Les 5

De wondere wereld van de
kwantummechanica
Vijfde les
Voorbeelden en toepassingen
Voorbeelden: het waterstofatoom
Kwantisatie als eigenwaardeprobleem
Ann. d. Phys. 79 (1926) 361-376
Quantisierung als Eigenwertproblem;
von E. Schrödinger
(Erste Mitteilung)
“In dieser Mitteilung möchte ich zunächst an dem einfachsten fall
(nichtrelativistischen und ungestörten) Wasserstoffatoms zeigen, daß die
üblichen Quantisierungsvorschift sich durch anderen Forderung ersetzen
läßt, in der kein Wort von “ganzen zahlen” [zoals L=nħ] mehr vorkommt.
Vielmehr ergibt sich die Ganzzahligkeit auf dieselben natürlichen art, wie
etwa die Ganzzahligkeit der Knotenzahl einer schwingenden Saite. Die neue
Auffassung ist verallgemeinerungsfähig und rührt, wie ich glaube, sehr tief
an das wahre Wesen der Quantenvorschriften.”…
...”Wir suchen solche reelle im ganzen Konfigurationenraum eindeutige
endliche und zweimal stetig differenzierbare Funktionen ψ, welche das
über den ganzen Konfigurationenraum erstreckte Integral der eben
genannten quadratischen Form zu einem Extremum machen. Durch dieses
Variationsproblem ersetzen wir die Quantenbedingen.” …
• Variatieprobleem voorbeeld: (modern) principe van Fermat: licht neemt
de weg met de kortste optische weglengte L=nl, waarin n de
brekingsindex is:
Q
Z-as
  Ldl  0
P
X-as
L=n1l1+n2l2 moet minimaal zijn. Welke keuze van xO hoort
daarbij?
2
d 
2
2
2 
 n1
dxO 
 xO  xP 
n1  xO  xP 

 zP  n2
 xQ  xO 
n1  xO  xQ 
 zQ   0

0
 xO  xP   zP2
 xO  xQ   zQ2
n1 sin 1   n2 sin 2  wet van Snellius!
2
•
2
Variatieprobleem is ook uitgangspunt van de lagrange/hamilton
formulering van de klassieke mechanica:
  Ldt  0 met L  T  V "lagrangiaan" “Principe van de minste actie.”
...“Wir werden für H zunächst die Hamiltonsche Funktion der
Keplerbewegung nehmen [H=T+V=p2/(2m)-e2/r ] und zeigen, daβ die
aufgestellte Forderung für alle positiven, aber nur für eine diskrete Schar
von negativen E-Werten erfüllbar ist. D.h. das genannten Variationsproblem
hat ein diskretes und ein kontinuierliches Eigenwertspektrum. Das diskrete
Spektrum entspricht den Balmerschen Termen, das kontinuierliche den
Energien der Hyperbelbahnen.”…
2m 
e2 
2
2
2
• Dan volgt:   2  E 
  0 (  2  2  2 )
K 
r 
x
y
z
•
•
•
K is een constante die om dimensionele redenen is ingevoerd. S.
gebruikt elektrostatische eenheden, daarom ontbreekt 4πε0
S. bindt oplossingen aan een aantal randvoorwaarden, zoals
integreerbaar zijn. Noodzakelijke, maar niet voldoende voorwaarde voor
integreerbaarheid: ψ→0 als r → ∞.
Hij onderscheidt E>0 (ongebonden toestand)en E<0 (gebonden
toestand).
•
Na een wiskundige tour de force (8 bladzijden, met dank aan collega
Herman Weyl van de ETH). Voor E<0:
…‘’Die Bedingung […] ergibt:
me 4
[wij gebruiken n i.p.v. l]
El 
2 2
2K l
Es ergeben sich also die wohlbekannten Bohrschen Energieniveaus, die
den Balmertermen entsprechen, wenn man der Konstante K, die wir in (2)
aus dimensionellen Gründen einführen müßten, den Wert erteilt
h
K
2
Dann wird ja
2 2me 4
El 
h 2l 2
Unser l ist die Hauptquantenzahl, n+1 hat Analogie mit der
Azimutalquantenzahl, die…”…[wij gebruiken l i.p.v. n]
•
•
Het doel is bereikt, maar de wiskundige inspanning is veel en veel groter
dan in de Bohrse, oude variant van de kwantummechanica!
Meeropbrengst: de golffuncties. Maar wat betekenen ze?
•
Oplossing van het keplerprobleem door Newton: r 
p
1  e cos 
r
θ
Dit zijn kegelsneden: ellips, parabool, hyperbool.
•
Oplossing van het keplerprobleem door Schrödinger
Voor E<0: discreet
normeringfactor
Laguerre
polynoom
sferisch harmonische
functie
 2   n  l  1!  r / na  2r  2l 1
m


 nlm (r , ,  )   
e
L
2
r
/
na
Y


 ,  
n

l

1
l


3


 na  2n  n  l !
 na 
– n: hoofdkwantumgetal, bepaalt de energie, n=1, 2, 3, ….
– l: azimutaal (impulsmoment) kwantumgetal, bepaalt de grootte van
het impulsmoment: L=√(l(l+1), l=0,1,…,n-1 (L kan 0 zijn!)
– m: magnetisch kwantumgetal bepaalt de richting van L, m=-l…l
– Ontbreken: s en ms
Voor E>0: continu: alle energiewaarden toegestaan. De oplossingen
zijn lineaire combinaties van e-machten met een complexe exponent:
golven (eiφ=cos(φ)+isin(φ)).
3
l
•
Ruimtelijke kwantisatie van het impulsmoment.
De x en de y component van L zijn onbepaald. Gevolg van de
onzekerheidsrelatie voor de componenten van L: ΔLxΔLy≥½ħ |<Lz>| (en
cyclisch verder)
De waarschijnlijkheid om L op de kegel te vinden is overal even groot.
•
•
Met het (baan)impulsmoment L correspondeert een magnetisch moment
μ=(e/2m)gL, met g=1. In een magneetveld splitst het “gedegenereerde”
energieniveau zich op in 2l+1 nieuwe niveau’s: verklaring van het
Zeeman effect (ook het anomale) en van het Stern-Gerlach experiment.
De verwachte waarde van μ (en L) voert een precessiebeweging uit om
de veldrichting (Larmorprecessie).
Hetzelfde geldt voor spin, maar met een afwijkende g waarde:g=2,000…
Basis van de Magnetic Resonance Imaging (MRI).
•
Contourplots van ψ, zie:
http://www.catalysis.nl/~chembond/ChemBond/notes/Hatom/Hatom3.html
1s
2pz
En ook
http://physics.ius.edu/~kyle/physlets/quantum/hydrogen.html
http://www.falstad.com/qmatom
http://www.phy.davidson.edu/StuHome/cabell_f/Density.html
En nog veel meer.
3dxy
…”Es liegt natürlich sehr nahe, die Funktion ψ auf einen
Schwingungsvorgang des Atoms zu beziehen, dem die den
Elektronenbahnen heute vielfach bezweifelte Realität in höherem Maße
zukommt als ihnen.”…
…”Ich mochte auch jetzt noch nicht naher auf die Erörterung der
Vorstellungsmöglichkeiten über diese Schwingungsvorgang eingehen,
bevor etwas kompliziertere Fälle in der neuen Fassung mit Erfolg
durchgerechnet sind.”…
…“Es ist kaum nötig, hervorzuheben, um wie vieles sympathischer die
Vorstellung sein würde, daβ bei einem Quantenübergang die Energie aus
einer Schwingungsform [van het atoom als geheel] in eine andere übergeht
als die Vorstellung von den springenden Elektronen [Bohrse model!].”…
•
S. zal zijn hele leven tegen die “lelijke kwantumsprongen” en de BornBohrse waarschijnlijkheidsinterpretatie van de golffunctie fulmineren,
samen met Einstein en de Broglie.
•
Nobelprijs 1933, samen met Dirac.
Intermezzo
Schrödinger’s vervolg
Er volgen na deze eerste binnen zes maanden nog drie “Mitteilungen”:
• De tweede bevat een nieuwe afleiding van de golfvergelijking gebaseerd
op de analogie tussen de (Hamilton) mechanica en de optica en een
analyse van de relatie tussen “geometrische” en “golf”mechanica. Verder
past hij in dit artikel de golfmechanica toe op de harmonische oscillator
en het twee-atomig molecule.
• De derde bevat een uitvoerige behandeling van storingsrekening en van
de toepassing daarvan op het waterstofatoom in een elektrisch veld
(Stark effect).
• De vierde gaat in op tijdafhankelijke problemen, in het bijzonder de
verstrooiing van straling door atomen en moleculen en de absorptie en
emissie van straling. S. raakt er nu van overtuigd dat de tijdafhankelijke
golffunctie intrinsiek complex van aard is
• In 1926 toont S. aan dat de matrixmechanica van Heisenberg (ontwikkeld
vòòr de golfmechanica) equivalent is met de golfmechanica.
Daarmee staat de golfmechanica als een huis. Niet slecht voor een relatief
onbekend theoretisch fysicus van 39 jaar!
•
In het laatste artikel komt hij nog een keer terug op de interpretatie van
de golffunctie:
•
Dit lijkt verdacht veel op de waarschijnlijkherids-interpretatie die Born
vrijwel gelijktijdig zal publiceren. Toch verwerpt Schrödinger later de
Bornse interpretatie nadrukkelijk:
“Als ik dit had geweten dan had ik de golffunctie liever niet uitgevonden.”
Waterstofatoom:
2-D doorsnede van |ψ|2. Hoe heller, hoe groter de waarschijnlijkheidsdichtheid
m magnetisch kwantumgetal
bepaalt stand van L
n
hoofdkwantumgetal
bepaalt energie E
Grootste kans om
het elektron in de
kern aan te treffen??
•
•
•
•
•
Zolang er geen magnetisch of elektrisch is veld is hebben toestanden van
gelijke n maar verschillende m dezelfde energie: degeneratie.
Een magneetveld heft de degeneratie op: zeemansplitsing. Een
elektrisch veld geeft starksplitsing.
Alle niveaus met gelijke n en gelijke m blijken in een magnetisch veld op
te splitsen in doubletten: fijnsplitsing. Gevolg van spin.
Interactie met het magnetisch moment van de kern geeft verdere
opsplitsing: hieperfijnsplitsing.
Voor al deze effecten (en meer: b.v. verbodsregels en intensiteiten) geeft
de kwantummechanica de juiste voorspelling.
Intermezzo
Kans en kansdichtheid
kans
Dobbelsteen:
uitkomst
Kans op 2?
P(2)=1/6 (0 ≤ P ≤1, P van Probability)
Kans op 2 of 5?
P(2)+P(5)=1/3
Kans op een uitkomst?
Is 1; dus P(1)+...+P(6)=1 (normering)
Verwachte uitkomst?
(1/6)x1+ (1/6)x2+…+ (1/6)x6=3,5
Verwachte kwadratische uitkomst? (1/6)x12+ (1/6)x22+…+ (1/6)x62 =…
Algemeen: de verwachte uitkomst van f(x) is
f  x    f  xi P  xi 
xi
De uitkomsten van de dobbelsteenworp zijn telbaar (discreet).
Wat is de kans op een uitkomst bij de meting van de positie van een deeltje
op de x-as? De uitkomsten zijn nu onaftelbaar (continu). De kans op een
uitkomst is nu 0, want anders kan niet aan het normeringseis worden
voldaan
We kunnen alleen de kans bepalen dat het deeltje een positie tussen a
en b (b>a) heeft. De kansdichtheid(functie) bepaalt die kans.
b
P  a  x  b    f  x  dx
f
a

 f  x dx  1

a
normering
b
De kans op een waarde tussen a en b is het corresponderende oppervlak
onder de kansdichtheidfunctie. f ≥0, maar f hoeft niet ≤1 te zijn!
Voorbeeld: uniforme verdeling.
f
0,1
0
10
x-as
Het oppervlak onder de kansdichtheid bepaalt de kans.
De kans op een uitkomst <0 en op een uitkomst >10 is 0.
De kans op een uitkomst tussen 0 en 1 is 0,1.
De kans op een uitkomst tussen 0 en 10 is 1.
De kans op een uitkomst in het interval -∞ (min oneindig) tot +∞ (plus
oneindig) moet 1 zijn, want de uitkomst moet ergens liggen.
Dat bepaalt in dit geval de hoogte van de functie tussen 0 en 10. Die moet
1/10 zijn.

10
10
Wat is de verwachte uitkomst?
x 


xf ( x )dx  0,1  xdx  0,1
0
1 2
x
5
2
0
Een tweedimensionale continue dobbelsteen: alleen uitkomsten (x,y) binnen
afstand a van de oorsprong zijn mogelijk en even waarschijnlijk.
O
Kansdichtheid?
cilinder:
O=πa2
h=1/πa2
h
x
a
y
Kans op een uitkomst tussen r en r+dr?
Volumen van het schilletje tussen r en r+dr, dat is: 2πrh  dr=(2r/a2)dr.
Deze kans is 0 als r=0 en maximaal als r=a.
Verwachte uitkomst voor r?
r 
a
2
 a2 0
0
1
 r  rdr

rdθ
r
dr
d 
1 1 3
2
a  2  a
3
 a2 3
Kansdichtheid is groot bij de kern, maar kans om
het elektron in de buurt van de kern aan te treffen
is klein.
Wat is de verwachte waarde van r in de
grondtoestand (n=1, l=0, m=0)?
r   r  100  r , ,  r 2 sin  drd d  0,053 nm
2
Dit is (exact!) de straal van de eerste Bohrse baan!
Nog een argument dat het elektron niet dicht in de buurt van de kern kan
komen: onzekerheidsrelatie. Naarmate het elektron zich dichter bij de kern
opsluit, wordt de onzekerheid in de impuls groter. Gevolg: elektron ontsnapt
aan opsluiting.
p2
e2
e2
E

, r p  rp  , E 

2
2m 4 0 r
4 0 r
2mr
E heeft een minimum: dE/dr=0 bij a 
4 0
2
2
 0,05 nm
me
De onzekerheidsrelatie maakt het atoom “hard”.
Weer (ongeveer) de
straal van de eerste
Bohrse baan!
Voorbeelden
Het golfkarakter van deeltjes
De lakmoesproef voor golfkarakter: het dubbele spleetexperiment van
Young (ca 1800) dat leidt tot een interferentiepatroon.
Probleem: de spleetdiameter en de spleetafstand moeten van de orde van
de golflengte zijn.
Voorbeeld: elektron wordt versneld met een potentiaalverschil van 100 V:
½mv2=eV => p=mv=m√2eV => λ=h/p=0,12 nm. Dit zijn atomaire
afstanden (a=0,053 nm).
Davisson en Germer (1927) elektronenbundel op Ni folie geeft
diffractiepatroon in overeenstemming met de hypothese.
θi
θr
Een dubbele spleetexperiment met elektronen is gedaan door Jönsson in
1961 en door Tonomura et al. In 1989.
Extreem lage intensiteiten tonen aan (o.a. Taylor 1909!): het
interferentiepatroon is het gevolg van een toevalsproces, dat geldt voor
enkele deeltjes (en ook voor een enkel foton). Het deeltje gaat als het ware
door beide spleten. Dirac: "each photon then interferes only with itself". En
als je nagaat door welke spleet het deeltje is gegaan verdwijnt het
interferentiepatroon!
Toepassingen
Elektronenmicroscoop
Celkern. Vergroting 14000 maal
Voorbeelden
“Entanglement” en “collaps”
Het superpositiebeginsel maakt het mogelijk dat het deeltje in meer dan een
toestand tegelijk is: “verstrengelde (Eng. entangled) toestand”.
  c1 1  c2 2  ...
Hierin zijn de ψi de eigenfuncties van (bijvoorbeeld) de energieoperator Ĥ:
H i  Ei i
Bij een meting van E vinden we een van de Ei met waarschijnlijkheid |ci |2
De golffunctie stort ineen (Eng. collapses) tot ψi. Dat wil zeggen: als we
aansluitend weer een energiemeting doen dan vinden we Ei en ψi met 100%
zekerheid.
Omdat de meetuitkomst door het toeval wordt bepaald is de
kwantummechanica niet deterministisch.
Er bestaan deterministische “verborgen variabelen” theorieën van de
kwantummechanica (Bohm).
Verstrengeling kan ook plaats vinden in een meerdeeltjestoestand.
e-
π0
e+
De deeltjes bevinden zich in een verstrengelde up/down toestand
ψ=(↑-↓+- ↓-↑+)/√2. “De spin heeft geen waarde zolang je niet kijkt.”
Als we een spinmeting doen aan het elektron moet dit kleur bekennen:
up of down. Op hetzelfde moment komt het positron in de toestand spin
down of up ongeacht de afstand (meters, kilometers, lichtjaren,..):
Einstein’s “spooky actions at a distance.”
De kwantummechanica is niet lokaal.
Er zijn geen (?) lokale versies van de kwantummechanica.
Bell 1964 heeft ongelijkheden opgesteld die het mogelijk maken een
deterministische, verborgen variabelen, locale theorie experimenteel te
onderscheiden van een niet locale theorie. Experimenten tonen aan dat de
ongelijkheden van Bell niet opgaan. De kwantummechanica is (en blijft?)
een niet lokale theorie.
Toepassingen
Kwantumcomputer
“Klassieke” computers werken binair: zij kennen alleen de getallen 0 en 1.
Binair 1001 staat voor 1x23+0x22+0x21+1x20=9 decimaal
Realisatie: transistors in silicium: bits.
De spin van een elektron of de polarisatietoestand van een foton kan op of
neer staan: 1 of 0 zijn: een bit.
Zolang we niet meten kan de toestand een superpositie van op en neer
zijn: het systeem is en 1 en 0. Dit heet een qubit.
Een 3 bits klassiek register kan van de negen mogelijke getallen er slechts
een tegelijk herbergen. Maar een register van 3 qubits kan alle negen
getallen bevatten in een kwantum superpositie toestand.
Een kwantumcomputer kan op al die toestanden tegelijk (parallel in plaats
van serieel) bewerkingen uitvoeren.
Een systeem met n qubits kan 2n berekeningen parallel uitvoeren. Dit kan
enorme versnellingen veroorzaken in notoir trage berekeningen zoals het
vinden van de priemfactoren van grote getallen (Shor algoritme) of het
zoeken in ongesorteerde bestanden (Grover algoritme).
Omdat het vinden van priemfactoren van grote getallen zo’n heidens
karwei is, gebruiken banken dit als beveiliging. Een kwantumcomputer
zou die beveiliging binnen minuten in plaats van miljarden jaren kunnen
kraken.
Qubits bestaan!
“Now for the first time a ‘controlled-NOT’ calculation with two qubits has
been realised with the superconducting rings. This is important because it
allows any given quantum calculation to be realised. The result was
achieved by the PhD student Jelle Plantenberg in the team led by Kees
Harmans and Hans Mooij of TU Delft.”
“Researchers at the Delft University of Technology [Leo Kouwenhoven,
Lieven Vandersypen]… have succeeded in controlling the spin of a single
electron merely by using electric fields. This clears the way for a much
simpler realization of the building blocks of a (future) super-fast quantum
computer.”
Probleem: bij uitlezen wordt de toestand “vernietigd” (collaps van de
golffunctie) dus hoe vind ik het goede antwoord?
Blijkt: als het antwoord “klein” is vergeleken bij de data die bewerkt worden
kan het juiste antwoord relatief snel gevonden worden.
Factorisatieproblemen en sorteerproblemen behoren tot deze categorie.
Grootste technische probleem naast het vinden van qubits: verwateren van
de superpositietoestand door interactie met de omgeving: decoherentie.
Toepassingen
Kwantumcryptografie
Alice versleutelt haar boodschap aan Bob om te voorkomen dat Eve (de
“eavesdropper”) de boodschap krijgt.
Stel de boodschap is:
letter
q u a n t u m
alfabetnummer 17 21 01 14 20 21 13
Neem als sleutel een willekeurige verzameling van 7 letters
letter
e h t r n x k
alfabetnummer 05 08 20 18 14 24 11
Tel op en verzend:
Boodschap
22 29 21 32 34 45 24
Hoe wisselen Alice en Bob de sleutel veilig uit?
Door een entangled toestand te gebruiken!
Als Eve de verzending van de sleutel in de vorm van een entangled
toestand (quantum key distribution – QKD) onderschept heeft zij twee
problemen:
1. Zij kan de sleutel niet klonen (anti-kloon stelling).
2. Zij beïnvloedt de sleutel door eraan te meten.
Dit laatste maakt het mogelijk voor Alice en Bob te concluderen dat er een
luistervink op de lijn zit en dat de sleutel gekraakt is.
Daarmee is een veilige uitwisseling van de sleutel mogelijk.
Praktijkvoorbeelden met fotonen:
• Zwitserland (bankwezen!): verbinding van 23 km over het meer van
Geneve via een standaard optische glasfiber.
• USA, Los Alamos (militairen!): verbinding in de vrije ruimte over 0,5 km
bij dag; kan leiden tot veilige communicatie met satellieten.
Intermezzo
Ieder golfverschijnsel zijn
golfvergelijking
Aan E=ħω (Planck 1901 en Einstein 1905) en p=ħk (De Broglie 1923) voegt
Schrödinger in 1926 toe: de materie “golf” is geen reëel verschijnsel
maar een intrinsiek imaginair (complex) verschijnsel.
Een vlakke lopende imaginaire sinusvormige golf is Ψ(x,t)=Aei(kx-ωt)
e is de exponentiële functie die zichzelf teruggeeft bij differentiatie en i is de
imaginaire eenheid i=√-1. Er geldt: eix=cos(x)+isin(x).
Van welke vergelijking is Ψ=Aei(kx-ωt) de oplossing?
Nu geldt (1-dimensionaal): EΨ=ħωΨ=iħ∂Ψ/∂t en pΨ=ħkΨ =-iħ∂Ψ/∂x
Klassiek (niet-relativistisch!) is E=(p2/2m), dus:
2
  x, t 
 2  x, t 
i

t
2m
x 2
Dit is de niet-relativitische tijdafhankelijke schrödingervergelijking voor een
vrij deeltje. Vergelijk dit met: 2
2
 u  x, t 

u  x, t 
2
v
2
t
x 2
Voorbeelden
Het vrije deeltje
Het vrije deeltje klassiek: F=ma=0. Het deeltje ligt stil of beweegt
rechtlijnig eenparig.
Kwantummechanisch: U(x)=0.
2
  x, t 
 2  x, t 
i

t
2m
x 2
Ψ(x,t)=0 is een oplossing maar schendt de onzekerheidsrelatie ΔxΔp≥ħ/2 en
de normaliseerbaarheid van Ψ.
Een vlakke lopende golf Ψ(x,t)=Aei(kx-ωt) schendt de normaliseerbaarheid
van Ψ, want Ψ gaat niet naar 0 als x naar + of -∞ gaat!
De kansdichtheid |Ψ|2= Ψ Ψ*= Aei(kx-ωt) Ae-i(kx-ωt) =A2. Dit is niet
normaliseerbaar.
Dilemma: bestaat er wel een vrij deeltje in de kwantummechanica?
Twee uitwegen:
1. Een constante kansdichtheid betekent dat het deeltje met evenveel kans
op iedere willekeurige positie gevonden kan worden. De positie is
volledig onbepaald, Δx= ∞. Omdat de impuls p=ħk volledig bepaald is,
dus Δp=0, is het product ΔxΔp onbepaald. Beschouw dit als een
limietgeval.
2. Bouw een golfpakket door superpostie van vlakke golven en volg de
2
evolutie daarvan in de tijd. Voorbeeld: een gaussiaan:   x,0   Ae  ax
Probleem: dispersie: het golfpakket loopt uiteen omdat golven met
verschillende frequentie verschillende voortplantingssnelheden kunnen
hebben.
Intermezzo
De tijdonafhankelijke
schrödingervergelijking
Stel nu dat het deeltje beweegt in een potentiaalveld U(x,t). De
tijdafhankelijke schrödingervergelijking wordt dan:
2

 2
i

 U
2
t
2m x
Stel nu: U is niet van de tijd afhankelijk. Voorbeelden harmonische oscillator:
U(x)=½m ω2x2, keplerprobleem (3-D!) U(r)=const/r
Stel Ψ(x,t)= e-iωtψ(x) dan moet voor ψ(x) gelden (bewijs!):
d 2

 U  E
2
2m dx
2
Dit is de tijdonafhankelijke schrödingervergelijking. Deze beschrijft de
stationaire toestanden: “staande golven”. Deze oplossingen zijn reëel.
De volledige oplossing is een lineaire combinatie van e-iωtψ(x), met ω=E/ħ.
Het tijdafhankelijk deel is imaginair en wordt 1 bij het nemen van het
kwadraat. Dus |Ψ|2= ψ2 (ψ is reëel).
Voorbeelden
De oneindig diepe rechthoekige put
U(x)
Verboden toegang
Verboden toegang
0
a
x
Voor x<0 en x>a is ψ(x)=0; voor 0<x<a is U(x)=0 en dus geldt daar:
2
d 2
2m dx
2
  E
Oplossing: combinatie van sin(kx) en cos(kx) met k=√(2me/ħ2).
Omdat ψ(0)=0 valt de cos weg; pas randvoorwaarde ψ(a)=0 toe en
normaliseer.
Aangeslagen
toestanden
Grondtoestand
Stationaire toestanden: ψ(x)=Asin(kx).
Randvoorwaarde ψ(a)=0. Dus ka=nπ met n=0,±1,±2,…
0 is niet toegestaan, negatieve waarden verschillen niet wezenlijk van
positieve waarden (sin(-x)=-sin(x)).
Dus met k=√(2me/ħ2) volgt:
Energieniveaus: En=(n2π2ħ2)/(2ma2)=E1n2 met E1= (π2ħ2)/(2ma2)
Genormaliseerde golffuncties: ψn(x)=√(2/a) sin(nπx/a). Bevat “knopen” en
“buiken”
Voorbeelden
De parabolische put: harmonische
oscillator
Schrödingervergelijking van de 1-D harmonische oscillator
d 2 1
2 2


m

x   E
2
2m dx
2
2
Dit probleem is exact oplosbaar.
De golffuncties van de
harmonische oscillator. Bij de
ne golffunctie hoort een energie
En=(n+½)ħω. De parabool is
de potentiële energiefunctie
½mω2x2
Merk op:
1. De oplossingen lijken op staande golven met buiken en knopen. In de
knopen zul je het deeltje nooit aantreffen. In de toestanden met oneven n
bijvoorbeeld zul je het deeltje nooit in de oorsprong vinden.
2. De energie is gekwantiseerd En=(n+½)  . Met n=0,1,2,…
Het deeltje kan niet zoals in het klassieke geval alle energieën krijgen.
3. In de laagste energietoestand n=0 is de energie niet 0. Er is
nulpuntsenergie ½ħω. De kwantumoscillator “staat nooit stil in een
bepaald punt” want dit is in strijd met de onzekerheidsrelatie.
4. Er is een zekere kans dat het deeltje de amplitude A overschrijdt, want de
golffunctie is daar ongelijk 0. Een soort tunneling: indringen in “verboden
gebied”. Deze potentiaal is (een beetje) “zacht”.
Voorbeelden
De rechthoekige berg: tunneling
U(x)
U0
x
0
a
Klassiek deeltje:
1. E>U0: deeltje beweegt als vrij deeltje
2. 0<E<U0: deeltje kaatst terug
Klassieke golf:
Golf wordt verstrooid door barrière: transmissie en reflectie. De resultante
golf is een superpositie van inkomende, gereflecteerde en
getransmitteeerde golf.
Kwantumdeeltje: als klassieke golf, maar met een andere vergelijking
en een andere interpretatie.
Met de schrödingervergelijking kunnen we de waarschijnlijkheden voor
transmissie en reflectie berekenen.
Er blijkt nog een extra mogelijkheid te zijn: tunneling. Zelfs met een
energie kleiner dan U0 is er een eindige waarschijnlijkheid om het deeltje
aan de andere kant van de barrière aan te treffen.
Zie
http://www.physics.gatech.edu/gcuo/UltrafastOptics/ModernPhysicsLectures/MP13Q
uantumMechanics2.ppt#280,30,6.7: Barriers and Tunneling
Voorbeeld: α verval. En β verval? En γ verval?
Toepassingen
Scanning Tunneling Microscope
Van tunneling wordt gebruik gemaakt in de Scanning Tunneling Microscope
Principe: houdt de tunnelstroom constant door beweging van de “tip”.
Daarmee tast je het oppervlak af. Omdat de tunnelstroom exponentieel
afhangt van de afstand kun je oneffenheden van de orde van een
atoomdiameter dat is 1nm waarnemen. Begin van de nanotechnologie.
Oppervlak van het droge smeermiddel MoS2
Tafelmodel STM
We kunnen enkele atomen manipuleren: nanotechnologie
DNA beweegt door een nanogat
STM afbeelding van DNA
Genetische manipulatie!
Groep van Cees Dekker van de TU Delft