Document

Inhoudsopgave
1 Beschrijven van bewegingen met vectoren.......................................................................................3
1.1 De plaatsvector..........................................................................................................................3
1.2 Beweging...................................................................................................................................4
1.3 Verplaatsingsvector...................................................................................................................4
1.4 De snelheidsvector.....................................................................................................................5
1.4.1 Gemiddelde snelheidsvector..............................................................................................5
1.4.2 Ogenblikkelijke snelheidsvector °.....................................................................................5
1.5 De versnellingsvector................................................................................................................6
1.5.1 De gemiddelde versnellingsvector.....................................................................................6
1.5.2 De ogenblikkelijke versnellingsvector °............................................................................6
1.5.3 Tangentiële en normaalversnelling °..................................................................................7
1.6 Oefeningen ................................................................................................................................8
1.6.1 Voorbeelden.......................................................................................................................8
1.6.2 Opgaves............................................................................................................................10
2 Eéndimensionale bewegingen.........................................................................................................11
2.1 Eenparig rechtlijnige bewegingen (ERB)................................................................................11
2.1.1 Definitie...........................................................................................................................11
2.1.2 Coördinaten......................................................................................................................12
2.1.3 Diagrammen.....................................................................................................................12
2.2 Eenparig veranderlijke rechtlijnige bewegingen (EVRB).......................................................13
2.2.1 Definitie...........................................................................................................................13
2.2.2 Coördinaten en bewegingsvergelijkingen........................................................................14
2.2.3 Diagrammen.....................................................................................................................15
2.3 Toepassing : de verticale worp................................................................................................16
2.3.1 Beschrijving van de beweging.........................................................................................16
2.3.2 Berekenen van maximale hoogte.....................................................................................17
2.3.3 Berekenen van snelheid bij terugkeren op beginpositie...................................................17
2.4 Oefeningen...............................................................................................................................18
2.4.1 Voorbeelden.....................................................................................................................18
2.4.2 Opgaves............................................................................................................................22
3 Tweedimensionale bewegingen.......................................................................................................24
3.1 Het onafhankelijkheidsprincipe...............................................................................................24
3.2 De horizontale worp.................................................................................................................24
3.2.1 Beschrijving van de beweging.........................................................................................24
3.2.2 Berekenen van de dracht..................................................................................................25
3.3 De projectielbeweging (schuine worp)....................................................................................26
3.3.1 Beschrijving van de beweging.........................................................................................26
3.3.2 De bewegingsvergelijkingen............................................................................................27
3.3.3 Berekenen van de dracht..................................................................................................28
3.4 Oefeningen...............................................................................................................................28
3.4.1 Voorbeelden.....................................................................................................................28
3.4.2 Opgaven...........................................................................................................................31
4 De wetten van Newton....................................................................................................................32
4.1 Eerste wet van Newton............................................................................................................32
4.1.1 Traagheidsbeginsel...........................................................................................................32
4.1.2 Het concept kracht...........................................................................................................32
1
4.1.3 Bepalen van de resulterende kracht.................................................................................33
4.2 Tweede wet van Newton..........................................................................................................36
4.2.1 Dynamische krachtwerking..............................................................................................36
4.2.2 Tangentiële en normaalkracht..........................................................................................37
4.3 Derde wet van Newton – Actie en reactie...............................................................................37
4.4 Voorbeelden van krachten.......................................................................................................38
4.4.1 Zwaartekracht nabij het aardoppervlak............................................................................38
4.4.2 Gewicht............................................................................................................................38
4.4.3 Normaalkracht..................................................................................................................38
4.4.4 Spankracht........................................................................................................................39
4.4.5 Veerkracht........................................................................................................................39
4.4.6 Wrijvingskracht tussen contactoppervlakken..................................................................40
4.4.7 Wrijvingskracht in een middenstof..................................................................................43
4.5 Oefeningen...............................................................................................................................46
4.5.1 Algemene werkwijze........................................................................................................46
4.5.2 Voorbeelden.....................................................................................................................46
4.5.3 Opgaves............................................................................................................................52
5 De universele wet van gravitatie.....................................................................................................54
5.1 Historische ontwikkeling.........................................................................................................54
5.1.1 Mesopotamiërs.................................................................................................................54
5.1.2 Griekse astronomie in de oudheid....................................................................................55
5.1.3 Ptolemaeus.......................................................................................................................55
5.1.4 De Middeleeuwen............................................................................................................57
5.1.5 Copernicus.......................................................................................................................57
5.1.6 Het conflict Galileï vs. de katholieke kerk.......................................................................58
5.2 De wetten van Kepler voor planeetbewegingen......................................................................59
5.3 De universele gravitatiewet van Newton.................................................................................61
5.4 Oefeningen...............................................................................................................................64
6 Arbeid en Energie............................................................................................................................65
6.1 Arbeid......................................................................................................................................65
6.1.1 Arbeid geleverd door een constante kracht......................................................................65
6.1.2 Arbeid geleverd door niet constante krachten..................................................................65
6.1.3 Vermogen.........................................................................................................................65
6.2 Kinetische energie....................................................................................................................65
6.3 Potentiële energie.....................................................................................................................65
6.3.1 Conservatieve krachten....................................................................................................65
6.3.2 Arbeid-energie theorema voor conservatieve krachten....................................................65
6.4 Behoud van energie.................................................................................................................65
6.4.1 Arbeid-energie theorema met niet-conservatieve krachten..............................................65
6.4.2 Equivalentie van massa en energie..................................................................................65
6.5 Oefeningen...............................................................................................................................65
2
1 Beschrijven van bewegingen met vectoren
1 Beschrijven van bewegingen met vectoren
1.1
De plaatsvector
De positie van je huis ten opzichte van het punt waar je
je nu bevindt kan aangegeven door te zeggen : “mijn
huis bevindt zich ten opzichte van waar ik nu sta exact
vijf kilometer naar het noord-westen”.
Je geeft een
•
aangrijpingspunt (“waar ik nu sta”),
•
een grootte (“vijf kilometer”)
•
een zin en een richting (“naar het noordwesten”).
Wat je eigenlijk doet is de positie beschrijven met
behulp van een vector.
Afbeelding 1:
Plaatsvector van een
voorwerp.
De positie van een voorwerp ten opzichte van een waarnemer kan beschreven
worden door middel van een vector. Deze vector noemen we plaats- of
positievector van het voorwerp ten opzichte van de waarnemer.
r .
We noteren de plaatsvector als 
Als
we
een
orthonormaal
assenstelsel invoeren met de
waarnemer in de oorsprong,
kunnen
we
de
plaatsvector
beschrijven met behulp van
coördinaten.
In deze cursus gaan we ons
beperken tot bewegingen in één
vlak, dus volstaat het ons te
beperken tot twee assen (X,Y) en
bijgevolg ook twee coördinaten.
Afbeelding 2: Coördinaten van een plaatsvector.
Zij ex en ey
eenheidsvectoren
in resp. de richting van de X-as
en de Y-as. Dan kan de
plaatsvector van een voorwerp
geschreven worden als :
r =x⋅ex  y⋅ey
r = x , y
Het koppel reële getallen (x,y) zijn dan de coördinaten van het voorwerp met
r .
plaatsvector 
Hoeveel coördinaten heb je nodig als je de positie van een voorwerp wil
beschrijven in de ruimte in plaats van in een vlak ?
Hebben de coördinaten een eenheid ? Indien ja, welke ?
3
1 Beschrijven van bewegingen met vectoren
1.2
Beweging
Een voorwerp is in beweging ten opzichte van een waarnemer als het
voorwerp op verschillende tijdstippen een verschillende positie inneemt.
Als we de positie beschrijven met behulp van een plaatsvector, kunnen we
bijgevolg zeggen dat een voorwerp in beweging is, als het op verschillende
tijdstippen een verschillende plaatsvector heeft. De plaatsvector is met
andere woorden een functie van de tijd.
We noteren de plaatsvector
van het voorwerp op een
r t .
tijdstip t als 
De
verzameling
van
alle
plaatsvectoren ingenomen door
het voorwerp in een zeker
tijdsinterval, noemen we de
baan van het voorwerp.
Als de plaatsvector wijzigt in
functie van de tijd, dan zullen
ook de coördinaten wijzigen
in functie van de tijd. We
noteren de coördinaten van het
voorwerp een tijdstip t als
r t= x t  , y t 
1.3
Afbeelding 3: Plaatsvectoren op verschillende tijdstippen
van een voorwerp in beweging.
Verplaatsingsvector
Beschouw een voorwerp in beweging. Op tijdstip
r t 0 . Op een later
t0 is zijn plaatsvector
r t 1 .
tijdstip t1 is zijn plaatsvector 
We definiëren nu de verplaatsingsvector
in het tijdsinterval  t=t 1−t 0 als
 r
 r =r t 1−r t 0 
We kunnen ook werken met coördinaten: zij
r t 0= x t 0  , y t 0  en
r t 1= x t 1 , y t 1 ,
Afbeelding 4: De
verplaatsingsvector
dan
worden
de
coördinaten
verplaatsingsvector gegeven door :
van
de
 r = x ,  y
 r = x t 1 −x t 0  , y t 1 − y t 0
Hoe kan je, als de coördinaten kent van het begin- en eindpunt, de afstand
berekenen waarover het voorwerp verplaatst is ?
Wat is de eenheid van de coördinaten van de verplaatsingsvector ?
Is deze afstand hetzelfde als de afgelegde weg ∆ s ?
4
1 Beschrijven van bewegingen met vectoren
1.4
De snelheidsvector
1.4.1
Gemiddelde snelheidsvector
Als een voorwerp zich gedurende
een tijdsinterval  t=t 1−t 0 heeft
verplaatst
langs
een
verplaatsingsvector
 r =r t 1−r t 0  , dan definiëren
we
de
gemiddelde
snelheidsvector gedurende dat
tijdsinterval als :
 r
t
r t −r t 0 
vm = 1
t 1 −t 0
vm=
Afbeelding 5: De gemiddelde snelheidsvector
Merk op dat de gemiddelde
snelheidsvector steeds dezelfde zin en richting heeft als de verplaatsingsvector.
De coördinaten van de snelheidsvector worden gegeven door
vm =v m , x , v m , y 
x  y
vm=
,

t t
x t 1− x t 2 y t 1 − y t 2 
vm =
,

t 1−t 2
t 1 −t 2
Wat is de eenheid van de coördinaten van de gemiddelde snelheidsvector ?
De gemiddelde afstand waarover het voorwerp per tijdseenheid verplaatst
wordt, wordt gegeven door de grootte van de gemiddelde snelheidsvector :
∥vm∥=  v 2x v 2y
∥ r∥
∥vm∥=
t
Verwar de snelheidsvector niet met de baansnelheid
v=
s
uit de cursus van
t
het vierde jaar ! Wat zijn de verschillen ?
1.4.2
Ogenblikkelijke snelheidsvector °
De snelheidsvector gedurende een gegeven tijdsinterval blijft bij realistische
bewegingen niet constant, maar wisselt continu. Om een beweging exact te
v t moeten kennen.
beschrijven, zou je op elk moment de snelheidsvector 
We definiëren de ogenblikkelijke snelheidsvector als de gemiddelde
snelheidsvector over een oneindig klein tijdsinterval.
v t=lim t  0
r t t−r t
t
Op bijstaande figuur zien we hoe de richting van de gemiddelde snelheidsvector
meer en meer de raaklijn aan de baan benadert, als we tijdsinterval verkleinen.
De ogenblikkelijke snelheidsvector is steeds rakend aan de baan.
5
1 Beschrijven van bewegingen met vectoren
Afbeelding 6: Afleiding van de ogenblikkelijke snelheidsvector.
1.5
De versnellingsvector
1.5.1
De gemiddelde versnellingsvector
Als de snelheid niet constant blijft, kunnen we een gemiddelde
v t o de snelheid op tijdstip t0, en
versnellingsvector definiëren als volgt: zij 
v t 1 de snelheid op tijdstip t1, dan is de gemiddelde versnellingsvector
gegeven door :
v
am= 
t
v t 1−v t 0 
am =
t 1−t 0
De coördinaten van de gemiddelde versnellingsvector worden gegeven door :
am = a m , x , a m , y 
vx vy
am =
,

t t
v t −v x t 2  v y t 1−v y t 2
am = x 1
,

t 1−t 2
t 1−t 2
Wat is de eenheid van de coördinaten van de gemiddelde versnellingsvector ?
1.5.2
De ogenblikkelijke versnellingsvector °
Net zoals de snelheidsvector gedurende een tijdsinterval niet constant hoeft te
blijven, is dit ook het geval met de versnellingsvector. Analoog als de
ogenblikkelijke
snelheidsvector
definiëren
we
de
ogenblikkelijke
versnellingsvector als de gemiddelde versnellingsvector over een oneindig klein
tijdsinterval :
a t =lim t  0
v t t−v t
t
6
1 Beschrijven van bewegingen met vectoren
Afbeelding 7: Plaats-, ogenblikkelijke snelheids-, en
versnellingsvector op drie verschillende tijdstippen.
Als we in wat volgt spreken over “de snelheid”, bedoelen we daar altijd de
ogenblikkelijke snelheid mee, tenzij expliciet anders vernoemd.
1.5.3
Tangentiële en normaalversnelling °
Men kan de ogenblikkelijke versnellingsvector
a t  ontbinden in

●
een component evenwijdig met de
ogenblikkelijke snelheidsvector, ook
wel de tangentiële (rakend aan de
baan) component at t of genoemd
●
en een component loodrecht op de
ogenblikkelijke snelheidsvector, de
normaalcomponent an t  genoemd.
Zo dat
Afbeelding 8: ontbinding in tangentiële en
normaalcomponent.
at tan t=a t  .
De tangentiële versnelling is verantwoordelijk voor de wijziging in grootte van de
snelheidsvector.
De normale component is verantwoordelijk voor de wijziging van richting van de
snelheidsvector.
Kan de grootte van de snelheidsvector constant
versnellingsvector niet de nulvector is ? Verklaar !
blijven
terwijl
de
7
1 Beschrijven van bewegingen met vectoren
1.6
Oefeningen
1.6.1
a
Voorbeelden
Voorbeeld 1
Een boot vertrekt vanaf de kade en vaart gedurende 15 minuten met een
gemiddelde snelheidsvector gegeven door v1=3
m m
, 4  , wijzigt zijn koers, en
s
s
vaart dan gedurende 30 minuten met een snelheidsvector gegeven door
v2 =−2
m m
, 3  . Bereken de afstand tussen zijn vertrekpunt en zijn positie na
s
s
15 minuten en na 45 minuten.
Gegevens :
We kiezen de oorsprong van ons assenstelsel in het vertrekpunt, en kiezen als
begintijdstip t0 = 0s.
t 0=0 s , t 1 =900 s ,t 2=2700 s
r t 0=0 m , 0 m
m m
v1=3 , 4 
s
s
m m
v2=−2 , 3 
s
s
Oplossing :
We bepalen eerst de positie op t1 :
 r = v1⋅ t
r1= v1⋅ t
 x t 1 , y t 1= v m , x ,1⋅t 1−t 0 , v m , y,1⋅t 1−t 0 
m
m
 x t 1 , y t 1 =3 ⋅900 s ,5 ⋅900 s 
s
s
 x t 1  , y t 1 =2700m , 3600m
De afstand tussen het vertrekpunt en de positie op t1 wordt gegeven door :
∥r t 1 ∥=  x 2 t 1  y 2 t 1
∥r t 1∥= 2700 m23600 m2
∥r t 1 ∥=4500 m
b
Voorbeeld 2
De beweging van een voorwerp wordt beschreven
vergelijkingen : 
r t= x t=5⋅t3, y t =−4⋅t 2t .
door
volgende
●
Bepaal de positie van het voorwerp na 2s en na 4 s.
●
Bereken de verplaatsingsvector en de afstand waarover het voorwerp
verplaatst is tussen 2s en 4s.
8
1 Beschrijven van bewegingen met vectoren
●
Bereken de gemiddelde snelheidsvector tussen 2s en 4s. Bepaal eveneens
de grootte van de gemiddelde snelheidsvector.
Gegeven :
t 0=0s , t 1=2s , t 3 =4s
x t=5⋅t3
y t =−4⋅t 2t ¿
Gevraagd
r t 1 , r t 2 , r , vm ,∥vm∥
Oplossing
r t 1= x t 1 , y t 1
m
m 2 m
r t 1= x t=5 ⋅t3 m , y t=−4 2⋅t t 
s
s
s
m
m
m
r 2 s= x t=5 ⋅2 s3 m , y t=−4 2⋅2 s22 s 
s
s
s
r  2 s = x t =13 m , y t=−12 m
analoog :
r 4 s = x t =23 m , y t =−60 m
Berekenen we de verplaatsingsvector :
 r =r 4s−r  2s
 r = x 4s− x 2s , y  4s− y 2s
 r =10m ,−48m
De afstand waarover voorwerp verplaatst is
∥ r ∥=  x 2 y 2
2
2
∥ r ∥= 10 m −48 m 
∥ r ∥=49,03 m
De gemiddelde snelheidsvector
 r
t
x  y
vm=
,

t t
m
m
vm =5 ,−24 
s
s
vm =
De grootte van de gemiddelde snelheidsvector
∥vm∥= v 2x v 2y

m 2
m 2
 −24 
s
s
m
∥vm∥=24,52
s
∥vm∥= 5
9
1 Beschrijven van bewegingen met vectoren
1.6.2
Opgaves
1. Een voorwerp bevindt zich op tijdstip t0 in een positie met coördinaten
(3m,4m). 5 s later bevindt het voorwerp zich in een positie met
coördinaten (5m,2m). Maak een schets van de posities en bereken de
coördinaten
van
de
verplaatsingsvector
en
de
gemiddelde
snelheidsvector. Bereken eveneens over welke afstand het voorwerp
verplaatst is.
2. Bepaal de coördinaten van de positie op t = 0 s, t = 3 s en t = 6 s van
een voorwerp waarvan de bewegingsvergelijking gegeven wordt door
(x(t) = t + 2, y(t) = -2t + 5). Maak eveneens een schets. Welke figuur
beschrijft de baan ? Bepaal de gemiddelde snelheidsvector gedurende de
eerste drie seconden, tussen 3 s en 6 s, en tussen 0 s en 6 s . Wat kan je
concluderen ?
3. Een voertuig vertrekt vanuit een beginpositie met coördinaten (3m, 3m)
en moet naar een eindpositie met coördinaten (18m, -12m). Bereken de
gemiddelde snelheidsvector waarmee het voertuig moet bewegen wil het
5 minuten na zijn vertrek op de eindpositie aankomen.
10
2 Eéndimensionale bewegingen
2 Eéndimensionale bewegingen
2.1
Eenparig rechtlijnige bewegingen (ERB)
2.1.1
Definitie
Een éénparig rechtlijnige beweging (ERB) is een beweging waarbij de
v constant is.
snelheidsvector 
Als
v constant is, dan geldt voor elk tijdsinterval ∆t :
r
v= 

t
 r =v⋅ t
Waarmee de plaatsvector op een willekeurig moment t gegeven wordt door :
r t =r0v⋅ t
r t= r0v⋅t−t 0
met
r0 de plaatsvector op begintijdstip t0.
Afbeelding 9: Alle posities ingenomen door een voorwerp dat
een ERB beschrijft liggen op één rechte.
De vergelijking die de plaatsvector geeft op een willekeurig tijdstip t, noemen we
de positie-vergelijking.
Bij een dergelijke beweging is de baan een rechte, nl. de richting van de
snelheidsvector.
Tevens volgt uit bovenstaande vergelijkingen :
∥ r ∥=∥v∥⋅ t
of de afstand waarover het voorwerp dat een eenparig rechtlijnige beweging
uitvoert verplaatst is, is recht evenredig met het tijdsverloop.
11
2 Eéndimensionale bewegingen
2.1.2
Coördinaten
Als we een coördinatenstelsel invoeren om een ERB te beschrijven, kiezen we
meestal de X-as volgens de richting van de snelheidsvector (en dus in de
richting van de baan). Op deze manier kan de beweging volledig beschreven
worden met behulp van één (X-)coördinaat. De Y-coördinaat is dan op elk
ogenblik gelijk aan nul, en laten we verder buiten beschouwing.
Afbeelding 10: Door de X-as in de bewegingsrichting te kiezen,
vereenvoudigen we de beschrijving van een ERB aanzienlijk.
De positievergelijking in coördinaten wordt dan :
r t= x t= x 0v x⋅t−t 0  , y t=0
Of kortweg :
x t =x 0v x⋅t−t 0 
Hoe ziet de beweging eruit als vx negatief is ?
Hoe kan je deze beweging vergelijken met de eenparige beweging die je vorig
jaar gezien hebt ?
2.1.3
a
Diagrammen
x,t -diagram
Met behulp van bovenstaande vergelijking
kunnen we de x-coördinaat uitzetten als
functie van de tijd in een x,t-diagram. Net
als bij het s,t diagram dat je vorig jaar
gezien hebt, zet je bij het x,t-diagram
altijd de tijd op de horizontale as, en de
positie op de verticale as. Het x,t-diagram
van een ERB is een schuine rechte.
Hoe kan je uit het x,t -diagram de
snelheid aflezen ?
Hoe ziet het x,t diagram eruit als vx
negatief is ?
Afbeelding 11: x,t diagram van een ERB
12
2 Eéndimensionale bewegingen
b
Vx,t - diagram
Bij een ERB is de snelheidsvector
constant, en bijgevolg zijn ook de
coördinaten van snelheidsvector
constant. Het vx, t-diagram is dus
een horizontale rechte.
Hoe ziet het vx,t-diagram eruit als
de vx negatief is ?
Hoe kan je uit het vx,t diagram de
afgelegde weg aflezen ?
Afbeelding 12: vx,t diagram van een ERB
2.2
Eenparig veranderlijke rechtlijnige bewegingen (EVRB)
2.2.1
Definitie
Een éénparig veranderlijke beweging (EVRB) is een beweging waarbij
● de versnellingsvector constant is,
● de richting van de versnellingsvector gelijk is aan de richting van de
snelheidsvector.
De beweging is éénparig versneld als de versnellings- en snelheidsvector
dezelfde zin hebben.
De beweging is éénparig vertraagd als de versnellings- en de snelheidsvector
tegengestelde zin hebben.
Afbeelding 13: Plaats-, snelheids-, en versnellingsvector bij een
EVRB.Merk op dat de richting van de snelheids- en de
versnellingsvector gelijk lopen op elk tijdstip.
13
2 Eéndimensionale bewegingen
Als
a constant is, geldt op elk ogenblik t :


v
a =
t

v =
a⋅ t
waardoor de snelheidsvector op een gegeven tijdstip t gegeven wordt door :
a⋅ t
v t=v0 
v t= v0a⋅t−t 0 
De vergelijking die de snelheidsvector geeft op een willekeurig tijdstip t, noemen
we de snelheidsvergelijking.
Vermits de richting van de snelheidsvector niet wijzigt, wijzigt ook de richting
van de baan niet. De baan van een voorwerp dat een EVRB beschrijft is bijgevolg
een rechte.
De plaatsvector bepalen is echter niet meer zo eenvoudig, en daarvoor gaan we
direct over op coördinaten.
2.2.2
Coördinaten en bewegingsvergelijkingen
Net zoals bij de ERB kiezen we de X-as volgens de bewegingsrichting. Omdat de
beweging rechtlijnig is, zal de Y-coördinaat niet wijzigen en die laten we
bijgevolg buiten beschouwing.
Afbeelding 14: Een EVRB langs de X-as
De snelheidsvergelijking in coördinaten wordt :
v x t=v x ,0 a x⋅t−t 0
We gaan nu proberen een vergelijking op te stellen om de x-coördinaat op een
willekeurig tijdstip t te bepalen.
Uit de definitie van gemiddelde snelheid volgt dat
x t =x 0v m , x t ⋅t−t 0
met de gemiddelde snelheid na een tijd t.
Vermits uit de snelheidsvergelijking volgt dat vx een lineair aangroeiende
grootheid is, kunnen we de gemiddelde snelheid berekenen als volgt :
v m , x t=
v 0, x v x t 
2
waardoor
v 0, x v x t 
⋅t−t 0
2
v v a ⋅t−t 0 
x t =x 0 0, x x ,0 x
⋅t−t 0
2
1
x t =x 0v 0, x⋅t−t 0  a x⋅t−t 0 2
2
x t =x 0
Deze laaste uitdrukking geeft de x-coördinaat op tijdstip t van een voorwerp dat
een EVRB beschrijft met beginsnelheid v0, vertrekkende op positie x0, en is de
14
2 Eéndimensionale bewegingen
positievergelijking van de EVRB.
Samengevat :
De bewegingsvergelijkingen van een voorwerp dat een EVRB beschrijft zijn
bijgevolg :
a x t=a x =const.
v x t=v 0, x a x⋅t−t 0
1
2
x t =x 0v 0, x⋅t−t 0  a x⋅t−t 0 
2
Merk op dat als de versnelling nul is, bovenstaande vergelijkingen identiek zijn
aan de bewegingsvergelijkingen van een ERB.
2.2.3
a
Diagrammen
a,t -diagram
Bij een eenparig veranderlijke beweging is
de versnelling bij definitie een constante. Het
a,t-diagram is bijgevolg een horizontale
rechte. Hiernaast is de grafiek afgebeeld van
een eenparig versnelde beweging.
Wat wordt dit diagram in geval van een
eenparig vertraagde beweging ?
b
v,t-diagram
Afbeelding 15: a,t -diagram van een
eenparig versnelde beweging.
We zien in de bewegingsvergelijkingen dat
de snelheid lineair toe- of afneemt met de
tijd. Het v,t – diagram is bijgevolg een schuine rechte. Hieronder is het v,t –
diagram afgebeeld voor zowel een versnelde, als een vertraagde beweging.
Afbeelding 16: v,t - diagram van een eenparig
versnelde beweging.
Afbeelding 17: v,t - diagram van een eenparig
vertraagde beweging.
Hoe kan je in het v,t -diagram de afgelegde weg aflezen ?
Is de beweging voorgesteld in afbeelding 17 de hele tijd vertraagd ? Zo nee,
15
2 Eéndimensionale bewegingen
wanneer dan niet meer ?
c
x,t – diagram
Uit de bewegingsvergelijkingen volgt dat de grafiek die de positie x geeft in
functie van de tijd t een parabool is (kwadratische vergelijking). We moeten
echter wel een onderscheid maken tussen een versnelde en een vertraagde
beweging. In onderstaande figuur is het x,t-diagram weergegeven voor beide
gevallen.
Afbeelding 18: x,t diagram voor een EVRB, zowel voor een versnelde (links) als voor een
vertraagde (rechts) beweging.
Hoe lees je af in het x,t-diagram van de vertraagde beweging waar de snelheid
nul wordt ?
In welk gedeelte, in het diagram van de vertraagde beweging, is de beweging
effectief “vertraagd” ? Welke beweging hebben we in het andere gedeelte ?
2.3
Toepassing : de verticale worp
2.3.1
Beschrijving van de beweging
Een verticale worp definiëren als de beweging beschreven door een voorwerp
dat loodrecht omhoog gegooid wordt met een beginsnelheid v0, vanop een
beginhoogte y0.
Het is een eendimensionale beweging, en we kiezen de Y-as volgens de
bewegingsrichting, met zin naar boven (volgens de zin van de beginsnelheid)
toe.
Eens het voorwerp de hand verlaten heeft, werkt enkel de zwaartekracht op het
voorwerp, en zal het voorwerp eenparig vertragen met
a y =−g=−9,81
m
2
s
16
2 Eéndimensionale bewegingen
We verwaarlozen hierbij eventuele wrijving.
Het voorwerp zal een maximale hoogte (top)
bereiken, om dan eenparig versneld weer terug
te keren naar zijn beginhoogte (en eventueel
verder te vallen).
We willen nu drie zaken berekenen :
2.3.2
●
Wat is de maximaal bereikte hoogte ?
●
Hoelang duurt het tot het voorwerp terug
op beginhoogte is ?
●
Wat is de snelheidscomponent
terugkeer op beginhoogte ?
bij
Berekenen van maximale hoogte
De
verticale
worp
is
een
EVRB
met
beginsnelheid v0 en versnelling a = -g. De
bewegingsvergelijkingen worden bijgevolg :
Afbeelding 19: Beginsituatie
bij verticale worp : positie,
snelheid en versnelling.
v y t=v 0−g⋅t
1
y t= y 0 v 0⋅t− g⋅t 2
2
Op maximale hoogte is de snelheid van het voorwerp 0 m/s. Hiermee kunnen we
het tijdstip t1 berekenen waarop het voorwerp de maximale hoogte bereikt.
m
s
m
v 0− g t 1=0
s
v0
t 1=
g
v y t 1=0
De maximale hoogte is de positie op het moment dat de snelheid nul wordt.
y max = y t 1 
1
y max = y 0v 0⋅t 1 − g⋅t 2
2
v0 1
v0 2
y max = y 0v 0⋅ − g⋅ 
g
2
g
2
1 v0
y max = y 0
2 g
2.3.3
Berekenen van snelheid bij terugkeren op beginpositie
Noemen we t2 het tijdstip waarop het voorwerp terug is op zijn beginpositie. Met
andere woorden :
y t 2 = y 0
1
y 0= y 0v 0⋅t 2− g⋅t 22
2
1
v 0⋅t 2− g⋅t 22=0
2
17
2 Eéndimensionale bewegingen
Dit is een vierkantswortelvergelijking met twee oplossingen, namelijk
2v
t 2= 0 (reken zelf na !).
g
t 2=0 s of
Hoe moet je die twee oplossingen interpreteren ?
We zien dat het twee keer zo lang duurt om terug op beginhoogte te komen, dan
dat het duurt om maximale hoogte te bereiken.
De snelheid bij terugkeer op beginhoogte wordt dan gegeven door
v t 2 =v 0−g⋅t 2
2v 0
v t 2 =v 0− g⋅

g
v t 2 =−v 0
De snelheid bij terugkeer op beginhoogte is bijgevolg gelijk in grootte aan de
beginsnelheid, maar tegengesteld gericht.
2.4
Oefeningen
2.4.1
a
Voorbeelden
Voorbeeld 1
Opgave :
Een trein rijdt tegen 72 km/h over een recht stuk spoorweg naar het
station toe. 200 m voor het perron begint te trein te remmen. Met welke
vertraging moet de trein remmen om aan het perron tot stilstand te
komen ?
Tekening :
Een dergelijke oefening begin je altijd met een tekening, waarin je een schets maakt van de
situatie, en alle relevante grootheden en parameters aanduidt en benoemt. De artistieke
waarde van de schets is van geen belang, wél de duidelijkheid en volledigheid waarmee het je
kan helpen het gevraagde te berekenen.
Afbeelding 20: Schets bij voorbeeld 1
Op de figuur staan aangeduid :
●
De situatie op het moment t0 dat de trein begint te remmen, met aanduiding van
beginsnelheid en vertraging.
●
De situatie op het moment t1 dat de trein stilstaat (snelheid is nul).
●
Een X -as met aanduiding van de oorsprong.
Eens de schets gemaakt, kan je die gebruiken om zoveel mogelijk gegevens te noteren.
18
2 Eéndimensionale bewegingen
Dikwijls zullen er een aantal gegevens opduiken die niet letterlijk in de opgave staan, maar
die door bvb. keuze van het assenstelsel naar voor zullen komen.
Gegevens:
t 0=0 s
m
s
x t 1=2,00⋅10 2 m
m
s
x 0=x t 0 =0 m
v 0 =2,00⋅10 1
v t 1 =0
Merk op dat we de gegevens overzichtelijk gerangschikt hebben in twee kolommen, één met
de gegevens betreffende de beginsituatie, één met de gegevens betreffende de eindsituatie.
Gevraagd :
Noteer altijd expliciet het gevraagde, zodat je duidelijk weet wàt je aan het zoeken bent.
a=?
Oplossing :
Het vraagstuk is duidelijk een toepassing van een eenparig vertraagde beweging. We
vertrekken bijgevolg van de bewegingsvergelijkingen van een eenparig vertraagde beweging,
en zullen bekijken over welke grootheden we beschikken en welke onbekenden we zullen
moeten bepalen.
v t 1 =v 0a⋅t 1=0
m
s
1
x t 1 =v 0⋅t 1 a⋅t 12
2
In bovenstaande vergelijkingen zijn alle grootheden waarvan gegeven is dat ze nul zijn al
weggelaten. Als we de gegevens vergelijken, is het duidelijk dat we met twee onbekenden
zitten, nl. t1 en a. We hebben echter ook twee vergelijkingen, dus in theorie zou dit perfect
oplosbaar moeten zijn. We gebruiken nu de eerste vergelijking om t1 te elimineren in de
tweede vergelijking, en zo a te bepalen.
t 1=−
v0
a
Invullen in de tweede vergelijking geeft :
v0 1
v 2
 a⋅− 0 
a
2
a
2
1v
x t 1 =− 0
2 a
2
1 v0
a=−
2 x t 1 
x t 1=v 0⋅−
We hebben nu algebraïsch het gevraagde in functie van het gegeven bepaald. Het is ten
zeerste belangrijk dat je eerst alles zo ver mogelijk algebraïsch uitwerkt vooraleer je cijfers
gaat invullen !!! Dit vermijdt rekenfouten, is overzichtelijker, en geeft veel duidelijker de
gevolgde redenering weer. Het maakt het ook veel gemakkelijker een eventuele fout op te
sporen, mocht je je ergens vergist hebben en niet het gewenste resultaat bekomen.
Eens je het gevraagde hebt in functie van het gegeven, kan je de gegevens invullen en het
resultaat berekenen. Zet bij elke stap van je berekeningen ook je eenheden ! Als je eenheden
niet kloppen, ben je al zeker dat je ergens een reken- of redeneerfout gemaakt hebt !
19
2 Eéndimensionale bewegingen
m 2

s
a=
2
2⋅2,00⋅10 m
2
2 m
−4,00⋅10 2
s
a=
2
4,00⋅10 m
m
a=−1 2
s
− 2,00⋅101
Ten slotte formuleer je een korte, maar duidelijke antwoordzin :
Antwoord:
De trein moet afremmen met een vertraging van
b
−1
m
2
s
Voorbeeld 2
Een politiewagen rijdt tegen 90 km/h over een recht stuk autosnelweg,
als hij gepasseerd wordt door een hardrijder die voorbijraast met een
snelheid van 160 km/h. Op het moment dat de hardrijder hem passeert,
versnelt de politiewagen met 2,00 m/s². Als de hardrijder tegen
dezelfde snelheid blijft rijden,hoe lang zal het duren vooraleer de
politiewagen de hardrijder inhaalt, en welke afstand is daarbij
afgelegd ?
Tekening :
Afbeelding 21: schets bij voorbeeld 2
Gegevens :
t 0 =0 s
x A t 0= x B t 0 =0 m
m
v 0, A=2,50⋅101
s
m
v 0, B =4,44⋅10 1 =v B t
s
m
a A=2,00 2
s
x A t 1= x B t 1 
1
v B t 1=4,44⋅10
m
s
20
2 Eéndimensionale bewegingen
Gevraagd :
t 1=? ; x A t 1=?
Oplossing :
x A t 1= x B t 1 
1
v 0, A⋅t 1 a A t 12=v 0, B⋅t 1
2
1
t 1⋅[ v 0, A−v 0, B  a A t 1]=0
2
Oplossen naar t1 geeft
t 1=0 s of
t 1=
2v 0, B −v 0, A 
aA
De eerste oplossing is het beginstijdstip, de tweede oplossing is het moment
waarop de politieauto de snelheidsovertreder inhaalt.
Vullen we de gegevens in :
m
m
−2,50⋅10 1 
s
s
m
2,00 2
s
t 1=1,94⋅101 s
2⋅4,44⋅10 1
t 1=
Berekenen we nu de afgelegde weg :
m
x A t 1=x B t 1=4,44⋅10 1 ⋅1,94⋅101 s
s
2
x A t 1=8,61⋅10 m
Antwoord :
De politieauto haalt de hardrijder in na 19,4 s, en ze hebben dan 861 m
afgelegd.
21
2 Eéndimensionale bewegingen
2.4.2
Opgaves
1. Een auto rijdt tegen een snelheid van 60,0 km/h. Op een bepaald
ogenblik begint hij te versnellen zodat in de 30,0 s nadien een afstand
van 1400 m afgelegd wordt.
a) Bereken de grootte van de versnelling.
b) Hoe groot is de snelheid van de auto na die 30,0 s ?
2. Een voorwerp, dat eenparig veranderlijk rechtlijnig beweegt, bevindt zich
op t = 0 s in een punt 30 m links van de waarnemer. Het heeft een
beginsnelheid van 20 m/s weg van de waarnemer en een versnelling van
4,0 m/s² naar de waarnemer toe.
a) Wanneer is zijn snelheid 0 m/s ?
b) Waar bevindt het zich dan ?
c) Wanneer is de beweging vertraagd, en wanneer is ze versneld ?
3. Een auto rijdt tegen 90 km/h op een autobaan, als de bestuurder plots
300 m verder een file opmerkt. Met welke vertraging moet de bestuurder
remmen om een botsing te vermijden
a) Als de auto's in de file stilstaan ?
b) Als de auto's stapvoets rijden tegen 15 km/h ?
4. Een trein rijdt tegen 120 km/h, als de treinbestuurder het signaal krijgt
dat er 1000 m voor hem een andere trein rijdt, met een snelheid van 90
km/h. In welke mate moet hij zijn trein vertragen, wil hij op 200 m achter
de voorliggende trein de weg vervolgen ?
5. Het snelheidsdiagram van een racewagen
op een recht gedeelte van zijn parcours
vertoont een verloop zoals aangegeven
in afbeelding 22. Bepaal:
a) De gemiddelde snelheid gedurende
die 8 s.
b) De positieverandering gedurende die
8 s.
Afbeelding 22: Grafiek oefening 5
6. De grafiek stelt de snelheidscomponent
voor van een puntmassa die beweegt
langs de x-as. Op welke tijdstippen is de
puntmassa het verst verwijderd van zijn
positie op tijdstip t = 0 s ?
a) t = 2 s;
b) t = 3 s;
c) t = 4 s;
d) t = 2 s en t = 4 s;
Afbeelding 23: grafiek bij oefening 6
e) geen van bovenstaande, het is op t =
______ s
22
2 Eéndimensionale bewegingen
7. Een tennisspeler gooit een tennisbal zo hard als hij kan op de grond. We
verwaarlozen de wrijving met de lucht. Van de versnelling a van de bal
nadat de speler hem heeft los gelaten kun je zeggen dat :
a) De grootte van de versnelling a van de bal voor het stuiten op de
grond is groter dan g en is na het stuiten op de grond kleiner dan g.
b) De grootte van de versnelling a van de bal voor het stuiten op de
grond is groter dan g en is na het stuiten op de grond gelijk aan g.
c) De grootte van de versnelling a van de bal is zowel voor het stuiten op
de grond als na het stuiten op de grond gelijk aan g.
d) De grootte van de versnelling a van de bal voor het stuiten op de
grond gelijk aan g maar is na het stuiten op de grond afhankelijk van
de hardheid van de grond.
8. Een pijl wordt verticaal van de grond omhoog geschoten en bereikt na 2,5
s het hoogste punt. Bereken de startsnelheid en de bereikte hoogte.
9. Uit een punt 45,0 m boven de begane grond wordt een steen van 0,30 kg
verticaal omhooggeworpen met een snelheid van 42,0 m/s. Bereken:
a) De door het lichaam bereikte hoogte boven de grond;
b) De tijd nodig om de grond te bereiken;
c) De snelheid bij het bereiken van de grond.
10.Vanop een 300 m hoge mast valt een steen vrij naar beneden. Op
hetzelfde ogenblik, dat de steen in vrije val vertrekt, werpt iemand een
tweede steen verticaal de lucht in met een beginsnelheid van 60,0 m/s.
a) Op welke hoogte passeren de stenen elkaar ?
b) Bereken de snelheid van beiden als ze elkaar passeren.
23
3 Tweedimensionale bewegingen
3 Tweedimensionale bewegingen
3.1
Het onafhankelijkheidsprincipe
We houden twee gelijke voorwerpen op dezelfde hoogte
boven de grond. Eén voorwerp laten we recht naar
beneden vallen, tegelijkertijd gooien we het andere
horizontaal weg. Welke van de twee voorwerpen zal het
eerste op de grond komen ?
Wat we waarnemen is een voorbeeld van het
onafhankelijkheidsprincipe.
De
horizontale
beweging heeft geen invloed op de verticale
beweging. Beide voorwerpen komen tegelijkertijd op de
grond.
In
formele
bewoording
onafhankelijkheidsprincipe :
luidt
het
Wanneer een voorwerp tegelijkertijd onderworpen is
aan twee bewegingen, dan is zijn positie na een bepaald
tijdsverloop dezelfde als wanneer die twee bewegingen,
telkens gedurende hetzelfde tijdsverloop, na elkaar en
onafhankelijk van elkaar gebeuren.
Afbeelding 24:
Stroboscopische opname
van een voorwerp in vrije
van en een voorwerp dat
tegelijkertijd horizontaal
wordt weggeschoten. (Bron
: Physics -Serway)
Of anders geformuleerd :
Twee of meer bewegingen die tegelijkertijd plaatsgrijpen, blijven hun volledige
uitwerking behouden.
3.2
De horizontale worp
3.2.1
Beschrijving van de beweging
Een eerste toepassing die we bekijken is
de horizontale worp. Bij een horizontale
worp
lanceren
we
een
voorwerp
horizontaal met een beginsnelheid v0
vanop een hoogte y0. Eens gelanceerd,
zal het voorwerp onder invloed van de
zwaartekracht naar beneden bewegen,
terwijl het door zijn horizontale snelheid
eveneens verder zal bewegen.
De
horizontale
worp
is
de
samenstelling van een valbeweging
en
een
eenparig
rechtlijnige
beweging.
Om de beweging te beschrijven kiezen
we X-as evenwijdig met de grond, en de
Y-as zo dat deze door de beginpositie
loopt. Dit geeft als beginsituatie :
Afbeelding 25: De horizontale worp is een
samenstelling van een eenparig rechtlijnige
beweging en een valbeweging.
24
3 Tweedimensionale bewegingen
x t 0=0
y t 0= y 0
De horizontale worp is een samenstelling van een eenparig rechtlijnige beweging
in horizontale richting en een valbeweging in verticale richting. Dit geeft als
positievergelijkingen :
x t=v 0⋅t
1
y t= y 0 − g t 2
2
Door t te elimineren krijgen we de vergelijking van de baan in het x,y-vlak :
x
v0
1 x2
y= y 0− g 2
2 v0
t=
Dit is de vergelijking van een parabool. De baan die het voorwerp zal
beschrijven zal dus parabolisch zijn.
Afbeelding 26: Baan van een voorwerp dat horizontale worp beschrijft.
3.2.2
Berekenen van de dracht
De afstand die het voorwerp in horizontale richting zal afleggen vooraleer de
grond te raken (ook wel dracht genoemd), kunnen we eveneens bepalen uit de
bewegingsvergelijkingen.
Allereerst berekenen we de tijd t1 nodig om vanop beginhoogte tot op de
grond te komen. Dan bekijken we welke afstand gedurende die tijd is
afgelegd in horizontale richting, en we hebben de dracht !
Op t1 raakt het voorwerp de grond. Dan is bijgevolg :
y t 1 =0 m
1
y 0− g t 21 =0 m
2
2 y0
t 1=
g

De dracht is de afstand gedurende die tijd afgelegd in horizontale richting :
25
3 Tweedimensionale bewegingen
x t 1=v 0 t 1
x t 1=v 0
3.3

2 y0
g
De projectielbeweging (schuine worp)
3.3.1
Beschrijving van de beweging
Onder een schuine worp verstaan we een voorwerp dat gelanceerd wordt met
een beginsnelheid v0, onder een zekere hoek α met de horizontale, vanop
een hoogte y0. Om de berekeningen enigszins te vereenvoudigen,
veronderstellen we dat we vertrekken vanop de begane grond, en dat bijgevolg
y0 = 0m.
We kunnen de initiële snelheidsvector ontbinden
in een horizontale en een verticale component :
v0= v0, x v0, y
waarbij
v 0, x =v 0 cos 
v 0, y =v 0 sin 
Eens het projectiel gelanceerd, is het in verticale
richting onderhevig aan de valversnelling. (aan
welke versnelling is het onderhevig in horizontale
richting ?). We kunnen de projectielbeweging
bijgevolg beschouwen als een samenstelling
van een eenparig rechtlijnige beweging in de
horizontale richting en een verticale worp.
Afbeelding 27: ontbinding van de
initiële snelheidsvector in
componenten.
Afbeelding 28: De schuine worp is een samenstelling van een ERB en een verticale worp.
26
3 Tweedimensionale bewegingen
3.3.2
De bewegingsvergelijkingen
De projectielbeweging kan ontbonden worden in een ERB in horizontale richting
en een verticale worp.
De snelheidsvergelijkingen worden dus :
v x t =v 0, x
v y t =v 0, y − g t
En de positievergelijkingen :
x t=v 0, x t
1
y t=v 0, y t− g t 2
2
Wat worden deze vergelijkingen als we vertrekken van op een beginhoogte y0 in
plaats de begane grond ?
Afbeelding 29: Evolutie van de snelheidsvector bij een schuine worp. Kan je ook overal de
versnellingsvector bijtekenen ?
Als we uit bovenstaande vergelijkingen
vergelijking van de baan :
t elimineren, verkrijgen
we
de
x
v 0, x
1 g 2
x−
x
2 v 0, x 2
t=
y=
v 0, y
v 0, x
Dit is de vergelijking van een parabool. De baan die het voorwerp zal
beschrijven zal dus parabolisch zijn.
27
3 Tweedimensionale bewegingen
3.3.3
Berekenen van de dracht
Gebruik makend van het onafhankelijkheidsprincipe, berekenen we eerst de
tijd nodig om terug op de grond te raken, en met dat resultaat berekenen
we de afstand die in die tijd in horizontale richting is afgelegd.
We noemen t1 het tijdstip waarop het projectiel de grond raakt. Dan is :
y t 1 =0
1
v 0, y t 1− g t 21 =0 m
2
1
t 1 v 0, y − g t 1 =0 m
2
Hieruit volgt dat ofwel
t 1=0 s
ofwel
t 1=2
v 0, y
g
Het laatste resultaat is van belang voor het berekenen van de dracht. (Wat
betekent het eerste resultaat ?)
De dracht bepalen we dan :
v 0, x v 0, y
g
2
v 0 sin  cos 
x t 1=2
g
2
v sin 2 
x t 1 = 0
g
x t 1 =2
Voor welke hoek is de dracht maximaal ?
Oefening : toon aan dat de maximaal bereikte hoogte gegeven wordt door
2
2
1 v 0 sin 
y max =
2
g
3.4
Oefeningen
3.4.1
a
Voorbeelden
Voorbeeld 1
Opgave :
Een kogel wordt in horizontale richting met een snelheid van 800 m/s
afgeschoten op een schietschijf die zich op 100 m afstand bevindt. Als
de schutter precies op de roos mikt, over welke afstand is de kogel
afgezakt als hij de schijf treft ?
Tekening :
28
3 Tweedimensionale bewegingen
Gegevens :
m
s
x t 0 =0 m
y t 0=0 m
v 0=800
x t 1=100 m
Gevraagd :
y t 1=?
Oplossing :
Het gaat hier duidelijk over een horizontale worp. Gebruik makend van de
bewegingsvergelijkingen berekenen we eerst t1, waaruit y(t1) zal volgen.
x t 1=v 0 t 1
x t 1 
t1 =
v0
Met dit resultaat :
1
y t 1=− g t 21
2
2
1  x t 1 
y t 1=− g
2
v02
Invullen van gegevens levert :
1
m 100 m2
y t 1=− 9,81 2
2
s
m 2
800 
s
−2
y t 1 =7,66⋅10 m
Antwoord :
De kogel zal 7,66 cm gezakt zijn.
b
Voorbeeld 2
Opgave
Een projectiel wordt met een beginsnelheid van 350 m/s onder een
hoek van 30° met de horizontale afgeschoten. Hoelang duurt het tot het
projectiel terug de grond raakt en welke afstand heeft het dan
overbrugd ?
Tekening :
Gegevens :
29
3 Tweedimensionale bewegingen
m
s
x t 0 =0 m
y t 0=0 m
=30 °
v 0=350
y t 1=0 m
Gevraagd :
t 1 =?
x t 1=?
Oplossing :
Het tijdstip waarop het
bewegingsvergelijkingen :
projectiel
de
grond
raakt
halen
we
uit
de
y t 1 =0
1
v 0, y t 1− g t 21 =0 m
2
1
t 1 v 0, y − g t 1 =0 m
2
Hieruit volgt
t 1=2
v 0, y 2 v 0 sin 
=
g
g
Gegevens invullen levert :
m
2⋅350 ⋅sin 30 ° 
s
t 1=
m
9,81 2
s
t 1=3,56⋅101 s
Hiermee bepalen we dan de overbrugde afstand :
x t 1 =v 0 cos ⋅t 1
m
x t 1=350 cos30 ° ⋅3,56⋅101 s
s
x t 1 =1,08⋅104 m
Antwoord :
Het projectiel zal neerkomen na 35,6 s en zal 10,8 km overbrugd hebben.
30
3 Tweedimensionale bewegingen
3.4.2
Opgaven
1. Iemand tracht loodrecht een 300 m brede rivier over te zwemmen met
een snelheid van 1,00 m/s. Als de stroomsnelheid 1,50 m/s is, in welke
tijd bereikt hij dan de overzijde en hoe ver zal hij afgedreven zijn ?
Construeer de snelheidsvector en bereken de grootte van de resulterende
snelheid.
2. Een stuntman rijdt met zijn auto over een horizontale weg naar een kloof
toe. De kloof is 10 m breed, en de overkant ligt 3 m lager. Welke snelheid
moet de wagen ten minste bezitten opdat de stunt zou slagen ?
3. Vanop een toren wordt een steen horizontaal weggegooid met een
snelheid van 10 m/s. Hij komt op de grond terecht, 50 m van de toren
verwijderd. Bereken de hoogte van de toren (luchtweerstand
verwaarlozen).
4. Een auto gaat aan het slippen op een weg met een snelheidsbeperking
van 50 km/h en rijdt door een brugleuning boven een rivier. Hij komt 5,2
m lager in het water terecht en blijft gedeeltelijk boven water uitsteken.
De politie doet opmetingen en stelt vast dat de auto 22 m ver van de
brug terecht gekomen is. Hoe groot was zijn snelheid ten minste ? Was
die in werkelijkheid groter of kleiner ?
5. Vanaf een rots aan de rand van een meer, schiet men een kogel
horizontaal af. De rots bevindt zich op 19,6 m boven het wateroppervlak.
De kogel komt 2500 m verder in het water terecht. Bereken de snelheid
waarmee de kogel is afgevuurd.
6. Uit een tuinsproeier die gericht is onder een hoek van 60° met de
horizontale stroomt het water met een beginsnelheid van 25 m/s.
Bereken hoe ver de sproeier reikt.
7. Een speerwerper gooit de speer weg van op schouderhoogte (1,80 m)
met een beginsnelheid van 12 m/s onder een hoek van 45°. Wat is de
maximaal bereikte hoogte en hoe ver komt de speer terecht ?
8. Een oorlogsbodem heeft een vijandelijk schip ontdekt aan de andere kant
van een eiland, dat pal tussen hen ligt. De afstand tussen de twee boten
bedraagt 15 km. De hoogste heuveltop op het eiland ligt 1120 m boven
zeeniveau, en ligt juist op de verbindingslijn tussen beide schepen. Onder
welke hoek moet de kanonnier zijn kanonnen richten om het vijandelijk
schip te raken, als hij weet dat de snelheid van de granaten bij het
verlaten van de loop 550 m/s bedraagt ?
31
4 De wetten van Newton
4 De wetten van Newton
Om de notaties enigszins te vereenvoudigen spreken we af dat we de grootte
van een vector noteren met hetzelfde symbool als de vector, maar zonder pijltje
erboven. Zo is
●
●
4.1
 de krachtvector, en
F
F de grootte van die krachtvector.
Eerste wet van Newton
4.1.1
Traagheidsbeginsel
Dit beginsel ken je nog uit de cursus van het 4e jaar. We herhalen het kort :
Een object in rust blijft uit zichzelf rust.
Eenmaal in beweging, zal een object uit zichzelf deze beweging
eenparig rechtlijnig verder zetten.
4.1.2
Het concept kracht
Volgens het traagheidsbeginsel kan een voorwerp zijn bewegingstoestand
niet zelf wijzigen. Om vanuit rust in beweging te komen, om te versnellen of
te vertragen, of om tot stilstand te komen, moet er bijgevolg een externe
oorzaak zijn.
Een dergelijke externe oorzaak noemen we een kracht.
Is het zo dat op een voorwerp dat eenparig rechtlijnig beweegt of in rust is, geen
krachten inwerken ? Nee, verre van, op een voorwerp in rust kunnen meerdere
krachten werkzaam zijn, maar ze zullen elkaars effecten opheffen.
We kunnen het traagheidsbeginsel dan ook herformuleren als :
Een voorwerp is in rust of beweegt volgens een eenparig rechtlijnige
beweging, als en slechts als de resultante van de inwerkende krachten
de nulvector is.
FR =∑ F i =
0
Afbeelding 30: Een vliegtuig kan slechts éénparig rechtlijnig vliegen,
als de som van alle inwerkende krachten (welke zijn dat ?) de
nulvactor is. (bron : www.nasa.org)
32
4 De wetten van Newton
4.1.3
Bepalen van de resulterende kracht
Krachten zijn vectoren, je kan niet zomaar de groottes optellen om dan tot de
resulterende kracht te komen.
F 1 F 2 is niet hetzelfde als
F 1F 2 ! Wat is het verschil ?
Je hebt vorig jaar al een aantal technieken gezien om de resulterende kracht
FR = F1 F2 van twee inwerkende krachten F 1 en F 2 te bepalen:
●
F 1 en F 2 dezelfde richting en zin hebben, dan heeft
FR = F1 F2 eveneens dezelfde richting en zin, en is F R =F 1 F 2 .
Als
Afbeelding 31: Samenstellen van
krachten met zelfde zin en richting.
●
F 1 en F 2 dezelfde richting maar tegengestelde zin hebben,
FR = F1 F2 eveneens dezelfde richting, de zin van de
dan heeft
grootste kracht en is F R =∣F 1 −F 2∣ .
Als
Afbeelding 32: Samenstellen van
krachten met zelfde richting, maar
tegengestelde zin.
●
F 1 en F 2 verschillende richtingen hebben, kon je de
Als
parallellogramregel toepassen, en op grafische wijze de resultante
bepalen.
Afbeelding 33: Samenstellen van
krachten met verschillende zin en
richting.
Het grafisch bepalen van de resulterende kracht zou nogal omslachtig kunnen
worden als we bvb. de resultante van twee krachten met groottes van resp. 53
N en 76 N willen bepalen, die een hoek insluiten van 23°.
We kunnen dergelijk probleem oplossen door de krachten te ontbinden volgens
componenten langs de X- en de Y-as.
33
4 De wetten van Newton
Veronderstel dat we twee krachten
richting en zin, en dat we de resultante
F 1 en F 2 hebben met verschillende
FR = F1 F2 moeten berekenen.
Afbeelding 34: We moeten de resultante
berekenen van twee krachten die een
willekeurige hoek insluiten.
Ontbinden we beide krachten in componenten volgens X- en Y-as :
F1= F1, x  F1, y
F 2= F2, x  F2, y
Zij α de hoek
zijn :
F 1 van met de X-as, en β de hoek van
F 1,x = F 1 cos 
en
F 1, y =F 1 sin 
Afbeelding 35: Ontbinding van de eerste kracht
in componenten volgens X en Y as.
F 2 met de X-as, dan
F 2, x =F 2 cos 
F 2, y =F 2 sin 
Afbeelding 36: Ontbinding van de tweede kracht
in componenten volgens X en Y as.
Nu is
FR= F1 F2
FR = F1, x  F1, y  F2, x  F2, y
FR= FR , x  FR , y
34
4 De wetten van Newton
Waarbij
Vermits
F1, x en
FR , x = F1,x  F2, x en FR , y = F1, y  F2, y
F2, x dezelfde zin en richting hebben, geldt er :
F R , x =F 1, x F 2, x= F 1 cos F 2 cos 
en analoog :
F R , y = F 1, y  F 2, y =F 1 sin F 2 sin 
De grootte van
FR
bepalen we met behulp van de regel van Pythagoras :
F R = F 2R , x  F 2R , y
De hoek die maakt met de X-as (en die de zin en richting bepaalt) halen we uit :
tan =
F R, y
.
F R ,x
Afbeelding 37: Bepalen van de resulterende kracht uit
de componenten van samenstellende krachten.
Laten we dit bij wijze van voorbeeld toepassen op het hierboven vermelde
probleem : de resultante van twee krachten met groottes van resp. 53 N en 76
N bepalen, die een hoek insluiten van 23°
De keuze van de X-as kan het probleem al een pak vereenvoudigen. In dit geval
kiezen we de X-as evenwijdig met F 1 .
De hoek α van
as is dan 23°.
F 1 met de X-as is bijgevolg 0°, de hoek β van
F 2 met de X-
F 1 in componenten :
F 1, x =F 1 cos =53 N cos 0 ° =53 N
F 1, y =F 1 sin =53 N sin 0 ° =0 N
Ontbinding van
Ontbinding van in componenten :
F 2, x =F 2 cos =76 N cos 23° =69,96 N
F 2, y =F 2 sin =76 N sin 23 ° =29,70 N
Bepalen van de componenten van de resulterende kracht :
35
4 De wetten van Newton
F R , x =F 1,x  F 2, x =5,30⋅101 N 6,70⋅101 N =1,20⋅102 N
F R , y = F 1, y F 2, y =0 N 2,97⋅101 N =2,97⋅101 N
De grootte van de resulterende kracht :
F R =1,20⋅10 2 N 22,97⋅101 N 2=1,23⋅102 N
De hoek van de resultante met de X-as :
tan =
4.2
F R , y 2,97⋅101 N
=
=2,47⋅10−1
F R , x 1,20⋅102 N
⇔ =13° 54 '
Tweede wet van Newton
4.2.1
Dynamische krachtwerking
De tweede wet van Newton, ook gekend als het principe van de dynamische
krachtwerking, ken je eveneens nog van vorig jaar :
Een kracht uitgeoefend op een massa veroorzaakt een versnelling.
Bij constant gehouden massa is de grootte van de versnelling recht
evenredig met de grootte van de inwerkende kracht.
Bij verschillende massa's, onderworpen aan éénzelfde kracht, is de
grootte van de versnelling omgekeerd evenredig met de massa.
Kracht en versnellingsvector hebben zelfde zin en richting.
Samengevat :
 =m⋅a
F
Afbeelding 38: Eenzelfde kracht veroorzaakt een kleinere versnelling bij een grotere massa.
36
4 De wetten van Newton
4.2.2
Tangentiële en normaalkracht
De link tussen kracht en versnelling zorgt
ervoor dat we een kracht, net als een
versnelling, kunnen ontbinden in
●
een component evenwijdig met de
ogenblikkelijke
snelheidsvector,
ook wel de tangentiële (rakend aan
 t of genoemd
de baan) component F
●
en een component loodrecht op de
ogenblikkelijke
snelheidsvector,
F n
de
normaalcomponent
genoemd.
Afbeelding 39: Ontbinding van kracht in
tangentiële en normaalcomponent.
F t Fn = 
F .
Zo dat
De tangentiële component is de oorzaak van de wijziging in grootte van de
snelheidsvector van de massa.
De normale component is de oorzaak van de wijziging van richting van de
snelheidsvector van de massa.
4.3
Derde wet van Newton – Actie en reactie
Twee personen staan elk op een karretje. Ze zijn verbonden door een touw. Wat
gebeurt er als persoon A aan het touw trekt en zo een kracht uitoefent op B ?
Wat gebeurt er als je op een karretje staat, en je oefent een kracht uit op de
muur ?
Beide gevallen zijn illustraties van de 3e wet van Newton, ook bekend als het
principe van actie en reactie :
Als voorwerp A op voorwerp B een kracht uitoefent, dan zal B op A een
kracht uitoefenen zodat

F
A B= F B  A
Afbeelding 40: Actie en reactie
Onthou :
●
Krachten komen voor in paren.
●
Actie- en reactiekracht werken gelijktijdig in.
●
Actie – en reactiekracht grijpen aan op verschillende lichamen
●
De actie – en reactiekracht zijn gelijk in grootte, hebben dezelfde
richting, maar tegengestelde zin.
37
4 De wetten van Newton
4.4
Voorbeelden van krachten
4.4.1
Zwaartekracht nabij het aardoppervlak
Je weet al uit de cursussen van vorige jaren
dat
in
de
dichte
nabijheid
van
het
aardoppervlak de kracht waarmee de aarde
een voorwerp aantrekt, constant is.
●
Het
aangrijpingspunt
is
zwaartepunt van het voorwerp;
het
●
De richting is
aardoppervlak;
het
●
de
zin
is
gericht
aardoppervlak toe;
●
de grootte is
loodrecht
op
naar
het
F z =m g . Vectorieel :
F z =m g .
4.4.2
Afbeelding 41: Zwaartekracht in de
buurt van het aardoppervlak.
Gewicht
De term gewicht kan verwarrend zijn, omdat veelal in de dagdagelijkse
spreektaal, gewicht synoniem is voor massa (“ik
weeg 80 kg”). In de fysica is “gewicht” nochtans
duidelijk gedefinieerd :
Het gewicht van een lichaam is de kracht die
dat voorwerp uitoefent op een steunvlak of
ophangpunt,
onder
invloed
van
de
zwaartekracht.
Gewicht is in geval van steunvlak altijd gericht
loodrecht op het steunvlak, of, in geval van
ophangpunt, van het ophangpunt naar het voorwerp
toe.
Gewicht wordt aangeduid als
FG .
Let op ! Gewicht is dus niet hetzelfde als
zwaartekracht !!! Wat zijn de verschillen ? En ook al
kan de grootte van het gewicht gelijk zijn aan de
grootte van de zwaartekracht, dit is niet altijd het
geval (zie voorbeeldoefeningen) !
In welke eenheid druk je gewicht uit ?
Afbeelding 42: Wat meet een
weegschaal eigenlijk ? Waar ligt het
aangrijpingspunt van het gewicht
van de vrouw ?
4.4.3
Is
“gewichtloos”
zwaartekracht” ?
synoniem
Kan je gewichtloos zijn
aardoppervlak ? Hoe ?
op
voor
1
m
“geen
boven
het
Normaalkracht
Een lichaam oefent onder invloed van de zwaartekracht een kracht uit op een
steunvlak. Uit de derde wet van Newton volgt dan dat het steunvlak een
even grote, maar tegengesteld gerichte kracht uitoefent op het lichaam.
38
4 De wetten van Newton
Deze kracht, uitgeoefend door een
steunvlak op een lichaam, noemen
we een normaalkracht.
We noteren een normaalkracht als
F .
N
Gewicht en normaalkracht zijn
dus een actie-reactie paar. Ze
zijn altijd gelijk in grootte, maar
zijn tegengesteld gericht en grijpen
aan op verschillende lichamen. De
normaalkracht is dus altijd gericht
loodrecht op het steunvlak.
Velen zijn, doordat het veelvuldig
het geval was in oefeningen vorige
jaren,
ervan
overtuigd
dat
F N =F Z =m g . Dit is echter alleen
Afbeelding 43: Het actie-reactiepaar gewicht en
normaalkracht.
4.4.4
zo in specifieke situaties ! Welke ?
Spankracht
Beschouw een touw (dat we voor
onze doelstellingen als massaloos en
onuitrekbaar
veronderstellen)
dat
vastgemaakt is aan een voorwerp. Als
we aan het touw trekken (dus een
kracht uitoefenen op het touw), dan
wordt die kracht via het touw
getransfereerd naar het voorwerp.
Een kracht die via een touw (of
ketting...) uitgeoefend wordt op een
voorwerp, noemen we spankracht.
We
noteren
een
spankracht
met
FT
4.4.5
Afbeelding 44: Een kracht kan door een touw
getransfereerd worden.
Veerkracht
Veerkracht ken je nog uit de cursussen van vorige jaren :
De grootte van de kracht uitgeoefend door een veer op een lichaam, is recht
evenredig met de afstand waarover de veer wordt uitgerokken (of ingeduwd).
Dit staat bekend als de wet van Hooke :
F v =k⋅ x
of vectorieel :
F v =k⋅ r
39
4 De wetten van Newton
Afbeelding 45: Kracht van een veer die over afstand ∆x is
uitgerokken
4.4.6
a
Wrijvingskracht tussen contactoppervlakken
Algemene bespreking
Wanneer een lichaam beweegt over een ruw oppervlak, ondervindt het een
weerstand tegen de beweging : wrijvingskracht.
Wrijvingskrachten zijn zeer belangrijk in het dagdagelijkse leven : zij staan ons
toe rond te wandelen, zorgen ervoor dat wielen voertuigen laten bewegen en
bochten laten nemen, ...
Vorig jaar heb je al wrijvingskrachten besproken die inwerken op een bewegend
voorwerp. Nu breiden we dat uit door ook wrijvingskrachten in beschouwing te
nemen die werken op statische voorwerpen.
Beschouw nu een blok op een horizontaal, ruw oppervlak. Als we een kleine
kracht uitoefenen op het blok in horizontale richting, dan blijft het blok gewoon
liggen. De kracht die het blok verhindert in beweging te komen noemen we de
statische wrijvingskracht Fw , s . We kunnen de uitgeoefende kracht beetje
bij beetje vergroten, en zolang het blok stationair blijft geldt er
F w , s=F
of vectorieel

Fw , s=− F
De statische wrijvingskracht
uitgeoefende kracht vergroot !
wordt
dus
groter,
naarmate
de
Blijven we de uitgeoefende kracht vergroten, dan zal het blok op een gegeven
moment in beweging schieten. Wanneer het blok net niet in beweging schiet, is
de statische wrijvingskracht maximaal. Als de uitgeoefende kracht
groter wordt dan de maximale statische wrijvingskracht, dan zal het
blok in beweging schieten en versnellen.
Er kan experimenteel aangetoond worden dat de maximale statische
wrijvingskracht recht evenredig is met de normaalkracht. De
evenredigheidsconstante noemen we de statische wrijvingscoëfficiënt s .
F w , s , MAX = s F N
Eens het blok in beweging is, blijft de wrijvingskracht constant, ongeacht de op
het blok uitgeoefende kracht. De wrijvingskracht die werkt op een bewegend
voorwerp noemen we de kinetische wrijvingskracht. De kinetische
wrijvingskracht zal iets kleiner zijn dan de maximale statische wrijvingskracht.
40
4 De wetten van Newton
Zoals je al weet van vorig jaar, is de kinetische wrijvingskracht eveneens recht
evenredig met de normaalkracht, en is de richting van de wrijvingskracht
altijd tegengesteld aan de bewegingsrichting. De evenredigheidsconstante
noemen we de kinetische wrijvingscoëfficiënt k .
F w , k =k F N
Afbeelding 46: Wrijvingskracht in kinetisch en statisch gebied. In het statisch gebied is de wrijvingskracht
gelijk aan de uitgeoefende kracht, in het kinetisch gebied is de wrijvingskracht constant.
s
k
Staal op staal
0,74
0,57
Aluminium op staal
0,61
0,47
Koper op staal
0,53
0,36
Rubber op droog asfalt
1,0
0,8
Rubber op nat asfalt
0,8
0,4
Hout op hout
0,25-0,5
0,2
Glas op glas
0,94
0,4
0,14
0,1
-
0,04
0,15
0,06
0,1
0,03
Gevernist
sneeuw.
hout
op
natte
Gevernist hout op droge
sneeuw.
Metaal op metaal,
smeermiddel.
Ijs op ijs
met
41
4 De wetten van Newton
Menselijke gewrichten
0,01
0,003
De grootte van de wrijvingscoëfficiënten is afhankelijk van de materialen. In
bovenstaande tabel vind je een aantal voorbeelden van wrijvingscoëfficiënten.
Waarom is het zinloos “de wrijvingscoëfficiënt van ijzer” te vragen ?
b
Toepassing : bepalen van minimale remafstand
We gaan nu proberen de minimale remafstand te berekenen van een auto met
massa m, die rijdt op een horizontaal wegdek met een snelheid v0 en bruusk
moet remmen.
De chauffeur duwt zijn rempedaal
volledig in, zodat de wielen helemaal
blokkeren, en de auto tot stilstand
zal komen door de wrijving
tussen banden en wegdek. De
kinetische wrijvingscoëfficiënt tussen
banden en wegdek is gegeven door
µk. De op de auto inwerkende
krachten zijn aangegeven op de
figuur hiernaast.
Afbeelding 47: Krachten inwerkend op een
remmende auto.
We kiezen de X-as evenwijdig met
het wegdek, en de oorsprong op het
punt waarop de chauffeur begint te
remmen.
We berekenen nu de afstand die de
chauffeur aflegt vooraleer helemaal
tot stilstand te komen.
Allereerst bepalen we de versnelling a waarmee de auto afremt.
Ontbinden van de krachten volgens X- en Y-as levert :
X :−F W , k =m a x
Y : F N −F Z =0
Met wat we weten over zwaartekracht en kinetische wrijving wordt dit :
X :−k F N =ma
Y : F N =m g
Waaruit :
a x =−k g
De versnelling waarmee de auto vertraagt is constant, we kunnen bijgevolg de
bewegingsvergelijkingen gebruiken van een EVRB.
v t=v 0 −k g t
1
x t =v 0 t− k g t 2
2
Noemen we het tijdstip waarop de auto stilstaat t1. Hieruit volgt :
42
4 De wetten van Newton
v t 1 =0
m
s
v 0−k g t 1=0
t 1=
m
s
v0
k g
Dit invullen in de positie-vergelijking :
1
2
x t 1 =v 0 t 1− k g t 1
2
v 20
v0 2
1
x t 1=
−  g

 k g 2 k k g
2
1 v0
x t 1 =
2 k g
De remafstand is recht evenredig met het kwadraat van de snelheid, en
omgekeerd evenredig met de kinetische wrijvingscoëfficiënt tussen
banden en wegdek.
Welk voertuig heeft de grootste minimale remafstand,
personenwagen of een volgeladen grote vrachtwagen ?
een
kleine
Waarom is de minimale remafstand groter op nat wegdek dan op droog
wegdek ?
Remafstand bij droog en nat wegdek
30
50
Snelheid (km/h)
70
90
120
150
0
50
100
150
200
250
Remafstand (m)
Afbeelding 48: Remafstanden voor verschillende snelheden onder verschillende weeromstandigheden.
4.4.7
a
Wrijvingskracht in een middenstof
Algemene bespreking
In
vorige
paragraaf
hebben
we
wrijvingskrachten
besproken
tussen
43
4 De wetten van Newton
contactoppervlakken. We hebben gezien dat voor een bewegend voorwerp, deze
kracht als constant beschouwd kan worden.
Nu bekijken we wat er gebeurt als een voorwerp beweegt door een middenstof,
zij het een vloeistof of een gas. Je hebt al gemerkt dat hoe sneller je fietst, des
te meer kracht je moet zetten om nog een beetje sneller te gaan. Je weet ook
uit ervaring dat tegenwind fietsen moeilijker is dan fietsen op een windvrije dag.
Fietsen met een strak wielrennerspak aan, gaat ook aanmerkelijk vlotter dan
met een wijd openstaande jas aan.
Als je beweegt door een middenstof, ervaar je eveneens een weerstand tegen je
beweging. Er werkt een wrijvingskracht. Maar in tegenstelling tot de
wrijvingskracht tussen contactoppervlakken, wordt de wrijvingskracht sterker
naarmate je sneller beweegt. We beperken ons nu tot wrijving in lucht, de
luchtweerstand. De studie van de het gedrag van een voorwerp dat zich
beweegt in gas is de aërodynamica, in een vloeistof spreken we over
hydrodynamica.
Afbeelding 49: De weerstandscoëfficiënt van een voorwerp kan
bepaald worden met behulp van een windtunnel.
Experimenteel kunnen we vaststellen dat de luchtweerstand van een groot
voorwerp afhankelijk is van
●
de dichtheid ρ van het medium. Op grote hoogte gaat de luchtweerstand
aanmerkelijk kleiner zijn dan op lage hoogte;
●
het oppervlak A
bewegingsrichting ;
●
het kwadraat van de snelheid v waarmee de lucht over het voorwerp
stroomt (dit is de som van de windsnelheid en de snelheid van het
voorwerp).
●
de vorm van het voorwerp, gekwantificeerd met behulp van de
weerstandscoëfficënt Cd (ook wel “drag coefficient” genoemd).
van
het
bewegend
voorwerp
loodrecht
op
de
Samengevat :
1
2
F w = C d  Av
2
Voorwerp
Cd
Mens (rechtstaand)
1 – 1,3
fietser
0,9
personenwagen
0,4 – 0,5
44
4 De wetten van Newton
b
sportwagen
0,3 – 0,4
Humvee
0,57
straaljager
0,02 – 0,04
Boeing 747
0,031
Toepassing : vrije val met luchtweerstand
Beschouw een voorwerp dat in vrije val wordt losgelaten vanuit rust vanop een
hoogte h in lucht. Op het voorwerp werken twee krachten, de zwaartekracht en
de luchtweerstand. De resulterende kracht is dus :
FR= Fw  FZ
F R=F w −F Z
1
F R = C d  A v 2−m g
2
Naarmate het voorwerp onder invloed van de zwaartekracht een steeds grotere
snelheid verkrijgen, waardoor de luchtweerstand steeds groter zal worden. Op
de duur zal de luchtweerstand even groot worden als de zwaartekracht,
en zal de netto resulterende kracht 0 N zijn.
Inwerkende krachten bij val met
luchtweerstand
1000
F (N)
800
600
Fw
400
Fz
200
Afbeelding 51: Inwerkende krachten bij vrije val
met luchtweerstand.
0
0
10
20
30
v (m/s)
Afbeelding 50: Evloutie van krachten bij vrije val met
luchtweerstand.
Uiteindelijk zal het voorwerp een eenparige beweging uitvoeren, waarvan we de
snelheid vt kunnen berekenen als volgt :
F R=0 N
1
C d  Av t2−m g=0 N
2
2m g
vt =
Cd A

Deze snelheid wordt ook wel eindsnelheid of terminale snelheid (“terminal
velocity”) genoemd.
Waarom is de eindsnelheid met parachute aanmerkelijk kleiner dan zonder ?
45
4 De wetten van Newton
4.5
Oefeningen
4.5.1
Algemene werkwijze
Het volgende recept is specifiek voor het oplossen van vraagstukken mechanica,
en kan gebruikt worden bij alle problemen die een toepassing vragen van de
wetten van Newton.
1. Begin altijd met een eenvoudige, overzichtelijke tekening te maken van
de gegeven situatie.
2. Haal uit de tekening dàt object(of objecten) dat van belang is voor de
oefening, bvb. het object waarvan je de beweging moet analyseren.
3. Voor elk object van belang teken je nu een zogenaamd “vrij-lichaam”
diagram. Dit is een schema waarbij je het voorwerp tot één punt herleid,
en alle krachten tekent die aangrijpen op het voorwerp. Je bepaalt de
inwerkende krachten uit de gegevens en door alle actie-reactie paren in
beschouwing te nemen.
4. Bepaal een X- en een Y-as voor elk object, en bepaal de componenten
van alle aangrijpende krachten langs deze assen.
5. Pas nu de eerste (als het voorwerp niet onderhevig is aan een versnelling)
of tweede wet van Newton (als er wel een versnelling is) toe, zowel op de
componenten in de X-richting als in de Y-richting.
∑ F x , i=m a x
∑ F y , i=m a y
6. Bekijk wat gevraagd is, duid aan wat gegeven is, vul eventueel aan met
andere (gegeven) vergelijkingen, en los op naar de onbekenden. Denk
eraan dat je evenveel vergelijkingen nodig hebt als onbekenden.
7. Evalueer je uitkomsten ! Kloppen de eenheden, heeft mijn uitkomst zin, is
ze “fysisch verantwoord”?
We zullen dit recept toepassen op een aantal voorbeelden, en dan kan je zelf
aan de slag.
4.5.2
a
Voorbeelden
Voorbeeld 1
Opgave :
Een massa van 200 g hangt aan een touw en wordt van de muur
weggeduwd door een horizontaal staafje zodat het touw een hoek van
40° vormt met de muur. Bereken de kracht uitgeoefend door het touw
op de massa en door het staafje op de massa.
Tekeningen :
Uit de algemene schets kunnen we afleiden dat volgende krachten inwerken op
het touw :
46
4 De wetten van Newton
Afbeelding 52: Algemene schets en vrij lichaamdiagram
●
de zwaartekracht, gericht recht omlaag ;
●
de spankracht van het touw, gericht volgens het touw (welke hoek maakt
de spankracht met de horizonale ? )
●
de kracht uitgeoefend door de staaf op de massa, horizontaal gericht
(volgens de staaf).
Gegegeven :
m=2,00⋅10−1 kg
=40 °
Voorwerp is in rust, dus
 =0
FZ  FT  F STAAF
Gevraagd :
F T , F STAAF
Oplossing :
We ontbinden alle krachten in componenten volgens X en Y as :
F Z , x =m g cos−90 ° =0 N
F Z , y =m g sin −90 ° =−m g
F T , x =F T cos 130 °
F T , y =F T sin 130 °
F STAAF , x =F STAAF cos 0 °= F STAAF
F STAAF , y = F STAAF sin 0 °=0 N
We passen de eerste wet van Newton toe op de componenten :
X : F Z , x F T , x F STAAF , x =0 N
Y : F Z , y F T , y F STAAF , y =0 N
Invullen geeft :
X : F T cos 130 ° F STAAF =0 N
Y : F T sin 130 °−mg=0 N
Uit de onderste vergelijking halen we de spankracht :
F T=
m⋅g
2,00⋅10−1 kg⋅9,81 m/s²
=
=2,56 N
sin 130 °
sin 130 °
Invullen in de eerste vergelijking geeft :
47
4 De wetten van Newton
F Staaf =−F T cos 130 ° =−2,56 N cos 130 ° =1,65 N
Antwoord :
De spankracht bedraagt 2,56 N en de staaf oefent een kracht uit van 1,65 N.
b
Voorbeeld 2
Opgave :
Een massa van 30 kg glijdt met een versnelling van 1 m/s² van een
helling die een hoek van 45° maakt met de horizontale. Bereken de
wrijvingskracht en de wrijvingscoëfficient.
Tekening :
Afbeelding 53: Algemene schets en vrij-lichaam diagram.
Bij het vrij-lichaamsdiagram van het blok, kiezen we de X-as deze keer niet
evenwijdig met de horizontale, maar volgens de bewegingsrichting. De
voordelen zijn duidelijk: twee van de drie krachten vallen samen met een as, dat
maakt dat we maar voor één kracht een hoek in rekening moeten brengen.
Gegeven :
m=30 kg
m
a=1 2
s
=45°
Gevraagd :
k , F w
Oplossing :
Ontbinden van de krachten volgens X en Y as :
F N , x =F N cos 90° =0 N
F N , y =F N sin 90 ° =F N
F w , x = F w cos 180 ° =−F w
F w , y = F w sin 180 °=0 N
2
F z , x =m g cos −45 ° =  m g
2
− 2
F z , y =m g sin −45 ° =
mg
2
Volgens de X-as hebben we een versnelling a, volgens de Y-as is er geen
versnelling. Toepassen van de 2e wet van Newton :
48
4 De wetten van Newton
X : F N , x F w , x F z , x =m a
Y : F N , y  F w , y F z , y =0 N
Bovenstaande invullen
2
X :−F w   m g =m a
2
 2 m g=0 N
Y : F N−
2
Uit de eerste vergelijking halen we :
2
F w =  m g −m a
2

2
m
m
F w = ⋅30 kg⋅9,81 2 −30 kg⋅1 2
2
s
s
F w =1,78⋅102 N
Uit de studie van de wrijvingskrachten weten we :
FW
=k
FN
De wrijvingskracht hebben we hierboven berekend, de normaalkracht vinden we
uit de vergelijking van de componenten langs de Y-as.
2
F N=  m g
2
Dit invullen geeft
Fw
2 m g
2
1,78⋅102 N
k =
k =
 2⋅30 kg⋅9,81 m
2
k =0,86
s2
Antwoord :
De wrijvingskracht is 1,78⋅102 N , en de wrijvingscoëfficient tussen blok en
oppervlak bedraagt 0,85.
c
Voorbeeld 3
Opgave :
Twee wagentjes zijn onderling verbonden met een touw, waarvan de
massa verwaarloosbaar is en waarvan we veronderstellen dat het
onuitrekbaar is. De massa van het voorste karretje is 4 kg, dat van het
achterste 6 kg. Bereken de versnelling van het systeem en de
spankracht in het touw als op het voorste wagentje een aandrijfkracht
werkt van 60 N (wrijving verwaarlozen).
Tekening :
49
4 De wetten van Newton
Afbeelding 54: Algemene schets en vrij lichaamdiagram van beide karretjes.
Gegeven :
m1=4 kg
m 2=6 kg
F =60 N
Gevraagd :
a ,FT
Oplossing :
 ' T zijn een actie-reactiepaar (het eerste karretje
De spankrachten FT en F
trekt even hard aan het tweede karretje dan het tweede aan het eerste), dus FT
= FT' .
Om het gevraagde te berekenen, moeten we enkel de beweging in de X-richting
beschouwen, en doen dit voor beide karretjes.
X-richting karretje 1:
F −F T =m1⋅a
1
X-richting karretje 2:
F T =m2⋅a
2
Door substitutie van (2) in (1) kunnen we a berekenen:
F −m2⋅a=m1⋅a
F = m1m2 ⋅a
F
a=
m1m2
60 N
a=
=6 m/s²
6 kg 4 kg
En hebben we a, dan kunnen we met (2) de spankracht berekenen:
F T =6 kg⋅6 m/s² =36 N
Antwoord :
50
4 De wetten van Newton
Het systeem versnelt met een versnelling van 6 m/s². De spankracht in het touw
is 36 N
51
4 De wetten van Newton
4.5.3
Opgaves
1. Een warmeluchtbalon weegt 2000 N. In de lucht ondervindt hij een
opwaartse stuwkracht van 2510 N. De westenwind oefent een horizontale
kracht uit van 80 N. Teken de krachten en bepaal de resultante. Bepaal
ook de hoek tussen de resulterende kracht en de horizontale.
2. Gegeven zijn drie gelijke krachten van 200 N. De eerste is horizontaal, de
tweede maakt een hoek van 90° met de eerste en de derde een hoek van
135° met de eerste. Teken de krachten en bereken de resultante. Bepaal
ook de hoek met de horizontale.
3. Twee arbeiders trekken een boom om. Hiervoor oefenen ze elk een kracht
van 320 N uit. Ze gebruiken hiervoor touwen van 20 m, en ze staan 20 m
uit elkaar. Maak een tekening en bereken hoe groot de kracht is die de
boom ondervindt.
4. Een massa van 30 kg ligt in rust op een helling van 40°. Teken alle
krachten en bepaal de krachtcomponenten evenwijdig aan de helling en
loodrecht op de helling. Als je weet dat de massa onder deze hoek net
niet naar beneden begint te glijden, kan je dan de statische
wrijvingscoëfficiënt tussen massa en oppervlak bepalen ?
5. Jan trekt een slede met massa 100 kg over de sneeuw. Om de snelheid
constant te houden moet hij een kracht van 600 N uitoefenen. Deze
kracht maakt een hoek van 50° met de horizontale. Bereken de
wrijvingskracht en de dynamische wrijvingscoëfficiënt. Welke kracht zou
Jan moeten uitoefenen om de slede een versnelling te geven van 1 m/s² ?
6. Tarzan laat zich langs een liaan naar beneden glijden. Pech, hij weegt 980
N en de liaan breekt bij een kracht van 755 N. Toch slaagt hij erin naar
beneden te glijden zonder dat de liaan breekt. Jij ook ?
7. Jan trekt een slede voort met een massa van 100 kg waardoor een
versnelling ontstaat van 0,4 m/s². Het touw maakt een hoek van 50° met
de horizontale. Hoe groot is de uitgeoefende kracht als :
a) De wrijving mag verwaarloost worden.
b) De wrijvingskracht 80 N is.
8. Welk gewicht zal een persoon van 70 kg in een lift uitoefenen op een
weegschaal, geplaatst in die lift, als de lift
a) naar beneden versnelt met een versnelling van 1 m/s²,
b) naar beneden beweegt met een constante snelheid van 5m/s,
c) naar beneden beweegt maar afremt met een versnelling van 1 m/s².
9. Je staat in een stijgende lift met een koffer in de hand. In rust weegt de
koffer 200 N. Op een bepaald moment ervaar je dat de koffer schijnbaar
slechts 150 N weegt. Verklaar, reken uit.
10.Een eekhoorn glijdt over een zeer gladde tafel met zijn voorpootjes vol
nootjes. Plots bemerkt hij de rand van de tafel. Wat kan hij doen om niet
van de tafel te vallen ?
11.Hoe groot is de spankracht in het touw in onderstaande opstelling als er
(a) geen wrijving en (b) als de kinetische wrijvingscoëfficiënt gelijk is aan
0,2 ? Verder gegeven : m1 is 5 kg en m2 is 3 kg.
52
4 De wetten van Newton
12.Bereken de spankracht in beide touwen in onderstaande opstelling, als
gegeven is dat m1 = 5 kg , m2 = 3 kg en m3 = 0,5 kg.
13.Bereken de spankracht in het touw en de versnelling van het hele
onderstaande systeem. Gegeven is dat m1 = 3 kg , m2 = 5 kg en F = 200
N.
53
5 De universele wet van gravitatie
5 De universele wet van gravitatie
5.1
Historische ontwikkeling
De prehistorische mens had al
grote regelmaat vertonen :
schijngestelaten van de maan,
verdwijnen van sterrebeelden
zonnewende en equinox, ...
door dat de verschijnselen aan de hemel een
de opkomst en ondergang van de zon, de
de stand van de planeten, het verschijnen en
met de seizoenen, de opeenvolgingen van
Sinds zijn verschijnen heeft de mens naar boven gekeken en proberen
begrijpen. We bekijken nu de evolutie van het beeld dat de mens had van
het heelal, en hoe hij dat beeld probeerde te verklaren, tot aan de Isaac
Newton, die al die verschijnselen kon verklaren met één eenvoudige wet. Hoewel
zij uiteindelijk niet in staat bleek om àlle hemelverschijnselen te verklaren (daar
was het wachten tot Einstein's algemene relativiteitstheorie...) getuigt het feit
dat deze wet tot op heden nog steeds de basis vormt voor de berekeningen van
vluchtplannen voor interplanetaire sondes, planeetbewegingen en bewegingen
van sterren in melkwegstelsels, van haar grote sterkte.
5.1.1
Mesopotamiërs
De Mesopotamiërs waren de eersten
die
systematische
waarnemingen
deden vanop speciaal gebouwde
observatoria, de ziggurats. Dit
waren piramide-vormige torens, met
zeven
verdiepingen,
waar
elke
verdieping symbool stond voor één
van
de
gekende
“zwervende”
hemelobjecten
(Zon,
Maan,
Mercurius, Venus, Mars, Jupiter,
Saturnus).
Afbeelding 55: Een ziggurat. Let op de zeven
verdiepingen die staan voor de zeven gekende
hemellichamen.
Zij bundelden en archiveerden hun
observaties, en waren de eersten die
met behulp van een wiskundig
systeem de standen der planeten voorspelden, en “almanacs” creëerden, die de
stand der planeten aangaven op verschillende dagen.
Zij waren ook de eersten die praktisch gebruik maakten van hun observaties :
door jarenlange ervaring konden zij perfect duiden wanneer overstromingen
dreigden bij springtij, wat de beste periodes waren om bepaalde gewassen te
zaaien, ...
Zij probeerden dit gebruik door te trekken, en aan de hand van de stand der
sterren en planeten voorspellingen te maken over natuurrampen, oorlogen en
persoonlijke gebeurtenissen. Dit gebruik, gekend als astrologie, houdt tot
vandaag hardnekkig stand. Astrologie is een duidelijk voorbeeld van pseudowetenschap, waar men met behulp van berekeningen en ingewikkelde
diagrammen een zekere geloofwaardigheid probeert te handhaven, maar tot op
heden is er nog geen enkel bewijs geleverd dat astrologie effectief betrouwbare
voorspellingen oplevert.
54
5 De universele wet van gravitatie
5.1.2
Griekse astronomie in de oudheid
Wat de Mesopotamiërs niet deden, was een fysieke verklaring proberen geven
voor de waargenomen verschijnselen. De Griekse filosofen waren de eersten die
probeerden met logica en wiskunde een verklaring te geven waarom de
verschijnselen die specifieke regelmaat hadden. We zetten hier een aantal
namen en hun verwezenlijkingen op het gebied van astronomie op een rijtje :
a
Afbeelding 56: Het model van
Pythagoras, met de "tegen-aarde".
b
Pythagoras
Pythagoras was de eerste waar we het idee
terugvinden dat de Aarde niet vlak is, maar
bolvormig. Daarnaast plaatste Pythagoras de Aarde
niet in het centrum van het universum, maar
veronderstelde hij dat de Aarde op een cirkelvormige
beweging rond een groot centraal vuur, dat echter
niet waargenomen kon worden omdat het constant
werd afgeschermd door een “tegen-Aarde”.
Aristoteles
Verwierp het idee van een “tegen-Aarde”, en argumenteerde dat de Aarde niet
kon bewegen rond het midden van het universum, omdat dan de stand der
sterren zou moeten wijzigen naarmate de aarde verschillende posities op zijn
cirkelbaan inneemt. Bijgevolg was de Aarde het centrum van het universum
(geocentrisme). Deze redenering hield geen rekening met de extreem grote
afstand tussen Aarde en sterren, welke de Grieken nog niet kenden.
c
Erathostenes
Erathostenes was een Griekse geleerde uit Alexandrië en de eerste die een
schatting maakte over de grootte van de Aarde. Zijn schatting was gezien zijn
meetmethode zéér accuraat (tot op 10%).
d
Hipparchus
Hipparchus was de eerste die een catalogus samenstelde van de helderheid
van meer dan 800 sterren, en ontdekte dat de as van de aarde zelf een
rotatiebeweging (precessie) uitvoert.
5.1.3
Ptolemaeus
De grootste verdienste van Ptolemaeus (Alexandrië, 2e eeuw NC) was het
bundelen van de kennis die de voorbije eeuwen vergaard was in één compleet
systeem dat de beweging der planeten accuraat kon voorspellen door gebruik te
maken van een combinatie van cirkelbanen. Het systeem was zo krachtig,
dat het 14 eeuwen later nog steeds in gebruik was, tot Copernicus met zijn
heliocentrisch model een grondige vereenvoudiging doorvoerde.
a
De retrograde beweging
Het was in de Oudheid al duidelijk dat de beweging van de hemellichamen niet
55
5 De universele wet van gravitatie
verklaard kon worden door ze een zuiver cirkelvormige beweging rond de Aarde
te laten beschrijven. Zo vertoonde de planeet Mars een vreemde neiging om
periodiek in tegengestelde richting te bewegen (een retrograde beweging...).
Afbeelding 58: Verklaring van de
retrograde beweging door
middel van epicycli.
Afbeelding 57: De retrograde van beweging van Mars ten
opzichte van de vaste sterren.
Ptolemaeus loste dit op door epicycli te introduceren, kleine cirkelbanen
waarvan het middelpunt een grote cirkelbaan (deferent) volgt. Hiermee kon de
retrograde beweging verklaard worden, met behoud van de cirkelbanen en het
geocentrisme.
b
Het geocentrisch model van het zonnestelsel
Ptolemaeus creëerde, gebruik makend van de epicycles, een model dat de
beweging van alle planeten, de maan en de zon beschreef en de stand van alle
hemellichamen met relatief grote nauwkeurigheid kon voorspellen. In het model
van Ptolemaeus bleef de Aarde, in navolging van Aristoteles, centraal
(geocentrisme). Hieronder vind je een afbeelding van het geheel. Let op de
centrale positie van de Aarde en de epicycli bij de banen van de verschillende
planeten.
56
5 De universele wet van gravitatie
Afbeelding 59: Het geocentrisch model van Ptolemaeus.
5.1.4
De Middeleeuwen
In de vroege Middeleeuwen ging in
Europa bijna alle astronomische
kennis verloren, en werd de Aarde
weer een platte schijf. In de
islamitische wereld beleefde de
astronomie echter een grote bloei.
Vele sterren zijn nog gekend onder
hun Arabische naam : Alcor, Mizar,
Betelgeuze, ... Zij conserveerden
en verfijnden het werk van de
Grieken, zonder echter aan de
basis iets te wijzigen. Door de
kruistochten kwam deze kennis
weer terug naar Europa, waar zij Afbeelding 60: Wereldkaart uit de 11e eeuw.
de astronomie weer een nieuwe
impuls gaf. Aan het begin van de Renaissance stond het niveau van de Europese
astronomie weer daar waar Ptolemaeus het had achtergelaten.
5.1.5
Copernicus
Op het hoogtepunt van de Renaissance was de astronomie met rasse schreden
vooruit gegaan: de waarnemingstechnieken kenden een enorme vooruitgang,
57
5 De universele wet van gravitatie
door de boekdrukkunst werd kennis en informatie verspreid, ... Eén van de
astronomen in die tijd, Nicolas Copernicus (1473 - 1543), boog zich over twee
duidelijke pijnpunten van het geocentrisch model van Ptolemaeus :
●
Enerzijds was er het feit dat de waarnemingen, gedaan met de nieuwste
methodes, een afwijking lieten zien met de voorspellingen uit het
model van Ptolemaeus,
●
anderzijds wilde Copernicus terug naar een systeem met eenvoudige,
cirkelvormige banen.
De meest elegante oplossing lag voor de hand : Als de Zon in het middelpunt
van het universum zou staan, en de Aarde rond de Zon zou draaien, net als de
andere planeten, dan verkregen we een véél eenvoudiger model, dat eveneens
de retrograde beweging kon verklaren, zonder epicycli !
Afbeelding 61: Heliocentrisch model van Copernicus.
Afbeelding 62: retrograde beweging verklaart in het
heliocentrisch model : dit verschijnsel treedt op als één
planeet een andere "inhaalt".
Het feit dat de Aarde zijn centrale plaats in het universum kwijt was,
accepteerde hij in ruil voor de grotere eenvoud en elegantie van zijn model.
Hoewel een groot aantal geleerden uit die tijd zéér enthousiast was over het
idee, waren een aantal machtige instanties dat allesbehalve.
5.1.6
Het conflict Galileï vs. de katholieke kerk
Galileo Galileï (1564-1642) kan in het algemeen beschouwd worden als de vader
van de moderne astronomie. Hij was de eerste die waarnemingen deed met
behulp van een telescoop. Met behulp van dit instrument ontdekte hij de
schijngestalten van Venus, bracht de kraters van de maan in kaart, ontdekte dat
de zon vlekken heeft die verschenen en verdwenen met een zekere regelmaat,
zag dat Jupiter minstens 4 manen heeft, en nam als eerste de ringen van
Saturnus waar (hoewel het feit dat het effectief ringen waren pas in 1656 door
Christiaan Huygens werd bevestigd).
58
5 De universele wet van gravitatie
Afbeelding 64: Galileo Galileï
Afbeelding 65: Een replica
van een telescoop uit de
tijd van Galileï.
Afbeelding 63: Studie van de
schijngestalten van de maan door
Galileï.
Op grond van zijn waarnemingen kwam Galileï tot de conclusie dat het model
van Copernicus een betere beschrijving gaf van het universum dat Ptolemaeus.
Deze conclusie bracht hem in direct
conflict met de kerk, ook al beweerde
Galileï
dat
zijn
beweringen
“zuiver
hypothetisch van aard waren”. De manier
waarop hij het heliocentrisme verdedigde
in zijn boek Dialogo di Galileo Galilei sopra
i due Massimi Sistemi del Mondo
Tolemaico e Copernicano was moeilijk
anders te interpreteren dan dat hij het
systeem
van
Copernicus
radicaal
ondersteunde.
Afbeelding 66: Voorpagina van het
controversiële boek van Galileï.
Hij werd door de inquisitie gedwongen zijn
standpunt publiekelijk in te trekken,
hetgeen hij onder bedreiging van de
brandstapel ook deed, hij werd in de
kerkelijke
ban
geslagen
en
onder
huisarrest geplaatst, en zijn boek kwam op
de index van verboden boeken terecht.
Pas in 1835 werd zijn boek van de index gehaald, en maar in 1992 werd de
kerkelijke ban op Galileï opgehoffen en werd hij door de katholieke kerk in ere
hersteld.
5.2
De wetten van Kepler voor planeetbewegingen
Hoewel het beeld van Copernicus meer en meer aanhang begon te vinden onder
de intelligentsia, was het in de 17e eeuw nog allesbehalve aanvaard, en
woedden er felle discussies over de aard van het universum. De Deense
astronoom Tycho Brahe koesterde de in die tijd revolutionaire overtuiging dat
als je het universum wil begrijpen, je het eerst zo goed mogelijk moet
observeren (een principe dat ook Galileï huldigde).
59
5 De universele wet van gravitatie
Het was echter zijn leerling Johannes Kepler (1571-1630), die na de dood van
Brahe zijn catalogi met waarnemingen erfde, die de volgende grote stap zou
zetten. Na jarenlang nauwgezet bestuderen en verbeteren van de waarnemingen
van Brahe, kwam Kepler tot de ontdekking dat het model van Copernicus niet
helemaal klopte.
In zijn werk Astronomia Nova van 1609 publiceert hij zijn eerste twee wetten
van planeetbeweging :
Eerste wet :
Planeten bewegen op een ellipsvormige baan, met de zon in één van de
brandpunten.
Afbeelding 67: Planeten bewegen op
ellipsvormige baan, met zon in brandpunt.
Afbeelding 68: Voor elk punt P van een ellips
geldt dat de som van de afstanden d1 en d2
tussen de brandpunten F1 en F2 en het punt P,
steeds constant is.
Dit was een nadrukkelijke breuk met het verleden, waar om filosofische redenen
geëist werd dat de planeten op cirkelvormige banen bewogen.
Tweede wet (perkenwet)
In gelijke tijdsintervallen bestrijkt de verbindingslijn planeet-zon gelijke
oppervlakken.
Afbeelding 69: De tijd om van P1 naar P2 te gaan is dezelfde als om van P3 naar P4
te gaan. Het gearceerde oppervlak is in beide gevallen gelijk.
Een planeet beweegt dus niet altijd even snel op zijn baan. In het aphelion (het
punt de baan het verst van de zon) van is de baansnelheid aanmerkelijk kleiner
dat in het perihelion (het punt de baan het dichtst bij de zon).
60
5 De universele wet van gravitatie
Derde wet :
Het kwadraat van de omlooptijd van een planeet rond de zon is recht
evenredig met de derde macht van de halve grote as van de ellipsbaan.
T 2 ∝ a3
Anders gezegd :
De
verhouding
T2
=k z is
3
a
constant
voor
alle
planeten
van
het
zonnestelsel. Voor ons zonnestelsel wordt die constante gegeven door
−19
k z=3⋅10
s2
3 .
m
Deze wet werd maar gepubliceerd 9 jaar na de eerste twee, in het werk
“Harmonices Mundi Libri V”.
Met deze drie relatief eenvoudige wetten was Kepler in staat om de bewegingen
van de planeten in het zonnestelsel perfect te verklaren en te voorspellen.
5.3
De universele gravitatiewet van Newton
Kepler had nu ontdekt hoe planeten rond de
zon bewegen, maar niemand wist wat de
planeten op hun banen doet bewegen... (in die
tijd waren sommigen ervan overtuigd dat
planeten rond de zon bewogen omdat zij
voortgeduwd werden door engelen met
fladderende vleugels).
Newton (en voor hem Galileï) had al het
geniale inzicht gehad dat beweging geen
oorzaak diende te hebben. Een lichaam zal uit
zichzelf steeds eenparig rechtlijnig bewegen.
Er is wel een kracht nodig om een
voorwerp te laten afwijken van die rechte
lijn. Als je een steen aan een touw wil laten
rondslingeren, moet je een kracht uitoefenen
op het touw, en hoe zwaarder de massa, des
te groter de kracht die je moet uitoefenen.
Toegepast op de planeten, is de kracht die
een planeet rond de zon laat bewegen
geen kracht rond de zon, maar naar de
zon toe. De tweede wet van Kepler is een
direct gevolg van het feit dat de kracht steeds
gericht moet zijn naar de zon toe.
Uit de derde wet van Kepler volgt dat hoe
verder een planeet van de zon staat, des
te zwakker de kracht uitgeoefend door de
zon.
Met een geweldige zin voor generalisatie,
zag Newton eveneens in dat de kracht die
Afbeelding 70: De kracht die een appel
van een boom naar beneden laat vallen
is dezelfde die de planeten op hun baan
houdt.
61
5 De universele wet van gravitatie
de maan rond de Aarde houdt, de dingen op aarde naar het oppervlak
toe laat bewegen, de manen van Jupiter rond die planeet houdt, en de
kracht die de planeten rond de zon doet draaien, één en hetzelfde
fenomeen is.
Hij formuleerde de universele wet van gravitatie als volgt :
Twee massa's
m1 en
m2 trekken elkaar aan met een kracht
●
die aangrijpt in hun resp. zwaartepunten
●
met als richting de verbindingslijn tussen hun zwaartepunten
●
met de zin zo dat de kracht naar het ander lichaam toe gericht is
(aantrekkend)
●
waarvan de grootte recht evenredig is met het product van beide
massa's, en omgekeerd evenredig met het kwadraat van hun onderlinge
afstand r 12 :
F z =G
m1⋅m2
2
r 12
Waarbij G de universele gravitatieconstante is :
−11
G=6,67⋅10
Nm2
2
kg
Afbeelding 71: Twee massa's trekken elkaar aan met de grootte van
de kracht recht evenredig met elk van de massa's, en omgekeerd
evenredig met hun onderlinge afstand.
Deze wet is strikt gezien alleen van toepassing op puntmassa's en sferisch
symmetrische massa's. Voor niet-sferisch symmetrische lichamen moet rekening
gehouden worden met de effectieve massadistributie. Dit valt echter buiten de
scope van deze cursus.
De zwaartekracht is al bij al een zeer zwakke kracht (de zwakste van de vier
fundamentele natuurkrachten), maar niettemin is zij op kosmische schaal
overheersend: de zwaartekracht is verantwoordelijk voor stervorming, laat
planeten vormen (kan je verklaren waarom zijn sterren en planeten bolvormig
zijn ?) ligt aan de basis van de kernfusie in het binnenste van sterren (zoals
onze zon!) waardoor zich zwaardere elementen dan waterstof hebben kunnen
vormen , zorgt ervoor dat sterren zich gaan groeperen in sterrenstelsels, zorgt
er met andere woorden voor dat het universum eruit ziet zoals wij het
62
5 De universele wet van gravitatie
waarnemen.
Afbeelding 72: De pleijaden of zevengesternte, een cluster op 440 lichtjaar van de Aarde, waar
nieuwe sterren gevormd worden. De felblauwe sterren zijn jonge sterren gevormd de laatste
100 miljoen jaar.
Afbeelding 73: De Virgo-cluster, een verzameling sterrenstelsels op 60 miljoen
lichtjaar van onze melkweg. Elk van de grotere stippen is een melkwegstel dat
verscheidene miljarden sterren telt.
63
5 De universele wet van gravitatie
5.4
Oefeningen
1. Een jongen met massa 95 kg en een meisje met massa 75 kg (ze dragen
een ruimtepak) zweven in de ruimte op 1 m van elkaar. Bereken hun
onderlinge aantrekkingskracht, en bereken met welke versnelling ze naar
elkaar toe zweven. Wat merk je op ? Is deze versnelling constant ?
Verklaar !
2. Bereken (bij benadering) de massa van de aarde als je weet dat de straal
van de aarde gemiddeld 6360 km is.
3. Je kan de baan van de aarde bij benadering als cirkelvormig beschouwen.
Bereken de afstand Aarde – Zon.
4. Bereken de aantrekkingskracht die de Zon uitoefent op de Aarde als je
weet dat de massa van de zon 2.1030 kg bedraagt.
5. Bereken de valversnelling aan het oppervlak van een planeet waarvan de
straal twee maal groter is dan de straal van de aarde, en de massa drie
maal die van de aarde.
6. De valversnelling op de maan is zes maal kleiner dan die op aarde.
Bereken de massa van de maan als je weet dat de straal van de maan
gelijk is aan 1740 km.
7. Twee sterren met respectievelijke massa's M en 4M bevinden zich op een
afstand d van elkaar. Op hun verbindingslijn is er een derde massa.
Opdat op deze massa geen resulterende kracht zou inwerken moet :
a)
b)
c)
d)
d
4
d
d 2=
4
d1 1
=
d2 4
d
d 1=
3
d 1=
waarbij d1 de afstand is tot de lichtste ster, en d 2 de afstand tot de
zwaarste ster.
64
6 Arbeid en Energie
6 Arbeid en Energie
6.1
Arbeid
6.1.1
Arbeid geleverd door een constante kracht
In de cursus van het 3e en 4e jaar wordt arbeid als volgt gedefinieerd :
Als een kracht met grootte F inwerkt op een voorwerp, en dat voorwerp wordt
verplaatst over een afstand ∆x, dan wordt de arbeid W geleverd door F op het
voorwerp gegeven door :
W =F⋅ x
De eenheid van arbeid is de Joule ( 1 J =1 N⋅1 m )
1 J is de arbeid geleverd door een kracht met grootte 1 N die een voorwerp
verplaatst over een afstand van 1 m.
De bovenstaande definitie is alleen geldig als de richting en zin van de
kracht dezelfde zijn als die van de verplaatsing !
Afbeelding 74: Als de kracht een hoek maakt met de
verplaatsing, levert alleen de component
evenwijdig met de verplaatsing arbeid op het
voorwerp.
Hebben kracht en verplaatsing verschillende richting en zin, dan levert alléén
de component van de kracht evenwijdig met de verplaatsing arbeid.
Kiezen we de X-as volgens de bewegingsrichting, dan wordt :
W =F x  x
W =F cos   x
met α de hoek tussen
 en de X-as (verplaatsingsrichting).
F
Hieruit volgt dat we de geleverde arbeid ook kunnen schrijven als het vectorieel
product van kracht en verplaatsingsvector :
 ⋅ r
W =F
Merk op dat W zowel positief als negatief kan zijn.
●
Is W positief, dan levert de kracht arbeid op het voorwerp.
●
Is W negatief, dan ontrekt de kracht arbeid aan het voorwerp (slorpt
op).
65
6 Arbeid en Energie
6.1.2
a
Arbeid geleverd door niet constante krachten
Algemeen
 constant is. In de praktijk
Bovenstaande beschouwingen zijn enkel geldig als F
is dit zelden het geval.
Om de arbeid geleverd door een
niet constante kracht te berekenen,
grijpen we even terug naar de
arbeid geleverd door een constante
kracht. Beschouw een kracht met
grootte F die een verplaatsing ∆x
veroorzaakt. Gedurende de hele
verplaatsing blijft F constant. Als
we de grafiek bekijken van F in
functie van de positie x, dan
kunnen we uit de grafiek geleverde
arbeid W =F⋅ x aflezen als het
oppervlak onder de rechte lijn
(zie ook afbeelding 75).
Afbeelding 75: De arbeid geleverd door een
constante kracht kan afgeleid worden uit het
oppervlak onder het F,x-diagram.
Beschouw nu een kracht die
varieert met de positie, zoals in
onderstaande grafiek. Hoe kunnen
we
nu
W
berekenen
bij
verplaatsing van x0 naar x1 ?
We kunnen dat doen door de
verplaatsing ∆x op te splitsen
in
kleine
deelverplaatsingen ∆x1, ∆x2, ∆x3, ...
zodat
 x= x 1 x 2 x 3...
Als
we
de
deelverplaatsingen
klein
genoeg nemen, kunnen we
de kracht F gedurende elke
kleine deelverplaatsing als
constant beschouwen.
Afbeelding 76: Grafiek van een niet-constante kracht.
In het i-e deelinterval is dan
de kracht Fi, en we kunnen
de arbeid geleverd door de kracht bij de i-e deelverplaatsing berekenen door
 W i=F i  xi
De totale arbeid berekenen we
deelverplaatsingen op te tellen :
dan
door
alle
∆W
over
alle
W =∑i  W i=∑i F i  x i
Grafisch zien we dat we de totale arbeid verkrijgen door de oppervlakte van alle
rechthoekjes in onderstaande grafiek op te tellen.
66
6 Arbeid en Energie
Afbeelding 77: Berekenen van arbeid door op te splitsen in
deelverplaatsingen.
Het verkregen resultaat wordt steeds nauwkeuriger als we de
deelverplaatsingen kleiner en kleiner maken. Maken we de deelintervallen
oneindig klein, dan zien we dat de som van de oppervlakken van alle
rechthoekjes gelijk wordt aan het oppervlak onder de kromme. Een dergelijke
som noemen we een integraal. Je zal in de lessen wiskunde van het 6e jaar dit
nog uitgebreid zien, voorlopig kan je je beperken door te onthouden dat de
arbeid geleverd door een niet constante kracht gegeven wordt door het
oppervlak onder het F,x-diagram.
Afbeelding 78: De arbeid geleverd door een niet-constante kracht
is eveneens het oppervlak onder het F,x diagram.
b
Toepassing: arbeid geleverd door veerkracht.
Beschouw een massa m verbonden met een veer met veerkonstante kv. Welke
arbeid levert de veer op de massa als we de veer uitrekken vanuit evenwicht
over een afstand ∆x ?
We weten dat de door de veer op de massa uitgeoefende kracht recht evenredig
is met de uitrekking, maar tegengesteld gericht (wet van Hooke).
F =−k v  x− x0 =−k v  x
met x0 de positie in geval de veer niet uitgerokken wordt...
67
6 Arbeid en Energie
De grafiek van F in functie van x is weergegeven in onderstaande grafiek.
Afbeelding 79: Kracht uitgeoefend door veer op een massa in
functie van de positie. Het oppervlak van het gearceerde deel
geeft de arbeid weer.
De arbeid geleverd door de veerkracht bij uitrekking over ∆x, is de oppervlakte
onder die grafiek (gearceerd deel). De geleverde arbeid is bijgevolg :
1
W = F⋅ x
2
1
W =− k v  x2
2
Wat wordt dit als we de veer indrukken over een afstand ∆x ?
6.1.3
Vermogen
Het vermogen van een kracht wordt gedefinieerd als de arbeid die per
tijdseenheid geleverd wordt. Verricht een kracht F gedurende een tijd ∆t een
arbeid ∆W op een voorwerp, dan wordt het gemiddeld vermogen gedurende dat
tijdsinterval gedefinieerd als :
P m=
W
t
waaruit
P m=
6.2
 
r
F⋅
=
F⋅vm
t
Energie
De energie van een voorwerp wordt gedefinieerd als de mogelijkheid
van dat voorwerp om arbeid te leveren op een ander voorwerp.
Je kent al verschillende vormen van energie, zoals warmte, chemische energie,
stralingsenergie, elektrische energie, die eigenlijk terug te brengen zijn tot twee
categorieën :
●
kinetische
energie,
bewegingstoestand.
of
de
energie
die
voortkomt
uit
de
68
6 Arbeid en Energie
●
6.2.1
potentiële energie, of de energie die voortkomt uit de positie.
Kinetische energie
Beschouw een voorwerp, met massa m dat beweegt met snelheid v0. We
berekenen nu de arbeid die nodig is om het voorwerp te versnellen van v0 naar
v1.
Om de bewegingstoestand te wijzigen is een kracht F nodig die inwerkt
gedurende een tijd ∆t. Gedurende die tijd legt het voorwerp een afstand ∆x af.
De arbeid door de kracht geleverd op het voorwerp wordt berekenen we als
volgt :
W =F  x
W =m a  x
v −v v v
W =m 1 0 1 0  t
t
2
1
1
2
W = m v 1− m v 20
2
2
Definiëren we de kinetische energie Ek van een voorwerp met massa m
dat beweegt met een snelheid v als
1
2
E k = mv ,
2
dan kunnen we zeggen dat de arbeid nodig om de bewegingstoestand van
een voorwerp met massa m te wijzigen, gelijk is aan het verschil in
kinetische energie tussen eindtoestand en begintoestand :
W =E k ,1 −E k ,0
1
1
W = m v 21− m v 20
2
2
De nodige arbeid is bijgevolg alleen afhankelijk van de bewegingstoestand in het
begin en op het eind.
6.2.2
Potentiële energie
De voorbije jaren heb je al grondig kennis gemaakt met de potentiële energie
van een massa op een hoogte h in de nabijheid van het aardoppervlak. Deze
werd gegeven door
E p =m g h
Een lichaam kan echter ook op veel andere manieren potentiële energie
bezitten: denk bv. aan een opgespannen veer, een lading in een elektrisch veld,
We gaan dit concept nu veralgemenen.
a
Conservatieve krachten
Wil een lichaam potentiële energie bezitten moet er één of meerdere
conservatieve krachten op inwerken.
Een kracht is conservatief als de arbeid geleverd door de kracht
onafhankelijk is van de gevolgde weg, met andere woorden enkel
afhankelijk is van de begin- en eindpositie.
We verduidelijken dit met een voorbeeld.
69
6 Arbeid en Energie
Afbeelding 80: Een voorwerp kan onder invloed van de
zwaartekracht zowel naar beneden vallen (van A naar B)
als glijden over de twee hellingen langs C. In beide
gevallen is de arbeid verricht door de zwaartekracht gelijk.
Beschouw een massa m
die van punt A naar punt
B beweegt door toedoen
van de zwaartekracht.
Dat
gebeuren
door
gewoon naar omlaag te
vallen, of door te glijden
langs
twee
hellende
vlakken, en eerst van A
naar B' te glijden, en dan
van B' naar B. We tonen
nu aan dat de arbeid
geleverd
door
de
zwaartekracht in beide
gevallen gelijk is, dat het
met andere woorden niet
uitmaakt welke weg we
volgen.
In het geval dat de
massa valt van A naar B,
wordt de arbeid gegeven
door
W=F  y
W =mg∣AB∣
W =mgh
met h het hoogteverschil tussen A en B.
In het tweede geval glijdt de massa eerst van A naar C, dan van C naar B. De
totaal geleverde arbeid is dan :
W =W A ⇒C W C ⇒ B
Veronderstel dat de helling AC een hoek α maakt met de horizontale. De hoek
tussen Fz en de bewegingsrichting is dan 90° - α. De geleverde arbeid wordt dan
:
W A⇒ C =mg cos90 ° −∣ AC ∣
W A ⇒ C =mg sin ∣AC ∣
W A⇒ C =mg∣ AC '∣
Veronderstel dat de helling B'B een hoek β maakt met de horizontale. De hoek
tussen Fz en de bewegingsrichting is dan 90° − β. De geleverde arbeid wordt
dan :
W C ⇒ B =mg cos 90° −∣CB∣
W C ⇒ B=mg sin ∣CB∣
W C ⇒ B=mg∣C ' B∣
De totale arbeid wordt dan gegeven door :
W =W A⇒ C W C ⇒ B
W =mg∣ AC '∣mg ∣C ' B∣
W =mgh
We zien dat in beide gevallen de arbeid gelijk is. De arbeid geleverd door de
70
6 Arbeid en Energie
de zwaartekracht nabij het aardoppervlak is dus niet afhankelijk van de
gevolgde weg. De zwaartekracht nabij het aardoppervlak is een
conservatieve kracht. (dit kan veralgemeend worden naar de zwaartekracht
tout court. Het bewijs hiervan valt buiten de scope van de cursus...).
Als de massa eerst naar beneden zou glijden langs de hellingen, en dan naar
boven getakeld wordt, dan is de totale arbeid verricht door de zwaartekracht
gelijk aan nul (bewijs dit als oefening !).
Dit illustreert een andere eigenschap van conservatieve krachten :
De arbeid geleverd door conservatieve krachten langs een gesloten lus
is altijd nul.
Voorbeelden van conservatieve krachten zijn:
●
de zwaartekracht;
●
de veerkracht;
●
de elektro-magnetische wisselwerking
Een voorbeeld van een niet-conservatieve kracht is de wrijvingskracht.
b
Arbeid-energie theorema voor conservatieve krachten
Werkt op een voorwerp een conservatieve kracht in, dan bezit het voorwerp
potentiële energie.
We definiëren de potentiële energie van een voorwerp in positie P ten
opzichte van een referentiepunt O, als de arbeid die verricht wordt door
de conservatieve kracht bij verplaatsing van P naar O.
Merk op dat potentiële energie afhangt van de keuze van het referentiepunt. Het
verschil in potentiële energie is hiervan echter
onafhankelijk.
Verplaatsen we een voorwerp van positie A
naar B, dan wordt de arbeid geleverd door de
conservatieve krachten gegeven door :
W con=E p , A−E p , B
We bewijzen dit als volgt :
De arbeid geleverd door een conservatieve kracht
om het voorwerp van A naar B te verplaatsen is
dezelfde als deze als we het voorwerp eerst van A
naar O verplaatsen, en dan van O naar B.
W A⇒ B=W A ⇒O W O ⇒ B
Nu geldt er dat
W O ⇒ B =−W B ⇒O
Dus :
Afbeelding 81: De arbeid geleverd
om van A naar B te gaan is dezelfde
als deze om eerst van A naar O te
gaan, dan van O naar B, als de
inwerkende krachten conservatief
zijn.
W A⇒ B=W A ⇒O −W B ⇒O
Per definitie is dan :
W con=E p , A−E p , B
Werken er alleen conservatieve krachten op het voorwerp, dan is dit de
71
6 Arbeid en Energie
totale arbeid geleverd op het voorwerp. Dan geldt er :
W =E p , A −E p , B
Wijzigt hierbij de snelheid van het voorwerp van vA naar vB, dan geldt
eveneens :
W =E k , B −E k , A
Uit beide bovenstaande betrekkingen volgt dan :
E k , B− E k , A=E p , A −E p , B
 E k =− E p
waaruit
E k , A E p , A=E k , B E p , B
Definiëren de totale energie E als de som van de kinetische en de
potentiële energie, dan geldt er als er enkel conservatieve krachten inwerken
op een voorwerp :
E A=E B
Indien er enkel conservatieve krachten inwerken op een voorwerp, dan
blijft de totale energie van het voorwerp constant. Kinetische energie kan
omgezet worden in potentiële energie, en omgekeerd.
Het voorwerp verliest geen energie aan de omgeving, de inwerkende krachten
behouden (conserveren) al zijn energie.
Werken er meerdere conservatieve krachten in op het voorwerp, dan kan
met elke inwerkende conservatieve kracht een potentiële energie
geassocieerd worden.
De totale potentiële energie is dan de som van elk van deze potentiële
energieën :
E p =∑ E p ,i
c
Potentiële energie in het zwaarteveld nabij het aardoppervlak
Beschouw een massa m op een punt P op een hoogte h boven een
referentiepunt O. Op deze massa werkt de zwaartekracht. Doordat de
zwaartekracht een conservatieve kracht is, verkrijgt de massa hierdoor
potentiële energie ten opzichte van O. We kunnen deze als volgt berekenen : de
arbeid geleverd door de zwaartekracht bij verplaatsing van P naar O wordt
gegeven door
W =mgh
Per definitie is dit dan ook de potentiële energie van een massa m op hoogte h
boven het referentiepunt :
E p =mgh
Dit is de gekende formule van vorig jaar.
d
Potentiële energie van een massa verbonden met een veer
Een massa m vastgemaakt aan een veer met veerconstante kv die is uitgerokken
over een afstand ∆x bezit eveneens potentiële energie ten opzichte van de
evenwichtsstand O (de positie als de veer niet uitgerokken is...).
Per definitie is de potentiële energie de arbeid verricht door de veerkracht bij
72
6 Arbeid en Energie
verplaatsing van punt A (uitgerokken toestand) naar punt O.
Deze arbeid kunnen we aflezen uit de grafiek die Fv geeft als functie van de
uitrekking :
1
E p = F v − x
2
1
E p = k v  x2
2
Afbeelding 82: De potentiële energie van een massa m aan een veer die over
een afstand ∆x is uitgerokken, bepaal je door de arbeid te berekenen die de
veerkracht verricht bij verplaatsing van uitgerokken naar niet-uitgerokken
toestand.
6.3
Behoud van energie
6.3.1
Arbeid-energie theorema met niet-conservatieve krachten
Beschouw een voorwerp met massa m, waarop een aantal conservatieve en een
aantal niet conservatieve krachten werken. Als het voorwerp verplaatst wordt
van A naar B, en de snelheid wijzigt daarbij van vA naar vB, dan geldt voor de
totale op het voorwerp verrichte arbeid :
W =E k , B −E k , A
1
1
W = m v 2B − mv 2A
2
2
Deze totale arbeid is de som van arbeid verricht door de conservatieve krachten
W con en de arbeid verricht door de niet-conservatieve krachten W nc :
W =W conW nc
Voor de arbeid verricht door de conservatieve krachten geldt er :
73
6 Arbeid en Energie
W con=E p , A−E p , B
Combinatie van het bovenstaande geeft :
1
1
2
2
mv B− m v A=E p , A −E p , BW nc
2
2
wat ook geschreven kan worden als :
1
1
2
2
m v A E p , A= m v B E p , BW nc
2
2
E A=E BW nc
W nc =E A−E B
Met andere woorden :
De arbeid verricht door de niet-conservatieve krachten is het verschil in
totale mechanische energie van het voorwerp.
Waar is dit verschil in energie naartoe ? De energie die het voorwerp kwijt is, is
niet “verdwenen”, maar afgestaan aan de omgeving. Dit kan door arbeid te
verrichten op andere voorwerpen, of in de vorm van warmte (de afgestane
energie is de extra kinetische energie van de luchtmoleculen), of als straling, ...
De totale energie van het universum blijft op deze manier constant. We
kunnen geen energie bijmaken of laten verdwijnen.
Energie heeft wel de onomkeerbare neiging om steeds meer en meer verspreid
te raken.
6.3.2
Equivalentie van massa en energie°
Albert Einstein toonde met de speciale relativeitstheorie aan dat massa en
energie equivalent zijn, met zijn beroemde formule
E=mc2
We komen hier nog uitgebreid op terug in de cursus nucleaire fysica in het zesde
jaar.
Voorlopig onthouden we dat, als we hiermee rekening houden, dit als volgt in
bovenstaande vergelijking moet toegevoegd worden :
1
1
2
2
2
2
m v A E p , AmA c = m v B E p , BmB c W nc
2
2
waarbij mA de massa is in toestand A, en mB de massa in toestand B.
Indien er geen massa wordt omgezet in een andere energievorm, en m A = mB,
dan vallen beide termen weg, en krijgen we de vergelijking uit bovenstaande
paragraaf.
74
6 Arbeid en Energie
6.4
Oefeningen
1. Welk vermogen moet de motor van een vliegtuigje met een massa van
1250 kg ontwikkelen, om het toestel te laten opstijgen vanop een
startbaan met een lengte van 600 m, als je weet dat de snelheid van het
toestel minstens 120 km/h moet zijn, en dat het toestel vertrekt vanuit
rust aan het begin van de startbaan ? Je hoeft geen rekening te houden
met luchtweerstand...
2. Gedurende 2 s werkt op een voorwerp met massa 24 kg een kracht die 48
J arbeid verricht. Hoe groot is die kracht ?
3. Een kracht van 6 N werkt gedurende 4 s in op een massa van 12 kg.
Bereken de geleverde arbeid en het gegenereerd vermogen.
4. Bij een ballistische demonstratie vuurt een FBI-agent een kogel van 55 g
horizontaal in een hoop zand. De beginsnelheid van de kogel is 350 m/s
en hij komt tot rust na 18 cm. Hoe groot is de gemiddelde kracht die het
zand op de kogel uitoefende ?
5. Een blok met massa 25 kg vertrekt vanuit rust en glijdt van een gladde
helling (zonder wrijving) met lengte 50m naar beneden. De helling maakt
een hoek van 25° met de horizontale. Bereken de snelheid beneden aan
de helling. Eens beneden, glijdt het blok verder over een ruw horizontaal
oppervlak en komt na 15 m tot stilstand. Bereken de wrijvingscoëfficiënt
tussen het blok en het ruwe oppervlak. Op welke afstand zou het blok tot
stilstand komen indien het op de helling al een wrijvingskracht van 25 N
ondervindt ?
6. Een helling is 20 m lang en maakt een hoek van 30° met de horizontale.
Van bovenaan de helling glijdt vanuit rust een blok met massa 50 kg naar
beneden. Bereken de snelheid van het blok beneden aan de helling. Eens
beneden glijdt het verder over een ruw oppervlak. De wrijvingscoëfficient
tussen blok en oppervlak is 0,75. Na 5 m botst het blok tegen een veer
met veerconstante kv = 1500 Nm-1. Hoever wordt de veer ingedrukt ?
Hoeveel procent van zijn energie is het blok kwijtgeraakt ?
7. Een blok van 4 kg heeft een beginsnelheid van 8 m/s aan de voet van een
helling die een hoek van 30° maakt met de horizontale. Welke afstand zal
het blok langs de helling afleggen eer het tot rust komt
a) als er geen wrijving is ?
b) als de kinetische wrijvingscoëfficiënt tussen blok en oppervlak is 0,9
bedraagt ?
8. Een blok van 50 kg tegen een veer geplaatst met krachtconstante 15000
Nm-1 die 50 cm is ingedrukt. De veer wordt losgelaten en het blok schiet
weg. Bereken de snelheid waarmee het blok wordt weggeschoten. Na een
horizontaal stuk van vijf meter glijdt het blok een helling omhoog.
Bereken de afstand die het blok over de helling aflegt alvorens tot
stilstand te komen, als je weet dat de helling een hoek maakt van 30°
met de horizontale,
a) als de wrijving verwaarloosbaar is;
b) als de wrijvingscoëfficient tussen blok en oppervlak op het horizontale
stuk 0,75 bedraagt.
75