WI2253CT/CTB2100 Differentiaalvergelijkingen

WI2253CT/CTB2100
Differentiaalvergelijkingen
Januari 2016
Oktober 2015
Januari 2013
November 2012
November 2011
Januari 2011
Tentamenbundel Civiele Techniek
Het Gezelschap "Practische Studie"
EEN REPRODUCERENDE'^'^
LEERSTIJL
IS SCHADELIJK VOOR te
DE ACADEMISCHE
VORMING
LtPx^'^
T e n t a m e n Differentiaalvergelijkingen, C T B 2 1 0 0
v r i j d a g 22 j a n u a r i 2016, 13.30-16.30 uur
Technische Universiteit Delft
Docenten: dr. F.J. van de Bult en dr.ir. M . Keijzer
Laat duidelijk blijken hoe u aan de antwoorden gekomen bent.
Toegestane hulpmiddelen: (grafische) rekenmachine, (uitgedeeld) formuleblad.
De normering is in de linker kantlijn aangegeven. Het tentamencijfer is de som van tiet
aantal behaalde punten plus 5 punten, gedeeld door 5, en afgerond (> 6 op lialve cijfers,
< 6 op liele cijfers). De cijfers worden uiterlijk 19-02-2016 bekend gemaakt in Osiris.
1. Beschouw de differentiaalvergelijking voor y{t):
y' = cos{y).
lp
a) Wat zijn de evenwichtspunten van deze vergelijking in het interval [O, 27r]?
lp
b) Bepaal voor elk evenwichtspunt of het stabiel is of niet.
lp
c) Wat gebeurt er met de oplossing als t
2p
co onder de beginwaarde y{0) = 2?
2. Schrijf de differentiaalvergelijking
y"' + t V ' + 3y = cos(i)
als een stelsel van drie -lincaiyc differentiaalvergelijkingen in y, v — y' en w = y".
3p
3. Bepaal de algemene reële oplossing van het lineaire stelsel
d
f-13
dt''=[-9
6\
s j "
4. Gegeven is het stelsel differentiaalvergelijkingen
^ = 2cc' - 2xy'
at
$ = 2a; + 2 / - 4
at
met kritieke punten (1, - 1 ) , (1,1), (O, \/2) en (O, - \ / 2 ) .
2p
a) Laat zien dat dit stelsel rond (1,1) benaderd kan worden met een lineair stelsel.
Wat is het nieuwe stelsel? Wat is het verband tussen de oude en de nieuwe
variabelen?
4p
b) Bepaal het type van elk kritiek punt en geef aan of de punten stabiel zijn of
niet.
5p
c) Schets de oplossingskrommen van dit stelsel in het fasevlak.
lp
d) Wat gebeurt er met de oplossing die begint in (—1,2) als t
3p
oo?
5. Laat zien dat de differentiaalvergelijking
d^u
dxdy
^du _
dx
du
dy
gescheiden kan worden door middel van u(x, y) = X{x)Y{y)
vergelijkingen voor X en Y.
en bepaal de resulterende
6. Gegeven is de functie f{x) = x op het interval x G [0,40].
a) Maak een schets van de oneven uitbreiding van f{x) tot een 80-periodieke functie. Schets drie periodes.
b) Bepaal de Fourierreeks van deze periodieke uitbreiding.
7. De temperatuur u{x, t) van een staaf van 40 cm voldoet aan de warmtevergelijking:
du
2 ^^•^
u wordt gerekend in °C, x in cm, t in s en a is een parameter die afliangt van het
materiaal van de staaf. Op t = O is de warmteverdeling:
IL[X,Q)
= 2X,
a;e[0,40]
Dan wordt voor t > O, het ene uiteinde in ijswater gehouden en het andere uiteinde
in stoom, zodat de randvoorwaarden worden:
ti(0,i) = 0
u(40,t) = 100,
i>0
a) Bepaal de steady state oplossing u^ix) voor de differentiaalvergelijking en de
randvo or waar den.
b) De transiënte oplossing v(x,t) is gedefinieerd als v = u-Us.
Laat zien dat voor v de volgende differentiaalvergelijking geldt:
c) Laat zien dat de randvoorwaarden voor v homogeen zijn:
viO,t) = 0
v{40,t) = 0,
t>0
d) De beginvoorwaarde voor v is:
v{x,0)^g{x),
.TG [0,40]
Bepaal functie g{x). (Mocht het bepalen van g niet lukken, dan kunt u in de
rest van deze opgave g(x) = 2x gebruiken.)
e) Laat zien dat de partiële differentiaalvergelijking gescheiden kan worden m.b.v.
v{x,t) = X{x)T{t) en schrijf de randvoorwaarden als condities voor X en/of T.
f ) Bepaal alle niet-triviale oplossingen X{x) die voldoen aan de randvoorwaarden.
g) Bepaal bij elk van de niet-triviale X{x) de bijbehorende T ( t ) .
h) Bepaal de oplossing v{x, t) die voldoet aan de randvoorwaarden en aan de beginvoorwaarde v(x,0) = g{x).
i)
Bepaal de oplossing u{x, t) van het oorspronkelijke probleem,
j)
De temperatuur stijgt voor t > O naar de steady state oplossing.
Vanaf ongeveer welk tijdstip (dat afliangt van a) is de temperatuur nog maximaal 1 graad lager dan de steady state oplossing?
l a )
i f '
k
i v "
' i ^ ^ i ^ ' C A h / i ' U n f m •
W =.-i'^0-Oq-l-C(ot
/
3^
«P-^/
^
.
X - . - t o
» \ X - ^ s
'
X ' -
tPa^X =
O
)
1
4 .
./
-/
j ^ J / r . ) ^ m =
m
7;
—1
a
^ J x ' ^ ' ^ ^ x
/ITÜQ^L
/ÖO
90 Jo
9u
0é:
=,o<^'3>%.
7^
( ^ h 6 ) K T '
m r { - & j
^ o C ^ x ^ ' T
J j afr.é} . ^^^,^j ^ ^> 1^
alpha=1
Tentamen Differentiaalvergelijkingen, C T B 2 1 0 0
vrijdag 30 oktober 2015, 9.00-12.00 uur
Technische Universiteit Delft
Docenten: dr. F.J. van de Bult en dr.ir. M . Keijzer
Laat duidelijk blijken hoe u aan de antwoorden gekomen bent.
Toegestane hulpmiddelen: (grafische) rekenmachine, (uitgedeeld) formuleblad.
De norm,ermg is in de linker kantlijn aangegeven. Het tentamencijfer
is de som van het
aantal behaalde punten plus 5 punten, gedeeld door 5, en afgerond (> 6 op halve cijfers,
< 6 op hele cijfers). De cijfers worden uiterlijk 30-11-2016 bekend gemaakt in Osiris.
3p
1.
dP
1
a) Voor de populatie P{t) > O geldt:
— = -P{P - 10).
Wat zijn de evenwichtspunten? Bepaal welke evenwichtspunten stabiel zijn en
welke niet, bijvoorbeeld met behulp van een faselijn.
Beschrijf hoe de populatie zich ontwikkelt in de t i j d voor alle mogelijke beginwaarden P(0) > 0.
2p
b) Herschrijf
ƒ(t) = — 3cos(7rt) — 2sin(7rt)
i n de vorm
Bepaal dus de waarden van i? > O, w > O en 5.
3p
c) Bereken de algemene reële oplossing
d
d^" =
u(t) =
Rcos{ujt — 5).
( u(t) \
) v a n
het stelsel
/ O -2
2 -2
2. Gegeven is het stelsel differentiaalvergelijkingen voor x{t) en y{t):
dx
—
dt
=
, 2
1 - ï/^:
'
dy
2
2
-i- = x^ - v^.
dt
^
lp
a)
Laat zien dat (—1, —1), (—1,1), (1, —1) en (1,1) evenwichtspunten zijn.
2p
b)
Laat zien dat als het stelsel differentiaalvergelijkingen gelineariseerd wordt rond
het punt [x, y) = (1,1), het resultaat het stelsel uit opgave l c wordt.
Hoe hangen u{t) en v{t) af van x{t) en y{t)l
4p
c) Bepaal het lokale gedrag van de oplossingen rond de evenwichtspunten.
Benoem het type van de evenwichtspunten en of ze stabiel zijn of niet.
5p
d)
Schets de oplossingskrommen in het fasevlak (het .ry-vlak).
2p
e)
Beschrijf in woorden, zonder verdere berekeningen, waar de oplossingen {x, y)
zich na oneindig lange t i j d {t —^ oo) kunnen bevinden in het fasevlak.
3. Gegeven is de functie
2p
g{x) = ^
O,
voor O < .T < 49
100,
voor 49 < x < 51
O,
voor 51 < X < 100.
a) Definieer g{x) als de oneven uitbreiding van g{x) met periode 200.
Schets de grafiek van g{x) op het interval
4p
—300 < x < 300.
b) Bepaal de Fourrierreeks van ci{x).
4. We bekijken een pianosnaar van 100 cm.
De snaar wordt precies in het midden aangeslagen met een hamertje van 2 cm breed.
(In de praktijk worden pianosnaren juist niet in het midden aangeslagen. I n vraag
4h ziet u de reden daarvoor.)
Noem u{x, t) de uitwijking van de snaar, gerekend i n cm en de t i j d in secondes.
Er geldt:
ox^
=
^
voor
ot^
0<.T<100
en
t > 0.
Hier hangt parameter a af van het type snaar en hoe strak h i j is gespannen.
De snaar is ingeklemd:
u(0, t) = O en
u,(100, t) = O,
voor t > O,
en de beginwaarden zijn:
u{x,0)
= 0
en
f)'U
—{x,0)
= g{x),
voor O < .t < 100,
waarin g{x) de functie uit opgave 3 is (met als eenheid
cm/s).
lp
a)
Laat zien dat de partiële differentiaalvergelijking gescheiden kan worden m.b.v.
u{x,t) =
X{x)T{t).
3p
b)
Bepaal alle niet-triviale oplossingen X{x) die voldoen aan de randvoorwaarden.
2p
c) Schets de grafieken van drie onafiiankelijke oplossingen X{x) voor O < rc < 100.
Schrijf erbij welke oplossingen u precies schetst.
2p
d)
Bepaal bij elk van de niet-triviale X{x)
3p
e)
Bepaal de algemene oplossing u(x, t) die voldoet aan de randvoorwaarden en
aan de beginvoorwaarde u{x, 0) = 0.
2p
f ) Bepaal de oplossing u{x, t) die ook aan de andere beginvoorwaarde voldoet.
2p
g) De snaar is zo gestemd dat de grondtoon ervan een frequentie van 261.6 Hz
heeft, oftewel 261.6 trillingen per seconde (de C van het middelste octaaf in de
zogenaamde 'gelijkzweveiide stemming').
Bereken parameter a voor deze snaar. Geef ook de eenheid van a.
2p
h)
de bijbehorende
T(t).
Het hamertje slaat precies in het midden van de snaar. Laat zien dat maar de
helft van de modes (grondtoon en boventonen) wordt aangeslagen.
l^nn
j c - t ) =
O
2
-2
.61
a
T-'^
^
^
/ X " H - ( r X - o
X
'
^ / W W 6e>^4>cWi2^
(r<o
1
(r=. ^
"
éJUe^K
//i>o)
X
(^>O)
/ooA=;^?r
c
OQ
" y ^ " A ' =
K/too)^
c,c^/ix
"z.
cr T =
o
X ( o ) ^ o
o
X(X)^ö
(T^A^
Xl^^
^
/^o)r^-0-ö ^)
Xl<^')^V>^0
T:PO,
'
XIX)
=
foofy^o
X^'-hjiX^o
a^^)n/iy.
^
cT-^
dlk (iTUX
•700'
^•)A-=^o
k ^ i
foo
/oo
/ÖO
llOöJ
/ V k <^Ue^
Ofin
( h
i^Jk
^
:
' ;
1
too
^^^Too^
/oo
"tm^
I
/ÖO
C
/o 0
/oo
/(OO
/ t ^ ^ / Ö Ö
/oo
7ÖÖ
J
^/^^
/<>^/
K
/oo
/ ö o ^
yob
X
T e n t a m e n DifFerentiaalvergelijkingen, W I 2 2 5 3 C T
maandag 28 j a n u a r i 2013, 14.00-17.00 u u r
Technische Universiteit Delft, Faculteit E W I
Laat d u i d e l i j k b l i j k e n hoe u aan de antwoorden gekomen bent.
De normering is in de linker kantlijn aangegeven. Het tentamencijfer
aantal behaalde punten plus 5 punten, gedeeld door 5, en
is de som van het
afgerond.
1. I n een afgesloten gebied leeft een kolonie wilde zwijnen.
Het aantal tientallen zwijnen i n jaar t is y{t) met
~y{t)
= 6y-
?ƒ - h,
waarin h het aantal tientallen zwijnen is dat per jaar wordt weggevangen.
Let op: U hoeft deze differentiaalvergelijking niet op te lossen.
3p
a)
Neem h = 5. Bereken de evenwichtsoplossingen, d.w.z. de waarden voor y(t)
waarvoor de populatiegrootte constant b l i j f t .
Bepaal met behulp van y' en een faselijn hoe groot de beginpopulatie moet zijn
als de populatie niet uit mag sterven.
2p
b)
Neem nu niet h = 5, maar y{0) — 10. Bepaal het maximale aantal zwijnen dat
gevangen mag worden (dus de maximale h) zonder dat de populatie uitsterft.
2. Voor functies x{t) en y{t) is het volgende stelsel differentiaalvergelijkingen gegeven:
J
=
(.^-2_l)(y_2)
=
a:hj-2x'-y
+ 2
=
-{x
=
-xy
+2
C 'L
^
+ 2){y-l)
+ x-2y
lp
a)
Bepaal de drie evenwichtspunten van dit stelsel.
4p
b)
Bepaal het type van elk van de evenwichtspunten.
4p
c)
A-Iaak een schets van de oplossingskrommen i n het fasevlak.
2p
d)
Beschrijf in woorden het gedrag van x{t). Hangt dat af van de beginwaarden?
3. Z i j n de volgende reeksen convergent of divergent? Toon dat aan.
-
S
oo
2" + 3"
~ 4 ^
77,
a)
Geef het vijfde-graads Taylorpolynoom T5{x) van ƒ rond a = 0.
(Gebruik het formuleblad, en let goed op het aantal termen.)
b)
Schat de maximale grootte van de restterm R^{x) als O < rc < 1.
Differentieer hierbij niet, maar gebruik dat - 1 5 < y^\x)
< 10 als O < .t < 1.
c)
Bereken
d)
Schat (m.b.v. 4b) de maximale grootte van de fout dit u maakt bij het benaderen
2
van
dx door
T5{x) dx.
TQIX) dx.
O, voor O < .T < TT
Gegeven is de functie /(rc) = < 20, voor tt < rc < Svr
O, voor Svr < rc < 47r
a) Breid /(rc) uit tot een oneven functie met periode Stt.
Schets de grafiek van deze uitbreiding op het interval -Stt < x < Stt.
b) Bepaal de Fourrierreeks van (de uitgebreide) /(rc).
In een metalen staafje van ATT cm lang geldt voor de temperatuurverdeling ^i(rc, t) (in
graden Celcius):
d'^u _ du
Als randvoorwaarden gelden:
u{0, t) = 0 en ii(47r, t) = O voor t > 0.
Het staafje heeft op t = O als temperatuurverdeling:
u{x,0) = /(rc) voor O < rc < ATV,
waarbij f{x) de functie uit opgave 5 is.
a)
Laat zien dat de partiële differentiaalvergelijking gescheiden kan worden m.b.v.
u{x,t) =
Xix)T{t).
b)
Bepaal alle niet-triviale oplossingen X(x)
c)
Bepaal b i j elk van de i n (b) gevonden oplossingen X{x)
d)
Bepaal de algemene oplossing u{x,t)
e)
Bepaal de oplossing die ook voldoet aan de beginvoorwaarde.
f)
Als v{x, t) de temperatuurverdeling in hetzelfde staafje is, maar nu gerekend i n
graden Kelvin, dan is v{x, t) = u{x, t) + 273.
Wat zijn voor v{x,t): (I) de partiële differentiaalvergelijking, ( I I ) de randvoorwaarden, ( I I I ) de beginvoorwaarde en ( I V ) de oplossing?
Als je V wilt weten, waarom kan je procedure 6a t / m 6e dan niet direkt voor v
uitvoeren, en moet je eerst u uitrekenen?
die voldoen aan de randvoorwaarden.
de bijbehorende T{t).
die voldoet aan de randvoorwaarden.
^ k c m U K
^
1
=
ÜJi9.ü.63Cr
10
^3
^ ^ ^ . ^ t f C
a*?^
A A ^ - f k u n j ^ y t . m
i ^ A
[9)-
^
^
2
=
^
^
^
^
1 2 / 2 /
/ /
-
« i
^
^
^
,
A / ^ / ' ^ ^ ^ ^ e ^ ^
2
^ ^ ^ s f - * - A * ! / - ^ i = A ^ f ^ 3
i)J{/^)^% -^JW m4^^
=Jr/^M7c ^yj/erf^M^
/,>/*t;4'*/é
d [vul)
(^'Z)^
^ ^ ^ ^ ^
^ ^ - o f i ^ o i
joftcnAtr
/2Jyfc/QU-t fS 0'S^d-0f8S8S
••
= -0,002^)
4'
4
hef. U
door
c . e r ^ < ^ ^ ^
^ ^ " ^
9
/c
2 C =
>f
r '
A T
-
^ = 0
T e n t a m e n Differentiaalvergelijkingen, W I 2 2 5 3 C T
maandag 5 november 2012, 14.00-17.00 urnTechnische Universiteit Delft, Faculteit E W I
Laat d u i d e l i j k b l i j k e n hoe u aan de antwoorden gekomen bent.
De normering is in de linker kantlijn aangegeven. Het tentamencijfer
aantal behaalde punten plus 5 punten, gedeeld door 5, en
is de som van het
afgerond.
1. Een bergmeertje heeft een oppervlak van A m? en een diepte van h{t) meter. Er
stroomt D m^ per uur water i n vanuit een hoger beekje. Onderin zit een relatief
klein gat van ÜQ m^ waardoor water wegstroomt. Met de wet van Torricelli en de
aanname dat het meertje cylindervormig is, geldt voor de waterhoogte:
A ^hit)
at
=
D-CüVh.
Hierin is CQ = a.Q^j2g met g de zwaartekrachtcontante.
Let op: u hoeft i n deze opgave de differentiaalvergelijking niet op te lossen,
lp
a)
Bereken de waterhoogte h als er evenwicht is.
lp
b)
Bepaal of het evenwicht stabiel is of niet (bijvoorbeeld m.b.v. een faselijn).
2p
c)
Maak een schets van h als een functie van t voor verschillende (positieve) /i(0).
4p
2. Voor de vector
dt[v )
/ uit) \
\X
is de volgende differentiaalvergelijking gegeven:
-
[ - 2
- 2 ) [ v
Bereken de algemene reële oplossing van dit stelsel.
3. I n een afgesloten natuurgebied leven twee diersoorten met aantallen x{t) en
(honderdtallen). Het verband tussen x en y (met t i n jaren) is:
dx
dt
Tt
=
=
^
2x-
y(t)
,
x'' + xy
-"^y
lp
a)
Z i j n de diersoorten concurrenten, of werken ze samen, of jaagt de ene soort op
de andere? Motiveer uw antwoord.
lp
b)
Bereken de vier evenwichtspunten en laat zien dat (4,2) er een van is.
2p
c)
Laat zien dat als het stelsel differentiaalvergelijkingen gelineariseerd wordt rond
het punt (x, y) = (4, 2), het resultaat het stelsel u i t opgave 2 wordt.
Hoe hangen u en v af van x en y?
5p
d)
Bepaal het lokale gedrag van de oplossingen rond de evenwichtspunten en schets
met behulp daarvan de oplossingskrommen i n het fasevlak {x > 0,y > 0).
4. Zijn de volgende reeksen convergent of divergent? Toon dat aan.
\/2
2p
a)
2p
b)
oo
——-
77=2 n /n(n)
^/2
\/2
^/2
(Hint: integraaltest)
a)
Bepaal een vijfde-orde Taylorpolynoom T^lx)
Benader hiermee de waarde van cos(l).
2p
b)
Geef een uitdrukking voor de restterm R^ix)
2p
c)
Laat m.b.v. R5 zien dat de grootte van de fout van de benadering van cos(l) i n
5a kleiner is dan 1/500.
2p
5.
6. Geg:even is de functie ƒ ( . T ) = 10 — x
voor f{x)
van
=
COS(.T)
rond a = 0.
Tz{x).
voor 0 < .T < 10 .
IP
a) Breid f{x) uit tot een even functie met periode 20.
Schets de grafiek van deze uitbreiding op het interval — 30 < x < 30.
4p
b) Bepaal de Fourrierreeks van (de uitgebreide) f ( x ) .
7. Een 1 meter lange snaar heeft uitwijking u. Voor u{x,t)
2
d^U
a - — r = ^77^
dx^
dV'
voor
n
.
O < .T < 1
.
en
geldt:
n
t > 0.
Hierin is a een constante die afliangt van de soortelijke massa van de snaar, en de
spanning die erop staat. De snaar is ingeklemd, dus
ïi(0,t) = 0
en
n(l,t) = 0
voor
t > 0.
Op t = O geldt voor O < s < 1:
u{x, 0) = O en
Ut{x, 0) = 2sin(7ra;) — 4sin(27ra;).
lp
a)
Laat zien dat de partiële differentiaalvergelijking gescheiden kan worden m.b.v.
u{x,t)
=X{x)T{t).
4p
b)
Bepaal alle niet-triviale oplossingen X{x) che voldoen aan de randvoorwaarden.
2p
c)
Bepaal b i j elk van de i n (b) gevonden oplossingen X{x)
2p
d)
Bepaal de algemene oplossing n(.r, t) die voldoet aan de randvoorwaarden.
3p
e)
Bepaal de oplossing die ook voldoet aan de beginvoorwaardeii.
lp
f ) De laagste toon die de snaar voortbrengt heeft een frequentie van 100 Hz
(100 trillingen per seconde). Hoe groot is al
de bijbehorende
T{t).
ï^^^v^^
V/tr Me^lofcAh^L^^:
c<)fSlX5'Sct,
{0,0),
öAU)(ytmi^
0} e^{9,
Jlo/x.
2).
(
-2
é-^-^f
UT
'-^
V
.
0?
C0u2 x.
a t
é>{
é i
<
(0
JS/-
>i5
-jo
0
^
-/o
X,
/o
,
/o
1
-W-—^
lo
(/J
a ^ X ' T ^ X T "
KL
-
T "
X
Jo)
u l o j t ) ^
^
KU)T(e)-=.0
X h )
=: 0
^
ènll//a
X(o)-=:0 ^
Sla'.
( i . d \ ^ ^ S p J
X O ) - ^ ^
.
X{<h)
^ c 7 ^ ^TT/^fc
J
y r
k =f
ih
|:
/A
S e é c f h ^
Tentamen Differentiaalvergelijkingen, W I 2 2 5 3 C T
maandag 7 november 2011, 14.00-17.00 uur
Technische Universiteit Delft, Faculteit E W I
Laat duidelijk blijken hoe u aan de antwoorden gekomen bent!
De norm.ering is in de linker kantlijn aangegeven. Het tentamencijfer
is de som van het
aantal behaalde punten plus 5 punten, gedeeld door 5, en afgerond op een geheel getal.
1. Voor de functie y{t) is de volgende differentiaalvergelijking met beginvoorwaarden
gegeven:
y" + 2y' + 5y = O,
met
y{0) = 1
en
y'(0) = 1.
3p
(a)
Bepaal de (reëelwaardige) oplossing die voldoet aan de beginvoorwaarden.
2p
(b)
Schrijf de gevonden oplossing i n fase-amplitude vorm, dus als R{t) cos (wt — 6).
2p
(c) Bepaal de algemene oplossing van de inhomogene differentiaalvergelijking:
y" + 2y' + 5y = lOsin(t).
2. De populatie x van konijnen (in honderdtallen) en y van vossen (in tientallen) op een
eiland wordt beschreven door
f
f
=
=
3x-xy-x'
-2y + xy
lp
(a)
Bepaal de evenwichtspunten ( = stationaire punten = kritieke punten).
4p
(b)
Geef bij elk van de evenwichtspunten aan van welk type het is, en of het een
stabiel of een instabiel evenwichtspunt is.
4p
(c)
Maak een schets van de oplossingskrommen i n het fasevlak (x > 0, y > 0).
lp
(d)
Wat gebeurt er na lange t i j d als je begint met een aantal vossen en konijnen?
2p
3. (a)
3p
Bereken zo mogelijk: 4 — 3 - | - | —
=
oo
1
(b) Is de reeks
,
convergent of divergent? Toon dit aan.
ri=l v?ï^ + 1
1
4. Gegeven is
f{x) = ^/x .
2p
(a)
Bepaal het Ta3dorpolynoom van ƒ van de graad 2 ( = T2 ) in a = 36 .
2p
(b) Bepaal de restterm R2{x)
2p
(c) Als 36 < X < 37, schat hoe groot de fout maximaal ongeveer is, als
benaderd wordt door r2(a;). Ga hierbij uit van de restterm.
bij het Taylorpolynoom
f{x)
5. Gegeven is de functie
0 voor
ƒ (s) = < 0.5 voor
1 voor
lp
— TT < .T < O
X = O, x = — T T
O < .T < TT .
(a) Breid f ( x ) uit tot een periodieke functie met periode 2 TT. Schets de grafiek van
deze uitbreiding op het interval — 3 TT < .x < 3 TT.
lp
(b) Bepaal een constante a en een oneven functie g{x) zodat f{x)
3p
(c) Bepaal de Fourrierreeks van ƒ ( . T ) .
= a + g{x).
6. Voor de druk n ( , T , y) i n een rechthoekig gebied geldt de Laplace vergelijking
d\i
d\i
dx^
dy^
_ ^
met als randvoorwaarden
it(0,y) = 0, u(10,y) = 0 voor
en
0) = O, u{x, 20) = s i n ( f f ) voor O < .T < 10.
O < y < 20
lp
(a) Laat zien dat de partiële differentiaalvergelijking gescheiden lean worden m.b.v.
n{^x,y)=X{x)Y{y).
4p
(b) Bepaal ahe niet-triviale oplossingen X{x)
voorwaarden.
2p
(c) Schets twee onafiiankelijke oplossingen X{x)
deze aan beide randvoorwaarden voldoen!
2p
(d) Bepaal bij elk van de in (b) gevonden oplossingen X{x) de bijbehorende
die ook aan de derde homogene randvoorwaarde voldoet.
lp
(e) Bepaal de algemene oplossing u{x,y)
waarden.
2p
(f) Bepaal de oplossing die ook voldoet aan de inhomogene randvoorwaarde. Hoe
hoog is de druk in het punt x = 5, y = 10?
die voldoen aan de eerste twee randvoor O <
< 10. Verifieer dat
Y{y),
die voldoet aan de homogene randvoor-
Antwoorden tentamen W I 2 2 5 3 C T , 7 november 2011
1. (a) De algemene oplossing is
= cie *cos 2É-t-C2e-* sin 2t.
Uit de beginwaarden volgt: Ci = 1, C2 = 1.
(b) y{t) = \/2e-* cos(2f - 7r/4).
(c) Methode van onbepaalde coëfficiënten: yp{t) = Acos{t) + Bsin(t).
Er volgt: ^ = - 1 , ^ = 2. Dus
tj{t) = 2 sin(i) - cos(i) -\ cie cos(2t) C2e *sin(2f).
2. (a) Kritieke punten uit: 3x
(b)
Jix,y)
xy - x'^ = 0 , -2y + xy = 0. Dus (0,0), (3,0) en (2,1).
_^ \
x~2]-
/ s o
^^"^
( O -2
met M = {x, yY.
(c)
(d)
ri = 3, r2 = - 2 . Instabiel zadelpunt.
-3 - 3 u, met u = {x — 3, y)-^
In de buurt van (3, 0):
O 1
r i = - 3 , 7'2 = 1- Instabiel zadelpunt
/ -2 -2 \
In de buurt van (2,1):
~
n
^'
u ^ (x - 2,y ~ 1)^.
V ^
ü y
r = - 1 ± i Stabiel spiraalpunt.
Oplossingen verwijderen zich van (0,0) langs de x-as en naderen langs de y-as. De
eigenvectoren zijn (1,0) bij r = 3 en (0,1) bij r = -2. Oplossingen verwijderen
zich van (3,0) langs de lijn Ax + Sy = 12 en naderen langs de x-as. De eigenvectoren
zijn (1,0) bij r = - 3 en (-3,4) bij r = 1. Oplossingen naderen (2,1) spiraalsgewijs
tegen de klok in. Voor bijv. u = (0,1) wordt de afgeleide van het gelineariseerde
stelsel gegeven door (—2,0). Zie figuur 1.
Na lange tijd naderen de aantallen het kritieke punt (2,1).
Figuur 1: Het fasevlak, met oplossingskrommen en richtingsveld
3. (a) 16/7 ( Convergente meetkundige reeks, met a = 4,r = - 3 / 4 ) .
(b)
Divergent: Gebruik de vergelijkingstest: ^ J ^ ^
>
E
^ is een divergente
1
1
p-reeks (p = 1 < 1). Dan is ook n=l 2n divergent en dus ook n=l
Yl T / p ^ -
4. (a)
r2(.T)=6+i(.T-36)-^(.'c-36)2.
(b)
R2{x) = iQ^5/2 - 36)'^, met c tussen x en 36 in.
(c)
|i?2(x)| <
5. (a)
« 0.000008.
Zie figuur 2.
Opgave
5<a)
Figum- 2: Blolcgolf
a = 0.5 , (/(cc) = -0.5{x
< 0),
(c)
f{x)
- cos7ï7r)sinna; = 5 +
6. (a)
= I
X" + aX
+
E
?i=l
= 0,Y" - aY
0(a; = - T T , 0),
O.SGT > 0).
(b)
E
ï^sin?2a;.
n=l,3,---
= 0.
(b)
MetX(O) = X(10) = 0 volgt Xfc(a;) = sin(fc7rx/10), ^" = 1,2,....
(c)
Zie figuur 3
Figum' 3: Oplossingen voor k = 1, 2
(d)
MetF(O) = O volgt
= sinh(A:^y/10) of e^^^f/i° - e-^''^y/i°,fc=
00
(e)
u(x,y)=
(f) u(x,y)
E CA-sinh(fc7ry/10)sin(fc"7ra;/10).
= ^^"b(7ryi0)
smn(27r)
gj^.
^/^o)^ ^^5^
^ sinh(7r)/sinh(27r) « 0.04.
Tentamen Differentiaalvergelijkingen, W I 2 2 5 3 C T
maandag 24 januari 2011, 14.00-17.00 uur
Technische Universiteit Delft, Facuheit E W I
Laat duidelijk blijken hoe u aan de antwoorden gekomen bent!
De normering is in de linker kantlijn aangegeven.
aantal behaalde punten plus 5 punten,
Het tentameneijfer
is de som van het
gedeeld door 5, afgerond.
1. Gegeven is de vierde-orde differentiaalvergelijking
d'^ u{x)
, .
lp
(a)
Welk systeem in de werkelijkheid kan beschreven worden door deze differentiaalvergelijking?
2p
(b)
Schrijf de differentiaalvergelijking om tot een stelsel van eerste-orde differentiaalvergelij kingen.
5p
/ xit) \
2. Voor de vector
' ) i
is de volgende differentiaalvergelijking gegeven:
V yy^) )
d^( x \
/ -5
4 W X
d t [ y ) " V - 1 0 -l ) \ y
Geef de algemene oplossing van dit stelsel en beschrijf in woorden het gedrag van x
en y in de t i j d .
3. Een boer heeft een eiland met akkergrond waarop x ton groente per jaar verbouwd
kan worden. Helaas zitten er ook y hazen op het eiland die graag groente eten. Het
verband tussen x en y, met t gerekend i n jaren, wordt beschreven door
^
=
2x-xy-x^
lp
(a)
5p
(b) Maak een schets van de oplossingskrommen in het fasevlak (.x' > O, y > 0). Geef
ook het type en de stabiliteit aan van de evenwichtspunten in dit deel van het
fasevlak.
(c) Bepaal wat er met de hazen gebeurt volgens dit model.
2p
Bepaal de evenwichtspunten.
1
4. Zijn de volgende reeksen convergent of divergent? Toon dat aan.
3p
4p
(b)
oo
E
n
^1 2n3 + n2
5. Benader de waarde van
d.m.v. een tweede-orde Taylorpolynoom rond a = 36.
Schat de maximale (absolute) waarde van de fout die u hierbij maakt.
Let op: u mag bij deze opgave de wortelfunktie van de rekenmachine niet gebruiken.
6. Gegeven is de functie f{x) = x
voor O < .x' < 10 .
lp
(a) Breid f{x) uit tot een even functie met periode 20. Schets de grafiek van deze
uitbreiding op het interval —30 < x < 30.
4p
(b) Bepaal de Fourrierreeks van ƒ(«).
7. Een metalen staafje van 10 cm lang heeft de warmtediffusiecoëfficiënt a- = 1. Voor
de temperatuurverdehng u{x, t) in het staafje geldt de vergelijking
d'^u _ du
Het staafje heeft op t = O als temperatuurverdeling:
u{x, 0) = X voor
O<
< 10.
Na t = O wordt het staafje geïsoleerd en gelden de randvoorwaarden:
U:,{0,t) = 0
en
u^(10,t)
= 0
voor
t > 0.
lp
(a) Laat zien dat de partiële differentiaalvergelijking gescheiden kan worden m.b.v.
uix,t) =
X(x)T{t).
5p
(b) Bepaal alle niet-triviale oplossingen X{x) die voldoen aan de randvoorwaarden.
2p
(c) Schets twee onafliankelijke oplossingen X{x)
voor O < x < 10.
Verifieer dat deze aan beide randvoorwaarden voldoen!
2p
(d) Bepaal bij elk van de in (b) gevonden oplossingen X(x)
de bijbehorende T{t).
2p
(e)
3p
(f) Bepaal de oplossing die ook voldoet aan de beginvoorwaarde.
Beschrijf het gedrag van deze oplossing in de t i j d .
Bepaal de algemene oplossing u{x, t) die voldoet aan de randvoorwaarden.
Gemiddelde score: 21,6. Gemiddeld cijfer: 4,32 (88 studenten). Per opgave:
0.9 (vraag 1), 1, 7 (vr 2), 4,1 (vr 3), 1, 7 (vr 4), 1, 5 (vr 5), 1, 9 (vr 6), 4, 6 (vr 7).
cias-»
y ,'
LO^X-J::
y^U:^^^
)
~ I <s
é
- i'
r
J : V i f c - i£?c
r \7a
-:-J-0
3 t
Cé) i
r-
e"
2+6
/
v/
::>c j -
-^y- ------e <.-, - -
1-'5>
C>p loJSi :a {•
X -t ^ - t"
T-iscj .
;
2 + O €
7 i , ; _ S A':!^
7C Ck^
e,i^^
ji^JkS
--^^iM-ei-i-ket-jetïi
„_d-e _r.3^i&^.:vC-UucLe -_e2ei->e br^P ^ if»
_-^iicXeteL_'p.V&__<a.5..ti \
ptxciiro r
Ci
0
.-_f<--»
W A Êi^r. en ,
—
cUiJi. — i j ^ j - i o c J i J )
•2_Dc jT.oc^-^ix^^-:::
o
—
— O C
Cl
~\j- ' ^ ^ 1 " O - -
dt
rck
ti_ V/e
4-
-pxt-
-c>p
.
^ - - x " )
_si O I tyCis . .. Lt-i I -
-ei-,_
— f t 3»
ï^et-.
<j.. 5 _ C J
fcLtvs-.
-C-&V~, _clsL Ö
-
^j-'-"-^
,5C.
^"-^^
b
\
A^._
:?c .-.S
a
O
o
/
—tc teet- -J-i, - -J
Is V
w ci^Gvf-eK e.t"3i_ X
y-, % -- •x
^es-^ -
C^. - 1
r.-.s. - 1 .
- i - -\
^
" I •
••-/
V 4 5s.
/
I
'-v'
s
•
r
O
n 5
1
A^_k
2-
»
0*0
•1
J I
i*i
.__0_Q_k
5c
'
T D C V ;
5-
a
ul
'
(7a (?
i^icp
ti_
^
^
ié
_C^_
JTU_,SS_C-I-3
e(-i-3-k,
-
" "-^
""v^' ié
- dus
kssk^
I C.<.y^ _
^
2 - a,
nr.
i é
*
>1 1
co^
s"
X H J ?
^
k.
i
10
J
J
CXVU j l -
^
-^lo
.+0—
i
io
O
:3^J
-cVus
CL^..;r.. I O
..
. ( . . - = r - .
.....c\e
loo
q.eis.AddeN.dLe. .W-c^o-<-cie ^_
1
-O
IO
(f\ (
Vi T X T
- lO
_0
O
io
ito
gLJS
^
h
Lok—DÊik-A
;
1
fifü-
Ara,——— .CLifcJL^
<=="
Tl
==rrr
c-os..
iO
)
.p
Lcü—taAJ
Aikij__C_e
-O-
SlCjaki/jO/tti^ii. O
o
^
-O^-— Z»' -!-^ p- zj
5
X.U\
lO
iö
e>fn ,OeW-
, 6:'^,^) -^
X,i^ t A i
, i -4
SlJa_. _a_vs l,&SS4'?>>5i^. .
QO
6 ^fte.to-as^e
Vo&--ii!»c
ts. t=!1-. Vjlil-l^^-V:^
u , ^ac^i:.A
--rr,
_
^^Xi±
Cos
-
Ct-^ i O
Sv-f,
1^
12^' Cos. " " k
- i o^- toev-, I- u. et-A^
Cy-^-i- =o
Is.—xie
keA^^a-v-ö^U-U-cci!:
CO
jC
O
c x t x B —
cie—^ÖA^....kxtfat
eit:^.