Proefwerk VWO-6 Wiskunde-B Hoofdstuk 3

Proefwerk VWO-6 Wiskunde-B
Hoofdstuk 3
Datum: 2-12-2013
1 (5 punten)
Gegeven: een cirkel met middelpunt M en 4 punten
erop: A, B, C en D. Verder geldt: AB = BC = CD en
hoek MDA is 12o.
Te berekenen: met deze gegevens hoek ABC.
Berekening:
AM = DM (straal) → hoek MAD = hoek MDA = 12o.
Gevolg: hoek AMD = 180o – 12o – 12o = 156o.
Gelijke koorden→gelijke bogen→boog CD = boog BC = boog AB=156o/3=52o.
Omtrekshoek ABC staat op boog ADC = 360o - 52o - 52o = 256o.
Hoek ABC is dus 256o/2 = 128o.
2 (5 punten)
Gegeven: vierhoek ABDC met daarin
getekend de bissectrices van de hoeken
A, B, C en D.
Te bewijzen: de (gearceerde) vierhoek
die door deze bissectrices wordt
ingesloten is een koordenvierhoek.
Bewijs:
Hoek P van de gearceerde vierhoek is in
driehoek ABP gelijk aan 180o - ½hoek A - ½hoek B.
Hoek R van de gearceerde vierhoek is in driehoek CRD gelijk aan 180o - ½hoek
C - ½hoek D.
Hoek P + hoek R = 180o - ½hoek A - ½hoek B + 180o - ½hoek C - ½hoek D
= 360o - ½(hoek A + hoek B + hoek C + hoek D) = 360o - ½ x 360o = 180o.
Dan is de gearceerde vierhoek een koordenvierhoek (omgekeerde stelling
koordenvierhoek).
Opmerking: De andere twee hoeken zijn dan samen ook 180o, omdat de
hoekensom van een vierhoek 360o is.
3 (5 + 4 punten)
Gegeven: driehoek ABC met hoek A = 70o en
hoek B = 60o. CD is de bissectrice van hoek C
en E ligt zó op CD, dat AE = AD. Lijn k is de
raaklijn in C aan de omgeschreven cirkel van
driehoek ABC.
a. Te bewijzen: AE // k.
Bewijs: Hoek C1 = hoek B (stelling
koorde/raaklijn) = 60o. Zelfde boog AC.
Hoek C in driehoek ABC is 180o - 70o - 60o =
50o → ½ hoek C = 25o → hoek D1= 180o - 25o - 70o = 85o.
Hoek D1= hoek AED (gelijkbenige driehoek) → hoek E2 = 180o - 85o = 95o.
In driehoek AEC is hoek A1 = 180o - 25o - 95o = 60o.
Gevolg: de hoeken A1 en C1 zijn Z-hoeken, dus k//AE (stelling).
b. Gegeven: zie a. CD is aan de kant van D
verlengd. Het snijpunt met de cirkel is F.
AE is verlengd. Snijpunt met BC is G.
Te bewijzen: BFEG is een koordenvierhoek.
Bewijs: Zie a. hoek E2 = 95o, dus ook hoek E3
= 95o (overstaande hoeken).
Hoek B2 = ½ Hoek C (beide boog AF) = 95o.
Gevolg: hoek E3 + hoek B12 = 95o + 95o + 60o
= 180o. Gevolg: BFEG is een koordenvierhoek
(stelling). Zie nog de opmerking bij opgave 2.
Kan korter:
k//FG dus hoek E3 = (rechter) hoek tussen k en CF (F-hoeken).
Hoek B12 = (linker) hoek tussen k en CF (stelling koorde/raaklijn/op dezelfde
boog).
Die ‘linker’ en ‘rechter’ hoek zijn samen 180o (gestrekte hoek).
4 (4 + 3 punten)
Gegeven: zijn de cirkels c1
met middelpunt M en c2 , met
middelpunt N, die elkaar
snijden in de punten A en B.
De lijn door M en B snijdt c2
in een tweede punt C en de
lijn door N en B snijdt c1 nog
in D.
a) Te bewijzen: de hoeken
van driehoek BDM zijn
gelijk zijn aan die van
driehoek CBN.
Bewijs:
Stel hoek D in driehoek MDB = α.
MD = MB (stralen), dus hoek MBD= α en hoek DMB = 180o - 2α.
Hoek CBN = α (want overstaande hoek met hoek MBD)
NC = NB (stralen), dus hoek NCB = α en hoek CNB = 180o - 2α.
Dat zijn dezelfde hoeken als die van driehoek DBM.
b) Te bewijzen: C, D, M en N liggen op één cirkel.
Bewijs:
Dit volgt onmiddellijk uit de ‘omgekeerde stelling van de constante hoek’,
als je die toepast op hoek DMC en hoek DNC. Die zijn gelijk, zie a.
Het kan ook met de hoeken MDN en MCN.
Cijfer 
Punten
 9 1
26