Getaltheorie Groep 2

Getaltheorie Groep 2
Trainingsweekend 23-25 Januari 2009
De multiplicatieve inverse
Zij m een positief geheel getal en a een geheel getal zodat ggd(a, m) = 1. Uit het algoritme
van Euclides volgt dat er twee gehele getallen x en y bestaan zodat
ax + my = 1.
Als we deze vergelijking modulo m bekijken, krijgen we dat er een geheel getal x bestaat
zodat ax ≡ 1 mod m.
Laat i een geheel getal zijn zodat 0 ≤ i ≤ m − 1 en x ≡ i mod m. Dan geldt i · a ≡ 1
mod m. We noemen dit getal i de multiplicatieve inverse van a. De inverse van a wordt
als a−1 of a1 genoteerd.
Stelling Als m een positief geheel getal is en a een gehele getal zodat ggd(a, m) = 1, dan
bestaat er precies een geheel getal i, 0 ≤ i ≤ m − 1 zodat i · a ≡ 1 mod m.
Bewijs Stel dat er twee verschillende gehele getallen i en j, 0 ≤ i, j ≤ m − 1, bestaan
zodat
i · a ≡ j · a mod m.
Omdat ggd(a, m) = 1, mogen we deze vergelijking door i rechts vermenigvuldigen (of door
a delen), en we krijgen dat i ≡ j mod m. Aangezien 0 ≤ i, j ≤ m − 1, moet i = j.
Conclusie De multiplicatieve inverse is uniek, mits hij bestaat.
Opgave 1 Laat m een positief geheel getal en a, b, positieve gehele getallen zijn zodat
ggd(a, m) = ggd(b, m) = 1. Bewijs de volgende eigenschappen van de inverse
• (a−1 )−1 ≡ a mod m
• Als a ≡ b mod m, dan a−1 ≡ b−1 mod m.
• (a · b)−1 ≡ a−1 · b−1 mod m
• (an )−1 = (a−1 )n
Opgave 2 Bereken met behulp van de bovenstaande regels:
a) (4−1 )−1 mod 3
b) 39−1 mod 35
c) 121−1 · 11 mod 5
1
Opgave 3 Vind alle paren (p, q) van gehele getallen met ggd(p, q) = 1, waarvoor 5p ≡ 2p
mod 7 en 5q ≡ 2q mod 7.
Opgave 4 ( De stelling van Wilson) Voor elke priemgetal p, (p − 1)! ≡ −1 mod p.
Opgave 5 Bewijs dat alle gehele getalen n, n ≥ 2, waarvoor geldt (n − 1)! ≡ −1 mod n,
priemgetallen zijn.
Opgave 6 Zij p een oneven priemgetal. Laat zien dat 2(p − 3)! ≡ −1 mod p.
Opgave 7 (American Regional Mathematics League 2002) Zij a een geheel getal zodat
1+
1 1
1
a
+ + ... +
=
.
2 3
23
23!
Bereken a mod 13.
2
Kleine stelling van Fermat, de stelling van Euler-Fermat
De kleine stelling van Fermat Voor elk geheel getal a en elk priemgetal p geldt:
ap ≡ a mod p.
Andere formulering van de kleine stelling van Fermat Voor elk geheel getal a en
elk priemgetal p zodat p geen deler is van a geldt:
ap−1 ≡ 1
mod p.
In andere woorden, ap−2 ≡ a−1 mod p.
Eulers ϕ-functie De ϕ-functie van Euler is als volgt gedefinieerd:
voor positieve gehele m is ϕ(m) het aantal getallen uit {1, 2, . . . , m} die relatief priem zijn
(dus ggd 1 hebben) met m.
Stelling van Euler-Fermat Zij a ∈ Z een geheel getal en zij m ∈ N een positief geheel
getal zodanig dat ggd(a, m) = 1. Dan geldt aϕ(m) ≡ 1 mod m.
Opmerking Als we m in de stelling van Euler-Fermat een priemgetal is, krijgen we de
kleine stelling van Fermat.
Opgave 8 Bewijs met de kleine stelling van Fermat dat 7 een deler is van 3105 + 2105 .
Opgave 9 (Opgave 18 trainingsdag december) Zij p een priemgetal. Laat zien dat er een
oneindig aantal natuurlijke getallen n bestaan zodat p | 2n − n.
Opgave 10 Zij n ∈ N en zij p een priemgetal. Bepaal ϕ(pn ).
Opgave 11 a) Bewijs dat a ≡ b mod mi , voor i = 1, ..., k, dan en slechts dan
a≡b
mod kgv(m1 , ..., mk ).
b) Zij p een priemgetal zodat p > 5. Bewijs dat p8 ≡ 1 mod 240.
Opgave 12 Zij n ∈ N en zij a ∈ Z zo dat ggd(n, a) = 1. Zij k het kleinste positieve gehele
getal zodat ak ≡ 1 mod n. Bewijs dat k | ϕ(n).
3
Opgave 13 Bewijs dat voor elk even positief geheel getal n, n2 − 1|2n! − 1.
Opgave 14 ( IMO 2005 ) De rij a1 , a2 , ... is gedefineerd door
an = 2n + 3 n + 6 n − 1
voor alle positieve gehele getallen n. Vind alle positieve getallen die relatief priem zijn met
alle getallen in de rij. (Relatief priem betekent dat de ggd gelijk aan 1 is.)
Opgave 15 Vind alle oplossingen in gehele x en y van de vergelijking x25 − y 12 = x + 3.
Opgave 16 Laat x en y oneven getallen zijn en n ∈ N.
Bewijs dat als xm ≡ y m mod 2n , dan m even of x ≡ y mod 2n .
Opgave 17 Laat m en n gehele getallen groter dan 1 zijn zodat ggd(m, n−1) = ggd(m, n) =
1. Bewijs dat niet alle termen van de rij n1 , n2 ,..., met n1 = mn + 1 en nk+1 = n · nk + 1,
k ≥ 1 priemgetallen kunnen zijn.
4