SamvatHBH3.pps

Berekeningen met sinus, cosinus en tangens
sin A = overstaande rechthoekszijde : schuine zijde
cos A = aanliggende rechthoekszijde : schuine zijde
tan A = overstaande rechthoekszijde : aanliggende rechthoekszijde
SOS/CAS/TOA
2.1
voorbeeld 1
Bereken AB
vanuit hoek A kijken 
tan A = BC : AB
tan 19° = 5 : AB
tan 19°
1
C
5
5
19° 
AB
A
AB = 5 × 1 : tan 19°
AB = 14,5 cm
?
B
voorbeeld 2
Bereken C
vanuit hoek C kijken 
sin C = AB : AC
C
sin C = 9 : 11
11

C = 55°
A
9
B
Driehoek
hoogte
loodrecht
op zijde
C
voorbeeld 1
oppervlakte driehoek =
zijde × hoogte : 2
of
½ × zijde × hoogte
5
A
∟
O(∆ABC) = zijde × hoogte : 2
=4×5:2
= 10 cm²
hoogte
tekenen
4
B
2.1
voorbeeld 2
oppervlakte driehoek =
zijde × hoogte : 2
of
½ × zijde × hoogte
O(∆ABC) = zijde × hoogte : 2
C
3
=4×3:2
= 6 cm²
∟
A
Hoogte ligt buiten de
driehoek.
4
B
Indien nodig de zijde
verlengen om de hoogte
te kunnen tekenen.
Parallellogram = rechthoek ?
JA
voorbeeld 3
O(ABCD) = zijde × hoogte
=4×3
= 12 cm²
D
C
3
∟
A
4
B
Cirkel
voorbeeld 2
Een geit staat in een weiland aan een stuk touw van 4 meter,
Op hoeveel m2 kan de geit niet komen?
In het gele gebied dus :
12
O(rechth) – O(cirkel) = O(geel)
O(rechth) = 20 × 12 = 240 m²
O(cirkel) = π × 4²
= 50,27 m²
O(geel) = 240 – 50,27 =
= 189,73 m²
2.1
voorbeeld 5
O(alles) =
O(rechthoek) + O(driehoek) =
(4×6)+(4×2:2)=
28 cm²
hulplijn
2
8
6
4
Opgave 8
Een trapezium is een
vierhoek waarvan 2 zijden
evenwijdig lopen
Trapezium
O(trapezium) = ½( a + b )h
b
D
C
h
A
B
a
b
a+b
Van ieder trapezium kun je een
parallellogram maken
2.1
Opgave 5a
Maak er eerst een rechthoek van
O(rechthoek) = 3 × 4 = 12
O(driehoek) = O(rechthoek) – O(1) – O(2) – O(3)
= 12 – (3 × 2 : 2) – (1 × 4 : 2) – (3 × 1 : 2)
= 12 – 3 – 2 – 1,5
= 5,5 cm²
2
1
3
opgave 5c
Maak er eerst een rechthoek van
Er blijft dan een rechthoek en een halve cirkel
over
O(rechthoek) = 3 × 2 = 6
O(halve cirkel) = ½ ( π × r²)
= ½ ( π × 1²)
= ½π
O(figuur) = 6 + ½π
≈ 7,57 cm² = 757 mm²
Veelhoeken
E
D
opgave 10
a 360° : 6 = 60°
b AM = BM
AMB = 60°
dus ∆ABM is gelijkzijdig
S.v.P. om MN te berekenen
O(∆ABM) = ½ · 4 · √12
≈ 6,93
c O(ABCDEF) = 6 · O(∆ABM)
= 6 · 6,93
≈ 41,6
.
M
F
4
A
zijde
C
4
N
4
B
kwadraat
AN = 2
MN = ?√12
4
…
12
AM = 4
16
MN = √12
+
opgave 11
a Teken de hoogtelijn CD
b Bereken CD in ∆ADC
sin 70°
CD
1
5
CD = 5 · sin 70° : 1
CD ≈ 4,70
O(∆ABC) = ½ · AB · CD
= ½ · 8 · 4,70 ≈ 18,8
c in ∆ADC
sin A
CD
1
b
CD = b · sin A
O(∆ABC) = ½ · AB · CD
= ½ · c · b sin A
= ½bcsin A
D
zijde tegenover A is a
zijde tegenover B is b
zijde tegenover C is c
Opgave 16
De uitslag van een lichaam is een vlak figuur die je krijgt als je
het lichaam openknipt.
kubus
2.2
Prisma
Een prisma is een ruimtelijk figuur
waarvan 2 vlakken evenwijdig lopen
EN even groot zijn.
Inhoud (prisma) = G x h
Grondvlak kan van
alles zijn.
2.2
Piramide
Een piramide is een lichaam
waarvan alle hoekpunten op
één na in één vlak liggen, dat
ene hoekpunt heet de top.
De andere hoekpunten liggen
in het grondvlak.
Inhoud (piramide) = G x h : 3
2.2
Cilinder
cilinder = prisma !!
ook een cilinder heeft 2 vlakken die even groot
en evenwijdig lopen
I(cilinder) = G × h
G = cirkel
G = π × r²
I(cilinder) = π × r² × h
2.2
Kegel
Inhoud (kegel) = G x h : 3
= π × r² x h :
3
2.2
opgave 25
afstand AT is 6 – 1 = 5 m.
op AT 4 keer
dus per keer 5 : 4 = 1,25 m.
d(mast) = 9 cm.
r(mast) = 4,5 cm.
omtrek = 2 · π · 4,5 = 9π
voor 1 winding krijg je
lengte(1 winding) bereken je met de S.v.P.
lengte(1 winding) = √(125² + 9π²)
lengte(1 winding) ≈ 128,16 cm.
lengte(vlaggentouw) = 4 · 128,16
≈ 513 cm.
125 cm
5m
9π cm
Cilinder
Ocilinder = Ocilindermantel + 2 · Ogrondvlak
Ocilinder = 2πr · h + 2 · πr²
2.3
Kegel
Okegel = Okegelmantel + Ogrondvlak
Okegel = πrR + πr²
2.3
Bol
O(bol) = 4πr²
●
r
2.3
Herhaling gelijkvormigheid
snavelfiguur
∆ABC ~ ∆DBE
zandloperfiguur
∆KLM ~ ∆ONM
A = D
B = B
C = E
C
E
K
L
K = O
L = N
M = M
B
M
D
A
AB
DB
N
BC
BE
AC
DE
KL
ON
LM
NM
O
KM
OM
Bereken de oppervlakte van een afgeknotte cilinder
opgave 34
Ocilinder = Ocilindermantel + 2 · Ogrondvlak
Ocilinder = 2πr · h + 2 · πr²
O(mantel hele cilinder) = 2π · 12 · 20
O(mantel hele cilinder) ≈ 1508 cm²
O(mantel halve cilinder) = ½ · 1508
O(mantel halve cilinder) = 754 cm²
we maken er eerst een
hele cilinder van
2.3
Bereken de oppervlakte van een afgeknotte kegel
opgave 43a
bereken NT
stel NT = x
dan is MT = 6 + x
snavelfiguur
∆NBT ~ ∆MAT
N=M
B=A
T=T
NT
x
NB
2
BT
x+6
MT
MA
5
AT
5x = 2(x + 6)
5x = 2x + 12
3x = 12
x=4
NT = 4
T
x
N
2
B
6
M
5
A
T
opgave 43b
Van de kegel met top T en straal grondcirkel MA.
Okegelmantel = πrR
met r = MA = 5
en R = AT
R bereken je m.b.v. St.v.Pyth.
Okegelmantel = π · 5 · √125 ≈ 175,62
x4
N
B
2
R
6
M
A
5
zijde
kwadraat
AM = 5
MT = 10
25
100
R
125
=
?
R = √125
+
T
opgave 43c
Van de kegel met top T en straal grondcirkel NB.
Okegelmantel = πrR
met r = NB = 2
en R = BT
R bereken je m.b.v. St.v.Pyth.
Okegelmantel = π · 2 · √20 ≈ 28,10
Dus de oppervlakte van de mantel van de
afgeknotte kegel is
175,62 – 28,10 = 147,52
x4
R
N
B
2
6
M
A
5
opgave 33d
Oafgeknotte kegel = π · 5² + π · 2² + 147,52
Oafgeknotte kegel ≈ 238,63
zijde
kwadraat
NB = 2
NT = 4
4
16
R
20
=
?
R = √20
+
Cilinder
Icilinder = G · h
Icilinder = πr²h
Kegel
Ikegel = ⅓ G · h
Ikegel = ⅓ πr²h
Bol
Ibol = 1⅓ π r³
prisma
opgave 54a
Iprisma = G · h
G = ∆ABC
O(∆ABC) = ½bh
CM berekenen mbv St.v.Pyth.
G = ½ · AB · CM
h = AD
I(ABC DEF) = ½ · 6 · 5,196 · 8
I(ABC DEF) ≈ 124,7
C
6
6
A
3
zijde
6
M
B
3
kwadraat
AM = 3
CM = ?
9
…
27
AC = 6
36
CM = √27 ≈ 5,196
+
grondvlak is een
gelijkzijdige driehoek
opgave 60
straal cilinder = r
dan is de hoogte van de cilinder en de kegel 2r
Ikegel = ⅓ πr²h
Ikegel = ⅓ πr² · 2r
Ikegel = ⅔ π r³
Ibol = 1⅓ π r³
Icilinder = πr² · 2r
Icilinder = 2 π r³
dus
Ikegel : Ibol : Icilinder = ⅔ π r³ : 1⅓ π r³ : 2 π r³
= ⅔ : 1⅓ : 2
= 2 : 4
: 6
= 1 : 2
: 3
r
2r
: π r³
× 3
: 2
opgave 63
De emmer heeft de vorm van een afgeknotte kegel.
∆CDT ~ ∆ABT
x
DT
x+25
BT
10
CD
15
AB
CT
C = A
D = B
T = T
15
A
B
AT
15x = 10(x + 25)
15x = 10x + 250
5x = 250
x = 50
DT = 50
I(emmer) = (⅓ π · 15² · 75 ) – (⅓ π · 10² · 50 )
I(emmer) ≈ 12435 cm³≈ 12,4 liter
25
C1
0
10
D
x
50
T
opgave 14 oud boek
sin PMR = 2½ : 4
PMR ≈ 38,68°
dus
PMQ ≈ 77,36°
sin PNR = 2½ : 6
PNR ≈ 24,62°
dus
PNQ ≈ 49,25°
P
6
4
M
.
▪
▪
4
2½
R
5
●
●
.
N
2½
6
Q
O(gebied) = O(sector PMQ) – O(∆PQM) + O(sector PNQ) – O(∆PQN)
=(77,36:360 · π · 4²) – (½ · 4 · 4 · sin77,36°) + (49,25:360 · π · 6²) – (½ · 6 · 6 · sin49,25°)
≈ 4,83