Getaltheorie

Getaltheorie
Trainingsdag 2; 6 maart 2009
De Chinese Reststelling: Laat m1 , . . . , mk ∈ N en a1 , . . . , ak , b1 , . . . , bk ∈ Z gegeven zijn
zodanig dat ggd(ai , mi ) = 1 voor alle 1 ≤ i ≤ k en ggd(mi , mj ) = 1 voor alle 1 ≤ i < j ≤ k.
Dan heeft het stelsel
a1 x ≡ b 1
a2 x ≡ b 2
..
.
mod m1
mod m2
ak x ≡ bk
mod mk
precies één oplossing x modulo m1 m2 · · · mk .
Opgave 1 a Vind alle x zodat x ≡ 5 mod 11 en 5x ≡ 2 mod 7.
b Vind alle x zodat x ≡ 4 mod 5, 5x ≡ 4 mod 6 en x ≡ 3 mod 7.
c Vind alle x zodat x ≡ 5 mod 7 en x ≡ 7 mod 9 en x ≡ 9 mod 5.
Opgave 2 Bepaal het kleinste getal x ∈ N zo dat x ≡ n − 1 mod n voor alle natuurlijke
getallen n met 2 ≤ n ≤ 10.
Opgave 3 Bewijs dat er 1000 opeenvolgende gehele getallen bestaan die allemaal deelbaar
zijn door een kwadraat groter dan 1.
Opgave 4 Bepaal de laatste drie cijfers van 7999 .
Opgave 5 Laat x en y positieve gehele getallen zijn met xy = 20092008 . Bewijs dat x + y
geen veelvoud van 2008 is.
1
Opgave 6 Laat m en l positieve gehele getallen zijn met ggd(m, l) = 1.
Bewijs dat ϕ(ml) = ϕ(m)ϕ(l).
Opgave 7 a Vind een uitdrukking voor ϕ(n).
b Bewijs dat 20091152 − 1 deelbaar is door 3456.
Opgave 8 Zij p een priemgetal. Bewijs dat er oneindig veel veelvouden van p zijn waarvan
de laatste 10 cijfers (in decimale schrijfwijze) allemaal verschillend zijn.
k
Opgave 9 Bewijs dat voor alle k ≥ 0 een getal m bestaat zodat 22 − 1 | m2 + 9.
Opgave 10 Vind alle positieve gehele getallen n zodat er een positief geheel getal m bestaat
met 2n − 1 | m2 + 9.
2