1 Getallen en meetwaarden

1 Tellen en verdelen
Probleem 1 – huizen langs de Lindelaan
Langs de Lindelaan staan vrijstaande huizen, aan de ene kant huizen met even nummers (2, 4,
6, enz.) en aan de andere kant huizen met oneven nummers (1, 3, 5, enz.).
De Lindenlaan heeft geen bochten en de afstand tussen twee huizen, van deur tot deur
gemeten, is steeds twintig meter.
Je hebt een folderbaantje en in de Lindelaan bezorg je alleen bij de oneven huisnummers 15
t.e.m. 51.
Hoeveel folders bezorg je in de Lindelaan? In de Lindelaan is het 10 meter lopen van de hoek
van de straat tot de deur van huisnummer 15, en van huisnummer 51 tot het eind is 35 meter.
Hoeveel meter loop je in totaal in de Lindelaan?
<< PLAATJE: straat in nieuwbouwwijk>>
Probleem 2 – juwelier Toermalijn
Juwelier Toermalijn heeft een partij edelstenen opgekocht die bestaat uit 45 agaten, 135
barnstenen en 75 celestienen. Toermalijn wil deze steentjes verkopen in doosjes. Van iedere
soort moeten evenveel steentjes in een doosje komen.
Hoeveel doosjes kan Toermalijn met deze steentjes vullen zodat hij geen enkel steentje
overhoudt?
<< PLAATJE: (doosje met) edelsteentjes >>
Probleem 3 – het snoeptrommeltje van Tanja
Tanja heeft drie vriendinnen uitgenodigd voor een spelletjesavond. Aan het begin van de
avond krijgt ieder evenveel snoepjes uit een trommeltje, er mogen geen snoepjes over blijven.
Tanja weet nog niet of iedereen komt. Ze wil vooraf zoveel snoepjes in het trommeltje doen,
dat ze er zeker van is dat de snoepjes eerlijk verdeeld kunnen worden.
Hoeveel snoepjes moet Tanja ten minste in het trommeltje doen?
<< PLAATJE: snoeptrommeltje >>
Meten en getallen
1 Tellen en Verdelen (1/7)
1 juli 2009
1.1 Tellen: plus of min één?
Voorbeeld
De afstand tussen twee stippen is steeds 1 cm.
De afstand tussen A en B is 6 cm.
Er liggen 5 stippen tussen A en B.
Het totaal aantal stippen, met A en B meegerekend, is 7.
Het aantal gehele getallen tussen twee gehele getallen a en b (met a kleiner dan b) is gelijk
aan de afstand (b – a) min 1. Als de twee grenswaarden a en b meegeteld worden, is het de
afstand (b – a) plus 1.
Oplossing van probleem 1 – huizen langs de Lindelaan
51 – 15 = 36; omdat alleen oneven nummers zijn gebruikt, is de afstand 36 : 2 = 18 huizen.
Je bezorgt dus folders bij 18 + 1 = 19 huizen.
De afstand in meters, van de deur van huis nr. 15 tot nr 51, is 18 × 20 = 360 meter. Daar komt
het begin en het eind van de straat bij, dus in totaal 360 + 10 + 35 = 405 meter.
1.2 Delers, priemgetallen en de grootste gemene deler (ggd)
voorbeeld
Je hebt een zakje met 24 snoepjes. Met hoeveel personen kun je de snoepjes delen zodat
iedereen evenveel snoepjes krijgt?
We hadden ook kunnen vragen: “In hoeveel even lange rijtjes kun je de 24
snoepjes leggen?” Of nog anders, wiskundiger: “Welke delers zijn er van 24?”
Het getal 3 is een deler van 24 want met 3 personen kun je 24 snoepjes eerlijk
delen in even grote, gehele aantallen. 24 is een veelvoud van 3 en dus is 24
gedeeld door 3 een geheel getal (8).
Je kunt 24 op veel manieren eerlijk verdelen in gehelen:
24 = 1 × 24 = 2 × 12 = 3 × 8 = 4 × 6 = 6 × 4 = 8 × 3 = 12 × 2 = 24 × 1.
De delers van 24 zijn dus: 1, 2, 3, 4, 6, 12, 24.
Van het getal 30 zijn de delers: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30.
De gemeenschappelijke (gemene) delers van 24 en 30 zijn dus 1, 2, 3 en 6.
De grootste gemene deler, afgekort ggd van 24 en 30 is 6.
Priemgetallen zijn getallen die maar twee delers hebben: zichzelf en 1. Het getal 13 is een
priemgetal want 13 dingen kun je op maar twee manieren eerlijk verdelen: in 1 groep van 13
of in 13 groepen van 1. Wiskundig genoteerd: 13 = 1 × 13 = 13 × 1. Het getal 24 is duidelijk
geen priemgetal, het heeft naast 24 en 1 nog andere delers. Het kleinste priemgetal is 2.
Oplossing van probleem 2 – juwelier Toermalijn
In elk doosje moeten steentjes komen in de verhouding 45 : 135 : 75 (‘:’ betekent hier ‘staat
tot’). De drie getallen zijn deelbaar door 5, dus het is dezelfde verhouding als 9 : 27 : 15 . Deze
getallen zijn alle drie weer deelbaar door 3. Dus de verhouding is dezelfde als 3 : 9 : 5 . Verder
gaat het niet.
We hebben de oorspronkelijke getallen gedeeld door 5 × 3 = 15 en dat veranderende niets aan
de verhouding van de aantallen steentjes. 15 bleek zo de grootste gemene deler van de drie
getallen. De juwelier kan 15 doosjes vullen in de verhouding 3 : 9 : 5 , dus 3 agaten, 9
barnstenen en 5 celestienen.
Meten en getallen
1 Tellen en Verdelen (2/7)
1 juli 2009
Opgaven
Opgave. Bereken het aantal gehele getallen
a. tussen 8 en 15.
b. groter dan 13 maar niet groter dan 21.
c. in de reeks 15, 16, 17 tot en met 25.
d. groter dan 32 maar kleiner dan of gelijk aan 100.
Opgave. In een schoenenwinkel zijn kinderschoenen te koop van maat 29 t.e.m. 38. Hoeveel
verschillende maten kinderschoenen zijn er in deze winkel?
Dezelfde schoenenwinkel verkoopt damesschoenen van maat 36 t.e.m. 44. Bij de
damesschoenen zijn ook de tussenliggende halve maten, bijvoorbeeld maat 39 12 , aanwezig.
Hoeveel verschillende maten damesschoenen kun je in deze winkel kopen?
Opgave. “Voor elke prijs tussen € 5 en € 10 hebben wij een artikel” adverteert de winkelketen
Diverta. Prijzen in deze winkels zijn afgerond op 5 eurocent. Voor een moederdagcadeau
heeft Lieselot € 10 te besteden. Uit hoeveel artikelen kan zij zeker kiezen in een winkel van
Diverta?
Opgave. Bereken het aantal delers van 20, 45, 13, 31, 1 en 0.
Hoe vind je de delers van een getal?
Neem bijvoorbeeld het getal 36309. We zoeken de priemdelers of priemfactoren van 36309,
dat zijn de delers die zelf priemgetallen zijn. Elk geheel getal groter dan 1 is op maar één
manier te schrijven als product van zijn priemfactoren (afgezien van de volgorde). We vinden
die priemfactoren door een voor een, beginnend bij het kleinste priemgetal 2, te kijken of het
getal erdoor deelbaar is.
36309 :3
36309 is niet deelbaar door 2, wel door het volgende priemgetal 3. Daarna
12103 :7
niet door 5 maar wel twee keer door 7. Ten slotte niet door 11, wel 13 en
1729 :7
wat dan nog over is, is zelf een priemgetal: 19. Zie hiernaast, we hebben
247 :13
alle priemdelers gevonden: 39309 = 3 × 7 × 7 × 13 × 19.
19
Je ziet nu dat bijvoorbeeld 3 × 13 = 39 een deler is van 39309 want
39309 = 3 × 7 × 7 × 13 × 19 = (3 × 13) × (7 × 7 × 19) = 39 × 931.
Opgave. Schrijf de volgende getallen als product van priemfactoren: 28, 74, 99, 100, 105.
Hoe vind je de ggd van twee (of meer) getallen?
Bijvoorbeeld, de getallen 36309 en 20482.
39309 = 3 × 7 × 7 × 13 × 19 en 20482 = 2 × 7 × 7 × 11 × 19. De ggd is het product van de
priemfactoren die in beide voorkomen, dat is twee keer de factor 7 en één keer de factor 19.
Dus de ggd is 7 × 7 × 19 = 931. We noteren dit zo: ggd (39309, 20482) = 931.
Opgave. Bereken
a. ggd (28, 105)
b. ggd (20, 45)
c. ggd (54, 18)
d. ggd (35, 81, 270)
e. ggd (336, 133, 791)
Meten en getallen
1 Tellen en Verdelen (3/7)
1 juli 2009
1.3 Het kleinste gemene veelvoud (kgv)
Voorbeeld
De veelvouden van 8 zijn 0, 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80, 88, 96, 108, 116, ….
De veelvouden van 14 zijn 14, 28, 42, 56, 70, 84, 108, 122, …
Je ziet dat 56 en 108 gemeenschappelijke (gemene) veelvouden van 8 en 14 zijn (er zijn er
natuurlijk veel meer). 56 is het kleinste gemene veelvoud.
Oplossing van probleem 3 – het snoeptrommeltje van Tanja
Er moet eerlijk verdeeld worden onder 2, 3 of 4 personen, dus het aantal snoepjes moet een
veelvoud zijn van 2, 3 en 4. We zoeken nu het kgv van 2, 3 en 4.
Veelvouden van 2: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, …
Veelvouden van 3: 3, 6, 9, 12, 15, 18, …
Veelvouden van 4: 4, 8, 12, 16, …
Het kgv van 2, 3 en 4 is dus 12. Tanja moet 12 snoepjes in het trommeltje doen. Hoeveel
vriendinnen er ook komen, 12 snoepjes zijn goed te verdelen: 12 = 2 × 6 = 3 × 4 = 4 × 3.
Hoe vind je het kgv van twee (of meer) getallen?
Bijvoorbeeld, de getallen 588 en 440.
588 = 2 × 2 × 3 × 7 × 7 en 440 = 2 × 2 × 2 × 5 × 11. In het kgv moeten alle priemfactoren van
de getallen voorkomen. Mocht een priemfactor meerdere keren in een getal voorkomen (in dit
voorbeeld: 2 komt twee keer voor in het eerste getal en drie keer in het tweede voor; 7 komt
twee keer in het eerste getal voor), dan moet in het kgv het hoogste aantal keren voorkomen.
Het product van deze priemfactoren is dan het kgv, dat is in dit voorbeeld
2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 7 × 7 × 11 = 64680. We noteren dit zo: kgv (588, 440) = 64680.
1.4 Deelbaarheidtests
deelbaarheid door 3 en 9
Er zijn ook tests om te zien of een getal deelbaar is door 3. Dit gaat zo: tel alle cijfers van het
getal bij elkaar op. Als de som van de cijfers deelbaar is door 3, dan is het getal zelf ook
deelbaar door 3 (en andersom: is de som niet deelbaar door 3 dan het getal ook niet).
Bijvoorbeeld: 2757 is deelbaar door 3, want 2 + 7 + 5 + 7 = 24 is deelbaar door 3.
Op dezelfde manier kun je zien of een getal deelbaar is door 9. Het getal 2757 is wel deelbaar
door 3 maar niet door 9 want de som van cijfers (24) is niet deelbaar door 9.
deelbaarheid door 11
Voor de kleine priemgetallen 2, 3 en 5 ken je nu eenvoudige deelbaarheidstests.
Er is helaas geen test voor deelbaarheid door het volgende priemgetal: 7. Er is er wel een voor
11: tel de cijfers ‘om en om’ bij elkaar op, en neem het verschil van deze twee getallen. Het
oorspronkelijke getal is alleen deelbaar door 11 als dit verschil deelbaar is door 11.
Bijvoorbeeld: 1749 is deelbaar door 11 want 1 + 4 = 5 en 7 + 9 = 16 en het verschil 16 – 5 =
11 is deelbaar door 11.
Meten en getallen
1 Tellen en Verdelen (4/7)
1 juli 2009
Opgaven
Opgave. Bereken voor de volgende getallen de ggd, het kgv en het product van ggd en kgv.
a. 6 en 9
b. 20 en 45
c. 36 en 120
d. 84 en 35
e. 12 en 35
f. 10, 11 en 12
Vergelijk het product van ggd en kgv met het product van de getallen. Wat valt je op?
Opgave. Zie probleem 3 – het snoeptrommeltje van Tanja.
Twee zussen van Tanja willen ook meedoen met de spelletjesavond. Ze zijn dus met 3, 4, 5 of
6 meisjes. In het trommeltje gaan niet meer dan 50 snoepjes. Kan Tanja nu zoveel snoepjes in
het trommeltje doen dat ze met zekerheid de snoepjes eerlijk kan verdelen?
Opgave. Ga na of 15 een deler is van de volgende getallen: 75, 225, 420, 130, 180, 1050.
Gebruik de volgende regels:
- een getal is deelbaar door 3 als de som van de cijfers deelbaar is door 3
- een getal is deelbaar door 5 als het eindigt op een 0 of 5
- een deler (groter dan 1) van een getal is een priemfactor of een product van
priemfactoren van dat getal
Opgave. Zie probleem 2 – juwelier Toermalijn.
De juwelier had zelf nog 12 agaten, 1 barnsteentje en 17 celestienen in voorraad en voegt deze
toe aan de partij gekochte steentjes. De aantallen zijn dus nu 57, 76 en 152. Bereken, met
behulp van het kgv, hoeveel doosjes hij nu met gelijke aantallen steentjes van iedere soort zal
kunnen vullen, zodat hij alle steentjes gebruikt.
Opgave. Hoe zie je aan een getal of het deelbaar is door 25? En door 50? En door twee
miljoen?
Opgave. Honderd is deelbaar door 4, want 4 × 25 = 100. Om na te gaan of een getal deelbaar
is door 4 is het daarom voldoende om naar de laatste twee cijfers te kijken. Welke getallen
zijn deelbaar door vier: 28, 34, 82, 143, 576, 2898?
Opgave. Ga voor elk getal na of het deelbaar is door 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11:
294, 2375, 45986, 12765490, 238964.
Meten en getallen
1 Tellen en Verdelen (5/7)
1 juli 2009
1.5 De negenproef (keuze/extra)
Voordat rekenmachines en computers hun intrede deden, moesten klerken administratieve
berekeningen met potlood en papier maken en natuurlijk werden er wel eens foutjes gemaakt.
Het was belangrijk dat berekeningen werden gecontroleerd en een veel gebruikte controle was
de negenproef.
De negenproef is gebaseerd op ‘rekenen modulo 9’. Bij de negenproef nemen we van elk
getal de som van de cijfers en bepalen dan de rest bij deling door 0. Bijvoorbeeld, van 14837
is de som van de cijfers 1+4+8+3+7=23 en 23 modulo 9 = 5 (want 23=2×9+5). Dan is ook
14837 modulo 9 = 5.
14837
→ 5
Stel, je vermenigvuldigt de getallen 14837 en 67238. Hiernaast
67238
×
→ 8 ×
zie je de uitwerking zoals die vroeger gedaan werd, met
118696
40 → 4
daarnaast de negenproef.
44511.
Wanneer je bij deze vermenigvuldiging 997510206 had
29674..
gevonden dan gaf de negenproef 3 en je zag dat je een rekenfout
103859...
89022.... +
had gemaakt. Maar was je antwoord 997601206 dan was er geen
997610206
→ 4
fout ontdekt. Welke soort fouten kan de negenproef niet
ontdekken?
De negenproef is in onbruik geraakt maar sommige computers werken nog steeds met een
soortgelijke foutdetectie die de parity check heet (letterlijk: ‘evenproef’ of ‘tweeproef’).
Opgave. Bob Cratchit was boekhouder op het kantoor van Ebenezer Scrooge. Cratchit
berekende de winst op het boek ‘a Chrismas Carol’ van C. Dickens met de volgende
vermenigvuldiging: 6000 × 1,37 = 8320.
Cratchit controleerde de berekening met de negenproef. Zag hij dat de berekening fout was?
Maak de berekening zelf en controleer deze met de negenproef.
1.6 Priemgetallen en de Zeef van Eratosthenes (keuze/extra)
Hiernaast zie je een rooster waarmee je alle
priemgetallen tussen 0 en 100 kunt bepalen.
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
1
11
21
31
41
51
61
71
81
91
2
12
22
32
42
52
62
72
82
92
3
13
23
33
43
53
63
73
83
93
4
14
24
34
44
54
64
74
84
94
5
15
25
35
45
55
65
75
85
95
6
16
26
36
46
56
66
76
86
96
7
17
27
37
47
57
67
77
87
97
8
18
28
38
48
58
68
78
88
98
Dit doe je zo: begin bij het eerste priemgetal (2),
omcirkel dat en streep alle veelvouden van 2 door
(dus 4, 6, 8, 10, 12, enz.).
Neem nu het kleinste niet-omcirkelde nietdoorgestreepte getal. Omcirkel dit getal want het is
priem, en streep vervolgens alle veelvouden door.
Ga zo door tot je alle getallen gehad hebt. Hoeveel priemgetallen heb je gevonden?
De methode die hier is gebruikt heet de Zeef van Eratosthenes, een Griekse wiskundige uit de
3e eeuw v. Chr.
9
19
29
39
49
59
69
79
89
99
Opgave. Zoek met behulp van de Zeef van Erathostenes de priemgetallen tussen 100 en 200.
Maak weer een rooster, nu met de getallen 100 t.e.m. 199.
Meten en getallen
1 Tellen en Verdelen (6/7)
1 juli 2009
1.7 Het algoritme van Euclides (keuze/extra)
Euclides, een Grieks wiskundige en tijdgenoot van Eratosthenes, heeft een methode bedacht
om de ggd van twee getallen te bepalen. Hij baseerde zijn algoritme (een recept) op het feit
dat als een getal d deler is van twee getallen a en b, het ook deler is van het verschil a – b en
de som a + b. Neem bijvoorbeeld 6, dat is een deler van 234 (= 6×39) en 36 (= 6×6), dus ook
deler van het verschil 234 – 36 = 198 en van de som 234 + 36 = 270. Ga maar na, 198 en 270
zijn allebei deelbaar door 6.
Hiermee kon hij aantonen dat je voor het bepalen van de ggd van twee getallen, van het
grootste getal een aantal keren het kleinste mag aftrekken. Dat verandert de ggd niet. Je kunt
zelfs het grootste getal delen door het kleinste, en dan in plaats van het grootste getal, de rest
van de deling nemen.
In het voorbeeld: we zoeken de ggd van 234 en 36.
234 : 36 = 6 rest 18 (dat betekent: 234 – 36×6 = 18), dus ggd (234, 36) = ggd (18, 36).
Nu is 36 : 18 = 2. De deling gaat op, dan is het kleinste getal een deler van het grootste en van
zichzelf, het is dus de ggd. We hebben met het algoritme van Euclides, zonder te zoeken naar
priemfactoren, de ggd berekend: ggd (234, 36) = 18.
Opgave. Bereken met het algoritme ven Euclides
a. ggd (72, 54)
b. ggd (187, 255)
c. ggd (4389, 3080)
Controleer je antwoorden door de ggd te berekenen met behulp van priemfactoren.
1.8 Het grootste priemgetal? (keuze/extra)
Het is een hele klus om te ontdekken of een groot getal priem is. Op universiteiten maken ze
er een hele sport van om steeds grotere priemgetallen te vinden – en om
computerprogramma’s hiervoor te maken. Op 23 augustus 2008 werd door een Amerikaanse
universiteit een priemgetal gevonden dat bestaat uit 12 978 189 cijfers! Als je ervan uit gaat
dat een schrift 50 bladzijden heeft, met op elke bladzijde 30 lijntjes met daarop 90 cijfers, dan
kun je 135 000 cijfers in een schrift kwijt. Om het grootste tot nu toe (in 2009) bekende
priemgetal op te schrijven heb je ongeveer 100 schriften nodig.
Zal ooit het grootste priemgetal gevonden worden? Nee. Er is geen grootste priemgetal en dat
is al duizenden jaren bekend. Euclides heeft aangetoond dat er oneindig veel priemgetallen
zijn en dat er dus geen grootste priemgetal kan zijn. Dat deed hij als volgt.
Als er een eindig aantal priemgetallen zou zijn, vermenigvuldig ze dan allemaal met elkaar.
Dit getal, dat we N noemen, is dan een veelvoud van elk priemgetal. Tel nu 1 op bij N. Als je
nu N+1 deelt door een willekeurig priemgetal, dan zul je als rest 1 overhouden. Dus is N+1
door geen enkel priemgetal deelbaar. Maar dat betekent dat N+1 alleen deelbaar is door 1 en
zichzelf, en dus een nieuw priemgetal moet zijn, groter dan `alle priemgetallen`, en dat kan
niet. De aanname dat het aantal priemgetallen eindig zou zijn klopt niet. Dan moeten er wel
oneindig veel priemgetallen zijn.
We noemen dit bewijs van Euclides een bewijs uit het ongerijmde, het is een bewijsmethode
die in de wiskunde veel wordt toegepast.
Opgave. Een bankfiliaal in een woonwijk heeft 23000 klanten. Iedere klant heeft een pincode
van 4 cijfers. Bewijs dat ten minste twee klanten dezelfde pincode hebben.
Meten en getallen
1 Tellen en Verdelen (7/7)
1 juli 2009