Lineaire algebra - Universitaire Pers Leuven

Line
Nederlandstalig handboek met online oefenmodule!
Een heldere introductie van deze begrippen en technieken is een noodzakelijke
voorwaarde voor het oplossen van een probleemstelling. Het handboek Lineaire
algebra biedt naast technische kennis ook een kwalitatief inzicht in de structuur
of de aard van de oplossing. Juist dát helpt de student om een adequate aanpak te
ontwikkelen voor analoge en nieuwe probleemstellingen. De auteurs gebruiken
vele voorbeelden en besteden steeds een grote aandacht voor het aanleren van een
zorgvuldige formulering van de argumentaties en een nauwkeurige opbouw van de
berekening. Een selectie van thematische toepassingen, zoals Markov-processen,
Leslie-matrices en Google’s PageRank™ komt aan bod.
Paul Igodt is professor aan de K.U.Leuven Kulak en leidt de Onderzoeksgroep
Algebraïsche Topologie en Groepentheorie van het Departement Wiskunde. Hij
is mede-initiatiefnemer en mede-coördinator van de Vlaamse Wiskunde Olympiade en nauw betrokken bij de ontwikkeling en aansturing van het USolv-IToefenplatform.
Wim Veys is professor aan de K.U.Leuven en leidt de Onderzoeksgroep Algebraïsche
Meetkunde en Getaltheorie van het Departement Wiskunde.
aire
a
• v+w
y
w•
• λv
Paul Igodt & Wim Veys
Het handboek Lineaire algebra bevat tientallen oefeningen en wordt tevens
ondersteund door een online oefenmodule (op basis van het USolv-IT platform)
waar de student het geleerde in praktijk kan brengen. Via de website www.upl.be/
lineairealgebra kunnen uit een zeer ruim aanbod specifieke oefeningen worden
geselecteerd om het boek als geheel, dan wel specifieke onderdelen uit de materie
te oefenen. De student krijgt online een score en een toelichting bij de juiste antwoorden.
Lineaire algebra
In vrijwel alle toepassingsgebieden van wiskunde wordt lineaire algebra aangewend. Soms beperkt dat zich tot elementair matrixrekenen, maar in andere
gevallen komen ook moeilijkere problemen aan bod. Met dit handboek kunnen
studenten uit verschillende studierichtingen kennismaken met de basisbegrippen,
basistechnieken en enkele voorname resultaten van de lineaire algebra.
auteursrechtelijk beschermd materiaal
lgebr
a
Paul Igodt & Wim Veys
•v
x
• sx (v)
• sx (λv) = λsx (v)
• sx (w)
• sx (v + w) = sx (v) + sx (w)
Lineaire algebra ISBN 9789058678799 © 2011 Universitaire Pers Leuven
auteursrechtelijk beschermd materiaal
Voorwoord
Met dit handboek kunnen studenten uit een diversiteit aan opleidingen kennismaken
met de basisbegrippen, basistechnieken en enkele voorname resultaten van de lineaire
algebra. In vrijwel alle toepassingsgebieden van wiskunde wordt lineaire algebra
aangewend. Soms beperkt dat zich tot elementair matrixrekenen, maar vaak komen
ook moeilijkere probleemstellingen aan bod.
Deze problemen presenteren zich in een veelheid aan uitzichten en vormen, maar
steevast vinden we er dezelfde begrippen in terug: vectoren, lineaire afhankelijkheid
en onafhankelijkheid, voortbrengers, basis, vrijheidsgraden, lineaire combinaties,
dimensie, spectraalstelling, diagonaliseren, singuliere waarden, . . . Niet altijd is het
louter technisch oplossen van de probleemstelling het belangrijkst, maar veeleer het
kwalitatief inzicht in de structuur of de aard van een oplossing; juist dát brengt typisch
de echte voorspellende kracht voor analoge of nieuwe probleemstellingen met zich mee.
Doorheen het hele boek hebben we oog voor het aanleren van nauwkeurigheid
zowel in formulering als in berekening. De aanpak die we hanteren is hierdoor
niet beperkt tot louter technische aspecten, maar brengt steevast ook zorgvuldige
argumentaties. Deze ietwat steviger wiskundige onderbouw vraagt de student om
volgehouden aandacht. Niettemin kunnen de sleutelresultaten in de opbouw van het
geheel door de verzorgde lay-out als het ware afzonderlijk gelezen worden.
We illustreren met vele voorbeelden en ook een selectie uit het vrijwel ongelimiteerd aanbod aan thematische toepassingen van de lineaire algebra komt aan bod. Het
ruime aantal oefeningen biedt mogelijkheid om te differentiëren naar belangstelling,
context, abstractie en diepgang. We engageren ons om dit ook in elektronische vorm
als een extra ondersteuning bij het handboek aan de lezers aan te bieden.
In een tijdperk van steeds krachtiger computeralgebra kunnen we de vraag
stellen in welke mate dergelijke rekenkracht kan of moet aangewend worden. Ook
wij zetten computeralgebra in voor snelle simulaties of voor uitgebreide analyses.
Onze didactische ervaring brengt ons evenwel de overtuiging bij dat een degelijke
handmatige beheersing en het hiermee samengaand groeiend inzicht best voorafgaan
aan gevorderde computeralgebra. Net dat inzicht zorgt ervoor dat de gebruiker zich
ondersteund weet bij het inzetten van software. Het biedt hem ook de mogelijkheid
om gericht te exploreren. Hierbij de juiste vragen leren stellen én bovendien
Lineaire algebra ISBN 9789058678799 © 2011 Universitaire Pers Leuven
auteursrechtelijk beschermd materiaal
VOORWOORD
betekenisvolle goede antwoorden vinden, vormen dan een dankbare beloning voor de
gewonnen rekenkracht. Zo zal computeralgebra finaal echt ondersteunen, bevestigen
of illustreren.
Dit werk kwam tot stand in goede samenwerking met verschillende medewerkers,
die verbeteringen in de tekst hebben gesuggereerd en het oefeningenaanbod hebben
rijker gemaakt of uitgeprobeerd. We danken in het bijzonder Sandra Deschamps, Rein
Duyck, Hendrik Hubrechts, Tristan Kuijpers, Dirk Segers, Karl Van Valckenborgh,
Kelly Verheyen en Kaatje Zeeuwts voor hun onverdroten ijver en opbouwende kritische
spirit.
Paul Igodt
Wim Veys
juni 2011
6
Lineaire algebra ISBN 9789058678799 © 2011 Universitaire Pers Leuven
auteursrechtelijk beschermd materiaal
Inhoudsopgave
Voorwoord
5
1 Eerstegraadsvergelijkingen en matrices
1.1 Context en matrixvorm . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Gauss-eliminatie, echelonvorm, rijgereduceerde vorm .
1.2.1 Voorbeelden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Stelsels met parameters . . . . . . . . . . . . .
1.3 Rekenen met matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Inverteerbaarheid van matrices en inverse matrices . .
1.5 Elementaire rijoperaties en elementaire matrices . . .
1.6 LU-decompositie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.1 Nut van een LU-decompositie . . . . . . . . . .
1.6.2 LU-decompositie van een inverteerbare matrix
1.6.3 Voorbeeld van een LU-decompositie . . . . . .
1.6.4 Praktische constructie . . . . . . . . . . . . . .
1.7 Oefeningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7.1 Eerstegraadsvergelijkingen . . . . . . . . . . . .
1.7.2 Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
11
11
15
23
25
27
34
36
40
41
42
43
45
46
46
50
2 Determinanten
2.1 Kennismaking in het geval van (2 × 2)-matrices . . . .
2.2 Determinant: definitie, bestaan en eigenschappen . . .
2.2.1 Drie invloedrijke eigenschappen . . . . . . . . .
2.2.2 Over permutaties en hun teken . . . . . . . . .
2.2.3 Er is juist één determinantafbeelding (voor elke
2.2.4 Ontwikkelen naar een rij of kolom . . . . . . .
2.2.5 De toegevoegde matrix of adjunctmatrix . . . .
2.2.6 De formule van Cramer . . . . . . . . . . . . .
2.3 Toepassingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Veelterminterpolatie . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2 Oppervlakte van een parallellogram . . . . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
n 1)
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
55
55
56
56
60
63
67
71
73
74
74
75
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Lineaire algebra ISBN 9789058678799 © 2011 Universitaire Pers Leuven
7
auteursrechtelijk beschermd materiaal
INHOUDSOPGAVE
2.4
Oefeningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 Vectorruimten
3.1 Het begrip vectorruimte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Deelruimten en lineaire combinaties . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Som en directe som van deelruimten . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Lineaire onafhankelijkheid, basis en dimensie . . . . . . . . . .
3.4.1 Lineaire afhankelijkheid en onafhankelijkheid . . . . . .
3.4.2 Basis, dimensie en coördinaten . . . . . . . . . . . . . .
3.4.3 Nogmaals som en directe som . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Vectorruimten geassocieerd aan een matrix . . . . . . . . . . .
3.5.1 Nulruimte, rijruimte en kolomruimte van een matrix . .
3.5.2 Basis van de nulruimte, de rijruimte en de kolomruimte
3.6 Oefeningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
78
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
85
85
94
98
101
101
104
114
117
117
120
123
4 Lineaire afbeeldingen en lineaire transformaties
4.1 Definitie en voorbeelden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Lineaire afbeeldingen en matrices . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Matrixvoorstellingen van een lineaire afbeelding . . . . .
4.2.2 De vectorruimte van de lineaire afbeeldingen . . . . . .
4.2.3 Lineaire afbeeldingen samenstellen en het matrixproduct
4.3 Isomorfismen van vectorruimten . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Invloed van het veranderen van basis . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.1 Invloed op de coördinaat van een vector . . . . . . . . .
4.4.2 Invloed op de matrix van een lineaire afbeelding . . . .
4.4.3 Invloed op de matrix van een lineaire transformatie . . .
4.5 De dimensiestelling voor lineaire afbeeldingen . . . . . . . . . .
4.6 Rang en eigenschappen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.7 Algemene vorm en oplossing van een lineair probleem . . . . .
4.8 Oefeningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
129
130
136
136
140
142
144
147
147
149
150
154
160
162
166
5 Eigenwaarden, eigenvectoren en diagonaliseerbaarheid
5.1 Probleemstellingen: voorbeelden . . . . . . . . . . .
5.2 Eigenwaarden en eigenvectoren . . . . . . . . . . . .
5.3 Iedereen gebruikt het: Google’s PageRankTM . . . . .
5.3.1 Een eenvoudig model . . . . . . . . . . . . . .
5.3.2 Een tweede model . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.3 De echte PageRank: een eigenvector! . . . . .
5.4 Spectrum en eigenruimten . . . . . . . . . . . . . . .
5.5 Diagonaliseerbaarheid van een lineaire transformatie
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
173
173
176
183
183
184
185
187
190
8
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Lineaire algebra ISBN 9789058678799 © 2011 Universitaire Pers Leuven
auteursrechtelijk beschermd materiaal
INHOUDSOPGAVE
5.6
5.7
5.8
5.9
Transformaties van complexe vectorruimten . . .
Toepassingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.7.1 Discrete-tijd-evoluties . . . . . . . . . . .
5.7.2 Stochastische matrices en Markov-ketens .
5.7.3 Eigenwaarden van Leslie-matrices . . . . .
Toemaatje: over triangularisatie en Jordan . . . .
Oefeningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
6 Inproductruimten en Euclidische ruimten
6.1 Inproducten en Hermitische producten . . . . . . . .
6.2 Euclidische meetkunde en Euclidische ruimte . . . .
6.3 Orthonormale basis, orthogonaal complement . . . .
6.4 Transformaties met een symmetrische matrix . . . .
6.5 Orthogonale matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.6 Orthogonale en symmetrische transformaties . . . .
6.7 Toepassingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.7.1 Extrema en teken van kwadratische vormen .
6.7.2 Singuliere-waardenontbinding van een matrix
6.7.3 Kleinste-kwadratenoplossing als AX = B niet
6.8 Oefeningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
203
206
207
208
210
211
216
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
oplosbaar is
. . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
221
222
227
234
242
248
252
256
256
260
264
265
Bibliografie
269
Index
270
Lineaire algebra ISBN 9789058678799 © 2011 Universitaire Pers Leuven
9
auteursrechtelijk beschermd materiaal
Lineaire algebra ISBN 9789058678799 © 2011 Universitaire Pers Leuven
auteursrechtelijk beschermd materiaal
HOOFDSTUK 1
Eerstegraadsvergelijkingen en matrices
Bij een grote variatie aan problemen in allerlei wetenschapsgebieden moeten stelsels
van eerstegraadsvergelijkingen opgelost worden. Als het maar een paar vergelijkingen
in weinig onbekenden betreft kan men een oplossing vinden ‘met gezond verstand’.
In veel praktijkgevallen moeten grote stelsels met tientallen, duizenden of nog meer
vergelijkingen en onbekenden opgelost worden. Men kan stellen dat ‘de’ systematische
methode in deze context Gauss-eliminatie is. Ze geeft enerzijds inzicht in de algemene
structuur van de oplossingen van stelsels van eerstegraadsvergelijkingen en vormt
anderzijds de kern van alle methoden om deze stelsels effectief (en efficiënt) met
behulp van computers op te lossen.
Deze methode komt in de praktijk neer op het manipuleren van rijen van
matrices. Een (wiskundige) matrix is een rechthoekig schema getallen. Ook matrices
komen voor in zeer gevarieerde toepassingsgebieden van de wiskunde, bijvoorbeeld
als transformatievoorschrift van bewegingen in het vlak of in de ruimte, of bij de
beschrijving van populatie-evoluties in de biologie of van marktbewegingen in de
economie. Essentieel hierbij is dat men ook bewerkingen kan uitvoeren op matrices,
zoals optellen en vermenigvuldigen.
In dit hoofdstuk behandelen we het oplossen van stelsels via Gauss-eliminatie en
de essentie van het matrixrekenen. De ‘natuurlijke biotoop’ van matrices, namelijk
lineaire afbeeldingen op vectorruimten, komt later aan bod in Hoofdstuk 4.
1.1 Context en matrixvorm
We spreken van een eerstegraadsvergelijking in de variabelen (of onbekenden of
veranderlijken) x1 , x2 , . . . , xn als we een vergelijking van het type
a 1 x1 + a 2 x2 + · · · + a n xn = b
hebben, waarin a1 , a2 , . . . , an , b gegeven getallen zijn.
De ai noemen we de
coëfficiënten van de vergelijking; b wordt het rechterlid (of de constante term)
genoemd. Vaak worden dergelijke vergelijkingen ook lineaire vergelijkingen genoemd.
Lineaire algebra ISBN 9789058678799 © 2011 Universitaire Pers Leuven
11
auteursrechtelijk beschermd materiaal
H1 | EERSTEGRAADSVERGELIJKINGEN EN MATRICES
Eerstegraadsvergelijkingen behoren tot de ervaringswereld van de meeste leerlingen in het secundair onderwijs; zij ontspruiten uit een grote diversiteit aan
probleemstellingen.
Voorbeeld 1.1
1. Evenwicht bij chemische reacties. De reactie waarbij ammoniak en zuurstof
combineren tot stikstofmonoxide en water(damp), wordt weergegeven als
x1 N H3 + x2 O2 −→ x3 N O + x4 H2 O.
Hierin moeten de coëfficiënten xi gehele getallen zijn. Zij drukken uit dat aan
weerskanten van de vergelijking evenveel atomen van elk type aanwezig zijn.
Met andere woorden
⎧
(stikstof)
⎨ x 1 = x3
3x1 = 2x4
(waterstof)
⎩
2x2 = x3 + x4 (zuurstof).
We hebben hier drie eerstegraadsvergelijkingen in vier variabelen; we spreken
van een (3 bij 4)-stelsel eerstegraadsvergelijkingen. Het vergt niet zoveel moeite
om hiervoor een oplossing (zelfs meerdere) te vinden. Zo voldoet bijvoorbeeld
(x1 , x2 , x3 , x4 ) = (4, 5, 4, 6).
2. Handel en economie. Om een veevoeder samen te stellen dat aan bepaalde
voedingskwaliteiten voldoet, worden grondstoffen G1 , . . . , G5 gebruikt. De
kenmerken van elk van de grondstoffen, met betrekking tot twee voedingseigenschappen A en B, worden gegeven in de onderstaande tabel.
A
B
G1
2
3
G2
3
4
G3
1
5
G4
4
3
G5
6
2
Als de producent een mengsel moet samenstellen dat 20 eenheden A en 30
eenheden B telt, dan leidt dat tot de voorwaarden
�
2x1 + 3x2 + x3 + 4x4 + 6x5 = 20
(A)
3x1 + 4x2 + 5x3 + 3x4 + 2x5 = 30 (B),
een (2 bij 5)-stelsel eerstegraadsvergelijkingen.
3. Stroom in netwerken. Of het nu bijvoorbeeld om elektrische stroom,
informatiehoeveelheid, dan wel verkeersintensiteit gaat, netwerken gehoorzamen
12
Lineaire algebra ISBN 9789058678799 © 2011 Universitaire Pers Leuven
auteursrechtelijk beschermd materiaal
CONTEXT EN MATRIXVORM
aan de wetten van Kirchoff. Hieronder wordt bijvoorbeeld een gedeelte van
een stadsverkeersnetwerk (met éénrichtingsverkeer) getoond, met kruispunten
A, B, . . . , F , en opgave van verkeersintensiteiten uitgedrukt in ‘aantal voertuigen
per uur’ (vpu).
noord
400 vpu
700 vpu
300 vpu
F•
x4
west x5
800 vpu
A•
100 vpu
E•
200 vpu
x3
x6
x1
B•
500 vpu
zuid
D•
300 vpu
oost
x7
x2
C•
300 vpu
400 vpu
Door op elk kruispunt het evenwicht uit te drukken tussen inkomende en
uitgaande voertuigen, ontstaan er eerstegraadsvergelijkingen. Zo geldt voor
kruispunt E dat
x3 + 400 = x4 + x6 .
Het gehele verkeersschema geeft aanleiding tot een (6 bij 7)-stelsel van
eerstegraadsvergelijkingen. Schrijf dit stelsel op.
4. Vlakke meetkunde. In het vlak (geı̈dentificeerd met R2 ) bepaalt een
eerstegraadsvergelijking ax + by = c een rechte. Als b = 0 dan is deze
rechte evenwijdig met de y-as; in het andere geval is het een rechte met
richtingscoëfficiënt − ab . Een (2 bij 2)-stelsel eerstegraadsvergelijkingen
ax + by = r
cx + dy = s
Lineaire algebra ISBN 9789058678799 © 2011 Universitaire Pers Leuven
13
auteursrechtelijk beschermd materiaal
H1 | EERSTEGRAADSVERGELIJKINGEN EN MATRICES
kan dus opgevat worden als het opgeven van twee rechten in het vlak en het
zoeken naar de punten die tegelijk op die beide rechten liggen.
Elementaire kennis van de vlakke meetkunde geeft ons hier meteen het antwoord.
Er zijn drie mogelijke situaties.
• Ofwel zijn de rechten evenwijdig (en verschillend); dan hebben ze geen
punten gemeenschappelijk, het stelsel heet ‘strijdig’ of ‘inconsistent’.
Bijvoorbeeld
�
3x + 2y = 5
6x + 4y = 7.
• Ofwel zijn de rechten niet evenwijdig; dan snijden ze elkaar in juist één
(snij)punt. Bijvoorbeeld
�
3x + 2y = 5
6x + 3y = 7.
• Ofwel zijn de rechten samenvallend (met andere woorden dezelfde); in dat
geval hebben ze al hun punten gemeenschappelijk. Bijvoorbeeld
�
3x + 2y = 5
6x + 4y = 10.
5. Ruimtemeetkunde. In de ruimte (geı̈dentificeerd met R3 ) bepalen eerstegraadsvergelijkingen zoals
ax + by + cz = d
niet een rechte, maar een vlak! Schrijf de vergelijkingen op van de vlakken
die telkens twee coördinaatassen bevatten (bijvoorbeeld x- en y-as). Wat is de
meetkundige vertaling van een stelsel eerstegraadsvergelijkingen?
In dit hoofdstuk maken we kennis met het praktisch behandelen van stelsels
eerstegraadsvergelijkingen. Is het stelsel oplosbaar? Is er juist één oplossing of zijn
er meerdere? Hoe vinden we een oplossing? Hoe vinden we alle oplossingen?
Laat ons x1 , x2 , . . . , xn noteren voor de n veranderlijken, en veronderstel dat we
m eerstegraadsvergelijkingen hebben. Dan verkrijgen we, in het algemeen, een stelsel
van de vorm
⎧
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + · · · + a1n xn = b1
⎪
⎪
⎪
⎪
a
⎪
⎨ 21 x1 + a22 x2 + a23 x3 + · · · + a2n xn = b2
a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 + · · · + a3n xn = b3
⎪
..
⎪
⎪
.
⎪
⎪
⎩
am1 x1 + am2 x2 + am3 x3 + · · · + amn xn = bm ,
14
Lineaire algebra ISBN 9789058678799 © 2011 Universitaire Pers Leuven
auteursrechtelijk beschermd materiaal
GAUSS-ELIMINATIE, ECHELONVORM, RIJGEREDUCEERDE VORM
waarin we de getallen aij (1 i m, 1 j n) de coëfficiënten van het stelsel
noemen.
In feite is deze notatie niet bijzonder zuinig, vermits we in elke vergelijking alle
variabelen opnieuw opschrijven. Een meer gebruikelijke notatie is die waarin we
de coëfficiënten samenbrengen in een tabel, de matrix van de coëfficiënten, en de
variabelen nog slechts één keer noteren. We verkrijgen dan
⎛
a11
⎜ a21
⎜
⎜ a31
⎜
⎜ ..
⎝ .
am1
a12
a22
a32
..
.
a13
a23
a33
···
···
···
a1n
a2n
a3n
..
.
am2
am3
···
amn
kortweg ook
⎞
⎛
x1
x2
x3
..
.
⎜
⎟⎜
⎟⎜
⎟⎜
⎟⎜
⎟⎜
⎠⎜
⎝ xn−1
xn
⎞
⎛
b1
b2
b3
..
.
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟=⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎠ ⎝ bm−1
bm
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟,
⎟
⎟
⎠
AX = B
genoteerd. Hierin is A een matrix met m rijen en n kolommen, X een matrix met n
rijen en één kolom en B een matrix met m rijen en één kolom. We spreken kortweg
van de coëfficiëntenmatrix A, de variabelen X en het rechterlid B. Als het rechterlid
volledig uit nullen bestaat, spreken we van een homogeen stelsel.
1.2 Gauss-eliminatie, echelonvorm, rijgereduceerde vorm
De voornaamste techniek om zo’n stelsel op een doeltreffende en praktische manier op
te lossen bestaat er in het stelsel om te vormen tot een eenvoudiger type stelsel. Tijdens
dit ‘omvormen’ mag noch de oplosbaarheid, noch de oplossingsverzameling wijzigen.
We maken kennis met drie operaties die hierbij van doorslaggevend belang zijn: de
elementaire rijoperaties (ERO). Om deze operaties kort te noteren, spreken we
af om met Ri de i-de vergelijking in het stelsel voor te stellen, met andere woorden
Ri :
ai1 x1 + ai2 x2 + ai3 x3 + · · · + ain xn = bi .
I. Ri → λRi (λ �= 0). Wanneer we een eerstegraadsvergelijking uit het stelsel met
een getal verschillend van nul vermenigvuldigen, dan heeft dit hoegenaamd
geen invloed op de oplosbaarheid en/of de oplossingen ervan. We kunnen dit
uiteraard doen met elke vergelijking in een gegeven stelsel. Doen we dit met de
Lineaire algebra ISBN 9789058678799 © 2011 Universitaire Pers Leuven
15