14.1 Lineaire problemen [1] - Willem

14.1 Lineaire problemen [1]
• De lijn heeft een helling (richtingscoëfficiënt) van 1;
• De lijn gaat in het punt (0,2) door de y-as;
• In het plaatje is de lijn y = x + 2 getekend.
• Omdat de grafiek een rechte lijn is, is de functie y lineair.
Willem-Jan van der Zanden
1
14.1 Lineaire problemen [1]
• y is een lineaire functie van x, want
de grafiek is een rechte lijn;
• y = ax + b
y y  y A
• de richtingscoëfficiënt a =  B
x
x B x A
• de grafiek is een lijn met helling a;
• een helling a betekent 1 naar rechts
en a omhoog;
• de grafiek is een lijn door het punt (0, b).
Willem-Jan van der Zanden
2
14.1 Lineaire problemen [1]
Voorbeeld 1:
• Een bedrijf maakt magnetrons;
• Bij een productie q van 550 magnetrons per dag zijn de kosten K 50 euro;
• Bij een productie q van 800 magnetrons per dag zijn de kosten K 40 euro.
• Schrijf de kosten K in euro’s als lineaire functie van q.
Stap 1:
K = aq +b
Stap 2:
K
50  40
10


 0.04
Bereken de richtingscoëfficiënt: a =
q 550  800 250
En dus: K = -0.04q + b
Willem-Jan van der Zanden
3
14.1 Lineaire problemen [1]
Voorbeeld 1:
• Een bedrijf maakt magnetrons;
• Bij een productie q van 550 magnetrons per dag zijn de kosten K 50 euro;
• Bij een productie q van 800 magnetrons per dag zijn de kosten K 40 euro.
• Schrijf de kosten K in euro’s als lineaire functie van q.
Stap 3:
K = -0.04q + b
Vul q = 550 en K = 50 in de formule in.
50 = -0.04 · 550 + b
50 = -22 + b
b = 72
Dus: K = -0.04q + 72
Willem-Jan van der Zanden
4
14.1 Lineaire problemen [1]
Voorbeeld 2:
Los de vergelijking 0,26q + 28,4 = 0,06q + 31,7 op
0,26q + 28,4 = 0,06q + 31,7
0,26q – 0,06q = 31,7 – 28,4
0,2q = 3,3
q = 16,5
Termen met q naar links, getallen naar rechts.
Links en rechts de vergelijking herleiden.
Deel beide kanten door het getal voor q.
Willem-Jan van der Zanden
5
14.1 Lineaire problemen [2]
Voorbeeld 1:
Een theater heeft 600 plaatsen. Voor een gewone bezoeker kost een kaartje
40 euro. Voor een bezoeker met abonnement kost een kaartje 25 euro. Op een
avond zit het theater volledig vol en is de totale kaartopbrengst 20.000 euro.
Totale kaartopbrengst = 20.000
Totale kaartopbrengst = 40x + 25y
met x = aantal gewone bezoekers
met y = aantal abonnementhouders
Dus: 40x + 25y = 20.000
Totaal aantal bezoekers = 600
Totaal aantal bezoekers = x + y
Dus: x + y = 600
Dit zijn lineaire vergelijkingen met 2 variabelen (x en y)
Willem-Jan van der Zanden
6
14.1 Lineaire problemen [2]
Voorbeeld 1:
40x + 25y = 20.000
25y = -40x + 20.000
y = -1,6x + 800
Haal de x naar rechts
Deel links en rechts door het getal voor y
y is nu als functie van x geschreven.
40x + 25y = 20.000
40x = -25y + 20.000
x = -0,625y + 500
Haal de y naar rechts
Deel links en rechts door het getal voor x
x is nu als functie van y geschreven.
Een lineaire vergelijking met de variabelen x en y is altijd van de
vorm:
ax + by = c
Willem-Jan van der Zanden
7
14.1 Lineaire problemen [2]
Voorbeeld 2:
Teken de grafiek van 3x – 2y = 6
Stap 1: Maak een tabel met twee “makkelijke” coördinaten van deze lijn:
x
0
2
y
-3
0
Stap 2: Teken de twee punten en de grafiek:
Willem-Jan van der Zanden
8
14.1 Lineaire problemen [2]
Een lineaire vergelijking met de variabelen x en y is altijd van de vorm:
ax + by = c zoals 3x – 2y = 6
Als a gelijk is aan 0 ontstaat een vergelijking als: -2y = 6  y = -3
De vergelijking y = -3 is een horizontale lijn.
Een horizontale lijn heeft een richtingscoëfficiënt van 0.
Als b gelijk is aan 0 ontstaat een vergelijking als: 3x = 6  x = 2
De vergelijking x = 2 is een verticale lijn.
Een verticale lijn heeft geen richtingscoëfficiënt.
Willem-Jan van der Zanden
9
14.1 Lineaire problemen [3]
Voorbeeld:
3x  y  15
Los het volgende stelsel van vergelijkingen op 
 x  y 7
Stap 1:
Kies één van de vergelijkingen om een variabele vrij te maken:
x + y = 7  y = -x + 7
Stap 2:
Vul deze in in de andere vergelijking
3x + y = 15
3x - x + 7 = 15
2x + 7 = 15  2x = 8  x = 4
Stap 3:
Bereken nu ook de andere variabele:
x + y = 7  4 + y = 7  y = 3 Willem-Jan van der Zanden
10
14.1 Lineaire problemen [4]
Voorbeeld:
K = 300 + 2a + 6b + 4c
a = 2b + 8
2b = 5 - c
De vergelijking K = 300 + 2a + 6b + 4c is een formule met drie variabelen.
Schrijf K nu als functie van b. (Er mogen dus geen a’s en c’s meer in
voorkomen)
Stap 1:
Werk de a weg uit de formule van K:
Vul a = 2b + 8 in, in K = 300 + 2a + 6b + 4c :
K = 300 + 2(2b+ 8) + 6b + 4c
K = 300 + 4b + 16 + 6b + 4c
K = 316 + 10b + 4c
Willem-Jan van der Zanden
11
14.1 Lineaire problemen [4]
Voorbeeld:
K = 300 + 2a + 6b + 4c
a = 2b + 8
2b = 5 - c
Stap 2:
Werk de c weg uit de formule van K:
Schrijf 2b = 5 – c als c = 5 – 2b en vul dit in, in: K = 316 + 10b + 4c:
K = 316 + 10b + 4(5 – 2b)
K = 316 + 10b + 20 – 8b
K = 336 + 2b
Je hebt nu K als functie van b geschreven.
Willem-Jan van der Zanden
12
14.2 Kwadratische problemen [1]
Soorten tweedegraadsvergelijkingen:
1: ax2 + bx = 0 (Haal de x buiten de haakjes)
3x2 + 6x = 0
3x(x + 2) = 0
3x = 0 of x + 2 = 0
x = 0 of x = -2
2: ax2 + c = 0 (Herleid tot x2 = …)
3x2 – 6 = 0
3x2 = 6
x2 = 2
x = √2 of x = - √2
Willem-Jan van der Zanden
13
14.2 Kwadratische problemen [1]
Soorten tweedegraadsvergelijkingen:
3: ax2 + bx + c = 0 (Linkerlid ontbinden)
x2 – 6x – 7 = 0
(x + 1)(x – 7) = 0
x = -1 of x = 7
4: ax2 + bx + c = 0 (Linkerlid niet te ontbinden, dan ABC-formule)
2x2 – 5x – 7 = 0
D = b2 – 4ac = (-5)2 – 4·2·-7 = 81
b  D
b  D
of x 
2a
2a
5  81
5  81
x
of x 
22
22
5 9
59
x
of x 
4
4
1
x  3 of x  1
2
x
Let op:
D < 0 dan geen oplossingen; D = 0 dan één oplossing; D > 0 dan twee oplossingen.
Willem-Jan van der Zanden
14
14.2 Kwadratische problemen [2]
Er zijn drie soorten bijzondere vergelijkingen:
1: AB = 0 => A = 0 of B = 0
(x - 5)(x + 7) = 0
x - 5 = 0 of x + 7 = 0
x = 5 of x = -7
2: A2 = B2 geeft A = B of A = - B
(2x – 1)2 = 25
(2x – 1)2 = 52
2x – 1 = 5 of 2x – 1 = -5
2x = 6 of 2x = -4
x = 3 of x = -2
3: AB = AC geeft A = 0 of B = C
(x – 4)(x + 5) = (x – 4) (2x+7)
x – 4 = 0 of x + 5 = 2x + 7
x = 4 of –x = 2
x = 4 of x = -2
Willem-Jan van der Zanden
15
14.2 Kwadratische problemen [3]
Voorbeeld:
De punten (1,5) en (2,14) liggen op de grafiek van y = ax2 + bx
Bereken a en b.
Maak een stelsel van twee vergelijkingen door de beide punten in de functie
y = ax2 + bx in te vullen. Op deze manier krijg je twee vergelijkingen met
twee onbekenden (a en b) die je op kunt lossen.
5  a 12  b 1  5  a  b
14  a  22  b  2  14  4a  2b
(2)
a b5
2a2b10
 

4a2b14 (1)
4a2b14
Wanneer je beide vergelijkingen nu van elkaar aftrekt krijg je:
-2a = -4. Hieruit volgt a = 2. Deze a in één van de twee vergelijkingen
invullen geeft b = 3.
Willem-Jan van der Zanden
16
14.3 Breuken en wortels [1]
Er zijn verschillende soorten breuken, die je tot één breuk kunt herleiden
1)
A C A D C B AD  BC
     
B D B D D B
BD
2) A  B  A  C  B  AC  B  AC  B
C
C C
3) A  C  AC
B D BD
4) A  B  AB
C C
5) A  A  C  AC
B B
B
C 
 
C
C
C
Want delen is vermenigvuldigen met het omgekeerde.
 A  A
6)  B   B   B A


C
C B
BC
Willem-Jan van der Zanden
17
14.3 Breuken en wortels [1]
Voorbeeld 1:
Vereenvoudig
3
5  6 15 6x 15 6 x  15
2

  2 2 2


x
x x x
x
x
x2
Voorbeeld 2:
Schrijf zonder breuk in de noemer
T
600a
600a  3b
1800ab
1800ab



2
2
a2 
a
15
b

a
a2 
2
5b 
15
b
  3b
5
b


3
b


3b 
3b
3b 
Willem-Jan van der Zanden
18
14.3 Breuken en wortels [2]
Bij breuken geldt de volgende regel:
A
A C
A
 C    A  BC   B
B
B 1
C
Je mag B en C dus verwisselen.
Voorbeeld 1:
Schrijf als functie van A
500
B 5
500
A6 
B 5
500
B 5
A6
500
B
5
A6
A6
Willem-Jan van der Zanden
19
14.3 Breuken en wortels [2]
Voorbeeld 2:
Schrijf als functie van A
B 6
B 5
B  6  A( B  5)
B  6  AB  5 A
A
Kruislings vermenigvuldigen
B  AB  6  5 A
B(1  A)  6  5 A
6  5 A
B
1 A
Willem-Jan van der Zanden
20
14.3 Breuken en wortels [3]
De volgende regel geldt:
Uit √A = B volgt A = B2
Voorbeeld:
y 2 x 6
2 x 6  y
4( x  6)  y 2
Gebruik: Uit √A = B volgt A = B2
4 x  24  y 2
4 x  y 2  24
x
1 2
y 6
4
Willem-Jan van der Zanden
21
14.4 Exponentiële en logaritmische formules [1]
Voorbeeld 1 (Lineaire groei):
De hoeveelheid N groeit lineair. Op tijdstip t = 6 is de hoeveelheid
5.000. Op tijdstip t = 12 is de hoeveelheid 9.000.
Stel de formule op van de hoeveelheid N om t uur.
Stap 1:
Bij een lineair verband hoort de formule:
N = at + b met b = beginhoeveelheid en t = tijd
Stap 2:
N 9.000  5.000 4.000
a



 667
Bereken de richtingscoëfficiënt:
t
12  6
6
Willem-Jan van der Zanden
22
14.4 Exponentiële en logaritmische formules [1]
Voorbeeld 1 (Lineaire groei):
Stap 3:
Vul de richtingscoëfficiënt in de formule in:
N = 667t + b
Stap 4:
Bereken de beginhoeveelheid:
N = 667t + b
9.000 = 667 · 12 + b
9.000 = 8.004 + b
b = 996
=> N = 667t + 996
Willem-Jan van der Zanden
23
14.4 Exponentiële en logaritmische formules [1]
Voorbeeld 2 (Exponentiële groei):
De hoeveelheid bacteriën groeit exponentieel. Op tijdstip t = 5 zijn er
2.000 bacteriën. Op tijdstip t = 12 zijn er 7.000 bacteriën.
Stel de formule op van het aantal bacteriën N om t uur.
Stap 1:
Bij een exponentieel verband hoort de formule:
N = b · gt met b = beginhoeveelheid en t = tijd
Stap 2:
Bereken de groeifactor van t = 5 tot t = 12 (g7uur)
g7uur =
N12 7.000

 3,5
N5 2.000
Willem-Jan van der Zanden
24
14.4 Exponentiële en logaritmische formules [1]
Voorbeeld 2 (Exponentiële groei):
Stap 3:
Bereken de groeifactor per uur (g):
1
7
g   g7uur   1,20 => N = b · 1,20t
Stap 4:
Bereken de beginhoeveelheid:
N = b · 1,20t
7.000 = b · 1,2012
7.000 = b · 8,92
b = 785
=> N = 785 · 1,20t
Willem-Jan van der Zanden
25
14.4 Exponentiële en logaritmische formules [2]
Herhaling van rekenregels voor machten:
a a  a
p
 
ap
q
q
q
a  a
1
2
ap
[1] q  a pq
a
[2]
 a pq [3] (ab)p  a pbp [4]
a0  1
1
q
p q
a  a
als a  0[5] a  p 
p
q
1
[6]
ap
q
[7] a  a p [8]
[9]
Willem-Jan van der Zanden
26
14.4 Exponentiële en logaritmische formules [2]
a a  a
p
q
 
ap
q
q
a  a
1
2
ap
[1] q  a pq
a
[2]
 a pq [3] (ab)p  a pbp [4]
a0  1
1
q
p q
a  a
als a  0[5] a  p 
p
q
1
[6]
ap
Voorbeeld:
Herleid de formule tot de vorm
T = axp
T  (2x 0,6 )4  3x 1,7 
T  16 x
2,4
T  48 x 0,7
 3x
1,7

Rekenregel [4]
Rekenregel [1]
q
[7] a  a p [8]
[9]
Willem-Jan van der Zanden
27
14.4 Exponentiële en logaritmische formules [3]
Voorbeelden:
x  7  x  3 7  7
3
1
3
x  19  x  19  19
5
x
5
3,4
 10  x 
3,4
1
5
10  10
1
3,4
In zijn algemeenheid geldt nu dus: x  a  x  n a  a
n
1
n
Voorbeelden:
x  8  x  82  64
5
x  3  x  35  243
In zijn algemeenheid geldt nu dus:
n
x  a  x  an
Willem-Jan van der Zanden
28
14.4 Exponentiële en logaritmische functies [3]
Voorbeeld 1:
Schrijf y = 3x2,3 in de vorm x = ayn.
3x 2,3  y
x 2,3 
Delen door het getal voor x.
1
y
3
1 
x  y
3 
1
2,3
1
2,3
1
1
x     y  2,3
3
x  0,62 y 0,43
Gebruik:
x  a  x  n a  a
n
1
n
Gebruik: (ab)p  apbp [4]
Willem-Jan van der Zanden
29
14.4 Exponentiële en logaritmische functies [3]
Voorbeeld 2:
Schrijf y = 0,5 · 3 x - 7 in de vorm x = ….
0,5  3 x  7  y
0,5  x  y  7
3
3
x  2 y  14
x  (2 y  14)3
Losse getallen naar rechts
Delen door het getal voor de wortel
Links en rechts tot de macht 3 nemen.
Willem-Jan van der Zanden
30
14.4 Exponentiële en logaritmische functies [4]
We hebben de functie f(x) = 2x
De oplossing van de vergelijking f(x) = 8 is 3.
Bestaat er nu een functie g(x) zodat geldt: g(8) = 3?
Ja, en dit is de functie: g(x) = 2log(x).
De oplossing van de vergelijking g(8) = 2log(8) = 3.
Of in woorden: Tot welke macht moet je 2 verheffen om 8 te krijgen.
Er geldt dus:
Uit 2x = 8 volgt 2log(8) = x
2log(8) = 2log(2x ) = x
Hieruit valt af te leiden:
De macht en de logaritme “vallen als het ware tegen elkaar weg”.
In het algemeen geldt:
Hieruit valt af te leiden:
Uit glog(y) = x volgt y = gx
glog(y) = glog(gx ) = x
Willem-Jan van der Zanden
31
14.4 Exponentiële en logaritmische functies [4]
Voorbeeld:
Herleid de formule 2 ∙ log(N) = 9 – 3k tot de vorm N = b ∙ gk
2  log( N )  9  3k
log( N )  4,5  1,5k
Zorg dat de logaritme links staat en de rest rechts
Voor de logaritme mag geen getal staan
N  104,51,5k
Maak van de logaritme een machtsfunctie
N  104,5  101,5k
Gebruik de rekenregels voor machten.
N  104,5  (101,5 )k
N  32.000  0,032k
Willem-Jan van der Zanden
32
14.4 Exponentiële en logaritmische functies [5]
Voor logaritmen gelden de volgende rekenregels:
(1)
g
(2)
g
(3)
g
g
log(a) 
p
log(a)
p
log( g)
log(ab)  log(a)  log(b)
(4)
a
log    g log(a)  g log(b)
b
(5)
a  g log( ga )
log(an )  n  g log(a)
(6)
glog(x)
g
g
= y volgt x = gy
Voorbeeld 1:
2x  12
log(2x )  log(12)
x log(2)  log(12)
x
Neem links en rechts de logaritme
(3)
g
log(an )  n  g log(a)
log(12)
 3,58
log(2)
Willem-Jan van der Zanden
33
14.4 Exponentiële en logaritmische functies [5]
Voorbeeld 2:
Herleid de formule y = 2 ∙ 3x tot de vorm log(y) = ax + b
y  2  3x
Neem links en rechts de logaritme
log( y )  log(2  3x )
log( y )  log(2)  log(3x )
Gebruik de rekenregels voor logaritmen.
log( y )  log(2)  x  log(3)
log( y )  0,48 x  0,30
Willem-Jan van der Zanden
34
14.4 Exponentiële en logaritmische functies [5]
Voorbeeld 3:
Herleid de formule N = 2,18 ∙ (1,15)2t-3 tot de vorm t = a ∙ log(N) + b
2,18  (1,15)2t 3  N
(1,15)2t 3 
N
2,18
Neem links en rechts de logaritme.
N
)
2,18
(2t  3)log(1,15)  log( N )  log(2,18)
log((1,15)2t 3 )  log(
log( N ) log(2,18)

log(1,15) log(1,15)
log( N ) log(2,18)
2t 

3
log(1,15) log(1,15)
log( N )
log(2,18) 3
t


2 log(1,15) 2 log(1,15) 2
t  8,24log( N )  1,29
Gebruik (3)
en (2)
2t  3 
Willem-Jan van der Zanden
g
g
log(an )  n  g log(a)
a
log    g log(a)  g log(b)
b
35
14 Samenvatting
Lineaire functie:
• f(x) = ax + b heeft als grafiek een rechte lijn met a als richtingscoëfficiënt en
(0, b) als snijpunt met de y-as;
• Lijnen met dezelfde richtingscoëfficiënt zijn evenwijdig.
Lineaire formule opstellen:
• Bereken de richtingscoëfficiënt met
y yB  y A

;
x x B  x A
• Vindt de waarde van b door een gegeven punt in de functie y = ax + b in te
vullen.
Lineaire vergelijking oplossen:
Haal alle termen met x erin naar links en alle termen met een los getal naar
rechts.
Een lineaire vergelijking met de variabelen x en y is altijd van de vorm:
ax + by = c
Willem-Jan van der Zanden
36
14 Samenvatting
Stelsels van vergelijkingen:
• Tel de lineaire vergelijkingen bij elkaar op zodat een van de variabelen wegvalt;
• Maak bij niet lineaire vergelijkingen gebruik van substitutie.
Kwadratische vergelijkingen oplossen:
• ax2 + bx = 0 (Haal de x buiten de haakjes);
• ax2 + c = 0 (Herleid tot x2 = getal);
• ax2 + bx + c = 0 (Ontbinden in factoren of ABC-formule).
Bijzondere vergelijkingen:
1: AB = 0 => A = 0 of B = 0
2: A2 = B2 geeft A = B of A = -B
3: AB = AC geeft A = 0 of B = C
Gebroken vergelijkingen:
A C
  AD  BC
B D
A
 0  A  0
B
A C
  A  C
B B
Willem-Jan van der Zanden
A A
  A  0  B  C
B C
37
14 Samenvatting
Wortelvergelijkingen:
• Ga pas kwadrateren als er links enkel nog maar een wortelterm staat!!!
• Controleer aan het einde altijd de oplossingen.
Lineaire groei:
• Bij een gelijke afname per tijdseenheid is er ook lineaire groei;
• Bij lineaire groei is de formule altijd N = at + b met a als toename per
tijdseenheid en b als beginwaarde.
Exponentiële groei:
• Bij een gelijke procentuele afname per tijdseenheid is er ook exponentiële groei;
• Bij een groeifactor groter dan één is de grafiek stijgend;
• Bij een groeifactor tussen 0 en 1 is de grafiek dalend;
• Bij exponentiële groei is de formule altijd N = b · gt met b als beginwaarde en
g als groeifactor per tijdseenheid.
Willem-Jan van der Zanden
38
14 Samenvatting
Rekenregels machten:
a a  a
p
q
a 
p
q
a
p q
pq
ap
[1] q  a pq
a
x  a  x  a  a
n
1
q
[2]
n
p p
1
n
p
q
q
a  a
[3] (ab)  a b [4]
p
als a  0[5] a  p 
a0  1
q
[7] a  a p [8]
1
2
a  a
n
1
[6]
p
a
[9]
x  a  x  an
Rekenregels logaritmen:
(1)
g
(2)
g
(3)
g
log(a) 
p
log(a)
p
log( g)
log(ab)  g log(a)  g log(b)
(4)
a
log    g log(a)  g log(b)
b
(5) a  g log( ga )
log(an )  n  g log(a)
(6)
g
glog(x)
Willem-Jan van der Zanden
= y volgt x = gy
39