VEELVLAKKEN

de Leuke En Uitdagende Wiskunde
VEELVLAKKEN
SAMENSTELLING: H. de Leuw
1. VEELHOEKEN.
Een veelvlak is een lichaam dat wordt begrensd door vlakke veelhoeken.
Zo zijn balken en piramides wel veelvlakken, maar cilinders en bollen niet.
Een veelhoek waarvan alle zijden even lang zijn en de hoeken even groot, noemen we een
regelmatige veelhoek.
Opgave 1.1:
a. Welke van de onderstaande figuren zijn veelhoeken?
b. Welke van de onderstaande figuren zijn bovendien regelmatig?
Een bekende stelling in de wiskunde is dat voor iedere
driehoek geldt dat de som van de hoeken gelijk is aan 180º.
Dus in ABC geldt: A  B  C  180 .
Deze stelling kunnen we gebruiken om de hoeken van een regelmatige veelhoek te berekenen.
Opgave 1.2:
a. Hoe groot is iedere hoek van een gelijkzijdige driehoek?
b. Hoe groot is iedere hoek van een regelmatige vierhoek (=vierkant)?
Om de hoeken van een regelmatige vijfhoek te berekenen
verdelen we de vijfhoek in driehoeken. Omdat in iedere
driehoek de som van de hoeken 180º is, kun je nu de som
van de hoeken van een vijfhoek berekenen.
Opgave 1.3:
a. Hoe groot is de som van de hoeken van een vijfhoek?
b. Hoe groot is een hoek van een regelmatige vijfhoek?
Op dezelfde manier kun je een hoek van een regelmatige zeshoek, regelmatige zevenhoek, etc
berekenen.
de Leuke En Uitdagende Wiskunde
-1-
VEELVLAKKEN
Opgave 1.4:
Vul de volgende tabel in:
regelmatige
veelhoek
driehoek
vierhoek
vijfhoek
zeshoek
zevenhoek
achthoek
aantal
som van alle aantal graden
driehoeken
hoeken
van één hoek
Met behulp van bovenstaande tabel kunnen we een formule afleiden waarmee we de grootte
van een hoek in een regelmatige n-hoek kunnen berekenen. Hierbij is n een heel getal dat
groter of gelijk is aan 3.
Opgave 1.5:
a. Als je vanuit één hoekpunt de diagonalen van een regelmatige n-hoek tekent, in hoeveel
driehoeken wordt de regelmatige n-hoek dan verdeeld?
b. Hoe groot is de som van alle hoeken in deze driehoeken samen?
c. Hoe groot is één hoek van een regelmatige n-hoek?
d. Controleer je formule met behulp van de tabel die je hebt ingevuld.
Veelvlakken kunnen we onderverdelen in convexe (bolle) en concave (holle) veelvlakken.
Bij een convex (bol) lichaam kan ieder tweetal punten op het oppervlak altijd verbonden
worden door een recht lijnstuk dat geheel binnen het lichaam loopt, terwijl dit bij een concaaf
(hol) lichaam niet altijd mogelijk is.
concaaf
de Leuke En Uitdagende Wiskunde
convex
-2-
VEELVLAKKEN
2. PLATONISCHE VEELVLAKKEN.
Veelvlakken waarvan de zijvlakken allemaal gelijkmatige, regelmatige vlakke veelhoeken
zijn en waarbij er in ieder hoekpunt evenveel zijvlakken samenkomen, noemen we
regelmatige veelvlakken.
Rond 550 v. Chr. kende de Griekse wiskundige Pythagoras al drie regelmatige veelvlakken,
te weten de kubus, de tetraëder (=regelmatig 4-vlak) en de dodecaëder (=regelmatig 12vlak).
De Griekse filosoof Plato (427-347 v. Chr.) kende ook de octaëder (=regelmatig 8-vlak) en
de icosaëder (=regelmatig 20-vlak). Voor Plato lag in deze vijf regelmatige veelvlakken de
essentie van de gehele natuur besloten. In de Timaeus, geschreven rond 350 v. Chr.,
formuleerde Plato de theorie dat de vier ‘elementen’ waaruit de wereld zou zijn opgebouwd
(vuur, lucht, water en aarde) allemaal bestonden uit kleine lichaampjes. En, redeneerde hij,
daar de wereld slechts gemaakt kan zijn uit volmaakte bestanddelen, moeten de elementen de
vorm hebben van regelmatige lichamen.
Het lichtste en scherpste van de elementen, het vuur, zou de vorm moeten hebben van een
tetraëder. Aarde, het meest stabiele element, moest de vorm hebben van een kubus. Een kubus
is namelijk stevig als een berg en makkelijk stapelbaar. Water, het meest beweeglijke en
vloeibare element, moest de vorm hebben van een icosaëder, het veelvlak dat het
gemakkelijkste rolt. Lucht zit tussen water en vuur, daarom is lucht de octaëder, die immers
tussen de tetraëder en de icosaëder in zit. De overblijvende dodecaëder stond voor het
hemelgewelf.
Sindsdien worden deze vijf veelvlakken de Platonische lichamen of Platonische veelvlakken
genoemd.
Opgave 2.1:
In de bijlage vind je van ieder Platonische veelvlak een uitslag. Knip deze uitslagen uit en
plak ze in elkaar.
Opgave 2.2:
Schrijf van ieder Platonisch veelvlak de vorm van de grensvlakken op.
de Leuke En Uitdagende Wiskunde
-3-
VEELVLAKKEN
Opgave 2.3:
a. Waarom zit de octaëder tussen de tetraëder en de icosaëder?
b. Waarom stond de dodecaëder voor het hemelgewelf?
Terwijl er in het platte vlak een eindeloze rij van regelmatige veelhoeken is, zijn er in de
ruimte maar precies vijf regelmatige veelvlakken mogelijk. Dat er niet meer zijn, blijkt door
de mogelijkheden systematisch af te zoeken.
In een hoekpunt van het regelmatige veelvlak moeten minstens drie zijvlakken bij elkaar
komen, maar de totale som van het aantal graden moet natuurlijk minder zijn dan 360º.
Opgave 2.4:
a. Waarom kan de totale som van het aantal graden niet precies 360º zijn?
b. Wat gebeurt er met het oppervlak als de totale som van het aantal graden groter is dan
360º?
Opgave 2.5:
a. Kun je een regelmatig veelvlak maken met zeshoeken als zijvlakken?
b. Kun je een regelmatig veelvlak maken met zevenhoeken als zijvlakken?
c. Welke regelmatige veelhoeken zijn dus alleen misschien mogelijk als zijvlakken van een
regelmatig veelvlak?
We hebben nu de regelmatige veelhoeken gevonden die misschien mogelijk zijn als zijvlak
van een regelmatig veelvlak. We gaan nu na welke regelmatige veelvlakken je daar mee kunt
maken.
Opgave 2.6:
Vul de volgende tabel in:
soort zijvlak aantal hoeken
van een zijvlak
driehoek
3
de Leuke En Uitdagende Wiskunde
aantal zijvlakken som van de graden naam van
in een hoekpunt in een hoekpunt
het veelvlak
3
180º
tetraëder
kubus
octaëder
dodecaëder
icosaëder
-4-
VEELVLAKKEN
3. DE FORMULE VAN EULER.
Zou je op het idee komen om van veelvlakken de aantallen
hoekpunten (H), zijvlakken (Z) en ribben (R) te tellen, dan
zou je waarschijnlijk net als Descartes rond 1630 of de
Zwitser Euler (1707-1783) in 1752 een verrassend verband
ontdekken. Over dat verband, dat tegenwoordig bekend
staat als de formule van Euler, gaat dit hoofdstuk.
De formule van Euler speelt een belangrijke rol in vele
takken van de wiskunde, en is helemaal niet moeilijk te
bewijzen.
We bekijken de Platonische veelvlakken.
Opgave 3.1:
Vul de volgende tabel in:
Platonisch vorm van aantal zijvlakken
aantal
aantal
veelvlak
zijvlakken in een hoekpunt hoekpunten H ribben R
Tetraëder
Kubus
Octaëder
Dodecaëder
Icosaëder
aantal
zijvlakken Z
Opgave 3.2:
a. Wat valt je op in de laatste drie kolommen van de bovenstaande tabel?
b. Is er een verband tussen H, R en Z?
c. Stel een formule op voor het aantal hoekpunten (H), ribben (R) en zijvlakken (Z) van een
Platonisch veelvlak: …..–…..+…..=…..
De formule van Euler heeft betrekking op zogenaamde sferische veelvlakken.
Een sferisch veelvlak ziet er, ruwweg, uit als een gedeukte bol. Voor een betere beschrijving
stellen we ons voor dat het beschouwde veelvlak gemaakt is van ideaal rekbaar en indrukbaar
materiaal. Bij een topologische vervorming van het veelvlak mogen we het veelvlak rekken
en indeuken, maar niet scheuren of plakken. We zeggen nu dat een veelvlak sferisch is als we
het topologisch kunnen vervormen tot een bol. Een Platonisch veelvlak kunnen we
gemakkelijk opblazen tot een bol en is dus sferisch.
de Leuke En Uitdagende Wiskunde
-5-
VEELVLAKKEN
Opgave 3.3:
Het hiernaast getekende ringvormige veelvlak is niet
sferisch. We zullen zien dat bij dit veelvlak de formule
van Euler niet geldt.
a. Bepaal de waarden van Z, R en H die bij dit veelvlak
horen.
b. Welke waarde heeft Z  R  H ?
We kunnen een sferisch veelvlak voorstellen als een landkaart (in het platte vlak). Nadat we
het sferisch veelvlak hebben vervormd tot een bol, prikken we een gat in de bol en spreiden
hem daarna uit tot hij in het vlak ligt. Hieronder zie je dit gedaan voor de dodecaëder.
de dodecaëder
de tot een bol vervormde dodecaëder
in de bol wordt een gat geprikt en de
bol wordt uitgespreid
zodoende ontstaat een ‘landkaart’
De laatste figuur noemen we een graaf van de dodecaëder. In de graaf staan de punten voor
de hoekpunten van het veelvlak en de lijnen voor de ribben. Het is een vereenvoudigde
voorstelling van je veelvlak, waarin je duidelijk kunt zien hoeveel hoekpunten, zijvlakken en
ribben je veelvlak heeft, en hoe die met elkaar verbonden zijn.
Opgave 3.4:
Teken een graaf van de tetraëder, de octaëder, de dodecaëder en de icosaëder.
de Leuke En Uitdagende Wiskunde
-6-
VEELVLAKKEN
Misschien heb je van een veelvlak twee grafen gekregen die er op het eerste gezicht
verschillend uitzien, maar bij nader onderzoek toch dezelfde grafen zijn. Twee grafen zijn
gelijk als het aantal punten, lijnen en vlakken hetzelfde is en als de punten op dezelfde manier
verbonden zijn.
Zo zijn de volgende twee figuren dezelfde graaf van een tetraëder.
Het aantal hoekpunten H komt overeen met het aantal punten P van de graaf. Zo komt het
aantal ribben R overeen met het aantal lijnen L, en het aantal zijvlakken Z komt overeen met
het aantal vlakken V als we het omliggende vlak van de graaf meetellen.
De formule van Euler zegt: H  R  Z  2
Deze formule geldt voor een sferisch veelvlak dan en alleen dan als voor de bijbehorende
graaf een soortgelijke formule geldt.
Opgave 3.5:
Schrijf de formule van Euler die voor de graaf geldt met behulp van P, L en V.
De formule die je bij opgave 3.5 gevonden hebt, gaan we bewijzen voor grafen van sferische
veelvlakken.
We stellen ons de graaf voor als een stuk land dat is afgebakend door dijken en dat is
omgeven door zee. De lijnen van de graaf zijn dus de dijken, het omringende vlak is de zee en
de vlakken binnen de graaf zijn weilanden. We willen alle weilanden onder water zetten door
een zo klein mogelijk aantal dijken door te steken.
We gaan de formule eerst bewijzen voor de hiernaast getekende
graaf van een kubus.
Opgave 3.6:
a. Hoeveel weilanden heeft deze graaf?
b. Hoeveel weilanden kunnen we maximaal onder water zetten door één dijk door te steken?
c. Hoeveel dijken moeten we doorsteken om alle weilanden onder water te zetten (als we
geen dijk te veel willen doorsteken)?
d. Teken een mogelijke graaf waarbij alle weilanden onder water staan en waarbij we geen
dijk te veel hebben doorgestoken.
e. Hoeveel dijken zijn er nog intact?
f. Controleer met een berekening de volgende formule:
totaal aantal dijken = aantal doorgestoken dijken + aantal intacte dijken
g. We kijken naar de overgebleven dijken. Is vanuit ieder punt ieder ander punt te bereiken
via dijken die nog intact zijn? Hoe weet je dat?
h. Op hoeveel manieren kun je nog van het ene punt naar het andere komen? Waarom?
Een graaf waarin je op precies één manier van het ene naar het andere punt kunt komen,
noemen we een boom.
de Leuke En Uitdagende Wiskunde
-7-
VEELVLAKKEN
We gaan de formule nu bewijzen voor een graaf van een willekeurig sferisch veelvlak.
Deze graaf heeft L lijnen, P punten en V  1 weilanden (want V is het aantal vlakken van de
graaf als we het omliggende vlak meetellen).
Opgave 3.7:
a. Hoeveel weilanden kunnen we maximaal onder water zetten door één dijk door te steken?
b. Hoeveel dijken moeten we doorsteken om alle weilanden onder water te zetten (als we
geen dijk te veel willen doorsteken)?
c. Hoeveel dijken zijn er nog intact?
d. De antwoorden van opgave b en c vullen we in bij de formule:
totaal aantal dijken = aantal doorgestoken dijken + aantal intacte dijken
Dit geeft: L  .....  .....
e. Dit kunnen we ook schrijven als: .....  .....  .....  .....
We hebben nu de formule van Euler bewezen voor sferische veelvlakken.
De formule van Euler heeft ontzettend veel toepassingen. Hij kan worden gebruikt voor het
inventariseren van de regelmatige en halfregelmatige veelvlakken. De formule speelt een
belangrijke rol bij de oplossing van het vier-kleuren-probleem. Ook is hij de sleutel bij vele
puzzels.
de Leuke En Uitdagende Wiskunde
-8-
VEELVLAKKEN
4. DUALITEIT.
Opgave 4.1:
Hiernaast zie je een kubus getekend.
a. Bepaal van ieder zijvlak het punt dat precies
in het midden ligt en verbind steeds een
tweetal punten met elkaar als ze in
aangrenzende zijvlakken liggen.
b. Welke figuur is er nu ontstaan?
c. Tel het aantal zijvlakken van de kubus en tel
het aantal hoekpunten van de ontstane figuur.
d. Tel het aantal hoekpunten van de kubus en tel
het aantal zijvlakken van de ontstane figuur.
e. Wat valt er op bij je antwoorden van opgave
c en d?
In feite heb je van ieder zijvlak een hoekpunt gemaakt en heb je van ieder hoekpunt een
zijvlak gemaakt. De figuur die zo ontstaat heet het duale veelvlak van het oorspronkelijke
veelvlak.
Opgave 4.2:
a. Hoeveel hoekpunten en hoeveel zijvlakken
moet het duale veelvlak van een tetraëder
hebben?
b. Welk veelvlak kan dus het duale veelvlak van
een tetraëder zijn?
c. Controleer je antwoord van opgave b door in
de hiernaast getekende tetraëder het duale
veelvlak te tekenen.
Opgave 4.3:
a. Hoeveel hoekpunten en hoeveel zijvlakken heeft het duale veelvlak van een dodecaëder.
b. Welk veelvlak kan dus het duale veelvlak van een dodecaëder zijn?
c. Welk veelvlak is het duale veelvlak van een icosaëder?
d. Controleer je antwoorden van opgave b en c door in de graaf van een dodecaëder en in de
graaf van een icosaëder met een andere kleur de graaf van het duale veelvlak te tekenen.
Opgave 4.4:
Wat gebeurt er als je twee keer de duale van een regelmatig veelvlak neemt?
de Leuke En Uitdagende Wiskunde
-9-
VEELVLAKKEN
Hieronder zie je de vijf Platonische veelvlakken met hun duale veelvlak.
de Leuke En Uitdagende Wiskunde
- 10 -
VEELVLAKKEN
H5: HALFREGELMATIGE VEELVLAKKEN.
De Platonische veelvlakken zijn allemaal opgebouwd uit
één soort van een regelmatige veelhoek.
De halfregelmatige veelvlakken zijn opgebouwd uit
meerdere soorten van een regelmatige veelhoek. De
gebruikte veelhoeken van dezelfde soort zijn allemaal
even groot en de situatie in alle hoekpunten is hetzelfde.
Dus bijvoorbeeld heb je in elk hoekpunt twee gelijkzijdige
driehoeken en twee vierkanten en zijn deze veelhoeken in
elk hoekpunt op dezelfde manier gerangschikt.
Zo zie je in de bovenste figuur hiernaast in elk hoekpunt de
rangschikking driehoek, vierkant, driehoek, vierkant. Dit
veelvlak wordt weergegeven door het viertal getallen
(3,4,3,4) dat we de hoeksamenstelling noemen.
In de onderste figuur zie je in elk hoekpunt de rangschikking
vierkant, zeshoek, zeshoek. De hoeksamenstelling is dus
(4,6,6).
De halfregelmatige veelvlakken kunnen we onderverdelen in drie klassen.
De eerste klasse wordt gevormd door de regelmatige prisma’s. Hieronder zie je enkele
regelmatige prisma’s.
Elk prisma bestaat uit twee even grote regelmatige veelhoeken, die het grondvlak en het
bovenvlak van het prisma vormen. De opstaande zijvlakken zijn allemaal vierkanten. Dit
houdt dus in dat alle ribben van het prisma even groot zijn.
De tweede klasse bestaat uit de zogenaamde antiprisma’s, deze ontstaan uit de prisma’s uit de
eerste klasse door het bovenvlak te draaien, zodanig dat elk hoekpunt van de bovenste
veelhoek boven het “midden” van een zijde van de onderste veelhoek komt te liggen.
Vervolgens verbinden we de hoekpunten in het bovenvlak met die in het grondvlak. Omdat
alle ribben dezelfde lengte hebben, moet de lengte van de ribben in de opstaande zijvlakken
worden aangepast, zodat alle opstaande zijvlakken gelijkzijdige driehoeken worden.
a
b
c
Opgave 5.1:
Bereken van elk van de drie hierboven getekende antiprisma’s de kleinste hoek waarover het
bovenvlak van het prisma gedraaid is, om het bijbehorende antiprisma te krijgen.
de Leuke En Uitdagende Wiskunde
- 11 -
VEELVLAKKEN
De derde klasse bestaat uit 13 bijzonder veelvlakken. Volgens bronnen uit de Oudheid zijn
deze veelvlakken ontdekt door de Griekse wiskundige Archimedes (287-212 v. Chr.). Deze
veelvlakken worden dan ook vaak de Archimedische veelvlakken genoemd.
Opgave 5.2:
Geef van alle Archimedische veelvlakken de bijbehorende hoeksamenstelling.
Alle dertien Archimedische veelvlakken zijn af te leiden van de Platonische veelvlakken door
hoekpunten en/of ribben door nieuwe zijvlakjes te vervangen.
We zullen zien dat er precies één Archimedisch veelvlak is, opgebouwd uit regelmatige
vijfhoeken en regelmatige zeshoeken.
Eerder hebben we gezien dat een hoek in een regelmatige vijfhoek 108º is en dat een hoek in
een regelmatige zeshoek 120º is.
In één hoekpunt van het te maken veelvlak moeten minstens drie veelhoeken samenkomen,
maar de totale som van het aantal graden moet natuurlijk minder zijn dan 360º. Immers bij
precies 360º ontstaat een plat vlak en bij meer dan 360º ontstaat een ‘deuk’ in het oppervlak.
Opgave 5.3:
a. We kunnen een som, minder dan 360º alleen maar op twee verschillende manieren
krijgen: .....  108  .....  120  ..... en .....  108  .....  120  .....
b. Geef de bijbehorende hoeksamenstelling.
Het is nu eenvoudig na te gaan dat de hoeksamenstelling (5,5,6) niet mogelijk is.
Daartoe kijken we naar de hiernaast getekende figuur en
letten op de opvolging van de vijfhoeken en zeshoeken.
Het lijkt daarbij wel of de veelhoeken in een plat vlak
liggen, maar dat is natuurlijk niet zo, in werkelijkheid
staan ze schuin omhoog.
Opgave 5.4:
Laat zien dat de hoeksamenstelling (5,5,6) niet mogelijk
is, maar de hoeksamenstelling (5,6,6) wel.
de Leuke En Uitdagende Wiskunde
- 12 -
VEELVLAKKEN
Dat we bij de hoeksamenstelling (5,6,6) ook een halfregelmatige veelvlak kunnen maken
zullen we nu laten zien.
Hieronder zie je het resultaat als we bij ieder hoekpunt van een icosaëder een stukje afzagen
(afknotten). Hiertoe verdelen we elke ribbe in drie gelijke delen. In het midden van ieder
zijvlak ontstaat dan een regelmatige zeshoek.
Verder letten we op de hoekpunten van dit twintigvlak, dat zijn er 12. In elk hoekpunt komen
nu vijf gelijkzijdige driehoeken samen, waarvan de lengte van de zijde 13 is van de
oorspronkelijke ribbe. Deze vormen in totaal 12 kleinere piramiden, die elk een grondvlak
hebben dat een regelmatige vijfhoek is. Als we nu deze twaalf top-piramiden afzagen, dan
houden we een veelvlak over dat wordt begrensd door twaalf regelmatige vijfhoeken en de
twintig zeshoeken als restanten van de zijvlakken van het twintigvlak.
de Leuke En Uitdagende Wiskunde
- 13 -
VEELVLAKKEN
H6: VARIA.
Opgave 6.1:
Hieronder zie je zes veelvlakken met gelijkzijdige driehoeken en vierkanten als zijvlakken:
een kubus met piramides erop (1), een driehoekig prisma (2), een vierzijdig antiprisma (3),
een kuboctaëder (4), een rhombenkuboctaëder (5) en een gyrobifastigium (6).
Elk van de zes veelvlakken heeft een spoor (a t/m f) achtergelaten. Onderzoek welk veelvlak
bij welk spoor hoort.
Opgave 6.2:
We willen de Platonische en de Archimedische veelvlakken kleuren. Voorwaarde daarbij is
dat zijvlakken die met een ribbe aan elkaar grenzen een verschillende kleur krijgen.
Zijvlakken die alleen een hoekpunt gemeen hebben, mogen dus dezelfde kleur krijgen.
Onderzoek voor elk Platonisch en Archimedisch veelvlak wat het kleinste aantal kleuren is
dat je nodig hebt.
Opgave 6.3:
Als je meerdere kubussen hebt, kun je een grotere kubus maken.
a. Onderzoek voor ieder Platonisch veelvlak of je met een aantal van die Platonische
veelvlakken een Platonisch veelvlak van dezelfde soort kunt maken. Zo ja, geef dan het
kleinste aantal Platonische veelvlakken dat je nodig hebt.
b. Onderzoek of je een groter Platonisch veelvlak kunt krijgen door meerdere soorten
Platonische veelvlakken te gebruiken. Zo ja, geef dan het kleinste aantal van elke soort
aan die je nodig hebt.
Opgave 6.4:
Als je van verschillende kanten naar de tetraëder, de kubus en de octaëder kijkt, kun je steeds
iets anders zien. Maak van elk veelvlak drie verschillende aanzichten. Doe dat zo nauwkeurig
mogelijk.
de Leuke En Uitdagende Wiskunde
- 14 -
VEELVLAKKEN