OVSG - iziit

Onderwijssecretariaat van de
Steden en Gemeenten van de
Vlaamse Gemeenschap v.z.w.
Leerplan Secundair Onderwijs
Vak
AV Wiskunde
2004/40//3/G/BV/1/II//D/
Optie
Alle met 4 of 5 wekelijkse
lestijden
Onderwijsvorm
Algemeen secundair onderwijs
Graad
Leerjaar
Tweede graad
Eerste leerjaar
Tweede leerjaar
Leerplannummer
O/2/2004/087
Vervangt leerplan O/2/2003/087
vanaf 1 september 2004 in beide leerjaren
Inhoudstafel
Woord vooraf
3
Lessentabellen
4
Leerplan bestemd voor
6
1
Het leerplan
1.1 Ontwikkeling
1.2 Goedkeuring
1.3 Verplichting
1.4 Pedagogische vrijheid
7
7
7
8
8
2
De leerlingen
2.1 Toelatingsvoorwaarden
2.2 Beginsituatie voor het vak
2.3 Psychologisch profiel van de leerlingen
9
9
9
10
3
Het onderwijs
3.1 Pedagogisch project
3.2 Opdrachten van het gewoon voltijds secundair onderwijs
3.3 Visie op de tweede graad
3.4 Specifieke klemtonen in het ASO
3.5 Visie op het vak
15
15
16
18
19
19
4
Algemene doelstellingen
20
5
Algemene didactische wenken
5.1 Uitgangspunten
5.2 Werkvormen
5.3 Samenwerking tussen leerkrachten
21
21
22
23
6
Leerplandoelstellingen, leerinhouden, didactische wenken en hulpmiddelen
6.1 Algemene vaardigheden en attitudes
6.2 Getallenleer en algebra
6.3 Reële functies
6.4 Meetkunde
6.5 Statistiek
6.6 Opties met een vijfde wekelijkse lestijd
24
26
29
40
51
62
66
7
Het gebruik van informatie- en communicatietechnologie
7.1 Instructie, differentiatie en remediëring met behulp van ICT
7.2 Informatie verwerven en verwerken met ICT
7.3 Communiceren met ICT
7.4 ICT in het wiskundeonderwijs
67
67
67
67
68
Pedagogische begeleidingsdienst OVSG
Wiskunde 2de graad ASO
1
8
Het gelijke onderwijskansenbeleid
8.1 Preventie en remediëring van studie- en gedragsproblemen
8.2 Taalvaardigheidsonderwijs
8.3 Intercultureel onderwijs (ICO)
8.4 Oriëntering bij instroom en uitstroom
8.5 Leerlingen- en ouderparticipatie
69
69
69
69
70
70
9
Taalbeleid
9.1 Lessen en lesmateriaal taalgericht maken
9.2 Enkele tips
71
71
71
10
Evaluatie
10.1 Het goed functioneren van evaluatie
10.2 De invloed van procesevaluatie
10.3 Een doordachte evaluatie
10.4 Permanent evalueren betekent
10.5 Permanent evalueren in een document
73
73
74
74
75
76
11
Leermiddelen
77
12
Bibliografie
12.1 Algemeen
12.2 Psychologisch profiel
12.3 Algemene didactische wenken
12.4 Wiskunde
12.5 Evaluatie
78
78
78
78
79
82
13
Bijkomende informatie
13.1 Algemeen
13.2 Wiskunde
84
84
84
14
Bijlagen
14.1 Vakgebonden eindtermen
14.2 Instructiekaarten
86
86
89
Colofon
Pedagogische begeleidingsdienst OVSG
Wiskunde 2de graad ASO
98
2
Woord vooraf
Dit leerplan wordt ingevoerd bij de aanvang van het schooljaar 2004/2005.
Het werd ontwikkeld door de leerplancommissie van het OVSG naar aanleiding van
de invoering van de eindtermen voor de vakken van de basisvorming in de tweede
graad van het secundair onderwijs.
De leerplancommissie maakte bovendien van de gelegenheid gebruik om het
bestaande leerplan te evalueren en te herwerken volgens nieuwe inzichten. Zo
bevat dit leerplan de neerslag van een jarenlange onderwijservaring. Het houdt niet
alleen een verplichting tot realisatie in, maar is tevens een inspiratiebron voor de
leerkracht, voor de vakwerkgroep en voor de pedagogische organisatie van de
tweede graad.
OVSG
Onderwijssecretariaat van de
Steden en Gemeenten van de
Vlaamse Gemeenschap v.z.w.
Ravensteingalerij 3 bus 7
1000 Brussel
tel.: 02 506 41 50
fax: 02 502 12 64
e-mai: [email protected]
website: www.ovsg.be
Pedagogische begeleidingsdienst OVSG
Wiskunde 2de graad ASO
3
Onderwijssecretariaat van de Steden en Gemeenten van de
Vlaamse Gemeenschap
OVSG
vzw
Ravensteingalerij 3 bus 7 – 1000 Brussel
Lessentabel
De lessentabel is terug te vinden op de site van OVSG, www.ovsg.be onder Publicaties.
De lessentabel is indicatief. Zie ook hoofdstuk ‘Autonomie van de school’.
Pedagogische begeleidingsdienst OVSG
Wiskunde 2de graad ASO
4
Leerplan bestemd voor de tweede graad
eerste en tweede leerjaar van de tweede graad van het
Algemeen secundair onderwijs
Vak:
AV Wiskunde
Basisvorming:
4u
eventueel aangevuld met een vijfde lestijd:
in het fundamenteel gedeelte van de optie Wetenschappen
of
in het complementair gedeelte van andere opties.
In dit vijfde lesuur zullen de uitbreidingsdoelstellingen aan bod komen.
Er kunnen meer toepassingen worden gemaakt.
Het leerplan is opgebouwd als graadleerplan. De volgorde is niet bindend, de leerkracht kan
zelf oordelen wat in het eerste of in het tweede leerjaar van de tweede graad behandeld
wordt.
Indien het vak in beide leerjaren niet door dezelfde leerkracht gegeven wordt, is
samenwerking en grondig overleg noodzakelijk, om zo te komen tot longitudinale planning.
Pedagogische begeleidingsdienst OVSG
Wiskunde 2de graad ASO
5
1
Het leerplan
Een leerplan is een document dat de essentiële gegevens bevat voor de concrete onderwijspraktijk. Het is afgestemd op een welomschreven leerlingengroep en het somt de algemene
en specifieke doelstellingen en aansluitende leerinhouden op voor één of meer vakken of
vakgebieden. Bovendien geeft het wenken voor de didactische aanpak en verschaft het
gegevens die nuttig zijn voor de realisatie van het leerplan.
1.1
Ontwikkeling
Het leerplan wordt ontwikkeld door de inrichtende macht of door de overkoepelende
onderwijsorganisatie, i.c. het OVSG, in samenwerking met representatieve leden van de
inrichtende machten.
Onderwijs vertrekt vanuit expliciete doelstellingen. Het leerplan bevat algemene en
specifieke doelstellingen voor het vak. Het is de taak van de leerkracht om de doelstellingen
om te zetten in concrete lesdoelstellingen. De specifieke doelstellingen bestaan uit twee
categorieën:
Vakgebonden eindtermen
Deze bevatten het kwaliteitsminimum dat de Vlaamse Gemeenschap decretaal bepaalt. De
eindtermen zijn niet altijd letterlijk opgenomen in het leerplan, maar zijn er herkenbaar in
aanwezig, voorzien van het decretale nummer.
Eigen doelstellingen
Een aantal concretiseren het eigen pedagogisch project en bepalen aldus de identiteit van
de inrichtende macht en de overkoepelende onderwijsorganisatie OVSG.
Een aantal doelstellingen (basis of uitbreiding) komt voort uit de visie op het vak/vakgebied.
De eigen doelstellingen vormen samen met de vakgebonden eindtermen een coherent
geheel.
1.2
Goedkeuring
De gemeenschapsinspectie beoordeelt het leerplan op basis van vastgelegde criteria en
adviseert de minister van onderwijs met betrekking tot de goedkeuring. De beoordeling slaat
in hoofdzaak op de algemene en specifieke doelstellingen, de leerinhouden, de minimale
materiële vereisten en op de aanwezigheid van een aantal elementen zoals de didactische
wenken en de aanbevelingen voor de vakevaluatie. Deze elementen behoren tot de
pedagogische vrijheid en zijn niet het voorwerp van de goedkeuring. De
gemeenschapsinspectie neemt er kennis van, maar beoordeelt ze niet.
Na de goedkeuring door de minister van onderwijs verwerft een leerplan een officieel statuut.
Men kan stellen dat een goedgekeurd leerplan een contract is tussen de inrichtende macht
en/of de onderwijsorganisatie en de Vlaamse Gemeenschap.
Pedagogische begeleidingsdienst OVSG
Wiskunde 2de graad ASO
6
1.3
Verplichting
Alle scholen zijn verplicht een goedgekeurd leerplan te gebruiken voor elk onderwezen vak.
De gemeenschapsinspectie controleert het gebruik van het leerplan en de realisatie van de
basisdoelstellingen (o.m. de eindtermen).
Voor de attitudinale eindtermen (aangeduid met *) geldt een inspanningsverplichting. De
uitbreidingsdoelstellingen (U) zijn niet verplicht.
1.4
Pedagogische vrijheid
De didactische aanpak (waaronder evaluatie) behoort tot de vrijheid van de inrichtende
macht. Dit impliceert dat de school en haar leraren deze vrijheid zinvol invullen en er
verantwoordelijkheid voor opnemen. De gemeenschapsinspectie gaat eventueel na hoe de
school met deze vrijheid omgaat.
Graadleerplan
De eindtermen zijn geformuleerd voor de tweede graad. Daarom is het leerplan voor de
graad uitgeschreven. De doelstellingen zijn consecutief, thematisch of volgens de vaardigheden opgebouwd. De volgorde in de opbouw is niet bindend voor de leerkracht of de school.
Voor de concrete invulling van het eerste en het tweede leerjaar van de graad ligt de
bevoegdheid bij de school. De vakgroepen moeten overleggen en bepalen wat tot de
invulling van het eerste en het tweede leerjaar behoort.
Ruimte voor eigen inbreng
Het volume aan leerinhouden is beperkt gehouden. De leerkracht moet niet onder tijdsdruk
werken, maar heeft ruimte voor variatie in leerlingactiverende didactische werkvormen en
voor vakoverschrijdend werken. Er is ruimte voor de eigen inbreng en creativiteit van de
leerkracht en de school om o.a. thema’s en projecten te ontwikkelen.
Pedagogische begeleidingsdienst OVSG
Wiskunde 2de graad ASO
7
2
De leerlingen
2.1
Toelatingsvoorwaarden
De toelatingsvoorwaarden voor het gewoon voltijds secundair onderwijs worden opgesomd
in de omzendbrief SO 64 van 25-06-1999 betreffende de organisatie van het voltijds
secundair onderwijs.
2.1.1 Eerste leerjaar van de tweede graad ASO, TSO, KSO
Kunnen als regelmatige leerlingen worden toegelaten:
- de regelmatige leerlingen die het tweede leerjaar van de eerste graad met vrucht hebben
beëindigd;
- de regelmatige leerlingen die het eerste leerjaar van de tweede graad van het
beroepssecundair onderwijs met vrucht hebben beëindigd, onder de volgende
voorwaarde: gunstig advies van de toelatingsklassenraad;
- de regelmatige leerlingen van het buitengewoon secundair onderwijs, onder de volgende
voorwaarde: gunstige beslissing van de toelatingsklassenraad.
Voor de studierichtingen ASO en TSO met een component topsport moeten de leerlingen
bovendien voor het betrokken schooljaar een topsportstatuut A of B hebben verkregen van
de selectiecommissie voor de betrokken sportdiscipline overeenkomstig het topsportconvenant dat is gesloten tussen de onderwijs- en de sportsector. Deze toekenning houdt
geen garantie in dat de topsportinrichting het schooljaar nadien verder kan worden gevolgd.
2.1.2 Tweede leerjaar van de tweede graad ASO, TSO, KSO
Kunnen als regelmatige leerlingen worden toegelaten:
- de regelmatige leerlingen die het eerste leerjaar van de tweede graad van het algemeen,
het technisch of het kunstsecundair onderwijs met vrucht hebben beëindigd;
- de regelmatige leerlingen die het tweede leerjaar van de tweede graad van het
beroepssecundair onderwijs met vrucht hebben beëindigd;
- de regelmatige leerlingen van het buitengewoon secundair onderwijs, onder de volgende
voorwaarden: gunstige beslissing van de toelatingsklassenraad.
Voor de studierichtingen ASO of TSO met component topsport moeten de leerlingen
bovendien voor het betrokken schooljaar een topsportstatuut A of B hebben verkregen van
de selectiecommissie voor de betrokken sportdiscipline overeenkomstig het topsportconvenant dat is gesloten tussen de onderwijs- en de sportsector. Deze toekenning houdt
geen garantie in dat de topsportrichting het schooljaar nadien verder kan worden gevolgd.
2.2
Beginsituatie voor het vak
Het wiskundeonderwijs is een proces van geleidelijke opbouw en verdieping. Wat in het
basisonderwijs en de eerste graad van het secundair onderwijs verworven is, wordt verder
uitgediept. Daarnaast komen nieuwe inhouden aan bod die op hun beurt in de derde graad
verder worden ontwikkeld.
Het onderdeel ‘algebra’ dat zich in de eerste graad nog in een embryonaal stadium bevond,
wordt in de tweede graad verder verfijnd. De verschillende aspecten van algebra uit de
eerste graad worden opgesplitst en in het licht van kennisorganisatie op een functionele
wijze ondergebracht bij verschillende bestaande en nieuwe onderdelen.
Pedagogische begeleidingsdienst OVSG
Wiskunde 2de graad ASO
8
Getallenleer en het aspect ‘formeel rekenen’ van algebra worden in de tweede graad
samengevoegd omdat het rekenen en omgaan met letters meer en meer de plaats van het
zuiver cijferrekenen inneemt.
Het aspect ‘algebraïsche verbanden’ wordt opgenomen in het nieuwe onderdeel ‘reële
functies’. Hierbij komt het accent te liggen op de samenhang tussen de verwoording, de
cijfermatige en grafische aanpak en de algebraïsche aanpak via formules.
Deze
‘algebraïsche verbanden’ krijgen tevens een plaats bij de analytische dimensie van
meetkunde.
Meetkunde zelf bouwt verder op de eerste graad waarbij zowel de synthetische als de
analytische component voldoende aan bod komt. Het ruimtelijk inzicht van de eerste graad
wordt in de tweede graad verder verfijnd. Het krijgt geleidelijk aan een strenger meetkundig
karakter via het praktisch oplossen van concrete problemen door gebruik te maken van de
verworven begrippen en eigenschappen uit de vlakke meetkunde.
De initiatie in de beschrijvende statistiek uit de eerste graad krijgt een vervolg in de tweede
graad. Via het onderzoek van frequenties en diverse grafische voorstellingen wordt het nut
belicht van centrum- en spreidingsmaten.
Het doelmatig gebruik van de zakrekenmachine zal geleidelijk aan uitgebreid worden met de
grafische zakrekenmachine en het leren omgaan met wiskundige software.
2.3
Psychologisch profiel van de leerlingen1
De adolescentie omvat de periode tussen de kindertijd en de volwassenheid, dat wil zeggen
van gemiddeld 12 tot gemiddeld 22 jaar. Veelal onderscheidt men in deze levensfase drie
subfasen:
1) de vroege adolescentie
2) de middenadolescentie
3) de late adolescentie
Leerlingen van de tweede graad bevinden zich meestal in de middenadolescentie (14 tot 17
jaar). De middenadolescentie wordt voornamelijk gekenmerkt door het experimenteren met
diverse keuzemogelijkheden met betrekking tot allerlei ‘volwassen’ activiteiten, zoals het
aangaan van en het investeren in geseksualiseerde relaties, het al dan niet gebruiken van
psychoactieve drugs, het zelf beheren van geld en vrije tijd.
2.3.1 De cognitieve ontwikkeling
Gedurende de adolescentieperiode treden er belangrijke ontwikkelingen op in de
denkmogelijkheden. Cognitieve vraagstukken worden niet alleen gemakkelijker en efficiënter
opgelost, er is ook sprake van een meer kwalitatieve verandering in het denkproces. Dit
laatste blijkt onder meer uit de wijze waarop jongeren problemen analyseren en oplossen.
De adolescent is in staat een opeenvolging van hypothesen of veronderstellingen te
formuleren en deducties of gevolgtrekkingen te maken. Hierbij is het denken niet meer
uitsluitend gebonden aan of afhankelijk van concrete situaties. De denkhandelingen kunnen
vanaf nu ook betrekking hebben op niet waarneembare zaken en gebeurtenissen. Zo zijn
adolescenten nu in staat om datgene wat ze waarnemen te plaatsen naast alle andere
mogelijkheden van de werkelijkheid die op dat moment niet waarneembaar zijn. Het zoeken
naar alternatieven is daarom een cognitieve vaardigheid die eigen is aan de adolescentie.
1 Met dank aan Prof. Dr. I. Ponjaert-Kristoffersen en Dra. Telidja Klai voor deze tekst.
Pedagogische begeleidingsdienst OVSG
Wiskunde 2de graad ASO
9
Tegen de middenadolescentie wordt het denken ook een experimenteel denken. Hierbij kan
de jongere vanuit veronderstellingen gevolgtrekkingen maken, deze gevolgen toetsen aan de
concrete werkelijkheid om vervolgens zijn of haar hypothesen of veronderstellingen te
verwerpen, te behouden of bij te sturen. Ook kan het denken van de adolescent getypeerd
worden als combinatorisch denken. De jongere is in staat alle mogelijke combinaties van
afzonderlijke eigenschappen na te gaan, kwantitatieve relaties tussen eigenschappen uit te
drukken in proporties en vervolgens op basis van het wel of niet voorkomen van bepaalde
combinaties causale verbanden af te leiden. Het denken wordt dus logisch, abstract,
hypothetisch en wetenschappelijk van aard.
Door deze veranderingen in het denkvermogen zullen adolescenten ook in staat zijn te
mijmeren en te dagdromen over thema’s die betrekking hebben op de toekomst, bijvoorbeeld
het latere beroep, de levenspartner, de wereld, het leven. Het is dan ook niet zo toevallig dat
dagdromen, naast het gevoel zich eenzaam en onbegrepen te voelen, vrij typisch zijn voor
de middenadolescentie.
Hoewel jongeren van 14 tot 17 jaar in staat zijn te abstraheren, kunnen we ook opmerken dat
hun benadering van de feiten, van de werkelijkheid, soms nog autoritair en egocentrisch
blijft. Toch wordt het stilaan mogelijk om vanuit een ander gezichtspunt dan dat van de
adolescent zelf, bijvoorbeeld vanuit een andere cultuur, de feiten of gebeurtenissen te
benaderen. Dit laatste duidt erop dat het cognitieve egocentrisme in het denken geleidelijk
aan begint te verdwijnen. Het naïeve idealisme, dat zich vertaalt in een overschatting van het
eigen denken, het radicale denken, dat zich manifesteert onder de vorm van wit-zwart
redeneringen, en het enkel kunnen uitgaan van de eigen gedachten zonder rekening te
houden met de gedachten van anderen, die op hun beurt gekoppeld zijn aan de persoonlijke
levensgeschiedenis van deze andere, zal meestal verminderen samen met het cognitieve
egocentrisme tegen het einde van de middenadolescentie. Daardoor worden jongeren
stilaan in staat om op een flexibele wijze na te denken over morele kwesties, zoals
bijvoorbeeld de abortusproblematiek.
Ook fouten in het denkvermogen verdwijnen langzamerhand. Zo maken de ‘persoonlijke
fabel’ waarbij de adolescent een overschatting maakt van de eigen gevoelens en
opvattingen, kortom van de eigen uniciteit, samen met het ‘imaginaire publiek’, waarbij de
adolescent het gevoel heeft nauwlettend geobserveerd te worden, bij de afsluiting van de
adolescentieperiode plaats voor een logische redenering.
Al deze veranderingen in het denkproces hebben vanzelfsprekend ook gevolgen voor het
zelfbeeld van de adolescent. Onder invloed van deze cognitieve veranderingen verfijnt
immers het vermogen tot zelfreflectie. Zelfreflectie geeft aanleiding tot zelfbeoordeling en
zelfkritiek. Dit betekent dat de adolescent in staat is het eigen denken, de eigen emoties en
het eigen gedrag, kortom het zelfbeeld, te evalueren en door de eigen wil zichzelf bij te
sturen. Op deze wijze komt de jongere tegen het einde van de adolescentieperiode,
weliswaar met vallen en opstaan, tot een groter besef van zijn eigenheid, zijn individuele
persoonlijkheid.
2.3.2 De psychosociale ontwikkeling
Enerzijds verwacht de sociale omgeving van de adolescent meer zelfstandigheid, anderzijds
voelt de adolescent de behoefte zich los te maken van de ouders. Het referentiekader dat de
ouders meegaven, wordt tijdelijk op de achtergrond geschoven en maakt plaats voor nieuwe
referentiekaders van andere sociale milieus, zoals dat van de leeftijdsgenoten. Adolescenten
zoeken zich zelf een nieuwe positie in hun gezin, in hun sociale omgeving, in de
maatschappij. Dit groeien naar de volwassenheid gebeurt stap voor stap.
Adolescenten hebben het dan ook niet altijd even gemakkelijk met hun ‘herschikking’ naar
hun nieuwe positie. Concreet kan men dit opmerken door het feit dat adolescenten soms
Pedagogische begeleidingsdienst OVSG
Wiskunde 2de graad ASO
10
verwachten als volwassenen behandeld te worden en zich tegelijkertijd gedragen als kleine
kinderen.
Deze herdefiniëring van sociale rol en positie heeft belangrijke gevolgen voor de
psychosociale ontwikkeling van de adolescent.
Adolescenten en hun leeftijdsgenoten
Leeftijdsgenoten vormen voor adolescenten een belangrijke referentiegroep. Ze zijn dus heel
belangrijk in het leven van de adolescent. De relatie met de leeftijdsgenoten krijgt ook een
andere plaats. Zo neemt het onderlinge contact met leeftijdsgenoten sterk toe. Meestal
verlopen deze contacten in informele groepen zonder de tussenkomst van een volwassene.
Bovendien vormen adolescenten voor het eerst een eigen vrijetijdskader buitenshuis, met
andere woorden contacten met leeftijdsgenoten vinden minder en minder plaats in het
ouderlijke huis en dus minder onder ouderlijke ‘controle’.
Naast het gezin is de school een belangrijk instituut, waar adolescenten ook de mogelijkheid
hebben zich tussen leeftijdsgenoten te begeven.
Daarnaast is er sprake van het ontstaan van eigen jongerenculturen. Hier sluit de kleine
vriendenkring zich aan bij een grotere jeugdgroepering waarmee hij gemeenschappelijke
kenmerken vertoont. Stereotype gedragingen, kenmerkend voor een bepaalde ‘stijl’, kunnen
opgemerkt worden. Adolescenten hebben dus behoefte (soms een uitgesproken drang) zich
te conformeren met de waarden, normen en gewoonten van hun leeftijdsgenoten, van hun
vriendenkring en van hun jeugdgroepering.
Het voorkomen van jeugdculturen is eigen aan de adolescentie. Binnen de kleinere
vriendenkring en dus ook binnen de jeugdcultuur kunnen jongeren experimenteren met
sociale rollen. Dit nieuwe sociale milieu reikt de jongeren, net zoals de ouders voordien,
identificatiemodellen aan. Zo krijgen jongeren de kans zich te onderscheiden van de
voorgaande generatie. Hierbij creëren ze een eigen ruimte, een eigen levensvisie, een eigen
stijl. Dit eigen patrimonium van stijlkenmerken wordt weerspiegeld in de wijze waarop
adolescenten hun uiterlijk verzorgen (bijvoorbeeld kledij en haarsnit), de manier waarop ze
zich gedragen en de voorkeur die ze tonen voor bepaalde opvattingen, voor bepaalde
vrijetijdsactiviteiten, voor uitgaansgelegenheden, voor soorten muziek.
Ook het ontstaan van intieme persoonlijke vriendschappen tussen jongeren is kenmerkend
voor de middenadolescentie. Naar het einde van de adolescentie zijn jongeren dan ook in
staat duurzame vriendschapsrelaties aan te gaan en te onderhouden. Naast het feit dat
vriendschap gezelschap met zich brengt, bieden vrienden en adolescenten ook emotionele
steun bij het behouden en versterken van zijn/haar zelfwaardering. Jongeren gaan tijdens de
middenadolescentie een balans zoeken tussen afhankelijkheid en onafhankelijkheid.
Jongere adolescenten zijn erg gericht op het samen doorbrengen van tijd. Oudere
adolescenten daarentegen zoeken een weg tussen hun onvoorwaardelijke loyale
vriendschappen enerzijds en het scheppen van ruimte waarbinnen zij zelf andere relaties
kunnen aangaan anderzijds.
Adolescenten en hun vrije tijd
Hoewel adolescenten dikwijls klagen over een gebrek aan vrije tijd, hebben ze meestal, en in
het bijzonder in vergelijking met volwassenen, veel vrije tijd. Deze vrije tijd brengen zij
overwegend door met leeftijdsgenoten.
Activiteiten als het gezamenlijk beluisteren van muziek, op bezoek gaan bij vrienden,
tijdschriften lezen, op café gaan en sporten behoren tot de top vijf van de begeerde en
veelvuldig voorkomende vrijetijdsbestedingen. De belangrijkste redenen waarom
adolescenten deze activiteiten prefereren zijn het opdoen van sociale contacten, de
mogelijkheid om vorm te geven aan hun fantasieën, expressie, ontspanning en
leermogelijkheden.
2.3.3 De psychoseksuele ontwikkeling
Pedagogische begeleidingsdienst OVSG
Wiskunde 2de graad ASO
11
De psychoseksuele ontwikkeling vormt net zoals de psychosociale ontwikkeling en de
cognitieve ontwikkeling, een belangrijke ontwikkelingstaak voor de adolescent. Omwille van
de vrij abrupte en snelle veranderingen op lichamelijk vlak zijn jongeren tijdens de vroege
adolescentie vooral gepreoccupeerd met hun lichaam en de wijze waarop anderen hun
lichaam percipiëren. Tijdens de middenadolescentie ligt de nadruk eerder op de meer
relationele aspecten van de psychoseksuele ontwikkeling.
Jongeren en seksualiteit
De seksuele ontwikkeling tijdens de jeugdjaren verloopt onder de vorm van een stapsgewijs
proces. Deze ‘initiatiecarrière’, die gekenmerkt wordt door een graduele en systematische
toename van seksuele ervaringen, vindt men terug bij vrijwel alle jongeren. Vanzelfsprekend
is de timing niet bij alle jongeren identiek. Bij lager opgeleide jongeren bijvoorbeeld begint
het psychoseksuele ontwikkelingsproces vroeger en wordt het ook sneller doorlopen. Anders
gezegd hebben deze jongeren in vergelijking met hoger opgeleide jongeren en meisjes
sneller een waaier van seksuele activiteiten doorlopen. Ook is er een belangrijk verschil
tussen jongens en meisjes op te merken. Niet alleen het tijdstip waarop het seksuele
rijpingsproces plaats vindt (meisjes zijn vroeger seksueel rijp in vergelijking met jongens)
maar vooral het bestaan van een seksueelspecifiek waarden- en normenpatroon ligt aan de
basis van de belangrijke verschillen tussen jongens en meisjes binnen de psychoseksuele
ontwikkeling. Concreet: meisjes dienen binnen de ‘stapsgewijze interactiecarrière’ een
afwachtende, eerder teruggetrokken houding aan te nemen, jongens daarentegen zouden
prestatiegericht, initiatief nemend en assertief moeten zijn. Natuurlijk kan men ook stellen dat
de psychoseksuele ontwikkeling cultureel bepaald is. Binnen onze multiculturele
samenleving is dit een belangrijk gegeven. Islamitische jongeren bijvoorbeeld denken anders
over seksualiteit. Het genderverschil is hierbij zeer uitgesproken. Bijkomend kan het leven
tussen twee culturen de nodige problemen geven.
Het is belangrijk dat jongeren zelf een vrij centrale en actieve rol in het verloop van deze
ontwikkeling spelen. Jongeren dienen zelf inschattingen te maken van hetgeen zij wensen en
niet wensen op seksueel vlak. Ook op dit vlak evolueerde onze maatschappij naar een
onderhandelingscultuur. Jongeren dienen ook op seksueel vlak te leren onderhandelen over
hetgeen zij wel en niet wensen. Jongeren leren stapsgewijs nieuwe vaardigheden,
betekenissen, emoties, … te integreren binnen het geheel van hun ontwikkeling, binnen hun
eigen identiteit.
Gevolgen van een ‘te vroeg’ en ‘te laat’ seksueel rijpingsproces
De psychoseksuele ontwikkeling gaat van start met diverse biologische rijpingsprocessen.
Deze hebben overwegend plaats tijdens de vroege adolescentie. Wanneer de timing van de
biologische rijpingsprocessen anders verloopt dan verwacht, kan dit problemen meebrengen
tijdens de middenadolescentie.
Laatrijpe jongens worden over het algemeen anders beoordeeld door hun leeftijdsgenoten
en door volwassenen. Leeftijdsgenoten vinden deze jongens minder aantrekkelijk,
ongedurig, praatziek, bazig en kinderlijk. Ze zijn dus niet echt populair bij hun peers.
Volwassenen hebben van laatrijpe jongens een gelijksoortig beeld. Ze worden als minder
aantrekkelijk, minder mannelijk, minder verzorgd en minder realistisch beoordeeld door
volwassenen.
Men vindt sneller dat ze zich aanstellen. Laatrijpe jongens worden dus geconfronteerd met
een relatief lage waardering door hun omgeving. Dit laatste leidt op zijn beurt vaak tot een
lage zelfwaardering.
Bij meisjes vinden we het tegenovergestelde. Vroegrijpe meisjes worden door hun
klasgenoten minder positief beoordeeld. Vooral de gewichtstoename zou tot deze
Pedagogische begeleidingsdienst OVSG
Wiskunde 2de graad ASO
12
vermindering van populariteit in de klas leiden. Vroegrijpe meisjes worden wel aantrekkelijker
bevonden bij de oudere leerlingen. Zo zullen vooral oudere jongens aan meisjes die er snel
seksueel aantrekkelijk uitzien, aandacht schenken. Dit kan leiden tot isolement van het
klasgebeuren, waarbij vroegrijpe meisjes meer contact hebben met oudere leerlingen dan
met hun leeftijds- en dus klasgenoten. Bijkomend wees onderzoek ook uit dat vroegrijpe
meisjes meestal veel minder succesvol zijn op school, de school vroegtijdig verlaten, sneller
huwen en sneller een gezin stichten.
2.3.4 Tot slot
De adolescentieperiode, in het bijzonder de middenadolescentie, omvat twee grote
ontwikkelingstaken.
- Het verwerven van een persoonlijke levensstijl, meer bepaald het op adequate wijze
kunnen omgaan met zichzelf en met anderen. Men selecteert hetgeen men wil
meenemen uit het verleden en men verwerft nieuwe vaardigheden, normen, waarden,
gedrag, … De jongere evalueert wat al dan niet bij hem of haar past en maakt hieruit een
selectie.
- Een plaats verwerven in het sociaal netwerk, een sociale omgeving, een sociaal milieu, …
Hiervoor dient de jongere keuzen te maken met betrekking tot de sociale rollen die hij of
zij wenst te vertolken. Dit alles heeft tot doel zich erkend en herkend te voelen binnen een
welbepaald sociaal netwerk.
Ervaring opdoen door het experimenteren op alle terreinen is noodzakelijk om deze twee
ontwikkelingstaken tot een bevredigend einde te brengen. De middenadolescentie is dan ook
de periode bij uitstek waarin de jongere experimenteert met zichzelf in relatie tot anderen. Dit
uitproberen zal hem of haar een antwoord geven op de belangrijke vragen die hij of zij zich
stelt, met name ‘Wie ben ik?’, ‘Wat wil ik?’ en ‘Wie wil ik zijn?’.
Vanzelfsprekend mag men de diversiteit die er tussen jongeren bestaat bij dit alles niet uit
het oog verliezen. Gender, opleidingsniveau, cultuur, sociaal-economische klasse, origine, …
zijn alle factoren die een belangrijke invloed kunnen uitoefenen op de psychologische
ontwikkeling van de adolescent, of met andere woorden, op de identiteitsontwikkeling tijdens
de adolescentie.
Pedagogische begeleidingsdienst OVSG
Wiskunde 2de graad ASO
13
3
Het onderwijs
3.1
Pedagogisch project
Een pedagogisch project is een document dat de algemene doelen opsomt die een
inrichtende macht in haar onderwijs wenst te realiseren. Deze doelen hebben betrekking op
opvoeding en onderwijs en op de mens en de maatschappij in het algemeen. Het
pedagogisch project kan aldus worden gezien als een beginselverklaring van een inrichtende
macht die de essentiële kenmerken van haar identiteit bevat.
Elke inrichtende macht is bevoegd voor het uitschrijven van haar eigen project. Daardoor
bestaat er in het officieel gesubsidieerd onderwijs een interne verscheidenheid. Er is echter
ook een gemeenschappelijkheid terug te vinden. Daarop is het “gemeenschappelijk pedagogisch project” gebaseerd. Dat is de synthese van de bestaande projecten die elementen
bevat die alle inrichtende machten als gemeenschappelijke noemer aanvaarden. Die
synthese is uitgeschreven als een tienpuntenplan.
3.1.1 Tienpuntenplan
De Raad van Bestuur van het OVSG keurde op 25.09.96 de volgende tekst goed als
“Gemeenschappelijk pedagogisch project van het officieel gesubsidieerd onderwijs stedelijke, gemeentelijke inrichtende machten en Vlaamse Gemeenschapscommissie
Brussel”.
1. Openheid
De school staat ten dienste van de gemeenschap en staat open
voor alle leerplichtige jongeren, ongeacht hun filosofische of
ideologische overtuiging, sociale of etnische afkomst, sekse of
nationaliteit.
2. Verscheidenheid
De school vertrekt vanuit een positieve erkenning van de
verscheidenheid en wil waarden en overtuigingen, die in de
gemeenschap leven, onbevooroordeeld met elkaar confronteren.
Zij ziet dit als een verrijking voor de gehele schoolbevolking.
3. Democratisch
De school is het product van de fundamenteel democratische
overtuiging dat verschillende opvattingen over mens en
maatschappij in de gemeenschap naast elkaar kunnen bestaan.
4. Socialisatie
De school leert jongeren leven met anderen en voedt hen op met
het doel hen als volwaardige leden te laten deel hebben aan een
democratische en pluralistische samenleving.
5. Emancipatie
De school kiest voor emancipatorisch onderwijs door alle
leerlingen gelijke ontwikkelingskansen te bieden, overeenkomstig
hun mogelijkheden. Zij wakkert zelfredzaamheid aan door
leerlingen mondig en weerbaar te maken.
6. Totale persoon
De school erkent het belang van onderwijs en opvoeding. Zij
streeft een harmonische persoonlijkheidsvorming na en hecht
evenveel waarde aan kennisverwerving als aan attitudevorming.
7. Gelijke kansen
De school treedt compenserend op voor kansarme leerlingen door
bewust te proberen de gevolgen van een ongelijke sociale positie
om te buigen.
Pedagogische begeleidingsdienst OVSG
Wiskunde 2de graad ASO
14
8. Medemens
De school voedt op tot respect voor de eigenheid van elk mens. Zij
stelt dat de eigen vrijheid niet kan leiden tot de aantasting van de
vrijheid van de medemens. Zij stelt dat een gezonde leefomgeving
het onvervreemdbaar goed is van elkeen.
9. Europees
De school brengt de leerlingen de gedachte bij van het Europees
burgerschap en vraagt aandacht voor het mondiale gebeuren en
het multiculturele gemeenschapsleven.
10. Mensenrechten
De school draagt de beginselen uit die vervat zijn in de Universele
Verklaring van de Rechten van de Mens en van het Kind, neemt er
de verdediging van op. Zij wijst vooroordelen, discriminatie en
indoctrinatie van de hand.
3.1.2 Leerplan
Vanuit het tienpuntenplan worden eigen doelstellingen geformuleerd met als bedoeling het
pedagogisch project te concretiseren.
Op dezelfde basis worden aangepaste didactische wenken uitgewerkt.
3.2
Opdrachten van het gewoon voltijds secundair onderwijs2
3.2.1 Een volwaardige vorming aanbieden
De kerntaak van het onderwijs is aan elke leerling kansen bieden op een volwaardige
vorming.
Daaronder verstaat men de persoonlijke, sociale, culturele en arbeidsgerichte ontwikkeling
van de leerlingen. Deze vorming impliceert een brede en harmonische persoonsvorming,
een vorming gericht op een actieve, kritische deelname aan het maatschappelijk leven en
een voorbereiding op een verdere studieloopbaan of op een vlotte intrede in het
beroepsleven.
Dit sluit nauw aan bij de visie zoals het rapport Delors3 ze verwoordt aan de hand van
volgende vier aspecten van leren:
- leren om te kennen;
- leren om te doen;
- leren om samen te leven;
- leren om zichzelf te kunnen zijn.
Meer recent heeft ook het Vlaams Parlement zich uitgesproken over de noodzaak van een
volwaardige vorming. In een resolutie van 28 januari 1998 stelt het parlement dat blijvende
aandacht moet gaan naar algemene vorming en het ontwikkelen van attitudes gericht op
“leren leren” .4
Volwaardige vorming krijgt in de tweede en de derde graad van het secundair onderwijs in
principe op drie manieren vorm. Iedere leerling heeft recht op een relevante basisvorming.
Basisvorming bereidt een lerende voor op kritisch-creatief functioneren in de samenleving en
de uitbouw van een persoonlijk leven. Daarnaast bereidt het secundair onderwijs jongeren
voor op vervolgopleidingen.
Doorstroomgerichte vorming bereidt de lerende voor op de vereisten van vervolgopleidingen
binnen het onderwijs, buiten het onderwijs en van levenslang leren. Ten derde bereidt het
2 In de hierna volgende teksten gebruiken we de termen ‘secundair onderwijs’ in de betekenis van het gewoon
voltijds secundair onderwijs.
3 J. Delors, Learning, the treasures within. Report to UNESCO of the international Commission on Education
for the Twenty-first Century, Highlights, s.l. Unesco, 1996
4 Vlaams Parlement, Resolutie betreffende de werkgelegenheid in Vlaanderen, - Handelingen, 651 (1996 –
1997), 30 april 1997; 850 ( 1997 – 1998), 28 januari 1998.
Pedagogische begeleidingsdienst OVSG
Wiskunde 2de graad ASO
15
secundair onderwijs jongeren ook voor op een vlotte intrede in het beroepsleven. De
beroepsgerichte vorming bereidt een lerende voor op de vereisten gesteld aan de
beginnende beroepsbeoefenaar. Naargelang van de onderwijsvormen zullen twee of meer
van deze vormingscomponenten in de opleiding worden gerealiseerd.
De studierichtingen in het secundair onderwijs zijn inhoudelijk niet alleen kennisgericht maar
ontwikkelen ook vaardigheden en attitudes bij de leerlingen. Ze streven een harmonische
ontwikkeling van cognitieve, dynamisch-affectieve, sociale en motorische componenten van
de persoonlijkheid na.
De studierichtingen streven ook een brede vorming na, rekening houdende met een
evenwicht tussen de verschillende cultuurcomponenten/kennisdomeinen5. Elementen van
diverse cultuurcomponenten kunnen als aanvulling op verschillende manieren functioneel in
vakken worden opgenomen o.a. door te verwijzen naar contexten.
3.2.2 Recht doen aan verschillen: zorgbreedte
Het secundair onderwijs heeft als opdracht om jongeren een volwaardige vorming aan te
bieden, rekening houdend met de verschillen tussen die jongeren. Ondanks de verschillen
hebben al deze jongeren recht op gelijkwaardige toekomstperspectieven en een volwaardige
integratie in de samenleving en het beroepsleven.
De verschillen tussen leerlingen kunnen zowel persoonsgebonden zijn (verschillende
fysieke, psychische en intellectuele mogelijkheden, andere vaardigheden en belangstelling,
jongens en meisjes), als sociologisch bepaald (culturele en etnische achtergrond, sociaaleconomische herkomst, uit stedelijke en landelijke gebieden).
De Vlaamse gemeenschap heeft gekozen voor een emancipatorisch onderwijs. Hiermee wil
ze hefbomen aanreiken voor de zelfontplooiing van alle leerlingen, met respect voor ieders
eigenheid. Dit betekent dat emancipatorisch onderwijs leerlingen stimuleert tot een zo groot
mogelijke autonomie en verantwoordelijkheidszin.
Recht doen aan verschillen gebeurt op macroniveau via een aangepast onderwijsaanbod,
structureel en inhoudelijk. Het concept van de onderwijsvormen, met hun verschillende
studierichtingen en hun verschillende leertrajecten moet een gelijkwaardige vorming
aanbieden waarin de ontwikkelingsmogelijkheden van alle leerlingen optimaal worden benut
en er voldoende brede opvangmogelijkheden gegarandeerd zijn. Mede in het licht van deze
vaststelling is het pakket aan eindtermen voor de basisvorming gedifferentieerd voor de vier
onderwijsvormen.
Op school- en klasniveau beschouwt de onderwijswereld zorgbreedte als een opdracht voor
elke school. Dit gebeurt door leerlinggerichte begeleiding, gedifferentieerde leerwegen en
gedifferentieerde doelstellingen.
3.2.3 Ontwikkelen van het zelfconcept van leerlingen
Om zichzelf optimaal te ontwikkelen, moeten leerlingen beschikken over een realistisch
zelfconcept.
Dit wil zeggen dat ze inzicht krijgen in de eigen mogelijkheden en
beperktheden, een eigen waardenkader opbouwen en de kans krijgen om hun eigen
levensdoelen vorm te geven. Stimulering van een realistisch zelfconcept laat leerlingen toe
om geleidelijk een toekomstperspectief te verwerven en voor zichzelf keuzes te maken
waaronder een gepaste studie- en beroepskeuze. Zeker in de tweede en de derde graad
van het secundair onderwijs is dit een belangrijk gegeven. Een goed realistisch zelfconcept
is ook onontbeerlijk voor een optimale cognitieve, dynamisch-affectieve, sociale en
harmonische ontwikkeling.
5 Voor de eerste graad was hierbij sprake van de muzisch-creatieve, de exact-wetenschappelijke, de verbaalliteraire, de technisch-technologische, de menswetenschappelijke en de ethisch-religieuze component.
Pedagogische begeleidingsdienst OVSG
Wiskunde 2de graad ASO
16
Een gepaste ontwikkeling van het zelfconcept veronderstelt dat leerlingen voldoende succes
ervaren, geconfronteerd worden met een breed gamma van leerervaringen en de kans
krijgen om hun eigen ideeën te toetsen aan die van medeleerlingen en volwassenen.
3.2.4 Leerlingen leren kiezen
Het secundair onderwijs stelt leerlingen in staat om verantwoordelijkheid op te nemen voor
beslissingen. Keuzebekwaamheid is niet enkel een vereiste voor het maken van een studieen beroepskeuze maar ook voor de vele keuzes die dagelijks worden gemaakt.
Voorwaarden om tot keuzebekwaamheid te komen, zijn: een helder zelfconcept, een ruim en
objectief zicht op de keuzemogelijkheden, inzicht in keuzeprocessen, inzicht in externe
factoren die het keuzeproces kunnen beïnvloeden.
Leerlingen
hebben
bij
hun
studiekeuze
recht
op
een
gestructureerde
studiekeuzebegeleiding.
Dit omvat o.m. correcte en volledige informatie over de
mogelijkheden, de beperktheden en de kenmerken van vervolgopleidingen.
Inzake
beroepskeuze hebben ze evenzeer recht op informatie over de waaier van mogelijke
beroepen en mogelijkheden en beperktheden op de arbeidsmarkt.
De structuur van het onderwijs en de onderwijsinhouden zoals o.m. omschreven in de
vakoverschrijdende eindtermen bieden mogelijkheden om de ontwikkeling en de verfijning
van het keuzeproces te bevorderen.
3.2.5 Leerlingen leren samenleven
Het secundair onderwijs in de tweede en de derde graad heeft niet alleen de taak leerlingen
voor te bereiden op verdere studies of op een intrede in het beroepsleven. Het heeft ook de
fundamentele taak leerlingen te leren samenleven met anderen. In de school wordt een
basis gelegd om interpersoonlijke, familiale en maatschappelijke relaties op te bouwen en te
onderhouden. Daarvoor volstaat het niet de anderen te leren kennen. De ontwikkeling van
sociale vaardigheden is daartoe noodzakelijk.
Jongeren worden in de eigen omgeving meer en meer geconfronteerd met gevarieerde
culturen. Om op een aangepaste manier in deze multiculturele samenleving te functioneren
worden attitudes als een correcte omgang met anderen, respect voor elkaars cultuur, met
eigen symbolen, waarden en cultuurintuïties, als essentieel gezien. Daarnaast zijn
communicatieve vaardigheden zoals omgaan met conflicten en kennis van de eigen cultuur
en andere culturen belangrijk. Die kennis en vaardigheden richten zich niet louter op het
herkennen van en omgaan met verschillen, maar vooral op het besef van talrijke
overeenkomsten.
De schoolcultuur speelt een belangrijke ondersteunende rol bij de ontwikkeling van de
sociale en interculturele vaardigheden van de leerlingen door onder meer in de school- en
onderwijsorganisatie te voorzien in inspraak- en participatiemogelijkheden voor leerlingen.
3.3
Visie op de tweede graad
Een polyvalente tweede graad
De fundamentele en maatschappelijk onderschreven doelstelling om alle leerlingen kansen
te geven om zich optimaal te ontwikkelen en het gegeven dat verschillen in sociale herkomst,
geslacht en individuele persoonskenmerken in principe geen belemmering mogen zijn bij die
ontwikkeling, heeft consequenties voor de structurele en inhoudelijke vormgeving van het
secundair onderwijs. Na een open eerste graad moet in de tweede graad, met zijn
onderwijsvormen, de leerweg van elke leerling relatief breed blijven. In de tweede graad
worden bijgevolg geen al te determinerende keuzes gemaakt die een zware hypotheek
Pedagogische begeleidingsdienst OVSG
Wiskunde 2de graad ASO
17
leggen op de verdere studieloopbaan. De polyvalentie gaat echter niet zo ver dat elke
studierichting in de tweede graad op elke studierichting in de derde graad voorbereidt. De
studierichtingen in de tweede graad zijn wel voldoende breed georiënteerd om de overgang
naar verschillende studierichtingen binnen eenzelfde onderwijsvorm zoveel mogelijk open te
houden, en dit zeker binnen hetzelfde studiegebied. Overgangen tussen onderwijsvormen
mogen niet uitgesloten worden.
3.4
Specifieke klemtonen in het ASO
Het algemeen secundair onderwijs (ASO) heeft een dubbel doel: doorstroming en algemene
vorming.
Dat laatste betekent dat de vorming verschillende cultuur- of vormingscomponenten bevat.
3.5
Visie op het vak
Wiskunde in een veranderende samenleving
Wiskunde en de maatschappij
Enerzijds is er in onze (technologisch georiënteerde) maatschappij een grote vraag naar
praktisch bruikbare en concrete wiskunde, en anderzijds kan de abstractie van wiskunde
soms hoog zijn. In het vak wiskunde bestaat een wisselwerking tussen theorievorming en de
bruikbaarheid ervan voor het oplossen van concrete problemen.
Wiskunde en de leerling
Kennisverwerving en -verwerking is een actief, sociaal proces waarvoor een minimale
motivatie vereist is. Het ontdekken en opbouwen van wiskunde door de leerling gebeurt bij
voorkeur door te vertrekken van voor de leerling betekenisvolle inhouden; de verworven
kennis en vaardigheden moeten met inzicht worden toegepast in diverse situaties.
De eigenheid van het wiskundig denken
Wiskunde biedt de mogelijkheid om modellen op te bouwen waarmee verschijnselen,
processen en verbanden kunnen worden beschreven, voorspeld en verklaard. Het is onder
meer eigen aan wiskunde de samenhang tussen wiskundige begrippen en wiskundige
modellen te vergelijken, te ordenen en te funderen en daaruit maximaal voordeel te halen.
Consequenties voor het wiskundeonderwijs
Het is wenselijk dat de verschillende facetten van wiskunde in het wiskundeonderwijs aan
bod komen, in overeenstemming met de eigenheid van de onderwijsvorm. De combinatie
van deze verschillende facetten kan er toe leiden dat de zinvolle ontwikkeling van wiskundige
kennis, denkwijzen en werkmethodes voor elke leerling optimaal kan verlopen.
Pedagogische begeleidingsdienst OVSG
Wiskunde 2de graad ASO
18
4
Algemene doelstellingen

Een wiskundig basisinstrumentarium verwerven: kunnen omgaan met symbolen,
formules, begrippen en verbanden waarmee men getallenleer, algebra, meetkunde,
analyse en statistiek kan ontwikkelen.
Een aantal wiskundige denkmethoden verwerven: mogelijkheden verwerven om te
ordenen en te structuren.
Cijfer- en beeldinformatie op een betekenisvolle manier kunnen hanteren.
Kunnen omgaan met de wiskunde als taal.
Zelfstandigheid en vaardigheden ontwikkelen in het oplossen van problemen.
Verbanden kunnen leggen tussen de wiskundige leerinhouden en andere
vakdisciplines.
Technische hulpmiddelen kunnen gebruiken om wiskundige informatie te verwerken,
berekeningen uit te voeren of wiskundige problemen te onderzoeken.
Ervaren dat de wiskunde een dynamische wetenschap is.
Zelfvertrouwen en kritische zin ontwikkelen.
Ervaren dat de wiskunde een belangrijke cultuurcomponent is.









Pedagogische begeleidingsdienst OVSG
Wiskunde 2de graad ASO
19
5
Algemene didactische wenken
5.1
Uitgangspunten
Men kan de methodische en didactische wenken niet los zien van de vakgebonden en
vakoverschrijdende eindtermen. Deze eindtermen zijn niet altijd aan een bepaalde vakinhoud
gerelateerd: er gaat vooral aandacht uit naar vaardigheden en attitudes. Het zijn de gebruikte
werkvormen die het succes en het bereiken van deze doelstellingen zullen bepalen. Dit
betekent niet dat kennis onbelangrijk is. Integendeel, kennis moet op toepassingsniveau
(vaardigheidsniveau) kunnen worden ingezet. Leerlingen bereiken dit vaardigheidsniveau
alleen dan wanneer ze ook de kans krijgen om te oefenen in wisselende en nieuwe,
realistische contexten.
‘Leren leren’ wordt niet automatisch verworven: leerlingen moeten de kans krijgen het eigen
leren actief en in een groeiende mate van zelfstandigheid in eigen handen te nemen.
Didactisch kan de leerkracht deze groei naar zelfstandigheid inbouwen in de leeractiviteiten
en werkvormen: van zelf werken, via zelfstandig werken naar zelfstandig leren van de
leerling.
Zelf werken
1ste graad
Zelfstandig werken
2de graad
Zelfstandig leren
3de graad
Doelen staan vast.
Doelen staan vast.
Leerlingen bepalen leerdoel
binnen algemene doelen.
Korte gesloten opdrachten.
Langere gesloten opdrachten. Langere open opdrachten in
samenspraak met leerlingen.
De leraar bepaalt inhoud,
waar, wanneer, volgorde en
aanpak.
De leraar bepaalt inhoud en
aanpak.
De leraar bepaalt middels de
opleiding de algemene
leerdoelen.
De leraar stuurt in kleine
stappen.
De leraar stuurt in kleine
stappen.
De leraar is begeleider en
‘helpt’ op aanvraag.
De leerling doet wat gevraagd De leerling doet wat
is.
gevraagd is, waarbij plaats,
tijdstip en volgorde door de
leerling worden bepaald.
De leerling bepaalt zelf wat
nodig is om zijn doel te
realiseren en voert dit uit.
Geen feedback of alleen op
leerinhouden.
Feedback op leerinhouden.
Feedback op het leerproces,
de aanpak en op de inhoud;
zelfevaluatie door de leerling.
Geen reflectie of alleen
reflectie op het leerresultaat.
Reflectie op het leerresultaat
en soms op het leerproces.
Reflectie op het leerresultaat
én op het leerproces.
Daar waar in de eerste graad het ‘zelf werken’ nog volledig onder begeleiding van de
leerkracht gebeurt, kan er in de tweede graad meer tijd worden besteed aan
‘zelfstandig werken’.
Tips om van 'zelf werken' te evolueren naar 'zelfstandig werken':
- maak de opdrachten /taken meer open en uitgebreider;
- laat de leerlingen zich oriënteren op het materiaal als geheel (bv. het volledige hoofdstuk,
de volledige proef, …);
- laat de leerlingen kiezen uit opdrachten/taken en laat hen hun keuze verantwoorden;
- laat de leerlingen bij open en uitgebreider opdrachten/taken zelf een aanpak bedenken,
ook al blijkt die fout te zijn. Nadien samen de aanpak en de redenering bespreken;
Pedagogische begeleidingsdienst OVSG
Wiskunde 2de graad ASO
20
- kies regelmatig voor groepswerk; laat de leerlingen reflecteren op groepsproces en
groepsproduct;
- laat de leerlingen in duo's of groepjes reflecteren op elkaars producten, ook na individueel
werk;
- laat de leerlingen zelf criteria opstellen ten behoeve van de reflectie op elkaars producten
of op een groepsproduct;
- laat de leerlingen hun eigen of elkaars producten mee beoordelen 'voor een cijfer', via
zelfevaluatie of 'peer evaluation';
- laat de leerlingen nadenken over de relevantie en toepassingsmogelijkheden van het
geleerde, ook voor zaken buiten de school.
Meer dan in de eerste graad kunnen nu interactieve werkvormen met een variatie aan
groeperingsvormen ingevoerd worden. Ook de taken kunnen nu complexer worden alhoewel
ze nog beperkt in de tijd kunnen zijn. Onder begeleiding leren de leerlingen in de tweede
graad fundamentele leerstrategieën inzetten en oefenen:
- vóór het uitvoeren van de opdracht leren ze plannen (zich oriënteren op het onderwerp,
hun voorkennis inzetten, terugblikken op een vorige gelijkaardige opdracht, leerdoelen
verduidelijken);
- tijdens het uitvoeren van de opdracht leren ze informatie verwerven en kritisch verwerken
(verbanden leggen, problemen oplossen, onderzoeken);
- na het uitvoeren van de opdracht leren ze terugblikken op hun leerproces (hun aanpak
evalueren, nagaan waarom iets fout ging, formuleren hoe ze hun aanpak zullen bijsturen).
De bijgevoegde instructiekaarten expliciteren deze leerstrategieën en geven de gelegenheid
ze bij elke opdracht in te zetten en te oefenen.
Leren is bovendien ook een sociaal proces: opgedane kennis en ervaringen worden getoetst
aan anderen. Leerlingen zullen trouwens meer en meer moeten kunnen samenwerken.
Didactisch betekent dit het geregeld organiseren van groepswerk (in duo’s of in grotere
groepjes).
Om te participeren aan deze ‘actieve’ werkvormen hebben leerlingen complexe sociale
vaardigheden nodig: luisteren naar elkaar, dialogeren, leiding kunnen nemen, leiding kunnen
aanvaarden, … De ontwikkeling van deze vaardigheden kan enkel de resultante zijn van een
opgebouwd leerproces.
5.2
Werkvormen
In bijlage vindt de leerkracht een repertorium van didactische werkvormen (zie 14.3). Eén
werkvorm kan voor verschillende doelstellingen aangewend worden, maar door te werken
met één bepaalde werkvorm kan men tegelijkertijd ook verschillende doelen nastreven. Het
belangrijkste is doelbewust te variëren met het oog op wat leerlingen aan
(basis)vaardigheden moeten verwerven.
Van sommige handelingen leert men meer dan van andere. De leerpiramide geeft weer met
welke activiteiten men veel leert (basis van de piramide) en met welke veel minder (top). De
leerpiramide kan voor de leerkracht een instrument zijn om de eigen klaspraktijk te evalueren
en ev. bij te sturen.
Pedagogische begeleidingsdienst OVSG
Wiskunde 2de graad ASO
21
luisteren
lezen
kijken / luisteren
(audiovisuele middelen)
kijken / luisteren/ nadoen
erover praten
toepassen / doen
uitleggen aan anderen
Meer lectuur over werkvormen vindt men in de bibliografie.
5.3
Samenwerking tussen leerkrachten
Samenwerking tussen leerkrachten geeft een krachtige basis voor betere leerprocessen bij
de leerlingen.
Elke leerkracht heeft de taak de verbanden tussen zijn vak en de andere vakken te
beklemtonen. Hoofdstuk 6 van het leerplan bevat hiervoor geregeld verwijzingen naar
andere vakken (zie kolom LINK). Dit stelt de leerkracht in staat om met collega’s afspraken
te maken om de samenhang van vakonderdelen voor de leerlingen te verduidelijken.
Belangrijk is dat leerlingen kunnen ervaren dat de leerstrategieën van één vak ook
toepasbaar zijn in andere vakken. Leerkrachten kunnen samenwerken over het gebruik van
de instructiekaarten (zie hoofdstuk 14 Bijlagen) en over het omgaan met tekstmateriaal
(leesstrategieën, zie hoofdstuk 9 Taalbeleid).
Verder kunnen er afspraken gemaakt worden i.v.m. de opbouw van zelfstandigheid van
leerlingen, de opbouw van groepswerk, het toepassen van activerende werkvormen.
Ook vakinhoudelijke samenwerking (parallel of complementair werken, thematisch, projectmatig) met leerkrachten van andere algemene vakken of van de technische, kunst- of
praktische vakken kan leerlingen motiveren en hen wijzen op de relevantie van het algemene
vak voor de opleiding.
Als leerlingen weten dat alle leerkrachten samenwerken aan hun vorming, ervaren zij dat als
verrijkend voor hun opleiding.
Pedagogische begeleidingsdienst OVSG
Wiskunde 2de graad ASO
22
6
Leerplandoelstellingen, leerinhouden, didactische wenken en
hulpmiddelen
Leeswijzer
Het leerplan wordt schematisch voorgesteld in 6 kolommen. Deze zijn van links naar rechts
te lezen.
Kolom 1:
Numerieke volgorde (Nr.)
De doelstellingen zijn numeriek geordend van begin tot einde leerplan. Deze nummering
heeft geen implicaties voor de chronologie in de realisatie van de doelstellingen. Er wordt
geen volgorde vooropgesteld, het betreft een graadleerplan waarbij de vakwerkgroep dient
uit te maken welke doelstellingen tot de invulling van het eerste of het tweede leerjaar
behoren.
Kolom 2:
Leerplandoelstellingen en leerinhouden
Leerplandoelstellingen (in omrande kader)
Deze kunnen zijn:
eindtermen voor het vak uit de basisvorming
eigen doelstellingen voor het vak, nodig om de eindtermen te onderbouwen
extra eigen doelstellingen voor het vak
Leerinhouden (in omrande kader)
Dit is leerstof die bedoeld is om de bijbehorende leerplandoelstellingen te realiseren.
Kolom 3:
Code
Codering van de leerplandoelstellingen:
- ET
eindterm met decretaal nummer;
voor de eindtermen die attitudes beogen, geldt geen realisatieverplichting, maar
een inspanningsverplichting. Ze zijn gemerkt met een asterisk (ET*)
- EDV
eigen doelstelling voor het vak;
Pedagogische begeleidingsdienst OVSG
Wiskunde 2de graad ASO
23
Kolom 4:
Basis of uitbreiding (B/U)
Er wordt een onderscheid gemaakt tussen basis- en uitbreidingsdoelstellingen.
Basisdoelstellingen (B) vormen de criteria voor het slagen, moeten door nagenoeg alle
leerlingen bereikt worden.
Uitbreidingsdoelstellingen (U) zijn bedoeld voor uitbreiding en differentiatie. Het realiseren
ervan is afhankelijk van de beschikbare tijd en van de mogelijkheden binnen de
leerlingengroep, ze kunnen niet verplicht worden voor alle leerlingen.
Kolom 5:
Didactische wenken en hulpmiddelen
Didactische wenken zijn bedoeld als ondersteuning van de leerkracht, de vakwerkgroep en
het schoolteam.
Zij kunnen:
- een leerplandoelstelling of leerinhoud verduidelijken;
- didactische werkvormen of hulpmiddelen aangeven die leerplandoelstellingen helpen
realiseren;
- richtlijnen geven voor evaluatie;
- verwijzen naar bibliografie, nuttige adressen;
- verbanden leggen met andere vakken, met vakoverschrijdende eindtermen, met
informatie- en communicatietechnologie, met intercultureel onderwijs, met taalbeleid.
Zie ook overeenstemmende hoofdstukken elders in dit leerplan.
Kolom 6:
Link
Deze kolom is bedoeld om het schoolteam te ondersteunen. De in kolom 5 omschreven
verwijzingen worden hier gecodeerd weergegeven en vestigen de aandacht van de lezer op
mogelijke vakoverstijgende afspraken en op vakoverschrijdende eindtermen.
Codering:
- ander vak, bijvoorbeeld AAR (aardrijkskunde), BIO (biologie), FRA (Frans), NED
(Nederlands), …
- informatie- communicatietechnologie: ICT
- intercultureel onderwijs: ICO
- taalbeleid: TA.BE
Pedagogische begeleidingsdienst OVSG
Wiskunde 2de graad ASO
24
Nr.
Leerplandoelstelling en leerinhoud
Code
B/U
Didactische wenken en hulpmiddelen
Link
6.1 ALGEMENE VAARDIGHEDEN EN ATTITUDES
1
Wiskundetaal kunnen begrijpen en gebruiken.
ET 1
B
2
Probleemoplossende vaardigheden kunnen toepassen.
ET 2
B
3
De gemaakte keuzes voor representatie- en
oplossingstechnieken kunnen verantwoorden.
ET 3
B
4
De resultaten op hun betrouwbaarheid kunnen controleren.
ET 4
B
5
Informatie- en communicatietechnologie om wiskundige
informatie te verwerken, berekeningen uit te voeren of
wiskundige problemen te onderzoeken kunnen gebruiken.
ET 5
B
6
Kennis, inzicht en vaardigheden die men verwerft in wiskunde bij
het verkennen, vertolken en verklaren van problemen uit de
realiteit kunnen gebruiken.
ET 6
B
7
Voorbeelden kunnen geven van reële problemen die m.b.v.
wiskunde kunnen worden opgelost.
ET 7
B
Pedagogische begeleidingsdienst OVSG
Wiskunde 2de graad ASO
25
Nr.
Leerplandoelstelling en leerinhoud
Code
B/U
8
Voorbeelden kunnen geven van de rol van de wiskunde in de
kunst.
ET 8
B
9
Het belang en de noodzaak van bewijsvoering, eigen aan de
wiskunde ervaren.
ET* 9
B
10
Ervaren dat gegevens uit een probleemstelling toegankelijker
worden door ze doelmatig weer te geven in een geschikte
wiskundige representatie of model.
ET* 10
B
11
Zelfregulatie ontwikkelen: het oriënteren op de probleemstelling,
het plannen, het uitvoeren en het bewaken van het
oplossingsproces.
ET* 11
B
12
Zelfvertrouwen ontwikkelen door succeservaring bij het
oplossen van wiskundige problemen.
ET* 12
B
Pedagogische begeleidingsdienst OVSG
Wiskunde 2de graad ASO
Didactische wenken en hulpmiddelen
Link
26
Nr.
Leerplandoelstelling en leerinhoud
Code
B/U
13
Bij het aanpakken van problemen zelfstandigheid en
doorzettingsvermogen kunnen ontwikkelen.
ET* 13
B
14
Met anderen kunnen samenwerken om de eigen mogelijkheden
te vergroten.
ET* 14
B
Pedagogische begeleidingsdienst OVSG
Wiskunde 2de graad ASO
Didactische wenken en hulpmiddelen
Link
27
Nr.
Leerplandoelstelling en leerinhoud
Code
B/U
EDV
B
Didactische wenken en hulpmiddelen
Link
6.2 GETALLENLEER EN ALGEBRA
15
Het begrip “irrationaal getal” kennen.
Irrationale getallen
Herhaling van de getallenverzamelingen: de natuurlijke getallen, de gehele getallen
en de rationale getallen. Rationale getallen kunnen geschreven worden als
eindigende of repeterende kommavormen. Getallen waarvan de kommavorm niet
repeteert noch eindigt, noemen we irrationale getallen.
De leerlingen leren irrationale getallen afronden. Er kan melding gemaakt worden
,    315
, geeft een absolute fout
van de absolute fout op metingen, bijvoorbeeld 314
van 0,01.
Een adequaat gebruik van een rekenmachine kan een oplossing bieden bij het
toetsen van de resultaten b.v. door ze te vergelijken met een schatting
(nauwkeurigheid en afronding van het eindresultaat).
Merk op dat leerlingen in hoofdzaak worden geconfronteerd met het rekenen met
decimale getallen. Men moet erop wijzen dat dit niet betekent dat resultaten niet
exact kunnen berekend worden.
Rekenen met irrationale getallen in functionele situaties. Met “functioneel” bedoelen
wij het oplossen van problemen uit hun omgeving.
Bewijs dat
16
Het begrip “reëel getal” kennen.
ET 15
De plaats van een reëel getal op een getallenas kunnen bepalen.
Reële getallen afbeelden op een getallenas.
een irrationaal getal is.
B
Reële getallen
17
2
Een reëel getal kan geschreven worden als een kommavorm die eindigt of al dan niet
repeteert.
ET 15
B
Elk reëel getal heeft precies één beeld op de getallenas. Elk punt van de getallenas
is het beeld van precies één reëel getal. De stelling van Pythagoras stelt de
leerlingen in staat vierkantwortels op de getallenas af te beelden.
Met een grafisch tekenprogramma kan men op een eenvoudige manier de
beeldpunten van reële getallen construeren.
Pedagogische begeleidingsdienst OVSG
Wiskunde 2de graad ASO
ICT
28
Nr.
18
Leerplandoelstelling en leerinhoud
Het begrip “vierkantswortel” kennen.
Code
B/U
ET 16
B
Vierkantswortel.
19
Kunnen rekenen met vierkantswortels.
Didactische wenken en hulpmiddelen
Link
Het begrip vierkantswortel wordt ingevoerd als inverse bewerking van het kwadraat .
Voorbeelden tonen aan dat een getal a ofwel twee tegengestelde vierkantswortels
heeft, of precies één, of geen naargelang het getal a positief, nul of negatief is.
ET 16
B
Rekenen met vierkantswortels.
De positieve vierkantswortel van a wordt genoteerd
a , de negatieve
vierkantswortel als  a . Vierkantswortels uit negatieve getallen doen het bestaan
vermoeden van een nieuwe getallenuitbreiding!
20
Rekenregels voor machten met gehele exponenten kennen en
kunnen toepassen.
Rekenregels voor machten.
ET 16
B
Uitbreiden tot machten van willekeurige getallen. Toepassing in functionele situaties.
Starten met getalvoorbeelden, die in een volgende stap veralgemeend worden tot
lettervoorbeelden met getalexponenten.
Ook bij het rekenen met getallen in wetenschappelijke schrijfwijze zal men zich
beperken tot het functionele.
Pedagogische begeleidingsdienst OVSG
Wiskunde 2de graad ASO
29
Nr.
21
Leerplandoelstelling en leerinhoud
De eigenschappen en rekenregels van de
vierkantsworteltrekking kennen en kunnen toepassen.
Code
B/U
ET 16
B
Bewerkingen met vierkantswortels:
- vereenvoudigen;
- optellen;
- vermenigvuldigen en delen;
- wortelvrij maken van een noemer.
Didactische wenken en hulpmiddelen
Link
Rekenen met de kommavorm van irrationale getallen is onmogelijk zonder zrm tenzij
we die getallen afronden. Regels voor het rekenen met wortelvormen worden
overgenomen uit de rekenregels voor de machten.
Distributiviteit maakt het mogelijk wortelvormen te vermenigvuldigen, te delen en te
vereenvoudigen. Omdat er geen distributiviteit is t.o.v. som en verschil
( a  b  a  b ) kunnen slechts gelijksoortige wortelvormen opgeteld en
afgetrokken worden. Het wortelvrij maken van de noemer kan uitgebreid worden tot
tweetermen in de noemer. Hieraan dient een herhaling van de merkwaardige
producten vooraf te gaan. Het is zinvol rekenoefeningen te voorzien waarbij de
rekenmachine wordt gebruikt. Belangrijk daarbij is dat de leerlingen slechts afronden
bij het verkrijgen van het eindresultaat. Er moet aandacht besteed worden aan de
nauwkeurigheid zowel van het resultaat als van de rekenmachine zelf.
22
Kunnen rekenen met de nde machtswortels.
EDV
U
EDV
U
De nde machtswortel:
- definitie;
- rekenen met nde machtswortels.
23
De definitie van een rekenkundige rij kunnen afleiden uit
voorbeelden.
De rekenkundige rij: definitie.
Eigenschappen van een rekenkundige rij:
-
constant verschil tussen twee opeenvolgende termen
-
elke term is het rekenkundig gemiddelde van de twee termen die hem omsluiten
Pedagogische begeleidingsdienst OVSG
Wiskunde 2de graad ASO
Gebruik voorbeelden uit een quiz of spelletjesboekjes met het begrip “ rij”.
Laten nagaan wat opvalt bij enkele opgegeven voorbeelden.
ICT
http://grrddkkr.tripod.com/klas1tm4.htm/#top klas1 volgende getal raden
30
Nr.
24
Leerplandoelstelling en leerinhoud
De algemene term van een rekenkundige rij kunnen opstellen.
Code
B/U
EDV
U
EDV
U
Didactische wenken en hulpmiddelen
Link
Algemene term van een rekenkundige rij.
25
Een gevraagde term van een rekenkundige rij kunnen berekenen.
Volgende oefeningen kunnen aan bod komen:
- een gegeven rekenkundige rij verder aanvullen;
- een bepaalde term van een rekenkundige rij berekenen als gegeven:
. het voorschrift van de algemene term;
. de eerste term en het constant verschil;
. de eerste en de nde term uit de rij.
26
De som van de eerste n termen van een rekenkundige rij kunnen
bepalen.
EDV
U
EDV
U
Som van de eerste n termen van een rekenkundige rij.
27
De definitie van een meetkundige rij kunnen afleiden uit
voorbeelden.
De meetkundige rij.
Er kan opnieuw uitgegaan worden van enkele voorbeelden.
Eigenschappen van de meetkundige rij:
- constant quotiënt van iedere term en de vorige term;
- elke term is het meetkundig gemiddelde van de twee termen die hem omsluiten.
28
De algemene term van een meetkundige rij kunnen opstellen.
EDV
U
EDV
U
Algemene term van een meetkundige rij.
29
Een gevraagde term van een meetkundige rij kunnen berekenen.
Gelijksoortige opdrachten als bij de rekenkundige rij.
Pedagogische begeleidingsdienst OVSG
Wiskunde 2de graad ASO
31
Nr.
30
Leerplandoelstelling en leerinhoud
De som van de eerste n termen van een meetkundige rij kunnen
bepalen.
Code
B/U
EDV
U
Didactische wenken en hulpmiddelen
Link
Opgelet: de leerlingen kennen het bewijs van de formule van het merkwaardig
quotiënt nog niet.
31
Kunnen uitmaken of een gegeven rij rekenkundig of meetkundig
is.
EDV
U
Laat de leerlingen de eigenschappen van rekenkundige en meetkundige rijen
vergelijken:
rekenkundige rij:
meetkundige rij:
32
De bewerkingen met rijen kunnen uitvoeren in contexten.
EDV
Optelling
Vermenigvuldiging
Aftrekking
Deling
Vermenigvuldiging
Machtsverheffing
Deling
Worteltrekking
U
Andere vakken geven hiervoor oefenmogelijkheden, bijvoorbeeld in AV Economie
kan men de slotwaarde van een kapitaal na 1, 2,…, 15 jaar berekenen met
samengestelde intrest; ook oefeningen i.v.m. geneeskunde, reststoffen.
ECO
Rij van Fibonacci: elke term is de som van de twee voorgaande termen (de eerste
twee moeten dus gegeven zijn).
Pedagogische begeleidingsdienst OVSG
Wiskunde 2de graad ASO
32
Nr.
33
Leerplandoelstelling en leerinhoud
Formules van merkwaardige producten kennen en vlot kunnen
toepassen in beide richtingen.
Code
B/U
EDV
B
Merkwaardige producten.
( A  B)
Didactische wenken en hulpmiddelen
Link
De merkwaardige producten uit de eerste graad moeten herhaald worden. Ook
wortelvormen kunnen nu in de oefeningen voorkomen. Het kwadraat van zowel een
som als een verschil kan op een zeer aanschouwelijke manier voorgesteld worden
door de oppervlakte te berekenen van een vierkant met een zijde die onderverdeeld
is in een stuk A en een stuk B.
3
( A  B)( A2  A.B  B 2 )
( A  B  C )2
34
Weten wat een vergelijking is van de eerste graad in 1
onbekende.
ET 19
B
ET 19
B
Vergelijkingen van de eerste graad in 1 onbekende.
35
Een vergelijking van de eerste graad in 1 onbekende kunnen
oplossen en de proef kunnen maken.
Oplossingsmethode voor een vergelijking van eerste graad in 1 onbekende.
36
Volgende begrippen kennen:
- ware en onware uitspraak;
- ongelijkheid van de eerste graad in 1 onbekende;
- oplossing van een ongelijkheid;
- oplossingenverzameling en referentieverzameling van een
ongelijkheid.
ET 20
Gebruik bij voorkeur de balansmethode en bied niet alleen oefeningen aan met x als
onbekende.
B
Ongelijkheden van de eerste graad in 1 onbekende.
Pedagogische begeleidingsdienst OVSG
Wiskunde 2de graad ASO
33
Nr.
37
Leerplandoelstelling en leerinhoud
Ongelijkheden van de 1ste graad in 1 onbekende kunnen
oplossen.
Code
B/U
ET 20
B
Didactische wenken en hulpmiddelen
Link
Verenigbaarheid van ongelijkheden met de hoofdbewerkingen.
Oplossingsmethode voor ongelijkheden van de eerste graad in 1 onbekende.
Het verdient aanbeveling dat de ongelijkheden voortspruiten uit vraagstukken over
meer realistische situaties. Een interpretatie van de oplossing is dan wel
noodzakelijk. (zie instructiefiches – 14.3).
Hier eveneens niet enkel oefeningen aanbieden met x als onbekende.
Verder moeten de leerlingen de oplossingenverzameling kunnen schrijven als een
interval ( het begrip oneindig intuïtief aanbrengen) en voorstellen op een getallenas.
38
Een probleem kunnen oplossen door het probleem te herleiden
tot het oplossen van een vergelijking of ongelijkheid van de
eerste graad in 1 onbekende.
ET 21
Vraagstukken die leiden tot vergelijkingen van de eerste graad in 1 onbekende.
Vraagstukken die leiden tot ongelijkheden van de eerste graad in 1 onbekende.
B
Er kan heel wat aandacht besteed worden aan de ontwikkeling van
probleemoplossende vaardigheden (zie Instructiefiches – 14.3).
Realiteitsbetrokken vraagstukken kiezen!
Diagrammen, grafieken en tabellen kunnen gebruikt worden om de problemen aan te
brengen.
Voldoende aandacht besteden aan de analyse van de situatie door een duidelijke
vraagstelling aan te wenden.
Opteren voor een gepaste rekenwijze: hoofdrekenen, rekenmachine, computer….
ICT
Aandacht hebben voor de formulering van het antwoord, want dit is tenslotte de
weergave van de oplossing van het gestelde probleem.
Grootheden uit de techniek worden best met hun gebruikelijk SI-symbool
geschreven.
Er bestaan rekenmachines die over een “equationsolver” beschikken.
Pedagogische begeleidingsdienst OVSG
Wiskunde 2de graad ASO
34
Nr.
39
Leerplandoelstelling en leerinhoud
Weten wat een vergelijking is van de tweede graad in 1
onbekende.
Code
B/U
ET 19
B
Vergelijking van de tweede graad in 1 onbekende: definitie
40
De standaardvorm kennen van een vierkantsvergelijking.
Didactische wenken en hulpmiddelen
Link
Je start best met een eenvoudig vraagstuk.
ET 19
B
ET 19
B
EDV
B
EDV
B
EDV
B
Vierkantsvergelijking: standaardvorm.
41
Een onvolledige vierkantsvergelijking kunnen oplossen.
De onvolledige vierkantsvergelijking:
- definitie;
- oplossingsmethodes.
42
Weten wat een volledige vierkantsvergelijking is.
De volledige vierkantsvergelijking.
43
Een vierkantsvergelijking waarvan het linkerlid in de
standaardvorm een volkomen kwadraat is kunnen oplossen.
De volledige vierkantsvergelijking: specifieke oplossingsmethode.
44
De algemene formules voor het oplossen van een
vierkantsvergelijking kunnen afleiden.
Algemene oplossingsmethode van een vierkantsvergelijking.
Leerlingen moeten inzien dat er nood is aan een algemene oplossingsmethode.
Indien een programmeertaal op het programma “Informatica” staat, kan het oplossen
van een vierkantsvergelijking als toepassing op de “selectie” aangeboden worden.
Pedagogische begeleidingsdienst OVSG
Wiskunde 2de graad ASO
ICT
35
Nr.
45
Leerplandoelstelling en leerinhoud
De algemene methode kunnen gebruiken bij het oplossen van
een vierkantsvergelijking.
Code
B/U
EDV
B
Didactische wenken en hulpmiddelen
Maak gebruik van een oplossingenverzameling en laat eveneens een proef
uitvoeren.
Link
ICT
http://grrddkkr.tripod.com/klas1tm4.htm/#top klas3 vierkantsvergelijkingen
46
De rol van de discriminant kunnen verklaren i.v.m. het aantal
oplossingen van een vierkantsvergelijking.
EDV
B
47
Een vierkantsvergelijking met parameter(s) kunnen oplossen en
bespreken.
EDV
U
EDV
U
EDV
U
Een vierkantsvergelijking met parameters bespreken.
48
De formules voor som en product van de oplossingen kunnen
afleiden.
Som en product van de oplossingen van een vierkantsvergelijking.
49
De formules kunnen gebruiken om de oplossingen van een
vierkantsvergelijking te bepalen.
Pedagogische begeleidingsdienst OVSG
Wiskunde 2de graad ASO
36
Nr.
50
Leerplandoelstelling en leerinhoud
Een veelterm van de tweede graad kunnen schrijven als een
product van 2 factoren van de eerste graad met behulp van de
oplossingen van een vierkantsvergelijking.
Code
B/U
ET 18
B
Didactische wenken en hulpmiddelen
Link
ax²  bx  c  a(x  x1)(x  x 2 )
2
waarbij x1, x 2 de oplossingen zijn van de vergelijking ax  bx  c  0
51
Een veelterm van de tweede graad kunnen ontbinden in factoren.
EDV
B
Ontbinden van veeltermen van de tweede graad:
52
http://grrddkkr.tripod.com/klas1tm4.htm/#top klas2 ontbinden in factoren
-
buiten haken brengen
-
verschil van 2 kwadraten
-
een volkomen kwadraat
-
via de berekening van de oplossingen van de corresponderende vierkantsvergelijking.
Hogere graadsveeltermen kunnen ontbinden.
Ontbinden van hogere graadsveeltermen:
-
buiten haken brengen
-
gebruik van merkwaardige producten
-
de regel van Horner, deling door (x - a), (x – 1), (x + 1)
-
opsporen van delers van de vorm (x – a)
Pedagogische begeleidingsdienst OVSG
Wiskunde 2de graad ASO
EDV
ICT
U
Eerst de verschillende methoden afzonderlijk inoefenen, daarna overgaan op
gemengde oefeningen.
De regel van Horner kan eventueel als techniek gegeven worden, mits men aantoont
dat de tegengestelde bewerking terug de oorspronkelijke veelterm geeft.
Als toepassing kan je een veeltermvergelijking, met graad groter dan 2, in 1
onbekende oplossen.
37
Nr.
53
Leerplandoelstelling en leerinhoud
Formules kunnen omvormen met technieken van de
eerstegraadsvergelijking.
Code
B/U
ET 17
B
Omvormen van formules.
54
Een probleem kunnen oplossen door het probleem te herleiden
tot het oplossen van een vergelijking van de tweede graad in 1
onbekende.
Vraagstukken die leiden tot vierkantsvergelijkingen.
Pedagogische begeleidingsdienst OVSG
Wiskunde 2de graad ASO
EDV
Didactische wenken en hulpmiddelen
Link
Overleg met leraars van andere vakken over het gebruik van formules.
FYS
Ga uit van technieken voor het oplossen van eerstegraadsvergelijkingen (bv.
balansmethode) en niet van uitspraken zoals “van lid / teken veranderen”.
ECO
Toepassingen halen uit verschillende domeinen ook buiten de wiskunde: o.a. fysica,
economie, problemen i.v.m. omtrek en oppervlakte van figuren, …
FYS
ECO
B
38
Nr.
Leerplandoelstelling en leerinhoud
Code
B/U
ET 22
B
Didactische wenken en hulpmiddelen
Link
6.3 REËLE FUNCTIES
55
De verwoording van een verband tussen twee grootheden
kunnen weergeven met een tabel, een grafiek en een formule.
Functies:
- begrippen;
- definitie.
Als voorbereiding op dit onderwerp kunnen leerlingen volgende opdracht krijgen:
zoek in kranten, tijdschriften, … hoe verbanden en gebeurtenissen op verschillende
manieren aanschouwelijk voorgesteld worden.
Zoek voorbeelden uit de leefwereld van de leerlingen. (Een klassieker is het verband
tussen de gesprekstijd en het factuurbedrag. De mobiele telefonie kent verschillende
aanbieders en telefoontarieven; één en ander met mekaar vergelijken kan als rode
draad doorheen dit hoofdstuk lopen. Internet is dan nooit ver weg.)
ICT
“Functie” definiëren we als een verband tussen twee grootheden waarbij met elke
waarde van de eerste grootheid één of geen waarde van de tweede grootheid
correspondeert.
Vervolgens voeren we specifiek wiskundige terminologie in.
56
Een functievoorschrift kunnen omzetten naar een
functiewaardentabel en een grafiek.
ET 22
B
Functie:
- functiewaarden;
- tabel met functiewaarden;
- grafiek.
57
De grafiek van een functie kunnen interpreteren.
Aflezen en interpreteren van een grafiek:
- opstellen van de functiewaardentabel;
- stijgen en dalen;
- nulwaarden en extreme waarden aflezen;
- top;
- snijpunten van de grafiek met de assen van het referentiestelsel.
Pedagogische begeleidingsdienst OVSG
Wiskunde 2de graad ASO
Aangeraden wordt om naast het manueel schetsen van een grafiek eveneens
gebruik te maken van een grafisch rekentoestel of een softwarepakket.
“Graphmatica” is gratis te downloaden software.
ET 22
ICT
B
Wijs op de meerwaarde van een grafiek (informatief, overzichtelijk).
Wijs erop dat men meestal bij het aflezen van een beeldwaarde onvermijdelijk
meetfouten maakt.
39
Nr.
58
Leerplandoelstelling en leerinhoud
Uit de grafiek van een functie domein, bereik, nulwaarden,
tekenverandering, stijgen, dalen, extrema, symmetrie kunnen
afleiden.
Code
B/U
ET 25
B
Extrema, symmetrie, stijgen, dalen, domein, bereik, tekenverloop.
59
Uitgaande van het voorschrift van de standaardfuncties
Didactische wenken en hulpmiddelen
Link
Het is zinvol om hier reeds te illustreren hoe het tekenverloop van een functie
aangewend wordt in het oplossen van ongelijkheden.
ET 23
B
ET 24
B
EDV
U
f(x)=x, f(x)=x², f(x)=x³, f(x)=1/x en f(x)= x:
- de coördinaten van een aantal punten kunnen berekenen;
- deze punten kunnen uitzetten in een assenstelsel;
- de grafiek kunnen schetsen en interpreteren.
Onderzoek van de standaardfuncties.
60
Vanuit de standaardfuncties f(x)=x en f(x)=x² de grafiek van
f(x) + k
f(x + k)
kf(x)
kunnen opbouwen.
61
Een grafische rekenmachine kunnen gebruiken.
Verifiëren; grafieken tekenen; verbanden onderzoeken.
Pedagogische begeleidingsdienst OVSG
Wiskunde 2de graad ASO
40
Nr.
62
Leerplandoelstelling en leerinhoud
Het begrip ‘differentiequotiënt’ kennen en kunnen interpreteren
als maat voor de gemiddelde verandering over een interval
Code
B/U
ET 32
B
Het differentiequotiënt:
- definitie;
- meetkundige voorstelling.
Didactische wenken en hulpmiddelen
Als instap: de gemiddelde snelheid van een bewegend voorwerp in een bepaald
tijdsinterval.
Link
FYS
De meetkundige betekenis van differentiequotiënt is de richtingscoëfficiënt van de
koorde die …
63
De definitie kennen van een constante functie en weten dat de
grafiek van een constante functie een rechte is evenwijdig met
de x-as.
ET 22
B
De constante functie:
- definitie;
- grafiek.
64
De definitie kennen van een eerstegraadsfunctie.
Definitie van een eerstegraadsfunctie.
Functievoorschrift van een eerstegraadsfunctie.
Pedagogische begeleidingsdienst OVSG
Wiskunde 2de graad ASO
Opnieuw: ga op zoek naar concrete voorbeelden of beter, laat leerlingen voorbeelden
opsporen.
ET 22
B
Breng situaties aan die wel en niet kunnen vertolkt worden met behulp van een
eerstegraadsfunctie. Voor de leerlingen zijn de eenparig veranderlijke rechtlijnige
beweging en de wet van Pouillet gekende voorbeelden uit de fysica.
FYS
41
Nr.
65
Leerplandoelstelling en leerinhoud
De grafiek van een eerstegraadsfunctie kunnen tekenen.
Code
B/U
ET 24
B
Grafiek van een eerstegraadsfunctie.
Didactische wenken en hulpmiddelen
Link
De leerlingen met voldoende situaties confronteren die wiskundig kunnen vertolkt
worden met behulp van een eerstegraadsfunctie.
De grafische interpretatie van een eerstegraadsfunctie met voorschrift f(x) = a.x + b is
een rechte met vergelijking y = a.x + b, die de x en y-as snijdt: punt voor punt
constructie van de grafiek is een mogelijk uitgangspunt. Zo kunnen de lln. b.v. een
tabel van functiewaarden opstellen, de bijhorende punten tekenen, tussenliggende
koppels berekenen, om uiteindelijk vast te stellen dat de grafiek een rechte is.
Grafische rekenmachine en computer kunnen een meerwaarde zijn: onderzoeken
wat er gebeurt als we a of b laten variëren, kan de rechte evenwijdig zijn met de yas, wanneer hebben we evenwijdige rechten, snijpunten met de coördinaatassen,
stijgen en dalen, …
66
De nulwaarde van een eerstegraadsfunctie kunnen bepalen en
interpreteren.
ET 25
B
Nulwaarde van een eerstegraadsfunctie.
67
De grafische betekenis van a en b in het functievoorschrift f(x) =
a.x +b kunnen uitleggen en de link kunnen leggen tussen
richtingscoëfficiënt en differentiequotiënt.
Richtingscoëfficiënt van de grafiek van een eerstegraadsfunctie.
Pedagogische begeleidingsdienst OVSG
Wiskunde 2de graad ASO
ICT
Wijs op het verband tussen deze nulwaarde en het snijpunt van de grafiek van de
functie met de x-as.
ET 33
ET 32
B
Het verband expliciteren tussen de functie met voorschrift f(x) = a.x + b en de
corresponderende rechte met vergelijking y = a.x + b.
42
Nr.
Leerplandoelstelling en leerinhoud
68
Het voorschrift kunnen bepalen van een eerstegraadsfunctie als
die gegeven is door een tabel of grafiek.
Code
ET 26
B/U
Didactische wenken en hulpmiddelen
Link
B
Als van een eerstegraadsfunctie een tabel van functiewaarden gegeven is, kan de
vergelijking van de rechte opgesteld worden door daaruit twee stellen coördinaatgetallen af te leiden en de redenering te maken voor een rechte door twee punten.
Een andere mogelijkheid is in de tabel zelf op zoek te gaan naar een vaste
stapgrootte om daaruit de richtingscoëfficiënt af te leiden. (b.v. als bij een vaste
toename van de x-waarden met 5, een vaste toename van y met 15 overeenkomt, is
de richtingscoëfficiënt 3).
Laat gegeven grafieken aan een reeks gegeven voorschriften associëren.
Het gaat hier vooral om het verifiëren. Men kan ook twee stellen coördinaatgetallen
laten aflezen zodat de vergelijking van de rechte door die twee punten kan opgesteld
worden.
Wijs op het belang van nauwkeurigheid.
Toepassing: opzoeken van het voorschrift van constante functies en van functies met
een meervoudig voorschrift.
http://grrddkkr.tripod.com/klas1tm4.htm
Pedagogische begeleidingsdienst OVSG
Wiskunde 2de graad ASO
43
Nr.
69
Leerplandoelstelling en leerinhoud
In toepassingen die kunnen vertaald worden naar een
eerstegraadsfunctie met y = a.x + b als vergelijking van de
corresponderende rechte, de coëfficiënten a en b kunnen
interpreteren.
Code
B/U
ET 33
B
Didactische wenken en hulpmiddelen
Link
Mogelijke voorbeelden zijn:
70
Weten wanneer een eerstegraadsfunctie stijgend of dalend is.
ET 24
ET 25
Het tekenverloop van een eerstegraadsfunctie kunnen uitvoeren.
De opbrengstfunctie ( verkoopprijs bepalen van een aantal goederen met vaste
prijs per exemplaar).
-
De afgelegde weg bij constante snelheid.
-
Wet van Hooke (lengte van een veer bepalen na uitrekking door een gewicht).
-
Kostenfunctie (b.v. totale kost van een wagen per jaar = vaste kost + kost per
gereden km).
B
Onderzoek naar stijgen en dalen van een eerstegraadsfunctie.
71
-
Zie de wenken onder nr 65.
ET 24
ET 25
B
ET 27
B
Tekenverloop van een eerstegraadsfunctie.
72
Ongelijkheden van de eerste graad in één onbekende kunnen
oplossen.
Het oplossen van ongelijkheden van de eerste graad in 1 onbekende kan hier
verbonden worden met de tekenverandering van de bijhorende eerstegraadsfunctie.
Het verdient aanbeveling dat de ongelijkheden voortspruiten uit vraagstukken over
meer realistische situaties. Een interpretatie van de oplossing is wel noodzakelijk.
Pedagogische begeleidingsdienst OVSG
Wiskunde 2de graad ASO
44
Nr.
73
Leerplandoelstelling en leerinhoud
Het verband kunnen leggen tussen de oplossingen van
vergelijkingen en ongelijkheden van de eerste graad in 1
onbekende en de er bijpassende grafische voorstelling.
Code
B/U
ET 27
B
Didactische wenken en hulpmiddelen
Link
Extra aandacht besteden aan het verband tussen open en gesloten intervallen en
meetkundige figuren zoals lijnstukken, rechten en halfrechten.
74
Problemen kunnen oplossen die kunnen beschreven worden met
eerstegraadsfuncties.
ET 31
B
75
De definitie van een tweedegraadsfunctie kunnen geven.
ET 23
ET 24
B
Definitie en functievoorschrift van een tweedegraadsfunctie.
76
De grafiek van een tweedegraadsfunctie (parabool) kunnen
tekenen.
Grafiek van een tweedegraadsfunctie.
Karakteristieken van de grafiek:
- dal- of bergparabool;
- symmetrieas;
- top;
- snijpunten met de coördinaatassen.
Pedagogische begeleidingsdienst OVSG
Wiskunde 2de graad ASO
Vang opnieuw aan met een concreet voorbeeld zoals het verband tussen de zijde
(straal) en de oppervlakte van een vierkant (cirkel).
ET 24
B
ICT is handig om het verband tussen het functievoorschrift f(x) = a.x² + b.x + c en de
grafiek, de parabool met vergelijking y = a.x² + b.x + c te onderzoeken :
teken en grootte van a, vertrekkend van y = a.x² kijken naar y = a.x² + c en naar y
= a.(x-q)²,, het verband tussen de discriminant en het aantal snijpunten met de xas, …
ICT
Door het dynamisch karakter van CABRI kan men de invloed van de parameters a en
q verduidelijken.
45
Nr.
77
Leerplandoelstelling en leerinhoud
De vergelijking van de symmetrieas van een parabool kunnen
geven.
Code
B/U
EDV
B
Didactische wenken en hulpmiddelen
Link
Wijs op het praktisch nut van de symmetrieas bij de manuele constructie van de
parabool.
78
De coördinaten van de top van een parabool kunnen bepalen.
EDV
B
De leerlingen beseffen dat de top van de parabool op de symmetrieas ligt!
79
De nulwaarden van een tweedegraadsfunctie kunnen berekenen.
ET 25
B
ET 25
B
Nulwaarden van een tweedegraadsfunctie.
80
De nulwaarden grafisch kunnen interpreteren.
Verband tussen nulwaarde en snijpunt met x-as beklemtonen.
81
Het verband tussen het aantal oplossingen van a.x² + b.x + c = 0
en het aantal snijpunten, van de parabool met vergelijking y =
a.x² + b.x + c, met de x-as inzien.
ET 27
B
82
Algebraïsch of met ICT gemeenschappelijke punten kunnen
bepalen van rechten en / of parabolen.
ET 30
B
Snijpunten tussen een rechte en een parabool.
83
Kunnen onderzoeken waar een tweedegraadsfunctie stijgend of
dalend is.
Als je kiest voor een algebraïsche behandeling kan je dit onderwerp als uitbreiding
geven op de substitutiemethode (zie oplossen van stelsels).
ET 25
ICT
B
Functieverloop van de tweedegraadsfunctie.
Pedagogische begeleidingsdienst OVSG
Wiskunde 2de graad ASO
46
Nr.
Leerplandoelstelling en leerinhoud
Code
B/U
84
Inzien dat de top een extremum is.
ET 25
B
85
Het tekenonderzoek van een tweedegraadsfunctie kunnen
uitvoeren.
ET 25
B
Tekenverloop van een tweedegraadsfunctie.
86
Ongelijkheden van de tweede graad in 1 onbekende kunnen
oplossen.
Link
Aan de hand van enkele grafische voorbeelden wordt het tekenverloop besproken en
in een tabel weergegeven. De rol van a en D wordt verklaard.
ET 20
B
Ongelijkheden van de tweede graad in één onbekende.
Hiervoor gebruiken we het tekenverloop van de corresponderende tweedegraadsfunctie. Grafisch interpreteren!
De oplossingenverzameling laten voorstellen op een getallenas.
87
Problemen kunnen oplossen die te herleiden zijn tot
ongelijkheden van de tweede graad in één onbekende.
ET 21
B
88
Het verband kunnen leggen tussen de oplossingen van
vergelijkingen en ongelijkheden van de tweede graad in 1
onbekende en de bijpassende grafische voorstelling.
ET 27
B
89
Problemen kunnen oplossen die kunnen beschreven worden met
een 2de graadsfunctie.
ET 31
B
Pedagogische begeleidingsdienst OVSG
Wiskunde 2de graad ASO
Didactische wenken en hulpmiddelen
47
Nr.
90
Leerplandoelstelling en leerinhoud
Weten wat een stelsel van twee vergelijkingen van de eerste
graad met twee onbekenden is.
Code
B/U
ET 28
B
Stelsel van twee vergelijkingen van de eerste graad met twee onbekenden:
- definitie
91
Een stelsel van twee vergelijkingen van de eerste graad met twee
onbekenden grafisch kunnen oplossen.
ET 28
Weten dat een stelsel van twee vergelijkingen van de eerste
graad met twee onbekenden één, geen of oneindig veel
oplossingen heeft.
EDV
B
Het gebruik van een grafisch rekenmachine of een computer is sterk aanbevolen.
Een stelsel van twee vergelijkingen van de eerste graad met twee
onbekenden algebraïsch kunnen oplossen.
ET 28
Stelsel van twee vergelijkingen van de eerste graad met twee onbekenden:
- substitutiemethode;
- combinatiemethode.
Deze bespreking herleid zich grafisch tot:
- twee snijdende rechten;
- twee evenwijdige rechten of
- twee samenvallende rechten.
B
Soms is het zinvol de oplossing van een stelsel zo exact mogelijk te bepalen.
Hiervoor zijn een aantal algebraïsche oplossingsmethoden beschikbaar zoals de
combinatie- en de substitutiemethode.
Een goed voorbeeld van een selectie of menu-opdracht is het programmeren van het
algoritme om een stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden op te lossen.
Pedagogische begeleidingsdienst OVSG
Wiskunde 2de graad ASO
ICT
B
Stelsel van twee vergelijkingen van de eerste graad met twee onbekenden:
- aantal oplossingen
93
Link
Om dit begrip te definiëren kan je best uitgaan van een vraagstuk. Tevens moet je
benadrukken dat de oplossingenverzameling van het stelsel bestaat uit oplossingen
die voldoen aan beide vergelijkingen. De begrippen ‘doorsnede’ en ‘conjunctie’
komen dus aan bod. (Eventueel een uitstap naar ‘logische schakelingen’
ondernemen).
Stelsel van twee vergelijkingen van de eerste graad met twee onbekenden:
- grafische oplossingsmethode.
92
Didactische wenken en hulpmiddelen
INF
48
Nr.
Leerplandoelstelling en leerinhoud
Code
B/U
94
Voor een stelsel van twee vergelijkingen van de eerste graad met
twee onbekenden de voordeligste oplossingsmethode kunnen
kiezen.
EDV
B
95
De oplossingenverzameling van een stelsel van twee
vergelijkingen van de eerste graad met twee onbekenden kunnen
beoordelen door de proef te nemen.
EDV
B
96
Een probleem (vraagstuk) kunnen omzetten in een stelsel van
vergelijkingen van de eerste graad met twee onbekenden en
daarna kunnen oplossen met de geziene technieken.
ET 29
B
Vraagstukken die leiden tot een stelsel van twee vergelijkingen van de eerste graad met
twee onbekenden.
Pedagogische begeleidingsdienst OVSG
Wiskunde 2de graad ASO
Didactische wenken en hulpmiddelen
Link
Een aantal problemen kunnen omgezet worden in een stelsel van twee vergelijkingen
van de eerste graad met twee onbekenden
Eveneens aandacht besteden aan de grafische interpretatie van het probleem; zo
kunnen de leerlingen geconfronteerd worden met enkele zinvolle toepassingen van
hun wiskundekennis.
De leerlingen beseffen dat de gevonden oplossingen moeten getoetst worden aan de
gegeven situatie.
49
Nr.
Leerplandoelstelling en leerinhoud
Code
B/U
EDV
B
Didactische wenken en hulpmiddelen
Link
6.4 MEETKUNDE
97
De definitie van congruente figuren kunnen formuleren.
Congruente figuren: definitie.
Herhaal de definitie: congruente figuren zijn figuren die elkaar volkomen kunnen
bedekken.
Oefeningen maken op het herkennen of analyseren van ‘gelijke’ patronen in
voorstellingen en vlakvullingen (bv. behangpapier, verpakkingsmateriaal, friezen van
gebouwen, vloertegels, Escher-figuren). Een driehoek die verschoven, gedraaid of
gespiegeld wordt levert een congruente figuur op. Controleren door figuren op elkaar
te leggen, door de lengten van de zijden en de grootte van de hoeken te meten en te
vergelijken.
Het begrip ‘gelijk van vorm en maat’ krijgt een meer wiskundige vertolking.
98
Eigenschappen van congruente veelhoeken kunnen formuleren.
EDV
TA.BE
B
Congruente veelhoeken: gelijkheid van de overeenkomstige zijden en van de
overeenkomstige hoeken bij congruente veelhoeken.
Didactisch materiaal gebruiken (bv. constructiespeelgoed).
Congruentiekenmerken gebruiken om meetkundeproblemen op te lossen: wat zeker
aan bod komt zijn de merkwaardige lijnen in een driehoek, de om- en incirkel.
Congruentiekenmerken bij driehoeken.
De leraar zal hierbij een zinvolle selectie maken in functie van de leerlingengroep en
de studierichting.
99
De definitie van gelijkvormige figuren kunnen formuleren.
Gelijkvormige figuren : definitie.
ET 34
B
Herhaal de begrippen ‘schaal’, ‘homothetie’ en ‘gelijkvormige figuren’. Twee figuren
zijn gelijkvormig als de ene figuur congruent is met een homothetisch beeld van de
andere figuur.
AAR
Je kan aandacht besteden aan figuren die niet in een zelfde vlak liggen (boven- en
grondvlak van een kubus, een balk, …).
Wijs erop dat gelijkvormigheid in allerlei constructies gebruikt wordt om een ‘stevige’
vorm te bekomen (bv. een dakgebinte, de poten van een projectietafel, …).
Pedagogische begeleidingsdienst OVSG
Wiskunde 2de graad ASO
50
Nr.
100
Leerplandoelstelling en leerinhoud
Het begrip “gelijkvormigheidsfactor “ kunnen verklaren.
Code
B/U
ET 34
B
Didactische wenken en hulpmiddelen
Bespreek het verband tussen gelijkvormige figuren en het begrip “schaal”.
Link
AAR
Je kan eventueel werken met meetopdrachten.
101
Eigenschappen van gelijkvormige figuren kunnen opsommen.
ET 34
B
Eigenschappen van gelijkvormige figuren: gelijkheid van de overeenkomstige hoeken,
evenredigheid van de overeenkomstige zijden, oppervlakte.
102
Kunnen formuleren wat gelijkvormige driehoeken zijn.
Leerlingen moeten gelijkvormige figuren kunnen herkennen en inzien dat een
gelijkvormigheid een afstand vermenigvuldigt met de gelijkvormigheidsfactor en een
oppervlakte met het kwadraat van die gelijkvormigheidsfactor.
ET 34
B
ET 34
B
Gelijkvormige driehoeken.
103
De gelijkvormigheidskenmerken voor driehoeken kunnen
formuleren.
Gelijkvormigheidskenmerken voor driehoeken.
104
De gelijkvormigheidskenmerken voor driehoeken kunnen
toepassen.
Het volstaat dat leerlingen deze kenmerken kunnen verwoorden, we verwachten
geen bewijzen.
ET 35
B
Toepassingen i.v.m. gelijkvormigheidskenmerken voor driehoeken.
105
De stelling van Thales kunnen formuleren.
Bv. middelevenredigen in een rechthoekige driehoek.
ET 35
B
Stelling van Thales.
Pedagogische begeleidingsdienst OVSG
Wiskunde 2de graad ASO
51
Nr.
106
Leerplandoelstelling en leerinhoud
De stelling kunnen bewijzen.
Code
B/U
EDV
U
ET 35
B
Didactische wenken en hulpmiddelen
Link
De stelling van Thales: bewijs
107
De gelijkvormigheid van driehoeken en de stelling van Thales
kunnen gebruiken om de lengte van lijnstukken te berekenen.
Toepassingen i.v.m. gelijkvormige driehoeken en de stelling van Thales
108
De stelling van Pythagoras kunnen formuleren en bewijzen.
De stelling van Pythagoras in rechthoekige driehoeken.
Bv. de ontbrekende zijde kunnen berekenen bij een gelijkvormige figuur.
ET 36
B
De stelling van Pythagoras aanschouwelijk voorstellen (evt. illustreren met
simulatieprogramma meetkunde).
ICT
Toepassing: puzzels over het herschikken van oppervlakken.
Het verband leggen met getallenleer.
Pedagogische begeleidingsdienst OVSG
Wiskunde 2de graad ASO
52
Nr.
109
Leerplandoelstelling en leerinhoud
De stelling van Pythagoras vlot kunnen toepassen bij
berekeningen, constructies en in bewijzen.
Code
B/U
ET 36
B
Toepassingen i.v.m. de stelling van Pythagoras.
Didactische wenken en hulpmiddelen
Link
Bv. lijnstukken construeren met maatgetal n (n    ) , de ontbrekende zijde
berekenen in tal van meetkundige situaties en voorbeelden uit de praktijk.
Aandacht besteden aan het ‘stellen’ van het probleem, vanuit de situatie, de opgave,
…
Zie Instructiefiches – 14.3.
De stelling van Pythagoras gebruiken bij het oplossen van meetkundige problemen in
het vlak of in de ruimte; bv. de diagonaal van een vierkant of een rechthoek, de
hoogte van een piramide, ….
Gebruik maken van constructiespeelgoed om aanschouwelijk en inzichtelijk te
werken.
110
De begrippen ‘straal’, ‘koorde’, ‘raaklijn’, ‘middelpuntshoek’ en
‘omtrekshoek’ kennen en bij berekeningen, constructies en
bewijzen kunnen gebruiken.
De cirkel:
- definities;
- onderlinge ligging van een cirkel en een rechte;
- middelpuntshoek en omtrekshoek.
ET 37
B
Eigenschappen zelf laten onderzoeken op tekeningen of door meten. Laat de cirkel
construeren door drie niet-collineaire punten.
Gebruik van een simulatieprogramma voor meetkunde is aangewezen.
ICT
Het vergelijken van de afstand van een cirkel tot een rechte en de straal van die
cirkel leidt tot informatie over het aantal gemeenschappelijke snijpunten en tot de
begrippen raken en raaklijn.
De relatie tussen middelpuntshoek en omtrekshoek op een zelfde koorde of boog
kan onderzocht en eventueel bewezen worden. Dit leidt tot praktisch gebruik bij het
berekenen van hoeken van figuren in een cirkel getekend.
Pedagogische begeleidingsdienst OVSG
Wiskunde 2de graad ASO
53
Nr.
111
Leerplandoelstelling en leerinhoud
Meetkundige constructies kunnen uitvoeren.
Code
B/U
ET 37
B
Raaklijn aan een cirkel in een punt van die cirkel.
Raaklijn aan een cirkel uit een punt dat buiten die cirkel ligt.
Constructie van het middelpunt van een cirkel.
Ingeschreven cirkel van een driehoek.
Omgeschreven cirkel van een driehoek.
Didactische wenken en hulpmiddelen
Link
De leerlingen kennen niet alleen de werkwijze van deze constructies maar kunnen
deze eveneens verklaren.
Bijkomende constructies zoals de gemeenschappelijke raaklijnen aan twee cirkels en
de cirkel door twee gegeven punten rakend aan een rechte kunnen hun nut hebben
in de praktische toepassingen.
Berekeningen van de omtrek en oppervlakte van een regelmatige veelhoek en zijn inen omgeschreven cirkels kunnen aanleiding geven tot een benaderde berekening
van het getal pi.
112
Kunnen rekenen met hoeken uitgedrukt in graden en in radialen.
EDV
B
Meten van hoeken.
113
De goniometrische getallen sinus, cosinus en tangens van een
hoek kunnen definiëren als verhouding van 2 zijden van een
rechthoekige driehoek.
Omzetten van graden naar radialen en omgekeerd eveneens aan bod laten komen.
ET 38
B
ET 39
B
Sin, cos, tan van een scherpe hoek van een rechthoekige driehoek.
114
Sin, cos, tan van een hoek kunnen berekenen met behulp van
een zakrekenmachine.
De goniometrische getallen van een hoek berekenen.
Leerlingen. moeten beseffen dat het rekentoestel slechts een benadering geeft van
de correcte waarde van een goniometrisch getal.
Indien nodig zal het gebruik van minuten en seconden aangeleerd worden.
Overleggen met betrokken leerkrachten (vakwerkgroepen).
Pedagogische begeleidingsdienst OVSG
Wiskunde 2de graad ASO
54
Nr.
115
Leerplandoelstelling en leerinhoud
Een hoek kunnen bepalen als een goniometrische getal van die
hoek gegeven is.
Code
B/U
ET 39
B
ET 39
B
Didactische wenken en hulpmiddelen
Link
Een hoek bepalen als een goniometrische getal ervan gegeven is.
116
Problemen met zijden en hoeken van driehoeken uit de
technische wereld kunnen oplossen door een efficiënte keuze te
maken uit:
- de stelling van Thales;
- de stelling van Pythagoras;
- de goniometrische getallen.
Oplossen van problemen in rechthoekige en in willekeurige driehoeken met behulp van de
stelling van Thales, de stelling van Pythagoras of de goniometrische getallen.
117
Het begrip ‘georiënteerde hoek’ kunnen gebruiken.
EDV
B
Het begrip georiënteerde hoek.
118
Een georiënteerde hoek met zijn beeldpunt kunnen afleiden op
een goniometrische cirkel.
Laat van elk vraagstuk een schets maken; dit bevordert de analysevaardigheden die
doorheen het oplossingsproces van deze vraagstukken moeten verworven worden
(zie Instructiefiches –14.3).
Eventueel aanbrengen dat meerdere maatgetallen (60-delige graden) mogelijk zijn.
EDV
B
De goniometrische cirkel.
Pedagogische begeleidingsdienst OVSG
Wiskunde 2de graad ASO
55
Nr.
119
Leerplandoelstelling en leerinhoud
Het verband kunnen leggen tussen de goniometrische getallen
van eenzelfde hoek.
Code
B/U
EDV
B
EDV
U
EDV
U
EDV
U
Didactische wenken en hulpmiddelen
Link
Uitbreiding van de definitie van goniometrische getallen.
Grondformule:
sin2x + cos2x = 1
tan x =
sin x
cos x
Toepassing: goniometrische getallen van speciale hoeken.
120
Het verband kunnen leggen tussen goniometrische getallen van
eenzelfde hoek.
Formules van tan en cot:
121
1 + tan²x
= 1
cos²x
1 + cot²x
= 1
sin²x
De begrippen complementaire, supplementaire, tegengestelde
en antisupplementaire hoeken kunnen gebruiken.
Verwante hoeken.
122
De sinus- en cosinusregel en de goniometrische
oppervlakteformule voor een willekeurige driehoek kunnen
toepassen.
Sinus- en cosinusregel.
Pedagogische begeleidingsdienst OVSG
Wiskunde 2de graad ASO
Inoefenen aan de hand van vraagstukken.
56
Nr.
123
Leerplandoelstelling en leerinhoud
Code
B/U
Bewerkingen met coördinaten kunnen uitvoeren.
EDV
B
Optellen, aftrekken, vermenigvuldigen met een reëel getal.
124
Het begrip richtingscoëfficiënt van een rechte kunnen gebruiken.
De cartesiaanse vergelijking van een rechte kunnen opstellen.
Link
Herhaal eerst de coördinaten van een punt. Eventuele instap kan zijn: rekenen met
vectoren en daarna met puntvectoren.
EDV
B
Richtingscoëfficiënt van een rechte.
125
Didactische wenken en hulpmiddelen
Cf. differentiequotiënt.
EDV
U
Vergelijking van een rechte bepaald door twee punten.
Vergelijking van een rechte bepaald door één punt en de richtingscoëfficiënt.
126
Het verband tussen de richtingscoëfficiënten van twee
evenwijdige én van loodrecht op elkaar staande rechten kennen.
EDV
U
Onderlinge stand van twee rechten.
127
Het begrip hellingshoek van een rechte kunnen gebruiken.
Zie ook doelstellingen 91 tot 95: stelsels van twee vergelijkingen van de eerste
graad.
Loodrechte stand: zie ook didactische wenken bij doelstelling 128.
EDV
U
Het begrip hellingshoek van een rechte.
Pedagogische begeleidingsdienst OVSG
Wiskunde 2de graad ASO
57
Nr.
128
Leerplandoelstelling en leerinhoud
In het vlak de afstand kunnen berekenen tussen 2 punten
gegeven door hun coördinaten t.o.v. een cartesisch
assenstelsel.
Code
B/U
ET 40
B
Afstand tussen 2 punten t.o.v. een cartesisch assenstelsel.
Didactische wenken en hulpmiddelen
Link
De formule opstellen door gebruik te maken van de stelling van Pythagoras. De
stelling van Pythagoras leidt tot een formule om de afstand te berekenen tussen twee
punten van een vlak gegeven door hun coördinaten t.o.v. een cartesiaans
assenstelsel.
Eventuele toepassingen: de omtrek van een figuur bepalen als de coördinaten van
de hoekpunten gegeven zijn. Met een kaart die voorzien is van ‘coördinaten’: de
lengte van wegen berekenen.
AAR
Het is niet de bedoeling de formule voor de afstand tussen twee punten in de ruimte
te gebruiken.
Een adequate voorstelling maken van de ruimtelijke situatie en het gebruikte ‘vlak’.
Eventueel kan de invoering gebeuren via het scalair product van puntvectoren.
129
De begrippen ‘evenwijdig’, ‘loodrecht’, ‘snijdend’ en ‘kruisend’
kunnen gebruiken om de onderlinge ligging aan te geven van
rechten en vlakken in ruimtelijke situaties.
ET 45
ICT
B
Onderlinge ligging van rechten in de ruimte.
Verschil tussen kruisen en snijden benadrukken. Gebruik een kubus of een balk om
één en ander aanschouwelijk te maken.
Onderlinge ligging van rechten en vlakken in de ruimte.
130
Zich ruimtelijke figuren kunnen voorstellen door het
interpreteren van vlakke afbeeldingen ervan.
Vlakke voorstelling van ruimtefiguren.
Pedagogische begeleidingsdienst OVSG
Wiskunde 2de graad ASO
ET 42
B
Gebruik maken van talrijke voorbeelden uit het dagelijks leven.
58
Nr.
131
Leerplandoelstelling en leerinhoud
Kunnen aantonen dat bij tweedimensionaal afbeelden van
driedimensionale voorwerpen informatie kan verloren gaan.
Code
B/U
ET 42
B
Verlies aan informatie bij het tweedimensionaal afbeelden van driedimensionale
voorwerpen.
132
Hulpmiddelen kunnen aangeven om dit informatieverlies
(gedeeltelijk) te kunnen oplossen, o.a.:
-
een plan kunnen lezen;
-
boven-, voor- en zijaanzicht van eenvoudige ruimtefiguren
kunnen tekenen.
ET 42
Didactische wenken en hulpmiddelen
Link
Bv. de vlakke voorstelling van rechten die in de ruimte evenwijdig of kruisend zijn of
loodrecht op mekaar staan.
B
Hulpmiddelen om verlies aan informatie bij het tweedimensionaal afbeelden van
driedimensionale voorwerpen op te lossen.
Bv. een eenvoudig plan kunnen lezen, zelf een plan kunnen tekenen van een
eenvoudige ruimtefiguur.
Boven-, voor- en zijaanzicht van enkele eenvoudige voorwerpen laten tekenen.
133
De ruimtelichamen kubus, balk, (recht) prisma, piramide,
afgeknotte piramide, kegel, bol en afgeknotte kegel kunnen
herkennen.
ET 43
B
Herkennen van de voornaamste ruimtelichamen.
Herhaling leerstof eerste graad. Aanvulling: afgeknotte piramide en afgeknotte kegel.
Veel voorbeelden laten zoeken van al deze ruimtelichamen uit het dagelijks leven
(gebruiksvoorwerpen, bouwmaterialen, gebouwen, ...)
134
Eenvoudige problemen kunnen oplossen i.v.m. ruimtelijke
situaties door gebruik te maken van eigenschappen van vlakke
figuren.
ET 41
B
Zie ook nr. 125
Bv. diagonaal van een kubus, hoogte van een piramide, snijding kubus en vlak
berekenen.
Pedagogische begeleidingsdienst OVSG
Wiskunde 2de graad ASO
59
Nr.
135
Leerplandoelstelling en leerinhoud
Oppervlakte en inhoud van cilinder, kegel, bol, prisma, balk,
kubus en piramide kunnen berekenen.
Code
ET 42
ET 44
B/U
Didactische wenken en hulpmiddelen
Link
B
Oppervlakte en inhoud van cilinder, kegel, bol, prisma, balk, kubus en piramide.
Herhaling eerste graad.
Leerlingen eveneens de effecten van schaalverandering op inhoud en oppervlakte
laten berekenen. Toepassingen op fysische objecten. Bij dieren: groot of klein
lichaam met verschillende inhoud maar met dezelfde verhouding. Vorm van
gebouwen: zelfde inhoud – verlies ruimte.
136
Oppervlakte en inhoud van niet regelmatige ruimtelijke objecten
benaderend kunnen berekenen door ze op te splitsen in of aan te
vullen tot regelmatige figuren.
Oppervlakte en inhoud van niet regelmatige ruimtelijke objecten.
Pedagogische begeleidingsdienst OVSG
Wiskunde 2de graad ASO
ET 43
B
Talrijke voorbeelden uit de praktijk halen.
60
Nr.
Leerplandoelstelling en leerinhoud
Code
B/U
ET 46
B
Didactische wenken en hulpmiddelen
Link
6.5 STATISTIEK
137
De begrippen ‘statistiek’, ‘populatie’, ‘steekproef’ en ‘omvang’
kennen.
Statistiek, populatie en steekproef.
138
Met een voorbeeld kunnen uitleggen onder welke
omstandigheden een steekproef al dan niet representatief is
voor de gehele populatie.
Er is in de handel computersoftware om de begrippen te illustreren en door middel
van zelfevaluatie in te oefenen.
ET 46
ICT
B
Een voorbeeld kan zijn dat voor de gemiddelde lichaamslengte van mannen de
basketbalspelers geen steekproef kunnen vormen.
Begrippen illustreren met voorbeelden vanuit statistische gegevens (bv. de krant)
De media, zoals kranten, tijdschriften, televisiebeelden of het Internet, bieden een
veelheid aan informatie aan, vaak voorzien van een visuele ondersteuning.
ICT
Het hoofdaccent ligt op het interpreteren van gegeven voorstellingen en informatie en
de leerlingen leren zo kritisch te staan tegenover het gebruik van statistiek in de
media (ET 47).
Pedagogische begeleidingsdienst OVSG
Wiskunde 2de graad ASO
61
Nr.
139
Leerplandoelstelling en leerinhoud
De begrippen “absolute frequentie” en “relatieve frequentie”
kunnen verwoorden en berekenen en in concrete situaties
kunnen interpreteren, zowel voor individuele als gegroepeerde
gegevens.
Absolute en relatieve frequentie.
Cumulatieve frequenties.
Code
B/U
ET 48
B
Didactische wenken en hulpmiddelen
Link
Het is de bedoeling tabellen als vertrekpunt te nemen. Men kan aan de hand van een
voorbeeld uitleggen waarom gegevens gegroepeerd worden in klassen.. De indeling
van gegevens in klassen bij een voorstelling op een rekenmachine of een computer
kan beter begrepen worden als men zelf geconfronteerd wordt met het indelen van
een reeks gegevens in zinvolle klassen.
Gebruik eenvoudig te verwerken reeksen, zodat het omslachtig rekenwerk het inzicht
niet in de weg staat.
Om de betekenis van klassenbreedte mee te geven kan men bijvoorbeeld bij een
zelfde reeks gegevens de klassenbreedte veranderen en de invloed op de
voorstelling illustreren.
De leerlingen kunnen zelf aan de hand van een enquête in de klas gegevens
verzamelen en verwerken met de computer. (bv. gebruik spreadsheet)
Pedagogische begeleidingsdienst OVSG
Wiskunde 2de graad ASO
INF
62
Nr.
Leerplandoelstelling en leerinhoud
Code
B/U
140
Begrippen kunnen gebruiken om statistische gegevens over een
concrete situatie te berekenen en te interpreteren.
ET 49
B
Centrum- en spreidingsgetallen:
-
gemiddelde;
-
mediaan;
-
modus;
-
standaardafwijking.
Didactische wenken en hulpmiddelen
Link
Statistieken gebruiken uit de leefwereld (studierichting) van de leerlingen.
De leerlingen moeten begrijpen dat samenvatten van informatie verlies aan
informatie betekent.
Het is zinvol het principe van de berekening aan te brengen en in te oefenen, bij
voorkeur wordt de rekenmachine of de computer gebruikt. Vanuit sommige
wiskundetijdschriften kunnen via een link op de website gegevensbanken ingeladen
worden in een grafisch rekenmachine. Al naargelang van de klassituatie kan
geopteerd worden om de vereenvoudigde berekening van gemiddelde en standaardafwijking al dan niet weg te laten.
ICT
Op die manier kan een reeks gegevens met elkaar vergeleken worden.
Opzoeken van parameters om daarna reeksengegeven met elkaar te vergelijken.
Aan de hand van. concrete voorbeelden de betekenis en het praktisch gebruik van
gemiddelde en mediaan verklaren.
Statistische gegevens met dezelfde centrummaten kunnen grondig van elkaar
verschillen door hun spreiding rond deze parameters. Daarover kunnen de
spreidingsmaten informatie geven.
Leerlingen moeten de beperktheid van de door centrummaten verkregen informatie
leren relativeren. Zonder een maat voor de spreiding betekenen ze niet veel.
Daarom is het zinvol centrum- en spreidingsmaten samen aan te brengen aan de
hand van een aantal concrete voorbeelden. Daarna kunnen samenvattend de
verschillende begrippen vastgelegd worden.
Pedagogische begeleidingsdienst OVSG
Wiskunde 2de graad ASO
63
Nr.
141
Leerplandoelstelling en leerinhoud
Diverse grafische voorstellingen van statistische gegevens
kunnen gebruiken en interpreteren, zowel voor individuele als
gegroepeerde gegevens i.v.m. concrete situaties.
Code
B/U
ET 50
B
142
histogram;
-
absolute frequentiepolygoon;
-
cumulatieve frequentiepolygoon.
Relatieve frequentie kunnen interpreteren in termen van kans.
Link
Behandel histogram, enkelvoudige en cumulatieve frequentiepolygoon, …Andere
voorstellingen kan je eveneens bespreken (rekenblad!).
Grafische voorstellingen:
-
Didactische wenken en hulpmiddelen
Zie: http://grrddkkr.tripod.com/klas1tm4.htm/#top histogram
ET 51
ICT
B
Het begrip ‘kans’ omschrijven.
Relatieve frequentie als kans.
Door middel van gepaste voorbeelden (opgooien van een eerlijk muntstuk of een
normale dobbelsteen) kan in het ene geval de kans berekend worden met de formule
van Laplace, in het andere geval (opgooien van een punaise of van de
kwaliteitscontrole van gloeilampen) zal men de kans experimenteel moeten schatten.
143
Inzien dat een kritische houding tegenover het gebruik van
statistieken nodig is.
ET* 47
B
Ga uit van een mediavoorbeeld.
Pedagogische begeleidingsdienst OVSG
Wiskunde 2de graad ASO
64
6.6
Opties met een vijfde wekelijkse lestijd
In dit lesuur zullen uitbreidingsdoelen aan bod komen.
Er kunnen meer toepassingen worden gemaakt.
Pedagogische begeleidingsdienst OVSG
Wiskunde 2de graad ASO
65
7
Het gebruik van informatie- en communicatietechnologie (ICT)
7.1
Instructie, differentiatie en remediëring met behulp van ICT
ICT kan het lesgeven ondersteunen. ICT biedt immers de mogelijkheid om bepaalde
leerinhouden op verschillende manieren voor te stellen en aan te brengen via tekst, geluid,
stilstaand en bewegend beeld.
Bepaalde programma’s verhogen het inzicht d.m.v. visualisatie, simulatie, door schema’s op
te bouwen, iets wat zonder computer maar in beperkte mate mogelijk is.
Sommige softwareprogramma’s zijn interactief zodat een meer geïndividualiseerd leerproces
kan worden doorlopen. De leerling kan dan op eigen tempo werken en eventueel een eigen
parcours kiezen. Een aantal programma’s oefenen vaardigheden en oplossingsstrategieën of
zijn geschikt om individueel of in groep te differentiëren en te remediëren.
Via tests kan worden nagegaan in hoeverre kennis en vaardigheden verworven zijn. Dit heeft
zeker voordelen als het programma een goede feedback aan de leerling geeft en toelaat op
verschillende niveaus te werken.
7.2
Informatie verwerven en verwerken met ICT
Bij dit belangrijke deelaspect van ‘leren leren’ kan ICT een uitgelezen rol spelen. Er bestaan
heel wat cd-roms die allerlei informatie interactief aanbieden. De informatie wordt hier op een
andere manier aangeboden dan met een ‘lineaire’ informatiebron. Via de talrijke ‘links’ bouwt
de leerling een individueel parcours op en komt zo tot zijn eigen ‘hypertekst’. Er zijn dus
andere ‘leesstrategieën’ nodig dan bij een lineaire tekst. Om leerlingen hierbij te
ondersteunen zijn gerichte zoekopdrachten en verwerkingstaken noodzakelijk (informatie
ordenen, schema’s aanvullen, informatie vergelijken, verbanden leggen, woordbetekenissen
afleiden, ...).
Ook het internet is een onuitputtelijke bron van informatie. Om zich een weg te banen door
het grote aanbod is een kritische ingesteldheid noodzakelijk. Deze houding moet aangeleerd
worden. Als leerlingen binnen of buiten de klas informatie op het web zoeken, moeten ze
over een aantal beoordelingscriteria voor ‘tekstmateriaal’ beschikken. Hiervoor kunnen ze
met de instructiefiche in bijlage werken.
Sommige opdrachten kunnen de leerlingen van ‘huiswerksites’ plukken. Opgaven zullen met
deze nieuwe realiteit moeten rekening houden, willen ze zinvol blijven: bronvermelding eisen,
meer vergelijkende opdrachten, meer persoonlijke en kritische verwerking.
Aan groepsopdrachten en -eindproducten kunnen kwalitatief hogere eisen worden gesteld
qua vormgeving en presentatie. Aan bepaalde opdrachten kan een mondelinge presentatie
gekoppeld worden: een presentatiepakket kan hier ondersteunend werken. Samenwerken
met de leerkracht (toegepaste) informatica behoort tot de mogelijkheden.
7.3
Communiceren met ICT
Een belangrijke meerwaarde voor ‘leren leren’ is dat ICT de mogelijkheid geeft aan jongeren
om met elkaar te communiceren over de leerstof via e-mail of elektronische briefwisseling.
E-mail laat samenwerken van leerlingen toe. Deze samenwerking kan gebeuren binnen een
klas of school, maar ook met leerlingen van andere scholen in binnen- en buitenland. Een
gezamenlijk interscolair project opzetten behoort tot de mogelijkheden.
Pedagogische begeleidingsdienst OVSG
Wiskunde 2de graad ASO
66
Communicatie tussen leerkracht en leerling(en) is ook mogelijk: de leerkracht kan
cursusmateriaal elektronisch beschikbaar stellen, voorbeelden van toets- en examenvragen,
jaarplanning, … Leerlingen kunnen verslagen, huistaken e.d. elektronisch naar de leerkracht
sturen.
7.4
ICT in het wiskundeonderwijs
ICT kan in het wiskundeonderwijs een rol vervullen:
- ter ondersteuning van het wiskundeonderwijs;
- als motiverende factor voor de wiskundeleerling;
- als toepassing van, en als katalysator voor de wiskunde.
De invoering ervan wordt best gefaseerd aangepakt.
Het is duidelijk dat ICT ter ondersteuning van het wiskundeonderwijs voor onmiddellijke en
ruime implementatie in aanmerking komt. Het betreft hier immers een aspect dat het huidige
programma niet zwaarder maakt of verandert. Bovendien is het vanuit didactisch oogpunt
bijzonder interessant en verrijkend. Dit geldt in het bijzonder voor de leerlingen, maar
ongetwijfeld ook ten aanzien van de leraars. Het komt tevens voor sommige onderdelen van
de materie, het begrijpen door de leerlingen, in ruime mate ten goede.
Ongetwijfeld kan de vraag worden gesteld of de invoering van ICT als motiverende factor
voor de wiskundeleerling op redelijk eenvoudige en weinig ingrijpende manier in het
wiskundeprogramma ingevoerd kan worden. Het betreft hier immers toepassingen die
aansluiten op de reeds behandelde materie. Hier is echter wel voorbereidend werk nodig om
te bepalen welke onderwerpen op welke manier aan bod kunnen komen. Dit veronderstelt
wel een herschikking van de bestaande wiskundeleerplannen.
Men dient zeer voorzichtig te werk te gaan met de invoering van ICT als toepassing van, en
als katalysator voor de wiskunde. Daarom dient eerst een grondige studie te worden
gemaakt van de vorm waaronder één en ander mogelijk is.
Het is duidelijk dat ICT aanbrenger is van wiskundige problemen, en gebruiker van
wiskundige technieken, maar de klassieke toepassingen blijven natuurlijk bestaan en ook
daar neemt men een sterke uitbreiding waar van de gebruikte methoden. Dit wil zeggen dat
men niet ongestraft in het huidige wiskundeprogramma kan gaan snoeien om concepten en
technieken in te voeren die bijna uitsluitend van belang zouden zijn voor ICT. Het is met
name zo dat het huidige wiskundeprogramma materie aanbiedt die in bijna alle
toepassingsgebieden van de wiskunde, ook de ICT, nodig is.
Hier zou dus zeer grondig voorafgaandelijk onderzoek dienen te gebeuren wat betreft de
mogelijkheden. Dit zou best gebeuren door een commissie die alle betrokkenen groepeert,
onder andere, in de eerste plaats de wiskundigen en informatici, maar verder ook heel in het
bijzonder natuurkundigen, en dit telkens uit de verschillende geledingen, zowel uit het
secundair als uit het hoger onderwijs.
Zie ook: Vlor – ICT in de algemene vakken van het ASO.
Pedagogische begeleidingsdienst OVSG
Wiskunde 2de graad ASO
67
8
Het Gelijke Onderwijskansenbeleid
"Het Gelijke Onderwijskansenbeleid (GOK) voor het gewoon secundair onderwijs wil de leeren ontwikkelingskansen van kansarme leerlingen bevorderen, uitsluiting, segregatie en
discriminatie vermijden en bijdragen tot meer sociale cohesie." (SO/2002/2 van 28/06/2002)
Om aan de doelstellingen van dit decreet te werken krijgen scholen met voldoende
doelgroepleerlingen extra-uren leraar om een onderwijspraktijk uit te bouwen die rekening
houdt met de taalachtergrond en de diversiteit van iedere leerling.
Het decreet bepaalt dat de uitbouw van een gelijkekansenbeleid in de tweede en derde
graad betrekking heeft op minstens één van de volgende vijf thema's: preventie en
remediëring van studie- en gedragsproblemen, taalvaardigheidsonderwijs, intercultureel
onderwijs, oriëntering bij instroom en uitstroom, leerlingen- en ouderparticipatie, of minstens
één van volgende clusters: studie- en gedragsproblemen remediëren, de taalvaardigheid bij
leerlingen bevorderen, een optimale studiekeuze waarborgen en het realiseren van een
efficiënte studiekeuze-, stage- en schoolloopbaanbegeleiding.
Om deze thema's en/of clusters te realiseren onderneemt de school acties vanuit een
analyse van haar beginsituatie. Voor elk van de thema's en/of clusters volgt hierna de visie
die deze acties ondersteunt. Het biedt de mogelijkheid om samen met het team een
doordacht beleid uit te werken dat alle leerlingen ten goede komt.
8.1
Preventie en remediëring van studie- en gedragsproblemen
Werken aan preventie en remediëring begint met het zich vormen van een zo scherp
mogelijk beeld van elke leerling. Wil men studie- of gedragssproblemen voorkomen of
wegwerken, dan is het van belang dat men een gedifferentieerd beeld heeft van de
klasgroep zodat men tijdig zicht heeft op leerlingen die het niet goed maken in de klas. Dat
veronderstelt een ‘systeem’ om elk van de leerlingen van nabij te volgen en aan die
informatie ook acties te verbinden (hanteren van een evaluatie- en volgsysteem).
Een goede basisaanpak laat al veel verscheidenheid toe in activiteiten van leerlingen. Maar
voor sommige leerlingen zijn nog meer specifieke ingrepen nodig om hun ontwikkeling te
ondersteunen of studie- en gedragsproblemen aan te pakken.
De vastgestelde tekorten zijn aanleiding tot remediërende maatregelen waardoor de aanpak
beter aansluit bij de individuele noden van leerlingen. Het is van belang om problemen te
voorkomen en ze tijdig op te sporen en aan te pakken. Preventie is cruciaal. Remediëring
werkt aanvullend.
8.2
Taalvaardigheidsonderwijs
Met taalvaardigheid bedoelt men het kunnen luisteren, spreken, lezen en schrijven in een
natuurlijke situatie. Het gaat dus niet om kennis van de taal maar om de vaardigheid ervan.
Hoe beter de taalvaardigheden, hoe beter de vaardigheden in omgang en zelfredzaamheid.
De school wordt door leerlingen echter niet altijd ervaren als een natuurlijke omgeving om
taal te verwerven. Dikwijls is er een kloof tussen de schoolse en dagelijkse
taalvaardigheid. De informatie die in de verschillende vakken op school wordt aangeboden
om kennis, vaardigheden en attitudes te ontwikkelen, wordt uitgedrukt in een soort taal die
complexer en abstracter is dan de dagelijkse omgangstaal van de leerlingen en kan voor
veel leerlingen een hindernis zijn.
8.3
Intercultureel onderwijs (ICO)
ICO wil leerlingen en leerkrachten actief en effectief leren omgaan met de aanwezige
diversiteit zowel in als buiten de school. Intercultureel onderwijs is geen vak apart, geen
speciale onderwijsvorm, maar een rode draad doorheen de hele lespraktijk. In principe is
elke klas, elke school en elke maatschappij multicultureel. De leerlingen, leerkrachten,
Pedagogische begeleidingsdienst OVSG
Wiskunde 2de graad ASO
68
ouders en alle andere betrokkenen komen naar school met een rugzakje waarin ervaringen,
waarden, kennis, vaardigheden, attitudes en levensstijl geladen zijn. Intercultureel onderwijs
bouwt hierop verder. Het wil een krachtige en veilige leeromgeving creëren die aansluit bij
al die verschillende ervaringen. Leren van elkaar, spontane, nieuwe leermomenten en
betekenissen opdoen zullen dan ook in een interculturele leeromgeving te vinden zijn.
Hierdoor zullen leerlingen meer aan leren toekomen en wordt hun zelfbeeld positiever
benaderd. Vandaar dat intercultureel onderwijs ook ten goede komt aan leerprestaties van
leerlingen.
8.4
Oriëntering bij instroom en uitstroom
Een belangrijk aandachtspunt in modern, hedendaags onderwijs is de zorg voor een
verticale samenhang. Dit wil zeggen dat leerlingen, jongeren en hun ouders begeleid
moeten worden in de schoolloopbaan. Vanuit deze optiek wordt meer en meer geopteerd
voor een ontwikkelingsgerichte benadering waarbij de overgangen tussen basis en secundair
onderwijs 1ste graad, tussen de verschillende graden in het secundair onderwijs en tussen
secundair en hoger onderwijs meer aandacht krijgen. De school kan daarbij doelstellingen en
concrete acties uitwerken die flexibele overgangen op deze sleutelmomenten, begeleiding
van leerlingen op het vlak van leren leren en zelfsturend leren en ondersteuning van
ouders en jongeren in het keuzeproces, voor ogen hebben.
8.5
Leerlingen- en ouderparticipatie
Leerlingenparticipatie biedt de school de mogelijkheid communicatie tussen leerlingen en
volwassenen te realiseren. Hierbij is het belangrijk dat leerkrachten de leerlingen als
volwaardige partners respecteren. Dit is bovendien een oefening in verantwoord
burgerschap.
Als jongeren echt participeren op school wordt het leerproces intenser. Leerlingen die het
gevoel hebben dat ze zelf school maken en iets kunnen realiseren tonen meer respect. In die
zin betekent participatie ook preventie van probleemgedrag.
Door ouderparticipatie wordt gestreefd naar een participatieve schoolcultuur, waarin ouders
samen met alle betrokkenen in de school invulling geven aan hun rol binnen ontwikkeling en
vorming. Samenwerken en zo gezamenlijk kansen creëren voor alle leerlingen is in deze
optiek niet weg te denken. Door deze samenwerking verzekeren alle betrokkenen
gezamenlijk de sociale ondersteuning van de leerlingen, zodat deze beter en zelfstandiger
kunnen functioneren binnen de school en daarbuiten.
ALGEMEEN BESLUIT
GOK is geen geïsoleerd gegeven. Het leerplan biedt de mogelijkheid om de meeste
doelstellingen te realiseren. Zowel met leerplandoelstellingen als met de didactische wenken
kunnen linken gelegd worden naar de meeste thema's van de GOK-werking. Deze linken
kunnen opgespoord worden via verwijzingen naar andere werkpunten. De verwijzingen
gebeuren als volgt in hoofdstuk 6:
ICO: intercultureel onderwijs, taalvaardigheid, socio-emotionele ontwikkeling;
TA.BE: taalbeleid, taalvaardigheid.
Pedagogische begeleidingsdienst OVSG
Wiskunde 2de graad ASO
69
9
Taalbeleid
Naast de aandacht voor de vakinhoud is er tijdens alle lessen ook aandacht voor de taal
waarmee de vakinhoud wordt overgebracht en verwerkt: van taalgericht vakonderwijs
worden alle leerlingen beter.
Bij taalgericht vakonderwijs luisteren leerlingen niet alleen, ze krijgen ook uiteenlopende
tekstsoorten aangeboden: opdrachten, gebruiksaanwijzingen, teksten uit boeken, maar ook
uit tijdschriften , van internetsites, mondeling of schriftelijk, geïllustreerd, audiovisueel, …
Bovendien voeren de leerlingen taken uit die hen helpen om verbanden te leggen tussen
woorden en begrippen. Ze lezen en luisteren niet alleen, maar ze doen ook zoveel mogelijk.
Ze komen zelf uitgebreid aan het woord.
9.1
Lessen en lesmateriaal taalgericht maken
In het algemeen kan men stellen dat een didactiek die de leerlingen activeert, aanzet tot
taalproductie: gebruik werkvormen die de leerlingen aanzetten tot onderlinge interactie.
Allerlei vormen van groepswerk kan je terugvinden in de kolom didactische wenken bij het
leerplan. Werk samen met de leerkracht Nederlands i.v.m. de aangeleerde lees- en
luisterstrategieën: als leerlingen herkennen dat de aanpak in Nederlands ook vereist wordt
bij opdrachten in de andere vakken, zullen deze leerstrategieën voor hen beter renderen (zie
instructiekaarten ‘lezen’ en ‘luisteren’ in bijlage).
9.2
Enkele tips
-
Moeilijke woorden en vaktermen uitleggen: heldere definities geven, non-verbale
middelen gebruiken, synoniemen of tegengestelden (laten) geven, de betekenis van
woorden laten raden (uit de context afleiden), informatie in een schema laten zetten,
schooltaal (woorden zoals ‘veronderstel’, …) samen herhalen.
-
Naast vaktaal moet je er ook op letten welke schooltaal de leerlingen moeten verwerven
en oefenen: beschrijven, identificeren, classificeren, ordenen, definiëren, oorzaak en
gevolg bepalen, een proces volgen en uitvoeren.
Bijvoorbeeld om een rangorde te bepalen moeten de leerlingen in begrippen ‘groter,
meer omvattend …’ kunnen denken en spreken. Voor het bepalen van oorzaak en
gevolg moet een leerling ‘als …dan’-redeneringen kunnen uitvoeren.
-
Bedenk een activiteit die uit een schema is af te leiden (tekstdelen bij het schema
brengen, sleutelwoorden aanbrengen, schema verwoorden).
-
Bedenk een activiteit waardoor leerlingen schema’s leren onthouden en reproduceren.
Laat leerlingen hierbij samenwerken en maak de opdracht toepasbaar in andere reële
contexten.
-
Laat leerlingen elkaar beoordelen, laat ze na de toets bespreken wat ze geleerd hebben,
hoe ze dit aanpakten en hoe ze hun aanpak kunnen bijsturen.
-
Bij groepswerk moeten de leerlingen elk afzonderlijk een bijdrage leveren. Bij zo’n
opdracht moeten ze gestimuleerd worden om de taal actief te gebruiken. Dit kan door elk
groepslid een rol te geven met een eigen opdracht: gespreksleider, tijdbewaker,
verslaggever, procesbewaker, materiaalmeester, … tijdens het groepswerk, bij de
besluitvorming en bij de presentatie van de opdracht.
-
Leer de leerlingen de leerstof in eigen woorden om te zetten.
Pedagogische begeleidingsdienst OVSG
Wiskunde 2de graad ASO
70
-
Geef bij aanvang de structuur van de les op het bord weer, laat dit overzicht de hele les
staan.
-
Bekijk de structuur van het handboek (of de cursus) met de leerlingen bij aanvang van
het schooljaar; duid aan hoe deze structuur hen kan helpen bij het leren.
-
Bekijk de ‘buitenkant’ van teksten (lay-out, illustraties, …), laat de betekenis ervan
verwoorden.
-
Laat de leerlingen actief met de schriftelijke leerstof bezig zijn: laat samenvatten, in een
schema zetten.
-
Maak leerlingen duidelijk wat er bij een vraag (bv. op een toets) van hen verwacht wordt:
beschrijven, ordenen, verbanden leggen, oordeel weergeven, …
Pedagogische begeleidingsdienst OVSG
Wiskunde 2de graad ASO
71
10 Evaluatie
Een belangrijk maar moeilijk element in het onderwijsproces is het evalueren. Wat evalueren
we? Hoe evalueren we? Weten de leerlingen dat?
Evalueren heeft zowel een productgericht als een procesmatig karakter. Niet alleen het
resultaat dat door de leerling wordt bereikt, maar ook de weg daarheen is belangrijk.
Procesevaluatie wil bijdragen tot de evaluatie van het zelfstandig denken en handelen van
leerlingen. Ze geeft aan leerkrachten de mogelijkheid om het leerproces van de leerlingen
van dichtbij te volgen en indien nodig bij te sturen of te differentiëren.
Ze geeft aan ouders de kans om een reëel beeld te verkrijgen van de schoolse vorderingen
van hun kinderen en hen eventueel te ondersteunen in hun leerproces.
Evaluatie bepaalt in grote mate hoe de leerlingen naar het vak zullen kijken: toetsing stuurt
a.h.w. het ‘leren leren’. Het is dus uitermate belangrijk dat leerlingen steeds de bedoeling van
de les weten, er zelf een duidelijke structuur in zien en dat ze vooral weten wat en hoe er
getoetst zal worden.
10.1 Het goed functioneren van evaluatie wordt gekenmerkt door volgende
eigenschappen
Planmatigheid
De leerlingen en hun ouders weten op welk moment er wordt geëvalueerd.
Dit betekent niet dat elk evaluatiemoment moet worden aangekondigd: men kan
onverwachts bepaalde zaken toetsen, mits iedereen weet dat zoiets tot de mogelijkheden
behoort.
Voorspelbaarheid
Het zgn. “Test as you teach”-principe, de leerlingen hebben een zicht op de manier waarop
wordt geëvalueerd en dit zowel voor dagelijks werk als voor de proefwerken. De opdrachten
komen overeen met de doelstellingen en de onderwijsmethode. Verrassingen zijn slechts
zinvol, indien ze als stimulans overkomen.
Efficiëntie
Evalueren is een noodzakelijk deel van het didactisch proces, maar geen doel op zich.
Evaluatie moet gezien worden als een middel om de leerlingen beter te begeleiden bij hun
studies en geeft de mogelijkheid tot een meer geïndividualiseerde begeleiding. Het
evaluatiebeleid van de school richt zich op de responsabilisering van de leerlingen.
Snelle verwerking
Om te kunnen remediëren hebben leraar en leerlingen binnen de kortste tijd de resultaten in
handen.
Validiteit
Evaluatie levert zo objectief en volledig mogelijke gegevens over de vorderingen van elke
leerling. De diversiteit van het aangeleerde komt aan bod, de verschillende onderdelen van
elk vak worden geëvalueerd.
Pedagogische begeleidingsdienst OVSG
Wiskunde 2de graad ASO
72
Relevantie
Enkel persoonlijk werk wordt beoordeeld.
Het belang van de quotering van taken dient afgewogen te worden t.o.v. de totale evaluatie.
Groepswerk dient regelmatig te worden opgevolgd door de leraar om te controleren of ieder
lid van de groep een bijdrage levert.
Diversificatie
Niet enkel het cognitieve wordt geëvalueerd, ook vaardigheden en vakattitudes komen in
aanmerking. Dit moet niet noodzakelijk via een cijfer, het kan ook in woorden vermeld
worden; belangrijk is het feit dat er degelijke afspraken gelden.
Voor het rapportcijfer wordt gesteund op verscheidene resultaten van evaluatie. Een
rapportcijfer is niet uitsluitend het rekenkundig gemiddelde van presentatiecijfers.
Procesmatig
Evaluatie wordt bij voorkeur procesmatig opgevat, er is een systematische progressie in de
opbouw van kennis, inzicht, vaardigheden en vakattitudes.
Objectiviteit
Als evaluatie planmatig, voorspelbaar, efficiënt, valide, relevant en gediversifieerd is, kan
men stellen dat de leerkrachten en de school de objectiviteit bij het evalueren maximaal
benaderen en dat ze streven naar een optimale professionaliteit.
10.2 De invloed van permanente evaluatie (of procesevaluatie) op het leren van de
leerlingen
Een rendabel leerproces hangt af van de gerichtheid op het einddoel en de concrete
evaluatieopdrachten die daaraan verbonden zijn, m.a.w. het einddoel gebruiken om het
didactisch proces tot een goed einde te brengen.
Een doordachte evaluatie van het proces:
- is een weergave van de mate waarin doelstellingen bereikt zijn;
- toont aan iedere betrokken leerkracht hoe elke leerling evolueert;
- schept ruimte voor bijsturing, remediëring en differentiatie;
- betrekt de leerlingen bij de evaluatie van het eigen leerproces;
- motiveert leerlingen voor de bijsturing van het eigen leerproces;
- evalueert niet enkel op opgedane kennis maar ook het proces dat nodig was om
inzichten, vaardigheden en attitudes te bereiken.
10.3 Een doordachte evaluatie is gebaseerd op het samenspel van verschillende
factoren
Beoordelen vanuit doelstellingen
Wanneer men beoordeelt vanuit doelstellingen, is de beoordelingsvraag niet: ‘Welk cijfer of
welk percentage behaalt de leerling op de toets?’ maar wel: ‘Wat kent of kan de leerling?
Beheerst de leerling op voldoende wijze de leerdoelen?’
Hierbij wordt nagegaan in welke mate de leerling de vooropgestelde leerdoelen heeft bereikt.
Dit is maar mogelijk als de leerdoelen vooraf duidelijk, concreet en specifiek omschreven
zijn.
Het geeft de leerkracht ook de mogelijkheid om voor zichzelf na te gaan in welke mate hij/zij
de leerdoelen heeft helpen bereiken. Hij/zij kan zo informatie bekomen over de kwaliteit van
het didactisch proces in de klas.
Pedagogische begeleidingsdienst OVSG
Wiskunde 2de graad ASO
73
Vorderingsgerichte evaluatie
Een vorderingsgerichte evaluatie onderzoekt in welke mate de leerling vorderingen heeft
gemaakt t.o.v. zijn prestaties op een vroeger tijdstip.
De leerling krijgt een beeld van de eigen progressie.
De leerkracht krijgt informatie over de vorderingen van de leerlingen en aanwijzingen waar er
eventueel moet bijgestuurd of geremedieerd worden.
Een goed uitgebalanceerd vorderingsplan is een bruikbaar instrument op de begeleidende
klassenraad en is een duidelijke weergave van het kennen en kunnen van leerlingen.
10.4
Permanent evalueren betekent
Evalueren van vaardigheden en attitudes
Vaardigheden kan men beschouwen als welbepaalde methodes, strategieën, werkwijzen,
procédés die men gebruikt om probleemstellingen (taken of opdrachten) op te lossen.
- Algemene vaardigheden zoals experimenteren, observeren, beoordelen, controleren,
plannen, ... zijn vaardigheden die ook in andere vakken voorkomen en dus
vakoverschrijdend zijn.
- Vakvaardigheden zoals basisprincipes uitvoeren, planning uitvoeren, technieken
toepassen, ... zijn vaardigheden die meer specifiek zijn voor het vak en dus meer
vakgebonden.
Attitudes zijn algemene sociale houdingen, het kunnen ook beroepshoudingen of houdingen
eigen aan een vak zijn. Het evalueren van attitudes is gevoelige materie. Nochtans moet het
voor de leerlingen duidelijk zijn dat zij op vakgebonden attitudes kunnen/zullen geëvalueerd
worden. Deze attitudes staan in het leerplan vermeld en kunnen te maken hebben met bv.
stiptheid, zorg, luisterbereidheid, inzet, kunnen samenwerken, tegen een deadline kunnen
werken.
Ook hier geldt het principe van de voorspelbaarheid voor de leerlingen. Zij moeten vooraf
weten welke vaardigheden en attitudes voor evaluatie in aanmerking zullen komen.
Permanent evalueren betekent ook:
-
observeren;
feedback geven;
een goede relatie tussen de leerkracht en de leerling bewerken;
differentiëren;
remediëren;
doelgerichte vragen stellen;
meten, beoordelen, beslissen;
rapporteren;
teamoverleg;
efficiënt klassenraad houden.
Pedagogische begeleidingsdienst OVSG
Wiskunde 2de graad ASO
74
10.5 Permanent evalueren kan verwerkt worden in een document dat tegelijkertijd
bruikbaar is
-
voor de begeleidende klassenraad;
voor de delibererende klassenraad;
om de beginsituatie van de leerling te bepalen;
om de leerlingen te betrekken bij de evaluatie (zelfevaluatie);
om remediërend te werken met leerlingen;
als rapportering naar de ouders;
om de evolutie en resultaten weer te geven van de leerlingbegeleiding;
als puntenboek.
Pedagogische begeleidingsdienst OVSG
Wiskunde 2de graad ASO
75
11
Leermiddelen
Leerlingen
- Zakrekenmachine
- Passer, lat, geodriehoek
- Tekenmateriaal
School
- Computer(lokaal) met internetaansluiting
- Gepaste software
Pedagogische begeleidingsdienst OVSG
Wiskunde 2de graad ASO
76
12 Bibliografie
12.1
Algemeen
STANDAERT, R., TROCH, F.,
Leren en onderwijzen, Inleiding tot de algemene didactiek
Acco, Leuven, 1999
ISBN 90 334 4122 5
STANDAERT, R., TROCH, F.,
Leren en onderwijzen, Beheersingsboek
Acco, Leuven, 1998
ISBN 90 334 4121 7
12.2 Psychologisch profiel
BALK, D.,
Adolescent Development
Brooks/Cole Publishing Company, Pacific Grove
BRAL, L.,
Hoe besteden jonge Vlamingen hun vrije tijd?
In M. Elchardus (red.), Jongeren en cultuur in beweging (p.69-87)
Davidsfonds, Leuven, 1997
CROCKETT, L., CROUTER, A.,
Pathways trough Adolescence
Lawrence Erlbaum Associates, New Jersey, 1995
DE WIT, J., VAN DER VEER, G., SLOT, N.W.
Psychologie van de adolescentie
Intro, Baarn, 1995
DIELEMAN, A.J., VAN DER LINDEN, F.J., PERREIJN, A.C.
Jeugd in Meervoud
De Tijdstroom, Heerlen, 1993
PONJAERT-KRISTOFFERSEN, I.
Jongeren en relaties
OVSG, Brussel, 1990
12.3
Algemene didactische wenken
GEERLIGS, T., VAN DER VEEN, T.,
Lesgeven en zelfstandig leren
Van Gorcum, Assen, 1996
ISBN 90 232 3129 5
Zelfstandig leren (dat zowel individueel als samenwerkend leren omsluit) biedt vele mogelijkheden om tegemoet
te komen aan verschillen tussen leerlingen in leertempo en belangstelling. Dit handboek combineert tekst en
opdrachten.
Pedagogische begeleidingsdienst OVSG
Wiskunde 2de graad ASO
77
HOOGEVEEN, P., WINKELS, J.,
Het didactisch werkvormenboek
Dekker & van de Vegt, Assen, 1992
12.4
12.4.1
Wiskunde
Leerboeken
Raadpleeg de catalogi van de verschillende uitgeverijen.
12.4.2
Naslagwerken
ASPEELE, M.-J., DELAGRANGE, N., DE ROO, F.,
Wiskundedidactiek, een inleiding
Leuven, Acco, 1987
BARNETf, R.A., ZIEGLER, M.R.,
College Algebra 4th edition
NewYork, McGraw-Hill, 1989
BKOUCHE, R., CHARLOT, B., ROUCHE, N.,
Faire des mathématiques: le plaisir du sens
Paris, Armand, Colin, 1991
BUIJS, A.,
Statistiek om mee te werken
Leiden, Stenfort Kroese, 1989
BURTON, D.,
The history of mathematics. An introduction
Boston, Allyn and Bacon Inc., 1985
CENTRE DE RECHERCHE SUR L' ENSEIGNEMENT DES MATHEMATIQUES,
Les mathématiques de la maternelle jusqu'a dix-huit ans
Nivelles, CREM, 1995
COJEREM,
Des situations pour enseigner la géométrie.
Brussel, De Boeck Wesmael, 1995
COEXETER, H.,
Introduction to geometry
New York, Wiley, 1989
DOUMA, S. W.,
Lineaire programmering als hulpmiddel bij besluitvorming
Academic Service, 1982
FENTEM, R.,
Statistics
London, Collins Educational, 1996
Pedagogische begeleidingsdienst OVSG
Wiskunde 2de graad ASO
78
FREUDENTHAL, H.,
Mathematics as an educational task
Dordrecht, Reidel P\ibl. Comp., 1973
GOODMAN, A., HIRSCH, L.,
Precalculus
Englewood Cliffs - New Verser, Prentice-Hall, 1994
GRAVEMEIJER, K.P .E.,
Developing realistic mathematics education
Utrecht, CDj3 Press, 1994
GROUPE D'ENSEIGNEMENT MATHEMATIQUE,
L' archipel des isométries: essai de rédecouverte
Louvain-la-Neuve, GEM, 1982
GROUPE D'ENSEIGNEMENT MATHEMATIQUE,
Les fonctions c'est aussi autre chose
Louvain-la-Neuve, GEM, 1982
HERR, T., JOHNSON, K.,
Problem solving strategies
Berkeley, Key Curriculum Press, 1994
HIRSCH, C.R., NORTON, M.A., e.a.,
Geometry
Glanview, Scott Foresman and Company, 1984
HUFF, D.,
How to lie with statistics
London, Norton & Company, 1954
JACOBS, H.,
Geometry
New York, Freeman, 1987
JACOBS, H.,
Mathematics a human endeavor
New York, Freeman, 1982
KAISER, H., NÖBAUER, W.,
Geschichte der Mathematik für den Schulunterricht
München, Freytag, 1984
KLINGEN, H., OOT, A.,
Computereinsatz im Unterricht. der pädagogische Hintergrund
Stuttgart, Metzler Verlag, 1986
KRABBENDAM, H.,
Algebra voor de lerarenopleiding
Utrecht, Algemeen Pedagogisch Studiecentrum, 1994
KRABBENDAM, H.,
Meetkunde voor de lerarenopleiding
Utrecht, Algemeen Pedagogisch Studiecentrum, 1994
Pedagogische begeleidingsdienst OVSG
Wiskunde 2de graad ASO
79
KRABBENDAM, H.,
Rekenen voor de lerarenopleiding
Utrecht, Algemeen Pedagogisch Studiecentrum, 1994.
KRABBENDAM, H.,
Informatieverwerking en statistiek voor de lerarenopleiding
Utrecht, Algemeen Pedagogisch Studiecentrwn, 1994
LAFARGUE-SORT, J., MARQUIS, B.,
Les méthodiques pour résoudre des problèmes
Paris, Hatier, 1992
LAGERWERF, B.,
Wiskundeonderwijs in de basisvorming
Groningen, Wolters-Noordhoff, 1994
LEHMANN, E.,
Mathematik-Unterricht mil Computer-Einsatz
Bonn, Dümmler, 1988
LOWYCK, J., VERLOOP, N., e.a.,
Onderwijskunde
Leuven, Wolters, 1995
LS MA THEMA TIK,
Geometrie I & IJ
Stuttgart, Ernst KIett Verlag, 1986
NATIONAL COUNCIL OF TEACHERS OF MATHEMATICS,
Curriculum and Evaluation Standards lor school mathematics
Reston, Virginia USA, NCTM, 1989
POL Y A, G.,
How to solve it
Princeton, University Press, 1973
POLYA, G.,
Mathematical discovery: on understanding, learning and teachingproblem solving
New York, Willey, 1981
POSAMENTIER, A.S., STEPELMAN, J.,
Teaching secondary school mathematics
New York, Merill, Publishing Company, 1990
ROELS, J., DE BOCK, D., e.a.,
Wiskunde vanuit toepassingen
Leuven, Aggregatie wiskunde - K.U.Leuven, 1990
SCHOENFELD, A. H.,
Mathematical problem solving
London, Academic Press, 1985
STEUR, H.,
Levende wiskunde. Toepassingen geordend naar wiskundig onderwerp
Culemborg, Educaboek, Tjeenk- Willink, 1980
Pedagogische begeleidingsdienst OVSG
Wiskunde 2de graad ASO
80
STEWART, J., REDLIN, L., e.a.,
Precalculus, 3th edition
Pacific Grove, Brooks/Cole Publishing Company, 1998
STRUIK, D.J.,
Geschiedenis van de wiskunde
Utrecht, Het Spectrum, 1990
VAN DORMOLEN, J.,
Aandachtspunten
Utrecht, Bohn, Scheltema en Holkema, 1982
VAN DORMOLEN, J.,
Didactiek van de wiskunde
Utrecht, Bohn, Scheltema en Holkema, 1976
VON HARTEN, G., STEINBRING, H.,
Stochastik in der Sekundarstufe J
Köln, Aulis Verlag, 1984
12.4.3
Tijdschriften
Uitwiskeling
Driemaandelijks tijdschrift, Aggregatie Wiskunde K.U. Leuven, Celestijnenlaan 200B, 3001
Leuven.
Wiskunde en Onderwijs
Driemaandelijks tijdschrift van de Vlaamse Vereniging van Wiskundeleraren (VVWL), C.
Huysmanslaan 60, bus 4, 2020 Antwerpen.
EUCLIDES
Orgaan van de Nederlandse Vereniging van Wiskundeleraren, De Schalm 19, 8251 LB
Dronten.
Nieuwe Wiskrant
Tijdschrift voor Nederlands wiskunde onderwijs, Freudenthal Instituut, Tiberdreef 4, 3561 GG
Utrecht.
Pythagoras
Wiskundetijdschrift voor jongeren, Wiskundig Genootschap, Postbus 80010, 3508 TA
Utrecht.
12.5
Evaluatie
DECLERCQ, E.,
De rol van ouders in de studiebegeleiding van hun kind
HLBG – Ouders Methode, Afl. 23, juni 1998 – 183
DE BLOCK A. – HEENE J.,
Attitudes en eindtermen
Standaard Uitgeverij, Antwerpen, 1997
Pedagogische begeleidingsdienst OVSG
Wiskunde 2de graad ASO
81
DE BLOCK, A.,
Evaluatie van attitudes via observatie en gedragingen
De Sikkel, Antwerpen 1973
GOLS, P., AUSUM, P.,
Leerlingen bespreken op de klassenraad. Hoe wordt de leerling er wijzer van?
Handboek voor Leerlingenbegeleiding - Begeleiding en schoolorganisatie,
Afl. 13, november 1994 - 45
MEURISSE, E.,
Toetsvormen, vraagsoorten en beoordelingsschema’s
Handboek voor Leerlingenbegeleiding,
Afl.25, februari 1999 - 183
STANDAERT, R., TROCH, F.,
Leren en onderwijzen
Acco, Leuven/Amersfoort 1998
TROCH, F.,
Impuls, Themanummer; Evaluatie: geen model, geen punten
Acco, Leuven 1997
Pedagogische begeleidingsdienst OVSG
Wiskunde 2de graad ASO
82
13 Bijkomende informatie
13.1 Algemeen
Pedagogische begeleidingsdienst OVSG
Ravensteingalerij 3 bus 7
1000 Brussel
tel.: 02 506 41 50
fax: 02 502 12 64
e-mail:[email protected]
www.ovsg.be
Ministerie van de Vlaamse Gemeenschap
Departement Onderwijs
www.ond.vlaanderen.be
VLOR
Vlaamse Onderwijsraad
Leuvenseplein 4
1000 Brussel
tel.: 02 219 42 99
fax: 02 219 81 18
e-mail: [email protected]
www.vlor.be
Vlaamse Openbare bibliotheken
www.bib.vlaanderen.be
De Vlaamse Centrale Catalogus (VLACC) is een project van de Vlaamse Gemeenschap, met als voornaamste
doelstelling de uitbouw van een geautomatiseerde centrale catalogus.
Het is een bestand waarin dagelijks door de Centrale Openbare Bibliotheken van Antwerpen, Brugge, Brussel,
Gent, Hasselt en Leuven evenals door het Vlaams Bibliografisch Centrum (VLABIN) de titels van nieuwe boeken,
tijdschriften, en artikels worden ingevoerd. Ook informatieve video’s, speelfilms, cd-i’s en cd-rom’s worden
opgenomen. De titelbeschrijvingen worden op uniforme wijze, volgens duidelijk omschreven regels ingebracht,
voorzien van trefwoorden en classificatienummers. Dit maakt het mogelijk via de VLACC zeer snel boeken of
tijdschriften, in gedrukte vorm, in braille of op cassette, terug te vinden, ook als bijvoorbeeld de auteur niet gekend
is, of enkel een stuk van de titel of het onderwerp.
Bovendien kan worden opgezocht in welke Centrale Openbare Bibliotheek een werk zich bevindt, hoeveel
pagina’s het telt, of het illustraties bevat en hoeveel het bij benadering kost.
13.2
Wiskunde
Tijdschrift Pythagoras: http://www.uva.nl/misc/pythagoras
Freudenthalinstituut (ontwikkelingsonderzoek i.v.m. wiskunde-onderwijs): http://www.fi.ruu.nl/
Het wiskundelokaal van de digitale school: http://digischool.bart.nl/wi/wilok.htm
Wiskunde in het Internetcollege: http://internetcollege.nl/vakken/wiskunde
Nederlandse vereniging voor wiskundeleraren: http//www.euronet.nl/~nvvw/
Vlaamse wiskundeolympiade: http://www.kulak.ac.be/vwo/nl/vwowwwnl.html
Wiskunde bij SMIC (Scholen Multimedia en Internet Centrum):
http://www.smic.be/edu/tip05wi.htm
http://www.anywize.net
Kant en klare lessen die zo gebruikt kunnen worden door de leerlingen en waarbij de leraar
als individuele lesgever kan optreden, bestaan reeds. Ze worden verder uitgebreid en
aangepast. Dit is niet zomaar toekomstmuziek.
Pedagogische begeleidingsdienst OVSG
Wiskunde 2de graad ASO
83
http://users.skynet.be/sky85946/
http://www.math.com/
http://user.online.be/~st.jozef/
http://users.pandora.be/bruno.van.eeckhout/
http://welcome.to/wiskunde
Pedagogische begeleidingsdienst OVSG
Wiskunde 2de graad ASO
84
14 Bijlagen
14.1
Vakgebonden eindtermen
1 Algemene eindtermen
De leerlingen
1
2
3
4
5
6
7
8
begrijpen en gebruiken wiskundetaal
passen probleemoplossende vaardigheden toe
verantwoorden de gemaakte keuzes voor representatie- en oplossingstechnieken
controleren de resultaten op hun betrouwbaarheid
gebruiken informatie- en communicatietechnologie om wiskundige informatie te
verwerken, berekeningen uit te voeren of wiskundige problemen te onderzoeken
gebruiken kennis, inzicht en vaardigheden die ze verwerven in wiskunde bij het
verkennen, vertolken en verklaren van problemen uit de realiteit
kunnen voorbeelden geven van reële problemen die m.b.v. wiskunde kunnen worden
opgelost
kunnen voorbeelden geven van de rol van de wiskunde in de kunst
De leerlingen
*9
*10
*11
*12
*13
*14
ervaren het belang en de noodzaak van bewijsvoering, eigen aan de wiskunde
ervaren dat gegevens uit een probleemstelling toegankelijker worden door ze
doelmatig weer te geven in een geschikte wiskundige representatie of model
ontwikkelen zelfregulatie: het oriënteren op de probleemstelling, het plannen, het
uitvoeren en het bewaken van het oplossingsproces
ontwikkelen zelfvertrouwen door succeservaring bij het oplossen van wiskundige
problemen
ontwikkelen bij het aanpakken van problemen zelfstandigheid en
doorzettingsvermogen
werken samen met anderen om de eigen mogelijkheden te vergroten
2 Getallenleer en algebra
De leerlingen
15
16
17
18
19
20
21
zien reële getallen als eindige of oneindig doorlopende decimale getallen en stellen
reële getallen voor op een getallenas
gebruiken rekenregels voor machten met gehele exponenten en voor
vierkantswortels bij berekeningen
schrijven bij praktische formules één variabele in functie van de andere
kunnen tweedegraadsveeltermen ontbinden in factoren van de eerste graad
kunnen vergelijkingen van de eerste en de tweede graad in één onbekende oplossen
kunnen ongelijkheden van de eerste en de tweede graad in één onbekende oplossen
lossen problemen op die kunnen vertaald worden naar:
 een vergelijking van de eerste graad in één onbekende
 een ongelijkheid van de eerste en de tweede graad in één onbekende
Pedagogische begeleidingsdienst OVSG
Wiskunde 2de graad ASO
85
3 Reële functies
De leerlingen
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
geven, in betekenisvolle situaties die kunnen beschreven worden met een functie, de
samenhang aan tussen verschillende voorstellingswijzen, m.n. verwoording, tabel,
grafiek en voorschrift
berekenen, uitgaande van het voorschrift van de standaardformules f(x)=x, f(x)=x²,
f(x)=x³, f(x)=1/x, f(x)=x, de coördinaten van een aantal punten van de grafiek en
schetsen vervolgens de grafiek
bouwen vanuit de grafiek van de standaardfuncties f(x)=x en f(x)=x² de grafiek van de
functies f(x) + k, f(x+k), kf(x) op
leiden domein, bereik, nulwaarden, tekenverandering, stijgen en dalen, extrema,
symmetrie af uit de te bekomen grafieken, vermeld in eindtermen 23 en 24
bepalen het voorschrift van een eerstegraadsfunctie die gegeven is door een grafiek
of tabel
leggen het verband tussen de oplossing(en) van vergelijkingen en ongelijkheden van
de eerste en tweede graad in één onbekende en een bijpassende grafische
voorstelling
kunnen stelsels van twee vergelijkingen van de eerste graad met twee onbekenden
algebraïsch oplossen en de oplossing grafisch interpreteren
kunnen problemen oplossen die te vertalen zijn naar stelsels van twee vergelijkingen
van de eerste graad met twee onbekenden
kunnen bij rechten en/of parabolen, gegeven door vergelijkingen,
gemeenschappelijke punten bepalen hetzij algebraïsch, hetzij met behulp van ICT
lossen problemen op die kunnen beschreven worden met eerste- en
tweedegraadsfuncties
interpreteren differentiequotiënt als richtingscoëfficiënt van een rechte en als maat
voor gemiddelde verandering over een interval
kunnen in toepassingen a en b interpreteren bij gebruik van de eerstegraadsfunctie
y=ax + b
4 Meetkunde
De leerlingen
34
35
36
37
38
39
verklaren gelijkvormigheid van figuren met behulp van schaal en congruentie
gebruiken de gelijkvormigheid van driehoeken en de stelling van Thales om de lengte
van lijnstukken te berekenen
gebruiken de stelling van Pythagoras bij berekeningen, constructies en in bewijzen
gebruiken de begrippen straal, koorde, raaklijn, middelpuntshoek en omtrekshoek bij
berekeningen, constructies en bewijzen
definiëren de goniometrische getallen sinus, cosinus en tangens van een hoek als de
verhoudingen van zijden van een rechthoekige driehoek
kunnen problemen met zijden en hoeken van driehoeken uit de technische wereld
oplossen door een efficiënte keuze te maken uit:
 de stelling van Thales
 de stelling van Pythagoras
 goniometrische getallen
Pedagogische begeleidingsdienst OVSG
Wiskunde 2de graad ASO
86
40
41
.42
.43
.44
.45
berekenen in het vlak de afstand tussen twee punten gegeven door hun coördinaten
in een cartesisch assenstelsel
lossen eenvoudige problemen i.v.m. ruimtelijke situaties op door gebruik te maken
van eigenschappen van vlakke figuren
kunnen met voorbeelden illustreren dat informatie verloren kan gaan bij het
tweedimensionaal afbeelden van driedimensionale situaties
kunnen de inhoud van sommige ruimtelijke objecten benaderend berekenen door ze
op te spitsen in of aan te vullen tot gekende lichamen
kunnen effecten van schaalverandering op inhoud en oppervlakte berekenen
gebruiken de begrippen evenwijdig, loodrecht, snijdend en kruisend om de onderlinge
ligging aan te geven van rechten en vlakken in ruimtelijke situaties.
5 Statistiek
De leerlingen
.46
*47
.48
.49
.50
.51
leggen aan de hand van voorbeelden het belang uit van de representativiteit van een
steekproef voor het formuleren van statistische besluiten over de populatie
staan kritisch tegenover het gebruik van statistiek in de media
verwoorden, berekenen en interpreteren frequentie en relatieve frequentie zowel bij
individuele als bij gegroepeerde gegevens, in concrete situaties
gebruiken de begrippen gemiddelde, modus, mediaan, standaardafwijking om
statistische gegevens over een concrete situatie te interpreteren
gebruiken en interpreteren diverse grafische voorstellingen van statistische gegevens
zowel bij individuele als bij gegroepeerde gegevens, telkens aan de hand van
concrete situaties
interpreteren relatieve frequentie in termen van kans
Met het oog op de controle door de inspectie werden de attitudes met een * aangeduid in de kantlijn.
Pedagogische begeleidingsdienst OVSG
Wiskunde 2de graad ASO
87
14.2
Instructiekaarten
14.2.1
Instructiekaarten wiskunde
Instructiekaart 1.1
Een probleem oplossen:
voorbereidend denkwerk (oriëntatie).
Vgl. gemeenschappelijke eindtermen natuurwetenschappen 2de graad.
Lees de opdracht.
Duid de woorden aan die je niet begrijpt.
Vraag uitleg aan anderen over de woorden die je niet begrijpt.
Bedenk welk type probleem je moet oplossen.
Hint: het kan gaan over een probleem dat je in één stap kan uitvoeren, in veel stappen
uitvoeren, met of zonder rekenwerk, met of zonder opzoekwerk, waarbij je gegevens moet
ordenen, gegevens moet selecteren, een oordeel geven, een schema, diagram of
tekening maken, eenzelfde bewerking veel keren uitvoeren ...
(Maak een tekening of schema van het probleem.)
Schrijf de gegevens overzichtelijk op. Vergeet de eenheden niet.
Schrijf het gevraagde op. De eenheid is erg belangrijk!
Noteer de theorie, de eenheden en de formules die je misschien kan gebruiken.
Voorbeeld: het probleem is een toepassing van de gaswetten. We leerden als formules :
p.V  cte
bij constante temperatuur en
V
 cte
T
bij constante druk.
Controleer of de gevonden formules in de gegeven omstandigheden mogen gebruikt worden.
(Maak een schatting van de uitkomst, van het antwoord.)
Hint: als een nauwkeurige schatting niet kan, maak dan een ruwe schatting (zoals “een groot getal, negatief”).
Soms kan je voor een schatting steunen op vergelijkbare problemen die je eerder oploste, op ervaring (als je de snelheid
van een fietser moet berekenen, kan je schatten dat je resultaat “niet veel boven 50 km/h” kan liggen), op wiskundige
ervaring (als je een positief getal door een veel groter negatief getal moet delen, mag je schatten dat je “tussen 0 en -1"
zal uitkomen).
Pedagogische begeleidingsdienst OVSG
Wiskunde 2de graad ASO
88
Instructiekaart 1.2
Een probleem oplossen:
planning.
Vgl. gemeenschappelijke eindtermen natuurwetenschappen 2de graad.
Noteer de stappen die je zal nemen om het probleem op te lossen.
Bedenk welke gegevens ontbreken.
Hint: bekijk de formule(s) waarvan je verwacht dat je ze op het einde van je werk zal
gebruiken omdat ze de gevraagde grootheid geeft. Duid erin aan welke gegevens je al
hebt en welke nog niet.
Bedenk of er geen “verborgen” gegevens zijn.
Voorbeeld: als het over processen in het menselijk lichaam gaat, weet je dat de temperatuur
37°C bedraagt, iets wat dikwijls niet in de gegevens is vermeld.
Bedenk hoe je de ontbrekende gegevens kan bepalen.
Voorbeeld: berekenen met een andere formule, aflezen uit een diagram, opzoeken in een
tabel of in het periodiek systeem.
(Maak een schatting van de uitkomst, van het antwoord)
Pedagogische begeleidingsdienst OVSG
Wiskunde 2de graad ASO
89
Instructiekaart 1.3
Een probleem oplossen:
uitvoering.
Vgl. gemeenschappelijke eindtermen natuurwetenschappen 2de graad.
Je voert de stappen uit die je hebt gepland.
Als je vast zit, leg je dan niet neer bij de situatie. Kijk opnieuw naar je planning en zoek een
andere oplossingsweg.
Vraag hulp aan anderen.
Als dit niet toegestaan is, vraag je hulp aan je leraar. Die zal je niet de hele oplossing geven; zorg
dus dat je duidelijk kan zeggen welke stap je niet kan zetten.
Hint: als je alles hebt geprobeerd zonder resultaat, en je hebt nog tijd, dan kan je nog met trial en error beginnen werken.
Je neemt eender welke formule en je probeert systematisch alles te berekenen wat maar enigszins mogelijk is; soms zie
je dan plots een nieuwe oplossingsweg.
Instructiekaart 1.4
Een probleem oplossen:
controle.
Vgl. gemeenschappelijke eindtermen natuurwetenschappen 2de graad.
Overloop de eenheden die je hebt gebruikt.
Voorbeeld: je rekent met gaswetten en je gebruikt de gasconstante met als eenheid J.mol/K, dan mag je enkel
temperaturen in K gebruiken.
Heeft je einduitkomst de gevraagde eenheid?
Controleer je rekenwerk.
Hint: reken uit je hoofd na hoe groot elke tussenuitkomst moet zijn. Het kan bij voorbeeld niet kloppen dat 3,14 x 12 2 een
uitkomst geeft in de buurt van 5000.
(Komt je uitkomst overeen met de schatting die je had gemaakt?)
Pedagogische begeleidingsdienst OVSG
Wiskunde 2de graad ASO
90
STUDIEWIJZER
Op het einde van elk hoofdstuk wordt van je verwacht :

dat je kan uitleggen wat de titel juist betekent;
Voorbeeld: aerodynamica gaat over eigenschappen van gassen waarvan de deeltjes
bewegen.

dat je kan uitleggen wat de plaats is van het hoofdstuk in een groter geheel;
Voorbeeld: het hoofdstuk zuren en basen hoort thuis bij de ionenreacties, daarnaast zijn er
ook redoxreacties.

dat je de delen van het onderwerp kan noemen;
Voorbeeld: het hoofdstuk zenuwstelsel omvat: de zenuwcel, prikkelgeleiding, de delen van
het zenuwstelsel.

dat je verbanden tussen de delen van het onderwerp kan uitleggen;

dat je de nieuwe begrippen ook met eigen woorden kan omschrijven;

dat je de nieuwe begrippen kan toepassen:
-

er iets over kunnen opzoeken;
berekeningen kunnen uitvoeren met de aangeleerde formules;
dat je hypothesen kan maken over andere contexten waarin de nieuwe begrippen of formules
kunnen worden gebruikt, in het vak of erbuiten;
Voorbeeld: je hebt het begrip "polair" geleerd in chemie en je ziet het verband met "polarisatie" van de zenuwcel,
"gepolariseerd licht" en "magnetische polen" in fysica en aardrijkskunde en "polarisatie" in een debat.

dat je zelf toetsvragen kan maken over het onderwerp.
Pedagogische begeleidingsdienst OVSG
Wiskunde 2de graad ASO
91
14.3.2
Instructiekaarten taalbeleid
Instructiekaart beoordelingscriteria voor tekstmateriaal
INSTRUCTIEKAART
Criteria om een tekst kritisch te beoordelen
Wie is de auteur?
- een persoon
- een organisatie
- een commercieel bedrijf
- onbekend
In welke mate is de auteur geloofwaardig t.a.v. het onderwerp?
- waarom wel?
- waarom niet?
Wat is het doel van de auteur?
- informatie geven
- overtuigen
- verkopen
- ontspannen
- niet duidelijk
Vind ik een andere bron waarin de gevonden informatie bevestigd wordt?
- indien ja: ook bij deze bronnen de eerste drie vragen beantwoorden
- indien neen: verder zoeken ! (denk ook aan andere bronnen: encyclopedieën,
boeken, schoolhandboeken, internet, kranten, …)
Pedagogische begeleidingsdienst OVSG
Wiskunde 2de graad ASO
92
Instructiekaart leesvaardigheid
INSTRUCTIEKAART LEZEN
INSTRUCTIEKAART LEZEN
deel 1: vóór het lezen
deel 2: tijdens het lezen
Oriënteren
Algemeen
- Wat is het doel van de auteur van de tekst: informeren, overtuigen, gevoelens
beïnvloeden, aansporen, ontspannen, beoordelen?
- Op welk publiek is de tekst gericht?
- Wie is de auteur?
Terugkijken
- Heb ik eerder zo’n tekst gelezen?
- Welke moeilijkheden heb ik ondervonden?
- Welke fouten heb ik toen gemaakt?
Vooruitzien
- Waarom moet ik deze tekst lezen?
Voorbereiden: verkennend lezen (skimmen)
Uitvoeren
Genietend lezen
Je leest een tekst op eigen tempo en voor je eigen plezier.
Achteraf wordt alleen gevraagd of je het boeiend of leuk vond, …
Zoekend lezen of selecterend lezen (scannen)
Je leest nauwkeurig dat tekstgedeelte dat een antwoord op de vraag bevat.
Intensief lezen
- Op het niveau van de hele tekst: je zoekt de inleiding, het slot.
- Op het niveau van de alinea: in de alinea duid je de kernzin aan.
- Op het niveau van de zin: je zoekt ‘verbindingswoorden’ en ‘verwijswoorden’
om het geheel beter te begrijpen.
Om de inhoud van de tekst te verkennen
- Lees de titels en tussenkopjes.
- Bekijk de illustraties en onderschriften.
- Bij langere teksten: lees de flaptekst en bekijk de inhoudstafel.
Beantwoord daarna de volgende vragen
- Waarover gaat deze tekst?
- Wat weet en vind ik zelf al over dit onderwerp?
Wat zou ik er meer over willen weten?
- Wat verwacht ik van de tekst?
Pedagogische begeleidingsdienst OVSG
Wiskunde 2de graad ASO
93
INSTRUCTIEKAART LEZEN
deel 3: na het lezen
Reflecteren
Terugkijken
- Heb ik de boodschap begrepen?
- Zijn de vragen die ik had, beantwoord?
- Heb ik nog vragen over de tekst, zijn er nog dingen die ik niet begrijp?
- Begrijp ik het doel van dit soort teksten?
- Begrijp ik de bedoeling van de schrijver?
Vooruitzien
- Op welke punten is mijn aanpak succesvol gebleken?
- Op welke punten moet ik mijn aanpak verbeteren?
Pedagogische begeleidingsdienst OVSG
Wiskunde 2de graad ASO
94
Instructiekaart luistervaardigheid
INSTRUCTIEKAART LUISTEREN
INSTRUCTIEKAART LUISTEREN
deel 1: vóór het luisteren
deel 2: tijdens het luisteren
Oriënteren
Algemeen
- Wat is het doel van de spreker: informeren, overtuigen, gevoelens
beïnvloeden, aansporen, ontspannen, beoordelen?
- Voor welk publiek is de tekst bestemd?
- Wie is de spreker? (Welk taalgebruik kun je verwachten: formeel,
informeel, …)
Terugkijken
- Heb ik eerder zo’n luisteroefening gehad?
- Welke moeilijkheden heb ik ondervonden?
- Welke fouten heb ik toen gemaakt?
Uitvoeren
Genietend luisteren
Je luistert naar een verhaal, een liedje, een gedicht, …
Achteraf wordt alleen gevraagd of je het boeiend of leuk vond, of je het mooi of
lelijk vond, …
Selecterend luisteren
Je noteert alle informatie waarnaar je op zoek bent,
bv.: antwoorden op vooraf gestelde vragen.
Op basis van die informatie noteer je de hoofdgedachte, onderscheid je
hoofdpunten en details.
Vooruitzien
- Wat moet ik met deze luistertekst doen?
Voorbereiden
-
Wat weet ik al over het onderwerp?
Wat zou ik willen weten over het onderwerp?
Pedagogische begeleidingsdienst OVSG
Wiskunde 2de graad ASO
95
INSTRUCTIEKAART LUISTEREN
deel 3: na het luisteren
Reflecteren
Terugkijken
- Heb ik de boodschap begrepen?
- Zijn de vragen die ik had, beantwoord?
- Heb ik nog vragen over de tekst, zijn er nog dingen die ik niet begrijp?
- Begrijp ik het doel van de uiteenzetting?
- Begrijp ik de bedoeling van de spreker?
- Heb ik problemen ervaren?
Vooruitzien
- Op welke punten is mijn aanpak succesvol gebleken?
- Op welke punten moet ik mijn aanpak verbeteren?
Pedagogische begeleidingsdienst OVSG
Wiskunde 2de graad ASO
96
Colofon
Dit leerplan werd ontwikkeld door de leerplancommissie Wiskunde 2de graad ASO van het
OVSG met medewerking van vertegenwoordigers van de inrichtende machten Antwerpen,
Brasschaat, Brussel en Gent.
Dit leerplan werd gedeponeerd als
D/2004/7634/027
Pedagogische begeleidingsdienst OVSG
Wiskunde 2de graad ASO
97