ii de wereld voor newton

II
DE WERELD VOOR NEWTON
“Wetenschap”: experimenten en theorieën
1
Waarnemen v/d avondhemel
- Aristoteles: Geocentrisme, sterren op uitspansel, planeten op kristallen
schillen, cirkelvormige banen, aarde stil.
- Aristarchus: Heliocentrisme, planeten eigen omloopsnelheid, aarde draait rond
eigen as.
- Ptolemaeus: Geocentrisme, planeten op cirkelvormige banen, draaien op
eigen epicirkels (80!), centrum draagcirkels = denkbeeldig punt.
Grieken: “Aarde bolvorig”.  omtrek?
→ Erathosthenes: Syene op keerkring, op 22/6 schijnt zon loodrecht in
waterput. 800km verder, in Alexandrië, schaduw stok meten  hoek tss stok
en invallend licht : 7,2°  omtrek aarde is (360/7,2) 50x de afstand tss Syene
en Alexandrië = 40.000 km! (figuur blz. 11)
-
Copernicus (1543): De revolutionibus orbium caelestium libri VI.
Heliocentrisme, cirkelvormige banen met kleinere epicirkels (30).
Brahé: nieuwe nauwkeuriger meetresultaten.
Kepler (1571-1630): Elliptische banen, 3 wetten.
Galilei (1564-1642): Gebruik telescoop, Ptolemaeus’ model verwerpen (volle
venus-fase, 1613).
Wetten van Kepler:
- Hemellichamen beschrijven elliptische banen rond een centraal hemellichaam
dat zich in één der brandpunten bevindt;
- De verbindingslijn tussen het hemellichaam in het brandpunt en het
omcirkelend lichaam beschrijft in gelijke tijdsintervallen gelijke oppervlakken;
-
R3
 cte ;
T2
R= gem. afstand omwentelingslichaam - centraal lichaam;
T= Omwentelingsperiode.
 deze zijn universeel en kunnen dus gebruikt worden om voorspellingen te doen!
Wetenschap:
1. Waarnemingen (vaststellingen, gekwantiseerde meting, experiment).
Synthetiseren  theorieën, modellen  voorspelbaarheid  unifiëring;
2. Goede theorie/model voldoet aan: weerlegbaarheid, correspondentieprincipe;
3. Theorieën/modellen zijn voorwaardelijk binnen de nauwkeurigheid van de
waarnemingen.
4. Men kan nooit bewijzen dat een theorie “juist” is, enkel weerleggen.
5. Belang van creativiteit en logica.
2
Atomen
-
Dalton (1766-1844): chemische reacties steeds gekenmerkt door eenvoudige
en onveranderlijke gewichtsverhoudingen.
Brown (1773-1858): microscopische deeltjes vertonen chaotische beweging
(“Brownse” beweging) in water  water bestaat uit bewegende atomen! (bew.:
Einstein, kinetische warmtetheorie die steunt op atomair model).
Kleinste entiteit die alle eigenschappen v/e substantie in zich draagt = molecule.
Alle gassen die uit 1 element bestaan zijn di-atomair (uitz.: edelgassen).
Atoommodellen:
- 1910: kern (10.000x kleiner dan atoom) met e --orbitalen rond (planetair
model).
- Later: Bohr → kern is deelbaar is p+ en n0.
- Nu: kwantumfysica ipv. planetair model.
Aggregatietoestanden:
- Vast: atomen aan elkaar verankerd, geordende stapeling.
o Op grote schaal bij mono-kristallen;
o Op kleine schaal (korrels) bij metalen → poly-kristallijne vorm.
o 3e variant: amorf materiaal = geen ordening.
- Vloeibaar: geen onderlinge verankering, doch kleine wijziging in
intermoleculaire afstanden. Chaotische beweging v/d atomen en moleculen.
- Gas: chaotische beweging, grote intermoleculaire afstanden. Moleculen
botsen tegen wand van recipiënt → druk. Vb. lucht: 1023 inslagen per cm², per
seconde = 1 bar = 1000 HPa.
Temperatuur = ? → Warmte leidt tot versnelling van de atomaire/moleculaire
beweging. Bij gassen: verband tussen temperatuur (T) en drup (P) → gaswet:
P.V  n.R.T
Macroscopisch is de atomaire beweging niet waar te nemen, tenzij via
temperatuur of druk (bij gassen) omdat gemiddeld gezien er rust is.
In vaste toestand is er trilling van de atomen, dus ook beweging.
Bewijzen?
Atomen kan met niet “zien”.
- Oorzaak: Zichtbaar licht = E-M golf met λ = 5.10-4m, d.i. 5000 groter dan de
atomen zelf (cfr. golf 50m met krukje 1cm erop)  gen reflectie v/d atomen
mogelijk.
- Oplossing 1: λ kleiner maken (X-stralen). Maar: geen lenzen om deze te zien,
dus gereflecteerde golf kunnen we nog steeds niet “zien”. Bij monokristallijne
materialen treedt wel diffractie op. (p. 37, fig. 2.3).
o Voorwaarde van Bragg: d.sin α = n.λ
(fase, pos. interf.)
d.sin α = (m + ½).λ (tegenfase, neg. interf.)
-
-
Oplossing 2: Gebruik maken v/h golfkarakter van elektronenstromen →
elektronenmicroscoop, elektrische veldwerking op ψ-golven om lenswerking
na te bootsen.
Oplossing 3: Scanning-tunneling microscoop (p. 38, fig. 2.4).
Atoom = zeer ijl. (kernafmeting = 1/10.000e v/h totaal).
III
3
DE NEWTONIAANSE WERELD: DETERMINISME
Hoe bewegen de voorwerpen
Aristoteles
- 4 “natuurlijke bewegingen” en 4 basiselementen
o vast lichaam dat valt (→aarde);
o vloeistof die bergafwaarts stroomt (→water);
o lucht die stijgt (→lucht);
o vlammen die omhoog lekker (→vuur).
- Basiselementen streven naar bepaalde natuurlijk rustplaats.
- Verhouding v/d elementen in een voorwerp bepaalt de beweging.
- “Onnatuurlijke” bewegingen moet men zelf forceren (duwen, gooien,…) →
“gedwongen beweging”.
- Naast natuurlijke en gedwongen: “hemelse beweging” om uit “ether”
bestaande hemellichamen te beschrijven (cirkelvormige bewegingen rond
aarde).
Ontkrachting
- Als in luchtledige buis bolletje isimo (veel lucht) en bolletje ijzer (veel aarde)
met zelfde grootte vallen, dan komen ze tegelijk neer → A. voorspelt dat ijzer
sneller valt!
- Galilei: knikker op hellend vlak (fig. p. 45). Denk wrijving weg (revolutionair!).
o Vlak neerhellend (α < 0): balletje versnelt. Hoe groter helling, hoe groter
versnelling.
o Vlak opgaand (α > 0): balletje vertraagt. Hoe groter helling, hoe groter
vertraging.
o Vlak waterpas (α = 0): geen versnelling/vertraging → als balletje in
beweging komt blijft het doorrollen!
 eerste experiment waarbij waarnemingen aangevuld werden met zorgvuldig
uitgekiende experimenten en kwantitatieve metingen.
 eerste die experimentele voorwaarden stelde (wrijving 0).
De inertiewet
Descartes: niet enkel wrijving wegdenken, ook luchtweerstand en gravitatie.
Dit leidde tot de wet der inertie:
Een voorwerp dat niet onderworpen is aan uitwendige krachten zal zijn
bewegingstoestand, zijn snelheid, onveranderd behouden.
Snelheid en versnelling in een Cartesisch assenstelsel
Een vector r heeft een amplitude ( |r| of |OP| ) en een richting.
- Cartesiaans assenstelsel: 2 niet evenwijdige assen (meestal loodrecht), x en y
coördinaten bepalen de vector volledig. P(x,y).
- 3D: 3 coördinaten. P(x,y,z).
- Poolcoördinaten: amplitude = r; richting = hoek θ, gemeten tov. basisrichting x.
P(r, θ).
- 3D: sferische poolcoördinaten, 2 hoeken en 1 lengte. P(r, θ1, θ2).
- Verband Cartesische vs. poolcoördinaten:
o
r² = x² + y²
o x = r . cos θ
o y = r . sin
y
o
tg θ =
x
-
Eenheidsvectoren:
o Cartesisch: 1X en 1Y 
o Poolc.: 1R en 1 ; 1
-
r = x. 1X + y.
 1R  r = r. 1R
1Y
Toepassing: opstellen vgl. ellips in poolcoördinaten (zie fig.3.1.1 p. 52bis).
o Definitie ellips: r + r’ = 2a.
o In ΔFPF’: cosinusregel (a² = b² + c² - 2.b.c.cosA):
 r'² = r² + (2.εa)² - 4.r.εa.cos θ
(r, θ poolcoördinaten met oorsprong F en grote as als ref.richting)
o 2a = r + r’  r’² = (2a – r)² = 4a² + r² - 4.a.r
o r² + (2.εa)² - 4.r.εa.cos θ = 4a² + r² - 4.a.r
r 
a (1   ²)
1   . cos
o uitgaande van de kleine as wordt dit:
b²  a ²  ( .a)²  b²  a ²(1   ²)

-
Verplaatsing van een voorwerp beschrijven: optellen van vectoren.
r
-
1 a
 (1   . cos  )
r b²
=
r1 + r2 +…+ rn
Snelheid: is een vector dus heeft richting en amplitude!
r2  r1 r

, grafisch: rico v/d verbindingslijn tss P1 en P2.
t 2  t1 t
r
dr

o v  lim
, grafisch: rico raaklijn in een punt.
t  0  t
dt
o
v gem 
o [v] = m/s
-
Verandering in de snelheid = versnelling (eveneens een vector)
o
v
dv
d ²r


t 0 t
dt
dt ²
a  lim
-
-
o Als het voorwerp vertraagt, dan is dit een versnelling met tegengestelde
richting tov. v .
o Als de amplitude van v gelijk blijft en enkel de richting wijzigt, spreekt
men eveneens van een versnelling.
o [a] = m/s²
Lineaire snelheidstoename  constante versnelling!
o
v  v0  b .t
o
a
( b is tijdsonafhankelijke vector)
dv dv0 db .t


 0b b
dt
dt
dt
Herformulering wet der inertie:
Een voorwerp dat niet onderworpen is aan krachten, ondergaat geen
versnelling.
Snelheid en versnelling in poolcoördinaten
Planeetbewegingen → ellipsen → benaderen door cirkels → poolcoördinaten!
-
Eenheidsvectoren: 1R en 1 ; 1  1R  r  r. 1R
Cirkelvormige beweging: |r| constant veronderstellen.
r
r (t  t )
1
 1

 1r

r (t )


r (t )
Verandering van r in functie van
de tijd bij een cirkelvormige
beweging (poolcoördinaten).
-
1r
0
Tijdwijziging van de eenheidsvectoren 1
en 1r bij een cirkelvormige beweging.
Richtingsverandering van r in de tijd is volgens de (loodrechte)
eenheidsvector 1 ;
r.
-
Amplitudewijziging in de tijd =
-
 r  r. . 1
Als we dit delen door Δt en dan Δt naar nul laten gaan bekomen we:
r
dr
d

 r.
. 1 ;
t 0 t
dt
dt
v  lim
-
We noemen
d
de hoeksnelheid van de cirkelvormige beweging, ook:
dt
 d

;
t 0 t
dt
  lim
[ω] = rad/s
(opm.: ω is geen vector!)
v  r.
-
Baansnelheid:
-
v  r.. 1  v  v. 1
-
Opm.: eenheidsvector 1R wijzigt in de tijd, nl. zijn richting verandert maar zijn
amplitude blijft constant. Deze draaiing volgt uit:
v
dr
dr. 1r
d
d 1r

 r.
. 1 
 . 1
dt
dt
dt
dt
Dus: als 1R wijzigt in de tijd is dit volgens richting
1 !
Omgekeerd: tijdswijziging 1 gebeurt volgens richting
1   .1
(uit figuur 2: amplitudes vergelijken)
1   .1R
  1    . 1R

en
1R :
(want
d 1
 . 1R
dt
1R en 1 eenheidsvectoren)
( 1R en 1 tegengesteld van richting)
↔ Bij Cartesische coördinaten behouden de eenheidsvectoren steeds hun richting!
(Radiale) versnelling:
a  .r.
d
v²
.( 1  )  r. ². 1 R   . 1 R
dt
r
-
Richting: tegengesteld aan plaatsvector r, dus naar het centrum 0 gericht.
-
Amplitude: a r   ².r  
v²
r
Als men r constant houdt (cirkelvormig) en ω laat variëren (dus niet eenparig), dan
zal a naast de radiale ook een tangentiale component krijgen (  r ):
o
a  at . 1  ar . 1r
at = lengte tangentiale component
ar = lengte radiale component
d1
dv
. 1  v. 
( v  v. 1 )
dt
dt
d
d 1
. 1  .v. 1r
 . 1r )
o  a  r.
(v=r.ω (met r cte) en
dt
dt
v²

ar    .v   ².r


r
o dus: 
a  dv  r. d  r. d ²
t

dt
dt
dt ²

o
 a
Algemene geval:
- Snelheid:
v
d1
dr d
dr
 (r. 1r )  . 1r  r r
dt dt
dt
dt
 v
-
dr
. 1r  r.. 1
dt
Versnelling:
d1
dv d dr
d ²r
dr d 1 dr
d
 ( . 1r  r.. 1 ) 
. 1r  . r  .. 1  r.
. 1  r.. 
dt dt dt
dt ²
dt dt dt
dt
dt
d ²r
dr
dr
d ²
 a
. 1  . . 1  . . 1  r.
. 1  r. ². 1r
dt ²
dt
dt
dt ²
a
d ²r

a r  dt ²  r. ²

a  2.. dr  r. d ²
 t
dt
dt ²
d ²r
dr
d ²
 a (
 r. ²). 1r  (2..  r.
). 1
dt ²
dt
dt ²
De valbeweging
- Bij verwaarlozing van de luchtweerstand vallen 2 willekeurige voorwerpen
samen omlaag, ongeacht hun gewicht of samenstelling.
- Valbeweging = rechtlijnig → a , v , r vectoren steeds verticaal gericht → enkel
de amplitudes zijn relevant.
- Op aarde vallen alle voorwerpen met a = 9,8 m/s²
t
-
dv
a
 dv  a.dt; met a  9,8  cte  v  C0   a.dt  at
dt
0
 v  a.t
t
-
dr
a
1
v  a.t 
 a.t  dr  at.dt; met a cte  r  C1  . d (t ²)  .a.t ²
dt
2 0
2
1
 r  .a . t ²
2
4
Waarom bewegen voorwerpen
Beweging tov. wat? → oorsprong referentiestelsel.
Wet der inertie geherformuleerd: er bestaan referentiestelsels waarin de beweging
van een voorwerp rechtlijnig is met constante snelheid of waarin dit voorwerp in rust
is, indien geen uitwendige krachten inwerken op dit lichaam.
 Inertiële referentiestelsels
Kracht
Kracht is een vector. Als ze inwerkt op een voorwerp heeft ze een versnelling tot
gevolg.
Verband tussen kracht, massa en versnelling
-
a  F : zowel amplitude (evenredig) als richting (gelijk).
Massa = hoeveelheid materie = maat voor de inertie van een voorwerp.
2e Wet van Newton: de bewegingswet
-
a
F
 F  m.a
m
([a] = m/s²; [F] = N; [m] = kg
1N = kracht nodig om een massa van 1kg een versnelling van 1m/s² te geven.
Deze wet is onafhankelijk van de keuze van het inertieel referentiestelsel!
Bewijs:
o Stel 2 stelsel: S en S’. S’ beweegt met constante snelheid v tov. S.
o Voorwerp beweegt aan constante snelheid u tov. S.
o
o
o
o
Waarnemer in S’: snelheid voorwerp = u '  u  v  ook
Bij t = 0 laten we 0 en 0’ samenvallen, alsook x-assen.
Op willekeurig tijdstip t is 0’ |vt| verwijderd van 0.
Verband coördinaten beide stelsels
 dx'
 x'  x  vt
 dt ' 


 y'  y
t '  t
 dy ' 

 dt '
 du ' x du x
 dt '  dt

 du ' y  du y
 dt '
dt
dx
v
dt
of
dy
dt
(v cte, dus
u'
is cte.
 du ' x du x dv
 dt '  dt  dt
u ' x  u x  v


u ' y  u y
 du ' y  du y
 dt '
dt
dv
 0)
dt
a ' x  a x

a a '
a ' y  a y
 Versnelling invariant (kenmerk Newtoniaanse mechanica)
Gewicht
Het gewicht van een voorwerp is de netto gravitatiekracht uitgeoefend op het
voorwerp door alle andere objecten.
- Gewicht wordt uitgedrukt in N ( massa: kg; F=m.a; a=9,8m/s² op aarde).
3e Wet van Newton: actie en reactie
Krachten treden altijd op in paren. Telkens een voorwerp een kracht uitoefent op
een tweede voorwerp, oefent het tweede een kracht uit op het eerste. Beide
krachten hebben dezelfde grootte en zijn tegengesteld gericht.
-
Vb. 2 knikkers met verschillende massa:
o
 F21  m1 .a1

 F12  m2 .a 2
(F21 is kracht uitgeoefend door k2 op k1)
o
 F21 .t  m1 .(v1  u1 )

 F12 .t  m2 .(v 2  u 2 )
(ui is snelheid vóór botsen, vi is snelheid ná)
o
 ( F21  F12 ).t  m1 .v1  m2 .v2  m1 .u1  m2 .u 2
(lid aan lid optellen)
o
 m1 .u1  m2 .u2  m1 .v1  m2 .v2
(actie=reactie →vectorsom is 0)
 Behoud van het lineair moment: Bij botsen behouden 2 voorwerpen hun lineair
moment hoewel hun individuele snelheden wijzigen.
(basiswet van de Newtoniaanse mechanica)
Newton en de auto
F1  Gewicht van de auto
F5  Kracht t.g.v. rolweerstand
F2  Kracht uitgeoefend dr auto op weg
F6  Kracht van banden op het wegdek
F3  Reactiekracht van weg op auto
F7  Reactiekracht v/h wegdek op het wiel:
F4  Kracht door luchtwrijving
aandrijvende kracht.
-
F1 en F3 neutraliseren elkaar. Op auto werken dus F4 , F5 en F7 in, allen // aan
rijrichting.
Als (amplitudes) F4 + F5 = F7, dan is er netto geen krachtwerking op de auto en
blijft zijn snelheid constant (wet der inertie).
Als F7 toeneemt (gas geven): versnelling.
F7 = wrijvingskracht → op glad wegdek worden F6 en F7 tot 0 herleidt!
Waarom 4x4 beter op glad wegdek?
o Stel Fa = aandrijfkracht motor @ wielen
o 2-wiel: F6 = Fa/2  moet kleiner blijven dan adhesiekracht wiel-wegdek
(=α.F1/4, α=wrijvingscoëff.)
 Vw.: Fa/2 < α.F1/4  Fa < α.F1/2
o
4-wiel:
 Vw.: Fa/4 < α.F1/4  Fa < α.F1
 Bij een 4x4 mag de aandrijfkracht dus dubbel zo groot zijn alvorens men gaat
slippen, OF de wrijvingscoëfficiënt mag bij 4x4 half zo groot zijn als bij 2-wiel bij
zelfde trekkracht.
Algemeen: transportmiddelen “zetten zich af” tegen omgeving (weg, rail,…).
Uitz.: Raketaandrijving: stoom uitstuwen, deze stoom oefent op zijn beurt kracht uit
op raket → beweging.
5
Het wereldbeeld van Newton
Zwaartekracht: de appel en de maan
-
Appel: breekt van tak o.i.v. zijn gewicht Fp (gericht naar 0), versnelt volgens
vector
-
a p (eveneens naar 0 gericht).
Maan: cirkelvormige beweging rond aarde, snelheid = v m , gericht volgens de
raaklijn aan haar baan.
Zonder gravitatie zou maan rechtlijnig van A naar B bewegen, met gravitatie
“valt” ze naar C.
Maan en appel ervaren dezelfde versnellingsamplitude a= 9,8 m/s²
Als we voorwerp voldoende beginsnelheid geven zodat de baan overeen komt
met de kromming van de aarde, dan brengen we het in een baan om de aarde
(eenparige cirkelvorige beweging). Grootte van deze beginsnelheid?
o Radiale versnelling a r 
v²
r
 v² = ar.r = 9,8 x 6.350.000 = 6,5x107 (m/s)²  v = 7900 m/s
-
Zwaartekracht is recht evenredig met de massa en omgekeerd evenredig met
het kwadraat van de afstand tussen beide voorwerpen. Bewijs:
1

a(rM )  n n
v²


60 rA
a(rM )  F (rM ) 

rM en 

(want rM = 60.rA)
a(r )  F (r )  9,81
a(r )  1
A
 A
 A
rAn
a(rM ) a(rM )
rAn
vM2
9,81



 a(rM )  n -1
(1/60 in ll. en rl. schrappen)
a(rA ) 9,81 60 n.rAn
60
60.rA
 60
n 1
9,81 rA
9,81 6,35.10 6


 59,2
2
vM2
 6,28  60  6,35.10 6 


27

24

3600


vM = baansnelheid = (2π.60rA) / (27d.x24u.x60m.x60s)
 n = 2  kwadratisch verband!
- Gravitatiewet: F  K .
-
m1  m2
d²
K = gravitatieconstante = ?
o Stel m1 = aarde en m2 = willekeurig voorwerp
m A  m2

 FG  K .
rA2

 F  m .a
2

(mA; rA en a bekend!)
9,8  (6,35.10 6 ) 2
11 m³

6
,
7
.
10
 K
kg.s ²
5,9.10 24
-
Gravitatiewet wordt dus: Tussen 2 willekeurige voorwerpen is er een
aantrekkingskracht die evenredig is met het product van hun massa’s en
omgekeerd evenredig met het kwadraat van hun afstand:
F  6,7.1011.
-
m1  m2
d²
In toepassingen: voorwerpen voorstellen als puntmassa’s, afstand tussen
beide in de afstand tussen hun zwaartepunten. Vb.: aantrekkingskracht tussen
2 tientonners bepalen (p.100-101)
Wetten van Kepler
1. Alle planeten in ons zonnestelsel beschrijven elliptische banen rond de zon,
die in één der brandpunten van die ellips staat.
2. Wet der gelijke perken: verbindingslijn tussen zon en planeet beschrijft in
gelijke tijdsintervallen gelijke oppervlaktes. Bewijs:
a (

d ²r
dr
d ²
 r. ²). 1r  (2..  r.
). 1
dt ²
dt
dt ²
(zie vroeger)
Gravitatiekrachten: gericht volgens verbindingslijn:
 d ²r

F  m.a  m
 r. ² . 1r
 dt ²


De component van
verbindingslijn:
a
die volgens 1 is gericht staat loodrecht op deze
dr
d ²
dr
d ²
 r.
 0  2..r .  r 2 .
0
dt
dt ²
dt
dt ²
dr
dω
 2..r.  r 2 .
0
en :
dt
dt
d
d
(.r ²)  0 zodat .r ²  cte  r ²
 K (K is constante)
dt
dt
2..
Q
r+Δr
ΔA
- Stel zon in 0.
Δθ
P
- Planeet beweegt over PQ
r
θ
0
Beschreven oppervlakte ΔA:
1
A  .r (r  r ). sin(  )
2
A 1 r

  (r  r ). sin(  )
 t 2 t
dA
1 
dA 1 d

 lim r ².

 r ².
dt t 0 2
t
dt 2
dt
 d
r²
K
In gelijke tijdsintervallen is de

dA K
 dt


doorlopen oppervlakte dA dus een

dt
2
 dA  1 r ². d
constante!

dt
 dt 2
 Wat we moesten bewijzen!
Geometrisch bewijs van Newton:
-
Zon bevindt zich in 0, planeet
beweegt van A naar B.
Als centripetale kracht wegvalt:
planeet van B naar C.
Bij gelijke tijdsintervallen: AB =
CD.
Realiteit: centripetale kracht
van zon → planeet “valt” naar
punt D volgens DC//OB.
Dus: opp. ΔOAB = opp. ΔOBC
(zelfde basis OB, hoogte AK = CL)
opp. ΔOBC = opp. ΔOBD
(zelfde basis OB, zelfde hoogte CL)
 opp. ΔOAB = opp. OBD
 In gelijke tijdsintervallen Δt beschrijft de voerstraal v/d planeet gelijke
oppervlakken!
R3
 cte
3.
T2
-
Bewijs 1: Benader de planeetbanen door cirkelbanen.
v²
Radiale component versnelling: a r 
(v=baansnelheid, r afstand zon)
r
v  .r
4 ²
 a r  2 .r
Tp
  2 / T p
-
Enkel modulus beschouwen: 
-
Krachtwerking planeet-zon:
4 ²

F

m
.
a

.m p.r
zp
p
r

T p2
G.M z

 r³ 
 T p2  K .Tp2

4 ²
 F  G.M z .m p 
zp

r²

Bewijs 2: Rekening houden met elliptische banen:
-
Radiale component ar (algemeen geval, zie vroeger):
-
Vergelijking ellips in poolcoördinaten (zie vroeger):
ar 
1 a
 (1   . cos  )
r b²
-
(linker- en rechterlid afleiden)

-
(en r ²
1 dr  .a
d
d
b²
dr
. 
. sin  .
 r ².

.
r ² dt
b²
dt
dt
 .a. sin  dt
d
 K ; zie wet der gelijke perken)
dt
K
b²
dr
dr
 .a.K
. 

.sin 
 .a.sin  dt
dt
b²
-
(nogmaals afleiden)
-
(en r ²
d ²r
 .a.K
d

. cos .
dt ²
b²
dt
d
dt
K)
d ²r
 .a.K ²

. cos
dt ²
b².r ²
K²
 d 
 
term: r. ²  r.
r³
 dt 
2
-
2e
 1e term van ar bekend!
d ²r
 r. ²
dt ²
-
 .a.K ²
K²
K²
a
1

( cos   )
b².r ²
r³
r²
b²
r
K ²  a
a  .a. cos 
K ².a

 cos  
  ar  
r ²  b²
b²
b²
b².r ²

Totaal: ar  

. cos  
K kan men berekenen voor een ellips:
dA

dA  .a.b
2. .a.b
 K  2. (zie wet der perken)


K
dt

dt
Tp
Tp

 A   .a.b (zie p.52bis, fig.3.1.1)
4 ².a 3 .m p (1)
4 ².a ² a
 ar 
  Fzp  m p .ar 
T p2 r ²
T p2 .r ²

4 ².a 3 .m p
 Fzp 
4 ².a 3
T p2 .r ²

2

T


p
G.M Z
M Z .m p

 Fzp  G r ²
→ enkel grote as van de (elliptische)
planeetbaan speelt dus een rol in
het bepalen van de omloopsnelheid
binnen hetzelfde zonnestelsel (Mz
zelfde)
Verband 3e wet van Kepler en (1)?
→ “gemiddelde voerstraal ellips”: fig. 3.1.1:
rmin  a.(1   )
 a.(1   )
-
in punt p (perihelion) geldt:
-
in punt a (aphelion):
-
gemiddelde: a 
rmax
1
(rmin  rmax )
2
→ a is de gemiddelde afstand tussen zon en planeet
→ (1) bewijst de 3e wet!
Behoud van het angulair moment (↔zie boven: behoud van het lineair moment)
r , F , v , vr en v allen in vlak α,
angulair moment l  op α.
- F = willekeurige kracht
dv
- Inertiewet: F  m.a  m.
dt
dv
 r  F  r  m.
(2)
dt
-
I
M
m.v
m.v  P
α
r
P
F
m.vr
fig.:
In (2): linkerlid = koppel M  r  F , rond 0, uitgeoefend door F op voorwerp P.
Rechterlid = ?
-
Angulair moment = l  r  m.v , met
= hoeveelheid van beweging.
m.v  p = impuls = lineair moment
dl d
dr
dv
dv
dv
 (r  m.v ) 
 m.v  r  m.  v  m.v  r  m.  r  m.
dt dt
dt
dt
dt
dt
dp
dl
dl
F

M

 in (2) stelt het rechterlid
voor 
≈
dt
dt
dt
Bij centrale krachten:
r
en
F zelfde richting  M  r  F  0 →
dl
0
dt
 l  r  p  r  m.v  cte
 Behoud van het angulaire moment bij centrale krachten!
 Als r verkleint moet v dus toenemen.
 amplitude l  l  r.m.v  m.r ².
d
 cte (bevestigt opnieuw wet der perken)
dt
Geboorte en dood van het zonnestelsel
- Begin (ca. 5 miljard jaar geleden): ijl en difuus gas, verspreid in het heelal,
voornamelijk H2. Gravitatie: wolk trekt samen. In (toevallig) densere zones:
meer gravitatie → meer influx vanmaterie → meer gravitatie → … → 1 grote
gasbol.
- Naar centrum toe: atomen versnellen → hogere snelheden van botsing →
temperatuur stijgt → chaotische gasbeweging wordt stilaan rotatie en bol gaat
steeds sneller draaien (cfr. schaatser die armen bij zich trekt in pirouette) →
gasbol wordt schijf → meer versnelling → fragmenten van de schijf worden in
een baan rond de centrale gasbol geslingerd → planeten!
- Centrale bol blijft krimpen en temperatuur blijft oplopen → elektronen los
(plasma) → kernfusie → warmte → gasdruk (naar buiten toe) → evenwicht in
de centrale gasbol tussen inkrimpen en uitzetten → zon!
- Einde (over ca. 5 miljard jaar): door gebrek aan waterstof stopt de kernfusie →
uitwaartse druk weg → gravitatie terug overhand → kern gaat krimpen →
temperatuur stijgt terug → buitenste zones gaswolk expanderen en verslinden
Mercurius, Venus, Aarde (?). Zoniet: door gaswrijvng daalt omloopsnelheid en
aarde spiraleert naar zon toe (munch!). Zon krimpt verder en dooft uit → wordt
kleine opeengepakte massa kerndeeltjes+vrije elektronen, heel heet → witte
dwerg! Bij sterren groter dan 3 zonnemassa’s → supernova → zwart gat!
Beperkingen v/d wetten van Newton
Snelheid
Verboden
Lichtsnelheid
km/s)
10% van de
lichsnelheid
1% van de
lichtsnelheid
Speciale
relativiteit
+
Kwantum
Speciale relativiteit
Verboden
10-10
Algemene
Relativiteit
(3.108
Newtoniaanse mechanica
10-5
1
105
1010
1015
1020
afstand (m)