wiskunde-1 - WordPress.com

Binomium van Newton
Faculteit
Combinaties
Voor n ∈ N geldt n! = n ∗ (n − 1) ∗ … ∗ 2 ∗ 1 voor n ≠ 0, want 0! = 1
n
n!
Voor n, k ∈ N met k ≤ n geldt ( ) =
k
k! (n − k)!
Matrices
Matrix
Speciale matrix
Symmetrische
matrix
Gelijkheid
Product van de
matrix met een
getal
Transponeren
Som en verschil
van 2 matrices
Product van 2
matrices
Speciale
producten
Determinant van
matrix van orde
2X2
Determinant van
matrix van orde
3X3 - Regel
Sarrus
Definiete matrices
Een matrix van orde mXn (m, n N0 ) is een vlak waarden met m rijen en n kolommen:
a11 a12 a1n
A = (aij )i=1,…,m;j=1….,,n = a21 … a2n
am1 … amn
Een vierkante matrix heeft evenveel rijen als kolommen. De orde is mXm (m ∈ N0 )
Een kolom − matrix is een matrix met orde mX1 (m ∈ N0 )
a1
a= …
am
Een rij − matrix ix een matrix met orde 1Xm (m ∈ N0 )
a′ = (a1 a2 … am )
Een symmetrische matrix is een vierkante matrix die gelijk is aan zijn
getransponeerde, of A=A’. De driehoek boven en onder de hoofddiagonaal zijn
elkaars spiegelbeeld.
Twee matrices van dezelfde orde zijn gelijk als alle overeenkomstige
elementen aan elkaar gelijk zijn: A = B <=> ∀i, ∀j: aij = bij
Een matrix vermenigvuldigen met een (reëel) getal betekent dat je elk element
van de matrix met dat getal vermenigvuldigd:
k ∗ A = C <=> ∀i, ∀j: cij = k ∗ aij
De getransponeerde matrix van een matrix van orde mXn is een matrix van de
orden nXm die bestaat uit de elementen van de oorspronkelijke matrix waarbij
rijen en kolommen werden omgewisseld. Notatie: A’ of AT
Twee matrices van dezelfde orde kunnen bij elkaar opgeteld (resp van elkaar
afgetrokken) worden door alle overeenkomstige elementen bij elkaar op te tellen
(resp van elkaar af te trekken): A ± B = C <=> ∀i, ∀j: aij ± bij = cij
Een matrix van orde mXk en een matrix van orde kXn kunnen met elkaar
vermenigvuldigd worden als volgt: A ∗ B = C <=> ∀i, ∀j: cij = ∑kl=1 ail blj
De matrix C heeft orde mXn. Het element cij vind je door de i-de rij van de matrix A
te vermenigvuldigen met de j-de kolom van de matrix B.
Een uitvoerbaar product van een rij met een matrix is terug een rij. Voor a’ met
orde 1Xw en B met orde mXn heeft het product a’B orde 1Xn.
Een uitvoerbaar product van een matrix met een kolom is terug een kolom. Voor A
met orde mXn en b met orde nX1 heeft het product Ab orde mX1.
Een uitvoerbaar product van een rij met een kolom is een getal. Voor a’ met orde
1Xm en b met orde mX1 heeft het product a’b orde 1X1.
De determinant van een vierkante matrix A van orde 2X2 kan berekend worden
als volgt: det A = |A| = a11 a22 − a12 a21
De determinant van een vierkante matrix A van orde 3X3 kan berekend worden
als volgt:
det A = |A| = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 − a13 a22 a31 − a11 a23 a32
− a12 a21 a33
Een symmetrische matrix A van orde nXn is positief definiet, als voor elke kolom
x≠0 met n elementen geldt dat x’Ax>0
Een symmetrische matrix A van orde nXn is negatief definiet, als voor elke kolom
Definiete matrices
van orde 2X2
Definiete matrices
van orde3X3
x≠0 met n elementen geldt dat x’Ax<0
Een symmetrische matrix A van orde nXn is non-definiet, als voor elke kolom x≠0
en y≠0 bestaan met n elementen waarvoor x’Ax>0 en y’Ay<0
a b
Een symmetrische matrix A =
is
b c
 Positief definiet, indien a > 0 en det A > 0
 Negatief definiet, indien a < 0 en det A > 0
 Non definiet, indien det A < 0
a b c
Een symmetrische matrix A = b d e is
c e f
a b
 Positief definiet, indien a > 0 en det A > 0 en |
|>0
b d
a b
 Negatief definiet, indien a < 0 en det A < 0 en|
|>0
b d
 Non definiet, indien anders
Functies
Functie
Eénwaardig
Eénduidig
Expliciet
Impliciet
Even – oneven
Periodiek
Invers
Samengestelde
functie
Stuksgewijs
gedefinieerde
functie
Een reële functie f is een voorschrift dat aan elk element van een verzameling A
 R (domein of definitiegebied, x-waarde) een element van een verzameling B 
R (bereik of beeldgebied, y-waarde) toekent.
Notatie: f: A→ B: x → f(x) of f: R→ R: x → f(x)
Een functie is éénwaardie wanneer met elke waarde van de onafhankelijke
veranderlijke (x) juist 1 waarde van de afhankelijke veranderlijke (y)
overeenstemt. In andere gevallen noemt men de functie meerwaardig.
Een functie is éénduidig wanneer met elke waarde van de afhankelijk
veranderlijke (y) juist 1 waarden van de onafhankelijke veranderlijke (x)
overeenstemt. In andere gevallen noemt men de functie meerduidig.
Men spreekt van een expliciete voorstelling van de functie f: R→ R, wanneer het
voorschrift kan geëxpliciteerd worden naar de afhankelijke veranderlijke, maw
y=f(x).
Men spreekt van een impliciete voorstelling van de functie f: R→ R, wanneer het
voorschrift niet kan geëxpliciteerd worden naar de afhankelijke veranderlijke,
maar impliciet bepaald wordt uit een verband F(x,y)=0
Een reële functie f: R→ R: x → f(x) is een even functie, indien voor elke waarde x
uit het domein geldt: f(x)=f(-x). de grafiek van de functie is symmetrisch tovd Yas.
Een reële functie f: R→ R: x → f(x) is een oneven functie, indien voor elke waarde
x uit het domein geldt: f(x)= -f(-x). de grafiek van de functie is symmetrisch tovd
oorsprong.
Het is ook mogelijk dat de functie noch even, noch oneven is.
Een reële functie f: R→ R: x → f(x) is een periodieke functie met periode p, indien
p ∈ R+de kleinste waarde is waarvoor elke waarde x uit het domein geldt:
f(x+p)=f(x)
Een reële functie g: R→ R: x → g(x) is een inverse functie van f: R→ R: x → f(x),
indien voor elke waarde y uit het domein van f geldt: f(y)=x  g(x)=y
(f’(x)=y)
Meestal noteert men de inverse functie als g=f -1. De beeldlijnen van de functies f
en f -1 zijn gespiegeld tov de eerste bissectrice (y=x)
Een reële functie f: R→ R: x → f(x) is een samenstelling van functies g: R→ R: →
g(x) en h: R→ R: → h(x), of f= g  h, indien voor elke waarde van x geldt f(x)=
g(h(x)).
Een reële functie g: R→ R: x → g(x) is een stuksgewijs gedefinieerde functie
indien het voorschrift verschilt voor verschillende delen va het domein van de
functie.
Een lineaire functie of affiene functie heeft voorschrift f: R→ R: x → f(x) = mx+q.
Een lineaire functie wordt grafisch voorgesteld door een rechte. De waarde m is
de richtingscoëfficiënt of helling van de functie, de waarde q bepaalt het snijpunt
van de beeldlijn van de functie met de y-as.
Een vergelijking van een rechte kan geschreven worden in;
Impliciete vorm ax+by+c=0, met a, b ∈ R niet beiden nul, of
Expliciete vorm y=mx+q, met m, q ∈ R, of
Expliciete vorm x=p, met p ∈ R
Lineaire functie
De vergelijking van een rechte door twee punten met coördinaten (x1 , y1 ) en
(x2 , y2 ) kan gevonden worden als (x2 − x1 )(y− y1 ) = (x− x1 )(y2 − y1 )
(y −y )
De rico = (x2 −x1)
2
Absolute waarde
functie
Veeltermfunctie
Parabool
1
De vergelijking van een rechte door 1 punt met coördinaten (x1 , y1 ) en met
gegeven rico m kan gevonden worden als y –y1=m(x-x1)
Snijpunten van 2 rechten met vergelijkingen a1x+b1y+c1=0 en a2x+b2y+c2=0
kunnen gevonden worden door oplossing van het stelsel
a1x + b1y + c1 = 0
{
a2x + b2y + c2 = 0
Ofwel heeft dit geen enkele oplossing, ofwel heeft dit 1 unieke oplossing
(snijpunt), ofwel heeft dit oneindig veel oplossingen (rechten vallen samen).
De absolute waarde functie associeert met elk reëel getal zijn absolute waarde:
abs : R→ R: x → abs(x) = |x|
Een veeltermfunctie van graad n heeft voorschrift f: R→ R: x → f(x) = anxn+ an1xn-1+…+a1x+a0, met n ∈ N en met a0, a1,…, an-1, an ≠ 0.
Een veeltermfunctie heeft als domein de gehele reële as, en wordt grafisch
voorgesteld door een gladde éénwaardige kromme.
De top van de parabool heeft coördinaten (x0,y0).
De symmetrieas is evenwijdig aan de y-as en heeft vergelijking x = x0.
De parabool heeft de holle zijde naar boven indien a>0, naar benden indien a<0.
Elke vergelijking van de gedaante y=ax²+bx+c beschrijft een parabool. Om de
b
top te kennen, bereken je x0= -2a;y0 is dan de functiewaarde van x0.
Een rationale functie heeft voorschrift f : R→ R: x → f(x) =
Rationale functie
(veeltermbreuk)
Irrationale functie
Cirkel
Sinusfunctie
Cosinusfunctie
an xn +an−1 xn−1 +⋯+a1 x+a0
bm xm +bm−1 xm−1 +⋯+b1 x+b0
, met n ∈ N en met a0, a1,…, an-1, an, b0, b1,…, bn-1, bn ∈ R.
het domein van een rationale functie is de reële as verminderd met de waarden
waarvoor de noemer nul wordt.
Een irrationale functie heeft een voorschrift waarin een of meer wortelvormen
voorkomen. Het domein van een irrationale functie is beperkt tot dat deel van de
reële as waarvoor het argument onder de wortel het juiste teken bezit.
De impliciete vergelijking: (x-x0)²+(y-y0)²=r², met x0, y0 ∈ R en r ∈ R+0 beschrijft
een cirkel. Het middelpunt van deze cirkel heeft coördinaten (x0,y0); de straal is
r.
De sinusfunctie sin : R→ R: x → sin(x)
 Is positief voor hoeken uit het eerste en tweede kwadrant, en negatief
voor hoeken uit het derde en vierde kwadrant.
 Heeft domein en R bereik [−1, 1].
 Is éénwaardig en meerduidig
 Is een oneven functie
 Is een periodieke functie met periode 2π
De cosinusfunctie cos : R→ R: x → cos(x)

Tangensfunctie
Boogsinusfunctie
Bgsin (eigenschap)
Boogcosinusfunctie
Bgcos (eigenschap)
Boogtangensfunctie
Bgtan (eigenschap)
Exponentiële
functie
Exponentiële
functie
(eigenschap)
Is positief voor hoeken uit het eerste en vierde kwadrant, en negatief voor
hoeken uit het tweede en derde kwadrant.
 Heeft domein en R bereik [−1, 1].
 Is éénwaardig en meerduidig
 Is een even functie
 Is een periodieke functie met periode 2π
De tangensfunctie tan : R→ R: x → tan(x)
 Is positief voor hoeken uit het eerste en derde kwadrant, en negatief voor
hoeken uit het tweede en vierde kwadrant.
π
 Heeft domein en R\{(2n + 1) 2 : n ϵ Z} bereik R.
 Is éénwaardig en meerduidig
 Is een oneven functie
 Is een periodieke functie met periode 2π
De boogsinusfunctie is de inverse van de sinusfunctie. De gewone
boogsinusfuctie bgsin wordt gedefinieerd als y=bgsin(x)  x=sin(y).
x = sin(y)
De hoofdwaarde Bgsin wordt gedefinieerd als y = Bgsin (x) {
π π
y ∈ [− 2 , 2 ]
De functie bgsin : R→ R: x → bgsin(x)
 Heeft domein [-1, 1] en bereik R
 Is meerwaardig en éénduidig
De functie Bgsin : R → R: x → Bgsin(x)
 Heeft domein [-1, 1] en bereik [-π/2, π/2]
 Is éénwaardig en éénduidig
De boogcosinusfunctie is de inverse van de cosinusfunctie. De gewone
boogcosinusfuctie bgcos wordt gedefinieerd als y=bgcos(x)  x=cos(y).
x = cos(y)
De hoofdwaarde Bgcos wordt gedefinieerd als y = Bgcos (x) {
y ∈ [0, π]
De functie bgcos : R→ R: x → bgcos(x)
 Heeft domein [-1, 1] en bereik R
 Is meerwaardig en éénduidig
De functie Bgcos : R → R: x → Bgcos(x)
 Heeft domein [-1, 1] en bereik [0, π]
 Is éénwaardig en éénduidig
De boogtangensfunctie is de inverse van de tangensfunctie. De gewone
boogtangensfuctie bgtan wordt gedefinieerd als y=bgtan(x)  x=tan(y).
x = tan(y)
De hoofdwaarde Bgtan wordt gedefinieerd als y = Bgtan (x) {
π π
y ∈ [− 2 , 2 ]
De functie bgtan : R→ R: x → bgtan(x)
 Heeft domein R en bereik R\{(2n+1) π/2 : n ∈ Z}
 Is meerwaardig en éénduidig
De functie Bgtan : R → R: x → Bgtan(x)
 Heeft domein [-1, 1] en bereik ]-π/2, π/2[
 Is éénwaardig en éénduidig
Een exponentiële functie heeft voorschrift expa : R → R+ : x → expa(x) = ax, met a
∈ R+\{0,1}.
Het domein van een exponentiële functie is R, het bereik is R+0.
Het grondtal a is noodzakelijk strikt positief, maar verschillend van 1.
Een exponentiële functie expa met a ∈ R+{0,1} is
 Een éénwaardige functie
 Een strikt stijgende functie indien a>1, en een strikt dalende functie
indien a<1
Logaritmische
functie
Logaritmische
functie (eig)
Figuren p 39
De logaritmische functie loga is de inverse van de exponentiële functie expa. Ze
heeft voorschrift loga : R+0 → R : x → loga(x) met a ∈ R+\{0,1}, en wordt
gedefinieerd als y = loga(x)  x= ay. Het domein van een logaritmische functie
is R+0, het bereik is R.
Het grondgetal a is noodzakelijk strikt positief, maar verschillend van 1.
Een logaritmische functie loga met a ∈ R+\{0,1} is
Een éénwaardige functie
Een strikt stijgende functie indien a>1, en een strikt dalende functie indien a<1
Limieten
Limiet
Een functie f : R → R : x → f(x)bereikt in het punt x = a de limietwaarde L, of
lim f(x) = L als de functiewaarden willekeurig dichtbij L komen voor die punten
Oneigenlijk
die dicht naar a naderen. A mag ook ∞ zijn.
Wanneer de functiewaarde f(x) onbeperkt toeneemt of afneemt wanneer x
nadert naar een reëel getal a, dan noemt men de limiet oneigenlijk. lim f(x) =
Linker – en
rechterlimiet
x →a
x →a
±∞. In dit geval bereken we afzonderlijk linker – en rechterlimiet.
De linkerlimiet van en functie f in het punt x =a wordt gedefinieerd als lim
f(x)
→
x< a
De rechterlimiet van en functie f in het punt x =a wordt gedefinieerd als lim
f(x)
→
x> a
Een functie f : R → R : x → f(x) is continu in een punt x =a als lim f(x) = f(a).
Continuïteit
Asymptoten
x →a
Indien de functiewaarde of de limietwaarde niet bestaan, of indien ze
verschillend zijn, noemt men de functie discontinu in het betreffende punt.
Een asymptoot van een functie is een rechte die de beeldlijn van deze functie
willekeurig dicht nadert. Men deelt de asymptoten op in 3 types:
 Horizontale asymptoot: y=b
 Verticale asymptoot: x=a
 Schuine asymptoot: y=mx+q (m≠0)
Een éénwaardige functie kan een onbeperkt aantal verticale asymptoten hebben,
maar in totaal hoogstens 2 schuine en/of horizontale asymptoten.
Afgeleiden
Afgeleiden in een
punt
De afgeleide van functie f : R → R : x → f(x) in een punt x0 wordt gedefinieerd
door:
df(x)
f(x +h)−f(x )
F’(x0)= dx (x0) = limh→0 0 h 0
df
De afgeleide functie f’ of dx van een functie f : R → R : x → f(x) beeldt elk punt af
df
Afgeleide functie
Helling
Kettingregel
Afleidbaarheid en
f(x+h)−f(x)
op de afgeleide in dat punt, of f’ : R → R : x → f’(x) = dx (x) = limh→0
h
Een functie is afleidbaar in een punt, als de afgeleide in dat punt bestaat, of als
dat punt behoort tot het domein van de afgeleide functie.  als de limiet bestaat.
f(x+∆x)− f(x) ∆y
Noteren we ∆x ipv h, dan kunnen we de breuk schrijven als
=∆x. Men
∆x
noemt dit een differentiequotiënt.
De helling van de curve f in een punt P = (x0, f(x0)) is de helling van de raaklijn
aan de curve in dat punt, en kan berekend worden als de afgeleide van f in het
f(x+h)−f(x)
punt x0 of f’(x0)= limh→0
.
h
Indien f en g afleidbare functies zijn, dan geldt voor de samengestelde functie f 
g
d
d
(f g)(x) = dx (f(g(x))) = f’(g(x))g’(x)
dx
Een functie f die afleidbaar is in een punt x=a, ia automatisch ook continu in dat
continuïteit
punt. Een functie f die continu is in een punt x=a, is in dat punt niet noodzakelijk
afleidbaar. Continuïteit is dus een nodige, maar geen voldoende voorwaarde
voor afleidbaarheid.
Vb absolute waarde functie abs : x → |x|, waarvoor we de afgeleide functie
d
− 1 als x < 0
kunnen berekenen als dx abs(x) = {
1 als x > 0
In alle punten x ≠ 0 bestaat de afgeleide, en is de functie abs continu, in x = 0 is
de functie wel continu, maar bestaat de afgeleide niet.
De hogere orde afgeleiden van een functie f : R → R : x → f (x) worden
gedefinieerd als
Hogere orde
afgeleide
f’’(x) = dx² f(x)= dx (f’(x))
Raaklijnen
Lineaire
benadering
Differentiaal
Impliciet afleiden
Logaritmisch
afleiden
d²
d
d³
d
dn
d
f’’’(x) = dx³ f(x) = dx (f’’(x))
fn(x) = dxn f(x) = dx (fn-1(x)), n ≥ 2
Beschouw een afleidbare functie f en een punt P = (x0,f(x0)). De vergelijking van
de raaklijn aan de curve in het punt P luidt y-f(x0) = f’(x0)(x-x0)
De beeldwaarde op de raaklijn kan gebruikt worden al benadering voor de
werkelijke functiewaarde, of voor x in de buurt van x0. F(x) ≈ f(x0)+f’(x0)(x-x0).
Men noemt dit een lineaire benadering of benadering van eerste orde.
Voor een afleidbare functie met voorschrift y=f(x) wordt de differentiaal in een
punt x0 gedefinieerd al df(x0)=f’(x0)dx + p77
Wanneer de vergelijking van een functie gegeven is in een impliciete vorm F(x,y)
= 0, dan kan de afgeleide van y naar x, of van de (onbekende) expliciete vorm y
= f(x) als volgt gevonden worden:
 Leid beide leden af naar x
 Groepeer de termen met y’ en de termen zonder y’
 Los op naar y’
Vbn p 78 en 79
Voor elke functie met expliciete vergelijking y = f(x), kan de afgeleide al volgt
gevonden worden:
 Neem de logaritme van beide leden, en vereenvoudig ln(f(x))
 Leid beide leden af naar x
 Los op naar y’
Vbn p 80
Extremum-onderzoek
Stijgen – dalen
Stijgen – dalen
(eigenschap)
Een functie f is stijgend op een interval als voor elke twee punten a<b uit dit
interval geldt dat f(a)≤f(b).
Een functie f is dalend op een interval als voor twee punten a<b uit dit interval
geldt dat f(a) ≥f(b)
Strikt wil zeggen dat er geen horizontale stukken zijn.
Opmerking: punten waar de functie overgaat van stijgen naar dalen of van dalen
naar stijgen, zijn (lokale) extrema (minimum, maximum)
Beschouw een functie f die continu en afleidbaar is op een interval.
De functie f is stijgend op dit interval  f’ ≥ 0 voor alle punten van het interval.
De functie f is dalend op dit interval  f’ ≤ 0 voor alle punten van het interval.
Indien f’=0 op een interval, dan is de functie tegelijkertijd stijgend en dalend, en
dus constant op dit interval.
Vb p 104
Opmerking:
De eigenschap zegt dat wanneer een functie overal in een interval afleidbaar is,
het teken van de afgeleide aangeeft of de functie stijgt of daalt op dit interval.
Ook wanneer er een discreet aantal punten zijn waar de afgeleid oneigenlijk is of
Convex - concaaf
Convex – concaaf
(eig)
Absolute extrema
Lokale extrema
Eerste test voor
extrema
Tweede test voor
extrema
zelfs niet bestaat, blijft de eigenschap gelden. Zie p 105
Een functie f is convex op een interval als voor elke twee punten a en b uit dit
interval geldt dat f((a+b)/2) ≤ (f(a)+f(b))/2
Een functie is concaaf op een interval als voor elke twee punten a en b uit dit
interval geldt dat f((a+b)/2) ≥ (f(a)+f(b))/2
Opmerking:
Punten waar de functie overgaat van convex naar concaaf of andersom, zijn
buigpunten.
Voor afleidbare functies bestaat er een eenvoudig verband tussen het convex en
concaaf zijn en het teken van de tweede afgeleide.
Beschouw een functie f die continu en tweemaal afleidbaar is op een interval
De functie f is convex op dit interval f’’ ≥ 0 voor alle punten van het interval.
De functie f is concaaf op dit interval  f’’ ≤ 0 voor alle punten van het interval.
Indien f’’ = 0 op een interval, dan is de functie tegelijkertijd convex en concaaf en
dus lineair op dit interval.
Opmerking:
De eigenschap zegt dat wanneer een functie over in een interval tweemaal
afleidbaar is, het teken van de tweede afgeleide aangeeft of de functie convex of
concaaf is op dit interval. Opnieuw blijft de eigenschap gelden wanneer er een
discreet aantal punten zijn waar de tweede afgeleide oneigenlijk is of zelfs niet
bestaat.
Een continue functie f bereikt een absoluut maximum in het punt a indien voor
elk punt x uit het domein geldt dat f(x) ≤ f(a).
Een continue functie f bereikt een absoluut minimum in het punt a indien voor
elk punt x uit het domein geldt dat f(x) ≥ f(a).
Een continue functie f bereikt een lokaal maximum in het punt x0 indien voor elk
punt x in de buurt van het punt x0 geldt dat f(x) ≤ f(x0).
Een continue functie f bereikt een lokaal minimum in het punt x0 indien voor elk
punt x in de buurt van het punt x0 geldt dat f(x) ≥ f(x0).
Let op:
Bij een continue functie kan een extremum enkel optreden in punten waar de
afgeleide nul wordt of niet bestaat. Het omgekeerde is niet waar: het feit dat de
afgeleide nul wordt, garandeert niet dat we te maken hebben met een extremum.
Het gaat dus om een noodzakelijke voorwaarde, maar niet om een voldoende
voorwaarde.
Beschouw een functie f die continu is in een punt x0, dat geen randpunt is van het
domein. Als de afgeleide functie in het punt x0 verandert van teken, dan bereikt
de functie in x0 een lokaal extremum.
 Indien f’(x) > 0 op ]x0 - h, x0[ en f’(x) < 0 op ]x0, x0+h[ voor h ∈ R+, maw
indien f in x0 overgaat van stijgen naar dalen, dan heeft f een lokaal
maximum in x0.
 Indien f’(x) < 0 op ]x0 - h, x0[ en f’(x) > 0 op ]x0, x0+h[ voor h ∈ R+, maw
indien f in x0 overgaat van dalen naar stijgen, dan heeft f een lokaal
minimum in x0.
Opmerking:
Het bestaan van f’(x0) zelf is in deze stelling niet vereist; in het punt x0 kan de
afgeleide nul worden (een kritisch punt of stationair punt), of kan de afgeleide
niet bestaan (een singulier punt). Voor functies die overal afleidbaar zijn, komen
enkel de stationaire punten in aanmerking voor het bepalen van extrema.
Beschouw een functie f die tweemaal afleidbaar is op een interval [a, b].
 De functie f bereikt een lokaal maximum in een punt x0 van het interval
Buigpunten
Eerste test voor
buigpunten
Tweede test voor
buigpunten
Globaal
functieverloop
f ′ (x ) = 0
]a, b[, als { ′′ 0
f (x0 ) < 0
 De functie f bereikt een lokaal minimum in een punt x0 van het interval ]a,
f ′ (x ) = 0
b[, als { ′′ 0
f (x0 ) > 0
De voorwaarde op f’ noemt men eerste orde voorwaarde en die op f’’ tweede
orde voorwaarde.
Opmerking:
Indien f’(x0) = 0 en f’’(x0) = 0, dan kunnen we geen onmiddellijk besluit trekken,
en is verder onderzoek noodzakelijk, vb door toepassing van de eerste test voor
extrema. Het punt x0 kan dan naast een extremum ook een buigpunt zijn.
Vb p 108 -109
Een continue functie f bereikt een buigpunt in het punt x0, indien de functie in dit
punt overgaat van een convexe toestand naar een concave toestand, of
andersom.
Beschouw een functie f die continu is in een punt x0, dat geen randpunt is van het
domein. Als de tweede afgeleide in het punt x0 verandert van teken, dan bereikt
de functie in x0 een buigpunt.
 Indien f’’(x) > 0 op ]x0 – h, x0[ en f’’(x) < 0 op ]x0, x0 + h[ voor h ∈ R+,
maw indien f in x0 overgaat van convex naar concaaf, dan heeft f een
buigpunt in x0
 Indien f’’(x) < 0 op ]x0 – h, x0[ en f’’(x) > 0 op ]x0, x0 + h[ voor h ∈ R+,
maw indien f in x0 overgaat van concaaf naar convex, dan heeft f een
buigpunt in x0
Beschouw een functie f die tweemaal afleidbaar is op een interval [a, b]/
 De functie f bereikt een buigpunt in een punt x0 van het interval ]a, b[, als
f ′′ (x0 ) = 0
{ ′′
f wisselt van teken in x0
Vb p 110
Doorloop volgende stappen bij het onderzoek naar het verloop van een reële
functie f:
1. Domein
 Bestaansinterval
 Discontinuïteitspunten
2. Symmetrieën
 Even – oneven
 Periodiciteit
3. Eenvoudige punten
 Snijpunten met coördinaatassen
 Randpunten van het bestaansinterval
4. Asymptoten
 Horizontale en schuine asymptoten
 Verticale asymptoten
5. Eerste afgeleide
 Voorschrift van f’
 Nulpunten van f’ (stationaire punten) en punten waar f’ niet bestaat
(singuliere punten)
 Teken van f’ voor stijgen en dalen van f
 Extrema
6. Tweede afgeleide
 Voorschrift van f’’
 Nulpunten van f’’ en punten waar f’’ niet bestaat
 Teken van f’’ voor convexiteit van f
 Buigpunten
7. Grafiek
Vbn p 112 – 116
Functies
Functie
Onafhankelijke en
afhankelijke
veranderlijken
Impliciet
Expliciet
P 125 - 128
Contour
Contour-plot
Homogene functie
Uitbreiding: ndimensies
Een reële functie f met twee veranderlijken is een voorschrift dat aan elk
element van een verzameling A  R x R (domein of definitiegebied) een element
van een verzameling B  R (bereik of beeldgebied) toekent.
Notatie: f: R x R→ R : (x,y) → f(x,y) of f: R²→ R: (x,y) → f(x,y)
X en y zijn onafhankelijke veranderlijken
Z is de afhankelijke veranderlijke
Men spreekt van een impliciete voorstelling van de functie f: R x R→ R, wanneer
het voorschrift niet kan geëxpliciteerd worden naar de afhankelijke
veranderlijke, maar impliciet bepaald wordt uit een verband F(x,y,z)=0
Men spreekt van een expliciete voorstelling van de functie f: R x R→ R, wanneer
het voorschrift kan geëxpliciteerd worden naar de afhankelijke veranderlijke,
maw z=f(x,y).
Oppervlakken en krommen, vlakken en rechten, gebruik van vlakke doorsneden
Oor een reële functie f met twee veranderlijken f : R → R : (x,y) → f(x,y)
definieert men een contour of contourlijn als de verzameling van alle punten in
het XY-vlak met eenzelfde beeldwaarde, of Cf(α)={(x,y) ∈ R² | f(x,y) = α}
Is een grafische voorstelling van verschillende contourlijnen tegelijkertijd.
(grijstinten) p129
Een reële functie f : R² → R : (x,y) → f(x,y) is een homogene functie van graad m,
indien voor elk paar (x,y) uit het domein en voor willekeurige t ∈ R+0 geldt:
f(tx,ty) = tm f(x,y).
Opmerking:
De graad m hoeft niet noodzakelijk geheel of positief te zijn.
Vbn p 130
Speciale situaties zijn homogene functies met graad 1 en graad 0.
Zie p 130
Algemene functies: zie p 132
Homogene functies: zie p 132
Partiële afgeleiden
De partiële afgeleide naar x van de functie f : R² → R : (x, y) → f(x, y) in een punt
∂f
f(x +h,y0 )− f(x0 ,y0 )
(x0, y0) wordt gedefinieerd door: f’x (x0, y0) = ∂x (x0 , y0 ) = lim 0
h
h→0
Partiële afgeleiden
De partiële afgeleide naar y van de functie f : R² → R : (x, y) → f(x, y) in een punt
∂f
f(x ,y +h)− f(x0 ,y0 )
(x0, y0) wordt gedefinieerd door: f’y (x0, y0) = ∂y (x0 , y0 ) = lim 0 0 h
h→0
Beide partiële afgeleiden kunnen we terug als functies definiëren, waarvoor we
∂f
∂f
de notaties f’x = ∂x of f’y = ∂y gebruiken.
Betekenis partiële
afgeleide
De partiële afgeleide van een functie f naar x berekend in het punt (x0, y0), is
gelijk aan de helling van de raaklijn aan de (vlakke) doorsnede van het
oppervlak met het val y = y0 in het punt P = (x0, y0, f(x0, y0)):
z = f(x, y0 )
 Vlakke doorsnede: {
y = y0
f(x +h,y0 )− f(x0 ,y0 )
 Helling: f’x (x0, y0) = lim 0
h
h→0
De partiële afgeleide van een functie f naar y berekend in het punt (x0, y0), is
gelijk aan de helling van de raaklijn aan de (vlakke) doorsnede van het
oppervlak met het val x = x0 in het punt P = (x0, y0, f(x0, y0)):
z = f(x0 , y)
 Vlakke doorsnede: {
y = y0
f(x ,y +h)− f(x0 ,y0 )
 Helling: f’y (x0, y0) = lim 0 0 h
h→0
Vaststellingen:
∂f
 ∂x(x0, y0) >0: doorsnede van het oppervlak met het vla y = y0 in het punt
P stijgend
∂f
 ∂x(x0, y0) <0: doorsnede van het oppervlak met het vla y = y0 in het punt
P dalend
∂f
 ∂y(x0, y0) >0: doorsnede van het oppervlak met het vla x = x0 in het punt

Hogere orde
partiële afgeleiden
Stelling van Young
of stelling van
Clairaut
Hessiaan
Raakvlak
Lineaire
benadering
Totale differentiaal
Impliciete functie
F(x,y) = 0
P stijgend
∂f
(x0, y0) <0: doorsnede van het oppervlak met het vla x = x0 in het punt
∂y
P dalend
De tweede orde partiële afgeleiden van een functie f : R² → R : (x,y) → f(x,y)
worden gedefinieerd als:
∂²f
∂ ∂f
′′
fxx
=
=
( )
∂x ∂x
∂x²
∂2 f
∂ ∂f
′′
fxy
=
=
( )
∂x ∂y
∂x ∂y
∂2 f
∂ ∂f
′′
fyx
=
=
( )
∂y ∂x
∂y ∂x
∂²f
∂ ∂f
′′
fyy
=
=
( )
∂y ∂y
∂y²
Vbn p 150 – 151
Beschouw een functie f : R² → R: (x,y) → f(x,y) waarvoor de beide gemengde
′′
′′
partiële afgeleiden fxy
en fyx
continu zijn in een gebied G  R². dan geldt op dit
′′
′′
gebied G dat fxy = fyx
Verder uitleg p 151 -152
Voor een functie f : R² → R: (x,y) → f(x,y) wordt de hessiaan of Hessiaanse matrix
in het punt (x,y) gedefinieerd al:
∂2 f
∂²f
(x, y)
(x, y)
′′
′′
2
fxx
(x, y) fxy
(x, y)
∂x
∂x ∂y
Hf (x, y) =
= ( ′′
)
′′
fyx (x, y) fyy (x, y)
∂²f
∂²f
(x, y)
(x, y)
∂y²
(∂y ∂x
)
Merk op: ALTIJD symmetrisch
Beschouw een afleidbare functie f en een punt P = (x0,y0, f(x0,y0)). De
vergelijking van het raakvlak aan het oppervlak in het punt P luit: z – f(x0,y0) =
fx′ (x0, y0) (x-x0) +fy′ (x0,y0) (y-y0)
De beeldwaarde op het raakvlak kan gebruikt worden al benadering voor de
werkelijke functiewaarde, of voor (x,y) in de buurt van (x0,y0): f(x,y)≈ f(x0,y0) +
fx′ (x0, y0) (x-x0) +fy′ (x0,y0) (y-y0). Men noemt dit een lineaire benadering of
benadering van eerste orde.
Voor een partieel afleidbare functie met voorschrift z = f(x,y) wordt de totale
differentiaal in een punt (x0, y0) gedefinieerd als df(x0,y0) = fx′ (x0,y0)dx +
fy′ (x0,y0)dy = dxf(x0,y0) + dyf(x0,y0).
Verkorte notatie: dz= fx′ dx + fy′ dy
Wanneer de vergelijking van een functie met één onafhankelijke veranderlijke
gegeven is in een impliciete vorm F(x,y) = 0, dan kan de afgeleide voor de
(onbekende) expliciete vorm y = f(x) in een punt x0 gevonden worden als: f’(x0)
=
Bewijs p 155
− F′x (x0 ,y0 )
F′y (x0 ,y0 )
is en de partiële afgeleide in de noemer verschilt van nul.
F(x,y) = 0
↓
dF(x,y)=0
↓
Fx′ dx + Fy′ dy = 0
↓
Fy′ dy = − Fx′ dx
↓
dy
Y’=dx = −
Impliciete functie
F(x,y,z) = 0
Bewijs p 156
met y0 bepaald door F(x0,y0)=0 voor zover de functie f gedefinieerd
F′x
F′y
Wanneer de vergelijking van een functie met twee onafhankelijke veranderlijken
gegeven is in een impliciete vorm F(x,y,z) = 0, dan kan de afgeleide voor de
(onbekende) expliciete vorm z = f(x,y) in een punt (x0,yà) gevonden worden als:
− F′x (x0 ,y0 ,z0 )
fx′ (x0,y0) =
F′z (x0 ,y0 ,z0 )
∂z
= ∂x en fy′ (x0,y0) =
− F′y (x0 ,y0 ,z0 )
F′z (x0 ,y0 ,z0 )
∂z
= ∂x met z0 bepaald door
F(x0,y0,z0)=0 voor zover de functie f gedefinieerd is en de partiële afgeleide in de
noemer verschilt van nul.
F(x,y,z) = 0
↓
dF(x,y,z)=0
↓
Fx′ dx + Fy′ dy + Fz′ dz = 0
↓
Fz′ dz = − Fx′ dx − Fy′ dy
↓
dz = −
F′x
F′z
dx −
F′y
F′z
dy
↓
∂z
= −
∂x
Raaklijn
F′z
Bewijs
F′y
F′z
− F′x (x0 ,y0 )
F′y (x0 ,y0 )
↓
(y − y0 ) =
Raakvlak
∂z
en ∂y = −
De vergelijking van de raaklijn in het punt P = (x0,y0) aan de curve met
impliciete vergelijking F(x,y)=0 luidt Fx′ (x0 , y0 )(x − x0 ) + Fy′ (x0 , y0 )(y − y0 ) = 0
(y − y0 ) = f′(x0 )(x − x0 )
↓
f’(x0) =
Bewijs
F′x
− Fx′ (x0 , y0 )
(x − x0 )
Fy′ (x0 , y0 )
↓
Fy′ (x0 , y0 )(y − y0 ) = − Fx′ (x0 , y0 )(x − x0 )
De vergelijking van het raakvlak in het punt P = (x0,y0,z0) aan de curve met
impliciete vergelijking F(x,y,z)=0 luidt Fx′ (x0 , y0 , z0 )(x − x0 ) + Fy′ (x0 , y0 , z0 )(y −
y0 ) + Fz′ (x0 , y0 , z0 )(z − z0 ) = 0
(z − z0 ) = fx′ (x0 , y0 )(x − x0 ) + f(x0 , y0 )(y − y0 )
↓
− Fy′ (x0 , y0 , z0 )
− Fx′ (x0 , y0 , z0 )
′ (x
′
fx 0 , y0 ) =
en fy (x0 , y0 ) =
Fz′ (x0 , y0 , z0 )
Fz′ (x0 , y0 , z0 )
↓
(z − z0 ) =
Homogene functies
↓
Fz′ (x0 , y0 , z0 )(z − z0 ) = −Fx′ (x0 , y0 , z0 )(x − x0 ) − Fy′ (x0 , y0 , z0 )(y − y0 )
Indien de functie f : R² → R homogen is van graad m, en indien de partiële
afgeleiden bestaan, dan geldt voor de partiële afgeleiden van eerste orde:
𝜕𝑓
𝜕𝑓
 De functies 𝜕𝑥 en 𝜕𝑦 zijn ook homogene functie van graad m -1

N – dimensies
Fy′ (x0 , y0 , z0 )
− Fx′ (x0 , y0 , z0 )
(x
)
(y − y0 )
−
x
−
0
Fz′ (x0 , y0 , z0 )
Fz′ (x0 , y0 , z0 )
𝜕𝑓
𝜕𝑓
x𝜕𝑥(x,y) + y𝜕𝑦(x,y) ≡ 𝑚(𝑓𝑥, 𝑦) stelling/identiteit van Euler p 164
Vbn p164
P 165 – 166
Extremum-onderzoek
Lokale extrema
Lokale extrema
eerst orde
voorwaarde
Hessiaan
Teken hessiaan
Lokale extrema
tweede orde
voorwaarde
Gebonden
extremum
probleem
lagrangefunctie
Gebonden extrema
eerst orde
voorwaarde
Een functie f : R² → R bereikt een lokaal maximum in het punt (x0,y0), indien
voor elk punt (x,y) in de buurt van het punt (x0,y0) geldt dat f(x,y)≤f(x0,y0)
Een functie f : R² → R bereikt een lokaal minimum in het punt (x0,y0), indien voor
elk punt (x,y) in de buurt van het punt (x0,y0) geldt dat f(x,y)≥f(x0,y0)
Een partieel afleidbare functie f : R² → R kan enkel ene lokaal extremum
bereiken in het punt (x0,y0) als dit punt een stationair of kritisch punt is, ie
𝑓𝑥′ (𝑥0 , 𝑦0 ) = 0
{ ′
𝑓𝑦 (𝑥0 , 𝑦0 ) = 0
Voor een functie f : R² → R : (x,y) → f(x,y) wordt de Hessiaan of Hessiaanse
matrix voor een punt (x0,y0) gedefinieerd als:
′′
′′
𝑓𝑥𝑥
(𝑥0 , 𝑦0 ) 𝑓𝑥𝑦
(𝑥0 , 𝑦0 )
𝐻𝑓 (𝑥0 , 𝑦0 ) = ( ′′
)
′′
𝑓𝑦𝑥 (𝑥0 , 𝑦0 ) 𝑓𝑦𝑦 (𝑥0 , 𝑦0 )
Een Hessiaanse matrix Hf(x0,y0) is
′′ (𝑥
 positief definiet als 𝑓𝑥𝑥
0 , 𝑦0 ) > 0 en det [Hf(x0,y0)]>0
′′ (𝑥
 negatief definiet als 𝑓𝑥𝑥 0 , 𝑦0 ) > 0 en det [Hf(x0,y0)]> 0
 non definiet als det [Hf(x0,y0)]<0
Beschouw een partieel afleidbare functie f en een stationair punt (x0,y0). Als de
Hessiaan Hf(x0,y0) positief of negatief definiet is, dan bereikt de functie in (x0,y0)
een lokaal extremum.
 Als Hf(x0,y0) negatief definiet is, dan heeft f een lokaal maximum in (x0,y0)
 Als Hf(x0,y0) positief definiet is, dan heeft f een lokaal minimum in (x0,y0)
Als Hf(x0,y0) non definiet is, dan heeft f een zadelpunt in (x0,y0)
Opmerking:
In andere gevallen kan er niet meteen een besluit genomen worden en is er
verder onderzoek noodzakelijk. Dit kan door toepassing van andere methoden.
Vbn p176 – 180
Bij een gebonden extremum-probleem zoeken we de extrema van een functie f :
R² → R : (x,y) → f(x,y) onder een voorwaarden (nevenvoorwaarde) g(x,y)=C. De
functie f noemen we de doelfunctie, alle punten (x,y) die voldoen aan de
nevenvoorwaarde worden toegelaten punten of bruikbare punten genoemd.
Berekening volgens substitutiemethode (vb p181) of Lagrange-methode.
Voor het bepalen van de extrema van een functie f : R² → R onder een
voorwaarden (nevenvoorwaarde) g(x,y)=C, wordt de Lagrange-functie
gedefinieerd als L(x,y,) = f(x,y) - (g(x,y)-C). De variabele  noemt men de
Lagrange-multiplicator.
Een partieel afleidbare functie f : R² → R kan enkel een extremum bereiken in het
punt (x0,y0) onder de voorwaarde g(x,y)=C met g een partieel afleidbare functie,
als dit punt deel uitmaakt van een stationair punt voor de lagrange-functie, ie als
Intuïtieve
verklaring
Gerande hessiaan
Determinant
gerande hessiaan
Gebonden extrema
tweede orde
voorwaarde
Betekenis Lagrange
multiplicator
n-dimensies p 190 195
er een waarde 0 bestaat waarvoor:
𝐿′𝑥 (𝑥0 , 𝑦0 , 0 ) = 0 → 𝑓𝑥′ (𝑥0 , 𝑦0 ) − 0 𝑔𝑥′ (𝑥0 , 𝑦0 )′ = 0
{𝐿′𝑦 (𝑥0 , 𝑦0 , 0 ) = 0 → 𝑓𝑦′ (𝑥0 , 𝑦0 ) − 0 𝑔𝑦′ (𝑥0 , 𝑦0 )′ = 0
𝐿′ (𝑥0 , 𝑦0 , 0 ) = 0 → 𝑔(𝑥0 , 𝑦0 ) = 𝐶
Uitwerking p 182
Zie p 182
Vbn p 183 – 184
Voor een lagrange-functie L : R³ → R : (x,y,) → L(x,y,) = f(x,y) - (g(x,y)-C)
wordt de gerande Hessiaan voor een punt (x0,y0,0) gedefinieerd als:
0
𝑔𝑥′ (𝑥0 , 𝑦0 )
𝑔𝑦′ (𝑥0 , 𝑦0 )
̃𝑓,𝑔 (𝑥0 , 𝑦0 , 0 ) = − (𝑔𝑥′ (𝑥0 , 𝑦0 ) 𝐿′′𝑥𝑥 (𝑥0 , 𝑦0 , 0 ) 𝐿′′𝑥𝑦 (𝑥0 , 𝑦0 , 0 ))
𝐻
𝑔𝑦′ (𝑥0 , 𝑦0 ) 𝐿′′𝑦𝑥 (𝑥0 , 𝑦0 , 0 ) 𝐿′′𝑦𝑦 (𝑥0 , 𝑦0 , 0 )
Beschouw de gerande hessiaan zoals gedefinieerd hierboven. Berekening van de
̃𝑓,𝑔 (𝑥, 𝑦, )]= 𝐿′′𝑥𝑥 (𝑔𝑦′ )² −
determinanten geeft (in verkorte notatie) : det [𝐻
2𝐿′′𝑥𝑦 𝑔𝑥′ 𝑔𝑦′ + 𝐿′′𝑦𝑦 (𝑔𝑥′ )²
Beschouw partieel afleidbare functies f en g en een stationair punt (x0,y0,0) voor
het gebonden extremum-probleem: bepaal de extrema van f onder de
voorwaarde g(x,y)=C.
̃𝑓,𝑔 (𝑥0 , 𝑦0 , 0 ) verschilt van nul,
Als de determinant van de gerande Hessiaan 𝐻
dan bereikt de functie in (x0,y0) een gebonden extremum.
̃𝑓,𝑔 (𝑥0 , 𝑦0 , 0 )] < 0 dan heeft het gebonden extremum-probleem
 Als det [𝐻
een maximum in (x0,y0)
̃𝑓,𝑔 (𝑥0 , 𝑦0 , 0 )] > 0 dan heeft het gebonden extremum-probleem
 Als det [𝐻
een minimum in (x0,y0)
Vbn p185 – 188
Beschouw partieel afleidbare functies f en g en een optimaal punt (x0,y0,0) met
functiewaarde f0 = f(x0,y0) voor het gebonden extremum-probleem: bepaal de
extrema van f onder de voorwaarde g(x,y)=C. als de waarde van C varieert, dan
hangt ook het optimum af van C, of x0= x0(C), y0=y0(C) en f0 = f0(C) = f(x0(C),
𝑑𝑓
y0(C)). Er geldt 0 = 0 (𝐶).
𝑑𝐶
BELANGRIJK:
Deze eigenschap zegt maw dat de waarde van de Lagrange-multiplicator
overeenstemt met de helling van f indien bekeken als functie van C. OF je kan de
lagrange-multiplicator interpreteren als de ogenblikkelijke aangroei van de
doelfunctie in het optimum indien de waarde C in de nevenvoorwaarde met één
eenheid wordt verhoogd.
Lokale extrema
Lokale extrema eerste orde voorwaarde
Hessiaan
Lokale extrema tweede orde voorwaarde
Lagrange functie
Gebonden extrema eerste orde voorwaarde
FORMULES EN REKENREGELS
Matrices
Determinant van 𝑑𝑒𝑡 𝐴 = |𝐴| = 𝑎11 𝑎22 − 𝑎12 𝑎21
matrix van orde
2X2
Determinant van 𝑑𝑒𝑡 𝐴 = |𝐴| = 𝑎11 𝑎22 𝑎33 + 𝑎12 𝑎23 𝑎31 + 𝑎13 𝑎21 𝑎32 − 𝑎13 𝑎22 𝑎31 − 𝑎11 𝑎23 𝑎32 −
matrix van orde 𝑎12 𝑎21 𝑎33
3X3 - Regel van
Sarrus
Functies
Cos²x+sin²x=1
𝑠𝑖𝑛 𝛼
Tan(α)=𝑐𝑜𝑠 𝛼
Grondformule
goniometrische
functies
α
Sin(α)
Cos(α)
Tan(α)
0
0
1
0
π/6
1/2
√3/2
√3/3
Sin(α) α
π/4
√2/2
√2/2
1
π/3
√3/2
1/2
√3
π/2
1
0
/
π
0
-1
0
Tan(α)
Cos(α)
Exponenten
Logaritmische
functies
𝑎 𝑥 ∗ 𝑎 𝑦 = 𝑎 𝑥+𝑦
𝑎𝑥
= 𝑎 𝑥−𝑦
𝑎 𝑦𝑦
𝑎 𝑥 = 𝑎 𝑥∗𝑦
MAAR
𝑎𝑥 + 𝑎𝑦 = 𝑎𝑧 ≠ 𝑥 + 𝑦 = 𝑧
𝑎𝑥 − 𝑎𝑦 = 𝑎𝑧 ≠ 𝑥 − 𝑦 = 𝑧
Voor a ∈ R+\{0,1} en x,y,z ∈ R+0 geldt :
Loga (x*y*z)= loga (x)+ loga (y)+ loga (z)
Loga (x/y) = loga (x) - loga (y)
Loga (xy)= y * loga (x)
MAAR
Loga (x)+ loga (y)= loga (z) ≠ x + y = z
Loga (x) - loga (y) = loga (z) ≠ x - y = z
Aloga(x)=x
Loga(ay)=y
Limieten
Limieten
berekenen
Asymptoten
berekenen
1. invullen
2. Veeltermbreuk →±∞  enkel hoogstegraadstermen
3. Breuk met wortelvormen →±∞ zelfde macht van x vooraan in teller en
noemer
4. voorlopig onbepaald geval 0/0 of ∞/∞  l’hôpital
5. VOG 0*∞ of ∞-∞  herschrijven
Horizontale asymptoten y=b
De vergelijking van eventuele horizontale asymptoten van een functie kan als
volgt gevonden worden:
 Definitie en berekening: een reële functie f heeft een horizontale asymptoot
y=b voor negatieve waarden als 𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥) = 𝑏 of voor positieve waarden
𝑥→ −∞
als 𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥) = 𝑏

𝑥→ +∞
Praktisch: bereken de limietwaarden van de functie wanneer x naar ±∞
beweegt; vind je een eindige waarde, dan heeft de functie een horizontale
asymptoot.
 NOOIT horizontale en schuine asymptoot
Verticale asymptoot x=a
De vergelijking van eventuele verticale asymptoten van een functie kan als volgt
gevonden worden:
 Definitie en berekening: een reële functie f heeft een verticale asymptoot x
= a als 𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥) = ±∞.
𝑥→ 𝑎

Praktisch: bij rationale functies komen verticale asymptoten voor bij de
nulpunten van de noemer die geen nulpunt van de teller zijn.
Schuine asymptoot y=mx+q
De vergelijking van eventuele schuine asymptoten van een functie kan als volgt
gevonden worden:
 Definitie en berekening: een reële functie f heeft een schuine asymptoot
y=mx+q voor negatieve waarden als 𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥)/𝑥 = 𝑚 en 𝑙𝑖𝑚 (𝑓(𝑥) −
𝑥→ −∞
𝑥→ −∞
𝑚𝑥) = 𝑞 of voor positieve waarden als 𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥)/𝑥 = 𝑚 en 𝑙𝑖𝑚 (𝑓(𝑥) −
𝑥→ +∞

Afgeleiden
𝑑
𝑑𝑥
𝑑
𝑑𝑥
𝑑
𝑑𝑥
𝑑
𝑑𝑥
𝑑
𝑑𝑥
𝑑
𝑑𝑥
𝑑
Basisafgeleiden
𝑑𝑥
𝑑
𝑑𝑥
𝑑
𝑑𝑥
𝑑
𝑑𝑥
𝑑
𝑑𝑥
𝑑
𝑑𝑥
𝑑
𝑑𝑥
𝑑
Som, verschil,
product en
quotiënt
𝑑𝑥
𝑑
𝑑𝑥
𝑑
𝑑𝑥
𝑥→ +∞
𝑚𝑥) = 𝑞 met m ∈ R0 en q ∈ R
Praktisch: bereken de vermelde limietwaarden. Vind je een eindige
waarde, dan heeft de functie een schuine asymptoot. Vind je m=0, dan gaat
het eigenlijk om een horizontale asymptoot.
(ax+b) = a, met a, b ∈ R
(xn) = nxn-1, met n ∈ R0
(√x) =1/(2√x), voor x ≠ 0
(1/x) = -1/x², voor x ≠ 0
(sinx) = cos x
(cosx)= -sinx
(tanx) = 1/(cos²x)
(Bgsinx) = 1/(√1-x²)
(Bgcosx) = -1/(√1-x²)
(Bgtanx) = 1/1+x²
(ex) = ex
(ax) = axlna, met a ∈ R+\{0,1}
(lnx)=1/x
(logax)= 1/(xlna), met a ∈ R+\{0,1}
(af(x))= af’(x), met a ∈ R
(f(x) + g(x)) = f’(x) + g’(x)
𝑑
𝑑𝑥
𝑑
𝑑𝑥
𝑑
𝑑𝑥
𝑑
𝑑𝑥
(f(x) - g(x)) = f’(x) - g’(x)
(f(x)g(x)) = f(x)g’(x) + g(x)f’(x)
(1/f(x)) = -f’(x)/f(x)², indien f(x) ≠ 0
(f(x)/g(x)) = (g(x)f’(x)) – (f(x)g’(x))/g(x)², indien g(x) ≠ 0
ECONOMISCHE TOEPASSINGEN
Kapitalisatie en actualisatie
Kapitalisatie
Actualisatie
𝑆 = 𝐴 ∗ (1 + 𝑟)𝑛 = 𝐴 ∗ 𝑢𝑛
u=1+r
𝐴 = 𝑆 ∗ (1 + 𝑟)−𝑛 = 𝑆 ∗ 𝑣 𝑛
1
1
v=
=
1+𝑟
𝑢
Economische functies
Productiefunctie P : R+ → R+ : A → q=P(A)
Cobb Douglas
P(A)=γAα waarbij γ > 0 en 0<α<1
Vraagfunctie
D : R+ → R+ : p → q=D(p) of F = D-1 : R+ → R+ : q → p=F(q)
p = F(q) = D-1(q) = p0 – mq (q ≤ p0/m) of q = D(p) = (p0 – p)/ m (p ≤ p0)
Lineair model
waarbij p0 > 0 en m > 0
Opbrengsten zuivere concurrentie R : R+ → R+ : q →R(q) = pq
functie
monopolie R : R+ → R+ : q →R(q) = F(q)q
Voor monopoliesituatie
Vervolg lineair
R(q) = (p0 - mq) q = -mq² + p0q waarbij p0 > 0 en m > 0
model
top (p0/2m, p0²/4m)
Kostenfunctie
: R+ → R+ : q →K = K(q)
K(q) = aq² + bq + c waarbij a, b, c > 0
Kwadratisch
top (-b/2a, c-b²/4a)
model
snijdt de verticale as in het punt (0, c) de vaste kosten bedragen c.
Winstfunctie
W : R+ → R : q →W = R(q) - K(q)
Vervolg
W = R(q) - K(q) = (-mq² + p0q) – (aq² + bq + c) waarbij p0, m, a, b, c > 0.
voorgaande
modellen
Groei – en
y = ax = erx mer r = ln a
vervalfunctie
y = ax = e-rx mer r = -ln a
Evolutie van
P(t) = P0eαt met P0 de grootte van de populatie op tijdstip 0 en met α de groeivoet
populaties
van de populatie.
Enkelvoudige en samengestelde interest
Gegeven een startkapitaal K0 en een jaarlijkse interestvoet r. na een periode van m
Enkelvoudige en
jaar (m ∈ N), is het kapitaal aangegroeid tot de eindwaarde.
samengestelde
 Bij enkelvoudige interest: K(m) = K0(1+mr)
interest
 Bij samengestelde interest: K(m) = K0(1+r)m
ECONOMISCHE TOEPASSINGEN
Kapitalisatie en actualisatie
Kapitalisatie
Actualisatie
Wanneer je een startkapitaal A gedurende n jaar belegt aan een jaarlijkse
interestvoet r, dan kan het eindbedrag na n jaar berekend worden als
𝑆 = 𝐴 ∗ (1 + 𝑟)𝑛 = 𝐴 ∗ 𝑢𝑛
Dit bedrag noemt men het gekapitaliseerd bedrag. Men gebruikt de notatie
u=1+r voor de kapitalisatiefactor.
Om na een belegging gedurende n jaar aan een jaarlijkse interestvoet r een
eindbedrag S te bereiken, moet gestart worden met een kapitaal gelijk aan
𝐴 = 𝑆 ∗ (1 + 𝑟)−𝑛 = 𝑆 ∗ 𝑣 𝑛
Dit bedrag noemt men het geactualiseerd bedrag. Men gebruikt de notatie
1
1
v=1+𝑟 = 𝑢 voor de actualisatiefactor.
Economische functies
Productiefunctie
Cobb Douglas
Vraagfunctie
Lineair model
Opbrengsten functie
Een productiefunctie P : R+ → R+ : A → q=P(A) geeft aan hoe de arbeid de
grootte van de productie bepaalt. De inverse functie kan gebruikt worden om te
berekenen welke hoeveelheid arbeid er nodig is om een bepaalde
productiegrootte te bereiken.
Kenmerken:
 A=0P=0
 A stijgt  P stijgt (bij lage input sneller en dan vertragen)
 In een beperkt aantal gevallen treedt een verzadigingspunt op: afname
van de efficiëntie zorgt ervoor dat de P daalt als A stijgt.
P(A)=γAα waarbij γ > 0 en 0<α<1
Een vraagfunctie D : R+ → R+ : p → q=D(p) of F = D-1 : R+ → R+ : q → p=F(q)
geeft voor een individuele consument het verband tussen de aangeboden
hoeveelheid en de vraagprijs van een goed.
De functies D en F zijn inverse functies. De functie D geeft voor elke mogelijke
prijs aan hoeveel de consument wenst te consumeren. De functie F = D-1 geeft
aan tegen welke prijs de consument een bepaalde hoeveelheid wil consumeren.
Kenmerken:
 V stijgt  p daalt
 p stijgt  V daalt
p = F(q) = D-1(q) = p0 – mq (q ≤ p0/m) of q = D(p) = (p0 – p)/ m (p ≤ p0)
waarbij p0 > 0 en m > 0
Voor 0 ≤ q ≤ p0/m beschrijft de functie F een rechte door de punten (0, p0) en
(p0/m, 0)
Een opbrengstenfunctie geeft aan hoe groot de totale opbrengst is bij een
bepaalde productiegrootte. Bij zuivere concurrentie is de prijs gegeven, en
krijgen we: R : R+ → R+ : q →R(q) = pq
Bij een monopolie is de prijs veranderlijk, en krijgen we: R : R+ → R+ : q →R(q)
= F(q)q
Kenmerken bij een monopolie:
 aangeboden hoeveelheid = 0  opbrengst = 0
 bij kleine hoeveelheden zal de totale opbrengst stijgen indien de
aangeboden hoeveelheid wordt verhoogd
 bij grote hoeveelheden zal de totale opbrengst dalen indien de
aangeboden hoeveelheid nog wordt verhoogd
Opbrengst aflezen van de grafiek:
Vervolg lineair
model
Kostenfunctie
Kwadratisch model
Winstfunctie
Vervolg voorgaande
modellen
Groei – en
vervalfunctie
Evolutie van
populaties
R(q) = pq komt voor elke punt (p,q) van de vraagcurve overeen met de
oppervlakte van de rechthoek tussen de oorsprong en dit punt (p,q).
Voor monopoliesituatie
Voor 0 ≤ q ≤ p0/m luidt het functievoorschrift : R(q) = (p0 - mq) q = -mq² +
p0q waarbij p0 > 0 en m > 0
cfr: ax²+bx+c
Dit is een parabool met top (p0/2m, p0²/4m)
Bij gegeven inputprijzen geeft een kostenfunctie K : R+ → R+ : q →K = K(q) aan
hoe groot de totale kosten zijn bij elke productiegrootte.
Kenmerken:
 productiegroote = 0  is er nog de vaste kost
 productiehoeveelheid stijgt  stijgen totale kosten
 productie-interval: kosten stijgen minder snel oa omwille van efficiëntie
K(q) = aq² + bq + c waarbij a, b, c > 0
Dit is een parabool met top (-b/2a, c-b²/4a)
Deze parabool snijdt de verticale as in het punt (0, c) de vaste kosten bedragen
c.
Een winstfunctie W : R+ → R : q →W = R(q) - K(q) geeft aan hoe groot de totale
winst is bij een bepaalde productiegrootte.
Kenmerken:
 aangeboden hoeveelheid zeer klein en vaste kosten ≠ 0  totale winst
negatief. (VK > TO)
 te grote hoeveelheid  winst negatief ( daling opbrengsten + stijging
kosten)
 TO > TK  winst (eerst stijgen, dan dalen)
Obv lineair en kwadratisch model: W = R(q) - K(q) = (-mq² + p0q) – (aq² + bq
+ c) waarbij p0, m, a, b, c > 0.
Dit is een parabool met 2 break-even punten.
Een exponentiële functie expa met a > 1 wordt ook een groeifunctie genoemd.
Schrijven we het beeld van een waarde x als y = ax = erx mer r = ln a dan noemt
men de positieve waarde r de groeivoet van de functie.
Een exponentiële functie expa met 0 < a < 1 wordt ook een vervalfunctie
genoemd. Schrijven we het beeld van een waarde x als y = ax = e-rx mer r = -ln a
dan noemt men de positieve waarde r de vervalconstante van de functie.
P(t) = P0eαt met P0 de grootte van de populatie op tijdstip 0 en met α de
groeivoet van de populatie.
Enkelvoudige en samengestelde interest
Enkelvoudige en
samengestelde
interest
Gegeven een startkapitaal K0 en een jaarlijkse interestvoet r. na een periode van
m jaar (m ∈ N), is het kapitaal aangegroeid tot de eindwaarde.
 Bij enkelvoudige interest: K(m) = K0(1+mr)
 Bij samengestelde interest: K(m) = K0(1+r)m
Gemiddelde en marginale waarden
Voor een economische functie f : R+ → R : x → f(x) geldt:
 De gemiddelde waarde voor f is de functie ⟨𝑓⟩ ∶ 𝑅 + → 𝑅 ∶ 𝑥 → ⟨𝑓⟩ (𝑥) =
𝑓(𝑥)
𝑥
Gemiddelde en
marginale functie
𝑑𝑓
 De marginale waarde voor f is de functie f’ : R+ → R : x → f’(x)=𝑑𝑥 (x)
Opmerking: beiden zijn in feite een bijzonder geval van het
∆𝑦
𝑓(𝑥+∆𝑥)− 𝑓(𝑥)
differentiaalquotiënt ∆𝑥 =
∆𝑥

Gemiddelde waarde: werken met een keuze x=0 en ∆x=x, kijken naar
een globale maar voor verandering vertrekkend vanuit 0 (al f(0)=0)

Gemiddelde en
marginale functie
Marginale waarde: werken met limietwaarde voor ∆x→0, en kijken naar
de maat voor verandering voor een heel kleine aangroei van de input
vertrekkend bij de waarde x.
De gemiddelde en marginale waarde van een economische functie f : R+ → R in
een punt van het domein hebben een eenvoudige meetkundige betekenis.
 Gemiddelde waarde ⟨𝑓⟩ berekend in x=x0 is de helling van de voerstraal
(rico rechte door (0,0) en (x0,f(x0))) tot het punt (x0,f(x0))
 De marginale waarde f’ berekend in x=x0 is de helling van de raaklijn
aan de curve van f in het punt (x0, f(x0))
Vb p 89
Het gemiddelde product is het product per eenheid van arbeid, of ⟨𝑃⟩ ∶ 𝑅 + →∶
𝑃(𝐴)
𝑅 + : 𝐴 → (𝐴)
Gemiddelde en
marginale productie Het marginale product is de ogenblikkelijke𝑑𝑃aangroei van het product bij een
toename van de arbeid, of P’ : R+ → R : A → 𝑑𝐴(A)
Vb p 89
P(A)=γAα waarbij γ > 0 en 0<α<1
𝛾𝐴𝛼
𝛾
Gemiddeld product: ⟨𝑃⟩ (𝐴) = 𝐴 = 𝛾𝐴𝛼−1 = 𝐴𝛼−1
Cobb Douglas
model
Gemiddelde en
marginale
opbrengstfunctie
Zuivere
concurrentie
𝑑
𝛾𝛼
Marginaal product: P’(A) = 𝑑𝐴 (𝛾𝐴𝛼 ) = 𝛾𝛼𝐴𝛼−1 = 𝐴1−𝛼
Het marginaal product is dus steeds kleiner dan het gemiddelde product.
Wanneer de arbeid naar 0 nadert, worden gemiddeld en marginaal product
oneindig groot; wanneer de arbeid oneindig groot wordt, worden gemiddeld en
marginaal product 0.
De gemiddelde opbrengst is de opbrengst per eenheid van product, of ⟨𝑅⟩ ∶
𝑅(𝑞)
𝑅 + → 𝑅 + : 𝑞 → (𝑞)
De marginale opbrengst is de ogenblikkelijke aangroei van de opbrengst bij een
𝑑𝑅
toename van de productiegrootte, of R’ : R+ → R : q → (q)
𝑑𝑞
De aard van de functies is verschillend voor een zuivere concurrentiesituatie en
een monopoliesituatie
Bij zuivere concurrentie is de prijs gegeven, en krijgen we voor de
𝑅(𝑞)
𝑝𝑞
 Gemiddelde opbrengst: ⟨𝑅⟩ (𝑞) = (𝑞) = 𝑞 = 𝑝

Marginale opbrengst: 𝑅 ′ (𝑞) =
𝑑
𝑑𝑞
(𝑝𝑞) = 𝑝
Zowel de gemiddelde als de marginale opbrengst zijn gelijk aan de gegeven
eenheidsprijs.
Bij een monopolie is de prijs veranderlijk, en krijgen we voor de
𝑅(𝑞)
𝐹(𝑞)𝑞
 Gemiddelde opbrengst: ⟨𝑅⟩ (𝑞) = (𝑞) = 𝑞 = 𝐹(𝑞)
Monopolie
Lineaire vraag

Marginale opbrengst: 𝑅 ′ (𝑞) =
𝑑
𝑑𝑞
(𝐹(𝑞)𝑞) = 𝐹(𝑞) + 𝑞𝐹 ′ (𝑞)
Enkel de gemiddelde opbrengst is nu gelijk aan de (veranderlijke)
eenheidsprijs.
Bij een dalende vraagfunctie is F’(q) < 0 zodat de marginale opbrengst kleiner
zal zijn dan de gemiddelde opbrengst.
Voor een lineaire vraag vonden we als opbrengstfunctie: R(q) = (p0 - mq) q = mq² + p0q met q≤ p0 /m, p0 > 0 en m > 0
(𝑝 −𝑚𝑞)𝑞
 Gemiddelde opbrengst: ⟨𝑅⟩ (𝑞) = 0 (𝑞) = 𝑝0 − 𝑚𝑞 of een dalende

rechte die horizontale as snijdt in het punt (p0/m,0)
d
Marginale opbrengst: R′ (q) = dq (p0 q − mq²) = p0 − 2mq of een
dalende rechte die de horizontale as snijdt in het punt (p0/2m,0).
De marginale opbrengst daalt dubbel zo snel als de gemiddelde opbrengst,
marginale en gemiddelde opbrengst starten beiden in de waarde p0 voor q=0
De gemiddelde kost is de kost per eenheid van product, of ⟨K⟩ ∶ R+ → R+ : q →
K(q)
Gemiddelde en
marginale kosten
(q)
De marginale kost is de ogenblikkelijke aangroei van de kost bij een toename
dK
van de productiegrootte , of K’ : R+ → R+ : q → dq (q)
Voor een kwadratische kostenfunctie K(q)=aq²+bq+c met a, b, c > 0 kunnen
we de
aq²+bq+c
c
 Gemiddelde kost vinden als: ⟨K⟩ (q) =
= aq + b + . Verticale
q
Kwadratisch model

q
asymptoot q=0 en schuine asymptoot ⟨K⟩ = aq + b
d
Marginale kost kan berekenen als K ′(q) = dq (aq2 + bq + c) = 2aq + b.
Dit is een stijgende rechte die de verticale as snijdt in het punt (0,b).
c
c
Het snijpunt vinden we uit ⟨K⟩ (q) = K ′ (q) of aq + b + q = 2aq + b of q = aq,
waaruit q= √(c/a).
Gemiddelde versus marginale waarde en winstmaximalisatie - monopolieprobleem
Gemiddelde vs
marginale waarde
Bewijs
Winstmaximalisatie
–
monopolieprobleem
Beschouw een afleidbare economische functie f : R+ → R.
 Als de gemiddelde functie stijgt, dan is de marginale waarde groter dan
de gemiddelde waarde.
 Als de gemiddelde functie daalt, dan is de marginale waarde kleiner dan
de gemiddelde waarde.
 Als de gemiddelde functie een lokaal extremum bereikt, dan vallen
gemiddelde en marginale waarden samen.
Als we de afgeleide van de gemiddelde functie berekenen, dan vinden we:
d
d f(x)
xf((x) − f(x)
(⟨f⟩(x)) =
(
)=
dx
dx x
x²
Omdat de noemer enkel een kwadraat bevat, wordt het teken van de breuk
bepaalt door de teller. Er geldt:
d
 Als de gemiddelde functie stijgt, dan is dx (⟨f⟩(x)) ≥ 0. Hieruit volgt dat
xf’(x) ≥ f(x) of f’(x) ≥ f(x)/x
d
 Als de gemiddelde functie daalt, dan is dx (⟨f⟩(x)) ≤ 0. Hieruit volgt dat
xf’(x) ≤ f(x) of f’(x) ≤ f(x)/x
 Als de gemiddelde functie een lokaal extremum bereikt, dan is
d
(⟨f⟩(x)) = 0. Hieruit volgt dat xf’(x) = f(x) of f’(x) = f(x)/x
dx
Vb p118
 Waar de gemiddelde waarde stijgt, ligt de curve van de marginale
waarde boven die van de gemiddelde waarde.
 Waar de gemiddelde waarde daalt, ligt de curve van de marginale
waarde onder die van de gemiddelde waarde.
 Waar de gemiddelde waarde een lokaal maximum of minimum bereikt,
vallen marginale en gemiddelde waarde samen.
Monopolist wil voor een bepaald goed zijn prijs bepalen door
winstmaximalisatie.
Winstfunctie: W : R+ → R : q →W = R(q) - K(q)
Bij monopolie: p = F(q) zodat R(q) = qF(q)
Veronderstel dat beide functies afleid baar zijn:
 Eerste orde voorwaarde: winstfunctie enkel extremum in q0 als dit een
stationair punt is. MAW

dW(q0 )
dq
= 0 of
dR(q0 )
dq
−
dK(q0 )
dq
= 0 of marginale
kost = marginale opbrengst. Grafisch wil dit zeggen dat in het punt q0 de
raaklijnen aan de opbrengstfunctie en kostenfunctie evenwijdig moeten
zijn
Tweede orde voorwaarde: winstfunctie enkele maximum in q0 als
d²W(q0 )
dq²
< 0 of
d²R(q0 )
dq
−
d²K(q0 )
dq
< 0 of de helling van de marginale
opbrengsten voor q0 < de helling voor de marginale kosten in q0.
Grafisch wil dit zeggen dat wanneer de opbrengsten functie concaaf is,
de kostenfunctie convex is.
P 119
Opmerking:
De productiegrootte waarvoor de winst maximaal wordt, is meestal niet
dezelfde als die waarvoor de opbrengst maximaal is. deze twee
optimalisatieproblemen zijn verschillend!
Vb p 120
Economische functies
Productiefunctie
Vraagfunctie
situatie 1
Vraagfunctie
situatie 2
Een productiefunctie P : R+ x R+ → R+ : (A,K) → q = p(A,K) geeft aan hoe de
arbeid en het kapitaal de grootte van de productie bepalen.
Bij doorsnede evenwijdig met… zien we….:
 Aq : evolutie van de productie bij een vaste waarde van K
 Kq: evolutie van de productie bij en vaste waarde van A
 AK: isoproduct-curve of isokwant: constante productie.
Meer uitleg p 134-135
Een vraagfunctie D : R+ x R+ → R+ : (p,I) → q = D(p,I) geeft aan hoe de vraag
van een consument naar een product bepaalt wordt door de prijs en door zijn
inkomen.
Bij doorsnede evenwijdig met… zien we…:
 Pq: evolutie van de vraag bij een vaste waarde van het inkomen I
 Iq: evolutie van de vraag bij een vaste prijs p
Meer uitleg p 136
Een vraagfunctie D1 : R+ x R+ → R+ : (p1,p2) → q1 = D(p1,p2) en D2 : R+ x R+ → R+
: (p1,p2) → q2 = D(p1,p2) geeft aan hoe de vraag van een consument naar twee
producten bepaalt wordt door de prijzen van beide producten.
Bij doorsnede evenwijdig met… zien we…:
 P1q1: evolutie van de vraag naar het eerste goed ifvd prijs voor het
eerste groed, wanneer we de prijs van het tweede goed vasthouden
 P2q1: evolutie van de vraag naar het eerste goed ifvd prijs voor het
tweede goed, wanneer we de prijs van het eerst goed zelf vasthouden.


Kostenfunctie
Competitieve goederen: curven zullen stijgend zijn.
Complementaire goederen: curven zullen dalend zijn.
Meer uitleg p 137 - 138
Bij gegeven inputprijzen geeft een kostenfunctie K : R+ x R+ → R+ : (q1,q2) → K
= k(q1,q2) aan hoe groot de totale kosten zijn bij bepaalde productiegrootten.
Bij doorsnede evenwijdig met… zien we…:
 Q2K: evolutie van de kosten bij een vaste waarde van q1
 Q1K: evolutie van de kosten bij een vaste waarde van q1
 Q1q2: niveaukrommen
Nutsfunctie
P 140 - 141
Zie p 139
Een nutsfunctie U : R+ x R+ →R+ : (q1,q2) → U = U(q1,q2) geeft het nut weer dat
een consument toekent aan bepaalde combinaties van hoeveelheden van
goederen.
Grafisch: indifferentiecurven
Homogene productiefunctie en vraagfunctie
Gemiddelde en marginale waarden
Gemiddelde functie
Voor een economische functie f : R+ x R+ → R : (x,y) → f(x,y) geldt:
 De gemiddelde waarde voor f naar de veranderlijke x is de functie ⟨𝑓⟩𝑥 ∶
𝑓(𝑥,𝑦)
𝑅 + × 𝑅 + → 𝑅 ∶ (𝑥, 𝑦) → ⟨𝑓⟩𝑥 (𝑥, 𝑦) = 𝑥
 De gemiddelde waarde voor f naar de veranderlijke y is de functie ⟨𝑓⟩𝑦 ∶
𝑅 + × 𝑅 + → 𝑅 ∶ (𝑥, 𝑦) → ⟨𝑓⟩𝑦 (𝑥, 𝑦) =
Marginale functie
Marginale
productiefunctie
Cobb Douglas
Marginale
technische
substitutievoet

De marginale waarde voor f naar de veranderlijke y is de functie 𝑓𝑦′ ∶
𝜕𝑓(𝑥,𝑦)
𝜕𝑦
Het gemiddelde product naar de arbeid is het product per eenheid van arbeid
𝑃(𝐴,𝐾)
of ⟨𝑃⟩𝐴 ∶ 𝑅 + × 𝑅 + → 𝑅 + ∶ (𝐴, 𝐾) → 𝐴
Het gemiddelde product naar het kapitaal is het product per eenheid van
𝑃(𝐴,𝐾)
kapitaal of ⟨𝑃⟩𝐾 ∶ 𝑅 + × 𝑅 + → 𝑅 + ∶ (𝐴, 𝐾) → 𝐾
Het marginale product naar de arbeid is de ogenblikkelijke aangroei van het
𝜕𝑃
product bij een toename van arbeid of 𝑃𝐴′ ∶ 𝑅 + × 𝑅 + → 𝑅 ∶ (𝐴, 𝐾) → 𝜕𝐴 (𝐴, 𝐾)
Het marginale product naar het kapitaal is de ogenblikkelijke aangroei van het
𝜕𝑃
product bij een toename van 𝑃𝐾′ ∶ 𝑅 + × 𝑅 + → 𝑅 ∶ (𝐴, 𝐾) → 𝜕𝐾 (𝐴, 𝐾)
P 168
P 169
Optimaliseren
… zonder restricties
– samengevoegd
monopolie
… met restricties –
nutsfunctie
… met restricties –
productie
𝑦
Voor een economische functie f : R+ x R+ → R : (x,y) → f(x,y) geldt:
 De marginale waarde voor f naar de veranderlijke x is de functie 𝑓𝑥′ ∶
𝜕𝑓(𝑥,𝑦)
𝑅 + × 𝑅 + → 𝑅 ∶ (𝑥, 𝑦) → 𝑓𝑥′ (𝑥, 𝑦) = 𝜕𝑥
𝑅 + × 𝑅 + → 𝑅 ∶ (𝑥, 𝑦) → 𝑓𝑦′ (𝑥, 𝑦) =
Gemiddelde
productiefunctie
𝑓(𝑥,𝑦)
Zie p 196 – 198
Zie p 198 – 200
Zie p 200 - 204