Formules voor afgeleiden en differentiatie van functies

Formules voor afgeleiden en differentiatie van functies
(voor alle bewijzen wordt aangenomen dat de functie afleidbaar is over haar ganse domein)
1. Afgeleide functie van een som van twee functies t.o.v de gemeenschappelijke variabele x
d  f  g df dg
= 
dx
dx dx
Bewijs:
w=f g
∂w
∂w
dw =
df 
dg
∂f
∂g
dw
df
dg df dg
=1 1 = 
dx
dx
dx dx dx
2. Afgeleide functie van een verschil van twee functies t.o.v de gemeenschappelijke variabele x
d  f −g df dg
= −
dx
dx dx
Bewijs analoog, behalve dat de partiële afgeleide van (f-g) t.o.v g hier natuurlijk -1 ipv. 1 is.
3. Afgeleide functie van een product van twee functies t.o.v de gemeenschappelijke variabele x
d  fg
df
dg
=g f
dx
dx
dx
Bewijs:
w= fg
∂w
∂w
dw=
df 
dg
∂f
∂g
dw
df
dg
=g f
dx
dx
dx
4. Afgeleide functie van een quotiënt van twee functies t.o.v de gemeenschappelijke variabele x
df
dg
g −f
d f
dx
dx
=
2
dx g
g
Bewijs:
f
w=
g
∂w
∂w
dw=
df 
dg
∂f
∂g
dw ∂ w df ∂ w dg
=

dx ∂ f dx ∂ g dx
df
dg
df
dg
g −f
dw dx
dx
dx
dx
= −f
=
2
dx g
g²
g

5. Afgeleide functie van een functie verheven tot een macht
df n
n−1 df
=nf
dx
dx
 n∈ℝ0 
Bewijs:
w= f n
dw
dw=
df
df
dw
df
=nf n−1
dx
dx
6. Kettingregel (voor functies van één variabele)
f = f  x  ,w =w  f 
dw dw df
=
dx df dx
Bewijs:
Voor kleine veranderingen Δf in f geldt:
dw
Δw≈
Δf
df
Δw dw Δf
≈
Δx df Δx
Δw
dw Δf
lim
= lim
Δx 0 Δx
Δx 0 df Δt
dw dw df
=
dx df dt
7. Afgeleide van een machtsfunctie
dx n
=n x n−1
dx
Bewijs:
 x  Δxn −x n dx n
lim
=
Δx
dx
Δx 0
∑ 
n
Δx
lim
 x Δxn−k x k−1 
k =1
Δx
Δx 0
n

=
dx n
dx
n
∑  xn− k x k −1 = dx
dx
k =1
n
n
∑  x n−1 = dx
dx
k =1
n
dx
=n x n−1
dx
(Noot: dit bewijs vereist dat n een strikt positief geheel getal is. Het bewijs kan echter doorgetrokken
worden naar alle mogelijke waarden voor n dmv. de kettingregel, de afgeleide van de omgekeerde en
de afgeleide van de n-demachtswortel)
8. Afgeleide van een functie vermenigvuldigd met een constante
d rf 
df
=r
dx
dx
(dit is een speciaal geval van de productregel)
9. Afgeleide functie van een exponentiële functie
a x 
ln a x
d
=ln a e
dx
Bewijs:
Stel: ln a x =f  x
x
ln a x
a =e
d a x d ln ax d e f
= e
=
dx dx
dx
f
f
d e d e df
df
=
=e f =e f ln a=ln  a e ln a x
dx
df dx
dx
Noot: de definitie van de functie e x is de functie
die de afgeleide van zichzelf is.
10. Afgeleide functie van een n-demachtswortel
d n
1
 x= x 1/ n−1
dx
n
Bewijs:
y= n x
x= y n
dx
=ny n−1
dy
dy
1
1
1
1 1
1
1
= n−1 = n n− 1 =
= x−1−1/n= x 1/ n−1
n−1
dx ny
n  x 
n n
n
n
x
11. Afgeleide functie van de omgekeerde
d x−1 −1
=
dx
x²
Bewijs:
1
−1 / x
−1
dx
x  Δx
= lim
dx Δx 0
Δx
−1
dx
x− x Δx
−1
−1
= lim
= lim
=
dx Δx 0  x Δx xΔx Δx 0  x Δx x x²
12. Afgeleide functies van goniometrische functies (zonder bewijs; mogelijke manier om te bewijzen:
Taylorbenaderingsreeksen)
d
sin x=cos x
dx
De afgeleide functies van
d
cot(x) en tan(x) volgen uit TODO: cyclometrische functies +
cos x=−sin x
dx
de quotiëntregel
bewijzen voor de afgeleiden van
d
1
goniometrische functies
tan x=1 tan ² x=sec ² x=
dx
cos ² x
d
1
Alle bewijzen door Matthias
cot x=1cot ² x=csc ² x =
dx
sin ² x
Valvekens