Fourier reeks

Algoritmen voor
Medische Beeld Analyse
Prof.dr.ir. Bart ter Haar Romeny
Faculteit Biomedische Technologie
Biomedische Beeld Analyse
www.bmia.bmt.tue.nl
bmia.bmt.tue.nl/people/BRomeny
Fourier analysis
i(x)
I()
h(x)
H()
o(x)
O()
Gehoortest
Fourier analysis - overview
Vector calculus
inproduct, norm, orthogonale vector sets
vector als lineaire combinatie van set orthogonale vectors
(basis set)
Function calculus
uitbreiding van deze concepten naar functies gedefinieerd
op interval [a,b]
Sinussen en cosinussen
vormen een orthogonale set (basis set)
Fourier series
functie als som van sinussen en cosinussen met
verschillende frequenties
Fourier analysis – vector calculus
Vectoren u en v in n-dimensionale ruimte
Definitie inproduct (u,v)
(u,v) = u1v1+u2v2+…+unvn
Definitie norm |u|
|u| = (u,u)1/2
Eigenschap
(u,v) = |u| · |v| · cos 
u

v
Voorbeeld in 2D
Fourier analysis – vector calculus
Vectoren u en v in n-dimensionale ruimte
Definitie inproduct (u,v)
(u,v) = u1v1+u2v2+…+unvn
Definitie norm |u|
|u| = (u,u)1/2
Eigenschap
(u,v) = |u| · |v| · cos 
u

v
Voorbeeld in 2D
Fourier analysis – vector calculus
Eigenschappen inproduct:
1. (u,v) = (v,u)
2. (ku,v) = k (u,v), met k een scalar
3. (u,u) = 0, als u = 0 en (u,u) > 0, als u ≠ 0
4. (u+v,w) = (u,w) + (v,w)
Fourier analysis – vector calculus
Vectoren u en v orthogonaal als (u,v) = 0
In 2-D of 3-D: vectoren u en v staan loodrecht op
elkaar: uv
Een set vectoren is orthogonaal als alle vectoren
orthogonaal t.o.v. alle andere vectoren in de set
In n-D: maximum aantal orthogonale vectoren is n;
enige overgebleven vector die orthogonaal is t.o.v.
de set is de nul vector 0
Set met n orthogonale vectoren in n-D ruimte is
complete
Fourier analysis – vector calculus
Iedere vector in n-D ruimte kan worden geschreven als een
lineaire combinatie van de vectoren in een orthogonale set:
u=c1v1 + c2v2 + …… + cnvn
Componenten c1 t/m cn kunnen worden gevonden m.b.v.
inproduct:
cn = (u,vn) / |vn|2
Hieruit volgt:
u  i1
n
(u, v i )
| vi |2
vi
Fourier analysis – function calculus
Functies f1(x) en f2(x) zijn goed gedefinieerd op het interval [a,b].
Het maak niet uit of we met tijdfuncties f(t), of plaatsfuncties
f(x) werken.
Definitie inproduct (f1,f2):
Definitie norm
|fn| = (fn,fn)½
Functies f1 en f2 zijn orthogonaal als (f1,f2) = 0.
Fourier analysis – function calculus
Eigenschappen inproduct voor functies:
1. (f1,f2) = (f2,f1)
2. (k f1,f2) = k (f1,f2), met k een scalar
3. (f,f) = 0, als f = 0 en (f,f) > 0, als f ≠ 0
4. (f1+f2,g) = (f1,g) + (f2,g)
Fourier analysis – function calculus
Een set van functies {f0,f1,f2,...} is orthogonaal op
interval [a,b] als
(fm,fn) = 0, voor m ≠ n
Een orthogonale set is compleet als de enig
overgebleven orthogonale functie de functie f(x)
= 0 is
Het aantal functies in een complete orthogonale set
is oneindig
Fourier analysis – function calculus
Stel {f0,f1,f2,...} is een complete orthogonale set van
functies op het interval [a,b]
Functie g(x) op het interval [a,b] kan dan worden
geschreven als lineaire combinatie van f0, f1, f2, ...
g(x) = c0f0(x) + c1f1(x) + c2f2(x) + ...
Fourier analysis – function calculus
g(x) = c0f0(x) + c1f1(x) + c2f2(x) + ...
Componenten c0,c1,c2,... kunnen worden gevonden m.b.v.
inproduct:
Hieruit volgt:
Fourier analysis – function calculus
De beschrijving van een functie g(x) in termen van een
complete orthogonale set functies {f0,f1,f2,...} wordt de
gegeneraliseerde Fourier serie genoemd:
Iedere goed gedefinieerde functie g(x) op het interval [a,b] kan
op deze manier worden beschreven.
Fourier analysis – sines and cosines
De set
is orthogonaal op het interval [−, ].
Met behulp van de generalized Fourier series kan iedere
goed gedefinieerde functie g(x) op het interval [−, ]
worden beschreven in termen van deze set goniometrische
functies
Fourier analysis – Fourier series
Met de set
als orthogonale basis set, geldt voor iedere goed gedefinieerde
functie g(t) op het interval [[−, ]:
Fourier analysis – Fourier series
g x
a0
k 1 ak
cos k x
l 1 bl
sin l x
met
Iedere goed gedefinieerde functie
g(x) op het interval [−, ] kan
worden beschreven in termen van
sinussen en cosinussen.
De termen kunnen (relatief)
eenvoudig worden berekend als
functie g(x) wiskundig kan worden
beschreven.
Dit is de Fourier reeks (Engels: ‘Fourier series’).
n=0
sin x
n=1
sin x+1/3 sin 3x
n=2
sin x+1/3 sin 3x
+ 1/5 sin 5x
n=3
sin x+1/3 sin 3x
+ 1/5 sin 5x
+ 1/7 sin 7x