Proloog Rosa persoonlijke visie op het profielwerkstuk

Kwantummechanica
STM
Door Emile Nijssen
en Rosa Runhardt
Verslag Profielwerkstuk
Tunnelen
[inhoudsopgave]
Proloog Rosa persoonlijke visie op het profielwerkstuk
Doubt is not a pleasant condition, but certainty is absurd.
Voltaire (1694 - 1778)
I like my pancakes flat.
Vegeta (Dragonball Z™)
Mijn persoonlijke visie op het profielwerkstuk is dat er al veel te veel over gezegd is.
Iedere eerste les begint met meer dan vijf minuten informatie die ik al gehoord heb. Ik
weet dan ook zeker dat een proloog, hoewel natuurlijk aangevuld met boeiende citaten,
niet is waar een lezer van dit profielwerkstuk op zit te wachten. U kan dus de volgende
alinea’s overslaan. Dat zou ik ook doen.
U bent koppig? Nu, goed. De reden dat ik dit onderwerp gekozen, afgebakend en aan
Emile opgedrongen heb is dat ik een masterclass over nanotechnologie gevolgd heb aan
de Universiteit Leiden. Het was een boeiende masterclass met veel onderwerpen die wat
verder uitgediept konden worden. Verder klinkt “kwantummechanica” enig.
Dat ik zoveel tijd wil besteden aan zoiets onbenulligs als een profielwerkstuk is omdat ik
het leuk vind werkstukken te maken. Wat mij betreft zijn er daar te weinig van op de
middelbare school. Maar goed, ik houd u alleen maar op. Ga gerust verder met lezen en
stoor u vooral niet aan ellenlange inleidingen. Ik ben persoonlijk ook niet zo voor
inleidingen.
Rosa
Proloog Emile persoonlijke visie op het profielwerkstuk
Profielwerkstuk. Profiel-Werkstuk. Een werkstuk betekent voor mij iets waarin ik me kan
uitleven, een lap tekst waarvoor ik zo lang of kort als ik wil over elk onderwerp binnen een
relatief breed kader kan onderzoeken en schrijven. Nu heb ik al veel werkstukken gemaakt in
mijn schoolloopbaan, en ik heb er elke keer naar gestreefd een beter werkstuk te maken. Zo heb
ik voor mijn Geschiedenis werkstuk in de 4e klas voor het eerst een volledige literatuurstudie
gedaan naar een historisch bouwmeester, en om mee te gaan met de tijd heb ik bij mijn KCV
werkstuk een CD-ROM bijgevoegd met alle illustraties en andere goodies die van toepassing
waren op het werkstuk, handig bijeengezet in een HTML'etje. En nu komt het er op aan, het
laatste werkstuk, het profielwerkstuk. Vanzelfsprekend moet ik iets nieuws doen, iets beters dan
eerst, dus enkel een cd-rom zal niet genoeg zijn. Ook waren de vorige werkstukken verre van
geestelijk veeleisend; een literatuurstudie is leuk maar meer inzicht krijg je niet, echt leren doe je
er niet van; feitjeskennis is passé. Voor dit werkstuk gooi ik al mijn ambitie in de strijd en doe
wat ik nooit eerder heb gedaan; ik maak er een show van.
Maar ja, op dit moment sta ik nog volledig in het duister over wat het werkstuk gaat worden, hoe
de presentatie gaat worden, gezien ik dit schrijf voor er nog maar één letter op papier staat van het
eindresultaat. Wat in de planning staat is een werkstuk over het onderwerp kwantummechanica,
onderdeel tunneleffect. De presentatie wordt, indien we onze handen lang genoeg kunnen krijgen
op een camera, in documentaire-vorm en anders in de vorm van een interactieve presentatie. Wat
wel al duidelijk vaststaat is dat dit profielwerkstuk in grote mate veel minder overzichtelijk is
vanaf het begin, en dat ik en Rosa veel meer moeten leren voor we pas iets zinnigs kunnen
opschrijven over het onderwerp at hand dan bij eerdere werkstukken. In zekere zin denk ik dat dit
ook de eigenlijke bedoeling is geweest van het profielwerkstuk.
Dit profielwerkstuk is op een andere manier nog speciaal, veel persoonlijker. Mijn hele
schoolcarrière heeft vastgestaan dat ik de studie Lucht- en Ruimtevaarttechniek wilde doen. Een
studie die mij heel erg trekt gezien ik al m'n leven lang met technische dingen bezig ben geweest:
lego, windmolentje bouwen, etc. etc.
Maar doordat ik zo lang heb vastgehouden aan dat idee heb ik te weinig interesse in andere
gebieden getoond, immers, ik ging toch wel die kant op. Lucht- en Ruimtevaarttechniek is een
prestigieuze, lastige studie, precies wat ik nodig heb gezien ik met uitzondering van een enkel vak
het gymnasium fluitend heb doorlopen. Maar nu ik een tijdje bezig ben geweest met de
'voorstudie' (hoe je het ook noemt) voor het profielwerkstuk merk ik toch op dat kwantumfysica
wel erg leuk is. En daar zit de crux; L&R is een studie over het macroscopische en dus
fundamenteel anders dan nanofysica, wat veel theoretischer is (gezien veel in de nanowereld
onwaarneembaar is en dus erg moeilijk voor te stellen) en andere kennis en vaardigheden vergt.
Mijn studiekeuze kan dus best wel eens afhangen van dit profiel-werkstuk.
In ieder geval kan ik zeggen dat dit één van mijn eerste macroscopische uitdagingen is, en ik mag
hem helemaal zelf (oh ja, en met Rosa) invullen. Joepie.
__________________
Noot: dit heb ik geschreven vóór de zomervakantie. De rest van het profielwerkstuk is
geschreven in de tijdsperiode 1 augustus-29 oktober.
1. Inleiding profielwerkstuk
In de laatste klas van onze cursus aan het Murmelliusgymnasium wordt van iedereen verlangd
een werkstuk te maken met betrekking tot een vak in het door de leerling gekozen profiel. Dit is
wettelijk vastgelegd met een redenering.
Idealisten, zoals Emile, redeneren dat deze leerling niet voor niets een bepaald profiel heeft
gekozen. Dat hij of zij in het afsluitende jaar moet laten zien wat er nou interessant is aan
zijn/haar favoriete vak door een niveauoverschrijdend probleem of onderwerp te onderzoeken.
Dat het een omvangrijk gebeuren hoort te zijn, waarin de leerling op meerdere manieren zijn in
de voorgaande jaren opgedane kennis en ervaring volledig dient te gebruiken om zo tot een zo
mooi mogelijk eindresultaat te komen. Het profielwerkstuk, primair een verslag, dus iets dat in de
richting van wetenschappelijk (literatuur)onderzoek moet komen, biedt de leerling volgens deze
idealisten onbeperkte mogelijkheden; vooral ook omdat de informatie en het onderwerp van het
verslag kort gepresenteerd moet worden in een presentatie van 20 minuten, waarbij elk
hulpmiddel, in alle redelijkheid natuurlijk, toegestaan is.
Maar wie is er geïnteresseerd in een redenering? Het profielwerkstuk dient alleen maar voldoende
afgesloten te worden. Ideaal gezien zijn inzichtverruiming en wetenschappelijke correctheid
belangrijke factoren bij de beoordeling, maar helaas: voor veel leraren is het profielwerkstuk een
blok aan het been. Het examenjaar VWO is al krap genoeg en zo’n zinloos werkstuk vreet tijd en
telt niet eens mee voor het examen. Dus waarom veel tijd reserveren voor een lastig
profielwerkstuk? Dat zorgt alleen maar voor meer vertraging en haastwerk met het klaarstomen
voor het examen. Wat is er dus makkelijker dan de lat voor deze profielwerkstukken zo laag te
leggen dat iedere idioot het voldoende af kan sluiten? Profielwerkstukken zijn bijzaak.
Standaardonderwerpen blijven dus terugkomen in standaardverslagen, zoals over het radioactief
verval van protactinium, in beginsel uitermate fascinerend, maar na tien keer toch iets minder.
Dan levert zo’n onderwerp verrassend genoeg weinig informatieve presentaties op. Je zal van
veel leraren niet horen dat ze veel écht nieuwe of verrassende informatie hebben gezien of
gelezen op de profielmiddag, laat staan gehoord hebben over onderwerpen die zij niet beheersen.
Waarom nog een vernieuwend profielwerkstuk produceren? Waarom de lat nog hoog leggen? Het
is onbegonnen werk om te verlangen dat iedereen een vakoverschrijdend en universitair
profielwerkstuk aflevert.
Bah! Zou het niet leuker zijn als de leerlingen gemotiveerder waren om een hoogwaardiger
profielwerkstuk te maken? Op deze manier doen alleen de die-hard nerds hun best. We hopen dat
wij dat zijn.
Wat wij met dit profielwerkstuk hopen te bereiken staat in de persoonlijke motivaties die in de
prologen zijn verwerkt. Voor diegene die dezen op Rosa’s aanraden heeft overgeslagen volgt hier
de korte samenvatting: onze schoolloopbaan is tot nu toe redelijk gemakkelijk geweest, dus nu is
het tijd om ons in staat te voelen tot meer dan het standaard schoolwerk. Is dit competitiedrang?
Is dit nieuwsgierigheid? Of zijn we gewoon niet geïnteresseerd in protactinium?
Wat we in ieder geval willen is het dode profielwerkstuk vernieuwen door een leuke video toe te
voegen, en begrippen uit de wereld van het gigantisch kleine te verduidelijken, waarover zelfs op
het hoogste niveau middelbare school bij de gemiddelde leerling geen bal over bekend is. Tot
zover ons betoog met betrekking tot het profielwerkstuk as such.
2. Inleiding onderwerp profielwerkstuk
Nu we het fijne weten van wat een profielwerkstuk voor hoort te stellen volgens de idealisten, en
wat het daadwerkelijk voorstelt, moeten we verduidelijken welk onderwerp wij hebben gekozen,
en waarom.
Als uitgangspunt hebben het fenomeen tunnelen gekozen. Nu vraagt u zich af: “dit ging toch over
wis/natuurkunde, wat doet een mol hier?” Nu, tunnelen is het fenomeen dat elektronen zomaar
van het ene naar het andere (metaal)oppervlak kunnen stromen, zonder dat zich enige geleider
tussen de oppervlakken bevindt, en zonder de hulp van een mol. Anders gezegd, tunnelen
betekent dat elektronen tussen metaaloppervlakken door vacuüm kunnen bewegen over een
afstand van enkele (tientallen) atoomlengtes. Dit kan spontaan gebeuren, maar het effect is een
stuk duidelijker als een spanning wordt aangelegd over de oppervlakken. Dit verschijnsel lijkt
nietsbetekenend, immers, in zekere zin is het intuïtief niet vreemd dat er af en toe een
elektronnetje over wordt geschoten. Zeker niet als de schat een steuntje in de rug krijgt door een
spanningsverschil. Maar ook zonder het potentiaal gaan er elektronen heen en weer; in een
materiaal (vast en vloeistof) is het niet heel vreemd dat elektronen los bewegen. Maar door
vacuüm, zonder geleider, is dit hoogst merkwaardig.
Tunnelen kan worden begrepen met theorie uit de kwantummechanica. Dit is dus een tweede
onderwerp waar het profielwerkstuk om draait. Immers, zonder kwantummechanica geen
tunnelen, en zonder tunnelen moeten we een nieuw onderwerp bedenken voor het
profielwerkstuk, wat niet al te efficiënt zou zijn gezien u al tot en met deze alinea gekomen bent.
Het derde en laatste wat we behandelen is de toepassing van tunnelen (en kwantummechanica),
de Scanning Tunneling Microscope (STM). Dit is, zoals het woord (het zijn drie woorden!) al
zegt een microscoop, maar dan ééntje die een zodanig groot oplossend vermogen heeft (lees: hij
ziet hele kleine dingen) dat atomen op het computerscherm zichtbaar gemaakt kunnen worden.
Licht/lenzenmicroscopen werken op deze schaal niet meer, de intensiteit van de fotonenstraal om
zulke kleine oppervlakken zichtbaar te maken en daarna naar de grootte van een menselijk oog te
projecteren met (relatief onprecieze) lenzen zou te vergelijken zijn met een laserstraal, en
bovendien, al bij veel grotere objecten schiet de lichtmicroscoop al tekort simpelweg doordat
lenzen niet precies genoeg kunnen worden gekromd, en materiaaleigen aberraties geven.
Gelukkig is er de STM. De STM (of daarvan afgeleide microscoop) is een vernuftig apparaat dat
vergelijkbaar is met een platenspeler, een hele scherpe naald (met een punt ter grootte van één of
enkele atomen) tast een metaaloppervlak af om zo, versterkt, op een computerscherm het beeld te
voorschijn te toveren van het oppervlak. Een beeld van het oppervlak? De STM ziet het
oppervlak niet…
3. Structuur
Mama, kijk, er zit structuur in dit profielwerkstuk! Het gaat ongeveer zo:
-
-
Eerst beginnen we met de kwantummechanica. Deze theorie is onmisbaar voor het
begrijpen van wat er nou eigenlijk speelt op het niveau waar we het over hebben in het
profielwerkstuk. We leggen in dit verslag gedeeltes uit, onder andere de fundamenten van
het Standaardmodel van fundamentele deeltjes en krachten. In het katern voor
onverzadigde nerds gaan we verder in op deze stof.
Gezien in zekere zin tunnelen alles met elektriciteit te maken heeft, leek het ons handig
het daar over te hebben. Het tweede deel gaat daar dan ook over.
-
-
-
Uiteindelijk gaan we verder in op de wiskunde die benodigd is bij het verklaren of
berekenen van het tunneleffect. Dit is nodig om bijvoorbeeld de verbanden tussen
verschillende factoren te berekenen en vooral af te leiden en verklaren.
Nu we dit alles hebben geleerd, komt er een intermezzo met een proef die we aan de
universiteit in Leiden hebben gedaan. Daar staat een STM, dus hebben we leuk met zo’n
tunnelmicroscoop gespeeld. Zie je wat het nou eigenlijk voorstelt, zo’n STM.
Hierna vertellen we precies hoe die STM nou in elkaar zit. In dit hoofdstuk komt ook wat
wiskunde aan bod.
In dit verslag komt alles aan bod waar ons profielwerkstuk over gaat, echter in beperkte vorm.
Dat wil zeggen, we hebben het zo kwalitatief mogelijk gehouden en gaan niet al te diep in op
zaken die niet direct van doen hebben met de aangekondigde onderwerpen. Omdat we een hoop
andere informatie niet willen achterhouden, en natuurlijk omdat veel onderwerpen gewoon veel te
interessant zijn om in één alinea de revue te laten passeren, krijgt u bij dit profielwerkstuk een
katern waarin op enkele onderwerpen dieper wordt ingegaan. Er zal genoeg overlap met dit
verslag zijn om het te begrijpelijk te houden.
Nu is het wel genoeg geweest, we zijn al vierenhalve bladzijde over niks aan het praten, laten we
eindelijk eens beginnen met het eerste hoofdstuk: Het Standaardmodel!
1
Het Standaardmodel
Geschreven door: Emile Nijssen
Illustraties: Emile Nijssen
Echte nerds kijken hiervoor natuurlijk ook in het katern
1.1 Inleiding
Het Standaardmodel is eigenlijk een slechte naam voor dit hoofdstuk. Dit hoofdstuk gaat
voornamelijk over het standaardmodel en enkele implicaties ervan, maar ook over dingen die nog
buiten het standaardmodel vallen. Gezien het grootste deel toch behoort tot het standaardmodel,
zal ik de naam niet wijzigen.
Het Standaardmodel is kort door de bocht een verzameling van theorieën die samenvat hoe
fundamentele deeltjes (deeltjes waaruit onder andere atomen zijn opgebouwd) zich gedragen,
welke eigenschappen ze hebben, en vooral ook welke interacties ze kunnen aangaan en welke
krachten en deeltjes daarbij een rol spelen.
1.2 De basis
Het standaardmodel gaat over het kleinste in het universum. Dit staat tegenover bijvoorbeeld de
klassieke fysica die gedrag en eigenschappen van macroscopische laagenergetische objecten
beschrijft, en de relativiteitstheorie die over diezelfde objecten, maar dan hoogenergetisch wat
zegt. Wat ik hier eigenlijk probeer uiteen te zetten is de volgende figuur:
Al deze onderdelen van de natuurkunde beschrijven een ander deel van het universum. De
kwantummechanica, zoals te zien in
het diagram, beschrijft hele kleine
dingen, met een kleine energie
(snelheid). En zo zijn er allemaal
verschillende theorieën voor
verschillende gebieden, terwijl we
toch over dezelfde objecten spreken,
alleen in een andere combinatie of
met andere energieën. Maakt dat dan
zoveel verschil?
Het antwoord is natuurlijk ja,
immers, het was bedoeld als
retorische vraag. Toch is die, en
wetenschappers zijn daarom ook al
tijden bezig met het zoeken naar een
theorie die al deze gebieden kan
verenigen, een Theorie van Alles.
Omdat het teveel werk is om uit te
leggen wat daar de problemen bij
zijn, beperken wij ons tot een
gedeeltelijke vereniging van de
kwantummechanica met de
Figuur 1: de verschillende natuurkundige gebieden. Uiteraard zijn het geen afgescheiden gebieden, allen hebben wel
kwantumveldentheorie, en de
een zekere overlap. Voor de duidelijkheid zijn ze gescheiden
theorie die dat doet heet het
standaardmodel. Zoals ook in het
diagram te zien is is dit geen volledige vereniging, gezien er nog gebieden in de
kwantummechanica zijn die buiten het standaardmodel vallen, en hetzelfde in de
kwantumveldentheorie. Maar goed, laten we eens afdalen naar die kwantumwereld. Wat weten
we er van?
1.3 De basis 2
Op school hebben we een prachtig boekje 'Samengevat' waarin precies staat wat je voor het
examen moet weten. Kijken we daar even in wat we over atoompjes etc. horen te weten:
8 atoomfysica
atoommodel (Rutherford, Bohr)
atoom is opgebouwd uit
kern
bestaat uit protonen en neutronen
lading is positief wordt bepaald door
aantal protonen
afmeting is zeer klein in verhouding tot
afmeting van atoom
elektronen bewegen om de kern heen in bepáálde
(cirkel)banen
lading is negatief
afmeting is zeer klein in verhouding tot de kern
mogelijke banen
K-schil dichtst bij kern; plaats voor 2*12 = 2 elektronen
L-schil is grotere baan; plaats voor 2*22 = 8 elektronen
M-schil nog grotere baan; plaats voor 2*32 = 18 elektronen
N-schil etc.
schillen corresponderen met energieniveaus de energie van het elektron (Uk+Up)
is kleiner naarmate de baan dichter bij de kern ligt; indien de energie in het
oneindige nul wordt gesteld krijg je zo negatieve energieën.
merk op
atoommodel is verouderd nieuwe modellen werken met s, p, d en f schillen etc.; elektronen zijn geen
'bolletjes', maar hebben ruimtelijke strukturen.
een atoom is voor het merendeel lege ruimte de kern is een factor 10.000 kleiner dan het atoom.
Figuur 2: een halve bladzijde uit Samengevat Natuurkunde. Illustratie uit eigen productie.
Het gaat zo nog wel een paar bladzijden door, maar dit is het atoommodel zoals je het moet weten
aan het eind van de 6e klas. We zien in dit overzicht behoorlijk wat interessants; atomen schijnen
te zijn opgebouwd uit een kern en daar omheen bewegen elektronen. De kern is heel erg klein en
elektronen draaien er omheen op relatief enorme afstand rondjes. De kern zelf bestaat ook nog uit
verschillende onderdelen, protonen en neutronen. Dat brengt alle deeltjes die wel kennen op 3:
protonen, neutronen en elektronen. Ik moet overigens opmerken dat dit een verouderde versie van
Samengevat uit 1995; er zijn enkele correcties gemaakt in de 2 opvolgende latere versies.
Nog iets leuks is op te merken: iedereen kent de elektrische kracht, die zorgt ervoor dat
gelijksoortige elektrische ladingen elkaar afstoten, en ongelijksoortige elkaar aantrekken.
Ditzelfde is waar voor magnetische krachten, en hoe toevallig, deze krachten bij elkaar noemen
we de elektromagnetische kracht. Maar, in de kern bijvoorbeeld zitten protonen, met allemaal
dezelfde lading (1 eenheidslading positief). Gelijksoortige ladingen stoten elkaar af. Waarom
exploderen die kernen dan niet? Blijkbaar doen die neutronen iets dat de kern bij elkaar houdt. De
kracht die de kern bij elkaar houdt noemen we de sterke kernkracht.
Erg veel structuur lijkt er niet in te zitten tot nu toe. We zijn erachter gekomen dat er atomen
bestaan, ze zijn erg klein want je kunt ze niet zomaar zien, en dat ze opgebouwd zijn uit een
aantal deeltjes. Ze worden bij elkaar gehouden door een paar krachten. Is hier ook structuur in te
brengen?
1.4 Ja hoor, het standaardmodel!
Het standaardmodel beschrijft nou precies zo'n systematiek. Zoals een hoop modellen is het
standaardmodel opgebouwd uit theorieën en hun symmetrieën1.
De theorie geeft aan dat er twee soorten fundamentele deeltjes zijn, quarks en leptonen. Met
fundamenteel bedoelen we zonder enige interne structuur, de basis van alles. Er bestaan maar
enkele soorten quarks en leptonen, dit zal ik kort behandelen.
1.5 Quarks
Quarks zijn de eerste groep van fundamentele deeltjes. Wat quarks zijn? Als we afdalen in het
atoom zoals we dat kennen, een kern bestaande uit protonen en neutronen met elektronen
eromheen zwermend, en we zouden de kern eruit lichten, dan zouden we zien dat elk van de
protonen en neutronen weer bestaat uit 3 kleinere
deeltjes; die deeltjes zijn quarks en zijn
fundamenteel. Kijk, zo heel erg klein zijn die
fundamentele deeltjes nou ook weer niet2!
Quarks zijn verkrijgbaar in zes verschillende
smaken, onder te verdelen in 3 families (die ‘bij
elkaar horen’ wat zich uit in onder andere
vergelijkbare massa’s). Dit zijn ze:
Soort
Up
Down
Top
Bottom
Charm
Strange
symbool
u
d
t
b
c
s
massa (GeV)
4*10^-3
7*10^-3
178
4.7
1.5
0.15
Lading (e)
+⅔
-⅓
+⅔
-⅓
+⅔
-⅓
(boven) Figuur 3: de interne
structuur van nucleonen.
(links) Figuur 4: tabel van
quarks. [antideeltjes voor de
overzichtelijkheid weggelaten]
We zien direct een paar opvallende dingen. Ten eerste zijn de families redelijk makkelijk te
onderscheiden: aan massa alleen al zie je dat er paren worden gevormd van om en om positief en
negatief geladen quarks (te weten: u+d, t+b, c+s). Er zijn twee families te onderscheiden van elk
drie typen quarks, de up, down en strange quarks die het eerste waren ontdekt (de lichtste quarks,
lichte deeltjes zijn het makkelijkst te vinden met deeltjesversnellers) en de top, bottom en charm
quarks die later werd ontdekt toen versnellers meer energie in deeltjes konden proppen en zo
zwaardere deeltjes konden ontdekken. Tot zover het opsommen van feitjes over de quarks, wat
doen ze nou?
Zoals ik al zei, zijn quarks de elementen van een neutron of proton. De lading van quarks is plus
tweederde of min éénderde, maar helaas, alle hadronen (deeltjes samengesteld uit meerdere
quarks) hebben geheeltallige ladingen. Om ons met atomen bezig te blijven houden, neutronen
hebben geen lading (lading 0) en protonen hebben de lading +1. Dat is precies waarom neutronen
bestaan uit twee downquarks en één upquark [-⅓-⅓+⅔=0], en protonen uit twee upquarks en één
1
Symmetrieën: Het is niet meer dan logisch om aan te nemen dat als een getal 1 en -1 bestaat, dat als er een getal 2 bestaat, dat getal
ook negatief bestaat. Hetzelfde zo in het standaardmodel, als er een bepaald deeltje bestaat, dat tot een familie behoort waarin zowel
deeltjes als antideeltjes bestaan, is het niet meer dan logisch te veronderstellen dat dat nieuwe deeltje ook een antideeltje heeft. Vaak
kun je dan zelfs de massa en andere eigenschappen simpel uitrekenen. Niet alle symmetrieën zijn zo makkelijk, maar een groot deel
van het niet-experimenteel bewezen deel van de kwantummechanica is met dit soort symmetrieën tot stand gekomen.
2
Ach, maar in de richting van 10-16 meter, dat is tienmiljoen miljardste meter….
downquark [+⅔+⅔-⅓=1]. Zo zijn er veel meer hadronen, allemaal bestaande uit 2 of 3 quarks
bijeengepakt, er zijn zelfs aanwijzingen voor hadronen die bestaan uit 5 quarks.
Als laatste moet ik opmerken dat het standaardmodel, die deze deeltjes definieert, voorschrijft dat
elk deeltje zijn antideeltje heeft, betekenende een deeltje dat dezelfde massa heeft, maar
tegengestelde lading (en natuurlijk een ander symbool). Zo krijg je dus onder andere anti-up, antitop en anti-charm quarks. Dat het Standaardmodel dit voorschrijft heeft ermee te maken dat de
meeste theorieën in natuur- en wiskunde zijn gebaseerd op symmetrieën, wat ik in de vorige
paragraaf heb uitgelegd.
Maar in een atoom zaten toch ook andere deeltjes? Elektronen waren het toch hè? En waar blijven
die andere fundamentele deeltjes, de leptonen? Wat doet dat kopje ‘Leptonen’ hieronder?
1.6 Leptonen
That’s right, elektronen en leptonen hebben wat met elkaar te maken. Leptonen zijn namelijk die
andere groep fundamentele deeltjes, dus deeltjes zonder interne structuur. In tegenstelling tot
quarks, zijn leptonen wel vrij in de natuur te vinden, en hebben dus ook geheeltallige ladingen. Er
zijn drie geladen leptonen in de natuur te vinden, alle drie lijken ze erg op (sterker nog, één ervan
IS) het elektron. Er zijn nog 3 andere leptonen, met zeer kleine massa en geen lading, die elk
corresponderen met één van de geladen, massale leptonen, en deze drie andere deeltjes noemen
we neutrino’s. Hier een tabel van leptonen:
Soort
Elektron
Positron
Elektronneutrino
Muon
Muonneutrino
Tau
Tauneutrino
symbool massa (MeV)
e0.511
e+
0.511
e
<2*10^-3

106.6

<3*10^-4

1.784
 <4*10^2
Lading (e)
-1
+1
0
-1
0
-1
0
Figuur 5 : leptonen. Noot bij de tabel: alle antideeltjes zijn weggelaten, behalve het positron; dit ter illustratie van
antideeltjes, en omdat het positron een zeer veelvoorkomend deeltje is.
Eén van de leptonen is het elektron en hoe toevallig, die hebben we nodig voor dit
profielwerkstuk. Het zijn immers de elektronen die tunnelen. Laten we ze eens van dichterbij
bestuderen.
1.7 Het elektron
Het elektron is het belangrijkste lepton voor ons, gezien het zorgt voor onder andere chemie,
elektriciteit en dus het leven. Maar hoe gaat dat in zijn werk?
Over het algemeen vinden we elektronen niet los rondzwevend in de ruimte, maar gebonden in
atomen. Als elektronen in atomen ‘gevangen’ zitten, zwermen ze niet at random ergens in de
buurt van een kern rond, hier zit systeem in. Een hoop mensen noemen het systeem het
schillenmodel, maar later zal ik uitleggen dat dit niet de meest accurate beschrijving is.
De elektronen worden door de elektromagnetische kracht (zie katern Standaardmodel) aan de
kern gebonden. Er bestaat een regel, de uitsluitingsregel van Pauli, die zegt dat elektronen (in een
atoom) niet dezelfde staat mogen hebben. De staat is niet alleen de plek van het elektron, maar
ook andere eigenschappen, of kwantumgetallen van het elektron. Een elektron wordt in een atoom
dus niet enkel beschreven door de eigenschappen massa en lading, maar ook door spin s, l, en ml
en hoofdniveau n. Al deze eigenschappen kunnen bepaalde waarden aannemen, afhankelijk van
waar het elektron zich bevindt.
Een elektron kan rond een atoomkern op verschillende energieniveaus zitten. Deze kunnen we
indelen in hoofdenergieniveaus en subenergieniveaus. Een hoofdenergieniveau geven we de letter
n en n kan alles van 1 tot en met 7 zijn. Het kwantumgetal l geeft dan aan welke subniveaus er
zijn; l kan waarden aannemen van 0 tot n-1, dus bij het eerste hoofdniveau, n=1 kan l maar 1
waarde hebben, namelijk 0. Dan is er nog een derde eigenschap van het elektron, het magnetisch
moment ml dat waarden tussen –l en +l kan aannemen. Elk elektron kan tot slot nog spin s=-½of
s=+½ hebben, waarmee we voor de eerste 3 hoofdniveaus tot deze elektronenverdeling komen:
n (hoofdniveau)
n=1
l (0…n-1)
l=0
ml (-l…+l)
m=0
n=2
l=0
m=0
l=1
m=-1
m=0
m=1
n=3
l=0
l=1
Figuur 6
Elektronenverdeling in kwantumgetallen.
l=2
m=0
m=-1
m=0
m=1
m=-2
m=-1
m=0
m=1
m=2
s (-½ || +½)
s=-½
s=+½
s=-½
s=+½
s=-½
s=+½
s=-½
s=+½
s=-½
s=+½
s=-½ of +½
s=-½ of +½
s=-½ of +½
s=-½ of +½
s=-½ of +½
s=-½ of +½
s=-½ of +½
s=-½ of +½
s=-½ of +½
schil-’naam’
s (l=0)
s (l=0)
p (l=1)
s (l=0)
p (l=1)
d (l=2)
Figuur 7
De elektronen
verdeeld over s,p,d
en f schillen bij
Astaat (At). De
getallen rechts staan
voor de ionisatieenergieën. Duidelijk
is te zien dat de
daadwerkelijke
energieniveaus
anders lopen dan de
schillenverdeling.
En zo gaat het maar door. Achter de kwantumgetallen van elektronen in een atoom heb ik nog
wat gezet: ‘schilnaam’. Dit is een ander woord voor de naam van het subenergieniveau waarin
een elektron zit, en dat subenergieniveau is afhankelijk van de waarde van l. De eerste vier letters
staan voor de oudere benamingen sharp, principal, diffuse en fundamental. Er zijn 7 waarden van
n, dus n-1=6 waarden van l mogelijk, plus l=0, deze 4 letters beschrijven dus niet alle l-niveaus;
na s,p,d,f gaat het alfabetisch door met g,h,i.
Zoals in de tabel (en met een beetje extra logisch nadenken) is af te lezen, gaan er in elk
hoofdniveau een vastgesteld aantal elektronen; in n=1 gaan 2 elektronen, in n=2 gaan 8
elektronen, in n=3 gaan er 18. Hier zit een wetmatigheid in; in elk hoofdniveau gaan 2n2
elektronen.
Hier heb je alleen niks aan. Wat is namelijk het geval? De elektronen vullen niet netjes de
energieniveaus op. Het eerste hoofdenergieniveau wordt al wel netjes opgevuld, het tweede ook,
maar bij de derde begint hij vreemd te doen. De elektronen beginnen namelijk na de 3p-orbitalen
(dus het subniveau p bij n=3) de 4s orbitalen op te vullen. Maar voor de 4s orbitalen komen toch
de 3d orbitalen nog?? Hoe kan dit? Het simpele feit is, dat dat schillenmodel niet netjes te werk
gaat; elektronen proberen in het laagst mogelijke energieniveau te zitten, en dat is niet persé de
laagst genoteerde orbitaal. Anders gezegd, elektronen in een 3d-orbitaal zijn energierijker dan
elektronen in een 4s-orbitaal. Energieniveaus zijn niet netjes geordend, maar lopen door elkaar
zoals weergegeven in figuur X.
Waarom gebruiken we, als de volgorde niet eens klopt, dan überhaupt orbitalen en niet gewoon
energieniveaus (elektron 1 10eV, elektron2 28eV....)? Ik noem ze nou wel de hele tijd orbitalen,
maar waarom dan?
Elektronen draaien niet om atoomkernen. Helaas, het zou een stuk makkelijker zijn geweest als ze
dat wel zouden doen, dan zou ik gewoon één alineaatje klassieke mechanica kunnen gebruiken
om alles over elektronen uit te leggen, klaar. Nee, elektronen cirkelen niet. Ze bewegen strikt
genomen niet eens. Wat zeg je daar?
Elektronen behoren tot de kwantummechanische wereld en daarom voldoen ze niet aan de wetten
van het grote. Er bestaat bijvoorbeeld geen zekerheid over waar een kwantummechanisch deeltje
zich bevindt, en als je dat wel zou weten, zou je niet weten welke snelheid hij heeft en waar hij
naartoe gaat. Anders gezegd, er is een fundamentele onzekerheid over de plaats en impuls van
een deeltje, die heet het onzekerheidsprincipe van Heisenberg, en er zo uitziet:
p∙x=ħ
[onzekerheid in impuls maal onzekerheid in plaats = h-streep = h/2]
dus de onzekerheid in impuls maal plaats is een constante, de constante van planck3 gedeeld door
2 maal pi. In een atoom weet je dus ook niet precies waar het elektron zich bevindt. Er is zelfs
nog iets sterkers aan de hand; zelfs al zou je perfecte meetapparatuur hebben, nog kun je nooit
tegelijkertijd precies de impuls en plaats van een deeltje bepalen. Het enige dat je weet is dat het
elektron een waarschijnlijkheid [jawel, waarschijnlijkheid is het tegengestelde van onzekerheid]
heeft ergens te zijn. De waarschijnlijkheidsverdeling van een elektron in een bepaalde orbitaal,
waarbij orbitaal dus geen cirkeltje is maar een veld met mogelijke posities van een elektron, kan
worden berekend en heeft dan een bepaalde vorm. De berekening geschiedt door het oplossen van
schrödingervergelijkingen in bolcoördinaten.
Alle verschillende subenergieniveaus (s,p,d,f,g,h) hebben hun eigen karakteristieke vorm. Dit
wordt in de volgende figuren gedemonstreerd. De s-orbitalen hebben een bolvorm (sferisch)
hoewel het bij grotere waarden van n holle bollen worden waar kleine bolletjes weer in zitten. De
p-orbitalen hebben een dubbele-peervorm en de rest van de orbitalen worden nog meer peertjes
en appeltjes, een ringetje hier en daar, anders gezegd, een ongeordend geordend zootje. Die
3
Constante van planck = 6.626068 × 10-34 m2 kg / s
vormen hangen, zoals eerder geïmpliceerd, af van l. Die vorm kan echter op verschillende
manieren worden geprojecteerd. Zo'n dubbele peer bijvoorbeeld kan langs de x-, y- of z-as
worden geprojecteerd. Dat is nou precies waar dat magnetisch kwantumgetal m zijn werk doet.
Spin s heeft geen invloed op de vorm van de waarschijnlijkheidsverdeling. Alle
waarschijnlijkheidsverdelingen schalen gewoon op naarmate de n groter wordt, n heeft dus
(bijna) geen invloed op de vorm, als wel op de schaal van de orbitalen.
Dit is in het kort (in het katern is een langere versie te vinden) wat het elektron binnen een atoom
voorstelt. Maar wat doet het elektron op een grotere schaal?
Figuur 8: de onzekerheid dpdx kan ook worden samengevat in een dergelijk diagram. Onzekerheid is
volgens dit principe altijd h-streep, als je een plaatsonzekerheid kleiner zou maken door preciezer te
meten, moet alsnog de totale onzekerheid h-streep blijven en dus zal de informatie over impuls
minder precies worden, als je die op hetzelfde moment zou willen meten. Omgekeerd geldt hetzelfde.
In het diagram is ook af te leiden dat als je één grootheid oneindig precies zou meten....dat dan alle
informatie over de ander wordt vernietigd. Door deze fundamentele onzekerheid in meten en weten
noemen we de kwantummechanica dan ook niet-deterministisch, in tegenstelling tot de klassieke mechanica die ons toelaat alles tegelijk oneindig precies te meten.
1.8 Het elektron continued: chemie, kernenergie en losse elektronen
Elektronen willen nogal eens niet netjes in een atoom blijven. Wat er dan gebeurt is essentiëel
voor de wereld die wij zien. Het komt namelijk nogal eens voor dat elektronen in hoge
energieniveaus zitten. Als een elektron een grote energie heeft in een atoom wil dat zeggen dat hij
in een 'hoge' orbitaal zit, en dus 'ver' van de atoomkern zit. Het is dan niet moeilijk om zo'n
elektron weg te halen van het atoom, of in moeilijkere termen, het atoom te ioniseren. Hoe meer
energie het elektron namelijk zelf bezit, hoe minder energie je hoeft toe te voegen om het elektron
weg te ketsen. Nu kunnen er verschillende dingen gebeuren in die buitenste schillen:
1. een elektron kan daadwerkelijk weggeketst worden, dit kan spontaan gebeuren, maar komt
vaker voor als bijvoorbeeld een spanning over een oplossing wordt gezet. Een atoom kan ook het
omgekeerde effect ondervinden, namelijk dat hij elektrisch en wat orbitalen betreft zo gunstig is
ingedeeld, dat hij makkelijk een elektron binnen het atoom erbij trekt. Beide vormen heten
ionisatie.
2. een elektron kan erg ver buiten de kern zitten en zo vermengen met de elektronenwolk van een
naastliggend atoom. Hierdoor kunnen (meerdere) elektronen van verschillende atomen in elkaars
staten zitten (vooral het delen van spin-paren komt veel voor, betekenende dat 2 elektronen zowel
in de buitenste orbitaal van atoom 1 spin -1/2 en spin +1/2 bezitten als in de buitenste orbitaal van
atoom 2) en een zgn. covalente binding vormen. Dit vormt de bouwstenen van het leven, de
moleculen.
in geval 1 zal een zout zich vormen, in geval 2 zullen moleculen ontstaan. In beide gevallen is het
duidelijk dat we te maken hebben met een heel belangrijk deeltje. Er is bijvoorbeeld met geval 1
iets leuks aan de hand; je kunt een atoom 'pellen' door het te ioniseren.
Er is een bepaalde energie nodig
voor een elektron om niet te binden
in een atoom; de ionisatie-energie.
Dat is de totale hoeveelheid energie
bovenop de rustmassa4 waarbij het
7
elektron niet meer door de
elektromagnetische kracht wordt
6
vastgehouden aan de kern.
5
Elektronen in een atoom bezitten al
een bepaalde energie, en kunnen dus
4
door energie toe te voegen op een
niveau worden gebracht waarbij hun
3
energie net iets meer is dan de
2
ionisatie-energie. Door stap voor
stap de elektronen op te laden en
1
weg te schieten van het atoom, pel
je zo alle elektronen van het atoom
0
weg. Dit is geïllustreerd in figuur 9.
Omdat het atoom steeds positiever
elektron
van lading wordt als je elektronen
weghaalt, zal de elektromagnetische
kracht ook sterker tegenwerken naarmate je meer elektronen probeert weg te pellen. Daarom is de
ionisatie-energie niet gelijk bij elk energieniveau, maar neemt toe. Wel is perfect de opbouw van
elektronen in atomen af te lezen!
19
17
15
13
11
9
7
5
3
1
ionisatie-energie [log(MJ/mol)]
Figuur 9: Ionisatie-energieën bij Calcium
(Ca)
Maar kernen kunnen óók leuke dingen doen. Zoals ik al eerder heb verteld, zijn kernen
opgebouwd uit neutronen en protonen, en die op hun beurt weer uit quarks. Fundamentele
deeltjes echter (en ook samengestelde deeltjes, hadronen) kunnen reacties aangaan, net als
moleculen dat kunnen in de chemie. Hierbij gelden ook behoudswetten, zoals behoud van energie
maar vooral ook van kwantumgetallen, dit wordt in het katern uitgebreider behandeld. Quarks
kunnen bijvoorbeeld in andere quarks overgaan. In een neutron bijvoorbeeld zitten 2 down- en 1
upquark. Downquarks zijn massaler (dus, zie voetnoot, energierijker) dan upquarks. Als een
downquark in een neutron vervalt, wat betekent dat zoals moleculen kunnen opsplitsen: hij
verandert in kleinere stukjes, dan zullen er 2 upquarks en 1 downquark overblijven (wat een
proton is), maar nog belangrijker: een hoop extra energie. En die hoeveelheid energie..... die lijkt
belachelijk veel op... een elektron. Jawel, er komt een elektron vrij, samen met wat energie in de
vorm van fotonen. Dit is een typisch geval van kernverval, wat voorkomt bij instabiele kernen die
een neutronenoverschot hebben. Dat elektron is natuurlijk waar we geïnteresseerd in zijn, want
wat doet dat? De kern is vervallen, heeft er een proton bij gekregen en dus... heeft een elektron
extra nodig om het atoom elektrisch neutraal te maken. Maar wat nou als het elektron wegvliegt?
Dan wordt het een...
4
In de kwantummechanica kun je massa en energie door elkaar schrijven; anders gezegd, een deeltje met
massa m heeft energie E=mc2. Dit ook ter referentie aan de tabellen quarks&leptonen.
Vrij elektron. Ons laatste elektronenonderwerp. In een atoom, dit is belangrijk om als onderscheid
te maken, zijn de energieën van het elektron beperkt. Het elektron kan maar een paar, discrete,
gekwantiseerde energietoestanden hebben. Maar als het elektron vrij is, is dat niet zo. Het kan
elke energie hebben die je hem maar wilt geven. Daar zien we dat er een hoop gebeurt. In een
atoom heeft het elektron kwantumgetallen om zijn plaats in het atoom te bevestigen; maar het
gros van die kwantumgetallen heeft met gekwantiseerde energie te maken, en dat bestaat buiten
het atoom niet. Resultaat: Het enige kwantumgetal dat het elektron houdt is spin. Daar begint een
heel nieuw hoofdstuk over het standaardmodel, maar vrees niet, het is het laatste deel van het
Standaardmodel.
1.9 Ongebonden elektronen, goffuncties en kwantumgetallen
Als fundamentele deeltjes, zoals elektronen, zich in vacuüm bevinden hebben ze andere
eigenschappen dan wanneer ze in gebonden toestand in een atoom zitten. Dit is niet
verwonderlijk, immers, zoals we hebben gezien kunnen kwantumgetallen die in atomen gelden
niet van toepassing zijn op elektronen die zomaar rondzweven.
Deeltjes in een ruimte zijn niet puur deeltjes. Hiermee haal ik een oud onderwerp in de
natuurkunde uit de trukendoos. Vroeger was er namelijk een discussie over wat fundamentele
eenheden nou eigenlijk waren, deeltjes of golven? Uit proeven bleek namelijk dat beide mogelijk
waren, dit noemen we de golf-deeltjesdualiteit.
Figuur 11 [boven]: refractie
Figuur 12 [onder]: interferentie
in een waterbak, java-applet
snapshot. Net zichtbaar bovenin is
een aankomende golf die door
twee spleten (zichtbaar als de
bronnen van de golven) worden
gebroken in (halve)cirkelvormige
golven, en dan interfereren.
Als namelijk licht onder een hoek op glas valt, zal het glas
de bundel afbuigen. Dit verschijnsel heet refractie/diffractie
en wordt gebruikt bij bijvoorbeeld lenzen. Maar hoe valt dit
te verklaren? Natuurlijk is het heel verleidelijk om dan te
zeggen: licht bestaat uit een bundel deeltjes, die wordt
afgebogen door de individuele glasmoleculen. Een bewijs
hiervoor zou zijn dat als een bundel deeltjes door langs een
oppervlak gaat, dat de snelheid van het licht in het glas
groter zou zijn dan in lucht, maar ten tijde van deze
waarnemingen en theorieën was er geen mogelijkheid dit te
controleren.
Een ander verschijnsel was dat als (laser)licht op
een scherm met twee spleten werd geschenen,
zolang de spleten even groot of kleiner dan de
golflengte van het licht waren er een
interferentiepatroon op de tegenoverliggende
wand werd gevormd, hetgeen wordt geïllustreerd
in figuur 13. Dit vertoonde erg veel gelijkenis met
proeven met golfbakken, oftewel bakken water
waarin eenzelfde opstelling werd gemaakt (figuur
12). Deze waarnemingen suggereerden dat licht een golfverschijnsel was.
Figuur 12: het interferentiepatroon van licht bij een tweespletenexperiment
Deze proeven zijn met veel meer fundamentele deeltjes te doen, bijvoorbeeld met elektronen,
echter, wat is nou de clou? Zijn het nou deeltjes of golven? Het antwoord is te makkelijk, alle
deeltjes die wij kennen vertonen ook golfgedrag. Elektronen, fotonen, zelfs protonen en
neutronen kunnen golfgedrag vertonen. De golflengte van zon deeltje (het standaardmodel neemt
aan dat alle fundamentele entiteiten deeltjes zijn) is omgekeerd evenredig met zijn energie, dus
 = 1/E-ER
maar beter is om te gebruiken p=h/
waarbij p=impuls (massa maal snelheid) en h=constante van Planck. ‘ER’ is de rustmassa [dus:
‘rustenergie’]. Dit betekent niet alleen dat elektronen en fotonen golfgedrag kunnen vertonen;
zelfs macroscopische lichamen zoals auto’s en werelden vertonen datzelfde golfgedrag. Het enige
waardoor dit golfgedrag niet goed tot uiting komt, is omdat kwantummechanische effecten,
logischerwijs, compleet worden overschaduwd door klassiek-mechanische wetten en enkel bijna
oneindig weinig tot uiting komen. Meer wiskunde hierbij komt in het katern aan bod.
Dus, om terug te komen op de elektronen: In een gesloten ruimte zullen elektronen ook
golfeigenschappen vertonen en als gevolg daarvan niet homogeen over de vrije ruimte verdelen,
maar een waarschijnlijkheidsverdeling vormen die nauw samenhangt met de golffunctie van het
elektron, zoals in een atoom afhankelijk van de energie van een elektron de
waarschijnlijkheidsverdeling ook niet-homogene vormen aanneemt.
2
Elektriciteit
Geschreven door: Rosa Runhardt
Als je meer dan 6 achten op je rapport kun je maar beter ook in het katern kijken
1. Stroom – de klassieke versie
In deze paragraaf geven we u een korte uitleg van wat de klassieke stroom nu eigenlijk is5,
aangezien dit voor sommige onderdelen van het profielwerkstuk belangrijk is om te weten.
Hierbij gaan we niet uit van de verhalen die we in de onderbouw hebben geleerd, aangezien die
niets zeggen over wat stroom nu eigenlijk is. Ons verhaal bouwt in sommige gevallen op de
informatie die we in het hoofdstuk “Het Standaardmodel” hebben gegeven.
1.1.
Het vrij maken van elektronen
Zoals u in het hoofdstuk “Het standaardmodel” heeft kunnen lezen, bestaan materialen
uit atomen. Atomen bestaan uit een kern, waaromheen elektronen in een baan gelegen
zijn. Deze elektronen kunnen vrijgemaakt worden uit een atoom – het atoom wordt dan
geïoniseerd. Om dit te doen moet er voldoende energie aan het atoom worden gegeven
om het elektron in een hogere energiebaan te brengen. Als een elektron vrijgemaakt is,
noemen we dit atoom een (positief geladen) ion.
1.2.
Vrije elektronen
Hoeveel elektronen er vrijgemaakt zijn door ionisatie hangt van de hoeveelheid energie
af die aan het materiaal gegeven is, maar ook aan de structuur van het materiaal.
Sommige materialen, die geleiders worden genoemd, hebben bij kamertemperatuur een
heleboel vrije elektronen. De structuur van dit materiaal is zodanig dat de elektronen
losjes aan het atoom gebonden zijn in de buitenste banen. Deze buitenste elektronen
breken vaak los van het atoom door een toename in energie en drijven dan vrij door het
materiaal heen. De weg die de elektronen afleggen is van te voren niet te bepalen.
Daarom noemen we dit random drift. Andere materialen, die isolatoren worden
genoemd, hebben relatief gezien juist weinig vrije elektronen. Ook hier vindt random
drift in plaats, zij het veel minder.
1.3.
Directed drift
Elektronen zijn negatief geladen en hebben dus een negatief z
geladen veld om zich heen, het elektrostatisch veld. Ieder
geladen lichaam heeft zo’n veld. Door dit veld stoten
lichamen elkaar af als ze eenzelfde lading hebben (allebei
negatief of allebei positief) en trekken ze elkaar aan als ze
een verschillende lading hebben. Een elektron doet precies
hetzelfde als het in contact komt met een ander geladen
lichaam. Het wordt afgestoten door een negatieve lading en
aangetrokken door een positieve. Als we aan een geleider
een verschil in lading geven tussen bepaalde punten,
waardoor het ene deel negatief geladen is ten opzichte van
het andere (een zogenaamd potentiaalverschil) dan zullen de
vrije elektronen zich dan ook gaan bewegen naar het
positief geladen deel (zie figuur). Hierbij is de weg die het elektron aflegt dus wel van te
voren te bepalen, en daarom noemen we dit directed drift.
Hoewel de gedwongen beweging van de elektronen
plaatsvindt met een lage snelheid, is het effect van deze
beweging wel direct merkbaar. Als we een
5
In paragraaf twee zullen we vervolgens ingaan op stroom door draden van één atoom dik.
potentiaalverschil aanleggen tussen twee punten van de geleider, trekt de positieve kant
(van bijvoorbeeld de batterij) elektronen vanaf punt A aan. Dan is er een tekort aan
elektronen op punt A. Elektronen worden dan vanaf punt B aangetrokken door punt A.
Dit effect herhaalt zich door de hele geleider heen. (zie figuur)
Op hetzelfde moment dat de pluspool (het positieve gedeelte) elektronen van punt A
begint aan te trekken, stoot de minpool (het negatieve gedeelte) elektronen af naar punt
D. Punt D trekt op nieuw elektronen aan, als hij elektronen aan punt C heeft afgestaan.
Dit proces gaat net zo lang door als het potentiaalverschil in stand blijft.
Hoewel individuele elektronen zich dus niet ontzettend snel door de geleider bewegen,
vindt de directed drift ogenblikkelijk plaats; terwijl een elektron in punt D aankomt,
vertrekt er een in punt A. Dit proces vindt plaats met ongeveer de snelheid van het licht.
1.4.
Stroom
(Elektrische) stroom is gedefinieerd als de gedwongen beweging die elektronen maken.
Daarom is directed drift niets anders dan stroom. We zullen vanaf dit punt dan ook de
term stroom gebruiken, in plaats van directed drift, omdat dat de gebruikelijke
terminologie is.
De sterkte van de stroom in een geleider is afhankelijk van de hoeveelheid energie die
op door de geleider beweegt. Er ontstaat een sterkere stroom als er meer elektronen door
de geleider bewegen, of als ze meer energie bezitten. Als er een geleider een
potentiaalverschil bevat, zoals we ook in de vorige paragraaf besproken, bewegen de
vrije elektronen sneller. Hierdoor zijn ze ook energierijker. (Ook komen er meer vrije
elektronen, dus meer energiedragers, maar dit aantal extra vrije elektronen is meestal
verwaarloosbaar). Daarom zouden we kunnen zeggen dat de sterkte van de stroom
vooral afhangt van de snelheid van de vrije elektronen.
Hoe sterker het potentiaalverschil, hoe sterker de stroom. Dit is gemakkelijk te bevatten;
hoe sterker het potentiaalverschil, hoe sterker het elektrostatisch veld dat de elektronen
aantrekt, hoe meer energie de vrije elektronen krijgen en dus ook hoe sterker de stroom.
Voor een zwakker potentiaalverschil geldt vanzelfsprekend het omgekeerde effect.
1.4.1. Het meten van stroom
Afgesproken is dat de ampère de eenheid voor de sterkte van stroom is. 1 ampère
staat gelijk aan 1 coulomb6 energie die door een bepaald punt in de geleider gaat in
1 seconde.
1.5.
6
Weerstand
De gedwongen beweging van vrije elektronen is niet in elk materiaal even gemakkelijk.
Stroom loopt dus niet door elk materiaal even gemakkelijk. De mate waarin elektronen
tegen gehouden worden door het materiaal noemen we de weerstand (R) van dat
materiaal. De eenheid van weerstand is de Ohm ().7 De weerstand van een bepaald
materiaal wordt gedeeltelijk bepaald door de hoeveelheid vrije elektronen binnen het
materiaal. Omdat minder vrije elektronen een afname in stroom betekenen, is het logisch
te concluderen dat de weerstand van een materiaal groter is wanneer zich in dat
materiaal minder vrije elektronen bevinden. De weerstand van een materiaal hangt dus
af van de soort van het materiaal (haar atomaire structuur), maar ook van de afmetingen
van het materiaal en de temperatuur.
1 Coulomb staat gelijk aan de lading van 6,28 * 1018 elektronen
1 Ohm is de weerstand die een kwikkolom met een doorsnede-oppervlak van één vierkante millimeter en
een lengte van 106,3 centimeter biedt bij 0 graden Celsius.
7
1.5.1. Atomaire structuur
Aangezien, zoals we in paragraaf 1.5 behandelden, de hoeveelheid vrije elektronen
gedeeltelijk de weerstand bepaalt, en de hoeveelheid vrije elektronen afhangt van de
atomaire structuur, hebben niet alle geleiders dezelfde weerstand.
De meeste metalen hebben een lage weerstand en zijn dus goed geschikt om stroom
te geleiden. Dit komt omdat (de meeste) metalen een kristalstructuur hebben en
haar atomen ook sterk gebonden zijn in dit metaalrooster.
De atomen van de metalen liggen zo dicht tegen
elkaar dat de elektronen in de buitenste schil van
het atoom zowel als een deel van het ene atoom als
van zijn buurman beschouwd kunnen worden (zie
figuur A). Het resultaat hiervan is dat de kracht die
één enkele atoomkern uitoefent op dit elektron verwaarloosbaar is. Afhankelijk van
de soort metaal bevinden zich één, twee of soms zelfs drie elektronen zich in deze
staat. In dit geval is het toevoeren van een klein beetje energie aan een elektron in
de buitenste schil al genoeg om deze vrij te laten komen van de aantrekkingskracht
van de atoomkern. Bij kamertemperatuur hebben deze metalen dus een hoop vrije
elektronen en zijn dus ook goede geleiders.
Hun weerstand is laag.8
Als de atomen binnen een materiaal verder uit
elkaar liggen (zie figuur B), dan worden de
elektronen in de buitenste schil niet even sterk
aangetrokken door verschillende atoomkernen
als ze hun baan om de atoomkern maken. Ze
worden alleen aangetrokken door de
atoomkern van hun eigen atoom. Daarom kost het meer energie om deze elektronen
vrij te maken uit hun baan. Dit soort materialen zijn slechte geleiders en hebben dus
een hoge weerstand.
1.5.2. Afmetingen van het materiaal
De oppervlakte van de doorsnede van het materiaal bepaalt de grootte van de
weerstand aanzienlijk. Als de oppervlakte groter is, is er een grotere hoeveelheid
elektronen beschikbaar voor de gedwongen beweging door de geleider. Daarom
loopt er een sterkere stroom bij hetzelfde potentiaalverschil. Hieruit kunnen we
opmaken dat bij een groter oppervlak van de doorsnede een lagere weerstand hoort.
Dus is de weerstand van een geleider omgekeerd evenredig aan de oppervlakte van
de doorsnede. In hoofdstuk X gaan we verder in op afmetingen van het materiaal
als we metaaldraden van 1 atoom dik bespreken.
De lengte van een geleider is ook een bepalende factor bij het bepalen van de
weerstand van die geleider. Als de lengte van de geleider langer is, verliezen de
vrije elektronen meer energie in de vorm van warmte wanneer ze van atoom naar
atoom bewegen. De stroom door de geleider gaat ten koste van dit energieverlies.
Omdat de stroom afneemt, kunnen we dus zeggen dat een langere geleider een
grotere weerstand heeft. De weerstand van een geleider is dus omgekeerd evenredig
met de lengte van die geleider.
8
Dit is bijvoorbeeld het geval bij zilver, goud en aluminium. We gebruiken echter meestal liever koper in
stroomdraden, omdat koper goedkoper is. Als het gewicht van de draden veel uitmaakt, gebruiken we
aluminium.
1.5.3. De temperatuur
Afhankelijk van het materiaal heeft de temperatuur een positief of een negatief
effect op de weerstand van dit materiaal. Hoeveel de temperatuur de weerstand
beïnvloedt, wordt uitgedrukt in het temperatuurcoëfficiënt, de verandering van de
weerstand per eenheid van temperatuur. De materialen met een positief
temperatuurcoëfficiënt krijgen een hogere weerstand als de temperatuur stijgt. Dit is
het geval bij de meeste geleiders die we in stroomkringen gebruiken. De materialen
met een negatief temperatuurcoëfficiënt krijgen een lagere weerstand als de
temperatuur stijgt. Dit is het geval bij het vaak gebruikte materiaal koolstof. Het is
ook mogelijk dat een materiaal een nulwaardig temperatuurcoëfficiënt heeft, en dat
wil dus zeggen dat de temperatuur op dit materiaal een verwaarloosbare invloed
heeft. Dit is het geval bij constantaan.
1.6.
Geleiding9
Hoewel weerstand de meest gebruikelijke term is om te vertellen hoe goed vrije
elektronen zich door een materiaal kunnen bewegen, zou je ook kunnen spreken van
geleiding in plaats van weerstand. Logischer wijs is de grootte van de weerstand van een
materiaal omgekeerd evenredig met de grootte van de geleiding van dat materiaal.
Eerst gaf men de mate van geleiding aan met de letter G (Mho, het omgekeerde van
Ohm). Recentelijk, althans, zo zegt “Integrated Publishing”, een website met veel
wetenschappelijke uitleg, is dit Siemens geworden, met de letter S. (Persoonlijk vind ik
Mho leuker, want bij Siemens krijg ik het gevoel dat ik mijn kleding eens moet wassen)
Dan nu, voor de liefhebber, een kleine formule die alleen maar nogmaals uitdrukt dat
weerstand omgekeerd evenredig is aan geleiding.
1
1
R=—,G=—
G
R
2. Stroom door draden van één atoomlengte in doorsnede – een simpel verhaal over fondue
In Leiden zijn met de rastertunnelmicroscoop, die wij in één van de latere hoofdstukken zullen
bespreken, metaaldraden gemaakt met een doorsnede van één atoomlengte. We gaan hier verder
niet in op de manier waarop dit gedaan werd. We beperken ons tot een infantiele voorstelling: de
draden die je trekken kan uit kaasfondue. Stel je voor dat we een draadje kaas trekken. Die wordt
dan steeds dunner. Stel je nu voor dat je, in een wetenschappelijke bui, kwantummechanische
metaalfondue hebt gemaakt voor je artificiële gasten, in plaats van kaasfondue. Stel je voor dat
we daaruit een draadje metaal trekken. Die wordt dan ook steeds dunner. Wat gebeurt er met de
weerstand, als we dit draadje onder stroom zetten en tegelijk steeds dunner maken?
2.1 Geleiding in een plaatje
Experimenteel is vastgesteld dat de elektrische weerstand bij het dunner worden van het
draadje toeneemt en de elektrische geleiding dus afneemt (1/R = G, weet u nog?). Dit kan
u zien in het onderstaande plaatje.
<plaatje blz. 61 lapptopboek>
9
Meer informatie over geleiders is te vinden in paragraaf X.X in de bijlage, hoofdstuk “Het
Standaardmodel”.
Langs de horizontale as is de afstand genomen die de naald van de
rastertunnelmicroscoop heeft ten opzichte van het metaaloppervlak. De dikte van de
draad is hiervan afhankelijk. Langs de verticale as is de mate van geleiding uitgezet.
2.1.1 Bijzonderheden aan het plaatje toegelicht – de trapsgewijze afname
Zoals u kan zien neemt de geleiding van de draad af in stappen. We kunnen dit verklaren
door aan te nemen dat voordat de draad dunner wordt, we de atomen op de goede plek
moeten trekken. Hiervoor moet de naald iets verder van het oppervlak gaan, voordat de
atomen zich op nieuw hebben gerangschikt draad daadwerkelijk dunner is. Als de draad
weer iets dunner is geworden, neemt de geleiding af en begint het proces op nieuw. De
mate van geleiding hangt, behalve van de soort metaal, ook af van de verschillende
draden. De atomen rangschikken zich niet steeds gelijk, dat wil zeggen, ze komen niet
steeds op dezelfde plek terecht, dus iedere draad is weer verschillend.
2.1.2 Bijzonderheden aan het plaatje toegelicht – de laatste trede
Toch is er één overeenkomst tussen alle draden die op deze manier gemaakt zijn. De
laatste trede van de trap, de laatste afname van de geleiding, is altijd vanaf eenzelfde
niveau. De geleiding van goud bijvoorbeeld is hier altijd gelijk aan ongeveer 1/12,9*10^3
Mho. Daarom is het redelijk om aan te nemen dat deze laatste mate van geleiding hoort
bij een draad met de dikte van één atoomlengte – immers, als er maar één atoom op een
bepaalde plek in de draad is, is er ook geen andere manier van rangschikken voor dit
atoom.
Wat verder bijzonder is aan de laatste trede, is dat het hier langer duurt voordat de
geleiding helemaal 0 geworden is, dat wil zeggen, de naald van de STM moet verder van
het oppervlak van het metaal verwijderd zijn voordat de draad knapt. De geleiding blijft
dus gelijk, maar de atomen rangschikken wel – anders bleef de naald immers steken.
Daarom nemen we aan dat het gedeelte van de draad waar de doorsnede één atoom dik is,
langer wordt. Op een ingenieuze manier hebben de wetenschappers bepaald dat dit
gedeelte wel acht atomen lang kan zijn, voordat hij knapt.
2.1.3 De verklaring van de bizarre eigenschappen van het dunste draadje
Maar hoe kan dit draadje nu acht keer zo lang worden, maar toch dezelfde geleiding
houden? Zegt de wet van Ohm ons niet dat de weerstand van een draad evenredig is aan
zijn lengte? Dit is een redelijke vraag die beantwoord kan worden als we nog eens nader
kijken naar waarom de weerstand afhankelijk is van de lengte van de draad.
Dit hebben we in paragraaf 1.5.2 al behandeld: “De lengte van een geleider is ook een
bepalende factor bij het bepalen van de weerstand van die geleider. Als de lengte van de
geleider langer is, verliezen de vrije elektronen meer energie in de vorm van warmte
wanneer ze van atoom naar atoom bewegen. De stroom door de geleider gaat ten koste
van dit energieverlies. Omdat de stroom afneemt, kunnen we dus zeggen dat een langere
geleider een grotere weerstand heeft.”
De elektronen verliezen hun energie omdat ze op onzuiverheden in een draad botsen en
daardoor gehinderd worden. Ze hebben hun snelheid verloren en moeten dus op nieuw
versneld worden. Dit kost energie, en dus zorgen deze onzuiverheden er voor dat de
stroom afneemt.
Nu gaan we terug naar ons ontzettend dunne draadje, waar we ons afvragen: als de
geleiding gelijk blijft, en de stroom dus niet afneemt, hoe kan dit dan? Logischerwijs
komen we op het feit dat een draad die bestaat uit acht atomen, als een kralenketting
achter elkaar gerangschikt, geen onzuiverheden kan bevatten. Hoe lang de draad dus ook
is, er verandert niets aan zijn geleiding. Dat is pas zo als er méér atomen in het spel zijn.