MEETKUNDE leerplan ABC

leerplan ABC
fex
em
pla
ar
MEETKUNDE
Philip Bogaert
Filip Geeurickx
Marc Muylaert
Roger Van Nieuwenhuyze
Pr
oe
Erik Willockx
Cartoons
Dave Vanroye
3
ookalsvolgtformuleren:
|AB|
|CD|
=
|A'B'| |C'D'|
•
D
5 ) Bijeenevenredigheidmagje
Gelijkvormige driehoeken
inderdaaddemiddelstetermen
vanplaatsverwisselen.
fex
em
pla
ar
A
B’
b
2 IndestellingvanThalesspreektmen
A’
van‘deverhoudingvanevenwijdigelijnstukken’.
1
gelijkvormige
driehoeken
Volgendetekeningmaaktduidelijkwaaromdit
1
Definities vind je op een
Y
rode achtergrond,
twee driehoeken zijn gelijkvormig als en slechts als hun overeenkomstige hoeken even groot
P zijn en
methodes staan in een
X
overeenkomstige zijden dezelfde verhouding hebben.
oranje kader.
woorden:
nietopgaatbijniet-evenwijdigelijnstukken.
in
|XY| |X'Y'|
in
≠
symbolen:
|PQ|
|P'Q'|
Δ
A'B'C'
F
ABC a Δ|XY|
want
3
|PQ|
2
2 )UA De
beroemd
(
st
)
e
stelling
Eigenschappen vind je op
C’
C=W
A’ , V
B=W
B’ , U
=W
*
2
en
stelling
Pythagoras
=1omdat|XY|=|PQ|
|A'B'|van|A'C'|
|B'C'|
=
|AB|
|AC|
in woorden:
=
|BC|
een groene achtergrond.
3
=k
X’
Y’
P’
Q’
Geschiedenis van de
wiskunde van
en herkomst
van
In een rechthoekige driehoek is het kwadraat
de
|X'Y'|
≠1omdat|X'Y'|≠|P'Q'|
en
Voorbeeld:
schuine zijde gelijk aan de som van debegrippen.
kwadraten van de
|P'Q'|
In deze voorstelling zijn de zijden [AB] en [A'B'] overeenkomstige
rechthoekszijden.
4
zijden, net als [BC] en [B'C'] en ook [AC] en [A'C'].
We stimuleren het gebruik
Thales van Milete (Turkijeca.624v.Chr.-ca.545v.Chr.)
van wiskundesoftware
in symbolen:
2
2 GeoGebra.
2
Thales van Milete leefde van (ca.) 624 tot
zoals
+ |AB|
ΔWABC
is W
rechthoekig in A ⇒ |BC| = |AC|
W
V
U
U
B
A’
B’
C’
We(ca.)
noemen
en
,
en
,
en
overeenkomstige
hoeken.
A
C
547 v.Chr. aan de kust van Klein-Azië, dat nu
of: a2 = b25+ c2
Turkije heet. Omdat hij handelaar in oliën was, reisde
D A
C=B
Aan het einde van elke
paragraaf vind je een
beschavingen.
Z
Z
Z
samenvatting.
kenmerk
Gegeven:
Δ ABC
rechthoekig
( Z Z Z ) schaalmodellen
We zeggen ook dat Δ A'B'C' en
Δ3:ABC
zijn
van elkaar. in A
Δ ABC a Δ A'B'C'
hij veel en maakte kennis
veel niet-Europese
Wemet
bewijzen
deze stelling:
Pas op oudere leeftijd startte
hij met de studie |BC|
van 2 = |AC|2 + |AB|2
Tebewijzen:
4 projectievoorstelling volgt:
wetenschappen en filosofie.Bewijs:
Hij zorgde voor eenUit de eerste
opmerkingen:
oe
Twee driehoeken zijn gelijkvormig als de overeenkomstige zijden een evenredigheid bepalen.
B
manier verhouding
van denken tussen
en trachtte
de wiskunde te verklaren.
- nieuwe
de constante
der egelijkvormigheidsfactor
hde
o oovereenkomstige
f d s t u k 3 • d r i e hzijden
o e k s mnoemen
e t i n g i nwe
een
chthoekige driehoek
2
Erofwordt
gezegd
dat hij in staat was een zonsverduistering
voorspellen,
kortweg
factor.
|AB| =te|BC|
· |BD| waarschijnlijk deze van 585 v.
6 ) Samenvatting
Pr
5
2
uitspraak: “Alles is|AC|
water”.
immers dat de oerstof water
= Thales
|BC| · meende
|DC|
pictogrammen
+
- uit de definitie volgt dat congruente
driehoeken
ook gelijkvormige
driehoeken
zijn. krijg je water, als
duidelijkst
faseveranderingen
ondergaat.
Als ijs smelt
2
2
TE· ONTHOUDEN
|AB|
+
|AC|
=
|BC|
|BD|
+ |BC| · |DC|
de verhouding van de overeenkomstige
is dan
1.
stoom. Dezijden
Grieken
geloofden
ook dat als je stoom ‘verder verdunt’, je lu
= |BC| · (|BD| + |DC|)
Overstaande hoeken die even groot zijn, BETEKENIS
gelijkbenige driehoeken die eve
= |BC| · |BC|
D C [BC]
Praktische afspraak:
hebben,
een diameter
die de cirkel
in twee
gelijke
verdeelt,
GESCHIEDENIS
• Je kent de betekenis van sinus, cosinus
en tangens
(de goniometrische
waarden
)2van
een delen
scherpe
hoek inhet co
=
|BC|
om
de
overeenkomstige
zijden
van
gelijkvormige
driehoeken
gemakkelijk
terug
te
vinden,
spreken
we af
een rechthoekige driehoek.
het zijn allemaal voorbeelden van eigenschappen
die aan Thales toeges
REKENMACHINE
sin V
B=
hoeken zodanig
dat de hoekpunten
van de overeenkomstige hoeken in dezelfdeCvolgorde staan
b overstaande
|AC|te noteren
rechthoekszijde
|BC|
=
a
=
over de ‘stelling van Thales’ zijn er twijfels. Geschiedkundigen hebben g
ICT
schuine zijde
Algemeen:
stelling daadwerkelijk van Thales afkomstig
A is.
|A'B'| |B'C'| |A'C'|
C
|AB| c aanliggende
Als:
=
=
rechthoekszijde
In symbolen:
|AB|
|BC|
|AC|
a
= = Opmerking:
cos V
B=
b van de
Maar
handig
is die stelling wel. Hij berekende zo de hoogte
F piram
|BC| a
schuine
zijde
W
C
C’ = U
B
B’ = V
A, W
en W
Dan:
A’ = U
Δ ABC a Δ dEf
2
2
2
BV
tan
B=
UA = Vd
VB = UE
|AC|
|AB|
=
b
c
=
Uit de formule a = b + c
( met UA = 90° in Δ ABC) kunnen we afleiden:
ook de afstand tussen twee schepen mee vinden.
overstaandeerrechthoekszijde
|A'B'| |B'C'| |A'C'|
aanliggende
rechthoekszijde
Besluit:
=
=
|AB|
|BC|
|AC|
L
∆ ABC a ∆ A’B’C’
A
B
B
cB’
A
a
b
c
mideteberekenen.Hijnamdeuitdagingaanenwerktealsvolgt.
Opdelijndiehetmiddenvanéénvandezijdenmetdeschaduwvandetop(A)vandepir
plaatstehijeenpaaltje[DE]zodatdeschaduwvandetopvanditpaaltjepreciessamenv
vandetopvandepiramide.Hijmatdeafstanden|KL|,|AM|,|AD|,|DE|enberekendede
C
a Tekendetweegelijkvormige
driehoekenwaarmeeThales
gewerktheeft.
fex
em
pla
ar
b Berekendehoogtevande
L
V O OR WOORD
6
16
★★
Bij sommige basis
oefeningen vind je een of
twee sterretjes. Dit duidt de
moeilijkheidsgraad aan.
piramidealsjeweetdat
|KL|=114m
|AM|=96m
|AD|=3m
en|DE|=2m.
K
M
E
D
6
GegeveniseenparallellogramABCDwaarbij|AB|=4cmen|AD|=3cm.Deafstandtuss
7
2cm.Berekendeafstandtussendezijden[AD]en[BC].
17
InD ABCisPQ//BCenP∈[AB];Q∈[AC].
Bereken|PQ|en|BC|als|AP|=6cm;|PB|=3cmen|PQ|+|BC|=15cm.
18
Oppervlakte-eninhoudsproblemen.
★
7
Achteraan in het boek vind
je een trefwoordenregister
en de oplossingen van de
oefeningen.
A
=
Oplossingen
a Eenfotoheefteenlengtevan12cmeneenbreedtevan8cm.Alswedezefotoophetc
inzoomentot120%,watwordtdandeomtrekendeoppervlakte?Enalsweuitzoomen
b Eenruitmetzijde6cmheefteenoppervlaktevan18cm².Dezeruitisgelijkvormigme
cm.Bepaaldeoppervlaktevandezeruit.
8
8
Constructie van een Pythagorasboom
c Eenparallellogrammetzijden6cmen4cmheefteen
Elk hoofdstuk eindigt met
een vaardigheid.
oppervlaktevan18cm²enisgelijkvormig
1.1Evenwijdigeprojectie(blz. 16)
meteenparallellogrammeteenoppervlaktevan8cm².
Berekendezijdenvanditparallellogram.2 A – B – [BA] – [BA] - {A} – [DC]
Je herinnert je misschienVnog de constructie van een Pythagorasboom. Zo’n boom krijg je door, vertrekkend
kleinstekegel
enhetvolumevandekleinstekegel.
d Bereken
a
van een vierkant,
een gelijkbenige rechthoekige
driehoek te construeren
met
depczijde van het
4 C–B–A
– Aals
– pbschuine
– pac – pcbzijde
– pca of
a
Vgrootstekegel
vierkant. Vervolgens construeer
je een vierkant op elke rechthoekszijde van de driehoek.
Op de
zijde
van het
vierkant teken je opnieuw een gelijkbenige, rechthoekige driehoek, en zo ga je nog een tijdje door.
T
13 a A
d mi[AB]
De figuur die je krijgt is eigenlijk een fractaal. Dat is een meetkundige
figuur waarin eenzelfde
motief
zich op
6cm
b [DG]
e [EB]
een kleinere schaal steeds herhaalt. In gedachten kun je dat proces
oneindig vaak voortzetten.
c dan
mi[DG]
f D ADBElk klein
takje kan immers weer opgevat worden als een stammetje dat een complete boom draagt.
g D HGF
G
F
x
x
Laten we vertrekken van een vierkant met zijde
a.
14 A(–4, 5); B(0, 3); C(3, 1);
★★
ehierop
VanderegelmatigepiramideTABCDisgegeven:
2 wordt, heeft als schuine zijde a.
H
De gelijkbenige
driehoek die
gebouwd
E
a
3
, –3), E(–5, –5), F(0, –3)
D( krijgen:
De rechthoekszijde x kunnen
weIABI=6cmenITPI=15cm.
als volgt
2 2
2
2
x2 + x2 = a2
C
B
DepiramidewordtgesnedendoorhetvlakEFGH
15 |AB| = 7; |CD| = 5; |EF| = 6; |GH| = 10; |IJ| = 4
B
9
Hier wordt uitgelegd hoe
een rekenmachine je kan
helpen.
oe
9
A
19
★
ISBN: 978 90 4860 923 9
Pr
Kon. Bib.: D/2011/0147/391
Bestelnr.: 94 505 0047
NUR: 126
Lay-out en opmaak: die Keure
Druk: die Keure
56
P
a
x
vandeopstaandezijdengaatenevenwijdigloopt
2x2 = a2
B
D
16 a 6
Berekendeinhoudvanbeidedelen.
a2
b 1
x2 =
√2
2
2
c
B
5
ABCDaA'B'C'Dendegelijkvormigheidsfactoris4.
2
d
a
a
a
4
=
x=
2
2
a AlsdeomtrekvanABCDgelijkisaan20cm,watisdandeomtrekvanA'B'C'D'?
17 a (0,8)
b 33 m
2
,watisdandeoppervlaktevanA'B'C'D
b AlsdeoppervlaktevanABCDgelijkisaan60cm
Als we onze boom wat laten groeien…
Foto’s: Shutterstock, fotostock die Keure
Niets uit deze uitgave mag verveelvoudigd en/of openbaar gemaakt
We berekenen de nieuwe rechthoekszijde x.
x
worden door middel van druk, fotokopie, microfilm of op welke wijze
a 2
x2 + x2 = d n
Copyright by die Keure aBrugge
ook zonder voorafgaande schriftelijke toestemming van de uitgever.
2
1.2StellingvanThales(blz. 28)
B
2
No part of this book may be reproduced in any form by print,
a2
Verantwoordelijke uitgever: N.V. die Keure,
photoprint, microfilm or any other means without written permission
2x2 =
2
14
8
Kleine Pathoekeweg a3 - 8000 Brugge - België
from the publisher. 3
3
4
7
2
B 3
3
2
H.R. Brugge 12.225 √ 2
a
54
24
x2 =
6
4
5
9
4
5
5
B
a
10 – 3 5 3
a
2
5
2– 3
3
x=
Druk: 2011
2
2
2
Er komt opnieuw een takje bij.
15
27
4
5
9
3
a2
4
4
a
x x2 + x2 = a2k
64
40
2√ 2
8
10
6
16
B
3
3
a
a2
2x2 =
6 2– 6 6 2
2
6
2–
3
3
2
4
B
2
a
a
x2 =
4 5, 6
8
En jij, op je skilatten, zou niet weten hoelang
je op de schans blijft en onder welke hoek je
‘gelanceerd’ wordt.
In dit boek glijden we doorheen de meetkunde
en bestuderen er de beroemdste wiskundige
eigenschap: De stelling van Pythagoras.
O ja, de skischans is als toeristische attractie te
bezoeken ten noorden van Oslo.
Pr
oe
fex
em
pla
ar
Beeld je even in wat de wereld zou zijn zonder
meetkunde. Ingenieurs zouden niet kunnen
berekenen hoeveel deze betonnen constructie
kan dragen. De bouwheer van deze schans in
Noorwegen zou maar gokken hoeveel hout hij zou
nodig hebben bij het piramidevormige dak en hij
zou niet weten hoeveel gelijkvormige elementen
nodig zijn voor de balustrade.
fex
em
pla
ar
I n houd
Thales en gelijkvormigheden
1
1.1 Evenwijdige projectie > 8
1.2 Gelijkvormigheden > 29
1.3 De stelling van Thales > 59
Vaardigheden
Kies een oplossingsmethode > 78
Goniometrie
3
3.1 Goniometrische waarden van een hoek > 124
3.2 Formules uit de goniometrie > 132
Vaardigheden:
V
akoverschrijdende vaardigheid: wiskunde en
aardrijkskunde > 150
Vectoren
4
4.1 Vectoren > 154
4.2 Vectoren en coördinaten > 175
Synthese oefening
Oplossingen
Pr
Vaardigheden
Constructie van een Pythagorasboom > 120
oe
Stelling van Pythagoras
2
2.1 M
etrische betrekkingen in een rechthoekige
driehoek > 82
2.2 Stelling van Pythagoras > 85
> 188
> 139
Trefwoordenregister
> 143
fex
em
pla
ar
De ultieme filmervaring vind je niet in een
dat je de lamp vanuit het ISS (internationaal
gewone bioscoop, maar wel in een IMAX theater.
ruimtestation) zou kunnen zien.
Dit theater heeft een gigantisch scherm en je
Door de hitte die de lamp veroorzaakt, moet ze
kunt er ook naar 3D-films gaan kijken. Sommige
continu met water gekoeld worden. De sterkte is
IMAX zalen zijn (half) bolvormig. Helaas moet je
15 000 watt, en per seconde stuurt de projector
voor IMAX naar onze buurlanden.
48 beeldjes naar het grote scherm.
Pr
oe
De lichtsterkte van de projectorlamp is zo groot,
fex
em
pla
ar
6Omzetting breuken - kommagetallen > 22
1
Evenwijdige projectie
1.1
1 Inleiding8
2 Beeld van een punt > 9
3 Beeld van een lijnstuk > 10
4 Beeld van een rechte > 11
5 Beeld van een vlakke figuur > 12
6 Loodrechte projectie > 12
7Lengte van een lijnstuk evenwijdig aan de
x-as of de y-as > 13
8 Loodrechte projectie op een vlak > 14
9 Europese projectie > 15
10Samenvatting > 17
11Oefeningen > 18
Gelijkvormigheden
oe
1.2
1 Gelijkvormige figuren > 29
2Lengten berekenen in gelijkvormige vlakke
figuren > 30
3 Gelijkvormige ruimtefiguren > 31
4Omtrek, oppervlakte en inhoud van
gelijkvormige figuren > 32
5 Gelijkvormige driehoeken > 33
6Gelijkvormigheidskenmerken van
driehoeken > 34
Pr
Thales en
gelijkvormigheden
7Gelijkvormige figuren bepaald door
snijvlakken in een driedimensionale
figuur > 37
8 Toepassingen van gelijkvormigheden > 38
9 Middenparallel van een driehoek > 40
10Eigenschap van het zwaartepunt van een
driehoek > 42
11Samenvatting > 43
12Oefeningen > 44
De stelling van Thales
1.3
1 De stelling van Thales > 59
2Bijzondere gevallen van de stelling van
Thales > 61
3 De omgekeerde stelling van Thales > 62
4Toepassingen op de stelling van
Thales > 63
5Samenvatting > 66
6Oefeningen > 67
Vaardigheden
Kies een oplossingsmethode > 78
Evenwijdige projectie
fex
em
pla
ar
1.1
1 ) Inleiding
Je maakte reeds kennis met een aantal transformaties van het vlak. Bij een spiegeling, verschuiving, draaiing en
puntspiegeling heeft elk element juist één beeld. Het zijn transformaties van het vlak die bovendien de grootte van
oe
een hoek, de lengte, de oppervlakte en de vorm van een figuur behouden.
Deze drie voorbeelden
illustreren hoe je van
een voorwerp een
Pr
beeld kan maken.
De voorwerpen worden geprojecteerd. Telkens heb je een aantal elementen nodig:
een voorwerp dat geprojecteerd wordt,
de richting volgens welke je projecteert en
het vlak waarop je projecteert.
Ook in de vlakke meetkunde kunnen we punten, rechten en vlakke figuren projecteren.
8
ho ofdstuk 1
•
Thales en gel ij k vormigheden
fex
em
pla
ar
2 ) Beeld van een punt
We beschouwen in het vlak twee
b
snijdende rechten a en b en
een punt X.
X
We zoeken het beeld X’ van X door
a
X te projecteren op a volgens b.
Ga als volgt te werk:
Teken door X de rechte b’ die evenwijdig
is met b.
b
b’
Zoek het snijpunt van b’ met a en noem dit
snijpunt X’.
X
We noemen a de projectieas en b de projectierichting.
Notatie:
p ba ]Xg = X’
Lees:
X’
a
X’ is het beeld van X door de evenwijdige projectie op a volgens b.
Nog meer voorbeelden:
p ba ^B h = B’ = B
p ba ^Ch = C’
p ba ^D h = D’
X C a lees:
X is een element van de
rechte av
betekenis:
X ligt op de rechte a
b
C
D
p ba ^Eh = E’ = E
D’
A
E = E’
C’
F’
A’
F
We stellen vast:
a snijdt b
a
XY
C a lees:
X is geen element van de
rechte a
betekenis:
X ligt niet op de rechte a
XCa
oe
XY
Ca
a snijdt b
B = B’
p ba ^X h = X’ F XX’ ' b en X’ C a
p ba ^X h = X
Opmerkingen:
-Elk punt X heeft steeds maar één beeld, want door X kan je maar één evenwijdige tekenen met b die a
noodzakelijk snijdt omdat a en b ook elkaar snijden. Daarom is een evenwijdige projectie een transformatie van
Pr
het vlak.
-Schaduwvorming is een mooi voorbeeld van
evenwijdige projectie in de ruimte.
9
fex
em
pla
ar
3 ) Beeld van een lijnstuk
Nu we punten kunnen projecteren, kunnen we ook lijnstukken en vlakke figuren
projecteren.
Om het beeld te zoeken van een lijnstuk door evenwijdige projectie, volstaat het
om de uiterste punten van het lijnstuk te projecteren.
b
B
G
F
H
A
G’
H’
A’
E
B’
p ba ^6GH@h = 6G’H’@
a
D’ E’ = F’
C’
C
6CD@ ' a en 6EF@ ' b
D
p ba ^6AB@h = 6A’B’@ p ba ^6CD@h = 6C’D’@
p ba ^6EF@h = " E’ ,
b
Onderzoeksopdracht 1:
• Meet 6AB@ en 6A’B’@ . Meet ook 6CD@ en 6C’D’@.
B
A
C
D
• Is 6AB@ = 6A’B’@?
• Is 6CD@ = 6C’D’@?
Behoudt de evenwijdige projectie de lengte van een lijnstuk?
A’
Onderzoeksopdracht 2:
Gegeven: B’
C’
D’
b
oe
AB ' CD
AB = CD
p ba ^6AB@h = 6A’B’@
p ba ^6CD@h = 6C’D’@
B
D
A
C
Gevraagd:
Pr
• Wat kun je besluiten over A’B’ en C’D’ ?
A’
B’
Vaststelling:
C’
We stellen vast dat in dit geval de beelden van 6AB@ en 6CD@ eveneens dezelfde lengte hebben.
De evenwijdige projectie behoudt de gelijkheid van evenwijdige lijnstukken.
10
D’
a
a
•
Thales en gel ij k vormigheden
fex
em
pla
ar
ho ofdstuk 1
0 031102 880582
gevolg
Als evenwijdige rechten van een snijlijn gelijke lijnstukken afsnijden, dan snijden ze ook gelijke
lijnstukken af van elke andere snijlijn.
D
B
AB = CD
L
A’B’ = C’D’
L
A"B" = C"D"
C
A
A’
B’
C’
D’
A’’
B’’
C’’
D’’
4 ) Beeld van een rechte
Beschouw de projectie p ba en de (te projecteren) rechte d.
We onderscheiden voor de ligging van d twee gevallen.
oe
d(b
d'b
b
d
C
b
d
A
D
C’
A’
Pr
a
D’
B
E’
X
E
In dit geval is het beeld van een rechte een rechte,
namelijk de projectieas.
a
In dit geval geldt: p ba ^d h = " X ,
p ba ^d h = a
11
fex
em
pla
ar
5 ) Beeld van een vlakke figuur
Om het beeld van een vlakke figuur te bepalen, volstaat het om de ‘uiterste punten’ van de figuur te projecteren.
A
b
P
Q
c
O
C
T
B
S
A’
U
C’
R
a
S’
Q’
T’
U’
Onderzoeksopdrachten:
• Wat is het beeld van Δ ABC?
• Wat is het beeld van de cirkel c?
• Bewaart een evenwijdige projectie de vorm van een figuur?
• Bewaart een evenwijdige projectie de grootte van een hoek?
• Bewaart een evenwijdige projectie de oppervlakte van een figuur? Verklaar.
Besluit:
Het beeld van een vlakke figuur is steeds een lijnstuk.
6 ) Loodrechte projectie
De loodrechte projectie is de projectie waarbij de projectierichting loodrecht staat op de projectieas.
b
P
A
oe
B
A’
B’
Q
S
F
G
R
S’
a
Q’
F’
Pr
C
Notatie:
p =a ^ΔABCh = 6A’B’@ p =a ^PQRSh = 6S’Q’@ p =a ^ΔABCh = 6A’B’@ lees je als:
p =a ^H h = 6F’G’@
Het beeld van Δ ABC door de loodrechte projectie op de rechte a is 6A’B’@.
12
G’
ho ofdstuk 1
•
Thales en gel ij k vormigheden
fex
em
pla
ar
7 ) Lengte van een lijnstuk evenwijdig aan de x-as of de y-as
Vorig jaar heb je geleerd dat je punten kunt voorstellen met coördinaten in een cartesiaans assenstelsel.
y
A(xA, yA)
y
yA
B(−5, 2)
1
0
xA
1
A(6, 4)
4
2
x
-8
-6
-4
0
-2
-2
x
0
2
4
6
y
A(6, 4)
4
C(−2, −3)
-4
B(−5, 2)
8
2
y
x
0
8
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
- het eerste coördinaatgetal de abscis is van de loodrechte projectie van het punt A op de x-as.
6
- het tweede coördinaatgetal de abscis is van de loodrechte
projectie van het punt A op de y-as.
-2
Zo is ook co ^B h = ^- 5, 2 h en co ^Ch = ^- 2, - 3 h
A(6, 4)
4 B(1, 4)
C(−12, 3)
D(−7, 3) CF((−2,
−3,−3
3))
F’
Met behulp van coördinaten kunnen we ook lengten van-4
2lijnstukken bepalen. We weten dat de loodrechte projectie
de afstand bewaart als het lijnstuk evenwijdig is aan de projectieas.
x
A’
C’
D’
0 B’
−14 −12 −10 −8 −6 −4 −2
0y 2
4
6
8
10 12 14
−2
8
co ^A h = ^6, 4 h omdat
−4
6
E’
E(−3, −5) −6
4 B(1, 4)
D(−7, 3)
F(−3, 3)
F’
2
C(−12, 3)
−8
D’
−6
oe
C’
−14 −12 −10
−4
−2
0 B’
0
2
−2
A(6, 4)
4
A’
6
x
8
10
12
14
−4
E(−3, −5) −6
E’
We kunnen de afstanden nu bepalen.
AB = A’B’ = 6 - 1 = 5
CD = C’D’ = - 12 - ^- 7 h = 5
EF = E’F’ = - 5 - 3 = 8
Pr
Besluit:
AB = xB - xA
als
AB ' x-as
AB = yB - yA
als
AB ' y-as
met
co ^A h = ` xA, yA j en co ^B h = ` xB, yB j
13
fex
em
pla
ar
8 ) Loodrechte projectie op een vlak
Bij de projectie op een vlak spreken we af dat we steeds loodrecht projecteren. Het vlak a waarop we projecteren
noemen we het projectievlak.
A
Zo is p a= ^A h = A’; p =a ^B h = B’; p =a ^Ch = C’
A' is de loodrechte projectie van A op α
C = C’
B' is de loodrechte projectie van B op α
A’
C' is de loodrechte projectie van C op α
B’
α noemt met het projectievlak
B
Op een vlak kunnen we niet enkel punten, lijnstukken, rechten, vlakke figuren … projecteren, maar ook
ruimtefiguren.
Om een figuur loodrecht te projecteren op een vlak, projecteren we elk punt van de figuur loodrecht op dit vlak.
Voorbeeld:
Hieronder zie je de loodrechte projectie van een kegel en een balk, waarvan het grondvlak telkens evenwijdig is
met het projectievlak.
F
T
E
G
H
B
C
D
A
C’
B’
T’
D’
oe
A’
Griekse letters
In Griekenland (en Cyprus) zie je ze nog steeds: Griekse letters. Ze zijn met 24 en worden soms in wiskunde gebruikt om een
Pr
hoek aan te duiden. Ook een vlak (denk maar aan het vlak p) krijgt meestal een Grieks letter.
A
B
Γ
D
E
Z
14
a
b
γ
d
e
z
alfa
bèta
gamma
delta
epsilon
zèta
H
Θ
I
K
L
M
h
θ
i
k
l
m
èta
thèta
iota
kappa
lambda
mu
N
Ξ
O
P
Ρ
S
n
ξ
o
p
ρ
s
nu
xi
omikron
pi
rho
sigma
T
Υ
Φ
Χ
Ψ
Ω
t
υ
φ
χ
ψ
ω
tau
ypsilon
phi
chi
psi
omega
ho ofdstuk 1
9 ) Europese projectie
•
Thales en gel ij k vormigheden
fex
em
pla
ar
VV
VA
Of projectie in vooraanzicht, linkerzijaanzicht en bovenaanzicht.
ZV
We projecteren het lichaam op drie vlakken die loodrecht op elkaar
LA
staan: het voorvlak VV, het zijvlak ZV en het horizontale vlak HV.
We krijgen zo drie projecties - vooraanzicht VA
- linkerzijaanzicht LA
- bovenaanzicht BA.
BA
HV
Plooien we nu de drie vlakken zo, dat ze samen in één en hetzelfde vlak komen, dan hebben we de drie aanzichten
van het lichaam naast elkaar.
ZV
VV
ZV
VV
ZV
VA
VA
ZV
ZV
LA
LA
BA
HV
HV
HV
HV
BA
HV
Omwille van afspraken met andere vakken en
toepassingsgebieden (en ook het gemak bij het meten),
ZV
VV
wordt meestal vanuit isometrisch perspectief
VA
oe
overgegaan naar de projectieaanzichten.
VV
VA
LA
ZV
Pr
LA
BA
HV
BA
HV
15
Met bepaalde softwarepakketten zoals geocadabra kun je kubushuisjes (blokkendoos) tekenen en tevens het voor-,
Pr
oe
fex
em
pla
ar
zij- en bovenaanzicht bepalen.
16
ho ofdstuk 1
•
Thales en gel ij k vormigheden
fex
em
pla
ar
10 ) Samenvatting
• Je kunt het beeld van een figuur bepalen door evenwijdige projectie op een projectieas volgens een
projectierichting.
b
C
c
A
E
B
H
O
F
G
D
B’
A’
Notatie:
p ba ^A h = A’
D’
E’
p ba = ] c g = 6E’F’@
p ba ^ΔBCD h = 6B’D’@
G’ = H’
F’
a
p ba ^HG h = " G’ ,
• Je weet dat een evenwijdige projectie de gelijkheid van evenwijdige lijnstukken behoudt.
Gevolg:
Als evenwijdige rechten van een snijlijn gelijke lijnstukken afsnijden, dan snijden ze ook even lange
lijnstukken af van elke andere snijlijn
D
a
C
B
A
A’
B’
C’
AB = CD
L
A’B’ = C’D’
L
A"B" = C"D"
D’
A’’
B’’
C’’
D’’
• Je weet dat bij de loodrechte projectie de projectierichting loodrecht staat op de projectieas.
b
P
oe
A
B
A’
Notatie:
S
F
G
R
S’
a
Q’
F’
G’
C
p =a ^ΔABCh = 6A’B’@
Pr
B’
Q
p =a ^PQRSh = 6S’Q’@
p =a ^H h = 6F’G’@
• Je kunt vlakke figuren en ruimtefiguren loodrecht projecteren op een vlak.
• Je kunt de lengte van een lijnstuk 6AB@ bepalen als het lijnstuk evenwijdig is met de x-as of de y-as.
AB = xB - xA
als
AB ' x-as
AB = yB - yA
als
AB ' y-as
met
co ^A h = ` xA, yA j en co ^B h = ` xB, yB j
17
fex
em
pla
ar
11 ) Oefeningen
1 Projecteer de punten A, B, C en D op a volgens b.
b
D
A
B
a
C
2 Projecteer de punten M, N, P en Q op b volgens a.
b
Q
M
a
N
oe
P
3 ABCD is een parallellogram. Vul in.
a p ^A h = b
a
b p ^A h = B
A
b
a
c p ba ^B h = Pr
d p ba ^B h = a
e p ba ^Ch = f
p ba ^Ch = g p ba ^D h = 18
h p ba ^D h = C
D
b
ho ofds tuk 1
•
T hal es en ge li jk vormigheden
4 Teken het punt S als
b
S’ = p ba ^Sh
S’
S" = p ab ^Sh
fex
em
pla
ar
S”
a
S
5 RSTU is een parallellogram. Vul in.
^Uh =
a p RS
ST
`
b R = p RS
RU
c p
^ Th = S
R
j
d p TU ^R h = R
T
U
6 Bepaal de beelden van de volgende figuren door p ba of p ab.
a door p ab
b
a
b door p ab
N
A
B
M
a
D
b
C
P
Pr
oe
c door p
b
a
S
R
U
a
b
T
19
7 A’ en B’ zijn de projectiebeelden van A en B. Vind jij de projectieas en de projectierichting?
c
fex
em
pla
ar
a A
A
B’
B
A’
A’
B’
b A
B
d
A
B’
A’
B’ = B
A’
B
8 Op zoek naar een passende projectierichting.
Bepaal een projectierichting s zodat de evenwijdige projectie op r de vier hoekpunten van de rechthoek ABCD
afbeeldt op …
a … 4 verschillende punten
A
B
r
Pr
oe
b … 3 verschillende punten
c … 2 verschillende punten
20
D
C
A
B
r
D
C
A
B
r
D
C
ho ofds tuk 1
•
9 Klopt dit wel?
T hal es en ge li jk vormigheden
A
fex
em
pla
ar
Kunnen A’ en B’ de beelden zijn van eenzelfde
evenwijdige projectie van A en B op a?
B
Verklaar je antwoord.
JA
NEEN
B’
Verklaring:
A’
10 Teken voor elk van onderstaande situaties 6XY@ zodat XY = X’Y’ .
a XY ' a
a
b XY ( a
b
b
X’
11 Gegeven:
a
X’
Y’
a
Δ ABC
Gevraagd: Teken A’, B’ en C’ zodat
p =BC ^A h = A’
p =AC ^B h = B’
oe
Y’
p =AB ^Ch = C’
A
Pr
C
B
21
F
E
fex
em
pla
ar
12 Gegevens: c EFGH m is een kubus
ABCD
H
G
M
B
A
Vul in:
D
a De loodrechtte projectie van E op het vlak ABC is
b De loodrechtte projectie van 6AF@ op het vlak DCG is
c De loodrechtte projectie van M op het vlak DCG is
d De loodrechtte projectie van M op het vlak ABC is
e De loodrechtte projectie van Δ EHB op het vlak AEH is
De loodrechtte projectie van Δ EHB op het vlak BCD is
g De loodrechtte projectie van Δ HGB op het vlak FGH is
f
C
13 De volgende lichamen zijn getekend in isometrisch perspectief. Teken van elk van volgende lichamen het VA, LA en
BA.
a
isometrisch perspectief
30˚
b
Pr
oe
30˚
22
ho ofds tuk 1
•
T hal es en ge li jk vormigheden
fex
em
pla
ar
14 De volgende lichamen zijn getekend in cavalièreperspectief. Teken van elk van volgende lichamen het VA, LA en BA.
a
cavalièreperspectief
45˚
b
15 In volgende perspectieftekeningen zijn identieke kubussen getekend. Tel het aantal dat telkens in de voorstelling
aanwezig is.
a
oe
b
Pr
c
23
oe
fex
em
pla
ar
16 Teken het voor-, linkerzij- en bovenaanzicht
17 In het hiernaast afgebeelde pallet zijn stenen verpakt.
Pr
Hoeveel stenen zitten hierin verpakt?
24
ho ofds tuk 1
•
T hal es en ge li jk vormigheden
18 a Bepaal de coördinaatgetallen van A, B, C, D, E en F.
b Plaats in het afgebeelde assenstelsel volgende punten:
G ^- 3, - 1h, H^- 3, 0 h, Ib 1, - 3 l en Jb 0, - 5 l
2 2
2
y
F
co ^A h = B
A
co ^B h = C
co ^Ch = co ^D h = co ^Eh = E
19
fex
em
pla
ar
A ^ - 2, 3 h
y
co ^Fh = x
D
B ^ 4, 3 h
x
D ^ - 2, - 1 h
C ^ 4, - 1 h
oe
a Welke figuur is ABCD? b Bepaal de omtrek van ABCD.
Pr
c Bepaal de oppervlakte van ABCD.
25
20
y
fex
em
pla
ar
M ^ 7, 12 h
A _ - 4,
B ^ - 1, 7 h
i
P ^ 1, 5 h
D _ - 6,
i
N_ 4,
i
C ^ 0, 3 h
x
a Bepaal de coördinaat van A, D en N als je weet dat AB ' CD ' PD ' x-as.
b Bepaal de oppervlakte van ABCD.
oe
c Bepaal de oppervlakte van Δ MNP.
21 In een cartesiaans assenstelsel zijn de punten A en B gegeven. Bepaal telkens AB .
co ]Ag
co ]Bg
^ 2, 5 h
^ 2, 9 h
b
^- 4, 5 h
^ - 4, 0 h
c
c 3, - 1 m
2
c 3, 2 m
3
d
c- 1 , - 4m
4
c- 1 , 4m
4
Pr
a
26
AB
ho ofds tuk 1
22
•
T hal es en ge li jk vormigheden
y
D ^ 6, 6 h
fex
em
pla
ar
C ^ 1, 6 h
A
B ^ 1, 5 h
H ^ - 1, 2 h
G
x
F ^ 3, - 2 h
E
a Bepaal de coördinaten van A, E en G.
b Bepaal de omtrek van de
c Bepaal de oppervlakte van de
getekende figuur.
getekende figuur.
Pr
oe
27
23 Klara (K), Warren (W), Salim (S) en Levi (L) bereiden zich voor op het voetbaltoernooi dat op het schoolfeest wordt
georganiseerd. Trainer Ilke (I) vindt samenspel heel belangrijk en daarom oefenen ze op het oefenveld van de
school.
14
y
fex
em
pla
ar
K
12
10
W
8
I
6
4
L
2
S
x
0
0
2
4
6
8
10
12
14
a Als Warren de bal recht op het doel schiet, waar 16
18
de bal te kunnen vangen?
Pr
oe
24 Willy stapelt een aantal identieke kubussen recht boven elkaar op een
vlakke vloer en verkrijgt het bouwwerk uit de nevenstaande figuur.
Bepaal het kleinst aantal kubussen dat volstaat om dit bouwwerk
a 17 b 18 c 19 d 20 e 21
28
22
24
26
b Bepaal de totale afstand die de bal aflegt.
moet de trainer zich dan in het doel bevinden om
JWO 2004, 1ste ronde, vraag 6 © Junior Wiskunde Olympiade vzw
20