1 Getallen en meetwaarden

Tellen en verdelen
[inleidend tekstje]
1. huizen langs de Lindelaan
Langs de Lindelaan staan vrijstaande huizen, aan de ene kant huizen met even nummers (2, 4, 6,
enz.) en aan de andere kant huizen met oneven nummers (1, 3, 5, enz.).
De Lindenlaan heeft geen bochten en de afstand tussen twee huizen, van deur tot deur gemeten,
is steeds twintig meter.
Je hebt een folderbaantje en in de Lindelaan bezorg je alleen bij de oneven huisnummers 15
t.e.m. 51.
Hoeveel folders bezorg je in de Lindelaan? In de Lindelaan is het 10 meter lopen van de hoek van
de straat tot de deur van huisnummer 15, en van huisnummer 51 tot het eind is 35 meter.
Hoeveel meter loop je in totaal in de Lindelaan?
<< PLAATJE: straat in nieuwbouwwijk>>
2. juwelier Toermalijn
Juwelier Toermalijn heeft een partij edelstenen opgekocht die bestaat uit 45 agaten en 135
barnstenen. Toermalijn wil deze steentjes verkopen in doosjes. Van iedere soort moeten
evenveel steentjes in een doosje komen.
Hoeveel doosjes kan Toermalijn met deze steentjes vullen zodat hij geen enkel steentje
overhoudt?
<< PLAATJE: (doosje met) edelsteentjes >>
3. het snoeptrommeltje van Tanja
Tanja heeft drie vriendinnen uitgenodigd voor een spelletjesavond. Aan het begin van de avond
krijgt ieder (ook Tanja) evenveel snoepjes uit een trommeltje, er mogen geen snoepjes over
blijven. Tanja weet nog niet of iedereen komt. Ze wil vooraf zoveel snoepjes in het trommeltje
doen, dat ze er zeker van is dat de snoepjes eerlijk verdeeld kunnen worden.
Hoeveel snoepjes moet Tanja ten minste in het trommeltje doen?
<< PLAATJE: snoeptrommeltje >>
1.1 Tellen: plus of min één?
De afstand tussen twee stippen is steeds 1 cm.
De afstand tussen A en B is 6 cm.
Er liggen 5 stippen tussen A en B.
Het totaal aantal stippen, met A en B meegerekend, is 7 (de afstand + 1).
Meten en getallen
1 Tellen en Verdelen (1/8)
7 juli 2009
Oplossing van huizen langs de Lindelaan
51 – 15 = 36; omdat alleen oneven nummers zijn gebruikt, is de afstand 36 : 2 = 18 huizen. Je bezorgt
dus folders bij 18 + 1 = 19 huizen.
De afstand in meters, van de deur van huis nr. 15 tot nr 51, is 18 × 20 = 360 meter. Daar komt het
begin en het eind van de straat bij, dus in totaal 360 + 10 + 35 = 405 m.
1.2 Delers, priemgetallen en de grootste gemene deler
Je hebt een zakje met 24 snoepjes. Met hoeveel personen kun je de snoepjes
delen zodat iedereen evenveel snoepjes krijgt?
Het getal 3 is een deler van 24, want met 3 personen kun je 24 snoepjes eerlijk
delen in even grote, gehele aantallen.
Het getal 24 is een veelvoud van 3 en dus is 24 gedeeld door 3 een geheel getal (8).
Delers van 24 zijn: 1, 2, 3, 4, 6, 12, 24.
Van het getal 30 zijn de delers: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30.
De gemeenschappelijke (gemene) delers van 24 en 30 zijn 1, 2, 3 en 6.
De grootste gemene deler, afgekort ggd van 24 en 30 is 6.
Priemgetallen zijn getallen die maar twee delers hebben: zichzelf en 1.
Bijvoorbeeld 5 en 13 zijn priemgetallen. Het getal 24 is duidelijk geen priemgetal, het heeft naast 24
en 1 nog andere delers. Het kleinste priemgetal is 2.
Oplossing van juwelier Toermalijn
In elk doosje moeten steentjes komen in de verhouding 45 :135 (‘:’ betekent hier ‘staat tot’). De
getallen zijn deelbaar door 5, dus het is dezelfde verhouding als 9 : 27 . Deze getallen zijn weer
deelbaar door 3. Dus de verhouding is dezelfde als 3 : 9 . Verder gaat het niet.
We hebben de oorspronkelijke getallen gedeeld door 5 × 3 = 15 en dat veranderende niets aan de
verhouding van de aantallen steentjes. Zo bleek 15 de grootste gemene deler van de twee getallen.
De juwelier kan 15 doosjes vullen in de verhouding 3 : 9 , dus 3 agaten en 9 barnstenen.
Opgaven
4. Aantallen
Bereken het aantal gehele getallen
a. tussen 8 en 15.
b. groter dan 13 maar niet groter dan 21.
c. in de reeks 15, 16, 17 tot en met 25.
d. groter dan 32 maar kleiner dan of gelijk aan 100.
5. Artikelen
a. In een schoenenwinkel zijn kinderschoenen te koop van maat 29 t.e.m. 38. Hoeveel
verschillende maten kinderschoenen zijn er in deze winkel?
Meten en getallen
1 Tellen en Verdelen (2/8)
7 juli 2009
b. Dezelfde schoenenwinkel verkoopt damesschoenen van maat 36 t.e.m. 44. Bij de
damesschoenen zijn ook de tussenliggende halve maten, bijvoorbeeld maat 39 12 , aanwezig.
Hoeveel verschillende maten damesschoenen kun je in deze winkel kopen?
c. “Voor elke prijs tussen € 5 en € 10 hebben wij een artikel” adverteert de winkelketen
Diverta. Prijzen in deze winkels zijn afgerond op 5 eurocent. Voor een moederdagcadeau
heeft Lieselot € 10 te besteden. Uit hoeveel artikelen kan zij zeker kiezen in een winkel van
Diverta?
6. Bereken
Bereken het aantal delers van 20, 45, 13, 31, 1 en 0.
7. Bereken
a. ggd (28, 105)
b. ggd (20, 45)
c. ggd (54, 18)
d. ggd (35, 81, 270)
e. ggd (336, 133, 791)
Meten en getallen
1 Tellen en Verdelen (3/8)
7 juli 2009
1.3 Het kleinste gemene veelvoud
De veelvouden van 8 zijn 0, 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80, 88, 96, 108, 116, ….
De veelvouden van 14 zijn 14, 28, 42, 56, 70, 84, 108, 122, …
Je ziet dat 56 en 108 gemeenschappelijke (gemene) veelvouden van 8 en 14 zijn (er zijn er natuurlijk
veel meer). 56 is het kleinste gemene veelvoud.
Oplossing van het snoeptrommeltje van Tanja
Er moet eerlijk verdeeld worden onder 1 (niemand komt), 2, 3 of 4 personen, dus het aantal snoepjes
moet een veelvoud zijn van 2, 3 en 4.
We zoeken nu het kgv van 2, 3 en 4.
Veelvouden van 2: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, …
Veelvouden van 3: 3, 6, 9, 12, 15, 18, …
Veelvouden van 4: 4, 8, 12, 16, …
Het kgv van 2, 3 en 4 is dus 12. Tanja moet 12 snoepjes in het trommeltje doen. Hoeveel vriendinnen
er ook komen, 12 snoepjes zijn goed te verdelen: 12 = 2 × 6 = 3 × 4 = 4 × 3.
1. 4 D E E L B A A R H E I D T E S T S
deelbaarheid door 3 en 9
Er zijn ook tests om te zien of een getal deelbaar is door 3. Dit gaat zo: tel alle cijfers van het getal bij
elkaar op. Als de som van de cijfers deelbaar is door 3, dan is het getal zelf ook deelbaar door 3 (en
andersom: is de som niet deelbaar door 3 dan het getal ook niet). Bijvoorbeeld: 2757 is deelbaar
door 3, want 2 + 7 + 5 + 7 = 24 is deelbaar door 3.
Op dezelfde manier kun je zien of een getal deelbaar is door 9. Het getal 2757 is wel deelbaar door 3
maar niet door 9 want de som van cijfers (24) is niet deelbaar door 9.
deelbaarheid door 11
Voor de kleine priemgetallen 2, 3 en 5 ken je nu eenvoudige deelbaarheidstests.
Er is helaas geen test voor deelbaarheid door het volgende priemgetal: 7. Er is er wel een voor 11: tel
de cijfers ‘om en om’ bij elkaar op, en neem het verschil van deze twee getallen. Het oorspronkelijke
getal is alleen deelbaar door 11 als dit verschil deelbaar is door 11. Bijvoorbeeld: 1749 is deelbaar
door 11 want 1 + 4 = 5 en 7 + 9 = 16 en het verschil 16 – 5 = 11 is deelbaar door 11.
Meten en getallen
1 Tellen en Verdelen (4/8)
7 juli 2009
Opgaven
8. Bereken ggd en kgv van de volgende getallen
a. 6 en 9
b. 20 en 45
c. 36 en 120
d. 84 en 35
e. 12 en 35
f. 10, 11 en 12
g. Bereken het product van ggd en kgv van bovenstaande getallen en vergelijk dat met het
product van de getallen zelf. Wat valt je op?
9. het snoeptrommeltje van Tanja: het vervolg
Twee zussen van Tanja willen ook meedoen met de spelletjesavond. Ze zijn dus met 3, 4, 5 of 6
meisjes. In het trommeltje gaan niet meer dan 50 snoepjes. Kan Tanja nu zoveel snoepjes in het
trommeltje doen dat ze met zekerheid de snoepjes eerlijk kan verdelen?
10. juwelier Toermalijn: het vervolg
De juwelier had zelf nog 12 agaten en 1 barnsteentje in voorraad en voegt deze toe aan de partij
gekochte steentjes. De aantallen zijn dus nu 57 en 76. Bereken, met behulp van het kgv, hoeveel
doosjes hij nu met gelijke aantallen steentjes van iedere soort zal kunnen vullen, zodat hij alle
steentjes gebruikt.
11. deelbaarheid
a. Hoe zie je aan een getal of het deelbaar is door 25? En door 50? En door twee miljoen?
b. Honderd is deelbaar door 4, want 4 × 25 = 100. Om na te gaan of een getal deelbaar is door 4
is het daarom voldoende om naar de laatste twee cijfers te kijken. Welke getallen zijn
deelbaar door vier: 28, 34, 82, 143, 576, 2898?
c. Ga voor elk getal na of het deelbaar is door 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11:
294, 2375, 45986, 12765490, 238964.
Meten en getallen
1 Tellen en Verdelen (5/8)
7 juli 2009
1.5 Keuzestof
De negenproef
Voordat rekenmachines en computers hun intrede deden, moesten klerken administratieve
berekeningen met potlood en papier maken en natuurlijk werden er wel eens foutjes gemaakt. Het
was belangrijk dat berekeningen werden gecontroleerd en een veel gebruikte controle was de
negenproef.
De negenproef is gebaseerd op ‘rekenen modulo 9’. Bij de negenproef nemen we van elk getal de
som van de cijfers en bepalen dan de rest bij deling door 0. Bijvoorbeeld, van 14837 is de som van de
cijfers 1+4+8+3+7=23 en 23 modulo 9 = 5 (want 23=2×9+5). Dan is ook 14837 modulo 9 = 5.
Stel, je vermenigvuldigt de getallen 14837 en 67238. Hiernaast zie je
de uitwerking zoals die vroeger gedaan werd, met daarnaast de
14837
→ 5
67238
×
→ 8 ×
negenproef.
118696
40 → 4
Wanneer je bij deze vermenigvuldiging 997510206 had gevonden dan
44511.
gaf de negenproef 3 en je zag dat je een rekenfout had gemaakt.
29674..
Maar was je antwoord 997601206 dan was er geen fout ontdekt.
103859...
Welke soort fouten kan de negenproef niet ontdekken?
89022.... +
997610206
→ 4
De negenproef is in onbruik geraakt maar sommige computers
werken nog steeds met een soortgelijke foutdetectie die de parity check heet (letterlijk: ‘evenproef’
of ‘tweeproef’).
12. controleer met de negenproef
Bob Cratchit was boekhouder op het kantoor van Ebenezer Scrooge. Cratchit berekende de winst
op het boek ‘a Chrismas Carol’ van C. Dickens met de volgende vermenigvuldiging: 6000 × 1,37 =
8320.
Cratchit controleerde de berekening met de negenproef. Zag hij dat de berekening fout was?
Maak de berekening zelf en controleer deze met de negenproef.
1.6 Priemgetallen en de Zeef van Eratosthenes
0
10
20
30
40
50
60
70
80
Meten en getallen
1
11
21
31
41
51
61
71
81
1 Tellen en Verdelen (6/8)
2
12
22
32
42
52
62
72
82
3
13
23
33
43
53
63
73
83
4
14
24
34
44
54
64
74
84
5
15
25
35
45
55
65
75
85
6
16
26
36
46
56
66
76
86
7
17
27
37
47
57
67
77
87
8
18
28
38
48
58
68
78
88
9
19
29
39
49
59
69
79
89
7 juli 2009
Hiernaast zie je een rooster waarmee je alle
priemgetallen tussen 0 en 100 kunt bepalen.
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
Dit doe je zo: begin bij het eerste priemgetal (2), omcirkel dat en streep alle veelvouden van 2 door
(dus 4, 6, 8, 10, 12, enz.).
Neem nu het kleinste niet-omcirkelde niet-doorgestreepte getal. Omcirkel dit getal want het is
priem, en streep vervolgens alle veelvouden door. Ga zo door tot je alle getallen gehad hebt. Hoeveel
priemgetallen heb je gevonden?
De methode die hier is gebruikt heet de Zeef van Eratosthenes, een Griekse wiskundige uit de 3e
eeuw v. Chr.
13. Zeven
Is 87 een priemgetal?
1.7 Het algoritme van Euclides
Euclides, een Grieks wiskundige en tijdgenoot van Eratosthenes, heeft een methode bedacht om de
ggd van twee getallen te bepalen. Hij baseerde zijn algoritme (een recept) op het feit dat als een
getal d deler is van twee getallen a en b, het ook deler is van het verschil a – b en de som a + b. Neem
bijvoorbeeld 6, dat is een deler van 234 (= 6×39) en 36 (= 6×6), dus ook deler van het verschil 234 –
36 = 198 en van de som 234 + 36 = 270. Ga maar na, 198 en 270 zijn allebei deelbaar door 6.
Hiermee kon hij aantonen dat je voor het bepalen van de ggd van twee getallen, van het grootste
getal een aantal keren het kleinste mag aftrekken. Dat verandert de ggd niet. Je kunt zelfs het
grootste getal delen door het kleinste, en dan in plaats van het grootste getal, de rest van de deling
nemen.
In het voorbeeld: we zoeken de ggd van 234 en 36.
234 : 36 = 6 rest 18 (dat betekent: 234 – 36×6 = 18), dus ggd (234, 36) = ggd (18, 36).
Nu is 36 : 18 = 2. De deling gaat op, dan is het kleinste getal een deler van het grootste en van
zichzelf, het is dus de ggd. We hebben met het algoritme van Euclides de ggd berekend: ggd (234, 36)
= 18.
14. het algoritme van Euclides
a. ggd (72, 54)
b. ggd (187, 255)
1.8 Het grootste priemgetal?
Het is een hele klus om te ontdekken of een groot getal priem is. Op universiteiten maken ze er een
hele sport van om steeds grotere priemgetallen te vinden – en om computerprogramma’s hiervoor
te maken. Op 23 augustus 2008 werd door een Amerikaanse universiteit een priemgetal gevonden
dat bestaat uit 12 978 189 cijfers! Als je ervan uit gaat dat een schrift 50 bladzijden heeft, met op
elke bladzijde 30 lijntjes met daarop 90 cijfers, dan kun je 135 000 cijfers in een schrift kwijt. Om het
grootste tot nu toe (in 2009) bekende priemgetal op te schrijven heb je ongeveer 100 schriften nodig.
Zal ooit het grootste priemgetal gevonden worden? Nee. Er is geen grootste priemgetal en dat is al
duizenden jaren bekend. Euclides heeft aangetoond dat er oneindig veel priemgetallen zijn en dat er
dus geen grootste priemgetal kan zijn. Dat deed hij als volgt.
Meten en getallen
1 Tellen en Verdelen (7/8)
7 juli 2009
Als er een eindig aantal priemgetallen zou zijn, vermenigvuldig ze dan allemaal met elkaar. Dit getal,
dat we N noemen, is dan een veelvoud van elk priemgetal. Tel nu 1 op bij N. Als je nu N+1 deelt door
een willekeurig priemgetal, dan zul je als rest 1 overhouden. Dus is N+1 door geen enkel priemgetal
deelbaar. Maar dat betekent dat N+1 alleen deelbaar is door 1 en zichzelf, en dus een nieuw
priemgetal moet zijn, groter dan `alle priemgetallen`, en dat kan niet. De aanname dat het aantal
priemgetallen eindig zou zijn klopt niet. Dan moeten er wel oneindig veel priemgetallen zijn.
We noemen dit bewijs van Euclides een bewijs uit het ongerijmde, het is een bewijsmethode die in
de wiskunde veel wordt toegepast.
15. Pincodes
Een bankfiliaal in een woonwijk heeft 23000 klanten. Iedere klant heeft een pincode van 4 cijfers.
Bewijs dat ten minste twee klanten dezelfde pincode hebben.
Meten en getallen
1 Tellen en Verdelen (8/8)
7 juli 2009