: het kan niet.
30 Sprinten
v = a.t a = 12/3,0 = 4,0 Fnetto = m.a = 90 . 4 = 3,6.102 N Fvoorw = 3,6.102 + 80 = 4,4.102 N.
31 Schaatsen
A: s = ½.a.t2 => 20 = ½. a. 3,22 a = 3,9 m/s2 v = a.t = 3,9 . 3,2 = 12,5 m/s
de volgende 480 m in: t = 480/12,5 = 38,4 s => totaaltijd A is 38,4 + 3,2 = 41,6 s.
B: v = a.t t = 12,6/4,5 = 2,8 s => s = ½.4,5.2,82 = 17,6 m
de volgende 482,4 m in t = 482,4/12,6 = 38,3 s => de totaaltijd van B is 38,3 + 2,8 = 41,1 s.
B wint deze wedstrijd.
32 Tram-noodstop
a. Remweg = oppervlakte onder de lijn in de grafiek ≈ ½.15.5,2 = 39 m
want v(0) = 53/3,6 = 15 m/s en trek een middelende lijn door de
kromme.
b. v(t) = 15 - 5,0t
v = 0 na 3,0 s.
c. s = ½.15.3 = 23 m, de extra remweg is 39 - 23 = 16 m.
47
500
33 Vallen en botsen
Voor de val geldt t2 = 2 . h / 9,8 en v = 9,8 . t
van 25 m: t2 = 2 . 25 / 9,8; t = 2,26 s; v = 22 m/s = 80 km/h
van 14 m: t2 = 2 . 14 / 9,8; t = 1,69 s; v = 17 m/s = 60 km/h
van 6 m: t2 = 2 . 6 / 9,8 ; t = 1,11 s; v = 11 m/s = 40 km/h.
De informatie is dus juist.
35 Duiken
a. h = ½. g . t2; 30 = 4,9 . t2; t = 2,47 s; v = g . t = 9,8 . 2,47 = 24 m/s = 87 km/h.
Dus 96 km/h is overdreven.
b. <v> = 12 m/s; s = <v> . t ; t = 3 / 12 = 0,25 s; a = Δv / Δt = 24 / 0,25 = 96 m/s2;
F = m . a = 60 . 96 = 5,8.103 N.
c. Fopw = V . ρ . g = 0,060 . 998 . 9,8 = 5,9 .102 N (stel het volume van de duiker 60 liter).
d. De zwaartekracht en de opwaartse kracht heffen elkaar op. Er ontbreekt nog 5,8 .10; N,
neem <v> = 12 dan is 5,8 .103 = 500 . A . 122 dan moet A = 0,081 m2 zijn (810 cm2).
Dat is een vierkant met zijde 28 cm!
36 Experimenteerfiets
a. s = n.2.π.r = 57 . 2,4 . 2 . π . 0,35 = 3,0.102 m
W = F.s = (64 - 19). 301 = 14.103 J
b. P = W / t = 14.103 / 60 = 2,3.102 W
37 Hoogspringen
a. Ek = ½. 60 . 4,02 = 4,8.102 J.
b. Ook 4,8.102 J.
c. 60 . 9,8 . h = 480 h = 0,82 m, het lukt.
38 Polsstokhoogspringen
a. Aanloop: Ek = ½. 70 . 102 = 3500 J; Estok = 2800 J; verlies in de stok: 1400 J;
de eindenergie is m . g . Δh = 2100 J 70 . 9,8 . Δh = 2100 Δh = 3,1 m
Dit is te weinig voor 5,5 m want de beginhoogte van het zwaartepunt is 1,0 m.
b. Voor het optrekken over 1,4 m is nog nodig: E = m . g . Δh = 70 . 9,8 . 1,4 = 9,6.102 J.
39 Verspringen
a. Kinetische energie.
b. De lengte van de springer vergelijken met de stok: schatting 6 m Ez = 80 . 9,8 . 6 = 4,7 kJ.
c. ½. 80 . v2 = 4,7.103 v = 11 m/s = 40 km/h. Dat is niet waarschijnlijk.
d. Door te klimmen (arbeid verrichten) vergroot de springer zijn zwaarte-energie.
48