Binomium van Newton Faculteit Voor n ∈ N - Socio

Binomium van Newton
Faculteit
Combinaties
Voor n ∈ N
∈
Functies
Functie
Eénwaardig
Eénduidig
Expliciet
Impliciet
Stuksgewijs
gedefinieerde
functie
Even – oneven
Invers
Samengestelde
functie
Een reële functie f is een voorschrift dat aan elk element van een verzameling A
 R (domein of definitiegebied, x-waarde) een element van een verzameling B 
R (bereik of beeldgebied, y-waarde) toekent.
Notatie: f: A→ B: x → f x
f f: R→ R: x → f(x)
Een functie is éénwaardie wanneer met elke waarde van de onafhankelijke
veranderlijke (x) juist 1 waarde van de afhankelijke veranderlijke (y)
overeenstemt. In andere gevallen noemt men de functie meerwaardig.
Een functie is éénduidig wanneer met elke waarde van de afhankelijk
veranderlijke (y) juist 1 waarden van de onafhankelijke veranderlijke (x)
overeenstemt. In andere gevallen noemt men de functie meerduidig.
M sp
xp ici
s i
fu c i f: R→ R
h
voorschrift kan geëxpliciteerd worden naar de afhankelijke veranderlijke, maw
y=f(x).
M sp
i p ici
s i
fu c i f: R→ R
h
voorschrift niet kan geëxpliciteerd worden naar de afhankelijke veranderlijke,
maar impliciet bepaald wordt uit een verband F(x,y)=0
E
ë fu c i : R→ R: x → g(x) is een stuksgewijs gedefinieerde functie
indien het voorschrift verschilt voor verschillende delen van het domein van de
functie.
E
ë fu c i f: R→ R: x → f(x) is een even functie, indien voor elke waarde x
uit het domein geldt: f(x)=f(-x). de grafiek van de functie is symmetrisch tov Yas.
E
ë fu c i f: R→ R: x → f(x) is een oneven functie, indien voor elke waarde
x uit het domein geldt: f(x)= -f(-x). de grafiek van de functie is symmetrisch tov
oorsprong.
Het is ook mogelijk dat de functie noch even, noch oneven is.
E
ë fu c i : R→ R: x → x is
i
s fu c i
f: R→ R: x → f(x),
indien voor elke waarde y uit het domein van f geldt: f(y)=x  g(x)=y
(f’ x y
Meestal noteert men de inverse functie als g=f -1. De beeldlijnen van de functies f
en f -1 zijn gespiegeld tov de eerste bissectrice (y=x)
E
ë fu c i f: R→ R: x → f x is
s
s i
fu c i s : R→ R: →
x
h: R→ R: → h(x), of f= g  h, indien voor elke waarde van x geldt f(x)=
g(h(x)).
Limieten
Limiet
Oneigenlijk
Linker – en
rechterlimiet
E fu c i f : R → R : x → f(x)bereikt in het punt x = a de limietwaarde L, of
i → f x
als de functiewaarden willekeurig dichtbij L komen voor die
pu
i ich
.A
∞ zij .
Wanneer de functiewaarde f(x) onbeperkt toeneemt of afneemt wanneer x
nadert naar een reëel getal a f
±∞ , dan noemt men de limiet oneigenlijk.
i → f x
±∞. In dit geval bereken we afzonderlijk linker – en rechterlimiet.
De linkerlimiet van en functie f in het punt x =a wordt gedefinieerd als
i → f x
Continuïteit
Asymptoten
De rechterlimiet van en functie f in het punt x =a wordt gedefinieerd als
i → f x
De limiet van een functie in een punt bestaat enkel als in dat punt zowel linkerals rechterlimiet bestaan en deze limieten aan elkaar gelijk zijn.
E fu c i f : R → R : x → f(x) is continu in een punt x =a als i → f x
f .
Indien de functiewaarde of de limietwaarde niet bestaan, of indien ze
verschillend zijn, noemt men de functie discontinu in het betreffende punt.
Een asymptoot van een functie is een rechte die de beeldlijn van deze functie
willekeurig dicht nadert. Men deelt de asymptoten op in 3 types:
 Horizontale asymptoot: y=b
 Verticale asymptoot: x=a
 Schui
sy p
:y
x+q
Een éénwaardige functie kan een onbeperkt aantal verticale asymptoten hebben,
maar in totaal hoogstens 2 schuine en/of horizontale asymptoten.
E
i
i fu c i f ffi
fu c i h f
sch if f: R→ R: x → f(x) = mx+q.
Een lineaire functie is éénwaardig en continu en wordt grafisch voorgesteld door
een rechte. De waarde m is de richtingscoëfficiënt of helling van de functie, de
waarde q bepaalt het snijpunt van de beeldlijn van de functie met de y-as.
Een vergelijking van een rechte kan geschreven worden in;
I p ici
x+by+c
b∈R i b i
u f
Exp ici
y
x+q
q∈R f
Exp ici
x p
p∈R
Lineaire functie
De vergelijking van een rechte door twee punten met coördinaten x y
x y kan gevonden worden als y y
x x
en
De rico =
Absolute waarde
functie
Veeltermfunctie
Parabool
Rationale functie
(veeltermbreuk)
De vergelijking van een rechte door 1 punt met coördinaten x y en met
gegeven rico m kan gevonden worden als y –y1=m(x-x1)
Snijpunten van 2 rechten met vergelijkingen a1x+b1y+c1=0 en a2x+b2y+c2=0
kunnen gevonden worden door oplossing van het stelsel
x+b y+c
x+b y+c
Ofwel heeft dit geen enkele oplossing, ofwel heeft dit 1 unieke oplossing
(snijpunt), ofwel heeft dit oneindig veel oplossingen (rechten vallen samen).
De absolute waarde functie associeert met elk reëel getal zijn absolute waarde:
bs : R→ R: x → abs(x) = x
Een veeltermfunctie van graad n heeft voorschrift
f: R→ R: x → f(x) = anxn+ an-1xn-1+ + 1x+a0
∈
0, a1
n-1, an
0.
Een veeltermfunctie heeft als domein de gehele reële as, is éénwaardig en
continu
Veeltermfunctie van graad 2. De top van de parabool heeft
coördinaten (x0,y0).
De symmetrieas is evenwijdig aan de y-as en heeft vergelijking x = x0.
De parabool heeft de holle zijde naar boven indien a>0, naar benden indien a<0.
Elke vergelijking van de gedaante y=ax²+bx+c beschrijft een parabool. Om de
top te kennen, bereken je x0= - ; y0 is dan de functiewaarde van x0.
Een rationale functie heeft voorschrift
f : R→ R: x → f(x) =
b0, b1
bn-1, bn ∈ R. h
, met n,m ∈
i
i
fu c i is
0,
ë
a1
s
n-1,
an,
Irrationale functie
Cirkel
Exponentiële
functie
Exponentiële
functie
(eigenschap)
Natuurlijke
exponentiële
functie
Groei- en
vervalfunctie
Logaritmische
functie
Logaritmische
functie (eig)
Periodiek
Sinusfunctie
verminderd met de waarden waarvoor de noemer nul wordt. Een rationale
functie is continu op haar domein.
Een irrationale functie heeft een voorschrift waarin een of meer wortelvormen
voorkomen. Het domein van een irrationale functie is beperkt tot dat deel van de
reële as waarvoor het argument onder de wortel het juiste teken bezit. Een
irrationale functie is continu op haar domein.
De impliciete vergelijking: (x-x0)²+(y-y0)²=r², met x0, y0 ∈ R
∈ R+0 beschrijft
een cirkel. Het middelpunt van deze cirkel heeft coördinaten (x0,y0); de straal is
r. domein: [x0-r, x0+r]
Een exponentiële functie heeft voorschrift expa : R → R0+ : x → expa(x) = ax, met a
∈ R+\{0,1}.
Het domein van een exponentiële functie is R, het bereik is R+0.
Het grondtal a is noodzakelijk strikt positief, maar verschillend van 1.
Een exponentiële functie expa
∈ R+{0,1} is
 Een éénwaardige functie
 Een continue functie
 Een strikt stijgende functie indien a>1, en een strikt dalende functie
indien a<1
Grondtal: getal van Euler e= 2.718
Notatie: exp(x)= ex
Zie figuur 1.15 p 21
Een exponentiële functie expa met a>1: groeifunctie. Schrijven we het beeld van
een waarde x als
dan noemt men de positieve waarde
r de groeivoet van de functie
Een exponentiële functie expa met 0<a<1: vervalfunctie. Schrijven we het beeld
van een waarde als
dan noemt men de positieve
waarde r de vervalconstante van de functie
De logaritmische functie loga is de inverse van de exponentiële functie expa. Ze
heeft voorschrift loga : R+0 → R : x → loga x
∈ R+\{0,1}, en wordt
y
gedefinieerd als y = loga(x)  x= a . Het domein van een logaritmische functie
is R+0, het bereik is R.
Het grondgetal a is noodzakelijk strikt positief, maar verschillend van 1.
Briggse logaritme: grondtal 10
Natuurlijke logaritme: grondtal e
Een logaritmische functie loga
∈ R+\{0,1} is
 Een éénwaardige functie
 Continue functie op het domein
 Een strikt stijgende functie indien a>1, en een strikt dalende functie
indien a<1
E
ë fu c i f: R→ R: x → f(x) is een periodieke functie met periode p, indien
p ∈ R0+de kleinste waarde is waarvoor elke waarde x uit het domein geldt:
f(x+p)=f(x)
D si usfu c i si : R→ R: x → sin(x)
 Is positief voor hoeken uit het eerste en tweede kwadrant, en negatief
voor hoeken uit het derde en vierde kwadrant.
 Heeft domein en R bereik
.
 Is éénwaardig en meerduidig
 Is een oneven functie
 Is een periodieke fu c i
p i
π
 Is een continue functie
Cosinusfunctie
Tangensfunctie
Boogsinusfunctie
Bgsin (eigenschap)
Boogcosinusfunctie
Bgcos (eigenschap)
Boogtangensfunctie
Bgtan (eigenschap)
D c si usfu c i c s : R→ R: x → cos(x)
 Is positief voor hoeken uit het eerste en vierde kwadrant, en negatief voor
hoeken uit het tweede en derde kwadrant.
 Heeft domein en R bereik
.
 Is éénwaardig en meerduidig
 Is een even functie
 Is
p i i
fu c i
p i
π
 Is een continue functie
D
sfu c i
: R→ R: x → tan(x)
 Is positief voor hoeken uit het eerste en derde kwadrant, en negatief voor
hoeken uit het tweede en vierde kwadrant.
 Heeft domein en R\ + π:
bereik R.
 Is éénwaardig en meerduidig
 Is een oneven functie
 Is een periodieke functie met periode π
 Is discontinu in
De boogsinusfunctie is de inverse van de sinusfunctie. De gewone
boogsinusfuctie bgsin wordt gedefinieerd als y=bgsin(x)  x=sin(y).
x si
De hoofdwaarde Bgsin wordt gedefinieerd als y = Bgsin (x) 
y ∈
y
D fu c i b si : R→ R: x → bgsin(x)
 Heeft domein [-1, 1] en bereik R
 Is meerwaardig en éénduidig
D fu c i B si : R → R: x → Bgsin(x)
 Heeft domein [-1, 1] en bereik [-π/ π/
 Is éénwaardig en éénduidig
 Is continu op het domein
De boogcosinusfunctie is de inverse van de cosinusfunctie. De gewone
boogcosinusfuctie bgcos wordt gedefinieerd als y=bgcos(x)  x=cos(y).
x c s y
De hoofdwaarde Bgcos wordt gedefinieerd als y = Bgcos (x) 
y ∈
π
D fu c i b c s : R→ R: x → bgcos(x)
 Heeft domein [-1, 1] en bereik R
 Is meerwaardig en éénduidig
D fu c i B c s : R → R: x → Bgcos(x)
 Heeft domein [b i
π
 Is éénwaardig en éénduidig
 Is continu op het domein
De boogtangensfunctie is de inverse van de tangensfunctie. De gewone
boogtangensfuctie bgtan wordt gedefinieerd als y=bgtan(x)  x=tan(y).
x
y
De hoofdwaarde Bgtan wordt gedefinieerd als y = Bgtan (x) 
y ∈
D fu


D fu



ci b
: R→ R: x → bgtan(x)
Heeft domein R en bereik R\{π/ + π:
Is meerwaardig en éénduidig
ci B
: R → R: x → Bgtan(x)
Heeft domein R en bereik ]-π/ π/
Is éénwaardig en éénduidig
Is continu
∈ }
Afgeleiden
Afgeleiden in een
punt
Afgeleide functie
Afleidbaarheid en
continuïteit
Kettingregel
Logaritmisch
afleiden
Helling
Raaklijnen
Lineaire
benadering
Middelwaardestelli
ng
Differentiaal
Hogere orde
afgeleide
D f
i
door:
F’ x0)=
(x0) = i
D
fu c i f’ f
f
i
fu c i f : R → R : x → f(x) in een punt x0 wordt gedefinieerd
→
fu c i f : R → R : x → f(x) beeldt elk punt af
p
f
i i
pu
f f’ : R → R : x → f’ x
(x) = i →
Een functie is afleidbaar in een punt, als de afgeleide in dat punt bestaat, of als
dat punt behoort tot het domein van de afgeleide functie.  als de limiet bestaat.
Een punt waarin de afgeleide niet bestaat= singulier punt
∆
∆
∆x ip h
u
b u sch ij
s
=
. Men
∆
∆
noemt dit een differentiequotiënt.
Een functie f die afleidbaar is in een punt x=a, ia automatisch ook continu in dat
punt. Een functie f die continu is in een punt x=a, is in dat punt niet noodzakelijk
afleidbaar. Continuïteit is dus een nodige, maar geen voldoende voorwaarde
voor afleidbaarheid.
Vb absolute waarde functie abs : x → x , waarvoor we de afgeleide functie
sx
kunnen berekenen als abs(x) =
sx
I
pu
x
b s
f
i
is fu c i bs c i u i x
is
de functie wel continu, maar bestaat de afgeleide niet.
Indien f en g afleidbare functies zijn, dan geldt voor de afgeleide van de
samengestelde functie f  g
f g)(x) =
f x
f’ x ’ x
Voor een functie vergelijking
kan de afgeleide al volgt gevonden
worden:
 Neem de natuurlijke logaritme van beide leden, en gebruik de eigenschap
.
om het rechterlid te vereenvoudigen
 Leid beide leden af naar x

s p
y’ en vul in de laatste stap het voorschrift van y in
De helling van de curve f in een punt P = (x0, f(x0)) is de helling van de raaklijn
aan de curve in dat punt, en kan berekend worden als de afgeleide van f in het
punt x0 f f’ x0)= i →
.
Beschouw een afleidbare functie f en een punt P = (x0,f(x0)) op de curve f. De
vergelijking van de raaklijn aan de curve in het punt P luidt y-f(x0
f’ x0)(x-x0)
De beeldwaarde op de raaklijn kan gebruikt worden al benadering voor de
werkelijke functiewaarde, of voor x in de buurt van x0. F x ≈ f x0 +f’ x0)(x-x0).
Men noemt dit een lineaire benadering of benadering van eerste orde.
Beschouw een functie f die continu is op het gesloten interval [a,b] en afleidbaar
op het open interval ]a,b[. er bestaat dan minstens één punt c in het open
interval ]a,b[ waarvoor
 er bestaat een c waar de helling van
de raaklijn gelijk is aan de helling van de rechte door de punten (a, f(a)) en
(b,f(b)). Beide rechten zijn dus evenwijdig.
Voor een afleidbare functie met voorschrift y=f(x) wordt de differentiaal in een
punt x0 gedefinieerd als df(x0 f’ x0)dx
D h
f
i
fu c i f : R → R : x → f (x) worden
gedefinieerd als
f’’ x
f(x)=
f’ x
f’’’ x
f(x) =
f’’ x
fn(x) =
f(x) =
(fn-1 x
≥
Extremum-onderzoek
Stijgen – dalen
Stijgen – dalen
(eigenschap)
Convex - concaaf
Convex – concaaf
(eig)
Buigpunten
Absolute extrema
Lokale extrema
Een functie f is stijgend op een interval als voor elke twee punten a<b uit dit
i
f
f b .
Een functie f is dalend op een interval als voor twee punten a<b uit dit interval
geldt dat f(a) ≥f b
Strikt wil zeggen dat er geen horizontale stukken zijn.
Opmerking: punten waar de functie overgaat van stijgen naar dalen of van dalen
naar stijgen, zijn (lokale) extrema (minimum, maximum)
Beschouw een functie f die afleidbaar is op een open interval.
De functie f is stijgend op dit interval  f’ ≥
pu
h i
.
De functie f is dalend op dit interval  f’
pu
h i
.
I i f’
p
i
is fu c i
ijkertijd stijgend en dalend, en
dus constant op dit interval.
Zie bewijs p48
Opmerking:
De eigenschap zegt dat wanneer een functie overal in een interval afleidbaar is,
het teken van de afgeleide aangeeft of de functie stijgt of daalt op dit interval.
Ook wanneer er een discreet aantal punten zijn waar de afgeleid oneigenlijk is of
zelfs niet bestaat, blijft de eigenschap gelden. Zie p 105
Een functie f is convex op een interval als voor elke twee punten a en b uit dit
interval geldt dat
maw als elk lijnstuk dat twee punten van de
grafiek verbindt, volledig boven de grafiek ligt.
Een functie is concaaf op een interval als voor elke twee punten a en b uit dit
interval geldt dat
≥
maw als elk lijnstuk dat twee punten van de
grafiek verbindt, volledig onder de grafiek ligt.
Beschouw een functie f die tweemaal afleidbaar is op een interval
De functie f is convex op dit interval f ’’ ≥
pu
h i
.
De functie f is concaaf op dit interval  f ’’
pu
h i
.
Indien f ’’
p
i
is fu c i
ij
ij c
x c c f
en dus lineair op dit interval.
Opmerking:
De eigenschap zegt dat wanneer een functie overal in een interval tweemaal
afleidbaar is, het teken van de tweede afgeleide aangeeft of de functie convex of
concaaf is op dit interval. Opnieuw blijft de eigenschap gelden wanneer er een
discreet aantal punten zijn waar de tweede afgeleide oneigenlijk is of zelfs niet
bestaat.
Een continue functie f bereikt een buigpunt in het punt x0 Є
f i i
functie in dit punt overgaat van een convexe toestand naar een concave toestand
of andersom
Een functie f bereikt een absoluut maximum in het punt a, indien voor elk punt x
ui h
i
f x
f .
Een functie f bereikt een absoluut minimum in het punt a indien voor elk punt x
ui h
i
f x ≥f .
Een functie f bereikt een lokaal maximum in het punt x0 indien voor elk punt x in
de buurt van het punt x0
f x
f x0).
Een functie f bereikt een lokaal minimum in het punt x0 indien voor elk punt x in
de buurt van het punt x0
f x ≥ f x0).
Let op:
Bij continue functies kan een extremum enkel optreden in punten waar de
Eerste test voor
extrema
Tweede test voor
extrema
Eerste test voor
buigpunten
Tweede test voor
buigpunten
Globaal
functieverloop
afgeleide nul wordt of niet bestaat. Het omgekeerde is niet waar: het feit dat de
afgeleide nul wordt, garandeert niet dat we te maken hebben met een extremum.
Het gaat dus om een noodzakelijke voorwaarde, maar niet om een voldoende
voorwaarde.
Beschouw een functie f die continu is in een punt x0, dat geen randpunt is van het
domein. Als de afgeleide functie in het punt x0 verandert van teken, dan bereikt
de functie in x0 een lokaal extremum.
 I i f’ x
p x0 - h, x0
f’ x
p x0, x0+h
h ∈ R+, maw
indien f in x0 overgaat van stijgen naar dalen, dan heeft f een lokaal
maximum in x0.
 I i f’ x
p x0 - h, x0
f’ x
p ]x0, x0+h
h ∈ R+, maw
indien f in x0 overgaat van dalen naar stijgen, dan heeft f een lokaal
minimum in x0.
Opmerking:
H b s
f’ x0) zelf is in deze stelling niet vereist; in het punt x0 kan de
afgeleide nul worden (een kritisch punt of stationair punt), of kan de afgeleide
niet bestaan (een singulier punt). Voor functies die overal afleidbaar zijn, komen
enkel de stationaire punten in aanmerking voor het bepalen van extrema.
Beschouw een functie f die tweemaal afleidbaar is op een interval [a, b].
 De functie f bereikt een lokaal maximum in een punt x0 van het interval
f x
]a, b[, als
f x
 De functie f bereikt een lokaal minimum in een punt x0 van het interval ]a,
f x
b[, als
f x
D
p f’
s
i p f’’
orde voorwaarde.
Opmerking:
I i f’ x0
f’’ x0) = 0, dan kunnen we geen onmiddellijk besluit trekken,
en is verder onderzoek noodzakelijk, vb door toepassing van de eerste test voor
extrema. Het punt x0 kan dan naast een extremum ook een buigpunt zijn.
Vb p 54
Beschouw een functie f die continu is in een punt x0, dat geen randpunt is van het
domein. Als de tweede afgeleide in het punt x0 verandert van teken, dan bereikt
de functie in x0 een buigpunt.
 I i f’’ x
p x0 – h, x0
f’’ x
p x0, x0 + h
h ∈ R+,
maw indien f in x0 overgaat van convex naar concaaf, dan heeft f een
buigpunt in x0
 I i f’’ x
p x0 – h, x0
f’’ x
p x0, x0 + h
h ∈ R+,
maw indien f in x0 overgaat van concaaf naar convex, dan heeft f een
buigpunt in x0
Beschouw een functie f die tweemaal afleidbaar is op een interval [a, b]/
 De functie f bereikt een buigpunt in een punt x0 van het interval ]a, b[, als
f x
f iss
i x
Vb p 110
Doorloop volgende stappen bij het onderzoek naar het verloop van een reële
functie f:
1. Domein
 Bestaansinterval
 Discontinuïteitspunten
2. Symmetrieën
3.
4.
5.
6.
7.
 Even – oneven
 Periodiciteit
Eenvoudige punten
 Snijpunten met coördinaatassen
 Randpunten van het bestaansinterval
Asymptoten
 Horizontale en schuine asymptoten
 Verticale asymptoten
Eerste afgeleide

sch if
f’

u pu
f’ s i
i pu
pu
(singuliere punten)
 T
f’
s ij
f
 Extrema
Tweede afgeleide

sch if
f’’

u pu
f’’ pu
f’’ i b s
 T
f’’
c
xi i
f
 Buigpunten
Grafiek
f’ i
b s
Integralen
Primitieve functie
Als f: R  R continu is op een interval, dan noemt men F: R  R een primitieve
functie of stamfunctie van f op dit interval als
voor alle x in dit
interval
Onbepaalde
integraal
Als f: R  R continu is op een interval, dan noemt men de verzameling van alle
primitieve functies van f op dit interval de onbepaalde integraal. We noteren dit
als
+ voor alle x in dit interval, met F een primitieve functie
van f op dit interval en C een willekeurig reëel getal. F(x) achter integraalteken
= integrandum, x= integratieveranderlijke, C= integraalconstante. Dx geeft an
dat we de primitieve functies zoeken bij een afleiding naar x.
Onbepaalde
integraal en
afgeleide (eig)
Als f:R  R continu is, dan geldt
.
Als f : R  R afleidbaar is, dan geldt
+
Zie bewijs p79
Als f : RR en g : R  R c
Basiseigenschappen
onbepaalde
integraal (eig)


.
i u zij
ЄR
.
+
+
Zie bewijs p82
Als f : R  R en g : R  R c
Integratie door
splitsing (eig)
⍺
+
i u zij
⍺
⍺
ЄR
+
Bewijs: volgt onmiddellijk uit de basiseigenschappen
Integratie door
Als f : R  R continu is en g : R  R afleidbaar is, dan geldt
cЄR
substitutie
Zie bewijs p 85
Regel
Herhaling
goniometrie
Gebruik: wanneer het integrandum functievormen bevat waarvoor niet
onmiddellijk een primitieve functie bekend is, maar wel kan herleid worden
naar een standaardintegraal


Integrandum is standaardintegraal maar bevat ipv x een minder
eenvoudige vorm g(x)
Integrandum bevat transformatie g(x) van x en ook de afgeleide ervan



c s
si
c s

c s
+ si
c s
c s
si
si
Als f : R  R en g : R  R afleidbaar zijn, dan geldt
Partiële integratie
Zie bewijs p 91
Gebruik wanneer in het integrandum exponentiële vormen, veeltermen en
goniometrische vormen onderling worden gecombineerd. Kies voor f(x) die
factor die eenvoudiger wordt wanneer je de afgeleide neemt.

Regel


Exponentiële factor en een veelterm
- f(x): veelterm
- ’ x : xp
ië
Goniometrische vorm en een veelterm
- f(x): veelterm
- ’ x :
i
isch
Exponentiële factor en een goniometrische vorm
- f(x): exponentiële vorm
- ’ x :
i
isch
 2 keer na elkaar toepassen, dan krijg je de oorspronkelijke integraal
terug, uit deze gelijkheid kan je de integraal afzonderen
Meetkundige
betekenis
onbepaalde
integraal (eig)
Als f : R  R continu is op een interval dat x0 bevat, als S(x) de oppervlakte is
tussen de curve van f en de X-as van het vaste punt x0 tot aan een punt x in het
i
S’ x f x
zie bewijs p 98
Oppervlakte tussen
een curve en de xas(eig)
Als f : R  R continu is op een interval dat x0, a en b bevat, als F : R  R een
primitieve functie is van f, dan geldt voor de oppervlakte Sab tussen de curve van
f en de x-as tussen de punten a en b dat Sab= F(b)-F(a)
zie bewijs p 99
opmerking: wanneer de curve van f boven de x-as ligt, dan zal sab een positieve
waarde hebben. Ligt de curve van f onder d x-as, dan is sab negatief.
Bepaalde integraal
Als f : R  R continu is op een interval dat a en b bevat, dan wordt de bepaalde
integraal van f over het interval [a,b] gedefinieerd als
met F een primitieve functie van f op [a,b]
Eigenschap
Als f : R R continu is op een interval dat a en b bevat en Sab is de oppervlakte
tussen de curve van f en x-as tussen de punten a en b, dan geldt
ab
Als f : R  R c
i u is p
i
b
cb
ЄR

Basiseigenschappen

.
.


+
Zie bewijs p 101
Als f : R  R continu is op een interval dat a en b bevat, dan geldt voor t tussen a
en b
Bepaalde integraal
en afgeleide (eig)


Zie bewijs p 101
Integratie door
splitsing
Integratie door
substitutie
Als f : R  R en g : R  R c
dan geldt
⍺
+
zie bewijs p 102
i u zij
⍺
p
i
bb
⍺ ЄR
+
Als g : R  R afleidbaar is op een interval dat a en b bevat en f : R  R is continu
op een interval dat g(a) en g(b) bevat, dan geldt
Partiële integratie
Als f : R  R en g : R  R afleidbaar zijn op een interval dat a en b bevat, dan
geldt
Oppervlaktesituatie 1
De oppervlakte met f : R  R+ positief en continu op een interval dat a en b
bevat, kan berekend worden als opp=
Oppervlaktesituatie 2
De oppervlakte met f : R  R continu op een interval dat a,b en c bevat, kan
berekend worden als opp=
Oppervlaktesituatie 3
De oppervlakte met f : R  R en g : R  R continu op een interval dat a en b
bevat, kan berekend worden als opp=
Gebied opsplitsen
Soms moet een gebied opgesplitst worden in deelgebieden, zodat elk deelgebied
tot een standaardintegraal herleid wordt.
Middelwaardestelli
ng integral (eig)
Als f : R  R continu is op een interval dat a en b bevat, dan bestaat er minstens
één punt c in het open interval ]a,b[ zodat
.
Als f: R  R continu is op een interval dat a en b bevat, dan wordt de gemiddelde
Gemiddelde waarde
waarde van f over het interval [a,b] gedefinieerd als
.
van een functie
over een interval
Riemann-som
Als f : R  R continu is op een interval dat a en b bevat, als het interval [a,b]
wordt verdeeld in n kleinere deelintervallen met breedte x=(b-a)/n, en als c1,
c
c
i
u i pu
zij i
z
i
+
+ +
i=1nf(ci) een riemannsom voor de functie f op het interval [a,b].
Bepaalde integraal
en Riemann-som
(eig)
Als f : R  R continu is op een interval dat a en b bevat, als het interval [a,b]
wordt verdeeld in n kleinere deelintervallen met breedte x=(b-a)/n, en als c1,
c
c
i
u i pu
zij i
z
i
i
→∞
Beschouw een functie f : R  R die continu is op een interval dat a en b bevat.
Verdeel het interval [a,b] in n deelintervallen met breedte x=(b-a)/n en noem
pu
x
x
x -1 <xn = b
deze verdeling genereert verschillende benaderingen voor de bepaalde integraal
Rechthoeksregel



Linkerpunt-benadering
BL= x.
.
Rechterpunt-benadering
x.
Midpunt-benadering
-
.
Indien de functie f : R  R stijgt over het hele interval [a,b], dan geldt
Rechthoeksregel
(eig)
B
, de linkerpunt-benadering bepaalt een ondergrens, de
rechterpunt-benadering een bovengrens.
Indien de functie f : R  R daalt over het hele interval [a,b], dan geldt
B ≥
≥
, de linkerpunt-benadering bepaalt een bovengrens, de
rechterpunt-benadering een ondergrens.
Als de functie f : R  R c
i u is p
+∞
i
Oneigenlijke
integraal
→ +∞
Als de functie f : R  R continu is op ] -∞ b
i
fi i
fi i
→ +∞
limiet bestaat en een eindige reële waarde geeft: convergent
limiet bestaat maar is oneindig: divergent
limiet bestaat niet:onbepaald
Regel
Let op! Wanneer beide integratiegrenzen oneindig zijn, dan met je de integraal
opsplitsen. Enkel indien beide deelintegralen convergent zijn, is ook de hele
integraal convergent.
Poisson-integraal
Er geldt
Functies van meerdere veranderlijken
Assenstelsel
Functie
Onafhankelijke en
afhankelijke
veranderlijken
Éénwaardig/meer
waardig
Éénduidig/meerdui
dig
Impliciet
Expliciet
Oppervlakken en
krommen
Vlakken en rechten
Vlakke doorsneden
Contour
Rechts assenstelsel gedefinieerd in de ruimte, waarbij alle assen (X, Y, Z)
loodrecht op elkaar staan. Van elk punt in de ruimte kennen we de drie
coördinaten, wanneer we het punt projecteren op de drie assen. De drie assen
bepalen twee per twee een coördinaatvlak en verdelen de ruimte in acht
octanten. Het gebied waarin de drie coördinaten positief zijn, noemen we het
eerste octant.
speciale punten:
 Punten op de coördinaatassen: (a,0,0) (0,b,0) (0,0,c)
 Punten op de coördinaatvlakken: (a,b,0) (0,b,c) (a,0,c)
Een reële functie f met twee veranderlijken is een voorschrift dat aan elk
element van een verzameling A  R x R (domein of definitiegebied) een element
van een verzameling B  R (bereik of beeldgebied) toekent.
Notatie: f: R x R→ R : (x,y) → f(x,y) of f: R²→ R: (x,y) → f(x,y)
X en y zijn onafhankelijke veranderlijken
Z is de afhankelijke veranderlijke
Eenwaardig: elk koppel(x,y) uit het definitiegebied stemt overeen met juist één
waarde van de afhankelijke. Anders meerwaardig
Éénduidig: elke waarde van de afhankelijke veranderlijke stemt overeen met
juist één koppen (x,y) uit het definitiegebied. Anders meerduidig
M sp
i p ici
s i
fu c i f: R x R→ R
het voorschrift niet kan geëxpliciteerd worden naar de afhankelijke
veranderlijke, maar impliciet bepaald wordt uit een verband F(x,y,z)=0
M sp
xp ici
s i
fu c i f: R x R→ R
het voorschrift kan geëxpliciteerd worden naar de afhankelijke veranderlijke,
maw z=f(x,y).
Reële functies van twee veranderlijken worden grafisch voorgesteld door een
oppervlak in de ruimte.
krommen = doorsnede van twee oppervlakken
z=f1(x,y)
z=f2(x,y)
Vlak: ax+by+cz+d=0 (a, b en c niet tegelijk nul)
Rechte=doorsnede van twee vlakken
A1x+b1y+c1z+d1 (niet tegelijk nul)
A2x+b2y+c2z+d2 (niet tegelijk nul)
Speciale vergelijkingen

ij i
c ö i
: x ⍺ y ) (z= )
 coördinaatassen
Om inzicht te krijgen in de structuur van een oppervlak in de ruimte, is het zinvol
te kijken naar doorsneden met vlakken evenwijdig met de coördinaatassen.
 Doorsneden evenwijdig met XY-vlak=niveaukromme
-z=f(x,y)
-z=c
 Doorsneden evenwijdig met XZ-vlak
-z=f(x,y)
-y=b
 Doorsneden evenwijdig me YZ-vlak
- z=f(x,y)
-x=a
Voor een reële functie f met twee veranderlijken f : R2 → R : x y → f(x,y)
definieert men een contour of contourlijn als de verzameling van alle punten in
Contour-plot
Functies van n
veranderlijken
het XY-vlak met eenzelfde beeldwaarde, of Cf α { x y ∈ R f x y
α}
Is een grafische voorstelling van verschillende contourlijnen tegelijkertijd.
(grijstinten) p138
Een reële functie f van n veranderlijken is een voorschrift dat aan elk element
van een verzameling A c Rn { x x
x ;x Є R x Є R
x ЄR}
(domein of definitiegebied: verzameling van n-tupels) een element van een
verzameling B c R (bereik of beeldgebied) toekent.
Partiële afgeleiden
D p ië
(x0, y0
i →
D p ië
(x0, y0
Partiële afgeleiden
Betekenis partiële
afgeleide
i
x
fu c i f : R → R : x y → f(x, y) in een punt
: f’x (x0, y0) =
x y =
y
fu c i f : R → R : x y → f(x, y) in een punt
: f’y (x0, y0) =
x y =
fi i
f
i
fi i
i →
Beide partiële afgeleiden kunnen we terug als functies definiëren, waarvoor we
i s f’x =
f f’y = gebruiken.
we gaan na hoe de functiewaarde verandert wanneer we één veranderlijke
wijzigen. We beschouwen de andere veranderlijke als een constante. Een functie
is partieel afleidbaar wanneer alle partiële afgeleiden ervan bestaan.
De partiële afgeleide van een functie f naar x berekend in het punt (x0, y0), is
gelijk aan de helling van de raaklijn aan de (vlakke) doorsnede van het
oppervlak met het vlak y = y0 in het punt P = (x0, y0, f(x0, y0)):
z f xy
 Vlakke doorsnede:
y
y
 H i : f’x (x0, y0) = i →
De partiële afgeleide van een functie f naar y berekend in het punt (x0, y0), is
gelijk aan de helling van de raaklijn aan de (vlakke) doorsnede van het
oppervlak met het val x = x0 in het punt P = (x0, y0, f(x0, y0)):
z f x y
 Vlakke doorsnede:
y
y
 H i : f’y (x0, y0) = i →
Vaststellingen:

(x0, y0) >0: doorsnede van het oppervlak met het vlak y = y0 in het punt
P stijgend

(x0, y0) <0: doorsnede van het oppervlak met het vlak y = y0 in het punt
P dalend

(x0, y0) >0: doorsnede van het oppervlak met het vlak x = x0 in het punt

Hogere orde
partiële afgeleiden
f
P stijgend
(x0, y0) <0: doorsnede van het oppervlak met het vlak x = x0 in het punt
P dalend
De tweede orde partiële afgeleiden van een functie f : R² → R : x y → f(x,y)
worden gedefinieerd als:
f
f
f
x x
x
f
x y
x
f
f
y x
y
f
f
f
y y
y
Vaststellingen:
f
f
y
f
x

(x0,y0)>0: doorsnede van het oppervlak met het vlak y=y0 in het punt
P convex

(x0,y0)<0: doorsnede van het oppervlak met het vlak y=y0 in het punt
P concaaf

: doorsnede van het oppervlak met het vlak x=x0 in het
punt P convex

Stelling van Young
of stelling van
Clairaut
Homogene functie
Homogene functies
(eig)
punt P concaaf
Zie ook partiële afgeleiden voor functie van n veranderlijken
B sch u
fu c i f : R → R: x y → f(x,y) waarvoor de beide gemengde
partiële afgeleiden f
f continu zijn in een gebied G  R². dan geldt op dit
gebied G dat f
f
E
ë fu c i f : R → R : x y → f(x,y) is een homogene functie van graad m,
i i
p
x y ui h
i
i
u i
∈ R+0 geldt:
f(tx,ty) = tm f(x,y).
Opmerking:
De graad m hoeft niet noodzakelijk geheel of positief te zijn.
Speciale situaties zijn homogene functies met graad 1 en graad 0.
I i
fu c i f : R → R h
is
i i
p ië
afgeleiden bestaan, dan geldt voor de partiële afgeleiden van eerste orde:
 De functies en zijn ook homogene functie van graad m -1

N – dimensies
Totale differentiaal
Impliciet afleiden
Impliciete functie
stelling F(x,y) = 0
Bewijs p 155
: doorsnede van het oppervlak met het vlak x=x0 in het
x (x,y) + y (x,y)
stelling/identiteit van Euler
P 164
Voor een partieel afleidbare functie met voorschrift z = f(x,y) wordt de totale
differentiaal in een punt (x0, y0) gedefinieerd als df(x0,y0) = f (x0,y0)dx +
f (x0,y0)dy = dxf(x0,y0) + dyf(x0,y0).
Verkorte notatie: dz= f dx + f dy
Wanneer de vergelijking van een functie gegeven is in een impliciete vorm F(x,y)
= 0, dan kan de afgeleide van y naar x, of van de (onbekende) expliciete vorm y
= f(x) als volgt gevonden worden:
 Leid beide leden af naar x
 G p
y’
z
y’

s p
y’
Vbn p 78 en 79
Wanneer de vergelijking van een functie met één onafhankelijke veranderlijke
gegeven is in een impliciete vorm F(x,y) = 0, dan kan de afgeleide voor de
(onbekende) expliciete vorm y = f(x) in een punt x0
s: f’ x0)
=
met y0 bepaald door F(x0,y0)=0 voor zover de functie f gedefinieerd
is en de partiële afgeleide in de noemer verschilt van nul.
F(x,y) = 0
↓
dF(x,y)=0
↓
F x+ F y
↓
F y
F x
↓
Y’
Impliciete functie
stelling F(x,y,z) = 0
Bewijs p 156
Wanneer de vergelijking van een functie met twee onafhankelijke veranderlijken
gegeven is in een impliciete vorm F(x,y,z) = 0, dan kan de afgeleide voor de
(onbekende) expliciete vorm z = f(x,y) in een punt (x0,yà) gevonden worden als:
f (x0,y0) =
=
en f (x0,y0) =
=
met z0 bepaald door
F(x0,y0,z0)=0 voor zover de functie f gedefinieerd is en de partiële afgeleide in de
noemer verschilt van nul.
F(x,y,z) = 0
↓
dF(x,y,z)=0
↓
F x+ F y+ F z
↓
F z
F x F y
↓
dz =
x
y
↓
en
Raaklijn expliciet
voorschrift
Raaklijn impliciet
voorschrift
Beschouw een afleidbare functie f en een punt P= (x0,y0) op de curve van f. de
vergelijking van de raaklijn aan de curve in het punt P luidt: y-y f ‘ x x-x0)
met y0=f(x0)
De vergelijking van de raaklijn in het punt P = (x0,y0) aan de curve met
impliciete vergelijking F(x,y)=0 luidt F x y x x + F x y y y
y y
f x x x
↓
f’ x0) =
Bewijs
↓
y
Raakvlak expliciet
voorschrift
Lineaire
benadering
Raakvlak impliciet
voorschrift
(impliciete functie stelling)
y
F x y
F x y
x
x
↓
F x y y y
F x y x x
Beschouw een afleidbare functie f en een punt P = (x0,y0,z0) op het oppervlak
met vergelijking z=f(x,y). De vergelijking van het raakvlak aan het oppervlak in
het punt P luit: z – z0= f (x0, y0) (x-x0) +f (x0,y0) (y-y0) met z0=f(x0,y0).
De beeldwaarde op het raakvlak kan gebruikt worden al benadering voor de
werkelijke functiewaarde, of voor (x,y) in de buurt van (x0,y0 : f x y ≈ f x0,y0) +
f (x0, y0) (x-x0) +f (x0,y0) (y-y0). Men noemt dit een lineaire benadering of
benadering van eerste orde.
De vergelijking van het raakvlak in het punt P = (x0,y0,z0) aan het oppervlak met
impliciete vergelijking F(x,y,z)=0 luidt F x y z x x + F x y z y
y0+ Fz (x0,y0,z0 z z0)=0
z
↓
z
f x y
Bewijs
f x y
x
x
+ f x y
F x y z
F x y z
y
y
met z0=f(x0,y0)
F x y z
F x y z
f x y
↓
z
z
↓
F x y z
F x y z
F x y z
z
z
x
x
F x y z
F x y z
F x y z
x
x
y
y
F x y z
y
y
Extremum-onderzoek
Lokale extrema
Lokale extrema
eerst orde
voorwaarde
Gebonden
extremumprobleem
lagrangefunctie
Gebonden extrema
eerst orde
voorwaarde
Betekenis Lagrange
multiplicator
E fu c i f : R → R b i
xi u i h pu
x0,y0), indien
voor elk punt (x,y) in de buurt van het punt (x0,y0
f x y f x0,y0)
E fu c i f : R → R b i
lokaal minimum in het punt (x0,y0), indien voor
elk punt (x,y) in de buurt van het punt (x0,y0
f x y ≥f(x0,y0)
E p i
f i b
fu c i f : R → R
x
u
bereiken in het punt (x0,y0) als dit punt een stationair of kritisch punt is, ie
Extremum bij paraboloïde: minimum
Extremum bij zadeloppervlak: zadelpunt
Bij een gebonden extremum-probleem zoeken we de extrema van een functie f :
R → R : x y → f(x,y) onder een voorwaarden (nevenvoorwaarde) g(x,y)=C. De
functie f noemen we de doelfunctie, alle punten (x,y) die voldoen aan de
nevenvoorwaarde worden toegelaten punten of bruikbare punten genoemd.
We zoeken niet naar een gewoon maximum of minimum, maar we zoeken onder
alle toegelaten punten die punten waar f in vergelijking met de functiewaarde in
andere toegelaten punten een maximum of minimum bereikt. We spreken dan
van een gebonden maximum of minimum.
Substitutiemethode: wanneer de nevenvoorwaarde geëxpliciteerd kan worden
naar één van de veranderijken, dan kunnen we het gebonden extremumprobleem met twee veranderlijken en 1 voorwaarde herleiden naar een gewoon
extremum-probleem met 1 veranderlijke. De tweede veranderlijke kan dan
achteraf makkelijk berekend worden aan de hand van het verband tussen beide.
h b p
x
fu c i f : R → R
de voorwaarde
g(x,y)=C, wordt de Lagrange-functie gedefinieerd als
L(x,y,) = f(x,y) - (g(x,y)-C). De variabele  noemt men de Lagrangemultiplicator.
E p i
f i b
fu c i f : R → R
x
u b i
i h
punt (x0,y0) onder de voorwaarde g(x,y)=C met g een partieel afleidbare functie,
als dit punt deel uitmaakt van een stationair punt voor de lagrange-functie, i.e.
als er een waarde 0 bestaat waarvoor:

→


→


→

Uitwerking p 185
Beschouw partieel afleidbare functies f en g en een optimaal punt (x0,y0,0) met
functiewaarde f0 = f(x0,y0) voor het gebonden extremum-probleem: bepaal de
extrema van f onder de voorwaarde g(x,y)=C. als de waarde van C varieert, dan
hangt ook het optimum af van C, of x0= x0(C), y0=y0(C) en f0 = f0(C) = f(x0(C),
y0(C)). Er geldt 0 =
.
BELANGRIJK:
Deze eigenschap zegt maw dat de waarde van de Lagrange-multiplicator
overeenstemt met de helling van f indien bekeken als functie van C. OF je kan de
lagrange-multiplicator interpreteren als de ogenblikkelijke aangroei van de
doelfunctie in het optimum indien de waarde C in de nevenvoorwaarde met één
eenheid wordt verhoogd.
FORMULES EN REKENREGELS
Functies
Cos²x+sin²x=1
Tan(α)=
Grondformule
goniometrische
functies
α
Si α
C s α
T α
0
0
1
0
Si α
π/6
1/2
√3/
√3/3
T
π/4
√ /
√ /
1
π/3
√3/
1/2
√3
π/
1
0
/
π
0
-1
0
α
α
C s α
Exponenten
MAAR
+
Logaritmische
functies
+
∈ R+\{ } x y z ∈ R+0 geldt :
Loga (x*y*z)= loga (x)+ loga (y)+ loga (z)
Loga (x/y) = loga (x) - loga (y)
Loga (xy)= y * loga (x)
MAAR
Loga (x)+ loga (y)= loga z
x+y z
Loga (x) - loga (y) = loga z
x-y=z
Aloga(x)=x
Loga(ay)=y
Limieten
Limieten
berekenen
Asymptoten
berekenen
1. invullen
.
b u →±∞  enkel hoogstegraadstermen
3. B u
→±∞ zelfde macht van x vooraan in teller en
noemer
4.
pi
b p
/ f ∞/∞  ’hôpi
5. VOG 0*∞ f ∞-∞  herschrijven
Horizontale asymptoten y=b
De vergelijking van eventuele horizontale asymptoten van een functie kan als
volgt gevonden worden:
 Definitie en berekening: een reële functie f heeft een horizontale asymptoot
y=b voor negatieve waarden als
of voor positieve
→
waarden als
→
 Praktisch: b
i i
fu c i
x
±∞
beweegt; vind je een eindige waarde, dan heeft de functie een horizontale
asymptoot.
 NOOIT horizontale en schuine asymptoot
Verticale asymptoot x=a
De vergelijking van eventuele verticale asymptoten van een functie kan als volgt
gevonden worden:
 Definitie en berekening: een reële functie f heeft een verticale asymptoot x
= a als
±∞.
→
 Praktisch: bij rationale functies komen verticale asymptoten voor bij de
nulpunten van de noemer die geen nulpunt van de teller zijn.
Schuine asymptoot y=mx+q
De vergelijking van eventuele schuine asymptoten van een functie kan als volgt
gevonden worden:
 Definitie en berekening: een reële functie f heeft een schuine asymptoot
y=mx+q voor negatieve waarden als
/
en
→
of voor positieve waarden als
/
→
→
= en
→ +∞(
)=
∈ R0 q ∈ R
 Praktisch: bereken de vermelde limietwaarden. Vind je een eindige
waarde, dan heeft de functie een schuine asymptoot. Vind je m=0, dan gaat
het eigenlijk om een horizontale asymptoot.
Afgeleiden
x+b
b∈R
(xn) = nxn-1
√x
∈ R0
/ √x
x
(1/x) = - /x
x
(sinx) = cos x
(cosx)= -sinx
Basisafgeleiden
(tanx) = 1/(cos²x)
B si x
/ √ -x²)
(Bgcosx) = - / √ -x²)
(Bgtanx) = 1/1+x²
(ex) = ex
(ax) = ax
∈ R+\{0,1}
(lnx)=1/x
(logax
/ x
f x
f’ x
f x +
Som, verschil,
product en
quotiënt
(f(x) f x
x
x
x
∈ R+\{0,1}
∈R
f’ x + ’ x
f’ x - ’ x
f x ’ x +
(1/f(x)) = -f’ x /f x
f x / x
x f’ x
i
x f’ x
i
f x
– f x ’ x / x
i
ECONOMISCHE TOEPASSINGEN
i
x
Economische functies
Productiefunctie P : R+ → R+ : A → q=P(A)
Cobb Douglas
P A γAα
bij γ
α
+
+
Vraagfunctie
D : R → R : p → q=D(p) of F = D-1 : R+ → R+ : q → p=F(q)
p = F(q) = D-1(q) = p0 – q q p0/m) of q = D(p) = (p0 – p /
p p 0)
Lineair model
waarbij p0 > 0 en m > 0
Opbrengsten zuivere concurrentie R : R+ → R+ : q →R(q) = pq
functie
monopolie R : R+ → R+ : q →R(q) = F(q)q
Voor monopoliesituatie
Vervolg lineair
R(q) = (p0 - mq) q = -mq² + p0q waarbij p0 > 0 en m > 0
model
top (p0/2m, p0²/4m)
Kostenfunctie
: R+ → R+ : q →K = K(q)
K(q) = aq² + bq + c waarbij a, b, c > 0
Kwadratisch
top (-b/2a, c-b²/4a)
model
snijdt de verticale as in het punt (0, c) de vaste kosten bedragen c.
Winstfunctie
W : R+ → R : q →W = R(q) - K(q)
Vervolg
W = R(q) - K(q) = (-mq² + p0q) – (aq² + bq + c) waarbij p0, m, a, b, c > 0.
voorgaande
modellen
Groei – en
y = ax = erx mer r = ln a
vervalfunctie
y = ax = e-rx mer r = -ln a
Evolutie van
P(t) = P0eα met P0
p pu i p ij s ip
α
populaties
groeivoet van de populatie.
ECONOMISCHE TOEPASSINGEN
Economische functies
Voor een economische functie f : R+ → R : x → f(x) geldt:
 De gemiddelde waarde voor f is de functie
Gemiddelde en
marginale functie
Gemiddelde en
marginale functie
Gemiddelde vs
marginale waarde
Bewijs
Productiefunctie
Gemiddelde en
marginale productie

D
i
f is
→
fu c i f’ : R+ → R : x → f’ x
→
(x)
De gemiddelde en marginale waarde van een economische functie f : R+ →
R in een punt van het domein hebben een eenvoudige meetkundige
betekenis.
 Gemiddelde waarde
berekend in x=x0 is de helling van de
voerstraal (rico rechte door (0,0) en tot het punt (x0,f(x0))
 D
i
f’ berekend in x=x0 is de helling van de
raaklijn aan de curve van f in het punt (x0, f(x0))
Beschouw een afleidbare economische functie f : R+ → R.
 Waar de gemiddelde functie stijgt, ligt de curve van de marginale
functie boven die van de gemiddelde functie.
 Waar de gemiddelde functie daalt, ligt de curve van de marginale
functie onder die van de gemiddelde functie.
 Waar de gemiddelde functie een lokaal extremum bereikt, vallen
gemiddelde en marginale waarden samen.
Als we de afgeleide van de gemiddelde functie berekenen, dan vinden we:
f x
xf x
f x
f x
x
x x
x
Omdat de noemer enkel een kwadraat bevat, wordt het teken van de breuk
bepaalt door de teller. Er geldt:
 Als de gemiddelde functie stijgt, dan is
f x ≥ . Hieruit volgt
dat x.f ’ x ≥ f x f f ’ x ≥ f x /x
 Als de gemiddelde functie daalt, dan is
f x
. Hieruit volgt
dat x.f ’ x
f x f f’ x
f x /x
 Als de gemiddelde functie een lokaal extremum bereikt, dan is
f x
. Hieruit volgt dat x.f ’ x
f x ff’ x
f x /x
Een productiefunctie P : R+ → R+ : A → q=P(A) geeft aan hoe de arbeid de
grootte van de productie bepaalt. De inverse functie kan gebruikt worden
om te berekenen welke hoeveelheid arbeid er nodig is om een bepaalde
productiegrootte te bereiken.
Kenmerken:
 A=0P=0
 A stijgt  P stijgt (bij lage input sneller en dan vertragen)
 In een beperkt aantal gevallen treedt een verzadigingspunt op:
afname van de efficiëntie zorgt ervoor dat de P daalt als A stijgt.
Het gemiddelde product is het product per eenheid van arbeid, of
→
: →
Het marginale product is de ogenblikkelijke aangroei van het product bij
een toename van de arbeid (met één eenheid, zie toepassing eig2.7 p59), of
P’ : R+ → R : A → (A)


Kenmerken
Cobb Douglas
Als arbeid=0, dan productie =0
Naarmate hoeveel arbeid stijgt, neemt ook de productie toe. Bij lage
i pu s
s c
x P ‘’
c c f P
‘’
 W P ‘ A2) = ≺P≻ A2), dan loopt de raaklijn door de oorsprong.
Voor A-waarden kleiner dan A2 is de helling van de raaklijn aan de
curve groter dan de helling van de voorstraal. Marginale prod is
groter dan gem prod. En andersom
 Verzadigingspunt: omwille van een afname van efficiëntie zal de
productie afnemen als de hoeveelheid van arbeid nog toeneemt.
Voor het verzadigingspunt is marg product positief, erna negatief.
P A γAα
bij γ
α
Gemiddeld product:
M
i

Cobb Douglas model
Vraagfunctie
Lineair model
Opbrengsten -functie
Gemiddelde en
p
uc : P’ A
Het marginaal product is gelijk aan het gemiddeld product op een
f c ⍺ :h
i
p uc is dus steeds kleiner dan het
gemiddelde product.
 Wanneer de arbeid naar 0 nadert, worden gemiddeld en marginaal
product oneindig groot; wanneer de arbeid oneindig groot wordt,
worden gemiddeld en marginaal product 0.
Een vraagfunctie D : R+ → R+ : p → q=D(p) of F = D-1 : R+ → R+ : q →
p=F(q) geeft voor een individuele consument het verband tussen de
aangeboden hoeveelheid en de vraagprijs van een goed.
De functies D en F zijn inverse functies. De functie D geeft voor elke
mogelijke prijs aan hoeveel de consument wenst te consumeren. De functie
F = D-1 geeft aan tegen welke prijs de consument een bepaalde hoeveelheid
wil consumeren.
Kenmerken:
 V stijgt  p daalt
 p stijgt  V daalt
p = F(q) = D-1(q) = p0 – q q p0/m) of q = D(p) = (p0 – p /
p p0)
waarbij p0 > 0 en m > 0
q p0/m beschrijft de functie F een rechte door de punten (0, p0)
en (p0/m, 0)
Een opbrengstenfunctie geeft aan hoe groot de totale opbrengst is bij een
bepaalde productiegrootte. Bij zuivere concurrentie is de prijs gegeven, en
krijgen we: R : R+ → R+ : q →R(q) = pq
Bij een monopolie is de prijs veranderlijk, en krijgen we: R : R+ → R+ : q
→R(q) = F(q)q
Kenmerken bij een monopolie:
 aangeboden hoeveelheid = 0  opbrengst = 0
 bij kleine hoeveelheden zal de totale opbrengst stijgen indien de
aangeboden hoeveelheid wordt verhoogd, de marginale opbrengst
is dan positief
 bij grote hoeveelheden zal de totale opbrengst dalen indien de
aangeboden hoeveelheid nog wordt verhoogd, de marginale
opbrengst is negatief
Zie opbrengstmaximalisatie p66
Opbrengst aflezen van de grafiek:
R(q) = pq komt voor elke punt (p,q) van de vraagcurve overeen met de
oppervlakte van de rechthoek tussen de oorsprong en dit punt (p,q).
De gemiddelde opbrengst is de opbrengst per productie-eenheid, of
marginale
opbrengstfunctie
→
:
→
De marginale opbrengst is de ogenblikkelijke aangroei van de opbrengst bij
p uc i
f R’ : R+ → R : q → (q)
De aard van de functies is verschillend voor een zuivere
concurrentiesituatie en een monopoliesituatie
Bij zuivere concurrentie is de prijs gegeven, en krijgen we voor de
 Gemiddelde opbrengst:
Zuivere concurrentie

Marginale opbrengst:
Zowel de gemiddelde als de marginale opbrengst zijn gelijk aan de gegeven
eenheidsprijs.
Bij een monopolie is de prijs veranderlijk, en krijgen we voor de
 Gemiddelde opbrengst:
Monopolie
Opbrengst bij lineaire
vraag
Kostenfunctie
Gemiddelde en
marginale kosten

Marginale opbrengst:
+
Enkel de gemiddelde opbrengst is nu gelijk aan de (veranderlijke)
eenheidsprijs.
Bij
fu c i is F’ q
z
i
pb
s
kleiner zal zijn dan de gemiddelde opbrengst.
Voor monopoliesituatie
q p0/m luidt het functievoorschrift :
R(q) = (p0 - mq) q = -mq² + p0q waarbij p0 > 0 en m > 0
cfr: ax²+bx+c (c=0)
Dit is een deel van de parabool met top (p0/2m, p0²/4m)
Bij gegeven inputprijzen geeft een kostenfunctie K : R+ → R+ : q →K = K(q)
aan hoe groot de totale kosten zijn bij elke productiegrootte.
Kenmerken:
 productiegrootte = 0  is er nog de vaste kost
 productiehoeveelheid stijgt  stijgen totale kosten, marginale
kost= positief
 productie-interval: kosten stijgen minder snel oa omwille van
efficiëntie
zie kostenminimalisatie p 69
De gemiddelde kost is de kost per productie-eenheid, of
R → R :q →
De marginale kost is de ogenblikkelijke aangroei van de kost bij een
p uc i
f ’ : R+ → R+ : q → (q)
K(q) = aq² + bq + c waarbij a, b, c > 0
Kwadratisch model
q≥
Dit is een parabool met top
Deze parabool snijdt de verticale as in het punt (0, c) de vaste kosten
bedragen c.
Voor een kwadratische kostenfunctie K(q)=aq²+bq+c met a, b, c > 0
kunnen we de
Kwadratisch model

Gemiddelde kost vinden als:

Verticale asymptoot q=0 en schuine asymptoot
Marginale kost berekenen:
q + bq + c
q
q+b+ .
q+b
q + b. Dit
is een stijgende rechte die de verticale as snijdt in het punt (0,b).
Het snijpunt vinden we uit
q
q of q + b +
q + b of
q, waaruit q √ c/ .
Winstfunctie
Vervolg voorgaande
modellen
Een winstfunctie W : R+ → R : q →W = R(q) - K(q) geeft aan hoe groot de
totale winst is bij een bepaalde productiegrootte.
Kenmerken:

b
h
h i z
i
s
s
 totale
winst negatief. (FK > TO)
 te grote hoeveelheid  winst negatief ( daling opbrengsten +
stijging kosten)
 TO > TK  winst (eerst stijgen, dan dalen)
Zie winstmaximalisatie p73
Obv lineair en kwadratisch model:
W = R(q) - K(q) = (-mq² + p0q) – (aq² + bq + c)=-(m+a)q2+ (p0-b)q-c
q0 p/ waarbij p0, m, a, b, c > 0.
Dit is een parabool met 2 break-even punten.
Monopolist wil voor een bepaald goed zijn prijs bepalen door
winstmaximalisatie.
Winstfunctie: W : R+ → R : q →W = R(q) - K(q)
Bij monopolie: p = F(q) zodat R(q) = qF(q)
Veronderstel dat beide functies afleid baar zijn:
 Eerste orde voorwaarde: winstfunctie enkel extremum in q0 als dit
een stationair punt is. MAW
of
of
Winstmaximalisatie –
monopolieprobleem

marginale kost = marginale opbrengst. Grafisch wil dit zeggen dat in
het punt q0 de raaklijnen aan de opbrengstfunctie en kostenfunctie
evenwijdig moeten zijn
Tweede orde voorwaarde: winstfunctie enkele maximum in q0 als
of
of de helling van de marginale
opbrengsten voor q0 < de helling voor de marginale kosten in q0.
Grafisch wil dit zeggen dat wanneer de opbrengsten functie concaaf
is, de kostenfunctie convex is.
Totale functie uit
marginale functie
(eig)
Consumenten- en
producentensurplus
Productiefunctie
P 119
Opmerking:
De productiegrootte waarvoor de winst maximaal wordt, is meestal niet
dezelfde als die waarvoor de opbrengst maximaal is. deze twee
optimalisatieproblemen zijn verschillend!
Vb p 120
Als de continue functie f : R+  R de marginale functie geeft van een
economische functie F en als F0 de waarde is van deze onderliggende
economische fucntie voor een inputwaarde gelijk aan nul dan kan de
economische functie F teruggevonden worden als
+
Als de vraagfunctie gegeven wordt door F : R+  R+ : q  p=F(q) en de
aanbodsfunctie G: R --< R : q  p=G(q) en als het evenwicht wordt bereikt
in het punt (q*,p*), dan geldt:
 Consumentensurplus=
 Producentensurplus=
Een productiefunctie P : R+ x R+ → R+ : (A,K) → q = p(A,K) geeft aan hoe de
arbeid en het kapitaal de grootte van de productie bepalen.
Bij doorsnede evenwijdig
zi
.:
Vraagfunctie situatie
1
Vraagfunctie situatie
2
Kostenfunctie
Nutsfunctie
Gemiddelde functie
Marginale functie
Gemiddelde
productiefunctie
 Aq : evolutie van de productie bij een vaste waarde van K
 Kq: evolutie van de productie bij en vaste waarde van A
 AK: isoproduct-curve of isokwant: constante productie.
Een vraagfunctie D : R+ x R+ → R+ : (p,I) → q = D(p,I) geeft aan hoe de
vraag van een consument naar een product bepaalt wordt door de prijs en
door zijn inkomen.
Bij
s
ij i
zi
:
 Pq: evolutie van de vraag bij een vaste waarde van het inkomen I
 Iq: evolutie van de vraag bij een vaste prijs p
 AK (grondvlak): isokwanten, bevat alle combinaties van arbeid en
kapitaal die eenzelfde productie opleveren
Een vraagfunctie D1 : R+ x R+ → R+ : (p1,p2) → q1 = D(p1,p2) en D2 : R+ x R+
→ R+ : (p1,p2) → q2 = D(p1,p2) geeft aan hoe de vraag van een consument
naar twee producten bepaalt wordt door de prijzen van beide producten.
Bij
s
ij i
zi
:
 P1q1: evolutie van de vraag naar het eerste goed ifvd prijs voor het
eerste groed, wanneer we de prijs van het tweede goed vasthouden
 P2q1: evolutie van de vraag naar het eerste goed ifvd prijs voor het
tweede goed, wanneer we de prijs van het eerst goed zelf
vasthouden.
 Competitieve goederen: curven zullen stijgend zijn.
 Complementaire goederen: curven zullen dalend zijn.
Bij gegeven inputprijzen geeft een kostenfunctie K : R+ x R+ → R+ : (q1,q2)
→ K = K(q1,q2) aan hoe groot de totale kosten zijn bij bepaalde
productiegrootten.
Bij
s
ij i
zi
:
 Q2K: evolutie van de kosten bij een vaste waarde van q1
 Q1K: evolutie van de kosten bij een vaste waarde van q1
 Q1q2: niveaukrommen
Een nutsfunctie U : R+ x R+ →R+ : (q1,q2) → U = U(q1,q2) geeft het nut weer
dat een consument toekent aan bepaalde combinaties van hoeveelheden
van goederen.
Indifferentiecurven: omvat alle combinaties van goederen die voor een
bepaalde consument eenzelfde nut opleveren
Voor een economische functie f : R+ x R+ → R : x y → f(x,y) geldt:
 De gemiddelde waarde voor f naar de veranderlijke x is de functie
→
→

De gemiddelde waarde voor f naar de veranderlijke y is de functie
→
→
Voor een economische functie f : R+ x R+ → R : x y → f(x,y) geldt:
 De marginale waarde voor f naar de veranderlijke x is de functie
→
→

De marginale waarde voor f naar de veranderlijke y is de functie
→
→
Het gemiddelde product naar de arbeid is het product per eenheid van
arbeid of
→
→
Het gemiddelde product naar het kapitaal is het product per eenheid van
kapitaal of
Marginale
productiefunctie
→
→
Het marginale product naar de arbeid is de ogenblikkelijke relatieve
aangroei van de productie bij een toename van arbeid of
→
→
Het marginale product naar het kapitaal is de ogenblikkelijke aangroei van
het product bij een toename van
→
→
Cobb Douglas
P159-160
Homogene
P163
economische functies
Marginale
P169
substitutieverhouding