2.1 Kracht, massa en versnelling

DYNAMICA
KINEMATICA is de tak van dynamica die de beweging van lichamen beschrijft zonder te verwijzen naar de
krachten die de beweging veroorzaken of die als resultaat van de beweging gegenereerd worden.
KINETICA is het bestuderen van de relaties tussen beweging en de bijbehorende krachten die de beweging
veroorzaken of door de beweging worden veroorzaakt.
ACHTERGROND: MASSATRAAGHEIDSMOMENT 1
Stel, we hebben een lichaam met massa 𝑚 dat roteert rondom een as 𝑂 − 𝑂 met een hoekversnelling 𝑎. Alle
deeltjes bewegen in parallelle vlakken loodrecht op de rotatie-as 𝑂 − 𝑂. Een element met massa 𝑑𝑚 heeft een
versnellingscomponent rakend aan zijn cirkelvormige pad gelijk aan 𝑟𝑎. Uit de tweede wet van Newton volgt
dat de resulterende kracht op dit element rakend aan de beweging gelijk is aan 𝑟𝑎 𝑑𝑚. De moment van deze
kracht ten opzichte van de as 𝑂 − 𝑂 is 𝑟 2 𝑎 𝑑𝑚 en de som van de momenten van deze krachten van alle
elementen is ∫ 𝑟 2 𝑎 𝑑𝑚.. Voor een star lichaam geldt dat 𝑎 gelijk is voor alle radiale lijnen in het lichaam en
kunnen we hem buiten het integraalteken halen. Wat er overblijft noemen we het
MASSATRAAGHEIDSMOMENT, 𝐼, van het lichaam ten opzichte van de as 𝑂 − 𝑂.
𝐼 = ∫ 𝑟 2 𝑑𝑚
Zoals massa een maat is voor de weerstand tegen translationele versnelling, is het massatraagheidsmoment
een maat voor de weerstand tegen hoekversnelling. Het massatraagheidsmoment wordt ook wel uitgedrukt als
𝐼 = ∑ 𝑟𝑖2 𝑚𝑖
waarin 𝑟𝑖 de radiale afstand is van de rotatie-as tot het betreffende deeltje met massa 𝑚𝑖 .
Wanneer de dichtheid constant is over het hele lichaam, kan het massatraagheidsmoment worden uitgedrukt
als
𝐼 = 𝜌 ∫ 𝑟 2 𝑑𝑉
De TRAAGHEIDSSTRAAL 𝑘 van een massa 𝑚 ten
massatraagheidsmoment 𝐼 is, is gedefinieerd als
𝑘=√
𝐼
𝑚
of
opzichtige
van
een
as
waarvoor
het
𝐼 = 𝑘2𝑚
𝑘 is dus een maat voor de verspreiding van de massa van een gegeven lichaam rondom de betreffende as.
Wanneer alle massa 𝑚 van het lichaam zou worden geconcentreerd op een afstand 𝑘 vanaf de as, dan zou het
massatraagheidsmoment niet veranderen.
Wanneer het massatraagheidsmoment van een lichaam bekend is
ten opzichte van een as door het massamiddelpunt, dan kan hij
gemakkelijk ook bepaald worden ten opzichte van een parallelle as.
Stel, we hebben twee parallelle assen waarvan één door het
massamiddelpunt 𝐺 gaat. De radiale afstand van beide assen tot
een massaelement 𝑑𝑚 zijn 𝑟0 en r, en de afstand tussen beide
assen is 𝑑, zoals weergegeven in 1 Kinematica van massapunten
Door middel van de cosinusregel kunnen we schrijven voor 𝑟
𝑟 2 = 𝑟02 + 𝑑 2 + 2𝑟0 𝑑 cos 𝜃
Voor het massatraagheidsmoment kunnen we nu schrijven
1
Oorspronkelijk Appendix B/1 uit Dynamics, J.L. Meriam
Figuur 1: Twee parallelle assen door een lichaam,
waarvan één door het massamiddelpunt 𝑮
𝐼 = ∫ 𝑟 2 𝑑𝑚 = ∫(𝑟02 + 𝑑 2 + 2𝑟0 𝑑 cos 𝜃) 𝑑𝑚 = ∫ 𝑟02 𝑑𝑚 + 𝑑 2 ∫ 𝑑𝑚 + 2𝑑 ∫ 𝑢 𝑑𝑚
De eerste integraal is het massatraagheidsmoment 𝐼 ̅ ten opzichte van de as door het massamiddelpunt, de
tweede term is 𝑚𝑑 2 , en de derde term is gelijk aan nul, aangezien het 𝑢-coördinaat van massamiddelpunt ten
opzichte van de as door 𝐺 gelijk is aan nul. Oftewel
𝐼 = 𝐼 ̅ + 𝑚𝑑 2
Dit kan ook geschreven worden als
𝑘 2 = 𝑘̅ 2 + 𝑑 2
Voor bewegingen in een vlak waarbij rotatie plaatsvindt ten opzichte van een as loodrecht op het vlak is een
enkel subscript genoeg om de traagheidsas aan te geven. Voor driedimensionale bewegingen echter, kunnen
rotatiecomponenten voorkomen ten opzichte van meer dan één as en gebruiken we een dubbel subscript. De
traagheidsmomenten rondom de 𝑥-, 𝑦- en 𝑧-as worden genoteerd als 𝐼𝑥𝑥 , 𝐼𝑦𝑦 en 𝐼𝑧𝑧 , waarbij geldt
𝐼𝑥𝑥 = ∫ 𝑟𝑥2 𝑑𝑚 = ∫(𝑦 2 + 𝑧 2 )𝑑𝑚
𝐼𝑦𝑦 = ∫ 𝑟𝑦2 𝑑𝑚 = ∫(𝑧 2 + 𝑥 2 )𝑑𝑚
𝐼𝑧𝑧 = ∫ 𝑟𝑧2 𝑑𝑚 = ∫(𝑥 2 + 𝑦 2 )𝑑𝑚
We kunnen dit ook uitdrukken in poolcoördinaten. 𝐼𝑧𝑧 wordt dan
𝐼𝑧𝑧 = 𝜌 ∫ 𝑟 2 𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝜑 = 𝜌 ∫ 𝑟 3 𝑑𝑟 𝑑𝜑
Stel je een platte plaat met uniforme dikte voor. Wanneer de dikte 𝑡 is en de dichtheid 𝜌, dan is het
massatraagheidsmoment 𝐼𝑧𝑧 ten opzichte van de 𝑧-as
𝐼𝑧𝑧 = ∫ 𝑟 2 𝑑𝑚 = 𝜌𝑡 ∫ 𝑟 2 𝑑𝐴 = 𝜌𝑡𝐼𝑧
Oftewel, het massatraagheidsmoment ten opzichte van de 𝑧-as is gelijk aan de massa per oppervlakte-eenheid,
𝜌𝑡, maal het polair traagheidsmoment 𝐼𝑧 van het vlak ten opzichte van de 𝑧-as. Wanneer 𝑡 klein is in
verhouding tot de afmetingen van de plaat in het vlak, dan worden de traagheidsmomenten 𝐼𝑥𝑥 en 𝐼𝑦𝑦 van de
plaat benaderd door
𝐼𝑥𝑥 = ∫ 𝑦 2 𝑑𝑚 = 𝜌𝑡 ∫ 𝑦 2 𝑑𝐴 = 𝜌𝑡𝐼𝑥
𝐼𝑦𝑦 = ∫ 𝑥 2 𝑑𝑚 = 𝜌𝑡 ∫ 𝑥 2 𝑑𝐴 = 𝜌𝑡𝐼𝑦
Oftewel, de massatraagheidsmomenten zijn gelijk aan van de massa per oppervlakte-eenheid, 𝜌𝑡, maal de
bijbehorende oppervlaktetraagheidsmomenten.
Het massatraagheidsmoment van een samengesteld lichaam is de som van de massatraagheidsmomenten van
de individuele delen ten opzichte van dezelfde as.
1 KINEMATICA VAN MASSAPUNTEN 2
Een MASSAPUNT (of DEELTJE) is een lichaam waarvan de afmetingen zodanig klein zijn in verhouding tot de
krommingsstraal van zijn pad dat we de beweging van het lichaam behandelen als de beweging van een punt.
Wanneer een massapunt aan een bepaald pad is gebonden, dan is de beweging beperkt (constrained). Is dit
niet het geval, dan is de beweging onbeperkt (unconstrained).
De locatie van een massapunt op tijdstip 𝑡 kan beschreven worden door middel van rechthoekige coördinaten
(𝑥, 𝑦, 𝑧), cilindercoördinaten (𝑟, 𝜃, 𝑧)of bolcoördinaten (𝑅, 𝜃, 𝜑). De beweging kan ook beschreven worden
metingen langs de raaklijn 𝑡 en de loodlijn 𝑛 van de kromme. Deze twee metingen noemen we padvariabelen.
De beweging van massapunten kan beschreven worden door middel van coördinaten ten opzichte van vaste
referentieassen (absolute-bewegingsanalyse) of ten opzichte van bewegende referentieassen (relatievebewegingsanalyse).
2
Oorspronkelijk hoofdstuk 2 uit Dynamics, J.L. Meriam
We spreken van een VLAKKE BEWEGING wanneer de beweging zich voordoet in een vlak. Wanneer de
beweging zich voordoet langs een lijn spreken we van een RECHTLIJNIGE BEWEGING.
1.1 RECHTLIJNIGE BEWEGINGEN
Stel een massapunt 𝑃 beweegt over een rechte lijn. De positie van 𝑃 op een bepaald tijdstip 𝑡 kan beschreven
worden door de afstand 𝑠 ten opzichte van een bepaald referentiepunt 𝑂. De verandering van de positie
gedurende het interval Δ𝑡 is de verplaatsing Δ𝑠 van het massapunt. Bij rechtlijnige bewegingen wordt de
richting aangegeven door een plus of een min.
De gemiddelde snelheid van een deeltje gedurende het interval Δ𝑡 is
Δ𝑠
𝑣𝑔𝑒𝑚 =
Δ𝑡
Wanneer Δ𝑡 nadert naar nul, dan nadert de gemiddelde snelheid naar de huidige SNELHEID van het
massapunt.3
Δs 𝑑𝑠
𝑣 = lim
=
= ṡ
Δt→0 Δt
𝑑𝑡
De gemiddelde versnelling van een deeltje gedurende het interval Δ𝑡 is
Δ𝑣
𝑎𝑔𝑒𝑚 =
Δ𝑡
Wanneer Δ𝑡 nadert naar nul, dan nadert de gemiddelde versnelling naar de huidige VERSNELLING van het
massapunt.
Δ𝑣 𝑑𝑣
𝑑2𝑠
𝑎 = lim
=
= 𝑣̇ = 2 = 𝑠̈
Δ𝑡→0 Δ𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
Wanneer we in de differentiaalvergelijkingen voor 𝑣 en 𝑎 𝑑𝑡 elimineren, dan volgt hieruit de volgende relatie:
𝑑𝑠 𝑑𝑣
𝑑𝑡 =
=
⟹
𝑎 𝑑𝑠 = 𝑣 𝑑𝑣 𝑜𝑓𝑡𝑒𝑤𝑒𝑙 𝑠̇ 𝑑𝑠̇ = 𝑠̈ 𝑑𝑠
𝑣
𝑎
De bovenste plot in Figuur 2 is een plot van de verandering van 𝑠 als functie
van 𝑡. De helling van de raaklijn op een bepaald tijdstip 𝑡 is de snelheid,
aangezien 𝑣 = 𝑑𝑠 ⁄𝑑𝑡. Op dezelfde manier geldt dat de helling van de
tweede grafiek, de plot van de verandering van 𝑣 als functie van 𝑡, gelijk is
aan de versnelling.
Verder geldt dat de oppervlakte onder de 𝑣-𝑡 kromme gelijk is aan de
verplaatsing, aangezien 𝑑𝑠 = 𝑣 𝑑𝑡 . De netto verplaatsing van het
massapunt tijdens het tijdsinterval van 𝑡1 tot 𝑡2 is dus
𝑠2
𝑡2
𝑠2 − 𝑠1 = ∫ 𝑑𝑠 = ∫ 𝑣 𝑑𝑡
𝑠1
𝑡1
Op dezelfde manier geldt dat de oppervlakte onder de 𝑎-𝑡 kromme gelijk is
aan de verandering van de snelheid. De netto snelheidsverandering van het
massapunt tijdens het tijdsinterval van 𝑡1 tot 𝑡2 is
𝑣2
𝑡2
𝑣2 − 𝑣1 = ∫ 𝑑𝑣 = ∫ 𝑎 𝑑𝑡
𝑣1
𝑡1
BIJZONDERE GEVALLEN
Bij alle gevallen gaan we uit van de volgende beginvoorwaarden op
𝑡 = 0: 𝑠 = 𝑠0 en 𝑣 = 𝑣0 .
Figuur 2: Plot van 𝒔, 𝒗 en 𝒂 als functie van 𝒕
 Constante versnelling
Wanneer 𝑎 constant is, kunnen de vergelijkingen 𝑑𝑣 = 𝑎 𝑑𝑡
en 𝑣 𝑑𝑣 = 𝑎 𝑑𝑠 direct worden geïntegreerd.
3
De tijdsafgeleide van een bepaalde (vectoriële of scalaire) grootheid kan worden aangegeven door middel van een puntje
op de grootheid.
𝑑𝑠
= 𝑠̇
𝑑𝑡
𝑣
𝑡
∫ 𝑑𝑣 = 𝑎 ∫ 𝑑𝑡
𝑣0
𝑣
𝑠
∫ 𝑣 𝑑𝑣 = 𝑎 ∫ 𝑑𝑠
𝑣0

⟹
𝑣 = 𝑣0 + 𝑎𝑡
0
⟹
𝑣 2 = 𝑣02 + 2𝑎(𝑠 − 𝑠0 )
𝑠0
In het eerste geval is 𝑣 geschreven als een functie van 𝑡. Nu kan ook de vergelijking 𝑑𝑠 = 𝑣 𝑑𝑡
geïntegreerd worden.
𝑠
𝑡
1
∫ 𝑑𝑠 = ∫ (𝑣0 + 𝑎𝑡)𝑑𝑡 ⟹ 𝑠 = 𝑠0 + 𝑣0 𝑡 + 𝑎𝑡 2
2
𝑠0
0
Versnelling gegeven als een functie van de tijd, 𝒂 = 𝒂(𝒕)
Substitutie van de functie in de vergelijking 𝑑𝑣 = 𝑎 𝑑𝑡 geeft
𝑑𝑣 = 𝑎(𝑡) 𝑑𝑡
Wanneer we dit integreren volgt voor 𝑣
𝑣
𝑡
𝑡
∫ 𝑑𝑣 = ∫ 𝑎(𝑡)𝑑𝑡
𝑣0
⟹
𝑣 = 𝑣0 + ∫ 𝑎(𝑡)𝑑𝑡
0
0
Nu er een uitdrukking voor 𝑣(𝑡) bekend is, kan ook de vergelijking 𝑑𝑠 = 𝑣 𝑑𝑡 geïntegreerd
worden.
𝑠
𝑡
𝑡
∫ 𝑑𝑠 = ∫ 𝑣(𝑡)𝑑𝑡


𝑠0
⟹
𝑠 = 𝑠0 + ∫ 𝑣(𝑡)𝑑𝑡
0
0
Versnelling gegeven als een functie van de snelheid, 𝒂 = 𝒂(𝒗)
Substitutie van de functie in de vergelijking 𝑎 = 𝑑𝑣 ⁄𝑑𝑡 geeft
𝑑𝑣
𝑑𝑣
𝑓(𝑣) =
⟹ 𝑑𝑡 =
𝑑𝑡
𝑎(𝑣)
Wanneer we dit integreren volgt voor 𝑡
𝑡
𝑣
𝑑𝑣
𝑡 = ∫ 𝑑𝑡 = ∫
0
𝑣0 𝑎(𝑣)
Nu er een uitdrukking voor 𝑡(𝑣) bekend is kan ook 𝑣 worden geschreven als een functie van 𝑡,
𝑣(𝑡), waarna 𝑠 bepaald worden door de vergelijking 𝑑𝑠 = 𝑣 𝑑𝑡 te integreren.
Een tweede manier om 𝑠 te berekenen is door substitutie van de functie in de vergelijking 𝑣 𝑑𝑣 =
𝑎 𝑑𝑠 gevolgd door integratie.
𝑠
𝑣
𝑣
𝑣 𝑑𝑣
𝑣 𝑑𝑣
𝑣 𝑑𝑣
𝑑𝑠 =
⟹ ∫ 𝑑𝑠 = ∫
⟹ 𝑠 = 𝑠0 + ∫
𝑎(𝑣)
𝑠0
𝑣0 𝑎(𝑣)
𝑣0 𝑎(𝑣)
Versnelling gegeven als functie van de verplaatsing, 𝒂 = 𝒂(𝒔)
Substitutie van de functie in de vergelijking 𝑣 𝑑𝑣 = 𝑎 𝑑𝑠 geeft
𝑣 𝑑𝑣 = 𝑎(𝑠) 𝑑𝑠
Wanneer we dit integreren volgt voor 𝑣
𝑣
𝑠
𝑠
∫𝑣 𝑣 𝑑𝑣 = ∫𝑠 𝑎(𝑠)𝑑𝑠 ⟹ 𝑣 2 = 𝑣02 + 2 ∫𝑠 𝑓(𝑠)𝑑𝑠
0
0
0
Nu er een uitdrukking is voor 𝑣(𝑠) kan 𝑡 berekend worden
door substitutie van de functie voor 𝑣 in de vergelijking 𝑣 =
𝑑𝑠 ⁄𝑑𝑡 gevolgd door integratie.
𝑡
𝑠
𝑑𝑠
𝑑𝑠
𝑑𝑡 =
⟹ 𝑡 = ∫ 𝑑𝑡 = ∫
𝑣(𝑠)
𝑣(𝑠)
0
𝑠0
1.2 KROMLIJNIGE BEWEGINGEN
In plaats van een rechtlijnige beweging gaan we nu uit van een beweging
langs een gekromd pad in de ruimte. Figuur 3 weergeeft het pad van
massapunt in de ruimte. Voor elk tijdstip 𝑡 kan de positie van het
massapunt worden beschreven door PLAATSVECTOR 𝐫4 , gemeten
vanuit een gekozen oorsprong 𝑂. Op tijdstip 𝑡 + 𝑑𝑡 kan de locatie
worden beschreven door de vector 𝐫 + 𝑑𝐫. De verplaatsing van het Figuur 3: Kromlijnige beweging
deeltje gedurende tijdstap 𝑑𝑡 is vector 𝑑𝐫. De afstand die het deeltje
4
Vectoren zijn vetgedrukt en niet cursief om ze te kunnen onderscheiden van scalairen, grootheden zonder richting. Je kunt
vectoren ook aangeven door ze te onderstrepen of door er een pijltje (of lijntje) boven te zetten.
𝐫 = 𝑟 = 𝑟⃗
heeft afgelegd gedurende deze tijdstap is de lengte van het pad tussen de posities aangegeven door de
vectoren 𝐫 en 𝐫 + 𝑑𝐫, 𝑑𝑠.
De SNELHEIDSVECTOR van het deeltje gedurende tijdstap 𝑑𝑡 is
Δ𝐫 𝑑𝐫
𝐯 = lim
=
= 𝐫̇
Δ𝑡→0 Δ𝑡
𝑑𝑡
De richting van deze vector is die van 𝑑𝐫 en de grootte is de grootte 𝑑𝐫 gedeeld door 𝑑𝑡. De grootte van de
vector 𝐯 is de SNELHEID. Dit is gelijk aan de lengte van het pad 𝑑𝑠 gedeeld door de tijdstap 𝑑𝑡.
∆𝑠 𝑑𝑠
𝑣 = |𝐯| = lim
=
= 𝑠̇
∆𝑡→0 ∆𝑡
𝑑𝑡
De grootte van de afgeleide is niet gelijk aan de afgeleide van de grootte. Zo is de grootte van de afgeleide
𝑑𝐫⁄𝑑𝑡 de grootte van de snelheid, |𝑑𝐫⁄𝑑𝑡| = 𝑣. De afgeleide van de grootte van vector 𝑟, 𝑑|𝐫|⁄𝑑𝑡 = 𝑟̇ , geeft
de snelheid waarmee de lengte van de positievector 𝐫 verandert.
De VERSNELLINGSVECTOR van het deeltje gedurende tijdstap 𝑑𝑡 is
∆𝐯 𝑑𝐯
𝐚 = lim
=
= 𝐯̇ = 𝐫̈
∆𝑡→0 ∆𝑡
𝑑𝑡
Deze vector bevat zowel de verandering in de grootte als in de richting van de snelheidsvector 𝐯. De grootte
van vector 𝐚 is de VERSNELLING.
𝑎 = |𝐚|
Er zijn drie verschillende coördinatensystemen die gebruikt worden voor het beschrijven van de vectorrelaties
voor kromlijnige bewegingen. Je kunt gebruik maken van rechthoekige, normale en tangentiële, en polaire
coördinaten.
1.2.1 RECHTHOEKIGE COÖRDINATEN
RECHTHOEKIGE COÖRDINATEN zijn handig voor het
beschrijven van bewegingen waarbij de 𝑥 - en 𝑦 componenten van versnelling onafhankelijk van elkaar
bepaald zijn. Het gaat hierbij om bewegingen in twee
dimensies, dus in een plat vlak.
Figuur 4 geeft nogmaals de positie-, snelheids- en
versnellingsvectoren in een bepaald punt van een
kromlijnige beweging. Door middel van de
eenheidsvectoren 𝐢 en 𝐣 kunnen we de vectoren 𝐫, 𝐯 en 𝐚
schrijven in termen van hun 𝑥- en 𝑦-componenten.
𝐫 = 𝑥𝐢 + 𝑦𝐣
𝐯 = 𝐫̇ = 𝑥̇ 𝐢 + 𝑦̇ 𝐣 = 𝑣𝑥 𝐢 + 𝑣𝑦 𝐣
𝐚 = 𝐯̇ = 𝐫̈ = 𝑥̈ 𝐢 + 𝑦̈ 𝐣 = 𝑣̇𝑥 𝐢 + 𝑣̇𝑦 𝐣 = 𝑎𝑥 𝐢 + 𝑎𝑦 𝐣
Figuur 4: Rechthoekige snelheids- en versnellingsvectoren van een
kromlijnige beweging
De richting van de snelheidsvector is altijd evenwijdig aan de raaklijn van het pad in het betreffende punt.
Verder geldt
𝑣 2 = 𝑣𝑥2 + 𝑣𝑦2
⟹
tan 𝜃 =
𝑎2 = 𝑎𝑥2 + 𝑎𝑦2
𝑣 = √𝑣𝑥2 + 𝑣𝑦2
𝑣𝑦 𝑑𝑦
=
𝑣𝑥 𝑑𝑥
⟹
𝑎 = √𝑎𝑥2 + 𝑎𝑦2
De hoek 𝜃 is de hoek die de snelheidsvector 𝐯 maakt met de 𝑥-as, gemeten tegen de klok in.
Wanneer de 𝑥- en 𝑦-componenten van de plaats-, snelheids- of versnellingsvectoren bekend zijn, kunnen de
andere hiervan afgeleid worden door middel van differentiatie of integratie. Bij integratie zijn er ook
beginvoorwaarden nodig om de integratieconstanten te kunnen bepalen.
1.2.2 NORMALE EN TANGENTIËLE COÖRDINATEN
Veel beschrijvingen van kromlijnige bewegingen maken gebruik van
PADVARIABELEN, afmetingen langs de raaklijn 𝑡 en de normaallijn 𝑛
aan het pad van het massapunt. De positieve richting voor 𝑛 is altijd
richting het krommingsmiddelpunt.
Bij het beschrijven van de snelheid en versnelling in NORMALE en
TANGENTIËLE COÖRDINATEN maken we gebruik van de
̅) in de 𝑛-richting en 𝐞𝑡 (of 𝐭)̅ in de 𝑡 richting.
eenheidsvectoren 𝐞𝑛 (of 𝐧
Figuur 5 geeft deze vectoren in een aantal punten. Gedurende tijdstap 𝑑𝑡
legt het massapunt een afstand 𝑑𝑠 langs de kromme af. Wanneer de
krommingsstraal 𝜌 is en 𝑑𝛽 de afgelegde hoek in deze tijdstap, zoals
aangegeven in Figuur 5, dan geldt 𝑑𝑠 = 𝜌𝑑𝛽 . Hieruit volgt voor de
Figuur 5: Normale en tangentiële
snelheidsvector, die per definitie tangentieel is
eenheidsvectoren en (tangentiële)
𝑑𝑠
𝑑𝛽
𝑣=
=𝜌
= 𝜌𝛽̇
snelheidsvectoren van een kromlijnige beweging
𝑑𝑡
𝑑𝑡
̇
𝐯 = 𝑣𝐞𝑡 = 𝜌𝛽 𝐞𝑡
De versnellingsvector vinden we door de snelheidsvector te differentiëren.
𝑑𝐯 𝑑(𝑣𝐞𝑡 )
𝐚=
=
= 𝑣𝐞̇ 𝑡 + 𝑣̇ 𝐞𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
Omdat de richting verandert, is de afgeleide van 𝐞𝑡 niet nul. We vinden 𝐞̇ 𝑡 door te
kijken naar de verandering van 𝐞𝑡 tijdens tijdstap 𝑑𝑡. De verschilvector van deze
twee vectoren is 𝑑𝐞𝑡 , zoals weergegeven in Figuur 6. Deze vector heeft in de limiet
een grootte gelijk aan de lengte van de boog |𝐞𝑡 |𝑑𝛽 = 𝑑𝛽. De hoek tussen de
tangentiële vectoren 𝐞𝑡 en 𝐞𝑡 + 𝑑𝐞𝑡 is namelijk gelijk aan de afgelegde hoek tijdens Figuur 6: De verandering van de
tijdstap 𝑑𝑡, 𝑑𝛽. De richting van 𝑑𝐞𝑡 is gegeven door de eenheidsvector 𝐞𝑛 .
eenheidsvector 𝐞𝒕 en de
𝑑𝐞𝑡
snelheidsvector 𝐯𝒕 gedurende tijdstap
𝑑𝐞𝑡 = 𝐞𝑛 𝑑𝛽 ⟹
= 𝐞𝑛
𝑑𝛽
𝒅𝒕
Wanneer we de bovenstaande linker vergelijking delen door 𝑑𝑡 krijgen we
𝑑𝐞𝑡
𝑑𝛽
= 𝐞𝑛
oftewel 𝐞̇ 𝑡 = 𝛽̇ 𝐞𝑛
𝑑𝑡
𝑑𝑡
Dit kunnen we substitueren in de vergelijking voor 𝐚. Ook de relatie 𝑣 = 𝜌𝛽̇ komt van pas.
𝑣2
𝐚 = 𝑣𝛽̇ 𝐞𝑛 + 𝑣̇ 𝐞𝑡 =
𝐞 + 𝑣̇ 𝐞𝑡
𝜌 𝑛
Oftewel
𝑣2
𝑎𝑛 =
= 𝜌𝛽̇ 2 = 𝑣𝛽̇
𝜌
𝑎𝑡 = 𝑣̇ = 𝑠̈
𝑎 = √𝑎𝑛2 + 𝑎𝑡2
1.2.3 POOLCOÖRDINATEN
POOLCOÖRDINATEN geven de positie van een massapunt aan door
middel van de radiale afstand 𝑟 vanaf een bepaald vast punt en de hoek
𝜃 die deze straal maakt met een referentielijn, bijvoorbeeld de 𝑥-as. De
eenheidsvectoren 𝐞𝑟 en 𝐞𝜃 zijn vastgesteld in respectievelijk de positieve
𝑟- en 𝜃-richting.
De grootte van de positievector 𝐫 is de radiale afstand 𝑟, de richting
wordt gegeven door 𝐞𝑟 .
𝐫 = 𝑟𝐞𝑟
Voor de snelheids- en versnellingsvectoren hebben we de afgeleiden van
de eenheidsvectoren 𝐞𝑟 en 𝐞𝜃 nodig. Gedurende tijdstap 𝑑𝑡 roteren de
eenheidsvectoren met de hoek 𝑑𝜃. De verandering 𝑑𝐞𝑟 is in de richting Figuur 7: Eenheidspoolvectoren van een
van 𝜃, de verandering 𝑑𝐞𝜃 in de richting van – 𝑟. De grootte van de kromlijnige beweging
vectoren 𝑑𝐞𝑟 en 𝑑𝐞𝜃 is in de limiet gelijk aan de eenheidsvector als straal
maal de hoek 𝑑𝜃, oftewel
𝑑𝐞𝑟
= 𝐞𝜃
𝑑𝜃
𝑑𝐞𝜃
𝑑𝐞𝜃 = −𝐞𝑟 𝑑𝜃 ⟹
= −𝐞𝑟
𝑑𝜃
Wanneer we de linker vergelijkingen delen door 𝑑𝑡 volgt bovendien
𝐞̇ 𝑟 = 𝐞𝜃 𝜃̇ en 𝐞̇ 𝜃 = −𝐞𝑟 𝜃̇
𝑑𝐞𝑟 = 𝐞𝜃 𝑑𝜃
⟹
Om de snelheidsvector te vinden, moeten we 𝐫 = 𝑟𝐞𝑟 differentiëren naar Figuur 8: Verandering van de
de tijd.
eenheidsvectoren 𝐞𝒓 en 𝐞𝜽 gedurende
𝐯 = 𝐫̇ = 𝑟̇ 𝐞𝑟 + 𝑟𝐞̇ 𝑟 = 𝑟̇ 𝐞𝑟 + 𝑟𝜃̇𝐞𝜃
tijdstap 𝒅𝒕
Waaruit volgt
𝑣𝑟 = 𝑟̇
𝑣𝜃 = 𝑟𝜃̇
𝑣 = √𝑣𝑟2 + 𝑣𝜃2
De versnellingsvector volgt door de uitdrukking voor 𝐯 te differentiëren.
𝐚 = 𝐯̇ = (𝑟̈ 𝐞𝑟 + 𝑟̇ 𝐞̇𝑟 ) + (𝑟̇ 𝜃̇𝐞𝜃 + 𝑟𝜃̈ 𝐞𝜃 + 𝑟𝜃̇𝐞̇ 𝜃 )
Substitutie van de termen 𝐞̇ 𝑟 = 𝐞𝜃 𝜃̇ en 𝐞̇ 𝜃 = −𝐞𝑟 𝜃̇ levert
𝐚 = (𝑟̈ 𝐞𝑟 + 𝑟̇ 𝜃̇ 𝐞𝜃 ) + (𝑟̇ 𝜃̇𝐞𝜃 + 𝑟𝜃̈ 𝐞𝜃 − 𝑟𝜃̇ 2 𝐞𝑟 ) = (𝑟̈ − 𝑟𝜃̇ 2 )𝐞𝑟 + (𝑟𝜃̈ + 2𝑟̇ 𝜃̇ )𝐞𝜃
waarin
𝑎𝑟 = 𝑟̈ − 𝑟𝜃̇ 2
1𝑑 2
𝑎𝜃 = 𝑟𝜃̈ + 2𝑟̇ 𝜃̇ =
(𝑟 𝜃̇)
𝑟 𝑑𝑡
𝑎 = √𝑎𝑟2 + 𝑎𝜃2
2 KINETICA VAN MASSAPUNTEN 5
De drie algemene benaderingen van een oplossing van een kinetica probleem zijn:

directe toepassing van Newtons tweede wet

gebruik van arbeids- en energieprincipes

gebruik van impuls- en momentenmethodes
2.1 KRACHT, MASSA EN VERSNELLING
De drie HOOFDWETTEN VAN NEWTON zijn:
1. Een deeltje blijft in zijn toestand van rust of beweging langs een rechte lijn, tenzij er een kracht op
uitgeoefend wordt.
2. Onder invloed van een kracht 𝐅 zal een deeltje met massa 𝑚 een versnelling 𝐚 ondervinden, zodanig
dat 𝐅 = 𝑚𝐚.
De eenheid van 𝑚 is 𝑘𝑔 en de eenheid van is 𝐚 𝑚/𝑠 2 . Hieruit volgt voor 𝐅 de eenheid 𝑘𝑔 𝑚⁄𝑠 2 = 𝑁.
3. De krachten, die twee lichamen op elkaar uitoefenen zijn gelijk in grootte en tegengesteld in richting.
De tweede wet wordt vaak gebruikt bij dynamica. Wanneer je een kracht op een massa uitoefent, zal de
snelheidsvector veranderen. Je genereert een versnellingsvector. De richting hiervan is altijd in de richting van
de kracht. De massa is een maat voor de TRAAGHEID, de weerstand tegen de verandering van de snelheid.
De tweede wet is van grote waarde bij metingen in een niet-roterend referentiesysteem dat met een constante
snelheid transleert ten opzichte van een systeem in rust. De versnelling gemeten is in beide systemen gelijk,
waardoor de tweede wet in beide systemen even gemakkelijk kan worden toegepast. Beide systemen noemen
we een TRAAGHEIDSSYSTEMEN of INERTIAALSTELSELS. De tweede wet toepassen op systemen die al
versneld bewegen, is veel moeilijker.
5
Oorspronkelijk hoofdstuk 3 uit Dynamics, J.L. Meriam
Wanneer een massapunt met massa 𝑚 wordt onderworpen aan de werking van gelijktijdige krachten
𝐅1 , 𝐅2 , 𝐅3 , …, dan geldt voor de som van de krachten
∑ 𝐅 = 𝑚𝐚
De som van de krachten is gelijk aan de resulterende kracht.
Er zijn twee typen bewegingen. ONBEPERKTE BEWEGINGEN zijn bewegingen waarbij het massapunt vrij is
van mechanische geleiders en het een pad volgt dat is bepaald door zijn initiële beweging en door de krachten
die worden toegepast door externe bronnen (bijv. een raket). BEPERKTE BEWEGINGEN zijn bewegingen
waarbij het pad van het massapunt geheel of gedeeltelijk bepaald is door mechanische geleiders (bijv. een
trein). Sommige krachten die werken op een massapunt gedurende een beperkte beweging zijn externe
krachten (bijv. zwaartekracht), andere zijn reactiekrachten uitgeoefend door de mechanische geleiders (bijv.
normaalkracht).
Een onbeperkte beweging heeft 3 VRIJHEIDSGRADEN, een beperkte beweging in een vlak twee en een
beperkte beweging langs een lijn 1.
De enige manier om rekening te houden met alle krachten die op een deeltje werken, dus zowel externe
krachten als reactiekrachten, is door het massapunt te isoleren van alle lichamen die het massapunt
beïnvloeden. Deze lichamen worden vervangen door de krachten die ze op het geïsoleerde massapunt
uitoefenen. Het resultaat is een VRIJ LICHAAM STRUCTUUR (VLS). Specificeer ook coördinatenassen en hun
positieve richting en geef naast de werkende krachten ook de mogelijke bewegingen aan (kinetisch diagram).
De bovenstaande kennis van de tweede wet van Newton kunnen we gebruiken om kineticaproblemen op te
lossen. We kijken naar rechtlijnige en kromlijnige bewegingen. In beide gevallen behandelen we het
betreffende voorwerp als een massapunt. Dit is toegestaan zolang we enkel geïnteresseerd zijn in de beweging
van het massamiddelpunt van het voorwerp. Ook kijken we alleen naar gevallen waar de krachten gelijktijdig
op het voorwerp werken.
We willen de tweede wet van Newton verbreden van een massapunt naar een massasysteem. Hiervoor
verdelen we het systeem in 𝑛 massapunten met massa 𝑚𝑖 . Op elk massapunt werkt een aantal krachten extern
aan het systeem 𝐅1 , 𝐅2 , 𝐅3 , … en een aantal interne krachten, krachten met bronnen binnen de systeemgrenzen,
𝐟1 , 𝐟2 , 𝐟3 , …. De locatie van het massapunt 𝑚𝑖 wordt gegeven door de positievector 𝐫𝑖 gemeten vanuit de
oorsprong 𝑂. Het zwaartepunt van het hele systeem wordt gegeven door de positievector 𝐫̅ , ook gemeten
vanuit de oorsprong. Deze vector kan worden bepaald door middel van de vergelijking
𝑚𝐫̅ = ∑ 𝑚𝑖 𝐫𝑖
Wanneer we de tweede wet van Newton uitschrijven voor één massapunt, volgt
𝐅1 + 𝐅2 + 𝐅3 + ⋯ + 𝐟1 + 𝐟2 + 𝐟3 + ⋯ = 𝑚𝑖 𝐫̈𝑖
waarin 𝐫̈𝑖 staat voor de versnelling van 𝑚𝑖 . Wanneer we deze vergelijking van alle massapunten bij elkaar
optellen, is het resultaat
∑ 𝐅 + ∑ 𝐟 = ∑ 𝑚𝑖 𝐫̈𝑖
De term ∑ 𝐅 is de som van alle krachten die worden uitgeoefend op het geïsoleerde systeem door bronnen
extern aan het system, en ∑ 𝐟 de som van alle krachten die worden uitgeoefend door interne acties en reacties
tussen de deeltjes. Deze som is gelijk aan nul omdat alle interne krachten in paren voorkomen en elkaar
opheffen wanneer je ze bij elkaar optelt. Wanneer we de vergelijking 𝑚𝐫̅ = ∑ 𝑚𝑖 𝐫𝑖 tweemaal naar de tijd
differentiëren, volgt ∑ 𝑚𝑖 𝐫̈𝑖 = 𝑚𝐫̅̈ . We kunnen bovenstaande vergelijking nu herschrijven tot
∑ 𝐅 = ∑ 𝑚𝑖 𝐫̈𝑖 = 𝑚𝐫̅̈
Oftewel
𝐅 = 𝑚𝐚̅
waarin 𝐚̅ = 𝐫̅̈ de versnelling van het zwaartepunt van het systeem is. Deze vergelijking stelt dat de resultante
van de externe krachten op een massasysteem gelijk is aan de massa maal de versnelling van het zwaartepunt.
Dit wordt het principe van de beweging van het zwaartepunt genoemd.
2.1.2 RECHTLIJNIGE BEWEGING
We ontbinden de beweging in de componenten in 𝑥, 𝑦 en 𝑧-richting.
∑ 𝐹𝑥 = 𝑚𝑎𝑥
∑ 𝐹𝑦 = 𝑚𝑎𝑦
en
∑ 𝐹𝑧 = 𝑚𝑎𝑧
Wanneer je het coördinatenstelsel zelf mag kiezen, is het slim om één van de assen, bijvoorbeeld de 𝑥-as, in de
richting van de beweging te kiezen. De versnelling in de 𝑦- en 𝑧-richting zijn nul, zodat
∑ 𝐹𝑥 = 𝑚𝑎𝑥
∑ 𝐹𝑦 = 0
en
∑ 𝐹𝑧 = 0
Voor de versnelling en de resulterende kracht geldt
𝐚 = 𝑎𝑥 𝐢 + 𝑎𝑦 𝐣 + 𝑎𝑧 𝐤
𝑎 = √𝑎𝑥2 + 𝑎𝑦2 + 𝑎𝑧2
∑ 𝐅 = ∑ 𝐹𝑥 i + ∑ 𝐹𝑦 𝐣 + ∑ 𝐹𝑧 𝐤
2
2
|∑ 𝐅| = √(∑ 𝐹𝑥 ) + (∑ 𝐹𝑦 ) + (∑ 𝐹𝑧 )
2
2.1.2 KROMLIJNIGE BEWEGING
Zoals in het vorige hoofdstuk beschreven zijn er drie verschillende coördinatensystemen om kromlijnige
bewegingen te beschrijven. We kunnen voor elk van deze systemen de vergelijking ∑ 𝐅 = 𝑚𝐚 herschrijven aan
de hand van eerder afgeleide uitdrukkingen voor de versnellingsvectoren.
 Rechthoekige coördinaten
∑ 𝐹𝑥 = 𝑚𝑎𝑥 = 𝑚𝑥̈
∑ 𝐹𝑦 = 𝑚𝑎𝑦 = 𝑚𝑦̈

waarin 𝑎𝑥 = 𝑥̈ en 𝑎𝑦 = 𝑦̈
Normale en tangentiële coördinaten
∑ 𝐹𝑡 = 𝑚𝑎𝑡 = 𝑚𝑠̈
∑ 𝐹𝑛 = 𝑚𝑎𝑛 = 𝑚
waarin 𝑎𝑡 = 𝑠̈ , 𝑎𝑛 =

𝑣2
𝜌
𝑣2
𝜌
= 𝑣𝛽̇ = 𝜌𝛽̇ 2 en 𝑣 = 𝜌𝛽̇
Poolcoördinaten
∑ 𝐹𝑟 = 𝑚𝑎𝑟 = 𝑚(𝑟̈ − 𝑟𝜃̇ 2 )
∑ 𝐹𝜃 = 𝑚𝑎𝜃 = 𝑚(𝑟𝜃̈ + 2𝑟̇ 𝜃̇ )
waarin 𝑎𝑟 = 𝑟̈ − 𝑟𝜃̇ 2 en 𝑎𝜃 = 𝑟𝜃̈ + 2𝑟̇ 𝜃̇
De oriëntatie van de coördinatenassen is afhankelijk van het gekozen coördinatensysteem. De grootte van de
versnellingsvector en de resulterende kracht kunnen op dezelfde manier worden afgeleid als bij een
rechtlijnige beweging.
Met bovenstaande methode, directe toepassing van de tweede wet van Newton, kun je de versnelling bepalen.
Wanneer je de snelheid of afgelegde weg wilt weten, moet je deze uitdrukking integreren. We kunnen de
resultaten van deze integraties ook direct in de bewegingsvergelijking integreren, zodat we de versnelling niet
meer uit hoeven te rekenen. Integratie met betrekking op de verplaatsing leidt tot de vergelijkingen van arbeid
en energie, integratie met betrekking op de tijd tot de vergelijkingen voor impuls en moment. Beide komen in
de komende paragrafen aan bod.
2.2 ARBEID, VERMOGEN EN ENERGIE
2.2.1 ARBEID
Figuur 9 weergeeft een kracht 𝐅 die werkt op een massapunt dat beweegt langs het gestippelde pad. 𝑑𝐫 is een
benadering van de verplaatsing wanneer het massapunt een
infinitesimale beweging uitvoert. De arbeid die wordt uitgeoefend
door de kracht 𝐅 gedurende deze verplaatsing is
𝑑𝑈 = 𝐅 ∙ 𝑑𝐫
De grootte van dit inproduct is
𝑑𝑈 = 𝐹 𝑑𝑠 cos 𝛼
waarin 𝛼 de hoek tussen 𝐅 en 𝑑𝐫 is en 𝑑𝑠 de grootte van 𝑑𝐫. De
grootte van de arbeid is dus de verplaatsing maal de component van
de kracht in richting van de verplaatsing, of de kracht
vermenigvuldigd met de verplaatsingscomponent in de richting van
de kracht. Beide interpretaties zijn gegeven in Figuur 9.
Omdat de component van de kracht loodrecht op de verplaatsing, Figuur 9: Kracht en afgelegde weg gedurende
𝐹𝑛 , geen arbeid verricht kan de grootte van de arbeid ook worden tijdstap 𝒅𝒕 in onontbonden en ontbonden vorm
geschreven als
𝑑𝑈 = 𝐹𝑡 𝑑𝑠
Krachten die arbeid verrichten zijn ACTIEVE KRACHTEN. Beperkende krachten die geen arbeid verrichten zijn
REACTIEKRACHTEN.
De eenheid van arbeid is die van kracht (𝑁) maal die van verplaatsing (𝑚), wat gelijk is aan Joule.
𝑈1−2 = [𝑁𝑚] = [𝑘𝑔𝑚2 ⁄𝑠 2 ] = [𝐽]
Gedurende een eindige beweging van het massapunt als gevolg van een kracht wordt een hoeveelheid arbeid
gegenereerd gelijk aan
2
2
𝑠2
𝑈1−2 = ∫ 𝐅 ∙ 𝑑𝐫 = ∫ (𝐹𝑥 𝑑𝑥 + 𝐹𝑦 𝑑𝑦 + 𝐹𝑧 𝑑𝑧) = ∫ 𝐹𝑡 𝑑𝑠
1
1
𝑠1
Hieruit volgt dat arbeid grafisch kan worden weergegeven als het oppervlak onder een 𝐹𝑡 , 𝑠-grafiek.
2.2.2 KINETISCHE ENERGIE
De integraalvergelijking voor arbeid kan worden herschreven door middel van de tweede wet van Newton, 𝐅 =
𝑚𝐚
2
2
𝑈1−2 = ∫ 𝐅 ∙ 𝑑𝐫 = ∫ 𝑚𝐚 ∙ 𝑑𝐫
1
1
Verder geldt 𝐚 ∙ 𝑑𝐫 = 𝑎𝑡 𝑑𝑠, waarin 𝑎𝑡 de tangentiële componenten is van de versnelling van 𝑚. Ook geldt de
eerder afgeleide vergelijking 𝑎𝑡 𝑑𝑠 = 𝑣𝑑𝑣, waaruit volgt
2
2
2
1
𝑈1−2 = ∫ 𝑚𝐚 ∙ 𝑑𝐫 = ∫ 𝑚𝑎𝑡 𝑑𝑠 = ∫ 𝑚𝑣 𝑑𝑣 = 𝑚(𝑣22 − 𝑣12 )
2
1
1
1
Deze laatste uitdrukking geeft de verandering in KINETISCHE ENERGIE, 𝑇, oftewel6
𝑈1−2 = 𝑇2 − 𝑇1
waarin
1
𝑇 = 𝑚𝑣 2
2
De kinetische energie is de totale arbeid die verricht moet worden om een deeltje van zijn rusttoestand naar
een snelheid 𝑣 te brengen. De eenheid van (kinetische) energie is vanzelfsprekend dezelfde als die van arbeid,
namelijk 𝐽. Kinetische energie is altijd positief, onafhankelijk van de richting van de snelheid.
Stel we hebben een systeem bestaande uit twee massapunten die met elkaar verbonden zijn door een
wrijvingsloze, onvervormbare verbinding. De krachten in de verbinding zijn even groot en tegengesteld, en hun
aangrijpingspunten hebben identieke verplaatsingscomponenten in de richting van de krachten. Hieruit volgt
dat de netto arbeid van deze interne krachten nul is gedurende de beweging van het systeem, wat het mogelijk
maakt de vergelijking 𝑈1−2 = 𝑇2 − 𝑇1 te gebruiken. 𝑈1−2 is de totale arbeid die door externe krachten wordt
6
Deze vergelijking voor de arbeid uitgeoefend door uitwendige krachten geldt wanneer alle krachten worden gezien als
uitwendige krachten. Verderop dit hoofdstuk worden zwaartekracht en veerkracht niet langer gezien als uitwendige
krachten en moet de verandering van de potentiële energie worden meegenomen in de vergelijking.
uitgeoefend en 𝑇2 − 𝑇1 is de verandering van de totale kinetische energie van het systeem. Deze totale
kinetische energie is de som van de kinetische energieën van beide elementen van het systeem. Een bijkomend
voordeel van het gebruik van deze arbeid-energiemethode is dat we samengestelde constructies niet uit elkaar
hoeven te halen.
2.2.3 POTENTIËLE ENERGIE
De GRAVITATIONELE POTENTIËLE ENERGIE, 𝑉𝑔 , van een deeltje is gedefinieerd als de arbeid die moet
worden verricht om een deeltje over een hoogte ℎ omhoog te brengen tegen het gravitatieveld in.
𝑉𝑔 = 𝑚𝑔ℎ
Wanneer een deeltje dus van een bepaald niveau ℎ = ℎ1 naar een hoger niveau ℎ = ℎ2 wordt gebracht, dan is
de verandering in potentiele energie
∆𝑉𝑔 = 𝑚𝑔(ℎ2 − ℎ1 ) = 𝑚𝑔∆ℎ
Ondertussen verricht gravitatiekracht een arbeid ter grootte van −𝑚𝑔∆ℎ uit op het deeltje.
Naast gravitationele potentiële energie bestaat er ook ELASTISCHE POTENTIELE ENERGIE, 𝑉𝑒 . Dit is de
energie die wordt verricht om een veer te vervormen en die wordt opgeslagen in de veer.
𝑥
1
𝑉𝑒 = ∫ 𝑘𝑥 𝑑𝑥 = 𝑘𝑥 2
2
0
waarin 𝑘 staat voor de veerstijfheid en 𝑥 voor de uitrekking. Wanneer een veer wordt uitgerekt van 𝑥1 naar 𝑥2 ,
dan is de verandering in potentiële energie
1
∆𝑉𝑒 = 𝑘(𝑥22 − 𝑥12 )
2
De arbeid die de veer uitoefent op het lichaam waar het aan trekt is gelijk aan −∆𝑉𝑒 aangezien de kracht die de
veer uitoefent op het lichaam even groot en tegengesteld is aan de kracht die het lichaam uitoefent op de veer.
2.2.4 BEHOUD VAN ENERGIE
Alle uitwendige krachten leiden tot een toename of afname van de energie. Dit vinden we terug in de WET
VAN BEHOUD VAN ENERGIE.
𝑈1−2 = ∆𝑇 + ∆𝑉𝑔 + ∆𝑉𝑒 + ∆𝑉(𝑎𝑛𝑑𝑒𝑟𝑒)
Hierin staat 𝑈1−2 voor de arbeid verricht door uitwendige krachten. Uitwendige krachten zijn alleen nietconservatieve krachten zoals wrijving of aandrijving. De zwaartekracht en veerkracht tellen niet als uitwendige
kracht.
De arbeid die wordt verricht ten opzichte van een gravitatie- of veerkracht is enkel afhankelijk van de nettoverandering van de positie en niet van het gevolgde pad. Krachten met deze eigenschap worden geassocieerd
met een CONSERVATIEF KRACHTVELD.
Stel je een krachtveld voor waarin de kracht 𝐅 een functie is van de coördinaten
𝑥, 𝑦 en 𝑧, zoals in Figuur 10. De arbeid die wordt verricht door 𝐅 gedurende een
verplaatsing 𝑑𝑟 vanuit zijn aangrijpingspunt is 𝑑𝑈 = 𝐅 ∙ 𝑑𝐫. De totale arbeid die
wordt verricht is
𝑈 = ∫ 𝐅 ∙ 𝑑𝐫 = ∫(𝐹𝑥 𝑑𝑥 + 𝐹𝑦 𝑑𝑥 + 𝐹𝑧 𝑑𝑧)
De integraal ∫ 𝐅 ∙ 𝑑𝐫 is een lijnintegraal die, over het algemeen, afhankelijk is van
het gevolge pad tussen twee punten in de ruimte. Echter, wanneer 𝐅 ∙ 𝑑𝐫 een
Figuur 10: Conservatief
exacte differentiaal – 𝑑𝑉 is van een bepaalde scalaire functie 𝑉, dan geldt
krachtveld
𝑉2
𝑈1−2 = ∫ −𝑑𝑉 = −(𝑉2 − 𝑉1 )
𝑉1
Nu is 𝑈1−2 enkel afhankelijk van de eindpunten van de beweging en dus onafhankelijk van het gevolgde pad.
Wanneer 𝑉 bestaat, dan geldt voor 𝑑𝑉
𝜕𝑉
𝜕𝑉
𝜕𝑣
𝑑𝑉 =
𝑑𝑥 +
𝑑𝑦 +
𝑑𝑧
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑧
Omdat we gesteld hebben dat 𝐅 ∙ 𝑑𝐫 = 𝐹𝑥 𝑑𝑥 + 𝐹𝑦 𝑑𝑥 + 𝐹𝑧 𝑑𝑧 = −𝑑𝑉 volgt uit bovenstaande vergeljiking
𝜕𝑉
𝜕𝑥
De krachtvector kan nu worden geschreven als
𝐹𝑥 = −
𝐹𝑦 = −
𝜕𝑉
𝜕𝑦
𝐹𝑧 = −
𝜕𝑉
𝜕𝑧
𝐅 = −𝛁𝑉
waarin −𝛁𝑉 staat voor de gradiënt van 𝑉.7
2.2.5 VERMOGEN
Het VERMOGEN, 𝑃, van een machine geeft aan hoeveel arbeid hij kan verrichten of hoeveel energie hij kan
leveren per seconde.
𝑈 𝑑𝑈 𝐅 ∙ 𝑑𝐫
𝑃= =
=
=𝐅∙𝐯=𝐌∙𝛚
𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
De eenheid van vermogen is die van arbeid (𝐽) gedeeld door die van tijd (𝑠), wat gelijk is aan Watt.
𝑃 = [𝐽⁄𝑠 ] = [𝑁𝑚⁄𝑠] = [𝑘𝑔𝑚2 ⁄𝑠 3 ] = [𝑊]
2.3 IMPULS EN IMPULSMOMENT
2.3.1 IMPULS
We kijken naar de kromlijnige beweging van een massapunt met
massa 𝑚. De snelheid van het deeltje is 𝐯 = 𝐫̇ en evenwijdig aan
de raaklijn van de beweging. De resultante ∑ 𝐹 van alle krachten
op 𝑚 is in de richting van de versnelling 𝐯̇ . Er geldt
𝑑
∑ 𝐅 = 𝑚𝐯̇ = (𝑚𝐯) = 𝐆̇
𝑑𝑡
Hierin is het product van de massa en de snelheid gedefinieerd als
de IMPULS 𝐆 = 𝑚𝐯. De resultante van alle krachten die werken
op een deeltje is gelijk aan de verandering van de impuls over de
tijd. De eenheid van impuls is 𝑁 ∙ 𝑠 = 𝑘𝑔 ∙ 𝑚⁄𝑠.
Bovenstaande vergelijking is een vectorvergelijking. De richting van
de resulterende kracht is gelijk aan de richting van de verandering Figuur 11: Impuls van een kromlijnige beweging
van de impuls. We kunnen dit ontbinden.
∑ 𝐹𝑥 = 𝐺̇𝑥
∑ 𝐹𝑦 = 𝐺̇𝑦
∑ 𝐹𝑧 = 𝐺̇𝑧
De verandering van de impuls kunnen we bepalen door ∑ 𝐅 te vermenigvuldigen te integreren naar de tijd.
𝑡2
∫ ∑ 𝐅 𝑑𝑡 = 𝐆2 − 𝐆1 = ∆𝐆
𝑡1
Hierin is 𝐆1 = 𝑚𝐯1 de impuls op tijdstip 𝑡1 en 𝐆2 = 𝑚𝐯2 de impuls op tijdstip 𝑡2 . Ook bovenstaande
vergelijking kunnen we ontbinden.
𝑡2
∫ ∑ 𝐹𝑥 𝑑𝑡 = 𝑚 𝑣𝑥,2 − 𝑚 𝑣𝑥,1
𝑡1
𝑡2
∫ ∑ 𝐹𝑦 𝑑𝑡 = 𝑚 𝑣𝑦,2 − 𝑚 𝑣𝑦,1
𝑡1
𝑡2
∫ ∑ 𝐹𝑧 𝑑𝑡 = 𝑚 𝑣𝑧,2 − 𝑚 𝑣𝑧,1
𝑡1
Een IMPULSIEVE KRACHT is een hele grote kracht van hele korte duur. We nemen aan dat impulsieve
𝑡
krachten constant zijn over de tijd dat waardoor ze buiten de integraal ∫𝑡 2 ∑ 𝐅 𝑑𝑡 kunnen worden gehaald.
1
Tegelijkertijd nemen we aan dat NIET-IMPULSIEVE KRACHTEN verwaarloosd kunnen worden ten opzichte
van impulsieve krachten. Uiteraard zijn er ook gevallen waarbij de kracht wel verandert over de tijd en we hem
moeten integreren.
7
De gradiënt staat voor de volgende vectorbewerking 𝛁 = 𝐢
𝜕
𝜕𝑥
+𝐣
𝜕
𝑑𝑦
+𝐤
𝜕
𝜕𝑧
.
Wanneer de resulterende kracht op een deeltje nul is gedurende een
tijdsinterval, dan volgt uit de vergelijking ∑ 𝐅 = 𝐆̇ dat de impuls constant blijft.
We zeggen dat de impuls behouden blijft. Het is ook mogelijk dat de impuls
enkel in één richting behouden blijft.
Stel je nu een situatie voor waarin twee massapunten 𝑎 en 𝑏 een kracht op
elkaar uitwerken gedurende een bepaalde tijd. Wanneer de interactiekrachten
𝐹𝐴𝐵 en 𝐹𝐵𝐴 = −𝐹𝐴𝐵 de enige krachten zijn op de deeltjes gedurende het
interval, dan geldt
Figuur 12: Massapunten met
2
2
∫ 𝐅𝐴𝐵 𝑑𝑡 = 𝐆𝐴,2 − 𝐆𝐴,1
1
en
∫ 𝐅𝐵𝐴 𝑑𝑡 = 𝐆𝐵,2 − 𝐆𝐵,1
interactie
1
Wanneer we deze vergelijkingen optellen volgt
(𝐆𝐴,2 + 𝐆𝐵,2 ) − (𝐆𝐴,1 + 𝐆𝐵,1 ) = 𝟎
De verandering van de impuls van deeltje 𝑎 is negatief aan de verandering van de impuls van deeltje 𝑏.
∆𝐆𝐴 = −∆𝐆𝐵
Hieruit volgt dat de totale impuls, 𝐆 = 𝐆𝐴 + 𝐆𝐵 = ∑ 𝐆𝑖 , constant is, oftewel
∆𝐆 = 0
of
𝐆𝑣𝑜𝑜𝑟 = 𝐆𝑛𝑎
Deze vergelijking drukt de WET VAN BEHOUD VAN IMPULS uit.
Een belangrijke toepassing van de wet van behoud van impuls zijn botsingen. We spreken van een
VOLKOMEN ONELASTISCHE BOTSING wanneer beide lichamen na de botsing als één voorwerp verdergaan,
denk aan twee auto’s die hard tegen elkaar botsen. Hierbij gaat heel veel energie verloren aan vervormingen,
warmteproductie, geluid, e.d. Bij een VOLKOMEN ELASTISCHE BOTSING is er geen energieverlies. Er is geen
vervorming of iets dergelijks, de energie wordt doorgegeven.
De impuls van een deeltje is 𝐆𝑖 = 𝑚𝑖 𝐯𝑖 waarin 𝐯𝑖 = 𝐫̇𝑖 de snelheid van 𝑚𝑖 is. De impuls van een massasysteem,
𝐆, is de som van de impuls van alle deeltjes.
𝐆 = ∑ 𝑚𝑖 𝐯𝑖
De snelheid van een deeltje 𝑖 kunnen we schrijven als
𝐯𝑖 = 𝐯̅ + 𝛒̇ 𝑖
waarin 𝐯̅ de snelheid is van massamiddelpunt 𝐺 en 𝛒̇ 𝑖 de snelheid van 𝑚𝑖 ten opzichte van 𝐺. Aangezien 𝛒̇ 𝑖
wordt gemeten vanuit het massamiddelpunt, geldt ∑ 𝑚𝑖 𝛒𝑖 = 𝟎. Wanneer we dit allemaal invullen in de
vergelijking voor 𝐆 volgt
𝑑
𝑑
𝐆 = ∑ 𝑚𝑖 𝐯𝑖 = ∑ 𝑚𝑖 (𝐯̅ + 𝛒̇ 𝑖 ) = ∑ 𝑚𝑖 𝐯̅ + ∑ 𝑚𝑖 𝛒𝑖 = 𝐯̅ ∑ 𝑚𝑖 + (𝟎) = 𝑚𝐯̅
𝑑𝑡
𝑑𝑡
Oftewel, de impuls van een systeem met constante massa is het product van de massa en de snelheid van het
massamiddelpunt. De tijdsafgeleide van 𝐆 is 𝑚𝐯̅̇ = 𝑚𝐚̅, wat gelijk is aan de resulterende externe kracht die
werkt op het systeem.
∑ 𝐅 = 𝑚𝐚̅ = 𝑚𝐯̅̇ = 𝐆̇
Dit is dezelfde vergelijking als we hadden voor een massapunt.
2.3.2 IMPULSMOMENT
Het IMPULSMOMENT , 𝐇0 , van 𝑃 is het moment van de impulsvector 𝑚𝐯 ten opzichte van de oorsprong 𝑂 en
wordt bepaald door middel van het volgende uitproduct8
𝐇0 = 𝐫 × 𝑚𝐯
𝑣𝑥
𝑥
Hierin is 𝐫 de positievector (𝑦) en 𝐯 de snelheidsvector (𝑣𝑦 ) . Wanneer we bovenstaande vergelijking
𝑣𝑧
𝑧
uitwerken volgt
8
Vergelijk met de vergelijking voor het moment van een kracht: 𝐌 = 𝐫 × 𝐅
𝑦𝑣𝑧 − 𝑧𝑣𝑦
𝐢
𝐣
𝐤
𝐇0 = 𝑚(𝐫 × 𝐯) = 𝑚 | 𝑥 𝑦 𝑧 | = 𝑚 ( 𝑧𝑣𝑥 − 𝑥𝑣𝑧 )
𝑥𝑣𝑦 − 𝑦𝑣𝑥
𝑣𝑥 𝑣𝑦 𝑣𝑧
= 𝑚(𝑦𝑣𝑧 − 𝑧𝑣𝑦 )𝐢 + 𝑚(𝑧𝑣𝑥 − 𝑥𝑣𝑧 )𝐣 + 𝑚(𝑥𝑣𝑦 − 𝑦𝑣𝑥 )𝐤
Oftewel
𝐻𝑥 = 𝑚(𝑣𝑧 𝑦 − 𝑣𝑦 𝑧)
𝐻𝑦 = 𝑚(𝑣𝑥 𝑧 − 𝑣𝑧 𝑥)
𝐻𝑧 = 𝑚(𝑣𝑦 𝑥 − 𝑣𝑥 𝑦)
In een 2D-situatie is het impulsmoment simpeler te berekenen. De grootte van
het impulsmoment is namelijk de grootte van de impuls, 𝑚𝑣, maal de grootte
van de arm, de component van𝐫 loodrecht op 𝑚𝑣. Dit is weergegeven in Figuur
13.
De eenheid van impulsmoment is 𝑘𝑔 𝑚2 ⁄𝑠 = 𝑁𝑚𝑠.
Figuur 13: Impulsmoment in 2D
Nu kunnen we het impulsmoment koppelen aan het moment van de krachten
op het deeltje 𝑃. Wanneer ∑ 𝐹 staat voor de resultante van alle krachten die werken op het deeltje 𝑃, dan
geldt voor het moment ten opzichte van de oorsprong 𝑂
∑ 𝑴0 = 𝐫 × ∑ 𝐅 = 𝐫 × 𝑚𝐯̇
Wanneer we de vergelijking voor het impulsmoment, 𝐇0 = 𝐫 × 𝑚𝐯, differentiëren naar de tijd, volgt
𝐇̇0 = 𝐫̇ × 𝑚𝐯 + 𝐫 × 𝑚𝐯̇ = 𝐯 × 𝑚𝐯 + 𝐫 × 𝑚𝐯̇
De term 𝐯 × 𝑚𝐯 is nul aangezien het uitproduct van parallelle vectoren gelijk is aan nul. Dit betekent
∑ 𝑴0 = 𝐇̇0
Oftewel
∑ 𝑀𝑂𝑥 = 𝐻̇𝑂𝑥
∑ 𝑀𝑂𝑦 = 𝐻̇𝑂𝑦
∑ 𝑀𝑂𝑧 = 𝐻̇𝑂𝑧
De vergelijking ∑ 𝑴0 = 𝐇̇0 kunnen we weer integreren naar de tijd door beide kanten te vermenigvuldigen
met 𝑑𝑡 en vervolgens te integreren.
∑ 𝑴0 𝑑𝑡 = 𝑑𝐇0
𝑡2
∫ ∑ 𝑴0 𝑑𝑡 = (𝐇0 )2 − (𝐇0 )1 = ∆𝐇0
𝑡1
waarin (𝐇0 )2 = 𝐫2 × 𝑚𝐯2 en (𝐇0 )1 = 𝐫1 × 𝑚𝐯1 .
Wanneer het resulterende moment ten opzichte van 𝑂 dat werkt op een deeltje nul is gedurende een
tijdsinterval, dan volgt uit de vergelijking ∑ 𝑴0 = 𝐇̇0 dat het impulsmoment constant blijft. We zeggen dat het
impulsmoment behouden blijft. Het is ook mogelijk dat het impulsmoment enkel in één richting behouden
blijft.
Stel je nu een situatie voor waarin twee massapunten 𝑎 en 𝑏 een kracht op elkaar uitwerken gedurende een
bepaalde tijd. Wanneer de interactiekrachten 𝐹𝐴𝐵 en 𝐹𝐵𝐴 = −𝐹𝐴𝐵 de enige krachten zijn op de deeltjes
gedurende het interval, dan volgt dat de momenten van deze krachten ten opzichte van een punt 𝑂 (dat niet
op de werklijn van één van beide krachten ligt) even groot en tegengesteld zijn. Oftewel, ∑ 𝑴0 = 0. Hieruit
volgt
∆𝐻𝑎 + ∆𝐻𝑏 = 0
Het totale impulsmoment van het systeem blijft constant gedurende het interval.
(𝐇𝑂 )𝑣𝑜𝑜𝑟 = (𝐇𝑂 )𝑛𝑎
∆𝐇0 = 0
of
Deze vergelijking drukt de WET VAN BEHOUD VAN IMPULSMOMENT uit.
Het impulsmoment van een massasysteem ten opzichte van een vast punt 𝑂, 𝐇𝑂 , is gedefinieerd als de som
van de momenten van de impulsen ten opzichte van 𝑂 van alle deeltjes van het systeem.
𝐇0 = ∑(𝐫𝑖 × 𝑚𝑖 𝐯𝑖 )
De tijdsafgeleide hiervan is
𝐇̇𝑂 = ∑(𝐫̇𝑖 × 𝑚𝑖 𝐯𝑖 ) + ∑(𝐫𝑖 × 𝑚𝑖 𝐯̇ 𝑖 )
De eerste term hiervan is gelijk aan nul aangezien het uitproduct van twee parallelle vectoren gelijk is aan nul.
De tweede term ∑(𝐫𝑖 × 𝑚𝑖 𝐚𝑖 ) = ∑(𝐫𝑖 × 𝐅𝑖 ) is de som van de momenten ten opzichte van 𝑂 van alle krachten
die werken op de deeltjes van het systeem, oftewel ∑ 𝐌𝑂 .
∑ 𝐌𝑂 = ∑(𝐫𝑖 × 𝐅𝑖 ) = ∑(𝐫𝑖 × 𝑚𝑖 𝐚𝑖 ) = 𝐇̇𝑂
Dit is opnieuw dezelfde vergelijking als we hadden voor een massapunt.
3 KINEMATICA VAN STARRE LICHAMEN
Een STAR LICHAAM is een systeem van deeltjes waarbij de afstand tussen de deeltjes
onveranderd blijft. Wanneer de positie van elk deeltje van zo’n lichaam wordt
vastgelegd door middel van een positievector ten opzichte van referentieassen die
mee bewegen en mee roteren met het lichaam, dan verandert deze positievector niet.
Deze aanname is alleen geldig wanneer de bewegingen in verband met de
veranderingen van de vorm erg klein zijn met de bewegingen van het lichaam als
geheel.
Een star lichaam ondervindt een vlakbeweging wanneer alle delen van het lichaam in
parallelle vlakken bewegen. Over het algemeen kiezen we als bewegingsvlak het vlak
dat het massamiddelpunt bevat. We benaderen het lichaam als een dunne plaat.
We onderscheiden drie typen vlakbeweging (zie ook Figuur 14):
 Translatie: Elke beweging waarbij elke lijn in het lichaam parallel blijft ten
opzichte van zijn originele positie.
Bij rechtlijnige translatie bewegen alle punten van het lichaam in parallelle
rechte lijnen. Bij kromlijnige translatie bewegen alle punten via congruente
krommen. Omdat alle punten dezelfde beweging ondervinden, is de
beweging van het lichaam compleet gespecificeerd door de beweging van
een punt en kan het lichaam benaderd worden als een punt.
 Rotatie om een vaste as: Elke beweging waarbij alle deeltjes van het lichaam

in cirkelvormige paden rondom de rotatie-as bewegen. Alle lijnen loodrecht
op de rotatie-as roteren met dezelfde hoek in dezelfde tijd.
Figuur 14: Verschillende typen
vlakbewegingen van starre
Algemene vlakbeweging: Elke combinatie van translatie en rotatie.
Analyse van de vlakbeweging van starre lichamen kan uitgevoerd worden door de
directe verplaatsing en de tijdsafgeleiden daarvan te berekenen of door de principes
van relatieve beweging te gebruiken.
lichamen: v.b.n.b. rechtlijnige
translatie, kromlijnige translatie,
rotatie om een vaste as en
algemene vlakbeweging
3.1 ROTATIE
De rotatie van een vast lichaam wordt beschreven door een hoekbeweging. Alle
lijnen op een vast lichaam hebben dezelfde hoekverplaatsing, dezelfde snelheid en
dezelfde versnelling. De snelheidsvector 𝐫̇ staat bij rotatie altijd loodrecht op de
positievector 𝐫. Dit volgt uit de definiëring van het inproduct.
𝐫 ∙ 𝐫 = |𝐫|2 = constant
𝑑
(𝐫 ∙ 𝐫) = 2𝐫 ∙ 𝐫̇ = 0
𝑑𝑡
Wanneer het inproduct van twee vectoren nul is, staan deze vectoren per definitie
loodrecht op elkaar.
De hoeksnelheid 𝜔 en de hoekversnelling 𝛼 van een vast lichaam in een rotatie in
het vlak zijn, respectievelijk, de eerste en tweede tijdsafgeleide van het
hoekpositiecoördinaat 𝜃.
𝜔=
𝑑𝜃
= 𝜃̇
𝑑𝑡
Figuur 15: De positie- en
snelheidsvector van een
rotatie om een vast punt
𝑑𝜔 𝑑 2 𝜃
= 2 = 𝜃̈
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝜔 𝑑𝜔 = 𝛼 𝑑𝜃 𝑜𝑓 𝜃̇ 𝑑𝜃̇ = 𝜃̈ 𝑑𝜃
In elk van deze relaties is de positieve richting van 𝜔 en 𝛼 dezelfde als die van 𝜃. 9
𝛼=
Wanneer er sprake is van een constante hoekversnelling, kunnen we gemakkelijk vergelijkingen voor 𝜔 en 𝜃
afleiden. Wanneer we de vergelijking 𝑑𝜔 = 𝛼 𝑑𝑡 integreren, volgt voor 𝜔
𝜔 = 𝜔0 + 𝑎𝑡
Wanneer we nu de vergelijking 𝑑𝜃 = 𝜔 𝑑𝑡 integreren, volgt voor 𝜃
𝜃 = 𝜃0 + 𝜔𝑡 = 𝜃0 + 𝜔0 𝑡 + 𝑎𝑡 2
Wanneer een star lichaam roteert om een vaste as, roteren alle punten die niet op deze as liggen in
concentrische cirkels om de vaste as, zoals weergegeven in Figuur 16. Het verband tussen de hoeksnelheid en
de lineaire snelheid wordt gegeven door de formule
𝑣 = 𝑟𝜔
De snelheidsvector is altijd in tangentiële richting, oftewel 𝑣 = 𝑣𝜃 . We kunnen de
snelheid ook ontbinden in 𝑥- en 𝑦-componenten.
𝑣𝑥 = −𝜔𝑦
𝑣𝑦 = 𝜔𝑥
De tangentiële en normaalcomponent van de versnelling kunnen op basis van de
afleiding in paragraaf 1.2.2. worden afgeleid.
𝑣2
𝑎𝑛 = 𝑟𝜔2 =
= 𝑣𝜔
𝑟
𝑎𝑡 = 𝑟𝛼
De formules voor de snelheid en de versnelling kunnen ook worden gegeven door Figuur 16: De
middel van uitproducten van vectoren. De hoeksnelheid 𝛚 wordt weergegeven versnellingscomponenten
loodrecht op het rotatievlak. De oriëntatie van deze vector kan worden bepaald van een rotatie om een
vast punt
door middel van de rechterhandregel. De vector 𝐯 is het uitproduct van 𝛚 en 𝐫.
𝐯 = 𝐫̇ = 𝛚 × 𝐫
De volgorde is hierbij van belang. 𝐫 × 𝛚 = −𝐯. De versnelling wordt gevonden door het uitproduct van 𝐯 te
differentiëren.
𝐚 = 𝐯̇ = 𝛚 × 𝐫̇ + 𝛚̇ × 𝐫 = 𝛚 × (𝛚 × 𝐫) + 𝛚̇ × 𝐫 = 𝛚 × 𝐯 + 𝛂 × 𝐫
Hierin staat 𝛂 = 𝛚̇ voor de hoekversnelling van het lichaam. De twee termen staan voor de tangentiële en
normaalcomponent van de versnelling.
𝐚𝒏 = 𝛚 × 𝐯 = 𝛚 × (𝛚 × 𝐫)
𝐚𝑡 = 𝛂 × 𝐫
Voor de normaalcomponent kan, indien 𝜔 loodrecht staat op 𝑟 , worden
geschreven als
𝐚𝑛 = 𝛚 × (𝛚 × 𝐫) = 𝜔2 𝐫
Voor de grootte van beide vectoren geldt
𝑎𝑛 = −𝑎𝑟 = 𝜔2 𝑟
𝑎𝑡 = 𝑎𝜃 = 𝛼𝑟
We kunnen de versnellingsvector ook ontbinden in 𝑥- en 𝑦-richitng.
𝑎𝑥 = −𝜔2 𝑥 − 𝛼𝑦
𝑎𝑦 = −𝜔2 𝑦 + 𝛼𝑥
3.2 ABSOLUTE BEWEGING
Bij een absolute-bewegingsanalyse maak je gebruik van de geometrische relaties Figuur 17: Rotatie van punt A
die de configuratie van het lichaam aangeven. Het gaat hierbij om lineaire en gemeten als absolute bewegen
t.o.v. een ander punt dan het
draaipunt
9
In het geval van een driedimensionale beweging is het mogelijk dat de hoeksnelheidsvector 𝛚 zowel van richting als van
grootte verandert. Wanneer dit het geval is, is de hoekversnellingsvector 𝛂 niet langer in dezelfde richting als 𝛚.
hoekvariabelen. Door hiervan de eerste en tweede tijdsafgeleide te nemen, vinden we de snelheid en de
versnelling.
De positie van punt A in Figuur 17 wordt gegeven door de vectoren 𝑥 en 𝑦.
𝑥 = 𝑥0 + 𝑟 cos 𝜃
𝑦 = 𝑦0 + 𝑟 sin 𝜃
De snelheid en de versnelling van punt A kunnen bepaald worden door bovenstaande vergelijkingen te
differentiëren.
𝑥̇ = 𝑥̇ 0 − 𝑟𝜃̇ sin 𝜃
𝑦̇ = 𝑦̇ 0 + 𝑟𝜃̇ cos 𝜃
𝑥̈ = 𝑥̈ 0 − 𝑟𝜃̈ sin 𝜃 − 𝑟𝜃̇ 2 cos 𝜃 = 𝑥̈ 0 − 𝛼𝑦𝑟 − 𝜔2 𝑥𝑟
𝑦̈ = 𝑦̈ 0 + 𝑟𝜃̈ cos 𝜃 − 𝑟𝜃̇ 2 sin 𝜃 = 𝑦̈ 0 + 𝛼𝑥𝑟 − 𝜔2 𝑦𝑟
3.3 RELATIEVE BEWEGING
3.3.1 RELATIEVE SNEL HEID
Problemen met starre lichamen kun je behalve door absolute bewegingen te beschrijven ook oplossen door
gebruik te maken van het principe van relatieve beweging. Hierbij geldt dat de snelheid van een punt A ten
opzichte van een punt O gelijk is aan de snelheid van punt O plus de snelheid van punt A ten opzichte van punt
O.
𝐯𝐴 = 𝐯0 + 𝐯𝐴⁄0
Wanneer we twee punten O en A kiezen op hetzelfde starre lichaam, dan moet de beweging van het ene punt
ten opzichte van het andere punt een cirkelbeweging zijn omdat de radiale afstand tussen beide punten niet
verandert. Dit concept wordt weergegeven in Figuur 18. Een star lichaam verplaatst zich in het vlak van positie
OA naar positie O’A’. Deze beweging kan worden opgedeeld in twee bewegingen. Eerst transleert het lichaam
van positie OA naar de parallelle positie O’A’’. Vervolgens roteert het lichaam om punt O’ naar positie O’A’.
Figuur 18: Relatieve beweging van punt A ten opzichte van punt O
Figuur 19 weergeeft de verplaatsing van positie OA naar positie O’A’ nog
exacter. Hierin is te zien dat de totale verplaatsing van A na tijdstap ∆𝑡 gelijk is
aan
∆𝐫𝑎 = ∆𝐫0 + ∆𝐫𝐴⁄0
waarin ∆𝐫𝐴⁄0 gelijk is aan 𝑟∆𝜃 wanneer ∆𝜃 nadert naar nul. Wanneer we de
bovenstaande vergelijking delen door ∆𝑡 en vervolgens de limiet hier nemen,
krijgen we de vergelijking
𝐯𝐴 = 𝐯0 + 𝐯𝐴⁄0
waarin
𝐯𝐴/0 = 𝛚 × 𝐫𝐴⁄0
Figuur 19: Relatieve verplaatsing van punt A
t.o.v. punt O
Hierboven hebben we de snelheid van een punt in een star lichaam bepaald door de relatieve snelheid als
gevolg van rotatie om een bepaald referentiepunt op te tellen bij de translatie van dit referentiepunt. Wanneer
we een referentiepunt kiezen dat zelf niet beweegt, dan scheelt dat rekenstappen. Het lichaam draait om een
as, loodrecht op het bewegingsvlak, door dit punt. Dit punt noemen we de SNELHEIDSPOOL.
Wanneer we de bewegingsrichting van twee punten op een lichaam
weten, kunnen we de snelheidspool bepalen. Wanneer er een punt is
ten opzichte waarvan A een cirkelvormige beweging uitvoert, dan moet
dit punt in de lijn loodrecht op 𝐯𝐴 door A liggen. Hetzelfde geldt voor O.
Het kruispunt van deze beide lijnen, punt C, voldoet in dit geval aan de
eisen van een snelheidspool. Punt C kan zowel binnen als buiten het
lichaam liggen.
Wanneer we nu ook de grootte van de snelheid van één van de punten
weten, zeg 𝑣𝑂 , dan kan de hoeksnelheid van het lichaam 𝜔, gemakkelijk Figuur 20: Rotatie om snelheidspool C
bepaald worden.
𝑣𝑂
𝜔=
𝑟𝑂
waarin 𝑟𝑂 de afstand van de snelheidspool tot punt O is. Hieruit kan de grootte van de snelheid van het andere
punt, in dit geval 𝑣𝐴 , bepaald worden.
𝑣𝐴 = 𝑟𝐴 𝜔
Wanneer we beide formules samenvoegen, krijgen we
𝑟𝐴
𝑣𝐴 = 𝑣𝑂
𝑟𝑂
Wanneer we de snelheidspool en de grootte van de snelheid van één punt in het lichaam weten, dan kunnen
we dus direct de grootte en richting van de snelheid van alle punten in het lichaam bepalen.
De locatie van de snelheidspool verandert wanneer de positie van het lichaam verandert. De snelheid in het
punt is nul, maar de versnelling is dat niet. Daarom kan de snelheidspool niet gebruikt worden als
versnellingspool.
3.3.2 RELATIEVE VERSNELLING
Wanneer we de vergelijking 𝐯𝐴 = 𝐯0 + 𝐯𝐴⁄0 differentiëren, vinden we de
volgende vergelijking voor de relatieve versnelling
𝐚𝐴 = 𝐚𝑂 + 𝐚𝐴⁄𝑂
Oftewel, de versnelling van een punt A is gelijk aan de versnelling van punt O
plus de relatieve versnelling van punt A ten opzichte van punt O
Wanneer we twee punten O en A kiezen op hetzelfde starre lichaam, dan moet
de beweging van het ene punt ten opzichte van het andere punt een
cirkelbeweging zijn omdat de radiale afstand tussen beide punten niet
verandert. De relatieve beweging van punt A ten opzichte van punt O is Figuur 21: Relatieve versnelling van
weergegeven in Figuur 21. De relatieve versnellingsterm heeft zowel een A
normaalcomponent als een tangentiële component, waarvan de eerste wordt
veroorzaakt door de verandering van de richting en de tweede door de verandering van de grootte van 𝐯.
Oftewel
𝐚𝐴 = 𝐚𝑂 + (𝐚𝐴⁄𝑂 )𝑛 + (𝐚𝐴⁄𝑂 )𝑡
Hierin is de grootte van de componenten van de relatieve versnelling
𝑣𝐴2⁄𝑂
(𝑎𝐴⁄𝑂 )𝑛 =
= 𝑟𝜔2
𝑟
(𝑎𝐴⁄𝑂 )𝑡 = 𝑣̇𝐴/𝑂 = 𝑟𝛼
In vectornotatie zijn deze componenten
(𝐚𝐴⁄𝑂 )𝑛 = 𝛚 × (𝛚 × 𝐫)
(𝐚𝐴⁄𝑂 )𝑡 = 𝛂 × 𝐫
De som van deze vectoren is de relatieve versnellingsvector .
𝐚𝐴⁄𝑂 = 𝛚 × (𝛚 × 𝐫) + 𝛂 × 𝐫
3.3.3 RELATIEVE BEWEGING
3.3.3.1 RELATIEVE BEWEGING IN TANGENTIËLE EN NORMALE COÖRDINATEN
In alle bovenstaande gevallen zijn we uitgegaan van een niet-roterende
referentie-as om de relatieve snelheid en de relatieve versnelling te
bepalen. Nu gaan we een beweging beschrijven ten opzichte van een
roterende as. We nemen aan dat de punten A en O onafhankelijk van
elkaar kunnen bewegen. De beweging van A beschrijven we in het 𝑥-𝑦
stelsel waarvan de oorsprong zich bevindt in O. Dit stelsel roteert met een
hoeksnelheid 𝜔 = 𝜃̇. De absolute positievector van A (ten opzichte van
het X-Y stelsel) wordt gegeven door
𝐫𝐴 = 𝐫𝑂 + 𝐫𝐴⁄𝑂 = 𝐫𝑂 + (𝑥𝐢 + 𝑦𝐣)
Voordat we van de bovenstaande vergelijking de tijdsafgeleide kunnen
bepalen, moeten we de tijdsafgeleide van de eenheidsvectoren weten.
Wanneer de vectoren 𝐢 en 𝐣 in het 𝑥-𝑦 stelsel gedurende een tijdstap 𝑑𝑡
draaien om punt O, dan is de afgelegde hoek 𝑑𝜃 = 𝜔 𝑑𝑡. De verandering Figuur 22: Relatieve beweging van A ten
van 𝐢 is 𝑑𝐢. 𝑑𝐢 heeft de richting van 𝐣 en een grootte gelijk aan de hoek 𝑑𝜃 opzichte van O met snelheidsomponenten
maal de lengte van vector 𝐢, wat gelijk is aan 1. Oftewel, 𝑑𝐢 = 𝑑𝜃𝐣. Op
dezelfde manier kan 𝑑𝐣 worden afgeleid. 𝑑𝐣 wijst in de negatieve 𝑥-riching, zodat 𝑑𝐣 = −𝑑𝜃 𝐢. Wanneer we
beide vergelijkingen delen door 𝑑𝑡 levert dit
.
.
𝐢 = 𝜔𝐣 en 𝐣 = −𝜔𝐢
Verder weten we dat 𝛚 × 𝐢 = 𝜔𝐣 en 𝛚 × 𝐣 = −𝜔𝐢, waaruit volgt
.
.
𝐢 = 𝛚 × 𝐢 en 𝐣 = 𝛚 × 𝐣
Nu kunnen we 𝐫𝐴 = 𝐫𝑂 + 𝐫𝐴⁄𝑂 = 𝐫𝑂 + (𝑥𝐢 + 𝑦𝐣) differentiëren.
.
.
𝑑
𝐫̇𝐴 = 𝐫̇𝑂 + 𝐫̇ 𝐴⁄𝑂 = 𝐫̇𝑂 + (𝑥𝐢 + 𝑦𝐣) = 𝐫̇𝑂 + (𝑥 𝐢 + 𝑦𝐣) + (𝑥̇ 𝐢 + 𝑦̇ 𝐣)
𝑑𝑡
Met behulp van de eerder afgeleide tijdsafgeleiden van 𝐢 en 𝐣 kunnen we de tweede term als volgt herschrijven
.
.
𝑥 𝐢 + 𝑦𝐣 = 𝛚 × 𝑥𝐢 + 𝛚 × 𝑦𝐣 = 𝛚 × (𝑥𝐢 + 𝑦𝐣) = 𝛚 × 𝐫𝐴⁄𝑂
Aangezien 𝑥̇ en 𝑦̇ snelheidscomponenten zijn, kunnen we de term 𝑥̇ 𝐢 + 𝑦̇ 𝐣 schrijven als 𝐯𝑟𝑒𝑙 , de snelheid ten
opzichte van het 𝑥-𝑦 stelsel. De relatieve snelheidsvergelijking is nu
𝐯𝐴 = 𝐯𝑂 + 𝛚 × 𝐫𝐴⁄𝑂 + 𝐯𝑟𝑒𝑙
De term 𝛚 × 𝐫𝐴⁄𝑂 weergeeft het verschil tussen de relatieve versnellingen gemeten van de niet-roterende en
de roterende assen. De laatste twee termen vormen de relatieve snelheid van punt A ten opzichte van punt O.
We kunnen de snelheid van A ook meten ten opzichte van een punt P dat vast ligt in het 𝑥-𝑦 vlak. Punt P draait
om punt O en punt A beweegt ten opzichte van punt P. Op het punt van analyse vallen punt A en punt P
samen. We schrijven dan voor de snelheidsvector van A
𝐯𝐴 = 𝐯𝑂 + 𝐯𝑃⁄𝑂 + 𝐯𝐴⁄𝑃
De relatieve versnelling kunnen we bepalen door de vergelijking 𝐯𝐴 = 𝐯𝑂 + 𝛚 ×
𝐫𝐴⁄𝑂 + 𝐯𝑟𝑒𝑙 te differentiëren.
𝐚𝐴 = 𝐚𝑂 + 𝛚̇ × 𝐫𝐴⁄𝑂 + 𝛚 × 𝐫̇ 𝐴⁄𝑂 + 𝐯̇ 𝑟𝑒𝑙
We kunnen 𝐫̇ 𝐴⁄𝑂 herschrijven precies zoals we dat hierboven gedaan hebben.
.
.
𝑑
𝐫̇ 𝐴⁄𝑂 = (𝑥𝐢 + 𝑦𝐣) = (𝑥𝐢 + 𝑦𝐣) + (𝑥̇ 𝐢 + 𝑦̇ 𝐣) = 𝛚 × 𝐫𝐴⁄𝑂 + 𝐯𝑟𝑒𝑙
𝑑𝑡
Hieruit volgt voor de derde term van de relatieve versnellingsvergelijking
𝛚 × 𝐫̇ 𝐴⁄𝑂 = 𝜔 × (𝛚 × 𝐫𝐴⁄𝑂 + 𝐯𝑟𝑒𝑙 ) = 𝛚 × (𝛚 × 𝐫) + 𝛚 × 𝐯𝑟𝑒𝑙
De vierde term van de formule voor 𝐚𝐴 , 𝐯̇ 𝑟𝑒𝑙 , kunnen we ook herschrijven.
.
.
𝑑
𝐯̇ 𝑟𝑒𝑙 = (𝑥̇ 𝐢 + 𝑦̇ 𝐣) = (𝑥̇ 𝐢 + 𝑦̇ 𝐣) + (𝑥̈ 𝐢 + 𝑦̈ 𝐣) = 𝛚 × (𝑥̇ 𝐢 + 𝑦̇ 𝐣) + (𝑥̈ 𝐢 + 𝑦̈ 𝐣)
𝑑𝑡
Figuur 23: Relatieve beweging van A ten
= 𝛚 × 𝐯𝑟𝑒𝑙 + 𝐚𝑟𝑒𝑙
Wanneer we dit allemaal invullen in de relatieve versnellingsvergelijking krijgen opzichte van O met
versnellingscomponenten
we het volgende resultaat.
𝐚𝐴 = 𝐚𝑂 + 𝛚̇ × 𝐫𝐴⁄𝑂 + 𝛚 × (𝛚 × 𝐫𝐴⁄𝑂 ) + 𝛚 × 𝐯𝑟𝑒𝑙 + 𝛚 × 𝐯𝑟𝑒𝑙 + 𝐚𝑟𝑒𝑙
= 𝐚𝑂 + 𝛚̇ × 𝐫𝐴⁄𝑂 + 𝛚 × (𝛚 × 𝐫𝐴⁄𝑂 ) + 2𝛚 × 𝐯𝑟𝑒𝑙 + 𝐚𝑟𝑒𝑙
De termen 𝛚̇ × 𝐫𝐴⁄𝑂 en 𝛚 × (𝛚 × 𝐫𝐴⁄𝑂 ) staan respectievelijk voor de tangentiële en de normaalcomponent
van de versnelling 𝐚𝑃⁄𝑂 van het punt P in zijn cirkelbeweging om punt O. Punt P is niet willekeurig gekozen, het
is het ene punt dat in het roterende referentiestelsel ligt dat samenvalt met A op het moment van analyse. De
grootte van vector 𝛚̇ × 𝐫𝐴⁄𝑂 is 𝑟𝜃̈ = 𝑟𝛼 en de richting is evenwijdig aan de raaklijn aan de cirkel. De grootte
van vector 𝛚 × (𝛚 × 𝐫𝐴⁄𝑂 ) is 𝑟𝜔2 en de richting is van P naar O langs de straal van de cirkel. De versnelling van
A ten opzichte van het (roterende) 𝑥-𝑦 stelsel, 𝐚𝑟𝑒𝑙 , kan worden beschreven door middel van een tangentiële
en een normaalcomponent. De tangentiële component heeft grootte (𝑎𝑟𝑒𝑙 )𝑡 = 𝑠̈ , waarin 𝑠 de afstand langs het
2
⁄𝜌, waarin 𝜌 de krommingsstraal van het
pad naar A is. De normaalcomponent heeft grootte (𝑎𝑟𝑒𝑙 )𝑁 = 𝑣𝑟𝑒𝑙
pad gemeten in 𝑥-𝑦 is. Deze vector is altijd gericht naar het krommingsmiddelpunt. De laatste twee termen
vormen samen de versnelling van A ten opzichte van P, 𝐚𝐴⁄𝑃 .
We schrijven nogmaals de relatieve versnellingsvergelijking, nu in een net andere notatie.
𝐚𝐴 = 𝐚𝑂 + 𝛂 × 𝐫𝐴⁄𝑂 − 𝜔2 𝐫𝐴⁄𝑂 + 2𝛚 × 𝐯𝑟𝑒𝑙 + 𝐚𝑟𝑒𝑙
De eerste term, 𝐚𝑂 , is de sleepversnelling. De tweede term, 𝛂 × 𝐫𝐴⁄𝑂 , is de hoekversnelling. De derde term,
−𝜔2 𝐫𝐴⁄𝑂 , is de centripetale versnelling. De vierde term, 2𝛚 × 𝐯𝑟𝑒𝑙 , is de CORIOLIS VERSNELLING. Deze term
weergeeft het verschil tussen de versnelling van A ten opzichte van de niet-roterende en de roterende assen.
De richting is altijd loodrecht op de vector 𝐯𝑟𝑒𝑙 . De vijfde term, 𝐚𝑟𝑒𝑙 , is de relatieve versnelling.
3.3.3.2 RELATIEVE BEWEGING IN RECHTHOEKSCOÖRDINATEN
Je kunt de positie van A ook vastleggen door middel van
rechthoekscoördinaten. Wanneer we de relatieve beweging van A ten opzichte
van O in het 𝑥-𝑦 stelsel willen vastleggen, geldt voor de positievectoren ten
opzichte van het 𝑋-𝑌 stelsel
𝑋𝐴 = 𝑋𝑂 + 𝑥 cos 𝜃 − 𝑦 sin 𝜃
𝑌𝐴 = 𝑌𝑂 + 𝑥 sin 𝜃 + 𝑦 cos 𝜃
We krijgen de snelheid van A ten opzichte van het - stelsel door deze
vergelijkingen te differentiëren.
𝑋𝐴̇ = 𝑋̇𝑂 + 𝑥̇ cos 𝜃 − 𝑦̇ sin 𝜃 − 𝑥𝜔 sin 𝜃 − 𝑦𝜔 cos 𝜃
Figuur 24: Relatieve beweging van A ten
𝑌𝐴̇ = 𝑌𝑂̇ + 𝑥̇ sin 𝜃 + 𝑦̇ cos 𝜃 + 𝑥𝜔 cos 𝜃 − 𝑦𝜔 sin 𝜃
opzichte van O in rechthoekscoördinaten
De versnelling van A volgt wanneer we bovenstaande vergelijkingen nogmaals
differentiëren.
𝑋𝐴̈ = 𝑋̈𝑂 + 𝑥̈ cos 𝜃 − 𝑦̈ sin 𝜃 − 2𝑥̇ 𝜔 sin 𝜃 − 2𝑦̇ 𝜔 cos 𝜃 − 𝑥𝛼 sin 𝜃 − 𝑦𝛼 cos 𝜃 − 𝑥𝜔2 cos 𝜃 + 𝑦𝜔2 sin 𝜃
𝑌𝐴̈ = 𝑌𝑂̈ + 𝑥̈ sin 𝜃 + 𝑦̈ cos 𝜃 + 2𝑥̇ 𝜔 cos 𝜃 − 2𝑦̇ 𝜔 sin 𝜃 + 𝑥𝛼 cos 𝜃 − 𝑦𝛼 sin 𝜃 − 𝑥𝜔2 sin 𝜃 − 𝑦𝜔2 cos 𝜃
Hieruit blijkt dat het gebruik van rechthoekscoördinaten leidt tot veel schrijf- en rekenwerk. Tangentiële en
normale coördinaten zijn over het algemeen beter te gebruiken.
4 KINETICA VAN STARRE LICHAMEN
Dit hoofdstuk is op dezelfde manier opgebouwd als hoofdstuk 2. In de eerste paragraaf lossen we de kineticaproblemen op door directe toepassing van Newtons tweede wet, in de tweede paragraaf gebruiken we
arbeids- en energieprincipes en in de derde paragraaf impuls- en momentenmethodes.
4.1 KRACHT, MASSA EN VERSNELLING
In hoofdstuk 2 is uitgelegd dat wanneer een massapunt met massa 𝑚 wordt onderworpen aan de werking van
gelijktijdige krachten 𝐅1 , 𝐅2 , 𝐅3 , …, dan geldt voor de resulterende kracht
∑𝐅 = 𝑚𝐚
Ook is afgeleid dat voor het resulterend moment om het zwaartepunt 𝐺 geldt
∑𝐌𝐺 = 𝐇̇𝐺
Oftewel, het resulterende moment rondom het zwaartepunt van alle externe krachten op het lichaam is gelijk
aan de tijdsafgeleide van het impulsmoment.
Bij statica hebben we geleerd dat we een systeem van krachten die werken op een lichaam kunnen vervangen
door een resulterende kracht die aangrijpt in een gekozen punt plus een bijbehorend koppel. Op basis van dit
gegeven kunnen we een kineticaprobleem versimpelen door de externe krachten te vervangen door een
kracht-koppelsysteem waarvan de resulterende kracht aangrijpt in het zwaartepunt. Zie Figuur 25.
Figuur 25: Een VLS met het overeenkomstige kracht-koppelsysteem waarbij de resulterende kracht
aangrijpt in het zwaartepunt. Het derde plaatje geeft de bijbehorende versnellingen.
Het zwaartepunt 𝐺 van het lichaam in Figuur 26 heeft een versnelling 𝐚 en het
lichaam heeft een hoeksnelheid 𝜔 en een hoekversnelling 𝛼 om 𝐺 . 10 Het
impulsmoment rondom het zwaartepunt kan worden uitgedrukt als
𝐇0 = ∑(𝐫𝑖 × 𝑚𝑖 𝐯𝑖 )
Hierin is 𝐫𝐢 de positievector en 𝐯𝒊 = 𝐫̇𝑖 de snelheid van 𝑚𝑖 ten opzichte van 𝐺. 𝐯𝑖 = Figuur 26: VLS
𝛚 × 𝐫𝑖 , is een vector met grootte 𝑟𝑖 𝜔 in het vlak loodrecht op 𝐫𝑖 . Het uitproduct 𝐫𝑖 ×
𝐫̇𝑖 is dan een vector loodrecht op het 𝑥-𝑦 vlak in de richting van 𝛚, en de grootte is
𝑟𝑖2 𝜔. Hieruit volgt voor de grootte van 𝐇𝑂
𝐻𝑂 = ∑ 𝑟𝑖2 𝑚𝑖 𝜔 = 𝜔 ∑ 𝑟𝑖2 𝑚𝑖 = 𝜔 ∫ 𝑟 2 𝑑𝑚
Deze laatste integraal is gedefinieerd als het MASSATRAAGHEIDSMOMENT 𝐼 van het lichaam rondom de 𝑧as door O.
Het massatraagheidsmoment is een constante eigenschap van het lichaam. Het is een maat voor de
rotatietraagheid, de weerstand tegen verandering van de rotatiesnelheid als gevolg van de radiale verdeling
van massa rondom de 𝑧-as ten opzichte van O. Er geldt dus
𝐻𝑂 = 𝐼𝑂 𝜔
∑𝑀𝐺 = 𝐻̇𝐺 = 𝐼𝐺 𝜔̇ = 𝐼𝐺 𝛼
Met behulp van de formules ∑𝐅 = 𝑚𝐚𝐺 en ∑𝑀𝐺 = 𝐼𝐺 𝛼 kunnen we veel kineticaproblemen van starre lichamen
oplossen. We kunnen zowel gebruik maken van 𝑥-𝑦 coördinaten als 𝑛-𝑡 of 𝑟-𝜃 coördinaten. Het is bij het
gebruik van deze formules wel van groot belang dat altijd het zwaartepunt als referentiepunt wordt genomen.
Het moment om een willekeurig punt P is
∑ 𝐌𝑃 = 𝐌𝐺 + 𝐅 × 𝐫𝐺 ⁄𝑃
Hierboven is afgeleid dat 𝐌𝐺 = 𝐼𝐺 𝛼. Het uitproduct 𝐅 × 𝐫𝐺 ⁄𝑃 = 𝑚𝐚𝐺 × 𝐫𝐺 ⁄𝑃 is het moment rondom P met
grootte 𝑚𝑎𝑑, waarin 𝑑 de arm van de kracht is, oftewel de afstand van de werklijn van 𝑚𝐚 tot P. Hieruit volgt
∑ 𝑀𝑃 = 𝐼𝐺 𝛼 + 𝑚𝑎𝑑
Oftewel, het resulterend moment om P is de som van het resulterend moment om het zwaartepunt (𝐼𝛼) en de
resulterende kracht in het zwaartepunt (𝑚𝑎) maal de afstand van de werklijn van deze kracht tot P (𝑑). Dit is
weergegeven in Figuur 28.
10
We gebruiken scalaire notatie omdat de vectoren 𝜔 en 𝛼 allebei loodrecht op het vlak staan.
Figuur 28: Een krachtensysteem omgezet tot een systeem met een resulterende kracht in en een
zwaartepunt om het zwaartepunt
Wanneer we nu voor punt P het vaste punt O kiezen waaromheen het lichaam draait,
zoals afgebeeld in Figuur 27, krijgen we
∑ 𝑀𝑂 = 𝐼𝐺 𝛼 + 𝑚𝑎𝑑
waarin 𝑎 = 𝑑𝛼. Oftewel
∑ 𝑀𝑂 = (𝐼𝐺 + 𝑑 2 𝑚)𝛼
Uit de verschuivingsstelling volgt dat de term tussen haakjes gelijk is aan het
traagheidsmoment om punt O. Oftewel
∑ 𝑀𝑂 = 𝐼𝑂 𝛼
Figuur 27: Rotatie om
een vast punt
Voor drie standaard bewegingen, translatie, rotatie om een vaste as en algemene vlakbewegingen, kan nu op
basis van de standaard bewegingsvergelijkingen een overzicht van de volgende vergelijkingen worden
opgesteld:
 Translatie
Bij translatie is er geen hoekverdraaiing, het lichaam draait niet. 𝜔 en 𝛼 zijn beide 0. Voor de
basisvergelijkingen geldt
∑ 𝐅 = 𝑚𝐚𝐺
∑ 𝑀𝐺 = 𝐼𝐺 𝛼 = 0

Je kunt in plaats van de bovenstaande momentvergelijking ook op basis van het VLS het moment om
een willekeurig punt bepalen door alle krachten vermenigvuldigd met hun arm ten opzichte van dat
punt op te tellen. Je kunt hiervoor ieder punt kiezen, aangezien het moment om elk punt 0 is.
Rotatie om een vast punt
Eerder deze paragraaf is al afgeleid dat voor rotatie om een vast punt O geldt
∑ 𝐅 = 𝑚𝐚𝐺
∑ 𝑀𝑂 = 𝐼𝑂 𝛼

Onthoud dat de versnelling 𝐚𝐺 afgeleid kan worden van de hoekversnelling 𝛼 door deze te
vermenigvuldigen met de arm.
Algemene vlakbeweging
Een algemene vlakbeweging is een combinatie van een rotatie en een translatie. We gebruiken de
standaardvergelijkingen
∑ 𝐅 = 𝑚𝐚𝐺
∑ 𝑀𝐺 = 𝐼𝐺 𝛼
De eerste vergelijking kan worden opgesplitst in twee vergelijkingen in twee verschillende richtingen,
bijvoorbeeld 𝑥 en 𝑦.
∑ 𝐹𝑥 = 𝑚𝑎𝑥
∑ 𝐹𝑦 = 𝑚𝑎𝑦
We hebben nu drie vergelijkingen. In veel gevallen is dit niet voldoende om het probleem op te lossen
omdat er meer dan drie onbekenden zijn. Er zijn dan extra vergelijkingen nodig. In het geval van een
beperkte beweging kan een extra vergelijking worden gegeven door het verband tussen de
versnellingen in de verschillende richtingen. Voor een rollende beweging kan bovendien nog een extra
vergelijking worden opgesteld. Indien het lichaam zuiver rolt in 𝑥-richting, geldt
𝑎𝑥 = 𝛼𝑟
waarin 𝑟 de afstand tussen het rotatiepunt en het contactpunt met het oppervlak is. Wanneer het
lichaam slippend rolt, is er een wrijvingskracht in het contactpunt waarvoor geldt
𝐹𝑤 = 𝜇𝑁
4.2 ARBEID EN ENERGIE
Het grote voordeel van het gebruik van energievergelijkingen is dat je de verandering van de snelheid kunt
bepalen zonder eerst de versnelling te bepalen en deze te integreren.
4.2.1 ARBEID
Zoals in paragraaf 2.2.1 is beschreven geldt voor arbeid 𝑈
𝑈 = ∫ 𝐅 ∙ 𝑑𝐫 = ∫ (𝐹 cos 𝛼)𝑑𝑠
waarin 𝑑𝐫 de infinitesimale vectorverplaatsing is van het aangrijpingspunt van 𝐅,𝛼 de hoek tussen 𝐅 en de
richting van de verplaatsing en 𝑑𝑠 de grootte van de vectorverplaatsing 𝑑𝐫. Behalve door translatie wordt
echter ook arbeid verricht door rotatie. Wanneer op een lichaam enkel een koppel 𝑀 wordt uitgevoerd, en er
dus geen resulterende kracht is, geldt
𝑈 = ∫ 𝑀 𝑑𝜃
4.2.2 KINETISCHE ENERGIE
Voor elk van de drie typen vlakbeweging, translatie, rotatie en algemene vlakbeweging, kan een vergelijking
voor de kinetische energie worden opgesteld.
 Translatie
Bij translatie bewegen alle deeltjes met dezelfde snelheid 𝑣. De kinetische energie van elk deeltje met
1
massa 𝑚𝑖 is 𝑇𝑖 = 𝑚𝑖 𝑣 2 , waaruit volgt voor de kinetische energie van het lichaam
2
1
𝑇 = 𝑚𝑣 2
2
 Rotatie
Het lichaam roteert met een hoeksnelheid 𝜔 om de vaste as door O. De kinetische energie van een
1
bepaald deeltje met massa 𝑚𝑖 is 𝑇𝑖 = 𝑚𝑖 (𝑟𝑖 𝜔)2 . Aangezien voor het massatraagheidsmoment om O
2

van het lichaam geldt 𝐼𝑂 = ∑𝑚𝑖 𝑟𝑖2 , geldt voor de kinetische energie van het lichaam
1
𝑇 = 𝐼𝑂 𝜔2
2
Algemene vlakbeweging
Van een lichaam dat een algemene vlakbeweging ondergaat, is op een bepaald moment de snelheid
het zwaartepunt 𝑣 en de hoeksnelheid van het lichaam 𝜔. De snelheid 𝑣𝑖 van een deeltje met massa
𝑚𝑖 kan worden uitgedrukt in termen van de snelheid van het zwaartepunt 𝑣 en de snelheid ten
opzichte van het zwaartepunt 𝑟𝑖 𝜔.
𝐯𝑖 = 𝐯𝐺 + 𝛚 × 𝐫𝑖
1
1
𝑇𝑖 = 𝑚𝑖 (𝐯𝑖 ∙ 𝐯𝑖 ) = 𝑚𝑖 (𝐯𝐺 + 𝛚 × 𝐫𝑖 )(𝐯𝐺 + 𝛚 × 𝐫𝑖 )
2
2
1
= 𝑚𝑖 (𝐯𝐺2 + 2𝐯𝐺 ∙ 𝛚 × 𝐫𝑖 + (𝛚 × 𝐫𝑖 ) ∙ (𝛚 × 𝐫𝑖 ))
2
De term (𝛚 × 𝐫𝑖 ) ∙ (𝛚 × 𝐫𝑖 ) is gelijk aan 𝑟𝑖2 𝜔2 . De tweede term valt weg in de sommatie 𝑇 = ∑𝑇𝑖 . We
kunnen schrijven op basis van de definitie van het inproduct 𝐯𝐺 ∙ 𝛚 × 𝐫𝑖 = |𝐯𝐺 ||𝛚 × 𝐫𝑖 | cos 𝜃 =
𝑣𝐺 𝜔 𝑟𝑖 cos 𝜃 waarin 𝜃 de hoek tussen de vectoren 𝐯𝐺 en 𝛚 × 𝐫𝑖 vormt. In de sommatie volgt
∑𝑚𝑖 𝑣𝐺 𝜔 𝑟𝑖 cos 𝜃 = 𝑣𝑔 𝜔∑𝑚𝑖 𝑟𝑖 cos 𝜃 = 𝑣𝑔 𝜔∑𝑚𝑖 𝑦𝑖 = 0. Hieruit volgt voor 𝑇
1
𝑇 = ∑ 𝑇𝑖 = ∑ 𝑚𝑖 (𝑣𝐺2 + 𝑟𝑖2 𝜔2 )
2
wat met behulp van de relatie 𝐼𝐺 = ∑𝑚𝑖 𝑟𝑖2 kan worden geschreven als
1
1
𝑇 = 𝑚𝑣𝐺2 + 𝐼𝐺 𝜔2
2
2
Hierin is 𝐼𝐺 het traagheidsmoment om het zwaartepunt G.
Je kunt bij het beschrijven van de kinetische energie van een algemene vlakbeweging ook gebruik
maken van de snelheidspool. Omdat dit punt C, de snelheidspool, geen snelheid heeft, geldt de
vergelijking voor de kinetische energie van een rotatie om een vast punt O ook voor een rotatie om de
snelheidspool C. Er geldt dus
1
𝑇 = 𝐼𝐶 𝜔2
2
4.2.3 POTENTIËLE ENERGIE
De formules voor de potentiële energie van een star lichaam zijn gelijk aan die van een massapunt. Voor de
GRAVITATIONELE POTENTIËLE ENERGIE, 𝑉𝑔 , geldt
𝑉𝑔 = 𝑚𝑔ℎ
Voor de ELASTISCHE POTENTIELE ENERGIE, 𝑉𝑒 , geldt
𝑥
1
𝑉𝑒 = ∫ 𝑘𝑥 𝑑𝑥 = 𝑘𝑥 2
2
0
waarin 𝑘 staat voor de veerstijfheid en 𝑥 voor de uitrekking.
4.2.4 BEHOUD VAN ENE RGIE
Alle uitwendige krachten leiden tot een toename of afname van de energie. Dit vinden we terug in de WET
VAN BEHOUD VAN ENERGIE.
𝑈1−2 = ∆𝑇 + ∆𝑉𝑔 + ∆𝑉𝑒 + ∆𝑉(𝑎𝑛𝑑𝑒𝑟𝑒)
Hierin staat 𝑈1−2 voor de arbeid verricht door uitwendige krachten. Uitwendige krachten zijn alleen nietconservatieve krachten zoals wrijving of aandrijving. De zwaartekracht en veerkracht tellen niet als uitwendige
kracht.
Wanneer een rond voorwerp slippend rolt, wordt er arbeid
verricht door de wrijvingskracht. Arbeid is gelijk aan de kracht
maal de weg, oftewel, aan de kracht maal de afstand die
gedurende tijdstap 𝑑𝑡 wordt afgelegd.
𝑑𝑈1→2 = 𝐹𝑤 (𝑣𝑂 − 𝜔𝑟)𝑑𝑡
𝑈1→2 = −𝐹𝑤 𝑠
Figuur 29 weergeeft de beweging van het sluiten van een
garagedeur. De deur, kantelt van horizontale naar verticale
positie. Hierbij neemt de potentiële energie (blauw) af en de
veerenergie (rood) toe. De kinetische energie is gelijk aan de
som van de afname van potentiële en veerenergie. Wanneer de
potentiële energie harder afneemt dan dat de veerenergie
toeneemt, neemt de kinetische energie toe. Er is een punt dat
de potentiële energie even snel afneemt als dat de veerenergie
toeneemt. Op dit punt is er evenwicht, de kinetische energie
Figuur 29: Energieomzetting van een garagedeur
verandert niet. Bij het sluiten van een garagedeur merk je dit
punt op doordat de deur blijft hangen. Je moet hem een extra
zetje geven.
4.2.5 VERMOGEN
Het VERMOGEN, 𝑃, van een machine geeft aan hoeveel arbeid hij kan verrichten of hoeveel energie hij kan
leveren per seconde. De eenheid van vermogen is Watt (J/s). In paragraaf 2.2.5 is al afgeleid dat geldt voor een
massapunt
𝑑𝑈 𝐅 ∙ 𝑑𝐫
𝑃=
=
= 𝐅∙𝐯
𝑑𝑡
𝑑𝑡
waarin 𝑑𝑟 en 𝑣 staan voor de differentiële verplaatsing en de snelheid van het massapunt. Deze formule geldt
ook voor een translerend lichaam. Voor een roterend lichaam kan worden afgeleid
𝑑𝑈 𝑀 𝑑𝜃
𝑃=
=
= 𝑀𝜔
𝑑𝑡
𝑑𝑡
waarin 𝑀 staat voor de grootte van het koppel en 𝑑𝜃 en 𝜔 voor de differentiële hoekverplaatsing en de
hoeksnelheid van het lichaam. Wanneer een lichaam zowel transleert als roteert geldt
𝑃 = 𝐅 ∙ 𝐯 + 𝑀𝜔
4.3 IMPULS EN IMPULSMOMENT
4.3.1 IMPULS
In paragraaf 2.3.1 is de impuls van een massapunt beschreven door 𝐆 = 𝑚𝐯. Voor een star lichaam geldt
𝑑 ∑ 𝑚𝑖 𝐫𝑖 𝑑(𝑚𝐫𝐺 )
𝐆 = ∑ 𝐆𝑖 = ∑ 𝑚𝑖 𝐯𝑖 = ∑ 𝑚𝑖 𝐫̇𝑖 =
=
= 𝑚𝐫̇𝐺 = 𝑚𝐯𝐺
𝑑𝑡
𝑑𝑡
Oftewel, de impuls van een star lichaam is de totale massa maal de snelheid van het zwaartepunt.
𝑡
In paragraaf 2.3.1 is ook afgeleid dat voor een massapunt geldt ∑𝐅 = 𝐆̇, oftewel ∫𝑡 2 ∑ 𝐅 𝑑𝑡 = 𝐆2 − 𝐆1 = ∆𝐆.
1
Deze vergelijkingen gelden ook voor starre lichamen. Hij kan worden ontbonden in twee componenten,
bijvoorbeeld in 𝑥- en 𝑦-richting.
𝑡2
∑ 𝐹𝑥 = 𝐺̇𝑥
∫ 𝐹𝑥 𝑑𝑡 = 𝐺𝑥2 − 𝐺𝑥1
𝑡1
𝑡2
∑ 𝐹𝑦 = 𝐺̇𝑦
∫ 𝐹𝑦 𝑑𝑡 = 𝐺𝑦2 − 𝐺𝑦1
𝑡1
Het is van belang dat alle krachten die op het lichaam werken worden meegenomen, ook de krachten die geen
arbeid verrichten.
De wet van behoud van impuls geldt uiteraard ook voor starre lichamen. Wanneer ∑𝐅 = 𝟎 geldt
𝐆1 = 𝐆2
Wanneer er gedurende een korte tijd ∆𝑡 een grote kracht 𝐹 op een star lichaam werkt, spreken we van een
impulsieve kracht of een stoot. Voor deze stoot, 𝑆, definiëren we
𝑆 = ∫ 𝐹𝑑𝑡
∆𝑡
𝑆𝑥 = ∫ 𝐹𝑥 𝑑𝑡 = 𝐺𝑥2 − 𝐺𝑥1 = 𝑚𝑣𝑥2 − 𝑚𝑣𝑥1
∆𝑡
𝑆𝑦 = ∫ 𝐹𝑦 𝑑𝑡 = 𝐺𝑦2 − 𝐺𝑦1 = 𝑚𝑣𝑦2 − 𝑚𝑣𝑦1
∆𝑡
Figuur 30: De snelheden op het zwaarte punt voor en na stoot 𝑺
Omdat alle andere krachten die op het lichaam werken erg klein zijn in verhouding tot de impulsieve kracht,
worden deze verwaarloosd.
4.3.2 IMPULSMOMENT
In paragraaf 2.3.2 is het impulsmoment van een massapunt ten opzichte van de oorsprong beschreven door
𝐇0 = 𝐫 × 𝑚𝐯. Voor het impulsmoment een star lichaam om zijn zwaartepunt geldt op basis hiervan
𝐇𝐺 = ∑ 𝐫𝑖 × 𝑚𝑖 𝐯𝑖
waarin 𝐯𝑖 = 𝛚 × 𝐫𝑖 . De grootte van deze vector is 𝑟𝑖 𝜔. De grootte van de vector 𝐫𝑖 × 𝑚𝑖 𝐯𝑖 is 𝑟𝑖2 𝜔𝑚𝑖 . Hieruit
volgt voor de grootte van 𝐇𝐺
𝐻𝐺 = ∑ 𝑟𝑖2 𝜔𝑚𝑖 = 𝜔 ∑ 𝑟𝑖2 𝑚𝑖 = 𝐼𝐺 𝜔
In paragraaf 2.3.2 is ook afgeleid dat voor het impulsmoment van een massapunt om de oorsprong geldt
𝑡
∑ 𝑴0 = 𝐇̇0 , oftewel ∫𝑡 2 ∑ 𝑴0 𝑑𝑡 = (𝐇0 )2 − (𝐇0 )1 = ∆𝐇0 . Deze vergelijking geldt ook voor het impulsmoment
1
om het zwaartepunt van een star lichaam.
∑ 𝑴𝐺 = 𝐇̇𝐺
𝑡2
∫ ∑ 𝑴𝐺 𝑑𝑡 = (𝐇𝐺 )2 − (𝐇𝐺 )1 = ∆𝐇𝐺
𝑡1
Voor de grootte van het resulterend moment geldt
∑ 𝑀𝐺 = 𝐻̇𝐺 = 𝐼𝐺̇ 𝜔 + 𝐼𝐺 𝛼
Wanneer er geen uitwendig moment is, geldt
𝛼=−
𝐼𝐺̇
𝜔
𝐼𝐺
Voor het impulsmoment rondom een bepaald punt O geldt
𝐻𝑂 = 𝐼𝐺 𝜔 + 𝑚𝑣𝐺 𝑑
O mag zowel een vast als een bewegend punt zijn. Wanneer een lichaam roteert om een vast punt O geldt
𝑣𝐺 = 𝜔𝑟𝐺 en 𝑑 = 𝑟𝐺 , waaruit volgt
𝐻𝑂 = 𝐼𝐺 𝜔 + 𝑚𝜔𝑟𝐺2 = (𝐼𝐺 + 𝑚𝑟𝐺2 )𝜔 = 𝐼𝑂 𝜔
De wet van behoud van impulsmoment geldt uiteraard ook voor starre lichamen. Wanneer het resulterend
moment om een vast punt O nul is (∑𝐌𝑂 = 𝟎), geldt
(𝐇𝑂 )1 = (𝐇𝑂 )2
Wanneer het resulterend moment om het zwaartepunt nul is (∑𝐌𝐺 = 𝟎), geldt
(𝐇𝐺 )1 = (𝐇𝐺 )2
Voor een impulsieve kracht (stoot) is eerder gedefinieerd 𝑆 = ∫∆𝑡 𝐹𝑑𝑡 . Wanneer we beide kanten
vermenigvuldigen met 𝑑, de afstand van de kracht tot het zwaartepunt, volgt
𝑆𝑑 = ∫ 𝑀𝐺 𝑑𝑡 = (𝐻𝐺 )2 − (𝐻𝐺 )1
∆𝑡
Wanneer we de stoot ontbinden in 𝑆𝑥 en 𝑆𝑦 volgt hieruit
𝐼𝐺 𝜔2 − 𝐼𝐺 𝜔1 = 𝑆𝑥 𝑑𝑦 + 𝑆𝑦 𝑑𝑥
Zie ook Figuur 30.
5 TRILLINGEN
5.1 VRIJE TRILLINGEN
Wanneer een verend lichaam buiten zijn evenwichtspositie wordt gebracht, zal er een vrije trilling ontstaan. In
werkelijkheid is er altijd sprake van een gedempte trilling. Wij kijken echter eerst naar een ongedempte trilling.
5.1.1 ONGEDEMPTE TRILLINGEN
We gaan uit van een lineaire veer, wat wil zeggen dat de kracht die de veer uitoefent op het lichaam, 𝐹𝑣 ,
evenredig is met de uitrekking.
𝐹𝑣 = 𝑘𝑥
Hierin is 𝑘 de veerconstante, een maat voor de stijfheid van de veer. De
eenheid van 𝑘 is 𝑁⁄𝑚. We kunnen nu voor het karretje in Figuur 31 een
evenwichtsvergelijking voor de horizontale kracht vaststellen.
∑ 𝐹𝑥 = −𝐹𝑣 = −𝑘𝑥 = 𝑚𝑎
Hieruit volgt
−𝑘𝑥 = 𝑚𝑥̈
⟹
𝑚𝑥̈ + 𝑘𝑥 = 0
Deze vergelijking wordt vaak geschreven als
𝑥̈ + 𝜔𝑛2 𝑥 = 0
waarin
𝜔𝑛 = √
Figuur 31: Ongedempte, vrije trilling
𝑘
𝑚
Waarom dit logisch is, volgt later.
Hierboven hebben we een homegene differentiaalvergelijking afgeleid. De standaardoplossing heeft in dit
geval de vorm
𝑥 = 𝐴 cos 𝜔𝑛 𝑡 + 𝐵 sin 𝜔𝑛 𝑡
Wanneer we deze vergelijking differentiëren volgt
𝑥̇ = −𝐴𝜔𝑛 sin 𝜔𝑛 𝑡 + 𝐵𝜔𝑛 cos 𝜔𝑛 𝑡
We kunnen nu de constanten 𝐴 en 𝐵 bepalen door middel van beginvoorwaarden. Wanneer op tijdstip 𝑡 = 0
de beginpositie en de beginsnelheid zijn gedefinieerd als 𝑥(0) = 𝑥0 en 𝑥̇ (0) = 𝑥̇ 0
𝑥(0) = 𝐴 = 𝑥0
𝑥̇ 0
𝑥̇ (0) = 𝐵𝜔𝑛 = 𝑥̇ 𝑜
⟹
𝐵=
𝜔𝑛
Door de uitdrukking voor 𝑥̇ 0 nogmaals te differentiëren en in te vullen in de differentiaalvergelijking 𝑚𝑥̈ +
𝑘𝑥 = 0 kunnen we een uitdrukking voor 𝜔𝑛 bepalen.
𝑥̈ = −𝐴𝜔𝑛2 cos 𝜔𝑛 𝑡 − 𝐵𝜔𝑛2 sin 𝜔𝑛 𝑡
2
𝑚(−𝐴𝜔𝑛 cos 𝜔𝑛 𝑡 − 𝐵𝜔𝑛2 sin 𝜔𝑛 𝑡) + 𝑘(𝐴 cos 𝜔𝑛 𝑡 + 𝐵 sin 𝜔𝑛 𝑡) = 0
(𝐴 cos 𝜔𝑛 𝑡 + 𝐵 sin 𝜔𝑛 𝑡)(−𝑚𝜔𝑛2 + 𝑘) = 0
Aangezien de eerste term nooit nul is, moet de tweede dat wel zijn
−𝑚𝜔𝑛2 + 𝑘 = 0
⟹
𝑚𝜔𝑛2 = 𝑘
⟹
𝜔𝑛 = √𝑘⁄𝑚
Wanneer we de uitrekking 𝑥 uitzetten tegen de tijd, krijgen we een sinusoïde. 𝜔𝑛 is de hoekfrequentie van de
trilling. Voor de frequentie van de trilling, het aantal trillingen per seconde, geldt
𝜔𝑛
1
√𝑘⁄𝑚
𝑓=
=
2𝜋 2𝜋
Voor de periode, de tijdsduur van één volledige trilling, geldt
1 2𝜋
𝑇= =
𝑓 𝜔𝑛
5.1.2 GEDEMPTE TRILLINGEN
In praktijk zijn alle trillingen gedempt. Als gevolg van wrijving dooft elke trilling uit.
Behalve wrijving kan ook de zwaartekracht een trilling dempen, zoals het geval is in
Figuur 32. Opnieuw stellen we een evenwichtsvergelijking op, ditmaal voor de kracht in
verticale richting.
∑ 𝐹𝑥 = 𝑚𝑔 − 𝑘𝑥 = 𝑚𝑎
Hieruit volgt
𝑚𝑥̈ + 𝑘𝑥 = 𝑚𝑔
Dit is een inhomogene differentiaalvergelijking. De oplossing van een inhomogene
differentiaalvergelijking bestaat uit de oplossing van de bijbehorende homogene
differentiaalvergelijking, in dit geval 𝑚𝑥̈ + 𝑘𝑥 = 0, en een particuliere oplossing. De Figuur 32: Gedempte,
vrije trilling
oplossing van de homogene vergelijking is in de vorige paragraaf afgeleid.
𝑦ℎ = 𝐴 cos 𝜔𝑛 𝑡 + 𝐵 sin 𝜔𝑛 𝑡
Een particuliere oplossing is
𝑦𝑝 =
De algemene oplossing is dus
𝑦 = 𝑦𝑝 + 𝑦ℎ =
𝑚𝑔
𝑘
𝑚𝑔
+ 𝐴 cos 𝜔𝑛 𝑡 + 𝐵 sin 𝜔𝑛 𝑡
𝑘
5.2 GEDWONGEN TRILLINGEN
Er is sprake van gedwongen trilling wanneer er een
harmonische kracht werkt op een verend lichaam, zoals
bijvoorbeeld is weergegeven in Figuur 33. Hier is de kracht
𝐹(𝑡) = 𝐹0 cos(𝜔𝑡)
waarin 𝐹0 staat voor de amplitude van de kracht en 𝜔 voor de
aandrijffrequentie. Let op het verschil tussen 𝜔 en 𝜔𝑛 . 𝜔𝑛 is
een eigenschap van het systeem, 𝜔 een eigenschap van de
kracht.
Figuur 33: Gedwongen trilling door kracht 𝑭(𝒕)
De evenwichtsvergelijking voor de kracht in horizontale richting
is nu
𝐹(𝑡) − 𝐹𝑣 = 𝑚𝑎
𝐹0 cos(𝜔𝑡) − 𝑘𝑥 = 𝑚𝑥̈
𝑚𝑥̈ + 𝑘𝑥 = 𝐹0 cos(𝜔𝑡)
𝐹0
𝑥̈ + 𝜔𝑛2 𝑥 = cos(𝜔𝑡)
𝑚
De bijbehorende homogene vergelijking is gelijk aan die van een vrije trilling, 𝑚𝑥̈ + 𝑘𝑥 = 0. Logischerwijs is de
oplossing hiervan ook hetzelfde.
𝑦ℎ = 𝐴 cos(𝜔𝑛 𝑡) + 𝐵 sin(𝜔𝑛 𝑡)
De particuliere oplossing moet iets zijn met cos(𝜔𝑡).
𝑥𝑝 (𝑡) = 𝑃 cos(𝜔𝑡)
We zoeken nu een uitdrukking voor 𝑃.
𝐹0
−𝑃𝜔2 cos(𝜔𝑡) + 𝑃𝜔𝑛2 cos(𝜔𝑡) = cos(𝜔𝑡)
𝑚
𝐹0
2
2)
𝑃(−𝜔 + 𝜔𝑛 =
𝑚
1
𝐹0
1
𝐹0
1
𝐹0
𝑃= 2
= 2
=
2
2
2
𝜔𝑛 − 𝜔 𝑚 𝜔𝑛 − 𝜔 1 𝑘
𝑘
𝜔
1 − ( 2)
𝜔𝑛2
𝜔𝑛
Oftewel
1
𝐹0
𝑥𝑝 (𝑡) =
2 𝑘 cos(𝜔𝑡)
𝜔
1 − ( 2)
𝜔𝑛
De algemene oplossing is dus
1
𝐹0
𝑥 = 𝑥ℎ + 𝑥𝑝 = 𝐴 cos(𝜔𝑛 𝑡) + 𝐵 sin(𝜔𝑛 𝑡) +
cos(𝜔𝑡)
2
𝜔
1−( 2 )
𝜔
𝑘
𝑛
In veel gevallen wordt een massa niet direct in trilling gebracht door
een kracht, maar door de beweging van de basis waaraan de massa
door middel van een veer is bevestigd. In Figuur 34 is de basis het
karretje. De beweging van het karretje, de basisexcitatie, wordt
beschreven door
𝑥0 (𝑡) = 𝑥̂0 cos(𝜔𝑡)
Hierin is 𝑥̂0 de amplitude van de beweging, de maximale uitwijking
vanuit de evenwichtsstand.
De evenwichtsvergelijking voor de kracht in horizontale richting is
∑ 𝐹𝑥 = −𝐹𝑣 = 𝑚𝑎
waarin 𝐹𝑣 = 𝑘(𝑥 − 𝑥0 ) = 𝑘(𝑥 − 𝑥̂0 cos(𝜔𝑡))
Figuur 34: Gedwongen trilling door bewegende basis
−𝑘𝑥 + 𝑘𝑥̂0 cos(𝜔𝑡) = 𝑚𝑥̈
⟹
𝑚𝑥̈ + 𝑘𝑥 = 𝑘𝑥̂0 cos(𝜔𝑡)
𝑥̈ + 𝜔𝑛2 𝑥 = 𝜔𝑛2 𝑥̂0 cos(𝜔𝑡)
𝐹
Deze vergelijking lijkt heel erg op die van een gedwongen trilling door een kracht. Enkel is 0 vervangen door
𝑘
𝑚
𝜔𝑛2 𝑥̂0 = 𝑥̂0 . Omdat dit allen constanten zijn, kunnen we de eerder gevonden oplossing overnemen en deze
𝑚
constanten vervangen. 𝐹0 moet vervangen worden door 𝑘𝑥̂0 .
𝑥̂0
𝑥𝑝 (𝑡) =
cos(𝜔𝑡)
𝜔 2
1 − ( 2)
𝜔𝑛
𝑥̂0
𝑥 = 𝐴 cos(𝜔𝑛 𝑡) + 𝐵 sin(𝜔𝑛 𝑡) +
cos(𝜔𝑡)
𝜔 2
1 − ( 2)
𝜔𝑛
In beide gevallen van een gedwongen trilling wordt de particuliere oplossing oneindig groot wanneer 𝜔 = 𝜔𝑛 .
Dit verschijnsel heet resonantie. Wanneer de trillingsfrequentie van de kracht of van de basis (bijna) gelijk is
aan de eigenfrequentie van het systeem, dan wordt de uitwijking heel erg groot. In veel gevallen probeert men
dit te voorkomen.
De bovenstaande voorbeelden zijn beide ongedempte gedwongen trillingen. Uiteraard kunnen gedwongen
trillingen ook gedempt zijn. Gedempte gedwongen trillingen worden nu echter niet behandeld.
5.3 TRILLINGEN VAN STARRE LICHAMEN
In de twee voorgaande paragrafen werden de lichamen benaderd als massapunten. Voor starre lichamen
gelden exact dezelfde vergelijkingen. Er is enkel een verschil wanneer het lichaam roteert in plaats van
transleert. De variabele 𝑥 wordt dan vervangen door 𝜃. Je lost een probleem met een trilling in een roterend
lichaam op door de momentvergelijking om het draaipunt op te stellen. Hieruit volgt een
differentiaalvergelijking die op dezelfde wijze kan worden opgelost als de differentiaalvergelijking die volgde uit
de evenwichtsvergelijkingen ∑𝐹𝑥 bij translatie.