Geen diatitel

Inleiding
Meten en Modelleren
8C120
Prof.dr.ir. Bart ter Haar Romeny
Faculteit Biomedische Technologie
Biomedische Beeld Analyse
www.bmia.bmt.tue.nl
8C120
De Meetcyclus
Control
en/of
Feedback
Object
Signaal
Meting
Analyse
Informatie
8C120
De Meetcyclus: cardiofitness
Tempo
aanpassen
Hart
Electrische
potentiaal
ECG
Fourier
analyse
Hartslag
8C120
Fourier analysis - motivation
Biologische signalen zijn vaak periodiek:
Tijd: ECG, EMG, etc.
Plaats: MR-tagged images, textuur
 Transducer reproduceert periodieke variaties in het
elektrische domein
 Het meetsysteem ontvangt periodieke signalen en
kan signalen beїnvloeden (ruis, vervorming, brom)
 Het vervormde signaal is de output van het
meetsysteem en moet gecorrigeerd worden
8C120
Fourier analysis - motivation
Voorbeeld: de pH sensor:
Meet variaties in pH in bloed of op de huid
De electrodes genereren een elektrische potentiaalverschil
(sensor)
Dit signaal wordt versterkt en ruis wordt verwijderd
(processing)
Het verwerkte signaal fungeert als output (via A/D
converter) of als basis voor verdere verwerking
8C120
Fourier analysis - motivation
Voorbeeld van een meetcyclus: pH meting
aan de huid
huid
Measurand
Sensor
Processing
Conversion
Output
8C120
Fourier analysis - motivation
“Processing unit” heeft eigenschappen die
afhankelijk zijn van de snelheid waarmee het
ingangsignaal verandert
Snelle verandering input: hoge frequenties
Langzame verandering input: lage frequenties
Transfer function:
ratio output/input, frequentie-afhankelijk!
8C120
Fourier analysis - motivation
Het is dus van belang om de frequentie van het
ingangsignaal te kennen
In het algemeen is een signaal geen eenvoudige periodieke
functie (zoals sin of cos), maar samengesteld uit
verschillende frequentie-componenten
Voorbeeld: boventonen van een muziekinstrument
Met behulp van Fourier analyse kunnen we een signaal
ontleden in frequentie-componenten
8C120
i(t)
I()
h(t)
H()
o(t)
O()
8C120
Gehoortest
8C120
Fourier analysis - motivation
1. Voorbeeld: input signaal I(t) bevat de volgende frequenties met
bijbehorende amplitude en fase:
I(t) =
5 sin(10t − ¼) + 2 sin(100t)+
8 cos(1000t) + 2 sin(10000t + ½)
Sinus
2. Signaal I(t) wordt verwerkt door een processing unit met
amplitude transfer function H (output/input)
fase transfer function P (fase shift output in relatie tot input in rad)
f < 10 Hz (=2f<20 rad/s)
H=1
P=0
10 < f < 100,
H = 0.5
P=0
100 < f < 1000,
H = 0.2
P = −½
1000 < f < 10000
H=0
P = −½
3. Gevraagd: een beschrijving van output O(t)
8C120
Fourier analysis - motivation
Eerste component is onveranderd
I1(t) = 5 sin(10t − ¼)  O1(t) = I1(t)
Tweede component: amplitude gehalveerd, phase onveranderd
I2(t) = 2 sin(100t)  O2(t) = sin(100t)
Derde component: amplitude verlaagd factor 5, phase −½
I3(t) = 8 cos(1000t) 
O3(t) = 1.6 cos(1000t − ½) = 1.6 sin(1000t)
Vierde component verdwijnt
I4(t) = 2 sin(10000t + ½)  O4(t) = 0
Resultaat:
O(t) = 5 sin(10t − ¼) + sin(100t) + 1.6 sin(1000t)
8C120
Fourier analysis - motivation
Conclusie: output verschilt van input, afhankelijk van
frequentie-componenten
Soms gewenst:
Versterking, ruisonderdrukking
Soms niet gewenst:
verzwakking van signaal
Het is belangrijk dit gedrag te kennen om het uitgangsignaal
te kunnen relateren aan het ingangsignaal
8C120
i(t)
I()
h(t)
H()
o(t)
O()
8C120
Fourier analysis - overview
Vector calculus
inproduct, norm, orthogonale vector sets
vector als lineaire combinatie van set orthogonale vectors
(basis set)
Function calculus
uitbreiding van deze concepten naar functies gedefinieerd
op interval [a,b]
Sinussen en cosinussen
vormen een orthogonale set (basis set)
Fourier series
functie als som van sinussen en cosinussen met
verschillende frequenties
8C120
Fourier analysis – vector calculus
Vectoren u en v in n-dimensionale ruimte
Definitie inproduct (u,v)
(u,v) = u1v1+u2v2+…+unvn
Definitie norm |u|
|u| = (u,u)1/2
Eigenschap
(u,v) = |u| · |v| · cos 
u

v
Voorbeeld in 2D
8C120
Fourier analysis – vector calculus
Vectoren u en v in n-dimensionale ruimte
Definitie inproduct (u,v)
(u,v) = u1v1+u2v2+…+unvn
Definitie norm |u|
|u| = (u,u)1/2
Eigenschap
(u,v) = |u| · |v| · cos 
u

v
Voorbeeld in 2D
8C120
Fourier analysis – vector calculus
Eigenschappen inproduct:
1. (u,v) = (v,u)
2. (ku,v) = k (u,v), met k een scalar
3. (u,u) = 0, als u = 0 en (u,u) > 0, als u ≠ 0
4. (u+v,w) = (u,w) + (v,w)
8C120
Fourier analysis – vector calculus
Vectoren u en v orthogonaal als (u,v) = 0
In 2-D of 3-D: vectoren u en v staan loodrecht op
elkaar: uv
Een set vectoren is orthogonaal als alle vectoren
orthogonaal t.o.v. alle andere vectoren in de set
In n-D: maximum aantal orthogonale vectoren is n;
enige overgebleven vector die orthogonaal is t.o.v.
de set is de nul vector 0
Set met n orthogonale vectoren in n-D ruimte is
complete
8C120
Fourier analysis – vector calculus
Iedere vector in n-D ruimte kan worden geschreven als een
lineaire combinatie van de vectoren in een orthogonale set:
u=c1v1 + c2v2 + …… + cnvn
Componenten c1 t/m cn kunnen worden gevonden m.b.v.
inproduct:
cn = (u,vn) / |vn|2
Hieruit volgt:
u  i1
n
(u, v i )
| vi |2
vi
8C120
Fourier analysis – function calculus
Functies f1(x) en f2(x) zijn goed gedefinieerd op het interval [a,b].
Het maak niet uit of we met tijdfuncties f(t), of plaatsfuncties
f(x) werken.
Definitie inproduct (f1,f2):
Definitie norm
|fn| = (fn,fn)½
Functies f1 en f2 zijn orthogonaal als (f1,f2) = 0.
8C120
Fourier analysis – function calculus
Eigenschappen inproduct voor functies:
1. (f1,f2) = (f2,f1)
2. (k f1,f2) = k (f1,f2), met k een scalar
3. (f,f) = 0, als f = 0 en (f,f) > 0, als f ≠ 0
4. (f1+f2,g) = (f1,g) + (f2,g)
8C120
Fourier analysis – function calculus
Een set van functies {f0,f1,f2,...} is orthogonaal op
interval [a,b] als
(fm,fn) = 0, voor m ≠ n
Een orthogonale set is compleet als de enig
overgebleven orthogonale functie de functie f(x)
= 0 is
Het aantal functies in een complete orthogonale set
is oneindig
8C120
Fourier analysis – function calculus
Stel {f0,f1,f2,...} is een complete orthogonale set van
functies op het interval [a,b]
Functie g(x) op het interval [a,b] kan dan worden
geschreven als lineaire combinatie van f0, f1, f2, ...
g(x) = c0f0(x) + c1f1(x) + c2f2(x) + ...
8C120
Fourier analysis – function calculus
g(x) = c0f0(x) + c1f1(x) + c2f2(x) + ...
Componenten c0,c1,c2,... kunnen worden gevonden m.b.v.
inproduct:
Hieruit volgt:
8C120
Fourier analysis – function calculus
De beschrijving van een functie g(x) in termen van een
complete orthogonale set functies {f0,f1,f2,...} wordt de
gegeneraliseerde Fourier serie genoemd:
Iedere goed gedefinieerde functie g(x) op het interval [a,b] kan
op deze manier worden beschreven.
8C120
Fourier analysis – sines and cosines
De set
is orthogonaal op het interval [−, ].
Met behulp van de generalized Fourier series kan iedere
goed gedefinieerde functie g(x) op het interval [−, ]
worden beschreven in termen van deze set goniometrische
functies
8C120
Fourier analysis – Fourier series
Met de set
als orthogonale basis set, geldt voor iedere goed gedefinieerde
functie g(t) op het interval [[−, ]:
8C120
Fourier analysis – Fourier series
g x
a0
k 1 ak
cos k x
l 1 bl
sin l x
met
Iedere goed gedefinieerde functie
g(x) op het interval [−, ] kan
worden beschreven in termen van
sinussen en cosinussen.
De termen kunnen (relatief)
eenvoudig worden berekend als
functie g(x) wiskundig kan worden
beschreven.
Dit is de Fourier reeks (Engels: ‘Fourier series’).
8C120
n=0
sin x
n=1
sin x+1/3 sin 3x
n=2
sin x+1/3 sin 3x
+ 1/5 sin 5x
n=3
sin x+1/3 sin 3x
+ 1/5 sin 5x
+ 1/7 sin 7x
8C120