MEETKUNDE leerplan D

pla
ar
Philip Bogaert
Filip Geeurickx
Marc Muylaert
Roger Van Nieuwenhuyze
Erik Willockx
Pr
oe
leerplan D
fex
em
MEETKUNDE
M.m.v. Björn Carreyn
Cartoons
Dave Vanroye
3
ookalsvolgtformuleren:
|AB|
|CD|
=
|A'B'| |C'D'|
•
D
5 ) Bijeenevenredigheidmagje
Gelijkvormige driehoeken
inderdaaddemiddelstetermen
vanplaatsverwisselen.
pla
ar
A
B’
b
2 IndestellingvanThalesspreektmen
A’
van‘deverhoudingvanevenwijdigelijnstukken’.
1
gelijkvormige
driehoeken
Volgendetekeningmaaktduidelijkwaaromdit
1
Definities vind je op een
Y
rode achtergrond,
twee driehoeken zijn gelijkvormig als en slechts als hun overeenkomstige hoeken even groot
P zijn en
methodes staan in een
X
overeenkomstige zijden dezelfde verhouding hebben.
oranje kader.
woorden:
nietopgaatbijniet-evenwijdigelijnstukken.
in
|PQ|
|P'Q'|
Δ
A'B'C'
F
ABC a Δ|XY|
want
3
2
2 )UA De
beroemd
(
st
)
e
stelling
Eigenschappen vind je op
C’
C=W
A’ , V
B=W
B’ , U
=W
fex
em
|XY| |X'Y'|
in
≠
symbolen:
|PQ|
*
2
en
stelling
Pythagoras
=1omdat|XY|=|PQ|
|A'B'|van|A'C'|
|B'C'|
=
|AB|
|AC|
in woorden:
=
|BC|
=k
een groene achtergrond.
3
X’
Y’
P’
Q’
Geschiedenis van de
wiskunde van
en herkomst
van
In een rechthoekige driehoek is het kwadraat
de
|X'Y'|
≠1omdat|X'Y'|≠|P'Q'|
en
Voorbeeld:
schuine zijde gelijk aan de som van debegrippen.
kwadraten van de
|P'Q'|
In deze voorstelling zijn de zijden [AB] en [A'B'] overeenkomstige
rechthoekszijden.
zijden, net als [BC] en [B'C'] en ook [AC] en [A'C'].
4
We stimuleren het gebruik
Thales van Milete (Turkijeca.624v.Chr.-ca.545v.Chr.)
van wiskundesoftware
in symbolen:
2
2 GeoGebra.
2
Thales van Milete leefde van (ca.) 624 tot
zoals
+ |AB|
ΔWABC
is W
rechthoekig in A ⇒ |BC| = |AC|
W
V
U
U
B
A’
B’
C’
We(ca.)
noemen
en
,
en
,
en
overeenkomstige
hoeken.
A
C
547 v.Chr. aan de kust van Klein-Azië, dat nu
of: a2 = b25+ c2
Turkije heet. Omdat hij handelaar in oliën was, reisde
D A
C=B
Aan het einde van elke
paragraaf vind je een
beschavingen.
Z
Z
Z
samenvatting.
kenmerk
Gegeven:
Δ ABC
rechthoekig
( Z Z Z ) schaalmodellen
We zeggen ook dat Δ A'B'C' en
Δ3:ABC
zijn
van elkaar. in A
Δ ABC a Δ A'B'C'
hij veel en maakte kennis
veel niet-Europese
Wemet
bewijzen
deze stelling:
Pas op oudere leeftijd startte
hij met de studie |BC|
van 2 = |AC|2 + |AB|2
Tebewijzen:
4 projectievoorstelling volgt:
wetenschappen en filosofie.Bewijs:
Hij zorgde voor eenUit de eerste
opmerkingen:
Pr
oe
Twee driehoeken zijn gelijkvormig als de overeenkomstige zijden een evenredigheid bepalen.
B
manier verhouding
van denken tussen
en trachtte
de wiskunde te verklaren.
- nieuwe
de constante
der egelijkvormigheidsfactor
hde
o oovereenkomstige
f d s t u k 3 • d r i e hzijden
o e k s mnoemen
e t i n g i nwe
een
chthoekige driehoek
2
Erofwordt
gezegd
dat hij in staat was een zonsverduistering
voorspellen,
kortweg
factor.
|AB| =te|BC|
· |BD| waarschijnlijk deze van 585 v.
5
2
uitspraak: “Alles is|AC|
water”.
immers dat de oerstof water
= Thales
|BC| · meende
|DC|
pictogrammen
+
- uit de definitie volgt dat congruente
driehoeken
ook gelijkvormige
driehoeken
zijn. krijg je water, als
duidelijkst
faseveranderingen
ondergaat.
Als ijs smelt
2
2
TE· ONTHOUDEN
|AB|
+
|AC|
=
|BC|
|BD|
+ |BC| · |DC|
de verhouding van de overeenkomstige
is dan
1.
stoom. Dezijden
Grieken
geloofden
ook dat als je stoom ‘verder verdunt’, je lu
= |BC| · (|BD| + |DC|)
Overstaande hoeken die even groot zijn, BETEKENIS
gelijkbenige driehoeken die eve
= |BC| · |BC|
D C [BC]
Praktische afspraak:
hebben,
een diameter
die de cirkel
in twee
gelijke
verdeelt,
GESCHIEDENIS
• Je kent de betekenis van sinus, cosinus
en tangens
(de goniometrische
waarden
)2van
een delen
scherpe
hoek inhet co
=
|BC|
om
de
overeenkomstige
zijden
van
gelijkvormige
driehoeken
gemakkelijk
terug
te
vinden,
spreken
we af
een rechthoekige driehoek.
het zijn allemaal voorbeelden van eigenschappen
die aan Thales toeges
REKENMACHINE
6 ) Samenvatting
sin V
B=
hoeken zodanig
dat de hoekpunten
van de overeenkomstige hoeken in dezelfdeCvolgorde staan
b overstaande
|AC|te noteren
rechthoekszijde
|BC|
=
a
=
over de ‘stelling van Thales’ zijn er twijfels. Geschiedkundigen hebben g
ICT
schuine zijde
Algemeen:
stelling daadwerkelijk van Thales afkomstig
A is.
|A'B'| |B'C'| |A'C'|
C
|AB| c aanliggende
Als:
=
=
rechthoekszijde
In symbolen:
|AB|
|BC|
|AC|
a
= = Opmerking:
cos V
B=
b van de
Maar
handig
is die stelling wel. Hij berekende zo de hoogte
F piram
|BC| a
schuine
zijde
W
C
C’ = U
B
B’ = V
A, W
en W
Dan:
A’ = U
Δ ABC a Δ dEf
2
2
2
BV
tan
B=
UA = Vd
VB = UE
|AC|
|AB|
=
b
c
=
Uit de formule a = b + c
( met UA = 90° in Δ ABC) kunnen we afleiden:
ook de afstand tussen twee schepen mee vinden.
overstaandeerrechthoekszijde
|A'B'| |B'C'| |A'C'|
aanliggende
rechthoekszijde
Besluit:
=
=
|AB|
|BC|
|AC|
L
∆ ABC a ∆ A’B’C’
A
B
B
cB’
A
a
b
c
mideteberekenen.Hijnamdeuitdagingaanenwerktealsvolgt.
Opdelijndiehetmiddenvanéénvandezijdenmetdeschaduwvandetop(A)vandepir
plaatstehijeenpaaltje[DE]zodatdeschaduwvandetopvanditpaaltjepreciessamenv
vandetopvandepiramide.Hijmatdeafstanden|KL|,|AM|,|AD|,|DE|enberekendede
C
pla
ar
a Tekendetweegelijkvormige
driehoekenwaarmeeThales
gewerktheeft.
b Berekendehoogtevande
L
V O OR WOORD
6
16
★★
Bij sommige basis
oefeningen vind je een of
twee sterretjes. Dit duidt de
moeilijkheidsgraad aan.
piramidealsjeweetdat
|KL|=114m
|AM|=96m
|AD|=3m
en|DE|=2m.
K
M
D
6
InD ABCisPQ//BCenP∈[AB];Q∈[AC].
Bereken|PQ|en|BC|als|AP|=6cm;|PB|=3cmen|PQ|+|BC|=15cm.
=
fex
em
18
Achteraan in het boek vind
je een trefwoordenregister
en de oplossingen van de
oefeningen.
Oppervlakte-eninhoudsproblemen.
Oplossingen
a Eenfotoheefteenlengtevan12cmeneenbreedtevan8cm.Alswedezefotoophetc
inzoomentot120%,watwordtdandeomtrekendeoppervlakte?Enalsweuitzoomen
b Eenruitmetzijde6cmheefteenoppervlaktevan18cm².Dezeruitisgelijkvormigme
cm.Bepaaldeoppervlaktevandezeruit.
8
8
Constructie van een Pythagorasboom
c Eenparallellogrammetzijden6cmen4cmheefteen
Elk hoofdstuk eindigt met
een vaardigheid.
oppervlaktevan18cm²enisgelijkvormig
1.1Evenwijdigeprojectie(blz. 16)
meteenparallellogrammeteenoppervlaktevan8cm².
Berekendezijdenvanditparallellogram.2 A – B – [BA] – [BA] - {A} – [DC]
Je herinnert je misschienVnog de constructie van een Pythagorasboom. Zo’n boom krijg je door, vertrekkend
kleinstekegel
enhetvolumevandekleinstekegel.
d Bereken
a
van een vierkant,
een gelijkbenige rechthoekige
driehoek te construeren
met
depczijde van het
4 C–B–A
– Aals
– pbschuine
– pac – pcbzijde
– pca of
a
Vgrootstekegel
vierkant. Vervolgens construeer
je een vierkant op elke rechthoekszijde van de driehoek.
Op de
zijde
van het
vierkant teken je opnieuw een gelijkbenige, rechthoekige driehoek, en zo ga je nog een tijdje door.
T
13 a A
d mi[AB]
De figuur die je krijgt is eigenlijk een fractaal. Dat is een meetkundige
figuur waarin eenzelfde
motief
zich op
6cm
b [DG]
e [EB]
een kleinere schaal steeds herhaalt. In gedachten kun je dat proces
oneindig vaak voortzetten.
c dan
mi[DG]
f D ADBElk klein
takje kan immers weer opgevat worden als een stammetje dat een complete boom draagt.
g D HGF
G
F
x
x
Laten we vertrekken van een vierkant met zijde
a.
14 A(–4, 5); B(0, 3); C(3, 1);
★★
ehierop
VanderegelmatigepiramideTABCDisgegeven:
2 wordt, heeft als schuine zijde a.
H
De gelijkbenige
driehoek die
gebouwd
E
a
3
, –3), E(–5, –5), F(0, –3)
D( krijgen:
De rechthoekszijde x kunnen
weIABI=6cmenITPI=15cm.
als volgt
2 2
2
2
x2 + x2 = a2
C
B
DepiramidewordtgesnedendoorhetvlakEFGH
15 |AB| = 7; |CD| = 5; |EF| = 6; |GH| = 10; |IJ| = 4
B
9
Pr
oe
Hier wordt uitgelegd hoe
een rekenmachine je kan
helpen.
A
19
★
ISBN: 978 90 4860 925 3
Kon. Bib.: D/2011/0147/062
Bestelnr.: 94 505 0048
NUR: 126
Druk: die Keure
7
17
★
A
GegeveniseenparallellogramABCDwaarbij|AB|=4cmen|AD|=3cm.Deafstandtuss
2cm.Berekendeafstandtussendezijden[AD]en[BC].
7
Lay-out en opmaak: die Keure
E
56
P
a
x
vandeopstaandezijdengaatenevenwijdigloopt
2x2 = a2
B
D
9
16 a 6
Berekendeinhoudvanbeidedelen.
a2
b 1
x2 =
√2
2
2
c
B
5
ABCDaA'B'C'Dendegelijkvormigheidsfactoris4.
2
d
a
a
a
4
=
x=
2
2
a AlsdeomtrekvanABCDgelijkisaan20cm,watisdandeomtrekvanA'B'C'D'?
17 a (0,8)
b 33 m
2
,watisdandeoppervlaktevanA'B'C'D
b AlsdeoppervlaktevanABCDgelijkisaan60cm
Als we onze boom wat laten groeien…
Foto’s: Shutterstock, fotostock die Keure
Niets uit deze uitgave mag verveelvoudigd en/of openbaar gemaakt
We berekenen de nieuwe rechthoekszijde x.
x
worden door middel van druk, fotokopie, microfilm of op welke wijze
a 2
x2 + x2 = d n
Copyright by die Keure aBrugge
ook zonder voorafgaande schriftelijke toestemming van de uitgever.
2
1.2StellingvanThales(blz. 28)
B
2
No part of this book may be reproduced in any form by print,
a2
Verantwoordelijke uitgever: N.V. die Keure,
photoprint, microfilm or any other means without written permission
2x2 =
2
14
8
Kleine Pathoekeweg a3 - 8000 Brugge - België
from the publisher. 3
3
4
7
2
B 3
3
2
H.R. Brugge 12.225 √ 2
a
54
24
x2 =
6
4
5
9
4
5
5
B
a
10 – 3 5 3
a
2
5
2– 3
3
x=
Druk: 2011
2
2
2
Er komt opnieuw een takje bij.
15
27
4
5
9
3
a2
4
4
a
x x2 + x2 = a2k
64
40
2√ 2
8
10
6
16
B
3
3
a
a2
2x2 =
6 2– 6 6 2
2
6
2–
3
3
2
4
B
2
a
a
x2 =
4 5, 6
8
pla
ar
En jij, op je skilatten, zou niet weten hoelang
je op de schans blijft en onder welke hoek je
‘gelanceerd’ wordt.
In dit boek glijden we doorheen de meetkunde
en bestuderen er de beroemdste wiskundige
eigenschap: De stelling van Pythagoras.
O ja, de skischans is als toeristische attractie te
bezoeken ten noorden van Oslo.
Pr
oe
fex
em
Beeld je even in wat de wereld zou zijn zonder
meetkunde. Ingenieurs zouden niet kunnen
berekenen hoeveel deze betonnen constructie
kan dragen. De bouwheer van deze schans in
Noorwegen zou maar gokken hoeveel hout hij zou
nodig hebben bij het piramidevormige dak en hij
zou niet weten hoeveel gelijkvormige elementen
nodig zijn voor de balustrade.
Stelling van Pythagoras
1
1.1 Een brokje geschiedenis > 8
1.2 D
e stelling van Pythagoras: meetkundige voorstelling > 10
1.3 Een meetkundig bewijs > 11
1.4 Garfield en Pythagoras > 12
1.5 Pythagorasbomen > 13
1.6 Vierkantswortel > 14
1.7 Rationale en irrationale getallen > 15
1.8 Constructie van irrationale lengten > 16
1.9 Toepassingen op de stelling van Pythagoras > 17
1.10 T
oepassingen op de stelling van Pythagoras in
de ruimte > 20
Vaardigheden:
Een Pythagorasboom tekenen > 36
Afstand in het vlak
2
2.1 Inleiding > 40
2.2 Afstand tussen twee punten: bijzondere
gevallen > 41
2.3 Afstand tussen twee punten: algemeen > 42
Pr
oe
Vaardigheden: Driehoeken, vierhoeken en rekenen
met coördinaten > 52
4
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
Omtrek, oppervlakte en inhoud
Omtrek van een vlakke figuur > 80
Lengtematen > 81
Oppervlakte van een vlakke figuur > 81
Oppervlaktematen > 82
Inhoudsformules voor ruimtefiguren > 83
Inhoudsmaten > 84
Voorbeelden > 85
derdemachtswortel van een reëel getal > 86
fex
em
pla
ar
I n houd
3
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
Congruentie
Congruente figuren > 58
Congruente driehoeken > 60
Congruentiekenmerken voor driehoeken > 61
Bewijzen > 63
Toepassingen > 64
Vaardigheden:
Patronen ontwerpen > 77
Vaardigheden:
Werken met formules > 105
5
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
Driehoeksmeting
5.7
5.8
5.9
5.10
Driehoeksmeting > 110
Sinus van een scherpe hoek > 111
Cosinus van een scherpe hoek > 111
Tangens van een scherpe hoek > 112
V
erband tussen sinus, cosinus en tangens van
een hoek > 113
B
erekening van goniometrische getallen met de
GRM > 114
Helling en tangens > 116
Grondformule van de goniometrie > 116
Oplossen van rechthoekige driehoeken > 117
Toepassingen > 120
Vaardigheden:
Probleemoplossend denken > 136
Oplossingen
Trefwoordenregister
> 138
> 148
pla
ar
opbouw. Het is immers een voorbeeld
van een fractaal, een meetkundige
figuur die bestaat uit kleinere, ongeveer
gelijkvormige figuurtjes met veel details.
Dankzij de stelling van Pythagoras maak
je kennis met een Pythagorasboom die zal
leiden tot zo’n fractaal.
Pr
oe
fex
em
Wiskunde vind je ook in de
groentenafdeling van je plaatselijke
supermarkt. Deze Romanesco, genoemd
naar de Italiaanse omschrijving van
‘Broccoli uit Rome’ is inderdaad familie
van de broccoli en de bloemkool.
Voor je het verorbert, moet je eerst
nauwgezet kijken naar de prachtige
pla
ar
fex
em
6Omzetting breuken - kommagetallen > 22
1 Een brokje geschiedenis > 8
2De stelling van Pythagoras:
meetkundige voorstelling > 10
3 Een meetkundig bewijs > 11
4 Garfield en Pythagoras > 12
5 Pythagorasbomen > 13
6Vierkantswortel > 14
7 Rationale en irrationale getallen > 15
8 Constructie van irrationale lengten > 16
9Toepassingen op de stelling van
Pythagoras > 17
10Toepassingen op de stelling van
Pythagoras in de ruimte > 20
11Samenvatting > 23
12Oefeningen > 24
Vaardigheden
Een Pythagorasboom tekenen > 36
Pr
oe
Stelling van
Pythagoras
1
Pythagoras van Samos
pla
ar
1 ) Een brokje geschiedenis
Pythagoras werd geboren op het Griekse eiland Samos (rond 572 voor Christus). Omdat
Samos op dat moment geregeerd werd door de tiran Polycrates, hield hij het daar vlug
voor bekeken en week hij uit naar Egypte. Later belandde hij via Babylonië in Zuid-Italië,
in Croton, waar hij een 'school' stichtte. Deze school was een soort klooster waar de
voornaamste intellectuelen van die tijd samenkwamen. Ze hadden
hun eigen regels (onder andere gehoorzaamheid, stilzwijgen,
eenvoud in kleding en bezittingen), eigen geheimen,
inwijdingen en symbolen.
Het is dus te begrijpen dat de inwoners van Croton het
genootschap niet echt goed gezind waren. Er wordt zelfs
verteld dat Pythagoras de dood vond toen de bevolking, rond
500 voor Christus, het huis van een leerling en vriend van
fex
em
Pythagoras in brand stak, als protest tegen de aanwezigheid van
het geheimzinnige broederschap.
Pythagoras verdeelde de wiskunde in 4 vakken: rekenkunde, meetkunde, sterrenkunde
en … muziek! Een indeling die het meer dan 2000 jaar zou uithouden. Muziek was dus heel
belangrijk voor hem en zijn leerlingen. Ze bestudeerden de wiskundige verhoudingen tussen
klanken en ontdekten dat 2 tegelijk klinkende noten alleen een welluidende klank gaven
als de lengte van hun snaren in een bepaalde wiskundige verhouding stond, zoals 3 tot
2 (kwint) en 2 tot 1 (octaaf).
Mensen zijn altijd bouwers geweest. Duizenden jaren geleden heeft men immense piramiden en tempels gebouwd.
Eén van de eerste problemen die men moest oplossen was: hoe zetten we op het terrein een rechte hoek uit?
In de tijd van de Griekse filosoof en wiskundige Pythagoras van Samos gebruikten Egyptische landmeters
(zogenaamde harpedonaptai of touwspanners) een lang touw waar op gelijke afstanden van elkaar 13 knopen
werden in gemaakt. Het touw werd verdeeld in 3 + 4 + 5 knopen.
A
B
C
A’
Dit touw werd bij de knopen B en C vastgemaakt aan de grond. Vervolgens spant men de delen AB en CA' op en als
Pr
oe
A en A' samenvallen, dan is de hoek in B gelijk aan 90°. Men noemt dit ook een ‘Egyptische driehoek’.
C
A
A = A’
B
A’
A
5
4
A’
B
C
B
3
C
De Egyptische driehoek is een praktische toepassing van de omgekeerde stelling van Pythagoras: de som van de
kwadraten van de kortste zijden is gelijk aan het kwadraat van de langste zijde (3 2 + 4 2 = 5 2) en dus is het een
rechthoekige driehoek.
8
Er geldt
42 + 32 = 52
Inderdaad: 16 + 9 = 25
•
Stel ling van Pythagoras
pla
ar
h oo fd stuk 1
5
4
Deze beroemde stelling die de naam stelling van Pythagoras draagt, is wellicht niet
door Pythagoras zelf gevonden. In Babylonië, Egypte, Indië en zelfs China was de
stelling al langer gekend.
3
stelling van Pythagoras
In een rechthoekige driehoek is het kwadraat van de schuine zijde gelijk aan de som van de kwadraten van de
rechthoekszijden.
Een driehoek met zijden waarvan de lengten zich verhouden als
3 : 4 : 5 wordt een Egyptische driehoek genoemd. De hoek ten
opzichte van de langste zijde is recht. Er geldt: 3 2 + 4 2 = 5 2 .a
Bij een rechthoekige driehoek is de oppervlakte van het
vierkant met de schuine zijde als zijde, gelijk aan de som van de
fex
em
oppervlakten van de vierkanten met de rechthoekszijden als zijde.
3
Dit geldt ook als je op de zijden halve cirkels construeert of
gelijkzijdige driehoeken.
A
B
5
4
Deze eigenschap geldt ook als je op de zijden van de driehoek
andere gelijkvormige figuren dan vierkanten construeert.
///
//
///
B
A
C
A
//
///
A
=A
B
//
+A
B
A
C
/
C
/
/
C
///
//
B
//
Pr
oe
A
///
A∆ A = A∆ B + A∆ C
///
A
A
=A
B
+A
C
//
/
Een driehoek waarvan de zijden zich verhouden als 5 : 12 : 13 wordt een Indische driehoek genoemd. Er geldt:
C
/
/
13 2 = 5 2 + 12 2 . De hoek ten opzichte van de langste zijde is recht.
Dergelijke drietallen noemt men ook Pythagorische drietallen. Een aantal van deze getallen zijn:
  3  4  5
want
A = A∆ B + A∆ C
32 + 42 = 52 ∆ A
  5
12
13
want
5 2 + 12 2 = 13 2
  6  8
10
want
6 2 + 8 2 = 10 2
  7
24
25
want
7 2 + 24 2 = 25 2
  8
15
17
want
8 2 + 15 2 = 17 2
  9
12
15
want
9 2 + 12 2 = 15 2
10
24
26
want
10 2 + 24 2 = 26 2
…
9
pla
ar
2 ) De stelling van Pythagoras: meetkundige voorstelling
4 2 3 2 + =
↓
↓
52
↓
oppervlakte van
oppervlakte van
oppervlakte van
3
5
4
het rode
het oranje
het grootste
vierkant
vierkant
vierkant
De oppervlakte van het vierkant op de schuine zijde van een
rechthoekige driehoek is gelijk aan de som van de oppervlakten van
fex
em
de vierkanten op de twee rechthoekszijden.
stelling van Pythagoras
In woorden:
In een rechthoekige driehoek is het kwadraat van de schuine zijde gelijk aan de som van de kwadraten van de
rechthoekszijden.
In symbolen:
BC 2 = AC 2 + AB 2
of
a2 = b2 + c2
B
c
a
c
B
A
C
a
b
We illustreren met GeoGebra dat deze uitspraak steeds geldt.
Pr
oe
a
10
a
b
C
h oo fd stuk 1
Stel ling van Pythagoras
pla
ar
Opmerking:
•
Ook het omgekeerde geldt:
omgekeerde stelling van Pythagoras
Als in een driehoek het kwadraat van een zijde gelijk is aan de som van de kwadraten van de twee andere
zijden, dan is deze driehoek rechthoekig.
Voorbeelden:
= 62
Een driehoek met zijden 4 cm, 5 cm en 6 cm is niet rechthoekig want: 4 2 + 5 2 Y
immers: 16 + 25 Y
= 36
Een driehoek met zijden 16 cm, 30 cm en 34 cm is wel rechthoekig want: 16 2 + 30 2 = 34 2
immers: 256 + 900 = 1156
Een driehoek met zijden 1,8 cm; 2,4 cm en 3 cm is wel rechthoekig want: 1, 8 2 + 2, 4 2 = 3 2
fex
em
immers: 3, 24 + 5, 76 = 9
Toepassing:
Een vliegtuigmaatschappij onderzoekt of de mogelijkheid bestaat
om staanplaatsen in te richten in het vliegtuig. Men denkt er ook
aan om uitklapbare zitvlakken te voorzien. Op de schets vind je de
afmetingen terug. Staat het plankje loodrecht op de leuning?
20
12 cm
cm
16 cm
Oplossing:Er is een driehoek gevormd met zijden van 12 cm,
16 cm en 20 cm.
Omdat 12 2 + 16 2 = 20 2 is de driehoek rechthoekig.
20
12
De plank staat loodrecht op de leuning.
?
16
3 ) Een meetkundig bewijs
a
A
c
b
Pr
oe
b
B
a
a
D
b
b
a
C
AABCD = ^a + b h2 en AABCD = c 2 + 4 $ a $ b
2
2
a
b
2
Dus: ^a + b h .= c + 4 $ $
2
.B
a 2 + 2ab + b 2 .= c 2 + 2ab
.B
a 2 + b 2 .= c 2
11
pla
ar
4 ) Garfield en Pythagoras
James A. Garfield (1831 - 1881)
Waarom geen politicus als wiskundige?
De republikein James Garfield was immers de 20ste president van Amerika. Hij bracht
het van arme jongen uit de buitenwijken van Ohio tot oorlogsheld en president. Hij
amuseerde zijn vrienden door simultaan te noteren: met zijn linkerhand schreef hij
in het Latijn, terwijl zijn rechterhand in het Grieks schreef. Zijn succesverhaal kende
echter een abrupt einde toen één van zijn politieke medestanders hem doodschoot.
c
b
a
a
fex
em
b
a
c
c
b
➀
➁
➀ Construeer een rechthoekige driehoek met zijden a, b en c.
➁ Verleng c met b en construeer een congruente driehoek.
c
b
Z
c
c
X
c
a
b+c
b
=
X
+
a
a
c
Y
b
b
➂
b
Z
a
Y
➃
➂Door het construeren van 6XY@ ontstaat een trapezium met basissen c en b en als hoogte c + b.
Z y+V
Z y = 90 °
D XYZ is rechthoekig in Z omdat V
1
2
Pr
oe
➃ De oppervlakte van het trapezium:
^b + ch $ ^b + ch
2
= 2b $ c + a
2
2
2
L
2
^b + ch2 = 2bc + a
L
b 2 + 2bc + c 2 = 2bc + a 2
L
2
2
b + c = a2
De stelling van Pythagoras werd door veel andere personen bewezen zoals onder andere Bhaskara en Leonardo
Da Vinci. Zoek op het internet nog andere bewijzen van de stelling van Pythagoras.
12
h oo fd stuk 1
Stel ling van Pythagoras
pla
ar
5 ) Pythagorasbomen
•
Een Pythagorasboom verkrijg je door, vertrekkend van een vierkant, een gelijkbenige
rechthoekige driehoek te construeren, met als schuine zijde de zijde van het vierkant.
Vervolgens construeer je een vierkant op elke rechthoekszijde van de driehoek. Op de
zijden van het vierkant teken je opnieuw een gelijkbenige, rechthoekige driehoek. Ga
zo nog een tijdje door.
Je kan je Pythagorasboom ook creatief
‘aankleden’. Als je handig bent kun je er zelfss
fex
em
een 3D-versie van maken. Op pagina 38 leren
we je hoe je zo’n boom met GeoGebra kun
tekenen.
Pythagorische drietallen en de laatste stelling van Fermat
Pythagorische drietallen zijn drie natuurlijke getallen die voldoen aan de stelling van Pythagoras. Zo is 3, 4 en 5 een pythagorisch
drietal omdat 3 2 + 4 2 + 5 2. De 'primitieve pythagorische drietallen' kleiner dan 100 zijn:
3
5
8
7
20
12
9
28
5
11
60
61
13
16
63
65
15
17
33
56
65
24
25
48
55
73
21
29
13
84
85
35
37
36
77
85
40
41
39
80
89
45
53
65
72
97
Pr
oe
4
12
Bovendien krijg je een nieuw pythagorisch drietal als je een pythagorisch drietal met een natuurlijk getal vermenigvuldigt.
Voorbeelden:
3
4
5
5
12
13
20
21
29
6
8
10
10
24
26
40
42
58
60
63
87
9
12
15
15
36
39
12
16
20
20
48
52
Er blijken oneindig veel natuurlijke getallen a, b en c te bestaan die voldoen aan a 2 + b 2 = c 2.
Natuurlijke getallen vinden die aan de voorwaarde a 3 + b 3 = c 3 voldoen, blijkt echter niet zo eenvoudig te zijn. Meer zelfs: er
bestaan gewoonweg geen getallen die eraan voldoen. Er is zelfs een stelling die zegt dat er voor elk natuurlijk getal n 2 geen
oplossingen zijn voor a n + b n = c n `a, b, c C N 0j.
Dit noteerde de Franse wiskundige Pierre de Fermat rond 1637 in de kantlijn van één van zijn boeken. Een bewijs van deze
stelling heeft men bij hem echter nooit gevonden. Deze uitspraak werd bekend als 'het vermoeden van Fermat' en er werd
eeuwenlang gezocht naar een bewijs van dit vermoeden. Het is pas in 1993 dat de Engelse wiskundige Andrew Wiles, na zeven
jaar ononderbroken en hardnekkig zoeken, deze stelling heeft kunnen bewijzen.
13
pla
ar
6 ) Vierkantswortel
100 = 10 omdat 10 2 = 100
4 = 2 omdat c 2 m = 4
9
3
3
9
2
vierkantswortel
In woorden:
b is een vierkantswortel van a als en slechts als het kwadraat van b gelijk is aan a.
In symbolen:
a = b F b2 = a a en b zijn positieve reële getallen.
Opmerkingen:
• - 4 bestaat niet. Bij het berekenen met het rekentoestel verschijnt de vermelding ERROR
• ^ 9 h = 3 2 = 9
2
^ 841 h = 29 2 = 841
2
Dus: ^ a h = a
fex
em
2
Om vierkantswortels te berekenen gebruiken we een rekenmachine. We gebruiken hiervoor de toets
.
841 = 29
12, 25 = 3, 5
3 = 1, 73205080 ...
Deze laatste kunnen we niet als een breuk schrijven. We noemen
irrationaal getal. We kunnen
3 een
3 afgerond tot op 2 decimalen schrijven als 1,73.
Toepassing: Ee n z i j d e v a n e e n r e c h t h o e kige driehoek berekenen
Voorbeeld 1:
Gegeven: D ABC, W
A = 90c AC = 8, BC = 10 Gevraagd: x = AB = ? x
D ABC, W
A = 90c BC = 6, AC = 4
Gegeven: Gevraagd:
x = AC = ?
6
8
A
Pr
oe
B
C
Voorbeeld 2:
B
C
6
x
4
Oplossing:
Oplossing:
We passen de stelling van Pythagoras toe in D ABC We passen de stelling van Pythagoras toe in D ABC
AB 2 + AC 2 = BC 2
BC 2 = AB 2 + AC 2
L
L
42 + x2 = 62
x2 = 82 + 62
L
L
2
2
x = 62 - 42
x = 64 + 36
L
L
2
2
x = 36 - 16 = 20
x = 100
L
L
x = 20 = 4 $ 5 = 2 5
x = 100
L de lengte van een zijde is positief
x = 10
Antwoord: De lengte van 5BC? is 10.
14
A
Antwoord: De lengte van 5AC? is 2 5 .
h oo fd stuk 1
•
Stel ling van Pythagoras
2 = 0, 666 ...
3
pla
ar
7 ) Rationale en irrationale getallen
In deze decimale voorstelling komt een repeterend gedeelte voor, namelijk 6. Dit noemen we de periode.
4 = 0, 3636 ... Hier is de periode 36.
11
We noemen 2 en 4 rationale getallen.
3
11
2 = 1, 41421356 ...
In deze decimale voorstelling komt geen repeterend gedeelte voor, hoever we de nauwkeurigheid ook
(met computers) opdrijven.
Dit getal bevat geen periode.
7 = 2, 64575131 ...
Dit getal bevat geen periode.
We noemen
Besluit:
• 11
3
fex
em
• 0,1515…
2 , p en
• -3
4
7 irrationale getallen.
R
Q
•7
p = 3, 1415926 ...
•
• 1,2345…
•p
• 1,7
…
2
•
3
•- 7
…
• Decimale voorstellingen van rationale getallen bevatten een periode.
• Decimale voorstellingen van irrationale getallen bevatten geen periode.
• De rationale en de irrationale getallen samen noemt men de reële getallen (symbool R).
Z
] rationaal getal:
7; 11 ; - 3 ; 11 ; - 3 ; 0, 3; 0, 1515...
3
4 7
8
• reëel getal: [
] irrationaal getal:
2
;
3
;
7
;
p
\
Pr
oe
Computers kunnen heel veel decimalen weergeven van rationale en irrationale getallen:
15
E
1
D
pla
ar
8 ) Constructie van irrationale lengten
1
F
1
1
B
3
4
G
5
2
1
6
A
1
C
We passen de stelling van Pythagoras toe in volgende driehoeken
fex
em
in D ABC: BC 2 = 1 2 + 1 2 = 1 + 1 = 2
P BC = 2
in D BCD: CD 2 = 1 2 + ^ 2 h = 1 + 2 = 3
P CD = 3
2
in D DEC: EC 2 = 1 2 + ^ 3 h = 1 + 3 = 4
P EC = 4 = 2
2
Hoewel 2 , 3 , … irrationale getallen zijn, kunnen we toch nauwkeurig een lijnstuk tekenen waarvan de lengte
2 , 3 , … is.
Om nauwkeurig een lijnstuk te tekenen met lengte
29 cm construeer je een rechthoekige driehoek waarvan de
rechthoekszijden 2 cm en 5 cm zijn, want:
2
2 2 + 5 2 = 29 = ^ 29 h
5 cm
2 cm
Pr
oe
29
16
cm
9
8
7
6
5
4=2
10
11
12
3
1
2
1
1
h oo fd stuk 1
•
Stel ling van Pythagoras
Toepassing 1: D e w a s l i j n
pla
ar
9 ) Toepassingen op de stelling van Pythagoras
C
B
A
2,5 m
2m
4,5 m
9m
De palen van een waslijn staan 9 m van elkaar verwijderd en zijn zelf 2,5 m hoog. In het midden van de waslijn
wordt een mandje met wasspelden gehangen. Hierdoor rekt de draad uit en komt het diepste punt tot op 2 m van
Oplossing:
In D ABC:
fex
em
de grond. Hoe lang is de draad nu geworden?
AB = 4, 5;
AC = 2, 5 - 2 = 0, 5; W
A = 90c
We passen de stelling van Pythagoras toe in deze driehoek:
BC 2 = AB 2 + AC 2
L
2
BC = 4, 5 2 + 0, 5 2
L
BC 2 = 20, 25 + 0, 25 = 20, 5
L
BC = 20, 5 c 4, 53
Antwoord:
Pr
oe
De waslijn is 2 $ 20, 5 m of ongeveer 9,06 m lang.
17
pla
ar
Toepassing 2: D e t e n t
Bij de start van het zomerkamp van hun jeugdbeweging willen Len en Stijn hun tent optrekken.
Als je weet dat de schuin geplaatste zeilen van de tent een lengte hebben van 3,5 m en dat het grondzeil 6 m breed
fex
em
is, bereken dan de hoogte van de tent.
Het probleem begrijpen:
A
Maak een schets van het voorvlak van de tent. Duid de
gegevens erop aan. Welke lengte wordt er gezocht?
Oplossing:
Het voorvlak van de tent is een gelijkbenige driehoek. We
weten dat de hoogtelijn uit de top ook de middelloodlijn
van de basis is.
Bijgevolg: CH = HB = 3
In D ABH ^X
H = 90c h passen de stelling van Pythagoras toe
AB 2 = AH 2 + HB 2
L
3, 5 2 = AH 2 + 3 2
L
12, 25 = AH 2 + 9
L
2
AH = 12, 25 - 9 = 3, 25
L
AH = 3, 25 c 1, 80
Pr
oe
Antwoord: De tent is ongeveer 1,80 m hoog.
18
C
3,5
H
6
B
h oo fd stuk 1
Stel ling van Pythagoras
pla
ar
Toepassing 3: D e a t h r i d e
•
Bij een deathride komen twee stuntmannen Koen en Wouter na elkaar langs een kabel naar beneden.
Ilke doet volgende vaststellingen:
A
B (Wouter)
J
70 m
50 m
H
E
C (Koen)
fex
em
20 m
15 m
D
G
F
80 m
120 m
aOp welke afstand bevinden Koen en Wouter zich van elkaar op het moment dat Ilke de vaststellingen doet?
Bereken tot op 1 cm nauwkeurig.
Het probleem begrijpen:
Welke lengte moet je zoeken?
Oplossing:
H = 90c h geldt:
In D BCH ^X
In welke driehoek zul je werken?
BH = 50 m - 20 m = 30 m
HC = 80 m - 15 m = 65 m
Antwoord:
Wouter en Koen bevinden zich op 71,59 m van elkaar.
BC 2 = BH 2 + HC 2
L
2
BC = 30 2 + 65 2
L
BC 2 = 5125
L
BC = 5125 . 71, 59
Pr
oe
b Bereken de lengte van de kabelbaan tot op 1 cm nauwkeurig.
Het probleem begrijpen:
Oplossing:
Welke afstanden heb je nodig om de lengte
De totale lengte is:
van de kabelbaan te berekenen? In welke
driehoeken zal je dan werken?
Antwoord:
J = 90c h: In D ABJ ^V
AD = AB + BC + CD
AB 2 = AJ 2 + JB
= 20 2 + 15 2
= 625
2
dus: AB = 625 = 25
In D GCD ^W
G = 90c h: De totale lengte van de kabelbaan is ^25 + 71, 59 + 44, 72 h m = 141,31 m.
CD 2 = CG 2 + GD
= 20 2 + 40 2
= 400 + 1600
= 2000
2
dus: CD = 2000 . 44, 72
19
G
F
Toepassing 1: D e k u b u s
De kubus c EFGH m met een ribbe van 4 cm.
ABCD
Op 6HD@ nemen we M zodat HM = 1 cm.
Gegeven:
Gevraagd: a Bereken AM , MC en AC .
pla
ar
10 ) Toepassingen op de stelling van Pythagoras in de ruimte
b Welk soort driehoek is D AMC ?
H
E
1
M
B
C
4
A
Oplossing:
= M D 2 + AD
= 32 + 42
= 9 + 16
= 25
2
Y = 90c
stelling van Pythagoras met ADM
2
Y = 90c
stelling van Pythagoras met MDC
dus: AM = 5 cm
InD DMC : MC
2
fex
em
a InD AMD: AM
2
= DC 2 + DM
= 42 + 32
= 16 + 9
= 25
dus: MC = 5 cm
In D ACD : AC 2 = AD 2 + DC
2
Y = 90c
stelling van Pythagoras met ADC
= 42 + 42
= 16 + 16
= 32
Pr
oe
dus: AC = 32 cm
= 16 $ 2 cm
= 4 2 cm
b D AMC is gelijkbenig want AM = MC = 5 cm
20
4
D
Toepassing 2: D e b a l k
Gegeven:
•
Stel ling van Pythagoras
pla
ar
h oo fd stuk 1
In een balk c EFGH m zijn de afmetingen 10 cm, 8 cm en 6 cm.
ABCD
Gevraagd: Bereken FD .
Het probleem begrijpen:
F
Bepaal een driehoek waarvan 6FD@ een zijde is. Ga na
of je voldoende elementen hebt om in die driehoek 6FD@
te berekenen. Moet je nog op zoek naar een tweede
rechthoekige driehoek om het probleem op te lossen?
H
E
6
Oplossing:
G
B
C
8
D FDB is rechthoekig in B
FD 2 = FB 2 + DB
2
(1)
10
D
fex
em
FD 2 = 36 + DB
A
2
We berekenen nu BD in ∆ ABD .
Omdat deze driehoek rechthoekig is in A passen we de stelling van Pythagoras toe.
D ABD is rechthoekig in A
DB 2 = AB 2 + AD
2
DB 2 = 64 + 100 = 164
(2)
We vervangen (2) in (1):
FD 2 = 36 + DB
2
FD 2 = 36 + 164 = 200
FD = 200 = 10 2
Pr
oe
Antwoord: 6FD@ is 200 cm of ongeveer 14, 14 cm lang.
21
T
pla
ar
Toepassing 3: D e p i r a m i d e
TABCD is een regelmatige piramide met een vierkant als grondvlak.
De zijde van het vierkant meet 16 cm en de opstaande ribbe van de
piramide meet 22 cm. Bereken de hoogte van de piramide.
22
Gegeven:TABCD is een regelmatige piramide, ABCD is
het grondvlak DC = 16 cm;
TB = 22 cm
Gevraagd: de hoogte TH
16
B
A
16
16
H
Oplossing:
16
D
fex
em
D HTC is rechthoekig in H.
C
T
We berekenen eerst HC .
?
22
H
C
Dit doen we in vierkant ABCD.
D DHC is rechthoekig en gelijkbenig (in een vierkant staan de
A
16
B
diagonalen loodrecht op elkaar en snijden elkaar middendoor)
stelling van Pythagoras in ∆ DHC
DC 2 = DH 2 + HC 2 = 2 $ HC 2
L
2
256 = 2 $ HC
L
HC 2 = 128
L
HC = 128 = 64 $ 2 = 8 2
16
H
In D HTC :
stelling van Pythagoras in ∆ THC
TC 2 = TH 2 + HC 2
L
2
2
22 2 = TH + ^ 128 h
L
TH 2 = 22 2 - 128 = 356
L
TH = 356
Pr
oe
D
Antwoord: De hoogte is 356 cm of ongeveer 18, 87 cm .
Taak:
Bepaal met GeoGebra de hoogte van deze piramide door de situaties met passende afmetingen in het vlak te
tekenen.
• Teken het vierkant ABCD.
• Teken ∆ HTC.
• Bepaal de lengte van 6TH@.
22
C
11 )  Samenvatting
•
Stel ling van Pythagoras
pla
ar
h oo fd stuk 1
• Je kent de stelling van Pythagoras en je kunt ze meetkundig voorstellen.
In een rechthoekige driehoek is het kwadraat van de schuine zijde gelijk aan de som van de
kwadraten van de twee rechthoekszijden.
B
a
c
a
b
BC 2 = AC 2 + AB
of
2
a = b 2 + c2
C
• Je kent de omgekeerde stelling van Pythagoras
2
Als in een driehoek het kwadraat van een zijde gelijk is aan de som van de kwadraten van de twee
fex
em
andere zijden, dan is deze driehoek rechthoekig.
• Je kunt een Pythagorasboom tekenen.
• Je weet dat elk positief reëel getal een positieve en een negatieve vierkantswortel heeft.
• Je kunt de vierkantswortel van een positief getal berekenen met een rekenmachine.
•Je weet dat rationale getallen in hun decimale voorstelling een periode hebben en dat decimale getallen
zonder periode irrationale getallen genoemd worden.
•Je weet dat de rationale en de irrationale getallen samen de verzameling van de reële getallen vormen.
• Je kunt lijnstukken met irrationale lengten construeren.
Pr
oe
• Je kunt de stelling van Pythagoras toepassen in vlakke figuren en ruimtefiguren.
23
pla
ar
12 )  Oefeningen
1 Bereken met je rekenmachine tot op 2 decimalen nauwkeurig.
a
7 + 3 =
d
5 + 6 = e
1952 = f
7 + 5 = 3      2
d
7      2 3
b 3 5 = c
4325 = 2Vul in met , of = .
a
b 3 5     
4
f
10
5 3      7
fex
em
c 2 7      7 2 e 2 5     
3 Welke van volgende driehoeken MNP zijn rechthoekig? Welke hoek is recht? Kruis het passende vakje aan.
1
2
3
4
5
6
7
|MP|
|NP|
8
17
15
35
84
91
5,4
9
7,2
100
60
80
32
68
60
2,8
9,6
10
52
36
63
9
7
11
Rechthoekig
Pr
oe
8
|MN|
Niet rechthoekig
… = 90c
4 Zijn volgende getallen Pythagorische drietallen?
24
1
55
33
44
2
15
9
12
3
97
65
72
4
35
20
28
5
40
24
31
Ja
Nee
ho ofdstuk 1
•
Stel l ing van Pythagoras
a
15
b
36
16
65
c
54
d
27
45
e
75
21
72
pla
ar
5Vul aan met een getal zodat je een Pythagorisch drietal krijgt.
H
Pr
oe
fex
em
6 Construeer 6AB@ , 6CD@ en 6EF@ zodat AB = 13 cm, CD = 18 cm en EF = 5 cm.
25
pla
ar
7 Bereken x als je over de volgende gegevens beschikt. Rond je uitkomst af tot op 2 decimalen nauwkeurig.
a B
c
R
29
x
25
18
A
T
b L
x
45
K
26
7,6
H
M
Pr
oe
x
F
d
13
S
x
fex
em
C
21
5,7
G
ho ofdstuk 1
•
Stel l ing van Pythagoras
pla
ar
8 Het poppenhuis van Julie heeft onderstaande afmetingen. Bereken in cm 2 de totale oppervlakte van het dak.
52 cm
32 cm
36 cm
42 cm
fex
em
9 In een gelijkzijdige driehoek is de hoogte 9 m. Hoe lang zijn de zijden? Werk tot op 1 cm nauwkeurtig.
10 Een 8 m hoge boom is door de bliksem getroffen en is
H
geknakt. De top van de boom raakt de grond op precies
5,5 m van de stam. Op welke hoogte (op 1 cm nauwkeurig)
Pr
oe
is de boom geknakt?
27
pla
ar
11 De lengte van de diagonalen van een ruit bedragen 8 cm en 6 cm. Bereken de lengte van de zijde van de ruit.
fex
em
12 Een ladder van 4,8 m staat tegen een muur.
De voet van de ladder is 1,6 m van de muur
verwijderd. Hoe hoog rust de ladder tegen
de muur? Werk tot op 1 cm nauwkeurig.
13 De zijde van een gelijkzijdige driehoek meet 12 cm. Bereken de hoogte van die driehoek. Werk tot op 0,01 cm
Pr
oe
nauwkeurtig.
28
14 De VRT-radiomast in Grimbergen is 165 m hoog.
Stel l ing van Pythagoras
36 m onder de top is een kabel bevestigd die naar een punt op de grond loopt,
dat 40 m van de zendmast afligt.
Bereken de lengte van deze kabel.
fex
em
•
pla
ar
ho ofdstuk 1
15 Een man wil bij wijze van stunt een touw spannen tussen 2 torens, van 30 m en 42 m hoog en die 45 m van elkaar
H
staan. Hoe lang moet het touw minstens zijn?
Pr
oe
30 m
42 m
45 m
29
driehoeken.
pla
ar
16 We kunnen de stelling van Pythagoras ook toepassen in ruimtefiguren. We gaan op zoek naar rechthoekige
a Noteer de stelling van Pythagoras voor driehoek EGA.
b Noteer de stelling van Pythagoras voor driehoek ACG.
c Noteer de stelling van Pythagoras voor driehoek EIA.
d Noteer de stelling van Pythagoras voor driehoek DJH.
G
H
B
A
I
J
b
C
D
d
fex
em
17 In deze balk is M het midden van 6CD@. Bereken EM .
H
c
B
M
A
6 cm
E
D
F
G
8 cm
12 cm
18 Een keukeninstallateur wil nagaan of de muren recht tegen elkaar staan.
Vanaf het hoekpunt meet hij op beide muren 135 cm af. Nu meet hij tussen de
twee punten 1,90 m. Staan deze muren loodrecht tegen elkaar?
Pr
oe
30
C
v
E
a
v
F
m 135 cm
135 c
190 cm
H
19 Stef zwemt een 22 m brede rivier over. Aan de overkant stelt hij vast dat hij 45 m stroomafwaarts is
gedreven.
a Duid op de tekening de afmetingen aan.
b Hoeveel meter heeft Stef gezwommen?
•
Stel l ing van Pythagoras
pla
ar
ho ofdstuk 1
Een heel oude opgave, uit ongeveer 1800 voor Christus, is te vinden op een Babylonisch kleitablet
fex
em
20
(in het bezit van het British Museum te Londen).
De vertaling luidt: “Een balk met de lengte 3 stond helemaal tegen een muur aan. Hij is
weggeschoven, waarbij het boveneind 0,6 omlaag is geschoven. Hoe ver is hij beneden van de
muur weggeschoven?”
Pr
oe
21 Twee even hoge palen staan 10 meter van elkaar verwijderd. Er is een touw strak gespannen tussen de twee toppen
H
van de palen. Wanneer een koorddanser in het midden van het touw komt, is het touw 50 cm doorgezakt.
Hoeveel cm is het touw uitgerekt door het gewicht van de koorddanser?
31
Een balk waarbij M het midden is van 6FG@ .
AD = 9 cm
DC = 4 cm
GC = 3 cm
M
F
G
pla
ar
22 Gegeven:
H
E
3
B
Gevraagd:
a Bereken AC . Werk in ∆ ABC.
bBereken AG .
4
A
cBereken AM
H
fex
em
H
C
23 Bereken de lengte van de diagonaal 5AG? van een kubus met zijde 1 cm.
F
1
A
F
G
H
Pr
oe
E
14
B
C
4
A
32
G
H
E
B
6
D
C
1
1
24 Bereken de lengte van de diagonaal 5BH? van een balk met l = 6 cm; b = 4 cm en h = 14 cm.
H
D
9
D
•
Stel l ing van Pythagoras
pla
ar
ho ofdstuk 1
25 Is het mogelijk om een stok met lengte 1 meter in deze gesloten
balkvormige doos te krijgen?
50 cm
80 cm
fex
em
40 cm
26 Bereken de hoogte h van deze kegel.
12 cm
h
4 cm
27Van een piramide is het grondvlak een vierkant met zijde 6 cm en de hoogte 18 cm. Bereken de lengte van de
H
Pr
oe
opstaande zijde. Werk tot op 0,1 cm nauwkeurig.
T
D
H
A
18
6
6
B
C
33
doorsnede.
pla
ar
28 Een kubusvormig stuk hout met zijde 20 cm wordt in twee stukken gesneden. Bereken de oppervlakte van de
20
20
fex
em
29 De ruimtediagonaal van een kubus is 3. De oppervlakte van deze kubus is
a  3 b  3 3 c  18 d  36 e  54
JWO 2009, 2de ronde, probleem 26 © Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw
Pr
oe
30 Welke rechthoekige driehoek heeft een omtrek met hetzelfde maatgetal als zijn oppervlakte (bv. 7 cm en 7 cm 2)?
Een driehoek met rechthoekszijden
a  3 cm en 4 cm b  6 cm en 8 cm c  9 cm en 12 cm d  12 cm en 16 cm e  15 cm en 20 cm
JWO 2005, 2de ronde, oefening 17 © Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw
34
31 Naast de gekende piramides van
H
Cheops en Chefren staat ook de minder
indrukwekkende piramide van Mykerinos.
Het grondvlak is een vierkant met zijde
108 m en elke opstaande zijde van deze
piramide is 97 m lang.
Bereken de hoogte van deze piramide.
Werk tot op 1 cm nauwkeurig.
•
Stel l ing van Pythagoras
pla
ar
ho ofdstuk 1
fex
em
Pr
oe
35
pla
ar
Een Pythagorasboom tekenen
Teken zelf (met of zonder computer) een Pythagorasboom. Laat je creativiteit werken!
Pr
oe
fex
em
Hieronder een aantal voorbeelden
een Pythagorasboom tekenen
36
ho ofdstuk 1
•
Stel l ing van Pythagoras
vaardigheden
pla
ar
Een Pythagorasboom tekenen met GeoGebra
In GeoGebra kunnen we met macro’s werken. Macro’s zijn erg nuttig als we bepaalde handelingen meerdere
keren moeten herhalen.
Aangezien het tekenen van de Pythagorasboom uit twee verschillende meetkundige constructies bestaat, leren
we hoe we deze moeten uitvoeren.
Tekenen van een vierkant
Dit kunnen we eenvoudig via het icoontje
regelmatige veelhoek.
fex
em
Tekenen van een gelijkbenige rechthoekige driehoek
Sluit het algebravenster (hierdoor krijgen de getekende objecten geen naam mee) en verberg de assen.
Teken een willekeurig lijnstuk 6AB@.
Teken de middelloodlijn van het lijnstuk 6AB@.
Duid het midden C van 6AB@ aan.
Teken de cirkel met als middelpunt C en die gaat door A en B.
Zoek het snijpunt D van de cirkel met de getekende middelloodlijn.
Teken de driehoek ADB.
Door object tonen uit te vinken kun je de hulpconstructies onzichtbaar maken.
Zorg ervoor dat alleen de getekende driehoek blijft staan.
We maken hier nu een macro van:
• Teken met de linkermuisknop ingedrukt een rechthoek
rond de getekende driehoek.
• Klik dan op macro’s en kies voor Nieuwe macro aanmaken.
• Kies als eindobjecten alles wat er vermeld staat en voeg
er driehoek veelhoek 1 aan toe.
• Kies als beginobjecten: A en B.
• Klik dan op volgende en nadien op Beëindigen.
• Klik op Macro’s beheren en kies als naam voor de macro: gelijkbenige rechthoekige driehoek. Vergeet niet
de macro op te slaan.
Pr
oe
Tekenen van een Pythagorasboom
Teken een vierkant.
Gebruik de macro Gelijkbenige rechthoekige driehoek om op de zijde van het vierkant
bovenaan een gelijkbenige rechthoekige driehoek te construeren.
Vervolgens teken we twee vierkanten, een op elke rechthoekszijde van de getekende
rechthoekige driehoek.
Deze stappen blijf je voortdurend herhalen tot je een mooie boom krijgt.
Doe het nu zelf …
1 Maak een Pythagorasboom en wees creatief. Doe het met behulp van ICT (zoals hierboven werd beschreven)
of doe het op een mooi tekenblad.
2 Probeer ook een ‘scheve’ Pythagorasboom te maken. Je gebruikt dan niet een gelijkbenige rechthoekige
driehoek, maar wel een niet-gelijkbenige rechthoekige driehoek.
3 Creëer een 3D-Pythagorasboom. Gebruik piepschuim, karton, hout en natuurlijk een gezonde portie creativiteit. Zorg voor een originele titel en vergeet je handtekening niet te plaatsen.
een Pythagorasboom tekenen
37