Extrema - Bliggy

Analyse: van R naar Rn hoorcollege
Extrema in Rn (21)
Gerrit Oomens
[email protected]
Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde
Faculteit der Natuurwetenschappen, Wiskunde en Informatica
Universiteit van Amsterdam
Extrema in R
Bekijk een C 2 -functie f : E → R, waar E ⊆ R open.
Extrema in R
Bekijk een C 2 -functie f : E → R, waar E ⊆ R open. We zeggen dat f een lokaal
maximum heeft in a
Extrema in R
Bekijk een C 2 -functie f : E → R, waar E ⊆ R open. We zeggen dat f een lokaal
maximum heeft in a als er een δ > 0 bestaat zodat voor alle x ∈ (a − δ, a + δ) geldt
f (x) ≤ f (a).
Extrema in R
Bekijk een C 2 -functie f : E → R, waar E ⊆ R open. We zeggen dat f een lokaal
maximum heeft in a als er een δ > 0 bestaat zodat voor alle x ∈ (a − δ, a + δ) geldt
f (x) ≤ f (a). Bekend:
1
als f een lokaal extremum aanneemt in a, dan f 0 (a) = 0,
Extrema in R
Bekijk een C 2 -functie f : E → R, waar E ⊆ R open. We zeggen dat f een lokaal
maximum heeft in a als er een δ > 0 bestaat zodat voor alle x ∈ (a − δ, a + δ) geldt
f (x) ≤ f (a). Bekend:
1
als f een lokaal extremum aanneemt in a, dan f 0 (a) = 0,
2
als f een maximum aanneemt in a, dan is f 00 (a) ≤ 0,
Extrema in R
Bekijk een C 2 -functie f : E → R, waar E ⊆ R open. We zeggen dat f een lokaal
maximum heeft in a als er een δ > 0 bestaat zodat voor alle x ∈ (a − δ, a + δ) geldt
f (x) ≤ f (a). Bekend:
1
als f een lokaal extremum aanneemt in a, dan f 0 (a) = 0,
2
als f een maximum aanneemt in a, dan is f 00 (a) ≤ 0,
3
als f 0 (a) = 0 en f 00 (a) < 0, dan heeft f een maximum in a.
Extrema in Rn
We bekijken een functie f : E → R, waar E ⊆ Rn .
Extrema in Rn
We bekijken een functie f : E → R, waar E ⊆ Rn .
f heeft een lokaal maximum in ~a ∈ E als er een δ > 0 is zodat f (~x) ≤ f (~a) voor
~x ∈ B(~a, δ).
Extrema in Rn
We bekijken een functie f : E → R, waar E ⊆ Rn .
f heeft een lokaal maximum in ~a ∈ E als er een δ > 0 is zodat f (~x) ≤ f (~a) voor
~x ∈ B(~a, δ).
We noemen ~a een absoluut maximum als f (~x) ≤ f (~a) voor alle ~x ∈ E .
Extrema in Rn
We bekijken een functie f : E → R, waar E ⊆ Rn .
f heeft een lokaal maximum in ~a ∈ E als er een δ > 0 is zodat f (~x) ≤ f (~a) voor
~x ∈ B(~a, δ).
We noemen ~a een absoluut maximum als f (~x) ≤ f (~a) voor alle ~x ∈ E . Anders
heet ~a relatief.
Extrema in Rn
We bekijken een functie f : E → R, waar E ⊆ Rn .
f heeft een lokaal maximum in ~a ∈ E als er een δ > 0 is zodat f (~x) ≤ f (~a) voor
~x ∈ B(~a, δ).
We noemen ~a een absoluut maximum als f (~x) ≤ f (~a) voor alle ~x ∈ E . Anders
heet ~a relatief.
We noemen ~a een sterk maximum als er een δ > 0 is zodat f (~x) < f (~a) voor
~x ∈ B(~a, δ) en ~x 6= ~a.
Extrema in Rn
We bekijken een functie f : E → R, waar E ⊆ Rn .
f heeft een lokaal maximum in ~a ∈ E als er een δ > 0 is zodat f (~x) ≤ f (~a) voor
~x ∈ B(~a, δ).
We noemen ~a een absoluut maximum als f (~x) ≤ f (~a) voor alle ~x ∈ E . Anders
heet ~a relatief.
We noemen ~a een sterk maximum als er een δ > 0 is zodat f (~x) < f (~a) voor
~x ∈ B(~a, δ) en ~x 6= ~a. Anders heet ~a zwak.
Extrema in Rn
We bekijken een functie f : E → R, waar E ⊆ Rn .
f heeft een lokaal maximum in ~a ∈ E als er een δ > 0 is zodat f (~x) ≤ f (~a) voor
~x ∈ B(~a, δ).
We noemen ~a een absoluut maximum als f (~x) ≤ f (~a) voor alle ~x ∈ E . Anders
heet ~a relatief.
We noemen ~a een sterk maximum als er een δ > 0 is zodat f (~x) < f (~a) voor
~x ∈ B(~a, δ) en ~x 6= ~a. Anders heet ~a zwak.
Het punt ~a kan een inwendig maximum (~a ∈ E ◦ )
Extrema in Rn
We bekijken een functie f : E → R, waar E ⊆ Rn .
f heeft een lokaal maximum in ~a ∈ E als er een δ > 0 is zodat f (~x) ≤ f (~a) voor
~x ∈ B(~a, δ).
We noemen ~a een absoluut maximum als f (~x) ≤ f (~a) voor alle ~x ∈ E . Anders
heet ~a relatief.
We noemen ~a een sterk maximum als er een δ > 0 is zodat f (~x) < f (~a) voor
~x ∈ B(~a, δ) en ~x 6= ~a. Anders heet ~a zwak.
Het punt ~a kan een inwendig maximum (~a ∈ E ◦ ) of een randmaximum (~a ∈ ∂E )
zijn.
Extrema en afgeleides
Propositie 13.6
Zij f : E → R en ~a een inwendig extremum van f , dan
(1) Neem ~u ∈ R. Als de richtingsafgeleide (D~u f )(~a) bestaat, dan is (D~u f )(~a) = ~0.
(2) Als f differentieerbaar is in ~a, dan geldt f 0 (~a) = ~0.
Extrema en afgeleides
Propositie 13.6
Zij f : E → R en ~a een inwendig extremum van f , dan
(1) Neem ~u ∈ R. Als de richtingsafgeleide (D~u f )(~a) bestaat, dan is (D~u f )(~a) = ~0.
(2) Als f differentieerbaar is in ~a, dan geldt f 0 (~a) = ~0.
Bewijs:
Extrema en afgeleides
Propositie 13.6
Zij f : E → R en ~a een inwendig extremum van f , dan
(1) Neem ~u ∈ R. Als de richtingsafgeleide (D~u f )(~a) bestaat, dan is (D~u f )(~a) = ~0.
(2) Als f differentieerbaar is in ~a, dan geldt f 0 (~a) = ~0.
Bewijs: neem ~u ∈ Rn
Extrema en afgeleides
Propositie 13.6
Zij f : E → R en ~a een inwendig extremum van f , dan
(1) Neem ~u ∈ R. Als de richtingsafgeleide (D~u f )(~a) bestaat, dan is (D~u f )(~a) = ~0.
(2) Als f differentieerbaar is in ~a, dan geldt f 0 (~a) = ~0.
Bewijs: neem ~u ∈ Rn en definieer g (t) = f (~a + t~u).
Extrema en afgeleides
Propositie 13.6
Zij f : E → R en ~a een inwendig extremum van f , dan
(1) Neem ~u ∈ R. Als de richtingsafgeleide (D~u f )(~a) bestaat, dan is (D~u f )(~a) = ~0.
(2) Als f differentieerbaar is in ~a, dan geldt f 0 (~a) = ~0.
Bewijs: neem ~u ∈ Rn en definieer g (t) = f (~a + t~u). Dan is g een functie op R met
een lokaal extremum in 0.
Extrema en afgeleides
Propositie 13.6
Zij f : E → R en ~a een inwendig extremum van f , dan
(1) Neem ~u ∈ R. Als de richtingsafgeleide (D~u f )(~a) bestaat, dan is (D~u f )(~a) = ~0.
(2) Als f differentieerbaar is in ~a, dan geldt f 0 (~a) = ~0.
Bewijs: neem ~u ∈ Rn en definieer g (t) = f (~a + t~u). Dan is g een functie op R met
een lokaal extremum in 0. Dus
g 0 (0) = 0.
Extrema en afgeleides
Propositie 13.6
Zij f : E → R en ~a een inwendig extremum van f , dan
(1) Neem ~u ∈ R. Als de richtingsafgeleide (D~u f )(~a) bestaat, dan is (D~u f )(~a) = ~0.
(2) Als f differentieerbaar is in ~a, dan geldt f 0 (~a) = ~0.
Bewijs: neem ~u ∈ Rn en definieer g (t) = f (~a + t~u). Dan is g een functie op R met
een lokaal extremum in 0. Dus
(D~u f )(~a) := g 0 (0) = 0.
Extrema en afgeleides
Propositie 13.6
Zij f : E → R en ~a een inwendig extremum van f , dan
(1) Neem ~u ∈ R. Als de richtingsafgeleide (D~u f )(~a) bestaat, dan is (D~u f )(~a) = ~0.
(2) Als f differentieerbaar is in ~a, dan geldt f 0 (~a) = ~0.
Bewijs: neem ~u ∈ Rn en definieer g (t) = f (~a + t~u). Dan is g een functie op R met
een lokaal extremum in 0. Dus
(D~u f )(~a) := g 0 (0) = 0.
Dit bewijst (1).
Extrema en afgeleides
Propositie 13.6
Zij f : E → R en ~a een inwendig extremum van f , dan
(1) Neem ~u ∈ R. Als de richtingsafgeleide (D~u f )(~a) bestaat, dan is (D~u f )(~a) = ~0.
(2) Als f differentieerbaar is in ~a, dan geldt f 0 (~a) = ~0.
Bewijs: neem ~u ∈ Rn en definieer g (t) = f (~a + t~u). Dan is g een functie op R met
een lokaal extremum in 0. Dus
(D~u f )(~a) := g 0 (0) = 0.
Dit bewijst (1). Merk nu op dat als f differentieerbaar is
Extrema en afgeleides
Propositie 13.6
Zij f : E → R en ~a een inwendig extremum van f , dan
(1) Neem ~u ∈ R. Als de richtingsafgeleide (D~u f )(~a) bestaat, dan is (D~u f )(~a) = ~0.
(2) Als f differentieerbaar is in ~a, dan geldt f 0 (~a) = ~0.
Bewijs: neem ~u ∈ Rn en definieer g (t) = f (~a + t~u). Dan is g een functie op R met
een lokaal extremum in 0. Dus
(D~u f )(~a) := g 0 (0) = 0.
Dit bewijst (1). Merk nu op dat als f differentieerbaar is, dat voor alle ~u geldt
f 0 (~a)~u = (D~u f )(~a)
Extrema en afgeleides
Propositie 13.6
Zij f : E → R en ~a een inwendig extremum van f , dan
(1) Neem ~u ∈ R. Als de richtingsafgeleide (D~u f )(~a) bestaat, dan is (D~u f )(~a) = ~0.
(2) Als f differentieerbaar is in ~a, dan geldt f 0 (~a) = ~0.
Bewijs: neem ~u ∈ Rn en definieer g (t) = f (~a + t~u). Dan is g een functie op R met
een lokaal extremum in 0. Dus
(D~u f )(~a) := g 0 (0) = 0.
Dit bewijst (1). Merk nu op dat als f differentieerbaar is, dat voor alle ~u geldt
f 0 (~a)~u = (D~u f )(~a) = 0,
Extrema en afgeleides
Propositie 13.6
Zij f : E → R en ~a een inwendig extremum van f , dan
(1) Neem ~u ∈ R. Als de richtingsafgeleide (D~u f )(~a) bestaat, dan is (D~u f )(~a) = ~0.
(2) Als f differentieerbaar is in ~a, dan geldt f 0 (~a) = ~0.
Bewijs: neem ~u ∈ Rn en definieer g (t) = f (~a + t~u). Dan is g een functie op R met
een lokaal extremum in 0. Dus
(D~u f )(~a) := g 0 (0) = 0.
Dit bewijst (1). Merk nu op dat als f differentieerbaar is, dat voor alle ~u geldt
f 0 (~a)~u = (D~u f )(~a) = 0,
dus dan volgt f 0 (~a) = ~0.
Extrema en afgeleides
Propositie 13.6
Zij f : E → R en ~a een inwendig extremum van f , dan
(1) Neem ~u ∈ R. Als de richtingsafgeleide (D~u f )(~a) bestaat, dan is (D~u f )(~a) = ~0.
(2) Als f differentieerbaar is in ~a, dan geldt f 0 (~a) = ~0.
Bewijs: neem ~u ∈ Rn en definieer g (t) = f (~a + t~u). Dan is g een functie op R met
een lokaal extremum in 0. Dus
(D~u f )(~a) := g 0 (0) = 0.
Dit bewijst (1). Merk nu op dat als f differentieerbaar is, dat voor alle ~u geldt
f 0 (~a)~u = (D~u f )(~a) = 0,
dus dan volgt f 0 (~a) = ~0.
Extrema en afgeleides
Propositie 13.6
Zij f : E → R en ~a een inwendig extremum van f , dan
(1) Neem ~u ∈ R. Als de richtingsafgeleide (D~u f )(~a) bestaat, dan is (D~u f )(~a) = ~0.
(2) Als f differentieerbaar is in ~a, dan geldt f 0 (~a) = ~0.
Een punt met f 0 (~a) = ~0 heet een stationair punt.
Bewijs: neem ~u ∈ Rn en definieer g (t) = f (~a + t~u). Dan is g een functie op R met
een lokaal extremum in 0. Dus
(D~u f )(~a) := g 0 (0) = 0.
Dit bewijst (1). Merk nu op dat als f differentieerbaar is, dat voor alle ~u geldt
f 0 (~a)~u = (D~u f )(~a) = 0,
dus dan volgt f 0 (~a) = ~0.
Taylorreeks
Zij f : R2 → R een C 2 functie.
Taylorreeks
Zij f : R2 → R een C 2 functie. De Stelling van Taylor geeft
f (~a + ~h)
Taylorreeks
Zij f : R2 → R een C 2 functie. De Stelling van Taylor geeft
f (~a + ~h) = f (~a) +
2
2
X
X
Dj1 f (~a)
Dj1 j2 f (~a)
hj1 +
hj1 hj2 + o(k~hk2 )
1!
2!
j1 =1
j1 ,j2 =1
Taylorreeks
Zij f : R2 → R een C 2 functie. De Stelling van Taylor geeft
f (~a + ~h) = f (~a) +
2
2
X
X
Dj1 f (~a)
Dj1 j2 f (~a)
hj1 +
hj1 hj2 + o(k~hk2 )
1!
2!
j1 =1
j1 ,j2 =1
= f (~a) + D1 f (~a)h1 + D2 f (~a)h2
+ 21 D11 f (~a)h12 + 2D12 f (~a)h1 h2 + D22 f (~a)h22 + o(k~hk2 )
Taylorreeks
Zij f : R2 → R een C 2 functie. De Stelling van Taylor geeft
f (~a + ~h) = f (~a) +
2
2
X
X
Dj1 f (~a)
Dj1 j2 f (~a)
hj1 +
hj1 hj2 + o(k~hk2 )
1!
2!
j1 =1
j1 ,j2 =1
= f (~a) + D1 f (~a)h1 + D2 f (~a)h2
+ 21 D11 f (~a)h12 + 2D12 f (~a)h1 h2 + D22 f (~a)h22 + o(k~hk2 )
h1
= f (~a) + D1 f (~a) D2 f (~a)
h2
D11 f (~a) D12 f (~a) h1
+ o(k~hk2 )
+ 21 h1 h2
D12 f (~a) D22 f (~a) h2
Taylorreeks
Zij f : R2 → R een C 2 functie. De Stelling van Taylor geeft
f (~a + ~h) = f (~a) +
2
2
X
X
Dj1 f (~a)
Dj1 j2 f (~a)
hj1 +
hj1 hj2 + o(k~hk2 )
1!
2!
j1 =1
j1 ,j2 =1
= f (~a) + D1 f (~a)h1 + D2 f (~a)h2
+ 21 D11 f (~a)h12 + 2D12 f (~a)h1 h2 + D22 f (~a)h22 + o(k~hk2 )
h1
= f (~a) + D1 f (~a) D2 f (~a)
h2
D11 f (~a) D12 f (~a) h1
+ o(k~hk2 )
+ 21 h1 h2
D12 f (~a) D22 f (~a) h2
= f (~a) + f 0 (~a)~h + 1 ~h> Hf (~a)~h + o(k~hk2 ),
2
Taylorreeks
Zij f : R2 → R een C 2 functie. De Stelling van Taylor geeft
f (~a + ~h) = f (~a) +
2
2
X
X
Dj1 f (~a)
Dj1 j2 f (~a)
hj1 +
hj1 hj2 + o(k~hk2 )
1!
2!
j1 =1
j1 ,j2 =1
= f (~a) + D1 f (~a)h1 + D2 f (~a)h2
+ 21 D11 f (~a)h12 + 2D12 f (~a)h1 h2 + D22 f (~a)h22 + o(k~hk2 )
h1
= f (~a) + D1 f (~a) D2 f (~a)
h2
D11 f (~a) D12 f (~a) h1
+ o(k~hk2 )
+ 21 h1 h2
D12 f (~a) D22 f (~a) h2
= f (~a) + f 0 (~a)~h + 1 ~h> Hf (~a)~h + o(k~hk2 ),
2
waarbij
Hf (~a)
Taylorreeks
Zij f : R2 → R een C 2 functie. De Stelling van Taylor geeft
f (~a + ~h) = f (~a) +
2
2
X
X
Dj1 f (~a)
Dj1 j2 f (~a)
hj1 +
hj1 hj2 + o(k~hk2 )
1!
2!
j1 =1
j1 ,j2 =1
= f (~a) + D1 f (~a)h1 + D2 f (~a)h2
+ 21 D11 f (~a)h12 + 2D12 f (~a)h1 h2 + D22 f (~a)h22 + o(k~hk2 )
h1
= f (~a) + D1 f (~a) D2 f (~a)
h2
D11 f (~a) D12 f (~a) h1
+ o(k~hk2 )
+ 21 h1 h2
D12 f (~a) D22 f (~a) h2
= f (~a) + f 0 (~a)~h + 1 ~h> Hf (~a)~h + o(k~hk2 ),
2
waarbij
D11 f (~a) D12 f (~a)
Hf (~a) =
D12 f (~a) D22 f (~a)
Taylorreeks
Zij f : R2 → R een C 2 functie. De Stelling van Taylor geeft
f (~a + ~h) = f (~a) +
2
2
X
X
Dj1 f (~a)
Dj1 j2 f (~a)
hj1 +
hj1 hj2 + o(k~hk2 )
1!
2!
j1 =1
j1 ,j2 =1
= f (~a) + D1 f (~a)h1 + D2 f (~a)h2
+ 21 D11 f (~a)h12 + 2D12 f (~a)h1 h2 + D22 f (~a)h22 + o(k~hk2 )
h1
= f (~a) + D1 f (~a) D2 f (~a)
h2
D11 f (~a) D12 f (~a) h1
+ o(k~hk2 )
+ 21 h1 h2
D12 f (~a) D22 f (~a) h2
= f (~a) + f 0 (~a)~h + 1 ~h> Hf (~a)~h + o(k~hk2 ),
2
waarbij
D11 f (~a) D12 f (~a)
Hf (~a) =
D12 f (~a) D22 f (~a)
de Hesse-matrix of Hessiaan van f wordt genoemd.
Taylorreeks: meer algemeen
Zij f : Rn → R een C 2 functie.
Taylorreeks: meer algemeen
Zij f : Rn → R een C 2 functie. Er geldt
f (~a + ~h)
Taylorreeks: meer algemeen
Zij f : Rn → R een C 2 functie. Er geldt
f (~a + ~h) = f (~a) +
n
n
X
X
Dj1 f (~a)
Dj1 j2 f (~a)
hj1 +
hj1 hj2 + o(k~hk2 )
1!
2!
j1 =1
j1 ,j2 =1
= f (~a) + f 0 (~a)~h + 12 ~h> Hf (~a)~h + o(k~hk2 ),
Taylorreeks: meer algemeen
Zij f : Rn → R een C 2 functie. Er geldt
f (~a + ~h) = f (~a) +
n
n
X
X
Dj1 f (~a)
Dj1 j2 f (~a)
hj1 +
hj1 hj2 + o(k~hk2 )
1!
2!
j1 =1
j1 ,j2 =1
= f (~a) + f 0 (~a)~h + 12 ~h> Hf (~a)~h + o(k~hk2 ),
waarbij

D11 f (~a) · · ·

..
Hf (~a) = 
.
Dn1 f (~a) · · ·

D1n f (~a)

..

.
Dnn f (~a)
de Hesse-matrix of Hessiaan van f wordt genoemd.
Taylorreeks: meer algemeen
Zij f : Rn → R een C 2 functie. Er geldt
f (~a + ~h) = f (~a) +
n
n
X
X
Dj1 f (~a)
Dj1 j2 f (~a)
hj1 +
hj1 hj2 + o(k~hk2 )
1!
2!
j1 =1
j1 ,j2 =1
= f (~a) + f 0 (~a)~h + 12 ~h> Hf (~a)~h + o(k~hk2 ),
waarbij

D11 f (~a) · · ·

..
Hf (~a) = 
.
Dn1 f (~a) · · ·

D1n f (~a)

..

.
Dnn f (~a)
de Hesse-matrix of Hessiaan van f wordt genoemd. In het bijzonder geldt in een
stationair punt
Taylorreeks: meer algemeen
Zij f : Rn → R een C 2 functie. Er geldt
f (~a + ~h) = f (~a) +
n
n
X
X
Dj1 f (~a)
Dj1 j2 f (~a)
hj1 +
hj1 hj2 + o(k~hk2 )
1!
2!
j1 =1
j1 ,j2 =1
= f (~a) + f 0 (~a)~h + 12 ~h> Hf (~a)~h + o(k~hk2 ),
waarbij

D11 f (~a) · · ·

..
Hf (~a) = 
.
Dn1 f (~a) · · ·

D1n f (~a)

..

.
Dnn f (~a)
de Hesse-matrix of Hessiaan van f wordt genoemd. In het bijzonder geldt in een
stationair punt
f (~a + ~h) = f (~a) + 12 ~h> Hf (~a)~h + o(k~hk2 ).
Tweede afgeleide en extrema
Propositie 13.9
Zij f : E → Rn een C 2 functie en ~a ∈ E ◦ . Als f een lokaal minimum aanneemt in ~a,
dan geldt ~h> Hf (~a)~h ≥ 0 voor alle ~h ∈ Rn .
Tweede afgeleide en extrema
Propositie 13.9
Zij f : E → Rn een C 2 functie en ~a ∈ E ◦ . Als f een lokaal minimum aanneemt in ~a,
dan geldt ~h> Hf (~a)~h ≥ 0 voor alle ~h ∈ Rn .
Bewijs:
Tweede afgeleide en extrema
Propositie 13.9
Zij f : E → Rn een C 2 functie en ~a ∈ E ◦ . Als f een lokaal minimum aanneemt in ~a,
dan geldt ~h> Hf (~a)~h ≥ 0 voor alle ~h ∈ Rn .
Bewijs: neem ~h ∈ Rn en bekijk
g (t) := f (~a + t~h).
Tweede afgeleide en extrema
Propositie 13.9
Zij f : E → Rn een C 2 functie en ~a ∈ E ◦ . Als f een lokaal minimum aanneemt in ~a,
dan geldt ~h> Hf (~a)~h ≥ 0 voor alle ~h ∈ Rn .
Bewijs: neem ~h ∈ Rn en bekijk
g (t) := f (~a + t~h).
Als f een lokaal minimum aanneemt, dan neemt g een lokaal minimum aan in 0.
Tweede afgeleide en extrema
Propositie 13.9
Zij f : E → Rn een C 2 functie en ~a ∈ E ◦ . Als f een lokaal minimum aanneemt in ~a,
dan geldt ~h> Hf (~a)~h ≥ 0 voor alle ~h ∈ Rn .
Bewijs: neem ~h ∈ Rn en bekijk
g (t) := f (~a + t~h).
Als f een lokaal minimum aanneemt, dan neemt g een lokaal minimum aan in 0. Dus
g 00 (0) ≥ 0.
Tweede afgeleide en extrema
Propositie 13.9
Zij f : E → Rn een C 2 functie en ~a ∈ E ◦ . Als f een lokaal minimum aanneemt in ~a,
dan geldt ~h> Hf (~a)~h ≥ 0 voor alle ~h ∈ Rn .
Bewijs: neem ~h ∈ Rn en bekijk
g (t) := f (~a + t~h).
Als f een lokaal minimum aanneemt, dan neemt g een lokaal minimum aan in 0. Dus
g 00 (0) ≥ 0. Met wat rekenwerk (Lemma 12.5) zien we dat
g 00 (0) = ~h> Hf (~a)~h.
Tweede afgeleide en extrema
Stelling 13.10
Zij f : E → R een C 2 -functie en ~a ∈ E ◦ met f 0 (~a) = ~0. Stel dat voor alle ~h 6= 0 geldt
~h> Hf (~a)~h > 0. Dan neemt f een sterk lokaal minimum aan in ~a.
Tweede afgeleide en extrema
Stelling 13.10
Zij f : E → R een C 2 -functie en ~a ∈ E ◦ met f 0 (~a) = ~0. Stel dat voor alle ~h 6= 0 geldt
~h> Hf (~a)~h > 0. Dan neemt f een sterk lokaal minimum aan in ~a.
f (~a + ~h) − f (~a) = 12 ~h> Hf (~a)~h + o(k~hk2 )
Tweede afgeleide en extrema
Stelling 13.10
Zij f : E → R een C 2 -functie en ~a ∈ E ◦ met f 0 (~a) = ~0. Stel dat voor alle ~h 6= 0 geldt
~h> Hf (~a)~h > 0. Dan neemt f een sterk lokaal minimum aan in ~a.
Bekijk Λ : Rn → R gegeven door Λ(~h) = ~h> Hf (~a)~h.
f (~a + ~h) − f (~a) = 12 ~h> Hf (~a)~h + o(k~hk2 )
Tweede afgeleide en extrema
Stelling 13.10
Zij f : E → R een C 2 -functie en ~a ∈ E ◦ met f 0 (~a) = ~0. Stel dat voor alle ~h 6= 0 geldt
~h> Hf (~a)~h > 0. Dan neemt f een sterk lokaal minimum aan in ~a.
Bekijk Λ : Rn → R gegeven door Λ(~h) = ~h> Hf (~a)~h.
Dit is continu
f (~a + ~h) − f (~a) = 12 ~h> Hf (~a)~h + o(k~hk2 )
Tweede afgeleide en extrema
Stelling 13.10
Zij f : E → R een C 2 -functie en ~a ∈ E ◦ met f 0 (~a) = ~0. Stel dat voor alle ~h 6= 0 geldt
~h> Hf (~a)~h > 0. Dan neemt f een sterk lokaal minimum aan in ~a.
Bekijk Λ : Rn → R gegeven door Λ(~h) = ~h> Hf (~a)~h.
Dit is continu en neemt dus een minimum aan op de compacte verzameling
S n−1 := {~h ∈ Rn : k~hk = 1}.
f (~a + ~h) − f (~a) = 12 ~h> Hf (~a)~h + o(k~hk2 )
Tweede afgeleide en extrema
Stelling 13.10
Zij f : E → R een C 2 -functie en ~a ∈ E ◦ met f 0 (~a) = ~0. Stel dat voor alle ~h 6= 0 geldt
~h> Hf (~a)~h > 0. Dan neemt f een sterk lokaal minimum aan in ~a.
Bekijk Λ : Rn → R gegeven door Λ(~h) = ~h> Hf (~a)~h.
Dit is continu en neemt dus een minimum aan op de compacte verzameling
S n−1 := {~h ∈ Rn : k~hk = 1}.
Dus voor zekere ~h0 geldt inf k~hk=1 Λ(~h) = Λ(~h0 )
f (~a + ~h) − f (~a) = 12 ~h> Hf (~a)~h + o(k~hk2 )
Tweede afgeleide en extrema
Stelling 13.10
Zij f : E → R een C 2 -functie en ~a ∈ E ◦ met f 0 (~a) = ~0. Stel dat voor alle ~h 6= 0 geldt
~h> Hf (~a)~h > 0. Dan neemt f een sterk lokaal minimum aan in ~a.
Bekijk Λ : Rn → R gegeven door Λ(~h) = ~h> Hf (~a)~h.
Dit is continu en neemt dus een minimum aan op de compacte verzameling
S n−1 := {~h ∈ Rn : k~hk = 1}.
Dus voor zekere ~h0 geldt µ := inf k~hk=1 Λ(~h) = Λ(~h0 )
f (~a + ~h) − f (~a) = 12 ~h> Hf (~a)~h + o(k~hk2 )
Tweede afgeleide en extrema
Stelling 13.10
Zij f : E → R een C 2 -functie en ~a ∈ E ◦ met f 0 (~a) = ~0. Stel dat voor alle ~h 6= 0 geldt
~h> Hf (~a)~h > 0. Dan neemt f een sterk lokaal minimum aan in ~a.
Bekijk Λ : Rn → R gegeven door Λ(~h) = ~h> Hf (~a)~h.
Dit is continu en neemt dus een minimum aan op de compacte verzameling
S n−1 := {~h ∈ Rn : k~hk = 1}.
Dus voor zekere ~h0 geldt µ := inf k~hk=1 Λ(~h) = Λ(~h0 ) > 0.
f (~a + ~h) − f (~a) = 12 ~h> Hf (~a)~h + o(k~hk2 )
Tweede afgeleide en extrema
Stelling 13.10
Zij f : E → R een C 2 -functie en ~a ∈ E ◦ met f 0 (~a) = ~0. Stel dat voor alle ~h 6= 0 geldt
~h> Hf (~a)~h > 0. Dan neemt f een sterk lokaal minimum aan in ~a.
Bekijk Λ : Rn → R gegeven door Λ(~h) = ~h> Hf (~a)~h.
Dit is continu en neemt dus een minimum aan op de compacte verzameling
S n−1 := {~h ∈ Rn : k~hk = 1}.
Dus voor zekere ~h0 geldt µ := inf k~hk=1 Λ(~h) = Λ(~h0 ) > 0.
Voor ~h 6= 0 willekeurig geldt nu
Λ(~h)
f (~a + ~h) − f (~a) = 12 ~h> Hf (~a)~h + o(k~hk2 )
Tweede afgeleide en extrema
Stelling 13.10
Zij f : E → R een C 2 -functie en ~a ∈ E ◦ met f 0 (~a) = ~0. Stel dat voor alle ~h 6= 0 geldt
~h> Hf (~a)~h > 0. Dan neemt f een sterk lokaal minimum aan in ~a.
Bekijk Λ : Rn → R gegeven door Λ(~h) = ~h> Hf (~a)~h.
Dit is continu en neemt dus een minimum aan op de compacte verzameling
S n−1 := {~h ∈ Rn : k~hk = 1}.
Dus voor zekere ~h0 geldt µ := inf k~hk=1 Λ(~h) = Λ(~h0 ) > 0.
Voor ~h 6= 0 willekeurig geldt nu
~h> Hf (~a)~h
Λ(~h) = k~hk2
k~hk2
f (~a + ~h) − f (~a) = 12 ~h> Hf (~a)~h + o(k~hk2 )
Tweede afgeleide en extrema
Stelling 13.10
Zij f : E → R een C 2 -functie en ~a ∈ E ◦ met f 0 (~a) = ~0. Stel dat voor alle ~h 6= 0 geldt
~h> Hf (~a)~h > 0. Dan neemt f een sterk lokaal minimum aan in ~a.
Bekijk Λ : Rn → R gegeven door Λ(~h) = ~h> Hf (~a)~h.
Dit is continu en neemt dus een minimum aan op de compacte verzameling
S n−1 := {~h ∈ Rn : k~hk = 1}.
Dus voor zekere ~h0 geldt µ := inf k~hk=1 Λ(~h) = Λ(~h0 ) > 0.
Voor ~h 6= 0 willekeurig geldt nu
"
#>
"
#
~h> Hf (~a)~h
~h
~h
Λ(~h) = k~hk2
= k~hk2
Hf (~a)
k~hk2
k~hk
k~hk
f (~a + ~h) − f (~a) = 12 ~h> Hf (~a)~h + o(k~hk2 )
Tweede afgeleide en extrema
Stelling 13.10
Zij f : E → R een C 2 -functie en ~a ∈ E ◦ met f 0 (~a) = ~0. Stel dat voor alle ~h 6= 0 geldt
~h> Hf (~a)~h > 0. Dan neemt f een sterk lokaal minimum aan in ~a.
Bekijk Λ : Rn → R gegeven door Λ(~h) = ~h> Hf (~a)~h.
Dit is continu en neemt dus een minimum aan op de compacte verzameling
S n−1 := {~h ∈ Rn : k~hk = 1}.
Dus voor zekere ~h0 geldt µ := inf k~hk=1 Λ(~h) = Λ(~h0 ) > 0.
Voor ~h 6= 0 willekeurig geldt nu
"
#>
"
#
!
~h> Hf (~a)~h
~h
~h
~h
Λ(~h) = k~hk2
= k~hk2
Hf (~a)
= k~hk2 Λ
k~hk2
k~hk
k~hk
k~hk
f (~a + ~h) − f (~a) = 12 ~h> Hf (~a)~h + o(k~hk2 )
Tweede afgeleide en extrema
Stelling 13.10
Zij f : E → R een C 2 -functie en ~a ∈ E ◦ met f 0 (~a) = ~0. Stel dat voor alle ~h 6= 0 geldt
~h> Hf (~a)~h > 0. Dan neemt f een sterk lokaal minimum aan in ~a.
Bekijk Λ : Rn → R gegeven door Λ(~h) = ~h> Hf (~a)~h.
Dit is continu en neemt dus een minimum aan op de compacte verzameling
S n−1 := {~h ∈ Rn : k~hk = 1}.
Dus voor zekere ~h0 geldt µ := inf k~hk=1 Λ(~h) = Λ(~h0 ) > 0.
Voor ~h 6= 0 willekeurig geldt nu
"
#>
"
#
!
~h> Hf (~a)~h
~h
~h
~h
Λ(~h) = k~hk2
= k~hk2
Hf (~a)
= k~hk2 Λ
≥ µk~hk2 .
k~hk2
k~hk
k~hk
k~hk
f (~a + ~h) − f (~a) = 12 ~h> Hf (~a)~h + o(k~hk2 )
Tweede afgeleide en extrema
Stelling 13.10
Zij f : E → R een C 2 -functie en ~a ∈ E ◦ met f 0 (~a) = ~0. Stel dat voor alle ~h 6= 0 geldt
~h> Hf (~a)~h > 0. Dan neemt f een sterk lokaal minimum aan in ~a.
Bekijk Λ : Rn → R gegeven door Λ(~h) = ~h> Hf (~a)~h.
Dit is continu en neemt dus een minimum aan op de compacte verzameling
S n−1 := {~h ∈ Rn : k~hk = 1}.
Dus voor zekere ~h0 geldt µ := inf k~hk=1 Λ(~h) = Λ(~h0 ) > 0.
Voor ~h 6= 0 willekeurig geldt nu
"
#>
"
#
!
~h> Hf (~a)~h
~h
~h
~h
Λ(~h) = k~hk2
= k~hk2
Hf (~a)
= k~hk2 Λ
≥ µk~hk2 .
k~hk2
k~hk
k~hk
k~hk
Er bestaat δ > 0 zodat als k~hk < δ
f (~a + ~h) − f (~a) = 12 ~h> Hf (~a)~h + o(k~hk2 )
Tweede afgeleide en extrema
Stelling 13.10
Zij f : E → R een C 2 -functie en ~a ∈ E ◦ met f 0 (~a) = ~0. Stel dat voor alle ~h 6= 0 geldt
~h> Hf (~a)~h > 0. Dan neemt f een sterk lokaal minimum aan in ~a.
Bekijk Λ : Rn → R gegeven door Λ(~h) = ~h> Hf (~a)~h.
Dit is continu en neemt dus een minimum aan op de compacte verzameling
S n−1 := {~h ∈ Rn : k~hk = 1}.
Dus voor zekere ~h0 geldt µ := inf k~hk=1 Λ(~h) = Λ(~h0 ) > 0.
Voor ~h 6= 0 willekeurig geldt nu
"
#>
"
#
!
~h> Hf (~a)~h
~h
~h
~h
Λ(~h) = k~hk2
= k~hk2
Hf (~a)
= k~hk2 Λ
≥ µk~hk2 .
k~hk2
k~hk
k~hk
k~hk
Er bestaat δ > 0 zodat als k~hk < δ, dan o(k~hk2 ) < µ4 k~hk2 .
f (~a + ~h) − f (~a) = 12 ~h> Hf (~a)~h + o(k~hk2 )
Tweede afgeleide en extrema
Stelling 13.10
Zij f : E → R een C 2 -functie en ~a ∈ E ◦ met f 0 (~a) = ~0. Stel dat voor alle ~h 6= 0 geldt
~h> Hf (~a)~h > 0. Dan neemt f een sterk lokaal minimum aan in ~a.
Bekijk Λ : Rn → R gegeven door Λ(~h) = ~h> Hf (~a)~h.
Dit is continu en neemt dus een minimum aan op de compacte verzameling
S n−1 := {~h ∈ Rn : k~hk = 1}.
Dus voor zekere ~h0 geldt µ := inf k~hk=1 Λ(~h) = Λ(~h0 ) > 0.
Voor ~h 6= 0 willekeurig geldt nu
"
#>
"
#
!
~h> Hf (~a)~h
~h
~h
~h
Λ(~h) = k~hk2
= k~hk2
Hf (~a)
= k~hk2 Λ
≥ µk~hk2 .
k~hk2
k~hk
k~hk
k~hk
Er bestaat δ > 0 zodat als k~hk < δ, dan o(k~hk2 ) < µ4 k~hk2 .
Er volgt
f (~a + ~h) − f (~a) = 1 ~h> Hf (~a)~h + o(k~hk2 )
2
Tweede afgeleide en extrema
Stelling 13.10
Zij f : E → R een C 2 -functie en ~a ∈ E ◦ met f 0 (~a) = ~0. Stel dat voor alle ~h 6= 0 geldt
~h> Hf (~a)~h > 0. Dan neemt f een sterk lokaal minimum aan in ~a.
Bekijk Λ : Rn → R gegeven door Λ(~h) = ~h> Hf (~a)~h.
Dit is continu en neemt dus een minimum aan op de compacte verzameling
S n−1 := {~h ∈ Rn : k~hk = 1}.
Dus voor zekere ~h0 geldt µ := inf k~hk=1 Λ(~h) = Λ(~h0 ) > 0.
Voor ~h 6= 0 willekeurig geldt nu
"
#>
"
#
!
~h> Hf (~a)~h
~h
~h
~h
Λ(~h) = k~hk2
= k~hk2
Hf (~a)
= k~hk2 Λ
≥ µk~hk2 .
k~hk2
k~hk
k~hk
k~hk
Er bestaat δ > 0 zodat als k~hk < δ, dan o(k~hk2 ) < µ4 k~hk2 .
Er volgt
f (~a + ~h) − f (~a) = 1 ~h> Hf (~a)~h + o(k~hk2 ) ≥ µ k~hk2 − µ k~hk2
2
2
4
Tweede afgeleide en extrema
Stelling 13.10
Zij f : E → R een C 2 -functie en ~a ∈ E ◦ met f 0 (~a) = ~0. Stel dat voor alle ~h 6= 0 geldt
~h> Hf (~a)~h > 0. Dan neemt f een sterk lokaal minimum aan in ~a.
Bekijk Λ : Rn → R gegeven door Λ(~h) = ~h> Hf (~a)~h.
Dit is continu en neemt dus een minimum aan op de compacte verzameling
S n−1 := {~h ∈ Rn : k~hk = 1}.
Dus voor zekere ~h0 geldt µ := inf k~hk=1 Λ(~h) = Λ(~h0 ) > 0.
Voor ~h 6= 0 willekeurig geldt nu
"
#>
"
#
!
~h> Hf (~a)~h
~h
~h
~h
Λ(~h) = k~hk2
= k~hk2
Hf (~a)
= k~hk2 Λ
≥ µk~hk2 .
k~hk2
k~hk
k~hk
k~hk
Er bestaat δ > 0 zodat als k~hk < δ, dan o(k~hk2 ) < µ4 k~hk2 .
Er volgt
f (~a + ~h) − f (~a) = 1 ~h> Hf (~a)~h + o(k~hk2 ) ≥ µ k~hk2 − µ k~hk2 > 0.
2
2
4
Symmetrische en positief definiete matrices
Bekijk een symmetrische matrix A.
Symmetrische en positief definiete matrices
Bekijk een symmetrische matrix A.
We noemen A positief semidefiniet als ~x> A~x ≥ 0 voor alle ~x.
Symmetrische en positief definiete matrices
Bekijk een symmetrische matrix A.
We noemen A positief semidefiniet als ~x> A~x ≥ 0 voor alle ~x.
Als geldt ~x> A~x > 0 voor ~x 6= 0, dan heet A positief definiet.
Symmetrische en positief definiete matrices
Bekijk een symmetrische matrix A.
We noemen A positief semidefiniet als ~x> A~x ≥ 0 voor alle ~x.
Als geldt ~x> A~x > 0 voor ~x 6= 0, dan heet A positief definiet.
Analoog definiëren we negatief (semi)definiet.
Symmetrische en positief definiete matrices
Bekijk een symmetrische matrix A.
We noemen A positief semidefiniet als ~x> A~x ≥ 0 voor alle ~x.
Als geldt ~x> A~x > 0 voor ~x 6= 0, dan heet A positief definiet.
Analoog definiëren we negatief (semi)definiet. Uit de lineaire algebra weten we dat we
kunnen schrijven
A = O > DO
Symmetrische en positief definiete matrices
Bekijk een symmetrische matrix A.
We noemen A positief semidefiniet als ~x> A~x ≥ 0 voor alle ~x.
Als geldt ~x> A~x > 0 voor ~x 6= 0, dan heet A positief definiet.
Analoog definiëren we negatief (semi)definiet. Uit
kunnen schrijven


λ1
 ~e · · · ~e  
>
..
A = O DO =  1
n 
.
de lineaire algebra weten we dat we
λn



~e>
1
..
.
~e>
n



Symmetrische en positief definiete matrices
Bekijk een symmetrische matrix A.
We noemen A positief semidefiniet als ~x> A~x ≥ 0 voor alle ~x.
Als geldt ~x> A~x > 0 voor ~x 6= 0, dan heet A positief definiet.
Analoog definiëren we negatief (semi)definiet. Uit
kunnen schrijven


λ1
 ~e · · · ~e  
>
..
A = O DO =  1
n 
.
de lineaire algebra weten we dat we



λn
waarbij de ~ei de orthonormale eigenvectoren van A zijn
~e>
1
..
.
~e>
n


,
Symmetrische en positief definiete matrices
Bekijk een symmetrische matrix A.
We noemen A positief semidefiniet als ~x> A~x ≥ 0 voor alle ~x.
Als geldt ~x> A~x > 0 voor ~x 6= 0, dan heet A positief definiet.
Analoog definiëren we negatief (semi)definiet. Uit
kunnen schrijven


λ1
 ~e · · · ~e  
>
..
A = O DO =  1
n 
.
de lineaire algebra weten we dat we
λn



~e>
1
..
.


,
~e>
n
waarbij de ~ei de orthonormale eigenvectoren van A zijn en de λi de eigenwaarden.
Symmetrische en positief definiete matrices
Bekijk een symmetrische matrix A.
We noemen A positief semidefiniet als ~x> A~x ≥ 0 voor alle ~x.
Als geldt ~x> A~x > 0 voor ~x 6= 0, dan heet A positief definiet.
Analoog definiëren we negatief (semi)definiet. Uit
kunnen schrijven


λ1
 ~e · · · ~e  
>
..
A = O DO =  1
n 
.
de lineaire algebra weten we dat we
λn



~e>
1
..
.


,
~e>
n
waarbij de ~ei de orthonormale eigenvectoren van A zijn en de λi de eigenwaarden.
Neem ~x ∈ Rn
Symmetrische en positief definiete matrices
Bekijk een symmetrische matrix A.
We noemen A positief semidefiniet als ~x> A~x ≥ 0 voor alle ~x.
Als geldt ~x> A~x > 0 voor ~x 6= 0, dan heet A positief definiet.
Analoog definiëren we negatief (semi)definiet. Uit
kunnen schrijven


λ1
 ~e · · · ~e  
>
..
A = O DO =  1
n 
.
de lineaire algebra weten we dat we
λn



~e>
1
..
.


,
~e>
n
waarbij de ~ei de orthonormale eigenvectoren van A zijn en de λi de eigenwaarden.
>
Neem ~x ∈ Rn en schrijf O~x = x̃1 · · · x̃n .
Symmetrische en positief definiete matrices
Bekijk een symmetrische matrix A.
We noemen A positief semidefiniet als ~x> A~x ≥ 0 voor alle ~x.
Als geldt ~x> A~x > 0 voor ~x 6= 0, dan heet A positief definiet.
Analoog definiëren we negatief (semi)definiet. Uit
kunnen schrijven


λ1
 ~e · · · ~e  
>
..
A = O DO =  1
n 
.
de lineaire algebra weten we dat we
λn



~e>
1
..
.


,
~e>
n
waarbij de ~ei de orthonormale eigenvectoren van A zijn en de λi de eigenwaarden.
>
Neem ~x ∈ Rn en schrijf O~x = x̃1 · · · x̃n . Dan
~x> A~x
Symmetrische en positief definiete matrices
Bekijk een symmetrische matrix A.
We noemen A positief semidefiniet als ~x> A~x ≥ 0 voor alle ~x.
Als geldt ~x> A~x > 0 voor ~x 6= 0, dan heet A positief definiet.
Analoog definiëren we negatief (semi)definiet. Uit
kunnen schrijven


λ1
 ~e · · · ~e  
>
..
A = O DO =  1
n 
.
de lineaire algebra weten we dat we
λn



~e>
1
..
.


,
~e>
n
waarbij de ~ei de orthonormale eigenvectoren van A zijn en de λi de eigenwaarden.
>
Neem ~x ∈ Rn en schrijf O~x = x̃1 · · · x̃n . Dan
~x> A~x = (O~x)> DO~x
Symmetrische en positief definiete matrices
Bekijk een symmetrische matrix A.
We noemen A positief semidefiniet als ~x> A~x ≥ 0 voor alle ~x.
Als geldt ~x> A~x > 0 voor ~x 6= 0, dan heet A positief definiet.
Analoog definiëren we negatief (semi)definiet. Uit
kunnen schrijven


λ1
 ~e · · · ~e  
>
..
A = O DO =  1
n 
.
de lineaire algebra weten we dat we
λn



~e>
1
..
.


,
~e>
n
waarbij de ~ei de orthonormale eigenvectoren van A zijn en de λi de eigenwaarden.
>
Neem ~x ∈ Rn en schrijf O~x = x̃1 · · · x̃n . Dan
~x> A~x = (O~x)> DO~x = hO~x, DO~xi
Symmetrische en positief definiete matrices
Bekijk een symmetrische matrix A.
We noemen A positief semidefiniet als ~x> A~x ≥ 0 voor alle ~x.
Als geldt ~x> A~x > 0 voor ~x 6= 0, dan heet A positief definiet.
Analoog definiëren we negatief (semi)definiet. Uit
kunnen schrijven


λ1
 ~e · · · ~e  
>
..
A = O DO =  1
n 
.
de lineaire algebra weten we dat we
λn



~e>
1
..
.


,
~e>
n
waarbij de ~ei de orthonormale eigenvectoren van A zijn en de λi de eigenwaarden.
>
Neem ~x ∈ Rn en schrijf O~x = x̃1 · · · x̃n . Dan
~x> A~x = (O~x)> DO~x = hO~x, DO~xi =
n
X
j=1
λj x̃j2 .
Symmetrische en positief definiete matrices
Bekijk een symmetrische matrix A.
We noemen A positief semidefiniet als ~x> A~x ≥ 0 voor alle ~x.
Als geldt ~x> A~x > 0 voor ~x 6= 0, dan heet A positief definiet.
Analoog definiëren we negatief (semi)definiet. Uit
kunnen schrijven


λ1
 ~e · · · ~e  
>
..
A = O DO =  1
n 
.
de lineaire algebra weten we dat we
λn



~e>
1
..
.


,
~e>
n
waarbij de ~ei de orthonormale eigenvectoren van A zijn en de λi de eigenwaarden.
>
Neem ~x ∈ Rn en schrijf O~x = x̃1 · · · x̃n . Dan
~x> A~x = (O~x)> DO~x = hO~x, DO~xi =
n
X
λj x̃j2 .
j=1
We zien: A positief definiet
⇔
alle eigenwaarden zijn positief.
Vinden van extrema (in R2 )
Om extrema te vinden van een differentieerbare functie, zoeken we een punt met
f 0 (~a) = 0.
Vinden van extrema (in R2 )
Om extrema te vinden van een differentieerbare functie, zoeken we een punt met
f 0 (~a) = 0. We willen dan onderzoeken wat voor punt ~a is.
Vinden van extrema (in R2 )
Om extrema te vinden van een differentieerbare functie, zoeken we een punt met
f 0 (~a) = 0. We willen dan onderzoeken wat voor punt ~a is. Wanneer f een C 2 functie
is, bekijken we de Hessiaan
Hf (~a)
Vinden van extrema (in R2 )
Om extrema te vinden van een differentieerbare functie, zoeken we een punt met
f 0 (~a) = 0. We willen dan onderzoeken wat voor punt ~a is. Wanneer f een C 2 functie
is, bekijken we de Hessiaan
(D11 f )(~a) (D12 f )(~a)
Hf (~a) =
.
(D21 f )(~a) (D22 f )(~a)
Vinden van extrema (in R2 )
Om extrema te vinden van een differentieerbare functie, zoeken we een punt met
f 0 (~a) = 0. We willen dan onderzoeken wat voor punt ~a is. Wanneer f een C 2 functie
is, bekijken we de Hessiaan
(D11 f )(~a) (D12 f )(~a)
Hf (~a) =
.
(D21 f )(~a) (D22 f )(~a)
Als de eigenwaarden van Hf (~a) kleiner dan 0 zijn (Hf (~a) is negatief definiet), dan
neemt f een sterk lokaal maximum aan.
Vinden van extrema (in R2 )
Om extrema te vinden van een differentieerbare functie, zoeken we een punt met
f 0 (~a) = 0. We willen dan onderzoeken wat voor punt ~a is. Wanneer f een C 2 functie
is, bekijken we de Hessiaan
(D11 f )(~a) (D12 f )(~a)
Hf (~a) =
.
(D21 f )(~a) (D22 f )(~a)
Als de eigenwaarden van Hf (~a) kleiner dan 0 zijn (Hf (~a) is negatief definiet), dan
neemt f een sterk lokaal maximum aan.
Als de eigenwaarden van Hf (~a) groter dan 0 zijn (Hf (~a) is positief definiet), dan
neemt f een sterk lokaal minimum aan.
Vinden van extrema (in R2 )
Om extrema te vinden van een differentieerbare functie, zoeken we een punt met
f 0 (~a) = 0. We willen dan onderzoeken wat voor punt ~a is. Wanneer f een C 2 functie
is, bekijken we de Hessiaan
(D11 f )(~a) (D12 f )(~a)
Hf (~a) =
.
(D21 f )(~a) (D22 f )(~a)
Als de eigenwaarden van Hf (~a) kleiner dan 0 zijn (Hf (~a) is negatief definiet), dan
neemt f een sterk lokaal maximum aan.
Als de eigenwaarden van Hf (~a) groter dan 0 zijn (Hf (~a) is positief definiet), dan
neemt f een sterk lokaal minimum aan.
Als Hf (~a) zowel positieve als negatieve eigenwaarden heeft (indefiniet), dan heeft
f geen extremum in ~a (zadelpunt).
Vinden van extrema (in R2 )
Om extrema te vinden van een differentieerbare functie, zoeken we een punt met
f 0 (~a) = 0. We willen dan onderzoeken wat voor punt ~a is. Wanneer f een C 2 functie
is, bekijken we de Hessiaan
(D11 f )(~a) (D12 f )(~a)
Hf (~a) =
.
(D21 f )(~a) (D22 f )(~a)
Als de eigenwaarden van Hf (~a) kleiner dan 0 zijn (Hf (~a) is negatief definiet), dan
neemt f een sterk lokaal maximum aan.
Als de eigenwaarden van Hf (~a) groter dan 0 zijn (Hf (~a) is positief definiet), dan
neemt f een sterk lokaal minimum aan.
Als Hf (~a) zowel positieve als negatieve eigenwaarden heeft (indefiniet), dan heeft
f geen extremum in ~a (zadelpunt).
Truc: het teken van de eigenwaarden λ1 , λ2
Vinden van extrema (in R2 )
Om extrema te vinden van een differentieerbare functie, zoeken we een punt met
f 0 (~a) = 0. We willen dan onderzoeken wat voor punt ~a is. Wanneer f een C 2 functie
is, bekijken we de Hessiaan
(D11 f )(~a) (D12 f )(~a)
Hf (~a) =
.
(D21 f )(~a) (D22 f )(~a)
Als de eigenwaarden van Hf (~a) kleiner dan 0 zijn (Hf (~a) is negatief definiet), dan
neemt f een sterk lokaal maximum aan.
Als de eigenwaarden van Hf (~a) groter dan 0 zijn (Hf (~a) is positief definiet), dan
neemt f een sterk lokaal minimum aan.
Als Hf (~a) zowel positieve als negatieve eigenwaarden heeft (indefiniet), dan heeft
f geen extremum in ~a (zadelpunt).
Truc: het teken van de eigenwaarden λ1 , λ2 is makkelijk te bepalen door
tr Hf (~a) = λ1 + λ2 en det Hf (~a) = λ1 λ2 .
Complicaties
Indien de Hessiaan in een stationair punt ~a te veel eigenwaarden 0 heeft, geeft deze
geen informatie.
Complicaties
Indien de Hessiaan in een stationair punt ~a te veel eigenwaarden 0 heeft, geeft deze
geen informatie. We moeten dan op een andere manier het gedrag van f rond ~a
onderzoeken
Complicaties
Indien de Hessiaan in een stationair punt ~a te veel eigenwaarden 0 heeft, geeft deze
geen informatie. We moeten dan op een andere manier het gedrag van f rond ~a
onderzoeken, bijvoorbeeld door naar de niveaukrommen f (~x) = c te kijken.
Complicaties
Indien de Hessiaan in een stationair punt ~a te veel eigenwaarden 0 heeft, geeft deze
geen informatie. We moeten dan op een andere manier het gedrag van f rond ~a
onderzoeken, bijvoorbeeld door naar de niveaukrommen f (~x) = c te kijken.
Als we bekijken f : E → R waar E niet open is
Complicaties
Indien de Hessiaan in een stationair punt ~a te veel eigenwaarden 0 heeft, geeft deze
geen informatie. We moeten dan op een andere manier het gedrag van f rond ~a
onderzoeken, bijvoorbeeld door naar de niveaukrommen f (~x) = c te kijken.
Als we bekijken f : E → R waar E niet open is, zullen we ook naar randextrema
moeten zoeken.
Complicaties
Indien de Hessiaan in een stationair punt ~a te veel eigenwaarden 0 heeft, geeft deze
geen informatie. We moeten dan op een andere manier het gedrag van f rond ~a
onderzoeken, bijvoorbeeld door naar de niveaukrommen f (~x) = c te kijken.
Als we bekijken f : E → R waar E niet open is, zullen we ook naar randextrema
moeten zoeken. Hiervoor kunnen we de rand parametriseren
Complicaties
Indien de Hessiaan in een stationair punt ~a te veel eigenwaarden 0 heeft, geeft deze
geen informatie. We moeten dan op een andere manier het gedrag van f rond ~a
onderzoeken, bijvoorbeeld door naar de niveaukrommen f (~x) = c te kijken.
Als we bekijken f : E → R waar E niet open is, zullen we ook naar randextrema
Hiervoor kunnen we de rand parametriseren als een kromme
moeten zoeken.
x(t), y (t)
Complicaties
Indien de Hessiaan in een stationair punt ~a te veel eigenwaarden 0 heeft, geeft deze
geen informatie. We moeten dan op een andere manier het gedrag van f rond ~a
onderzoeken, bijvoorbeeld door naar de niveaukrommen f (~x) = c te kijken.
Als we bekijken f : E → R waar E niet open is, zullen we ook naar randextrema
Hiervoor kunnen we de rand parametriseren als een kromme
moeten zoeken.
x(t), y (t) en zoeken naar extrema van
g (t) = f x(t), y (t) .
Complicaties
Indien de Hessiaan in een stationair punt ~a te veel eigenwaarden 0 heeft, geeft deze
geen informatie. We moeten dan op een andere manier het gedrag van f rond ~a
onderzoeken, bijvoorbeeld door naar de niveaukrommen f (~x) = c te kijken.
Als we bekijken f : E → R waar E niet open is, zullen we ook naar randextrema
Hiervoor kunnen we de rand parametriseren als een kromme
moeten zoeken.
x(t), y (t) en zoeken naar extrema van
g (t) = f x(t), y (t) .
Vervolgens moeten we onderzoeken of deze ook extrema van f zijn.
Voorbeeld
Bekijk f (x, y ) = x 2 + y 2 + x op E = {(x, y ) : x 2 + y 2 ≤ 1}.
Voorbeeld
Bekijk f (x, y ) = x 2 + y 2 + x op E = {(x, y ) : x 2 + y 2 ≤ 1}.
We bepalen de partiële afgeleiden:
D1 f (x, y )
Voorbeeld
Bekijk f (x, y ) = x 2 + y 2 + x op E = {(x, y ) : x 2 + y 2 ≤ 1}.
We bepalen de partiële afgeleiden:
D1 f (x, y ) = 2x + 1
Voorbeeld
Bekijk f (x, y ) = x 2 + y 2 + x op E = {(x, y ) : x 2 + y 2 ≤ 1}.
We bepalen de partiële afgeleiden:
D1 f (x, y ) = 2x + 1
D2 f (x, y )
Voorbeeld
Bekijk f (x, y ) = x 2 + y 2 + x op E = {(x, y ) : x 2 + y 2 ≤ 1}.
We bepalen de partiële afgeleiden:
D1 f (x, y ) = 2x + 1
D2 f (x, y ) = 2y
Voorbeeld
Bekijk f (x, y ) = x 2 + y 2 + x op E = {(x, y ) : x 2 + y 2 ≤ 1}.
We bepalen de partiële afgeleiden:
D1 f (x, y ) = 2x + 1 = 0
D2 f (x, y ) = 2y
Voorbeeld
Bekijk f (x, y ) = x 2 + y 2 + x op E = {(x, y ) : x 2 + y 2 ≤ 1}.
We bepalen de partiële afgeleiden:
D1 f (x, y ) = 2x + 1 = 0
D2 f (x, y ) = 2y
⇒
x = − 12
Voorbeeld
Bekijk f (x, y ) = x 2 + y 2 + x op E = {(x, y ) : x 2 + y 2 ≤ 1}.
We bepalen de partiële afgeleiden:
D1 f (x, y ) = 2x + 1 = 0
D2 f (x, y ) = 2y = 0
⇒
x = − 12
Voorbeeld
Bekijk f (x, y ) = x 2 + y 2 + x op E = {(x, y ) : x 2 + y 2 ≤ 1}.
We bepalen de partiële afgeleiden:
D1 f (x, y ) = 2x + 1 = 0
⇒
x = − 12
D2 f (x, y ) = 2y = 0
⇒
y =0
Voorbeeld
Bekijk f (x, y ) = x 2 + y 2 + x op E = {(x, y ) : x 2 + y 2 ≤ 1}.
We bepalen de partiële afgeleiden:
D1 f (x, y ) = 2x + 1 = 0
⇒
x = − 12
D2 f (x, y ) = 2y = 0
⇒
y =0
We zien f 0 (x, y ) = 0 in (− 21 , 0).
Voorbeeld
Bekijk f (x, y ) = x 2 + y 2 + x op E = {(x, y ) : x 2 + y 2 ≤ 1}.
We bepalen de partiële afgeleiden:
D1 f (x, y ) = 2x + 1 = 0
⇒
x = − 12
D2 f (x, y ) = 2y = 0
⇒
y =0
We zien f 0 (x, y ) = 0 in (− 21 , 0). Er geldt
Hf (x, y ) =
,
Voorbeeld
Bekijk f (x, y ) = x 2 + y 2 + x op E = {(x, y ) : x 2 + y 2 ≤ 1}.
We bepalen de partiële afgeleiden:
D1 f (x, y ) = 2x + 1 = 0
⇒
x = − 12
D2 f (x, y ) = 2y = 0
⇒
y =0
We zien f 0 (x, y ) = 0 in (− 21 , 0). Er geldt
Hf (x, y ) =
2
,
Voorbeeld
Bekijk f (x, y ) = x 2 + y 2 + x op E = {(x, y ) : x 2 + y 2 ≤ 1}.
We bepalen de partiële afgeleiden:
D1 f (x, y ) = 2x + 1 = 0
⇒
x = − 12
D2 f (x, y ) = 2y = 0
⇒
y =0
We zien f 0 (x, y ) = 0 in (− 21 , 0). Er geldt
2 0
Hf (x, y ) =
,
0
Voorbeeld
Bekijk f (x, y ) = x 2 + y 2 + x op E = {(x, y ) : x 2 + y 2 ≤ 1}.
We bepalen de partiële afgeleiden:
D1 f (x, y ) = 2x + 1 = 0
⇒
x = − 12
D2 f (x, y ) = 2y = 0
⇒
y =0
We zien f 0 (x, y ) = 0 in (− 21 , 0). Er geldt
2 0
Hf (x, y ) =
,
0 2
Voorbeeld
Bekijk f (x, y ) = x 2 + y 2 + x op E = {(x, y ) : x 2 + y 2 ≤ 1}.
We bepalen de partiële afgeleiden:
D1 f (x, y ) = 2x + 1 = 0
⇒
x = − 12
D2 f (x, y ) = 2y = 0
⇒
y =0
We zien f 0 (x, y ) = 0 in (− 21 , 0). Er geldt
2 0
Hf (x, y ) =
,
0 2
dus Hf (− 12 , 0) is positief definiet
Voorbeeld
Bekijk f (x, y ) = x 2 + y 2 + x op E = {(x, y ) : x 2 + y 2 ≤ 1}.
We bepalen de partiële afgeleiden:
D1 f (x, y ) = 2x + 1 = 0
⇒
x = − 12
D2 f (x, y ) = 2y = 0
⇒
y =0
We zien f 0 (x, y ) = 0 in (− 21 , 0). Er geldt
2 0
Hf (x, y ) =
,
0 2
dus Hf (− 12 , 0) is positief definiet: dit punt is een inwendig sterk minimum.
Voorbeeld
Bekijk f (x, y ) = x 2 + y 2 + x op E = {(x, y ) : x 2 + y 2 ≤ 1}. We hebben gezien dat f
een inwendig sterk minimum heeft in (− 12 , 0).
Voorbeeld
Bekijk f (x, y ) = x 2 + y 2 + x op E = {(x, y ) : x 2 + y 2 ≤ 1}. We hebben gezien dat f
een inwendig sterk minimum heeft in (− 12 , 0).
We parametriseren de rand met (cos t, sin t) waar t ∈ [0, 2π):
Voorbeeld
Bekijk f (x, y ) = x 2 + y 2 + x op E = {(x, y ) : x 2 + y 2 ≤ 1}. We hebben gezien dat f
een inwendig sterk minimum heeft in (− 12 , 0).
We parametriseren de rand met (cos t, sin t) waar t ∈ [0, 2π):
g (t) := f (cos t, sin t)
Voorbeeld
Bekijk f (x, y ) = x 2 + y 2 + x op E = {(x, y ) : x 2 + y 2 ≤ 1}. We hebben gezien dat f
een inwendig sterk minimum heeft in (− 12 , 0).
We parametriseren de rand met (cos t, sin t) waar t ∈ [0, 2π):
g (t) := f (cos t, sin t) = cos2 t + sin2 t + cos t
Voorbeeld
Bekijk f (x, y ) = x 2 + y 2 + x op E = {(x, y ) : x 2 + y 2 ≤ 1}. We hebben gezien dat f
een inwendig sterk minimum heeft in (− 12 , 0).
We parametriseren de rand met (cos t, sin t) waar t ∈ [0, 2π):
g (t) := f (cos t, sin t) = cos2 t + sin2 t + cos t = 1 + cos t.
Voorbeeld
Bekijk f (x, y ) = x 2 + y 2 + x op E = {(x, y ) : x 2 + y 2 ≤ 1}. We hebben gezien dat f
een inwendig sterk minimum heeft in (− 12 , 0).
We parametriseren de rand met (cos t, sin t) waar t ∈ [0, 2π):
g (t) := f (cos t, sin t) = cos2 t + sin2 t + cos t = 1 + cos t.
Dan is g 0 (t) = − sin t.
Voorbeeld
Bekijk f (x, y ) = x 2 + y 2 + x op E = {(x, y ) : x 2 + y 2 ≤ 1}. We hebben gezien dat f
een inwendig sterk minimum heeft in (− 12 , 0).
We parametriseren de rand met (cos t, sin t) waar t ∈ [0, 2π):
g (t) := f (cos t, sin t) = cos2 t + sin2 t + cos t = 1 + cos t.
Dan is g 0 (t) = − sin t. We vinden 2 mogelijke randextrema:
t=0
t=π
Voorbeeld
Bekijk f (x, y ) = x 2 + y 2 + x op E = {(x, y ) : x 2 + y 2 ≤ 1}. We hebben gezien dat f
een inwendig sterk minimum heeft in (− 12 , 0).
We parametriseren de rand met (cos t, sin t) waar t ∈ [0, 2π):
g (t) := f (cos t, sin t) = cos2 t + sin2 t + cos t = 1 + cos t.
Dan is g 0 (t) = − sin t. We vinden 2 mogelijke randextrema:
t=0
t=π
⇒
(x, y ) = (1, 0)
Voorbeeld
Bekijk f (x, y ) = x 2 + y 2 + x op E = {(x, y ) : x 2 + y 2 ≤ 1}. We hebben gezien dat f
een inwendig sterk minimum heeft in (− 12 , 0).
We parametriseren de rand met (cos t, sin t) waar t ∈ [0, 2π):
g (t) := f (cos t, sin t) = cos2 t + sin2 t + cos t = 1 + cos t.
Dan is g 0 (t) = − sin t. We vinden 2 mogelijke randextrema:
t=0
⇒
(x, y ) = (1, 0)
t=π
⇒
(x, y ) = (−1, 0)
Voorbeeld
Bekijk f (x, y ) = x 2 + y 2 + x op E = {(x, y ) : x 2 + y 2 ≤ 1}. We hebben gezien dat f
een inwendig sterk minimum heeft in (− 12 , 0).
We parametriseren de rand met (cos t, sin t) waar t ∈ [0, 2π):
g (t) := f (cos t, sin t) = cos2 t + sin2 t + cos t = 1 + cos t.
Dan is g 0 (t) = − sin t. We vinden 2 mogelijke randextrema:
t=0
⇒
(x, y ) = (1, 0)
t=π
⇒
(x, y ) = (−1, 0)
Merk op: 0 is een maximum van g .
Voorbeeld
Bekijk f (x, y ) = x 2 + y 2 + x op E = {(x, y ) : x 2 + y 2 ≤ 1}. We hebben gezien dat f
een inwendig sterk minimum heeft in (− 12 , 0).
We parametriseren de rand met (cos t, sin t) waar t ∈ [0, 2π):
g (t) := f (cos t, sin t) = cos2 t + sin2 t + cos t = 1 + cos t.
Dan is g 0 (t) = − sin t. We vinden 2 mogelijke randextrema:
t=0
⇒
(x, y ) = (1, 0)
t=π
⇒
(x, y ) = (−1, 0)
Merk op: 0 is een maximum van g . De functie f neemt op E ergens een
maximum aan
Voorbeeld
Bekijk f (x, y ) = x 2 + y 2 + x op E = {(x, y ) : x 2 + y 2 ≤ 1}. We hebben gezien dat f
een inwendig sterk minimum heeft in (− 12 , 0).
We parametriseren de rand met (cos t, sin t) waar t ∈ [0, 2π):
g (t) := f (cos t, sin t) = cos2 t + sin2 t + cos t = 1 + cos t.
Dan is g 0 (t) = − sin t. We vinden 2 mogelijke randextrema:
t=0
⇒
(x, y ) = (1, 0)
t=π
⇒
(x, y ) = (−1, 0)
Merk op: 0 is een maximum van g . De functie f neemt op E ergens een
maximum aan, maar niet in een inwendig punt.
Voorbeeld
Bekijk f (x, y ) = x 2 + y 2 + x op E = {(x, y ) : x 2 + y 2 ≤ 1}. We hebben gezien dat f
een inwendig sterk minimum heeft in (− 12 , 0).
We parametriseren de rand met (cos t, sin t) waar t ∈ [0, 2π):
g (t) := f (cos t, sin t) = cos2 t + sin2 t + cos t = 1 + cos t.
Dan is g 0 (t) = − sin t. We vinden 2 mogelijke randextrema:
t=0
⇒
(x, y ) = (1, 0)
t=π
⇒
(x, y ) = (−1, 0)
Merk op: 0 is een maximum van g . De functie f neemt op E ergens een
maximum aan, maar niet in een inwendig punt. Dus moet (1, 0) een absoluut
(sterk) randmaximum van f zijn.
Voorbeeld
Bekijk f (x, y ) = x 2 + y 2 + x op E = {(x, y ) : x 2 + y 2 ≤ 1}. We hebben gezien dat f
een inwendig sterk minimum heeft in (− 12 , 0).
We parametriseren de rand met (cos t, sin t) waar t ∈ [0, 2π):
g (t) := f (cos t, sin t) = cos2 t + sin2 t + cos t = 1 + cos t.
Dan is g 0 (t) = − sin t. We vinden 2 mogelijke randextrema:
t=0
⇒
(x, y ) = (1, 0)
t=π
⇒
(x, y ) = (−1, 0)
Merk op: 0 is een maximum van g . De functie f neemt op E ergens een
maximum aan, maar niet in een inwendig punt. Dus moet (1, 0) een absoluut
(sterk) randmaximum van f zijn.
Het punt π is een minimum van g .
Voorbeeld
Bekijk f (x, y ) = x 2 + y 2 + x op E = {(x, y ) : x 2 + y 2 ≤ 1}. We hebben gezien dat f
een inwendig sterk minimum heeft in (− 12 , 0).
We parametriseren de rand met (cos t, sin t) waar t ∈ [0, 2π):
g (t) := f (cos t, sin t) = cos2 t + sin2 t + cos t = 1 + cos t.
Dan is g 0 (t) = − sin t. We vinden 2 mogelijke randextrema:
t=0
⇒
(x, y ) = (1, 0)
t=π
⇒
(x, y ) = (−1, 0)
Merk op: 0 is een maximum van g . De functie f neemt op E ergens een
maximum aan, maar niet in een inwendig punt. Dus moet (1, 0) een absoluut
(sterk) randmaximum van f zijn.
Het punt π is een minimum van g . Het zou dus kunnen dat (−1, 0) een
randminimum van f is met f (−1, 0) = 0.
Voorbeeld
Bekijk f (x, y ) = x 2 + y 2 + x op E = {(x, y ) : x 2 + y 2 ≤ 1}. We hebben gezien dat f
een inwendig sterk minimum heeft in (− 12 , 0).
We parametriseren de rand met (cos t, sin t) waar t ∈ [0, 2π):
g (t) := f (cos t, sin t) = cos2 t + sin2 t + cos t = 1 + cos t.
Dan is g 0 (t) = − sin t. We vinden 2 mogelijke randextrema:
t=0
⇒
(x, y ) = (1, 0)
t=π
⇒
(x, y ) = (−1, 0)
Merk op: 0 is een maximum van g . De functie f neemt op E ergens een
maximum aan, maar niet in een inwendig punt. Dus moet (1, 0) een absoluut
(sterk) randmaximum van f zijn.
Het punt π is een minimum van g . Het zou dus kunnen dat (−1, 0) een
randminimum van f is met f (−1, 0) = 0. Echter
f (x, 0)
Voorbeeld
Bekijk f (x, y ) = x 2 + y 2 + x op E = {(x, y ) : x 2 + y 2 ≤ 1}. We hebben gezien dat f
een inwendig sterk minimum heeft in (− 12 , 0).
We parametriseren de rand met (cos t, sin t) waar t ∈ [0, 2π):
g (t) := f (cos t, sin t) = cos2 t + sin2 t + cos t = 1 + cos t.
Dan is g 0 (t) = − sin t. We vinden 2 mogelijke randextrema:
t=0
⇒
(x, y ) = (1, 0)
t=π
⇒
(x, y ) = (−1, 0)
Merk op: 0 is een maximum van g . De functie f neemt op E ergens een
maximum aan, maar niet in een inwendig punt. Dus moet (1, 0) een absoluut
(sterk) randmaximum van f zijn.
Het punt π is een minimum van g . Het zou dus kunnen dat (−1, 0) een
randminimum van f is met f (−1, 0) = 0. Echter
f (x, 0) = x 2 + x
Voorbeeld
Bekijk f (x, y ) = x 2 + y 2 + x op E = {(x, y ) : x 2 + y 2 ≤ 1}. We hebben gezien dat f
een inwendig sterk minimum heeft in (− 12 , 0).
We parametriseren de rand met (cos t, sin t) waar t ∈ [0, 2π):
g (t) := f (cos t, sin t) = cos2 t + sin2 t + cos t = 1 + cos t.
Dan is g 0 (t) = − sin t. We vinden 2 mogelijke randextrema:
t=0
⇒
(x, y ) = (1, 0)
t=π
⇒
(x, y ) = (−1, 0)
Merk op: 0 is een maximum van g . De functie f neemt op E ergens een
maximum aan, maar niet in een inwendig punt. Dus moet (1, 0) een absoluut
(sterk) randmaximum van f zijn.
Het punt π is een minimum van g . Het zou dus kunnen dat (−1, 0) een
randminimum van f is met f (−1, 0) = 0. Echter
f (x, 0) = x 2 + x = x(x + 1)
Voorbeeld
Bekijk f (x, y ) = x 2 + y 2 + x op E = {(x, y ) : x 2 + y 2 ≤ 1}. We hebben gezien dat f
een inwendig sterk minimum heeft in (− 12 , 0).
We parametriseren de rand met (cos t, sin t) waar t ∈ [0, 2π):
g (t) := f (cos t, sin t) = cos2 t + sin2 t + cos t = 1 + cos t.
Dan is g 0 (t) = − sin t. We vinden 2 mogelijke randextrema:
t=0
⇒
(x, y ) = (1, 0)
t=π
⇒
(x, y ) = (−1, 0)
Merk op: 0 is een maximum van g . De functie f neemt op E ergens een
maximum aan, maar niet in een inwendig punt. Dus moet (1, 0) een absoluut
(sterk) randmaximum van f zijn.
Het punt π is een minimum van g . Het zou dus kunnen dat (−1, 0) een
randminimum van f is met f (−1, 0) = 0. Echter
f (x, 0) = x 2 + x = x(x + 1) < 0
als x > −1.
Voorbeeld
Bekijk f (x, y ) = x 2 + y 2 + x op E = {(x, y ) : x 2 + y 2 ≤ 1}. We hebben gezien dat f
een inwendig sterk minimum heeft in (− 12 , 0).
We parametriseren de rand met (cos t, sin t) waar t ∈ [0, 2π):
g (t) := f (cos t, sin t) = cos2 t + sin2 t + cos t = 1 + cos t.
Dan is g 0 (t) = − sin t. We vinden 2 mogelijke randextrema:
t=0
⇒
(x, y ) = (1, 0)
t=π
⇒
(x, y ) = (−1, 0)
Merk op: 0 is een maximum van g . De functie f neemt op E ergens een
maximum aan, maar niet in een inwendig punt. Dus moet (1, 0) een absoluut
(sterk) randmaximum van f zijn.
Het punt π is een minimum van g . Het zou dus kunnen dat (−1, 0) een
randminimum van f is met f (−1, 0) = 0. Echter
f (x, 0) = x 2 + x = x(x + 1) < 0
als x > −1.
We concluderen dat (−1, 0) geen extremum van f is.