In de hoge-energiefysica werken we met deeltjes die hoge

In de hoge-energiefysica werken we met deeltjes die hoge snelheden bezitten, soms zeer dicht bij de
lichtsnelheid c (in vacuüm)
vacuüm). De fysische wetten die de interacties tussen deze deeltjes beschrijven mogen
niet afhangen van het referentiestelsel waarin men de observaties uitvoert. Bijgevolg moeten deze wetten
covariant, of relativistisch invariant zijn. De speciale relativiteitstheorie van Einstein en haar toepassingen op
deeltjesinteracties wordt besproken in deel 1.
Interacties tussen elementaire deeltjes geschieden op microscopische afstanden (van de orde fm=10-15m).
Op deze schaal geldt de kwantummechanica. We zullen in de cursus voor de eenvoud vaak de spin van
deeltjes verwaarlozen. De golfvergelijkingen voor vrije deeltjes zonder spin worden besproken in deel 2.
Deeltjes hebben een intrinsiek impulsmoment, spin genaamd, dat gekwantiseerd is. In deel 3 wordt dit
kwantumgetal besproken.
Dirac heeft als eerste een theorie opgesteld voor relativistische deeltjes met spin ½, zoals het elektron.
Deze theorie wordt kort besproken in deel 4. Een van de gevolgen van de Dirac theorie is het bestaan van
antideeltjes. De ontdekking van het positron wordt eveneens in deel 4 besproken.
De golffunctie van een systeem van deeltjes heeft verschillende eigenschappen naargelang het systeem
bestaat uit fermionen (halfgehele spin) of bosonen (gehele spin). Dit wordt besproken in deel 5.
Elementaire deeltjes worden niet enkel ingedeeld in fermionen en bosonen maar ook in leptonen en
hadronen. Zo zijn hadronen opgebouwd uit quarks, terwijl leptonen ondeelbaar zijn. Hadronen zijn gevoelig
aan de sterke wisselwerkingen, terwijl de leptonen enkel de zwakke en elektromagnetische interacties
voelen Hadronen worden nog eens onderverdeeld in mesonen en baryonen
voelen.
baryonen, volgens hun quarkinhoud
quarkinhoud.
Elke klassering brengt kwantumgetallen met zich mee: leptongetal, 3 generatie leptongetallen, baryongetal.
Dit wordt besproken in deel 6.
Een van de fundamenten waarop de beschrijving van interacties tussen deeltjes rust is symmetrie. De
verschillende soorten interacties zijn onderhevig aan een aantal symmetrie eigenschappen, tengevolge van
invariantie onder bepaalde transformaties. In dit hoofdstuk (II) worden een aantal invariantiewetten
besproken: behoud van leptongetallen en baryongetal(deel 6), energie en impuls (deel 7),
impulsmoment(deel 3) en lading(deel 7).
1
2
Een theorie moet onafhankelijk zijn van het referentiestelsel waarin men de
interacties tussen deeltjes bestudeert omdat de gevolgtrekkingen niet mogen
verschillen van het ene experiment naar het andere (die enkel verschillen in
referentiestelsel).
Sommige grootheden zijn relativistisch invariant: de levensduur van een deeltje is
gedefineerd in zijn eigen rustsysteem, dwz in een stelsel dat meebeweegt met
het deeltje. Men kan verder invariante grootheden vormen door scalaire
producten tussen vier-vectoren
vier vectoren te maken. Dit staat beschreven op p4.
In sommige tekstboeken gebruikt men een andere metriek (conventie) waarbij de
ruimte-tijd vier-vector gedefineerd is als xα=(x1,x2,x3,x4) = (x,y,z,ict).
3
In de praktijk zullen we zien dat het bewegend stelsel overeenkomt met het
rustsysteem van een deeltje of van een systeem van deeltjes. Een systeem van
deeltjes bestaat bvb uit 2 deeltjes in een opslagring zoals de LHC die tegen
elkaar botsen en interageren. Men spreekt dan van het
massamiddelpuntsysteem van de 2 deeltjes ipv rustsysteem.
Vier-vectoren vormen een Minkowski ruimte. Het scalair product definieert de
metriek.
Het scalair product van een vier
vier-vector
vector met zichzelf
zichzelf, A2 , kan de volgende
waarden aannemen:
A2 >0 noemt men ‘time-like’ – gedraagt zich als de tijdcomponent van het scalair
product
A2 <0 noemt men ‘space-like’
A2 = 0 noemt men ‘light-like’
V
Voor
d ltj mett massa m=0
deeltjes
0 (zoals
(
l het
h t foton)
f t ) heeft
h ft Lorentz
L
t transformatie
t
f
ti geen
zin want er kan geen waarnemer gevonden worden die sneller gaat dan het
deeltje, dat zich voortbeweegt met v=c.
4
Aangezien wij werken met relativistische deeltjes met snelheden v<ªc, wordt
vaak gewerkt in natuurlijke eenheden waarin c=1 gezet wordt.
5
Interacties tussen deeltjes worden meestal beschreven in vier-impulsruimte. De
experimenten geschieden in het laboratoriumsysteem, maar vaak zijn de
berekeningen eenvoudiger in een ander stelsel. De Lorentz transformaties laten
toe de overgang te maken van het ene stelsel naar het andere.
Voorbeelden van stelsels waarmee vaak gewerkt worden zijn:
-Het rustsysteem van een onstabiel deeltje (bvb een neutron, muon, ..) :
grootheden E* en p*
-het rustsysteem van twee deeltjes bestaande uit een bewegend elektron
invallend op een stilstaand protondoel (massamiddelpuntsysteem) : grootheden
E* en p*
6
Tijdens interacties worden kortstondig virtuele deeltjes uitgewisseld, zoals bv een foton tussen
een elektron
l kt
en positron.
it
Het
H t Heisenberg
H i
b
onzekerheidsbeginsel
k h id b i
l llaatt ttoe d
datt tijd
tijdens een tijd Δt
energiebehoud geschonden wordt met een hoeveelheid ΔE = ħ/ Δt. Zie verder hoofdstuk V.
Deeltjes met massa m>0 liggen binnen de lichtkegel. De lichtkegel is bepaald door de relatie
E=pc. Enkel fotonen voldoen hieraan en liggen op de lichtkegel. De snelheid van een deeltje kan
nooit groter zijn dan de lichtsnelheid c. bijgevolg ligt geen enkel deeltje buiten de lichtkegel.
Er bestaan ook negatieve energietoestanden. Deze worden geassocieerd met anti-deeltjes en
worden besproken in deel 4 van dit hoofdstuk.
7
De studie van de elementaire deeltjes en hun interacties is gebaseerd op het
onderzoek van deeltjesbotsingen. In dit stuk worden enkele kinematische
variabelen besproken die veel gebruikt worden en wordt een vergelijking gemaakt
tussen de voor- en nadelen van vast-doel en collider experimenten.
De variabelen zijn de Mandelstam veranderlijken s,t,u en de invariante massa
van een meer-deeltjes systeem.
8
In het voorbeeld zal bij voldoende hoge energie de productie van de 4
einddeeltjes geschieden via de intermediaire productie van een Δ(1236) of
ρ(770) resonantie die dan respectievelijk volgens de sterke wisselwerkingen
vervallen in p+π of π+π . Resonanties worden besproken in hoofdstuk VI.
Aangezien we met relativistische deeltjes werken zijn er, naast de getoonde vierdeeltjes eindtoestand, ook andere mogelijke eindtoestanden, die elk met een
bepaalde probabiliteit kunnen voorkomen. Bij voldoende hoge energie kunnen er
6 of meer deeltjes in de eindtoestand geproduceerd worden.
Het massamiddelpuntstelsel wordt besproken op p 11 en volgende.
9
Bovenaan staan de schema’s voor de productie van de Δ(1234) resonantie in
‘formatie’, dwz net boven de drempel. In het proces laat men een bundel
geladen pionen invallen op een stilstaand proton doel (bvb waterstofkernen). De
figuur onderaan links toont de werkzame doorsnede (~waarschijnlijkheid) als
functie van de kinetische energie van het invallend pion (schaal onderaan) en als
functie van de invariante massa van het (pion-proton) systeem (schaal
bovenaan).
Bij energieën ver boven de drempel treden andere processen op waarbij ook
andere resonanties gevormd kunnen worden (verschillende pieken in de fig
rechts onderaan). De figuur rechts onderaan toont de werkzame doorsnede voor
pion-proton verstrooiing (pi+ en pi-) als functie van de pion impuls, tot impulsen
van enkele 100 GeV/c.
Het Δ(1234) deeltje heeft een zeer korte levensduur, zodat het een natuurlijke
massaspreiding heeft van de orde van de orde van 100 MeV. Dit kan begrepen
worden uit de Heisenberg relatie DEDt ≥= .
Dit wordt verder besproken in hoofdstuk VI (resonanties).
10
D mesonen bevatten charm quarks en worden terug besproken in hoofdstuk IX.
De horizontale as van de figuur toont de verdeling van de invariante massa
M(K+K-). Deze wordt bekomen door eindtoestanden te selecteren waarin kaon
paren met tegengestelde lading geproduceerd worden.
De vertikale as toont het aantal gebeurtenissen bij een bepaalde invariante
massa waarde.
Het histogram toont de metingen. De volle lijn toont het resultaat van een fit van
achtergrond + resonantievorm aan de gegevens.
11
De Mandelstam variabelen zijn Lorentz invariante variabelen die de kinematica beschrijven van
d ltj
deeltjesreacties.
ti
Ze
Z werden
d oorspronkelijk
k lijk iingevoerd
dd
door M
Mandelstam
d l t
iin 1958 voor d
de
beschrijving van twee deeltjes productie. Ze worden nu meer algemeen gebruikt voor de
beschrijving van de productie van twee deeltjessystemen.
De variabelen worden s,t,u genoemd en worden opgebouwd uit de vier-impulsen van de deeltjes,
pa,pb,pc,pd.
De labels a,b,c,d zijn zodanig gekozen dat a het projectieldeeltje voorstelt, b het doeldeeltje en c
het meest natuurlijk geproduceerd deeltje, meestal het verstrooide projectiel.
g dat s = kwadraat van de massa middelpunts
p
energie
g van de reactie en t en u
Uit de definitie volgt
de vier-impulsoverdrachten van a naar resp. deeltjes c en d.
Tijdens een interactie tussen twee deeltjes wordt een virtueel ijkboson uitgewisseld. Het kwadraat
van de vier-impuls van dit ijkboson is gelijk aan t. In ep verstrooiing (bvb bij HERA) gebruikt men
t=q2 als variabele. Hoe hoger de impulsoverdracht, hoe hoger de impuls van het ijkboson, hoe
kleiner de structuur die men in het doeldeeltje kan onderzoeken. Zie De Broglie golflengte in
hoofdstuk I.
12
Het s,t,u kanaal zijn interacties waarbij een intermediair deeltje wordt gevormd of
uitgewisseld met vier-impuls gelijk aan s,t of u. In het s-kanaal versmelten de
deeltjes a en b in een boson X (een foton of Z boson in het geval van e+everstrooing) dat een invariante massa gelijk aan ÷s heeft. In het t-kanaal zal
deeltje a een boson Y uitstralen en veranderen in deeltje b, terwijl deeltje c het
boson Y absorbeert en verandert in deeltje d. Analoog voor het u-kanaal.
Crossing betekent dat men de verstrooiingsamplitude van een reactie kan
berekenen vertrekkend van een gerelateerde reactie door deeltjes in de
eindtoestand over te brengen naar de begintoestand, op voorwaarde dat men ze
vervangt door anti-deeltjes. Zo bvb zijn neutron verval en neutrino-neutron
interacties verbonden door crossing. Het verschijnsel van crossing wordt niet
verder besproken. Het komt terug in de vervolgcursus in de master.
De begrippen werkzame doorsnede en verstrooiingsamplitude worden besproken
in de hoofdstukken V(Feynman diagrammen) en VI(werkzame doorsnede).
13
In het laboratorium realiseert men ofwel een vast-doel experiment ofwel een
collider experiment. Zowel in het ene als in het andere geval kan men de studie
maken in het massa middelpunt systeem waarbij het (bundel+doel) systeem in
zijn geheel in rust is.
De voor- en nadelen van de ene of andere opstelling worden hier verder
besproken. De conclusie staat op p20.
14
1) De AGS proton versneller in BNL (Brookhaven national Laboratory, New York, VSA)
f
functioneerde
ti
d iin d
de jjaren 1960
1960. Hij lleverde
d protonen
t
mett een energie
i van 15 G
GeV.
V IIn dit
experiment werden de protonen op een Be doel geschoten waar in de sterke pp of pn
wisselwerkingen vooral pionen werden geproduceerd. Men spreekt van een secundaire pion
bundel.
Pionen zijn onstabiel en vervallen in een muon en een muon-neutrino π+ → μ+ + νμ . De neutrino’s
worden naar een vast Fe doel gestuurd waar ze interageren. De detector meet de
interactieproducten.
2) Interactie van een 24 GeV/c proton (komende van links) in het 32 cm (diameter) CERN
waterstof bellenvat. De protonen zijn afkomstig van de PS versneller. Wat we zien is een p+p
sterke wisselwerking waarin 16 secundaire deeltjes worden geproduceerd. In het bellenvat ziet
men de sporen van de geladen deeltjes.
15
Eerste Z gebeurtenis, ontdekt in UA1 detector op 30 april 1983. Frontale ⎯pp botsing (bundels
k
komen
van links
li k en rechts)
ht ) iin d
de UA1 d
detector
t t bij d
de SPS collider
llid van CERN.
CERN B
Beide
id b
bundels
d l
hebben een energie van 270 GeV. In de eindtoestand wordt o.a. een Z boson gecreëerd dat
vervalt in een e+e- paar. Dit zijn de witte sporen (zie pijlen). Men ziet de gereconstrueerde sporen
van de geladen deeltjes (volle lijnen) en de energiedeposities in de calorimeters (blokjes) van
geladen en neutrale deeltjes.
16
De superscript L staat voor Laboratorium systeem.
17
18
19
De deeltjes in de eindtoestand hebben een energie die minimum gelijk is aan hun massa. Behoud
van energie
i moett in
i elk
lk stelsel
t l l gelden,
ld
ook
k iin h
hett MMS
MMS. O
Om een aantal
t ld
deeltjes
ltj tte produceren
d
moet de massamiddelpuntsenergie dus minimum gelijk zijn aan de som van de massa’s van deze
deeltjes.
In de oefeningen zullen transformaties van LS naar MMS uitgevoerd worden en zullen
voorbeelden berekend worden die het verschil tussen vast-doel experimenten en colliders tonen.
Momenteel lopen er verschillende R&D programma’s om de mogelijkheid van muon colliders te
onderzoeken.
20
Interacties tussen elementaire deeltjes geschieden op afstanden kleiner dan de
atoomschaal. Bijgevolg moet men de kwantummechanica gebruiken om de
beweging van deeltjes en hun interacties te beschrijven. In deze cursus zullen we
voor veel problemen de spin van deeltjes verwaarlozen om de problemen te
vereenvoudigen, zodat de Schrödinger en Klein-Gordon vergelijkingen gebruikt
kunnen worden.
In dit tweede deel van hoofdstuk II wordt een herhaling gegeven van enkele
basisbegrippen uit de kwantummechanica en worden de Schrödinger en KleinKlein
Gordon vergelijkingen besproken. Deeltjes met spin 0 zijn scalaire of
pseudoscalaire bosonen. Op het eind van deel 5 worden enkele voorbeelden
gegeven.
Een van de fenomenen bij de interacties tussen relativistische deeltjes is dat in
de interactie nieuwe deeltjes geschapen kunnen worden en andere vernietigd. De
Klein-Gordon vergelijking beschrijft deze fenomenen niet. Een oplossing wordt
geboden door Dirac
Dirac. Dit wordt besproken in deel 4
4. Om de creatie en vernietiging
van deeltjes correct te beschrijven gebruikt men kwantumvelden theorie. Dit valt
buiten het bereik van deze cursus en wordt in de master gedoceerd.
21
In de kwantummechanica kan men de waargenomen fenomenen beschrijven in
functie van deeltjes of golven. Er is een dualiteit tussen deze 2 beschrijvingen.
Bijgevolg wordt de ‘amplitude’ om een deeltje in een bepaalde toestand te vinden
beschreven door een vlakke golf. De ‘intensiteit’ is wat men waarneemt. Het is de
probabiliteit om het deeltje in een bepaalde toestand te vinden. Deze intensiteit
kan experimenteel gemeten worden door bvb de werkzame doorsnede te meten.
Dit wordt besproken in hoofdstuk VI (deel werkzame doorsnede).
De golffunctie beschrijft alle mogelijke toestanden waarin het deeltje zich kan
bevinden. Wanneer men bvb zijn positie meet zal het zich in een eigentoestand
van positie bevinden. Men gebruikt operatoren om de eigentoestanden en
eigenwaarden te vinden.
22
In het voorbeeld stelt A de operator voor (impuls, positie ..), y is de eigenfunctie
overeenkomend met de operator A en de eigenwaarde a.
23
Deze vorm van de Schrödinger vergelijking geeft de tijdsafhankelijke
bewegingsvergelijking voor een niet-relativistisch deeltje zonder spin in
afwezigheid van een externe potentiaal, dus voor een vrij deeltje.
Deze vorm van de Klein Gordon vergelijking geeft de tijdsafhankelijke
bewegingsvergelijking van een relativistisch deeltje zonder spin in afwezigheid
van een externe potentiaal, dus voor een vrij deeltje.
24
In deel 3 van dit hoofdstuk wordt het spin formalisme herhaald en worden een
aantal voorbeelden gegeven van hoe men experimenteel de spin van deeltjes
bepaalt.
25
De klassieke impulsmomentvector is gericht loodrecht op het vlak gevormd door
de vectoren r en p volgens de kurketrekker regel.
Voor de berekening van de impulsmoment operator wordt overgegaan op
bolcoördinaten (x,y,z) → (r,q,f), met q de polaire hoek en f de azimutale hoek.
Bij de studie van botsingen tussen elementaire deeltjes en bij de studie van
gebonden systemen van hadronen (bvb de Δ resonantie opgebouwd uit pion en
proton) heeft het orbitaal impulsmoment van het systeem betrekking op de
relatieve beweging van het ene deeltje tov het andere
andere.
26
Uit de commutatie relaties (1) volgt dat L2 en een van de drie componenten Li
een stel gezamelijke orthonormale eigenfuncties bezitten. De 3 componenten
Lx,Ly,Lz commuteren niet met elkaar.
De ontaarding tussen de 2A+1 eigentoestanden van het orbitaal impulsmoment
kan opgeheven worden door een magnetisch veld aan te leggen. Dit veld
defineert een voorkeurrichting volgens dewelke men de z-as kan kiezen. Het
systeem zal symmetrisch zijn voor rotaties rond de z-as, maar niet meer voor
rotaties rond de x-as
x as of y-as.
y as. Lz zal behouden zijn maar L2 niet. Dit heeft o.a.
aanleiding tot het Zeeman effect waarbij de 2A+1 energie niveaus in atomen nu
verschillend zullen zijn. Men noemt m het magnetisch kwantumgetal.
Toestanden met A=0,1,2,.. Noemt men s,p,d,… toestanden.
De functies Plm zijn Legendre polynomen.
27
Voor een systeem van deeltjes met spin=0 herleidt de operator voor totaal
impulsmoment zich tot de operator voor orbitaal impulsmoment. Voor een
systeem van deeltjes in de grondtoestand (L=0) zullen enkel de spins van de
deeltjes meespelen in het totaal impulsmoment.
Voorbeeld: het proton heeft spin 1/2 (eenheden =) en kan voorkomen in 2s+1=2
spin toestanden met z componente van de spin parallel of anti-parallel aan de zas: het proton heeft spin up of spin down. Zolang men geen magneetveld aanlegt
zijn deze 2 toestanden niet van elkaar te onderscheiden. Ze zijn ontaard. In een
systeem met 2 protonen in de grondtoestand met A=0 (s toestand) kunnen de
protonen hun spin vectoren parallel of anti-parallel aan elkaar plaatsen. Het totaal
impulsmoment hangt enkel af van de spins van de 2 protonen. De totale spin J
van het p+p systeem is gelijk aan 0 (één toestand) of 1 (2J+1=3 toestanden met
Jz=-1,0,1). De golffuncties voor de mogelijke (p+p) systemen kunnen opgesteld
worden aan de hand van de regels voor samenstelling van impulsmoment (p2829).
28
De operatoren J2 en Jz hebben dezelfde eigenfuncties.
De eigenfunctie van de totale impulsmoment operator wordt hier voorgesteld in
Dirac notatie |jm>. Deze notatie heeft het voordeel overzichtelijker te zijn.
Het feit dat deeltjes met half-gehele spin in paren moeten voorkomen betekent
dat er evenveel zulke deeltjes zijn in de begin- als in de eindtoestand van een
reactie.
29
Omgekeerd geldt ook dat de probabiliteit dat de combinatie van de 2
impulsmoment toestanden |j1,m1> en |j2,m2> een systeem produceert met totaal
impulsmoment |JM> gegeven wordt door het kwadraat van de CGC.
Deze vergelijkingen kunnen ook gebruikt worden voor de samenstelling van
isospin, zoals besproken zal worden in hoofdstuk VII.
30
31
In de volgende slides wordt besproken hoe men experimenteel de spin van de
deeltjes bepaald heeft.
32
De formules voor werkzame doorsnede worden uitvoerig besproken in hoofdstuk VI. De
werkzame
k
d
doorsnede
d geeft
ft d
de probabiliteit
b bilit it d
datt een b
bepaald
ld proces optreedt.
t dt Z
Ze iis evenredig
di mett
het kwadraat van de transitie amplitude Tfi die de dynamica van de interactie beschrijft en een
aantal kinematische factoren.
De transitieamplitude Tfi heeft een verschillende waarde voor elke transitie van begintoestand i
naar eindtoestand f, dwz voor elke mogelijke combinatie van spintoestanden. Daarom moet men
sommeren over alle mogelijke spintoestanden in de eindtoestand en het demiddelde nemen over
de spins in de begintoestand (Som over i voor de spintoestanden in de begintoestand en som
over α voor de spintoestanden in de eindtoestand).
De twee reacties (1) en (2) gaan in elkaar over door toepassing van een tijdsinversie: t → -t. Dit
geschiedt door de T operator, besproken in hoofdstuk VII (CPT).
33
34
35
36
Dirac heeft zijn theorie voor relativistische deeltjes met spin ½ voorgesteld in 1928. Het bood een
alternatief
lt
ti f aan de
d Klein
Kl i Gordon
G d vergelijking
lijki voor d
deeltjes
ltj zonder
d spin.
i
Het probleem met de Schrödinger vergelijking is dat ze lineair is in de afgeleide naar de tijd, en
kwadratisch in de afgeleide naar de ruimte. Een covariante voorstelling vergt dat de vergelijking
van dezelfde orde is in tijd en ruimte. Dirac heeft daarom een vergelijking opgesteld die lineair is
in zowel tijd als ruimte. Dat is vergelijking (1). In een verdere ontwikkeling heeft Dirac deze
vergelijking omgebouwd naar een covariante vorm, gebaseerd op de zgn γ matrices. Deze
ontwikkeling valt buiten het bereik van deze cursus.
De Dirac theorie werd opgesteld om de elektronen te beschrijven. Zoals we verder zullen zien
volgt uit de oplossing van de Dirac vergelijking dat er ook negatieve-energie toestanden moeten
bestaan. Deze werden geassocieerd met het positron, het antideeltje van het elektron. Het
positron werd in 1932 door Anderson ontdekt. Dat komt verder ter sprake.
In tegenstelling tot de Schrödinger vergelijking bevat de Dirac vergelijking 4 oplossingen en zijn α
en β 4x4 matrices. Deze zijn niet uniek. Hier wordt de Dirac-Pauli representatie gekozen. Verder
bij de behandeling van neutrino’s zullen we de Weyl representatie gebruiken. De oplossingen
noemt men spinoren. Men ziet uit de oplossingen dat in deze beschrijving spin en energie nauw
verweven zijn. Met ‘spin up’ en ‘spin down’ bedoelt men de oriëntatie van de spin vector van het
d l j ten opzichte
deeltje
i h van een z-as. In
I de
d praktijk
k ijk neemt men meestall d
de richting
i h i van d
de
impulsvector van het deeltje als z-as. De oriëntatie van de spinvector tov de impulsvector
definieert de heliciteit van het deeltje.
In vergelijking (1) stelt p de impulsoperator voor (zie deel 2 van dit hoofdstuk).
De s matrices zijn de Pauli spin matrices.
37
Het probleem van de negatieve energie toestanden wordt verder besproken.
Ook voor relativistische deeltjes met p>0 geldt dat de oplossingen 1 en 2
positieve energietoestanden voorstellen en de oplossingen 3 en 4 negatieve
energietoestanden.
Door eenvoudige substitutie van de oplossingen in vergelijking (1) kan men
nagaan dat ze inderdaad aan de toestands vergelijking voldoen.
38
Vermits de Dirac vergelijking in dit geval niet afhangt van de matrix β kan men
voor de matrix α een andere representatie kiezen dan voor deeltjes met massa.
De s matrices zijn hier ook de Pauli matrices.
Analoog als voor het uitgewerkte voorbeeld zal de tweede vergelijking voor een
deeltje met positieve energie een rechtshandig neutrino voorstellen. De eerste
vergelijking stelt eveneens een rechtshandig deeltje met negatieve energie voor,
dwz een rechtshandig antideeltje. En de tweede vergelijking stelt eveneens een
linkshandig antideeltje voor.
Heliciteit -1 stelt linkshandige deeltjes voor en H=+1 rechtshandige deeltjes. De
heliciteitsoperator geeft de orïëntatie van de spin vector tov de impulsvector.
Deeltjes met massa hebben een heliciteit die kan veranderen van het ene stelsel
naar het andere, omdat ze een snelheid hebben kleiner dan c. Enkel deeltjes met
m=0, zoals de neutrino’s komen voor in een zuivere heliciteitstoestand. Extreem
relativistische deeltjes hebben verwaarloosbare massa. Voor die deeltjes
veronderstelt men meestal dat ze in een zuivere heliciteitstoestand voorkomen.
De theorie werd opgesteld voor massaloze neutrino’s. Er zijn nu sterke
experimentele aanwijzingen dat neutrino’s een zeer kleine massa verschillend
van nul hebben. In de meeste berekeningen echter kan men m=0 stellen voor
deze deeltjes.
39
In hoofdstuk VII zullen we de pariteitsoperator bespreken en het bewijs leveren
dat pariteit niet behouden is in de zwakke wisselwerkingen. Een gevolg daarvan
is dat er enkel linkshandige neutrino’s en rechtshandige antineutrino’s bestaan.
Elektronen en positronen komen voor in beide heliciteitstoestanden.
In de interacties die we bestuderen (sterke, zwakke en elektromagnetische) is er
steeds behoud van heliciteit.
40
Volgens Dirac was het vacuüm de toestand waarin alle negatieve
energietoestanden opgevuld waren. Een elektron met negatieve energie kon
ontsnappen uit deze ‘zee’ en een ‘gat’ achterlaten. Zo’n gat stelde een antideeltje
voor.
De associatie van negatieve energietoestanden met antideeltjes die terugreizen
in de tijd komt van Feynman (1947-49). Dit wordt verder besproken onder
‘Feynman diagrammen’ in hoofdstuk V. De beschrijving van een deeltje met
negatieve energie dat vooruit reist in de tijd komt overeen met een antideeltje met
positieve energie dat terugreist in de tijd.
41
De nevelvat foto toont de ontdekking van het eerste anti-deeltje en geeft
evidentie voor het bestaan van anti-materie. Het positron is ontstaan in de lawine
die een primair kosmisch deeltje (proton, gamma straal, alfa deeltje, ..) vormt
door interactie met een atoom in de atmosfeer.
Er wordt algemeen aangenomen dat in het prille begin het universum bestond uit
materie en anti-materie. Op een bepaald ogenblik is deze symmetrie veranderd
en bleef enkel materie over. Dit is de puzzle van de schending van CP symmetrie
in het prille heelal. De enkele anti-deeltjes
anti deeltjes die men in kosmische straling vindt zijn
secundaire deeltjes ontstaan in interacties van meterie deeltjes met interstellair
gas of onze atmosfeer.
42
43
De grootheid xi staat voor de eigenschappen van één deeltje: positie, energieimpuls, kwantumgetallen als lading, baryongetal, leptongetal, vreemdheid, …
44
Baryonen zijn hadronen met 3 quarks of 3 anti-quarks. Ze hebben halfgehele
spin. Zie verder in dit hoofdstuk.
45
Mesonen zijn hadronen met een quark-antiquark paar. Ze hebben een gehele
spin. Zie verder in dit hoofdstuk.
In het voorbeeld van de ontbinding van de golffunctie zijn de kwantumgetallen:
J=spin; q=lading; B=baryongetal(dit hoofdstuk); S=vreemdheid(hoofdstuk III);
C=charm(hoofdstuk VIII), I=isospin(hoofdstuk VII).
Wanneer we later de symmetrie eigenschap van een golffunctie zullen
bestuderen zal het de symmetrie zijn van het product van de verschillende
f
factoren.
Een voorbeeld behandeld in hoofdstuk
f
VIII is de reactie π+d -> n+n
waaruit de pariteit van het pion bepaald werd.
46
Men klassificeert mesonen (opgebouwd uit een quark + antiquark) volgens de transformatie
eigenschappen
i
h
van h
hun golffunctie
lff
ti onder
d Lorentz
L
t transformaties
t
f
ti op de
d volgende
l
d wijze:
ij
- Scalaire deeltjes: spin 0 en pariteit 1 ; golffunctie transformeert als een scalair
- Pseudo-scalaire deeltjes: spin 0 en pariteit -1 ; golffunctie transformeert als een scalair
- Vector deeltjes: spin 1; golffunctie transformeert als een vier-vector .
Ruimte-inversie transformaties worden verder besproken in hoofdstuk VII (behoudswetten) . Bij
deze transformaties hoort het kwantumgetal pariteit, dat +1 of -1 kan zijn.
De klassificatie van deeltjes als mesonen en baryonen wordt besproken in deel 6 van dit
hoofdstuk.
h
fd k
De quark samenstelling van mesonen en baryonen wordt grondig besproken in hoofdstuk
VIII(statisch quark model).
47
Uit het experiment blijkt dat men deeltjes kwantumgetallen moet toekennen die in
bepaalde interacties als dan niet behouden zijn. Zo is lading bvb een
kwantumgetal dat behouden is in alle interacties.
Uit het experiment bleek ook dat fermionen steeds in fermion-antifermion paren
voorkomen. Om dit te beschrijven geeft men fermionen een fermiongetal =+1 en
antifermionen het fermiongetal -1. Het aantal bosonen is in een interactie niet
noodzakelijk behouden.
Fermionen (leptonen en baryonen) dragen een leptongetal of een baryongetal
dat behouden is in alle soorten interacties. Leptonen dragen bovendien een
generatie-leptongetal, of lepton flavour, dat ook in alle soorten interacties
behouden is. Momenteel lopen er een aantal experimenten die zoeken naar
signalen van de schending van behoud van baryongetal of lepton flavour behoud.
Zulke signalen wijzen op de werking van nieuwe fysica.
48
De naam ‘lepton’ komt van ‘licht’ (massa < massa proton): tot 1950 kende men
enkel het elektron, het muon en het neutrino. Ondertussen heeft men ook het tau
lepton ontdekt met een massa van 1,8 mp. Men heeft experimenteel drie neutrino
soorten waargenomen. LEP heeft bewezen dat er binnen het Standaard Model
slechts 3 soorten neutrino’s zijn.
De naam ‘hadron’ komt van ‘zwaar’ : massa = massa van het proton en hoger.
De naam ‘meson’ komt van ‘intermediair’: tot de jaren 50 kende men pionen
(0 149 GeV/c2) en kaonen (0
(0,149
(0,494
494 GeV/c2)
GeV/c2), deeltjes met massa tussen dat van
leptonen en dat van het proton. De mesonen met charm en beauty
kwantumgetallen zijn later ontdekt (na 1970) en hebben massa’s tot 12 GeV/c2.
49
Behoud van baryongetal heeft tot gevolg dat:
Er steeds evenveel baryonen zijn in de begintoestand als in de eindtoestand.
Er steeds evenveel anti-baryonen zijn in de begintoestand als in de eindtoestand.
Wanneer er meerdere baryonen geproduceerd worden in de begin- of
eindtoestand, deze steeds in paren (baryon + anti-baryon) moeten voorkomen:
vb proton+anti-proton.
50
Behoud van leptongetal heeft tot gevolg dat:
Er steeds evenveel leptonen zijn in de begintoestand als in de eindtoestand.
Er steeds evenveel anti-leptonen zijn in de begintoestand als in de eindtoestand.
Wanneer er meerdere leptonen geproduceerd worden in de begin- of
eindtoestand, deze steeds in paren (lepton + anti-lepton) moeten voorkomen: vb
elektron+positron, neutrino+anti-neutrino, elektron+anti-neutrino.
51
Het verval van het muon wordt verder besproken in hoofdstuk III bij de
ontdekking van het muon-neutrino.
De experimentele bovenlimieten gelden binnen een 90%
betrouwbaarheidsinterval.
52
De figuur toont de verdeling van de impuls van het positron bij het verval van een
positief muon in rust voor een aantal gebeurtenissen. Indien het om een tweedeeltjes verval gaat dan hebben het positron en het neutraal deeltje dezelfde
impuls in alle gebeurtenissen. Dit is duidelijk niet het geval, wat bewijst dat het
om een verval in meerdere deeltjes gaat. Naast het positron worden er nog 2 niet
gedetecteerde neutrino’s geproduceerd. Het meest logische is dat ze van
verschillende aard zijn. Er zijn bijgevolg neutrino’s van het muon en elektron type.
Het heeft geduurd tot 1956 vooraleer het elektron neutrino werd ontdekt, en tot
1962 vooraleer het muon neutrino werd waargenomen. Dit wordt besproken in
hoofdstuk III.
53
Deze opnames zullen terugkomen in hoofdstuk V, bij de discussie van de
ontdekking van het pion en het muon in de jaren 1940.
54
Leptonen nemen niet deel aan de sterke wisselwerkingen. Schending van lepton
flavour behoud moet bijgevolg gezocht worden in de zwakke of
elektromagnetische interacties.
Zo heeft men bij LEP de vervalmodes van het W boson in de verschillende lepton
flavours gemeten. Het resultaat is dat binnen de onzekerheid er geen aanwijzing
is van enige schending, zie PDG tabellen.
In de neutrino sector is er een vorm van schending van lepton flavour
conservation die te maken heeft met neutrino oscillaties
oscillaties.
55
De ontdekking van het muon wordt besproken in hoofdstuk III, samen met de
ontdekking van het pion.
De ontdekkingen van de 3 neutrino’s en van het tau-lepton worden besproken in
hoofdstuk III.
In de tabel staat A voor de afgelegde weg in het laboratorium systeem.
Het muon en het tau-lepton vervallen volgens de zwakke wisselwerking.
56
De eigenschappen van de quarks worden verder besproken in hoofdstuk VIII.
57
58
59
Nota: proton kan niet vervallen in (e+ + neutrino) omdat er geen behoud van
baryongetal is.
60
De behoudswetten in ‘vetjes’ werden in dit hoofdstuk behandeld.
Vreemdheid wordt behandeld in hoofdstuk III.
De andere behoudswetten worden behandeld in hoofdstuk VII.
61