Getaltheorie groep 2

Getaltheorie groep 2
Trainingsweekend november 2008
Deel 1: priemgetallen
In de Tweede Rondetraining hebben we al geleerd wat priemgetallen zijn. Dit zijn namelijk
getallen groter dan 1 die alleen maar deelbaar zijn door 1 en zichzelf. Ook hebben we al
gezien hoe we getallen kunnen schrijven als product van priemfactoren. Maar we hebben
nog niet gekeken hoeveel priemgetallen er eigenlijk zijn.
Nu zijn dit er ook heel veel, oneindig veel zelfs. En dat willen we graag bewijzen. We
gaan dit doen met een bewijs uit het ongerijmde. Om dit te doen beginnen we met stellen
dat er niet oneindig veel priemgetallen zijn, dan zijn er dus ’maar’ eindig veel.
Als er maar een eindig aantal priemgetallen is, is er ook een grootste, deze noemen we
p. Laten we nu alle getallen van 1 tot en met p met elkaar vermenigvuldigen. We krijgen
dan een enorm groot getal P , dat deelbaar is door alle priemgetallen die er zijn. Nu tellen
we bij dit getal 1 op en kijken waar dit deelbaar door is. Omdat P deelbaar is door 2, is
P + 1 dat niet. En omdat P deelbaar is door 3, is P + 1 dat niet. Zo kunnen we redeneren
voor alle priemgetallen waar P deelbaar door is. Daar is P + 1 dus allemaal niet deelbaar
door. Maar we hadden gesteld dat P deelbaar was door alle getallen kleiner of gelijk aan
p en p was het grootste priemgetal. Maar P + 1 is niet deelbaar door een priemgetal
kleiner of gelijk aan p, dus moet het deelbaar zijn door één of meerdere priemgetallen die
groter zijn dan p. We hadden echter p als grootste priemgetal gekozen, dus we hebben een
tegenspraak. Dit betekent dat onze aanname dat er eindig veel priemgetallen zijn, niet
klopt.
Opgave 1 Bewijs dat er oneindig veel priemgetallen p zijn van de vorm p = 4k + 3.
Opgave 2 Zij p > 3 een priemgetal. Bewijs dat p2 − 1 deelbaar is door 24.
Opgave 3 Hoe vaak komt de priemfactor 2 voor in (n + 1)(n + 2) · · · (2n)?
Opgave 4 Vind een formule voor het aantal delers van een getal n met priemfactorisatie
n = pk11 pk22 . . . pkr r .
1
Opgave 5 Bewijs op twee manieren dat een positief geheel getal n een kwadraat is, dan
en slechts dan als het een oneven aantal delers heeft.
Opgave 6 Zij p een priemgetal waarvoor geldt dat p2 + 2 ook een priemgetal is. Bewijs
dat p3 + 2 ook een priemgetal is.
Opgave 7 Voor een positief geheel getal n definiëren we r(n) als de som van de resten
als n gedeeld wordt door 1, 2, ..., n. Bewijs dat r(k) = r(k − 1) voor oneindig veel positieve
gehele getallen k.
Belangrijke onderdelen deel 2:
• Als p een priemgetal is en p | ab, dan p | a of p | b.
• Uit a | b en a | c volgt a | b + c en a | b − c.
• De grootste gemene deler van twee getallen is het grootste getal waar ze allebei door
deelbaar zijn.
• ggd(a, b) = ggd(a, b − a)
Opgave 8 Stel dat voor positieve gehele getallen a, b, c en d geldt dat a − c | ab + cd.
Bewijs dat a − c | ad + bc.
Opgave 9 Bewijs dat voor alle positieve gehele getallen n geldt dat a − b | an − bn voor
alle positieve gehele getallen a en b waarvoor geldt dat a 6= b.
Opgave 10 Vind alle n waarvoor geldt a + b | an + bn , voor alle natuurlijke a en b met
a + b 6= 0. Vind ook alle n waarvoor geldt a + b | an − bn , voor alle natuurlijke a en b met
a + b 6= 0.
2
Opgave 11 Bewijs dat in elke verzameling van n + 1 getallen uit {1, 2, . . . , 2n} er twee
getallen a en b zijn waarvoor geldt ggd(a, b) = 1.
Opgave 12 Bewijs dat de breuk
21n+4
14n+3
voor geen enkel geheel getal n te vereenvoudigen is.
Opgave 13 Laat a en b positieve gehele getallen zijn waarvoor geldt a | b2 , b2 | a3 , a3 | b4 ,
b4 | a5 , . . . . Bewijs dat a = b.
Opgave 14
a Zij n een positief geheel getal. Bewijs dat er verschillende positieve
gehele getallen x en y zijn zodat x + j een deler is van y + j, voor j = 1, 2, . . . , n.
b Stel dat voor twee positieve gehele getallen x en y geldt dat x + j | y + j voor alle
positieve gehele j. Bewijs dat x = y.
n
Opgave 15 Zij Tn = 22 + 1. Bewijs dat als n 6= m, dan zijn Tm en Tn onderling
ondeelbaar.
3