Getaltheorie Groep 1

Getaltheorie Groep 1
Trainingsweekend 23-25 Januari 2009
Deel 1:
Algoritme van Euclides:
Stelling Bij elk tweetal gehele getallen a en b, met a 6= 0 bestaan er gehele getallen q (voor
quotiënt) en r (voor rest) zo, dat b = qa + r en 0 ≤ r < |a|.
b
a
r1
r2
=
=
=
=
..
.
q1 a
q2 r1
q3 r2
q4 r3
+
+
+
+
r1
r2
r3
r4
(0 ≤ r1
(0 ≤ r2
(0 ≤ r3
(0 ≤ r4
..
.
< |a|)
< r1 )
< r2 )
< r3 )
rk−2 = qk rk−1 + rk
(0 ≤ rk < rk−1 )
rk−1 = qk+1 rk + rk+1 (rk+1 = 0)
Stelling (Bézout) Bij elk tweetal gehele getallen a en b, met (a, b) 6= (0, 0), zijn er gehele
getallen m en n zo, dat ggd(a, b) = ma + nb.
Bewijs De verzameling S van alle getallen van de vorm xa + yb met x en y geheel heeft een
kleinste positieve element. Stel dat dit ma + nb is. Elke deler van a en b is ook een deler
van ma + nb. In het bijzonder is dus ggd(a, b) een deler van ma + nb. Anderzijds is het
voor zekere gehele q en r zo, dat a = q(ma + nb) + r met 0 ≤ r < ma + nb. Dit betekent
dat r = (1 − qm)a − qnb, dus r behoort tot S. Maar ma + nb is het kleinste positieve
element van S, dus r = 0. Bijgevolg is ma + nb een deler van a. Evenzo bewijst men dat
ma + nb een deler is van b, dus ma + nb ≤ ggd(a, b). Er was al bewezen dat ggd(a, b) een
deler van ma + nb is, dus moet gelden ma + nb = ggd(a, b).
¤
Voorbeeld Vind gehele getallen x en y zo dat 15x + 87y = 3.
Opgave 1 Vind gehele getallen x en y zo dat 561x + 442y = 17.
1
Opgave 2 Bewijs met behulp van de stelling van Bézout dat als a, b, c natuurlijke getallen
zijn zodat a | bc en ggd(a, b) = 1, dan geldt a | c.
Opgave 3 a) Vind alle gehele getallen x waarvoor 3x ≡ 6 mod 9.
b) Laat a, b, m gehele getallen zijn met m > 0. Bewijs dat er een x bestaat zodat ax ≡ b
mod m dan en slechts dan als ggd(a, m) | b.
Opgave 4 Laat a en m gehele positieve getallen zijn met ggd(a, m) = 1.
a) Bewijs dat er een gehele x bestaat met x · a ≡ 1 mod m.
b) Bewijs dat er een geheel getal i , 0 ≤ i ≤ m − 1 bestaat zodat i · a ≡ 1 mod m.
c) Bewijs dat i uniek is.
We noemen i de inverse van a. De inverse van a modulo m bestaat alleen als ggd(a, m) = 1
en we noteren het met a−1 .
Opgave 5 ( De stelling van Wilson) Voor elke priemgetal p, (p − 1)! ≡ −1 mod p.
Opgave 6 Zij p een oneven priemgetal. Laat zien dat 2(p − 3)! ≡ −1 mod p.
Opgave 7 Bewijs dat alle gehele getalen n, n ≥ 2, waarvoor geldt (n − 1)! ≡ −1 mod n,
priemgetallen zijn.
2
Deel 2
Kleine stelling van Fermat Bewijs dat voor elk geheel getal a en elk priemgetal p geldt:
ap ≡ a mod p.
Andere formulering van de kleine stelling van Fermat Voor elk geheel getal a en
elk priemgetal p zodat p geen deler is van a geldt:
ap−1 ≡ 1
mod p.
In andere woorden, ap−2 ≡ a−1 mod p.
Uit ap ≡ a mod p, volgt niet dat p priem is
Voorbeeld 341 | 2341 − 2 en 341 = 31 · 11.
Opgave 8 Zij p een priemgetal. Bewijs dat p geen deler is van 2p − 1.
Opgave 9 Bewijs dat als p priem is, dan abp − bap ≡ 0 mod p voor alle natuurlijke
getallen a en b.
Opgave 10 Bewijs met de kleine stelling van Fermat dat 7 een deler is van 3105 + 2105 .
Opgave 11 Bewijs dat voor p priem, p ≥ 7 het getal 111....11 met p − 1 cijfers, deelbaar
is door p.
Opgave 12 Bewijs dat de vergelijking x25 − y 12 = x + 3 geen gehele oplossingen heeft.
Opgave 13 Zij p een priemgetal. Laat zien dat er een oneindig aantal natuurlijke getallen
n bestaan zodat p | 2n − n.
Opgave 14 (IMO 2005) De rij a1 , a2 , ... is gedefineerd door
an = 2n + 3 n + 6 n − 1
voor alle positieve gehele getallen n. Bewijs dat er precies één natuurlijk getal bestaat dat
relatief priem is met alle getallen in de rij (Relatief priem betekent dat de ggd gelijk aan 1
is).
3