wiskunde

Wiskunde
Formules, grafieken, uitleg en begrippenlijst
Een helpende hand bij de studie
Alle theorie uit de boeken “Getal en Ruimte”
4V1, 4V2, 5|6V-B1 & 5|6V-B3
Koen Luijsterburg
© 2006, Tilburg
1
Woordenlijst ............................................ 5
Schrijfwijzen ........................................... 9
n! ................................................... 9
(nk) ................................................. 9
Coördinaten .......................................... 9
Manieren om een functie te noteren ................... 9
Domein en Bereik .................................... 10
Afkortingen ............................................ 10
Tekenlijst ............................................. 10
Standaard formules ..................................... 12
y = ax .............................................. 12
y = ax2 ............................................. 12
y = ax3 ............................................. 12
y2 + x2 = r2 ......................................... 12
y = √x .............................................. 13
y = 1 / x ........................................... 13
y = 1 / x2 .......................................... 13
y = b * gx --> g > 1 ................................ 13
y = b * gx --> 0 < g < 1 ............................ 14
y = glog x .......................................... 14
y = sinx ............................................ 14
y = cosx ............................................ 15
y = tanx ............................................ 15
Formules transleren ................................. 15
Vergelijkingen ......................................... 16
Tweedegraads vergelijking: ax2 + bx + c ............... 16
De top berekenen .................................... 16
Grafieken en de afgeleide ........................... 16
De richtingscoëfficiënt berekenen ................... 17
Het vinden van één punt: .......................... 17
De formule voor het vinden van een RC: ............ 17
Gelijkstellen aan 0: ax2 + bx + c = 0 ............... 18
Ontbinden in factoren ............................. 18
De ABC-formule .................................... 18
Derdegraads vergelijking: ax3 + bx2 + cx = 0 .......... 19
Differentiëren, de afgeleide vinden ................. 20
negraadsfunctie ..................................... 19
Meetkunde .............................................. 21
Cirkel ............................................... 21
Straal ............................................ 21
Oppervlakte ....................................... 21
Omtrek ............................................ 21
Formule ........................................... 21
Driehoeken ........................................... 21
Notatiewijze ........................................ 21
Verschillende driehoeken .......................... 21
Middelloodlijn ...................................... 22
Bissectrices ........................................ 22
2
Zwaartelijnen ....................................... 22
Pythagoras: a2 + b2 = c2 ........................... 22
Sinus, Cosinus, Tangens .............................. 23
SOSCASTOA ........................................... 23
De sinusregel ..................................... 24
De cosinusregel ................................... 24
Waarden van Sinus, Cosinus, Tangens .................. 25
De eenheidscirkel .................................... 25
Radialen ............................................. 26
Waarden van hoeken in radialen en graden ............ 27
Sinus en Cosinus in grafieken ........................ 27
Sin-α = -sinα; cos-α = cosα ......................... 27
Amplitude, evenwichtsstand, periode en beginpunt .... 27
Minimum en maximum .................................. 28
Kansberekening ......................................... 29
Definities ........................................... 29
Gelijke kansen ...................................... 29
Vermenigvuldigingsregel ............................. 29
Permutaties ......................................... 29
Combinaties ......................................... 30
Het vaasmodel ....................................... 31
XYZ-assenstelsel ....................................... 33
Tekenen ............................................. 33
Het midden vinden van een lijn. ..................... 33
Vlakken .............................................. 33
Vergelijking van een vlak ........................... 34
De formule van een vlak vinden ...................... 34
Ongelijkheden f(x) = g(x) .............................. 36
Lineaire vergelijkingen: ax + b <=> cx + d .......... 36
Lineaire vergelijkingen met 2 variabelen .......... 36
Lineaire vergelijking met 2 variabelen: ax + by = c .. 36
Vergelijkingen oplossen: .......................... 36
Kwadratische vergelijkingen met 2 variabelen: ..... 37
Substitutiemethode: ................................. 37
Gebroken functies ...................................... 38
Benaderingen ........................................ 38
Horizontale en verticale asymptoten zoeken .......... 38
Gebroken functies afleiden van de standaardgrafiek .. 39
Rekenen met machten .................................... 40
Kwadraten ........................................... 40
Rekenen met wortels .................................. 40
Basisrekenregels met wortels ........................ 40
Wortelvergelijkingen ................................ 40
Wortels als machten ................................. 41
Hogere machten ...................................... 41
xn, n is even ..................................... 41
xn, n is oneven ................................... 42
Rekenen met machten ................................. 42
Rekenen met letters .................................... 43
Bijzondere producten ................................ 43
2e macht .......................................... 43
3
3e macht .......................................... 43
Rekenregels ......................................... 43
Exponentiele groei ..................................... 44
Formule ............................................. 44
Herkennen van exponentiële groei .................... 44
Exponentiele vergelijkingen ....................... 45
Machten die je uit het hoofd moet kennen .......... 45
Logaritmen ............................................. 47
Functie ............................................. 47
Rekenen met logaritmen .............................. 47
Rekenen met breuken .................................... 49
Optellen ............................................ 49
Vereenvoudigen ...................................... 49
Vermenigvuldigen .................................... 49
Vergelijking oplossen ............................... 50
Tekenschema’s .......................................... 51
Modulus ................................................ 53
Absolute waarde ..................................... 53
Tekenen van een modulusgrafiek ...................... 53
Vergelijkingen oplossen ............................. 53
Economie ............................................... 55
Aantal exemplaren, Prijs, Kosten, Opbrengst, Winst .. 55
De opbrengst R .................................... 55
De kosten K ....................................... 55
De winst W ........................................ 55
4
Woordenlijst
Afgeleide
Amplitude
Asymptoot
Beginpunt
Benen
Bereik
Bissectrice
Booglengte
Boomdiagram
Breuk
Constante
factor
Continu
Discriminant
Domein
Draaiingshoek
Eenheidscirkel
Empirische kans
De functie f’ die de raaklijn van een
functie f weergeeft.
Het verschil tussen de evenwichtsstand
en de hoogste stand van een periodiek
verschijnsel. maximum - evenwichtsstand
Een lijn waar een grafiek naar toe
nadert, maar die hij nooit bereikt.
Het punt waar een grafiek begint. De
functie heeft geen kleinere x.
De twee zijdes van een driehoek die aan
een bepaalde hoek grenzen. Van ΔABC zijn
AB en AC de benen van hoek A
Hoever de functie mag lopen over de Y-as
De bissectrice is de lijn die een hoek
in twee gelijke hoeken verdeeld.
De lengte genomen over de cirkelrand.
Vaak de afstand die P aflegft op de
eenheidscirkel.
Diagram waarin alle mogelijkheden op een
gebeurtenis (kansen) weergegeven worden,
zodat alle uiteindelijke mogelijkheden
zichtbaar zijn.
Een deling. a/b. Hierbij is a de teller
en b de noemer.
Een bepaalde factor waarmee een
hoeveelheid elke tijdseenheid toeneemt.
Een functie is continu in |R als er geen
enkele verticale asymptoot inzit. De
functie is een rechte of kromme lijn en
is ononderbroken.
Formule: D = (b2 – 4ac) Bij een
kwadratische vergelijking. x1;2 = (- b ±
√D) / 2a De discriminant geeft tevens
aan of de grafiek toppen boven of onder
de x-as heeft.
Hoever de functie mag lopen over de Xas.
De hoek die hoort bij een bepaalde
booglengte.
Een cirkel met middelpunt (0,0) en
straal 1, gebruikt om sinus, cosinus en
tangens uit te rekenen. Ook wel een
goniometrische cirkel.
De kans dat iets gebeurd gebaseerd op
ervaringen uit het verleden. Als je al
40x ‘kop’ gegooid hebt en pas 10x ‘munt’
dan is de empirische kans op ‘munt’
10/40, oftewel 0.25
5
Evenwichtsstand
Evenwijdig
Exponent
Exponentiële
groei
Extreme waarde
Frequentie
Gebroken
vergelijking
Gebroken
lineaire
functie
Getallenlijn
Goniometrie
Goniometrische
cirkel
Grafisch
oplossen
Groeifactor
Grondtal
Hoogtelijn
Hyperbool
Hypotenusa
Ingeschreven
cirkel
Het gemiddelde van het minimum en
maximum van een periodiek verschijnsel.
(maximum + minimum) / 2
Twee lijnen of vlakken die elkaar nooit
(hoe ver je ze ook uitstrekt) zullen
raken. Zij hebben dus geen enkel
coördinaat precies hetzelfde.
Hoeveelheid van de macht. Hoeveel
factoren van het grondtal met elkaar
vermenigvuldigd worden.
Een hoeveelheid neemt per tijdseenheid
(meestal uitgedrukt in t of x) met een
vast percentage toe of af. Bv. een
spaarrekening. Je geld neemt elk jaar
met een vast percentage, de rente, toe.
Een minimum of een maximum in een
grafiek.
De hoeveelheid dat iets is voorgekomen.
Als iets 7 keer is gebeurd, is de
frequentie 7.
Vergelijking met een breuk erin.
Gebroken functie waarvan de noemer en
teller van een beiden een lineaire
functie zijn.
Rechte lijn met alle getallen op gelijke
afstand.
De tak van de wiskunde die zich bezig
houdt met driehoeken. Met name dan de
sinus, cosinus en tangens.
Zie “eenheidscirkel”.
Aflezen uit de grafiek.
Grondtal van een exponentiele functie.
Onderste deel van een macht. Dat wat nmaal zichzelf wordt gedaan.
De lijn door een hoek van een driehoek
die met een rechte hoek op de
overliggende zijde terecht komt.
Grafiekvorm, hoort bij 1/x. Een kruis
van asymptoten snijdt een assenstelsel
in 4 vakken. De hyperbool bevind zich in
2 vakken en nadert deze assenstelsels
zonder ze te raken.
De langste zijde van een rechthoekige
driehoek. De schuine zijde.
Een cirkel in een figuur die alle zijdes
van de figuur raakt. Bv in een driehoek
of een vierkant. Deze ligt op het
6
Inverse functie
Isoleren
Kansschaal
Kruisen
Kwadraat
Limiet
Logaritme
Loodlijn
Maximum
Macht
Middelloodlijn
Minimum
Noemer
Nulpunt
Ontbinden
Optimaliseren
Parabool
Periode
snijpunt van de bissectrices.
De functie die precies het
tegenovergestelde doet van een functie.
f(x) = 2x --> finv(y) = 1/2y
Alleen aan één kant van een vergelijking
brengen.
Schaal met de kans waarop iets gebeurd
van [0,1] waarbij 0 onmogelijk is en 1
is zeker.
Als twee lijnen in een 0xyz-stelsel
elkaar niet raken maar ook niet
evenwijdig zijn. De een gaat als het
ware achter de andere langs.
2e macht. Een getal vermenigvuldigt met
zichzelf. x * x = x2
Het kleinste / grootste wat een getal
kan worden. Een benadering.
Omgekeerde exponentiele functie. Manier
om de hoeveelheid van een macht uit te
rekenen.
Een lijn die loodrecht (90°) op een
andere lijn staat.
Het
hoogste
wat
een
grafiek
kan
bereiken. De top van een bergparabool is
een voorbeeld.
ne
macht betekend dat een getal n-keer
maal zichzelf wordt gedaan. x * x * x (n
factoren x) = xn
De loodlijn die door het midden van een
zijde van een driehoek of andere figuur
gaat. De middelloodlijn van AB beslaat
alle punten die even ver van A als van B
af zijn.
Het
laagste
wat
een
grafiek
kan
bereiken. De top van een dalparabool is
een voorbeeld.
Het onderste deel van de breuk. Dat wat
onder de streep staat. De noemer geeft
aan door hoeveel de teller gedeeld
wordt.
Punt waar de grafiek door de x-as gaat.
y = 0
Zoeken naar 2 factoren die samen de
functie opleveren.
Het opsporen van de maximale of minimale
waarde van een functie.
Een
grafiekvorm,
hoort
bij
een
2egraadsvergelijking. Berg- of dal-.
De lengte van het kleinste tijdsinterval
waarin alle kenmerken van een periodiek
7
Periodiek
verschijnsel
Permutatie
Prisma
Radiaal
Relatieve
frequentie
Richtingscoëffi
ciënt
Snijden
Snijlijn
Snijpunt
Straal
Subjectieve
kans
Substitutie
Teller
Translatie
Theoretische
kans
Vergelijking
Wortel
verschijnsel optreden.
Een verschijnsel dat zich met regelmaat
herhaalt. Bv. de sinusgrafiek.
Mogelijke rangschikking. Manier waarop
uitkomsten kunnen gerangschikt worden.
Een figuur met een plat boven- en
ondervlak, verbonden door recht omhoog
staande
lijnen.
BV:
kubus,
balk,
cilinder.
De lengte die P over de eenheidscirkel
aflegt en gelijk is aan de straal r. In
graden uitgedrukt is 1 rad = 180 / π.
Frequentie gedeeld door het aantal keren
dat het had kunnen gebeuren. Voorbeeld:
6 keer muntje opgooien, 2 keer kop. De
relatieve frequentie van ‘kop’ is dan
2/6 = 1/3
De richting van een grafiek. Bij een
lineaire functie y = ax + b is dat a.
Twee lijnen die door 1 zelfde punt gaan
snijden elkaar in dat punt. Dit geld ook
voor vlakken. Zij snijden elkaar dan in
1 vlak.
De lijn met daarop alle punten waar twee
vlakken elkaar snijden.
Daar waar twee lijnen, of een vlak en
een lijn, elkaar snijden.
De straal is de lijn van het middelpunt
van de cirkel tot de rand.
De kans op iets wat niet te voorspellen
valt.
Dat
iemand
een
finale
wint
bijvoorbeeld.
Het invullen van een variabele dmv die
variabele in een andere functie buiten
de functie te halen.
Het bovenste deel van de breuk. Dat wat
boven de streep staat.
Het ‘verschuiven’ van een grafiek zodat
deze niet meer door 0 loopt, maar door
een
ander
punt.
Translatie
(p,q)
betekent dat de grafiek p naar rechts en
q naar boven getransleerd is.
De kans dat een gebeurtenis in theorie
voor zal komen. Bij ‘kop of munt’ is die
kans 1 op 2, oftewel ½ oftewel 0.5
Twee functies aan elkaar gelijk stellen.
Een oplossing zoeken waarin deze twee
functies elkaar snijden.
De wortel van een getal is een getal dat
als
het
vermenigvuldigd
wordt
met
8
Zwaartelijn
zichzelf, het eerste getal oplevert.
Een lijn in een driehoek die van een
hoek
naar
het
midden
van
de
tegenoverstaande lijn gaat.
Schrijfwijzen
n!
(n k )
xlog
y
extreme waarde
max. f(xtop) = ytop
min. f(xtop) = ytop
limh-->0 (x + h) = x
x  ∞ => f(x)  ∞
x↓0 => f(x)  b
x↑0 => f(x) b
Aantal permutaties, waarbij ‘n’ een
getal is. Je spreekt van n
faculteit.
Het aantal combinaties met k uit n.
Spreek uit als “n boven k”. Correcte
schrijfwijze is met de n recht boven
de k, zoals in het plaatje rechts is
aangegeven, maar de computer doet
dat niet dus noteer ik het zo.
x-log-y.
Bereken de extreme waarde van…
Noteer je antwoord als “min. f(…)=…”
of “max. f(…)=…”.
Maximum van grafiek f op x is y.
Minimum van grafiek f op x is y.
Als h nadert tot 0, dan wordt x + h
gelijk aan x.
Als je een oneindig grote x invult,
dan gaat de grafiek ook naar
oneindig. (in dit voorbeeld dan)
x nadert 0 van boven waarbij f(x)
nadert tot b.
x nadert 0 van onderen waarbij f(x)
nadert tot b.
Coördinaten
De coördinaten van een punt op een xy-stelsel noteer je als
volgt: (x, y)
In een stelsel met 3 assen, een xyz-stelsel of
driedimensionaal stelsel noteer je het als volgt: (x,y,z)
Manieren om een functie te noteren
Een formule druk je uit in x en y
y = ………
We gaan even uit van de functie met naam ´f´ met variabele x
f(x) = ………
Functie van x.
9
fq(x) =
f:x  y = ………
Extra variabele q (bijv. x2 + qx + 6)
Functie f, met y = f:x = x2 +3  stel x =
5  f(5) = 52 + 3
De afgeleide functie. Gebruikt om de RC
te berekenen. Spreek uit: f-accent-x
De inverse functie. Een manier om van
functie f terug te rekenen, het
omgekeerde doen als f. Voorbeelden zijn
exponentiele. en logaritmische functies.
f’(x) = ………
finv(x)
Domein en Bereik
Van een functie f met variabelen x
het Bereik
vanaf A tot en met B
Bf
vanaf A tot B (dus B niet meer) Bf
van A tot oneindig (dus A niet) Bf
= [A,B]
= [A,B>
= <A,>
A ≤ y ≤ B
A ≤ y < B
y > A
het Domein
van A tot B (dus A en B niet)
vanaf A tot en met B
van oneindig tot en met B
oneindig behalve 1 getal B
=
=
=
=
A <
A ≤
x ≤
x>B
Df
Df
Df
Df
en y loopt:
<A,B>
[A,B]
<,B]
|R\{B}
x < B
x ≤ B
B
en x<B
Afkortingen
Bf
D
Df
K.N.
lim
max
min
r
RC
rad
Bereik van functie f
Discriminant
Domein van functie f
Kan Niet. Bestaat niet.
Limiet
Maximum
Minimum
Straal (van een cirkel)
Richtingscoëfficiënt
Radiaal
Tekenlijst
of |R
√
°
Δ
∙ of *
Een ‘R’ met extra | aan de stok van de R.
Alle reële getallen. <,>. Ik gebruik daar
op de computer |R voor.
Wortel
Graden
Driehoek
Teken voor vermenigvuldigen om niet in de
war te raken met x. Op de computer gebruik
10
α
β
γ
π
∞
≈
≠
↓
↑
\/
/\
ik *
Alfa, vaak gebruikt voor de hoek van A
Bèta, vaak gebruikt voor de hoek van B
Gamma, vaak gebruikt voor de hoek van C
Pi, π ≈ 3.14159265…….
Oneindig
Ongeveer. Benadering. Vervanging van het =
teken als de uitkomst niet precies dat is.
Is NIET gelijk aan. Het tegenovergestelde
van =.
Nadert tot. Van bovenaf.
Nadert tot. Van onderaf.
Of. Teken dat tussen meerdere oplossingen
staat. x=2 \/ x=3
En. Teken dat tussen meerdere oplossingen
staat als zij tegelijkertijd gelden. x2 = 9
/\ x ≠ 3
11
Standaard formules
Standaardformules zijn formules die je zonder hulp mag
tekenen. Je hoeft geen tekenschema of tabel te maken. Wel is
dit aan te raden!
y = ax
Lineaire vergelijking
Deze vergelijking geeft een rechte lijn.
a is hier de RC, en b is het punt waar de
grafiek door de y-as loopt.
Als a > 0 dan heb je een stijgende lijn.
Als a < 0 dan heb je een dalende lijn.
Als a = 0 dan heb je een horizontale lijn.
Een verticale lijn krijg je als y = 0. Hierop
volgt de formule x = b
y = ax2
2e graads vergelijking
Als a > 0 dan is de grafiek een dalparabool.
Als a < 0 dan is de grafiek een bergparabool.
Hoe dichter a bij 0 zit, hoe breder de grafiek
is, met het maximum van a=0 waardoor het een
normale lineaire vergelijking wordt.
Om de grafiek naar boven te schuiven,
transleren, gebruik je de volgende formule:
y = ax2 + c
Om de grafiek naar rechts te schuiven gebruik je de volgende
formule:
y = a(x-d)2
De formule wordt zo c naar boven en d naar rechts
verschoven.
y = ax3
3e graads vergelijking
Als a > 0 dan loopt de grafiek van linksonder naar
rechtsboven.
Als a < 0 dan loopt de grafiek van rechtsonder naar
linksboven.
Hoe dichter a bij 0 zit, hoe breder de grafiek is.
De grafiek kun je transleren over (p,q) door de
formule y = a(x-q)3 + p
y2 + x2 = r2
Cirkelgrafiek
De formule van een cirkel met middelpunt O:
12
x2 + y2 = r2 
x2 + y2 = c
Hierbij is √c de straal r.
ax2 + by2 = c
Als a ongelijk is aan b krijg je geen cirkel
maar een ellips.
Als a > b
Als het middelpunt niet in het midden van de
cirkel ligt dan krijg je (x-d)2 + (y-e)2 = c
De cirkel is dan d naar rechts opgeschoven en e naar boven.
y = √x
Wortelgrafiek
Aangezien x alleen maar positief kan zijn,
bevind deze formule zich alleen aan de
rechterzijde van de grafiek.
Deze grafiek kun je transleren over (p,q)
door de formule

y = √(x-p) + q
y = 1 / x
Hyperbool, een gebroken functie
Aangezien delen door 0 niet mogelijk is,
zal deze grafiek het 0-punt niet snijden.
Zowel x als y zullen nooit 0 zijn. De
grafiek zal aan alle kanten het 0-punt
benaderen, maar er nooit overheen gaan. De
x-as en de y-as zijn hier asymptoten.
Deze grafiek is te transleren over (p,q)
door de volgende formule te gebruiken: y =
(1 / (x-p)) + q
y = 1 / x2
Een gebroken functie
Wederom is delen door 0 niet mogelijk.
Aangezien x2 altijd positief is, zal de
grafiek niet onder de x-as duiken en aan
beide kanten hem zoveel mogelijk benaderen.
X en y zullen nooit 0 zijn.
Deze grafiek is te transleren over (p,q)
door de volgende formule te gebruiken: y =
(1 / (x-p)2) + q
y = b * gx --> g > 1
Exponentiele groei
De functie van een getal tot de macht x.
Een functie met exponentiele groei. Per
tijdseenheid wordt het getal y
13
vermenigvuldigd met hetzelfde getal, namelijk g.
y = b * g * g * g * ...
Hierin is g de groeifactor en b de beginhoeveelheid.
Teken ook altijd met een stippellijn de asymptoot erbij, en
zet de vergelijking van die lijn erbij!!!
Deze functie is te transleren over (p,q) door de formule y =
gx-p + q te gebruiken.
y = b * gx --> 0 < g < 1
Exponentiele groei (afname)
De functie van een getal kleiner dan 1
tot de macht x. Hierbij wordt de uitkomst
steeds kleiner.
Een getal tot de macht 0 is altijd 1.
Daarom zal de grafiek altijd door het
punt (0,b) lopen.
De funcite y = b * gx bestaat niet voor
1. Dan zou de functie namelijk een rechte lijn zijn. 1t is
altijd 1. Ook voor 0 bestaat die niet. 0t is altijd 0. Voor
getallen kleiner dan 1 bestaat de grafiek ook niet. Je kunt
wel een negatief getal tot een hele macht verheffen (-24=16
of -35=-243), maar met een negatief getal tot een halve
macht weet je niet wat het –teken doet, (-22.3=K.N.) en klopt
het dus niet, wat met positieve getallen wel kan
(22.3≈4.925).
y =
glog
x
Logaritmische functie, inversiefunctie van
de exponentiele groei
Functie met domein x > 0. Negatieve x kan
niet. Deze functie is de inverse functie
(tegenovergestelde) van de functie y = gx
(rood in de tekening). Als je x en y
omdraait in de formule heb je de finv. Deze
functie is dan dus ook gespiegeld over y =
x.
Teken bij deze functie ook altijd de asymptoot in en zet de
formule erbij.
y = sinx
Sinusgrafiek
Een functie die zich steeds blijft herhalen.
x wordt hier niet gemeten in graden, maar in
radialen. Sinπ is dan ook 0. De sinus
herhaalt zich elke 2π.
Transleren over (p,q) kan door de volgende
formule te gebruiken: y = q + sin(x-p)
14
y = cosx
Cosinusgrafiek
Vrijwel gelijk aan y = sinx. Een functie
die zich steeds blijft herhalen. x wordt
hier niet gemeten in graden, maar in
radialen. cosπ is dan ook -1. De cosinus
herhaalt zich elke 2π.
Transleren over (p,q) kan door de volgende
formule te gebruiken: y = q + cos(x-p)
y = tanx
Tangensgrafiek
x is ook in deze formule uitgedrukt in
radialen. Dat betekent dat tanπ dan ook
gelijk is aan 0, en tangens 1/2*π niet
bestaat. Immers, (1/2*π) * 180 / π = 90°, en
de tangens van 90° bestaat ook niet. De
tangens van 89,999...etc is ∞. Deze formule
herhaalt zichzelf elke π.
Deze formule kun je transleren over (p,q)
door de volgende formule te gebruiken y =
tan(x-q) + p
Formules transleren
Een formule is makkelijk te transleren
Over de y-as verschuiven omhoog.
Over de x-as verschuiven naar rechts.
Met a vermenigvuldigen.
Spiegelen in de x-as
15
y
y
y
y
=
=
=
=
f(x) + q
f(x – p)
a * f(x)
-f(x)
Vergelijkingen
Tweedegraads vergelijking: ax2 + bx + c
De top berekenen
Een tweedegraads vergelijking is óf een berg- óf een
dalgrafiek.
Omdat het ax2 het altijd wint van het bx+c kun je daaraan
zien wat voor een grafiek het is.
a > 0

Dalgrafiek.
a < 0

Berggrafiek
a = 0

Geen 2egraadsvergelijking
De top van een 2egraads vergelijking ligt op de x-as als de
discriminant is 0, oftewel D=0
Als D>0 dan heeft de grafiek snijpunten met de x-as. (Bij
een berggrafiek ligt de top dan boven de x-as, en bij een
dalgrafiek onder de x-as)
Als D<0 dan heeft de grafiek geen snijpunten met de x-as.
(Bij een berggrafiek ligt de top dan onder de x-as, en bij
een dalgrafiek boven de x-as)
De top van een 2egraadsvergelijking is te vinden door de
volgende formule: xtop = -b / 2a
Daarna de x-coördinaat invullen in f(x) om de y-coördinaat
te krijgen.
Bewijs:
De standaardformule heeft een top als de RC gelijk is aan 0.
f(x) = ax2 + bx + c
f’(x) = 2ax + b = 0

2ax = -b 
x = -b / 2a
Grafieken en de afgeleide
RC > 0
RC = 0
een grafiek
RC < 0

f’(x) > 0

f’(x) = 0
f(x)

f’(x) < 0 


De grafiek f(x) stijgt
Top, of extreme, van
De grafiek f(x) daalt
Bij een dalgrafiek zal de RC eerst laag zijn en later hoog,
de afgeleide is dan dus een stijgende lijn. ax + b
Bij een berggrafiek is het net andersom en zal de RC eerst
hoog zijn en later laag, de afgeleide is dan dus een dalende
lijn. –ax + b
16
De richtingscoëfficiënt berekenen
De RC op een punt van de grafiek is tevens de RC van de
raaklijn.
Formule y = x2 + bx + c
Het vinden van één punt:
Vul het gewenste punt y in, en een punt [y + 0,001]
Het verschil tussen beide y gedeeld door het verschil in x
(∆y / ∆x) is dan een goede benadering van de RC.
Om dit nu precies te berekenen vervangen we 0,0001 door het
getal ‘h’ en vullen we naderhand in h = 0
De stijging van de lijn delen door de tijd. De snelheid
nemen.
Voorbeeld:
Bereken de RC op x = 3 van de formule y = x2 door in te
vullen x=3 en x=3+h
Pak interval [3, 3+h]
y = 32
y = 9
y = (3 + h)2
(3 + h)(3 + h) = y
h2 + 6h + 9 = y
∆y / ∆x = ((3 + h)2 – 32) / h
∆y / ∆x = h2 + 6h / h
∆y / ∆x = h + 6
De RC is nu dus 6 + h
De limiet van 6 + h voor h naar 0 is 6
Limh->6(6 + h) =6
De formule voor het vinden van een RC:
We gaan hetzelfde te werk als bij het vinden van één punt,
maar vullen nu de x niet in.
y = x2
y = (x + h)2
y = x2 + 2hx + h2
∆y
∆y
∆y
∆y
/
/
/
/
∆x
∆x
∆x
∆x
=
=
=
=
(x2 + 2hx + h2 – x2) / h
(2hx + h2) / h
h(2x + h) / h
2x + h
RC = limh->0(2x + h) = 2x
17
De algemene formule voor de RC van een formule y = x2 + bx +
c is bekend.
y = x2 + bx + c

RC = 2ax + b
2
f(x) = x + bx + c

f’(x) = 2ax + b
Als RC = 0, dan loopt de grafiek horizontaal.
Is RC > 0, dan stijgt de grafiek daar.
Is RC < 0 dan daalt de grafiek.
Gelijkstellen aan 0: ax2 + bx + c = 0
Oplossing 1 (werkt niet altijd):
Ontbinden in factoren
Maak a = 1
Zoek 2 getallen die samen opgeteld b zijn, en
vermenigvuldigd c.
Herleid dat dan tot (x + e) * (x + f)
Voorbeeld:
2x2 + 12x - 14 = 0
x2 + 6x - 7 = 0

a = 1

b = 7 - 1 = 6
7 * -1 = -7
(x + 7)(x - 1) = 0
x + 7 = 0 of x - 1 = 0
x = -7 of x = 1

c =
Oplossing 2:
De ABC-formule
x1;2 = (- b ± √(b2 – 4ac)) / 2a
b2 – 4ac is de Discriminant (D)
Bewijs van de ABC-formule:
ax2 + bx + c = 0
4a2x2 + 4abx + 4ac = 0
4a2x2 + 4abx = - 4ac
4a2x2 + 4abx + b2 = b2 - 4ac
(2ax + b)2 = b2 - 4ac
2ax + b = ±√( b2 - 4ac)
2ax = -b ± √( b2 - 4ac)
x = (-b ± √( b2 - 4ac)) / 2a
Alles maal 4a
4ac naar rechts halen
links en rechts + b2
links vereenvoudigen
wortel trekken
b naar rechts halen
delen door 2a
Voorbeeld:
2x2 + 11x = 6
2x2 + 11x - 6 = 0
(-11 ± √169 ) / 4
(-11 ± 13) / 4
x = 0.5 of x = -6
18
Derdegraads vergelijking: ax3 + bx2 + cx = 0
Maak gelijk aan 0
Ontbind linkerlid in zoveel mogelijk factoren
Pas toe: A * B * C = 0  A = 0 of B = 0 of C = 0
Voorbeeld:
3x4 + x3 = 14 x2
3x4 + x3 -14x2 = 0
x2 * (3x2 + x – 14) = 0
x2 = 0 of 3x2 + x – 14 = 0
Blijft over, een normale tweedegraads vergelijking.
De oplossing x2=0 blijft natuurlijk ook een oplossing.
negraadsfunctie
Een negraadsfunctie gedraagt zich als hij naar ∞ of -∞
toegaat altijd als de term met de hoogste graad.
Voorbeeld:
Hoe gedraagt f(x) zich bij ∞ en -∞?
f(x) = 0.8x9 - 4x6 - 3x5 + 192x2 -23
∞9 = ∞
--> f(∞) = ∞
9
-∞ = -∞
--> f(-∞) = -∞
19
Differentiëren, de afgeleide vinden
Differentiëren is het vinden van de afgeleide, de RC vinden
van een kwadratische vergelijking op een bepaald punt door
de formule van de RC te vinden.
Stelregel:
f(x) =axn

f’(x) = naxn-1
Voorbeelden:
f(x) = 4x3

f’(x) = 12x2

f’’(x) = 24x
5
2
f(x) = 6x + 2x + 3

f’(x) = 30x4 + 4x

3
120x + 4
f(x) = 4x

f’(x) = 4 
f’’(x) = 0
Samengevat:
f(x) = b
f(x) = ax

n
f(x) = ax

f’’(x) =

f’(x) = 0
f’(x) = a
f’(x) = naxn-1
De productregel
Met behulp van de productregel berekenen we de afgeleide van
het product van 2 grafieken.
Het product van 2 grafieken f en g is ф. De afgeleide van ф,
ф’, is f’*g + f*g’.
Bewijs:
20
Meetkunde
Cirkel
Straal
De straal (r) is de afstand van het
middelpunt van een cirkel naar de rand van
de cirkel.
Oppervlakte
π maal de straal in het kwadraat is de
oppervlakte. Opp = πr2
Omtrek
De omtrek is de straat maar 2π. Omtrek = 2πr
Formule
De formule van een cirkel is standaard van de vorm x2 + y2 =
r2. Als je dit wilt herschrijven als y = ... krijg je y =
±√(r2 - x2)
Driehoeken
Notatiewijze
A
Een driehoek ABC staat voor een driehoek
α
met hoekpunten A, B en C, in
b
hoofdletters. De tegenoverliggende zijde
c
van die hoeken zijn de zijdes a, b en c,
β
in kleine letters. De hoeken in graden
zijn respectievelijk α, β en γ, alfa,
B
a
bèta en gamma, in Griekse letters. Dus, b
is de lijn die ligt tegenover hoek B, en hoek B is β.
Verschillende driehoeken
Rechthoekige driehoek Een
Gelijkbenige driehoek Een
zijn
Gelijkzijdige driehoek Een
lang zijn
Stompe driehoek
Een
γ
C
driehoek met 1 rechte hoek
driehoek waarbij 2 benen even lang
driehoek waarbij alle zijdes even
driehoek met 1 hoek groter dan 90°
21
Scherpe driehoek Een driehoek waarvan alle hoeken kleiner
zijn dan of gelijk aan 90°
Middelloodlijn
De drie middelloodlijnen in een driehoek
snijden elkaar in het middelpunt. Dit
middelpunt is tevens het middelpunt van de
cirkel die precies om de driehoek heen past,
de omgeschreven cirkel. Bij een stompe
driehoek kan dit punt buiten de cirkel
vallen. De afstand van het middelpunt tot
aan een van de hoeken is dan ook de straal
van de cirkel.
Bissectrices
De drie bissectrices in een driehoek
snijden elkaar in een punt. Dit punt is
het middelpunt van de grootste cirkel
die in een driehoek past, de
ingeschreven cirkel. Deze cirkel raakt
dan de zijdes van de driehoeken in de
punten aangegeven door dat punt waar de
bissectrice de zijdes van de driehoek
snijdt. De afstand van dit punt tot de zijde over de
bissectrice is dan ook gelijk aan de straal van de cirkel.
Zwaartelijnen
De drie zwaartelijnen van een driehoek
snijden elkaar in het zwaartepunt. De
afstand van het zwaartepunt tot een hoek
is twee keer zo groot als de afstand tot
de overliggende zijde. Bij ΔABC is de
afstand van zwaartepunt Z tot hoek A twee
keer zo groot als tot de zijde BC.
Pythagoras: a2 + b2 = c2
Bij een driehoek met 1 rechte hoek kun je
de lengte van de 3e zijde berekenen met
Pythagoras als beide andere zijden bekend
zijn.
Het bewijs staat in het plaatje
hiernaast. De oppervlakte van vierkant A
22
(a2) en de oppervlakte van vierkant B (b2) zijn samen
opgeteld de oppervlakte van vierkant C (c2).
Een mooie vorm hiervan is 32 + 42 = 52
Sinus, Cosinus, Tangens
SOSCASTOA
Met behulp van de SOSCASTOA-regel kun je
van een rechthoekige driehoek de zijdes
en de hoeken berekenen.
Van ΔABC heb je drie
een rechte hoek.
Vanuit hoek A gezien
aanliggende zijde.
Vanuit hoek A gezien
Vanuit hoek A gezien
Vanuit hoek C gezien
Vanuit hoek C gezien
Vanuit hoek C gezien
hoeken. Hoek B is
A
B
C
is nu AB de
is
is
is
is
is
nu
nu
nu
nu
nu
AC
BC
BC
AC
AB
de
de
de
de
de
schuine zijde.
overstaande zijde.
aanliggende zijde.
schuine zijde.
overstaande zijde.
SOS CAS TOA is de afkorting van het volgende:
Sinus Overstaande Schuine
Cosinus Aanliggende Schuine
Tangens Overstaande Aanliggende
Oftewel: De sinus van een hoek is de lengte van de
overstaande zijde gedeeld door de lengte van de aanliggende
zijde. Etc.
Heb je nu twee van die drie gegevens, dan kun je de derde
berekenen door de sinus, cosinus of tangens te nemen van de
1e zijde gedeeld door de 2e zijde.
Voorbeelden bij de rechthoekige driehoek ABC zoals hierboven
afgebeeld:
AB = 3
Sin(x) = AB / AC = 4 / 8 =
BC = 6
0.5
Bereken hoek C
x = 30°
Tan(x) = AB / BC = 3 / 6 =
0.5
Hoek C = 30°
x ≈ 26.565°
BC = 6
Bereken AB
AB = 4
Tan(30°) = AB / BC ≈ 0.577 =
AC = 8
BC / 6
Bereken hoek C
AB ≈ 3.464
23
BC = 10
Hoek C = 25°
Bereken AC
Cos(25°) = BC / AC ≈ 0.506 =
10 / AC
AC ≈ 11.034
De sinusregel
a / sin(α) = b / sin(β) = c / sin(γ) = 2r
De verhouding tussen de sinus van een hoek
en de lengte van de overstaande zijde is
gelijk aan twee maal de straal van de
omgeschreven cirkel.
Met behulp van de sinusregel kan de straal
van de omgeschreven cirkel berekend
worden. Ook kan de lengte van een
onbekende zijde berekend worden als een
andere zijde en 2 hoeken wel bekend zijn
of andersom.
De
a2
b2
c2
cosinusregel
= b2 + c2 – 2bc * cos(α)
= a2 + c2 – 2ac * cos(β)
= a2 + b2 – 2ab * cos(γ)
Van een onregelmatige driehoek kun je met behulp van de
cosinusregel de lengte van elke zijde en de hoeken
berekenen.
De stelling van Pythagoras komt ook voort uit deze formule.
Als hoek α een rechte hoek is, dan cos(90) = 0. Blijft over
a2 = b2 + c2.
Bewijs:
ΔACD. Een extra hoogtelijn h als hulplijn. In ΔACD is de
lengte van AD gelijk aan q. De lengte van BD is dan gelijk
aan c – q.
In ΔACD geldt dan b2 = q2 + h2
In ΔBCD geldt a2 = (c-q)2 + h2 =
c2 – 2cq + q2 + h2
Als je deze twee vergelijkingen
van elkaar af trekt krijg je
a2 = c2 – 2cq + q2 + h2
b2 = q2 + h2
a2 – b2 = c2 – 2cq
In ΔACD geldt cos(α) = q/b
--> q = b*cos(α)
a2 – b2 = c2 – 2bc * cos(α)
a2 = b2 + c2 – 2bc * cos(α)
Als alle drie de zijdes bekend zijn, of twee zijdes en een
hoek, dan kan de overgebleven waarde berekend worden.
Uiteraard geld dat ook voor de andere hoeken:
24
a2 = b2 + c2 – 2bc * cos(α)
b2 = a2 + c2 – 2ac * cos(β)
c2 = a2 + b2 – 2ab * cos(γ)
Voorbeeld:
a = 10, b = 5, c = 8
Bereken hoek α
102 = 52 + 82 – 2*5*8*cos(α)
100 = 25 + 64 – 80*cos(α)
-80*cos(α) = 11
Cos(α) ≈ -0.1375
α ≈ 97.903°
Voorbeeld 2:
α = 60°, c = 4, b = 2
Bereken de lengte van zijde a
a2 = 22 + 42 – 2*4*2*cos(α)
a2 = 4 + 16 – 16*cos(α)
a2 = 20 – 16*0.5
a2 = 12
a = √12
Waarden van Sinus, Cosinus, Tangens
C
De exacte waarde van hoeken als
0°, 30°, 45°, 60°, en 90° moet je
uit het hoofd kennen. Met behulp
van de figuren hiernaast laat ik
zien wat die waarden zijn.
30°
Sin
Cos
Tan
60°
Sin
Cos
Tan
45°
Sin
Cos
Tan
30°
2
30° = AD/AC = ½
30° = CD/ AC = √3/2 = ½*√3
30° = AD/CD = 1/√3
60°
A
1
60° = CD/AC = √3/2 = ½*√3
60° = AD/ AC = 1/2
60° = CD/AD = √3/1 = √3
√3
2
1
D
B
C
45° = BC/AC = 1/√2
45° = AB/AC = 1/√2
45° = AB/BC = 1/1 = 1
√2
1
B
De eenheidscirkel
25
45°
1
A
Een cirkel met middelpunt (0,0) en straal 1. Vanuit (0,0)
loopt een lijn naar het punt P op de cirkel. De hoek met
deze lijn met de positieve x-as is hoek α, tegen de klok in
gedraaid. Het punt op de x-as loodrecht op
P is punt Q.
α kan zowel positief zijn als negatief.
Bij een negatieve α draait P met de klok
mee. Als α groter is dan 360°, dan draait
α één rondje of meer.
De eenheidscirkel geeft aan wat de sinus
is van een hoek groter dan 90°. Eerst een
hoek kleiner dan 90°.
Sin α = PQ / 0P = Yp / 1 = Yp
Cos α = 0Q / 0P = Xp / 1 = Xp
Tan α = PQ / 0Q = Yp / Xp = sinα / cosα
Radialen
Een hoek kan in graden weergegeven
worden. Echter, een hoek kan ook in
radialen weergegeven worden.
1 rad (radiaal) is de lengte die het punt
P over de eenheidscirkel aflegt en gelijk
is aan de straal r.
Aangezien de omtrek van een cirkel gelijk
is aan 2πr, heeft elke cirkel ook 2π
radialen. 360° = 2π * rad.
Voorbeeld:
Rad = 360° / 2π = 180 / π ≈ 57.3°
πrad = 180°
1° = π / 180 rad
1/3 rad = 1/3 * 180°/ π ≈ 19,1°
1/3 πrad = 1/3 * 180° = 60°
In de wiskunde wordt een hoek altijd in radialen
weergegeven, tenzij er het teken van graden (°) bij staat.
De sinus, cosinus en tangens van een radiaal geven ook de
positie van P op de eenheidscirkel weer, net als gewone
graden.
Zo is sin(60°) = sin(60°*π/180≈1.047) ≈ 0.866
Op de rekenmachine is dit natuurlijk niet hetzelfde. Wil je
in graden rekenen dan zet je de rekenmachine op “DEG” met
MODE 4. Wil je in radialen rekenen, dan zet je de
rekenmachine op “RAD” met MODE 5.
26
Waarden van hoeken in radialen en graden
αrad
0
1/6*π
1/4*π
1/3*π
1/2*π
5/6*π
Π
7/6*π
3/2*π
11/6*π
2π
αgraden
0°
30°
45°
60°
90°
150°
180°
210°
270°
330°
360°
Sin α
0
0.5
1/√2
0.5*√3
1
0.5
0
-0.5
-1
-0.5
0
Cos α
1
0.5*√3
1/√2
0.5
0
-0.5
-1
-0.5
0
0.5
1
Tan α
0
1/√3
1
√3
K.N.
-1
0
1/√3
K.N.
-1/√3
0
Sinus en Cosinus in grafieken
Sin-α = -sinα; cos-α = cosα
Aan de hand van de tekening is te
zien dat sin-α = -sinα
Sinα = yp
-sinα = yp = -yp2 = sin-α
Zo is cosα ook gelijk aan cos-α.
Cosα = xp
Cos-α = xp2 = xp = cosα
Zo is ook goed te zien dat:
sinα = yp = yp3 = sin(180-α)
En als laatste:
cosα = xp = -xp3 = -cos(180-α)
Samengevat:
sin-α = -sinα
cosα = cos-α
Amplitude, evenwichtsstand, periode en beginpunt
f:x--> y = a + b*sin(c(x - d))
De amplitude van een sinus- (of cosinus-) grafiek is
makkelijk af te lezen uit de functie.
27
b is hierbij de amplitude. Immers, gaat sinus normaal van 0
naar 1 en -1, nu gaat deze naar 3*1 en 3*-1.
Echter, de amplitude is altijd positief, dus de amplitude is
|b|.
De blauwe lijn f(x)=3sinx heeft een amplitude van 3.
De evenwichtsstand is ook makkelijk af te leiden. Dat is
namelijk a. De grafiek wordt namelijk a omhoog getransleerd,
en komt dus a boven de x-as (de oorspronkelijke amplitude)
te liggen.
De zwarte lijn in de figuur heeft een evenwichtsstand van 1.
De periode van de grafiek is ook makkelijk af te lezen.
normaal gesproken is de periode van sinx gelijk aan 2π.
Echter als c niet gelijk is aan 1, dan gaat de periode c
keer zo snel. De periode is dus 2π/c.
De groene lijn h(x)=sin(2x) heeft een periode van π ipv 2π.
Het beginpunt van de grafiek is normaal gesproken voor sinx
op y = 0, waarna de grafiek omhoog loopt. Voor cosx is dat
op y=1, bovenaan het periodiek verschijnsel, waarna deze
omlaag loopt. Als de grafiek naar links of naar rechts wordt
opgeschoven komt een ander punt op x=0 te liggen, en kan
sinx bovenaan beginnen ipv in het midden.
Bij de formule sin(x+p)
wordt de grafiek p naar
links opgeschoven. Als
sinx nu 0.5π naar links op
schuift is hij gelijk aan
cosx.
De gele lijn k(x)=sin(x0.5π) in de figuur begint
op f(0)=-1
Hieruit volgt:
Sinx = sin(π-x)
Cosx = cos(2π-x)
Sin(x+0.5π) = cosx
Cos(x-0.5π) = sinx
Cos(x) = sin(x-1.5π)
-Cosx = sin(x-0.5π)
Minimum en maximum
De minima en maxima van een formule f(x) = y = a + b *
sin(x-c) zijn makkelijk te vinden. De sinus kan namelijk
altijd maximaal 1 zijn. Dan wordt het a + 1 * b = a + b. De
sinus is minimaal -1, wat a – b oplevert.
28
Kansberekening
Definities
Gelijke kansen
P(G) = aantal goede / totaal aantal kansen
Alleen als alle mogelijkheden een even grote kans hebben te
gebeuren.
De kans (P) op een gebeurtenis (G) is het aantal goede
mogelijkheden gedeeld door het totaal aantal mogelijkheden.
Vermenigvuldigingsregel
n1 * n2 * ... * nk = aantal kansen
Het aantal mogelijkheden bij de 1e stap
* het aantal mogelijkheden bij de 2e
stap * ... * het aantal mogelijkheden
bij de laatste stap.
A
VOORBEELD:
Van A naar B naar C naar D naar A
3 * 2 * 3 * 4 = 72
Van A naar C via B OF D
3 * 2 = 6 (via B)
4 * 3 = 12 (via D)
Totaal: 6 + 12 = 18
D
Van A naar D en weer terug (zonder over B of C te gaan)
4 * 4 = 16
En als je niet dezelfde weg terug mag
4 * 3 = 12
Immers, welke weg je ook pakt, die valt af voor de terugweg.
Er zijn er dan dus nog maar 3.
Permutaties
n! = n * (n-1) * (n-2) * ... * 2 * 1
Permutaties zijn het aantal mogelijke uitkomsten als de
volgorde wél van belang is. Elke uitkomst die al geweest is
kan niet hergebruikt worden. Bijvoorbeeld bij een
renwedstrijd. Wie als 1e binnenkomt kan niet ook als 2e
binnen komen.
Op de rekenmachine zit een knop “x!”. Toets in: 5 x! --> 120
29
C
Voorbeeld:
Er zijn 5 renners. Hoeveel mogelijke uitkomsten van de
wedstrijd zijn er?
5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 5! = 120
Soms hoef je niet alle oplossingen te weten, en hoef je van
de n mogelijkheden alleen de eerste paar te weten.
Denk weer aan de renners. Hoeveel mogelijkheden zijn er in
de top 3?
Op de rekenmachine zit een knop “ nPr”. Toets in 20 nPr 2 =
--> 380
Voorbeeld:
Er zijn 6 renners. Hoeveel mogelijkheden zijn er voor het
erepodium?
6 * 5 * 4 = 120
Hoeveel mogelijkheden zijn er totaal voor de ranglijst?
6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 720
Op de rekenmachine kan het aantal permutaties van n uit n op
twee manieren berekend worden:
n x!
= n!
n nPr n = n!
Combinaties
= n! / (k! * (n-k)!)
***************************************
De computer kan de letters n en k niet boven elkaar zetten
in een regel, dat is echter wel de correcte schrijfwijze. In
het vervolg zal ik het noteren als (nk)
***************************************
Combinaties zijn permutaties waarvan de volgorde niet van
belang is.
Op de rekenmachine zit een knop “ nCr”. Toets in 5 nCr 2 = -> 10
Bewijs:
Als volgorde niet van belang is, dan heb je bij permutaties
een aantal uitkomsten dubbel. Deze uitkomsten zijn makkelijk
te tellen.
Bij (nk) zijn er namelijk k! uitkomsten die dubbel zijn.
Voorbeeld:
Hoeveel combinaties zijn er bij (84)?
Permutaties zijn er 8 * 7 * 6 * 5 (4 stappen)
Er zijn 4! Dubbele (abcd, abdc, acbd, ..., dcba) per
combinatie, dus deel je het aantal permutaties door het
aantal dubbele.
(8 * 7 * 6 * 5) / 4! = 70
30
Vermenigvuldig nu boven en onder de streep met (n-k)!
(8 * 7 * 6 * 5) * (8-4)! / (4! * (8-4)!)
(8 * 7 * 6 * 5) * (4 * 3 * 2 * 1) / (4! * 4 * 3 * 2 * 1) =
8! / (4! * 4!) = (84) = 70
Voorbeeld:
Neem 2 getallen van 1 t/m 4
Mogelijkheden zijn er 16 (4*4): (alle mogelijkheden)
11 12 13 14
21 22 23 24
31 32 33 34
41 42 43 44
Permutaties zijn er 12 (4*3):
(alle mogelijkheden met
2 verschillende getallen)
12 13 14
21 23 24
31 32 34
41 42 43
Combinaties zijn er slechts 6: (volgorde is niet van
belang)
12 13 14
23 24
34
Voorbeeld 2:
Hoeveel combinaties zijn er bij (103)?
Permutaties: 10 * 9 * 8 = 720
Dubbele: 3!
720 / 3! = 120
OF:
10! / (3! * 7!) = 120
Voorbeeld 3:
Hoeveel combinaties zijn er waarbij je eerst 2 getallen
kiest van 1 t/m 4 en dan 3 getallen van 5 tm/ 9?
2 getallen van 1 t/m 4
(1,2,3,4 dus 4 getallen)
> (42)
3 getallen van 5 t/m 9
(5,6,7,8,9 dus 5 getallen)
> (53)
Elke 1e combinatie kan met elke 2e combinatie. Dus:
vermenigvuldig ze en je hebt het totale aantal combinaties.
(42) * (53) = 60
Het vaasmodel
In een vaas met 10 knikkers zitten 3 rode, 4 witte, 2 blauwe
en 1 oranje knikker.
Het totale aantal combinaties van x knikkers is (10x).
31
Wil je nu 2 knikkers pakken, dan is de kans dat die allebei
rood zijn het aantal kansen om 2 rode te pakken, gedeeld
door het aantal kansen om 2 knikkers te pakken.
Dus, (32) / (102) = 3 / 45 = 0.066666667 = 1/15
Wil je nu 2 rode en 2 witte pakken (dus 4 totaal) dan wordt
het als volgt.
De kans op 2 rode vermenigvuldigd met de kans op 2 witte
gedeeld door het totale aantal kansen.
(32) * (42) = (104) = 3 * 6 / 210 = 3/35 = 0.0857142
Pak nu 1 rode, 1 witte, 1 blauwe en 1 oranje knikker:
(31) * (41) * (21) * (11) / (104) = 24 / 210 = 4/35 = 0.0142857
Let op dat telkens alle n en k boven de deelstreep en onder
de deelstreep gelijk zijn!
Bij de laatste:
3 + 4 + 2 + 1 = 10
1 + 1 + 1 + 1 = 4
Ook bij de eerste 2 als je de andere kleuren invult als
zijnde (n0)
(32) * (40) * (20) * (10) /
(32) * (42) * (20) * (10) =
10
( 2)
(104)
3 + 4 + 2 + 1 = 10
3 + 4 + 2 + 1 = 10
2 + 0 + 0 + 0 = 2
2 + 2 + 0 + 0 = 4
(n0) is gelijk aan 1. Er is namelijk 100% kans dat als je
geen knikker pakt, het lukt.
32
XYZ-assenstelsel
Tekenen
Ook wel het 0xyz-stelsel genoemd.
derde as de ruimte in. Deze derde
schuin naar links onder.
Punten op dit stelsel geef je aan
z)
Dus, punt P, 1 naar voren, 3 naar
P(1,3,2)
Met een
as teken je
als (x, y,
rechts, 2 naar boven wordt
Het midden vinden van een lijn.
Bij een lijn tussen twee punten op dit stelsel kun je snel
het midden vinden. Je neemt de coördinaten van de punten en
neemt daar het midden van.
Voorbeeld:
Je hebt de punten P(2,3,4) en Q(7,6,-4). M is het midden van
de lijn PQ.
Bereken de coördinaten van M.
Vanaf punt P:
5 in de x-richting
3 in de y-richting
-8 in de z-richting
Tel dan de helft van de coördinaten er bij op.
(2 + ½*5, 3 + ½*3, 4 + ½*-8) = (4.5, 4.5, 0)
Vlakken
Een vlak kun je vormen door in een
0xyz-stelsel te pakken
- 3 willekeurige punten (die niet op
een lijn liggen)
- Een lijn en een punt (niet op die
lijn)
- Door twee snijdende lijnen
- Door twee evenwijdige lijnen
Als twee lijnen elkaar snijden of evenwijdig zijn, vormen ze
samen een vlak.
Lijnen kunnen evenwijdig zijn, elkaar snijden, of kruisen.
Twee vlakken snijden elkaar altijd, tenzij ze evenwijdig
zijn.
33
Vergelijking van een vlak
Van elk vlak is een vergelijking op te stellen. Zo’n
vergelijking heeft de vorm van
ax + by + cz = d
Als a, b of c gelijk is aan 0, dan is het vlak evenwijdig
aan die as. Immers, hij komt nooit door die as heen.
Een vlak evenwijdig aan de x-as heeft als vergelijking dan
ook by + cz = d
Een vlak evenwijdig met de x-as en de y-as heeft als
vergelijking cz = d, waarbij het voor c niet uitmaakt welk
getal het is, en dus weggelaten kan worden.
Voorbeeld:
Vlak x = 3
Een vlak evenwijdig aan het 0yz-vlak, door het punt x = 3.
De formule van een vlak vinden
Vind de punten waar het vlak de assen snijdt. Stel het vlak
snijd de x-as in punt (a,0,0), de y-as in (0,b,0) en de z-as
in (0,0,c). De formule van het vlak is nu te vinden door
deze in te vullen in de formule:
1/a * x + 1/b * y + 1/c * z = 1
Breuken wegwerken:
b*c*x + a*c*y + a*b*z = a*b*c
Natuurlijk vereenvoudig je de formule zoveel mogelijk.
Voorbeeld:
Vlak V gaat door
de punten (5,0,0)
(0,3,0) en (0,0,6)
Geef de formule
van vlak V
1/5x + 1/3y + 1/6z
= 1
x + 5/3y + 5/6z =
5
3x + 5y + 2 3/6z =
15
18x + 30y + 15z =
90
Vereenvoudigen
6x + 10y + 5z = 30
Vlak U gaat
door de punten
(1,0,0) en
(0,3,0) en is
evenwijdig aan
de z-as
Geef de formule
van vlak U
1/6x + 1/3y = 1
x + 6/3y = 6
3x + 6y = 18
x + 2y = 6
z blijft hier
buiten
beschouwing.
Immers, het
vlak raakt de
z-as niet
34
Vlak W loopt
door de x-as en
door punt
P(0,4,6)
Geef de formule
van vlak W
Vergelijking
van de lijn PQ:
6y - 4z = 0
Indien het vlak
door een as
loopt stel je
hem altijd
gelijk aan 0
Oftewel, de formule (nog niet vereenvoudigt, maar in breuken)
is:
x/p + y/q + z/r = 1
waarbij het vlak door de punten (p,0,0) (0,q,0) en (0,0,r)
gaat.
35
Ongelijkheden f(x) = g(x)
Lineaire vergelijkingen: ax + b <=> cx + d
Termen met x naar links, de rest naar rechts (ax + cx <=> b +
d)
Herleiden ((a+c)x <=> (b+d))
a+c gelijk stellen aan 1. Als je hierbij deelt door een
negatief getal, dan wisselt het teken. > wordt < en andersom.
HIERONDER WISSELT HET
Voorbeeld:
TEKEN!!!
5x – 1 > 3x + 2
5x – 3x > 2 + 1
8x – 5 > 12x – 4
2x > 3
8x – 12x > 5 – 4
x > 1.5
-4x > 1
x < -0.25
Lineaire vergelijkingen met 2 variabelen
Standaardvorm ax + by > c
Als je y uit de vergelijking kunt halen is het een standaard
lineaire vergelijking.
ax + by > c 
by > -ax + c

y > (-ax + c) / b
Bij y > … weet je dat alles wat boven de lijn (x-as) ligt
een oplossing is.
Bij y = … weet je dat alles wat op de lijn ligt een
oplossing is.
Bij y < … weet je dat alles dat onder de lijn ligt een
oplossing is.
Behalve door y vrij te maken kun je ook twee coördinaten
invullen (bijv (1,0) en (0,0)) om zo te zien welk vlak je
moet hebben.
Lineaire vergelijking met 2 variabelen: ax + by = c
Een vergelijking waarbij er 2 variabelen zijn.
Standaardvorm:
ax + by = c
ax + by = c 
by = c – ax

ax = c – by
Dit is een andere vorm van het schrijven van de formule y =
ax + b, maar deze is algemener omdat hier ook de formule
voor een verticale lijn weergegeven kan worden (x=3).
Vergelijkingen oplossen
36
Je kunt deze vergelijkingen van elkaar aftrekken of bij
elkaar optellen en zo snel de oplossing van 2 lineaire
vergelijkingen vinden. Je elimineert een van de twee
variabelen waardoor je de oplossing kunt vinden.
Voorbeeld 1:
3x + y = 15 is gelijk aan x + y = 11
3x + y = 15
x + y = 11 ---------------2x = 4

x = 2
Vul dan x in in een van de vergelijkingen en je hebt de
oplossing. 2 + y = 11  y = 9  (2,9)
Voorbeeld 2:
2x + 3y = -7 is gelijk aan -2x – 5y =
11
2x + 3y = -7
-2x – 5y = 11
----------------2y = 4

y = -2
Vul dan y in en je hebt de oplossing. 2x -6 =-7  x = -0.5
 (-0.5,-2)
Kwadratische vergelijkingen met 2 variabelen: ax + by = c en
dx2 + ey2 = f
Probeer één van de variabelen te elimineren. Vanwege
ongelijke machten kun je niet optellen of aftrekken.
Maak uit één van de vergelijkingen een variabele vrij.
(bijv. y)
Vervang de variabele (bijv. y) door de rest van de formule.
 Substitueren
Substitutiemethode
Maak uit één van de vergelijkingen een variabele vrij.
Wat je gekregen hebt substitueer je in de andere
vergelijking.
Voorbeeld:
x2 + y2 = 10 is gelijk aan x – 2y = -5:
x – 2y = -5 
x = 2y – 5
2
2
x + y = 10 
(2y – 5)2 + y2 = 10
2

4y - 20y + 25 + y2 – 10 = 0 
5y2 - 20y + 15 = 0

y2 – 4y + 3 = 0 
(y – 3)(y – 1) = 0

y = 3 of y = 1
Gekregen oplossingen invullen in een van de formules:
x – 2*3 = -5 
x = 1

(1,3)
x – 2*1 = -5 
x = -3

(-3,1)
37
Gebroken functies
Benaderingen
Sommige functies naderen heel dicht tot een getal maar komen
nooit op dat getal. Zo is er de formule f(x) = 1 / x
x kan alle getallen zijn behalve het getal 0. Delen door 0
kan namelijk niet. De grafiek nadert x = 0 wel, maar raakt
dat punt nooit. Zo raakt deze grafiek ook nooit y = 0.
Immers, 1 / x kan nooit 0 zijn. Dit komt meestal voor in
gebroken vergelijkingen.
Zo zijn er vele grafieken met een punt of lijn waar zij naar
toe naderen, maar het nooit raken.
Dit noteren wij als:
x↓b => f(x)  a
x↑b => f(x)  a
Lees dit als:
X nadert b van boven (of onder, ligt aan de pijl), waarbij
de formule f(x) naar a toe loopt.
Voorbeeld:
f(x) = x3 – 5x2 – 6
4 – x2
Onderzoek x  -∞ en x↓2
x  -∞
Kijk naar het gedrag van de teller en noemer: x3 / -x2 = -x
x  -∞ => f(x)  ∞
x↓2
x↓2 => x3 – 5x2 -6  -18
/\
4 – x2↑0
-18 / -0 ≈ ∞
Delen door 0 kan niet, dit nadert tot 0!
x↓2 => f(x)  ∞
Voorbeeld2:
f(x) = 2x – 3 = x(2 – 3/x) = 2 – 3/x ≈ 2 = 2
x – 4
x(1 – 4/x) = 1 – 4/x
1
De limiet voor x∞ is 2. Hetzelfde geld voor x-∞
Limx∞ f(x) = 2
Limx-∞ f(x) = 2
Horizontale en verticale asymptoten zoeken
Als x = a de noemer 0 maakt, maar de teller niet, dan is de
lijn x = a een verticale asymptoot van de grafiek.
38
De verticale asymptoot van een grafiek kun je berekenen door
de noemer gelijk te stellen aan 0 terwijl de teller niet
gelijk is aan 0.
De horizontale asymptoot bereken je vervolgens door ∞ en -∞
in te vullen in de grafiek. Limx∞ f(x) en limx-∞ f(x)
Voorbeeld:
f(x) =
4x2 – 1
x2 – x - 6
Geef de horizontale en verticale asymptoot van f(x).
x2 – x – 6 = 0
/\
4x2 – 1 ≠ 0
(x-3)(x+2) = 0
/\
4x2 ≠ 1
x = 3 \/ x = -2 /\
x2 ≠ 1/4 x ≠ 0.5 \/ x ≠ -0.5
Verticale asymptoten zijn x = 3 en x = -2
Limx∞ f(x) =
4x2 – 1 = 4x2 = 4 = 4
x2 – x – 6
x2
1
Limx-∞ f(x) = 4
Horizontale asymptoot is y = 4
Voorbeeld 2:
f(x) = x3 – x2
x2 - 4
Geef de horizontale en verticale asymptoten.
x2 - 4 = 0
/\
x3 - x2 ≠ 0
x = 2 \/ x = -2 /\
x2 ≠ 0 \/ x – 1 ≠ 0
x ≠ 0 \/ x ≠ 1
Verticale asymptoten: x = 2 en x = -2
Limx∞f(x) = x3 – x2 ≈ x = K.N.
x2 – 4
1
Horizontale asymptoten: bestaan niet.
Van een gebroken lineaire functie kun je makkelijk de
asymptoten vinden.
f(x) = ax + b
(c ≠ = /\ ad ≠ bc)
cd + d
Verticale asymptoot is x = –d / c
Horizontale asymptoot is y = a / c
Gebroken functies afleiden van de standaardgrafiek
Voorbeeld:
f(x) = 2x – 3
x – 4
Hoe is f(x) afgeleid van 1/x?
f(x) = 2x – 3 = 2(x-4) + 5 =
5
+ 2
x – 4
x – 4
x - 4
y = 1 T(4,0) y =
1
*5 y =
5
T(0,2) y =
5
+ 2
x

x – 4 
x – 4

x - 4
39
Rekenen met machten
Kwadraten
Normale kwadraten schrijf je als x2. Dit betekent dat de
uitkomst gelijk is aan x * x. Let hierbij op dat x zowel een
positief als negatief getal kan zijn, immers, negatief *
negatief is positief. x2 is echter altijd positief.
Rekenen met wortels
Basisrekenregels met wortels
√A = B =>
B2 = A en B≥0
√A * √B = √AB
A√B + C√B = (A+C)√B
1 / √N = 1 / N * √N
Voorbeelden:
√9 = 3
√16 = 4
√75 = √(25*3)
√75 = √25 * √3
√75 = 5√3
√3 * √4 = √12
√2 * √8 = √16 = 4
√75 + √48 = 5√3 + 4√3
√75 + √48 = 9√3
2√3 + 4√3 = 6√3
(5√2 -2)2 =
25*2 - 20√2 + 4 =
54 - 20√2
√8 = √4 * √2
√8 = 2√2
Wortelvergelijkingen
Standaardvorm: √(x + a) + b = x
Isoleer de wortel
Kwadrateer de vergelijking en reken uit
Controleer de antwoorden
kloppen beide uitkomsten?
√(x + a) + b = x
√(x + a) = x + b
x + a = x2 + 2bx + b2
40
Wortels als machten
Bij de vergelijking x2 = 5 zijn er twee uitkomsten. x=√5 en
x=-√5. Aangezien √5 tot de tweede macht 5 is, heeft √5 ook
wel de tweedemachtswortel van 5. Genoteerd als 2√5. Er
bestaan ook derdemachtswortels, vierdemachtswortels, etc. De
oplossing van x3 = 5 heeft maar een oplossing, namelijk 3√5.
Niet -3√5, want dat zou -5 worden als je het tot de derde
macht verheft.
Dus:
(3√5)3 = 5
(n√x)n = x
xn --> n√x
of als n even is: xn --> -n√x
Let op:
4√16 = 2 en niet -2!!
We spreken net als bij gewone wortels af dat de (even
getal)graadswortel van een getal altijd positief is.
Kijken we even naar deze rekenregel:
(xp)q = xp*q
Laten we deze eens invullen.
(xp)2 = x1
x = (√x)2
√x = x0.5
Immers, p*q = 1*2 = 1.
Dus, een wortel van x is hetzelfde als x tot de macht 0.5
Hetzelfde geldt voor meerderemachtswortels.
(x1/n)n = x1
x = (n√x)n
n√x = x1/n
Hieruit volgt dat xp/q = q√xp
a1/q = q√a
--> ap/q = (ap)1/q =
q√(ap)
Hogere machten
xn, n is even
Behalve x2 heb je natuurlijk ook x3, x4 enz. Ook wel xn. Bij
elke even macht (n = 2, 4, 6, 8, enz.) heeft x twee
uitkomsten, maar heeft xn er maar 1. Dit komt omdat er dan
een even aantal keren negatief *negatief kan staan.
Voorbeeld:
x4 = 16
x = 2 \/ x = -2
Want: 2*2*2*2=16
Maar ook: -2*-2*-2*-2=16
41
(negatief * negatief) * (negatief * negatief) = positief *
positief = positief.
xn, n is oneven
Wanneer n oneven is, dan is er maar 1 uitkomst mogelijk. xn
is dan echter niet altijd meer positief. Immers, bij een
oneven aantal keer negatief, blijft het negatief.
Voorbeeld:
x3 = 8
x = 2
Immers, 2*2*2=8, en -2*-2*-2=-8
x3 = -8
x = -2
Op de rekenmachine reken je dit uit door in te typen 8 SHIFT
/ 3 =
Rekenen met machten
De afspraak is dat x0 = 1
Voor het rekenen met machten zijn nog wat standaard regels.
Hieronder laat ik ze zien, met het bewijs van die regel:
a2 * a4 = a6
(a * a) * (a * a * a * a) = a * a * a * a * a * a = a6
3
a / a2 = a1
a * a * a / (a * a) = a
2
(a )4 = a8
(a*a) * (a*a) * (a*a) * (a*a) = a*a*a*a*a*a*a*a = a8
(ab)3 = a3b3
ab * ab * ab = a*b*a*b*a*b = a*a*a * b*b*b = a3 * b3 = a3b3
-p
x = 1 / xp
x-p = x0-p = x0 / xp = 1 / xp
1 / x-p = 1 / (1 / xp) = xp
Samengevat:
xa * xb = xa+b
(xp)q = xp*q
xp / xq = xp-q
(xy)p = xpyp
x0 = 1
x-p = 1 / xp
Voorbeeld:
Schrijf als macht van 2 of 3
1/4√2 = 1/22 * 20.5 = 2-2 8 20.5 = 2-1.5
1/27 * 3√9 = 1/33 * (32)1/3 = 3-3 * 32/3 = 3-2
3√2 = 21/3
5√16 = (24)1/5 = 24/5
42
1/3
Rekenen met letters
Bijzondere producten
2e macht
(a + b)2 = a2 + ab + ba + b2 = a2 + 2ab + b2
(a – b)2 = a2 – ab –ba + b2 = a2 - 2ab + b2
(a + b)(a – b) = a2 + ab – ba + b2 = a2 + b2
3e macht
(a
(a
(a
(a
+
+
–
b)3 =
b)3 =
b)2(a
b)2(a
a3 +
a3 –
– b)
+ b)
3a2b
3a2b
= a3
= a3
+
+
+
+
3ab2 + b3
3ab2 – b3
ab2 + a2b + b3
ab2 - a2b - b3
Rekenregels
AB = AC
A2 = B2
A / B = C / D
A / B = C / B
A / B = A / C
A^B = C
Alog B = C
A = 0 \/ B
A = B \/ A
AD = BC /\
A = C /\ B
A = 0 \/ B
Alog C = B
A^C = B
=
=
B
≠
=
C
-B
≠ 0 /\ D ≠ 0
0
C /\ B ≠ 0 /\ C ≠ 0
43
Exponentiele groei
Formule
y = a * gx
+ b
+ c
Een formule die elke tijdseenheid met zichzelf
vermenigvuldigd wordt. g*g*g*g <-- x factoren g.
Als g > 1 dan zal de grafiek stijgen.
Als 0 < g < 1 dan is de grafiek dalend. Immers, met zichzelf
vermenigvuldigd wordt, dan word hij alleen maar kleiner.
Neemt iets met 5% toe, dan is dat in de functie te schrijven
als y = a*1.05x. Immers, als het gelijk blijft is g = 1 =
100%. 5% erbij brengt 105% = 1.05
Voorbeeld:
Er staat 578 op de spaarrekening. De rente is 4.3%
Hoeveel staat er over 10 jaar op de rekening?
578 * 1.04310 ≈ 880.58
Op de rekenmachine is dit makkelijk uit te rekenen door in
te typen 578 * 1.043 SHIFT * (Xy) 10.
Ga ervan uit dat het geld er al jaren op staat. Hoeveel was
het 8 jaar geleden?
578 * 1.043-8 ≈ 412.72
In welk jaar is het voor het eerst meer dan 1000?
Gebruik nu weer de rekenmachine. Type in: 1.043 ** 578 en
blijf dan op = drukken tot er meer dan 1000 staat. Tel het
aantal keer dat je op = drukt.
Door de constante factor te gebruiken op de
rekenmachine zien we de volgende uitkomsten voorbij
komen:
602.85, 628.78, 655.81, 684.01, 713.43, 744.10,
776.10, 809.47, 844.28, 880.58, 918.45, 957.94,
999.13, 1042.10
Na 14 keer is de uitkomst groter dan 1000, dus na 14
jaar!
Herkennen van exponentiële groei
Als gegeven is een tabel met waarden en je moet de
exponentiele groei aantonen doe je dat als volgt. Bij
gelijke tijdsintervallen bereken je het verschil in
procenten. Als de procenten overeenkomen dan kun je uitgaan
van exponentiele groei.
x
5
6
7
44
8
9
y
31000
31780
32570
33380
34220
Voorbeeld:
Gegeven is deze tabel. Is hier sprake van exponentiele
groei?
Gelijke intervallen zijn nu 5-6, 6-7, 7-8 en 8-9.
31780 / 31000 ≈ 1.025
32570 / 31780 ≈ 1.025
x
5 6 7 8 9
33380 / 32570 ≈ 1.025
34220 / 33380 ≈ 1.025
We kunnen nu uitgaan van een exponentiele groei van ongeveer
1.025.
De formule die hierbij hoort is nu:
Y = 1.025x-5 * 31000
‘x-5’ omdat de formule begint bij 5, en 31000 omdat dat het
begincijfer is.
Exponentiele vergelijkingen
Een exponentiele vergelijking heeft de vorm ga = gb
Bij een exponentiele vergelijking wordt een vergelijking
gegeven waarbij de macht gegeven is in x. Je moet dan de
grondtallen gelijk stellen, waardoor de uitkomst volgt uit
de machten.
Uit de vergelijking ga = gb volgt dan de oplossing: a = b.
Voorbeeld:
32x-1 = 9√3
32x-1 = 32 * 31/2
32x-1 = 32 1/2
2x-1 = 2 1/2
2x = 3 1/2
X = 1 3/4
25x-3 =
(52)x-3
52x-6 =
2x-6 =
3x = 9
X = 3
Voorbeeld2:
3x+1 = 3x-1 + 21
3x+1 – 3x-1 = 21
3x(31 + 3-1) = 21
(7/3) * 3x = 21
3x = 9 = 32
x=2
5 * 52-x
= 51 * 52-x
53-x
3-x
2x-3 + 2x+3 = 65
2x*2-3 + 2x*23 = 65
2x(2-3 + 23) = 65
2x(0.125 + 8) = 65
8.125 * 2x = 65
2x = 8 = 23
x = 3
Machten die je uit het hoofd moet kennen
x1
2
3
x2
4
9
x3
8
27
X4
16
81
x5
32
243
45
x6
64
729
x7
128
4
5
16
25
64
125
256
625
46
1024
Logaritmen
Functie
Logaritmische functies zijn het tegenovergestelde van
exponentiele functies, de finv. Met een logaritmische functie
kun je terugrekenen vanuit een exponentiele functie. Als van
een exponentiele functie f(x) = gx, dan is de finv(x) = glog
x. Hierbij is f(x) niet gelijk aan finv(x), maar aan finv(y),
en f(y) = finv(x).
De uitkomst van functie f voer je in bij functie finv. De
uitkomst van functie finv voer je in bij functie f.
Zie het voorbeeld.
Voorbeeld:
gx = y
23 = 8
24 = 16
46 = 4096
32 = 9
104 = 10000
-->
-->
-->
-->
-->
-->
glog
y = x
8 = 3
2log 16 = 4
4096log 4 = 6
3log 9 = 2
10000log 10 = 4
2log
In het voorbeeld heb ik de functie glog y = x gebruikt. Dit
is een andere schrijfwijze voor de functie gx = y, immers,
wat je ook invult, de uitkomsten zijn bij beide formules
gelijk.
De normale manier van schrijven is glog x = y.
Aangezien de functie gx = y alleen geldt voor functies in
het bereik 0<x<1 en x>1, geldt dat voor de finv natuurlijk
ook.
Voorbeeld:
2log 1/8 = -3
7log 1 = 0
5log √5 = 1/2
-5log 25 = K.N.
3log -27 = K.N.
glog
-->
-->
-->
-->
-->
2-3 = 1/23 = 1/8
70 = 1
√5 = 51/2
Geen negatieve grondtallen!!
3x = -27 heeft geen oplossing!!
x = y kan alleen maar voor g > 0, g ≠ 1 en x > 0
Rekenen met logaritmen
Even wat rekenvoorbeeldjes. Aan de hand van deze voorbeelden
geef ik rekenregels over logaritmen.
Voorbeeld:
2log 8 = 3
--> 23 = 8
47
23 = 8
-->
22log
8
= 8
Bewijs glog ab = glog a + glog b
25 = 23 * 22 = 22log 8 * 22log 4 = 22log
2log(8 * 4) = 2log 8 + 2log 4 = 5
8+2log 4
Bewijs glog a/b = glog a – glog b
21 = 23 * 2-2 = 22log8 * 2-2log4
2log 2 = 2log (8/4) = 2log 8 + (–2log 4) =
= 22log
2log
(8*4)
8 –
2log
Bewijs glog ax = x * glog a
2log 8 = 2log 23 = 3 * 2log 2
(3 = 3 * 1)
2log 23 = 2log (2*2*2) = 2log 2 + 2log 2 + 2log 2
Bewijs glog a = plog a / plog g
2 = 6 - 4 = 5log (56 / 54) = 10log (106 / 104)
2 = 5log (54 / 52) = 2log 4
2log 4 = 5log 4 / 5log 2 = 2
plog
NOG
NOG
NOG
NOG
NOG
Dus:
glog
glog
glog
glog
(pa / pb) = a – b
INVOEGEN!!!!
INVOEGEN!!!!
INVOEGEN!!!!
INVOEGEN!!!!
INVOEGEN!!!!
ab = glog a + glog b
a/b = glog a – glog b
ax = x * glog a
a = plog a / plog g
Voorbeeld:
2log x = 4 – 2log 3
2log 2 = 1
--> 4 = 2log 2 * 4 = 2log 24 =
2log x = 2log 16 – 2log 3 = 2log (16/3)
x = 16/3 = 5 1/3
Voorbeeld 2:
3log (x-2) = 1 + 5 * 3log 2
3log (x-2) = 3log 3 + 3log 25 =
x-2 = 96
x = 98
3log
48
2log
16
(3*25) = 3log 96
4
Rekenen met breuken
Optellen
a + c =
ad + bc
=
ad + bc
b
d
bd
bd
bd
Breuken optellen mag alleen als de noemers gelijk zijn, dus
als ze dat niet zijn maak je de noemers gelijk door de
linkerbreuk met de rechternoemer, en de rechterbreuk met de
linkernoemer te vermenigvuldigen.
Voorbeeld:
4 + 2 =
3
5
4 + 5 =
a
a-1
20 + 6
=
26
15
15
15
4(a–1) + 5a
=
a(a-1)
a(a–1)
4a – 4+5a =
a(a-1)
9a-4
a(a-1)
Vereenvoudigen
abcd
bc
= ad = ad
1
abc
bcd
=
a
d
Probeer zoveel mogelijk buiten de breuk te halen of deze zo
klein mogelijk neer te schrijven.
Voorbeeld:
x2 + 2x =
x + 2
x(x+2)
x + 2
=
x
40 + 3a =
5x
x
8 + 3a
x
x
=
8+3a
x
Vermenigvuldigen
a * c =
ac
b
d
bd
De tellers vermenigvuldig je met elkaar, en de noemers
vermenigvuldig je met elkaar.
Voorbeeld 1:
4 * 5 =
20
a
a-1
a(a-1)
Voorbeeld 2:
4x + 5 = 2x2 + 4x + 1
3x
8x + 1
49
8x3 + 16x2 + 4x + 10x2 + 20x + 5
3x(8x + 1)
8x3 + 26x2 + 24x + 5
3x(8x + 1)
Vergelijking oplossen
Vermenigvuldig beide breuken met beide tellers. Los de
normale vergelijking op. Controleer de uitkomst(en) door ze
in te vullen in de noemers en kijken of de noemer 0 wordt.
Delen door 0 kan immers niet.
a = b
c
d

ad = bc
Voorbeeld:
x+1 = 3x + 3
x+2
x
x
x+1 = 3x+3
x+2
x
x(x+1) = (x+2)(3x+3)
x2+x = 3x2 + 9x + 6
2x2 + 8x + 6 = 0
x2 + 4x + 3 = 0
(x + 1)(x + 3)=0
x = -1 \/ x = -3
Beide antwoorden gelden want beide antwoorden maken de
noemer ≠ 0
Immers, delen door 0 kan niet.
50
Tekenschema’s
Een tekenschema is bedoeld om een overzicht te verkrijgen
van de waarden van een grafiek. Het schema geeft weer waar
de grafiek onder de x-as duikt, hem raakt of kruist en waar
de grafiek geen oplossing heeft.
Een tekenschema ziet eruit als een lijn (de x-as) met daarop
aangegeven de punten waar de grafiek door de x-as gaat, of
zou gaan maar daar geen oplossing heeft (zoals bij y = 1/x).
Na elk punt gaat de grafiek door de x-as, en verandert het
teken van + naar – of andersom. Met behulp van een testpunt
(niet 1 van de eerder genoemde punten) controleer je waar
het + of – is.
Voorbeeld:
++++0---0----*++++0---────┼───╫────┼────┼────
-9
-5
0
4
Dit tekenschema van een functie laat zien dat deze functie
de x-as
snijdt in de punten x=-9 en x=4.
raakt in het punt x=5 (er ligt een top op de x-as)
nadert in het punt x=0 maar hem niet raakt
Voorbeeld:
f:x --> (x+3)(5-x)(x-9)
Oplossingen f:x  0
x = -3 \/ x = 5 \/ x = 9
Testpunt 0 =>
(0+3)(5-0)(0-9)=3*5*-9<0
g:x --> (x+2)(x-4)(x+1)2
Oplossingen g:x  0
x = -2 \/ x = 4 \/ x = -1
(2x)
Testpunt 1 =>
(1+2)(1-4)(1+1)2=3*-3*4<0
+++0--------0+++0-───┼────────┼───┼──
-3 (0)
5
9
+++0--0---------0+++++
───┼──╫─────────┼─────
-2 -1
(1)
4
Tekenschema’s zijn de makkelijkste manier om te laten zien
wanneer een grafiek kleiner dan, gelijk aan of groter dan 0
is.
Voorbeeld:
Gebruik de functies f en g van hierboven.
Geef f(x) ≥ 0
<,-3] \/ [5,9]
=>
x ≤ -3
\/
Geef g(x) < 0
<-2,-1> \/ <-1,4>
=>
-2 < x < -1
\/
Voorbeeld:
51
5 ≤ x ≤ 9
-1 < x < 4
Maak een tekenschema van h en geef h(x) ≥ 0 en h(x) ≤ 0
h: x  (x+3)(4/x)(5-x)(x2+4)2
Oplossen h: x  0
X+3=0 \/ 4/x=0 \/ 5-x=0 \/ x2+4=0 \/ x2+4=0
x = -3 \/ x = 5 \/ x = 2 (2x) \/ x = -2 (2x)
x = 0 kan
niet, want delen door 0 kan niet.
Testpunt 1 =>
(1+3)(4/1)(5-1)(12+4)2 = 4*4*4*52 = positief
---0+++++0++++++*+++++++++0++++++++++0------───┼─────╫──────┼─────────╫──────────┼───────
-3
-2
0
(1)
2
5
h(x) ≥ 0 =>
-3 ≤ x < 0
\/
h(x) ≤ 0 =>
5
x ≤ -3
x = -2
\/
52
0 < x ≤ 5
\/
x = 2
\/
x ≥
Modulus
Absolute waarde
|x| =>
De absolute waarde van x
De afstand van een getal tot de 0, de absolute waarde, wordt
ook wel de modulus genoemd. De afstand van 4 tot 0 is 4. De
afstand van -4 tot 0 is ook 4. Oftewel, de absolute waarde van
-4 is gelijk aan de absolute waarde van 4 => |-4| = |4| = 4
Er geldt dus:
x ≥ 0

|x| = x
x < 0

|x| = -x
De grafiek van y = |x2| wordt dan ook als
volgt weergegeven. Het gedeelte onder de xas wordt gespiegeld, aangezien de absolute
waarde gevraagd wordt, en die is altijd
positief.
Voorbeeld:
|3x + 4| = 7
3x + 4 = 7
7
x = 1
\/
-3x – 4 =
\/
x = -11/3
|3x – 1| = 8
3x – 1 = 8
8
x = 3
= -2 1/3
\/
-3x + 1 =
\/
x = -7/3
Tekenen van een modulusgrafiek
Schrijf de functie in twee delen en teken bij elk deel de
grafiek.
Voorbeeld:
f(x) = x2 – |2x – 1|
|2x – 1| 2x – 1 ≤ 0

x ≤ 1/2
2x – 1 ≥ 0

x ≥ 1/2
2
x ≥ 1/2

x – 2x + 1
x ≤ 1/2

x2 + 2x - 1
In de figuur staat in stippellijnen ook nog de
resten van de grafieken ter verduidelijking.
Maar die hoef je niet te tekenen.
Vergelijkingen oplossen
|A| = |B|
|A| = B
A = B \/ A = -B (\/ -A = B \/ -A = -B)
A = B \/ A = -B
/\
B ≥ 0
53
Voorbeeld:
|x2 + 3x – 6| = 2x
x2 + 3x – 6 = 2x
x2 + x – 6 = 0
(x + 3)(x – 2) = 0
x = -3 \/ x = 2
Oplossing: x = 2 \/
\/
\/
\/
\/
x =
x2 + 3x x2 + 5x –
(x + 6)(x
x = -6 \/
1
54
6
6
–
x
= -2x
= 0
1)=0
= 1
/\
/\
/\
/\
x
x
x
x
≥
≥
≥
≥
0
0
0
0
Economie
Aantal exemplaren, Prijs, Kosten, Opbrengst, Winst
Als een artikel goedkoper wordt zal er meer van verkocht
worden. Het aantal verkochte exemplaren q is dus een functie
van de prijs p. Omgekeerd is dan p natuurlijk ook een functie
van q.
Vaak is dat een lineaire functie. Daar gaan we voorlopig even
van uit.
De opbrengst R is natuurlijk het aantal verkochte stuks x de
prijs, dus R = p * q
Voor een lineaire functie p = aq + b wordt dan
R = (aq + b)*q = aq2 + bq
Een kwadratische functie met een top. Een bepaalde prijs
waarbij de opbrengst het grootst is!!
De opbrengst kan niet negatief zijn, dus het bereik van deze
grafiek is alleen dat gedeelte dat boven de x-as ligt.
De kosten K is het aantal stuks * de kostprijs, plus de
mogelijke eenmalige kosten, K = cq + d
De winst W is de opbrengst – de kosten, W = aq2 + bq – cq – d.
Aangezien een 2egraadsvergelijking overblijft heeft ook deze
functie een maximum. Een bepaalde prijs waarbij het meeste
winst gemaakt wordt!
Voorbeeld:
De prijs in p en het aantal verkochte stuks q hebben het
volgende verband: p = -2q + 60
De kosten K zijn 8q + 200
Opbrengst R = p * q = (-2q + 60)q = -2q2 + 60q
Winst W = R – K = -2q2 + 60q – (8q + 200) = -2q2 + 52q – 200
Rmax voor q = -b / 2a = -60 / -4 = 15
-2*152 + 60 * 15 = 450
Wmax voor q = -b / 2a = -52 / -4 = 13
-2*132 + 52 * 13 – 200 = 138
pbest is die bij Wmax hoort, dus q = 13. p = -2*13 + 60 = 34
55