Arbeid en energie - Clzvaklokalen.nl

Natuurkunde 1
Inhoudsopgave
HOOFDSTUK 1 – BEWEGING ...........................................................................................................................................2
§1 EENPARIGE RECHTLIJNIGE BEWEGING .............................................................................................................................2
§2 HET PLAATS-TIJD-DIAGRAM ............................................................................................................................................2
§3 AFGELEGDE WEG EN VERPLAATSING ...............................................................................................................................3
§4 SNELHEID OP EEN TIJDSTIP ..............................................................................................................................................3
§5 EENPARIG VERSNELDE RECHTLIJNIGE BEWEGING (1) ......................................................................................................3
§6 EENPARIG VERSNELDE RECHTLIJNIGE BEWEGING (2) ......................................................................................................4
§7 VALBEWEGING: ONDERZOEK VAN EEN VRIJE VAL ...........................................................................................................4
§8 VALBEWEGING MET WRIJVING ........................................................................................................................................4
HOOFDSTUK 3 – ARBEID EN ENERGIE ........................................................................................................................5
§1 VERRICHTEN VAN ARBEID (1)..........................................................................................................................................5
§2 VERRICHTEN VAN ARBEID (2)..........................................................................................................................................5
§3 ARBEID EN ENERGIE ........................................................................................................................................................5
§4 WET VAN BEHOUD VAN ENERGIE .....................................................................................................................................5
§5 WET VAN BEHOUD VAN ENERGIE: TOEPASSINGEN ...........................................................................................................6
§6 VERMOGEN .....................................................................................................................................................................6
§7 RENDEMENT EN ENERGIEVERBRUIK ................................................................................................................................6
Hoofdstuk 1 – Beweging
§1 Eenparige rechtlijnige beweging
Om de snelheid te berekenen delen we de afstand door de benodigde tijd om die afstand af te leggen. Hierbij
geldt de formule: v = s / t. Alleen bij een eenparige beweging komt hier bij verschillende periodes dezelfde
waarde uit (m.a.w. een eenparige beweging heeft een constante snelheid).
Als we een niet eenparige beweging bekijken, kunnen we niet spreken van een constante snelheid maar wel van
een gemiddelde snelheid over een bepaalde tijd (vgem). In een bepaalde tijd wordt dan de afgelegde afstand
gemeten, waarmee de gemiddelde snelheid te berekenen is volgens vgem = s / t.
Hierbij moeten ook de tijdsintervallen vermeld worden! (als je de snelheid van t = 0,20s tot t = 0,35s meet, moet
je dit aangeven als: vgem (0,20s0,35s) = s / t)
Bij een beweging kun je een snelheid-tijd-diagram - (v,t)-diagram - maken.
Bij een eenparige beweging hoort een grafiek die recht evenredig aan de
tijdas is; de snelheid is op ieder tijdstip constant.
Als we nu naar de oppervlakte onder de rode lijn kijken, dan geldt er voor
de grootheden: tijd · snelheid. Als we de eenheden bekijken, dan volgt er:
meter
seconde ·
. Je ziet dat de tijd wegvalt. Hieruit volgt dat de
sec onde
oppervlakte onder deze lijn de afstand is die afgelegd is!
Zoals we een (v,t)-grafiek hebben, kunnen we ook afgelegde weg-tijddiagram maken. Hierin kun je direct aflezen wat de afgelegde afstand is
op een bepaald tijdstip. Uit dit diagram kun je ook de snelheid
berekenen, de steilheid van de grafiek geeft namelijk de snelheid (v = s /
t). Je deelt de afgelegde weg dus door de tijd. In dit geval is dat: 21,0 cm
/ 0,50 s = 42 cm/s
Omdat dit een rechte lijn door de oorsprong is, kunnen we hier heel
eenvoudig een formule voor opstellen: steilheid ∙ tijd = afgelegde
afstand. In formule: s(t) = 42 · t, ofwel: s(t) = v · t.
Relatieve snelheid is de snelheid waarmee je je ten opzichte van een
ander voorwerp verplaatst. Stel dat je iemand wilt inhalen die een halve kilometer voor je fietst met een
snelheid van 18 km∙h-1. Jij fietst met 25 km∙h-1. Je relatieve snelheid is dan (25-18 =) 7 km∙h-1. Je doet er dus 0,5
km / 7 km∙h-1 = 4m 17s over om hem in te halen.
§2 Het plaats-tijd-diagram
Een plaats-tijd-diagram geeft de plaats waar je bent aan. Er wordt echter
niet begonnen op een afstand 0. Dit is te begrijpen als je denkt aan de
hectometerpaaltjes naast de grote wegen. Ze geven een plaats aan, maar
niet de afstand die je hebt afgelegd! Dit is meteen het grote verschil met
een afgelegde weg-tijd-diagram. De plaats wordt aangegeven met
symbool x. De situatie van de fietsers van hierboven kunnen we nu ook
grafisch oplossen: we hebben een grafiek waar twee lijnen de fietsers
voorstellen, en allebei een eigen steilheid en beginplaats hebben. Het
punt waar ze elkaar snijden halen ze elkaar in (er zijn hiernaast andere
getallen gebruikt dan in het voorbeeld hierboven).
2
§3 Afgelegde weg en verplaatsing
We maken een onderscheid tussen de afgelegde weg en verplaatsing. De afgelegde weg is de afstand die
iemand bijvoorbeeld fietst. Stel ik fiets naar Amsterdam en terug en ik stop halverwege de terugweg. Dan heb
ik anderhalf keer de afstand naar Amsterdam (ongeveer 160km) gefietst, dit is dus 240km.
Als ik dan echter naar de verplaatsing op dat moment ga kijken, dan blijkt dat deze veel minder is dan 240 km.
Het is namelijk de kortst mogelijke (hemelsbrede dus) afstand van het beginpunt tot het eindpunt. In het geval
van de fietstocht is dit ongeveer 80 km (½ · 160). De verplaatsing op dat moment is dus 80 km! Bekijk ook het
onderstaande figuur:
De verplaatsing heeft echter niet alleen een grootte, maar ook een richting. Een grootheid die zowel een grootte
als een richting heeft noemen we een vector.
§4 Snelheid op een tijdstip
Als je je niet met constante snelheid voortbeweegt wordt het lastiger om een goede
snelheid op een bepaald tijdstip te geven. De gemiddelde snelheid over deze rit
wordt gegeven door de afgelegde afstand te delen door de tijd die daar voor nodig
was. Willen we echter de snelheid op een specifiek
tijdstip weten, dan moeten we dit probleem anders
aanpakken. We moeten dan de steilheid van de
grafiek op dát tijdstip weten. Grafisch kun je deze
te weten komen door een raaklijn aan de grafiek te
tekenen op het tijdstip waarvan je de snelheid wilt
weten. De gemiddelde snelheid van de
rechtergrafiek is 50m / 20 s = 2,5 m/s.
Links is de raaklijn op tijdstip A getekend. De
steilheid van deze raaklijn geeft de snelheid, en is
in dit geval: 50m / 15,5 s ≈ 3,2 m/s.
Van een plaats-tijd-diagram kun je een snelheids-tijd-diagram maken met
behulp van de raaklijntechniek. Je hoeft dan niet te getailleerd te werken, omdat
je anders veel te lang bezig zou zijn met het omzetten van het diagram. Je krijgt dus een globale benadering.
Om van een snelheids-tijd-diagram een plaats-tijd-diagram te maken, gebruik je de oppervlakte onder de
grafiek!
§5 Eenparig versnelde rechtlijnige beweging (1)
Een eenparige rechtlijnige beweging heeft een constante snelheid. Als de snelheid echter met een constante
waarde verandert, spreken we over een eenparig versnelde of een eenparige vertraagde beweging. Om deze
versnelling of vertraging te kunnen beschrijven bestaat het begrip versnelling (symbool a). De versnelling is het
v
snelheidsverschil gedeeld door het tijdsverschil waarin de snelheid veranderd. In formule: a 
. De eenheid
t
van versnelling is m∙s-2.
Als de versnelling gegeven is kun je met de formule v  a  t berekenen wat het snelheids verschil is op een
bepaald tijdstip. Weet je ook de beginsnelheid, dan kun je de snelheid op een bepaald moment uitrekenen met
de formule: vtijdstip  vbegin  a  t . Als er gestart wordt vanuit rust geld er v(t )  a  t
Om uit een snelheids-tijd-diagram de versnelling op een tijdstip uit te rekenen kunnen we weer de raaklijn
methode gebruiken. In dit diagram wordt namelijk de snelheid tegen de tijd uitgezet, en de versnelling wordt
3
gegeven door de snelheidsverandering gedeeld door de tijd. Op deze manier kun je dus van een snelheids-tijddiagram een versnelling-tijd-diagram maken.
§6 Eenparig versnelde rechtlijnige beweging (2)
Als we een eenparig versnelde beweging bekijken, dan kunnen we de
snelheid op een tijdstip schrijven als v(t )  a  t . De afgelegde weg op
een tijdstip is de oppervlakte onder de grafiek, en in het geval van een
eenparige versnelde beweging is dit ½ · v · t.
Voor v kunnen we echter ook a · t schrijven, dus krijgen we:
s(t) = ½ · a · t2.
Voor de formules s(t) = ½ · a · t2 én v(t) = a · t geldt dat ze alleen
gebruikt kunnen worden als het voorwerp op t=0 geen snelheid heeft.
Volgens s(t) = ½ · a · t2 is de grafiek van de afgelegde weg een parabool.
Door een raaklijn te tekenen kun je de snelheid te weten komen op een
bepaald tijdstip. De grafiek van de snelheid als functie van de tijd is in
dit geval een stijgende of dalende rechte lijn. De steilheid van deze grafiek geeft aan wat de versnelling van het
voorwerp is.
§7 Valbeweging: onderzoek van een vrije val
Een vrije val is een beweging waarbij de invloed van de luchtwrijving is te verwaarlozen. Hierdoor verloopt een
vrije val voor elk voorwerp (ongeacht gewicht en afmetingen) op dezelfde manier.
Als we een vrije val in een luchtledige koker bekijken, dan blijkt dat deze val een eenparig versnelde beweging
is! De versnelling is zoals eerder gezegd voor alles constant; het is een natuurconstante. De waarde van de
valversnelling (gravitatie - g) is in Nederland 9.81 m∙s-2.
Voor een vrije val geld dus s(t) = ½ · g · t2 en v(t) = g · t.
§8 Valbeweging met wrijving
Hierboven is een vrije val besproken. Hierbij was er
geen invloed van luchtwrijving. In de praktijk is deze er
vaak wel. Hierdoor neemt de snelheid van een voorwerp
minder snel toe dan je zou verwachten. De snelheid
neemt steeds minder toe ofwel de versnelling wordt
steeds kleiner! Als de versnelling 0 is geworden, blijft de
snelheid constant! Dit kun je zien in nevenstaande
grafiek. De groene lijn is een vrije val, terwijl de rode
lijn dezelfde val is mét luchtwrijving.
4
Hoofdstuk 3 – Arbeid en energie
§1 Verrichten van arbeid (1)
Arbeid is de energie die je moet verzetten om een object te verplaatsen. Natuurkundig gezien: W  F  s .
Hierbij is W de arbeid, F de uitgeoefende kracht en s de afstand van de verplaatsing. Deze formule is alleen te
gebruiken als de kracht en de verplaatsing dezelfde richting hebben. Is dit niet het geval dan moeten we voor de
kracht het horizontale component nemen. Dit doen we door de formule te vermenigvuldigen met de cosinus van
de hoek , die tussen de richting van de kracht en de richting van de verplaatsing zit. We krijgen nu:
W  F  s  cos . Hierbij moet de kracht wel contant zijn. Als  90 is dan wordt er geen arbeid verricht. Als 
groter is dan 90 dan wordt de arbeid negatief. Dit houdt in dat de kracht de beweging van het voorwerp
tegenwerkt. We weten dat de arbeid gegeven wordt door F  s. De oppervlakte onder het (F,s)-diagram is gelijk
aan het product van de kracht en de afstand, en dus de arbeid. De eenheid van arbeid is niet Nm, zoals je zou
verwachten, maar Joule. Dit is gedaan omdat Nm al de eenheid is van het moment.
§2 Verrichten van arbeid (2)
De arbeid die de zwaartekracht verricht is onafhankelijk van de vorm van de baan van het voorwerp. Er geldt
altijd Wz = +Fz  h. Hierbij is h het hoogteverschil tussen het beginpunt en het eindpunt van de baan. De
wrijvingskracht is altijd tegengesteld aan de richting van de verplaatsing. Omdat deze altijd tegengesteld gericht
is en als het ware meedraait met de baan van het voorwerp, geldt er voor de arbeid van de wrijvingskracht
Ww = -Fw  s. Hierbij is s de afgelegde weg tussen het begin en het eindpunt van de baan.
§3 Arbeid en energie
Er is al gezegd dat arbeid de energie is die je nodig hebt om een voorwerp te verplaatsen. Er moet dus energie
zijn om arbeid te kunnen verrichten. Als je energie bezit ben je in staat arbeid te verzetten. Er zijn verschillende
soorten energie. Zo heb je bewegings (ofwel kinetische) energie, zwaarte-energie, veerenergie, elektrische
energie, magnetische energie, chemische energie, kernenergie, stralingsenergie en warmte. De kinetische
energie kunnen we berekenen met de formule Ek = ½ m  v2. Een voorwerp moet daarbij een massa m en een
snelheid v hebben. Als de massa en/of de snelheid toenemen dan neemt de kinetische energie dus toe. Een
voorwerp dat valt verplaatst zich, en verricht dus arbeid (bij “aankomst” op de grond oefent het een kracht uit
op de grond). Om deze energie-inhoud te kunnen berekenen gebruiken we de formule m  g  h. Hierbij is g de
valversnelling. Als een voorwerp valt, stellen we dat het laagste punt een energieniveau van 0 J heeft.
Als een veer ingedrukt of uitgetrokken (t.o.v. zijn natuurlijke positie) dan bezit deze veerenergie.
Je kan je handen over elkaar wrijven, waarbij er dan warmte (symbool Q) ontstaat. De arbeid van je handen
wordt dus omgezet in warmte. Deze warmte is even groot als de arbeid van de wrijving (Ww)!
§4 Wet van behoud van energie
De energie die een voorwerp bezit, kan van soort veranderen maar blijft in grootte constant.
Dit noemen we de wet van behoud van energie. Als we in de praktijk kijken naar een bolletje dat
aan een slinger hangt, en we laten het heen en weer slingeren door het naar punt A te trekken en
dan los te laten, dan blijkt het bolletje niet boven een bepaalde hoogte uit te komen. Op het
moment dat het op zijn hoogst is (A), dan is de kinetische energie 0 en de zwaarte-energie het
grootst. Is het bolletje echter helemaal beneden (in de evenwichtstand, B) dan is de
kinetische energie het grootst en de zwaarte-energie 0. In symbolen (energiebalans):
1
Ez in A = Ek in B  m  g  h A  m  v B2
2
Nu kan je zeggen dat dit niet klopt met de wet van behoud van energie, het bolletje blijft niet eindeloos
doorslingeren. Dit is te verklaren met het feit dat er wrijving optreedt met de lucht en in het ophangpunt,
waardoor er constant energie (in dit geval warmte) aan de omgeving wordt afgestaan.
Als er ook warmte vrij komt bij het verrichten van arbeid, dan schrijven we de energiebalans als volgt:
1
Ez in A = Ek in B + Q  m  g  h A  m  v B2 + Q
2
5
Omdat het bolletje in B tot rust komt, is alle zwaarte-energie omgezet in warmte en kunnen we het schrijven als:
energie in A = warmte  m  g  hA  Q .
Bij wrijving ontstaat ook warmte, en in dat geval is de grootte van deze warmte gelijk aan de arbeid die de
wrijving verricht (dus Ww = Q  Fw ∙ s = Q).
§5 Wet van behoud van energie: toepassingen
Als we de hefboom uit het vorige hoofdstuk bekijken, waarbij we minder kracht moesten gebruiken naarmate
de arm groter werd, en dan vooral naar de zwaarte-energie dan valt op dat er wel een krachtbesparing optreedt,
maar geen energiebesparing. Dit bekijken we aan de hand van het volgende voorbeeld. In de situatie hiernaast is
ma 20kg, mb 5kg, AC 50 cm en BC 200 cm. Omdat kracht ∙ arm aan beide kanten gelijk is, is de hefboom in
evenwicht (20∙50 = 5∙200). Bij B hoeven we dus maar weinig
kracht te zetten om bij A een grote kracht te kunnen verplaatsen.
Kijken we echter naar de energie-inhouden, dan blijkt dat deze ook
gelijk zijn!
m∙g∙ha = - m∙g∙hb  20 ∙ 9,81 ∙ 0,25 = 5 ∙ 9,81 ∙ 1,00 (als B
1,00m omlaag gaat, gaat A 0,25m omhoog; gelijkvormige driehoeken). Met andere woorden, de energie-inhoud
van de hefboom blijft onveranderd.
Als je een auto-ongeluk krijgt en je draagt geen gordel dan blijf je tijdens de botsing met gelijke snelheid
vooruit bewegen totdat je tegen de voorruit komt (traagheidswet). Omdat de auto dan al stilstaat heb je maar een
hele kleine remweg. Omdat er geldt ½ m  v 2  F  s , is F dus erg groot; er gaat een hele grote kracht op je
lichaam werken. Als je daarentegen wel netjes de gordel draagt, dan krijg je een veel langere remweg; je wordt
al bijna meteen afgeremd als de auto snelheid begint te verminderen. Hierdoor krijgt de passagier een veel
grotere remweg en wordt de kracht F die op zijn lichaam staat veel kleiner.
De kreukelzone van een auto zorgt er ook voor dat de remweg vergroot wordt, en heeft dus hetzelfde effect als
de gordel (gecombineerd geven ze natuurlijk het beste resultaat).
§6 Vermogen
Het vermogen is een grootheid om verschillende apparaten met elkaar te kunnen vergelijken in het opzicht
hoeveel energie ze verbruiken (hoeveel arbeid ze verrichten). Een auto kan in een veel kortere tijd dezelfde
arbeid verrichten als een stofzuiger; het vermogen van de auto is dus groter.
Het vermogen wordt gegeven door de formule: P = W / t. Uit de formule volgt dat de eenheid van vermogen
Joule per seconde is. Hier wordt ook wel de naam Watt voor gebruikt (1 J/s = 1 Watt).
Met de formules W = F ∙ s en v = s/t vinden we wat het verband tussen vermogen en snelheid is.
W F s
s
P

 F   F  v . Bij een gloeilamp ligt het anders, daar spreken we niet van arbeid, maar van
t
t
t
energie die om wordt gezet in licht (stralingsenergie) en warmte. Hiervoor kunnen we schrijven: P = ΔE / t,
waarbij ΔE de omgezette hoeveelheid energie is.
§7 Rendement en energieverbruik
Het rendement van een apparaat is niets anders dan de hoeveelheid energie die nuttig wordt gebruikt. Er geldt:
Wnuttig
Pnuttig

 100 % maar ook  
 100 % , omdat P = W / t en P = ΔE / t.
Ein
Pin
Het energieverbruik van een auto is afhankelijk van: 1) de totale weerstand, 2) de rijstijl van
de bestuurder, 3) onderhoud v/d auto, 4) het rende ment van de motor en
5) het aantal ingeschakelde elektrische apparaten. Een vliegwiel wordt gebruikt om
bewegingsenergie tijdelijk om te zetten in rotatie-energie, om het daarna snel weer om te
zetten in bewegingsenergie. Het is een tijdelijke opslag van energie.
6