Elementaire Deeltjes Fysica - Theoretical High

Elementaire Deeltjes Fysica
M. de Roo
Instituut voor Theoretische Natuurkunde
Rijksuniversiteit Groningen
Nijenborgh 4, 9747 AG Groningen
Reprinted November 2004
Inhoudsopgave
1
1.
Inleiding
2.
2.1.
2.2.
2.3.
2.4.
Symmetrie
N reële scalaire velden
Locale symmetrie in QED
Yang-Mills theorie
Locale ijkinvariantie en de stroom
6
6
10
12
15
3.
3.1.
3.2.
3.3.
3.4.
Zwakke interacties
Het zwakke verval van het muon en het V–A model
De zwakke interacties en pariteit
Het gedrag van het Fermi model bij hoge energie
Het massieve vectorveld
17
17
18
20
21
4.
4.1.
4.2.
Het GSW-model: zwakke interacties van leptonen
De symmetrie van de zwakke interacties
Zwakke interacties en locale symmetrie
23
23
26
5.
5.1.
5.2.
5.3.
Het GSW-model: de massa van ijkvelden en fermionen
De stelling van Goldstone
Het Higgs-mechanisme
Massa in het GSW-model
31
31
33
36
6.
6.1.
6.2.
Het GSW-model: quarks en de zwakke interacties
De eerste generatie
Meer dan een generatie quarks en leptonen
40
40
42
7.
7.1.
7.2.
7.3.
7.4.
Quantisatie van Yang-Mills theorie
IJkbrekende termen in de padintegraal
De Faddeev-Popov ghost velden
Feynman regels voor Yang-Mills velden
De vacuumpolarisatie van het Yang-Mills veld
47
47
52
55
56
8.
8.1.
8.2.
8.3.
Het GSW-model: experimentele consequenties
De W - en Z-bosonen
Het Higgs-deeltje
De top-quark
60
60
61
63
2
9.
9.1.
9.2.
9.3.
9.4.
Sterke interacties en quarks
Nucleonen en pionen: isospin
Vreemdheid, SU(3) en quarks
Experimentele aanwijzingen voor quarks: ep-verstrooiing
Experimentele aanwijzingen voor kleur
66
66
68
70
74
10.
10.1.
10.2.
10.3.
10.4.
10.5.
Quantum Chromo Dynamica
Sterke interacties als ijktheorie
Renormalisatie en countertermen: een voorbeeld
Green functies en asymptotische vrijheid
De β-functie voor φ4 theorie
De β-functie in Yang-Mills theorie
77
77
79
83
87
89
11.
11.1.
11.2.
11.3.
11.4.
11.5.
Unificatie
Motivatie
De SU(5)-structuur
De ijkvelden en de koppelingsconstante
Het protonverval
De effectieve koppelingsconstanten
95
95
96
100
103
105
A.
A.1.
A.2.
Appendix: Groepentheorie
Lie-groepen en Lie-algebras
Representaties
110
110
112
B.
Appendix: Het complete GSW-model
116
Referenties
119
3
1
Inleiding
In dit college zullen we een aantal aspecten van elementaire deeltjes en hun interacties behandelen. In het curriculum zijn ook andere colleges over dit onderwerp
opgenomen. “Elementaire Deeltjes Fysica” onderscheidt zich van die andere colleges doordat gebruik gemaakt wordt van de quantumveldentheorie. Deze theorie
vormt de basis van ons begrip van de interacties tussen elementaire deeltjes, zowel
in het geval van de electromagnetische interacties als in dat van de sterke en zwakke
wisselwerkingen.
Bij het college Quantumveldentheorie [1] ligt de nadruk op de quantum electrodynamica (QED), de theorie die de electromagnetische wisselwerking tussen geladen
spin-1/2 deeltjes beschrijft. De nadruk bij dit college zal liggen op de zwakke interactie, verantwoordelijk voor β-verval van kernen (en vele andere processen), en
de sterke interacties, die de deeltjes in de kern (het proton en neutron) bij elkaar
houden. Een vierde interactie is de zwaartekracht, deze zal in dit college slechts
terloops aan de orde komen.
De quantumveldentheorie gaat ervan uit dat de elementaire deeltjes puntdeeltjes
zijn, dat wil zeggen, geen voor ons waarneembare structuur hebben. Elementair
is daarom een tijdafhankelijk begrip – de elementaire deeltjes van 20 jaar geleden
zijn, voor een deel, niet elementair gebleken. Zo blijken de vele sterk wisselwerkende
deeltjes te zijn opgebouwd uit quarks, die we nu (nog) elementair noemen.
Welke zijn dan, volgens onze huidige inzichten, de elementaire deeltjes? We
maken een onderverdeling in materiedeeltjes, en in ijkdeeltjes. De ijkdeeltjes zijn
verantwoordelijk zijn voor de krachten tussen de materiedeeltjes, waaruit letterlijk
de materie is opgebouwd. Eigenschappen van de bekende ijkdeeltjes zijn gegeven
in Tabel 1.1.
massa (GeV/c2 )
lading
0
0
zwak
Z0
80.22 ± 0.26
±1
zwak
0
gluonen (Aaµ , a = 1, . . . 8)
91.187 ± 0.007
sterk
0
0
graviton
zwaartekracht
0
0
deeltje
interactie
foton (γ)
electromagnetisch
W±
Tabel 1.1
IJkdeeltjes en hun eigenschappen.
Het foton, de W ± en Z 0 bosonen, en de gluonen worden in de quantumveldentheorie beschreven door vectorvelden. De dynamica van het vrije foton wordt gegeven
4
door de Maxwell vergelijkingen, en de koppeling van de fotonen aan geladen deeltjes wordt bepaald door locale ijkinvariantie. De Lagrangedichtheid van QED is
invariant onder de volgende transformaties van het fotonveld Aµ (het ijkveld van
de locale symmetrie) en het fermionveld ψ:
Aµ → Aµ + ∂µ θ(x) ,
ψ → e−ieθ(x) ψ(x) ,
(1.1)
waarbij dus de parameter van de transformatie, θ, afhangt van het punt x in de
ruimtetijd. Soortgelijke locale ijktransformaties bepalen ook de structuur van de
sterke en zwakke wisselwerkingen. De extra complicatie is, dat dan de symmetrietransformaties door meer dan één parameter worden bepaald. Een van de
hoofddoelen van dit college is de bij dergelijke transformaties behorende Yang-Mills
theorie te introduceren, en toe te passen op de sterke en zwakke wisselwerkingen.
Het graviton wordt beschreven door een tensorveld, gµν (de metrische tensor).
De klassieke theorie van het zwaartekrachtsveld, de algemene relativiteitstheorie,
kan ook worden opgevat als een ijktheorie, maar voor de constructie van de bijbehorende quantumtheorie moeten nog vele problemen worden overwonnen.
Er zijn twee soorten materie-deeltjes. Dit zijn de leptonen, die alleen electromagnetische en zwakke wisselwerkingen hebben, en de quarks, die daarnaast ook
sterk wisselwerken. In Tabel 1.2 geven we een overzicht van de eigenschappen van
de nu bekende leptonen.
massa (MeV/c2 ) lading (e)
deeltje
naam
levensduur
e
electron
> 1.9 × 1023 jaar
0.511
−1
µ
muon
2.197 × 10−6 sec
105.66
−1
τ
tau
0.305 × 10−12 sec
1784.1
−1
νe
electron-neutrino
stabiel?
< 7.3 × 10−6
0
νµ
muon-neutrino
stabiel?
< 0.27
0
ντ
tau-neutrino
stabiel?
< 35
0
Tabel 1.2 Leptonen en hun eigenschappen. De onzekerheid over de stabiliteit
van de neutrinos hangt samen met de onzekerheid in de massa van de neutrinos.
In de tabel zijn experimenteel vaststaande eigenschappen genoemd. Voor de levensduur van het electron is daarom een ondergrens gegeven. We gaan er echter van
uit dat het electron en de neutrinos stabiel zijn, en de neutrinos massaloos. Al deze
deeltjes heben spin-1/2, de neutrinos zijn electrisch neutraal.
5
Bij alle interacties is er sprake van behoud van leptongetal. Er zijn drie leptongetallen, Le , Lµ en Lτ . Le is gelijk aan één voor e en νe , en gelijk aan nul voor
de andere leptonen. Op soortgelijke wijze zijn Lµ en Lτ gedefinieerd.
Bij elk van de leptonen behoort een anti-deeltje, waarvan lading en leptongetal
het tegengestelde teken hebben. Het onderscheid tussen deeltje en anti-deeltje
zullen we aangeven door middel van de lading (e− en e+ ) of ook door een bar (νe
en ν̄e ). Het muon en het tau-deeltje zijn instabiel. Het muon vervalt meestal als
µ− → e− + ν̄e + νµ ,
τ − heeft een groot aantal verschillende vervalswijzen, bijvoorbeeld
τ − → µ− + ν̄µ + ντ .
De electrozwakke eigenschappen van de geladen leptonen zijn gelijk, alleen door
hun verschil in massa zijn verschillende vervalswijzen mogelijk.
Electriciteit was al bij de oude Grieken bekend, maar het was J.J. Thomson die
rond de eeuwwisseling het electron ontdekte. Het muon werd in 1937 in kosmische
straling ontdekt [2], terwijl het τ -deeltje in 1975 werd gevonden [3].
Het behoud van het leptongetal speelt een rol in het feit dat het vervalsproces
µ → eγ (een mogelijk electromagnetisch verval) niet optreedt. Beschouw QED met
alle geladen leptonen. Behoud van de afzonderlijke leptongetallen is gegarandeerd
in de volgende Lagrangedichtheid:
L=
X
i=e,µ,τ
ψ̄i (i(∂/ + ieA/) − mi )ψi − 14 Fµν F µν ,
waarbij ψi Dirac-spinoren zijn voor de verschillende leptonvelden. Duidelijk is dat
interactie vertices tussen leptonen en foton geen overgangen van het ene lepton
naar het andere bewerkstelligen. In de theorie van de zwakke interacties werkt een
soortgelijk mechanisme.
In Tabel 1.3 geven we een lijst van de zes quarks. De ontdekking van de topquark vond plaats in 1994: overigens lagen alle eigenschappen van dit deeltje (behalve de massa) al geheel vast door de structuur van de theorie van de zwakke
wisselwerkingen. Merk op dat zowel de leptonen als de quarks een duidelijke
generatie-structuur hebben: zo vormen (e, νe ), (u, d) de eerste generatie, etc. Voor
de structuur van de stabiele materie waar we in het dagelijks leven mee te maken
hebben speelt aleen de eerste generatie een rol.
Quarks zijn de bouwstenen van de hadronen, de deeltjes met sterke wisselwerking die we in het laboratorium waarnemen. Het baryongetal van de quarks
geeft een onderscheid tussen twee soorten hadronen: de baryonen, opgebouwd uit
drie quarks, met baryongetal één, en de mesonen, bestaand uit een quark en een
anti-quark, met baryongetal nul. De quarks zelf komen niet als vrije deeltjes voor.
6
Deze, en andere eigenschappen van quarks worden beschreven door de theorie van
de sterke interacties tussen quarks, door middel van uitwisseling van gluonen: de
quantumchromodynamica (QCD). Belangrijk is dat de sterke interacties het soort
quark (de flavour) behouden, net als de electromagnetische interacties het soort
lepton behouden.
massa (MeV/c2 )
lading (e)
up
350
2/3
d
down
350
−1/3
c
charm
1500
2/3
s
strange
500
−1/3
t
top
174000
2/3
b
bottom
4500
−1/3
deeltje
naam
u
Tabel 1.3
Quarks en hun eigenschappen. Alle quarks hebben spin 1/2 en
baryongetal 1/3. Anti-quarks hebben tegengestelde lading en baryongetal.
De “standaard”-deeltjes (p, n, pionen, . . .) bestaan uit u- end d-quarks:
¯ .
p = (uud), n = (udd), π + = (ud̄), π − = (ūd), π 0 = (ūu), (dd)
In de jaren vijftig werden “vreemde” deeltjes ontdekt, zoals het Λ-baryon en het Kmeson. De Λ- en K-deeltjes bevatten een nieuw type quark, de s-quark. Aangezien
de sterke interacties het type quark behouden, kunnen de Λ- en K-deeltjes alleen
via zwakke interacties vervallen in lichtere deeltjes:
K ± → µν, π ± π 0 , . . . ; Λ0 → pπ − , nπ 0 , . . . ,
waarbij dan vreemdheid niet behouden is. Later (1974) [4, 5] is nog een nieuw type
quark ontdekt (charm), en kort daarna (1977) de b-quark [6]. In 1994 is de al lang
voorspelde top-quark (waarschijnlijk) ontdekt [46].
De wereld van de elementaire deeltjes is dus betrekkelijk overzichtelijk. Er zijn
een klein aantal elementaire deeltjes (ijkdeeltjes, leptonen en quarks) waarvan de
dynamica wordt beschreven door het standaard model (Glashow, Salam, Weinberg
(GSW) model). Een belangrijk gedeelte van dit college zal dan ook besteed worden
aan de structuur en de eigenschappen van dit model. We zullen dan ontdekken dat
er toch nog veel vrije parameters zijn in het GSW-model, en een aantal onzekere
punten. We zullen daarom aan het eind van dit college ook uitbreidingen van het
GSW-model, zoals Grand Unified Theories, bespreken.
7
In dit college volgen we in grote lijnen de aanpak van het boek van Cheng en
Li [7]. Daarnaast verwijzen we regelmatig naar andere literatuur, zoals originele
artikelen, overzichtsartikelen en boeken. Een aantal van de belangrijkste artikelen
op dit gebied zijn verzameld in [8, 9]. Het boek van Cheng en Li [7] bevat tevens
een uitgebreide bibliografie.
Het is van belang om bij dit college enig idee te hebben van de fenomenologische
aspecten van de elementaire deeltjes. Dat begint noodzakelijkerwijze met een blik
in een tabel waarin massas, levensduren, vervalswijzen en quantumgetallen zijn
opgenomen. Een dergelijke tabel wordt jaarlijks uitgebracht [10]. Het is zeer nuttig
om deze tabel te leren gebruiken.
De belangrijkste artikelen over de experimentele elementaire deeltjes fysica zijn
herdrukt in [11]. Daarin zijn de originele publicaties over de ontdekking van de
belangrijkste elementaire deeltjes te vinden, met deskundig commentaar.
In dit collegedictaat kiezen we onze eenheden steeds zo, dat h̄ = c = 1.
8
2
Symmetrie
De symmetrie-eigenschappen van veldentheoretische modellen spelen in de elementaire deeltjesfysica een belangrijke rol. In de quantumveldentheorie zijn we al een
aantal fundamentele symmetrieën tegengekomen, zoals de ruimtetijd-symmetrieën
(translaties en Lorentz-transformaties) en de ijktransformaties in QED.
De eerste twee zijn voorbeelden van coördinaattransformaties:
xµ → xµ + aµ
xµ → Λµν xν
(translaties) ,
met Λµν Λρσ gµρ = gνσ
(Lorentz) .
(2.1)
De aanwezigheid van deze symmetrieën vertelt ons dat we geen onderscheid kunnen maken tussen experimenten die alleen verschillen door een verschuiving in
de ruimtetijd en/of door een Lorentz-transformatie. In de theorie bereiken we
dit door ervoor te zorgen dat de bewegingsvergelijkingen van de theorie covariant
zijn onder deze transformaties, d.w.z. dezelfde vorm aannemen in getransformeerde
coördinatenstelsels.
In dit hoofdstuk ligt de nadruk op de zogenaamde interne symmetrieën, d.w.z.
symmetrieën die de coördinaten van de ruimtetijd punten ongemoeid laten. We onderscheiden dan globale symmetrieën, waarbij de parameters van de transformatie
constant in ruimte en tijd zijn, en locale symmetrieën, waarbij de parameters van
het ruimtetijd punt mogen afhangen. Om een aantal begrippen (nogmaals) te introduceren beginnen we met een voorbeeld van globale symmetrie, daarna bekijken
we locale symmetrie in de quantumelectrodynamica. Tenslotte introduceren we locale symmetrie geassocieerd met een niet-abelse groep, de zogenaamde Yang-Mills
symmetrie.
De hier behandelde symmetrie-transformaties vormen een groep. De groepentheorie speelt dan ook een belangrijke rol in dit deel van elementaire deeltjes fysica.
Een aantal aspecten van de groepentheorie wordt behandeld in Appendix A. Voor
een uitgebreider overzicht zie bijvoorbeeld [7], hoofdstuk 4. Referenties naar boeken
over groepentheorie in de elementaire deeltjes fysica zijn te vinden in [7], Bibliography.
2.1
N reële scalaire velden
Voor het reële scalaire veld is de Lagrangedichtheid
L = 21 (∂µ φ)(∂ µ φ) − 12 m2 φ2 ,
(2.2)
waaruit als bewegingsvergelijking de Klein-Gordon vergelijking volgt:
∂L
∂L
− ∂µ
→ (u
t + m2 )φ = 0 ,
∂φ
∂(∂µ φ)
9
(u
t = ∂µ ∂ µ ) .
(2.3)
Het veld φ is een scalair veld, hetgeen een bepaald transformatie gedrag impliceert
onder ruimtetijd-transformaties. In een ander coördinatenstelsel zal gelden:
(u
t 0 + m2 )φ0 (x0 ) = 0 .
(2.4)
Aangezien u
t0 = u
t , zowel onder translaties als Lorentztransformaties, is deze
vergelijking alleen covariant als geldt:
φ0 (x0 ) = φ(x) ,
(2.5)
of ook wel, voor infinitesimale transformaties:
x0 = x + δx ⇒ φ0 (x) = φ(x) − δxµ ∂µ φ
⇒ δφ(x) = −δxµ ∂µ φ .
(2.6)
Dit is (per definitie) het transformatie-karakter van een scalair veld . Gecompliceerdere veldvergelijkingen (Dirac, Maxwell voor spin-1/2, spin-1 velden) vereisen
een ander transformatiekarakter: dat van een spinor-veld resp. vectorveld.
Interne symmetrieën spelen in het geval van één scalair veld geen rol. We
breiden de discussie daarom uit tot het geval van N reële scalaire velden. De
Lagrangedichtheid is dan:
L = 21 ∂µ φi ∂ µ φi − 12 m2 φi φi ,
(2.7)
waarbij gesommeerd wordt over de index i (i = 1, . . . , N). De actie is invariant
onder:
φ0i = Oij φj ,
(2.8)
als de reële matrix O voldoet aan O −1 = O T . Dergelijke matrices noemen we orthogonaal. Voor matrices O die maar infinitesimaal van de eenheidsmatrix verschillen
kunnen we schrijven:
O = I − ia Ta ,
(2.9)
waarbij a reële infinitesimale parameters zijn, en Ta N × N matrices. Vanwege
O −1 = O T geldt:
I + ia Ta = I − ia (Ta )T ,
(2.10)
dus Ta moet imaginair (φi en a zijn reëel!) en anti-symmetrisch zijn. Er zijn
1
N(N −1) onafhankelijke anti-symmetrische matrices, en dus 21 N(N −1) onafhanke2
lijke parameters a : a = 1, . . . , 21 N(N − 1).
Deze transformaties vormen een groep, de rotatiegroep in N dimensies: O(N).
De anti-symmetrische matrices Ta noemen we de generatoren van O(N), deze matrices vormen een lineaire ruimte, die we de Lie-algebra van de groep noemen. Voor
details zie Appendix A.
10
Bij elke continue symmetrie van de actie hoort een stroom en een behouden
lading. Wat is de stroom in dit geval? Beschouw infinitesimale transformaties,
δφi ≡ φ0i (x) − φi (x) = −ia (Ta )ij φj .
(2.11)
Dan geldt:
#
"
∂L
∂L
δφi +
δ∂µ φi
0 = δS =
dx
∂φi
∂(∂µ φi)
"
!#
Z
∂L
∂L
∂L
4
=
dx
δφi − ∂µ
δφi + ∂µ
δφi
.
∂φi
∂(∂µ φi )
∂(∂µ φi )
Z
4
(2.12)
Als de velden voldoen aan de bewegingsvergelijkingen volgt hieruit:
∂µ
"
#
"
#
∂L
∂L
δφi = 0 ⇒ ∂µ
(−ia (Ta )ij φj ) = 0 ,
∂(∂µ φi )
∂(∂µ φi )
(2.13)
met andere woorden (a willekeurig):
∂µ
"
#
∂L
(−i(Ta )ij φj ) = ∂µ jaµ = 0.
∂(∂µ φi )
(2.14)
We zien dat voor iedere onafhankelijke parameter (elke generator T ) er een een
behouden grootheid is. Met het model (2.7) model corresponderen dus 21 N(N − 1)
behouden grootheden:
Qa ≡
Z
d3 x ja0
= −i
= −i
Z
Z
d3 x
∂L
(Ta )ij φj
∂(∂0 φi )
d3 x πi (Ta )ij φj ,
(2.15)
waarbij πi de kanonieke impuls is behorend bij de coördinaat φ.
De Ta voldoen aan commutatie-relaties die de groepsstructuur weerspiegelen
(zie Appendix A):
[Ta , Tb ] = ifab c Tc ,
(2.16)
waarbij fab c de structuurconstanten van de groep genoemd worden.
Tot nog toe hebben we eigenlijk alleen naar de klassieke veldentheorie gekeken.
We beschouwen nu op de gebruikelijke manier de velden φi als operatoren, die met
de kanonieke impulsen πi voldoen aan de gebruikelijke gelijketijds commutatierelaties:
→
→
→
→
[φi (t, x), πj (t, y )] = iδij δ( x − y ) ,
→
→
→
→
[φi (t, x), φj (t, y )] = [πi (t, x), πj (t, y )] = 0 .
11
(2.17)
De commutatie-relaties tussen de Ta impliceren nu commutatie-relaties tussen
de behouden ladingen:
[Qa , Qb ] = −
= −
Z
Z
= −i
=
Z
Z
d3 x
3
dx
Z
Z
d3 y [πi (x)(Ta )ij φj (x), πk (y)(Tb)kl φl (y)]
d3 y [πi (x)(Ta )ij [φj (x), πk (y)](Tb)kl φl (y)
+πk (y)(Tb )kl [πi (x), φl (y)](Ta )ij φj (x)]
d3 x [πi (x)(Ta Tb )il φl (x) − πk (x)(Tb Ta )kj φj (x)]
d3 x π(x)fab c Tc φ(x)
= ifab c Qc .
(2.18)
We zien dat de behouden ladingen de structuur van de groep van orthogonale matrices respecteren. Ze voldoen aan dezelfde commutatie-relaties als de generatoren
Ta , en genereren dus een representatie van de groep. De Qa zijn operatoren die
werken op de Fock-ruimte, de ruimte opgespannen door de toestanden met n deeltjes met gegeven impulsen, de bijbehorende representatie van de groep wordt ook
wel de Fock-ruimte representatie genoemd.
Op de velden werken de Qa als:
ia [Qa , φi(x)] = −ia (Ta )ij φj (x) = δφi .
(2.19)
Deze transformatie van de veldoperatoren is de infinitesimale versie van
φ0i = Uφi U −1
met U = exp(ia Qa ) .
(2.20)
De unitaire operatoren U zijn elementen van de Fock-ruimte representatie van de
groep.
We hebben gevonden dat uit een continue symmetrie een stroom, een behouden
lading, en dus een unitaire representatie van de groep op de Fock-ruimte volgt. We
kunnen nu aantonen dat, als de grondtoestand |0i invariant is onder de symmetrie
transformaties, de overgangswaarschijnlijkheden ook invariant zijn. We zien dan
immers:
h0|φ0i1 (x1 ) . . . φ0in (xn )|0i = < 0|Uφi1 (x1 )U −1 . . . Uφin (xn )U −1 |0i
= h0|φi1 (x1 ) . . . φin (xn )|0i .
(2.21)
De continue symmetrie van de actie heeft dus directe consequenties voor de overgangswaarschijnlijkheden.
12
2.2
Locale symmetrie in QED
Quantumelectrodynamica is gebaseerd op de Dirac-theorie voor spin-1/2 velden, en
op de Maxwell theorie voor het electromagnetisch veld. De Lagrangedichtheid voor
het vrije Dirac veld en voor het vrije electromagnetische veld luiden:
LDirac = ψ̄(iγ µ ∂µ − m)ψ ,
LMaxwell = − 41 Fµν F µν ,
(2.22)
(2.23)
Fµν = ∂µ Aν − ∂µ Aν .
(2.24)
met
De bewegingsvergelijkingen die uit (2.22,2.23) volgen zijn
(i∂/ − m)ψ = 0 ,
∂µ F µν = 0 .
(2.25)
(2.26)
De bijbehorende acties zijn invariant onder de volgende transformaties (naast de
gebruikelijke translaties en Lorentz-transformaties):
ψ(x) → ψ 0 (x) = exp(iθ)ψ(x) ,
ψ̄(x) → ψ̄ 0 (x) = exp(−iθ)ψ̄(x) ,
Aµ (x) → A0µ (x) = Aµ (x) + ∂µ Λ(x) .
(2.27)
(2.28)
De transformatie van ψ is een globale transformatie. Net als in de vorige sectie
kunnen we een stroom en een behouden lading vinden:
j µ = −ψ̄γ µ ψ,
Q=
Z
d3 x j 0 (x) .
(2.29)
Als ψ voldoet aan de Dirac vergelijking geldt ∂µ j µ = 0, en is de lading Q onafhankelijk van de tijd. Q is zo gekozen dat een één-deeltjes toestand als eigenwaarde van
Q −1 heeft (de lading van het electron in eenheden e). Dit implicert tevens dat
[Q, ψ] = ψ.
De ijkinvariantie van (2.23) is een gevolg van het feit dat we de klassieke fysische
variabelen, het electrisch en magnetisch veld, hebben uitgedrukt in Aµ . Dit lost
één van de Maxwell vergelijkingen op, namelijk
∂µ Fνρ + ∂ν Fρµ + ∂ρ Fµν = 0 ,
(2.30)
maar het feit dat de oplossing niet uniek is geeft dan aanleiding tot de invariantie
onder de ijktransformatie (2.28).
Als we interacties willen introduceren verandert de situatie. De ijkinvariantie
van het electromagnetisch veld moeten we handhaven. Deze speelt een belangrijke
13
rol bij de quantisatie van Aµ , en zonder ijkinvariantie zouden niet slechts de twee
gebruikelijke transversale vrijheidsgraden van het Maxwell veld vinden.
De volgende procedure leidt tot een theorie met locale ijkinvariantie waarin het
Dirac veld wisselwerkt met een vectorveld, dat we vervolgens kunnen identificeren
met het Maxwell veld. In de eerste plaats maken we de transformaties van het veld
ψ locaal, dus:
ψ 0 = exp(iθ(x))ψ .
(2.31)
We willen nu dat (2.22) invariant wordt onder (2.31). Dit kunnen we bewerkstelligen
door een zogenaamde covariante afgeleide in te voeren, Dµ , die de eigenschap heeft
dat Dµ ψ op dezelfde wijze transformeert als ψ:
(Dµ ψ)0 = exp(iθ(x))Dµ ψ .
(2.32)
In dat geval is L = ψ̄(iγ µ Dµ − m)ψ triviaal invariant onder de locale transformaties (2.31). De eigenschap (2.32) vereist het invoeren van een veld in Dµ dat
transformeert met een term ∂µ θ(x). We nemen:
Dµ ψ ≡ (∂µ + ieAµ )ψ ,
(2.33)
en bepalen de transformatieregel van Aµ . Dus:
(∂µ + ieA0µ ) exp(iθ(x))ψ = exp(iθ(x))(∂µ + i(∂µ θ) + ieA0µ )ψ
= exp(iθ(x))(∂µ + ieAµ )ψ ,
waaraan we voldoen door te kiezen
1
A0µ = Aµ − ∂µ θ(x) .
e
(2.34)
De gevonden transformatie van het veld Aµ is dus precies die van het ijkveld van
de Maxwell vergelijkingen.
Daarmee hebben we een ijkinvariante interactie gevonden tussen het Dirac-veld
en een vectorveld. Voor het vectorveld kunnen we nu als kinetische term (2.23)
toevoegen. Dat levert
L = ψ̄(iγ µ (∂µ + ieAµ ) − m)ψ − 41 Fµν F µν ,
(2.35)
de Lagrangedichtheid van de quantumelectrodynamica. De constante e hebben we
nu iets anders ingevoerd dan bij het college Quantumveldentheorie, dit kunnen
we gemakkelijk herstellen door de parameter θ te herschalen. Merk op dat de
interactieterm van de vorm ej µ Aµ is. Op dit punt komen we in sectie (2.4) terug.
De bewegingsvergelijking van ψ̄ levert de Dirac-vergelijking met een covariante
afgeleide:
(iγ µ (∂µ + ieAµ ) − m)ψ = 0 ,
(2.36)
14
terwijl de bewegingsvergelijking van ψ de volgende vergelijking geeft:
0 = ψ̄(−eA/ − m) − i(∂µ ψ̄)γ µ
= −i(∂µ − ieAµ )ψ̄γ µ − mψ̄
= −(iDµ ψ̄γ µ + mψ̄) .
(2.37)
Deze bewegingsvergelijkingen zijn natuurlijk invariant onder ijktransformaties. Merk
op dat de covariante afgeleide op ψ̄ een andere vorm heeft dan die op ψ. Dit is een
gevolg van het feit dat ψ en ψ̄ verschillend transformeren onder ijktransformaties
(zie (2.27)). De covariante afgeleide is gedefinieerd als afgeleide die, werkend op
een veld met een zeker transformatiekarakter, op dezelfde wijze transformeert als
dat veld.
De hier gebruikte methode om een ijkinvariante actie af te leiden zullen we in
de volgende sectie generaliseren naar een niet-abelse transformatiegroep.
2.3
Yang-Mills theorie
We zullen Yang-Mills theorie invoeren aan de hand van een voorbeeld. We beginnen
met de Lagrangedichtheid voor N fermionvelden:
L = ψ̄i (iγ µ ∂µ − m)ψi .
(2.38)
Deze Lagrangedichtheid is invariant onder de volgende globale symmetrie:
ψi → ψi0 = Uij ψj
(2.39)
met UU † = U † U = I. De matrices U vormen de groep U(N) van N × N unitaire
matrices. Voor infinitesimale transformaties geldt nu
U = I − ia (Ta )ij → δψi = −ia (Ta )ij ψj ,
(2.40)
waarbij de matrices Ta hermitisch moeten zijn. Er zijn in dit geval N 2 parameters
a . De bijbehorende stromen zijn:
jaµ = ψ̄i γ µ (Ta )ij ψj .
(2.41)
Dit is dus geheel analoog aan wat we in sectie (2.1) besproken hebben, met het
verschil dat we nu met N complexe velden te maken hebben.
We willen nu, net als in het geval van QED de symmetrie uitbreiden tot een
locale symmetrie1 . In QED hebben we dit gedaan door de globale symmetrie van
1
Het voorbeeld dat Yang en Mills [12] in gedachten hadden was isospin symmetrie. Dit is
een symmetrie van de sterke interacties in de atoomkern. Deze interacties tussen protonen en
15
(2.22) uit te breiden tot een locale symmetrie. We gaan nu op dezelfde wijze te
werk. We zoeken dus een covariante afgeleide, van de vorm
Dµ = ∂µ − igAaµ Ta ,
(2.42)
die, werkend op ψ, net zo transformeert als ψ zelf:
(Dµ ψ)0 = U(Dµ ψ) .
(2.43)
We gaan er hierbij al van uit dat nu meer dan één ijkveld nodig zal zijn. De transformatiegroep heeft nu immers N 2 parameters, en de afleiding bij QED suggereert
dat voor elke parameter, of elke generator van de groep, een ijkveld nodig is. Hoe
moet Aµ nu transformeren? We eisen dat
(Dµ ψ)0 = ∂µ (Uψ) − igA0µ · T Uψ
= (∂µ U)ψ + U∂µ ψ − igA0µ · T Uψ
= U(∂µ ψ − igAµ · T ψ) ,
(2.44)
waarbij we de notatie Aµ · T = Aaµ Ta gebruiken. Dus:
0 = (∂µ U)ψ − igA0µ · T Uψ + igUAµ · T ψ
= (−igA0µ · T + igUAµ · T U −1 + (∂µ U)U −1 )Uψ ,
(2.45)
zodat voor de getransformeerde ijkvelden moet gelden:
i
A0µ · T = UAµ · T U −1 − (∂µ U)U −1 .
g
(2.46)
Als N = 1 krijgen we met T = I en g = e hetzelfde resultaat als bij QED.
Voor infinitesimale transformaties U = I − ia Ta geldt
1
δA0µ · T = −ia [Ta , Aµ · T ] − (∂µ a )Ta
g
1
= a Abµ fab c Tc − (∂µ c )Tc ,
g
(2.47)
zodat
1
δAcµ = a Abµ fab c − ∂µ c .
g
(2.48)
neutronen zijn (vrijwel) ladingsonafhankelijk, zodat er een symmetrie optreedt waardoor proton
en neutron in elkaar worden overgevoerd. Deze SU (2) symmetrie is globaal, als in één punt in de
ruimtetijd wordt vastgelegd welk kerndeeltje een proton is, dan is er geen vrijheid om in andere
ruimtetijd punten een andere keuze te maken. Yang en Mills wilden, naar analogie van QED,
nagaan of er ook zoiets als locale isospin symmetrie gedefinieerd kon worden. Achteraf blijkt er
in de natuur geen locale isospin symmetrie te zijn, maar het formalisme kon onveranderd worden
overgenomen voor andere situaties.
16
Het is nuttig hier nu onderscheid te maken tussen de groepen U(N) en SU(N).
Het verschil is een fase-transformatie, ofwel een U(1)-groep. Voor deze ondergroep
van U(N) is de structuurconstante gelijk aan nul, en treedt alleen de tweede term
in (2.46) en (2.48) op.
De structuurconstanten zijn de matrix-elementen van de geadjungeerde representatie (A.13)
(ta )cb = ifabc .
(2.49)
De matrices ta voldoen aan de commutatierelaties van SU(N). Vergelijking (2.48)
is nu te schrijven als:
1
δAcµ = −ia (ta )c b Abµ − ∂µ c .
(2.50)
g
We concluderen dat onder globale transformaties de ijkvelden transformeren volgens
de geadjungeerde representatie. Het aantal ijkvelden is gelijk aan de dimensie van
de groep.
De generalisatie van de U(1) symmetrie in QED naar U(N) symmetrie geeft
dus voor het fermiongedeelte van de Lagrangedichtheid:
L = ψ̄i iγ µ (∂µ δij − igAaµ (Ta )ij )ψj − mψ̄i ψi .
(2.51)
We hebben nu nog geen kinetische term voor de ijkvelden gevonden. In QED
is deze term − 41 Fµν F µν met Fµν als in (2.24 De generalisatie naar niet-abelse symmetriegroepen gaat als volgt. We beginnen met (2.43), de definiërende eigenschap
van de covariante afgeleide. Dan geldt ook:
(Dµ (Dν ψ))0 = UDµ (Dν ψ) .
(2.52)
Laten we nu kijken naar:
Dµ (Dν ψ) − Dν (Dµ ψ) = (∂µ − igAµ · T )(∂ν − igAν · T )ψ − (µ ↔ ν)
= ∂µ ∂ν ψ − ig∂µ Aν · T ψ − igAν · T ∂µ ψ
−igAµ · T ∂ν ψ − g 2 Aµ · T Aν · T − (µ ↔ ν)
= −ig(∂µ Aν − ∂ν Aµ ) · T − g 2 [Aµ · T, Aν · T ]ψ
≡ −igFµν · T ψ
(2.53)
met:
Fµν · T = (∂µ Aν − ∂ν Aµ ) · T − ig[Aµ · T, Aν · T ] .
(2.54)
Verder geldt vanwege (2.52):
(Dµ (Dν ψ) − Dν (Dµ ψ))0 = U(Dµ (Dν ψ) − Dν (Dµ ψ))
= U(−igFµν · T ψ)
0
· T ψ0 .
= −igFµν
17
(2.55)
Dit geeft:
0
Fµν
· T = UFµν · T U −1 .
(2.56)
De gevonden generalisatie van de electromagnetische veldsterktetensor transformeert
dus volgens de geadjungeerde representatie van de groep SU(N), en is invariant
onder de groep U(1).
We zien nu dat:
0
tr Fµν
· T F 0µν · T = tr UFµν · T F µν · T U −1 = tr Fµν · T F µν · T .
(2.57)
Dus trFµν F µν is invariant onder locale ijktransformaties, en is geschikt als kinetische
term voor de Yang-Mills ijkvelden. We kunnen het spoor nog herschrijven door in
te voeren:
a
Fµν · T = Fµν
Ta = (∂µ Aaν − ∂ν Aaµ + gfbc a Abµ Acν )Ta .
(2.58)
Kiezen we de basis van de generatoren nu zo, dat tr[Ta Tb ] ∼ δab , dan geldt:
a
a
trFµν · T F µν · T = trFµν
F µνb Ta Tb ∼ Fµν
F µνa .
(2.59)
Dit geeft ons de totale Lagrangedichtheid:
a
L = iψ̄i γ µ (∂µ δij − igAaµ (Ta )ij )ψj − mψ̄i ψi − 41 Fµν
F µνa .
(2.60)
Dit is het prototype van een niet-abelse ijktheorie, ook wel Yang-Mills theorie
genoemd.
Ook van het eerder behandelde model van scalaire velden met O(N) invariantie
kan een Yang-Mills theorie gemaakt worden. In dat geval krijgen we:
a
L = − 14 Fµν
F µνa + 21 (Dµ φ)i (D µ φ)i − 21 m2 φi φi ,
(2.61)
a
waarbij nu Fµν
de structuurconstanten van O(N) bevat en Dµ φ gegeven wordt
door:
Dµ φi = [∂µ δij − igAaµ (Ta )ij ]φj ,
(2.62)
met Ta de generatoren van O(N). Het aantal ijkvelden is weer gelijk aan de dimensie
van de groep.
2.4
Locale ijkinvariantie en de stroom
Laten we even teruggaan naar de sectie (2.2) over QED. We hebben daar gevonden
dat de interactieterm tussen fermionen en fotonen gelijk is aan eAµ j µ . Kunnen
we meer in het algemeen begrijpen dat een dergelijke bijdrage in de interactieterm
moet voorkomen?
18
Beschouw daartoe het model van sectie (2.1). De actie (2.7) is invariant onder de
globale transformaties (2.11). Als we nu een transformatie (2.11) in (2.7) uitvoeren
met een x-afhankelijke parameter a , wat gebeurt dan? We vinden:
∂L
∂L
δφi +
δ∂µ φi
∂φi
∂(∂µ φi)
∂L
∂L
(Ta )ij φj − ia
(Ta )ij ∂µ φj
= −ia
∂φi
∂(∂µ φi )
∂L
+(∂µ a )
(−i(Ta )ij φj ) .
∂(∂µ φi )
δL =
(2.63)
De eerste twee termen zijn samen gelijk aan nul omdat de Lagrangedichtheid invariant is onder globale transformaties. Ze hangen niet van ∂µ a af. De laatste
term blijft over, en kan geschreven worden als:
δL = (∂µ a )jaµ .
(2.64)
Willen we nu, uitgaande van (2.7), een actie construeren die invariant is onder
locale transformaties, dan moeten we de resterende bijdrage laten wegvallen tegen
de variatie van een nieuwe term in de actie. We schrijven:
L0 = (2.7) + gAaµ jaµ .
(2.65)
De variatie van L0 is nu gelijk aan
δL0 = (∂µ a )jaµ + g(δAaµ )jaµ + gAaµ δjaµ .
(2.66)
We kiezen δAaµ = − g1 ∂µ a , zodat overblijft:
δL0 = gAaµ δjaµ .
(2.67)
In het geval dat de stroom zelf invariant is onder locale ijktransformaties, is nu dus
al δL0 gelijk aan nul, en is de constructie klaar. In het geval dat jaµ niet invariant is,
zijn we nog niet klaar, en moeten nog termen aan de actie en/of aan de transformatie
van Aaµ worden toegevoegd. Merk op dat de resterende variatie van L0 evenredig
met g is. De procedure is systematisch in de zin dat er een ontwikkeling in g van
de actie en van de transformaties ontstaat.
In het geval van QED is de stroom invariant, hetgeen verklaart waarom de
volledige interactieterm daar gegeven wordt door eAµ j µ .
In het geval van het voorbeeld van sectie (2.1), en ook in dat van sectie (2.3),
is de stroom niet invariant, en moeten we de procedure voortzetten. Dit leidt dan
tot de resultaten die in sectie (2.3) worden gegeven.
19
3
Zwakke interacties
Voordat we nu onze kennis van Yang-Mills theorie gaan gebruiken voor de constructie van een ijktheorie voor de zwakke interacties, zullen we eerst in dit hoofdstuk
wat algemene opmerkingen over de zwakke interacties maken.
3.1
Het zwakke verval het muon en het V-A model
Zwakke interacties zijn ontdekt bij vervalsprocessen. In eerste instantie betrof dat
vervalsprocessen in de kern waarvoor vaak het zwakke verval van het neutron verantwoordelijk is:
n → p + e + ν̄e .
(3.1)
Neutron en proton zijn opgebouwd uit quarks, en om de complicaties ten gevolge
van samengestelde deeltjes te vermijden is het verstandig de zwakke interacties te
introduceren aan de hand van processen met alleen leptonen.
Een geschikt proces is het verval van het muon:
µ− → e− + ν̄e + νµ .
Beschouw eerst de kinematica van dit proces.
betekent voor een muon in rust:
(3.2)
Behoud van impuls en energie
mµ = Ee + Eν̄ + Eν
→
→
→
0 = p e + p ν̄ + p ν
(3.3)
We verwaarlozen nu de electronmassa ten opzichte van de muonmassa. Dan geldt:
→
→
→
Ee2 = (pe )2 = ( p ν̄ + p ν )2 = Eν2 + Eν̄2 + 2Eν Eν̄ cos α,
(3.4)
waarbij α de hoek tussen de neutrino-impulsen is. De energie van het electron is
maximaal als α = 0. Deze is dan gelijk aan:
(Ee )max = Eν + Eν̄ = 21 mµ ,
(3.5)
zodat het electron hoogstens een energie gelijk aan de halve muon-massa kan meenemen.
Zwakke interacties werden voor het eerst in een veldentheoretisch model beschreven
door Fermi. Hij veronderstelde dat de interactie tussen de leptonen een interactie
tussen twee stromen was, van de vorm:
GF
LF = − √ j µ† jµ .
2
20
(3.6)
De vorm van de stroom j µ is in de loop der jaren aangepast aan veranderende
inzichten. De definitieve versie is gelijk aan [15]:
j λ = ψ̄e γ λ (1 − γ5 )ψνe + ψ̄µ γ λ (1 − γ5 )ψνµ .
(3.7)
Hier is γ 5 = iγ 0 γ 1 γ 2 γ 3 . In (3.6) is GF een constante met dimensie massa−2 . GF is
ongeveer gelijk aan 10−5 /(mp )2 GeV−2 , als mp de massa van het proton in GeV is.
De voor het muonverval relevante bijdrage aan (3.6) is dan:
GF
L ∼ √ [ψ̄e γ λ (1 − γ5 )ψνe ψ̄νµ γλ (1 − γ5 )ψµ ] + h.c.
2
3.2
(3.8)
De zwakke interacties en pariteit
Waarom de keuze (3.7) voor de zwakke stroom? Het Fermi model, in de vorm (3.8),
is een fenomenologisch model, gebaseerd op overeenkomst met het experiment.
A priori is de meest algemene vier-fermion interactie voor het muonverval, die
invariant is onder beperkte Lorentz transformaties, van de vorm:
L∼
X
ψ̄e OI (a + bγ5 )ψνe ψ̄νµ OI ψµ + h.c.
(3.9)
I
met I = S, V, T, A, P en OI :
OS
OV
OT
OA
OP
=
=
=
=
=
I
γλ
[γ λ , γ ρ ]
γ λγ 5
γ5
scalair,
vector,
tensor,
axiale vector,
pseudoscalair.
De keuze (3.8) wordt daarom het V-A model genoemd. Zoals gezegd is (3.8) invariant onder beperkte Lorentz transformaties. Dit zijn de Lorentz transformaties die
continu met de eenheid zijn verbonden. Daarnaast zijn er de pariteitstransformatie,
→
die de ruimtelijke coördinaten xi van teken verandert, en de tijdomkeertransformatie, die x0 van teken verandert. De interactie Lagrangedichtheid (3.8) is niet
invariant onder pariteitstransformaties, en de door dit model beschreven zwakke
interacties behouden dus pariteit niet. Dit is in overeenstemming met de in 1956
ontdekte breking van pariteit [16, 17].
Wat breking van pariteit betekent laten we aan de hand van een voorbeeld zien.
→
→
Onder een pariteitstransformatie gaat x0 → x0 , x → − x. Ook de richting van de
impuls verandert, maar die van het impulsmoment (spin) niet. Beschouw nu het
verval van een gepolariseerd muon voor (A) en na (B) een pariteitstransformatie
(zie fig. 3.1).
21
Als pariteit behouden is, dan moet de eindtoestand van het pariteitsgetransformeerde proces (B) met dezelfde waarschijnlijkheid voorkomen als de eindtoestand bij (A). Dus als Γ(θ) de waarschijnlijkheid (ook wel vervalsbreedte genoemd)
is voor het uitzenden van een electron onder een hoek θ, dan zou moeten gelden
Γ(θ) = Γ(θ − π). Uit experimenten is gebleken dat dit niet het geval is, pariteit
is dus gebroken. Het V-A model van Feynman en Gell-Mann blijkt het verval van
het muon correct te beschrijven.
Figuur 3.1 Verval van een gepolariseerd muon in rust voor (A) en na (B) een
pariteitstransformatie. Onder de pariteitstransformatie verandert de richting van
de electronimpuls, maar de richting van de spin van het muon blijft hetzelfde.
Een berekening van dit vervalsproces in het vier-fermi model levert de levensduur τµ van het muon in rust (met me = 0):
(τµ )−1 =
G2F m5µ
.
192π 2
(3.10)
Op dimensionele gronden hadden we al kunnen bepalen dat het resultaat evenredig
moet zijn met G2F m5µ . In onze eenheden heeft een levensduur dimensie massa−1 .
De amplitude voor het proces is evenredig met GF , de waarschijnlijkheid voor het
proces dus met G2F . Dan moet een factor (mµ )5 voor de juiste dimensie zorgen.
In hoofdstuk 1 hebben we al opgemerkt dat de verschillende generaties leptonen
en quarks zich op dezelfde wijze gedragen, en een soort replica van elkaar zijn.
Daarom verwachten we voor de vervalsbreedte van het τ -deeltje naar leptonen dat
!5
mτ
Γ(µ− → e− + ν̄e + νµ ) ,
Γ(τ → e + ν̄e + ντ ) =
mµ
Γ(τ − → e− + ν̄e + ντ ) = Γ(τ − → µ− + ν̄µ + ντ ) .
−
−
De veronderstelling hierbij is dat GF de sterkte van alle zwakke processen bepaalt.
Dit noemen we wel de universaliteit van de zwakke interacties. Dit is in goede
overeenstemming met de experimentele gegevens. We verwaarlozen in de tweede
van bovenstaande relaties de massa van het muon ten opzichte van die van τ -deeltje.
22
3.3
Het gedrag van het Fermi model bij hoge energie
Toch is het V-A model voor de zwakke stroom (3.7) (waaraan we nog een term met
τ en ντ kunnen toevoegen) met de vier-fermion interactie (3.8) geen bevredigende
theorie voor de zwakke interacties. Dat zien we bijvoorbeeld door te kijken naar
het proces
ν̄µ e− → ν̄µ e− .
(3.11)
We kijken naar de werkzame doorsnede van dit proces. Deze heeft de dimensie
van een oppervlakte. De amplitude voor dit proces is evenredig met GF , dus σ
is evenredig met G2F . Verder bekijken we dit proces bij hoge energie, zodat we
de massa van het electron ten opzichte van de neutrinoimpuls kunnen verwaarlozen. De enige dimensievolle grootheid die overblijft is dan de neutrinoimpuls.
Dus moeten gelden:
σ ∼ G2F | k |2 .
(3.12)
Dus σ neemt toe met | k |2 . Dit is in strijd met het behoud van waarschijnlijkheid.
We weten dat de differentiële werkzame doorsnede geschreven kan worden als:
1
dσ
=
| F (k, cos θ) |2 ,
dΩ
| k |2
(3.13)
met de verstrooiingsamplitude
F (k, cos θ) =
X
(2l + 1)fl (k)Pl (cos θ) .
(3.14)
l
Verder moet worden voldaan aan de unitariteitsrelatie (behoud van waarschijnlijkheid)
Imfl ≥ | fl |2
(3.15)
(zie [18], blz. 384). Maar uit (3.12) blijkt dat fl (k) evenredig is met | k |2 . Bij hoge
impulsen wordt dus niet meer aan (3.15) voldaan. Dit gebeurt in de beurt van
| k |2 ∼ 1/GF = 105 m2p . Dus bij een energieën in de buurt van 300 GeV voldoet het
Fermi model niet meer.
Een alternatief is om de zwakke interacties te beschrijven met behulp van de
uitwisseling van vector deeltjes, net zoals het electromagnetisme. Dat betekent
dat we in de berekening van bijvoorbeeld het muonverval het Feynman diagram
van de vier-fermion interactie vervangen door een diagram met uitwisseling van een
geladen vectordeeltje, waarbij de interactiesterkte evenredig is met een dimensieloze
koppelingsconstante g.
We zien dat de factor GF bij de berekening van het diagram in feite wordt
vervangen door de constante g 2 vermenigvuldigd met de propagator van dat veld:
GF →
g2
,
k 2 − M 2 + i
23
(3.16)
waarbij M de massa van het vectorveld is. Voor de vervalsbreedte betekent dat
G2F
→
g2
k2 − M 2
!2
.
(3.17)
Figuur 3.2 Diagrammen voor µ-verval in de vier-fermion theorie van Fermi, en
in een theorie met uitwisseling van een vector deeltje.
Bij lage energie kunnen we de impuls verwaarlozen ten opzichte van M, en zien we
dat
g 2
2
GF →
.
(3.18)
M
Dit geeft voor het muon verval, waarbij de impulsen inderdaad klein zijn, hetzelfde
resultaat geeft als de vier-fermion theorie.
In een verstrooiingsproces bij energieën die veel groter zijn dan M moeten we
echter de vervanging
!2
g2
2
(3.19)
GF →
k2
maken. Dat betekent dan dat (3.12) zich gedraagt als 1/k 2 . De problemen die bij
het Fermi model voor hoge energie ontstaan zijn daarmee opgelost.
We kunnen natuurlijk voor allerlei processen tussen leptonen kijken naar het
hoge-energie gedrag van de werkzame doorsnede. Als we eisen dat de werkzame
doorsnede niet te snel groeit, kunnen we successievelijk alle ingrediënten van het
GSW model achterhalen. Een dergelijke analyse is gedaan in [19, 20].
3.4
Het massieve vectorveld
Bij de beschrijving van de zwakke interacties door middel van uitwisseling van
massieve vectorvelden hebben we natuurlijk de propagator van dergelijk velden
nodig.
24
De theorie van massieve vectorvelden staat bijvoorbeeld beschreven in [21]. Voor
een massief vectorveld Vµ gaan we uit van de Lagrangedichtheid:
1
1
L = − Fµν F µν + m2 Vµ V µ ,
4
2
(3.20)
Fµν = ∂µ Vν − ∂ν Vµ .
(3.21)
met:
De massaterm in L is hier zo gekozen dat de ruimtelijke componenten positief
bijdragen aan de Hamiltondichtheid.
De bewegingsvergelijking is:
∂ ν (∂µ V µ ) − ∂µ ∂ µ V ν − m2 V ν = 0 .
(3.22)
∂ν V ν = 0 ,
(3.23)
Contractie met ∂ν geeft:
zodat de bewegingsvergelijking vereenvoudigd tot:
u
t V µ + m2 V µ = 0 .
(3.24)
Dus elk van de componenten van het vectorveld voldoet aan de Klein-Gordon
vergelijking. Merk op dat de Lorentz conditie (3.23) hier een onderdeel van de
bewegingsvergelijking is (als m2 6= 0 !) en niet een ijkconditie. Quantisatie, en de
bepaling van de twee-puntsfunctie (propagator) verloopt het eenvoudigst in analogie
met de Maxwell-theorie. Voeg een term λ(∂µ V µ )2 toe aan de actie, bepaal de propagator en neem vervolgens de limiet λ → 0. Dit geeft voor de twee-puntsfunctie:
−i [
kρ kσ
gρσ
1
−
].
k 2 − m2 + i
m2 k 2 − m2 + i
(3.25)
De laatste term in (3.25) is evenredig met de impulsen van de propagator. In het
geval dat het massieve vectorveld alleen interacties heeft van de vorm
Lint ∼ Vµ j µ
met
∂µ j µ = 0 ,
(3.26)
zal deze laatste term niet bijdragen bij de berekening van diagrammen. Dan blijft
effectief dus alleen de eerste term in (3.25) over. Dit is wat we gekregen zouden
hebben in de limiet λ → 1.
25
4
Het GSW-model: zwakke interacties van leptonen
In de vorige sectie hebben we duidelijk gemaakt dat het invoeren van massieve
vectorvelden in de theorie van de zwakke interacties onvermijdelijk is, als we zwakke
processen ook bij hoge energieën goed willen beschrijven. Bij het invoeren van
vectorvelden zullen we uitgaan van locale ijkinvariantie. Een Yang-Mills theorie
voor de zwakke interacties is in de jaren zestig geconstrueerd door Glashow, Salam
en Weinberg [22, 23, 24, 25]. In dit hoofdstuk zullen we het lepton gedeelte van dit
model construeren.
4.1
De symmetrie van de zwakke interacties
We zullen ons beperken tot leptonen van de eerste generatie, dat wil zeggen, het
electron en het electronneutrino. De zwakke stroom is dan (3.7)
j µ = ψ̄ν γ µ (1 − γ 5 )ψe .
(4.1)
Laten we eerst de rol van de matrix γ 5 duidelijker maken. Omdat (γ 5 )2 = 1, kunnen
we met γ 5 twee projectieoperatoren maken:
P± = 21 (1 ± γ 5 ) .
(4.2)
Deze projectieoperatoren voldoen aan
P+ P− = 0 ,
P±2 = P± ,
P+ + P− = I .
(4.3)
De spinoren P± ψ zijn eigenspinoren van γ 5 met eigenwaarde ±1. De gebruikelijke
nomenclatuur is
ψL = P− ψ,
ψR = P+ ψ ,
(4.4)
waarbij de labels L(R) voor links(rechts)-handig staan. Deze naamgeving is geinspireerd op het feit dat de richting van spin en impuls van ψL(R) volgens een linksdraaiende (rechtsdraaiende) schroefbeweging met elkaar samenhangen.
Merk op dat in de zwakke stroom alleen het linkshandig deel van het electron
en het neutrino voorkomt. Voor het electron speelt het rechtshandig deel wel een
rol in de electromagnetische stroom, zodat voor het electron essentieel beide “handigheden” voorkomen2 . Het neutrino heeft echter alleen zwakke interacties, en dat
2
De handigheid van een fermion wordt ook wel chiraliteit genoemd. Als een fermion een
specifieke chiraliteit heeft, spreken we van een chiraal fermion.
26
betekent dat het rechtshandig deel zich op geen enkele manier manifesteert3 . We
zullen dan ook veronderstellen, dat het rechtshandig neutrino niet bestaat.
Deze veronderstelling over het neutrino moet dan wel in overeenstemming zijn
met Lorentz invariantie, met andere woorden, een spinor moet zijn handigheid
behouden onder een Lorentz transformatie. Het is gemakkelijk in te zien dat de
projectie-operatoren commuteren met infinitesimale Lorentz transformaties, die op
fermionen de vorm S = I + 14 iµν [γµ , γν ] hebben. De eigenwaarde van γ 5 is dus
invariant onder beperkte (met de eenheid verbonden) Lorentz-transformaties.
Is de handigheid van een spinor ook invariant onder de dynamica van de Diracvergelijking? Dan moet gelden
(i6 ∂ − m)γ 5 ψ = 0
als
(i6 ∂ − m)ψ = 0 .
(4.5)
We vinden dat
(i6 ∂ − m)γ 5 ψ = −γ 5 (i6 ∂ + m)ψ ,
(4.6)
zodat alleen voor m = 0 een spinor zijn handigheid behoudt. Dit betekent dat
alleen massaloze spinoren een vaste handigheid kunnen hebben. Het neutrino is
inderdaad massaloos, en we kunnen dus veilig stellen dat het rechtshandig deel van
het neutrino niet bestaat.
Na deze lange discussie over de handigheid van fermionen kunnen we nu de
ladingen behorend bij de zwakke stroom analyseren. De ladingen behorend bij
(4.1) zijn:
1
2
T+ =
Z
d3 x j 0 =
T− = T+† =
Z
Z
†
d3 x ψν,L
ψe,L ,
†
d3 x ψe,L
ψν,L .
(4.7)
(4.8)
Zoals we in sectie (1.1) gezien voldoen de ladingen aan dezelfde commutatierelaties
als de generatoren van de symmetriegroep. We berekenen dus:
[T+ , T− ] = 2 T3 ,
met:
T3 =
1
2
Z
†
†
d3 x (ψν,L
ψν,L − ψe,L
ψe,L ) .
(4.9)
(4.10)
De stromen die horen bij T± noemen we de geladen zwakke stromen4 en de stroom
bij T3 de neutrale zwakke stroom. Verder is er voor de leptonen natuurlijk ook nog
3
Behalve eventueel door de zwaartekracht. Ook massaloze deeltjes hebben energie en impuls,
en in de algemene relativiteitstheorie manifesteren energie- en impuls-dichtheden zich door een
bijdrage aan de zwaartekracht.
4
Geladen omdat [Q, T± ] 6= 0. Deze ladingen en stromen transformeren dus onder de transformaties van het electromagnetisme, en hebben dan ook een electrische lading.
27
een behouden electrische lading:
Q=−
Z
d3 x ψe† ψe = −
Z
†
†
d3 x (ψe,L
ψe,L + ψe,R
ψe,R ) ,
(4.11)
en een behouden lading die hoort bij het leptongetal Le :
QL =
Z
†
†
†
ψe,R ) .
ψe,L + ψe,R
ψν,L + ψe,L
d3 x (ψν,L
(4.12)
De ladingen T± , T3 en Q vormen een gesloten algebra met:
[T± , T3 ] = ∓T± ,
[T± , Q] = ∓T± ,
[T3 , Q] = 0 ,
(4.13)
terwijl alle ladingen commuteren met QL . We voeren nu in:
Q1
Q2
Q3
Y
= 21 (T+ + T− ) ,
= − 12 i (T+ − T− ) ,
= T3 ,
= 2 (Q − T3 ) .
(4.14)
Deze ladingen voldoen aan:
[Qa , Qb ] = iabc Qc ,
[Y, Qa ] = 0 ,
(4.15)
terwijl QL natuurlijk met Qa , Y commuteert. We zien dat de onderliggende structuur SU(2) × U(1) × U(1) is, met Qa de generatoren van SU(2), Y en QL die van
de twee U(1) groepen.
Zijn de ladingen wel behouden? Oftewel, geldt ∂µ j µ = 0 voor de bijbehorende
stromen? Bij het bewijs van ladingsbehoud hebben we de Dirac vergelijking voor
de fermion velden nodig, en op grond van onze discussie over chiraliteit en de Dirac
vergelijking is het duidelijk dat de ladingen alleen voor me = 0 behouden zijn.
We stellen daarom in eerste instantie de massa van het electron gelijk aan nul,
we zullen in het volgende hoofdstuk zien hoe we op een ijkinvariante manier een
electronmassa kunnen introduceren.
We kunnen het kinetisch deel van de actie nu schrijven als:
L = ψ̄e,L i6 ∂ ψe,L + ψ̄e,R i6 ∂ ψe,R + ψ̄ν,L i6 ∂ ψν,L .
(4.16)
We voeren nu in het doublet:
ψL =
ψν
ψe
28
!
,
L
(4.17)
zodat (4.16) wordt:
L = ψ̄L i6 ∂ ψL + ψ̄e,R i6 ∂ ψe,R .
(4.18)
Deze notatie maakt ook de SU(2) × U(1) structuur duidelijk: in het doublet ψL
werkt SU(2) en de U(1) factor Y , in het singlet (van SU(2)) ψe,R alleen Y . De
eigenwaarden zijn van Y = 2(Q − T3 ) (de zwakke hyperlading) voor de verschillende
deeltjes zijn:
Y (eL ) = Y (νL ) = −1
;
Y (eR ) = −2 .
(4.19)
Alle deeltjes hebben als eigenwaarde van QL +1, alle anti-deeltjes −1.
4.2
Zwakke interacties en locale symmetrie
De actie (4.18) is invariant is onder SU(2) × U(1) × U(1) transformaties. Van
een deel van deze symmetrieën willen we locale symmetrieën maken. Bij de locale
symmetriegroep moet in elk geval de symmetrie gegenereerd door Q zijn, en, gezien
onze ervaringen in sectie (3.3), ook de symmetrie gegenereerd door de ladingen
die bij de zwakke stroom horen. QL commuteert met al deze ladingen, en kan
dus afzonderlijk behandeld worden. We zullen ervoor kiezen, de SU(2) × U(1)
symmetrie gegenereerd door Qa en Y locaal te maken, en het leptongetal als globale
symmetrie te handhaven. De reden voor deze laatste beslissing is, dat er geen enkele
aanwijzing is voor een extra kracht die werkt tussen deeltjes met hetzelfde type
leptongetal.
We zullen dus van SU(2) × U(1) een locale symmetrie maken door ijkvelden in
te voeren. Dit gaat op de standaard manier. Voor SU(2) voeren we drie ijkvelden
Aaµ in en voor U(1) één ijkveld Bµ . De leptonvelden transformeren als volgt onder
infinitesimale transformaties
δψL = −i~τ · ~ ψL + 21 iα ψL ,
δψe,R =
0
+iα ψe,R .
(4.20)
We voeren nu covariante afgeleiden in:
~ µ + 1 ig 0 Bµ )ψL ,
Dµ ψL = (∂µ − ig~τ · A
2
Dµ ψe,R = (∂µ + ig 0 Bµ )ψe,R .
(4.21)
Hier zijn g en g 0 onafhankelijke dimensieloze koppelingsconstanten. Het transformatiekarakter van de ijkvelden is dan af te lezen uit de resultaten in sectie (2.3).
De actie met locale ijkinvariante wordt nu:
L = ψ̄L iγ µ Dµ ψL + ψ̄e,R iγ µ Dµ ψe,R .
(4.22)
Naast de kinetische termen hebben we dus interactietermen tussen de leptonen en
de ijkvelden:
gAaµ ψ̄L γ µ τa ψL − 21 g 0 Bµ ψ̄L γ µ ψL − g 0Bµ ψ̄e,R γ µ ψe,R .
29
(4.23)
Als we dit uitschrijven dan zien we dat A1µ ± iA2µ koppelen aan de geladen zwakke
stromen, en A3µ en Bµ aan neutrale stromen.
We voeren nu in de velden Aµ (het foton) en Zµ (het zwakke neutrale vectorboson), die een combinatie van A3µ en Bµ moeten zijn. Daartoe gaan we uit van de
neutrale bijdragen aan (4.23):
( 12 gA3µ − 12 g 0 Bµ )ψ̄ν,L γ µ ψν,L − ( 21 gA3µ + 21 g 0Bµ )ψ̄e,L γ µ ψe,L
−g 0 Bµ ψ̄e,R γ µ ψe,R .
(4.24)
We weten dat het neutrino niet aan het foton koppelt, zodat moet gelden:
1
gA3µ
2
− 12 gA3µ
− 21 g 0 Bµ = c1 Zµ ,
− 21 g 0 Bµ = c2 Zµ − eAµ ,
−g 0 Bµ = c3 Zµ − eAµ ,
(4.25)
waarbij c1 , c2 en c3 te bepalen constanten zijn. Kijk tevens naar de kinetische
termen:
− 41 Fµν (A)a F µν (A)a − 41 Fµν (B)F µν (B) .
(4.26)
We willen dat de normering van het foton zo is dat we − 41 Fµν F µν krijgen, en verder
willen we geen koppeling (∂µ Aν )(∂ µ Z ν ), want het foton koppelt niet aan neutrale
deeltjes. Dan moeten de paren (A3µ , Bµ ) en (Zµ , Aµ ) door middel van een rotatie
samenhangen:
A3µ = cos θZµ + sin θAµ ,
Bµ = − sin θZµ + cos θAµ .
(4.27)
De hoek θ heet de Weinberghoek. Vergelijking (4.25) en (4.27) geven nu:
e
; c2 = −e cot 2θ ;
sin 2θ
e
e
; g0 =
.
g =
sin θ
cos θ
c1 =
c3 = e tan θ ;
(4.28)
De interactietermen (4.24), uitgewerkt in termen van Aµ en Zµ , worden dan
− eAµ ψ̄e γ µ ψe
e
+
Zµ (ψ̄ν γ µ (1 − γ 5 )ψν
4 sin θ cos θ
+ ψ̄e γ µ ((4 sin2 θ − 1) + γ 5 )ψe ) ,
(4.29)
waarbij we alles weer in de oorspronkelijke spinoren ψν en ψe geschreven hebben.
Voor de geladen stromen hebben we de interactie:
1
g
2
h
ψ̄ν ψ̄e
i
L
γ
µ
"
0
A1µ − iA2µ
0
A1µ + iA2µ
30
#"
ψν
ψe
#
.
(4.30)
We definiëren nu:
1
Wµ± = √ (A1µ ∓ A2µ )
2
(4.31)
zodat (4.30) wordt in termen van Wµ± :
1 e
√
(Wµ+ ψ̄ν,L γ µ ψe,L + Wµ− ψ̄e,L γ µ ψν,L )
2 sin θ
1
e
= √
(Wµ+ ψ̄ν γ µ (1 − γ 5 )ψe + Wµ− ψ̄e γ µ (1 − γ 5 )ψν ) .
sin
θ
2 2
(4.32)
Met (4.29) en (4.32) hebben we alle interacties tussen leptonen en ijkvelden bepaald.
De bijbehorende kinetische termen voor de leptonen zijn tenslotte
ψ̄e i6 ∂ ψe + 21 ψ̄ν i6 ∂ (1 − γ 5 )ψν .
(4.33)
We bekijken nu de bijdragen die alleen van de ijkvelden afhangen:
− 41 Fµν (A)a F µν (A)a − 14 Fµν (B)F µν (B)
(4.34)
Fµν (A)a = ∂µ Aaν − ∂ν Aaµ + gabc Abµ Acν ,
Fµν (B) = ∂µ Bν − ∂ν Bµ .
(4.35)
met:
Ook dit willen we schrijven in termen van W ± , Zµ en Aµ . We herschrijven eerst:
Fµν (A)1 F µν (A)1 + Fµν (A)2 F µν (A)2
= (Fµν (A)1 + iFµν (A)2 )(F µν (A)1 − iF µν (A)2 )
(4.36)
met:
Fµν (A)1 + iFµν (A)2 = ∂µ (A1ν + iA2ν ) − ∂ν (A1µ + iA2µ )
+g (A2µ A3ν − A3µ A2ν ) + ig(A3µ A1ν − A1µ A3ν )
√
√
2 (∂µ Wν− − ∂ν Wµ− ) + 2 (igA3µ Wν− − igA3ν Wµ− )
=
√
ie
=
2 [∂µ Wν− − ∂ν Wµ− +
(cos θZµ + sin θAµ )Wν−
sin θ
ie
(cos θZν + sin θAν )Wµ− ]
−
sin
θ
√
2 [(∂µ + ieAµ )Wν− − (∂ν + ieAν )Wµ−
=
+ie cot θ(Zµ Wν− − Zν Wµ− )] .
(4.37)
31
Merk op dat we keurig de covariante afgeleide voor een geladen deeltje met de
lading van het electron terugvinden: daarom ook de notatie Wµ± . Verder geldt:
Fµν (A)3 = cos θ(∂µ Zν − ∂ν Zµ ) + sin θ(∂µ Aµ − ∂ν Aµ )
ie
−
(Wµ+ Wν− − Wµ− Wν+ ) ,
sin θ
(4.38)
en:
Fµν (B) = − sin θ(∂µ Zν − ∂ν Zµ ) + cos θ(∂µ Aν − ∂ν Aµ ) .
(4.39)
Met behulp van bovenstaande relaties schrijven we nu (4.34) uit. Het resultaat is:
−
−
+
−
+
+
+
1
F (A)F µν (A) − 14 (∂µ Zν − ∂ν Zµ )2
4 µν
1
(Dµ Wν− − Dν Wµ− )(D µ W ν+ − D ν W µ+ )
2
1
ie cot θ ((Dµ Wν− − Dν Wµ− )(Z µ W ν+ − Z ν W µ+ ) − h.c.)
2
1 2
e cot2 θ (Zµ Wν− − Zν Wµ− )(Z µ W ν+ − Z ν W µ+ )
2
1
ie cot θ (∂µ Zν − ∂ν Zµ )(W µ+ W ν− − W µ− W ν+ )
2
1
ie (∂µ Aν − ∂ν Aµ )(W µ+ W ν− − W µ− W ν+ )
2
e2
+
−
−
+
µ+
W ν− − W µ− W ν+ ) .
2 (Wµ Wν − Wµ Wν )(W
4 sin θ
(4.40)
Hiermee hebben we nu een model dat, behalve de zwakke interacties tussen leptonen, een hele verzameling nauwkeurig voorgeschreven interacties tussen de W - en
Z-bosonen en het foton beschrijft. Bovenstaande interacties kunnen triviaal worden
uitgebreid tot de andere generaties leptonen.
Figuur 4.1
Feynman diagram voor het verstrooiingsproces νµ e → νµ e. Dit
experiment kan gedaan worden met aan een atoom gebonden electronen. Kenmerk
voor de neutrale stroom is dat in de eindtoestand geen muon voorkomt.
Dit model voor de zwakke interacties van leptonen beschrijft natuurlijk in de
eerste plaats de gebruikelijke zwakke interacties door de geladen stroom, zoals het
muonverval (zie fig. 3.2, het vectordeeltje is het W − boson). Voor de ontdekking
van het GSW-model waren alleen de geladen zwakke interacties bekend. Via de
commutatierelaties tussen de ladingen van de geladen stroom hebben we gezien dat
32
het bestaan van een neutrale zwakke stroom, en het bijbehorend ijkveld, onvermijdelijk is. Er zijn ook processen waarbij alléén de neutrale stroom voorkomt, zoals
νµ e → νµ e, een proces dat we al kort in sectie (3.3) tegenkwamen (zie fig. 4.1).
Neutrale stromen werden voor het eerst ontdekt [26] in 1973, in het proces
νµ N → νµ N, waarbij N voor een nucleon staat. Dit vormde een belangrijke steun
in de rug van het GSW-model. Het is op grond van deze experimentele bevestiging
dat aan Glashow, Salam en Weinberg in 1979 de Nobelprijs werd toegekend.
In (4.40) zien we een grote verzameling drie- en vier-punts interacties tussen W
en Z bosonen onderling, en met het foton. Merk nog op, dat er een interactie tussen
fotonen en W -bosonen is, die niet de vorm van een gewone covariante afgeleide
heeft. Dit is de term waarin Fµν (A) wisselwerkt met het W -boson. Koppelingen
van Fµν (A) aan fermionen zijn niet mogelijk zonder dat een nieuwe, dimensievolle
koppelingsconstante wordt ingevoerd, met geladen vectorvelden kunnen dergelijke
koppelingen echter wel bestaan.
33
5
Het GSW-model: de massa van ijkvelden en fermionen
In het vorige hoofdstuk besproken model werken we met massaloze vectorvelden
en massaloze leptonen. Dit was nodig om een ijkinvariant model met de bekende
zwakke interacties te construeren. Massa-termen in de actie breken immers ijkinvariantie, de theorie van een massief vectorveld,
L = − 41 Fµν (V )F µν (V ) + 12 m2 Vµ V µ
(5.1)
is niet ijkinvariant.
We moeten dus op een ijkinvariante manier massa’s invoeren. Een methode om
dat te realiseren werd in de jaren zestig ontwikkeld. Vooral de namen van Goldstone
[27] en Higgs [28, 29] zijn daaraan gekoppeld, alhoewel in dezelfde periode dit
mechanisme onafhankelijk ook door anderen werd ontdekt [30, 31, 32].
5.1
De stelling van Goldstone
Er zijn tenminste twee manieren om de symmetrie van een model te breken. De
eerste, vanzelfsprekende, is door het toevoegen van een niet-invariante term aan de
actie. Dit wordt expliciete symmetriebreking genoemd. De tweede manier doet zich
voor als de actie weliswaar invariant is, maar de grondtoestand niet. We hebben
tot nu toe nog steeds verondersteld, dat de grondtoestand geannihileerd wordt door
de generatoren (ladingen) van de symmetriegroep:
Qa |0i = 0 ,
(5.2)
en daarop de consequenties van de symmetrie voor Green functies gebaseerd. Is
aan (5.2) niet voldaan voor alle ladingen Qa , dan spreken we van spontane symmetriebreking. Een consequentie van spontane symmetriebreking ligt in de stelling
van Goldstone: voor elke generator Qa die het vacuum niet annihileert, is er een
massaloze toestand (een Goldstone boson) in het model aanwezig.
We geven een schets van het bewijs (zie [27, 30], en ook [7], sectie (5.3)). We
R
gaan uit van een stroom jµ die voldoet aan ∂µ j µ = 0; Q = d3 x j 0 is de bijbehorende
lading. Een veld φ transformeert onder infinitesimale transformaties gegenereerd
door Q als:
φ(x) → φ0 (x) = eiQ φ(x)e−iQ
= φ(x) + i[Q, φ(x)] + . . .
(5.3)
Verder weten we:
0 =
Z
= ∂0
=
d3 x [∂µ j µ (x, t), φ(0)]
Z
d3 x [j 0 (x, t), φ(0)] + randtermen
d
[Q, φ(0)] = 0 ,
dt
34
(5.4)
waarbij we veronderstellen dat de randtermen nul zijn. Veronderstel nu dat Q|0i =
6
0, zodat:
h0|[Q, φ(0)]|0i ≡ η 6= 0 .
(5.5)
Hieruit kunnen we het volgende afleiden:
η =
X
n
=
h0|Q|nihn|φ(0)|0i − . . .
XZ
n
=
XZ
n
=
XZ
n
=
X
n
d3 x h0|j 0 (x, t)|nihn|φ(0)|0i − . . .
d3 xh0|eiP ·x j 0 (0)e−iP ·x |nihn|φ(0)|0i − . . .
~
d3 x e+iPn ·~x h0|j 0 (0)|nihn|φ(0)|0ie−iEnt − . . .
δ 3 (p~n )(2π)3 {h0|j 0(0)|nihn|φ(0)|0ie−iEnt
−h0|φ(0)|nihn|j 0|0ie+iEnt } .
(5.6)
Het linkerlid is onafhankelijk van t en ongelijk aan nul. Dit kan alleen als er een
intermediaire toestand |ni is met En = 0 voor p~n = 0, dus een massaloze toestand.
Een klassiek voorbeeld van spontane symmetriebreking doet zich voor in het
volgende veldentheoretisch model:
L = 21 (∂λ σ)2 + 21 (∂λ π)2 − V (σ 2 + π 2 ) ,
(5.7)
V (x) = − 21 µ2 x + 14 λx2 .
(5.8)
met:
Merk op dat, in tegenstelling tot wat we gewend zijn, het teken van de massaterm
in de Lagrangedichtheid positief is. Wel is de potentiaal, voor λ > 0, van onder
begrensd. Dit model heet een σ-model en is bekend als een fenomenologisch model
voor"de beschrijving
van π-mesonen [33]. Het model is invariant onder O(2) rotaties
#
σ
van
:
π
#
"
#"
#
"
#
"
cos θ sin θ
σ
σ
σ0
=
.
(5.9)
→
− sin θ cos θ
π
π0
π
De potentiaal V (x) heeft een extremum voor:
µ2
= v2
λ
µ2
⇒ σ2 + π2 =
.
λ
− 12 µ2 + 21 λx ⇒ x =
35
(5.10)
De minima corresponderen met punten op een cirkel met straal (µ2 /λ)1/2 , die aan
elkaar gerelateerd zijn door O(2) rotaties. Als we een keuze maken voor één van
deze punten, breken we daarmee de symmetrie. Dit is het verschijnsel dat bekend
staat onder de naam spontane symmetriebreking. We kiezen:
h0|σ|0i = v;
h0|π|0i = 0 .
(5.11)
Vervolgens voeren we een herdefinitie van de velden in:
σ 0 = σ − v;
π0 = π ,
(5.12)
en berekenen opnieuw de lagrangedichtheid5 :
L =
1
(∂ σ 0 )2 + 21 (∂λ π 0 )2 − λv 2 σ 02
2 λ
−λvσ 0 (σ 02 + π 02 ) − 14 λ(σ 02 + π 02 ) .
(5.13)
√
√
We zien dat het veld σ 0 massa 2λv 2 = 2µ2 heeft, nu met het gebruikelijke teken.
Het veld π 0 is massaloos, het is het Goldstone boson van het σ-model.
Merk op dat de Lagrangedichtheid (5.13) nog steeds invariant is onder de transformaties (5.9), mits we deze uitdrukken in de nieuwe velden σ 0 en π 0 . Spontane
symmetriebreking behoudt de symmetrie van de actie! In termen van σ 0 en π 0 geven
infinitesimale transformaties (5.9):
δσ 0 = θπ 0 ,
δπ 0 = −θσ 0 − θv ,
(5.14)
zodat het Goldstone boson verschoven wordt met een constante θv. De waarde van
π 0 in de grondtoestand wordt door de transformaties inderdaad niet behouden.
5.2
Het Higgs-mechanisme
In veldentheoretische modellen met locale symmetrie en spontane symmetriebreking
kan zich een ander verschijnsel voordoen: het Higgs-mechanisme. We zullen dit
toelichten aan de hand van het volgende voorbeeld:
L = (Dµ φ)∗ D µ φ + µ2 φ∗ φ − λ(φ∗ φ)2 − 41 Fµν F µν ,
(5.15)
5
Voor de berekening van de potentiaal in de nieuwe variabelen is het handig als volgt te werk
te gaan:
V (x)
= V (x0 ) + (x − x0 )V 0 (x0 ) + 12 (x − x0 )2 V 00 (x0 )
= const. + 14 (x − v 2 )2 λ
= const. + 14 λ(σ 2 + π 2 − v 2 )2
λ
= const. + (σ 02 + π 2 + 2vσ 0 )2 .
4
36
met:
Dµ φ = (∂µ − igAµ )φ ,
Fµν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ .
Dit model heeft locale ijkinvariantie:
φ → φ0 = e−iα(x) φ ,
1
Aµ → A0µ = Aµ − ∂µ α(x) .
g
(5.16)
De grondtoestand wordt bepaald door het minimum van de potentiaal. Dit ligt bij
(x = φ∗ φ):
q
met
v = µ2 /λ .
x0 = 21 µ2 /λ = 21 v 2
(5.17)
Ook in dit model is dus sprake van spontane
symmetriebreking. In termen van
√
reële velden φ1 en φ2 (φ = (φ1 + iφ2 )/ 2) kiezen we voor de grondtoestand
h0|φ1|0i = v,
h0|φ2 |0i = 0 .
(5.18)
φ02 = φ2 .
(5.19)
Opnieuw herdefiniëren we de velden:
φ01 = φ1 − v,
De potentiaal ontwikkelen we net als in het vorige voorbeeld, en het lijkt er dan
weer op dat φ2 een massaloos Goldstone boson wordt. De ontwikkeling van de
kinetische term levert nu echter een verrassing:
|Dµ φ|2 =
=
+ gAµ φ2 )2 + (∂µ φ2 − gAµ φ1 )2 )
+ gAµ φ02 )2 + (∂µ φ02 − gAµ φ01 )2
−2gvAµ (∂µ φ02 − gAµ φ01 ) + g 2 v 2 Aµ Aµ ) .
1
((∂µ φ1
2
1
((∂µ φ01
2
(5.20)
De laatste term is een massaterm voor het ijkveld Aµ ! De actie bevat echter ook een
term −gvAµ ∂µ φ2 , die een interpretatie van de velden φ2 en Aµ belemmert. Daarom
is het handiger de herdefinitie op een andere manier uit te voeren. In plaats van
met φ1 en φ2 kunnen we φ ook als volgt parametriseren met η en ξ:
iξ(x)
1
φ = √ (v + η(x)) exp
v
2
1
= √ (v + η + iξ + . . .) .
2
37
!
(5.21)
Alleen voor kleine η en ξ komen de twee parametrisaties overeen. We herdefiniëren
de velden opnieuw:
!
iξ(x)
1
φ0 = exp −
φ = √ (v + η(x)) ,
v
2
1
Bµ = Aµ − ∂µ ξ(x) .
gv
Dit heeft de vorm van een ijktransformatie, dus vinden we:
(5.22)
!
ξ(x)
Dµ (B)φ0
Dµ φ = exp +i
v
!
ξ 1
√ (∂µ η − igBµ (η + v)) ,
= exp +i
v
2
(5.23)
oftewel:
|Dµ φ|2 = 21 |∂µ η − igBµ (v + η)|2 .
(5.24)
De Lagrangedichtheid (5.15) wordt dan in termen van de nieuwe velden:
L =
1
(∂ η)(∂ µ η) − µ2 η 2 − 41 Fµν (B)F µν (B)
2 µ
+ 21 g 2 v 2 Bµ B µ + 12 g 2 Bµ B µ η(2v + η)
−λvη 3 − 41 λη 4 .
(5.25)
De Lagrangedichtheid (5.25) heeft de volgende opmerkelijke eigenschappen:
1. Het veld ξ is verdwenen.
√
2. η is een massief scalair veld met massa µ 2.
3. Bµ is een massief vectorveld met massa gv.
Zo te zien is er geen Goldstone boson meer. Het veld Aµ had twee vrijheidsgraden (polarisatierichtingen), en de velden φ1 en φ2 elk één, in totaal waren er
dus vier vrijheidsgraden. Nu hebben we een veld η en een massief vector B. Het
massieve vectorveld heeft het Goldstone boson ’geabsorbeerd’ heeft en er een longitudinale polarisatierichting bij gekregen. Dit mechanisme staat bekend als het
Higgs-mechanisme, en we zullen het gebruiken om massa’s in te voeren in het
GSW-model.
De laatste vraag is natuurlijk, wat er nu gedaan is om de stelling van Goldstone
te omzeilen. In aanwezigheid van locale symmetrie en ijkvelden moeten we subtieler
werken met de eigenschappen van fysische toestanden dan we in sectie (5.1) gedaan
hebben. In het bijzonder moeten we het Gupta-Bleuler mechanisme toepassen, en
daarmee toestanden van negatieve norm verwijderen. Toestanden met norm nul
kunnen dan nog overblijven, maar dragen niet bij aan de verwachtingswaarde van
observabelen. Bij het bewijs van de stelling van Goldstone is impliciet uitgegaan
van de afwezigheid van toestanden met norm nul.
38
5.3
Massa in het GSW-model
We gaan nu het Higgs-mechanisme toepassen in ons model voor de zwakke en
electromagnetische interacties van leptonen. Daarbij moeten we voorzichtig te werk
gaan, omdat één van de vier ijkvelden, het foton, massaloos moet blijven. Dit
betekent dat de symmetrie behorend bij één van de symmetriegeneratoren, Q, niet
gebroken mag worden. Dus we moeten SU(2) × U(1) breken tot U(1), waarbij de
ongebroken symmetrie gegenereerd wordt door Q = 21 Y + T3 .
Om te beginnen moeten we het GSW-model aanvullen met scalaire velden. We
kiezen een doublet van complexe scalaire velden:
φ=
!
φ+
φ0
,
Y (φ) = 1 .
(5.26)
De namen van de twee componenten hangt natuurlijk samen met hun electrische
lading. Als Lagrangedichtheid kiezen we
Lφ = (Dµ φ)† D µ φ − V (φ) ,
(5.27)
~ µ − 1 ig 0 Bµ )φ
Dµ φ = (∂µ − ig~τ · A
2
(5.28)
waarbij:
2 †
†
2
V (φ) = −µ φ φ + λ(φ φ) .
(5.29)
Bovendien voeren we een ijkinvariante koppeling tussen de leptonen en φ in:
LY = fe ψ̄L φ ψR,e + h.c. .
(5.30)
Een dergelijke koppeling wordt wel een Yukawa-koppeling genoemd. Deze interactieterm is invariant onder SU(2)- en Y -transformaties.
Vanwege de vorm van (5.29) treedt ook hier spontane symmetriebreking op. We
kunnen voor de grondtoestand kiezen:
0
h0|φ|0i =
√1 v
2
!
.
(5.31)
We zien dat door deze keuze de symmetrie gegenereerd door Q niet gebroken wordt.
We voeren de herdefinitie weer uit zoals in het vorige voorbeeld:
φ(x) = U
met:
−1
0
√1 (v + η)
2
(ξ)
U(ξ) = exp iξ~ · ~τ /v .
39
!
,
(5.32)
(5.33)
We parametriseren φ+ en φ0 (samen vier reële velden) dus als ξi (i = 1, . . . , 3) en
η. De vacuumverwachtingswaarde van ξi en η is nul. We nemen nu:
0
√1 (v + η)
2
0
φ = U(ξ)φ =
!
,
(5.34)
en herdefiniëren de ijkvelden met dezelfde transformatie. Voor de covariante afgeleide
van φ geeft dit:
0
~0 − i g B0 )
(Dµ φ)0 = (∂µ − ig~τ · A
µ
2 µ
0
√1 (v + η)
2
!
,
(5.35)
~ 0µ · ~τ = U(ξ)A
~ µ · ~τ U −1 (ξ) − i (∂µ U(ξ))U −1 (ξ) ,
A
g
0
0
0
Bµ = Bµ , ψL = U(ξ)ψL , ψe,R
= ψe,R .
(5.36)
waarbij:
We werken nu het effect van deze transformatie verder uit. Om te beginnen kijken we naar de Yukawa-interactie tussen φ en de leptonen. In termen van de
geherdefiniëerde velden wordt dit:
0
= fe ψ̄L0 φ0 ψe,R
1
1
0
0
0
0
= √ fe ψ̄e,L
ψe,R
η + √ vfe ψ̄e,L
ψe,R
+ h.c.
2
2
1
1
(5.37)
= √ fe ψ̄e0 ψe0 η + √ vfe ψ̄e0 ψe0 .
2
2
We zien dat er een massaterm voor het electron ontstaat, en een interactie tussen
de electronen en η.
De potentiaal V (φ0 ) kan worden uitgeschreven als:
LY
V (φ0 ) = µ2 η 2 + λvη 3 + 14 λη 4 .
(5.38)
We zien dat er een massaterm voor het veld η optreedt.
Tenslotte de termen met de covariante afgeleide (Dµ φ)0 . Van de covariante
afgeleide blijft het volgende over:
(Dµ φ)
0
1
= √
2
"
∂µ η +
1
20
ig(A10
µ − iAµ )(v + η)
2
1 0 0
1
igA30
µ (v + η) − 2 ig Bµ (v
2
+ η)
#
en in de kinetische term voor de scalaire velden levert dat:
e2
0 † µ 0
2
0+
µ0−
1
(Dµ φ ) D φ = 2 (∂µ η) +
(v + η)2
2 Wµ W
4 sin θ
e2
(Z 0 )2 (v + η)2 .
+
8 sin2 θ cos2 θ µ
We geven een overzicht van het resultaat:
40
,
(5.39)
(5.40)
1. De velden ξi zijn verdwenen.
√
2. η is een reëel scalair veld met massa µ 2. Het veld η noemen we het Higgs
boson.
3. De termen kwadratisch in het electronveld zijn nu:
1
ψ̄e i6 ∂ ψe + √ vfe ψ̄e ψe ,
2
(5.41)
dus er is een electronmassa met
1
me = − √ vfe .
2
(5.42)
Het neutrino is massaloos. Er is ook een interactieterm tussen η en ψe , met
koppeling:
m
1
√ fe = − e .
(5.43)
v
2
De interactiesterkte is evenredig met de electronmassa.
4. De massa van de vectorbosonen kunnen we aflezen uit (5.40). De vorm van
de massatermen is
2
MW
Wµ+ W µ− + 21 MZ2 Zµ Z µ ,
(5.44)
zodat we concluderen dat
2
MW
=
1 2 2
g v
4
MZ2 =
1 2 2
v e
4
= 41 v 2 e2
1
,
sin2 θ
1
.
cos2 θ sin2 θ
(5.45)
(5.46)
Daarmee is het gelukt zowel fermionen als ijkbosonen een massa te geven.
Merk op dat onze discussie van het Higss-mechanisme en het genereren van
de massa-termen zich op klassiek niveau afspeelt. Belangrijk is bijvoorbeeld of de
quantumtheorie van het model dat we hier besproken hebben renormaliseerbaar
is, zodat we in de storingstheorie eindige resultaten voor Green functies kunnen
afleiden. Daarbij dient te worden opgemerkt, dat de veldentheorie van een massief
vectorveld, met ad hoc interactietermen met andere velden, in het algemeen niet
renormaliseerbaar is. Lange tijd was dit dan ook een groot bezwaar tegen het GSW
model, en tevens de reden dat de artikelen van GSW in eerste instantie weinig
aandacht trokken. De eerste belangrijke stap op weg naar de aanvaarding van het
GSW model was het bewijs dat Yang-Mills theorie zelf, met massaloze ijkvelden,
renormaliseerbaar is [34]. Vervolgens kan men concluderen, dat in het geval van
spontane symmetriebreking de resulterende actie nog steeds ijkinvariant is, zodat
41
de Ward identiteiten die op grond van ijkinvariantie kunnen worden afgeleid in
Yang-Mills theorie nog steeds gelden. Dit bleek voldoende om vervolgens ook de
renormaliseerbaarheid van het GSW-model aan te tonen [35].
Na het bewijs van ’t Hooft werd het GSW-model in korte tijd algemeen aanvaard. Naast de theoretische discussie die we in dit hoofdstuk hebben gegeven
is het natuurlijk belangrijk in te gaan op de experimentele consequenties van het
GSW-model. Dat zullen we doen nadat we in het volgende hoofdstuk het model
hebben uitgebreid tot de quarks.
42
6
Het GSW-model: quarks en de zwakke interacties
Naast de leptonen hebben we als elementaire deeltjes de quarks. Alle baryonen en
mesonen, de sterk wisselwerkende deeltjes, zijn uit quarks opgebouwd. Daarnaast
hebben deze baryonen en mesonen ook zwakke interacties, die in het GSW-model
terug te voeren zijn tot de zwakke interacties van de quarks. Ter voltooiing van
de structuur van het GSW-model zullen we nu eerst de zwakke interacties van
quarks bespreken, en pas in een later stadium ingaan op de manier waarop de
sterke interacties tot stand komen.
In dit hoofdstuk zullen we de fermionen aangeven met de naam van het deeltje,
dus we gebruiken uL in plaats van ψL,u , etc.
6.1
De eerste generatie
Het doel van dit hoofdstuk is het invoeren van de quarks in het GSW-model. Er
zijn drie generaties quarks, te weten (u, d), (c, s) en (t, b). We zullen ons eerst tot
de eerste generatie beperken.
We gaan op dezelfde wijze te werk als met de leptonen, dus we veronderstellen
eerst dat de quarks massaloze deeltjes zijn. We splitsen de quarkvelden weer op
in een links- en rechtshandig deel. Het is een experimenteel gegeven dat in de
geladen stromen alleen linkshandige componenten voorkomen. Dit betekent dat
alleen het linkshandig deel van de quarkvelden onder SU(2) hoeft te transformeren.
We hebben dus:
"
#
u
qL ≡
,
uR ,
dR ,
(6.1)
d L
waarbij uR en dR singlets onder SU(2) zijn. Aangezien uiteindelijk beide quarks
massief zijn, moeten we vanaf het begin beide rechtshandige componenten meenemen. Dit is het voornaamste verschil tussen de lepton- en de quark-sector van het
GSW-model. De eigenwaarden van de zwakke hyperlading Y = 2 (Q − T3 ) zijn:
Y (uL ) = Y (dL) = 31 ,
Y (uR ) = 34 ,
Y (dR ) = − 32 ,
(6.2)
zodat voldaan is aan Q(u) = 32 , Q(d) = − 13 . Deze ladingen volgen uit de quarkstructuur van de hadronen, we zullen hierop nog terugkomen als we de sterke interacties
behandelen.
We beginnen met een actie voor massaloze deeltjes:
L = q̄L i6 ∂ qL + ūR i6 ∂ uR + d¯R i6 ∂ dR .
(6.3)
Dit is invariant onder globale SU(2)×U(1) transformaties. De overgang naar locale
symmetrie vereist weer het invoeren van een covariante afgeleide:
~ µ − 1 ig 0 Bµ )qL ,
Dµ qL = (∂µ − ig~τ · A
6
43
Dµ uR = (∂µ − 32 ig 0 Bµ )uR ,
Dµ dR = (∂µ + 13 ig 0 Bµ )dR .
(6.4)
Hiermee liggen de interacties tussen ijkvelden en quarks vast.
~ µ en Bµ al uitgedrukt in e, θ, W ± , Zµ en
In hoofdstuk 3 hebben we g, g 0, A
µ
Aµ , dus voor de quarks hoeven we alleen nog maar het één en ander verder uit te
werken. Na enig rekenwerk zien we dat de interactietermen van de volgende vorm
zijn:
+
2
e ūγ µ uAµ
3
¯ µ dAµ
− 31 e dγ
e
Zµ (ūγ µ (1 − 38 sin2 θ − γ5 )u
4 sin θ cos θ
¯ µ (−1 + 4 sin2 θ + γ5 )d)
+ dγ
3
e
µ
¯ µ (1 − γ5 )u W − ) .
(ūγ (1 − γ5 )d Wµ+ + dγ
+ √
µ
2 2 sin θ
+
(6.5)
Dit geeft de gebruikelijke interacties met het foton, een neutrale stroom, en de
verwachte koppeling van het W -boson aan de geladen stroom. Het verval van het
neutron kunnen we nu beschrijven met het diagram in fig. 6.1. Hier gaat één van de
d-quarks in het neutron over in een u-quark, onder uitzending van een W − -boson.
Figuur 6.1
Feynman diagram voor het verval van het neutron.
Om massa’s voor de quarks te genereren zullen we weer de fermionen aan scalaire
velden koppelen in de vorm van een Yukawa koppeling. De Y -eigenwaarde van het
Higgs doublet is Y = +1, zodat de volgende SU(2) × U(1) invariante koppeling
gemaakt kan worden:
fd q̄L φ dR ,
(6.6)
waarmee na spontane symmetriebreking het d-quark een massa krijgt. Nu moet
het u-quark nog een massa krijgen. Daartoe beschouwen we het doublet
φ̃ = iσ2 φ∗ .
(6.7)
Vanwege de conjungatie heeft dit Y = −1. Verder is het inderdaad een doublet
onder SU(2) als φ een doublet is:
φ̃0 = iσ2 (φ0 )∗ = iσ2 U ∗ φ∗ = iUσ2 φ∗
44
= U φ̃ ,
(6.8)
omdat σ2 U ∗ σ2 = U. Hier maken we dus gebruik van het feit dat voor SU(2)
de representaties U en U ∗ equivalent zijn (zie Appendix A). We kunnen dus twee
Yukawa termen construeren:
fd q̄L φ dR + fu q̄L φ̃ uR .
(6.9)
Als we nu voor φ
φ=
0
√1 (η + v)
2
!
(6.10)
nemen vinden we de volgende massa- en interactietermen voor de quarks:
η
¯ + fu ūu) + √1 v (fd dd
¯ + fu ūu) ,
√ (fd dd
2
2
(6.11)
op dezelfde wijze als bij de leptonen. Voor de massa’s van de quarks vinden we dus
vfq
mq = − √ ,
2
(6.12)
zodat de interactiesterkte tussen het Higgs-boson en de quarks gelijk is aan
−
mq
,
v
(6.13)
en dus het sterkst voor de zwaardere quarks.
6.2
Meer dan één generatie quarks en leptonen
Er is meer dan alleen de eerste generatie. Er zijn tenminste drie generaties deeltjes,
met linkshandige doubletten van de vorm:
lA,L =
"
νA0
e0A
qA,L =
"
u0A
d0A
#
#L
,
ν 0 = (νe0 , νµ0 , ντ0 ) ,
,
u0 = (u0 , c0 , t0 ) ,
e0 = (e0 , µ0, τ 0 ) ,
d0 = (d0 , s0 , b0 ) ,
(6.14)
L
waarbij het label A = 1, 2, 3 de generatie aangeeft. Ook zijn er natuurlijk de bijbehorende rechtercomponenten. We geven hier alle velden een accent. De reden is dat
we nu onderscheid moeten gaan maken tussen de zogenaamde ijk-eigentoestanden,
dat wil zeggen de velden zoals we die tot nu toe gebruikt hebben, met gegeven quantumgetallen onder ijktransformaties, en massa-eigentoestanden, dus velden die op
de gebruikelijke kwadratische manier met massa-termen in de Lagrangedichtheid
45
voorkomen. De ijk-eigentoestanden geven we een accent. Zij koppelen op de bekende manier aan de ijkvelden, en in termen van deze velden kunnen we dus de
Yukawa termen toevoegen. Dit doen we nu op de meest algemene manier:
fAB ¯lAL φ e0BR + fAB q̄AL φ̃ u0BR + fAB q̄AL φ d0BR + h.c.
(e)
(u)
(d)
Dit geeft als massa- en interactietermen:
η
(e) 0
(u)
(d)
√ (fAB
ēAL e0BR + fAB ū0AL u0BR + fAB d¯0ALd0BR )
2
v
(e)
(u)
(d)
+ √ (fAB ē0AL e0BR + fAB ū0ALu0BR + fAB d¯0ALd0BR ) + h.c.
2
(6.15)
(6.16)
De massatermen zijn nu niet noodzakelijkerwijze diagonaal. De massa-matrix is:
v (i)
(i)
MAB = − √ fAB ,
i = e, u, d .
(6.17)
2
We veronderstellen dat de massa-matrix M niet-singulier is. Verder heeft M geen
bijzondere eigenschappen. We zullen nu bewijzen dat M gediagonaliseerd kan worden door:
S † MT = Md ,
(6.18)
waarbij S en T unitaire matrices zijn.
Het bewijs gaat als volgt: MM † is hermitisch, positief, en kan dus gediagonaliseerd worden met een unitaire matrix S:

S † (MM † )S = Md2 = 
m21
m22

m23
waarbij S uniek bepaald is op een matrix F van de vorm

F =

eiφ1
eiφ2
iφ3
e



,



na. Er geldt immers ook (SF )† (MM † )(SF ) = Md2 . Definieer nu:
H = SMd S † ,
V = H −1 M .
Dan is H hermitisch en V unitair. Dit laatste zien we als volgt:
VV† =
=
=
=
H −1 MM † H −1
H −1 SMd2 S † H −1
H −1 SMd S † SMd S † H −1
H −1 HHH −1 = I .
46
(6.19)
(6.20)
en dus:
S † MT = Md ,
(6.21)
met T = V † S (ook unitair!). Immers, S † HS = S † MV −1 S = S † MV † S = Md .
Door op deze wijze de matrices met Yukawa koppelingen te diagonaliseren kunnen we de massa-eigentoestanden vinden. In een voorbeeld ziet dat er als volgt
uit:
ψ̄L0 M ψR0 = (ψ̄L0 S)(S † MT )(T † ψR0 )
= ψ̄L Md ψR ,
(6.22)
met:
ψL0 = SψL ,
ψR0 = T ψR .
(6.23)
Hierbij bevatten ψL en ψR dus de fermionen van drie generaties, en zijn M en Md
3 × 3-matrices.
Laten we dit nu toepassen op de quarks en leptonen. We diagonaliseren alle
massa-matrices met matrices S en T , zodat we matrices S(e) , S(u) , S(d) en T(e) ,
T(u) , T(d) hebben. De massa-eigentoestanden zijn de deeltjes die we in de natuur
waarnemen, dus moeten we nu de interactietermen in het GSW-model uitdrukken
in de massa-eigentoestanden. Dit speelt alleen een rol voor de interacties tussen
de fermionen en de ijkvelden, dus de termen die de zwakke stromen bepalen. De
interacties tussen het Higgs-deeltje en de fermionen hebben dezelfde vorm als de
massa-termen, en worden, uitgedrukt in massa-eigentoestanden, ook meteen diagonaal.
Laten we beginnen met de zwakke stromen voor de quarks. Aangezien in de
zwakke stromen alleen de linkshandige componenten van de velden voorkomen, zien
we daar alleen de matrices S. De geladen stroom ziet er als volgt uit:
j µ = ū0ALγ µ d0AL
†
= ūALγ µ (S(u)
S(d) )AB dBL
µ
= ūALγ (U)AB dBL ,
(6.24)
u0L = S(u) uL ,
(6.25)
vanwege de herdefinities
d0L = S(d) dL .
De matrix
†
S(d)
U = S(u)
(6.26)
die we in (6.24) geı̈ntroduceerd hebben is unitair. Deze matrix heet voor drie generaties de Kobayashi-Maskawa matrix [36], voor twee generaties de Cabbibo-matrix
47
[37]. U bepaalt de overgangen die mogelijk zijn tussen verschillende generaties. In
het geval dat U diagonaal zou zijn, zijn dergelijke overgangen niet mogelijk. De
vorm van U is echter iets dat door het experiment bepaald moet worden.
Merk op dat de neutrale zwakke stroom diagonaal is in de velden uA en dA ,
zodat door de unitariteit van de matrices S daar geen matrix zoals U optreedt.
In de lepton-sector is er een soortgelijke matrix V , en ziet de geladen stroom er
na de herdefinitie dus uit als:
jeµ = ν̄AL γ µ (V )AB eBL .
(6.27)
De matrix V kunnen we echter verwijderen door een herdefinitie, met V −1 , van de
neutrino-velden, die immers massa nul hebben en dus niet ’gevoelig’ zijn voor een
dergelijke herdefinitie. In de lepton-sector treedt de bovenstaande koppeling tussen
generaties dus niet op.
Het aantal parameters in de 3 × 3 unitaire matrix U is a priori 9, maar dit
kunnen we door herdefinities terugbrengen tot een kleiner aantal. Merk op dat we
U kunnen vereenvoudigen door elk van de quarkvelden (6 stuks) met een fasefactor
te herdefinieren. Nu is U invariant als we alle quarks met dezelfde fase veranderen,
dus 5 parameters kunnen uit U verwijderd worden (zie [7], sectie (12.2)). Er blijven
dus 4 parameters over.
Meer in het algemeen, voor n generaties, is U een matrix met n2 parameters.
Daarvan kunnen we er 2n − 1 verwijderen door herdefinities van quarkvelden, we
houden dus over n2 − 2n + 1. Voor n = 2 is dit 1, in dat geval kunnen we U als
volgt parametriseren:
!
cos θc sin θc
UC =
.
(6.28)
− sin θc cos θc
De hoek θc heet de Cabbibo-hoek [37]. Experimenteel geldt dat θc ongeveer gelijk
is aan 15◦ , zodat we zien dat onze exercitie met menging van quark-flavours niet
overbodig is. De implicatie van θc voor het experiment is, dat de quarks uit de
tweede generatie (c, s), kunnen vervallen naar quarks uit de eerste generatie.
Voor drie generaties hebben we dus 4 parameters, en staat U bekend als de
Kobayashi-Maskawa [36] matrix, meestal geparametriseerd als:
UKM


c1
s1 c3
s1 s3

iδ
c1 c2 s3 + s2 c3 eiδ 
=  −s1 c2 c1 c2 c3 − s2 s3 e

iδ
iδ
−s1 s2 c1 s2 c3 + c2 s3 e c1 s2 s3 − c2 c3 e .
(6.29)
Alleen voor δ = 0 is dit een reële, orthogonale matrix.
De fase δ in de Kobayashi-Maskawa matrix is om de volgende reden speciaal.
We hebben al opgemerkt in hoofdstuk 3 dat de zwakke interacties de pariteit symmetrie breken. Een symmetrie als pariteit wordt een discrete symmetrie genoemd,
omdat er geen continue parameters mee geassocieerd zijn. Naast pariteit zijn er nog
48
twee discrete symmetrieën in de elementaire deeltjes fysica: de ladingsconjugatie
C, die ruwweg alle deeltjes door anti-deeltjes vervangt, en T , die de tijd omkeert.
Alle bekende veldentheorieën zijn invariant onder het product CP T . Aangezien
de zwakke interacties P breken, breken ze dus ook het product van C en T . De
complexe fase δ zorgt ervoor dat de actie niet meer invariant is onder CP transformaties, en dus ook niet meer onder T . Processen die CP en dus T breken komen
voor bij het verval van de neutrale K-mesonen. We zullen dit onderwerp uit de
deeltjesfysica in dit college niet verder behandelen. Sectie (12.2) van [7] geeft een
overzicht hierover.
De menging van de verschillende generaties quarks leidt dus tot de zogenaamde
’flavour-changing charged current’ processen. Deze zijn bijvoorbeeld verantwoordelijk voor het verval van K-mesonen, en andere vreemde deeltjes. Neem bijvorbeeld K ± . K ± bestaat uit s en u quarks: K + = (us̄), K − = (ūs). Het
meest voorkomende verval van deze deeltjes is naar µ± ν (met natuurlijk een muonneutrino). Het bijbehorende proces is:
Figuur 6.1
Feynman diagram voor het verval van het K ± -meson.
¯ en (ds̄) is er geen verval naar
Voor het K 0 en K̄ 0 deeltje, opgebouwd uit (ds)
bijvoorbeeld µ+ µ− (in laagste orde). De reden is dat de neutrale stroom, dus de
koppeling aan Z 0 , wél flavour behoudt. K 0 vervalt daarom voornamelijk naar
pionen via andere processen.
49
7
Quantisatie van Yang-Mills theorie
In dit hoofdstuk bespreken we de quantisatie van Yang-Mills ijkvelden in het padintegraal formalisme. Hierbij treden in eerste instantie dezelfde problemen op als bij
de quantisatie van het electromagnetisch veld. De oplossing die daar werd gevonden, de quantisatiemethode van Gupta en Bleuler, blijkt nu niet te werken. We
volgen voor Yang-Mills velden de Faddeev-Popov [13] methode. Deze wordt in veel
boeken over quantumveldentheorie besproken, ook in [7], hoofdstuk 9. Een heldere
beschrijving van de Faddeev-Popov methode is te vinden in het boek van Pokorski
[14].
7.1
IJkbrekende termen in de padintegraal
Het Maxwell veld wordt beschreven door de Lagrangedichtheid
L = − 14 Fµν F µν
= 21 Aν (u
t Aν − ∂ν ∂µ Aµ ) + totale afgeleide .
(7.1)
Bij de quantisatie van het Maxwell veld treedt een probleem op. Dit kunnen we
op twee manieren constateren: in het kanoniek formalisme, waarbij de velden operatoren zijn, en dan voldoen aan commutatierelaties bij gelijke tijd, en in het
padintegraal formalisme.
In het kanoniek formalisme is de kanonieke impuls behorend bij de coördinaat
A0 gegeven door
∂L
π0 ≡
= 0.
(7.2)
∂ Ȧ0
Hierdoor kan π 0 niet als operator met de gebruikelijke commutatierelaties opgevat
worden.
In de padintegraal hebben we in de Lagrangedichtheid (7.1) het probleem dat
de differentiaaloperator
u
t gµν − ∂µ ∂ν
(7.3)
geen inverse heeft. Immers, ∂ ν Λ is voor elke Λ eigenvector bij eigenwaarde nul. Dit
betekent dat de twee-puntsfunctie voor het vrije veld niet gedefinieerd kan worden.
De oplossing die in [1] wordt besproken is de Gupta-Bleuler methode. In het
padintegraal formalisme voegen we een ijkbrekende term
−
1
(∂µ Aµ )2
2a
(7.4)
aan de Lagrangedichtheid toe, en definiëren vervolgens op de gebruikelijke manier
de n-puntsfuncties. In [1] hebben we deze methode verdedigd door te verwijzen
naar het kanoniek formalisme.
50
Hetzelfde probleem treedt ook op bij Yang-Mills theorie. We hebben nu
a
Fµν
= ∂µ Aaν − ∂ν Aaµ + gfbc a Abµ Acν ,
(7.5)
a
L = − 41 Fµν
F µν a
(7.6)
en de kinetische term in
is van dezelfde vorm als in de Maxwell theorie. De andere termen geven drie- en
vierpunts-interacties voor de ijkvelden. Voor elke Aaµ hebben we hetzelfde probleem
als in de Maxwell-theorie.
Het invoeren van een ijkbrekende term alleen is voor Yang-Mills theorie niet
voldoende. Een manier om dat te ontdekken is het berekenen van de Yang-Mills
Feynman regels met alleen de ijkbrekende term
−
1
(∂µ Aaµ )2 .
2a
(7.7)
De resulterende propagator voor het vrije veld is dan voor elke a van dezelfde
vorm als die van het Maxwell veld. Yang-Mills theorie is echter geen theorie van
vrije velden zoals het electromagnetisme. De interactietermen in (7.6) veroorzaken
correcties op de twee-puntsfunctie, en met deze keuze van de Feynman regels is de
één-lus bijdrage aan de vacuumpolarisatie niet transversaal. Deze transversaliteit
volgt uit de Ward identiteit voor de twee-puntsfunctie, die we op soortgelijke wijze
als voor het electromagnetisme kunnen afleiden. De storingstheorie, gebaseerd op
de bovenstaande naı̈ve keuze van de Feynman regels, is dus niet in overeenstemming
met de symmetrieën van Yang-Mills theorie.
Wat gaat er fout? Om daar achter te komen moeten we het invoeren van
ijkbrekende termen precieser analyseren.
Het probleem van quantisatie in ijktheorieën
is eigenlijk het volgende: als we
R
in de padintegraal integreren over alle Aµ in DAµ , dan doen we eigenlijk teveel.
Immers, bij het uitrekenen van een ijkinvariante grootheid zullen elke Aµ en A0µ ,
waarbij A0µ aan Aµ gerelateerd is door een ijktransformatie, dezelfde bijdrage geven.
De integraal over alle Aµ zou dus te herschrijven moeten zijn in de vorm
Z
Dg
Z
D Āµ ,
(7.8)
waarbij Dg, voor elke x, een integraal over de groep is (het volume van de groep).
Āµ is dan de representant van de verzameling van ijkvelden die door middel van
ijktransformaties verbonden zijn met Āµ . We kunnen dit schematisch weergeven
zoals in fig. 7.1. De lijntjes in fig. 7.1 stellen de “orbits” van Aµ onder ijktransformaties voor. We willen nu een sectie maken door de orbits die elke orbit maar één
keer doorsnijdt. Dit doen we door een functionaal F [Aµ ] te kiezen, zodanig dat de
vergelijking
F [Agµ ] = 0
(7.9)
51
voor elke beginwaarde van Aµ maar één oplossing voor g heeft6 . De functionaal F
definiëert dus de ijking.
Figuur 7.1
Orbits van Aµ onder ijktransformaties.
Bovendien moeten we een invariante integratiemaat voor de ijkgroep G definiëren,
dat wil zeggen een integratiemaat die voldoet aan
waarbij
Dg = D(g 0g) ;
(7.10)
Y
(7.11)
Dg =
dg(x) .
x
Voor elke x afzonderlijk bestaat zo’n maat, de zogenaamde Hurwitzmaat. De algemene vorm zullen we niet nodig hebben.
We definiëren nu een functionaal ∆[Aµ ] door:
1 = ∆[Aµ ]
Z
Dg δ F [Agµ ] .
(7.12)
De δ-functie is hierin een product van δ-functies voor elke x. De functionaal ∆ is
ijkinvariant:
∆[Aµ ] = ∆[Agµ ] .
(7.13)
Dit volgt uit:
∆−1 [Agµ ] =
=
Z
Dg 0 δ F [Agg
µ
Z
0
0
=
Z
0
D(gg 0) δ F [Agg
µ ]
Dg 0 δ F [Agµ ] = ∆−1 [Aµ ] .
Daarom hangt ∆[Aµ ] alleen van de orbit af. We voeren de decompositie van 1,
gegeven door (7.12), in de padintegraal in:
Z =
=
6
Z
Z
DAµ exp(iS[Aµ ])
Dg
Z
DAµ ∆[Aµ ] δ(F [Agµ ]) exp(iS[Aµ ]) .
(7.14)
In het geval van Yang-Mills theorie verwachten we dat er evenveel condities als ijkvelden
zullen moeten zijn. We kunnen de condities dus een label a, waarbij a = 1, . . . , dim G , geven.
Tevens moet er voor elke x een conditie zijn. We moeten dus eigenlijk schrijven F a ([Agµ ], x) = 0.
We zullen voorlopig deze extra labels niet expliciet aangeven.
52
R
De integratievolgorde hebben we verwisseld. De integrand van Dg is nu onafhankelijk van g. Immers, DAµ = DAgµ omdat we integreren over alle Aµ , en
∆[Aµ ] en S[Aµ ] zijn ijkinvariant. Daarom geldt:
Z
DAµ ∆[Aµ ] δ(F [Agµ ])
Z
exp(iS[Aµ ]) =
Z
=
DAgµ ∆[Agµ ] δ(F [Agµ ]) exp(iS[Agµ ])
DAµ ∆[Aµ ] δ(F [Aµ ]) exp(iS[Aµ ]) .
R
De integraal Dg geeftRdus een normalisatiefactor die verder niet relevant is. In
de resterende integraal DAµ levert door de δ-functie van iedere orbit slechts één
representant een bijdrage.
Nu moeten we nog ∆[Aµ ] uitrekenen. Daartoe gaan we terug naar de definitie
(7.12) en werken de δ-functie uit. Deze levert alleen bijdragen voor de nulpunten
van F . We kunnen nu overgaan op F als variabele, hetgeen geeft7
Z
δF [Agµ ]
DF det
δg
!−1
δF [Agµ ]
δ(F ) = det
δg
!−1
zodat we vinden
F =0
,
(7.15)
δF [Agµ ] .
(7.16)
δg F [Agµ ]=0
Omdat ∆ ijkinvariant is, kunnen we ∆ bepalen voor een geschikt gekozen Aµ . We
kiezen Aµ zó, dat al geldt F [Aµ ] = 0. Dan immers is g = I in (7.16):
∆[Aµ ] = det
∆[Aµ ] = det
δF [Agµ ] ; F [Aµ ] = 0 .
δg g=1
(7.17)
Om de afgeleide bij g = 1 te bepalen kijken we naar de infinitesimale transformatie:
g() = I − ia (x)Ta .
(7.18)
De integratiemaat over de groep is dan:
D =
X
da (x) .
(7.19)
a,x
Invariantie van deze maat voor willekeurige vaste g(θ) volgt doordat g(θ0) = g(θ)g() =
g(θ + ), zodat dθ0 = d voor infinitesimale .
Met deze parametrisatie van g wordt (7.17):
∆[Aµ ] = det M a b (x, y) ;
M a b (x, y) =
δF a ([Aµg() ], x) ;
=0
δb (y)
7
R
F a ([Aµ ], x) = 0 .
Denk aan de volgende analoge berekening voor gewone integralen en functies:
df δ(f )/f 0 (x) = 1/f 0 (x) |x0 waarbij x0 bepaald wordt door f (x0 ) = 0.
53
(7.20)
R
dx δ(f (x)) =
De indices van F , en de resulterende structuur van M, hebben we nu expliciet
gemaakt. De matrix M heeft twee soorten “indices”, ten eerste de indices a en b
(a, b = 1, . . . , dim G ) en ten tweede de continue labels x en y. Voor beide moet de
determinant berekend worden.
De matrix M kunnen we gemakkelijk verder uitwerken:
δF a ([Aµ ], x) δAcλ (z) δAcλ (z)
δb (y) =0
!
Z
δF a ([Aµ ], x)
1 c
c d
=
dz
fbd Aλ (z) − δb ∂λ,z δ(z − y) ,
δAcλ (z)
g
a
M b (x, y) =
Z
dz
(7.21)
waarbij we gebruik gemaakt hebben van de wijze waarop Aµ onder ijktransformaties
transformeert (zie (2.48)).
De padintegraal (7.14) is dus:
Z=
Z
DAµ det M δ(F [Aµ ]) exp(iS[Aµ ]) ,
(7.22)
met M gegeven in (7.21). We kunnen dit iets generaliseren, door niet F = 0, maar
bijvoorbeeld F [A, x] − B(x) = 0 te nemen waarbij B een willekeurige ijkinvariante
functie van x is. Omdat B ijkinvariant is blijft det M onveranderd. In de F −B = 0
ijking zouden we dus gevonden hebben:
Z=
Z
DAµ det M δ(F [Aµ ] − B) exp(iS[Aµ ]) ,
(7.23)
hetgeen, omdat Z ijkinvariant is, onafhankelijk is van B. Dan kunnen we integreren
over B met een willekeurige B-afhankelijke gewichtsfactor:
Z =
=
Z
Z
DAµ det M exp(iS[Aµ ])
Z
DB δ(F [Aµ ] − B)G[B]
DAµ det M exp(iS[Aµ ]) G[F [Aµ ]] .
(7.24)
Dit verandert alleen de normalisatie van Z. Neem bijvoorbeeld:
i
G[B] = exp −
2a
h
Z
i
dx B(x)2 ,
(7.25)
met a een reële constante. We zien dat we dan de oorspronkelijke Lagrangedichtheid
effectief vervangen door
1
(7.26)
L → L − F ([Aµ ], x)2 .
2a
Hiermee hebben we nu de ijkbrekende term in de Lagrangedichtheid gekregen.
Bovenstaande analyse verduidelijkt de oorsprong van de ijkbrekende term. Met
54
een ijkbrekende term is de Lagrangedichtheid niet langer ijkinvariant. De padintegraal (7.24) natuurlijk wel. Deze is bovendien gelijk aan de oorspronkelijke
(7.14), op normeringsconstanten na. Daarbij is dan echter wel de bijdrage van de
determinant van M essentieel.
In het geval van het electromagnetisme kunnen we voor de functionaal F kiezen:
F ([Aµ ], x) = ∂µ Aµ (x) .
(7.27)
Dan is de matrix M:
M(x, y) = −
1
e
Z
1
dz (∂µ,x g µλ δ(x − z)) ∂λ z δ(z − y) = − u
t x δ(x − y) ,
e
hetgeen onafhankelijk is van het ijkveld Aµ . Dan is M dus een normalisatiefactor
in de padintegraal en speelt geen rol. We krijgen dus de gebruikelijke padintegraal
voor het Maxwell veld terug.
Het verschil tussen het Maxwell en het Yang-Mills veld in de padintegraal zal
zijn dat voor het Yang-Mills veld M wel een niet-triviale rol speelt.
7.2
De Faddeev-Popov ghost velden
Voor het algemene geval moeten we nog altijd de determinant van de matrix M
(7.21) uitrekenen. Bij het invoeren van de padintegraal in [1] hebben we al eens een
determinant gevonden (zie [1], sectie (2.6)) in de berekening van de padintegraal
van het vrije, niet-relativistische deeltje. We berekenden daar de integraal:
Z
n
X
in π n/2
√
dx1 . . . dxn exp(
xi Aij xj ) =
.
det A
i,j=1
(7.28)
De berekening van deze integraal gaat als volgt. Zonder verlies van algemeenheid
kan de matrix A symmetrisch worden gekozen. We diagonaliseren dan de symmetrische matrix A met een orthogonale transformatie: A = O T DO, en gaan dan
over op nieuwe integratievariabelen yi = Oij xj . De Jacobiaan van deze transformatie van integratievariabelen is gelijk aan één, en in de y-variabelen kan de
integraal dan gemakkelijk worden berekend. Een soortgelijke integraal is8 :
Z
dz1 dz1∗
. . . dzn dzn∗
exp(
n
X
i,j=1
zi∗ Aij zj ) ∼
1
.
det A
(7.29)
We kunnen immers A nu hermitisch kiezen, en diagonaliseren met een unitaire
transformatie. De berekening van de integraal verloopt dan net als bij (7.28).
In de integratiemaat geldt dzi dzi∗ = dxi dyi , waarbij xi en yi het reële en imaginaire deel van
zi zijn.
8
55
Grassmann variabelen zijn geı̈ntroduceerd in [1], sectie (5.2). Als we in plaats
van over commuterende variabelen z integreren over elementen van een Grassman
algebra in integralen als (7.28, 7.29) vinden we een ander resultaat. Voor basiselementen Ci van een Grassman algebra geldt:
Z
dCi Cj = δij .
(7.30)
Voor een n-dimensionele Grassman algebra vinden we
Z
dC1 · · · dCn C1 · · · Cn = 1 .
(7.31)
We voeren nu onafhankelijke Grassman variabelen Ci , Ci† in, en vinden dan de
volgende integraal:
Z
dC1 dC1† · · · dCn dCn† exp(
n
X
i,j=1
Ci† Aij Cj ) ∼ det A ,
(7.32)
Deze berekening kan gedaan worden door de exponent te ontwikkelen. Dan leveren
alleen die termen een bijdrage aan de integraal, waarin alle Ci , Ci† precies één keer
voorkomen. De coefficiënten van deze termen geven, vanwege het anti-commuterend
karakter van de Grassman variabelen, de determinant van A, op een numerieke
factor na die door de ontwikkeling van de exponent ontstaat.
Faddeev en Popov [13] hebben anti-commuterende velden ca (x) en c†a (x) ingevoerd om op dezelfde wijze de determinant uit sectie (7.1) te herschrijven:
a
det M b (x, y) =
Z
†
Dc Dc exp(i
Z
dx dy
X
c†a (x)M a b (x, y)cb (y)) .
(7.33)
a,b
Bedenk steeds dat, ondanks de wellicht wat verwarrende notatie, c en c† onafhankelijke velden zijn.
Gebruik makend van de resultaten van sectie (7.1) kunnen we nu de volledige
actie voor Yang-Mills theorie, met ijkbrekende term, opschrijven:
S =
+
Z
Z
a
d4 x − 14 Fµν
F µνa −
1 a
F ([Aµ ], x)2
2a
d4 y c†a (x)M a b (x, y)cb(y) ,
(7.34)
waarbij M wordt gegeven door (7.21).
Als voorbeeld werken we het geval uit dat F a ([Aµ ], x) = ∂µ Aµa (x). Deze ijkkeuze
staat bekend als de covariante ijking, vanwege de Lorentz invariante vorm. Dan is
δF a ([Aµ ], x)
= ∂µx {g µλ δ(x − z)δca } ,
δAcλ (z)
56
(7.35)
en
a
M b (x, y) =
∂µ,x g µλ δca
Z
1
dz δ(x − z) fbd a Adλ (z) − δbc ∂λ,z δ(z − y)
g
1
t x δ(x − y)δba + ∂µ,x (fbd a Aµd (x)δ(x − y)) .
= − u
g
Dus kan de laaste term in (7.34) geschreven worden als:
Z
dx dy c†a (x)M a b (x, y) cb(y) =
=
Z
=−
dx dy c†a (x)
!
1
− u
t x δ(x − y)δba + ∂µ,x (fbd a Aµd (x)δ(x − y)) cb (y)
g
Z
1Z
dx c†a u
t ca − dx (∂µ c†a (x))fbc a Aµc (x)cb (x) .
g
We kunnen nu een factor −1/g in het veld c† absorberen. Dan is het resultaat:
S =
1
(∂µ Aµa )2 + c†a (x)u
t ca (x)
2a
+g(∂µ c†a (x) fbc a Aµc (x) cb (x) .
Z
h
a
d4 x − 14 Fµν
F µνa −
(7.36)
In de padintegraal wordt geı̈ntegreerd over DAµ Dc† Dc.
De extra ingevoerde velden ca en c†a (met a = 1, . . . ,dim G ) zijn de zogenaamde
Faddeev-Popov ghosts: de spookdeeltjes van Faddeev en Popov. Het zijn elementen
van een Grassman algebra en anti-commuteren dus. Het zijn echter geen fermionen,
zoals het electronveld in QED, maar scalaire velden. De bewegingsvergelijking van
c†a is u
t ca = 0 (als g = 0), hetgeen alleen Lorentz invariant is als ca een scalair veld
is. De ghost velden voldoen dus niet aan de gebruikelijke relatie tussen spin en
statistiek. Omdat we dit verband als ervaringsfeit wel zullen aannemen, zullen we
nooit diagrammen hoeven uit te rekenen met ghosts als uitwendige lijnen.
Merk op dat de ghost termen in (7.36) invariant zijn onder de globale symmetrie
transformaties
c†a → (c†a )0 = exp(−iθ)c†a ,
ca → (ca )0 = exp(iθ)ca .
(7.37)
We kunnen dus aan de ghosts een lading toekennen, die behouden is bij de interacties met het Yang-Mills veld. Daarom kunnen ghost lijnen in een Feynman diagram
niet zomaar ergens eindigen, de ghosts kunnen alleen voorkomen in gesloten lussen.
Als we te maken hebben met een abelse groep (zodat fab c = 0) zijn de ghosts
vrije deeltjes en kunnen we meteen de padintegraal over c en c† uitvoeren. Dit
levert weer een constante, die verder geen rol speelt; alleen voor niet-abelse groepen
hebben we de ghosts nodig. We zullen meestal in de covariante ijking werken.
57
7.3
Feynman regels voor Yang-Mills velden
Nu we de actie voor Yang-Mills theorie hebben, kunnen we de Feynman regels
bepalen. We hebben de volgende kinetische term:
Sf =
Z
4
d x
1 µ
A (u
t gµν
2 a
a−1
∂µ ∂ν )Aνa + c†a (x)u
t ca (x) ,
−
a
(7.38)
en de volgende interactietermen:
Si =
Z
d4 x − g(∂µ Aaν )Aµb Aνc fbc a − 14 g 2 fbc a fdea Abµ Acν Aµd Aνe +
+ g (∂µ c†a ) fbc a Aµc cb .
(7.39)
We voegen de gebruikelijke brontermen toe:
Sb =
Z
d4 x (Jaµ Aaµ + c†a η a + ηa† ca ) .
(7.40)
We kunnen nu op de standaard manier de Feynman regels afleiden. De genererende
functionaal is:
Z[Jaµ , η a , η †a ]
=
Z
DAµ DcDc† exp(i(Sf + Si + Sb )) .
(7.41)
De propagatoren voor de Yang-Mills en ghost velden volgen uit (7.38). We geven
alleen de resultaten in de impulsruimte:
Aaµ propagator :
iδab
kµ kν
− 2
gµν − (1 − a) 2
k + i
k
ghost propagator :
iδ b
− 2 a
k + i
!
(7.42)
(7.43)
Merk op dat de ghost propagator een ander teken heeft dan de propagator van een
gewoon scalair veld. Dit komt door onze keuze van het teken van de kinetische
term voor de ghost velden. Vanwege de behouden ghost lading hebben de ghost
lijnen een orientatie.
Verder zijn er drie soorten interactievertices. Net als bij QED kunnen we de
bijbehorende Feynman regels bepalen door eerst de bijbehorende n-puntsfuncties
te berekenen. Het resultaat is:
58
(∂A)AA vertex :
gf abc ((k1 − k2 )λ gµν + (k2 − k3 )µ gνλ +
+(k3 − k1 )ν gλµ )
(7.44)
AAAA vertex :
−ig 2 (f eab f ecd (gµλ gνρ − gµρ gνλ ) +
f eac f edb (gµρ gλν − gµν gλρ ) +
+f ead f ebc (gµν gρλ − gµλ gρν ))
(7.45)
c† cA vertex :
−g fbc a pµ
(7.46)
Bij de vertices zijn de alle impulsen ingaand, de som van de impulsen is steeds gelijk
aan nul.
7.4
De vacuumpolarisatie van het Yang-Mills veld
ab
, wordt gegeven door
De volledige twee-puntsfunctie voor het Yang-Mills veld, Dµν
de volgende relatie:
ab −1
ab
−1
ab
(Dµν
) (k) = (D(0)
µν ) (k) + iΠµν (k) .
(7.47)
Hierin is D0 de kale propagator, en Π de vacuumpolarisatietensor, die gegeven wordt
door de som van de één-deeltjes irreducibele diagrammen in de twee-puntsfunctie
(zie [1]) (vermenigvuldigd met een factor i).
Gebruik makend van de invariantie onder ijktransformaties, kunnen we bewijzen
dat de vacuumpolarisatie transversaal moet zijn:
k µ Πab
µν (k) = 0 .
(7.48)
Het bewijs verloopt op dezelfde wijze als voor QED. Dit bewijs is onafhankelijk
van storingstheorie. Natuurlijk moet wel (7.48) voor elke orde in de storingsreeks
59
kloppen, met andere woorden, de storingstheorie moet de symmetrie van de theorie,
waaruit (7.48) is afgeleid, respecteren. Het is de moeite waard dit te verifiëren met
de nu gevonden Feynman regels.
Er dragen drie diagrammen aan de berekening van de vacuumpolarisatie bij in
orde g 2. Deze zijn getekend in fig. 7.2. Bij de berekening maken we gebruik van
dimensionele regularisatie. Er zijn dan bijdragen die zich gedragen als 1/, waarbij
= 4 − d, d de dimensie waarin we het diagram uitrekenen9 . Deze parametriseren
het divergente deel van de diagrammen, en verdwijnen in de renormalisatieprocedure. De eindige bijdragen zijn in de limiet → 0 onafhankelijk van . Zowel het
divergente deel als het eindig deel van de vacuumpolarisatie moeten transversaal
zijn.
Figuur 7.2
isatie.
De drie diagrammen die in orde g 2 bijdragen aan de vacuumpolar-
De bijdrage van het eerste diagram is:
ab
Π(1)
µν (p) =
1 2 ig µ fcd a f cdb
2
Z
1
0
dα gµν ((2d − 1)J1 (a2 ) +
+ p2 (5 − 4α(1 − α))J2 (a2 )) +
+ pµ pν (d − 6 − (4d − 6)α(1 − α))J2 (a2 ) ,
(7.49)
waarbij a2 = −p2 α(1 − α). De parameter µ, met de dimensie van een massa,
is ingevoerd om ervoor te zorgen dat g dimensieloos is. De integralen JA (a2 ),
gedefinieerd door
Z
dd k
1
JA (a2 ) =
,
(7.50)
d
2
(2π) (k − a2 )A
zijn berekend in [1]. Gebruik makend van de daar gegeven eigenschappen van
9
Denk eraan dat deze niets te maken heeft met de in de Feynman regels voor de
propagatoren.
60
JA (a2 ) en van de Γ-functies, vinden we na ontwikkeling van het resultaat in 1/:
i h 19 2
2( 6 p gµν − 11
p p )/ +
3 µ ν
(4π)d/2
+(− 21 − 19
γ)p2 gµν + (− 32 + 11
γ)pµ pν +
6
3
ab
Π(1)
µν (p) =
1 2 ig µ fcd a f cdb
2
+
Z
1
0
dα ln a2 ((11α(1 − α) − 5)p2 gµν +
i
+ (10α(1 − α) + 2)pµ pν ) .
(7.51)
De bijdrage van het tweede diagram is gelijk aan nul, als dimensionele regularisatie wordt gebruikt. De reden is dat het resultaat evenredig is met de integraal
Z
1
∼ J1 (0) = 0 .
k2
dd k
(7.52)
Daarmee hebben we een opmerking uit sectie (7.1) geverifieerd. Immers, deze eerste
twee diagrammen geven de totale vacuumpolarisatie als we alleen de bijdragen van
het Yang-Mills veld meenemen. Dit is het resultaat als we doen alsof quantisatie
van het Yang-Mills veld net zo gaat als bij het electromagnetisme, en dat volstaan
kan worden met het toevoegen van een ijkbrekende term. We zien dat de eerste
twee diagrammen inderdaad geen transversale vacuumpolarisatie geven, en dus zijn
deze naı̈ve Feynman regels in strijd met de Ward identiteit.
Nu voegen we het derde diagram toe. Dit geeft:
ab
2 a cdb
Π(3)
µν (p) = −ig µ fcd f
Z
0
1
dα
1
g J (a2 )
2 µν 1
− α(1 − α)pµ pν J2 (a2 )
i h 1 2
2 ( 6 p gµν + 13 pµ pν )/ +
d/2
(4π)
1
+ 6 (1 − γ)p2 gµν − 31 γpµ pν +
1 2 ig µ fcd a f cdb
2
=
+
Z
0
1
i
dα ln a2 ( − α(1 − α)p2 gµν − 2α(1 − α)pµ pν ) . (7.53)
In dit stadium van de berekening constateren we dat de bijdragen evenredig met
1/ inderdaad transversaal zijn. De bijdrage van het eindig deel vereist nog het
berekenen van twee integralen. Deze zijn:
Z
1
0
Z
0
1
dα ln(−p2 α(1 − α)) = −2 + ln(−p2 ) ,
(7.54)
5
+ 16 ln(−p2 ) .
dα α(1 − α) ln(−p2 α(1 − α)) = − 18
(7.55)
Dit leidt dan tot het volgende resultaat voor de volledige vacuumpolarisatie:
a cdb
1 2 Πab
µν (p) = 2 ig µ fcd f
i h 2
(p gµν − pµ pν )( 20
+
3
(4π)d/2
61
62
9
−
10
γ
3
−
10
3
i
ln(−p2 ) .(7.56)
We concluderen, dat deze inderdaad transversaal is. Dit wekt vertrouwen in de
quantisatiemethode die we in deze sectie hebben ingevoerd.
We zien dat Π alleen afhangt van de keuze van de groep door de factor fcd a f cdb .
Deze is evenredig met δ ab (zie (A.23), net als de kale propagator (7.42).
62
8
Het GSW-model: experimentele consequenties
In dit hoofdstuk zullen we een aantal consequenties van het GSW-model voor de
zwakke en electromagnetische interacties (het standaard model) bespreken. Vanzelfsprekend zullen we verre van volledig zijn.
In de vorige hoofdstukken hebben we de Lagrangedichtheid voor het het GSWmodel in stukjes en beetjes bij elkaar verzameld. Het is daarom handig ergens een
complete versie van dit model op te schrijven. We vinden deze in Appendix B.
8.1
De W - en Z-bosonen
Het standaard model voor de zwakke en electromagnetische interacties voorspelt het
bestaan van massieve intermediaire ijkdeeltjes, namelijk de geladen W ± -bosonen
en het neutrale Z-boson. Het standaard model doet bovendien een voorspelling
voor de verhouding van de massa van deze deeltjes.
De W - [38, 39] en Z-bosonen [40, 41] zijn in 1983 ontdekt bij CERN in Genève,
het Europese centrum voor experimentele elementaire deeltjesfysica. Deze ontdekkingen werden gedaan met een versneller waarbij protonen en anti-protonen op
elkaar botsen. Deze deeltjes worden in de versneller opgeslagen en in tegengestelde
richting versneld. Op deze wijze kon men een totale zwaartepuntsenergie van 540
GeV bereiken.
Bij dit proces botsen de quarks en anti-quarks uit proton en anti-proton op
elkaar, waarbij onder andere W - en Z-bosonen kunnen ontstaan. Typische processen die kunnen optreden zijn bijvoorbeeld
ū + d → W − → e− + ν̄e ,
ū + u → Z 0 → e+ + e− .
Bij een versneller met botsende bundels is het in het algemeen heel moeilijk deeltjes
te detecteren die in de richting van de bundels worden geproduceerd. Kenmerkend
voor de processen met W - en Z-bosonen is, dat deze gevormd worden met weinig
kinetische energie. Dat betekent dat hun vervalsproducten in alle richtingen kunnen
vertrekken, en daarbij springen dan natuurlijk de richtingen loodrecht op de bundels
in het oog. In het geval van het W -deeltje kijkt men naar processen met één electron
dat loodrecht op de bundel vertrekt, en waarbij dan verder geen productie van
hadronen optreedt. De impuls van het electron wordt dan niet in de tegengestelde
richting gecompenseerd. Deze “missing transverse momentum” wordt door het niet
gedetecteerde neutrino meegenomen. Aangezien het een twee-deeltjes verval betreft
kan dan de massa van het W -boson worden berekend.
Voor het Z-boson kijkt men naar soortgelijke processen waarbij een electron en
een positron met tegengestelde impulsen loodrecht op de bundels worden waargenomen.
63
Deze experimenten werden gedaan door twee groepen, die bekend staan onder
de namen UA1 en UA2 , waarbij UA een afkoritng is van Underground Area. Beide
groepen vonden dezelfde resultaten.
Inmiddels is er veel meer bekend over de eigenschappen van deze ijkbosonen dan
in 1983. In het bijzonder is dat het geval voor het Z-boson. Bij CERN heeft men
nu een versneller in gebruik waarbij hoog-energetische electronen en positronen op
elkaar botsen (LEP, Large Electron Positron collider). Met de totale zwaartepunts
energie gelijk aan de massa van het Z-boson worden vele Z-bosonen geproduceerd.
Men kan dan zorgvuldig de verschillende vervalswijzen van de Z-bosonen bekijken
en op deze wijze een deel van het GSW-model toetsen. Om met LEP ook W bosonen waar te nemen is meer energie nodig. Men hoopt over enige tijd met
voldoende energie te kunnen werken om het proces
e+ + e− → Z 0 → W + + W −
(8.1)
waar te nemen. Daarbij speelt dus een vertex tussen ijkbosonen, die specifiek is
voor een niet-abelse ijkgroep, een rol, en wordt dus een heel ander gedeelte van het
GSW-model gecontroleerd.
Alle experimenten van de laatste jaren geven een perfecte overeenstemming met
het standaard model. De onduidelijke kanten van het GSW-model hebben te maken
met het Higgs-deeltje, dat nog niet is waargenomen.
8.2
Het Higgs-deeltje
Het Higgs-boson speelt een wat merkwaardige rol in het standaard model. Het
Higgs-doublet wordt ingezet om te zorgen dat de W - en Z-bosonen via spontane
symmetriebreking massa krijgen. Dit is een methode om massieve vectordeeltjes
te introduceren zonder de renormaliseerbaarheid van massaloze Yang-Mills theorie
te verstoren. Het is duidelijk dat elk ander mechanisme waarmee hetzelfde doel
bereikt wordt even acceptabel is als het Higgs-mechanisme.
Een even betrouwbaar mechanisme als dat van Higgs is door de theoretici evenwel nog altijd niet gevonden. Daarom gaat het zoeken naar het Higgs-deeltje voort,
en een eventuele ontdekking van dit deeltje is dan ook voor ons begrip van de fysica van elementaire deeltjes van groot belang. Laten we nagaan op welke wijze het
Higgs-boson interactie heeft met de andere deeltjes in het standaard model (zie
Appendix B).
De volgende interactietermen met het scalaire veld η treden op:
√
2η
(3)
(e)
(u)
(d)
Lint = −
(ēA MAB eB + ūA MAB uB + d¯A MAB dB ) ,
(8.2)
v
(4)
Lint = e2 (2vη + η 2 )(
1
1
+
µ−
+
(Zµ )2 ) ,
2 Wµ W
2
4 sin θ
8 sin θ cos2 θ
64
(8.3)
(5)
Lint = −λv 2 η 3 − 41 λ η 4 .
(8.4)
In de eerste plaats merken we op dat de massa van het Higgs-deeltje, µ, in het
GSW-model een vrije parameter is. De enig meetbare parameter die de Higgs
sector betreft is de combinatie v 2 = µ2 /λ.
L(3) is de interactie van η met de fermionen. We zien dat de sterkte van de interactie wordt gegeven door mf /v, waarbij mf de massa van het betrokken fermion is,
en v de parameter uit de Higgs potentiaal. Zoals we in hoofdstuk 6 gezien hebben
zijn de massas van de W - en Z-bosonen afhankelijk van de parameters ev en sin θ.
Een eenvoudig rekensommetje leert dat
q
2
MW MZ2 − MW
1
,
ev =
2
MZ
(8.5)
waarmee we met de experimentele waarden van MW en MZ komen tot de ruwe
schatting v = 250 GeV. De koppeling van het Higgs deeltje aan de fermionen wordt
dus fors onderdrukt door de factor 1/v, en het is duidelijk dat de top-quark, die
heel zwaar is, de beste kans op het produceren van een Higgs deeltje geeft.
Bij de LEP versneller geeft de koppeling tussen de Z-bosonen en het Higgs
deeltje in principe een mogelijkheid. Merk op dat deze koppeling, in L(4) , evenredig
is met v! We kunnen ons dus het proces
e+ + e− → Z → η + Z
(8.6)
√
voorstellen. Als s de energie in het zwaartepuntsysteem van het electron-positron
√
paar is, dan kan op deze wijze een Higgs deeltje met een massa to s − MZ in
principe ontdekt worden. Als de verbeterde LEP versneller, die W + W − -paren kan
produceren, in gebruik wordt genomen, geeft dit proces in principe een mogelijkheid
het Higgs deeltje te produceren.
In de toekomst zal bij de Large Hadron Collider (LHC) bij CERN in Genève in
pp-botsingen een energie van 14 TeV bereikt kunnen worden. Dit geeft weer nieuwe
mogelijkheden voor de ontdekkking van het Higgs deeltje. Bij deze versnellers zijn
er twee favoriete processen: de zogenaamde gluon fusie10 , en de W W fusie (zie
fig. 8.1).
Bij het gluon fusie proces zal de zwaarste quark, dus de top-quark, de belangrijkste bijdrage leveren. Bij W W fusie wordt weer gebruik gemaakt van de vertex
tussen η en de ijkbosonen, die evenredig is met v. Bij beide processen moet men
zich natuurlijk afvragen hoe het Higgs-deeltje uiteindelijk wordt waargenomen. Het
Higgs-deeltje is niet stabiel, en kan vervallen naar q q̄-paren, of ook naar ZZ- of
10
We bespreken gluonen, de ijkdeeltjes van het model voor de sterke interacties tussen quarks,
in hoofdstuk 10.
65
W W -paren, als de massa van η voldoende groot is. Bij pp botsingen is de detectie
van q q̄-paren, waarbij de bij voorkeur zware quarks natuurlijk ook weer vervallen,
vrijwel uitgesloten. De beste kans op ontdekking doet zich dan ook voor bij zware
Higgs-deeltjes, die vervallen in ZZ. De geproduceerde Z-bosonen vervallen in bijvoorbeeld geladen lepton paren, die gemakkelijk te detecteren zijn.
Voor meer informatie over het Higgs deeltje verwijs ik naar [42, 43].
Figuur 8.1
versnellers.
8.3
Mogelijke processen met Higgs-deeltjes bij hoog-energetische pp-
De top-quark
De top-quark is in 1994 ontdekt bij experimenten in Fermilab. Ondanks het feit
dat het zoeken naar de top-quark heel lang geduurd heeft, is er nooit veel twijfel
over het bestaan van de top-quark geweest. Het is interessant na te gaan, waar
deze zekerheid over het bestaan van dit deeltje op berust. Het moge duidelijk zijn
dat het beeld van drie gelijke generaties een mooi beeld oplevert, maar dat alleen
mag niet voldoende zijn.
Een serieuze reden om een top quark te wensen heeft te maken met het verschijnsel anomalie. De analyse van het standaard model is volledig gebaseerd op de
symmetrieën van het model. Het is essentieel, dat alle Green functies ook inderdaad voldoen aan de Ward identiteiten die volgen uit de invariantie van de actie. In
principe moeten we voor die Green functies ook in hogere orden in de storingsreeks
nagaan, of nog wel aan de Ward identiteiten voldaan is. Dit lijkt gegarandeerd,
omdat de Ward identiteiten immers op een heel algemene manier zijn afgeleid, maar
er zit hier toch een addertje onder het gras. Bij het afleiden van de Ward identiteiten wordt verondersteld dat de integratiemaat in de padintegraal invariant is
onder de uitgevoerde transformaties. Aangezien we nooit erg precies geweest zijn
in de definitie van deze integratiemaat, is deze aanname moeilijk te verifiëren. Dit
probleem van de integratiemaat [44] blijkt zich te manifesteren in een aantal specifieke Feynman diagrammen, die een violatie van de Ward identiteit, de anomalie,
kunnen veroorzaken. Deze diagrammen zijn de zogenaamde driehoeks diagrammen
met chirale fermionen (zie fig. 8.2). Voor de details van de berekening van degelijke
66
diagrammen verwijs ik naar het boek van Ryder [45].
Dergelijke diagrammen treden in het GSW model zeker op. Er is echter de
mogelijkheid, dat de bijdragen van de links- en rechtshandige chirale fermionen
precies tegen elkaar wegvallen. Het blijkt nu, dat de quantumgetallen in het standaard model precies zo zijn gekozen, dat deze anomalie cancellatie ook inderdaad
optreedt. Dit geldt voor elke generatie afzonderlijk, en dus ook voor de derde
generatie, mits daarin de top-quark aanwezig is.
Figuur 8.2
Driehoeks diagrammen die kunnen bijdragen aan een anomalie.
Laten we dit nagaan. In de twee diagrammen van fig. 8.2 treedt op een factor
tr (Ta Tb Tc + Tb Ta Tc ), waarbij de Ta de generatoren zijn van de representatie van de
ijkgroep waaronder de fermionen transformeren. Zowel alle links-, als alle rechtshandige fermionen komen in de fermionlus voor. De bijdrage aan het diagram
die de matrix γ 5 bevat (het is juist deze bijdrage die de anomalie oplevert) is dan
evenredig met het verschil van de bijdragen van de linkshandige en de rechtshandige
fermionen:
tr (Ta Tb Tc + Tb Ta Tc )L − tr (Ta Tb Tc + Tb Ta Tc )R .
(8.7)
We hebben nu verschillende mogelijkheden. De indices a, b, c kunnen slaan op SU(2)
of U(1). Als tenminste één van de indices bij SU(2) hoort, is de rechter bijdrage
aan (8.7) gelijk aan nul, omdat er geen rechtshandige doubletten zijn. Als één of
drie11 van de indices bij SU(2) horen, dan is het resterende spoor gelijk aan nul,
omdat dan tr Ta = 0. Als er twee SU(2) indices zijn, blijft als conditie voor de
anomalie cancellatie over:
tr YL = 0 .
(8.8)
Als geen van de indices bij SU(2) hoort, moet gelden
tr (YL)3 − tr (YR )3 = 0 .
(8.9)
Als we (8.8) en (8.9) gaan verifiëren12 met eigenwaarden van Y uit de eerste generatie, zien we dat alleen dan aan deze conditie voldaan is als elke quark drie maal
11
In het geval van drie SU (2) indices maken we gebruik van de eigenschap Ta Tb + Tb Ta ∼ δab ,
die specifiek voor SU (2) geldt, maar niet algemeen voor SU (N ) groepen.
12
Een handige manier om deze condities te verifiëren is om gebruik te maken van Y = 2(Q−T3).
67
geteld wordt. In het volgende hoofdstuk zullen we zien dat quarks inderdaad een
extra vrijheidsgraad hebben, kleur, die drie waarden kan aannemen. Dankzij deze
kleureigenschap van quarks is elke generatie dus vrij van anomalieën, mits natuurlijk de top-quark bestaat.
Het bestaan van de top-quark is dus belangrijk voor de interne consistentie van
het standaard model. Zonder top-quark heeft het model een anomalie, die het
bewijs van de renormaliseerbaarheid van de theorie ongeldig maakt. Met andere
woorden: de top-quark moet bestaan.
Andere quarks zijn als gebonden toestand ontdekt in e+ e− → q q̄ processen. In
principe is dit proces ook mogelijk voor de top-quark, maar de energie van de LEP
versneller is daartoe onvoldoende. Uiteindelijk is de top-quark dan ook ontdekt
bij hoog-energetische pp̄ botsingen. Bij dit proces wordt een tt̄-paar geproduceerd.
De t (t̄) vervalt naar een b (b̄) quark, onder emmissie van een W + (W − ) deeltje.
Gemeten worden de geladen leptonen die uit het verval van W ± ontstaan, alsmede
de hadron jets ten gevolge van de bottom quarks. De conclusie van een moeilijke
analyse is dat de massa van de top-quark ongeveer 174 GeV is [46].
Uit (8.8) volgt dan de conditie tr QL = 0, aangezien het spoor van T3 gelijk is aan nul. Nu is
natuurlijk QL = QR , zodat moet gelden tr Q = 0. Als we op dezelfde wijze (8.9) uitwerken blijft
over tr (Q3L + 32 QL − Q3R ) = 0, hetgeen na gebruikmaking van QL = QR dezelfde conditie als (8.8)
oplevert: tr Q = 0.
68
9
9.1
Sterke interacties en quarks
Nucleonen en pionen: isospin
Deeltjes met sterke wisselwerking zijn te onderscheiden in baryonen (“zware deeltjes”) en mesonen. Dit onderscheid wordt expliciet gemaakt door de deeltjes een
quantumgetal toe te kennen, het baryongetal B, dat gelijk is aan één voor alle
baryonen, en aan nul voor de mesonen. Baryongetal is bij alle interacties behouden.
Het behoud van baryongetal verklaart een aantal eigenschappen van sterk wisselwerkende deeltjes. Zo moet bijvoorbeeld het lichtste baryon stabiel zijn. Dat is
het proton, dat net iets lichter is dan het neutron (zie Tabel 9.1 voor een overzicht
van de stabiele baryonen en mesonen van de eerste generatie). Het neutron kan wel
vervallen, maar alleen via de zwakke interacties.
In de sterke interacties alleen kunnen we geen onderscheid maken tussen proton
p en neutron n: de sterke interacties zijn ladingsonafhankelijk. In een theorie van
de sterke interacties kunnen we dan de velden corresponderend met p en n als een
doublet schrijven,
!
p
N=
.
(9.1)
n
waarbij de bijbehorende sterke wisselwerkingen invariant moeten zijn onder SU(2)transformaties die p en n in elkaar overvoeren. Deze SU(2) groep noemt men
de (sterke) isospin. De SU(2) groep van de zwakke interacties wordt ook wel
zwakke isospin genoemd. Uiteindelijk blijken de twee SU(2) groepen echter een
heel andere rol te spelen. De zwakke isospin hebben we verheven tot een locale
symmetrie, met de sterke isospin correspondeert géén kracht, en het zal dan ook
een globale symmetrie blijven. Bovendien is de sterke isospin slechts bij benadering
een symmetrie, denk bijvoorbeeld aan het massaverschil tussen p en n. Bovendien
zijn p en n geen puntdeeltjes, en moeten we dus oppassen met veldentheoretische
modellen die rechtstreeks in termen van p- en n-velden geschreven worden.
Het (p, n)-doublet heeft B = 1, en I = 12 , waarbij we met het isospin quantumgetal I bedoelen dat de eigenwaarde van de operator (I1 )2 + (I2 )2 + (I3 )2 gelijk
is aan I(I + 1) (vergelijk het impulsmoment L in de quantum mechanica). We zien
dat voor de ladingen geldt:
Q = I3 + 12 B
(9.2)
tenminste, zolang we geen andere quantumgetallen beschouwen. B speelt dus
dezelfde rol als Y in de zwakke interacties, maar ook met B correspondeert alleen
een globale symmetrie.
Een doublet (p, n) heeft een SU(2) invariante wisselwerking met een triplet
π a van scalaire deeltjes: als ψN het veld van het nucleon doublet is, kunnen we
schrijven:
ψ̄N,i γ5 (τa )ij ψN,j π a .
(9.3)
69
Hier zijn de τa (a = 1, . . . , 3) weer de generatoren van SU(2) in de fundamentele
representatie, en nemen de indices i de waarden 1 en 2 aan. De scalaire deeltjes π
zijn de π-mesonen, met spin 0. Er moeten er dus drie zijn: π 0 , π + , π − , die tesamen
een triplet (met B = 0) vormen onder isospin. Vanwege de isospin symmetrie
moet de massa van de π-mesonen gelijk zijn. Hieraan is niet geheel voldaan, het is
duidelijk dat de electromagnetische interactie de isospin symmetrie van de sterke
interacties breekt.
deeltje
quarks
verval
massa
spin
Q
S
B
I
I3
p
uud
stabiel
928.3
1
2
1
0
1
1
2
1
2
n
udd
peν
939.6
1
2
0
0
1
1
2
π±
¯ ūd
ud,
− 12
µ± νµ
139.6
0
0
0
1
π0
¯
ūu, dd
±1
±1
γγ
135.0
0
0
0
0
1
0
η0
¯
ūu, dd
γγ
547.5
0
0
0
0
0
0
Tabel 9.1 Eigenschappen van nucleonen, π-mesonen en η. De massa van de deeltjes is gegeven in MeV. We vermelden alleen de meest voorkomende vervalswijze.
De interactieterm (9.3) was lang het model voor de sterke wisselwerking tussen
p en n (het pion-uitwisselingsmodel). De interactieterm wordt een Yukawa-term
genoemd naar Yukawa, die een dergelijke interactie postuleerde en de eigenschappen
van de sterke interacties in de kern gebruikte om een schatting te maken voor de
massa van het pion.
Merk op dat er een γ5 in de koppeling staat: de combinatie ψ̄γ5 ψ is een pseudoscalar, en verandert van teken onder een pariteitstransformatie. Dit moet ook,
want het pion is een deeltje met intrinsieke pariteit −1. Omdat de sterke interacties
pariteit behouden, moet het pionveld zelf onder een pariteitstransformatie ook van
teken veranderen. Dit is in overeenstemming met experimentele gegevens.
In Tabel 9.1 geven we alleen stabiele deeltjes aan. Dat zijn de deeltjes die
niet vervallen via de sterke wisselwerkingen, maar uitsluitend via de zwakke en/of
electromagnetische wisselwerkingen. Naast deze stabiele deeltjes zijn er nog vele
andere deeltjes die dezelfde quantumgetallen hebben als de deeltjes in de tabel,
behalve massa en spin: ze zijn in het algemeen zwaarder en hebben hogere spin.
Deze deeltjes worden resonanties genoemd, vanwege het feit dat ze sterk vervallen
is hun levensduur zeer kort.
70
9.2
Vreemdheid, SU(3) en quarks
Het proton is bekend vanaf het moment dat de structuur van het waterstofatoom
werd gevonden door Rutherford en Bohr. Het neutron werd in 1932 ontdekt door
Chadwick [47]. Het pion werd ontdekt in kosmische straling in 1947 [48]. Het
systematisch onderzoek van elementaire deeltjes kon eigenlijk pas in het begin van
de jaren vijftig van start gaan met de bouw van de eerste grote versnellers. Dat
leverde al spoedig een grote hoeveelheid nieuwe mesonen en baryonen op [11].
deeltje
quarks
verval
massa
spin
Q
S
B
I
I3
K+
s̄u
µ+ νµ
493.6
0
1
1
0
1
2
1
2
K0
s̄d
π’s
497.7
0
0
1
0
1
2
K̄ 0
¯
ds
π’s
497.7
0
0
−1
0
1
2
− 12
K−
ūs
µ− ν̄µ
493.6
0
−1
0
1
2
− 12
Λ0
uds
pπ −
1115.6
1
2
−1
0
1
0
0
Σ+
uus
pπ 0
1189.4
1
2
−1
1
1
1
1
Σ0
uds
Λγ
1192.6
1
2
−1
0
1
1
0
Σ−
dds
nπ −
1197.4
1
2
−1
1
1314.9
1
2
0
1
Ξ−
dss
Λπ −
1321.3
1
2
−2
1
2
−1
uss
Λπ 0
−1
1
Ξ0
−1
−2
1
1
2
− 12
Ω−
sss
ΛK −
1672.4
3
2
−1
−1
−3
1
0
0
1
2
1
2
Tabel 9.2 Eigenschappen van vreemde mesonen en baryonen. De massa van de
deeltjes is gegeven in MeV. We vermelden alleen de meest voorkomende vervalswijze. K + en K − zijn, evenals K 0 en K̄ 0 , elkaars anti-deeltje.
Sommige van deze nieuwe baryonen en mesonen zijn weer stabiel, in de zin
dat ze alleen zwak en/of electromagnetisch kunnen vervallen, en niet via de sterke
interacties. Dit suggereert de introductie van een nieuw quantumgetal, dat behouden is bij de sterke interacties, maar niet bij de zwakke en electromagnetische
wisselwerkingen. Dit naar analogie van isospin.
Het nieuwe quantumgetal werd vreemdheid (strangeness) genoemd. In Tabel 9.2
geven we de eigenschappen van een aantal vreemde mesonen en baryonen. Deze
blijken ook weer in isospin multipletten onder te brengen te zijn.
De relatie (9.2) geldt nu niet meer. De eerste stap naar een klassificatie van de
vreemde deeltjes werd gegeven door Gell-Mann en Nishijima [49, 50], die de correcte
71
generalisatie van (9.2) vonden:
Q = I3 + Y /2 ,
met
Y =B+S,
(9.4)
waarbij Y de sterke hyperlading werd genoemd13 .
De ontdekking van vreemdheid leidde tot een klassifikatie met de groep SU(3),
een uitbreiding van de isospin-groep. Men kan als eerste benadering veronderstellen
dat de sterke interacties invariant zijn niet alleen in de twee-dimensionale ruimte
van twee isospin componenten die p en n in elkaar overvoeren, maar ook in een
drie-dimensionale ruimte waarin ook vreemdheid een rol speelt. De vraag is op
welke deeltjes de fundamentele representatie werkt, met andere woorden, wat is de
generalisatie van het isospin doublet van proton en neutron? Na een lange periode
van speurwerk ontdekte Gell-Mann [51] dat de hele puzzle van stabiele deeltjes
en resonanties kon worden opgelost door te veronderstellen dat de fundamentele
representatie van SU(3) werkte op een drietal hypothetische deeltjes u, d, s, door
hem quarks genoemd, waarvan we de quantumgetallen in Tabel 9.3 geven14 .
deeltje
Q
S
B
I
I3
u
2
3
0
1
3
1
2
1
2
d
− 13
0
1
3
1
2
−1
1
3
− 12
0
0
s
Tabel 9.3
− 13
De quantumgetallen van de u, d en s quarks.
De waargenomen mesonen en baryonen moeten dan uit quarks worden opgebouwd. We verkrijgen alle mogelijke deeltjes, met het bijbehorend transformatiekarakter onder SU(3), door op de wijze aangegeven in Appendix A productrepresentaties te vormen. Het fundamentele triplet van quarks wordt aangegeven met
3, de bijbehorende anti-quarks met 3̄. De representatie 3̄ transformeert onder de
geconjugeerde representatie, die voor SU(3) niet equivalent is aan de fundamentele
representatie. Een product dat we kunnen vormen is bijvoorbeeld 3 × 3̄. Dit spant
een 9-dimensionale ruimte op, waarvan één element invariant is onder SU(3). De
13
Tabel 9.2 is in zoverre verwarrend dat daarin informatie is weergegeven die in verschillende
periodes werd ontdekt. De Gell-Mann-Nishijima relatie was gebaseerd op gegevens over Q, B, S
en I3 , waarbij we ons moeten realiseren dat op dat moment niet alle deeltjes uit de tabel bekend
waren. De quark inhoud van de deeltjes was natuurlijk onbekend, en vormde een latere verklaring
van de Gell-Mann-Nishijima relatie
14
Het artikel [51] is één van de meest invloedrijke artikelen uit de historie van de deeltjesfysica,
maar werd desalniettemin nooit in een tijdschrift gepubliceerd. Het heeft een aantal jaren als
preprint gecirculeerd, en is vervolgens herdrukt in [52].
72
andere 8 elementen transformeren onder de geadjungeerde representatie. Het blijkt nu dat alle mesonen onder te brengen zijn in dergelijke oktet-representaties.
Mesonen zijn dus opgebouwd uit één quark en één anti-quark.
De baryonen worden gevormd uit de product representatie 3 × 3 × 3. Dit splitst
op in representaties van dimensie 10, 8, 8 en 1. De baryonen blijken onder de tiendimensionale representatie van SU(3) te transformeren, en zijn dus opgebouwd uit
drie quarks.
Het quark-model bleek een doorslaggevend succes, vooral omdat het Ω− -deeltje,
dat op grond van het quark-model door Gell-Mann voorspeld was, inderdaad werd
gevonden [53].
Lange tijd werden quarks slechts als mathematische hulpmiddelen bij de klassifikatie van deeltjes beschouwd. Het feit dat quarks niet werden waargenomen
speelde daarbij vanzelfsprekend een grote rol. Na een aantal jaren kwamen er aanwijzingen voor het bestaan van verborgen bouwstenen.
9.3
Experimentele aanwijzingen voor quarks: ep-verstrooiing
Na het werk van Gell-Mann is er natuurlijk uitgebreid gezocht naar quarks. Dit
werk, dat uit ging van de mogelijkheid dat quarks als vrije deeltjes voorkomen, is
zonder resultaat gebleven. Toch zijn er in een aantal experimenten overtuigende
bewijzen gevonden voor het feit dat baryonen en mesonen daadwerkelijk zijn opgebouwd uit de quarks van Gell-Mann.
We zullen in dit hoofdstuk twee experimenten behandelen. Dat is in de eerste
plaats diep-inelastische verstrooiing van electronen aan protonen, en ten tweede de
productie van hadronen bij electron-positron annihilatie. Dit laatste experiment
geeft tevens een aanwijzing voor de zogenaamde kleur-eigenschap van quarks.
Bij diep-inelastische verstrooiing worden hoog-energetische electronen verstrooid
aan protonen (zie fig. 9.1). De verstrooiing vindt plaats door uitwisseling van een
foton. We kijken dus als het ware met het uitgewisselde foton in het proton, en om
zo klein mogelijke structuren te kunnen waarnemen, moeten we dus zoveel mogelijk
energei in het foton steken. Bij dit proces valt in het algemeen het proton uiteen
in hadronen, vandaar de naam diep-inelastische verstrooiing.
We vergelijken diep-inelastische verstrooiing met het proces eµ → eµ. De
uitwisseling van één foton is ook in dit proces dominant, en kan geheel met QED
berekend worden. De kinematica in het laboratoriumsysteem is wordt beschreven
met de volgende variabelen (zie fig. 9.2):
p = (M, 0)
k = (E, ~k)
k 0 = (E 0 , k~0 )
(muon-impuls)
(electron-impuls, in)
(electron-impuls, uit)
73
De vier-impuls van het foton, q = k − k 0 , voldoet aan
q 2 = (k − k 0 )2 = −2kk 0 = −2EE 0 + 2~k · k~0
= −2EE 0 + 2|~k||k~0 | cos θ = −2EE 0 (1 − cos θ)
= −4EE 0 sin2 θ/2 ,
(9.5)
waarbij we me , de massa van het electron, verwaarloosd hebben. q is de impulsoverdracht van het electron naar het muon. Een andere nuttige variabele is:
ν≡
p·q
1
=
(E − E 0 ) · M = E − E 0 ,
M
M
(9.6)
het energieverlies van het electron. M is hier de massa van het stilstaande target.
Figuur 9.1 Feynman diagram voor diep-inelastische verstrooiing van electronen
aan protonen (a), en het Feynman diagram voor verstrooiing van een electron aan
een muon (b). Beide processen worden gedomineerd door één-foton uitwisseling.
Figuur 9.2
Kinematica van ep → eX en eµ → eµ in het laboratorium systeem.
Nu zijn voor het elastisch proces eµ → eµ q 2 en ν niet onafhankelijk. We vinden
met (9.5) en (9.6):
q 2 = (p − p0 )2 = 2M 2 − 2M(E + M − E 0 ) = −2Mν .
(9.7)
In termen van deze variabelen kunnen we de werkzame doorsnede dσ/dΩ voor het
74
proces eµ → eµ uitrekenen. We vinden15
d2 σ
α2 E 0
q2
µν
= 4 lµν (e)l (µ)δ(ν +
)
dE 0 dΩ
q E
2M
"
#
4α2 0 2
q2
q2
2 θ
2 θ
=
cos
(
(E
)
)
−
sin
(
)
δ(ν
+
),
q4
2
2M 2
2
2M
(9.8)
(9.9)
met α = e2 /4π. Hierbij hebben we gebruik gemaakt van het feit dat uit (9.5, 9.7)
volgt dat:
e
.
(9.10)
E0 =
E
1 + 2 M sin2 ( 2θ )
Integreren we nu nog over E 0 dan vinden we:
cos2 ( θ2 )
dσ
α2
θ
q2
=
tan2 ( ) .
1
−
4 θ
2 θ
E
2
2
dΩ
2M
2
4E sin ( 2 ) 1 + 2 M sin ( 2 )
"
#
(9.11)
De eerste term is de gebruikelijke doorsnede voor Rutherford verstrooiing van een
geladen (scalair) deeltje aan een Coulomb potentiaal. De tweede factor is een
correctie die de spin van de deeltjes en de eindige massa van het target, en dus de
terugstoot-energie, in rekening brengt. Het product van de eerste twee bijdragen
staat bekend als Mott-verstrooiing. De laatste term is een gevolg van het feit dat
spin-1/2 deeltjes een magnetisch moment hebben.
In het eµ-proces worden beide vertices gegeven door QED. Het proton is echter
geen puntdeeltje, maar heeft een ladingsverdeling, zodat we voor het proton een
ander resultaat krijgen. De werkzame doorsnede is nu van de vorm:
α2 E 0
d2 σ
=
|M|2 , met |M|2 = lµν (e)Wµν (p) .
dE 0 dΩ
q4 E
(9.12)
Hier is lµν (e), het effect ten gevolge van de eeγ-koppeling, bekend. Er geldt
qµ lµν (e) = 0, vanwege stroombehoud. De vraag rest nu wat Wµν is. We schrijven alle mogelijke termen op, en aangezien Wµν van p en q af kan hangen vinden
we:
pµ pν
qµ qν
pµ qν + pν qµ
Wµν = −gµν W1 +
W2 +
W4 +
W5 .
(9.13)
2
2
M
M
M2
met vier willekeurige functies W1 , W2 , W4 , W5 , die van ν en q 2 kunnen afhangen16 .
15
In dit college zullen we de berekening van werkzame doorsneden en vervalstijden niet behandelen. In de standaardwerken over quantumveldentheorie, zoals [21] wordt in detail beschreven
hoe dergelijke berekeningen gedaan worden.
16
De naamgeving suggereert het bestaan van een vijfde functie, W3 . Er is inderdaad nog een
vijfde mogelijkheid, namelijk µνλρ pλ qρ W3 . De tensor µνλρ is is echter niet invariant onder
pariteitstransformaties. Aangezien de zwakke interactie bij dit proces geen rol speelt, kunnen we
W3 meteen weglaten.
75
Alleen de eerste twee termen doen mee vanwege stroombehoud. Het resultaat is:
θ
4α2 0 2
θ
d2 σ
=
(E ) W2 (ν, q 2 ) cos2 ( ) + 2W1 (ν, q 2 ) sin2 ( )
0
4
dE dΩ
q
2
2
"
#
(9.14)
W1 en W2 kunnen dan gemeten worden voor verschillende waarden van ν en q 2
(waarbij altijd geldt dat q 2 + 2Mν ≥ 0).
Figuur 9.3 Plot van q 2 en ν. Lijnen onder een hoek van 45◦ corresponderen met
exclusieve processen.
Merk op dat bij dit inelastisch proces q 2 en ν onafhankelijke kinetische variabelen
zijn. Nog steeds geldt (9.5), maar van (9.6) geldt nu alleen de definitie van ν. In
fig. 9.3 geven we een beeld van het kinematisch bereik van de variabelen q 2 en ν.
De lijn −q 2 = 2Mν komt overeen met p2X = M 2 , elastische verstrooiing. Andere
lijnen onder 45◦ hebben vaste p2X , dus corresponderen b.v. met p2X = M∆2 , de
massa van een resonantie. Dit zijn exclusieve processen, waarbij naar een specifieke
eindtoestand gekeken wordt (bijvoorbeeld ep → e∆). In inclusieve processen wordt
niet naar een specifieke eindtoestand gekeken. We definiëren dan:
q2
(9.15)
2Mν
met 0 ≤ x ≤ 1, en kijken bij vaste x. Het blijkt nu dat bij vaste x en grote q 2 (diepinelastisch) W1 en νW2 alleen onafhankelijk zijn van q 2 (dit heet Bjorken-scaling).
Dan hebben we dus:
x2 = −
MW1 (ν, q 2 ) → F1 (x) ,
νW2 (ν, q 2 ) → F2 (x) .
(9.16)
We vergelijken dit met het eµ → eµ resultaat, waarbij we het resultaat (9.9) omq2
) = δ(1 − x2 )/ν geldt:
schrijven naar de parameter x. Met δ(ν + 2M
d2 σ
4α2 0 2 1
x2
2 θ
2 θ
=
(E
)
cos
(
)
+
sin
( ) δ(1 − x2 ) .
dE 0 dΩ
q4
ν
2
M
2
"
#
(9.17)
We zien dat het resultaat voor Wi , dat wil zeggen de afhankelijkheid van x alleen,
overeenkomt met het resultaat voor verstrooiing aan puntdeeltjes. Het experimentele resultaat voor de diep-inelastische ep verstrooiing geeft daarom een belangrijke aanwijzing voor het feit dat het proton bestaat uit puntdeeltjes, die door het
76
foton met grote q 2 worden waargenomen. Het uiteindelijk resultaat, dat we hier
niet in detail zullen bespreken, is dat diep-inelastische ep verstrooiing overeenkomt
met de verstrooiing aan geladen, vrije, puntvormige bestanddelen. Deze kunnen
we identificeren met de quarks. Dat de quarks zich in het gegeven kinematische
gebied als vrije deeltjes gedragen zullen we in hoofdstuk 10 nog bespreken.
Deze experimenten [54, 55] hebben in 1990 de Nobelprijs voor de natuurkunde
opgeleverd voor Friedman, Kendall en Taylor. De experimenten werden eind jaren
zestig gedaan met de lineaire electron versneller (SLAC) van Stanford in de U.S.A.,
met electron energieën van 7 to 17 GeV. Met de versneller HERA in Hamburg,
waarbij voor zowel de electronen als de protonen opslagringen gebruikt worden,
worden 30 Gev electronen en 800 GeV protonen gebruikt. De energie is dus vele
malen groter dan bij SLAC, zodat wellicht zelfs een eventuele structuur van quarks
bekeken kan worden.
9.4
Experimentele aanwijzingen voor kleur
Het tweede experiment dat het bestaan van quarks aannemelijk maakt is de e+ e− annihilatie met hadronen in de eindtoestand: e+ e− → hadronen. We zullen dit
weer vergelijken met een proces dat we met QED goed kunnen beschrijven (zie
fig. 9.4):
e+ e− → µ+ µ− .
(9.18)
Figuur 9.4 QED Feynman diagram voor het proces e+ e− → µ+ µ− (a). In de
tweede figuur (b) geven we de kinematica van dit proces in het zwaartepuntsysteem.
De werkzame doorsnede voor dit proces, gemiddeld over spins van de begintoestand
en gesommeerd over de spins van de eindtoestand is:
dσ
e4
∼ 2 (1 + cos2 θ);
dΩ
E
σtot ∼
e4
,
E2
(9.19)
met E de energie van het electron in het zwaartepuntssysteem, en θ de hoek tussen
het muon en het electron. De factor 1 + cos2 θ is typisch voor spin- 12 deeltjes.
Vanzelfsprekend is (9.19) alleen geldig als de totale energie kleiner is dan de massa
77
van het Z-boson. Anders treedt een tweede diagram op waarin het foton vervangen
is door het Z-boson. De factor e4 is ontstaat door het product qe2 qµ2 , waarbij q de
lading van het deeltje is.
We veronderstellen dat het proces e+ e− → hadronen verloopt als aangegeven
in fig. 9.5. Het foton geeft een quark-anti-quark paar, dat daarna door de sterke
wisselwerking overgaat in hadronen. De precieze vorm van deze hadronisatie is
voor ons niet van belang. De essentiële koppeling is dus weer die van een foton aan
geladen puntdeeltjes, de quarks. We vinden dus (9.19)
σtot ∼
qe2 X 2
q
,
E 2 quarks quarks
(9.20)
waarbij de som genomen wordt over alle quark-anti-quark paren die bij energie E
gemaakt kunnen worden.
Figuur 9.5 Het proces e+ e− → hadronen. We veronderstellen dat alle hadronen
ontstaan vanuit een quark-anti-quark paar.
De functie:
2
σtot (hadronen)
quarks qquarks
=
(9.21)
R=
σtot (µ+ µ− )
e2
is dus een stapfunctie van de energie. Steeds als de energie weer een drempel voor
productie van de volgende quark passeert, wordt R groter.
Beschouw de waarde van R voor 2E > 10GeV. We vinden dan experimenteel
dat R = 11/3. De som van q 2 voor de verschillende quarks bij deze energie is echter:
P
1 1 4 1
11
4
= + + + =
(u, d, s, c, b) ,
9
9 9 9 9
9
een factor drie te klein. Overigens is het stapgedrag van R goed te zien bij 3 GeV,
de energie van het cc̄-paar. De vorm van R als functie van de energie is wel goed,
maar R is drie maal groter dan op grond van de ladingen alleen verwacht. Dit is
in dit experiment te verklaren door te veronderstellen dat het aantal quarks drie
maal zo groot is als we tot nog toe dachten [56, 57].
Dat er een extra vrijheidsgraad met drie toestanden moet zijn, wordt ook vereist
door het quarkmodel. Het deeltje ∆++ (1232), een ∆-resonantie met spin 3/2 en
78
lading 2, is volgens het quarkmodel opgebouwd uit drie up-quarks: ∆++ = (uuu).
Als we ervan uitgaan dat de quarks geen onderling baan-impulsmoment hebben,
dan moeten noodzakelijkerwijze twee van de quarks in dezelfde toestand zijn, en is
de golffunctie symmetrisch onder verwisseling van die twee quarks. Dit is in strijd
met het Pauli-principe voor spin-1/2 deeltjes. De ∆++ moet dus anti-symmetrisch
zijn onder verwisseling van de quarks.
Een oplossing van al deze problemen is het invoeren van het quantumgetal kleur.
De u-quarks komen in drie soorten voor: ur , ug , ub waarbij de indices staan voor
rood, groen en blauw. De quarkgolffunctie voor ∆++ zal dan zijn:
ur1 ug2 ub3 + ub1 ur2ug3 + ug1 ub1 ur3 − ug1 ur2 ub3 − ub1 ug2 ur3 − ur1 ub2 ug3 ,
(9.22)
en dit is volledig anti-symmetrisch onder verwisseling van de drie quarks. We
kunnen ook een kleurindex k met k = 1, 2, 3 gebruiken. We kunnen (9.22) dan
schrijven als:
ijk uiuj uk .
(9.23)
Als we met de kleurvrijheidsgraad een SU(3)-groep associëren, dus als we de kleuren
in elkaar over laten vloeien onder de transformatie:
ui → Uij uj , U ∈ SU(3) ,
(9.24)
dan is (9.23) invariant onder SU(3). Immers:
ijk Uil Ujm Ukn = lmn det U = lmn .
(9.25)
Aangezien we het kleur-quantumgetal niet in de gebonden toestanden toestanden terugvinden, moeten alle hadronen invariant (singlets) zijn onder SU(3).
De enige mogelijkheden zijn dan
ijk qi 0 qj 00 qk 000 ,
(9.26)
waarbij q 0 , q 00 en q 000 verschillende quark-flavours kunnen zijn. Dit zijn deeltjes met
half-tallige spin, de baryonen. Daarnaast kunnen we de invariant
q¯i 0 qi 00
(9.27)
construeren, de quark-anti-quark toestanden. Deze hebben heel-tallige spin, en
komen met de mesonen overeen.
Het volledige spectrum van de hadronen kan met dit quarkmodel gereconstrueerd worden.
Het idee is nu dat sterke interacties ontstaan door wisselwerkingen tussen de
gekleurde quarks, waarbij deze interacties weer bepaald worden door het principe
van de locale ijkinvariantie. De hieruit voortvloeiende theorie zullen we in het
volgende hoofdstuk behandelen.
79
10
Quantum Chromo Dynamica
De theorie voor de sterke interacties is gebaseerd op de wisselwerking tussen gekleurde quarks ψi , i = 1, 2, 3 (drie kleuren), en op het gebruik van het principe
van ijkinvariantie. We zullen in dit hoofdstuk deze theorie (QCD) formuleren en
analyseren.
Een belangrijk begrip dat een grote rol speelt in QCD is asymptotische vrijheid
[58, 59]. Dit kunnen we echter pas bespreken na een vrij uitgebreide discussie over
renormalisatie in quantumveldentheorie. Daarbij zullen we weer gebruik maken van
φ4 -theorie als voorbeeld.
10.1
Sterke interacties als ijktheorie
We nemen voorlopig aan dat er één soort (flavour) quark is, en drie kleuren. Dan
is
L = ψ̄i (i6 ∂ − m)ψi
(10.1)
invariant onder SU(3)-transformaties:
ψi → ψi 0 = Uij ψj , U ∈ SU(3) .
(10.2)
We maken deze SU(3)-symmetrie tot een locale symmetrie door een covariante
afgeleide in te voeren, tevens voegen we een kinetische term voor de ijkvelden toe:
a
F µνa .
L = ψi (i6D − m)ij ψj − 41 Fµν
(10.3)
(Dµ ψ)i = (∂µ δ ij − igλaij Aaµ )ψj ,
(10.4)
Hierin is dus:
waarbij de matrices λa een basis vormen voor de Lie-algebra van SU(3), en dus
3 × 3 hermitische, spoorloze, matrices zijn. Ze voldoen aan:
[λa , λb ] = ifabc λc ,
tr λa λb = 21 δ ab .
(10.5)
(10.6)
De dimensie van de groep SU(3) is acht, zodat we in (10.4) acht ijkvelden Aµ
a
hebben toegevoegd. Dit zijn de gluonen. De veldsterktetensor Fµν
is als voorheen
gegeven door:
a
Fµν
= ∂µ Aaν − ∂ν Aaµ + gfabc Abµ Acν .
(10.7)
Een geschikte basis voor de λa werd al gegeven door Gell-Mann:


0 1 0

1 
λ1 = 2  1 0 0  ;
0 0 0


0 −i 0

1 
λ2 = 2  i 0 0  ;
0 0 0
80


1
0 0
1
0
−1
0 
λ3 = 2 
;
0
0 0


0 0 1

1 
λ4 = 2  0 0 0  ;
1 0 0




0 0 0


λ7 = 12  0 0 −i  ;
0 i 0
0 0 −i
1 
0
0 0 
λ5 = 2 
;
i 0 0



0 0 0

1
λ6 = 2  0 0 1  ; (10.8)
0 1 0

0
√  1 0
0 
λ8 = 61 3  0 1
.
0 0 −2
Voor meer dan één quark-flavour nemen we eenvoudig de som over de flavours,
aangegeven door f , zodat (10.3) wordt:
L=
X
f
a
ψ̄f,i (i6D − mf )ij ψf,j − 14 Fµν
F µνa .
(10.9)
Deze theorie heet QCD: de dynamica van de kleurinteractie, ofwel quantum chromo
dynamica. De interactie tussen quark en gluonen is voor elk soort quark hetzelfde.
De massa’s mf kunnen we bijvoorbeeld gelijk nemen aan de massa’s die we in
het standaard-model met het Higgs-mechanisme genereerden. Verder moeten we
natuurlijk denken aan de vereiste toevoeging van Faddeev-Popov ghost velden voor
de quantisatie van (10.9):
LGF = −
1
(∂µ Aµa )2 + c†a u
t ca + g(∂µ c†a )fbc a Aµc cb ,
2a
(10.10)
voor covariante ijking. Vergelijkingen (10.9) en (10.10) samen leiden dan tot Feynman regels voor QCD. Voor ijkvelden en ghosts zijn deze al in sectie (3.3) gegeven.
Daar moeten we nu aan toevoegen een Feynman regel voor de interactie tussen
quarks en gluonen. Deze is van de vorm:
Aaµ ψ̄ψvertex :
igγµ (λa )ij
(10.11)
Een aantal dingen willen we berekenen uit (10.9) en (10.10). Om te beginnen moet, zoals we in diep-inelastische ep-verstrooiing gezien hebben, een proton
zich bij grote q 2 gedragen als een verzameling vrij puntdeeltjes, dat wil zeggen
dat de quarks zich als vrije puntdeeltjes gedragen bij hoge q 2 , en dus bij kleine
afstanden. Anderzijds mogen quarks niet als vrije deeltjes voorkomen: de theorie
moet voorspellen dat de quarks door wisselwerking onderling en met gluonen bij
elkaar blijven.
Het eerste aspect is goed begrepen, voor het tweede is de verklaring uit QCD
meer schetsmatig. Beide aspecten hebben te maken met het gedrag van Green
functies als functie van de impulsen van de uitwendige lijnen. Het blijkt dat we
81
uit de renormalisatieprocedure informatie over de impulsafhankelijkheid kunnen
afleiden. Voordat we dat in QCD zullen doen, is het wellicht goed deze procedure
voor de wat eenvoudiger φ4 -theorie te herhalen.
10.2
Renormalisatie en countertermen: een voorbeeld
De actie die φ4 theorie definiëert is:
S=
Z
d4 x
h
1
∂ φ∂ µ φ
2 µ
− 21 m2 φ2 −
g 4i
φ .
4!
(10.12)
Bij het college Quantumveldentheorie [1] hebben we reeds de renormalisatie procedure geı̈ntroduceerd. Als we de tweepuntsfunctie voor φ berekenen dan vinden we
in laagste orde:
i
.
(10.13)
D (2) (p) = 2
p − m2
De inverse propagator Γ is dan:
Γ(2) (p) = −i(p2 − m2 ) .
(10.14)
Dit verandert als we quantumcorrecties uit lusdiagrammen toevoegen. Dan krijgen
we
Γ(2) (p) = −i(p2 − m2 − Σ(p)) ,
(10.15)
waarbij (−iΣ(p)) de som is van alle 1PI diagrammen (zie fig. 10.1).
Figuur 10.1 Bijdragen tot orde g 2 aan de zelfenergie van het reële scalaire veld
φ in φ4 -theorie.
Tot orde g is de bijdrage aan Σ onafhankelijk is van de impulsen:
Σ(p) = 21 igµ∆F (0) ,
(10.16)
Hierin is µ een parameter met de dimensie van een massa, die we invoeren om de
koppelingconstante g bij dimensionele regularisatie dimensieloos te houden. =
4 − d, waarbij d het aantal dimensies is. Σ veroorzaakt dus een verschuiving van de
82
pool van de twee-puntsfunctie. De pool moet liggen bij de (eindige) fysische massa,
ofwel:
(10.17)
lim 2 Γ(2) (p2 ) = 0 .
p2 →mF
Dit betekent met de correctie (10.16):
m2F = m2 + 21 igµ ∆F (0)
gm2
+ eindige termen .
= m2 −
16π 2
(10.18)
Gegeven mF is dit een definitie van de (oneindige) parameter m2 .
Figuur 10.2 Bijdragen tot orde g 2 aan de 1PI vier-puntsfunctie Γ(4) in φ4 -theorie.
Een soortgelijke procedure is nodig voor de vierpuntsfunctie. We vinden als
correcties op Γ(4) de bijdragen in fig. 10.2. Deze zijn berekend in [1], met als
resultaat:
h
3g
Γ(4) (p1 , . . . , p4 ) = −igµ 1 −
+ eindige constante termen
2
i 16π +C(p1 , p2 , p3 , p4 ) ,
(10.19)
waarbij de functie C naar nul gaat als de impulsen naar nul gaan. C en de niet
expliciet gegeven constante termen zijn vanzelfsprekend van orde g. We kunnen de
divergentie 1/ opnemen in een gerenormaliseerde koppeling gF met
i
g 2 µ h 6
+
eindige
termen
.
(10.20)
32π 2 Deze definitie komt overeen met een relatie tussen gF en de eindige, meetbare,
werkzame doorsnede voor elastische φφ-verstrooiing in de limiet van kleine impuls:
gF = gµ −
dσ ∼ lim |Γ(4) |2 ∼ gF2 .
dΩ p→0 p→0
(10.21)
We hebben vanzelfsprekend de vrijheid om meer of minder constante eindige bijdragen in de renormalisatie op (10.20) op te nemen. Ook een andere definitie van
gF , bijvoorbeeld bij een andere waarde van de impulsen in (10.21), is mogelijk.
83
Naast bovenstaande divergenties treedt nog een onafhankelijke divergentie op
in de twee-lus diagrammen voor Σ. We kunnen een eindige, gerenormaliseerde Γ(2)
r
definiëren door
i
lim 2 Γ(2)
= 1.
(10.22)
r
2
2
p − m2F
p →mF
Dit kan worden bereikt door aan Γ(2) een multiplicatieve renormalisatieconstante
toe te voegen:
(2)
Γ(2)
(10.23)
r = Zφ (g, m1 , µ)Γ (p, m1 , µ) ,
waarbij Zφ en Γ(2) in het rechterlid divergent zijn, maar Γ(2)
eindig. Zφ heet de
r
golffunctie renormalisatie constante.
Zoals we al besproken hebben, zit er in deze procedure een zekere willekeur.
We hebben de vrijheid om de renormalisatiecondities, (10.17, 10.21, 10.22) anders
te kiezen. Bovendien zijn we natuurlijk vrij in de keuze van de parameter µ. Dit
zal in het algemeen andere Green functies opleveren, maar uiteindelijk leiden tot
dezelfde fysische grootheden als werkzame doorsneden en vervalstijden.
Om de afhankelijkheid van de Green functies van het renormalisatieschema te
onderzoeken is het handig de renormalisatie uit te voeren met behulp van countertermen. Deze formulering is volledig equivalent aan wat we eerder in deze sectie
besproken hebben. We beginnen ook hier met (10.12), maar beschouwen m en g nu
als fysische waarden van massa en koppelingsconstante. We berekenen vervolgens
de Green functie Γ(2) en Γ(4) . In laagste orde voldoen deze dan aan (10.17, 10.21,
10.22). De correcties van orde g en hoger zorgen echter dat aan deze condities
niet meer voldaan is. We lossen dit probleem op door aan de actie extra termen,
countertermen, toe te voegen die de fout herstellen17 .
We beginnen opnieuw met de twee-puntsfunctie en de fysische massa. De orde
g correctie op de twee-puntsfunctie zal de positie van de pool van de propagator
veranderen. Om dit te voorkomen voeren we een extra term, een counterterm, toe
aan de Lagrangedichtheid. Deze is van de vorm:
L1 = − 21 δm2 φ2 .
(10.24)
Dit levert een nieuwe Feynman regel, want we vatten deze term op als een extra
interactie. De nieuwe regel is:
φ2 counterterm vertex :
− 21 iδm2
17
(10.25)
Deze methode om te renormaliseren wordt in de meeste boeken over quantumveldentheorie
besproken. Veel auteurs vallen bij de behandeling van dit onderwerp (en vele andere onderwerpen)
terug op de colleges die S. Coleman gegeven heeft voor de zomerschool in Erice. Deze zijn
gebundeld in [60].
84
Met deze nieuwe regel berekenen we nogmaals Γ(2) tot orde g. Het resultaat is nu:
Γ(2) = −i p2 − m2 − 21 igµ ∆F (0) + δm2 ,
zodat we zien dat de pool van de propagator bij de fysische massa blijft als we
kiezen
gm2
+ eindige termen .
(10.26)
δm2 = 12 igµ ∆F (0) = −
16π 2 Op soortgelijke wijze kunnen we de één-lus bijdrage aan de vier-puntsfunctie
behandelen. We voegen daar aan L toe:
L2 = −gµ Bφ4 /4! ,
(10.27)
waarbij dan de constante B zodanig bepaald wordt dat ook na de één-lus correcties
aan de renormalisatieconditie (10.21) voldaan is. We vinden een nieuwe Feynman
regel:
φ4 counterterm vertex :
−igµ B/4!
(10.28)
Deze regel gebruiken we nu in de berekening van de vier-puntsfunctie. We vinden
vanzelfsprekend:
h
Γ(4) (p1 , . . . , p4 ) = −igµ 1 + B −
i
+C(p1 , p2 , p3 , p4 ) .
3g
+ eindige constante termen
16π 2 (10.29)
Als we nu opnieuw aan (10.21) willen voldoen dan moeten we dus kiezen:
B=
3g
− eindige constante termen
16π 2 (10.30)
Figuur 10.3
Twee extra bijdragen aan de twee-puntsfunctie tot orde g 2 ten
gevolge van de countertermen (10.24) en (10.27).
85
Voor de golffunctie renormalisatie kijken we nu opniew naar de diagrammen
van orde g 2 in de twee-puntsfunctie. We hebben nu twee nieuwe vertices van orde
g, zodat er twee extra bijdragen zijn. Deze zijn gegeven in fig. 10.3. Toch is het
totale resultaat nog divergent, en dwingt ons tot het invoeren van de golffunctie
renormalisatie constante. Wanneer we countertermen gebruiken, komt dit erop neer
dat we een counterterm van de vorm:
L3 = 12 A(∂µ φ)2
(10.31)
moeten toevoegen. Het is duidelijk dat deze correctie de propagator beı̈nvloedt, en
dat we door deze constante geschikt te kiezen ervoor kunnen zorgen dat aan (10.22)
voldaan is.
De totale actie is, na het toevoegen van de drie countertermen:
Lren = L + LCT
+ A)(∂µ φ)2 − 21 (m2 + δm2 )φ2 − (1 + B)
=
1
(1
2
=
1
(∂ φ)2 Zφ
2 µ
=
1
(∂ φ )2
2 µ B
− 21 m2B φ2 Zφ −
− 21 m2B φ2B −
1
gB φ4 Zφ2
4!
gµ 4
φ
4!
1
gB φ4B
4!
(10.32)
(10.33)
met:
φB = (Zφ )1/2 φ ;
mB = Zm ;
gB = µ Zg g ;
Zφ = 1 + A
2
Zm
= (m2 + δm2 )(Zφ )−1
Zg = (1 + B)(Zφ )−2
(10.34)
Het subscript B staat voor ”bare”: de kale parameters zijn oneindig in dit model en
worden via renormalisatieconstantes Z uitgedrukt in de fysische, eindige parameters. De Lagrangedichtheid (10.33) heeft precies dezelfde vorm als de oorspronkelijke Lagrangedichtheid in (10.12), maar met andere waarden van de parameters. Het
resultaat (10.33) wordt ook wel de gerenormaliseerde Lagrangedichtheid genoemd.
10.3
Green functies en asymptotische vrijheid
We willen nu met de Lagrangedichtheid (10.32) een Green functie D (n) berekenen.
Vanwege D (n) ∼< φ(x1 ) · · · φ(xn ) > zal gelden
−n/2
D (n) (p1 , . . . , pn , mB , gB , ) = Zφ
(n)
DB (p1 , . . . , pn , mB , gB , ) ,
(10.35)
waarbij DB dezelfde Green functie is uitgerekend met (10.33). Voor de 1PI Green
functie geldt dan:
n/2 (n)
Γ(n) (p, mB , gB , ) = Zφ ΓB (p, mB , gB , ) .
86
(10.36)
We zullen de afhankelijkheid van de n impulsen pi samenvatten in de impuls p. De
extra factoren Zφ ontstaan omdat de 1PI Green functies geamputeerd zijn, en dus
geen uitwendige propagatoren meer bevatten. Het linkerlid van (10.36) is eindig
als → 0. Het is immers de Green functie uitgerekend met de Lagrangedichtheid
mét de countertermen. We kunnen natuurlijk Γ(n) uitdrukken in m, g en µ door
gebruik te maken van (10.34). Dit levert het volgende resultaat op:
(n)
−n/2 (n)
ΓB (p, mB , gB , ) = Zφ
Γ
(p, m, g, µ, ) .
(10.37)
In deze vergelijking vatten we nu m en g op als functies van mB , gB en µ. Dan is
het linkerlid van (10.37) onafhankelijk van µ, en geldt:
µ
∂ (n)
Γ =0⇒
∂µ B
#
"
∂
∂g ∂
∂m ∂
n ∂ ln Zφ (n)
Γ = 0.
µ
+µ
+µ
−µ
∂µ
∂µ ∂g
∂µ ∂m
2 ∂µ
(10.38)
Definieer nu:
m
∂g
, ) ≡ µ
,
µ
∂µ
∂ ln Zφ
m
γd (g, , ) ≡ 12 µ
,
µ
∂µ
µ ∂m
∂ ln m2
m
=
.
γm (g, , ) ≡ 12 µ
µ
∂µ
m ∂µ
β(g,
(10.39)
(10.40)
(10.41)
De functies β, γd, γm zijn dimensieloos en moeten dus geschreven kunnen worden in
termen van dimensieloze grootheden. Daarom hangen ze alleen van m/µ af en niet
van m of µ apart. Ze staan bekend onder de naam renormalisatiegroep functies.
∂
We kunnen ook op geheel andere wijze informatie krijgen over µ ∂µ
Γ. Veron(n)
derstel dat we in Γ (p, m, g, µ, ) een verandering van energieschaal uitvoeren:
p → tp, m → tm, µ → tµ. Alle grootheden met de dimensie van een massa worden
dus met t vermenigvuldigd. De dimensie van Γ(n) is
dim Γ(n) = −n + 4 + 21 (n − 2) ,
(10.42)
waarbij = 4 − d. Dat kunnen we als volgt nagaan. De dimensie van een
scalair veld in d dimensies is (d − 2)/2. Een Green functie wordt gegeven door
D (n) (x1 , . . . , xn ) ∼< φ(x1 ) · · · φ(xn ) >, zodat dim D (n) gelijk aan n(d − 2)/2. Dus
is de dimensie van D (n) (p) gelijk aan n2 (d − 2) + d(1 − n), omdat de Green functie in
de impulsruimte wordt gekregen door integratie over de d ruimtelijke coördinaten,
waarbij dan nog een δ-functie δ(p1 + . . . + pn ) in de d-dimensionale impulsruimte
87
wordt verwijderd. Verder worden nog de uitwendige propagatoren geamputeerd om
uiteindelijk Γ(n) te krijgen. We zien dus:
n
(d − 2) + d(1 − n) + 2n
2
= 4 − n + 21 (n − 2) .
D ≡ dim Γ(n) =
(10.43)
Als we nu de impulsen herschalen in Γ(n) dan vinden we:
Γ(n) (tp, tm, g, tµ, ) = tD Γ(n) (p, m, g, µ, ) ,
(10.44)
Γ(n) (tp, m, g, µ, ) = tD Γ(n) (p, t−1 m, g, t−1µ, ) ,
(10.45)
ofwel:
zodat:
t
∂ (n)
Γ (tp1 , . . . , tpn , m, g, µ, ) =
∂t"
#
∂
∂ D (n)
D−m
t Γ (p, t−1 m, g, t−1 µ, ) .
−µ
∂m
∂µ
(10.46)
De herschaling geeft dus:
"
#
∂
∂
∂
µ
+m
+ t − D Γ(n) (tp, m, g, µ, ) = 0 ,
∂µ
∂m
∂t
(10.47)
∂ (n)
waarbij we weer gebruik hebben gemaakt van (10.45). We kunnen nu µ ∂µ
Γ
oplossen uit (10.38) en (10.47). Het resulaat is:
#
"
∂
∂
∂
−β
+ nγd − D Γ(n) (tp, m, g, µ, ) = 0 .
t − m(γm − 1)
∂t
∂m
∂g
(10.48)
Dit is een belangrijke vergelijking, de zogenaamde renormalisatiegroep18 vergelijking.
Als we (10.48) kunnen oplossen, dan kennen we het gedrag van Γ(n) onder een
herschaling van de impulsen. De onbekenden zijn γm − 1, β en γd . Deze moeten
we uit de storingsreeks bepalen. Merk op dat als γm − 1 = β = γd = 0, de tafhankelijkheid geheel bepaald wordt door D, de dimensie van Γ(n) . Dus geven
β, γm − 1 en γd de afwijking aan van het “normale” schalingsgedrag van Γ(n) .
Hoe kunnen we echter (10.48) op lossen? Het probleem is dat γm , γd en β zowel
van g als van m/µ kunnen afhangen. We zullen straks zien dat er een renormalisatievoorschrift is, zodanig dat er in de renormalisatiegroep functies geen afhankelijkheid van m/µ is. Dan is het eenvoudig een oplossing van (10.48) te vinden.
18
Dit is een onderwerp dat inmiddels ook in de leerboeken is opgenomen. Zie bijvoorbeeld [61].
88
Hiervoor voeren we in ḡ(t) en m̄(t) met:
dḡ(t)
= β (ḡ(t)) , ḡ(t = 1) = g ,
dt
dm̄(t)
= m̄(t) (γm (ḡ(t)) − 1) , m̄(t = 1) = m .
t
dt
t
(10.49)
(10.50)
Dan is
Γ
(n)
D
(tp, m, g, µ) = t Γ
(n)
(p, m̄(t), ḡ(t), µ) exp ( − n
Z
1
t
dt0
γd (ḡ(t0 )))
0
t
(10.51)
een oplossing van (10.48). Dit kunnen we gemakkelijk expliciet verifiëren.
In feite is (10.51) het belangrijkste resultaat van dit hoofdstuk. Het vertelt ons
dat het gedrag van Green functies bij herschaalde impulsen bepaald wordt door
effectieve, schaal afhankelijke koppelingen en massa’s ḡ(t) en m̄(t). Deze worden
de ”running” koppelingsconstanten en massa’s genoemd. We moeten wel ḡ(t) en
m̄(t) op kunnen lossen uit (10.49, 10.50). Dat kan door rechtstreekse berekening
van β, γm en γd uit storingstheorie.
Duidelijk is dat β(0) = 0 als er geen interacties zijn. Interessant is nu de vraag
of β(g) nog andere nulpunten heeft. In fig. 10.4a geven we een mogelijk gedrag van
β als functie van g aan. De nulpunten van β noemen we ”fixed points”, fixpunten.
Als β > 0 dan is g 0 (t) > 0 en g neemt dus toe bij toenemende t, en gaat naar
g0 . Voor β < 0 (g > g0 ) geldt juist dat bij toenemende t g afneemt naar g0 . Dus
een nulpunt met dβ/dg < 0 is een ultraviolet fixpunt, g zal naar de waarde in het
fixpunt naderen voor toenemende t. Omgekeerd is een nulpunt met dβ/dg > 0 een
infrarood fixpunt.
Figuur 10.4 Twee manieren waarop de β-functie zich kan gedragen als functie
van g. In geval (a) is g = 0 een infrarood fixpunt, en g = g0 een ultraviolet fixpunt.
In geval (b) is g = 0 een ultraviolet fixpunt, en is er asymptotische vrijheid.
Een andere mogelijkheid is aangegeven in fig. 10.4b. Nu is g = 0 een ultraviolet
fixpunt: voor grote impulsen nadert g(t) naar nul en gedragen de deeltjes zich
effectief vrij. Deze eigenschap heet asymptotische vrijheid. Anderszijds is nu g0
infrarood fixpunt.
89
We zien dus dat het gedrag van β voor kleine g, dat we betrouwbaar kunnen
uitrekenen in storingstheorie, essentieel is voor het optreden van asymptotische
vrijheid. Op grond van de al eerder besproken fysica van QED en QCD zouden we
hopen en verwachten dat in QED β(e) > 0 voor kleine e, en in QCD β(g) < 0 voor
kleine g.
10.4
De β-functie voor φ4 theorie
Voordat we daadwerkelijk een berekening kunnen uitvoeren, moeten we eerst laten
zien dat er inderdaad geen m/µ-afhankelijkheid is in de functies β, γm en γd , voor
een geschikt gekozen renormalisatie procedure. Deze procedure is heel eenvoudig:
we kiezen de renormalisatieconstantes zo, dat ze geen eindige delen bevatten. Meer
precies is het voorschrift als volgt: we kunnen gB , mB en Zφ ontwikkelen in een
Laurentreeks in 1/ (zie [61]):
gB
m2B
Zφ
∞ a (g, m ) i
X
k
m
µ
= µ a0 (g, , ) +
,
k
µ
k=1
∞ b (g, m ) i
h
X
k
m
µ
2
,
= m b0 (g, , ) +
k
µ
k=1
h
(10.52)
∞ c (g, m )
X
k
m
µ
= c0 (g, , ) +
,
k
µ
k=1
waarin de coëfficiënten ai , bi , ci dimensieloos zijn. Zo vonden we:
Γ(4) = −igµ (1 −
3g
+ eindige termen),
16π 2 (10.53)
hetgeen leidde tot:
3g
+ eindige termen.
(10.54)
16π 2 Welke eindige stukken aan de renormalisatieconstanten worden toegevoegd hangt
af van het renormalisatievoorschrift, en we besluiten nu geen eindige stukken toe
te voegen. Dat betekent in ons voorschrift dat a0 = g, a1 = 3g 2/16π 2 en, in een
1-lus benadering, ak = 0 voor k > 2. Deze termen zijn massa-onafhankelijk. De
reden is, dat we met deze procedure alleen naar de echte ultraviolet divergenties
kijken; elke pool in correspondeert met het extreme ultraviolet gedrag van een
impulsintegraal. We verwachten dat dit gedrag onafhankelijk is van de massa’s in
het model.
Met deze procedure geldt:
B=
h
gB = µ g +
∞
X
ak (g) i
.
k
k=1 90
(10.55)
Beschouw nu weer gB als onafhankelijk, en dus g afhankelijk van gB en µ. Dan:
0 = µ
∞
X
ak (g) i
∂ h µ (g +
⇒
k
∂µ
k=1 0 = (g +
∞
X
∞
X
ak
a0k
∂g
)
+
µ
(1
+
).
k
k
∂µ
k=1 k=1 (10.56)
Hiermee kunnen we nu β ontwikkelen:
β(g) = −(g +
∞
X
∞
X
ak
a0 k −1
)(1
+
)
k
k
k=1 k=1 = −g − a1 + ga01 ,
(10.57)
want vanwege het feit dat β(g) eindig is kunnen geen termen in 1/ voorkomen.
We vinden dus voor φ4 theorie dat
β(g) = +
3g 2
16π 2
(10.58)
als één-lus resultaat. We zien dat β(g) > 0, zodat φ4 theorie niet asymptotisch vrij
is. Merk op dat de eindigheid van β in (10.57) voor → 0 relaties tussen ak+1 en
ak vereist:
ak+1 − ga0k+1 + ak (−a1 + ga01 ) = 0 .
(10.59)
Dit kan voor φ4 -theorie vanzelfsprekend expliciet geverifieerd worden voor de lage
orden in de storingsreeks (en voor kleine k).
We zien dat voor φ4 -theorie g = 0 geen ultraviolet fixpunt is. Vergelijking
(10.49) wordt nu voor het één-lus resultaat:
t
dḡ
3ḡ 2
=
,
dt
16π 2
(10.60)
met als oplossing:
ḡ(t) = ḡ(1)/(1 −
3
3
ḡ(1) ln t) = g/(1 −
g ln t) .
2
16π
16π 2
(10.61)
We zien dat ḡ(t) een pool heeft, de zogenaamde Landau-pool. Dit lijkt een catastrofe voor φ4 -theorie, want de Green functies zouden dan een singulariteit bevatten
voor voldoende grote impulsen. We moeten ons echter realiseren dat als ḡ(t) groot
wordt de één-lus storingsrekening niet meer betrouwbaar is.
Algemeen zij opgemerkt dat de renormalisatiegroep functies β, γm en γd afhangen
van de manier waarop we de eindige gedeelten bij de renormalisatie behandelen.
Er kan bewezen worden dat de plaats van de fixpunten van β(g), alsmede het teken
van de eerste afgeleide, onafhankelijk zijn van het gekozen voorschrift.
91
10.5
De β-functie in Yang-Mills theorie
In deze sectie willen we de β-functie voor Yang-Mills theorie gekoppeld aan fermionen berekenen. Zoals we in de vorige sectie gezien hebben, doen we er dan verstandig aan bij de renormalisatie alleen de divergente bijdragen aan de n-puntsfuncties
in de countertermen op te nemen. Dat blijkt bovendien de berekeningen aanzienlijk
te vereenvoudigen.
Laten we eerst kijken naar de divergentiegraad van Feynman diagrammen in
Yang-Mills theorie, Dit geeft ons een idee van de divergente diagrammen die we
mogen verwachten. Daarbij zij opgemerkt, dat de divergentiegraad groter kan zijn
dan de werkelijke divergentie van een diagram, net zoals dat bij QED het geval is.
In een typisch diagram in Yang-Mills theorie hebben we
n3
n4
nf
ng
Ev
Ef
Iv
If
Ig
vertices met drie gluonen
vertices met vier gluonen
vertices met een gluon en twee fermionen
vertices met een gluon en twee ghosts
externe gluon lijnen
externe fermion lijnen
interne gluon-lijnen
interne fermion lijnen
interne ghost lijnen.
De divergentiegraad in d dimensies is dan:
D = dL − 2Iv − If − 2Ig + n3 + ng .
(10.62)
De vertex met drie gluonen en de ghost-ghost-gluon vertex zijn impuls afhankelijk,
en treden hier dus ook op. L is het aantal lussen, dat gelijk is aan het aantal
onafhankelijke impulsen waarover geı̈ntegreerd wordt. Er geldt:
L = Iv + If + Ig − (n3 + n4 + +nf + ng ) + 1 .
(10.63)
De aantallen interne lijnen zijn weer uit te drukken in de aantallen externe lijnen
en het aantal vertices. De relaties zijn:
4n4 + 3n3 + nf + ng = 2Iv + Ev ,
2nf = 2If + Ef ,
2ng = 2Ig .
(10.64)
Dit geeft dan:
D = − 21 (d − 2)Ev − 21 (d − 1)Ef + (d − 4)(n4 + 21 n3 + 21 nf + 12 ng ) + d ,
92
(10.65)
zodat we voor d = 4 vinden:
D = 4 − Ev − 32 Ef .
(10.66)
Dit is hetzelfde resultaat als voor QED. Er is dus weer een eindig aantal primitieve
divergenties, hetgeen een noodzakelijke voorwaarde is voor renormaliseerbaarheid.
Dat de theorie inderdaad renormaliseerbaar is werd bewezen in [34, 35].
De renormaliseerbaarheid van de theorie garandeert dat de countertermen die
bij de renormalisatie optreden dezelfde vorm hebben als de oorspronkelijke termen
in de actie. Met deze kennis is het mogelijk de β-functie voor QCD te onderzoeken.
We zullen dus nagaan wat het gedrag is van:
β(g) ≡ µ
∂g
.
∂µ
(10.67)
De koppelingconstante g is de coefficiënt van de vertex
g ψ̄f,i γ µ (λa )ij ψf,i Aaµ ,
(10.68)
waarbij gesommeerd wordt over f , de verschillende soorten fermionen. In de actie
waaraan de countertermen zijn toegevoegd zal de vorm van deze interactie zijn:
gB ψ̄B f,i γ µ (λa )ij ψB f,j AB aµ =
= gB Z2 (Z3 )1/2 ψ̄f,i γ µ (λa )ij ψf,j Aaµ =
= gµ/2Z1 ψ̄f,i γ µ (λa )ij ψf,j Aaµ ,
(10.69)
naar analogie met (10.32, 10.33). De kale koppelingsconstante is dus
−1/2
gB = gµ/2Z1 Z2−1 Z3
.
(10.70)
De renormalisatie constanten zijn:
Z1 :
Z2 :
Z3 :
voor de quark-quark-gluon vertex
voor de fermion velden
voor de gluon velden.
We zullen deze renormalisatieconstantes nu berekenen tot orde g 2 . De te berekenen diagrammen zijn getekend in fig. 10.5. Een deel ervan, de diagrammen (a1-a3)
hebben we reeds uitgerekend in sectie (3.4). Daarnaast is er nog één bijdrage aan de
vacuumpolarisatie, namelijk het diagram (a4) met de fermionlus. Op een groepsfactor na levert dit dezelfde bijdrage als in QED. De totale divergente bijdrage aan
93
de vacuumpolarisatie is dan:
i
(g µν p2 − pµ pν )
16π 2 i
(g µν p2 − pµ pν )Nf
− 83 ig 2 tr λa λb
16π 2 g 2 δab µν 2
(g p − pµ pν ) (− 10
T + 38 TF Nf ) ,
=
3 A
2
16π Πµν
ab (p) =
10 2
ig fcd a f cdb
3
(10.71)
waarbij Nf het aantal soorten fermionen is.
Figuur 10.5
De één-lus diagrammen die in Yang-Mills theorie met fermionen
die moeten worden berekend voor de bepaling van de β-functie.
Merk op dat de bijdrage van het fermion op zichzelf transversaal is. Dat is
natuurlijk vanzelfsprekend, want in het geval van QED is dat ook de enige bijdrage.
Verder hebben we groepsfactoren geı̈ntroduceerd:
δ ab TA = fcd a f cdb ,
δ ab TF = tr λa λb ,
δij CF =
X
(λa λa )ij ,
(10.72)
a
die we ook al in Appendix A hebben besproken. Voor de geadjungeerde representatie maken we geen onderscheid tussen CA en TA . We kunnen zonder extra werk de
berekening van de β-functie voor een willekeurige SU(N)-groep doen. De berekening van de vacuumpolarisatie levert ons de golffunctie renormalisatie constante Z3 :
Z3 = 1 +
g 2 10
( TA − 83 TF Nf ) .
16π 2 3
94
(10.73)
De berekening van de zelfenergie van het fermion zal ons Z2 opleveren. Opnieuw
is dit diagram (b1) op een groepsfactor na gelijk aan het resultaat dat voor QED
gevonden wordt. De berekening van het divergente deel van dit diagram levert:
g2
(−p/ + 4m) 2 (λa λa )ij
16π 2 g2
(−p/ + 4m) 2 δij CF .
=
16π 2 Σij (p) =
(10.74)
We vinden nu:
g2
2 CF .
(10.75)
16π 2
Tenslotte zijn er nog de twee diagrammen die een vertex correctie geven, (c1) en
(c2). Voor deze diagrammen vinden we de volgende divergente bijdragen:
Z2 = 1 −
ig 3 µ b
γ (λ λa λb )ij
8π 2 ig 3 µ
γ (λa )ij (2CF − TA ) ,
=
16π 2 ig 3 µ
(c2 ) =
γ (λa )ij (3TA ) .
16π 2 (c1 ) =
(10.76)
De vertex correcties zijn over het algemeen het moeilijkst, in dit geval vallen de
technische problemen mee ondat we ons beperken tot het divergente deel van het
diagram. Het resultaat voor de bijbehorende renormalisatieconstante is:
Z1 = 1 −
g2
(2CF + 2TA ) .
16π 2 (10.77)
We kunnen nu alle gegevens combineren en gB bepalen:
gB = gµ
/2
g2
11
2
(−
1+
T
+
N
)
.
A
f
3
3
16π 2 (10.78)
We hebben hierbij TF = 12 gekozen, onze gebruikelijke normering voor de fundamentele representatie. Merk op dat de twee factoren CF , die voorkomen in de
diagrammen (b1) en (c1), tegen elkaar wegvallen. Dit kunnen we als volgt begrijpen. In QED zijn dit de enige bijdragen aan Z1 en Z2 (TA = 0 voor QED).
De Ward-identiteit voor de drie-puntsfunctie in QED relateert een contractie van
Γ(3) aan de fermion propagator. Aan deze identiteit is in QED alleen voldaan als
Z1 = Z2 . Dit vinden we dan ook inderdaad. In Yang-Mills theorie zijn er ook
andere bijdragen aan deze Ward-identiteit, en hoeven dus Z1 en Z2 niet aan elkaar
gelijk te zijn.
95
Met TA = N vinden we nu de β-functie voor SU(N)-Yang-Mills theorie:
g3
(− 11
β(g) =
N + 23 Nf ) .
3
2
16π
(10.79)
Het gedrag van de β-functie wordt nu bepaald door het aantal quark-flavours, en
β wordt positief als:
N + 23 Nf > 0 ⇒ Nf > 11
N,
− 11
3
2
terwijl β juist negatief wordt voor:
Nf <
11
N
2
.
(10.80)
We concluderen dat QCD, met N = 3 en 6 soorten quarks, asymptotisch vrij is
[58, 59]19 .
Voor QED vinden we het volgende. Zoals eerder besproken geldt daar Z1 = Z2 ,
en dus komt alleen Z3 in gB voor. In Z3 doet alleen de term evenredig met Nf
mee, nu met als interpretatie dat in principe alle geladen fermionen daar mogen
voorkomen. De factor met het negatieve teken in (10.79) is afwezig, en QED is dus
niet asymptotisch vrij.
In de één-lus berekening voor QCD vonden we
β(g) = −
g3
2
(11 − Nf ) ≡ −bg 3 .
2
16π
3
(10.81)
Dit betekent dat de koppelingsconstante ḡ(g, t) voldoet aan de vergelijking:
t
dḡ
= −bḡ 3 ,
dt
ofwel:
ḡ 2 (t) =
g2
.
1 + 2bg 2 ln t
(10.82)
(10.83)
Voor grote t, dus voor grote impulsen, vinden we dat ḡ(t) → 0 en dus asymptotische
vrijheid. De afname met t is logaritmisch en daardoor langzaam. In termen van de
sterke interactie ”fijnstructuur-constante” αs ≡ ḡ 2/4π geeft dit:
αs (t) =
αs (1)
.
1 + 8πb αs (1) ln t
We kunnen invoeren
t2 =
q2
,
µ2
19
(10.84)
(10.85)
Het negatieve teken van de β-functie in Yang-Mills theorie was al eerder bekend bij ’t Hooft
(Triangle Conference, Marseille 1972), maar door hem niet gepubliceerd.
96
zodat (10.84) geschreven kan worden als:
αs (q 2 ) =
αs (µ2 )
.
1 + 4πb αs (µ2 ) ln(q 2 /µ2 )
(10.86)
Hiermee hebben we een parameter αs (µ2 ) ≡ g 2 /4π geintroduceerd. Vergelijking
(10.86) geeft de impulsafhankelijkheid van de effectieve sterke koppelingsparameter
aan. In de literatuur wordt ook wel de parameter Λ gebruikt, gedefinieerd door:
ln Λ2 = ln µ2 −
hetgeen oplevert:
αs (q 2 ) =
1
,
αs (µ2 )4πb
4π
(11 −
2
N ) ln(q 2 /Λ2 )
3 f
.
(10.87)
De parameter Λ moet dan door metingen van αs bij verschillende energieën bepaald
worden.
Als q 2 klein wordt in (10.87), wordt αs groter. We moeten er dan aan denken
dat de storingtheorie dan eigenlijk niet meer opgaat. Hierdoor is het infrarood
gedrag van QCD een verschijnsel dat niet goed met storingstheorie onderzocht kan
worden. Experimenteel worden vrije quarks of gluonen niet waargenomen, hetgeen
er op wijst dat de krachten tussen de deeltjes toenemen als de afstanden groter
worden. Het gedrag van αs is daarmee in overeenstemming, maar kan natuurlijk
niet als bewijs worden opgevat. De opsluiting of ’confinement’ van quarks is een
probleem dat met heel andere technieken, zoals computersimulatie van de dynamica
van QCD, onderzocht wordt.
97
11
Unificatie
In de vorige hoofdstukken hebben we het standaard model voor de electromagnetische, zwakke en sterke wisselwerkingen gepresenteerd. Laten we voorop stellen
dat dit model werkt: het is volledig in overeenstemming met alle experimentele
gegevens. Toch kunnen we ons, als theoretici, een aantal verbeteringen van het
model voorstellen. In de eerste plaats zouden we graag gravitatie erin opnemen.
Dat is nog altijd een onopgelost probleem, dat we echter in het kader van dit college
niet verder zullen bespreken. Daarnaast zouden we graag een aantal parameters
in het model willen verklaren, zoals de waarden van de drie koppelingsconstanten,
en de fermion massa’s. In dit hoofdstuk zullen we een Grand Unification model
bespreken dat aan een aantal van deze wensen voldoet. Het specifieke model dat we
zullen behandelen is inmiddels in strijd met een aantal experimentele resultaten,
en dus niet meer acceptabel. Maar we zullen het opvatten als een prototype van
een grote klasse van dergelijke modellen, waarvan één misschien wel aan alle eisen
voldoet.
11.1
Motivatie
Het standaard-model voor de sterke en electrozwakke wisselwerkingen is gebaseerd
op de symmetriegroep
SU(3) × SU(2) × U(1) .
(11.1)
Hierin is SU(3) de ijkgroep behorend bij de sterke interacties, en SU(2) × U(1) de
ijkgroep van de zwakke en electromagnetische wisselwerkingen. Het model heeft de
volgende parameters:
koppelingsconstanten : αS , e,
massa’s
: 6 voor
6 voor
menghoeken
: 4 voor
Higgs potentiaal
: λ, µ
sin2 θ
de leptonen
de quarks
3 generaties
Verder zijn er nog een aantal aspecten die door het model weliswaar beschreven
worden, maar niet uit één of ander achterliggend principe verklaard worden. Hierbij
denken we bijvoorbeeld aan de quantumgetallen van de fermionen in SU(2) × U(1).
Het is daarom een aantrekkelijke gedachte de drie interacties onder te brengen
in één model, met één groep en één koppelingsconstante. Er zijn veel modellen
van dit type geı̈ntroduceerd, die een aantal eigenschappen én problemen gemeen
hebben. Theoretisch gezien zijn ze echter aantrekkelijk en het is niet uitgesloten
dat een variant van een dergelijk model met de werkelijkheid overeenkomt. Wij
zullen één van deze modellen, het eenvoudigste, in dit hoofdstuk bespreken.
98
Wat we zoeken is een Lie-groep G , die de groep SU(3) × SU(2) × U(1) bevat.
We willen maar één onafhankelijke koppelingsconstante hebben, dus moet G een
simpele groep zijn, d.w.z. G mag niet uiteenvallen in een product van factoren,
zoals (11.1).
De rang van een groep is de dimensie van de grootste abelse ondergroep, oftewel
het maximale aantal onderling commuterende generatoren. Voor (11.1) is dat 4 (in
het algemeen: N − 1 voor SU(N)). Voor de (11.1) kunnen we als unificatie groep
dus G = SU(5) kiezen.
Het idee bij een unificatie is, dat de G -symmetrie via het Higgs-mechanisme
breekt tot SU(3) × SU(2) × U(1). SU(3) × SU(2) × U(1) heeft 12 generatoren
en SU(5) heeft er 24, dus moeten er 12 generatoren breken. De massa van de bij
de gebroken ijksymmetrie horende velden moet groot zijn (omdat we de bij deze
velden horende krachten (nog) niet kennen). Een tweede Higgs-mechanisme moet
dan voor de massa van de W - en Z-bosonen zorgen. Dergelijke modellen heten
GUT’s (Grand Unified Theories). Het prototype van de GUT werd geı̈ntroduceerd
in [62], de SU(5) theorie is in detail uitgewerkt in [63].
11.2
De SU(5) structuur
Om te beginnen moeten we besluiten hoe we de materiedeeltjes, leptonen en quarks,
zullen indelen in SU(5)-representaties. Er zijn per generatie 3×2×2 quarks en 3
leptonen in totaal dus 15 linkshandige fermionen (we tellen links- en rechtshandig
afzonderlijk). De dimensie van een aantal bekende representaties van SU(N) is
voor N = 5 gelijk aan:
5
10
15
24
:
:
:
:
fundamentele representatie ,
anti − symmetrische representatie ,
symmetrische representatie ,
geadjungeerde representatie .
(11.2)
Het lijkt aantrekkelijk de vijftien fermionen van elke generatie onder te brengen
in de symmetrische representatie. Dit blijkt echter niet te werken. Om in te zien
waarom dit niet werkt moeten we beginnen de quantumgetallen van de fermionen
voor SU(3) × SU(2) × U(1) verzamelen. Deze zijn gegeven in Tabel 11.1.
Gebruik makend van de notatie (dim SU(3)-repr., dim SU(2)-repr.) vinden we
dus:
(3, 2) + 2(3, 1) + (1, 2) + (1, 1) .
(11.3)
Hoe splitsen de representaties van SU(5) op? We nemen de standaard inbedding
van SU(3) × SU(2) × U(1) in SU(5): de fundamentele representatie van SU(5)
transformeert dan onder SU(5) matrices U (5 × 5), waarin de ondergroepen als
volgt terug te vinden zijn:
99
deeltje
SU(3)
SU(2)
U(1)
(u1 d1 )L , (u2 d2 )L , (u3 d3 )L
triplet
doublet
1
3
u1,R ,
u2,R ,
u3,R
triplet
singlet
4
3
d1,R ,
d2,R ,
d3,R
triplet
singlet
− 23
(ν , e)L
singlet
doublet
−1
eR
singlet
singlet
−2
Tabel 11.1 Representaties van de vijftien fermionen van de eerste generatie voor
de symmetriegroep SU(3) × SU(2) × U(1).
U=
"
SU(3)
0
0
SU(2)
#
,
(11.4)
terwijl de generator van U(1) gegeven wordt door (niet genormeerd):

Y5 =








1
1
1
− 23
− 32







,
(11.5)
waarbij Y5 spoorloos en hermitisch is, en commuteert met alle matrices van de
vorm (11.4). Voor een fermion multiplet dat transformeert via de fundamentele
representatie van SU(5) hebben we dus:
ψi → ψi0 = Uij ψj .
(11.6)
Als we de SU(5) matrix beperken tot (11.4) zien we dat de 5-dimensionale representatie opsplitst in:
5 → (3, 1) + (1, 2) .
(11.7)
We bekijken ook de anti-symmetrische en de symmetrische representatie. Deze
splitsen op als:
10 → (3, 2) + (3̄, 1) + (1, 1)
15 → (6, 1) + (3, 2) + (1, 3)
(11.8)
(11.9)
Dit kunnen we nagaan voor bijvoorbeeld de 10-dimensionele representatie. Fermionen die transformeren in de anti-symmetrische representatie kunnen we onderbrengen in een anti-symmetrische matrix ψij = −ψji . Er geldt:
ψij → ψij0 = Uik Ujl ψkl ,
100
(11.10)
hetgeen voor infinitesimale transformaties impliceert:
δψij = ia Ta ik ψkj + ia Ta jk ψik .
(11.11)
Als we nu de generatoren Ta van SU(5) achtereenvolgens beperken tot SU(3) en
SU(2) zoals in (11.4) kunnen we zien hoe de representatie opsplitst. Zo transformeert ψij met i ≤ 3, j >3 onder SU(3) (Ta ij = 0 voor i, j > 3) als volgt:
δψij = ia Ta ik ψkj
met k ≤ 3 ,
(11.12)
δψij = ia Ta jk ψik
met k > 3 .
(11.13)
en onder SU(2) als:
Voor i ≤ 3 en j > 3 (of andersom natuurlijk) transformeren de velden ψij onder SU(3) dus als een triplet en onder SU(2) als een doublet. Dit deel van
de anti-symmetrische representatie gaat dus over in de representatie (3, 2) van
SU(3) × SU(2). De andere onderdelen van de opsplitsing (11.8) en (11.9) worden op soortgelijke wijze gevonden.
Uit (11.9) blijkt dat de 15-dimensionele representatie niet voldoet. Immers,
er is geen kleur-representatie van dimensie zes aanwezig in het standaard model.
Daarentegen voldoen de 5- en 10-dimensionele representaties samen wel. Daar
zullen we dus de fermionen in onder moeten brengen.
Beschouw nu (11.7). Daarin moeten we, als we vergelijken met de Tabel 11.1,
het doublet (ν , e) en een triplet van quarks onderbrengen. In (11.5) zien we dat
de verhouding van de Y -quantumgetallen voor deze quarks en leptonen −2/3 moet
zijn. Daaruit blijkt dat we moeten kiezen voor de rechtshandige d-quarks. Dat leidt
echter tot een schijnbaar conflict, aangezien het electrondoublet linkshandig is, en
we natuurlijk geen fermionen met verschillende handigheid onder willen brengen
in één SU(5)-representatie. De oplossing voor dit dilemma is om naast de rechtshandige d-quarks het ladings-geconjugeerde neutrino-electron doublet te nemen.
Dit heeft Y = +1, hetgeen in overeenstemming is met (11.5), en is rechtshandig.
Ladingsconjugatie hebben we nog niet eerder geı̈ntroduceerd. De ladingsgeconjugeerde spinor van ψ is gedefinieerd als
ψ c ≡ C −1 (ψ̄)T ,
(11.14)
waarbij C de ladingsconjugatiematrix is, gedefinieerd door:
T
Cγ µ C −1 = −γ µ .
(11.15)
De reden voor deze definitie is dat nu de spinor ψ c weer voldoet aan de Diracvergelijking als dat voor ψ het geval is. Uit (11.15) volgt:
Cγ 5 C −1 = i(γ 3 γ 2 γ 1 γ 0 )T
= i(γ 0 γ 1 γ 2 γ 3 )T
= (γ 5 )T .
101
(11.16)
Hiermee kunnen we afleiden dat wanneer ψ linkshandig is, dat dan ψ c rechtshandig
zal zijn. Dit gaan we als volgt na: voor een linkshandige spinor geldt γ5 ψ = ψ, dus:
ψ c = C −1 (ψ † γ 5† γ 0 )T
=
=
=
=
=
T
C −1 γ 0T γ 5T ψ †
C −1 γ 0T γ 5T γ 0T ψ̄ T
C −1 (Cγ 0 C −1 )(Cγ 5 C −1 )(Cγ 0 C −1 )ψ̄ T
−γ 5 C −1 ψ̄ T
−γ 5 ψ c .
(11.17)
Door de conjugatie is het Y -quantumgetal van ψ c natuurlijk tegengesteld aan dat
van ψ. We kunnen nu in de 5-dimensionele representatie de volgende fermionen
plaatsen:


d1


 d2 



(11.18)
ψR = 
 d3  .
 c 
 e 
νc R
Quarks en leptonen komen dus in één multiplet van SU(5) terecht. Dat heeft
meteen consequenties. De generator (11.5) moet, op een multiplicatieve constante
na, gelijk zijn aan de generator van de zwakke hyperlading. Dus geldt dat YdR =
− 32 Yec . Deze verhouding is een gevolg van het feit dat Y5 een generator van SU(5) is,
en dus spoorloos. We zien dat de SU(5)-indeling relaties geeft tussen de quantumgetallen van de leptonen en de quarks. Dat geldt ook voor de electrische ladingen.
De ladingsoperator Q is gelijk aan
Q=








− 31
− 13
− 13

1
0







,
(11.19)
Ook Q is nu een generator (of een lineaire combinatie van generatoren) van SU(5),
en moet dus spoorloos zijn. Dit betekent dat (3 × lading d-quark) + (lading ec )
gelijk moet zijn aan nul. Hier staat 3 voor het aantal kleuren, de unificatie legt dus
een verband tussen het aantal kleuren en de lading van quarks en leptonen!
Met de resterende quarks en leptonen vullen we nu een anti-symmetrische ma-
102
trix. Deze wordt:
ψij, L =








0
uc3 −uc2 u1
c
−u3 0
uc1
u2
uc2 −uc1 0
u3
−u1 −u2 −u3
0
−d1 −d2 −d3 −e+
d1
d2
d3
e+
0








.
(11.20)
L
Laten we verifieren dat (11.19) de goede ladingen geeft. Een transformatie gegenereerd
door Q geeft:
δψi = i Qij ψj = i qi ψi ,
δψij = i Qik ψkj + i Qjk ψik
= i (qi ψij + qj ψij ) ,
(11.21)
(geen sommatie over i en j), waarbij qi de diagonaalelementen van Q zijn. We
vinden dan bijvoorbeeld:
δψ12 = i (q1 ψ12 + q2 ψ12 ) = i (− 32 )ψ12 ,
δψ34 = i (q3 ψ34 + q4 ψ34 ) = i (+ 32 )ψ34 .
(11.22)
We vinden dus inderdaad de juiste ladingen behorend bij uc (- 23 ) en u (+ 23 ).
11.3
De ijkvelden en de koppelingsconstante
Nu de fermionen zijn ingedeeld in SU(5) representaties, kunnen we gaan kijken naar
de structuur van de interacties tussen fermionen en ijkvelden. De infinitesimale
transformaties van de 5- en 10-dimensionele representaties zijn:
δψR,i = ia Ta ij ψR,j ,
δψL,ij = ia Ta ik ψL,kj + ia Ta jk ψL,ik ,
waarin Ta de generatoren van SU(5) zijn. We gaan nu in de actie over op covariante
afgeleiden:
L = iψ̄R,i γ µ (∂µ δij − ig5 Aaµ Ta ij )ψR,j
+iψ̄L,ij γ µ (∂µ δik δjl − ig5 Aaµ Ta ik δjl − ig5 Aaµ Ta jl δik )ψL,kl
a
− 41 Fµν
F µνa .
(11.23)
We kiezen een specifieke vorm voor de matrices Ta . In overeenstemming met (11.4)
kiezen we:
Ta =
"
λa 0
0 0
#
a = 1, . . . , 8 ,
Ta+20 =
"
0 0
0 τa
#
a = 1, 2, 3 ,
103
(11.24)
met λa en τ a de generatoren van SU(3) en SU(2). Verder kiezen we:
√
1
T 24 =
10








15
− 23
− 32
− 23

1
1
De normering is hier zo gekozen dat:







.
(11.25)
tr (T a T b ) = 21 δ ab .
(11.26)
De resterende matrices zijn:
9
T =
1
2









1 0

0 0 

0 0 
,
0
1 0 0
0 0 0
0
T
10
=








1
2



−i 0

0 0 

0 0 
,
0
i 0 0
0 0 0
0
etc. De veel voorkomende combinatie Aaµ Ta is dan van de vorm:
24
X
Aaµ Ta =
a=1

 P8
b

b=1 Aµ λb +




Xµ1∗ Xµ2∗

Yµ1∗ Yµ2∗
met:
Aaµ ; a = 1, . . . , 8 :
Wµa ; a = 1, . . . , 3 :
:
A24
µ
Xµ1 Yµ1
Xµ2 Yµ2
Xµ3 Yµ3
√1 A24
15 µ
Xµ3∗
Yµ3∗
Wµc τc −
(11.27)










√3 A24
2 15 µ
,
(11.28)
de 8 gluonen van SU(3) ,
Wµ± , en een combinatie van Z en γ ,
een combinatie van Z en γ .
Verder hebben we dan nog de nieuwe ijkvelden Xµ1,2,3 en Yµ1,2,3 . We weten hoe de
ijkvelden onder SU(5) transformeren:
A0µ · T = UAµ · T U −1 −
i
(∂µ U)U −1 ,
g5
(11.29)
met U ∈ SU(5). Laten we nu nagaan wat de transformaties van de ijkvelden in
(11.28) onder SU(3) × SU(2) × U(1) zijn. We moeten dan (11.29) beperken tot de
symmetriegroep van het standaardmodel. We vinden dan:
24 = (1, 1) +
A24
µ
(1, 3)
+ (3, 2) +
(3̄, 2)
Wµ1,2,3
X, Y
(X, Y )∗
104
+ (8, 1)
A1,...,8
µ
(11.30)
We vinden dus de bekende representaties voor de gluonen en de electrozwakke
ijkvelden. Verder zien we dat de velden Xµi en Yµi onder SU(3) transformeren als
een triplet, en de combinaties (Xµi , Yµi ) onder SU(2) als een doublet. De lading
van de X en Y velden kan nu ook bepaald worden. Hiervoor gebruiken we:
δAµ · T = i [Q, Aµ · T ] ,
(11.31)
zodat:
δXµi = i (− 43 )Xµi ,
δYµi = i (− 31 )Yµi .
(11.32)
De lading van de X-bosonen is dus − 43 en die van de Y -bosonen − 31 . In dit model
hebben dus niet alleen de quarks, maar ook sommige ijkvelden een fractionele lading.
De covariante afgeleiden kunnen we nu eenvoudig uitwerken. Laten we dat in
wat meer detail doen voor de eerste term in (11.23), de 5-dimensionele representatie:
Dµ ψR =
∂µ − ig5
8
X
a=1
Aaµ Ta − ig5
3
X
Wµa Ta+20
a=1
−ig5 A24
µ T24 − ig5 (bijdrage X, Y -bosonen) ψR .
(11.33)
We kunnen nu een preciezere identificatie met de velden van het standaard model
maken.
De groep SU(5) bevat de ondergroep SU(3) × SU(2) × U(1), waarbij we de
koppelingsconstanten van de SU(3), SU(2) en U(1) zullen aangeven met g3 , g2 en
g1 , waarbij dan dus geldt g1 = g2 = g3 = g5 . Gezien de normering van T a , a =
1, . . . , 8 en T a+20 , a = 1, . . . , 3, is duidelijk dat g3 de koppelingsconstante van SU(3)
is zoals we die in hoofdstuk 10 hebben ingevoerd, en g2 de koppelingsconstante g
van SU(2) in het GSW-model. Bij de constante g1 moeten we iets voorzichtiger
zijn. De normering van de kinetische termen is zodanig dat we moeten kiezen voor
A24
µ = Bµ , waarbij Bµ het ijkveld van U(1) uit hoofdstuk 4 is. De koppeling van
Bµ aan een veld ψ met zwakke hyperlading Y was van de vorm − 21 ig 0 Bµ Y ψ, zodat
geldt:
1 0
ig Y = ig1 T 24 .
(11.34)
2
Dit vergelijken we nu met de vorm voor T 24 , en de werkelijke waarden van Y voor
bijvoorbeeld de 5-dimensionele representatie. Dat geeft dan:
g0 =
q
3
g
5 1
105
.
(11.35)
Aangezien g 0 /g = tan θ (zie hoofdstuk 4) vinden we:
tan θ =
2
sin θ =
q
3
8
3
5
,
= 0.375 .
(11.36)
In het SU(5)-model (en in elke andere GUT) wordt dus een voorspelling van sin2 θ
gedaan. Deze voorspelling is niet in overeenstemming met de werkelijke waarde
(0.23), maar we moeten niet vergeten dat (11.36) is afgeleid in de veronderstelling
dat SU(5) een exacte symmetrie is. In hoofdstuk 10 hebben we gezien dat de effectieve koppelingsconstante samenhangt met de energieschaal. We weten dat de
koppelingsconstanten g1 (U(1)), g2 (SU(2)) en g3 (SU(3)) bij de energieën die met
de huidige versnellers bereikt worden verschillende waarden hebben. De SU(5) theorie kan pas een rol gaan spelen bij die energieën waarvoor de interacties, behorend
bij U(1), SU(2) en SU(3) van vergelijkbare sterkte zijn. We zullen zien dat dit
bij zeer hoge energieën inderdaad het geval is. In dit verband moeten we (11.36)
zien als een hoge-energie voorspelling voor een verhouding tussen effectieve koppelingsconstanten, die bij lage energieën een andere numerieke waarde kan hebben.
We zullen hier later op terugkomen.
11.4
Het protonverval
Bij welke energie moeten we de SU(5) symmetrie serieus nemen? Deze energie zal
van dezelfde orde van grootte zijn als de massa de X- en Y -bosonen, zoals in het
standaardmodel de massa van de W - en Z-bosonen de energieschaal van de zwakke
interacties aangeeft. In het standaardmodel schatten we de massa van het W -boson
als volgt. Het W -deeltje speelt een rol in het muon-verval. De levensduur van het
muon is dan:
1 M4
.
(11.37)
τµ ∼ 4 W
g2 m5µ
Met de aanname dat g2 van de orde e is, en de ontbrekende constante van de orde
één, kunnen we dan MW schatten.
In het SU(5) model hebben we onder andere interacties van de vorm:
iψ̄R, i γ µ (−igAaµ Ta ij ) ψR, j + h.c.
(11.38)
hetgeen aanleiding geeft tot de termen:
#
Xµ1 Yµ1 "
ψ4

µ1
2
2 
g [ψ̄1 ψ̄2 ψ̄3 ] γ 2 (1 + γ5 )  Xµ Yµ 
+ h.c.
ψ5
3
3
Xµ Y µ

oftewel:
1
g
2
3
X

[ d¯i γ µ (1 + γ5 ) Xµi ec + d¯i γ µ (1 + γ5 ) Yµi ν c ] + h.c. .
i=1
106
(11.39)
(11.40)
We zien dus dat het X-boson overgangen bewerkstelligt tussen d-quarks en positronen, en het Y -boson tussen d-quarks en neutrino’s. We hebben maar één generatie
bekeken, dus vinden we geen menging. De bijbehorende Feynman regels zijn:
¯ vertex :
X de
− 12 igγµ(1 + γ5 )δij
¯ vertex :
Y dν
− 21 igγµ(1 + γ5 )δij
Op dezelfde manier kunnen we uit de bijdrage van de 10-dimensionale representatie
de vertices tussen X- en Y -bosonen en u-quarks en leptonen bepalen. In het bijzonder zijn er vertices met een Y -boson, een u-quark en een positron, en vertices
met een X-boson, een d-quark en een positron. Dit zijn de vertices die behoud van
lepton-getal en baryon-getal breken.
Gegeven dat deze unificatie theorie baryon- en/of leptongetal breekt, is een
proces als het verval van het proton mogelijk. Een aantal mogelijke vervalswijzen
voor het proton zijn in fig. 11.1 getekend.
Figuur 11.1
Voorbeelden van processen die protonverval veroorzaken.
Evenals bij het µ-verval zouden we een schatting willen maken van de massa van
107
het X- en Y -deeltje door te kijken naar het protonverval. Het protonverval is echter
nog nooit waargenomen. In ieder geval geldt:
τp > 1030 jaar
(11.41)
voor de levensduur van het proton. De schatting van de massa het X- en Y -boson
gaat op dezelfde manier als bij het muon-verval:
τp ∼ c
1 (MX,Y )4
.
g 4 m5p
(11.42)
Met de veronderstelling dat g ∼ e en c ∼ 1 vinden we dan (Mp /Mµ = 938/105 = 9):
MX,Y
MW
4
1030 ∗ 3 ∗ 107
>
2 ∗ 10−6
mp
mµ
!5
⇒
MX,Y
> 1012 ,
MW
(11.43)
zodat
MX,Y > 1014 GeV .
(11.44)
De X- en Y -deeltjes moeten dus zeker een zeer grote massa hebben; hun effect in
het energiegebied van de W - en Z-bosonen is daarom te verwaarlozen.
11.5
De effectieve koppelingsconstanten
Een andere manier om een waarde voor de karakteristieke energieschaal van de
GUT-effecten te verkrijgen is door te kijken naar de effectieve koppelingsconstanten.
We hebben al bepaald voor QCD:
α3 (µ2 )
2 ,
1 + 4πb3 α3 (µ2 ) ln µq 2
(11.45)
1
q2
1
=
+ 4πb3 ln 2 .
α3 (q 2 )
α3 (µ2 )
µ
(11.46)
α3 (q 2 ) =
waaruit volgt
De factor b3 wordt bepaald door de één-lus bijdragen aan de vacuumpolarisatie.
Voor willekeurige niet-abelse ijkgroep G , en een koppeling van de ijkvelden aan Nf
Dirac fermionen in de fundamentele representatie van G , geldt
b=
1
(11TA − 4Nf TF ) .
48π 2
(11.47)
Als we overgaan naar SU(3), met de gebruikelijke normering van de generatoren,
vinden we dus
1
(33 − 2N3 ) .
(11.48)
b3 =
48π 2
108
N3 is het aantal soorten fermionen dat koppelt aan de gluonen. Voor SU(2) vinden
we dan
1
(22 − 2N2 ) ,
(11.49)
b2 =
48π 2
waarbij N2 het aantal fermionen is dat aan de SU(2)-ijkvelden koppelt. Een U(1)groep geeft alleen de bijdrage evenredig met het aantal fermion flavours:
b1 = −
1
4N1 ,
48π 2
(11.50)
aangezien nu de factor TF niet in rekening gebracht hoeft te worden.
Figuur 11.2
Typisch vacumpolarisatie diagram dat bijdraagt aan het gedrag
van de effectieve koppelingsconstantes.
Om voor ons voorbeeld van unificatie in SU(5) te bepalen wat de getallen
N3 , N1 en N2 zijn, moeten we even terug naar de oorsprong van deze termen. Ze
ontstaan doordat in de vacuumpolarisatie van een ijkveld een fermionlus optreedt
(zie fig. 11.2). Elk Dirac fermion draagt dan gelijkelijk bij, als de koppeling aan het
ijkveld althans gelijk is. Voor SU(3) en SU(2) is dit laatste inderdaad het geval.
Voor SU(3) vinden we dan dat N3 gelijk is aan het aantal kleur-triplets, hetgeen
gelijk is aan Nf , het aantal quark flavours. We vinden dus dat N3 = 6. Voor
N2 moeten we het aantal doubletten van SU(2) tellen. Er zijn vier linkshandige
doubletten per generatie, namelijk drie voor de quarks, die immers drie kleuren
hebben, en één voor de leptonen. Totaal tellen we dus twaalf linkshandige doubletten. Een linkshandig fermion is echter geen Dirac fermion, omdat het rechtshandig
deel ontbreekt, en draagt daarom met een factor 1/2 bij in de berekening van de
vaccuumpolarisatie, vergeleken bij een Dirac spinor20 . Daarom is ook N2 = 6. Kijken we tenslotte naar de U(1)-groep. De koppeling aan het ijkveld A24
µ gaat met
een sterkte die evenredig is met de eigenwaarde van T 24 , en in het diagram van
fig. 11.2 vinden we dus het kwadraat van deze eigenwaarde. We vinden daarom
voor U(1):
b1 = −
1
4 ( 40 ×
48π 2 3
15
100
× 12 × NG )
De reden voor de factor 1/2 is dat er in de vertices nu factoren 12 (1 ± γ 5 ) staan. Na het
uitwerken van de γ-matrices blijft één factor 12 (1 ± γ 5 ) over. Bij het nemen van het spoor over de
γ-matrices verdwijnt dan de bijdrage evenredig met γ 5 , en blijft alleen de factor 1/2 over.
20
109
= −
1
2Nf .
48π 2
(11.51)
Hierin is de factor 40/3 de som van de kwadraten van alle Y -eigenwaarden van de
deeltjes in één generatie, 15/100 de normering van T 24 , 1/2 de correctie omdat elk
van de fermionen links- dan wel rechts-handig is, en NG het aantal generaties. De
afhankelijkheid van Nf is dus voor de verschillende bi hetzelfde.
Voor α1 en α2 (αi = gi2/4π) hebben we een soortgelijke vergelijking als (11.46),
maar dan met b1 resp. b2 . Dus geldt
1
1
q2
−
=
4πb
ln
i
αi (q 2 ) αi (M 2 )
M2
(i = 1, 2, 3) .
(11.52)
Veronderstel nu dat de sterkte van de verschillende interacties bij een zekere waarde
M 2 aan elkaar gelijk worden: αi (M 2 ) = α(M 2 ). Dan geldt dus:
1
1
q2
−
= 4π(b1 − b2 ) ln 2
α1 (q 2 ) α2 (q 2 )
M
2
q
22
ln 2 ,
= −
12π M
(11.53)
hetgeen onafhankelijk is van Nf . Nu geldt:
α(q 2 )
,
cos2 θ(q 2 )
α(q 2 )
,
α2 (q 2 ) =
sin2 θ(q 2 )
α1 (q 2 ) =
5
3
(11.54)
(11.55)
met α(q 2) = e2 (q 2 )/4π. Dus vinden we:
1
11
q2
3 cos2 θ sin2 θ
1
−
=
ln
=
−
α1 (q 2 ) α2 (q 2 )
6π M 2
5 α
α
(11.56)
zodat we de volgende uitdrukking voor sin2 θ krijgen:
sin2 θ(q 2 ) =
3
55
q2
+
α(q 2 ) ln 2 .
8 48π
M
(11.57)
We krijgen sin2 θ(M 2 ) = 38 : dit is de waarde van de Weinberg-hoek bij de unifi2
catiemassa. Nemen we nu q 2 = MW
, dan vinden we daarentegen:
2
sin2 θ(MW
)=
oftewel:
3
55
M2
2
+
α(MW
) ln W2 ,
8 48π
M
"
#
M
3
24π
2
= exp
( − sin2 θ(MW
)) .
2
MW
55α(MW ) 8
110
(11.58)
(11.59)
2
2
Om M te berekenen moeten we dus sin2 θ(MW
) en α(MW
) kennen. Met de schattin2
2
−1
gen sin θ(MW ) = 0.23 en α ' 129 (niet 137, want dat is bij nog lagere energie!)
vinden we:
M
= 1012 ⇒ M = 1014 GeV
(11.60)
MW
De energie waarbij de koppelingsconstanten bij elkaar komen is dus niet ver verwijderd van de energie die we eerder vonden uit de limiet van het protonverval: we
zien dat metingen voor het protonverval een wezenlijke restrictie voor M kunnen
opleveren.
11.6
Conclusies
Om te zien of een SU(5) unificatietheorie levensvatbaar is, is het dus belangrijk de
”running” koppelingsconstanten, alsmede de levensduur van het proton nauwkeurig
te bepalen.
Figuur 11.3
Gedrag van de koppelingsconstanten als functie van
√
q2.
Het beeld voor de koppelingsconstanten is weergegeven in fig. 11.3. De energieschaal wordt verdeeld in 4 gebieden: voor q 2 > M 2 is er een exacte SU(5) symmetrie en zijn alle ijkbosonen relatief licht. Een Higgs-mechanisme breekt SU(5), bij
q 2 = M 2 , tot SU(3)×SU(2)×U(1). Voor q 2 < M 2 blijven de W - en Z-bosonen vri2
jwel massaloos, tot we bij q 2 ∼ MW
komen, waar SU(2) × U(1) breekt tot de U(1)
symmetrie van de Maxwell theorie. Voor deze unificatie is het natuurlijk belangrijk
dat de derde koppelingsconstante, α3 , door het snijpunt gaat bij q 2 = M 2 . Met een
2
redelijke schatting van α3 (MW
) is dit inderdaad het geval! Een ander belangrijk
2
punt is dat dit beeld een groot energiegebied openlaat tussen MW
en M 2 , waarin
111
niets gebeurt! Aangezien we de schaling van αi berekenen met de nu bekende deeltjes, veronderstellen we impliciet dat er geen nieuw niveau van elementaire deeltjes
2
is tussen MW
en M 2 . Dit lege gebied wordt ook wel de woestijn genoemd.
Zoals al opgemerkt, het SU(5) model is bedoeld als een typisch voorbeeld van
een dergelijk GUT-model. Experimenteel is inmiddels de grens voor protonverval
boven de 1031 jaar gekomen. (Het protonverval wordt onderzocht in grote, ondergrondse bassins, gevuld met water. Daarin zou een verval p → e+ π 0 waargenomen
kunnen worden.) Hiermee is de experimentele ondergrens voor de unificatiemassa
boven het snijpunt van de koppelingsconstanten komen te liggen. Daarmee is de basis van het SU(5) model wel heel wankel geworden. Echter, andere GUT’s gebaseerd
op andere groepen hebben dit probleem niet.
De grafiek eindigt bij MP l , de Planck-massa. Dit is de energiewaarde waarbij
de structuur van de ruimte-tijd, en dus ook de quantumgravitatie, een rol begint
te spelen. Als je algemene relativiteitstheorie gevolgd hebt, dan weet je dat een
lichaam met massa m een Schwarzschildstraal rs = 2mG/c2 heeft. Als een lichaam
geheel binnen zijn eigen Schwarzschildstraal zit, is het een zwart gat. In strikte zin
zou dit dus zeker gelden voor elementaire puntdeeltjes! Een deeltje met impuls p
heeft een Comptongolflengte
h
λ= ,
(11.61)
p
ook wel een maat voor de onzekerheid in de plaatscoördinaat voor een deeltje met
impuls p. Als nu λ ' rs dan is het duidelijk dat de structuur van de ruimte-tijd
en de elementaire deeltjes fysica elkaar ontmoeten. De bijbehorende impuls is mc
voor een ultra relativistisch deeltje. Dus λ = rs betekent:
h
2mG
hc
= 2 ⇒ m2 =
≡ MP2 l
mc
c
2G
(11.62)
Dit correspondeert met MP l = 4 ∗ 10−5 gram = 2 ∗ 1019 GeV, dus enkele ordes van
grootte boven de unificatiemassa.
Elementaire deeltjes fysica bij de Planck massa vereist een quantumtheorie voor
de gravitatie. Dit is nog altijd een onopgelost probleem, ondanks vele pogingen om
tot een oplossing te komen. String theorie [64] zou een serieuze mogelijkheid zijn,
maar heeft als nadeel dat het moeilijk is rechtstreeks contact te maken met de
fysica van de elementaire deeltjes zelf. Ongetwijfeld zullen de ontwikkelingen in dit
gebied in hoog tempo doorgaan.
112
A
Appendix: Groepentheorie
Bij de beschrijving van ijktheorieën van elementaire deeltjes is groepentheorie een
handig instrument. Daarom volgt hier een samenvatting van de voor ons belangrijke
definities en eigenschappen.
A.1
Lie-groepen en Lie-algebras
Een groep G is een verzameling waarop een product is gedefinieerd met de volgende
eigenschappen:
1. (Geslotenheid) als g1 en g2 elementen zijn van G , dan is ook g3 = g1 ∗ g2
element van G .
2. (Associativiteit) als g1 , g2 en g3 elementen zijn van G , dan geldt (g1 ∗g2 )∗g3 =
g1 ∗ (g2 ∗ g3 ).
3. (Eenheidselement) er is een element e van G met de eigenschap dat e ∗ g =
g ∗ e = g voor elk element g van G . Hiervoor gebruiken we ook de symbolen
g0 of I.
4. (Inverse) als g element is van G dan is er een element g −1 van G met de eigenschap dat g −1 ∗ g = g ∗ g −1 = e.
Is het product bovendien commutatief, dat wil zeggen g1 ∗g2 = g2 ∗g3 als g1 en g2
elementen zijn van G , dan heet G abels. Is dit niet het geval dan heet G niet-abels.
De door ons gebruikte groepen hebben een continue structuur; de elementen g
kunnen gelabeld worden met continu variërende parameters α. We schrijven dan
g = g(α1, . . . , αn ). Dan geldt g(α1 , . . . , αn )g(β1 , . . . , βn ) = g(γ1, . . . , γn ) vanwege
groepseigenschap (1). Zijn nu γ1 , . . . , γn niet-singuliere analytische functies van α
en β dan heet G een Lie-groep met n parameters. De volgende verzamelingen zijn
voorbeelden van Lie-groepen.
• De N × N unitaire matrices met matrixproduct. Deze groep heet U(N) en
heeft N 2 parameters. Unitariteit houdt in dat U † U = UU † = I. Dus is U † de
inverse van U en unitair, aan (4) is voldaan. Bovendien is U3 = U1 U2 unitair
als U1 en U2 dat zijn, de eenheidsmatrix is unitair, en omdat het product
een matrixproduct is, is ook aan associativiteit voldaan. Deze verzameling
voldoet dus aan de groepseigenschappen. In het bijzonder is U(1) een Liegroep, welke we kunnen representeren met U = eiα . Deze groep is bovendien
abels. We zijn deze groep al tegengekomen bij de behandeling van QED.
• De N ×N unitaire matrices met matrixproduct en determinant 1. Deze groep
heet SU(N) (special unitary group) en heeft vanwege de eis det U = 1 één
113
parameter minder dan U(N). Met behulp van det(AB) = det(A) det(B) is
eenvoudig aan te tonen dat aan alle groepseisen is voldaan.
• De N × N reële matrices O met matrixproduct, en de voorwaarde O T O = I.
Dit zijn de orthogonale matrices, de groep heet O(N). Er zijn 21 N(N − 1)
parameters omdat OkiOkj = δij symmetrisch is in i en j en er dientengevolge
1
N(N + 1) condities zijn. De extra eis det O = 1 geeft de groep SO(N).
2
We zullen nu de groep SU(2) wat meer in detail bekijken. Een element U is te
schrijven als
"
#
a b
U=
,
(A.1)
c d
met a, b, c en d complex. Er geldt det U = ad − bc = 1, en
†
U =
"
a∗ c∗
b∗ d∗
#
=U
−1
=
"
d −b
−c a
#
.
(A.2)
Met a = a0 + ia3 en b = a2 + ia1 , ai reëel, volgt nu uit (A.2) dat U te schrijven is
als:
"
#
a0 + ia3 a2 + ia1
U=
,
(A.3)
−a2 + ia1 a0 − ia3
met a20 + a21 + a22 + a23 = 1.
We bekijken nu elementen van G in de omgeving van de eenheid (g0 ). Zij g zo’n
element, dan schrijven we:
g = exp(i
n
X
a Ta ) = g0 + i
n
X
a Ta + . . . ,
(A.4)
a=1
a=1
waarbij a infinitesimale parameters zijn en Ta de generatoren van de groep. Sommatie over gelijkgenoemde indices zullen we nu verder impliciet veronderstellen.
Deze generatoren zijn lineair onafhankelijk en spannen een vectorruimte op, de
zogenaamde Lie-algebra van G . Ze worden gedefiniëerd door:
Ta = −i
∂
g(α1, . . . , αn ) |g=g0 .
∂αa
(A.5)
Een eerste belangrijke eigenschap van de generatoren is dat de commutator van
twee generatoren weer als een lineaire combinatie van generatoren te schrijven is.
Er geldt
[Ta , Tb ] = ifab c Tc ,
(A.6)
waarin fab c constanten zijn, de zogenaamde structuurconstanten van G . Duidelijk
is dat de structuurconstanten voldoen aan
fab c = −fba c .
114
(A.7)
We kunnen (A.6) als volgt bewijzen. Neem twee groepselementen, g1 en g2 in de
buurt van de eenheid:
g1 = exp(ia Ta ) = g0 + ia Ta + 12 (ia Ta )2 ,
g2 = exp(iδ a Ta ) = g0 + iδ a Ta + 12 (iδ a Ta )2 .
Omdat G een groep is, is ook g3 = g1 g2 g1−1g2−1 een element van G . We werken dit
product uit tot termen kwadratisch in de generatoren:
g3 = g1 g2 g1−1 g2−1
= (g0 + ia Ta + 21 (ia Ta )2 )(g0 + iδ b Tb + 12 (iδ b Tb )2 ) ×
=
=
=
=
×(g0 − ic Tc + 21 (ic Tc )2 )(g0 − iδ d Td + 21 (iδ d Td )2 )
g0 − a δ b Ta Tb + a δ d Ta Td + δ b c Tb Tc − c δ d Tc Td
g0 − a δ b (Ta Tb − Tb Ta )
g0 + i(ia δ b [Ta , Tb ])
g0 + iη a Ta .
De laatste regel geldt omdat g3 een groepselement is. Uit de laatste en voorlaatste
regels volgt nu (A.6).
Een tweede eigenschap is de Jacobi-identiteit, die volgt uit de associativiteit van
de groep:
[[Ta , Tb ], Tc ] + [[Tc , Ta ], Tb ] + [[Tb , Tc ], Ta ] = 0 .
(A.8)
Dit kan op soortgelijke wijze worden bewezen als (A.6).
A.2
Representaties
Een representatie van een groep G is een afbeelding van de groep naar een verzameling lineaire transformaties D(g), die werken op een vectorruimte (ook wel representatieruimte genoemd). Dus elk element g van G wordt gekoppeld aan een
transformatie D(g). Deze transformaties voldoen ook weer aan de groepsstructuur,
dus D(g1 )D(g2) = D(g1 g2 ). In feite zijn we zulke representaties al tegengekomen in
de vorm van de definities van U(N), SU(N), etc. als matrixgroepen. De matrices
werken, in het geval van (S)U(N) als lineaire transformaties in een complexe Ndimensionale ruimte. Deze representatie wordt wel de fundamentele representatie
genoemd.
De groepen waar wij in dit collegedictaat zullen tegenkomen, zoals SU(N),
hebben oneindig veel representaties. We kunnen deze representaties onderscheiden
in reducibele en irreducibele representaties. Zij V de representatieruimte behorend
bij de representatie D. Als V geen invariante deelruimtes V 0 heeft (deelruimtes die
onder alle transformaties D(g) in zichzelf worden afgebeeld), behalve natuurlijk de
triviale 0 en V zelf, dan heet de representatie D irreducibel, anders reducibel.
115
Als voorbeeld van een representatie beschouwen we de fundamentele representatie van SU(N). De bijbehorende representatieruimte wordt gevormd door complexe vectoren v van dimensie N. Beschouw een tweede ruimte met N-dimensionale
complexe vectoren w. Dan geldt
vi 7→ vi0 = Uij vj ,
wi 7→ wi0 = Uij wj .
(A.9)
We kunnen dan de N 2 dimensionele complexe ruimte, die uit paren (v, w) bestaat,
vormen. Een element kan dan geschreven worden als γij = vi wj , waarbij vi en wj
componenten zijn van v en w. Omdat ze transformeren als in (A.9) kunnen we voor
de transformatie van γ schrijven
γij0 = vi0 wj0 = Uik Ujl vk wl = Vij,klγkl ,
(A.10)
Vij,kl = Uik Ujl
(A.11)
met
Deze productrepresentatie is reducibel, want zowel het symmetrisch als het antisymmetrisch deel van de ruimte gevormd door (v, w) vormen invariante deelruimtes.
Voor SU(N) blijken deze symmetrische en anti-symmetrische deelruimtes ireducibel
te zijn.
We geven nu een lijst van representaties van SU(N) die we in dit college zullen
tegenkomen.
• fundamentele representatie (N-dimensionale representatieruimte)
• symmetrische representatie ( 21 N(N + 1)-dimensionaal)
• antisymmetrische representatie ( 12 N(N − 1)-dimensinaal)
• geconjungeerde representatie (N-dimensionaal)
Ga uit van de fundamentele representatie. Zij U hiervan een element, dan
vormt de verzameling bestaande uit de elementen U ∗ ook een representatie.
• geadjungeerde representatie (N 2 − 1)-dimensionaal)
Begin met de bij de fundamentele representatie behorende generatoren Ta .
Vanwege de commutatierelatie en de Jacobi-identiteit (A.8) en (A.7) vinden
we:
0 = [Ta [Tb , Tc ]] + [Tc , [Ta , Tb ]] + [Tb , [Tc , Ta ]]
= fbc d [Tb , Td ] + fab d [Tc , Td ] + fca d [Tb , Td ]
= (fbc d fad e + fab d fcd e + fca d fbd e )Te ,
zodat vanwege de lineaire onafhankelijkheid van de generatoren geldt:
fbc d fad e + fab d fcd e + fca d fbd e = 0 .
116
(A.12)
Definieer nu
(ta )cb = ifab c .
(A.13)
Dan kunnen we (A.12) herschrijven als
[ta , tb ] = ifab c tc .
(A.14)
Dit is een representatie van de Lie-algebra en genereert een representatie van
de groep. De indices nemen N 2 − 1 waarden aan voor SU(N). Het moge
duidelijk zijn dat de geadjungeerde representatie voor elke niet-abelse Liegroep gedefinieerd kan worden.
• triviale representatie
Elk element van de groep wordt afgebeeld op de eenheidstransformatie.
Als voorbeeld van het bovenstaande beschouwen we de groep SU(2). We kiezen
als generatoren de matrices:
τi ≡ 21 σi ,
(A.15)
waarbij de σi de Pauli-matrices zijn:
σ1 =
"
0 1
1 0
#
,
σ2 =
"
0 −i
i 0
#
,
σ3 =
"
1 0
0 −1
#
.
(A.16)
De structuurconstanten zijn dus
[τa , τb ] = iabc τc .
(A.17)
Hierbij is abc de volledig anti-symmetrische tensor in drie indices, met 123 = 1.
Elementen van de fundamentele representatie zijn dus
U = exp(ia τa ) .
(A.18)
Twee representaties D1 (U) en D2 (U) heten equivalent als er een W , onafhankelijk van het groepselement U, is, zodanig dat D1 (U) = W D2 (U)W −1 . Vanwege
σa2 = I en σ2 σa∗ σ2 = −σa geldt
σ2 U ∗ σ2 = U .
(A.19)
Dit is gemakkelijk na te gaan door U te ontwikkelen naar de matrices τa , zoals in
(A.3). De geconjungeerde en fundamentele representatie blijken dus voor SU(2)
equivalent te zijn. Voor SU(N), N 6= 2, is dit niet het geval.
De geadjungeerde representatie wordt gegenereerd door de matrices (ta )cb =
iabc . Deze matrices zijn anti-symmetrisch en zuiver imaginair, en genereren dus de
groep SO(3) (zie de discussie in sectie (2.1)). De expliciete uitdrukkingen zijn:






0 −1 0
0 0 1
0 0 0





1
0 0 
0
0
0
0
0
−1
t1 = i 
.
 , t3 = i 
 , t2 = i 
0 0 0
−1 0 0
0 1 0
117
(A.20)
De fundamentele representatie van SO(3) wordt dus gegenereerd door dezelfde
matrices als de geadjungeerde representatie van SU(2). We concluderen dat de
twee groepen isomorf zijn.
Afsluitend nog enige opmerkingen. Veelal bekijken we representaties van de
groep die volgen uit een representatie van de Lie-algebra. Dan krijgen we alleen
dat deel van de groep dat continu verbonden is met de eenheid. De groep O(N)
bestaat uit twee componenten, één met determinant 1, de ander met determinant
−1. De eenheid zit in eerste component, die we SO(N) noemen. Dit is het gedeelte
dat voor N = 3 isomorf is met SU(2).
De structuurconstanten van G hangen af van de basiskeuze die gemaakt wordt
voor de generatoren. Voor de interne symmetriegroepen die we bij dit college
tegenkomen kunnen we de basis zo kiezen dat deze bestaat uit hermitische matrices
die voldoen aan
tr(Ta Tb ) = TR δab
(A.21)
waar TR een constante is.
Uit de hermiticiteit van de Ta volgt dat fab c reëel is:
[Ta , Tb ]† = Tb† Ta† − Ta† Tb† = −[Ta , Tb ] = −ifab c Tc
= −ifab c∗ Tc† = −ifab c∗ Tc .
Een gevolg van (A.21) is dat fabc volledig antisymmetrisch is. Dat kunnen we
bewijzen door fabc te schrijven als:
fabc = −i tr([Ta , Tb ] Tc ) ,
(A.22)
en door gebruik te maken van de cyclische eigenschap van het spoor van een product
van matrices.
De constante TR in (A.21) hangt af van de representatie (dat is dan ook de
betekenis van het label R). In het geval van SU(N) zullen we de fundamentele
representatie steeds zo normaliseren dat TF = 21 . De (ta )bc van de geadjungeerde
representatie geven dan TA = N. Voor SU(2) is dit gemakkelijk te controleren.
P
Met de generatoren van de Lie-algebra kunnen we ook de grootheid a Ta Ta (de
kwadratische Casimir operator). Deze matrix is diagonaal:
X
Ta Ta = CR I .
a
In het geval van SU(N) geldt CF = (N 2 − 1)/(2N), CA = N.
118
(A.23)
B
Appendix : Het complete GSW-model
De velden in het standaard model hebben specifieke eigenwaarden voor de operatoren Q, Y , T3 , B en QL die in de tekst geı̈ntroduceerd zijn. We verzamelen hier
deze eigenwaarden in een tabel (zie Tabel B.1).
deeltje
Q
Y
T3
B
QL
νe,L , νµ,L , ντ,L
0
−1
1
2
0
1
eL , µL , τL
−1
−1
− 12
0
1
eR , µR , τR
−1
−2
0
0
1
1
3
1
2
1
3
0
uL , cL , tL
2
3
uR , cR , tR
2
3
4
3
0
1
3
0
dL , sL , bL
− 13
1
3
− 12
1
3
0
0
1
3
0
− 13
− 32
φ+
1
1
1
2
0
0
φ0
0
1
− 12
0
0
dR , sR , bR
Tabel B.1 De deeltjes van het standaard model en hun quantumgetallen. We
vermelden achtereenvolgens de electrische lading (in eenheden e), de zwakke hyperlading, de “derde component van de zwakke isospin”, het baryongetal, en het
leptongetal. We merken op dat elke generatie leptonen een eigen, onafhankelijk,
leptongetal heeft.
We schrijven de Lagrangedichtheid van het standaardmodel in de volgende
vorm:
LGSW = Lkin,
fermion + Lkin, ijk + Lkin, Higgs
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
+Lint + Lint + Lint + Lint + Lint
+LQCD .
De onderdelen bevatten de volgende informatie:
Lkin, fermion
Lkin, ijk
Lkin, Higgs
kinetische en massatermen voor de leptonen en quarks
kinetische en massatermen voor de ijkvelden
kinetische en massatermen voor het Higgsveld
119
(B.1)
(1)
interacties tussen fermionen en ijkvelden
(2)
interacties tussen ijkvelden onderling
Lint
Lint
(3)
Lint
(2)
Lint
(5)
Lint
LQCD
interacties tussen fermionen en Higgsveld
interacties tussen ijkvelden en Higgsveld
zelfinteracties Higgsveld
alle bijdragen van gluonen
We geven de fermion-velden aan met de naam van het betreffende deeltje van de
eerste generatie, en een label A = 1, 2, 3 geeft dan de generatie aan. De massamatrices MAB voor de fermionen zijn diagonaal. De relatie tussen v, µ en λ is
v=
s
µ2
.
λ
(B.2)
We geven deze bijdragen nu zonder verder commentaar:
Lkin,
fermion
=
(e)
δAB )(1 − γ 5 ) νB + ēA (i6 ∂ δAB − MAB ) eB
(u)
(d)
+ ūA (i6 ∂ δAB − M ) uB + d¯A (i6 ∂ δAB − M ) dB ,
1
ν̄ (i6 ∂
2 A
AB
Lkin,
Lkin,
ijk
Higgs
AB
= − 41 Fµν (A)F µν (A) − 41 (∂µ Zν − ∂ν Zµ )2
− 12 (Dµ Wν− − Dν Wµ− )(D µ W ν+ − D ν W µ+ ) ,
1
1
+
µ−
2
+e2 v 2
,
W
W
+
(Z
)
µ
µ
4 sin2 θ
8 sin2 θ cos2 θ
=
1
(∂µ η)2
2
− µ2 η 2 ,
(B.3)
(B.4)
(B.5)
(1)
Lint = eAµ (−ēA γ µ eA + 23 ūA γ µ uA − 31 d¯A γ µ nA )
+
1
eZµ /(sin θ cos θ) ν̄A γ µ (1 − γ 5 )νA
4
+ ēA γ µ (4 sin2 θ − 1 + γ 5 )eA
+ ūγ µ (1 − 38 sin2 θ − γ5 )u
¯ µ (−1 + 4 sin2 θ + γ5 )d
+ dγ
3
e
(ν̄A γ µ (1 − γ5 )δAB eB + ūA γ µ (1 − γ5 )UAB dB ) Wµ+
2 2 sin θ
e
†
(ēA γ µ (1 − γ5 )δAB νB + d¯A γ µ (1 − γ5 )UAB
uB ) Wµ−(B.6)
,
+ √
2 2 sin θ
+
√
120
(2)
Lint =
(3)
Lint
1
ie cot θ ((Dµ Wν− − Dν Wµ− )(Z µ W ν+ − Z ν W µ+ ) − h.c.)
2
− 21 e2 cot2 θ (Zµ Wν− − Zν Wµ− )(Z µ W ν+ − Z ν W µ+ )
+ 21 ie cot θ (∂µ Zν − ∂ν Zµ )(W µ+ W ν− − W µ− W ν+ )
+ 21 ie (∂µ Aν − ∂ν Aµ )(W µ+ W ν− − W µ− W ν+ )
e2
+
−
−
+
µ+
W ν− − W µ− W ν+ ) ,
+
2 (Wµ Wν − Wµ Wν )(W
4 sin θ
√
2η
(e)
(u)
(d)
= −
(ēA MAB eB + ūA MAB uB + d¯A MAB dB ) ,
v
(4)
Lint = e2 (2vη + η 2 )(
1
1
+
µ−
+
(Zµ )2 ) ,
2 Wµ W
2
4 sin θ
8 sin θ cos2 θ
(5)
Lint = −λv 2 η 3 − 14 λ η 4 ,
+ gAaµ ūiA γ µ ( 12 λ)ij ujA + d¯Ai γ µ ( 21 λ)ij dAj
De massas van de W - en Z-bosonen zijn:
ev
,
2 sin θ
(B.8)
(B.9)
(B.10)
a
LQCD = − 41 Fµν
F µνa
MW =
(B.7)
MZ =
ev
2 sin θ cos θ
(B.11)
(B.12)
In LQCD geeft de index i de kleur van de quarks aan, i = 1, 2, 3, en zijn de λi
de standaard Gell-Mann matrices. De index a wordt gesommeerd van a = 1, . . . 8.
121
References
[1] M. de Roo, Quantumveldentheorie, Collegedictaat Groningen 1988.
[2] S.H. Neddermeyer and C.D. Anderson, Note on the nature of cosmic-ray particles, Phys. Rev. 51 (1937) 884.
[3] M. Perl et al., Evidence for anomalous lepton production in e+ − e− annihilation, Phys. Rev. Lett. 35 (1975) 1489.
[4] J.J. Aubert et al., Experimental evidence of a heavy particle J,
Phys. Rev. Lett. 33 (1974) 1404.
[5] J.-E. Augustin et al., Discovery of a narrow resonance in e+ e− annihilation,
Phys. Rev. Lett. 33 (1974) 1406.
[6] S.W. Herb et al., Observation of a dimuon resonance at 9.5 GeV in 400-GeV
proton-nucleus collisions, Phys. Rev. Lett. 39 (1977) 252.
[7] T.-P. Cheng en L.-F. Li, Gauge theory of elementary particle physics, Clarendon Press, Oxford 1984.
[8] C.H. Lai, Gauge theory of weak and electromagnetic interactions, World Scientific, Singapore 1981.
[9] R.N. Mohapatra en C.H. Lai, Gauge theories of fundamental interactions,
World Scientific, Singapore 1981.
[10] Review of Particle Properties, Phys Rev. D45 (1992) S1.
[11] R.N. Cahn en G. Goldhaber, The experimental foundations of particle physics,
Cambridge University Press, Cambridge 1989.
[12] C.N. Yang en R.L. Mills, Conservation of isotopic spin and isotopic gauge
invariance, Phys. Rev. 96 (1954) 191.
[13] L.D. Faddeev en V.N. Popov, Feynman diagrams for the Yang-Mills field,
Phys. Lett. B25 (1967) 29.
[14] S. Pokorski, Gauge field theories, Cambridge University Press, Cambridge
1987.
[15] R.P. Feynman en M. Gell-Mann,
Phys. Rev. 109 (1958) 193.
Theory of the Fermi interaction,
[16] T.D. Lee en C.N. Yang, Question of parity conservation in weak interactions,
Phys. Rev. 104 (1956) 254.
122
[17] C.S. Wu et al., Experimental test of parity conservation in beta decay,
Phys. Rev. 105 (1957) 1413.
[18] S. Gasiorowicz, Quantum Physics, John Wiley, New York 1974.
[19] C.H. Llewellyn Smith, High energy behaviour and gauge symmetry,
Phys. Lett. B46 (1973) 233.
[20] J.S. Bell, High-energy behavior of tree diagrams in gauge-theories,
Nucl. Phys. B60 (1973) 427.
[21] C. Itzykson en J.-B. Zuber, Quantum field theory, McGraw-Hill, New York
1980.
[22] S.L. Glashow, Partial-symmetries of weak interactions, Nucl. Phys. 22 (1961)
579.
[23] A. Salam en J.C. Ward, Electromagnetic and weak interactions, Phys. Lett. 13
(1964) 168.
[24] S. Weinberg, A model of leptons, Phys. Rev. Lett. 19 (1967) 1264.
[25] A. Salam, Weak and electromagnetic interactions, in Elementary particle theory, ed. N. Svartholm, Almqvist and Wiksell, Stockholm 1968.
[26] F. Hasert et al., Observation of neutrino-like interactions without muon or
electron in the Gargamelle neutrino experiment, Phys. Lett. B46 (1973) 138.
[27] J. Goldstone, Field theories with superconductor solutions, Nuovo Cimento 19
(1961) 154.
[28] P.W. Higgs, Broken symmetry,
Phys. Lett. 12 (1964) 132.
massless particles and gauge fields,
[29] P.W. Higgs, Spontaneous symmetry breakdown without massless bosons,
Phys. Rev. 145 (1966) 1156.
[30] Y. Nambu en G. Jona-Lasinio, Dynamical model of elementary particles based
on an analogy with superconductuvity, Phys. Rev. 122 (1961) 345.
[31] F. Englert en R. Brout, Broken symmetry and the mass of gauge vector bosons,
Phys. Rev. Lett. 13 (1964) 321.
[32] G.S. Guralnik, C.R. Hagen en T.W.B. Kibble, Global conservation laws and
massless particles, Phys. Rev. Lett. 13 (1964) 585.
123
[33] M. Gell-Mann en M. Lévy, An axial vector current in beta decay, Il Nuovo
Cimento, 16 (1960) 705.
[34] G. ’t Hooft, Renormalization of massless Yang-Mills fields, Nucl. Phys. B33
(1971) 173.
[35] G. ’t Hooft, Renormalizable Lagrangians for massive Yang-Mills fields,
Nucl. Phys. B35 (1971) 167.
[36] M. Kobayashi en M. Maskawa, CP -violation in the renormalizable theory of
weak interactions Prog. Theor. Phys. 49 (1973) 652.
[37] N. Cabbibo, Unitary symmetry and leptonic decays, Phys. Rev. Lett. 10 (1963)
531.
[38] UA1 Collaboration, Experimental observation of isolated
√ large transverse
s = 540 GeV,
energy electrons with associated missing energy at
Phys. Lett. 122B (1983) 103.
[39] UA2 Collaboration, Observation of single isolated electrons of high transverse
momentum in events with missing transverse energy at the CERN pp̄-collider,
Phys. Lett. 122B (1983) 476.
[40] UA1 Collaboration, Experimental observation of lepton pairs of invariant mass
around 95 GeV/c2 at the CERN SPS collider Phys. Lett. 126B (1983) 398.
[41] UA2 Collaboration, Evidence for Z 0 → e+ e− at the CERN p̄p collider
Phys. Lett. 129B (1983) 130.
[42] J.F. Gunion, H.E. Haber, G.L. Kane en S. Dawson, The Higgs hunter’s guide,
Addison-Wesley 1990.
[43] G.L. Kane, editor, Perspectives on Higgs physics, World Scientific, Singapore
1993.
[44] K. Fujikawa, Path-integral measure for gauge-invariant fermion theories
Phys. Rev. Lett. 42 (1979) 1195.
[45] L.H. Ryder, Quantum Field Theory, Cambridge University Press, 1985.
[46] CDF Collaboration,
F. Abe et al., Evidence for top quark production in p̄p
√
collisions at s = 1.8 TeV Phys. Rev. D50 (1994) 2966.
[47] J. Chadwick, Possible existence of a neutron, Nature 129 (1932) 312.
124
[48] C.M.G. Lattes, G.P.S.Occhialini en C.F. Powell, Observations on the track of
slow meson in photographic emulsions, Nature 159 (1947) 694.
[49] M. Gell-Mann, Isotopic spin and new unstable particles, Phys. Rev. 92 (1953)
833.
[50] K. Nishjima en T. Nakano, Charge independence
Prog. Theor. Phys. 10 (1953) 581.
for V -particles,
[51] M. Gell-Mann, The eight-fold way: a theory of strong interaction symmetry,
CalTech Report CTSL-20, 1961.
[52] M. Gell-Mann en Y. Ne’eman, The eightfold way, Benjamin, New York 1969.
[53] V. E. Barnes, Observation of a hyperon with strangeness minus three,
Phys. Rev. Lett. 12 (1964) 204.
[54] E.D. Bloom et al., High-energy inelastic ep scattering at 6◦ and 10◦ ,
Phys. Rev. Lett. 23 (1969) 930.
[55] M. Breidenbach et al., Observed behavior of highly inelastic electron-proton
scattering, Phys. Rev. Lett. 23 (1969) 935.
[56] O.W. Greenberg, Spin and unitary-spin independence in a paraquark model
of baryons and mesons, Phys. Rev. Lett. 13 (1964) 598.
[57] M.Y. Han en Y. Nambu, Three-triplet model with double SU(3) symmetry,
Phys. Rev. 139 (1965) B1006.
[58] H.D. Politzer, Reliable perturbative results for stong interactions?,
Phys. Rev. Lett. 30 (1973) 1346.
[59] D.J. Gross en F. Wilczek, Asymptotically free gauge theories I, Phys. Rev. D8
(1973) 3633.
[60] S. Coleman, Aspects of symmetry; Selected Erice lectures, Cambridge University Press, Cambridge 1985.
[61] P. Ramond, Field theory; a modern primer, Benjamin/Cummings, Reading,
Mass. 1981.
[62] H. Georgi en S. Glashow, Unity of all elementary-particle forces,
Phys. Rev. Lett. 32 (1974) 438.
[63] A.J. Buras, J. Ellis, M.K. Gaillard en D.V. Nanopoulos, Aspects of the grand
unification of strong, weak and electromagnetic interactions, Nucl. Phys. B135
(1978) 66.
125
[64] M.B. Green, J.H. Schwarz en E. Witten, Superstring theory; Volumes I and
II, Cambridge University Press, Cambridge 1987.
126