analyse

NETWERKEN EN FILTERS
Rik Pintelon
Rik Pintelon, Brussel, oktober 2005
Version 19 October 2016
1
Inhoudstabel
DEEL I: Analyse van Netwerken
I a Lineaire Netwerken
1. Inleiding basiselementen
1.1. Definities
1.2. Ideale 1-poorten
1.3. Ideale 2-poorten
1.4. Ideale bronnen
1.6. Basisonderstellingen
2. Matriciële formulering van de KCL-, KVL- en VAL-wetten
2.1. Inleiding
2.2. Verband tussen een netwerk en een georiënteerde graf
2.3. KCL-wet
2.4. KVL-wet
2.5. VAL-wet
2.6. Samenvatting van de vergelijkingen
2.7. Verlagen van het aantal onbekenden
2.8. Overzicht van de vergelijkingen
2.9. Matriciële oplossing van netwerken
2.10. Interpretatie van de methode van de knooppuntpotentialen
2.11. Interpretatie van de methode van de maasstromen
2.12. Uitbreiding van de methode van de knooppuntpotentialen
2.13. Uitbreiding van de methode van de maasstromen
3. De stellingen van Thévenin en Norton
3.1. Probleemstelling
3.2. Stelling van Thévenin
3.3. Stelling van Norton
3.4. Toepassing op een actieve kring
3.5. Toepassing op kringen die niet vanuit rust vertrekken
4. Studie van 2-poorten
4.1. Definitie en basisvergelijkingen
4.2. Canonieke voorstellingen van 2-poorten
4.3. Verband tussen canonieke vormen van 2-poorten
4.4. Schakelen van tweepoorten
4.5. Reciprociteit van tweepoorten
4.6. Schalingseigenschap van een impedantie en een transfer functie
4.7. Efficiënt berekenen van tweepoorten
5. Gevoeligheidsstudie van 2-poorten
5.1. Definitie en eigenschappen van de gevoeligheid
5.2. Analytisch berekenen van de gevoeligheid
5.3. Numeriek berekenen van de gevoeligheden.
5.4. Berekenen van de groepdoorlooptijd
6. Switched capacitor netwerken
6.1. Inleiding
6.2. Elementaire bouwstenen.
6.3. Oplossen van switched capacitor netwerken
6.4. Eigenschappen van switched capacitor filters
2
4
5
5
6
8
9
10
12
12
13
14
16
19
19
20
21
22
23
26
27
33
36
36
36
38
39
42
43
43
45
49
50
56
58
60
62
62
63
63
68
70
70
72
76
77
2
6.5. Vermogen dissipatie van een switched capacitor netwerk
I b Niet-lineaire Netwerken
7. DC- analyse van niet lineaire netwerken
7.1. Definitie
7.2. Voorbeelden van niet lineaire elementen
7.4. Oplossen van de basisvergelijkingen
7.5. Netwerk- interpretatie van de numerieke oplossingsmethode
8. Transiënt analyse van niet lineaire netwerken
8.1. Inleiding
8.2. De toestandsveranderlijke methode
8.3. De kompanionmethode
Referentiewerken
79
81
82
82
82
84
85
94
94
94
100
111
3
DEEL I: ANALYSE VAN NETWERKEN
I A LINEAIRE NETWERKEN
4
1.
Inleiding basiselementen
1.1. Definities
Een netwerk is een aaneenschakeling van éénpoorten, tweepoorten, …, n-poorten, die
symbolisch voorgesteld worden als:
i
éénpoort:
Voorbeeld: spoel,
condensator,
weerstand
u
i
tweepoort
i1
i2
Voorbeeld: versterker
u1
u2
i1
i2
n-poort
i1
u1
i1
Voorbeeld: 3-fasige
transformator
i2
u2
i2

in
un
in
Een aantal ideale 1-poort en 2-poort elementen zullen verderop besproken worden. Een
reële component zoals een batterij of een condensator bestaat uit een aaneenschakeling
van ideale componenten.
5
1.2. Ideale 1-poorten
Tijdsdomein
it
weerstand
R
ut
it
spoel
it
u  t  = Ri  t 
of
ut = L d it
dt
of
U  p  = L  pI  p  – i  0 -  
it = C d ut
dt
of
I  p  = C  pU  p  – u  0 -  
U  p  = RI  p 
L
ut
condensator
Laplace-domein
C
u t
Zoals uit de vergelijkingen in het Laplace-domein blijkt, bestaat er niet
noodzakelijkerwijs een evenredig verband tussen de Laplace-getransformeerden van de
spanning en de stroom. Bestaat er dan zoiets als een impedantie in het Laplace-vlak? Via
de volgende equivalentie tonen we aan dat dit inderdaad zo is.
i 0- 
u t

it
L
i 0-   0
it
L
j  t  j  0 -  = 0
Elektrisch
equivalent
u t
v  t  v  0 -  = 0
u  t  u  0 -   0
u 0- 

it
C
Elektrisch
equivalent
it
C
ut
We bewijzen de equivalentie voor de condensator, het bewijs voor de spoel wordt als
oefening overgelaten aan de lezer.
De werkingsvergelijkingen van het rechterschema zijn:

 I  p  = CpV  p 
d
 it = C vt

dt


u 0- 
 u t  = v t  + u 0- 
 U  p  = V  p  + -----------p


(1)
6
Eliminatie van V  p  in (1) geeft
u 0 
I  p  = Cp  U  p  – ------------- = C  pU  p  – u  0 -  

p 
-
wat het gestelde bewijst.
We besluiten dat het begrip impedantie bestaat in het Laplace-domein indien alle
beginvoorwaarden nul zijn. Indien niet, dan moet men eerst alle geladen condensatoren
vervangen door een ongeladen condensator in serie met een DC-spanningsbron, en alle
spoelen waardoor een stroom vloeit op t=0, vervangen door spoelen waardoor geen
stroom vloeit op t=0 met parallel daarover een DC-stroombron.
R
L
C
Impedantie R
Impedantie Lp
1Impedantie -----Cp
Opmerkingen
1) inschakelgedrag ideale 1- poorten:
• condensator reageert op een plotse stroomverandering als een kortsluiting
 i  t  = C d u  t   u  t  is een continue functie


dt
• spoel reageert als een open klem op een plotse spanningsverandering
 u  t  = L d i  t   i  t  is een continue functie


dt
2)
Reële spoel
of
Reële condensator
7
1.3. Ideale 2-poorten
De transformator
M
i1  t 
u1  t 
L1
i2  t 
u2  t 
L2
i1  0-   0 ; i2  0-   0
electrisch equivalent (als oefening)
i1  t 
u1  t 
M
j1  t 
i1  0- 
j2  t 
i2  0 - 
L2
L1
i2  t 
u2  t 
Tijdsdomein
 u1  t  = L1 d i1  t  + M d i2  t 
dt
dt


u t = M d i t + L d i t
2
 2
dt 1
dt 2
Laplace-domein
 U 1  p  = L 1 pI 1  p  + MpI 2  p  –  L 1 i 1  0  + Mi 2  0  

 U 2  p  = MpI 1  p  + L 2 pI 2  p  –  Mi 1  0 -  + L 2 i 2  0 -  
De gyrator
i1  t 
u1  t 
r
i2  t 
u2  t 
8
Tijdsdomein
 u 1  t  = – ri 2  t 

 u 2  t  = ri 1  t 
Laplace-domein
 U 1  p  = – rI 2  p 

 U 2  p  = rI 1  p 
1.4. Ideale bronnen
a) onafhankelijke bronnen (spannings- en stroombronnen)
j0
E0
Et
b) gestuurde bronnen (4 soorten)
soort bron
1.
spanningsbron
2.
spanningsbron
3.
stroomsbron
stroombron
4.
soort stuurgrootheid
spanning
stroom
spanning
stroom
In het eerste voorbeeld spreekt men van een spanningsgestuurde spanningsbron,
vervolgens stroomgestuurde spanningsbron enz…
1.5. Rekenen met impedanties: éénvoudige voorbeelden
a) Voorbeeld 1: berekenen van de overgangsverschijnselen van de volgende kring
t = 0
R
E
C
u  t  u  0 -   0

R
E
C
vt
u 0- 
ut
9
Gebruik makend van de wet van de spanningsdeler vinden we de Laplace
getransformeerde V  p  van de spanning v  t  in het equivalent schema
1   Cp  E u  0 - 
E – u 0- 
V  p  = -----------------------------  --- – ------------- = ---------------------------1   Cp  + R  p
p 
p  RCp + 1 
Gezien U  p  = V  p  + u  0 -   p volgt hieruit het gezochte spanningsverloop u(t)
u(t) = L – 1  U  p   = u  0 -  +  E – u  0 -    1 – e – t   RC  
waarbij L – 1   de invers Laplace getransformeerde voorstelt.
b) Voorbeeld 2: ingangsimpedantie van de gyrator belast met een condensator
Ip
Zp
Up
r
I2  p 
U2  p 
C
In de onderstelling dat de initiële condities nul zijn, en gebruik makende van de
werkingsvergelijkingen van de gyrator, vinden we
– rI 2  p 
I2  p 
Up
Z  p  = ------------ = --------------------- = – r 2 --------------- =  – r 2   – Cp  = r 2 Cp
U2  p   r
U2  p 
Ip
Uit de vergelijking volgt dat een gyrator belast met een condensator zich gedraagt als
een spoel met waarde r 2 C . In deel 2 van de cursus zullen we zien hoe een gyrator met
behulp van operationele versterkers, weerstanden, en condensatoren kan gemaakt
worden.
1.6. Basisonderstellingen
De volgende onderstellingen zullen veelvuldig gemaakt
tijdsinvariantie, passiviteit, geconcentreerde elementen.
worden:
lineariteit,
a) Lineariteit
Dit eist dat het netwerk vanuit rust vertrek (alle beginvoorwaarden zijn nul), zo niet
heeft men GEEN evenredig verband tussen spanning en stroom. Let wel dat indien de
beginvoorwaarden niet nul zijn de oplossing wel gevonden kan worden als de
superpositie van lineaire deelproblemen.
niet-lineair
u
lineair
i
(Opmerking: lineariteit in systeemtheorie houdt in feite evenredigheid in)
10
b) Tijdinvariantie
Dit eist dat alle elementwaarden onafhankelijk van de tijd zijn: R, L, C, M, r, … zijn
constanten.
c) Passiviteit
Dit eist dat het netwerk op elk ogenblik niet meer energie teruggeeft aan de
buitenwereld dan het ontvangen heeft.
Voor een n-poort wordt deze eis
n
 uk  t ik  t 
vermogen p  t  =
k=1
t
 p  t  dt  0
energie e  t  =
(2)
–
Bijvoorbeeld voor een spoel wordt (2):
t
et =

–
Li 2  t 
L  d i  t  i  t  dt = --------------  0
dt 
2
Bewijs als oefening dat de weerstand, de condensator, de transformator en de gyrator
passieve elementen zijn.
d) Geconcentreerde elementen
In deze cursus gaan we er vanuit dat de voortplantingssnelheid van de
elektromagnetische golven oneindig groot is (= theorie van de geconcentreerde
elementen). Deze onderstelling is zinvol indien de golflengte geassocieerd aan de
hoogste frequentie in de signalen veel groter is dan de fysische afmeting van het
netwerk.
Voorbeeld 1:
c = 3 10 m/s 
   = 3 cm
f = 10 GHz 
8
Voorbeeld 2:
8
c = 3 10 m/s 
   = 6000 km
f = 50 Hz

Indien de hypothese c =  niet opgaat krijgt men effecten die aan de hand van de
theorie met geconcentreerde elementen niet kan verklaren, zoals golfvoortplanting,
huideffect (skineffect) in geleiders enz… (zie cursus elektromagnetisme).
11
2.
Matriciële formulering van de KCL-, KVL- en VAL-wetten
2.1. Inleiding
Het doel is om tot een matriciële formulering te komen van de 3 basisvergelijkingen van
een netwerk:
1) KCL- wet (Kirchoff current law)
i1
i2
i1 – i2 – i3 = 0
i3
Som van de stromen naar een knoop (doorsnede) toe = 0.
2) KVL-wet (Kirchoff voltage law)
u1
u2
u1 – u2 – u3 + u4 = 0
u4
u3
Som van de spanningen in een gesloten lus = 0.
3) VAL - wet (volt- ampère law)
Ep
Ip
U  p  = Z  p I  p  – E  p 
Zp
Up
Daar waar de KCL en KVL-wetten geldig zijn voor zowel lineaire als niet-lineaire
netwerken, drukt de VAL-wet het lineaire gedrag van het netwerk uit.
12
2.2. Verband tussen een netwerk en een georiënteerde graf
We voeren de equivalentie tussen een netwerk en een georiënteerde graf, en een aantal
definities in via een voorbeeld, namelijk een brugschakeling.
2
2
I3
U2
U3
I5
Z2
I2
t5
Z5
3
U1
I4
Z4
3
1
I1
4
1
t4
t1
Z1
U4
0
I6
t3
Z3
U5
1
t2
6
Z6
0
t6
U6
E6
Geörienteerde graf
Netwerk
Figuur 1
Definities en conventies
n + 1 = totaal aantal knopen in het netwerk  n = 3 
t = aantal takken in netwerk
n = 6
boom = verzameling van takken zodanig dat er tussen 2 willekeurig gekozen
knopen slechts 1 pad bestaat dat hen verbindt.
Dit moet opgaan voor elk gekozen knopenpaar ( boom =  t 2 t 3 t 5  )
twijg = tak die tot de boom behoort  t 2 t 3 t 5 
liaan = tak die niet tot de boom behoort  t 1 t 4 t 6 
13
fundamentele lus  = lus die ontstaat door bij een boom een liaan toe te voegen
 1 =  t 1 t 2 t 5 
orientatie tak = zin van de stroom door de tak
I = t  1 vector van de takstromen I 1
I2

I6
U = t  1 vector van de takspanningen U 1
U2

U6
Merk op:
Een boom bevat precies n twijgen
Er zijn bijgevolg t – n lianen in een netwerk
Er zijn t – n fundamentele lussen in een netwerk
De georiënteerde graf bevat alle informatie i.v.m de stroomzin en spanningszin van alle
takken van het netwerk. De enige informatie die ontbreekt is het verband spanning/stroom
in elke tak. We kunnen dus niet verwachten dat de georiënteerde graf de VAL- wetten zal
kunnen beschrijven.
2.3. KCL-wet
a) De verbindingsmatrix of schakelmatrix A
A is een  n + 1   t matrix
 A  ij = a ij

 1 i  t j en pijl uit knoop

=  – 1 i  t j en pijl naar knoop

 0 i  tj

voorbeeld: de brugschakeling (zie Figuur 1 § 2.2.)
t1
0
A =1
2
3






–1
1
0
0
t2 t3
0
1
–1
0
0
0
–1
1
t4 t5
–1
0
0
1
–1
0
1
0
t6
0 

–1 
0 
1 
(3)
b) AI = 0 beschrijft de KCL- wetten in alle knopen.
14
Bewijs (aan de hand van een voorbeeld)
tr
tq
Geörienteerde graf
ts
i
de i -de rij van AI = 0 is
t
 aik Ik
(4)
= 0
k=1
Een term van deze som is enkel verschillend van nul indien a ik  0 . Dit betekent dat
de knoop i tot tak t k behoort. (4) herleidt zich dus tot
a is I s + a ir I r + a iq I q = 0
Nu is a is = 1 , a ir = 1 , a iq = – 1 zodat
Is + Ir – Iq = 0
of
– Is – Ir + Iq = 0
wat precies de KCL- wet is uitgedrukt in knoop i .
c) rang  A  = n
We zullen aantonen dat er precies n lineaire onafhankelijke KCL- wetten zijn in een
netwerk.
Bewijs: Het bewijs gebeurt in 2 stappen. Eerst tonen we aan dat rang  A   n , nadien
tonen we aan dat rang  A   n waaruit we dan besluiten dat rang  A  = n .
• Deel 1: bewijs, rang  A   n . We stellen de schakelmatrix A op waarbij we de
kolommen van A zodanig schikken dat eerst de twijgen voorkomen en nadien de
lianen. Dit houdt in dat we een boom gekozen hebben.
t w1
t w2
t w3

t wn
t l1
t l2
 tl t – n 


 


2 

1 
0 
n
0


0
1
1
0

0
1
?
?
0

1
?
?
?









1
?
?
?
?
De matrix wordt als volgt opgebouwd. Kies eerst een referentieknoop 0 . Hieruit
vertrekt een twijg t w1 en komt toe in een knoop die we 1 nummeren.
0
t w1
1
15
Vanuit knoop 1 of knoop 0 moet er een andere twijg t w2 van de boom vertrekken
(zo niet hebben we geen boom), bijvoorbeeld:
0
1
t w1
0
1
t w1
of
t w2
t w2
2
2
Twijg t w2 verbindt dus knoop 2 met knoop 0 of 1 .
We gaan zo verder totdat alle twijgen opgebruikt zijn. Dit levert een
driehoeksmatrix op voor de n eerste kolommen en n eerste rijen van de A matrix
met op de nevendiagonaal enkel  1 . Bijgevolg is rang  A   n .
• Deel 2 bewijs, rang  A   n . Gezien een tak juist 2 knopen met elkaar verbindt is
de som van alle elementen van een kolom van A = 0 (zie bijvoorbeeld (3)).
Bijgevolg zijn de rijen van A lineair afhankelijk en dus rang  A   n + 1 of
rang  A   n wat het gestelde bewijst.
d) Besluit
Er zijn juist n lineair onafhankelijke KCL-vergelijkingen. Daarom beperkt men het
aantal rijen van de A matrix tot n . Dit houdt in dat men de KCL-wet in de
referentieknoop 0 niet uitdrukt (is lineair afhankelijk van alle andere). Voor de
éénvoud gaan we ook onderstellen dat er geen ideale stroombronnen aanwezig zijn in
het netwerk; indien wel dan zouden een aantal van de takstromen gekend zijn. Achteraf
gaan we die beperking opheffen.
2.4. KVL-wet
a) De kringenmatrix B
B heeft t kolommen en een aantal rijen dat overeenkomt met het totaal aantal lussen
dat gevonden kan worden in het netwerk.
 B  ij

 1

= b ij =  – 1

 0

t j   i en takzin = zin kring
t j   i en takzin  zin kring
tj  i
voorbeeld: de brugschakeling (zie Figuur 1 § 2.2.)
Kies als boom  t 2 t 3 t 5  dan krijgen we als fundamentele lussen  1 ,  4 en  6 .
 1 =  t 1 t 5 t 2  ,  4 =  t 4 t 5 t 3  , en  6 =  t 6 t 2 t 3  . De B matrix gebouwd
op deze fundamentele lussen is dan
16
t1 t2 t3
 1 –1 0

 0 0 –1

 0 1 –1
1
B = 4
6
t4
t5
t6
0 – 1 0 
1 –1 0 

0 0 1 
b) BU = 0 beschrijft de KVL-wetten in alle lussen
Bewijs (aan de hand van een voorbeeld)
Ur
tr
i
ts
tq
Us
Uq
de i -de rij van BU = 0 is
t
 bik Uk
(5)
= 0
k=1
Een term van deze som kan enkel verschillend van nul zijn indien b ik  0 . Dit
betekent dat tak t k tot lus  i behoort. (5) herleidt zich dus tot
b ir U r + b iq U q + b is U s = 0
Nu is b ir = 1 , b iq = 1 , b is = – 1 zodat
Ur + Uq – Us = 0
of
– Ur – Uq + Us = 0
wat juist de KVL-wet is uitgedrukt in lus  i .
c) rang  B  = t – n
We tonen aan dat er juist t – n lineair onafhankelijke KVL-wetten bestaan in een
netwerk.
Bewijs: Het bewijs gebeurt in 2 stappen.
Eerst tonen we aan dat rang  B   t – n . Nadien bewijzen we dat rang  B   t – n
zodat we kunnen besluiten dat rang  B  = t – n .
• Deel 1, rang  B   t – n . Hier maken we gebruik van de stelling van Sylvester:
indien PQ = 0 met P r  s en Q s  q dan rang  P  + rang  Q   s
(zie cursus lineaire algebra)
17
We zullen aantonen dat AB T = 0 waaruit dan volgt dat (stelling van Sylvester)
rang  A  + rang  B   t
Gezien rang  A  = n volgt hieruit dat
rang  B   t – n
Het element op de i -de rij, j -de kolom van AB T is
t
 aik bjk
 AB T  ij =
k=1
Een term uit deze som is verschillend van 0 indien
 i  tk
a ik b jk  0  
 tk  j
i
tk
j
Gezien  j een lus vormt bestaat er dus een tak t k die knoop i raakt (anders kan
de lus nooit gesloten worden).
i
ti
tk
j
Gevolg: er bestaat een 2 e term in de som, namelijk a il b jl , die verschillend is van
van nul. De som van deze 2 termen is nu gelijk aan:
a ik b jk + a il b jl =  – 1   – 1  +  – 1   1  = 0
De lezer kan als oefening nagaan dat dit resultaat onafhankelijk is van de gekozen
takzinnen t l , t k en de gekozen kringzin  j .
• Deel 2, rang  B   t – n . Via het opbouwen van B aan de hand van fundamentele
kringen tonen we aan dat er ten minste t – n onafhankelijke lussen bestaan. We
kiezen een boom en schikken de kolommen van B zodat de lianen eerst voorkomen.
1
2
B = 3

t – n









t l1
t l2
t l3
1
0
0


0
0
1
0


0
0
0
1


0

t l  t – n  t w1
0
0
0
0

1
t w2
?

t wn









18
Gezien de definitie van een fundamentele lus is het duidelijk dat liaan t lj enkel tot
kring  j behoort en niet tot de andere fundamentele lussen. Dit verklaart de
identiteitsmatrix voor de t – n eerste kolommen van B . De rang van de aldus
opgebouwde matrix is t – n . Daar er nog andere onafhankelijke lussen kunnen zijn
volgt hieruit dat rang  B   t – n .
2.5. VAL-wet
Het verband spanning - stroom van tak t k is
Ik
Ek
Zk  p 
Uk
Uk = Zk Ik – Ek
Indien er (mutuele) koppelingen bestaan tussen de takken moeten we dit verband
uitbreiden tot:
t
 Zkl Il – Ek
Uk = Zk Ik +
(6)
l = 1
lk
waarbij Z kl = M kl p in geval van mutuele koppelingen. Invoeren van de definitie
Z kk = Z k laat toe (6) te herschrijven
t
Uk =
 Zkl Il – Ek
l=1
Of in matrix gedaante
U = ZI – E
waarbij
Z = t  t tak impedantiematrix
E = t  1 vector van de tak spanningsbronnen
2.6. Samenvatting van de vergelijkingen
De matriciële vorm van de 3 wetten luidt
KCL: AI = 0
KVL: BU = 0
VAL: U = ZI – E
(n vergelijkingen)
(t – n vergelijkingen)
(t vergelijkingen)
Er zijn dus 2t vergelijkingen en 2t onbekenden (alle takstromen en takspanningen)
Voor de brugschakeling (zie Figuur 1, § 2.2.) geeft dit een 12  12 stelsel wat reeds vrij
groot is voor een éénvoudig netwerk. Gezien we meestal nooit in alle takspanningen en/
of takstromen geïnteresseerd zijn loont het dus de moeite om na te gaan of we het aantal
onbekenden niet beduidend kunnen verlagen. Dit is het doel van de volgende paragraaf.
19
2.7. Verlagen van het aantal onbekenden
a) De knooppuntpotentialen vormen een basis voor de takspanningen:
U = AT Vn
waarbij
V n = n  1 vector van de knooppuntpotentialen
Bewijs: beschouw de k -de rij van A T U n
n
 ATV
n k
=
 alk Vl
tk
i
l=1
=  a ik V i + a jk V j 
j
Uk
=   1 V i +  – 1 V j 
= Uk
Voorbeeld, de brugschakeling (zie Figuur 1, § 2.2.) heeft 6 takken ( t = 6 ) en 3 vrije
knopen ( n = 3 ) zodat we van 6 naar 3 onbekenden gaan.
b) De liaanstromen vormen een basis voor de takstromen
I = B T Il
waarbij I l =  t – n   1 vector van de liaanstromen
Bewijs: we vertrekken van de KCL-vergelijkingen
AI = 0
Deze worden zodanig geschikt dat
twijgen
lianen
A tw
Al
I tw
(7)
= 0
Il
Met
A tw n  n reguliere matrix
( det A  0
bewijs, zie §
A l n   t – n  matrix
I tw n  1 vector van de twijgstromen
Il
 t – n   1 vector van de liaanstromen
Uitwerken van (7) geeft
A tw I tw + A l I l = 0
of
–1 A I
I tw = – A tw
l l
20
Zodat
I =
–1 A I
– A tw
l l
=
–1 A
– A tw
l
Il
It – n
Il
(8)
Waarbij I t – n een  t – n    t – n  identiteitsmatrix is. Nu moeten we nog aantonen
dat de matrix in het rechterlid in (8) precies B T is. Om dit aan te tonen maken we
gebruik van AB T = 0 :
A tw A l B tw B l

A tw A l
T
B tw
T
=0
=0
B lT

T + A BT = 0
A tw B tw
l l

T = – A –1 A B T
B tw
tw l l
(9)
(9) laat toe om B T te schrijven als
T
B =
–1 A
– A tw
l
It – n
Bl
(10)
Via een geschikte nummering (zie bewijs, § 2.4.c) is B l = I t – n zodat (8), (9) leidt tot
I = B T Il
2.8. Overzicht van de vergelijkingen
De KCL-, KVL- en VAL-wetten vormen een 2t  2t stelsel van vergelijkingen
 AI = 0

 BU = 0

 U = ZI – E
(11)
Het aantal onbekenden ( 2t ) wordt sterk gereduceerd door de volgende betrekkingen:
T
 U = A Vn

 I = B T Il
(12)
namelijk van 2t naar t . Indien we nu enkel geïnteresseerd zijn in de
knooppuntpotentialen, kunnen we dan de liaanstromen elimineren in (11), of omgekeerd,
indien we enkel I l wensen, kan dan V n geëlimineerd worden?
De volgende paragraaf geeft een antwoord op deze vragen. Merk op dat we nog steeds
onderstellen dat er geen ideale stroombronnen aanwezig zijn in het netwerk; een
beperking die later zal weggewerkt worden.
21
2.9. Matriciële oplossing van netwerken
a) Methode van de knooppuntspotentialen
We wensen hier tot een stelsel in V n te komen.
Manipulatie van de VAL-wet geeft:
Z –1 U = Z – 1 ZI – Z – 1 E
AZ –1 U = AI – AZ –1 E
Rekening houdend met de KCL-wet ( AI = 0 ) wordt dit:
AZ – 1 U = – AZ – 1 E
Of nog (12)
 AZ – 1 A T V n = – AZ – 1 E
We definieren
AZ –1 A T = Y n = knoopadmittantiematrix
– AZ – 1 E = J n = knoopstroombronvector
zodat
Yn Vn = Jn
(n  n stelsel)
(13)
Opmerking: bij het afleiden van (13) hebben we stilzwijgend ondersteld dat Z – 1 = Y
bestaat. Dit houdt in dat het netwerk geen ideale transformatoren bevat noch ideale
spanningsbronnen (= spanningsbronnen met uitgangsimpedantie = 0). Achteraf zullen
deze beperkingen weggewerkt worden.
b) Methode van de maasstromen (lusstromen)
We wensen een stelsel in I l op te stellen. Hiertoe moeten we V n in (11), (12)
elimineren.
Vermenigvuldig daartoe de VAL-wet links met B :
BU = BZI – BE
Rekening houdend met de KVL-wet wordt dit
0 = BZI – BE
Of nog (12):
 BZB T I l = BE
(14)
We definieren
BZB T = Z m = kringimpedantiematrix
BE = E m
= kringspanningsbronvector
Il = Im
= vector van de lus- (maas-)stromen
Zodat
Zm Im = Em
(  t – n    t – n  stelsel)
22
Opmerking:
Bij het opstellen van (14) hebben we stilzwijgend ondersteld dat Z bestaat. Dit is niet
het geval voor netwerken die bijvoorbeeld ideale stroombronnen (= bronnen met
uitgangsimpedantie =  ) bevatten. Achteraf zal deze beperking weggewerkt worden.
2.10. Interpretatie van de methode van de knooppuntpotentialen
Om Y n en J n te interpreteren zullen we een bijkomende onderstelling moeten invoeren,
namelijk dat Z diagonaal is. Dit sluit koppelingen tussen verschillende takken uit.
Achteraf zal deze beperking weggewerkt worden.
a) de knoopadmittantiematrix Y n = AZ –1 A T
Het element op de i -de rij, j -de kolom van Y n is ( Z – 1 = Y )
t
 Y n  ij =

a ik Y kl a jl
k l = 1
t
=
 aik ajk Yk
 Y kl = Y k  kl 
k=1
• voor een hoofddiagonaalelement ( i = j ) wordt dit:
t
 Y n  ii =
  aik  2 Yk
k=1
Een term uit deze som is verschillend van nul indien a ik  0 , wat betekent dat tak
t k knoop i moet raken. Bijvoorbeeld:
t1
t
i
3
t2
 Y n  ii =  – 1  2 Y 1 +  1  2 Y 2 +  – 1  2 Y 3 = Y 1 + Y 2 + Y 3
Hieruit volgt regel 1:
 Y n  ii = som van de admittanties van de takken die knoop i raken
• voor een niet- diagonaal element ( i  j ) krijgen we:
23
t
 aik ajk Yk
 Y n  ij =
k=1
Een term uit deze som kan enkel verschillend van nul zijn indien
a ik a jk  0
i , j  tk
i
j
tk
a ik a jk =  1   – 1  = – 1
Dit laatste resultaat is onafhankelijk van de gekozen takzin t k . We besluiten dat
enkel de takken gelegen tussen knopen i en j een bijdrage hebben tot de som.
Hieruit volgt regel 2:
 Y n  ij i  j = – (som van de admittanties van de takken gelegen tussen
knopen i en j )
b) De knoopstroombronvector J n = – AZ – 1 E .
Het i -de element van de vector J n is:
t
 Jn i = –

a ik Y kl E l
k l = 1
t
= –
 Y kl = Y k  kl 
 aik Yk Ek
k=1
Een term uit deze som kan enkel verschillend van nul zijn indien
a ik  0
en
Ek  0
d.w.z. er moet een tak t k bestaan die knoop i raakt en bovendien een spanningsbron
bevat.
Bijvoorbeeld:
i
i
tk
Geörienteerde graf
j
Ik
Zk
Ek
Netwerk
(merk op dat E k positief gerekend wordt indien bij het kortsluiten van de tak de stroom
in de takzin doet vloeien) Zodat a ik = – 1 en dus de bijdrage tot  J n  i gelijk is aan
24
Y k E k . Dit is precies de stroom geïnjecteerd in knoop i door de stroombron van het
Norton equivalent van de tak:
Ek  Zk
Zk

i
Ik
i
Ek
Thévenin
Norton
Hieruit volgt regel 3:
 J n  i = som van de stromen geïnjecteerd in knoop i door de
stroombronnen. De bijdrage wordt positief gerekend indien de
stroom in de knoop vloeit. Ze wordt negatief gerekend indien ze uit
de knoop vloeit.
Opmerking: om regel 3 toe te passen moeten we dus eerst het Norton equivalent van
alle spanningsbronnen tekenen. Dit gaat niet voor ideale spanningsbronnen, wat
meteen de opgelegde beperking verklaart.
c) Voorbeeld, de brugschakeling (zie Figuur 1, § 2.2.)
Y1 + Y2 + Y6
–Y2
–Y6
–Y2
Y2 + Y3 + Y5
–Y3
–Y6
–Y3
Y3 + Y4 + Y6
Yn =
Y6 E6
Jn =
0
–Y6 E6
Oefening: stel de schakelmatrix A op en bereken Y n , J n via de definities in (13).
d) Besluit
Het is dus niet nodig om A op te stellen en via de definities (13) Y n , J n uit te rekenen.
Met behulp van de 3 regels kunnen we Y n en J n rechtstreeks uit het netwerk halen.
e) Opmerking
We kunnen de methode van de knooppuntpotentialen rechtstreeks uit de KCL-wet van
een knoop halen:
Z1
Z3
I 1 I
1
3
2
4
I2
E
Z2
3
KCL in 1 : I 1 + I 2 + I 3 = 0
25
Nu is
I1 = Y1  V2 – V1 
I2 = Y2  V3 – V1 
I3 = Y3  V4 – V1 + E 
Zodat Y 1  V 2 – V 1  + Y 2  V 3 – V 1  + Y 3  V 4 – V 1 + E  = 0
Uitwerken geeft:
 Y 1 + Y 2 + Y 3 V 1 – Y 1 V 2 – Y 2 V 3 – Y 3 V 4 = Y 3 E
wat precies overeenkomt met de eerste vergelijking van Y n V n = J n . Het probleem
met deze afleidingsmethode is dat ze geen informatie geeft over de rang van het stelsel.
De lange afleidingsmethode bewijst dat Y n V n = J n een regulier stelsel is.
2.11. Interpretatie van de methode van de maasstromen
Ook hier moeten we onderstellen dat Z diagonaal is. Dit sluit bijvoorbeeld
transformatoren uit. Achteraf zal deze beperking weggewerkt worden.
a) De kringenimpedantiematrix Z m = BZB T
Regel 1
 Z m  ii = som van de impedanties die men tegenkomt bij het doorlopen
van kring  i .
Regel 2
 Z m  ij i  j = som van de impedanties gemeenschappelijk aan kringen
 i ,  j . De impedantie wordt positief gerekend indien
beide kringen ze in dezelfde zin doorlopen. Zoniet is de
bijdrage negatief.
b) De kringenspanningsbronvector E m = BE
Regel 3
 E m  i = som van de spanningsbronnen die men tegenkomt bij het
doorlopen van kring  i . De bijdrage is positief indien kring
en spannningsbron dezelfde zin hebben . Zoniet is de bijdrage
negatief.
Het bewijs van deze 3 regels wordt als oefening overgelaten aan de lezer (bewijsvoering
is analoog aan deze in § 2.10.)
c) Voorbeeld, de brugschakeling (Figuur 1, § 2.2.) met als boom  t 2 t 3 t 5 
Zm =
1
4
6
1
Z1 + Z5 + Z2
Z5
–Z2
4
Z5
Z4 + Z5 + Z3
Z3
6
–Z2
Z3
Z6 + Z2 + Z3
Em
0
= 0
E6
1
4
6
Oefening stel de kringenmatrix B op en bereken Z m , E m via de definities in (14).
d) Besluit
26
Het is dus niet nodig om B op te stellen en via de definities (14) Z m , E m uit te rekenen.
Met behulp van de 3 regels kunnen we Z m en E m rechtstreeks uit het netwerk afleiden.
2.12. Uitbreiding van de methode van de knooppuntpotentialen
Om tot de 3 de regels te komen om Y n , J n rechtstreeks uit het netwerk af te leiden hebben
we de volgende onderstellingen gemaakt:
1) Er zijn geen ideale stroombronnen in het netwerk (alle takstromen zijn ongekend).
2) Er zijn geen ideale spanningsbronnen, noch ideale transformatoren in het netwerk
( Z – 1 bestaat).
3) Er bestaan geen (mutuele) koppelingen tussen de takken van het netwerk ( Z is
diagonaal).
Deze beperkingen worden nu één voor één weggewerkt.
a) Ideale stroombronnen
Indien het netwerk ideale stroombronnen bevat dan zijn er evenveel takstromen in de
vector I gekend als er stroombronnen zijn. De KCL-vergelijkingen in (11) moeten dan
herschreven worden als
(15)
A'I ' – J = 0
met A' de n  t ' schakelmatrix van het netwerk waarbij de stroombronnen verwijderd
zijn, I ' de vector van de onbekende takstromen (alle takstromen van het netwerk
zonder de ideale stroombronnen), t ' = t – aantal ideale stroombronnen , en J een
n  1 vector die de bijdragen van de ideale stroombronnen tot de KCL-vergelijkingen
bevat. De bijdrage van een ideale stroombron wordt positief gerekend in (15) indien de
stroom in de knoop wordt geïnjecteerd, zoniet is de bijdrage negatief. Vergelijking (15)
wordt geïllustreerd met het onderstaande voorbeeld
i2
i1
1
a 11 i 1 + a 12 i 2 + a 13 j 0 = 0 met
a 11 = – 1 a 12 = 1
a 13 = – 1
j0
a 11 i 1 + a 12 i 2 – j 0 = 0
Vervolgens worden de VAL-vergelijkingen in (11) uitgedrukt voor alle takken die
geen ideale stroombron zijn. Dit geeft dan
U ' = ZI ' – E
(16)
27
met U ' een t '  1 vector van de takspanningen van het netwerk zonder de ideale
stroombronnen, Z de overeenstemmende t '  t ' takimpedantiematrix, en E de
overeenstemmende t '  1 vector van de takspanningsbronnen.
Het verband tussen U ' en de vector van de knooppuntpotentialen V n wordt gegeven
door
U ' = A' T V n
(17)
Gebruik makende van (15) en (16) kunnen we I ' in (16) elimineren zoals in § 2.9.a.
Dit geeft
A'Z – 1 A' T V n = J – A'Z –1 E
(18)
wat een veralgemening is van (13). Merk op dat de bijdragen van de ideale
stroombronnen in J op dezelfde wijze als – A'Z – 1 E rechtstreeks uit het netwerk
kunnen afgeleid worden. Dit volgt rechtstreeks uit het opstellen van de KCLvergelijkingen (15).
b) Ideale spanningsbronnen
Het probleem stelt zich wanneer er bijvoorbeeld een ideale spanningsbron tussen
knopen i en j gelegen is.
r
I1
Z3
i
j
I2
Ik
Ek
I3
I4
Z4
Figuur 2
s
De vergelijkingen die het netwerk in Figuur 2 beschrijven zijn:
KCL in i : I 1 + I 2 = I k
KCL in j : I k = I 3 + I 4
VAL
tk : Ek = – Vi + Vj
VAL
t3 : Vj – Vr = Z3 I3
VAL
t4 : Vj – Vs = Z4 I4
28
(alle andere KCL- en VAL-wetten blijven ongewijzigd). Eliminatie van I k in de KCL
vergelijkingen en van V j in de VAL-wetten geeft:
KCL: I 1 + I 2 = I 3 + I 4
VAL: V i – V r = Z 3 I 3 – E k
Vi – Vs = Z4 I4 – Ek
Deze vergelijkingen komen juist overeen met de KCL-wet in knoop i en de VALwetten in takken t 3 en t 4 van het volgende netwerk.
Z3
I1
r
I3
Ek
i
Ek
I2
I4
s
Z4
Figuur 3
De overgang van figuur 2 naar figuur 3 noemt men de V-shift van een ideale
spanningsbron. Dit komt wiskundig neer op het elimineren van de stroom door de
ideale spanningsbron en van één van de knooppuntpotentialen van de tak waarin de
bron zich bevindt. Een V-shift verlaagt het aantal onbekende knooppuntpotentialen
met 1. Gezien de V-shift alle andere vergelijkingen ongewijzigd laat is de oplossing
van het netwerk dezelfde (op I k , V j die geëlimineerd zijn na).
Speciaal geval
Z3
Z3
Ek

Ek
j0
j0
Ek
Ek
Z3
j0
29
c) (mutuele) koppelingen tussen de takken.
Het idee bestaat erin om de vergelijkingen van de gekoppelde takken op te lossen naar
de stromen. Vervolgens vervangt men de koppeling in het netwerk door
spanningsgestuurde stroombronnen.
c.1 De transformator
M
I1
I2
1
3
U1
L1
L2
U2
2
4
met
 U 1 = L 1 pI 1 + MpI 2

 U 2 = MpI 1 + L 2 pI 2
Oplossen naar I 1 , I 2 onder de voorwaarde L 1 L 2  M 2 geeft

L2
L
MM
 I 1 = ------2- U 1 – -----U 2 = -------  V 1 – V 2  – -------  V 3 – V 4 
p
p
p
p


L1
L1
MM
----------------  V 3 – V 4  – -----I
U
U
=
–
=
 V – V2 
 2
2
1
p
p
p
p 1

Waarbij  = L 1 L 2 – M 2 . Het elektrisch equivalent schema van de transformator is
dan
1
3
I1
2
I2
4
30
waarbij I 1 , I 2 door bovenstaande vergelijkingen functies zijn van V 1 , V 2 , V 3 , en V 4 .
De spanningsgestuurde stroombronnen hebben geen rechtstreekse bijdrage tot Y n .
Hun bijdrage tot J n is:
L2
M
– -------  V 1 – V 2  + -------  V 3 – V 4 
p
p
–I1
L2
M------  V – V 2  – ----- V – V4 
I1
p 1
p 3
Jn = –I =
L1
M
2
– -------  V 3 – V 4  + -------  V 1 – V 2 
p
p
I2
L
M
------1-  V 3 – V 4  – ----- V – V2 
p
p 1

We zien nu dat J n een functie wordt van de onbekende knooppuntpotentialen. Deze
bijdragen moeten dus naar het linkerlid van de vergelijking Y n V n = J n gebracht
worden.
Deze bijdrage in Y n is dan:
1
L
------2p
L2
– ------p
Yn =
M
– ------p
2
L2
– ------p
L
------2p
M-----p
M- -----M
-----– p p
3
4
M M
– ------- ------p p
M-----p
L
------1p
L1
– ------p
M
– ------p
L1
– ------p
L
------1p
1
2
3
4
Merk op dat de bijdrage tot Y n symmetrisch is.
c.2 De gyrator
1
I1
r
I2
3
U1
U2
2
met U 1 = – rI 2
U 2 = rI 1
4
31
Oplossen naar I 1 , I 2 geeft:

 I = 1--- U = 1---  V – V 
4
 1 r 2 r 3

 I = – 1--- U = – 1---  V – V 
2
 2
r 1
r 1

Het elektrisch equivalent schema van de gyrator is dan:
1
3
I1
I2
2
4
waarbij I 1 , I 2 door bovenstaande vergelijkingen functies zijn van V 1 , V 2 , V 3 , en
V4 .
Oefening: bepaal de bijdrage van de gyrator tot de Y n matrix (aanwijzing: volg de
redenering van § c.1).
d) Toepassing
We berekenen de transfer functie T  p  = V out  p   V in  p  van de volgende
schakeling:
C1
3
2
OUT
R1
V in
1
R2
C2
Z1
32
De opamp in de schakeling is ideaal ( Z in =  , Z out = 0 , A =  ), zodat het
netwerk kan hertekend worden als
C1
3
2
R1
1
R2
V2
C2
V in
Z1
Toepassen van de V-shift op de ideale bron V out geeft:
C1
2
R1
1
R2
V2
C2
V in
V2
Z1
Oplossen van dit laatste netwerk via de Y n V n = J n methode geeft:
G1 + G2 + C1 p
–G2
–G2
V1
=
G 1 V in + C 1 PV 2
C2 p + G2 V2
0
of nog, na overbrengen van de onbekende V 2 naar het linkerlid
G1 + G2 + C1 p
– G2 – C1 p
V1
–G2
C2 p + G2
V2
=
G 1 V in
0
Oplossen van dit stelsel naar V 2 geeft na enig rekenen de volgende transfer functie
( V out = V 2 )
1
T  p  = -------------------------------------------------------------------------------2
R 1 R 2 C 1 C 2 p +  R 1 + R 2 C 2 p + 1
2.13. Uitbreiding van de methode van de maasstromen
Om tot de 3 regels te komen die toelaten Z m , E m rechtstreeks uit het netwerk af te leiden
hebben we de volgende veronderstellingen gemaakt:
33
1) Er zijn geen ideale stroombronnen in het netwerk ( Z bestaat)
2) Er zijn geen (mutuele) koppelingen tussen de takken van het netwerk ( Z is diagonaal)
Deze beperkingen worden als volgt weggewerkt.
a) ideale stroombronnen
Het probleem stelt zich wanneer er in een lus een ideale stroom voorkomt,
bijvoorbeeld:
Z1
0
Z2
J0
Figuur 4
Dit netwerk is elektrisch equivalent met:
Z1
Z2
J0
J0
Figuur 5
Het bewijs wordt als oefening overgelaten aan de lezer (aanwijzing: volg de redenering van de V-shift in § 2.12.b)
De overgang van Figuur 4 naar Figuur 5 noemt men de I-shift.
Speciaal geval
E0
Z1
Z1
Z1
J0
E0
E0
J0
J0
J0
b) (mutuele) koppeling tussen de takken.
Het idee bestaat er hier in om de vergelijkingen die de koppelingen beschrijven op te
lossen naar de spanningen. Vervolgens vervangt men de koppelingen in het netwerk
door stroomgestuurde spanningsbronnen, waarbij de stromen als functie van de
maasstromen I m worden uitgedrukt.
34
b.1 De transformator
M
I1
L2
U1
I2
L2
 U 1 = L 1 pI 1 + MpI 2

 U 2 = MI 1 p + L 2 pI 2
U2
U1
U2
Oefening: bereken de bijdrage tot de Z m matrix in de onderstelling dat takken t 1 , t 2
lianen zijn ( I 1 , I 2 zijn liaanstromen)
b.2 De gyrator
I1
r
I2
U1
U2
U1
 U 1 = – rI 2

 U 2 = rI 1
U2
Oefening: bepaal de bijdrage van de gyrator tot Z m onderstellende dat I 1 , I 2
lianenstromen zijn.
35
3.
De stellingen van Thévenin en Norton
3.1. Probleemstelling
Stel dat we het volgend netwerk moeten oplossen:
Ix
x
Afhankelijke
+ onafhankelijke
bronnen
(a)
Afhankelijke
+ onafhankelijke
bronnen
Ux
(b)
Figuur 6
en we enkel geïnteresseerd zijn in de spanningen en stromen van het rechterdeel (b).
Om de berekeningen te vereenvoudigen zal men trachten het linkerdeel (a) te
vervangen door een elektrisch equivalent schema. Dit is het achterliggende idee van de
stellingen van Thévenin en Norton.
De enige onderstelling die we hier maken is dat de vergelijkingen die het netwerk beschrijven lineair zijn. De stellingen zijn dus ook geldig voor lineaire verdeelde
systemen zoals transmissielijnen, antennes, resonantiecaviteiten enz… (zie cursus
elektromagnetisme), en kunnen ook toegepast worden in de mechanica, de akoestiek,
… voor zover de systemen maar lineair zijn.
3.2. Stelling van Thévenin
We doen het volgende gedachtenexperiment: vervang het rechterdeel in Figuur 6 door
een onafhankelijke stroombron I x
x
Afhankelijke
+ onafhankelijke
bronnen
(a)
Ix
Ux
Figuur 7
Gezien alle vergelijkingen die het linkerdeel (a) beschrijven niet wijzigen en
bovendien de stroom in het punt x dezelfde is als in het oorspronkelijk netwerk is de
oplossing van het netwerk in Figuur 7 dezelfde als deze in Figuur 6 (wat betreft de
spanningen en stromen van deel (a)).
Nu passen we het superpositiebeginsel toe om het netwerk in Figuur 7 op te lossen.
Dit principe zegt dat de oplossing kan berekend worden door de bijdrage van elke
onafhankelijke bron apart te berekenen en deze deeloplossingen bij elkaar op te tellen.
Het enige dat we hierbij eisen is dat de vergelijkingen lineair zijn.
Matricieel kunnen we het superpositiebeginsel als volgt aantonen. Stel dat Cx = b
het netwerk beschrijft waarbij x de onbekende spanningen en stromen voorstelt, C een
matrix functie van de netwerkelementen en de afhankelijke bronnen (zie § 2.12.d), en
b de vector die alle onafhankelijke bronnen bevat.
36
De vector b wordt opgesplitst in de bijdrage van de K onafhankelijke bronnen
K
b =
 bi
i=1
De oplossing van het netwerk onder invloed van b i heten we x i
x i = C –1 bi
De som van de deeloplossingen is
K
 xi
i=1
K
= C –1  b i = C –1 b = x
i=1
wat de superpositiestelling bewijst.
We lossen nu het netwerk in Figuur 7 op door enerzijds de bijdrage van de
onafhankelijke bronnen in (a) tot U x en anderzijds de bijdrage van de onafhankelijke
stroombron I x tot U x apart te berekenen:
Experiment 1:
Afhankelijke
+ onafhankelijke
bronnen
U x
(a)
Experiment 2:
Afhankelijke
bronnen
U x 2 
Ix
 U x 2  = – Z OUT I x
(a)
Gezien in experiment 2 er slechts 1 onafhankelijke bron aanwezig is, namelijk I x , moet
de oplossing U x 2  rechtevenredig zijn met deze stroom. Deze evenredigheidsfactor
wordt, op het teken na, de uitgangsimpedantie Z OUT van het deelnetwerk (a) genoemd.
De gezochte oplossing U x is nu gelijk aan de som van de spanningen uit de 2
experimenten:
U x = U x + U x 2  = U x – Z OUT I x
37
Men kan dit resultaat elektrisch als volgt voorstellen
Z OUT
Ix
U x
Ux
Figuur 8
waarbij U x de open klem spanning van het deelnetwerk (a) wordt genoemd.
Figuur 8 is het Thévenin equivalent van deelnetwerk (a) uit Figuur 6 en wordt
gekenmerkt door 2 parameters:
1. de uitgangsimpedantie Z OUT bekomen door in (a) alle
onafhankelijke bronnen weg te laten
2. de open klem spanning U x die wordt bekomen door de bijdrage
van alle bronnen in (a) tot U x te berekenen bij een oneindig grote
last in punt x van Figuur 6.
Opmerking: 1)een bron weglaten betekent de stroom van een
stroombron op nul zetten (  vervangen door open
klem) en de spanningen van een spanningsbron nul
maken (  vervangen door een kortsluiting)
2)in de superpositiestelling mag men de afhankelijke
bronnen niet wijzigen, zoniet verandert men de C matrix en geldt de stelling niet meer. Daarom komen de
afhankelijke bronnen in beide experimenten voor.
3.3. Stelling van Norton
Op volledig dezelfde wijze toont men aan dat (als oefening)
Afhankelijke
+ onafhankelijke
bronnen
(a)
Afhankelijke
+ onafhankelijke
bronnen
(a)
Ix
Ux
superpositie
I x0
I x = I x0 + I x 2 
Afhankelijke
bronnen
I x 2 
Ux
(a)
38
Met I x0 de kortsluitstroom van deelnetwerk (a) en
Ux
I x 2  = – -----------Z OUT
zodat
Ux
I x = I x0 – -----------Z OUT
Men stelt dit resultaat elektrisch voor als
Ix
Z OUT
I x0
Ux
Figuur 9
Figuur 9 is het Norton equivalent van deelnetwerk (a) uit Figuur 6 en wordt
gekenmerkt door 2 parameters:
1. de uitgangsimpedantie Z OUT (zie stelling Thévenin)
2. de kortsluitstroom I x0 die wordt bekomen door de bijdrage van
alle bronnen in (a) tot I x te berekenen wanneer een kortsluiting in
punt x wordt aan gebracht.
3.4. Toepassing op een actieve kring
We beschouwen de volgende actieve kring
R2
R1
1
2
Zi
Z0
E
RL
VL
Figuur 10
waarbij de opamp de volgende karakteristieken heeft Z i =  ; Z 0 = R 0 en de winst
A is eindig. We zullen de spanning V L over de weerstand R L op 2 manieren bereken:
eerst door het volledige netwerk via de Y n V n = J n methode op te lossen, en
39
vervolgens door de stelling van Thévenin toe te passen op het linkerdeel van het
netwerk gezien vanuit knoop 2 .
a) Volledig oplossen van het netwerk
Het equivalent schema van de actieve kring is
R1
R2
1
2
R0
RL
E
– AV 1
met als overeenstemmende Y n V n = J n vergelijkingen
G1 + G2
–G2
–G2
V1
=
G2 + G0 + GL V2
G1 E
– G 0 AV 1
of nog
G1 + G2
–G2
V1
=
– G2 + G0 A G2 + G0 + GL V2
G1 E
0
Oplossen van dit stelsel via de methode van Cramer geeft:
G1 E  G2 – G0 A 
V L = V 2 = ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- G1 + G2   G2 + G0 + GL  + G2  – G2 + G0 A 
(19)
b) Toepassen van de stelling van Thévenin
Hier moeten we eerst de 2 volgende parameters berekenen: de open klem spanning in
knoop 2 en de uitgangsimpedantie Z OUT .
Voor de open klem spanning moeten we het volgende netwerk oplossen
V 2
R1
R2
1
R0
E
– AV 1
De oplossing van dit netwerk vinden we onmiddellijk als speciaal geval van (19)
waarbij R L =  of G L = 0 , zodat
40
G1 E  G2 – G0 A 
V 2 = ------------------------------------------------------------------------------------------------ G1 + G2   G2 + G0  + G2  – G2 + G0 A 
(20)
De uitgangsimpedantie Z OUT vinden we door de spanningsbron E kort te sluiten
( E = 0 stellen) en door een stroom j in knoop 2 te injecteren:
R1
R2
1
2
R0
j
– AV 1
V2
De verhouding ------ is dan de gezochte uitgangsimpedantie. Toepassen van de
j
Y n V n = J n methode geeft
G1 + G2
–G2
–G2
V1
G2 + G0 V2
=
0
j – G 0 AV 1
of nog
G1 + G2
–G2
V1
– G2 + G0 A G2 + G0 V2
= 0
j
We vinden
V2
G1 + G2
Z OUT = ------ = ------------------------------------------------------------------------------------------------j
 G1 + G2   G2 + G0  + G2  – G2 + G0 A 
(21)
Tenslotte vinden we de gezochte spanning V L in Figuur 10 als oplossing van
Z OUT
V 2
RL
RL
1
V L = ------------------------- V 2 = ----------------------------- V 2
Z OUT + R L
1 + G L Z OUT
VL
(22)
Het is eenvoudig om na te gaan dat substitutie van (20) en (21) in (22) resultaat (19)
levert.
41
3.5. Toepassing op kringen die niet vanuit rust vertrekken
Beschouw een spoel waarbij i  0 -   0 . In § 1.2. op blz. 6 hebben we aangetoond deze
spoel elektrisch equivalent is met een spoel waarbij op tijdstip t = 0 geen stroom
doorvloeit met parallel daarover een DC stroombron van i  0 - 
i 0- 
u t

it
L
it
j  t  j  0 -  = 0
elektrisch
equivalent
i 0-   0
L
ut
Gebruik makend van de Stelling van Thévenin, toon aan dat het elektrisch equivalent
schema kan geschreven worden als
i 0- 
it

L
j  t 
j 0- 
Li  0 -    t 
vt
= 0
u t
it
L
elektrisch
equivalent
ut
waarbij V  p   I  p  = Lp , en met   t  de Dirac functie (Aanwijzing: werk in het
Laplace domein). Hoe kan je het resultaat V  p   I  p  = Lp verklaren, gezien
i 0-   0 ?
Ga analoog te werk voor de geladen condensator
u 0- 
v  t  v  0 -  = 0
u  t  u  0 -   0

it
C
elektrisch
equivalent
it
C
u t

elektrisch
equivalent
Cu  0 -    t 
it
jt
C
ut
waarbij U  p   J  p  = 1   Cp  (verklaar!).
42
4.
Studie van 2-poorten
4.1. Definitie en basisvergelijkingen
Beschouw het volgende netwerk
I1
I2
U1
U2
Deze schakeling wordt een tweepoort genoemd indien er geen onafhankelijke bronnen in
het netwerk aanwezig zijn. Dit houdt in dat het netwerk vanuit rust moet vertrekken (alle
beginvoorwaarden zijn nul).
U 1 , U 2 en I 1 , I 2 worden respectievelijk de poortspanningen en de poortstromen
genoemd. We zullen aantonen dat voor elke 2-poort er 2 lineaire homogene
vergelijkingen in deze poortgrootheden bestaan.
a) Stelling: voor elke tweepoort bestaan er 2 lineaire homogene vergelijkingen in I 1 , I 2 ,
U1 , U2
 1 I1 + 1 I2 + 1 U1 + 1 U2 = 0

 2 I1 + 2 I2 + 2 U1 + 2 U2 = 0
(23)
waarbij de coefficiënten  i ,  i ,  i ,  i , i = 1 2 enkel functie zijn van wat er in de
2-poort zelf zit (en dus onafhankelijk van wat er extern aan beide poorten wordt
aangesloten).
Bewijs: we lossen de 2-poort op met de Z m I m = E m methode en kiezen een boom
zodanig dat de externe spanningsbronnen lianen zijn
I1
U1
I2
2
1
U2
We krijgen, nadat we de invloed van de afhankelijke bronnen naar het linkerlid hebben
gebracht,
I1
U1
I2
Zm I
3

It – n
U2
=
0

0
Dit stelsel kan opgesplitst worden in de onbekenden die ons interesseren, namelijk I 1
en I 2 , en de onbekenden die we wensen te elimineren, namelijk I 3 , I 4 ,  , I t – n :
43
U1
U2
I1
Z m11 Z m12
I2
Z m21 Z m22
(24)
=
0

0
˜I
waarbij Z m11 een 2  2 matrix is, Z m22
 t – n – 2    t – n – 2  , Z m12
2   t – n – 2  , Z m21  t – n – 2   2 en Ĩ  t – n – 2   1 .
Stelsel (24) wordt herschikt als


 Z m11




 Z m21



I1
I2
I1
I2
+ Z m12 ˜I =
U1
U2
0
+ Z m22 Ĩ = 
0
Eliminatie van Ĩ in dit stelsel levert
–1 Z
 Z m11 – Z m12 Z m22
m21 
I1
I2
=
U1
U2
wat de stelling bewijst.
b) Opmerking: in het bewijs hebben we stilzwijgend ondersteld dat Z m22 regulier is. Dit
is niet zo voor elke 2-poort. In dat geval moet de stelling aangetoond worden via de
Y n V n = J n methode losgelaten op:
I1
U1
U2
I2
Dit wordt als oefening overgelaten aan de lezer.
c) Bijzondere gevallen
1. als t – n = 2 dan blijft de redenering opgaan met Ĩ = 0
44
2. als t – n = 1 dan gaat de redenering niet meer op
Z
I1
I2
U1
U2
De 2 lineaire homogene vergelijkingen zijn in dit geval:
I1 = –I2


 U 1 – U 2 = ZI 1
4.2. Canonieke voorstellingen van 2-poorten
Al naargelang de wijze waarop de poortgrootheden I 1 , I 2 , U 1 en U 2 geschikt worden in
de 2 lineaire homogene vergelijkingen (23), onderscheidt men de verschillende
zogenaamde canonieke vormen.
a) Z -parameters
We schrijven de poortspanningen als functie van de poortstromen
U1
U2
=
Z 11 Z 12 I 1
(25)
Z 21 Z 22 I 2
waarbij Z 11 , Z 12 , Z 21 en Z 22 de zogenaamde Z -parameters zijn. Z 11 en Z 22 hebben
een éénvoudige fysische betekenis. Inderdaad, uit (25) volgt onmiddellijk dat
U1
Z 11 = -----I1
U2
Z 22 = -----I2
I2 = 0
I1 = 0
m.a.w. Z 11 is de ingangsimpedantie van de 2-poort bij open uitgang ( I 2 = 0 )
Z 11
terwijl Z 22 de uitgangsimpedantie is van de 2-poort bij open ingang ( I 1 = 0 )
Z 22
45
Z 11 en Z 22 zijn dus fysische impedanties. De koppelparameters Z 12 en Z 21 zijn
fysisch moeilijker te interpreteren daar ze het resultaat van de deling van 2
verschillende poortgrootheden zijn:
U1
Z 12 = -----I2
U2
Z 21 = -----I1
U1
I1 = 0
I2 = 0
I2
U2
I1
Het volgende equivalent schema
I1
Z 11
Z 22
U1
I2
U2
Z 12 I 2 Z 21 I 1
toont duidelijk aan dat Z 21 de invloed van poort 1 op poort 2 weergeeft en Z 12 de
invloed van poort 2 op poort 1.
Voorbeeld
Z1
Z2
Z 11 = Z 1 + Z 3
Z3
Z 22 = Z 2 + Z 3
Z 12 = Z 21 = Z 3
Opmerking: voor actieve kringen gaat in het algemeen Z 12  Z 21 . Bijvoorbeeld, een
versterker ontwerpt men zodanig dat poort 2 volledig bepaald wordt door poort 1,
terwijl poort 2 geen invloed heeft op poort 1 ( Z 12 = 0 ).
b) Y -parameters
We schrijven de poortstromen als functie van de poortspanningen
I1
I2
=
Y 11 Y 12 U 1
(26)
Y 21 Y 22 U 2
46
waarbij Y 11 , Y 12 , Y 21 en Y 22 de zogenaamde Y -parameters zijn. Y 11 en Y 22 hebben
een éénvoudige fysische betekenis. Inderdaad, uit (26) volgt dat
I1
Y 11 = -----U1
I2
Y 22 = -----U2
U2 = 0
U1 = 0
m.a.w. Y 11 is de ingangsadmittantie van de 2-poort bij kortgesloten uitgang
( U2 = 0 )
Y 11
terwijl Y 22 de uitgangsadmittantie is van de 2-poort bij kortgesloten ingang ( U 1 = 0 )
Y 22
Net zoals bij de Z -parameters hebben de koppelparameters Y 12 en Y 21 geen
éénvoudige interpretatie
I1
I1
Y 12 = -----U2
U2
U1 = 0
I2
I2
Y 21 = -----U1
U2 = 0
U1
Het volgende equivalent schema
I1
U1
I2
Y 11
Y 12 U 2
Y 21 U 1
Y 22
U2
47
toont duidelijk aan dat Y 21 de invloed van poort 1 op poort 2 weergeeft en Y 12 de
invloed van poort 2 op poort 1.
Voorbeeld
Z1
Z2
Y 11 =  Z 2 + Z 3   
Y 22 =  Z 1 + Z 3   
Z3
Y 12 = Y 21 = – Z 3  
 = Z1 Z2 + Z1 Z3 + Z2 Z3
c) ABCD -parameters
We schrijven de uitgangsgrootheden als functie van de ingangsgrootheden
U2
U1
= A B
C D I1
–I2
(27)
De parameter A heeft ook een duidelijke fysische betekenis
U2
A = -----U1
I1 = 0
m.a.w. de spanningswinst bij open ingang.
Voorbeeld
Z1
A = 1
B = –Z1
C = –1  Z2
Z2
D = 1 + Z1  Z2
d) De hybride parameters
Hier schrijven we de ingangsstroom en de uitgangsspanning als functie van de 2 andere
grootheden of omgekeerd. Dit levert de zogenaamde H - en G -parameters.
U1
I2
=
h 11 h 12
I1
h 21 h 22 U 2
en
I1
U2
=
g 11 g 12 U 1
g 21 g 22
(28)
I2
Sommige van deze hybride parameters zijn gemakkelijk te interpreteren,
48
Bijvoorbeeld:
U1
h 11 = -----I1
h 11
U2 = 0
m.a.w. de ingangsimpedantie bij kortgesloten uitgang en,
I2
I2
h 21 = ---I1
U2 = 0
I1
m.a.w. de stroomwinst bij kortgesloten uitgang.
e) Opmerking
In hoogfrequent technieken (zie cursus elektromagnetisme) gaat men combinaties van
poortgrootheden als functie van elkaar schrijven. Dit levert de zogenaamde S -parameters.
4.3. Verband tussen canonieke vormen van 2-poorten
Men kan van 1 canonieke voorstelling overgaan naar een andere en omgekeerd,
bijvoorbeeld uit (25) en (26) volgt onmiddellijk dat
Y 11 Y 12
Y 21 Y 22
=
Z 11 Z 12
–1
Z 21 Z 22
Z 22 – Z 12
=
– Z 21 Z 11
  Z 11 Z 22 – Z 12 Z 21 
(29)
Op dezelfde wijze vinden we
h 22 – h 12
g 11 g 12
g 21 g 22
– h 21 h 11
= ------------------------------------h 11 h 22 – h 12 h 21
(30)
Oefening: bewijs het verband tussen de ABCD -parameters en de Z -parameters.
A B =
CD
Z 22
------Z 12
1
– -------Z 12
Z 11 Z 22
Z 21 – ---------------Z 12
Z 11
-------Z 12
(aanwijzing: los (25) op naar U 2 , – I 2 ).
49
Uit (29) en (30) ziet men dat de overgang niet altijd bestaat, bijvoorbeeld indien
Z 11 Z 22 = Z 12 Z 21 of indien h 11 h 22 = h 12 h 21 . Dit betekent dat niet elke canonieke
voorstelling hoeft te bestaan voor een gegeven 2-poort.
Oefening:
1) ga na of de Z - en de Y -parameters bestaan van de volgende 2-poorten. Indien ja geef
dan de parameters.
Z
2) bewijs het verband tussen de Z - en de H -parameters
Z 11 Z 12
=
h 12 h 21 h 12
h 11 – --------------- ------h 22 h 22
Z 21 Z 22
h 21
– ------h 22
1-----h 22
(aanwijzing: los (28) op naar U 1 , U 2 )
4.4. Schakelen van tweepoorten
Het nut van de verschillende canonieke vormen wordt duidelijk bij het schakelen van
tweepoorten. Bij het schakelen van 2-poorten moeten we altijd eerst goed nagaan of elke
2-poort zich nog gedraagt als een 2-poort in de schakeling, namelijk dat de stroom die in
elke poort vloeit ook gelijk is aan de stroom die eruit vloeit.
a) De cascade schakeling
I1
I'
(1)
U1
I1
U'
I'
I2
I ''
I ''
(2)
U2
I2
De cascade schakeling garandeert de 2-poort werking van elke 2-poort apart. Gebruik
makende van de ABCD -parameters (27) vinden we voor tweepoort (2):
50
2 B2 U '
= A
C  2  D  2  I ''
U2
–I2
2 B2 U '
= A
C 2 D 2  –I '
(31)
en voor tweepoort (1):
U'
–I '
 1  B  1  U1
= A
C1  D1  I1
(32)
zodat (31) en (32)
U2
–I2
 2  B 2  A  1  B 1  U1
= A
C 2  D 2  C 1  D 1  I1
Hieruit volgt de regel:
De ABCD matrix van een cascade van tweepoorten is gelijk aan het product van de
ABCD matrices van de tweepoorten in omgekeerde volgorde (van uitgang naar
ingang)
Voorbeeld: het berekenen van de ABCD-matrix van een ladder netwerk
II
I
Z1
Z3
Z2
III
Z5
Z4
Z6
We splitsen het laddernetwerk op in elementaire tweepoorten, berekenen vervolgens
de ABCD-matrix van elke tweepoort (zie § 4.2.), en maken tenslotte het product van
de ABCD-matrices in omgekeerde volgorde:  ABCD  III  ABCD  II  ABCD  I
b) De serie-serie schakeling
I1
I2
I'
(1)
I ''
U1
U2
(2)
I1
I2
51
De ingangspoorten en de uitgangspoorten zijn onderling in serie geschakeld. De serieserie schakeling garandeert niet de tweepoort werking van (1) en (2). Inderdaad, het
enige dat via de KCL wet opgelegd wordt is dat I 1 + I 2 = I ' + I '' wat in het algemeen
niet inhoudt dat I 1 = I ' of I 2 = I '' . Om de 2-poort werking op te leggen moeten we
een ideale transformator aan één van de 4 poorten plaatsen. Doen we dit aan de
ingangspoort van (1) dan wordt de schakeling
I1
I1
1:1
I2
U 1 1 
(1)
U 2 1 
U1
U2
U 1 2 
(2)
I1
U 2 2 
I2
Een serie-serie schakeling waarbij elk deelblokje zich nog steeds gedraagt als een 2poort wordt evenwichtig genoemd. Voor een evenwichtige serie-serie schakeling
vinden we met behulp van de Z -parameters (25) voor 2-poort (1):
U 1 1 
U 2 1 
=
1 Z 1 I
Z 11
12
1
1 Z 1 I
Z 21
2
22
en voor 2-poort (2):
U 1 2 
U 2 2 
=
2 Z 2 I
Z 11
12
1
2 Z 2 I
Z 21
2
22
Optellen van beide matrixvergelijkingen geeft
U1
U2
 1 1
Z Z
Z 2 Z 2
=  11 12 + 11 12
 1 1
2 Z 2
Z 21
22
 Z 21 Z 22

 I1
 I
 2
Hieruit volgt de regel:
De Z matrix van een evenwichtige serie-serie schakeling is gelijk aan de som van de
Z -matrices.
52
c) De parallel-parallel schakeling
I1
I '2
I '1
I2
(1)
I ''2
U1
I ''1
U2
(2)
I1
I2
De ingangspoorten en de uitgangspoorten zijn onderling in parallel geschakeld. De
parallel-parallel schakeling garandeert de 2-poortwerking van elk deelblokje niet
gezien het enkel oplegt dat
I ' 1 + I ' 2 = I '' 1 + I '' 2
zodat in het algemeen
I' 1  I'' 1 en I' 2  I'' 2
Om de 2-poort werking te garanderen moet er een ideale transformator aan één van de
4 poorten geplaatst worden. Kiezen we bijvoorbeeld de uitgangspoort van 2-poort (1)
dan wordt de schakeling
I1
1:1
I 1 1 
I2
I 1 1 
U1
I 2 1 
I 2 2 
I 1 2 
I1
I 2 1 
(1)
(2)
I 1 2 
U2
I2
I 2 2 
Via de KCL wetten kan men inderdaad éénvoudig nagaan dat de 2-poortwerking van
elk deelblokje opgaat. Een parallel-parallel schakeling waarbij elk deelblokje zich
gedraagt als een 2-poort wordt evenwichtig genoemd. Voor evenwichtige parallelparallel schakeling vinden we met behulp van de Y -parameters (26) voor 2-poort (1):
I 1 1 
I 2 1 
=
1 Y 1 U
Y 11
12
1
1 Y 1 U
Y 21
2
22
53
en voor 2-poort (2):
I 1 2 
I 2 2 
=
2 Y 2 U
Y 11
12
1
2 Y 2 U
Y 21
2
22
Optellen van beide matrixvergelijkingen geeft
I1
I2
 1 1
Y Y
Y 2 Y 2
=  11 12 + 11 12
 1 1
2 Y 2
Y 21
22
 Y 21 Y 22

 U1
 U
 2
Hieruit volgt de regel:
De Y matrix van een evenwichtige parallel-parallel schakeling is gelijk aan de som van
de Y -matrices.
Speciaal geval
Het schakelen van 3-polen is altijd evenwichtig, en van deze eigenschap wordt gebruik
gemaakt om feedback versterkers te analyseren (zie Gray et al., 2001). Voorbeeld
parallel-parallel schakeling
(1)
I1
I2
U1
U2
(2)
I1
I2
(bewijs dit als oefening)
54
Voorbeeld:
is de parallel-parallel schakeling van:
en
d) De serie-parallel schakeling
I1
I2
(1)
U1
U2
I1
(2)
I2
De ingangspoorten in serie, de uitgangspoorten parallel geschakeld. In het algemeen is
deze schakeling niet evenwichtig. Ze wordt evenwichtig door bijvoorbeeld een ideale
transformator aan de uitgangspoort van 2-poort (2) te plaatsen.
I1
(1)
I2
U1
1:1
I1
(2)
U2
I2
55
Toon als oefening de volgende regel aan:
De H -matrix van een evenwichtig serie-parallel schakeling is de som van de H matrices.
e) De parallel-serie schakeling
I2
I1
(1)
U1
U2
(2)
I1
I2
Toon als oefening de volgende regel aan:
De G -matrix van een evenwichtig parallel-serie schakeling is de som van de G matrices.
f) Opmerking
De meest gebruikte 2-poortschakeling zijn de cascade en de parallel schakeling van 3polen. Deze zijn altijd evenwichtig zodat er geen transformatoren moeten toegevoegd
worden.
4.5. Reciprociteit van tweepoorten
Beschouw een eerste experiment waarbij men de ingang van de 2-poort verbindt met een
spanningsbron en de uitgang van de 2-poort kortsluit.
Experiment (I)
I1
x
E
In een tweede experiment wordt de ingang kortgesloten en de uitgang verbonden met
dezelfde spanningsbron E .
Experiment (II)
y
I2
E
56
De tweepoort is nu per definitie reciprook indien de stroom x in het eerste experiment
gelijk is aan stroom y in het tweede experiment.
Wat is de invloed van de reciprociteit op de canonieke voorstellingen van een 2-poort?
Hiervoor lossen we de onbekende stromen x en y in beide experimenten op.
Experiment (I)
Experiment (II)
E = Z 11 Z 12 I 1
0
Z 21 Z 22 x
0 = Z 11 Z 12 y
E
Z 21 Z 22 I 2
I 1 elimineren
Z 21 E
x = -------------------------------------Z 12 Z 21 – Z 11 Z 22
I 2 elimineren
Z 12 E
y = -------------------------------------Z 12 Z 21 – Z 11 Z 22
De reciprociteitseis x = y is dus voldaan indien Z 21 = Z 12 , m.a.w. de matrix van de
Z -parameters moet symmetrisch zijn ( Z T = Z ).
Merk op dat de gevonden uitdrukkingen voor de stromen x en y enkel geldig zijn indien
det Z  0 ( Z 11 Z 22  Z 12 Z 21 ).
Uit het verband Y = Z –1 volgt onmiddellijk dat een 2-poort reciprook is indien
Y = Y T of Y 12 = Y 21 (toon dit aan als oefening).
Oefening:
1) herneem het bewijs gebruik makende van de Y-parameters.
2) toon aan dat de 2- poort reciprook is indien
det A B = 1  AD – BC = 1
CD
(aanwijzing: zoek eerst het verband tussen de Z -parameters en de ABCD -parameters
en druk uit dat Z 12 = Z 21 )
3) toon aan dat RLMC-netwerken altijd reciprook zijn.
(aanwijzing: stel eerst vast dat de kringenimpedantiematrix Z m symmetrisch is en pas
de redenering uit § 4.1. toe)
4) toon aan dat een 2-poort reciprook is indien
h 12 = – h 21 of g 12 = – g 21
(aanwijzing: stel eerst het verband op tussen de Z -parameters en de H -parameters en
druk uit dat Z 12 = Z 21 )
57
4.6. Schalingseigenschap van een impedantie en een transfer functie
a) Impedantie van een éénpoort
1
J0
Zp
U
0
Z  p  is opgebouwd uit verschillende elementen zoals bijvoorbeeld spoelen,
weerstanden, opamps enz… .
We lossen dit netwerk op via Y n V n = J n waarbij met elk element juist een tak
overeenkomt. Dit geeft
V1
Yn
V2

Vn
j0
=
0

0
waarbij de invloed van de afhankelijke bronnen reeds in Y n is ingebracht ( Z  p  bevat
geen onafhankelijke bronnen!). Via de regel van Cramer vinden we de waarde van V 1
j0
 Y n  12  Y n  13

 Y n  1n
0


0  Y n  n2 
 Y n  nn
j 0  11
V 1 = ----------------------------------------------------------------------------------------------- = -----------det Y n

Waarbij  11 = cofactor element  Y n  11 en  = det Y n .
Bijgevolg
 11
U
Z  p  = ---- = -------j0

(33)
Nu is  11 een homogene vorm in de admittanties van graad  n – 1  en  een
homogene vorm van graad n . Om dit in te zien beschouw de determinant van een 2 bij
2 en een 3 bij 3 matrix.
Y1 Y2
Y3 Y4
= Y1 Y4 – Y2 Y3
58
Y1 Y2 Y3
Y4 Y5 Y6
= Y1 Y5 Y9 + Y2 Y6 Y7 + Y3 Y4 Y8 – Y3 Y5 Y7 – Y1 Y6 Y8 – Y2 Y4 Y9
Y7 Y8 Y9
Indien we nu de impedantie van elk element waaruit Z  p  opgebouwd is
vermenigvuldigen met een functie f  p  dan wijzigt Z  p  als
f – n – 1   p  11
Z nieuw  p  = --------------------------------= f  p Z  p 
f –n  p 
Regel: de impedantie van de éénpoort schaalt zoals alle elementen waaruit het
opgebouwd is.
b) Transfer functie van een tweepoort
1
J0
2
U1
U2
0
3
Lossen we dit netwerk op via Y n V n = J n waarbij in elke tak juist 1 element zit dan
krijgen we
V1
Yn
V2

Vn
j0
=
0

0
waarbij Y n reeds de invloed van de afhankelijke bronnen bevat (de 2-poort bevat geen
onafhankelijke bronnen!).
Via de regel van Cramer vinden we de waarde van de knooppuntpotentialen V 1 , V 2 ,
V3
 11
V 1 = J 0 -------
 12
V 2 = J 0 -------
 13
V 3 = J 0 -------
met  ij = cofactor element  Y n  ij en  = det Y n .
59
Hieruit volgt dat de transfer functie gelijk is aan:
U2
V2 – V3
 12 –  13
T  p  = ------ = ------------------ = ---------------------U1
V1
 11
(34)
De transfer functie is dus de verhouding van homogene vormen van graad  n – 1  in
de admittanties. Indien we nu de impedantie van elk element van een netwerk
vermenigvuldigen met f  p  dan wordt de nieuwe transfer functie T nieuw  p 
f – n – 1   p    12 –  13 
- = T p
T nieuw  p  = ---------------------------------------------------f – n – 1   p  11
m.a.w. de transfer functie wijzigt niet!
Van deze eigenschap zullen we veelvuldig gebruik maken in de synthese van filters.
Opmerking: voor de éénvoud hebben we de 2-poort onbelast gelaten. In geval de 2poort wel belast wordt betekent dit dat we de belasting tot de 2-poort rekenen.
4.7. Efficiënt berekenen van tweepoorten
1
2
0
3
J0
Stel dat we bijvoorbeeld de transfer functie van de 2-poort wensen uit te rekenen.
Hiervoor moeten we het stelsel
j0
Yn Vn =
0

0
oplossen ( Y n bevat de invloed van de afhankelijke bronnen). Dit doen we via Gauss
eliminatie wat neer komt op een LU ontbinding van de matrix Y n
Y n = LU
(35)
waarbij
0
L =
een onderdriehoeksmatrix
U =
een bovendriehoeksmatrix
0
L bevat de spillen gebruikt tijdens de Gauss eliminatie en U is het eindresultaat van de
Gauss eliminatie.
60
De rekenkost van de ontbinding (35) is typisch 2n 3  3 flops (floating point operations).
Het verder oplossen gebeurt nu als volgt
L  UV n  = J n
Of nog
LX = J n
UV n = X
voorwaartse eliminatie
(36)
terugsubstitutie
Gezien L en U driehoekige matrices zijn kosten de voorwaartse eliminatie en de
terugsubstitutie elk n 2 flops in rekentijd.
De totale rekentijd is dus evenredig met
n3
2 ----- + 2  n 2
3
Door de externe knopen anders te nummeren kunnen we deze rekentijd reduceren.
Inderdaad, neem als nummering
n
n–1
J0
n–2
dan wordt (36):
x1
0
x2

xn – 1
xn
V1

Vn – 2
0
Vn – 1
Vn
0

= 0
0
j0
 x1 = x2 =  = xn – 1 = 0
0

= 
0
xn
De voorwaartse eliminatie en de terugsubstitutie zijn dus herleid tot een aantal
bewerkingen dat onafhankelijk van n is. In totaal (met de nieuwe nummering) hebben we
dus 2n 3  3 flops rekentijd (    ) wat een winst van 2n 2 betekent.
Opmerking: Wat we hier geïllustreerd hebben op transfer functies geldt natuurlijk ook
voor de berekeningen van andere tweepoorten zoals bijvoorbeeld de Z -parameters enz…
61
5.
Gevoeligheidsstudie van 2-poorten
5.1. Definitie en eigenschappen van de gevoeligheid
a) Definities
Het doel hier is na te gaan wat de invloed is van een verandering van een elementwaarde
(bijvoorbeeld, capaciteitswaarde) op een bepaalde 2-poort karakteristiek (bijvoorbeeld,
transfer functie). De relatieve verandering die dit teweeg brengt voor een oneindig kleine
relatieve verandering van de elementwaarde wordt de gevoeligheid genoemd.
 x
S x = --=  ln x
x 
 ln 
(37)
Waarbij x de 2-poortgrootheid is,  de elementwaarde en S x per definitie de
gevoeligheid van x t.o.v.  . Het berekenen van de gevoeligheid van bijvoorbeeld de
transfer functie naar alle elementwaarden is zeer handig bij het afregelen van filters. Het
laat toe om na te gaan welk element het meeste invloed heeft op de te verwezenlijken
karakteristiek. Dit element moet dan met de meeste zorg gemaakt worden.
Voorbeeld: bij het ontwerp van een filter beslist men weerstanden met een
nauwkeurigheid van 5% te gebruiken. Stel dat de gevoeligheid van de transfer functie T
t.o.v. deze weerstandswaarden 2 bedraagt. De te verwachten nauwkeurigheid van de
gerealiseerde transfer functie is dan
R T  T   T
T
R
S TR = ---  --------------------  -------  S TR ------- = 2  5% = 10%
T  R  R   R
T
R
b) Eigenschappen van de gevoeligheid
b.1 Gevoeligheid van de transfer functie
 T
=  ln T
S T j  = --T
 ln 
T  j  = A   e j()
met A    de amplitude van de transfer functie en () de overeenstemmende fase.
De gevoeligheid is dan
S T j  =
 ln A    + j  ()
 ln 
 ln 
(38)
waaruit de definities volgen
S A    =
 ln A   
 ln 
S     =
 ()
 ln 
b.2 Verband gevoeligheid t.o.v. admittantie en impedantie
S XY =
X
= –  ln X = – S XZ
 ln Y
 ln Z
(39)
De 2de gelijkheid volgt uit Y = Z –1 .
62
b.3 Op dezelfde wijze als in b.2 toont men aan dat (als oefening)
S XLj = S XL
(40)
S XCJ = S XC
5.2. Analytisch berekenen van de gevoeligheid
Om de gevoeligheden analytisch te kunnen uitrekenen moeten we expliciet de 2poortgrootheid als functie van de elementwaarden kennen. Dit gaat enkel voor
netwerken van beperkte omvang (zie bijvoorbeeld de synthese van actieve 2de orde
secties). We illustreren dit op een eenvoudig voorbeeld.
V OUT
R
C
E
V OUT  p 
1   Cp 
1
T  p  = --------------------- = ----------------------------- = -------------------Ep
R + 1   Cp 
1 + RCp
De gevoeligheid van T  p  naar de weerstandwaarde R is dan
R T
– RCp
S TR = --= -------------------T R
1 + RCp
Bij lage frequenties ( RC « 1 ) wordt dit S TR  – RCj en bij hoge frequenties
( RC « 1 ) is S TR  – 1 .
5.3. Numeriek berekenen van de gevoeligheden.
a) Basisformule
Voor middelgrote en grote netwerken is het onbegonnen werk om het analytisch
verband tussen de 2-poortgrootheid en de elementwaarden op te stellen. In deze
paragraaf en verder zullen we zien hoe we dit numeriek kunnen doen.
Merk eerst op dat alle 2-poortgrootheden van een 2-poort
n
n–1
I1
n–2
63
kunnen geschreven worden als functie van de uitwendige knooppuntpotentialen V n ,
V n – 1 en V n – 2 . Bijvoorbeeld:
Vn – 1 – Vn – 2
T  p  = ------------------------------Vn
Vn
Z IN(p) = -----I1
Vn – 1 – Vn – 2
Z OUT(p) = ------------------------------I2
Om de gevoeligheid van deze grootheden te berekenen moeten we dus de gevoeligheid
van de uitwendige knooppuntpotentialen kennen. Deze halen we uit de Y n V n = J n
vergelijkingen.
0
0
Yn Vn = Jn =

I1
waarbij Y n de invloed van de afhankelijke bronnen bevat. Afleiden van dit stelsel naar
de parameter  geeft:
Y n
V n
Vn + Yn
= 0



(41)
Y n
V n
= – Y n– 1
V
 n

Merk op dat het oplossen van het stelsel (41) naar alle elementen 2n 3  3 + n 2  t + 1 
flops vergt ( n 2 t bijkomende berekeningen indien het oorspronkelijk netwerk werd
opgelost naar alle knooppuntpotentialen). De rekentijd kan enorm oplopen ( t  n ). Stel
nu dat  = Y , de admittantie van een tak gelegen tussen knopen k en l
n
I1
n–1
k
l
Yn
0
n–2
Y
De bijdrage van deze admittantie tot Y n is
k
Yn =
l
Y –Y
–Y Y
k
l
64
zodat
k
l
Y n
= 1 –1
Y
–1 1
k
l
en
k
V1
l
Y n
V = 1 –1
Y n
–1 1
k
l
V2

Vn
=  Vk – Vl  1
–1
=
Vk – Vl
k
– Vk + Vl
l
k
l
=  Vk – Vl   1k – 1l 
waarbij 1 r = eenheidsvector met overal nullen behalve op de rij
Stelsel (41) wordt dan
r
waar een 1 staat.
V n
= –  V k – V l Y n–1  1 k – 1 l 
Y
Van de vector
(42)
V n
hebben we enkel de laatste 3 elementen nodig, namelijk,

V n – 2
V n V n – 1

en
 

Indien we de gevoeligheid berekenen naar de admittanties van alle takken
( k l = 1 2  n ) komt dit erop neer dat we de laatste 3 rijen van Y n– 1 moeten
kennen:
n–2
n – 12  =
–n
Dit gaan we niet doen via inversie van Y n (berekentijd van de orde van n 3 ) maar via
het zogenaamde adjunctnetwerk theorema. Dit theorema laat toe om op een efficiënte
manier een rij van de inverse van Y n te berekenen.
b) Adjunct netwerk theorema
Dit theorema laat toe de k de rij van Y n–1 te berekenen zonder de inverse
expliciet te vormen. Noem W kT de k de rij van Y n– 1 :
Wk =
;W kT =
65
Per definitie is
W kT = 1 kT Y n– 1

W kT Y n = 1 kT
of nog, na transponeren
Y nT W k = 1 k
m.a.w. de k de rij van Y n–1 is de oplossing van het volgende netwerk
n
n–1
Y nT
k
0
n–2
1A
Het netwerk dat als knoopadmittantie matrix Y nT heeft wordt het adjunctnetwerk
genoemd. Indien de 2-poort reciprook is dan is Y nT = Y n en zijn beide netwerken
identisch. Ze kunnen enkel van elkaar verschillen indien er afhankelijke bronnen
aanwezig zijn. Het adjunct netwerk en het oorspronkelijk netwerk verschillen dus
enkel in de positie van de gestuurde bronnen.
c) Efficiënt numeriek berekenen van de gevoeligheid
Via het adjunctnetwerk berekenen we de laatste 3 rijen van Y n– 1 :
T
 Yn Wn – 2 = 1n – 2
 T
 Yn Wn – 1 = 1n – 1

 Y nT W n = 1 n
(43)
Gezien de 2-poort grootheden een functie zijn van V n – 1 – V n – 2 en niet van V n – 1
en V n – 2 afzonderlijk (zie § 5.3. moeten we enkel
 V
– Vn – 2 
Y n – 1
V n – 1
V n – 2
en
apart. Dit betekent (zie (42)) dat we niet rijen n – 2


en n – 1 van Y n–1 apart moeten kennen, maar enkel het verschil.
kennen en niet
66
Bijgevolg kunnen we de eerste 2 vergelijkingen in (43) van elkaar aftrekken en moeten
we slechts 2 stelsels oplossen
T
 Yn  Wn – 1 – Wn – 2  = 1n – 1 – 1n – 2

Y nT W n = 1 n

Stellen we Q n =  W n – 1 – W n – 2  en P n = W n dan wordt dit
T
 Yn Qn = 1n – 1 – 1n – 2
 T
 Yn Pn = 1n
We krijgen dan voor (42)
V n
= – Vk – Vl   Pk – Pl 
Y
 V
– Vn – 2  = – Vk – Vl   Qk – Ql 
Y n – 1
(44)
met V k , V l de knooppuntpotentialen van knopen k en l van het oorspronkelijk
netwerk.
n
I1
n–1
k
0
Yn
l
n–2
Y
0
0
Yn Vn =

I1
W k , W l de knooppuntpotentialen van knopen k en l van het adjunctienetwerk
waarbij een stroombron van 1 A aan de ingangspoort geschakeld is (zie (44)).
n
1A
n–1
k
0
Y nT
Y
l
n–2
0
Y nT P n = 0

1
en tenslotte Q k , Q l de knooppuntpotentialen van knopen k en l van het
adjunctnetwerk met een stroombron van 1 A aan zijn uitgangspoort (zie (44))
67
n
n–1
k
0
Y nT
l
1A
n–2
Y
0
Y nT Q n = 0

1
Het oplossen van deze 3 netwerken vergt op het eerste zicht 3  2n 3  3 + n 2  flops: 3
maal een LU ontbinding + volledige terugsubstitutie vermits alle
knooppuntpotentialen vereist zijn voor een volledige gevoeligheidsanalyse (zie § 4.7.).
Niets is echter minder waar: uit de LU ontbinding van Y n halen we deze van Y nT :
Y n = LU  Y nT = U T L T
zodat deze slechts 1 maal moet gebeuren. Om de adjunct netwerken op te lossen
moeten we dus enkel 2 terugsubstituties uitvoeren. De totale rekentijd is dus evenredig
met
n3
2 ----- + 3n 2
3
Een volledige gevoeligheidsanalyse vergt slecht 2n 2 bijkomende flops eens het
netwerk volledig opgelost is! Voor reciproke netwerken is dit zelfs maar n 2
( Y nT = Y n  W n = V n )
5.4. Berekenen van de groepdoorlooptijd
De groepdoorlooptijd  g is gedefinieerd als
g    = – d    
d
(45)
waarbij () de fase van de transfer functie is (zie deel II van de cursus voor een fysische
interpretatie van deze grootheid). Formule (45) kan numeriek berekend worden door de
afgeleide numeriek te benaderen, bijvoorbeeld als:
   +   –    –  
 g     – -----------------------------------------------------------2
Dit vergt de kennis van de fase van de transfer functie bij 2 verschillende frequenties en
dus 2  2n 3  3  flops. (    ). Via een gevoeligheidsanalyse voor alle elementen waarvan
de impedantie frequentieafhankelijk is kunnen we echter (45) exact en veel sneller
uitrekenen.
Stel dat de frequentieafhankelijkheid enkel door de spoelen en condensatoren bepaald
wordt dan is  () een functie van  w via L k  ( k = 1 2  ) en C k  ( k = 1 2  )
en
    =   L 1  L 2   C 1  C 2   
zodat
68
g    = –
d
d
d L  – d
d C 
(   ) = – 
k

d Lk  d 
d Ck  d  k
d
k
1
1
= – ----  S Lk  – ----  S Ck 


k
k
(46)
k

1
= – ----   S Lk +  S Ck


k
k
(zie (40) voor het bekomen van de laatste gelijkheid).
Uitrekenen van (46) vergt ten hoogste 2n 3  3 + 3n 2 flops (de gevoeligheidsberekening
naar de weerstanden moet niet doorgevoerd worden).
69
6.
Switched capacitor netwerken
6.1. Inleiding
Switched capacitor netwerken zijn netwerken die uitsluitend capaciteiten, schakelaars
en opamps bevatten. De schakelaars worden gestuurd met behulp van een kloksignaal.
Het geheel wordt in CMOS technologie onder geïntegreerde vorm verwezenlijkt.
We illustreren de werking van een switched capacitor netwerk aan de hand van een
voorbeeld.
C2
V OUT
E
C1
In deze schakeling stelt men


waarbij  en  complementaire kloksignalen zijn

5V
0V
5V
t

Ts
----2
Ts
3T s
-------2
Ts
----2
Ts
3T s
-------2
0V
t
Naargelang de stand van de 2 schakelaars onderscheidt men bijgevolg 2 topologieën in
het netwerk (= de zogenaamde fasen):
70
Fase 1:
C2
V OUT
Et
C1
Fase 2:
C2
V OUT
Et
C1
In de eerste fase laadt condensator C 1 zich op tot de spanning E . Ondertussen blijft de
spanning over condensator C 2 constant en bijgevolg ook de uitgangsspanning V OUT .
In de tweede fase wordt de opgeladen condensator C 1 aan de opamp geschakeld en
ontlaadt zich. De verandering in uitgangsspanning V OUT is in deze fase evenredig
met de oorspronkelijke spanning over condensator C 1 .
De equivalente schema's met initieel ongeladen condensatoren zijn
Fase 1
Ts
V OUT(– -----)
2
C2
Et
C1
Ts
V OUT(t) = V OUT(– -----)
2
71
Fase 2
Ts
V OUT(– -----)
2
C2
Ts C1 Ts
V OUT(t) = V OUT(– -----) – ------ E  -----
2
C2  2 
C1
Ts
E  -----
 2
Dit geeft het volgende spanningsverloop voor V OUT
V OUT  t 
t
Ts
– ----2
0
Ts
----2
Ts
3T s
-------2
2T s
De spanning is discontinu op de schakelmomenten. Dit is ook geldig voor de ladingen
opgestapeld in de condensatoren ( Q = CU ). Het begrip stroom heeft hier geen zin
gezien i = dQ  dt oneindig groot wordt op de schakelmomenten. De analyse van
switched capacitor netwerken kan dus niet via de klassieke aanpak gebeuren. De exacte
aanpak vereist het gebruik van de Z -getransformeerde (zie cursus complexe analyse
en cursus systeem theorie). Dit zou ons echter te ver brengen, vandaar dat we in deze
cursus gekozen hebben voor een benaderde analyse die echter alle fundamentele
eigenschappen (of bijna alle) van switched capacitor netwerken blootlegt. De aanpak
is gebaseerd op het begrip equivalente stroom die weergeeft hoeveel lading er per
klokperiode T s van 1 punt naar een ander is gevloeid:
Q
i eq = -------Ts
Dit heeft zin indien de spanningen bijna niet variëren over een klokperiode (=
beperking op de spectrale inhoud van de aangelegde signalen).
6.2. Elementaire bouwstenen.
De schakelaars en condensatoren worden niet zomaar lukraak bij elkaar gegooid. Men
gaat ze in weldoordachte structuren bijeenbrengen en wel zodanig dat men telkens een
soort weerstand tracht te maken. We geven nu een lijst van veelgebruikte zogenaamde
switched capacitorweerstanden.
72
a) De serieweerstand
i
j
C
De serieweerstand realiseert een weerstand tussen knopen i en j . De term serie
duidt er hier op dat de condensator in “serie” staat met deze knopen. Om het equivalent
schema te vinden, berekenen we de netto- ladingsoverdracht van knoop i naar knoop
j gedurende een periode T s .
Fase 1:
i
j
Q1
C
U
Er vloeit een lading Q 1 = CU van i naar j (de condensator was ongeladen op 't
einde van de vorige fase)
Fase 2:
i
j
Q2
De condensator is kortgesloten in deze zodat Q 2 = 0
Het bilan is dus
Q = Q 1 + Q 2 = CU
Q
 i eq = -------- = Cf s U
T2
1-
 f = --- s T s
1
of nog U = -------- i eq
Cf s
1
m.a.w. R eq = -------Cf s
(47)
formule (47) komt overeen met onze intuïtie: hoe sneller we schakelen
( T s  0  f s   ) hoe meer lading er overgepompt wordt van i naar j en dus hoe
73
kleiner de equivalente weerstand. Ook hoe groter de capaciteit C hoe meer lading er
kan opgestapeld worden en dus hoe kleiner E eq . Het equivalent schema wordt dan
i
j
1
R eq = -------Cf s
b) De parallelweerstand
j
i
C
waarbij
De parallelweerstand realiseert een weerstand tussen knopen i en j . De term
parallel duidt erop dat de condensator in “parallel” staat t.o.v. deze knopen. We
berekenen weer de netto-ladingsoverdracht van i naar j over 1 klokperiode T s .
Fase 1:
i
i
Q1
Q1
Vj
U
C
C
Vj
Q 1 = CU = C  V i – V j 
Fase 2:
j
j
Q2
Vi
C
Q2
U
C
Vi
Q 2 = CU = C  V i – V j 
74
De netto balans is dan
Q = Q1 = Q2 = C  Vi – Vj 
 i eq = Cf s U
1
 R eq = -------Cf s
(48)
Merk op dat resultaat (48) bekomen werd door te onderstellen dat in beide fasen V i en
V j dezelfde zijn. Zo niet Q 1  Q 2 en gaat de redenering niet op. Het equivalent
schema wordt
i
j
1
R eq = -------Cf s
c) De bilineaire weerstand
i
j
C

i
j
1
R eq = ----------4Cf s
Bewijs als oefening het equivalent schema.
d) Varianten
Va
1
R eq = -------Cf s
i
C
Vb
i

Va – Vb
j
j
Va
i
1
R eq = -------Cf s
i
–Va
Bewijs als oefening deze equivalente schema's.
75
6.3. Oplossen van switched capacitor netwerken
Het oplossen van switched capacitor netwerken gebeurt in 2 stappen.
Eerst lokaliseren we de elementaire van switched capacitor bouwstenen en vervangen
ze door hun equivalente weerstand. Vervolgens lossen we het bekomen RC-netwerk
op met de klassieke matriciële aanpak, bijvoorbeeld de Y n V n = J n methode.
a) 1e orde laagdoorlaat filter
IN
OUT
C2
C1
IN
1
R eq = ---------C1 fs
OUT
C2
Als transfer functie vinden we onmiddellijk (de uitgang is onbelast)
V OUT  p 
1
1
T  p  = --------------------- = --------------------------- = -------------------V IN  p 
1 + R eq C 2 p
C2 p
1 + ------ --C1 fs
(49)
Het equivalent schema voor een switched capacitor weerstand is een goede benadering
van het werkelijk gedrag indien de spanningen (quasi) niet varieren over 1 klokperiode
T s . Dit legt een beperking op de hoogste frequentie die aanwezig mag zijn in de
aangelegde signalen, maar ook op de ingebouwde filtertijdskonstanten (zie
overgangsverschijnselen).
De filtertijdconstante voor het 1e orde laagdoorlaat filter is
C2
 = R eq C 2 = ------ T s
C1
Indien nu C 2 » C 1 dan is  » T s zodat de overgangsverschijnselen traag variëren
over een klokperiode.
In dit geval voorspelt het RC equivalent schema goed de werkelijkheid.
Indien echter C 2  C 1 dan is   T s en gedraagt het switched capacitor zich niet zoals
het RC- equivalent schema.
76
b) 2e orde filter
C3
C2
C6
C5
C1
C4
IN
OUT
Stel het equivalent RC netwerk op en toon aan dat:
C1 p
– ------  ---
C 6  f s
V OUT  p 
T  p  = --------------------- = ---------------------------------------------------------V IN  p 
C2 C5  p  2 C3  p 
------------ --- + ------ --- + 1
C 4 C 6  f s
C 6  f s
(50)
6.4. Eigenschappen van switched capacitor filters
Uit de uitdrukkingen van de transfer functies (49) en (50) volgt dat
1. de coëfficiënten van de transfer functie zijn enkel functies van de verhouding van
de capaciteitswaarden (homogene veeltermen in teller en noemer van dezelfde
graad), bijvoorbeeld:
C2 C5
------------C4 C6
2. T  p  is een functie van p  f s , m.a.w. de frequentie wordt geschaald met de
klokfrequentie f s .
p
T  p  = f  ---
 f s
De gevolgen hiervan zijn
1. voor de eerste vaststelling:
1.1. switched capacitor netwerken hebben onder geïntegreerde vorm een
uitstekende temperatuurstabiliteit (~ ppm/°C ). Dit komt omdat onder
geïntegreerde vorm er voor elke capaciteitswaarde geldt dat
C k = C k0 f  T 
waarbij C k0 de waarde bij kamertemperatuur is en f  T  de
temperatuursafhankelijkheid voorstelt. Deze is dezelfde voor alle
77
capaciteitswaarden daar ze allen door middel van hetzelfde integratieproces
gemaakt zijn en ze op dezelfde temperatuur staan (zie kleine afmetingen
chip).
Bijgevolg is
C 20 f  T C 50 f  T 
C2 C5
C 20 C 50
------------- = -------------------------------------- = ----------------C4 C6
C 40 f  T C 60 f  T 
C 40 C 60
temperatuursonafhankelijk en dus ook T  p  .
1.2. systematische integratiefouten op de capaciteitswaarden beïnvloeden de
transfer functie niet. Inderdaad, gezien alle C k -waarden d.m.v. hetzelfde
proces gerealiseerd worden hebben ze dezelfde relatieve systematische fout
C k = C k0 
waarbij C k de gerealiseerde waarde is, C k0 de gewenste waarde en  de
relatieve afwijking.
Bijgevolg is
C2 C5
C 20 C 50 
C 20 C 50
------------- = ------------------------ = ----------------C4 C6
C 40 C 60 
C 40 C 60
onafhankelijk van de integratiefout  en dus ook T  p  .
2. T  p  = f  p  f s   we beschikken via f s over een lineaire schaalfactor van de
frequentie, waarmee we naar believen de frequenties kunnen uittrekken of inkrimpen. Hierbij wijzigt de amplitude en fase karakteristiek niet.
Bijvoorbeeld,
A
: fs
: fs  2
f
500 Hz 1 kHz
2 kHz
3 kHz
Indien we de klokfrequentie f s halveren dan nemen we dezelfde amplitude waar
bij de helft van de frequentie:
f
f2
A  --- = A  ----------
fs
fs  2
Hetzelfde geldt voor de fase. Als toepassing op het wijzigen van f s hebben we
1. afregelen van het filter
2. filters met regelbare doorlaatband
78
Opmerking:
Het trapvormig karakter van het uitgangssignaal van een switched capacitor netwerk
kan niet voorspeld worden met behulp van het RC- equivalent schema. Hiertoe moet
men de exacte aanpak via de Z -transformatie gebruiken. Correct gebruik van een
switched capacitor filter vereist dus eerst laagdoorlaat filtering van het ingangssignaal
(hypothese dat signaal niet varieert over een klokperiode moet voldaan zijn) en
achteraf laagdoorlaat filteren van het uitgangssignaal (om de trappen weg te werken).
antialias
filter
Switched
capacitor
filter
Reconstructie
filter
Om eenvoudig analoge filters (1e orde RC) te kunnen gebruiken als anti-alias en
reconstructie filters heeft men er baat bij om de klokfrequentie f s veel groter dan de
bandbreedte f 0 van het switched capacitor filter te kiezen.
f
---s- » 1
f0
6.5. Vermogen dissipatie van een switched capacitor netwerk
Gezien een switched capacitor netwerk geen enkele weerstand bevat zou men op het
eerste gezicht denken dat het geen vermogen dissipeert. Niets is echter minder waar.
Het dissipeert evenveel vermogen als zijn RC- equivalent (voor zover de equivalentie
opgaat). We tonen dit aan op het volgende éénvoudig netwerk.
1
R eq = -------Cf s
E
C

E
Het equivalent schema voorspelt een vermogen dissipatie in de weerstand R eq van
E2
P = -------- = E 2 Cf s
R eq
De gedissipeerde energie over één klok periode is dan
PT s = E 2 C
(51)
We zullen nu het vermogenverbruik over één klokperiode van het switched
capacitornetwerk berekenen. Daarvoor voeren we een willekeurig kleine weerstand 
in (zo niet vloeit er op t = 0 een oneindig grote stroom)
79
Fase 1:

it
E
C
Het is éénvoudig na te gaan dat
E
i  t  = --- e – t  c

E2
 P  t  = i 2  t  = ------ e –2t  c

De energie gedissipeerd over 1 klokperiode is dan
Ts
e 1  ----- =
 2
Ts  2

CE 2
P  t  dt = ----------  1 – e –Ts   c  
2
0
Stel nu C « T s  e –Ts   c  « 1
Ts
CE 2
 lim e 1  ----- = ---------2
2
0
Fase 2:


C
E
E
De situatie van fase 2 is identiek aan deze in fase 1 zodat
Ts
CE 2
 lim e 2  ----- = ---------2
0  2
De totale energie dissipatie is bijgevolg
2
CE 2- CE
--------+ ---------- = CE 2
2
2
en is identiek aan (51).
80
I B NIET-LINEAIRE NETWERKEN
81
7.
DC- analyse van niet lineaire netwerken
7.1. Definitie
Onder DC analyse van niet lineaire netwerken verstaan we het berekenen van het regimeantwoord van het niet lineaire netwerk onder een constante excitatie. De spoelen worden
bijgevolg vervangen door een kortsluiting en de condensator door een open klem.


In DC regime bevat het netwerk enkel DC bronnen, weerstanden en niet lineaire
(tijdsonafhankelijke) elementen.
7.2. Voorbeelden van niet lineaire elementen
a) De diode
q
------ u
i = i s  e kT – 1


i
U
U
De diode kan ook beschouwd worden als een niet lineaire spanningsgestuurde
stroombron.
b) De bipolaire npn transistor
F iF
C
R iR
iC
iE
iR
iB
u CB
iC
iE
E  C
E
iF
u EB
iB
u CB
B
u EB
B
q----u EB
i F = i sF  e kT

– 1

q
------ u CB
i R = i sF  e kT – 1


i E = i F –  R i R = f e  u EB u CB 
i c = i R –  F i F = f c  u EB u CB 
De bipolaire transistor kan beschouwd worden als 2 niet lineaire spanningsgestuurde
stroombronnen.
82
c) Besluit
Daar we de niet lineaire elementen kunnen vervangen door niet lineaire
spanninggestuurde DC stroombronnen, wordt het DC analyse probleem herleid tot het
oplossen van een netwerk dat lineaire DC bronnen bevat (onafhankelijke en
afhankelijke), weerstanden en niet-lineaire spanningsgestuurde DC stroombronnen.
7.3. Opstellen van de basisvergelijkingen
a) Het netwerk dat enkel lineair afhankelijk en/of afhankelijke DC stroombronnen bevat
kan opgelost worden met de methode van de knooppuntpotentialen.
Dit geeft
Gn Vn = Jn + Hn  Vn 
(52)
waarbij G n de knoopconductantiematrix is die de bijdrage van de lineaire gestuurde
DC bronnen omvat, J n de bijdrage van de lineaire onafhankelijke bronnen bevat, en
H n  V n  de bijdrage van de niet lineaire spanningsgestuurde stroombronnen. (52) is
een niet-lineaire algebraïsche vergelijking in V n .
De volgende vragen stellen zich
1. bestaat er een oplossing?
2. is de oplossing uniek?
3. hoe berekenen we de oplossing(en)?
Om het bestaan en de uniciteit van de oplossing te garanderen zullen we onderstellen
dat H n  V n  een bijectieve functie is. Achteraf zullen we nagaan wat er gebeurt indien
hieraan niet voldaan is.
b) Voorbeeld
L1
R1
E
R3
C
R2
DC-analyse
R1
E
R3
R2
83
R1
1
iD
E
R3
2
R2
q
iD
------  V 1 – V 2 
= i s  e kT
– 1


q
G1 + G3 0
0
V1
=
G2 V2
G1 E
+
------  V 1 – V 2 
– i s  e kT
– 1


q
0
------  V 1 – V 2 
i s  e kT
– 1
7.4. Oplossen van de basisvergelijkingen
In het algemeen kan (52) niet expliciet opgelost worden naar V n . Dit moet dan numeriek
gebeuren met behulp van bijvoorbeeld de methode van Newton-Raphson (zie cursus
numerieke analyse). Deze methode lost het stelsel
F  Vn  = 0
op via de volgende iteratieve vergelijking
V nP + 1 = V nP –  F'  V nP   – 1 F  V nP 
waarbij V nP de schatting is van de oplossing in de P de stap en V nP + 1 de nieuwe schatting
is. Toegepast op (52) met
F  Vn  = Gn Vn – Jn – Hn  Vn 
en
F'  V n  = G n – H n  V n
geeft dit
Gn –
H n
 V nP
 V nP + 1 – V nP  = – G n V nP + J n + H n  V nP 
of nog
Gn –
H n
 V nP
V nP + 1 = J n + H n  V nP  –
H n
V nP
P
 Vn
(53)
(53) is de iteratieve Newton-Raphson formule voor (52).
84
Merk op dat het rechterlid in (53) enkel functie is van V nP net zoals de matrix
G n – H n  V n in het linkerlid. We kunnen bijgevolg een netwerk interpretatie geven
aan vergelijking (53) (zie verder). Dit netwerk noemen we het kompanionnetwerk.
(53) convergeert naar de gezochte oplossing van (52) indien de startwaarden V n0
voldoende dicht bij de oplossing liggen (zie cursus numerieke analyse). In dat geval is de
convergentie bovendien kwadratisch. Via fysisch inzicht in de werking van het netwerk
kunnen we meestal startwaarden vooropstellen die voldoende dicht in de buurt van de
oplossing liggen.
7.5. Netwerk- interpretatie van de numerieke oplossingsmethode
We zullen in deze paragraaf aantonen dat met (53) een netwerk overeenstemt dat
onmiddellijk uit het oorspronkelijke netwerk kan afgeleid worden.
a) Niet-lineaire weerstand
k
l
u
k
u
l

i = hu
i = hu
De bijdrage van deze niet- lineaire weerstand tot H n is
Hn  Vn  = –h  u 
hu
k
(54)
l
met u = V k – V l . De afgeleide van deze vector naar V n is
k
 H V  =
 Vn n n
–
l
h h
–
 Vk  Vl
h
 Vk
h
 Vl
k
l
Rekening houdend met
h
U
=  hU
=  h U  G U 
 Vk
 Vk
U
U
h
U
=  hU
= –  h  U  = –G  U 
 Vl

V
U
U
l
wordt dit
 H  V  = –G  U  G  U 
 Vn n n
G  U  –G  U 
(55)
Substitutie van (54) en (55) in (53) geeft:
85
k
–
H n
 V nP
H n  V nP  –
=
l
G P –G P
k
–GP G P
(56)
l
H n
P
P P
P = – i – G U 
V
n
 V nP
iP – GPUP
k
(57)
l
waarbij G P = G  U P  , i P = h  U P  en U P = V kP – V lP .
We zien onmiddellijk dat (56) een weerstand met conductantie G P gelegen tussen
knopen k en l is, en dat (57) een onafhankelijke DC stroombron voorstelt gelegen
tussen knopen k en l . Het kompanion netwerk is bijgevolg
k
l
up + 1
i' P + 1
kompanionnetwerk
GP
iP – GPuP
Merk op dat het deel overeenkomstig de lineaire elementen van het oorspronkelijk
netwerk ongewijzigd blijft. Enkel het niet-lineaire element wordt vervangen door zijn
zogenaamde kompanionmodel. Voor een niet lineaire weerstand is dit
uP + 1
u
i' P + 1
i = hu
GP
iP – GPuP
niet-lineaire weerstand
kompanionnetwerk
Het kompanion model is geen equivalent schema van het niet lineaire element. Het laat
enkel toe om onmiddellijk het kompanion netwerk op te stellen vanuit het
oorspronkelijk netwerk. Oplossen van dit kompanion netwerk levert de iteratieve
Newton-Raphson vergelijkingen (53).
Het kompanion model kan grafisch geïnterpreteerd worden als de raaklijn aan de niet
lineaire curve i = h  U  in het punt  u P i P  :
86
i
i = hu
iP
GP
u
0
uP
i
Inderdaad, de vergelijking van de raaklijn aan i = h  u  in het punt  u P i P  is
i – iP = GP  u – uP 
Deze raaklijn snijdt de as u = 0 in i
i = i P – G P u P
wat precies de stroom is van de stroombron in het kompanionmodel. Het
kompanionmodel is dus een lokale linearisatie (geldig voor kleine variaties) van de
niet-lineaire weerstand wat G P verklaart.
Gezien echter bij nulspanning toch nog een stroom i vloeit moet er parallel over deze
conductantie een stroombron geplaatst worden.
b) Niet lineaire weerstand functie van 2 spanningen
r
k
u2
u1
s
r
l
k
u2
u1

i = h  u 1 u 2 
s
l
i = h  u 1 u 2 
Op gelijkaardige wijze vinden we
Hn  Vn  =
– h  u 1 u 2 
k
h  u 1 u 2 
l
H n
–G1 G1 –G2 G2
=
 Vn
G1 –G1 G2 –G2
k
l
r
k
l
s
87
met

h  u 1 u 2 
 u1
G 1 = G 1  u 1 u 2  =
G 2 = G 2  u 1 u 2  =  h  u 1 u 2 
 u2
u1 = Vk – Vl
u2 = Vr – Vs
zodat
–
H n
=
 V nP
G 1P – G 1P G 2P – G 2P
– G 1P G 1P – G 2P G 2P
k
H n  V nP  –
k
H n
VP =
P n
 Vn
l
r
(58)
l
s
–  i P – G 1P U 1P – G 2P U 2P 
k
i P – G 1P U 1P – G 2P U 2P
l
(59)
Toon als oefening aan dat (58) en (59) aanleiding geven tot het volgende kompanion
model
U 2P + 1
r
k
s
U 1P + 1
l
J 1 = G 2 U 2P + 1
G 1P
J 2 = i P – G 1P U 1P – G 2P U 2P
J1
J2
waarbij J 1 een spanningsgestuurde stroombron is en J 2 een onafhankelijke
stroombron. Dit kompanion model kan grafisch geïnterpreteerd worden als het
raakvlak in het punt  i P u 1P u 2P  aan de niet-lineaire karakteristiek i = h  u 1 u 2 
88
.
i
iP
i = h  u 1 u 2 
u 2P
0
u2
u 1P
u1
Raakvlak
c) Besluit
Om een DC-analyse uit te voeren volstaat het dus om elk niet lineair element te
vervangen door zijn kompanionmodel en het bekomen kompanionnetwerk op te lossen
via de Y n V n = J n methode. Dit levert dan de iteratieve Newton-Raphson
vergelijkingen. De startwaarden voor het iteratief schema haalt men uit fysisch inzicht
in het netwerk.
Merk op dat de diode als een niet lineaire weerstand kan beschouwd worden (§ a) en
de bipolaire transistor als 2 weerstanden functie van 2 spanningen (§ b)
d) Voorbeeld 1:
q
------ u
i = i s  e kT – 1
i
R
E
u
Kompanionnetwerk
i' P + 1
1
V 1P + 1
R
E
GP
i P – G P V 1P
q P

- V1
q- ---- G P = ----i s e kT
kT


q- P
----
V1

kT
P
– 1
 i = is  e


89
Oplossen van dit netwerk geeft
 G + G P V 1P + 1 = GE – i P + G P V 1P
of
GE – i P + G P V 1P
V 1P + 1 = --------------------------------------G + GP
(60)
Indien E  0 kunnen we als startwaarden V 10 = 0.6 V nemen (diode in geleiding).
We kunnen dit netwerk ook grafisch oplossen via de vergelijkingen
u = E – Ri
q
------ u
i = i s  e kT – 1


i
E
--R
i = i0 + G0  u – u0 
q
------ u
i = i s  e kT – 1


G0
i0
i1
i' 1
u0
u1
u
E–u
i = -----------R
E
Het kompanionmodel uitgerekend in de startwaarden u 0 i 0 is de raaklijn aan de
diodekarakteristiek in het punt  u 0 i 0  . Deze rechte snijdt de belastingslijn
u = E – Ri in het punt  u 1 i' 1  . Dit is de oplossing van het eerste
kompanionnetwerk (eerste iteratie in (60) met P = 0 ).
Om de volgende iteratie stap te zetten berekenen we eerst en trekken de raaklijn door
het punt  u 1 i 1  enz… . We zien dat we zeer snel konvergeren naar het snijpunt van
u = E – Ri
q
------ u
i = i s  e kT – 1


Opmerking:
1. wanneer we uitgeconvergeerd zijn is i' = i ( i'  = i  ) d.w.z. dat de stroom die
door het kompanionmodel vloeit gelijk is aan de werkelijke stroom door het niet
lineaire element.
2. in geval van een tunneldiode is het verband spanning stroom niet bijectief. De
kompanion methode gaat nog steeds op doch we weten niet op voorhand hoeveel
oplossingen er zijn.
90
i
i = h u
u
Tunneldiode
Belastingslijn
i
i = hu
Belastingslijn
u
Niet bijectief verband i = h  u 
e) Voorbeeld 2:
R1
1
2
D1
iD1
R2
iD2
D2
R
E
91
Vervangen we elke diode door zijn kompanionmodel dan krijgen we
R1
V 1P + 1
V 2P + 1
1
2
G 1P
G 2P
------ u 1P
q
= ------ i s e kT
kT
q
------ u 2P
q
G 2P = ------ i s e kT
kT
P – G Pu P
J 1P = i D1
1 1
J 1P
R2
q
G 1P
P – G Pu P
J 2P = i D2
2 2
J 2P
u 1P = V 1P – V 2P
u 2P = V 2P
R
E
Met als knooppuntvergelijkingen
G 1 + G 1P + G
– G 1 – G 1P
V 1P + 1
=
– G 1 – G 1P G 1 + G 2 + G 1P + G 2P V 2P + 2
GE – J 1P
J 1P – J 2P
Numeriek voorbeeld:
R = 800 , R 1 = 60 , R 2 = 100 , E = 10V ,
q----= 40V – 1 en i s = 1nA
kT
Als startwaarden kiezen we u 10 = u 20 = 0.4V (de dioden geleiden).
Hieruit volgt dat
V 20 = 0.4V V 10 = 0.8V
en dat
waaruit
u 11 = V 11 – V 21 = 0.38916V
u 21 = V 21 = 0.39626V
en
i D1 1 = 5.7592mA i D1 2 = 7.6505mA
G 11 = 0.23037 – 1 G 21 = 0.30602 – 1
92
i D0 1 = i D0 2 = 8.8861mA
G 10 = G 20 = 0.35544 – 1
1
0.37336 – 0.37211 V 1 = 0.14579
– 0.37211 0.73756 V 21
0

V 11
V 21
= 0.78541V
0.39626V
De tweede iteratiestap levert ons
2
0.24828 – 0.24703 V 1 = 96.390mA
– 0.24703 0.56305 V 22
29.721mA

V 12
V 22
= 0.78220V
0.39597V
waaruit
u 12 = V 12 – V 22 = 0.38623V
u 22 = V 22 = 0.39597V
en
i D2 1 = 5.1227mA i D2 2 = 7.5632mA
G 12 = 0.20491 – 1 G 22 = 0.30253 – 1
De derde iteratiestap levert
3
0.22283 – 0.22158 V 1 = 86.520mA
– 0.22158 0.53410 V 23
38.203mA

V 13
V 23
= 0.78202V
0.39596V
Indien we het eindresultaat op 4 beduidende cijfers wensen kunnen we hier de iteratie
afbreken.
93
8.
Transiënt analyse van niet lineaire netwerken
8.1. Inleiding
Er zijn 3 mogelijke aanpakken met elk hun voor- en nadelen:
1. Uitschrijven van KCL, KVL en niet lineaire VAL wetten. Dit levert 2t
vergelijkingen met 2t onbekenden. Indien gebruik gemaakt wordt van
integratiemethoden die rekening houden met het groot aantal nullen in de KCL
en KVL wetten (= schrale integratiemethoden) is het grote niet lineaire
differentiaal stelsel hanteerbaar.
Over deze aanpak zullen we niet verder uitwijden.
2. De toestandsveranderlijken methode (state variable approach). Het voordeel is
dat we tot een differentiaalstelsel komen met minimale afmetingen:

dx

= F  x y u u·  t 
dt

 G  x y u u·  t  = 0

met x de vector van de toestandsvergelijkingen, y de vector van de
tussenveranderlijken die niet expliciet geëlimineerd kunnen worden en u de
vector van de onafhankelijke bronnen. Het nadeel is het opstellen van het
differentiaalstelsel.
3. de kompanionmethode die als voordeel heeft dat de vergelijkingen rechtstreeks
uit het oorspronkelijke netwerk kan afgeleid worden. Wat het aantal
vergelijkingen betreft ligt deze beduidend lager dan 2t (1e aanpak), maar ligt
meestal hoger dan de toestandsveranderlijke methode.
8.2. De toestandsveranderlijke methode
a) Definitie:
De orde van een systeem (netwerk) is gelijk aan het totaal aantal onafhankelijke
energiestokeringsmogelijkheden.
De orde van een systeem (netwerk) komt overeen met de orde van het
differentiaalstelsel dat het systeem (netwerk) beschrijft.
Voorbeeld:
R
et
i(t)
L
C
U
Li 2
Magnetische energie ------- in spoel 
2

  orde = 2
2
Cu
Electrische energie --------- in condensator 
2
94
b) Afhankelijke (oneigenlijke) energiestokeringsmogelijkheden
b.1 Afhankelijkheid in de stromen
L2
L1
i1
i2
j0
j 0 is gekend en dus kunnen we bijvoorbeeld i 2 uitdrukken als functie van i 1 en j 0 :
i 2 = – i 1 – j 0 . Hieruit volgt dat de energie opgeslagen in spoel L 2 kan afgeleid
worden uit de energie opgeslagen in spoel L 1 en de waarde van de stroom j 0 :
L 2 i 22
L2  i1 + j0 2
---------- = --------------------------2
2
L 2 L 1 i 12
L2 j0
L 1 i 12 L 2 j 02
= ----- ---------- + 2 ---------- sgn  i 1  --------- + ---------L1 2
2
2
L1
We zeggen dat L 1 de eigenlijke spoel en L 2 de oneigenlijke spoel is (keuze kan net
andersom gemaakt worden). De afhankelijkheid (oneigenlijkheid) treedt ook op
wanneer een doorsnede gevonden wordt waar enkel spoelen en stroombronnen in
aankomen
L3
L1
j0
L2
b.2 Afhankelijkheid in de spanningen
C1
e0  t 
u1
u2
C2
95
e 0  t  is gegeven en dus kunnen we bijvoorbeeld u 2 uitdrukken als functie van e 0  t 
en u 1 : u 2 = e 0  t  – u 1 . Hieruit volgt dat de energie opgeslagen in condensator C 2
afgeleid kan worden uit deze opgeslagen in condensator C 1 en de waarde van de
spanning e 0  t 
C 2 u 22
C 2  e 0(t) – u 1  2
------------ = -----------------------------------2
2
C2
C 1 u 12 C 1 C 1 u 12
2
2
----=
e (t) – ------ C 2 e 0(t)sgn(u 1) ------------ + ------ -----------2 0
C2 2
C1
2
We zeggen dat C 2 de oneigenlijke (afhankelijke) condensator en C 1 de eigenlijke
(onafhankelijke) condensator is.
b.3 De meest voorkomende oneigenlijkheden zijn van het type b.1 en b.2. Netwerken die
gestuurde (afhankelijkheden) bronnen bevatten kunnen oneigenlijkheden (afhankelijkheden) hebben die niet tot het type b.1 en b.2 behoren.
c) Regels voor het opstellen van de toestandsvergelijkingen
1. Bepalen van de orde van het netwerk (opsporen van de oneigenlijkheden): orde
is gelijk aan de som van het aantal eigenlijke spoelen en condensatoren.
2. Keuze van de toestandsveranderlijken: neem de spanning over de eigenlijke
condensator en de stroom door de eigenlijke spoelen als toestandsveranderlijken.
3. Vervang de eigenlijke condensatoren en de spoelen door respectievelijk
spanning- en stroombronnen:
C

uC
uC
L

iL
iL
4. Vervang de oneigenlijke condensatoren en de spoelen door respectievelijk
stroom- en spanningsbronnen.
Voorbeeld 1: zie b.1.
L2

i2 = – i1 – j0
u L2 = – L 2
di 1
dj 0
– L2
dt
dt
Voorbeeld 2: zie b.2.
C2
u2 = e0  t  – u1

i C2 = C 2
de 0
du 1
– C2
dt
dt
96
5. los het resistieve netwerk op met de Y n V n = J n methode en bereken de stroom
door elke weerstand.
6. Bereken de stroom door elke eigenlijke condensator en de spanning over elke
eigenlijke spoel:

de dj du di
du
 i c = C C = f  e 0  t  j 0  t  u C i L 0 0 C L

dt dt dt dt 
dt



di L
de 0 dj 0 du C di L
= g  e 0  t  j 0  t  u C i L
 

 uL = L
dt
dt dt dt dt 

waarbij de termen de 0  dt , dj 0  dt , du C  dt en di L  dt in het rechterlid enkel
voorkomen indien er oneigenlijkheden zijn.
d) Voorbeelden
d.1 Netwerken met oneigenlijkheden
C2
R1
e0  t 
Orde = 2
u C2
u C1
C1
u C3
C3
R2
Kies u C1 , u C3 als toestandsveranderlijken, zodat
j = C2
i R1
R1
du C1
du C3
– C2
dt
dt
1
2
i C1
e0  t 
u C1
i R2
i C3
u C3
R2
Oplossen van het resistieve netwerk levert
V 1 = u C1
V 2 = u C3
En dus
e 0  t  – u C1
i R1 = -------------------------R1
u C3
i R2 = -------R2
97
De stromen door de eigenlijke condensatoren zijn te schrijven als functie van deze
stromen.
 i C1 = i R1 – j

 i C3 = j – i R2
e 0  t  u C1
du C1
du C3
 du C1
= ------------ – -------- – C 2
+ C2
 C1
R1
R1
dt
dt
 dt

 du C3
du C1
du C3 u C3
– C2
= C2
– ------- C3
dt
dt
R2
 dt
Oplossen van dit stelsel naar du C1  dt en du C3  dt geeft
C2
C2 + C3
C2 + C3
 du C1
= – ------------------- u C1 – ---------- u C3 + ------------------- e 0  t 

R1 
R2 
R1 
dt

C1 + C2
 du C3
C2
C2
= – ---------- u C1 – ------------------- u C3 + ---------- e 0  t 

R1 
R2 
R1 
dt
met  = C 1 C 2 + C 2 C 3 + C 1 C 3
d.2 Netwerk zonder oneigenlijkheden
R1
1
iL
L
i R3
Orde = 2
R2
et
R3
uC
C
Als toestandsveranderlijken kiezen we u C en i L . Het netwerk wordt bijgevolg:
iL
R1
i
1
R1
i R3
Orde = 2
R2
et
R3
uC
98
Oplossen van dit resistieve netwerk via Y n V n = J n geeft
 G 1 + G 2 V 1 = G 1 e  t  + G 2 u C – i L
(61)
En
i R1 = G 1  e  t  – V 1 
i R2 = G 2  V 1 – u C 
(62)
i R3 = i L
De stroom door de eigenlijke condensator en de spanning over de eigenlijke spoel is
dan
i C = i R2
(63)
u L = V 1 – R 3 i R3
Substitutie van (61) en (62) in (63) resulteert in
R1
R1 R2
R2
 di L
= –  R 3 + ------------------ i L + ------------------ u C + ------------------ e  t 
 L

R 1 + R 2
R1 + R2
R1 + R2
 dt

 du C
uC
R1
e t
= – ------------------ i L – ------------------ + -----------------C
d
t
R
+
R
R
+
R
R

1
2
1
2
1 + R2
d.3 Niet-lineair netwerk
iL
L
uC
et
R
Orde = 2
iL
iD
et
uD
iC
uL
uC
iR
R
met i D = i s  e q   kT  uD – 1 
99
uC
uC


 i R = ----- i C = i L – -----R 
R

i = i
u = et – u – u
L
D
C
D
 L
 du C
uC
C
= i L – -----R
 dt

 di L
kT-  i D
ln ----- + 1 + e  t 
 L d t = – u C – ---- is

q

8.3. De kompanionmethode
We zullen hier voor de eenvoud onderstellen dat de dynamische elementen lineair zijn.
Uitbreiding van de theorie naar netwerken met niet-lineaire dynamische elementen is
zonder meer mogelijk. Het idee van de kompanionmethode bestaat erin om de eerste orde
differentiaalvergelijkingen die het verband tussen de stroom en de spanning van de
dynamische elementen uitdrukken, numeriek te integreren. Dit numeriek integreren kan
op een groot aantal manieren gebeuren (zie cursus numerieke analyse). Hier kiezen we
voor impliciete integratieformules. Beschouw bijvoorbeeld
dx
= f  x t 
dt
integreren van t 1 naar t 2 geeft
t2
t2
dx
 d t dt =
 f  x t  dt
t1
t1
Passen we de trapeziumregel toe op het rechterlid dan bekomen we
t2 – t1
x  t 2  – x  t 1    f  x  t 2  t 2  + f  x  t 1  t 1   -------------2
Stellen we nu t k = k  h met h de integratiepas dan wordt dit
h
x  t + 1   x  t  + ---  x·  t + 1  + x·  t  
2
(64)
Dit is een impliciete formule gezien het een niet-lineaire vergelijking in x  t + 1  is
( x·  t + 1  = f  x  t + 1  t  ). We kunnen op een eenvoudige manier aantonen dat (64)
een 2de orde integratie methode is.
Bewijs
100
Taylorreeksontwikkeling met restterm van x  t + 1  en x·  t + 1  geeft
h2
h3
x  t + 1  = x  t  + hx·  t  + ----- x  2   t  + ----- x  3    1 
2
6
h2
x·  t + 1  = x·  t  + hx  2   t  + ----- x  3    2 
2
met  1  2   t t + 1  . Trekken we nu van de eerste vergelijking h  2 keer de tweede
af dan krijgen we
h
h2
h3
x  t + 1  – --- x·  t + 1  = x  t  + hx·  t  + ----- x  2   t  + ----- x  3    1 
2
2
6
h3
h
h2
– --- x·  t  – ----- x  2   t  – ----- x  3    2 
2
2
4
of nog
1
h
1
x  t + 1  = x  t  + ---  x·  t + 1  + x·  t   + h 3  --- x  3    1  – --- x  3    2 
6

2
4
Gezien  1   2 =ˆ  kunnen we de restterm benaderen door –  h 3  12 x  3     zodat
h3
h
x  t + 1  = x  t  + ---  x·  t + 1  + x·  t   – ------ x  3    
2
12
(65)
Vergelijken we nu (65) met (64) dan kunnen we besluiten dat de trapeziumregel exact
is voor veeltermen tot en met graad 2. (de restterm is dan nul).
a) Kompanionmodel voor de condensator
Passen we integratieformule (64) toe op
i
U
C
i=C
du du --1

= -i
dt
dt C
dan vinden we
h
u t + 1 – u t = -------  i t + 1 + i t 
2C
(66)
101
In (66) zijn de onbekenden u t + 1 en i t + 1 gezien we (bij onderstelling) u t en i t reeds
kennen. We kunnen (66) interpreteren d.m.v. een netwerk
i
ut + 1
h
h
= ------- i t + 1 +  u t + ------- i t

2C
2C 
h-----2C
u
h
u t + ------- i t
2C
Dit netwerk noemen we het trapezoïdaal kompanionnetwerk van de condensator. Merk
op dat een andere integratieregel aanleiding geeft tot een ander kompanionmodel. (zie
verder)
b) Kompanionmodel voor de spoel
i
u
L
u=L
di
di 1
 = --- u
dt dt L
Toepassen van (64) geeft
h
i t + 1 – i t = ------  u t + 1 + u t 
2L
of nog
h
h
i t + 1 = ------ u t + 1 +  i t + ------ u t
2L
2L
(67)
Hiermee stemt het volgende netwerk overeen
it + 1
ut + 1
2L
-----h
h
i t + ------ u t
2L
Dit netwerk noemen we het trapezoïdaal kompanionmodel van de spoel. Een andere
integratieregel geeft een ander kompanionmodel (zie verder).
c) Oplossen van lineaire dynamische netwerken
Het idee bestaat erin om alle dynamische elementen op tijdstip t + 1 te vervangen
door hun kompanionmodel. Op die manier wordt het dynamisch vraagstuk herleid tot
102
een statisch (DC) probleem met als onbekenden de waarde van de spanning en stromen
op tijdstip t + 1 en als gekenden de waarden van de spanningen en stromen op (alle)
vorige tijdstippen  t t – 1  0  :
jt
jt + 1

et
Lineair dynamisch netwerk
et + 1
Lineair DC probleem op tijdstip t + 1
Toepassen van de Y n V n = J n methode op dit netwerk geeft dan
G n V nt + 1 = J nt + 1 + j nt
(68)
waarbij de knoopconductantiematrix G n de bijdrage van de gestuurde bronnen omvat,
J nt + 1 de onafhankelijke bronnen weergeeft en j nt de bijdrage is van de
kompanionmodellen. (68) is een recursieformule d.w.z. dat elke stap een oplossing
geeft, terwijl in een iteratieformule elke stap ons dichter bij de oplossing brengt.
De startwaarden van (68) worden als volgt berekend: alle condensatoren worden
vervangen door spanningsbronnen en alle spoelen door stroombronnen:
G n V n0 = J n0
103
c.1 Voorbeeld
1
i3
2H
2
i1
i2
1F
1
1F
1
h--2
1
et
t+1
jt
1
1
et + 1
2
4--h
h
--2
u 1t
u 2t
Met
h
j t = i 3t + ---  V 1t – V 2t 
4
h
u 1t = V 1t + --- i 1t
2
h
u 2t = V 2t + --- i 2t
2
2 h
h
2--- t t
1 + --- + --– --u1 – j
t+1
t
+
1
V
h 4
4
1
= e
+ h
t+1
h
2 h
2
0
– --1 + --- + --- V 2
j t + --- u 2t
h 4
4
h
104
De startwaarden worden bekomen als de oplossing van
i 30
1
1
2
V 10
V 20
1
e0
We vinden
i 20 = i 30 – V 20
i 10 = e 0 – V 10 – i 30
d) Oplossen van niet lineaire dynamische netwerken.
Het oplossen gebeurt in 2 stappen: eerst herleiden we het niet lineair DC probleem door
op tijdstip t + 1 alle spoelen en condensatoren te vervangen door hun
kompanionmodel. Het niet-lineaire DC probleem wordt vervolgens herleid tot een
lineair DC probleem door alle niet-lineaire elementen te vervangen door hun
kompanionmodel (zie § 7.). Schematisch kunnen we dit als volgt voorstellen:
Niet-lineair dynamisch
netwerk op tijdstip t
J t
e t
105
invoeren tijdskamponionmodel op
tijdstip t + 1
jt + 1
Niet-lineair DC-probleem
op tijdstip t + 1 .
Onbekende spanningen en
stromen: u t + 1 , i t + 1 .
et + 1
kompanionmodel niet-lineaire elementen
jt + 1
et + 1
Lineair DC-probleem op
tijdstip t + 1 , en iteratie
p+1.
Onbekende spanningen en
stromen:
u t + 1 p + 1 , i t + 1 p + 1
Toepassen van de Y n V n = J n methode op dit netwerk geeft dan
G np V nt + 1 p + 1 = J nt + 1 + j nt + I nt + 1 p
waarbij G n de bijdragen omvat van de lineaire weerstanden, de weerstanden van de
tijdscompanionmodellen, de weerstanden van de companionmodellen van de niet
lineaire elementen, de lineaire gestuurde bronnen, en eventueel gestuurde bronnen van
de companionmodellen van de niet lineaire elementen (zie niet lineaire weerstand
functie van twee spanningen op blz. 87); J nt + 1 de onafhankelijke bronnen; j nt de
bronnen in de tijdscompanionmodellen; en I nt + 1 p de bronnen in de
companionmodellen van de niet lineaire elementen.
106
d.1 Voorbeeld
iR  t 
R
V1  t 
1
iD t 
et
iC  t 
Niet-lineair
dynamisch
netwerk
C
t+1
i Rt+ 1
R
1
V 1t + 1 i t + 1
C
i Dt+ 1
Niet-lineair
statisch (DC)
netwerk
h-----2C
et + 1
h
V 1t + ------- i Ct
2C
kompanionmodel
diode
i' Rt+ 1 P + 1
R
1
V 1t + 1 P + 1
i' Ct+ 1 P + 1
i' Dt+ 1 P + 1
et + 1
j Dt+ 1 P
G Dt+ 1 P
h-----2C
Lineair DC
netwerk
h
V 1t + ------- i Ct
2C
Met
j Dt+ 1 P = i Dt+ 1 P – G Dt+ 1 P V 1t + 1 P
q
G Dt+ 1 P
------ V 1t + 1 P
q
= ------ i s e kT
kT
q- t + 1 P
----V1
i Dt+ 1 P = i s  e kT

– 1

Toepassen van de Y n V n = J n methode geeft
2C
 G + G t + 1 P + 2C
------- V 1t + 1 P + 1 = Ge t + 1 – j Dt+ 1 P + ------- V 1t + i Ct
D

h
h
(69)
107
Dit is een recursieve iteratie formule: op het nieuwe tijdstip t + 1 (= recursiestap)
moeten we itereren over P en de oplossing van het niet lineaire DC-probleem vinden.
Als startwaarden voor de iteratie gebruiken we
V 1t + 1 0 = V 1t
q- t
----V1
i Dt+ 1 0 = i s  e kT

G 1t + 1 0
– 1

q
q ------ V1t
= i s ------ e kT
kT
Na convergentie van de iteratie over P krijgen we V 1t + 1 = V 1t + 1  . De stromen op
tijdstip t + 1 berekenen we uit het kompanionmodel. Voor de condensator,
h
h
V 1t + 1 = V 1t + ------- i Ct + ------- i Ct+ 1
2C
2C
2C
 i Ct+ 1 = -------  V 1t + 1 – V 1t  – i Ct
h
en voor een spoel (67),
h
h
i t + 1 =  i t + ------ u t + ------ u t + 1


2L
2L
Hiermee zijn alle gegevens beschikbaar om t te vervangen door t + 1 in (69) (=
recursiestap). Als startwaarden voor de iteratie over p gebruiken we
V 1t + 2 0 = V 1t + 1 enz… tot dat we alle tijdstippen afgelopen hebben.
De startwaarden ( t = 0 ) voor de recursie halen we uit
R
i R0
i D0
V 10
e0
wat een niet-lineair DC probleem is dat iteratief opgelost wordt.
e) Uitbreidingen
e.1 Andere integratieregels
Gebruiken we Euler's regel om de afgeleide in
dx
= f  x t 
dt
numeriek te benaderen dan krijgen we
t + 1 – xt
x-------------------- = f  x t 
h
108
of
x t + 1 = x t + hx· t
Dit wordt voor de condensator

h
u t + 1 = u t + ---- i t
C
h
u t + ---- i t
C
ut + 1
en voor de spoel
it + 1

h
i t + 1 = i t + --- u t
L
h
i t + ---- u t
C
Dit zijn de zogenaamde Euler companionmodellen voor de condensator en de spoel.
Gebruiken we de methode van Gear om
dx
= f  x t 
dt
te integreren dan krijgen we
1
2
4
x t + 1 = – --- x t – 1 + --- x t + --- hx· t + 1
3
3
3
Toon als oefening aan dat dit een 2e orde integratiemethode is. Het voordeel van deze
methode t.o.v. de trapeziumregel is dat ze geschikt is om netwerken op te lossen
waarvan de tijdsconstanten grote ordes van elkaar verschillen. Ze is echter niet
zelfstartend.
De methode van Gear geeft voor de condensator:
it + 1
1
4
2h
u t + 1 =  – --- u t – 1 + --- u t + --- ---- i t + 1
 3

3
3C

ut + 1
2--- --h3C
4--- t 1--- t – 1
u – u
3
3
109
en voor de spoel
it + 1

1
4
2h
i t + 1 =  – --- i t – 1 + --- i t + --- --- u t + 1
 3
3  3L
3--- L
--2h
4--- t 1--- t – 1
i – i
3
3
e.2 Integratie methoden met veranderlijke pas
Meestal wensen we het antwoord te kennen op een zeker equidistant tijdsgrid. Dit grid
komt meestal niet overeen met de integratiepas h die nodig is om de vergelijkingen
met een beperkte fout te integreren. Hiervoor gebruikt men dan methoden met
veranderlijke integratiepas.
h
t
t+1
t+2
h2 h2
Het idee bestaat erin om 2 maal van t naar t + 1 te integreren: éénmaal met pas h en
éénmaal met pas h  2 . Dit levert 2 resultaten op voor x  t + 1  :
h  x  t + 1 h 
h-- x  t + 1 h  2 
2
 = x  t + 1 h  – x  t + 1 h  2 
Uit het verschil
˜
integratiepas h berekend
wordt dan een nieuwe
h˜ = f    orde integratiemethode rekennauwkeurigheid 
Indien nu h˜  h dan betekent dit dat de integratie met pas h binnen de
rekennauwkeurigheid liggen en dat we de stap kunnen zetten. Is echter h˜  h dan zijn
de integratiefouten met pas h te groot t.o.v. de rekennauwkeurigheid en moeten we de
pas reduceren tot h˜ . De procedure wordt herhaald totdat aan het criterium h˜  h
voldaan is.
110
REFERENTIEWERKEN
N. Balabanian, T.A. Bickart, Electrical Network Theory. John Wiley and Sons, New York
(USA), 1969.
W.K. Chen, The Analysis of Linear Systems. McGraw-Hill, New York, 1963.
W. K. Chen (ed.), The Circuit and Filters Handbook. CRC Press & IEEE Press, 1995.
M. Hasler and J. Neirynck, Nonlinear circuits. Artech House, Norwood, 1986.
P. Gray, P. Hurst, S. Lewis and R. Meyer, Analysis and Design of Analog Integrated Circuits.
John Wiley and Sons, fourth edition, 2001.
S. Seshu and M.B. Reed, Linear Graphs and Electrical Networks. Addison-Wesley, London
(UK), 1961.
M.E. Van Valkenburg, Network Analysis. Prentice-Hall, 1964.
J. Vlach, Computerized approximation and synthesis of Linear Networks. Joh Wiley & Sons,
New York, 1969.
A. Ralston and P. Rabinowitz, A First Course in Numerical Analysis. McGraw-Hill, Singapore,
1984.
111