In dit tweede deel komen afgeleiden en goniometrische functies aan

In dit tweede deel komen afgeleiden en goniometrische functies aan bod. Heel wat behandelde
onderwerpen zijn basisleerstof voor richtingen met vier lestijden wiskunde, maar uitbreiding voor drie
lestijden. Dat is telkens correct aangeduid met een verticale streep in de marge.
Via concrete voorbeelden wordt het differentiequotiënt aangebracht als een maat voor de gemiddelde
verandering en de afgeleide als maat voor de verandering in een punt. Er wordt uitgelegd hoe de
afgeleide in een punt met een TI-83 berekend wordt, zodat onmiddellijk enkele concrete toepassingen
van het begrip 'afgeleide' kunnen behandeld worden. Bij die toepassingen treffen we onder meer een
bespreking aan van de methode van Newton-Raphson voor het benaderen van nulpunten. Bij een
eerste kennismaking met het begrip 'afgeleide' in klassen die een beperkt leerplan volgen, is dat toch
geen erg opportune keuze.
Vervolgens wordt het begrip 'afgeleide functie' ingevoerd. Er wordt gezocht naar de rekenregel voor
de afgeleide van een macht van x, naar de somregel en de veelvoudregel. Hierbij wordt de grafische
rekenmachine goed aangewend. Van de productregel wordt een formeel bewijs gegeven. Ook voor de
afgeleide van een macht van een functie wordt de rekenregel gezocht. Er wordt verwezen naar het
softwarepakket Derive voor ingewikkelder berekeningen.
In de volgende paragraaf worden, aan de hand van voorbeelden, het stijgen en dalen en de relatieve
extrema van een functie in verband gebracht met de afgeleide, en de kromming en buigpunten met de
tweede afgeleide. Dit alles wordt toegepast om het verloop van veeltermfuncties te onderzoeken. Hier
wordt de indruk gewekt dat de berekening van nulpunten, limieten en afgeleiden van een functie
uiteindelijk dient om een schets van de grafiek te kunnen maken. In het tijdperk van de grafische
rekenmachine is dat toch wel een voorbijgestreefd uitgangspunt. Gelukkig wordt dat in de oefeningen
rechtgezet met een aantal opgaven waarin wordt uitgegaan van de grafiek om de leerlingen te laten
nadenken over afgeleiden. Ook extremumvraagstukken komen aan bod.
In de laatste paragraaf van het eerste hoofdstuk worden nog enkele nieuwe rekenregels voor
afgeleiden gezocht, waarna ook van rationale functies het verloop kan bestudeerd worden.
In het tweede hoofdstuk van dit boek worden goniometrische functies bestudeerd. Van bij het begin
blijkt dat de auteurs er van uitgaan dat georiënteerde omwentelingshoeken tot de voorkennis van de
leerlingen behoren. Die komen echter niet voor in het leerplan van de tweede graad. De definitie van
sinus, cosinus en tangens wordt gegeven en de reeds gekende verwante hoeken worden uitgebreid
met antisupplementaire hoeken. Dan worden de klassieke goniometrische formules gezocht: som- en
verschilformules, formules voor de dubbele hoek, formules van Simpson. Bij de oefeningen vinden we
identiteiten, vereenvoudigingen en berekeningen van goniometrische getallen die zonder
rekenmachine kunnen gevonden worden.
In de tweede paragraaf worden eerst enkele voorbeelden gegeven van periodieke verschijnselen die
we met behulp van goniometrische functies kunnen beschrijven. De radiaal wordt ingevoerd en de
omrekening tussen graden en radialen besproken. Dan worden de goniometrische functies sinus,
cosinus en tangens gedefinieerd. Elementaire eigenschappen, zoals domein, symmetrie en nulpunten
worden van de grafiek afgelezen. We betwijfelen of opdrachten waarin gevraagd wordt om grafieken
op millimeterpapier te tekenen, nog veel leerlingen en leerkrachten zullen bekoren. Verschillende
transformaties van de sinusgrafiek worden dan bestudeerd, deze keer gelukkig wel met behulp van
een rekenmachine. Dit leidt tot de opbouw van de algemene sinusfunctie. Er wordt de nodige
aandacht besteed aan het opstellen van het voorschrift van een algemene sinusfunctie op basis van
de grafiek. Concrete voorbeelden van periodieke verschijnselen komen in voorbeelden en oefeningen
ruim aan bod. Een van de besproken toepassingen is de harmonische trilling, een onderwerp dat
leerlingen van wetenschappelijke richtingen ook tegenkomen in het vak fysica. In een artikel wat
verder in het boek worden daarbij aansluitend ook enkele principes uit de muziektheorie toegelicht.
In de derde paragraaf worden de goniometrische basisvergelijkingen opgelost. Om de oplossingen te
vinden wordt er zowel gebruik gemaakt van de grafische rekenmachine als van de goniometrische
cirkel. Er zijn ook enkele voorbeelden van vergelijkingen die kunnen opgelost worden door ze te
herleiden tot een tweedegraadsvergelijking of door ontbinding in factoren.
De laatste paragraaf gaat over de afgeleide van goniometrische functies. Op basis van grafisch
onderzoek kan een vermoeden geformuleerd worden omtrent de afgeleide van de sinus. De
rekenregel wordt dan bewezen. Aangezien de leerlingen de kettingregel niet kennen, kunnen ze niet
zomaar de afgeleide van een algemene sinusfunctie berekenen. Via een opdracht, waarin zowel de
grafische rekenmachine als de goniometrische formules van pas komen, kunnen de leerlingen zelf de
regel ontdekken. De afgeleiden worden gebruikt voor drie soorten toepassingen: relatieve extrema en
buigpunten van een functie berekenen, snelheid en versnelling van een harmonische trilling
bestuderen en extremumvraagstukken oplossen, waarbij de driehoeksmeting uit de tweede graad kan
opgefrist worden.
Behalve de oplossingen van de oefeningen en een trefwoordenlijst, vinden we achteraan in beide
delen van “5.3 Reële functies – Analyse” ook een overzicht van de voorkennis die bij de leerlingen
verondersteld wordt.
Het lerarendeel met bijhorende cd-rom was bij het schrijven van deze recensie nog niet in ons bezit.
(E. Dejonghe, R. Dhoore, D. Ramboer // In: Nova et Vetera. - 2004-2005 nr. 4)